Analisis matematico 1

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

1

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ

Vicerrectorado de Investigación


TINS Básicos

INGENIERÍA INDUSTRIAL, INGENIERÍA DE SISTEMAS, INGENIERÍA ELECTRÓNICA, INGENIERÍA MECATRÓNICA,

INGENIERÍA TEXTIL, INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES, INGENIERÍA AUTOMOTRIZ, INGENIERÍA AERONÁUTICA,

INGENIERÍA DE SOFTWARE, INGENIERÍA MARÍTIMA, INGENIERÍA NAVAL

TEXTOS DE INSTRUCCIÓN (TINS) / UTP

Lima - Perú


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© ANÁLISIS MATEMÁTICO I Desarrollo y Edición : Vicerrectorado de Investigación Elaboración del TINS : • Lic. Carlos Bravo Quispe

• Lic. Primitivo Cárdenas Torres

Diseño y Diagramación : Julia Saldaña Balandra

Soporte acadêmico : Instituto de Investigación

Producción : Imprenta Grupo IDAT

Queda prohibida cualquier forma de reproducción, venta, comunicación pública y transformación de esta obra.


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“El presente material de lectura contiene una compilación de artículos, de breves extractos de obras matemáticas publicadas lícitamente, acompañadas de resúmenes de los temas a cargo del profesor; constituye un material auxiliar de enseñanza para ser empleado en el desarrollo de las clases en nuestra institución. Éste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes de la Universidad Tecnológica del Perú, preparado para fines didácticos en aplicación del Artículo 41 inc. C y el Art. 43 inc. A., del Decreto Legislativo 822, Ley sobre Derechos de Autor”.


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PRESENTACIÓN

La matemática, ciencia de la más alta jerarquía, en el concierto de las ciencias, desde los albores de la civilización humana sigue siendo la base del desarrollo científico y tecnológico de nuestro mundo.

La Ingeniería como expresión de la tecnología, se erige sobre la base de los diferentes espacios de la creación matemática, del sentimiento y del pensamiento de la humanidad.

De allí, que en la formación académica de Ingenieros, la UTP privilegia el estudio de la matemática, en la convicción de dotar a sus estudiantes firme pensamiento abstracto y amplio pensamiento innovador.

En esta dimensión se ha desarrollado el presente texto de instrucción, en su primera edición dirigido a estudiantes de Ingeniería de las Carreras de Ingeniería de: Sistemas, Industriales, Electrónica y Mecatrónica y Telecomunicaciones, para la Asignatura de ANÁLISIS MATEMÁTICO I.

Plasma la preocupación institucional de la innovación de la enseñanza-aprendizaje en educación universitaria, que en acelerada continuidad promueve la producción de materiales educativos, actualizados en concordancia a las exigencias de estos tiempos.

La estructura del contenido del texto permitirá lograr conocimientos de ANÁLISIS MATEMÁTICO, progresivamente modelada en función del silabo de la Asignatura acotada líneas arriba; contenido elaborado mediante un proceso acucioso de recopilación de temas, desarrollados en diferentes fuentes bibliográficas.

La conformación del texto ha sido posible gracias al esfuerzo y dedicación académica de los profesores: Lic. Carlos Bravo Quispe y Lic. Primitivo Cárdenas Torres.

La recopilación aludida de temas pertinentes, consistentes y actualizados, para estudiantes de segundo ciclo, tiene el siguiente ordenamiento temático:

Relaciones, Funciones, Límite y Continuidad de Funciones, Derivadas y sus aplicaciones en los diferentes campos de la Ingeniería.


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Al cerrar esta presentación debemos reconocer el esfuerzo y trabajo de

los profesores que han permitido la elaboración del presente texto en su primera edición y la dedicación paciente del Dr. José Reategui Canga en la revisión del texto.

Vicerrectorado de Investigación


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ÍNDICE

CAPÍTULO I: RELACIONES BINARIAS 11 1.1 PAR ORDENADO Y PRODUCTO CARTESIANO 11

1.1.1 PAR ORDENADO 11 1.1.2 PRODUCTO CARTESIANO 12

1.2 DOMINIO, RANGO Y GRÁFICA DE UNA RELACIÓN 16 CAPÍTULO II: FUNCIONES 21

2.1 DOMINIO, RANGO Y GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN 22 FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 25

2.2 FUNCIONES ESPECIALES O TIPOS DE FUNCIONES 27 FUNCIÓN CONSTANTE 27 FUNCIÓN IDENTIDAD 27 FUNCIÓN LINEAL 28 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO 28 FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA 29 FUNCIÓN SIGNO 29 FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO 30 FUNCIÓN CUADRÁTICA 30

FUNCIÓN RACIONAL ENTERA O POLINÓMICA. 31 FUNCIÓN RACIONAL FRACCIONARIA 32

FUNCIÓN PROYECCIÓN 33 FUNCIÓN MÁXIMO ENTERO 33 OPERACIONES CON FUNCIONES 36 DEFINICIÓN 36 EJERCICIOS PROPUESTOS 40 2.3 CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES: FUNCIONES INYECTIVAS,

SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS 48 2.3.1 FUNCIÓN INYECTIVA 48

2.3.2 FUNCIÓN SOBREYECTIVA. 50 CAPÍTULO III: LÍMITES DE FUNCIONES 57

3.1. DEFINICIÓN INFORMAL DE LÍMITE 57 3.2 DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITE 61 TEOREMA (UNICIDAD DE LÍMITE). DEMOSTRACIÓN 62

TEOREMA (TEOREMA DEL SÁNDWICH) 62 TEOREMA. DEMOSTRACIÓN


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3.3 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES 63 3.4 LÍMITES LATERALES 66 LÍMITE POR LA IZQUIERDA 66 LÍMITE POR LA DERECHA. TEOREMA. EJERCICIOS 66 3.5 LIMITES AL INFINITO 74 3.6 ASÍNTOTAS 76 3.7 FUNCIONES CONTINUAS 79 3.8 LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS. TEOREMAS Y

DEMOSTRACIONES 84 MISCELÁNEA DE PROBLEMAS DE LÍMITES Y CONTINUIDAD 92 CAPÍTULO IV: LA DERIVADA 95 4.1 DEFINICIÓN 95

4.2 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD 100 4.3 REGLAS PARA LA DERIVACIÓN 103 4.4 DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRASCENDENTES 105 4.5 DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIAL Y

LOGARÍTMICA 108 4.6 DERIVADA DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS 108

4.7 DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 110

4.8 DERIVACIÓN IMPLÍCITA 111 4.9 DERIVADAS DE ORDENSUPERIOR 116 4.10 DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA 119 4.11 DIFERENCIALES 120

4.12 LA DERIVADA COMO UNA RAZÓN DE CAMBIO 123 4.13 EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA DERIVADA Y SUS

APLICACIONES 130 4.14 REGLAS DE L’ HOSPITAL 135 4.15 APLICACIONES DE LA DERIVADA 140 4.16 CONCAVIDAD Y CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA 150 EJERCICIOS 161 BIBLIOGRAFÍA 165


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DISTRIBUCIÓN TEMÁTICA

Clase N° Tema Semana

1 Relaciones: dominio, rango y gráficas. Funciones: definición, dominio y rango. 1

2 Funciones especiales: constante, identidad lineal. Raíz cuadrada, función signo. 2

3 Clases de funciones: inyectivas, suryectiva y biyectiva. Función valor absoluto. Función escalón unitario. 3

4 Función entero. Funciones pares e impares. Funciones periódicas. 4

5 Operaciones com funciones: suma, resta, producto, división. Inversa de funciones. 5

6 Imágenes inversas de subconjuntos del dominio. Límite de funciones. Definición y propiedades. 6

7 Límites algebraicos y trigonométricos. Límites laterales. Límites al infinito y límites infinitos. Asíntotas. 7

8 Continuidad. Teoremas. Continuidad en un punto en un intervalo. Clases de discontinuidad. 8

9 Derivación. Interpretación geométrica. Rectas tangente y normal. Derivadas laterales. Gráficas. 9

10 E X A M E N P A R C I A L 10

11 Reglas de derivación. Derivadas trigonométricas. Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas. R. cadena.

11

12 Derivadas de orden superior. Derivación implícita. Derivada de las funciones inversa. Diferenciales. 12

13 Aplicaciones de diferenciales. La derivada como razón de cambio. 13

14 Teorema de Rolle y teorema de valor medio para derivadas. Interpretación y aplicaciones. 14


10

15 Regla de L’Hospital. Funciones crecientes y decrecientes (funciones monótonas). Máximos – mínimos. 15

16 Puntos críticos. Teoremas. Criterio de la primera derivada para valores extremos. 16

17 Criterio de la segunda derivada. Concavidad y punto de inflexión. 17

18 Estudio de las funciones trascendentes. Funciones trigonométricas y trigonométricas inversas y sus derivadas.

18

19 E X A M E N F I N A L 19

20 E X A M E N S U S T I T U T O R I O 20


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CAPÍTULO I

RELACIONES BINARIAS

1.1 PAR ORDENADO Y PRODUCTO CARTESIANO 1.1.1 PAR ORDENADO.- Dados dos elementos a y b interesa formar

un conjunto que depende de dichos elementos y del orden en que se consideran.

DEFINICIÓN. Par ordenado (a, b) es el conjunto cuyos elementos son

{a} y {a, b}. Es decir:

(a, b) = {{a}, {a, b}}

a y b son la primera y la segunda componente del par ordenado. En particular se tiene:

(a, a) = {{a},{a,a}} = {{a}}

Si a ≠ b, entonces (a, b) ≠ (b, a) TEOREMA 1: Dos pares ordenados son iguales si y solo si tienen sus

componentes respectivamente iguales. Es decir:

(a, b) = (c, d) ⇔ a = c ∧ b = d DEMOSTRACIÓN: Se sigue de la definición de par ordenado. EJEMPLO N°1. Hallar m2 + n2 si: (m — n, – 2) = (4, m + n)

Por el teorema anterior se tiene que: ⎩⎨⎧

−=+=−

2 n m 4n m

sumando estas expresiones miembro a miembro se obtiene m = 1. Que al reemplazar en la primera ecuación da lugar a que n = – 3


12

Por lo tanto m2 + n2 = 10 EJEMPLO N°2: ¿ Es (3, 2°) = (3, 32 - 23)?. La repuesta es afirmativa, pues sabemos que: 2° = 1 y 32 – 23 = 1 1.1.2 PRODUCTO CARTESIANO.- Definimos el producto

cartesiano de dos conjuntos no vacíos A y B como aquel conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados cuyas primeras componentes pertenecen a A y la segunda a B.

Esto es: A × B = {(a,b)/a ∈ A ∧ b∈ B} En particular: A × A = A2 = {(a, b)/ a∈ A ∧ b∈ A}

EJEMPLOS

1. El producto cartesiano de A = {1, 2, 3} por B = {4, 5}, está dado por:

A × B = {(1,4), (1, 5), (2,4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)} y

B × A = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)} 2. Por ser pares ordenados, los elementos del producto cartesiano de

dos conjuntos no vacíos pueden representarse mediante puntos del plano cuya abscisa y ordenada son, respectivamente, la primera y segunda componentes.

Figura 1


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3. El producto cartesiano no es conmutativo, pues (3, 4) pertenece a

A×B y (3, 4) no pertenece a B × A. 4. Dados los intervalos cerrados de números reales:

[a, b] = {x ∈ R/a ≤ x ≤ b} y [c, d] = {y ∈ R/c ≤ y ≤ d}

Entonces [a, b] × [c, d] = {(x, y) ∈ R × R/a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} es el rectángulo cuyos lados son dichos intervalos.

| Figura 2

5. Sean A = {x ∈ R/⏐x⏐ < 2} y B = R.

Tenemos A × B = {(x , y) ∈ R × R/ –2 < x < 2 ∧ y∈R} es la franja abierta de la figura (fig. 3).


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Figura 3

Se puede definir un sistema coordenado rectángular o cartesiano* en el plano considerando en él dos rectas perpendiculares que se cortan o intersecan en el origen O de ambas. A menos que se especifique lo contrario, en cada recta se elige la misma unidad de longitud. Se acostumbra colocar una de las rectas en dirección horizontal con el sentido positivo a la derecha, y la otra, vertical en el sentido positivo hacia arriba, como se indica con las puntas de flecha en la figura (fig. 4) Las dos rectas se denominan los ejes coordenados y el punto O es el origen. La recta horizontal se suele llamar eje x y la vertical eje y, lo cual se indica escribiendo con X y una Y respectivamente, junto a las puntas de los ejes. Entonces tal plano es un plano coordenado XY. Los ejes coordenados dividen al plano en cuatro partes llamadas el primero, segundo, tercero y cuarto cuadrantes que se denotan por I , II , III y IV, respectivamente. A cada punto P en el plano XY se le puede asignar un par ordenado único (a, b), como se muestra en la figura (4). El número a es la abscisa(o coordenada x) de P, y b es su ordenada (o coordenada y). Se dice que P tiene las coordenadas (a,b). Recíprocamente, todo par ordenado (a, b) determina un punto P en el plano XY con coordenadas a y b. A veces se habla del punto (a, b), o P(a, b) para indicar al punto P con abscisa a y ordenada b. Para trazar un punto P(a, b) se localiza en un plano cooordenado y se representa por un pequeño círculo, como se ilustra para varios puntos en la figura (5).


15

Figura 4 Figura 5

Para fijar ideas consideremos el conjunto A formado por los alumnos del curso de Análisis Matemático I: a , b , c y d, y el conjunto B cuyos elementos son las posibles notas obtenidas en la primera práctica calificada: 1,2,3, 4, y 5, correspondiente a insuficiencia, aprobado, bueno, distinguido y sobresaliente. Es decir:

A = {a,b,c,d} y B = {1,2,3,4,5}

Los elementos de A quedan vinculados con los elementos del conjunto B mediante la propiedad:

P(x,y) : x obtuvo la nota y

Supongamos que la situación en la primera práctica calificada queda especificada mediante el siguiente diagrama:

Figura 6


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Esta relación entre A y B está caracterizada por el conjunto de pares ordenados.

P = {(a,2), (a,4), (b,4), (d,5)} Como c no tiene ningún correspondiente en B, consideremos que no ha clasificado en la prueba. Se tiene:

(x,y) ∈ R P(x,y) es V

DEFINICIÓN. Relación entre A y B es todo subconjunto del producto cartesiano A × B. En símbolos: R es una relación entre A y B ⇔ R ⊂ A × B o R: A → B Para indicar que un par ordenado (a,b) pertenece a la relación suele escribirse aRb, lo que equivale a (a,b) ∈ R.

1.2 DOMINIO, RANGO Y GRÁFICA DE UNA RELACIÓN Consideramos una relación R entre los conjuntos A y B.

Si (x,y) ∈ R diremos que y es una imagen de x a través de R, y que x es una preimagen de y por R. DEFINICIÓN. Dominio de R es la totalidad de los elementos de A, que admiten imagen en B.

Dom(R) = {x ∈ A / ∃ y ∈ B ∧ (x,y) ∈ R}

Es decir: El dominio de la relación R es el conjunto formado por las primeras componentes de los pares ordenados (x,y) que pertenecen a R. DEFINICIÓN: El rango de la relación R es el conjunto formado por las segundas componentes de los pares ordenados (x,y) que pertenecen a la relación R, esto es Rang(R)={y∈B /∃ x∈A ∧ (x,y)∈ R}. EJEMPLO 1: De la relación R = {(a,2), (a,4), (b,4), (d,5)} Tenemos:

Dom(R) = {a, b, d} y Rang(R) = {2, 4, 5}


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EJEMPLO 2: Considerando el universo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, determine el dominio, rango de las siguientes relaciones: 1. R1 = {(x,y) ∈ U × U / y = 2x} 2. R2 = {(x,y) ∈ U × U / x = 3} 3. R3 = {(x,y) ∈ U × U / 2x < y}

Solución: Tenemos 1. R1 = {(1,2), (2,4), (3,6)} (i) Dom(Rl) = {1,2, 3} (ii) Rang(R1) = {2, 4, 6} 2. R2 = {(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3, 5), (3, 6)} (i) Dom(R2) = {3} (ii) Rang(R2) = {1,2, 3, 4, 5, 6} 3. R3 = {(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,5), (2,6),} (i) Dom(R3) = {1, 2} (ii) Rang(R3) = {2, 3, 4, 5, 6}

GRÁFICA DE UNA RELACIÓN Se llama gráfica de una relación de A en B al conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen dicha relación. Tener en mente que una relación puede ser de la forma F(x,y) = 0 o inecuaciones de la forma F(x, y) < 0, F(x, y) > 0, F(x, y) ≤ 0 o F(x, y) ≥ 0. Pasos a seguir para determinar la gráfica de una relación:

1. Determinación de la intersección con los ejes coordenados: (a) Eje X: Se hace y = 0 y se resuelve F(x, 0) = 0 (b) Eje Y: Se hace x = 0 y se resuelve F(0, y) = 0

2. Determinación de las simetrías con respecto a los ejes coordenados: (a) Eje X: Debe cumplirse F(x, –y) = F(x, y) (b) Eje Y: Debe cumplirse F(–x,y] = F(x,y] (c) Origen: Debe cumplirse F(–x, –y) = F(x,y)

3. Extensión: Consiste en determinar el dominio y rango de la relación

4. Asíntotas: Consiste en determinar las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas que pueda tener la relación. Asíntotas verticales: se obtienen al determinar el dominio, viene a ser aquellos valores de x que hacen cero al denominador, es decir son rectas verticales en lascuales la gráfica de la función está muy


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cerca de dicha recta a medida x tiene a dichos valores que anulan al denominador. Asíntotas horizontales: se obtienen al determinar el rango, vienen a ser aquellos valores de y que anulan al denominado, es decir son rectas horizontales. Asíntotas oblícuas: son rectas y=mx+b, m≠0, que serán determinadas con suma facilidad, cuando los límites al infinito de una función. Ejemplo:

1yx

=

Dom (f)=R -{0} Ran (f)= R -{0}

L: x=0 es una asíntota vertical L: y=0 es una asíntota horizontal

5. Tabulación: Se determina un número finito de puntos que pertenecen a la relación para obtener la gráfica adecuada

6. Trazado de la gráfica de la relación. EJEMPLO Determine la gráfica de la relación R = {(x, y)∈R×R/y – x2 = 0} Solución 1. Intersección con los ejes coordenados

(a) Eje x: hacemos y = 0 en la ecuación: y – x2 = 0 entonces: – x2 = 0 de donde x = 0

(b) Eje y: hacemos x = 0 en la ecuación: y – x2 = 0 entonces: y – 0 = 0 de donde y = 0


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2. Simetrías

(a) Eje x: Debe ser F(x,–y) = F(x,y) –y + x2 ≠ y + x2

por lo tanto no existe simetría con respecto al eje x. (b) Eje y: Debe ser F(–x,y] = F(x,y)

y – (–x)2 = y – x2 Por lo tanto, existe simetría con respecto al eje Y

(c) Origen: Debe cumplirse F(–x, –y) = F(x,y] –y – (–x2) = –y – x2 ≠ F(x,y)

Por lo tanto, no existe simetría con respecto al origen. 3. Extensión

(a) Dominio: se despeja "y" De y – x2 = 0 se tiene y = x2 Por lo tanto, su dominio es R.

(b) Rango: se despeja "x"

De y – x2 = 0 se tiene x = ± y Luego: y ∈ Rang(R) ⇔ y ≥ 0 Por lo tanto Rang(R) = [0, +∞ >.

4. Asíntotas: no posee ningún tipo de asíntotas 5. Tabulación

Figura 7


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EJERCICIOS – PROPUESTOS

1. En U = {1, 2, 4, 6, 8}. Determine dominio, rango y gráfica de la relación: R = {(x, y) ∈ U × U / x – y ≤ 40} 2. En U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Determine la relación: R = {(x,y) ∈ U x U / x + y es divisible por 4}, indicando su dominio y

rango. 3. Determine dominio rango y gráfico de las siguientes relaciones: (a) R1 = {(x, y) ∈ R × R / xy –3 = 1} (b) R2 = {( x, y) ∈ R × R / x 2y - 4y – 1 = 0} (c) R3 = {( x, y) ∈ R × R / 2 x + y ≤ 1} (d) #4 = {( x, y) ∈ R × R / 2y + x2 ≤ 0} (e) R5 = {( x, y) ∈ R × R / x 2 + 2y2 ≤ 4} 4. Determine la gráfica de las siguientes ecuaciones: (a) xy2 – 4x – y2 = 0 (b) x2 + 9y = 0 (C) x2 + y2 = 2 (d) x2 + y2 + 2x + 4y – 1 = 0 5. Determinar dominio, rango y gráfica de las siguientes relaciones: (a) R1 = {(x, y) ∈ R × R / |x – 2| – y = 0} (b) R2 = {(x, y) ∈ R × M / (x – 2y)(x + y) ≥ 0} (c) R3 = {(x,y) ∈ R × R / |x| + |y| ≤ 1} (d) R4 = {(x, y) ∈ R × R / l < x2 + y2 ≤ 4}


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CAPÍTULO II

FUNCIONES Sean A y B dos conjuntos no vacíos y sea f una relación binaria de A en B, esto es, f⊂AxB. Entenderemos por función de A en B toda regla que asocia a cada elemento x del conjunto A un único elemento “y” del conjunto B. Es decir, una función es un conjunto de pares ordenados tales que la primera componente pertenece a A y la segunda a B, de modo tal que dos pares ordenados distintos no tengan la misma primera componente. Para denotar que d es una función de A en B, se escribe:

f: A → B y se lee: “f es una función de A en B”. Formalmente tenemos la siguiente: DEFINICIÓN: f es una función de A en B si y sólo si se satisface las siguientes condiciones: i) f⊂AxB ii) (x,y)∈f ∧ (x,z) ∈f ⇒ y=z Regla de correspondencia: Si (x,y) ∈f, decimos que “y” es la imagen o valor de x por f, y suele escribirse y=f(x), es decir “y” es el transformado de x por la función f. De aquí que denotamos:

f: A → B / y=f(x)

EJEMPLO. Si A= {–1,0,1,2,4,}, B = {0,1,4,16} y f es la relación definida por:

(x,y) ∈ f ⇔ y = x2 entonces se tiene f = {(–1, 1), (0, 0), (1, 1), (2,4), (4, 16)} ya que cada segunda componente es el cuadrado de la primera. El diagrama de Venn correspondiente es:


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Figura 1

DEFINICIÓN. f es una función o aplicación de A en B si y solo si f es una relación entre A y B, tal que todo elemento de A tiene un único correspondiente en B. OBSERVACIÓN: Toda función f : A → B es una relación, mas lo recíproco no necesariamente es cierto. 2.1 DOMINIO, RANGO Y GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DEFINICIÓN. Definimos el dominio y el rango de una función f:A→B

como el dominio y el rango de la relación f:

D(f) = Dom(f ) ={x∈ A / ∃ y ∈ B; (x,y) ∈ f } R(f) = Rang(f) = {y∈ B / ∃ x ∈ A; (x,y) ∈ f }

Al rango de f se le conoce también como imagen de f y se le denota por Img (f) = {f(x) / x ∈ A }

Se denomina gráfica de la función f, al conjunto:

Gf = {(x,y)/x ∈ Dom(f) ∧ y = f(x) ∈ Rang(f)} OBSERVACIÓN: Una función queda especificada si se dan el dominio A, el codominio B y además la relación f ⊂ A × B, que satisface las condiciones (i) y (ii) de la definición.


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EJEMPLO. Del ejemplo anterior, tenemos: Dom(f)=A, Img(f)={0,1,4,16} EJEMPLO. Determinemos si las siguientes relaciones son funciones:

i) Sean A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3} y la relación

f = {(a,l),(b,2),(c,2),(d,l)}

se cumplen las condiciones de la definición, y resulta f una función tal que f(a)=1, f(b)=2, f(c)=2, f(d)=1 El diagrama es el siguiente:

Figura 2

ii) Con los mismos A y B, la relación

f = {(a,1), (a,2), (c,1), (d,3)}

no es una función, pues no se verifica la condición (ii), ya que un mismo elemento de A tiene dos imágenes en B, como ocurre con a. El diagrama de la relación es:

Figura 3


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iii) Si A es el conjunto de personas y f es la relación en A definida por (x, y) ∈ f ⇔ x es hijo de y

entonces f es una función de A en A, ya que toda persona tiene padre y este es único. En cambio la relación definida en el mismo A mediante

(x, y) ∈ f ⇔ x es padre de y

no es una función de A en A, ya que existen en A personas que no son padres, es decir elementos del dominio que carecen de imagen en el codominio; por otra parte, tampoco se verifica la unicidad, pues existen personas que son padres de mas de un hijo. Esto significa que si una relación es función la relación inversa no lo es necesariamente.

EJERCICIOS — RESUELTOS 1. Se desea construir un tanque horizontal de acero para almacenar gas

propano, que tenga forma de cilindro circular recto de 3m de largo con una semiesfera en cada extremo. El radio r no esta aún determinado. Expresar el volumen V del tanque como una función de r.

Solución El volumen de la parte cilíndrica del tanque puede calcularse

multiplicando la altura 3 por el área πr2 de la base del cilindro. Esto es:

Volumen del cilindro = 3πr2 Los dos extremos semi esféricos forman juntos una esfera de radio r.

Usando la formula para el volumen de la esfera, obtenemos

Volumen de los extremos = 3

34 rπ


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Por lo tanto, el volumen V del tanque es:

( )94r 31 2 +π= rV

2. Dos barcos zarpan al mismo tiempo del puerto. Uno viaja al oeste a

17mi/h y el otro hacia el sur a 12mi/h. Sea t el tiempo (en horas) después de la salida. Expresar la distancia d entre las embarcaciones como una función de t.

Solución

Figura 4

Aplicando Pitágoras, tenemos: d2 = a2 + b2 y como:

distancia = (velocidad) (tiempo)

se tiene: a = 17t, b = 12t

Por lo tanto, reemplazando, obtenemos ( ) ( ) tttd 4331217 22 =+=


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FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

DEFINICIÓN. Una función f : A → B donde A y B son subconjuntos no vacíos de R, se denomina función real de variable real o función de una variable real con valores reales. EJEMPLO

Sea f:A→B una función definida por: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=<<+

≤=

3,532,3

2,2)(

xxx

xxf

donde A y B son, subconjuntos de R. Se observa que Dom (f) = A =< - ∞,3] , Rang(f) =[5,6 > ∪ {2}

Figura 6

EJEMPLO

Determine el dominio, rango y gráfica de la función f(x)= 216 x−

a) El dominio se determina resolviendo la inecuación: 16 – x2 ≥ 0 ⇔ –4 ≤ x ≤ 4

Por tanto: Dom(f) = [–4, 4]


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b) Sea y = f (x) tenemos y =216 x−

y ∈ Rang (f) ⇔ (y ≥ 0 ∧ x2 = 16 – y2) ⇔ y ∈ [0,4] Por tanto Rang (f) = [0,4]

c) La gráfica de f esta dado como

Figura 7 2.3 FUNCIONES ESPECIALES O TIPOS DE FUNCIONES

FUNCIÓN CONSTANTE.- Es aquella función f : R → R definida por f(x) = c, donde c es una constante real.

(a) Dom(f) = R (b) Rang(f) = {c}

Su gráfica es una recta horizontal

Figura 8


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FUNCIÓN IDENTIDAD.- Es aquella función f : R → R talque f (x) = x para todo x ∈ R, también se denota por I(x)=x

La identidad de R es entonces la función que asigna a cada elemento de R el mismo elemento.

a) Dom(f) = R (b) Rang(f) = R Su gráfica es una recta diagonal como se muestra en la figura.

Figura 9

FUNCIÓN LINEAL.- Es aquella función f : R → R definida por f(x) = ax + b, donde a, b ∈ R ,a ≠ 0 son constantes.

a) Dom(f) = R (b) Rang(f) = R Su gráfica esta dada por:

Figura 10


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FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO.- Es aquella función f:R→R definida

por ⎩⎨⎧

<−≥

==0,0,

)(xxxx

xxf

a) Dom(f) = R (b) Rang(f) = [0,+∞>

Su gráfico esta dado por:

Figura 11

FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA.- Es aquella función f:R→R dada por

xxf =)(

a) Dom(f) = [0, +∞ > (b) Rang(f) = [0, +∞ >

Su gráfica es:

Figura 12

0


30

FUNCIÓN SIGNO.- Es aquella función f : R → R

definida por ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>=

<−==

0,10,0

0,1)sgn()(

xx

xxxf

a) Dom(f) = R (b)Rang (f) = {-1,0, 1}


Figura 13

FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO.- Es aquella función f : R → R

definida por ⎩⎨⎧

≥<

==0,10,0

)()(xx

xUxf , llamado también función de

Heaviside.

a) Dom(f) = R (b)Rang(f) = {0, 1}



31

Figura 14

FUNCIÓN CUADRÁTICA.- Es aquella función f : R → R definida por f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b, c ∈ R,a ≠ 0

Su dominio es el conjunto de los números reales es decir:

Dom(f) = R

La gráfica de una función cuadrática es una parábola con eje focal paralelo al eje y. DEFINIMOS: = b2 - 4ac, llamado discriminante. Tenemos los siguientes casos: i) si > 0, la función cuadrática tiene dos raíces reales diferentes, es

decir la gráfica de f interseca al eje X en dos puntos reales diferentes.

ii) Si = 0, la función cuadrática tiene una raíz real doble (raíz de multiplicidad dos)

iii) Si < 0, la función cuadrática no tiene raíces reales, es decir la gráfica de la función f no interseca al eje X

El vértice de la parábola está dada por ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

−−=aa

bV4

,2

el cual

determina el rango de la función cuadrática en los siguientes casos: Por lo tanto se tiene:

i) Si a > 0 el rango está dado por Rang(f) = ⎢⎣⎡ ∞+

Δ− ,

4a


32

ii) Si a < 0 el rango está dado por Rang(f)= ⎥⎦⎤Δ

−∞−a4

,

FUNCIÓN RACIONAL ENTERA O POLINÓMICA.- Es aquella función f : R → R definida por:

f(x) = a0xn + a1xn–1 + • • • + an–1x + an, a0 ≠ 0

donde los ai , i = 0, • • • , n son constantes reales. Llamado también función polinómica de grado n En este caso el dominio de f es R. CASOS PARTICULARES i) f(x) = x2n, n ∈ N (polinomio de exponente par):Rang (f] = [0,+∞ > ii) f(x) = x2n+1 , ∈ N (polinomio de exponente impar) : Rang(f) = R

FUNCIÓN RACIONAL FRACCIONARIA.- Es aquella función f:R→R tal que f(x) es el cociente de dos polinomios P(x) y Q(x), osea;

mmmm

nnnn

bxbxbxb

axaxaxa

xQxPxf

++++

++++==

−−

−−

11

10

11

10

...

...

)()()(

Donde a0 . b0 ≠ 0 y Dom (f ))= {x ∈ R/ Q(x) ≠0} donde los ai y bj, i=0, …, n, j = 0,…, m son constantes reales.

POR EJEMPLO

1. f(x) = x1

i) Dom (f) = R – {0}, (ii) Rang(f) = R –{0}


33

Figura 15

2. f(x) = 211x+

i) Dom(f) = R , (ii) Rang(f) = <0,1]

Figura 16

FUNCIÓN PROYECCIÓN.- Consideremos A x B y las funciones P1:AxB→A, P2:AxB→B definidas por P1(a,b) = a , P2(a,b) = b.

Tales funciones se llaman primera y segunda proyección del producto cartesiano y asignan a cada par ordenado la primera y segunda componente, respectivamente. En un gráfico cartesiano se tiene:


34

Figura 17

FUNCIÓN MÁXIMO ENTERO.- Es aquella función f : R → R tal que a cada número real x le asocia el número entero n denotado por x , tal que n ≤ x < n+ 1. Es decir x = n es el mayor entero que no supera a x.

f(x) =n ⇔ n≤ x<n+l

(i) Dom(f) = R (ii) Rang(f) = Z

Su gráfico es:

Figura 18

Esta función se llama también función escalera o escalonada.


35

EJERCICIOS RESUELTOS 1.- Determine dominio, rango y gráfica de la función ( )2

( )f x x x= − Solución

Sea x n= donde Zn ∈ ,entonces 2)()( nxxf −= , 1+<≤ nxn . Luego dando valores a n se tiene: Para n=0; 2)( xxf = , 10 <≤ x n=1; 2)1()( −= xxf , 21 <≤ x n=2; 2)2()( −= xxf , 32 <≤ x y así sucesivamente, como se puede ver la gráfica de cada una de las funciones es una parábola restringida al dominio que se da.

Se observa que: Dom(f)=R y [ >= 1,0)( fRang 2.- Determine dominio, rango y gráfica de la función

9

)( 2

2

−=

xxxf

Solución

Tenemos { }3,3)( −−= RfDom y además el grafico de la función es


36

simétrico respecto al eje Y(es una función par).

Sea )(xfy = ⇒ 92

2

−=

xxy

⇒ 1

92

−=

yyx

Como: 01

902 ≥−

⇔≥y

yx

] >+∞<∪−∞=<⇒ ,10,)( fRang Se observa que la gráfica de la función tiene como asíntotas verticales a

3=x y 3−=x y asíntota horizontal a 1=y . Su gráfica es:


37

EJERCICIOS – PROPUESTOS 1. Hallar el dominio de cada una de las siguientes funciones:

(1) 22

23

12)(

xxxxxf

−++−−=

(2) 32

32)(2 ++

−=

xx

xxf

(3) 22 2103)( xxxxxf −−+−−=

(4) 32

53225)(−

−−=x

xxf

2. En cada ejercicio, determine el domino, rango y gráfica de cada función:

(1) f (x) = 3x – 1 (2) f (x) = x2 + 2 (3) f (x) = 3x2 – 6 (4) f (x) = 5 –x2

(5) 2

2)(23

−−

=x

xxxf

(6) ( )( )

( )( )323

6543)(

2

22

−+−

+−−+=

xxx

xxxxxf

(7) 13)( −= xxf

(8) f (x) = 56

)103)(1()( 2

2

++

−++=

xxxxxxf

(9) f (x) = |3x + 5| – 3

(10) 22)( 2 ++= xxf (11) f (x) = 3x2 + x + 1 (12) f (x) = x2 +2x + 5 (13) f (x) – |4x – 6| (14) f (x) = |3x + 2| (15) f (x) = |4x – 6| + 5 (16) f (x) = |2x – 3| + 5

(17) 2

62)( 2 −−

+=

xxxxf


38

(18) 9

3)( 2 −=

xxf

3. Hallar dominio rango y gráfica de las siguientes funciones:

(a) f (x) = 3x2 – 2x + 5 , x ∈ < 2,5] (b) f (x) = –2x2 + 4x – 3 , x ∈ [–3,5> (c) f (x) = |4x – 6| + 5

(d) f (x) = ]6,2[,23 ∈− xx

4. Hallar dominio, rango y gráfica de las siguientes funciones:

1. ⎪⎩

⎪⎨⎧

>∈−>−∈−=

8,3[,35,3[,1)(

xxxxxf

2. ⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−−≠−=

3,23,4)(

2

xxxxf

3. ⎪⎩

⎪⎨⎧

≥−<−=

3,33,4)(

2

xxxxxf

4. ⎩⎨⎧

>∈−>−∈+

=12,7[,3

7,4[,5)(

xxxx

xf

5. ⎪⎩

⎪⎨⎧

>∈−+

<−=

8,3[,52

0,2)( 2 xxx

xxxf

6. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−∈−

>−−∞∈<−=

2,3]2,2[,1

2,,4)(

xxx

xf

5. Determine el domino, rango y gráfica de las siguientes funciones: 1. f (x) = (x– x )2

2. f (x) = x x−

3. g (x) = x x− 4. h (x) = |x – 1| – |x| 5. f (x) = sgn(x2 – 16) 6. f (x) = |2x – 1| – x

7. f (x) = sgn ( )( )2

2

3 9

2 8

x x

x x

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

8. g (x) = x⎡ ⎤⎣ ⎦

9. g (x) = 1 + ( )1 x−


39

OPERACIONES CON FUNCIONES

DEFINICIÓN: Dos funciones ℜ→Af : y ℜ→Bg : son iguales cuando

)()( gDfD = y )()( xgxf = )( fDx ∈∀

DEFINICIÓN: Sean f y g dos funciones reales con AfD =)( y BgD =)( .

Si φ≠∩ BA , se define:

a) Función suma de f y g : )()())(( xgxfxgf +=+ y

BAgfD ∩=+ )( b) Función Diferencia de f y g : )()())(( xgxfxgf −=− y

BAgfD ∩=− )( c) Función producto de f y g : )()())(.( xgxfxgf = y

BAgfD ∩=).( d) Función cociente de f y g :

)()())((

xgxfx

gf

= y { }0)(/)( ≠∩∈= xgBAxgf

D

e) Producto de una constante por una función: )())(( xkfxkf = , k ∈R. Para este caso AkfD =)( .

f) Función valor absoluto de f: )()( xfxf = y AfD =)( EJEMPLO. Para las funciones definidas por: 225)( xxf −= , [ ]5,5)( −=fD

9

53)(2 −

−=

xxxg , >+∞<∪>−−∞=< ,33,)(gD

tenemos:

i) 9

5325))((2

2

−

−+−=+

xxxxgf , ][ 5,33,5)( <∪>−−=+ gfD = M


40

ii) 9

5325))((2

2

−

−−−=−

xxxxgf , ][ 5,33,5)( <∪>−−=− gfD = M

iii) 9

53.25))(.(2

2

−

−−=

xxxxgf , ][ 5,33,5).( <∪>−−=gfD = M

iv) 53

9.25))((22

−−−

=x

xxxgf , ] { }[ 3

55,33,5)( −<∪>−−=gfD = M

v)

2253)(3))(3( xxfxf −== , MfD =)3(

vi) 225)()( xxfxf −== , [ ]5,5)( −=fD

DEFINICIÓN (COMPOSICIÓN DE FUNCIONES) Sean :f A → R y :g B → R dos funciones tales que φ≠∩ BfR )( . La función )( fg definida por: ))(())(( xfgxfg = se denomina función compuesta de g y f o función de funciones. El dominio de la función

fg es { })()()( gDxffDxD ∈∧∈= EJEMPLO Sean f y g dadas por 2)( −= xxf y xxxg += 5)( . Encontrar

))(( xfg y el Dominio de fg Solución

Tenemos:

( )D f = R , ( )R f = R ; [ >+∞= ,0)(gD , [ >+∞= ,0)(gR

como φ≠∩ )()( gDfR , se tiene 2)2(5))(( −+−= xxxfg y [ >+∞= ,2)( fgD


41

EJEMPLO Sean 1)( 2 −= xxf y 53)( += xxg . Determinar gf y fg Solución Se tiene:

( )D f = R , [ >+∞−= ,1)( fR , ( )D g = R , ( )R g = R

a) Como φ≠∩ )()( gDfR , entonces 5)1(3))(())(( 2 +−== xxfgxfg

∴ 23))(( 2 += xxfg y ( )D g f = R

b) Como φ≠∩ )()( fDgR , entonces 1)53())(())(( 2 −+== xxgfxgf

∴ 24309))(( 2 ++= xxxgf y ( )D f g = R

Nótese que en este último ejemplo ))(( xgf y ))(( xfg no son iguales, es decir:

fggf ≠ .

EJEMPLO Sean las funciones definidas por 4)( 2 −= xxf y 2)( −= xxg Hallar gf y fg Solución Se tiene ] [ >+∞∪−−∞=< ,22,)( fD y [ >+∞= ,2)(gD

a) { } [{ }>+∞∈−∩=∈∩= ,24:)()()(:)()( 2xxfDgDxfxfDfgD

{ } { }66:)(24:)( 2 ≥∨−≤∩=≥−∩= xxxfDxxfD ] [ >+∞∪−−∞=< ,66,

y

24))(())(( 2 −−== xxfgxfg

b)


42

{ } ] [{ }>+∞∪−−∞∈<−∩=∈∩= ,22,2:)()()(:)()( xxgDfDxgxgDgfD

{ } { }6:)(2222:)( ≥∨∩=≥−∨−≤−∩= xxgDxxxgD φ [ >+∞= ,6

y 6))(())(( −== xxgfxgf

EJEMPLO Un globo esférico de juguete se infla con helio. El radio del globo aumenta a razón de 1.5 cm/s, expresar el volumen V del globo como una función del tiempo t (en segundos) Solución Sea x el radio del globo. Suponiendo que al comenzar el radio es 0, entonces a los t segundos

tx 5.1= (radio del globo a los t segundos).

Después de 1seg. el radio es 1.5cm, a los 2seg. el radio es 3.0cm, a los 3seg. es 4.5cm, etcétera. Ahora escribimos

V= 343

xπ (volumen de una esfera de radio x).

Esto da una relación de composición de funciones en la que V es una función de x, y x es una función de t . Por sustitución,

3 3 34 4 4 27(1.5 ) ( )

3 3 3 8V x t tπ π π= = =

Simplificando llegamos a la siguiente formula para V como función de t :

392

V tπ=


43

EJERCICIOS RESUELTOS

1.- Dadas las funciones

]

⎩⎨⎧

>∈<+−−∈<−

=5,2,15

2,1,42)( 2 xxx

xxxf ,

]

⎩⎨⎧

>+∞∈<−∈<−+

=,1,5

1,2,12)(

2

xxxx

xg

Determine dominio, rango y gráfica de gf + Solución Tenemos

] ] ]] ]

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>>=<+∞<∩>∈<++−>=<+∞<∩−∈<+−

−=<−<∩−∈<−++−=+

5,2,15,2,5152,1,12,1,5421,11,22,1,1242

))((2

2

xxxxxxxxx

xgf

]]

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>∈<+−∈<+

−∈<−+=

5,2,652,1,121,1,54

2

2

xxxxxxxx

Luego, ] ]( ) 1,1 1, 2 2,5 1,5Dom f g+ =< − ∪ < ∪ < >=< − >

] ] 1( ) 8,0 3,5 ,6 8,6

4Rang f g −⎡+ =< − ∪ < ∪ >=< − >⎢⎣

2.- Determine dominio, rango y gráfica de fg −

Si 13)( −= xxf 32, <≤ x y 13)( −= xxg >∈<38,

37, x

Solución

Como 93632 <≤⇔<≤ xx Los posibles máximos enteros de 3x son :6, 7, 8


44

Para 7

3 6 6 3 7 23

x x x= ⇒ ≤ < ⇒ ≤ <

7 8

3 7 7 3 83 3

x x x= ⇒ ≤ < ⇒ ≤ <

8

3 8 8 3 9 33

x x x= ⇒ ≤ < ⇒ ≤ <

Luego

75 , 2,

37 8

( ) 3 1 6 , ,3 38

7 , ,33

x

f x x x

x

⎧ ⎡∈ >⎪ ⎢⎣⎪⎪ ⎡⎪= − = ∈ >⎨ ⎢⎣⎪⎪ ⎡∈ >⎪ ⎢⎪ ⎣⎩

Por lo tanto

613))(( −−=− xxfg >∈<38,

37, x

El cual tiene como rango >−−=<− 67,66)( fgRang

3.- Dadas las funciones 13)( += xxf , ]2,6−∈<x y 12)( +−= xxg ,

[ ]5,3∈x . Determine gf , si existe.

Solución Analicemos la existencia: [ ] ] φ≠−<∩−−=∩ 2,65,9)()( fDomgRang Esto determina que existe gf . { })()(/)()( fDomxgxgDomgfDom ∈∩=

[ ] ]{ }3,5 / 2 1 6,2x x= ∩ − + ∈< −

[ ] { }2126/5,3 ≤+−<−∩= xx


45

[ ] ⎢⎣

⎡⎢⎣⎡ >>=

−∩

27,3

27,

215,3

Y 461)12(3)12())(())(( +−=++−=+−== xxxfxgfxgf

4.- Dada 32)( += xxf ]3,1−∈<x y ⎩⎨⎧

≥+−<+

=1,321,18

)( 2 xxxxx

xg

Determine fg Solución Llamemos 18)(1 += xxg , 1<x y 32)( 2

2 +−= xxxg , 1≥x

Veamos si existen fg1 y fg 2 : i) ]1( ) ( ) 1,9 3 ,1Rang f Dom g x φ∩ =< ∩ < −∞ >= Luego no existe la composición fg1 ii) ] [ φ>≠+∞∩=<∩ ,19,1)()( 2gDomfRang . Luego si existe la

composición fg 2

{ })()(/)()( 22 gDomxfxfDomfgDom ∈∩= = ] [{ }>+∞∈+∩−< ,132/3,1 xx ] { } ]3,11/3,1 −=<−≥∩−< xx y 3)32(2)32()32())(( 2

22 ++−+=+= xxxgxfg 684 2 ++= xx Por lo tanto 684))(( 2 ++= xxxfg , ]3,1−∈<x


46

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Dadas las funciones f y g definidas por:

a) ⎩⎨⎧

>+−<−

=9,646,43

)(xxxx

xf , ⎩⎨⎧

≥−<−

=3,643,5

)(xxxx

xg

b) ⎩⎨⎧

>−≤+−

=4724,53

)(2

xxxxx

xf , ⎩⎨⎧

>−<−

=5,142,5

)(xxxx

xg

c) 542)( 2 −−= xxxf , ⎩⎨⎧

≤<−>−

=23,2

2,52)(

xxx

xg

d) 72,12)( 2 <<−−−= xxxxf , ⎩⎨⎧

≥<<+−

=34

3143)(

xxx

xg

Hallar dominio, rango y gráfica de ,gf + gf − . 2.- Dadas las funciones: a) 1,63)( 2 <−−= xxxxf , 22)( 2 −+−= xxxg , 0≥x b) 62,75)( 2 <≤−−= xxxxf , 41,54)( 2 <<−+−= xxxxg c) 54,45)( ≤<−+−= xxxf , 56)( 2 −−= xxxg , 1>x Hallar dominio rango y gráfica de gf + , gf − . 3.- }{ )1,5(),3,4(),4,3(),2,2(),0,1( −−−=f , { })9,8(),8,7(),4,2(),0,5(),2,4(),3,1( −−g

Hallar el rango de ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −g

gf.

4.- Dadas las funciones: { })6,6(),3,5(),1,4(),1,3(),0,2(),0,1(),4,3( −−=f , { }( 4, 3), ( 3,0), (1,0), (2,3), (3,3), (4,6), (6,6), (7,5)g = − − − Hallar { })(),/( gfbabamáx +∈+ 5.- Dadas las funciones : { })5,7(),6,4(),2,3(),0,2(),0,2(),4,3( −−=f , ,53)( += xxg 4<x

Hallar { } { })(),/(min)(),/( gfbabagfbabamáx −∈+++∈+


47

2.2 CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES

DEFINICIÓN.- (Función inyectiva o uno a uno). Se dice que una función f:A→B con dominio D es inyectiva, si para cualquier x1, x2 ∈ D con x1 ≠ x2 se tiene que f(x1) ≠ f(x2) Es decir;

f : A → B es inyectiva si f(x1) = f(x2) con x1,x2 ∈ D implica x1 = x2

EJEMPLO En A = {0,1, 2, 5}, B = {0, 2, 3,4, 5, } i) f = {(0,0), (1,3), (2,4), (5,2)} es función inyectiva. ii) f = {(1, 2), (2, 3), (5, 3), (0, 0)} no es función inyectiva.

DEFINICIÓN.- (Función sobreyectiva). Una función f: A→B es sobreyectiva, si para todo y ∈ B, existe x ∈ A, talque f(x) = y. En otras palabras:

f : A → B es sobreyectiva si Img(f) = B

EJEMPLO Sea A = {0,1,2,3,4}, B = {1,,4,5} y la función f : A → B, definida por

f (0) = 1, f (1) = 1, f (2) = 4, f (3) = 5, f (4) = 4

Esta función es sobreyectiva, porque Img(f) = B.

DEFINICIÓN.- (Función Biyectiva). Se dice que una función f : A → B es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva. EJEMPLO Sean A = {1, 2, 3, 4}, B = {5, 7, 8, 9} y la función f : A→ B definida por

f(1) = 5, f (2)=7, f (3) = 8, f (8) = 9

es una función biyectiva.


48

2.3 FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS

2.3.1 FUNCIÓN INYECTIVA

DEFINICIÓN: se dice que una función es inyectiva (o univalente) cuando todo elemento del rango tiene un único elemento en el dominio al cual esta asociado.

Es decir

∀ )(, fDomba ∈ : babfaf =⇒= )()( INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Una función es inyectiva si cualquier recta paralela al eje X, intersecta a la gráfico de la función en un solo punto.

EJEMPLO N°1

Figura 1

NO ES INYECTIVA, porque la recta horizontal intersecta a la función )(xfy = en más de un punto.

ES INYECTIVA, porque la recta intersecta a la función y=f(x). En un sólo punto.

EJEMPLO N°2 Sea 2)( xxf = , >−∞∈< 0,x . Determine si la función es inyectiva. Solución Sean >−∞∈< 0,,ba : )()( bfaf = 22 ba =⇒ 0=−⇒ ba ∨ 0=+ ba Como 000 <+⇒<∧< baba , por lo tanto ba = . Es decir f es inyectiva.


49

EJEMPLO N°3

Dada la función 212)(

+−

=xxxf , [ ]8,4∈x determine si esta función es

inyectiva. Solución

Sean [ ]8,4, ∈ba212

212)()(:

+−

=+−

⇒=bb

aabfaf

)2)(12()2)(12( +−=+−⇒ abba 242242 −−+=−−+⇒ ababbaab ba =⇒ Luego f es inyectiva en su dominio [ ]8,4

EJEMPLO N°4 Dada 223)( xxxf −+= , [ ]3,1−∈x . Analiza si f es inyectiva. Solución

Sea [ ] 22 2323)()(,3,1, bbaabfafba −+=−+⇒=−∈ 22 2323 bbaa −+=−+⇒ 0)2)(( =−+−⇒ baba 020 =−+∨=−⇒ baba Como [ ] 4243,1, ≤−+≤−⇒−∈ baba y además:

0)3()1( ==− ff , sin embargo 31 ≠− . Luego f no es inyectiva.

OBSERVACIÓN. Para que una función de la forma ⎩⎨⎧

=2

1)(ff

xf , sea

una función inyectiva es suficiente que se verifique las dos condiciones siguientes:

i) 1f y 2f son inyectivas en sus dominios y ii) φ=∩ )()( 21 fRfR


50

EJEMPLO N°5

Dada la función [⎩⎨⎧

>∈−>∈<−−

=8,6,136,4,24

)(2

xxxxx

xf

Determine si f es inyectiva. Solución i) Inyectividad:

Sea 24)( 21 −−= xxxf , >∈< 6,4x .

Tomemos 2424)()(:6,4, 22 −−=−−⇒=>∈< bbaabfafba 0)4)(( =−+−⇒ baba Pero 844 <−+< ba , entonces .ba = Por lo tanto 1f es inyectiva. Claramente 13)(2 −= xxf es inyectiva.

ii) Como >−=< 10,2)( 1fR y [ >= 23,17)( 2fR se tiene que

φ=∩ )()( 21 fRfR . Por lo tanto f es inyectiva. EJEMPLO N°6 Determine si la función

]

⎩⎨⎧

≥+−−∈<−

=4,26

4,1,12)( 2 xxx

xxxf

Es inyectiva. Solución Llamemos 12)(1 −= xxf y 26)( 2

2 +−= xxxf f es inyectiva 1) fi⇔ y 2f son inyectivas y

ii) φ=∩ )()( 21 fRangfRang Tenemos i) 1f es inyectiva y además ]7,3)( 1 −=<fRang ii) 7)3()( 2

2 −−= xxf , 4≥x


51

Sean 7)3(7)3()()( 22 −−=−−⇔= babfaf ba =⇔ ∨ 6=+ ba

Como a y b pertenecen al dominio de la función se tiene que 8≥+ ba . Por lo tanto se debe verificar solamente ba = Luego 2f es inyectiva y además [ >+∞−= ,6)( 2fRang Tenemos que 1f y 2f son inyectivas y φ≠∩ )()( 21 fRangfRang , esto nos indica que la función f no es inyectiva.

2.3.2 FUNCIÓN SOBREYECTIVA

DEFINICIÓN DE APLICACIÓN Sean A y B dos conjuntos de números reales y sea BAf →: una función de A en B. Diremos que f es una aplicación de A en B , si AfDom =)( . DEFINICIÓN (Función Sobreyectiva).- Sean A y B dos conjuntos de números reales, y sea BAf →: una aplicación de A en B. Diremos que f es sobreyectiva

)()(, xffDomxBy =∈∃∈∀⇔ En otras palabras: f es sobreyectiva BfR =⇔ )( INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA f es sobreyectiva ⇔ toda recta paralela L al Eje X corta al grafico de f .

Es decir, ( )gra f L φ∩ ≠ .


52

EJEMPLO N°8 La función >−>→<−< 17,45,2:f definida por 23)( += xxf ¿Es sobreyectiva? Solución Como 525,2 <<−>⇔−∈< xx 1536 <<−⇔ x 17234 <−<−⇔ x >−=<⇔ 17,4)( fR Por lo tanto f es sobreyectiva. DEFINICIÓN.- Se dice que una función BAf →: es biyectiva si y solamente si es inyectiva y sobreyectiva.

EJEMPLO N°9

Dada la función 5 1

: 1,5 ,4 8

f < > →< − − > definida por 9

)(−

=x

xxf ,

verificar que es biyectiva.. Solución

i) f es inyectiva. Sean 99

)()(:)(,−

=−

⇒=∈b

ba

abfaffDomba

)9()9( −=−⇒ abba ba =⇒ . Luego f es inyectiva ii) f sobreyectiva.

Se tiene 9

91)(−

+=x

xf , como 515,1 <<>⇔∈< xx

498 −<−<−⇔ x

89

99

49

−<−

<−⇔x


53

⇔ 81

991

45

−<−

+<−x

Luego f es sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva.

DEFINICIÓN.- Dada una función biyectiva BAf →: , se llama Función Inversa de f a la función ABf →− :1 y definida de la siguiente manera: a cada Bb ∈ se le hace corresponder el único elemento

Aa ∈ tal que baf =)( y que satisface las condiciones siguientes:

i) xxff =− ))(( 1 , Ax ∈∀ ii) yyff =− ))(( 1 , By ∈∀

OBSERVACIÓN i) )()( 1 fRfDom =− ii) )()( 1 fDomfR =− EJEMPLO N°9

Dada la función >−−>→<<81,

455,1:f definida por

9)(

−=

xxxf .

Determine la inversa si existe. Solución Vemos que dicha función es biyectiva, por lo tanto posee inversa 1−f

esta es 1

9)(1

−=−

xxxf

EJERCICIOS

1.- Analizar si las siguientes funciones son inyectivas

a) 53)( −= xxf >∈< 5,2x d) [⎩⎨⎧

>−>∈<−

=6,44

4,2,42)( 2x

xxxf

b) 342)( 2 +−= xxxf , [ >−∈ 3,2x e) ]

[⎩⎨⎧

>−−∈<−

=7,33

2,1,42)(

xxx

xf

c) 36)( 2 +−−= xxxf , ]5,3∈<x f) 562)( +−= xxf , [ >∈ 5,3x


54

2.- Determine la inversa de las siguientes funciones si existe

a) 243)( 2 −−= xxxf , >∈< 5,2x c) ][⎩⎨⎧

∈+−>∈<−

=5,3,533,1,12

)(xx

xxxf

b) 54)( −= xxf , ][ 6,2∈x d) [ )⎩⎨⎧

>∈<−∈−

=9,6,236,4,4)(

xxxxxf

3.- Determine si las siguientes funciones dadas son inyectivas:

a) Dada la función f definida por: f(x) = ⎪⎩

⎪⎨⎧

≤−+

<−−

3,32

3,32

xx

xx

determine si la función f es inyectiva.

b) Demostrar que f es inyectiva donde: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥+

<−−

2,6

2,782)(

2

xx

x

xxxxf

c) Sea f . A → <–4,1], definida por: xxxf

210310)(

++

=

a) Determinar A. b) Mostrar que f es inyectiva. c) ¿f es sobreyectiva?

4.- Determine si las siguientes funciones son inyectivas:

a) 0,49)( 2

2≥

−

−= x

xxxf

b) >−−∞∈<−= 2,,4)( 2 xxxf

c) ]1,2[,2 2 −∈−− xxx EJERCICIOS RESUELTOS 1. Determine si la función f : N → N definida por f(x) = 2x es inyectiva. Solución Sean a,b ∈ N tales que f (a) = f(b). Esto sigue que:

2a = 2b ⇒ a = b De modo que f es inyectiva.


55

Además f no es sobreyectiva, Pues los elementos del codominio(conjunto de llegada) que son impares carecen de antecedente en N. Resultando que f no es biyectiva.

2. Si consideramos como codominio el conjunto P de los números naturales

pares y f : N —> P talque f(x) = 2x, determine si f es sobreyectiva. Solución Ahora se puede demostrar que f es sobreyectiva, en efecto

Dado b ∈ P existe a = 2b

∈ N tal que f(a) = 2a = 2(2b ) = b

Siendo f inyectiva y sobreyectiva resulta biyectiva. 3. Se lanza una moneda tres veces. Los posibles resultados de este

experimento aleatorio son todas las ternas formadas por "caras" y "sellos", o bien por “unos" y "ceros", y son las siguientes: A = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (0,0,0)}

El conjunto A de todos los elementos, se llama espacio muestral asociado

al experimento. Definamos ahora la función de A en R, que asigna a cada elemento la

diferencia entre el número de caras y el número de sellos. Determine si la función:

(i) es inyectiva (ii) es sobreyectiva cuya representación esta dada por:

Figura 5


56

Solución (i) No es inyectiva, pues a 1 le corresponde la imagen de los elementos

(1,0,1) y (0,1,1) ' (ii) No es sobreyectiva, pues el elemento 2 del codominio no es imagen

de ningún elemento del dominio. EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Dada la función f(x) = 2x — 1, determine el valor de E = 4f(2)–5f(–2)f(3) 2. Dada la función f(x) = 2x2 + 5x — 3, determine el valor de

)2()1(3)0(2)1()2(

fffffE −+−−

=

3. Hallar los valores de a y b si f(x) = ax2 + bx + 5, si f(x + 1) = f(x) + 8x + 1 4. Si f(x) = ax + b, f (2) = 7 , f(3) = 12. Calcular f (–4)f(l). 5. En A = {1,2,3,4} se definen las funciones f = {(1,1), (2,3), (4,2), (3,3),

(4,m)} y g(x) = mx2 + bx + c. Si f (1) = g(l), f(2) = 4. Hallar Rang(g). 6. En cada caso determinar a y b para que f y g sean funciones y determinarla

completamente: f = {(1,8), (2, –3), (1, a2 + b2), (–1, a + b), (a2 + b, a), (b + a2, b)}

g = {(4, 3), (–5, –3), (4, a2 – b2), (–5, a + b), (a2 + b, a), (a2 + b2, b)} 7. Explique porque la gráfica de la ecuación x2 + y2 = 4 no es la gráfica de

una función. 8. Se desea construir una caja sin tapa a partir de una hoja de cartón

rectángular que tiene dimensiones 20cm x 30cm. Para ello se recortaron cuatro cuadrados idénticos de área x2, uno en cada esquina y se doblaron hacia arriba los lados resultantes. Exprese el volumen V de la caja como una función de x.

9. Un cilindro circular recto de radio r y altura h esta inscrito en cono circular de altura 12cm y radio de la base 4cm

(a) Exprese h como una función de r.(sug.: use triángulos semejantes) (b) Exprese el volumen V del cilindro como una función de r 10. Un hombre se encuentra en un bote a 2 millas del punto más cercano A de

la costa, que es recta, y desea llegar a una casa que se encuentra en el punto B de la citada costa, a 6 millas de A. El hombre piensa remar hasta un punto P entre A y B que se encuentran a x millas de la casa y luego caminar el resto. Suponiendo que puede remar a una velocidad de 3mi/h y caminar a 5mi/h, exprese el tiempo total T que le tomara llegar a la casa, como una función de x.

11. Una caja cerrada con una base cuadrada debe tener un volumen de 250cm3. El material para la base y la tapa cuesta s/3 por cm2 y el material para los lados cuesta s/2 por cm2. Expresar el costo de construcción de la caja como una función de la longitud de su base.


57

CAPÍTULO III

LÍMITES DE FUNCIONES 3.1. DEFINICIÓN INFORMAL DE LÍMITE: Sea x0∈I = <a,b> en un

intervalo abierto y sea f una función definida en todo el intervalo excepto posiblemente en x0 y L un número real. Entonces:

Lxf

xx=

→)(lim

0

significa que )(xf puede acercarse arbitrariamente a L si x se elige suficientemente cercano a x0 (pero x≠x0).

La frase )(xf puede acercarse arbitrariamente a L que se tiene en la definición, significa que Lxf −)( se puede hacer tan pequeño como se quiera escogiendo x lo suficientemente cercano a x0 (pero x≠x0). Por ejemplo, tomando valores de x lo suficientemente cercanos a x0 (con x≠x0) se puede hacer que 0001.0)( <− Lxf , o bien

00001.0)( <− Lxf , etcétera.

En la sección siguiente se demostrara que:

1lim0

=→ x

senxx

en donde x denota un número real que es el valor en radianes de un Angulo. Con una calculadora se puede obtener la siguiente tabla que ilustra este importante resultado.

x x

sex

1.0± 01.0± 001.0± 0001.0± 00001.0± 000001.0±

0.9983341660999983333 0.9999998330.9999999951 1


58

Aunque una calculadora puede usarse para tener una idea del valor de un límite, no sirve para demostrar que el límite existe. Es necesario contar con una teoría matemática precisa de los límites que no dependa de instrumentos mecánicos o de conjeturas. La gráfica de la función f en la figura 1 muestra un caso en el que

0

lim ( )x x

f x L→

= . En ella no hace falta ubicar un punto correspondiente a

0x x= porque al tomar el limite el valor de 0( )f x no tiene ninguna importancia.

Figura 1

EJEMPLO N°1

Sea 3

9)(−−

=x

xxf

a) Calcular )(lim9

xfx→

b) Trazar la gráfica de f y comprobar gráficamente el límite en la parte (a)

Solución a) Notemos que el número 9 no está en el dominio de f , ya que al

sustituir x por 9 se llega a la expresión 00

que no tiene sentido.

Para evaluar el límite cambiamos la forma de )(xf racionalizando como sigue:


59

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

•−−

=−−

=→→→ 3

33

9lim3

9lim)(lim999 x

xx

xx

xxfxxx

=

9)3)(9(

lim9 −

+−→ x

xxx

Por la definición 1, para calcular el limite de )(xf cuando 9→x , podemos suponer que 9≠x . Por lo tanto, 09 ≠−x y es posible dividir el numerador y el denominador por 9−x ; es decir, podemos cancelar la expresión 9−x . Esto da

639)3(lim)(lim

99=+=+=

→→xxf

xx

b) Al racionalizar )(xf como en la parte (a), vemos que la gráfica de f es la misma que la de la función 3+= xy , excepto en el

punto (9,6). El hecho de que (9,6) no esta en la gráfica de f se ilustra con un pequeño círculo claro en la Figura 2. Cuando x se acerca a 9, la ordenada )(xf en la gráfica de f se acerca al número 6. Nótese que )(xf nunca toma el valor 6, sin embargo, se puede hacer tan cercano a 6 como se desee escogiendo x suficientemente cerca de 9.

Figura 2


60

EJEMPLO N°2

Calcular )(lim2

xfx→

, si 675252)( 2

2

−−+−

=xxxxxf

Solución El número 2 no está en el dominio de f por que al sustituir x por 2 se obtiene la expresión sin sentido 0

0 . Factorizando el numerador y el denominador,

.)35)(2()12)(2()(

+−−−

=xxxxxf

En este paso no puede cancelarse el factor 2−x , sin embargo, al tomar el limite de )(xf cuando 2→x si se puede cancelar ya que según la definición 1, 2≠x y entonces 02 ≠−x . Por lo tanto,

133

3512lim

)35)(2()12)(2(lim

675252lim)(lim

222

2

22=

+−

=+−−−

=−−+−

=→→→→ x

xxxxx

xxxxxf

xxxx

La función racional f definida por 1

( )f xx

= proporciona un ejemplo en

el que el limite no existe cuando x tiende a 0. Consultando la gráfica de f en la Figura 3 se capta que al dar a x valores cercanos a 0 (con

0≠x ), )(xf no esta acotado; es decir, crece sin frontera.

Figura 3


61

3.2 DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITE DEFINICIÓN 2.- Sea a un punto de un intervalo abierto I= <a,b>, sea

f una función definida en todo el intervalo excepto posiblemente en x0 y sea L un número real. Entonces:

0

lim ( )x x

f x L→

=

significa que para todo 0>ε existe un 0>δ tal que

si 0( ) 0x Dom f x x δ∈ ∧ < − < , entonces ε<− Lxf )( EJEMPLO

Comprobar que 27)12(

21lim

4=−

→x

x

Solución Tenemos, las siguientes desigualdades son equivalentes: <∈−− 2

721 )12( x εεε <−⇔<−⇔<−−⇔ 42827)12(2

1 xxx De la última desigualdad, tomando εδ 3

2= , obtenemos:

Si δ<−< 40 x , entonces se satisface <∈−− 27

21 )12( x .

Luego, por la definición de limite se tiene que 27)12(

21lim

4=−

→x

x.

TEOREMA: Si Lxf

ax=

→)(lim y 0>L , existe entonces un intervalo

abierto 0 0,x xδ δ< − + > que contiene a 0x , tal que 0)( >xf para todo x en 0 0,x xδ δ< − + > , excepto posiblemente en 0x x= .

DEMOSTRACIÓN Tomemos L2

1=ε ( 0>L ), entonces el intervalo >+−< εε LL , contiene solamente números positivos, luego por la definición de limite, existe un

0>δ tal que si x esta en el intervalo abierto 0 0,x xδ δ< − + > y

0x x≠ , entonces )(xf esta en >+−< εε LL , y, por lo tanto, .0)( >xf


62

TEOREMA (UNICIDAD DE LÍMITE) El límite de una función, cuando existe, es único, es decir,

si

01lim ( )

x xf x L

→= y

02lim ( )

x xf x L

→= , entonces 21 LL = .

DEMOSTRACIÓN. Ejercicio TEOREMA (TEOREMA DEL SÁNDWICH O DE ENCAJE) Sean

f , g y h funciones tales que: a) )()()( xhxgxf ≤≤ , >+−∈<∀ rarax , con ax ≠ (r>0) b)

0 0

lim ( ) lim ( )x x x x

f x h x L→ →

= = .

Entonces

0

lim ( )x x

g x L→

=

DEMOSTRACIÓN. Ejercicio TEOREMA. Sean f y g dos funciones tales que a)

0

lim ( ) 0x x

f x→

=

b) 0>∃M tal que Mxg <)( , 0 0,x x r x r∀ ∈< − + > con 0x x≠ ( 0>r ).

Entonces 0

lim ( ) ( ) 0x x

f x g x→

=

DEMOSTRACIÓN

Sea 0>ε , de la hipótesis de (a) y (b), existe un intervalo abierto

0 0,x xδ δ< − + > con r≤< δ0 tal que, 0 0,x x xδ δ∀ ∈< − + > con

0x x≠ , se tiene M

xf ε<)( ; también se verifica:

εε=<<= M

MMxfxgxfxgxf )()()()()(

Es decir, 00 ( ) ( )x x f x g xδ ε< − < ⇒ < Esto nos indica que

0

lim ( ) ( ) 0x x

f x g x→

= .


63

3.3 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES TEOREMA. Sean f y g funciones tales que

0

lim ( )x x

f x L→

= y 0

lim ( )x x

g x M→

= . Entonces

1.-

0

limx x

c c→

= , c constante

2.- 0 0


cf x c f x→ →

= , c constante

3.- [ ]0

lim ( ) ( )x x

f x g x L M→

± = ±

4.- [ ]0

lim ( ) ( )x x

f x g x LM→

=

5.- 0

( )lim

( )x x

f x Lg x M→

= , si 0≠M

DEMOSTRACIÓN. Ejercicio TEOREMA Si

0

lim ( )x x

f x L→

= y n es cualquier entero positivo, entonces:

[ ] [ ]0 0 0

lim ( ) lim ( ) lim ( )n

n nn

x x x x x xf x L f x f x

→ → →

⎡ ⎤= ⇔ = ⎢ ⎥⎣ ⎦

EJEMPLO Como 4)23(lim

2=−

→x

x, se tiene que 644)23(lim 33

2==−

→x

x

TEOREMA Si n es un entero positivo y Lxf

ax=

→)(lim , entonces:

0 0 0

lim ( ) lim ( ) lim ( )nn n nx x x x x x

f x L f x f x→ → →

= ⇔ =

con la restricción de que si n es par, 0>L .


64

EJEMPLO. Determine 3 2 3

lim22 5

x x

x x

+ +

→ +

Solución

Del teorema 3 3

2 22 2

2 3 2 3 8 4 3 15lim lim

5 5 4 5 3x x

x x x xx x→ →

+ + + + + += = =

+ + +

EJEMPLO. Hallar 2

21

3 17 20lim

4 25 21x

x xx x→

+ −− +

Solución Claramente al determinar este limite se tiene 0

0 una indeterminación, Como 1 es raíz del numerador y del denominador, se pueden factorizar obteniéndose

1 1

( 1)(3 20) 3 20 23lim lim

( 1)(4 21) 4 21 17x x

x x xx x x→ →

− + += = −

− − −

Observación. Las formas indeterminadas son:

00

, ∞∞

, ∞−∞ , ∞.0 , 00 , ∞1 y 0)(∞

si en el cálculo del límite aparecen alguna de estas formas, se deben resolver estos límites usando artificios de tal manera que se puedan levantar la indeterminación.

EJEMPLO. Hallar el límite (si existe) 2 2

23

2 6 2 6lim

4 3x

x x x xx x→

− + − + −− +

Solución

Evaluando se tiene; 2 2

23

2 6 2 6 0lim

4 3 0x

x x x xx x→

− + − + −=

− + (indeterminado)

Para levantar la indeterminación sumamos y restamos 3 en el numerador

2 2

23

2 6 2 6lim

4 3x

x x x xx x→

− + − + −=

− +

2 2

23

( 2 6 3) (3 2 6)lim

4 3x

x x x xx x→

− + − + − + −− +


65

factor a eliminar (x-3):

=

2 2

2 2

23

2 3 2 15

2 6 3 3 2 6lim4 3x

x x x xx x x x

x x→

− − + −−

− + + + + −− +

= 2 2

3

( 3)( 1) ( 3)( 5)

2 6 3 3 2 6lim( 3)( 1)x

x x x xx x x x

x x→

− + − +−

− + + + + −− −

= 2 2

3

( 1) ( 5)

2 6 3 3 2 6lim( 1)x

x xx x x x

x→

+ +−

− + + + + −−

=

4 816 6

2 3

−= −

EJEMPLO. Determine 3

41

1lim

1x

xx→

−

−

Solución

Tenemos 3

41

1lim

1x

xx→

−

−=

00

(indeterminado)

Hacemos el cambio: MCM(3,4)⇒x=y12 de aquí 12

1 1x y

si x y⎧ = ⇒⎨

→ ⇒ →⎩

Luego

43

341 1

1 1 0lim lim

1 01x y

x yyx→ →

− −= =

−− (indeterminado)

factor a eliminar )1( −y ;

4 2 23

3 2 241 1 1 1

1 1 ( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1) 4lim lim lim lim

1 ( 1)( 1) 1 31x y y y

x y y y y y yy y y y y yx→ → → →

− − − + + + += = = =

− − + + + +−


66

3.4 LÍMITES LATERALES

LÍMITE POR LA IZQUIERDA: Sea f una función definida en un intervalo abierto >< ba, . Entonces

01lim ( )

x xf x L

→=

significa que )(xf puede acercarse arbitrariamente a 1L escogiendo x suficientemente cerca de 0x , con x< 0x LÍMITE POR LA DERECHA: Sea f una función definida en un intervalo abierto < 0x ,c>. Entonces

02lim ( )

x xf x L

+→=

significa que )(xf puede acercarse arbitrariamente a 2L escogiendo x suficientemente cerca de 0x con x> 0x Damos a continuación algunas gráficas de los límites laterales. En la figura 4, x tiende a 0x por la izquierda. En la figura 5, x tiende a 0x por la derecha.

Fig.4 Fig.5

Limite por la izquierda:

0

lim ( )x x

f x−→

Limite por la derecha: 0

lim ( )x x

f x+→


67

TEOREMA: Sea x0 un punto contenido en un intervalo abierto y f una función definida en todo el intervalo, excepto posiblemente en x0. Entonces

0

lim ( )x x

f x L→

= si y solo si 0 0


f x f x L− +→ →

= = .

EJEMPLO N°3

Dado ( )x

f xx

= . Calcular )(lim0

xfx −→

, )(lim0

xfx +→

y )(lim0

xfx→

.

Solución

Si 0>x , entonces x x= y ( )xf xx

= =1. Por lo tanto:

11lim)(lim00

==++ →→ xx

xf .

Si 0<x , entonces xx −= y ( ) 1xf xx

= − = − . Por tanto,

1)1(lim)(lim00

−=−=−− →→ xx

xf .

Como los límites por la derecha y por la izquierda no son iguales, del Teorema se deduce que )(lim

0xf

x→ no existe.

EJEMPLO N°4 Sea f la función definida por

⎩⎨⎧

>+<−

=1,11,2

)( 2 xxxx

xf

Evaluar )(lim

1xf

x −→, )(lim

1xf

x +→, )(lim

1xf

x→.

Solución Claramente, 1)2(lim)(lim

11=−=

−− →→xxf

xx

2)1(lim)(lim 2

11=+=

++ →→xxf

xx

Como los límites por la derecha y por la izquierda no son iguales, por el Teorema, )(lim

1xf

x→ no existe.


68

EJEMPLO. Determinar si existe

2

6

3lim2 10x

xx

x→

−

+

Solución Analicemos sus límites laterales:

i) Para 6<x : 2 13 3x x< ⇒ = y 2 12 2 11x x< ⇒ =

Por lo tanto;

22

6 6

1 353lim lim2 10 11 10 21x x

xxx

x− −→ →

−−

= =+ +

.

ii) Para :6>x 2 23 3x x> ⇒ = y 2 12 2 12x x> ⇒ =

Por lo tanto;

22

6 6

2 34 173lim lim2 10 12 10 22 11x x

xxx

x+ +→ →

−−

= = =+ +

Como los límites laterales no son iguales, se tiene que no existe dicho

límite. EJERCICIOS A. Determine (si existen) los siguientes límites:

1. ( )2

3 3

1limx a

x a x ax a−→

− + +

2. 2012128lim 23

23

2 +−−

+−−→ xxx

xxxx

3. 93596lim 23

23

3 ++−

−+→ xxx

xxxx


69

4. 1212lim 50

100

1 +−

+−→ xx

xxx

5. 2

2

0

11limxx

x

−+→

6. 34

6262lim 2

22

3 +−

−+−+−→ xx

xxxxx

7. 74163lim

2 −−

−→ x

xx

8. 47

3lim23 −+

+−→ x

xx

9. 1111lim

30 −+

−+→ x

xx

10. 24lim

416 −

−→ x

xx

11. 11lim

4

3

1 −

−→ x

xx

12. xxx

x −

−→ 2

3

1

1lim

13. 12lim

3

1 −−+

→ xxx

x

14. 122lim

3

1 −−+

→ xxx

x

15. 1232lim

4 −−

−→ x

xx

16. 2166lim

2

3 −+

+−−→ x

xxx


70

17. 133547213lim

1 +−++

+−++→ xxx

xxxx

18. 330 11

11limxxxx

x −−+

−−+→

19. 3625420173lim 2

2

4 +−

+−→ xx

xxx

20. 633842lim 2

23

2 −+

+−−→ xx

xxxx

21. 341343252lim 23

23

1 −+−

−−−→ xxx

xxxx

22. ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

+−−

−→ 2522

632lim 22 xxxx

23. 231335lim

3

1 +−

+−+→ xx

xxx

24. 1

232lim

3

1 −−+−

→ xxxx

x

25. ( )2

23 2

8 884lim

−

+−→ x

xxx

26. 482lim

33

4 −−+−

→ xxxx

x

B. Determine los siguientes límites:

1. )(lim),(lim

41xfxf

xx →→ , donde: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−<<

<=

4,441,

1,)(

2

xxxx

xxxf


71

2. Determine 2

lim ( )x

f x→

. Donde

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=>−−

<−

=2,6

2,32

2,6

)( 2

2

xxxx

xxx

xf

3. Si ( )2

2 1/ 2

, 0( )

2 , 0

bx ab xf x

x b b x

⎧ + ≥⎪= ⎨+ − <⎪⎩

C. Determine a y b para que: 1)1()0()(lim0

−==→

fyfxfx

4. )(lim3

xfx→

. Donde ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥+

−+

<−

+−+

=

3,2

11

3,3

652

)(

23

xx

x

xx

xxx

xf

5. x

xxx

−+→

||lim0

6. 2

|1|2lim3 −

−−→ x

xxx

7. 2

2lim( 2 ) 1x

x x x→

+ −

8. 2

3lim(2 5)x

x x→−

−

9. 5/ 2

lim | | 3x

x x→

+

10. 2

21

1 2lim

2 2 1x

x x

x x→

− +

+ +

11. 23

2 3 1lim

2 1 2x

x xx→

+ +

− +

12. 22

2 3 1lim

2 1 2x

x xx→ −

+ +

− +


72

13. 2

3

3 12lim

3x

x xx−→

+−

D. Calcular si existe )(lim2

xfx +−→

donde:

1, 9 2

( )3 8

3 , 2 7| |

x xsi x

x xf x xx x

si xx x

⎧ − −− ≤ < −⎪

−⎪⎪= ⎨− −⎪

⎪ − ≤ <⎪ −⎩

E. Sea f(x) = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

<+≤<−

<++

2,121,

1,12

xxxbax

xbxax

Hallar los valores de a y b para que existe los limites de f(x) en los puntos

x = 1 y x = 2.

F. Determine el siguiente límite: 3

36 5 36 5lim

10 10x

x x→ +

− +⋅

3.5 LIMITES AL INFINITO DEFINICIÓN.- Sea ℜ>→+∞< ,: af , una función y ℜ∈L , se dice

que L es el límite de )(xf cuando x tiende para ∞+ , el cual denotamos como )(lim xfL

x +∞→= , si y solo si, dado ,0>ε 0>∃N /

ε<−⇒> LxfNx )( DEFINICIÓN. Sea ℜ>→−∞< af ,: , una función y ℜ∈L , se dice que

L es el límite de )(xf cuando x tiende para ∞− , el cual denotamos como )(lim xfL

x −∞→= , si y solo si, dado ,0>ε 0<∃N /

ε<−⇒< LxfNx )(


73

PROPIEDAD. Si n es un entero positivo cualquiera, entonces:

i) 01lim =+∞→ nx x

ii) 01lim =−∞→ nx x

PROPIEDAD. Se cumplen las mismas que las del teorema de las

operaciones con límites.

EJEMPLO. Determine 375634lim 2

2

−++−

+∞→ xxxx

x

Solución Dividiendo numerador y denominador por 2x , se tiene:

=−++−

+∞→ 375634lim 2

2

xxxx

x

54

375

634lim

2

2=

−+

+−

+∞→

xx

xxx

Observación: i) si 2xxx =⇒+∞→ ii) si 2xxx −=⇒−∞→

EJEMPLO. Determine 53

353lim2

−−−

−∞→ xxx

x

Solución Dividiendo numerador y denominador por 2xx −= , tenemos:

53353lim

2

−−−

−∞→ xxx

x=

33

53

353lim

2=

−

−−−

−∞→

x

xxx


74

EJEMPLO. Hallar las constantes a y b para que

0)11(lim

2

=−−++

+∞→bax

xx

x

Solución

Tenemos 0)1

1)()1((lim2

=+

−++−−+∞→ x

bxbaxax

,

Luego analizando este límite para que sea igual a cero cuando +∞→x ,

se tiene que:

∞

=k0 , k=constante; esto es posible solo cuando los coeficientes de 2x y

de x sean ceros, es decir: 01 =− a y 0)( =+− ba ⇔ 1=a y 1−=b . LÍMITES INFINITOS Sea f una función definida en un intervalo abierto I que contiene al

número x0, x0 puede o no estar en el dominio de f . DEFINICIÓN. Se dice que el limite de )(xf es ∞+ cuando x tiende al

punto x0, y se escribe +∞=→

)(lim xfax

, si dado 0>k 0>∃δ tal que

00 ( )x x f x kδ< − < ⇒ >

(figura 6)


75

DEFINICIÓN. Se dice que le limite de )(xf es ∞− cuando x tiende al punto x0, y se escribe −∞=

→)(lim xf

ax, si dado 0>k 0>∃δ tal que

00 ( )x x f x kδ< − < ⇒ < −

(figura 7)

PROPOSICIÓN. Si n es un entero positivo, entonces:

i) +∞=+→ nx x

1lim0

ii) ⎩⎨⎧

∞−∞+

=−→ imparesn

paresn

xnx ,

,1lim0

PROPOSICIÓN. Sea a un número real y

0

lim ( ) 0x x

f x→

= , 0

lim ( ) ,x x

g x c→

=

0≠c . Entonces:

i) Si 0>c y 0)( →xf a través de valores positivos de )(xf ,

entonces 0

( )lim

( )x x

g xf x→

= +∞

ii) Si 0>c y 0)( →xf a través de valores negativos de )(xf ,

entonces 0

( )lim

( )x x

g xf x→

= −∞


76

iii) Si 0<c y 0)( →xf a través de valores positivos de )(xf ,

entonces 0

( )lim

( )x x

g xf x→

= −∞

iv) Si 0<c y 0)( →xf a través de valores negativos de )(xf ,

entonces 0

( )lim

( )x x

g xf x→

= +∞

EJEMPLO. Determine 6673lim 2

2

2 −++−

−→ xxxx

x

Solución

Tenemos =−++−

−→ 6673lim 2

2

2 xxxx

x −∞==

−++−

−→ − 04

)2)(3(673lim

2

2 xxxx

x

3.6 ASÍNTOTAS DEFINICIÓN. Si la distancia d entre una recta L y el punto A que se

mueve a lo largo de una curva tiende a cero, cuando el punto A tiende al infinito, la recta L es llamada asíntota de la curva; es decir, si

0),(lim =+∞→

LAdA

(Fig. 8)

PROPOSICIÓN. La recta 0x x= es una asíntota vertical de la curva

)(xfy = , si se cumple uno de los siguientes enunciados


77

a)

0

lim ( )x x

f x→

= ±∞ b) 0

lim ( )x x

f x+→

= ±∞ c) 0

lim ( )x x

f x−→

= ±∞

(Fig. 9)

PROPOSICIÓN. La recta ky = es una asíntota horizontal de la curva

)(xfy = si se cumple una de las siguientes condiciones

a) kxfx

=+∞→

)(lim b) kxfx

=−∞→

)(lim

(Fig.10)

PROPOSICIÓN. La recta y m x b= + , 0≠m , es una asíntota oblicua de

la curva )(xfy = si se cumple una de las siguientes condiciones:


78

i) mxxf

x=

+∞→

)(lim y [ ] bmxxfx

=−+∞→

)(lim (llamada asíntota oblicua

derecha. Fig. 11)

fig 11

ii) mxxf

x=

−∞→

)(lim y [ ] bmxxfx

=−−∞→

)(lim (llamada asíntota oblicua

izquierda. Fig. 12)

fig 12

EJEMPLO. Determine las asíntotas de la curva 27

34)( 3

4

−−−

==x

xxxfy

Solución

i) Asíntotas verticales: 3=x , pues


79

−∞=++−

−−−→ )93)(3(

34lim 2

4

3 xxxxx

x y +∞=

++−−−

+→ )93)(3(34lim 2

4

3 xxxxx

x

ii) Asíntotas Horizontales: no existe, pues

±∞=−

−−=

−−−

±∞→±∞→

3

32

3

4

271

34

lim27

34lim

x

xxx

xxx

xx

iii) Asíntotas Oblicuas

a) Derecha: 1)27(34lim)(lim 3

4

=−−−

==+∞→+∞→ xx

xxxxfm

xx y

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−−

=−=+∞→+∞→

xx

xxmxxfbxx 27

34lim)(lim 3

4

= 027

331lim 3 =−−−

+∞→ xx

x

por lo tanto xyL =:

De manera se determina que la asíntota oblicua izquierda es xyL =: 3.7 FUNCIONES CONTINUAS DEFINICIÓN. Una función f : R→R es continua en un número x0 si

se satisface las tres condiciones siguientes:

(i) f está definida en un intervalo abierto que contiene a x0 (ii)

0

lim ( )x x

f x→

existe

(iii) 0

0lim ( ) (x )x x

f x f→

=

Si f no es continua en x0 entonces se dice que es discontinua en x0 o

que tiene una discontinuidad en x0


80

EJEMPLO a) Demostrar que un polinomio es una función continua en todo

número real x0 b) Demostrar que una función racional es continua en todos los

números reales de su dominio. Solución

a) Un polinomio f esta definido en todo ℜ y además

00lim ( ) ( )

x xf x f x

→= para todo número real .a Entonces f satisface

las condiciones (i)-(iii) de la Definición de continuidad y, por lo tanto, es una función continua en x0.

b) Si q es una función racional, entonces h

fq = , donde f y h son polinomios. Por lo tanto q esta definida en todos los números reales excepto en los ceros de h . Resulta que si 0( ) 0h x ≠ , entonces q esta definida en un intervalo abierto que contiene a x0. Además, se sabe que

00lim ( ) ( )

x xq x q x

→= . Luego de la definición de continuidad

se sigue que q es continua en x0. En la figura 13 aparecen las gráficas de varias funciones que no son continuas en el número real x0 y se indican los nombres que se dan a tales discontinuidades.


81

Fig 13

DEFINICIÓN. Sea f una función definida en un intervalo cerrado [ ]ba, . La función f es continua en [ ]ba, si lo es en >< ba, y además

)()(lim afxf

ax=

+→ y )()(lim bfxf

bx=

−→

Si una función f tiene un limite por la derecha o por la izquierda como

los que aparecen en la Definición anterior, se dice que f es continua en a por la derecha o que f es continua en b por la izquierda, respectivamente.

EJEMPLO. Sea 24)( xxf −= . Trazar la gráfica de f y demostrar

que es continua en el intervalo cerrado [ ]2,2−


82

Solución Claramente f es continua en el intervalo abierto >−< 2,2 y además

0)(lim)(lim22

==++ →−→

xfxfxx

.

Tiene como gráfica la parte superior de la circunferencia de centro el

origen de coordenadas y radio 2.

(Fig.14) TEOREMA. Si las funciones f y g son continuas en a , entonces

también lo son la suma gf + , la diferencia gf − , el producto gf . y, si

0)( ≠ag , el cociente gf

TEOREMA. Si f y g son funciones tales que

0

lim ( )x x

g x b→

= , y f es

continua en b , entonces:

0 0

lim ( ( )) ( ) (lim ( ))x x x x

f g x f b f g x→ →

= =

TEOREMA. Si g es continua en a y f es continua en )(agb = ,

entonces

0 00lim ( ( )) (lim ( )) ( ( ))

x x x xf g x f g x f g x

→ →= =

EJEMPLO. Sea ( )f x x= . Probar que f es continua en todo número

real x0.


83

Solución Como 2xx = , se tiene que

0 0 0 0

2 2 2lim ( ) lim lim lim ( )x x x x x x x x

f x x x x a a f a→ → → →

= = = = = =

TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO Si f es continua en un

intervalo cerrado [ ]ba, , y w es cualquier número entre )(af y )(bf , entonces existe al menos un número c en [ ]ba, tal que wcf =)( .

EJEMPLO Verificar el Teorema del Valor Intermedio para

1)( += xxf en el intervalo [ ]24,3 . Solución La función f es continua en [ ]24,3 . Como 2)3( =f y 5)24( =f , si w

es cualquier número real entre 2 y 5, debe encontrarse un número c en el intervalo [ ]24,3 tal que wcf =)( , es decir, wc =+1 . Elevando al cuadrado y despejando c obtenemos 12 −= wc . Este número c esta en el intervalo [ ]24,3 , pues si 52 << w , entonces:

2413 2 <−< w .

Para verificar nuestro resultado escribimos:

.1)1()1()( 22 wwwfcf =+−=−=


84

3.8 LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS

TEOREMA: 1lim0

=→ t

sentt

DEMOSTRACIÓN:

Supongamos primero que π2

10 << t De la figura adjunta, se muestra la circunferencia unitaria 122 =+ yx Y el sector sombreado BOP, donde B es el punto (1,0) y P es el punto ),(cos sentt . El área de un sector circular de radio r y ángulo central medida en radianes t , esta dominada por

tr 221 ; así, si S unidades cuadradas representa el área del sector BOP,

tS 2

1= (1) Consideremos ahora el triángulo BOP y Sea 1K unidades cuadradas el área de dicho triangulo. De esto:

sentsentOBAPK 21

21

21

1 )1)((. === (2) La recta que pasa por los puntos )0,0(O y ),(cos senttP tiene pendiente

( )(cos )sent

t; por lo tanto, su ecuación es:


85

xt

sentycos

=

Esta línea corta a la recta 1=x en el punto ),1( cos t

sent , que en la figura es el punto T.

Si 2K unidades cuadradas es el área del triángulo rectángulo BOT,

12 2

1 1. 0 .1

2 cos 2 cossent sentK BT B

t t= = = (3)

Claramente de nuestra figura observamos que:

21 KSK << (4) Al sustituir (1), (2), (3) en la desigualdad (4),

1 1 12 2 2 cos

sentsent tt

< <

De la multiplicación de cada miembro de esta desigualdad por sent

2 , lo

cual es positivo por que π210 << t , obtenemos

1

1cos

tsent t

< <

Al tomar el reciproco de cada miembro de esta desigualdad y al invertir

el sentido de los signos de la desigualdad tenemos

1cos <<t

sentt (5)

De la desigualdad de la derecha en lo anterior,

tsent < (6)

y de la fórmula:


86

21 cos 12 2

t sen t−= (7)

Al sustituir t por t2

1 en la desigualdad (5) y elevar al cuadrado, obtenemos:

2

41

212 ttsen < (8)

Así, de (7) y de (8) concluimos que:

tttt cos2

142

cos1 22

<−⇔<− (9)

De (5) y (9), y como π2

10 << t ,

11 221 <<−

tsentt si π2

10 << t (10)

Si 02

1 <<− tπ entonces π210 <−< t y así, de (10),

1)()(211 2 <

−−

<−−t

tsent si 021 <<− tπ

Pero senttsen −=− )( ; así, lo anterior se puede escribir como

1)((211 2 <<−

ttsent si 02

1 <<− tπ (11)

De (10) y (11) concluimos que:

1)(211 2 <<−

ttsent si ππ 2

121 <<− t y 0≠t (12)

Como 1)1(lim 2

21

0=−

→t

t y 11lim

0=

→t, de (12) y del teorema de restricción

se sigue que:

1lim0

=→ t

sentt


87

EJEMPLO. Determinar si existe

tsentsen

t 53lim

0→

Solución. Claramente el límite es de forma 00

Podemos expresar el límite de la forma

tsentsen

t 53lim

0→=

tt

tsen

tt

tsen

t 5.5

5

3.3

3

lim0→

como t tiende 0 (cero), lo mismo sucede con 3t y 5t. de aquí que:

tsentsen

t 53lim

0→=

53

EJERCICIO: Demuestre que la función seno es continua en 0. Solución Tenemos: i) 0)0( =sen

ii) 0)0).(1(..limlim00

===→→

tt

sentsenttt

iii) )0(lim

0sensent

t=

→

Por lo tanto, la función seno es continua en cero.

EJEMPLO. Calcular 0cos1lim0

=−

→ tt

t

Solución Multiplicando numerador y denominador por tcos1+ y teniendo en

cuenta que: tsent 22cos1 =−


88

Obtenemos:

2 2

0 0 0 0

1 cos 1 cos 1 cos 1 coslim lim . lim lim 0

1 cos 2 2t t t t

t t t t sen tt t t t t→ → → →

− − + −= = = =

+.

EJERCICIOS I. En los siguientes ejercicios, evalué el límite, si existe

1.- x

xsenx

4lim0→

6.- xsenxsen

x 79lim

0→

2.- 2

3

0lim

xxsen

x→ 7.- 5

5

0 42lim

xxsen

x→

3.- x

xx

4cos1lim0

−→

8.- x

xx

212

2

0 cos13lim

−→

4.- xsen

xx 3lim 2

2

0→ 9.-

senxx

x +−

→ 1cos1lim

0

5.- x

xx 4

2cos1lim0

−→

10. ( ) ( )xtgxx 42

2lim π

→−

II. Encuentre el límite si existe de:

1.- xsenxsen

x

)(lim0→

3.- 3

2

0

1limx

senxx→

2.- x

sensenxx

1.lim0→

4.- x

xx

1coslim0→


89

EJERCICIOS DE CONTINUIDAD DE FUNCIONES

1.- Determinar la continuidad de la función en el punto 4=x , donde

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠−

−−=

4,2

4,4

43)(

2

x

xx

xxxf

2.- Dada la función ⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<−≤<−≤<+−

=43,1632,1421,14

)(3

2

xxxxxxx

xf

Determinar si la función es continua en 2=x y 3=x .

3.- Dada la función ⎪⎩

⎪⎨⎧

≥−

<−

−=

8,23

8,2

8)( 3

xx

xx

xxf .Determinar si f es continua en

8=x

4.- Dada

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

≠+−+

=0,

21

0,11)( 2

24 4

x

xx

xxxf . Determinar si f es continua

en 0=x . 5.- Dada ( ) 1g x x x= + − es continua en 1=x ?. 6.- Determinar si la función es continua en el punto indicado. Si es

discontinua indicar el tipo de discontinuidad

21 , 1( ) 1 , 1

1 , 1

x xf x x x

x

⎧ − <⎪= − >⎨⎪ =⎩

, a=1.


90

7.- Dada

3

3 2

2

2

27sgn( 1), 5 0 3

3 3 99

9,0 5 3( ) 2 3

93

43

, 32

x x x xxx x x

x x xf x x x

x

x

⎧ − −− < < ∧ ≠ −⎪

⎪ + + −⎪⎪

−⎪⎪ ≤ < ∧ ≠= ⎨ − −⎪⎪ = −⎪⎪⎪ =⎪⎩

Determinar si f es continua en 3−=x , 0=x , 3=x 8.- Determinar los valores de a y b de modo que la función dada sea continua

en su dominio.

a) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−≤≤−+

−<+=

1,2612,3

2,2)(

xbxxbax

xaxxf

b)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>−

=

<−+−

=

8,72

28,

8,)2(333

)(3

3

xbx

xab

xxa

x

xf

9.- Dada

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

≠+−+

=0,

21

0,11)( 2

24 4

x

xx

xxxf ,

⎪⎩

⎪⎨⎧

=≠+=

−

0,20,41)(

2

xxxxxg

Determine si f+g es continua en 0=x


91

10.- Determine los puntos de continuidad de la función

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥+−+−

<−

−≤−

=

1,1281

1,9

1,)41sgn(

)(

2

2

3

2

xxx

xx

x

xx

xf

11.- Dada la función f definida como

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−<≤+−<+

=4,832

411261,

)( 2

xaxxxax

xbaxxf

Determinar los valores de ay b (enteros) para que la función sea continua en su dominio


92

MISCELÁNEA DE PROBLEMAS DE LÍMITES Y CONTINUIDAD I. Calcular los siguientes límites:

1.- 1212lim

400

600

1 +−+−

→ xxxx

x 2.-

( )233 2

8 84 4lim

−+−

→ xxx

x

3.- 2

4321

1 12)1(lim

xxnxxnnx nnnn

x −−−++ ++++

→ 4.- )

3579

81(lim 3

0 xx

xxx

x xe

−−

+−−

→

5.-

48222lim

3

4 −−+−

→ xxxx

x 6.-

933lim

23 −

−−+→ x

xxx

7.- )1

3(lim 2

43

1 xxxx

x −−++

→ 8.- )

21

(lim4

23

1 −+−+−

→ xxxxx

x

9.- )

1316436312(lim

4 −++++−−+++

→ xxxxxx

x

10.- ))2()2((1lim 12212

0

++

→++−+ nn

xxxx

x, +∈Zn

II. Evaluar los siguientes límites trigonométricos

1.- xsen

xxx 2

3

0

coscoslim −→

2.- )

4

1(lim6

4ππ

−

−

→ x

xtgx

3.- )cos1cos1

3(lim0 xsenxxsenx

xsenx −−−++→

4.- )32

cos1(lim0 xsensenx

xxx +

−+→

5.- )33cos46cos(lim 40 x

xxx

+−→

6.- ))(

(lim 2/30 senxxsenxx

x

−→

7.- )(cos1

)(lim0 senx

senxsenxx −→

8.- )2

()1(lim1

xtgxx

π−

→


93

III. Analizar la existencia de los siguientes límites:

1.- )(lim3

xHx→

, si

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

<+−

=3,

272

3,2

12

)( 2

2

xx

xxxx

xH

2.- 2

21

17lim

3x

xx

x→

+

−

3. )(lim4

xFx→

,

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>+−

<−+

=4,62

4,7

843

)( 2

2

xxxx

xxx

xF

4.- ( )4

lim 4x

x x→

− −

5.- )(lim1

xGx→

,

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<−−−

>−−

=1,

)1(212

1,11

)( 2

3

xx

xx

xxx

xG

6.- 3

1lim 3

2xx x

→

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

7.- ( )5

2

lim 3 4x

x x→

+ +

8.- 2 2

22

2lim

2 ( 2 )x

x x x x

x x→

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟− + −⎝ ⎠

IV. Calcular los siguientes límites

1.- ))1(

1312(lim+−

+−++∞→ xxx

xxxx

2.- )2

1()2

1()1(lim 2

++∞→ xsen

xsen

xsenx

x

3.- 2

1

)(lim xox x

senx→

4.- xbsenxasen

ee xbxa

x −−

→ 0lim

5.-

xx

xx

x xxxx

22

352

)3.()14(.)52(lim++

++

−+

∞→

6- x

xxx )11(lim +−+

∞→


94

7.- 2

0)3(lim +

→

x

x xxsen

8.- )40231

40355764(lim4 2124 24

3 5 21049

−+++++

++++++∞→ xxxx

xxxxx

9.- 1)

1232(lim +

∞→ ++ x

x xx

10.- )

15()

13()

1((21516(lim 36

+++−+

∞→ xxsen

xxsen

xxsenxx

x

πππ

V. Hallar el valor ( es ) de las constantes para que las funciones sean

continuas en sus dominios

1.- ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠+−++

+−++=

1,

1,133547313

)(xM

xxxxxxx

xF

2.-

2 ,2

( ) ,2 2

,2

sen x x

F x A sen x B x

sen x x

π

π π

π

⎧ − ≤ −⎪⎪⎪= − − < <⎨⎪⎪

≥⎪⎩

3.- 6 4

8 6

( ) 7, 3

3 2( ) , 3 0

35 2, 0

2

tg x xx

F x A x B xsen x sen x x

x x

π⎧− < ≤ −⎪ +⎪⎪= + − ≤ ≤⎨

⎪ +⎪ >⎪ +⎩

4.-

2

2

2

3

19 , 39

( ) , 3 34 7

3 81 73 , 3

n x xxT x x

xmx x x

⎧ − ≤ −⎪

−⎪= − < <⎨− +⎪

⎪− − − ≥⎩


95

CAPÍTULO IV

LA DERIVADA El desarrollo del cálculo surgió de cuatro grandes problemas que ocupaban a los matemáticos europeos en el siglo XVII: 1.- El problema de la tangente 2.- El problema de la velocidad y la aceleración 3.- El problema de máximos y mínimos y 4.- El problema de área Cada uno involucra la noción de límite y serviría para introducir el cálculo. 4.1 DEFINICIÓN.- Sea ><= baI , un intervalo abierto, Ix ∈0 ,

→If : R. La derivada de f en 0x denotado por )(' 0xf , se define como

))()(

(lim)('0

00 xx

xfxfxf x

xx −−

=→

si este límite existe. Si )(' 0xf existe

decimos que la función f es derivable en 0x o que f tiene derivada en

0x . Una definición alterna de la derivada de una función en un punto 0x es: Sea 0xxx −=Δ , xxx Δ+= 0 y si 0xx → ⇒ 0→Δx , luego:

))()(

(lim)(' 00

00 xxfxxf

xfx Δ

−Δ+=

→Δ , mas aún si f

es derivable para cualquier Ix∈ , podemos escribir como:

))()(

(lim)('0 x

xfxxfxf

x Δ

−Δ+=

→Δ

EJEMPLO 1.- Dado 43)( xxf = , hallar )(' xf por definición y luego

encontrar: )2('f , )4('f , )2(' −f y )(' 0xf Solución

=Δ

−Δ+=

→Δ)

)()((lim)('

0 xxfxxf

xfx

=Δ

−Δ+→Δ

)3)(3(lim44

0 xxxx

x


96

=Δ

−Δ+Δ+Δ+Δ+→Δ

)3))()(4)(64(3(lim4432234

0 xxxxxxxxxx

x

=Δ+Δ+Δ+

→Δ))()(464(3lim 3223

0xxxxxx

x

312x 312)(' xxf =⇒ ,

luego: 224)2(' =f , 768)4(' =f , 3

00 12)(' xxf = EJEMPLO 2.- Si xxf 3)( = , hallar )(' xf y dominio de 'f Solución

=)(' xf =Δ

−Δ+→Δ

)33(lim0 x

xxxx

=+Δ+Δ

+Δ+−Δ+→Δ

))(

))((3(lim0 xxxx

xxxxxxx

=+Δ+Δ−Δ+

→Δ)

)()(3(lim

0 xxxxxxx

x=

+Δ+→Δ)

)(3(lim

0 xxxx x23 ,

>∞<= ,0)'( fD

Así se puede dar infinidad de ejemplos y las fórmulas de derivación es el producto del cálculo de ellas por definición y que no es gracia del divino.

EJERCICIO.- Si 3)( xxg = , hallar )(' xg y su dominio INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA La interpretación geométrica de la derivada, esencialmente se reduce a

hallar la pendiente de la recta tangente TL en un punto ))(,( 000 xfxP en la gráfica de la curva )(xfy = y ésta puede aproximarse mediante rectas que pasan por ))(,( 000 xfxP y por otro punto de la curva

))(,( 0000 xxxfxxQ Δ++Δ+ a las que denominaremos rectas secantes

SL ( la palabra secante viene del latín secare , referido a cortar y no de la función trigonométrica homónima) . La pendiente de la recta secante que

pasa por 0P y 0Q está dado por x

xfxxfmS Δ

−Δ+=

)()( 00 y


97

TxSxmxf

xxfxxf

m ==Δ

−Δ+=

→Δ→Δ)(')

)()((limlim 0

00

00 es la pendiente de

la recta tangente a la grafica de )(xfy = en el punto 0P como se aprecia en la figura.

La recta NL perpendicular a TL en el punto 0P , se llama recta normal a la gráfica de )(xfy =

Las ecuaciones de estas rectas están dados por:

)()(')(: 000 xxxfxfyLT −=− ∨ )()(': 000 xxxfyyLT −=− , donde )( 00 xfy =

)()('

1)(: 00

0 xxxf

xfyLN −−=− ∨ )()('

1: 00

0 xxxf

yyLN −−=− , si

0)(' 0 ≠xf Si 0)(' 0 =xf , tenemos casos muy especiales 0: yyLT = y 0: xxLN =

Fig. 1


98

Fig. 2

Previamente a los ejemplos, daremos unas observaciones importantes: i) 0xxx −=Δ se llama incremento de x o cambio en x ii) )()( 00 xfxxfy −Δ+=Δ se denomina incremento de y o cambio en y

iii) x

xfxxfΔ

−Δ+ )()( 00 se denomina cociente incremental

iv) La derivada por sí, se interpreta como una razón de cambio o tasa de

cambio o de variación que mas adelante veremos todas las aplicaciones del caso.

EJEMPLOS 1.- Hallar los puntos en que la tangente a la curva 5)( 3 +== xxfy sea: a) Paralela a la recta 1712:1 =− yxL , b) Perpendicular a la recta 23:2 =+ yxL Solución

Sea ),( 000 yxP punto de tangencia de la curva, entonces 5300 += xy ,

23)(' xxf = , Tmxxf == 20 3)(' , como:

⇒=⇒ 12// 1 TT mLL 2312 02

0 ±=⇒= xx luego los puntos son )13,2(0P , )3,2(1 −−P

Recta tangente

P 0 (x0 , f(x0))

y =f(x)

0

Y

X Recta normal


99

Como ⇒−=⇒⊥ 122 LTT mmLL 133 0

20 ±=⇒= xx , entonces los

puntos son )6,1(2P )4,1(3 −P 2.- Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva 54)( 23 +−== xxxfy en el punto )3,2(0 −P Solución xxxf 83)(' 2 −= , entonces la pendiente de la tangente en el punto )3,2(0 −P es 4−=Tm luego la ecuación de la tangente y la normal son respectivamente:

)2(43: −−=+ xyLT , )2(413: −=+ xyLN

3.- Determinar todos los puntos de la curva 95132)( 23 +++== xxxxfy

en que sus tangentes pasan por el origen de coordenadas y hallar la ecuación de las tangentes en todos los puntos encontrados.

Solución

Sea ),( 000 yxP un punto de tangencia, 5266)(' 2 ++= xxxf entonces la pendiente de la recta tangente en 0P es

5266)(' 02

00 ++== xxxfm , 5266(: 02

00 ++=− xxyyLT , pero TL

pasa por el origen 02

03

00 5266 xxxy ++=⇒ ( 1 ) , pero como

),( 000 yxP es punto de tangencia 95132 02

03

00 +++=⇒ xxxy ( 2 ),

de ( 1 ) y ( 2 ) igualando tenemos que 09134 20

30 =−+ xx

43,3,10 −−=⇒ x ⇒ los puntos son: )15,1(0 −P , )57,3(1 −P ,

)32669,

43(0P , por tanto las rectas tangentes en cada uno de estos puntos

son: )2(415: −−=− xyLT , )3(1957:' +−=− xyLT ,

)43(

8223

32669:'' −=− xyLT .


100

4.2 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD TEOREMA.- Si ⊂If : R→ R es derivable en el punto Ix ∈0 ,

entonces f es continua en 0x , el reciproco del Teorema no se cumple. Para que el desarrollo de la asignatura sea fluido, previo al enunciado de

los teoremas o reglas de derivación definimos las: DERIVADAS LATERALES DEFINICIÓN.- Sea RRIf →⊂: , se dice que f es derivable por la

derecha en el punto Ix ∈0

si oxxx xx

xfxfx

xfxxf−−

=Δ

−Δ+++ →→Δ

)()((lim)

)()((lim 000

0 0

) existe.

Este límite se denomina derivada lateral por la derecha y se denota por

)(')(' 00+

+ ∨ xfxf . Se dice que f es derivable por la izquierda si

oxxx xxxfxf

xxfxxf

−−

=Δ

−Δ+−− →→Δ

)()((lim)

)()((lim 000

0 0

existe y se denota

por )(')(' 00−

− ∨ xfxf . Se dice que una función es derivable o diferenciable en el punto Ix ∈0 ,

si las derivadas laterales existen y son iguales y su aplicación es frecuente cuando las funciones están definidas en términos de valor absoluto o entero de x .

DEFINICIÓN.- Una función f es derivable en un intervalo cerrado

[a,b] si: i) f es derivable en el intervalo abierto < a , b > y si los

ii) 0

( ) ( )limx

f a x f ax+Δ →

+ Δ −⎛ ⎞⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

y 0

( ) ( )limx

f b x f bx−Δ →

+ Δ −⎛ ⎞⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

existen


101

Fig. 3 EJEMPLOS 1.- Analizar la derivabilidad de la función 4)( −= xxf

en el punto 4=x Solución

ө 44

,4,4

4)(≥<

⎩⎨⎧

−−

=−=xx

xx

xxf , por derivadas laterales

1)1(lim)('lim)4('44

−=−==→→

− − xxxff y

1)1(lim)('lim)4('44

===→→

+ + xxxff como )4(')4(' +− ≠ ff no existe

)4('f . EJEMPLO 2.- Analizar si [ ]( )g x x x x= + − es derivable en 3=x Solución Si −→ 3x [ ] 239,23 =⇒<<⇒<⇒ xxx entonces

22)( −+= xxg22

1)('−

=⇒x

xg y

21

221lim)3('

3=

−=⇒

−→

−

xg

x

Si 3 3 3 3,1 3x x x x+→ ⇒ > ⇒ < < ⇒ = entonces

33)( −+= xxg32

1)('−

=⇒x

xg

∞=−

=⇒+→

+

321lim)3('

3 xg

x , como )3(')3(' +− ≠⇒ gg )3('g⇒

no existe.

f ’ ( a + )

A+Δx>0 b+Δx<0 b a

P(a , f(a)) Q(b , f(b))

f ’ ( b- )


102

En general 'g no existe para Zx∈ .

EJEMPLO 3.- Dado ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

<++= 2,8

2,)(

3

2

xx

xpxnxmxg , hallar las

constantes m , n y p para que la función sea continua en 2=x y derivable en 2−=x .

Solución La función podemos escribir como

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≥

<<−++

−≤−

=

2,822,

2,8

)(

3

2

3

xx

xpxnxm

xx

xg

Como es continua en 2=x , entonces:

pnmpxnxmxgxx

++=++=−− →→

24)(lim)(lim 2

22

18lim)(lim 322==

++ →→ xxg

xx , entonces tenemos la primera ecuación

124 =++ pnm ( 1 ) , además para que sea dirivable en 2−=x tiene que ser continua en este punto , entonces pnmpxnxmxg

xx+−=++=

++ −→−→24)(lim)(lim 2

22 y

18lim)(lim 322=−=

−− −→−→ xxg

xx entonces 124 =+− pnm ( 2 ) , de ( 1 )

y ( 2 ) tenemos que 0=n derivando la función tenemos que

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥−

<<−+

−≤

=

2,2422,2

2,24

)('

4

4

xx

xnxm

xx

xg , luego

nmnmxxgxx

+−=+=++ −→−→

4)2(lim)('lim22

y

⇒==−− −→−→ 2

324lim)('lim 422 xxg

xx

234 =+− nm (3)


103

de (3) 83

−=m y 25

=p , por tanto

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥

<+−=

2,8

2,25

83

)(3

2

xx

xxxg

satisface todas las condiciones del problema. 4.3 REGLAS PARA LA DERIVACIÓN TEOREMAS (Álgebra de las derivadas).- Sean ⊂Igf :, R→ R

funciones derivables en )()(0 gDfDx ∩∈ . Entonces las funciones

kh= (función constante) )(,,gffggf ± en este último caso

0)( 0 ≠xg son derivadles en 0x y se cumplen: i) 0'' == kh ii) )(')(')( 00 xfkxfk = iii) )(')(')(')( 000 xgxfxgf ±=± iv) )(')()()(')(')( 0000 xgxfxgxfxgf o +=

v) [ ] 2

0

00000 )(

)(')()()(')()'(

xgxgxfxgxfx

gf −

= , 0)( 0 ≠xg

DEMOSTRACIÓN

Como una muestra, solo probaremos v) y los demás teoremas se demuestran análogamente

=Δ+Δ

Δ+−Δ+=

Δ

−Δ+Δ+

=→Δ→Δ )()(

)()()()(lim

)()(

)()(

lim)()'(00

0000

0

0

0

0

0

00 xgxxxgxxgxfxgxxf

xxgxf

xxgxxf

xgf

xx

=Δ+Δ

Δ+−+−Δ+→Δ )()(

)()()()()()()()(lim

00

00000000

0 xgxxxgxxgxfxgxfxgxfxgxxf

x

=Δ+Δ

−Δ+−Δ+→Δ )()(

])()()[(f-])()([)(lim

00

000000

0 xgxxxgxgxxgxxfxxfxg

x


104

=Δ+Δ

−Δ+−

Δ−Δ+

→Δ→Δ→Δ )()(lim

1]])()([

lim)()])()([

[lim)(000

00

0000

00 xgxxgxxgxxg

xfx

xfxxfxg

xxx

[ ] 2

0

0000

)()(')()()('

xgxgxfxgxf −

COROLARIO.- Si ⊂Af : R→ R es una función derivable en

Ax ∈0 , entonces existe una función: )(hM , tal que )()(')()( 000 hMhxfhxfhxf +=−+ , Ahx ∈+∀ 0 y

0)0()(lim0

==→

MhMh

TEOREMA (Regla de la cadena o derivación de funciones

compuestas).- Sean ⊂Af : R→ R ⊂Bg : R→ R, dos funciones con Bf :)(Im ⊂ . Si f es derivable en

Ax ∈0 y g es derivable en Bxf ∈)( 0 entonces fg es derivable en 0x y )('))(()(')( 000 xgxfgxfg = .

DEMOSTRACIÓN Como g es derivable en Bxf ∈)( 0 , por Corolario existe una función

)(hM tal que:

)())(('))(()))(( 000 kMkxfgkxfgkxfg +=−+ (1) con 0)0()(lim

0==

→MkM

k y como

Bf :)(Im ⊂ , )(Im)()( 00 fhxfkxf ∈+=+ . Luego sustituyendo en ( )

y dividiendo por 0≠h tenemos que: )(

)()()()()).)(('

))(()))(( 00000

00 kMh

xfhxfh

xfhxfxfgh

xfgkxfg −++

−+=

−+

(2) y


105

=−+

+−+

=−+

→→→))(

)()((lim

)()(lim)).)(('

))(()))((lim 00

0

00

0000

0kM

hxfhxf

hxfhxfxfg

hxfgkxfg

hhh

)(')).)(('0).(')(')).)((' 00000 xfxfgxfxfxfg =+

Existen muchas formas de prueba de este teorema TEOREMAS ADICIONALES i) Si ⊂Af : R→ R es derivable en Ax ∈0 y n])[)( xfxg = , Zn∈

⇒ 1-n])[)(' xfnxg = ii) Si ⊂Af : R→ R es derivable y )()( xfxg = ⇒

)(')()()(' xf

xfxfxg =

iii) Si :u R→ R y )(uyy = son dos funciones derivables dxdu

dudy

dxdy

=

donde )(' uydudy

= y )(' xudxdu

= , donde )(xuu = .

iv) Si )(xfy = es derivable entonces admite inversa )(1 yfx −= que

también es derivable y

dxdydy

dx 1= .

4.4 DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRASCENDENTES TEOREMA.- Las seis funciones trigonométricas son derivables en sus

dominios de definición y 1.- Si senxxf =)( , entonces xxf cos)(' = 2.- Si xxg cos)( = , entonces senxxg −=)(' 3.- Si tgxxh =)( , entonces xxh 2sec)(' = 4.- Si gxxv cot)( = , entonces xecxv 2cos)(' −= 5.- Si xxw sec)( = , entonces tgxxxw sec)(' = 6.- Si ecxxz cos)( = , entonces gxecxxz cotcos)(' −=


106

DEMOSTRACIÓN (ii)

=Δ

−Δ−Δ=

Δ−Δ+

==→Δ→Δ

]coscoscos[lim]cos)(cos[lim')(cos)('00 x

xxsensenxxxx

xxxxxgxx

=ΔΔ

−Δ

−Δ=

ΔΔ−−Δ

→Δ→Δ→Δ xxsensenx

xxx

xxsensenxxx

xxx 000lim1coslimcos])1cos(cos[lim

senxsenx −=− 1.0 COROLARIO.- Si :u R→ R / )(xuu = es una función derivable en

x , entonces: i) Si usenxf =)( , entonces '.cos)(' uuxf = ii) Si uxg cos)( = , entonces '.)(' uusenxg −= iii) Si utgxh =)( , entonces '.sec)(' 2 uuxh = iv) Si ugxv cot)( = , entonces '.cos)(' 2 uuecxv −= v) Si uxw sec)( = , entonces '( ) (sec ) ( ) 'w x u tg u u= vi) Si uecxz cos)( = , entonces ' ( ) ( cos ) (cot ). 'z x ecu gu u= − EJEMPLOS

1.- Si xxsenxf nm cos)( = , hallar )(' xf y )4

(' πf

Solución =+= ')cos(cos')()(' xxsenxxsenxf nmnm

1 1 1 1'(cos ) ( ) cosm n m nm sen x x nsen x x− + + −−

)()22()

22()

22()

4(' nmnmf nmnmnm −=−= +++π

2.- Si )(cos)( 35 xtgxxg = , calcular )(' xg Solución =+= '))((cos)(')(cos)(' 3535 xtgxxtgxxg

4 3 2 5 2 35cos ( ) 3 cos sec ( )x sen x t g x x x x− +


107

3.- Si 2)2()( xxxF −+= , hallar el dominio de 'F e interpretar )2('F Solución Sabemos que 2, xxRx =∈∀ , entonces

'22 ])2([)(' xxxF −+= =−+−+= ])2()2([2 '22 xxxx

]22[)2(2

xx

xxxx −++

−+ , }{ 0,2)'( −−= RFD y

0)2(' =F es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de F en el punto )4,2(0P .

4.- Hallar la derivada de 33 54)( −+= xxxG Solución

5 5

3 33 3

3 12 (4 5 )' ( ) ( ( 4 5 ) ) '

4 5x xG x x x

x x−

= + − = +−

y

existe { }45,0)'( −=∈∀ RFDx

5.- Analizar si 3 9 3( ) 3 ( 3 )

2F x x x x x= − − + − es derivable,

( [ ] 1+<≤⇔= kxkkx ) Solución Sea

⇒<−≤⇒<≤⇒>∈ 6,1234,11,39,21,3;9,2[ xxx 3

12

x − = ,

luego:

⎩⎨⎧

≥+−<+−−

=⇒⎩⎨⎧

≥+−<+−−

=3,9)3(43,9)3(4

)('3,)3(3,)3(

)( 83

83

94

94

xxxxxx

xFxxxxxx

xF

1093

3

' 3)9)3(4(lim)3( =+−−=−→

− xxFx

,

1093

3

' 3)9)3(4(lim)3( =+−=+→

+ xxFx

Como 10' 3)3(')3(')3(')3( =∧∃⇒= +− FFFF .


108

4.5 DERIVADA DE LAS FUNCIONES: EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

TEOREMA.- Las funciones exponenciales y logarítmicas son

derivables en sus correspondientes dominios y se tiene: 1.- Si ⇒≠>= 1,0,)( aaaxf x ∈∀= xaaxf x ,ln)(' R 2.- Si ∈∀= xexf x ,)( R ∈∀= xexf x ,)(' R

3.- Si ∈∀= xxxg a ,log)( R + , ax

xfaaln1)('1,0 =⇒≠>

4.- Si ∈∀= xxxf ,ln)( R +

xxf 1)(' =⇒

5.- ⇒≠>= 1,0,)( aaaxh u '.ln)(' uaaxh u= , donde )(xuu = es derivable

6.- ⇒= uaxh )( '.)(' uaxh u=

7.- ⇒= uxh ln)(uuxh ')(' =

8.- ⇒= uxh alog)(au

uxhln

')(' =

9.- ⇒= vuxF )( ]'ln'[)('uuvuvuxF v += , donde )(xuu = , )(xvv =

son derivables EJEMPLOS

1.- Aplicando logaritmos derivar la función 2/12

735

)2()3()53()(

+++

==x

xxyxf

Solución Para aplicar logaritmos por definición debemos asegurar que ⇒≠ 0y

2ln213ln753ln5ln)(ln 23 +−+++== xxxyxf , luego

)23

2153

15('23

2153

15'23

2

23

2

+−

++

+=⇒

+−

++

+=

xx

xx

xyy

xx

xx

xyy

5 3 7 2

2 1/ 2 3 2

( 3 5 ) ( 3 ) 15 21'

( 2 ) 3 5 3 2x x x x

yx x x x

⎛ ⎞+ += + −⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠


109

4 3 7 2 4 3 6 5 3 7

2 1/ 2 2 1/ 2 2

15 ( 3 5 ) ( 3 ) 21 ( 3 5 ) ( 3 ) ( 3 5 ) ( 3 )'

( 2 ) ( 2 ) 2x x x x x x x xy

x x x+ + + + + +

= + −+ + +

2.- Si xnesxy

2

= , hallar 'y Solución

Aplicando el teorema 9, 2

2

' (2 cos ).lns e n x sen xy x senx x xx

⎛ ⎞= + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

)ln.2(2

2

xxsenxxsenx xnes +

3.- Si )(log

2xnesxy = , hallar 'y Solución Aplicando teorema 8 y 9,

10ln

)ln.cos2(

10ln')(' 2

2

2

2

2

xnes

xnes

xnes

xnes

xx

xsenxxsenxx

xxy

+==

4.- Dado xgtcraxxf )1()( 2+= , calcular )1('f Solución Aplicando el teorema 9, ⇒=+= + )1(ln2 2

)1()( xxgtcraxgtcra exxf

]1

21

)1(ln[)1()1()(' 22

222

xarctgxx

xxxxxf xgtcraxgtcra

++

++

+=+= ,

]42

)2(ln[2]22

2)2(ln[2)1(' 44 π

πππ

+=+=f


110

4.6 DERIVADA DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS Las seis funciones trigonométricas hiperbólicas se denotan y se definen

como:

1.- )(21)( xx eesenhxxf −−== xxf cosh)(' =⇒

2.- )(21cosh)( xx eexxf −+== senhxxf =⇒ )('

3.- x

senhxtghxxgcosh

)( == xhxg 2sec)(' =⇒

4.- senhx

xctghxxg cosh)( == xechxg 2cos)(' −=⇒

5.- x

hxxhcosh

1sec)( == tghxhxxh sec)(' −=⇒

6.- senhx

hxcoxh 1sec)( == ctghxechxxh cos)(' −=⇒

4.7 DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

INVERSAS Las seis funciones trigonométricas son periódicas y por tanto no son

biunívocas, en consecuencia no es inyectiva, sin embargo restringiendo el dominio adecuadamente podemos invertir estas funciones y estas funciones inversas denotamos y definimos como sigue:

1.- { }2

,1,/),( π≤≤== yxsenyxyxArcsen

2.- { }π≤≤≤== yxyxyxArc 0,1,cos/),(cos

3.- { }∞<<∞−<<−== xytgyxyxtgArc ,22

,/),( ππ

4.- { }∞<<∞−<<== xytgycxyxtgcArc ,0,/),( π

5.- { }1,2

02

,sec/),(sec ≥<≤∨−<≤−== xyyyxyxArc πππ

6.- { }1,2

02

,cos/),(cos ≥≤<∨−≤<−== xyyecyxyxecArc πππ


111

Las derivadas de estas funciones son:

Si arcsenxy = 21

1'x

y−

=⇒ , 1<x

Si xy arccos= 21

1'x

y−

−=⇒ , 1<x

Si arctgxy = 211'x

y+

=⇒

Si ctgxarcy = 211'x

y+

−=⇒

Si xarcy sec= 1

1'2 −

=⇒xx

y , 1>x

Si ecxarcy cos= 1

1'2 −

−=⇒xx

y , 1>x

4.8 DERIVACIÓN IMPLÍCITA Dadas dos funciones :F R2→ R, :g R→ R la ecuación

0),( =yxF define implícitamente la función g si 0),( =yxF para todo )( gDx∈ .

EJEMPLO

Sea 4),( 22 −+= yxyxF , entonces la condición: 04])([))(,( 22 =−+= xgxxgxF , )(gDx∈∀ se cumple si g es:

2

1 4)( xxg −= , 22 ≤≤− x

22 4)( xxg −−= , 22 ≤≤− x

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤≤−−≤≤−−=

20,402,4)(

2

2

3xxxxxg

Según la definición, las funciones 321 ,, ggg están definidas

implícitamente por la ecuación 0422 =−+ yx


112

No toda función ),( yxF define a )(xgy = como una función implícita, pues no existen pares ),( yx que satisface la ecuación

04),( 22 =++= yxyxF . En la práctica, la derivación implícita se trata de la forma siguiente: Se

supone que el conjunto solución de 0),( =yxF contiene una función derivable g en )(gD , entonces para 0])(,[)( =⇒∈ xgxFgDx .

Si ])(,[)( xgxFxh = es una función compuesta de funciones

derivables, se aplica el álgebra de las derivadas y la regla de la cadena, para calcular )(' xh . Pero 0)( =xh )(gDx∈∀ implica que

0)(' =xh )(gDx∈∀ y como 'h contendrá a 'f como factor se halla )(' xf en Términos de )(xf .

EJEMPLOS 1.- Hallar la derivada de cualquier función derivable f en el conjunto

solución de 046 22 =−+ xyx Solución

)(gDx∈∀ 04)(6 22 =−+ xxgx la función 4)(6)( 22 −+= xgxxxh es derivable

)(gDx∈∀ ⇒=∧ 0)(' xh ⇒=++ 0)(')(12)(62 2 xgxgxxgx

)(12)(62)('

2

xgxxgxxg +

−= y existe para 0≠∀ x y 0)( ≠xg .

2.- Hallar todos los puntos de contacto de las tangentes horizontales y

verticales de la curva 27164 22 =++ yxyx y sus respectivas ecuaciones.

Solución

0)(')(32)('4)(42 =+++ xgxgxgxxgx

)(324)(42)('

xgxxgxxg

++

=⇒ ⇒ las tangentes serán

horizontales ⇔ 0)(' =xg 0)(42 =+∨ xgx ⇒2

)( xxgy −==

reemplazando en la ecuación


113

dada tenemos 3273 2 ±=⇒= xx ⇒ los puntos de contacto son

)23,3(0 −P , )

23,3(1 −P

luego las tangentes horizontales son: 23:1 −=yL ,

23:2 =yL

Las tangentes serán verticales

⇔ ∞=)(' xg ⇔ ⇒=+ 0324 yx8xy −= , sustituyendo en la

ecuación tenemos 61083 2 ±=⇒= xx , los puntos de contacto son

)43,6(2 −P , )

43,6(3 −P

por tanto las tangentes verticales son 6:3 =xL , 6:4 −=xL 3.- Resolver como en el ejemplo (2) cuado la curva es

2516924 22 =+− yxyx

Solución Derivando implícitamente

0'338'24242 =+−− yyxyyx ⇒−−

=⇒)(16912

)(12)('xgx

xgxxg

Si ⇒= 0)(' xg yx 12= , reemplazando en la ecuación dada 25169)12(24)12( 22 =+− yyyy

12525 2 ±=⇒=⇒ yy ⇒ )1,12(0P )1,12(1 −−P son los puntos de contacto de las tangentes horizontales y las ecuaciones de las tangentes horizontales son:

1:1 =yL , 1:2 −=yL Las tangentes serán verticales si:

⇒∞=)(' xg yxyx12169016912 =⇒=− , en la ecuación dada

obtenemos 1312144169 2 ±=⇒= yy 13±=⇒ x , luego:

)1312,13(2 −P , )

1312,13(3 −−P

las rectas verticales son 13:3 =xL , 13:4 −=xL


114

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.- Encontrar la derivada de 3)( xxxF += para cualquier x 2.- Usando definición, verificar que la función

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠=

0,0

0,)1()(2

x

xx

senxxg es derivable en 0=x

3.- La curva 01233 =−+ xyyx se denomina Folium de Descares, hallar la

ecuación de las rectas tangente y normal a la gráfica de ella en el punto )6,6(0P .

4.- La curva 4222222 4)( kxbbyx =−++ se llama Óvalos de Cassini,

hallar la ecuación de las rectas tangente y normal a la gráfica de ella en el punto )2,2(0Q , para 6,2 == ka .

5.- La curva 2222 )( yyxx =+ se denomina curva kappa, hallar la

ecuación de las rectas tangente y normal en el punto )23,

22(0P .

6.- Hallar la ecuación de las rectas tangente y normal a la curva xyyx 300)(9 222 =+ en el punto )1,3(0P .

7.- Hallar todos los puntos de contacto en que la grafica de las curvas tienen

tangente horizontal o vertical: a) 04001602001625 22 =+−++ yxyx b) 04484 22 =++−+ yxyx 8.- Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de cada

uno de las curvas en los puntos indicados a) 132)( 23 ++= xxxf en )3,2( −−P b) 3 2 7)( += xxf en )2,1(P

c) 232

4 31)( xxxxf −++=− en )0,1(Q d) 5 3 5)( += xxh en )2,3(P


115

9. Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la gráfica de la función

xsenxsenxf

−+

=11)( , en el punto )0,( πP

10.- Hallar las ecuaciones de las rectas verticales que pasan por los puntos de las curvas 542)( 23 +−+= xxxxf y )3392(

31

)( 23 −−+= xxxxg , en los que las

tangentes a ella son paralelas 11.- Hallar todos los puntos sobre la gráfica de 101284)( 234 +−−−= xxxxxf tal

que la recta en dichos puntos sea paralela a la recta 0512: =−+ yxL y hallar las ecuaciones de las rectas tangentes

12.- Analizar la derivabilidad de la siguiente función:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥+−<≤−

<+=

2,2420,22

0,2)(

2

2

xxxxx

xxxf

en 0=x y 2=x

13.- Dado ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤+

>=

5,

5,1)(

2 xcax

xxxh , hallar a y c para que la función sea derivable

en 5=x y calcular )5('h 14.- Hallar todos los puntos de la circunferencia 2522 =+ yx en los que la

recta tangente a ésta sea paralela a la recta 034: =− yxL 15.- Sea RRf →: una función derivable en el punto

0xx = , pruebe que

=−−

→)

)()((lim

0

000

0 xxxfxxfx

xx)(')( 000 xfxxf −

16.- Si ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠=0,0

0,)1()()(x

xx

senxgxf tal que 0)0(')0( == gg , ¿existe

)0('f ?


116

4.9 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR El estudiante debe estar informado que todas las aplicaciones de la

matemática en los campos de la ingeniería, economía, biología, ciencias sociales y en otras carreras afines se da con derivadas de segundo orden, como en las ecuaciones diferenciales, circuitos eléctricos etc. Aquí a lo más estudiaremos hasta tercero o cuarto orden como máximo, las derivadas de mayor orden a éstas solo se pueden realizar como una satisfacción personal para los amantes de la matemática.

Sabemos que la derivada de una función )(xfy = es a su vez una

función )(' xf . Si derivamos la función )(' xf , la función resultante se llama segunda derivada de )(xf con respecto a x y denota por )('' xf . De manera análoga, la derivada de la segunda derivada se llama tercera derivada y se escribe como )(''' xf

Continuando de esta manera obtenemos la n-ésima derivada de la

función f , donde ∈n Z + 1>n y lo denotamos por )()( xf n . Existen distintas formas de representación de estas derivadas de orden superior, pero lo más usual es lo que se tiene arriba.

TABLA DE REPRESENTACIÓN

yDxfdxd

dxdyxfy x==== ])([)(''

)])([(])([)('''' 22

2

2

2

xfDDyDxfdxd

dxydxfy xxx =====

yDxfdxd

dxydxfy x

33

3

3

3

])([)('''''' ====

yDxfdxd

dxydxfy x

44

4

4

4)4()4( ])([)( ====

. . .

yDxfdxd

dxydxfy n

xn

n

n

nnn ==== ])([)()()( , derivada n- ésima de f .

En particular, cuando derivamos en un punto 0x tenemos:


117

])(')('

[lim)('' 000 x

xfxxfxf

ox Δ−Δ+

=→Δ

, si existe este límite y

análogamente

])()(

[lim)( 0)1(

0)1(

0)(

xxfxxfxf

nn

ox

n

Δ−Δ+

=−−

→Δ , si existe este límite

EJEMPLOS 1.- Hallar la derivada de orden 4 de la función circular senxxfy == )( Solución

)2

(cos)'()('' π+==== xsenxsenxxfy ,

)()'(cos)('''' π+=−=== xsensenxxxfy

)2

3(cos)'()('''''' π+=−=−== xsenxsenxxfy ,

)2()'cos()()4( π+==−= xsensenxxxf

… )2

()()( )()()( πnxsensenxxfy nnn +=== , ∈n Z + .

2.- Si 3

54)( −= xxg , encuentre )('',)(' xgxg , )45('',)

45(' gg

¿existe )(''' xg ? Solución

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−

<−=

45,)54(45,)45(

)(3

3

xx

xxxg , entonces

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−

<−−=

45,)54(1245,)45(12

)('2

2

xx

xxxg

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−

<−−=

45,)54(9645,)45(96

)(''xx

xxxg ,

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

<−=

45,38445,384

)('''x

xxg

observamos que: )45('''g no existe.


118

3.- Hallar )()6( xg si xxxg

−+

=11)( y la derivada n-ésima

Solución

2)1(2)('

121

11)(

xxg

xxxxg

−=⇒

−+−=

−+

= ,

33 )1()!2(2

)1(4)(''

xxxg

−=

−= ,

44 )1()!3(2

)1(12)('''

xxxg

−=

−= , … 7

)6(

)1()!6(2)(

xxg

−= ,

… 1)(

)1()!(2)( +−

= nn

xnxg

4.- Sean ⊂Igf :, R→ R dos funciones que admiten primera y

segunda derivada en el punto 0=x y satisfacen las siguientes

relaciones: )0(

2)0(g

f =

)0(4)0('2)0(' ggf == , 3)0(6)0(''5)0('' === ffg

a) Si )()()(

xgxfxh = , calcular )0('h

b) Si senxxgxfxu )()()( = , calcular )0('u

c) Calcular ])(')('[lim

xfxg

ox→ y ]

)('')(''[lim

xgxf

ox→

Solución De las condiciones del problema tenemos que

21)0(3)0(6)0(''5)0('' =⇒=== fffg ,

entonces 4)0( =g , 16)0(' =f , 8)0(' =g , 3)0('' =g , 53)0('' =f ,

luego:

a) 2])([)(')()()(')('

xgxgxfxgxfxh −

=

4

15]])([

)(')()()('[lim)('lim 2 =−

=⇒→→ xg

xgxfxgxfxhoxox

b) xxgxfsenxxgxfsenxxgxfxu cos)()()(')()()(')(' ++= tomando el límite tenemos

2)0(cos)0()0()('lim ==⇒→

gfxuox


119

c) 21

)0(')0(']

)(')('[lim ==

→ fg

xfxg

ox ,

51

)0('')0('']

)('')(''[lim ==

→ gf

xgxf

ox

5.- Sea ⊂If : R→ R una función derivable hasta tercer orden tal que

3)7(' =f , 8)7('' =f y si )72()( 2 +−= xxfxxg , calcular )2(''g Solución

)72(')22()72()(' 222 +−−++−= xxfxxxxfxg )72('')484()72(')46()('' 2232 +−+−++−−= xxfxxxxxfxxg

886424)7(''8)7('8)2('' =+=+= ffg 6.- Dado ))(()( 3xgfxh = tal que 1)8( =g , 2)8(' =g , 3)8('' =g

2)1(' =f y 1)1('' −=f . Hallar )2(''h Solución

)('))(('3)(' 332 xgxgfxxh = )(''))(('9))(')(((''9)('))(('6)('' 334233433 xgxgfxxgxgfxxgxgxfxh ++=

336)3()2(144)4)(1(144)2)(2(12)2('' =+−+=h 4.10 DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA Teorema.- Si ⊂If : R→ R es una función continua y invectiva ,

entonces 1−f es también continua. Teorema.- Sea ⊂If : R→ R una función inyectiva continua definida

sobre el intervalo I y supongamos que f es derivable en )(1 bf − con derivada 0))((' 1 ≠− bff . Entonces:

1−f es derivable en b y mas aún ))(('

1)()'( 11

bffbf −

− =


120

4.11 DIFERENCIALES Dado una función una función )( xfy = derivable en su dominio,

entonces ][lim)('xyxf

ox ΔΔ

=→Δ

con )()( xfxxfy −Δ+=Δ , entonces

podemos concluir que cuando 0→Δx , )(' xfxy→

ΔΔ .

Si asignamos por ε la diferencia entre xy

ΔΔ y )(' xf , esto es,

=−ΔΔ )(' xf

xy ε, entonces +=

ΔΔ )(' xf

xy ε ( 1 ), 0≠Δx , entonces

ε 0→ cuando 0→Δx . De ( 1 ) tenemos +Δ=Δ )(' xfxy ε xΔ ( 2 ) por tanto con las condiciones expuestas tenemos que xxfy Δ≅Δ )(' .

DEFINICIÓN .- Si )( xfy = en una función derivable en su

dominio, entonces: a) dx se llama diferencial de x y se define por la relación xdx Δ= b) dy se denomina diferencial de y y se define por la relación

xxfdy Δ= )(' OBSERVACIÓN.- De xdx Δ= y xxfdy Δ= )(' para 0≠dx

tenemos que )(' xfydxdy

= , como ilustración de estos conceptos apreciar

el siguiente gráfico.


121

TEOREMA.- Si )( xfy = es derivable para todos los valores de

)( fDx∈ , )( tgx = , ))(( tgfy = .

Entonces dtdx

dxdy

dtdy

= y dtdtdydy ⋅=

EJEMPLOS 1.- Aplicando diferenciales, hallar el valor aproximado de 3 28 Solución

Sea 3 xy = , entonces 3273 ==y , tomando 137 =∧= xx

tenemos que 3273 ==y y 328 33 xx Δ+= , entonces se obtiene una aproximación para yΔ calculando dy

dxx

dxxfdy3 231)(' == , como 11 =⇒=Δ∧Δ= dxxxdx ,

luego:

271)1(

)27(31

3 2==dy 037,3 dyy ≅Δ

271

=Δ⇒ y , por tanto

037,32713 =+≅Δ+ yy

037,3283 =⇒

X

M

dy

Δ y R

ө P ( x , y )

ε Δx →

Δ x = dx

Q( x + Δ x , y + Δ y )

y =f (x)

0

Y

xRQ

xdyy

dyxxfMR

xdxPM

xfPM

MRtg

Δ=

Δ+=Δ

=Δ=

Δ==

==

ε

ε

θ

)('

)('


122

2.- Hallar el valor aproximado de 3 122 análogo al problema anterior Solución

Sea 3 xy = dxx

dy3 231

=⇒ sustituyendo 3125 −=∧= dxx

tenemos que 04,0251)3(

)125(31

31

3 23 2−=−=−==⇒ dx

xdy y

5=⇒ y entonces 96,404,05 =−≅Δ+ yy

96,41223 =⇒ 3.- Para 33xy = , calcular dy yΔ para cualquier dxx =Δ luego

para 10=x y 1,0=Δx , para 10=x y 01,0=Δx Solución dxxdy 29= , entonces para 10=x y 1,0=Δx se tiene que

90)1,0()10(9 2 ==dy y para 10=x , 1,0=Δx tenemos 9)10,0()10(9 2 ==dy

Ahora usando )()( xfxxfy −Δ+=Δ tenemos que =−Δ+=Δ 33 3)(3 xxxy 322 )(3)(9)(9 xxxxx Δ+Δ+Δ para 10=x ,

1,0=Δx tenemos que 903,90)1,0(3)1,0(90)1,0(900 32 =++=Δ y , análogamente para

10=x y 01,0=Δx 900003,9)01,0(3)01,0(90)01,0(900 32 =++=Δ y 4.- Hallar el valor aproximado de º31sen Solución

)1806

()º1º30(º31 ππ+=+= sensensen , sea senxy = y

180,

6ππ

=Δ= xx , entonces

51512,00512,05,0)180(2

321)

6(cos

180)

6(º31 =+=+=+≅

ππππsensen

5.- En ESSALUD (Hospital Almenara) se examinó las historias clínicas de un grupo de pacientes hospitalizados por una enfermedad cardiovascular. Se encontró que la proporción total P que fue dado de alta al final de t

días está dado por 3)300

300(1)(t

tPP+

−== . Usando diferenciales


123

estimar el cambio en la proporción dada de alta si t cambia de 300=t a 305=t .

Solución El cambio de t de 300 a 305 es 5300305 =−==Δ dtt , el cambio en

P es )300()305( PPP −=Δ , aproximando PΔ por dP tenemos que

dttt

dttPdPP ])300(

300[)300

300(3)(' 22

+−

+−==≅Δ cuando 300=t

y 5=dt tenemos

)5(])600(2

1[)21(3)5(]

)300300(300[)

300300300(3 2

22 −−=

+−

+−=dP

0031,03201

≅=

por comparación el valor ponderado de PΔ es )300()305( PP − por tanto 00307,087500,087807,0)300()305( =−=−=Δ PPP

4.12 LA DERIVADA COMO UNA RAZÓN DE CAMBIO El objetivo es explicar la tasa instantánea de cambio de una función por

medio de la velocidad e interpretar la derivada como una instantánea de cambio, aún que es una redundancia, puesto que la derivada por definición es razón de cambio.

Hemos dado interpretación geométrica de la derivada, la pendiente de la

recta tangente a una Curva en un punto. Históricamente, una aplicación muy importante de la derivada implica el Movimiento de un objeto viajando en línea recta. Esto nos da una manera conveniente de interpretar la derivada como una razón de cambio.

Para denotar el cambio en una variable x, por lo común se usa el símbolo

xΔ (delta x ) DEFINICIÓN.-Sea y una variable que es una función del tiempo tal

que al tiempo tox , se tiene )( xhy = donde h es derivable en x .


124

La tasa o razón promedio (media) de cambio (variación) de )( xhy = con respecto a x en el intervalo ][ xxx Δ+, es

xxhxxh

xy

Δ−Δ+

=ΔΔ )()(

La tasa (o razón) de variación de )( xhy = con respecto a x es

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

−Δ+==

→Δ xxhxxhxh

dxdW

x

)()(lim)('0

a ésta, a veces se

denomina la tasa o razón instantánea de variación de W con respecto a x (o simplemente razón de cambio).

Si xΔ (un cambio) en x es próximo a 0, entonces xy

ΔΔ es cercano a

dxdy , esto es ≅

ΔΔ

xy

dxdy por tanto ≅Δy x

dxdy

Δ .

DEFINICIÓN.- Sea P un punto sobre una recta L tal que su posición

al tiempo t está dado por )( tS donde S es una función derivable en el tiempo t .

La velocidad )( tv de P al tiempo t es )(')( tStv = La rapidez de P al tiempo t es )(')( tStv = La aceleración )( ta de )( tP al tiempo t es

)('')(')( tStvta == PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1.- Sea 2100)( qqP −= la función de demanda del producto de un

fabricante. Encontrar la razón de cambio del precio P en dólares por unidad con respecto a la cantidad q . ¿Qué tan rápido está cambiando el precio con respecto a q cuando 5=q ?

Solución


125

La razón de cambio de P con q es qdqdP 2−= , entonces

105 −==qdqdP , esto significa que cuando se demandan 5 unidades, un

incremento de una unida extra demandada corresponde a una disminución de aproximadamente $ 10 en el precio por unidad, que los consumidores están dispuestos a pagar.

2.- Un sociólogo estudia varios programas que pueden ayudar en la

educación de niños de edad escolar en un pueblo joven. El sociólogo cree que x años después de iniciado un programa particular,

)( xf miles de niños estarán matriculados

donde )12(9

100)( 2xxxf −= 120 ≤≤ x

¿A que razón cambiará la matricula i) después de 3 años iniciado el programa y ii) después de 9 años?

Solución

)212(9

100)(' xxf −= , entonces:

i) Después de 3 años la razón de cambio es 320)3(' =f , la

matrícula estará creciendo entonces a razón de 320 miles de niños.

ii) Después de 9 años la razón de cambio es 320)9(' −=f , la

matricula estará disminuyendo entonces a razón de 320 miles de

niños por año. 3.- La corriente I en un resistor como la función de la potencia P

desarrollada en el resistor, está dado por PPI 6,2)( = : Encuentre la razón de cambio de I con respecto a P cuando 4=P

Solución

⇒=P

PI2

6,2)(' ampI 65,046,2

426,2)4(' ===


126

4.- Se dispara un proyectil verticalmente hacía arriba con una velocidad inicial de 120m/s . Su altura desde el suelo t segundos después está dado por tttS 1209,4)( 2 +−= . Calcular el tiempo en el que el proyectil llegará al suelo de regreso y su velocidad en ese momento. ¿Cual es la altura máxima alcanzada por el proyectil?. ¿Cual es la aceleración en el instante 0>t ?

Solución El proyectil se halla al nivel del suelo cuando

5,249,4

120001209,4 2 =≅=∧=⇒=+− tttt

El proyectil tocará el suelo al caer de regreso a los 5,249,4

120=≅=t seg.

La velocidad al tiempo t es ⇒+−== 1208,9)(')( ttStv

smSv /120)9,4

120(')9,4

120( −== es la velocidad de impacto

El signo negativo indica que en el instante en que el proyectil llega al

suelo, se está movimiento en la dirección negativa (hacia abajo).

La rapidez en ese tiempo smSv /120120)9,4

120(')9,4

120( =−==

La altura máxima alcanza cuando la velocidad es cero,

⇒=+−== 01208,9)(')( ttStv st 24,128,9

120≅= y por lo tanto la

altura máxima es mS 7,734)8,9

120(120)8,9

120(9,4)8,9

120( 2 =+−= y la

aceleración es 2/8,9)('')( smtSta −== , esta aceleración constante se debe a la fuerza de gravedad.

5.- En un circuito eléctrico, la corriente I en amperes )( A está dado por

RI 1000= donde R es la resistencia en ohms )( Ω . Calcular la tasa de

cambio de I con respecto R cuando la resistencia es Ω20 . Solución


127

⇒−= 2

1000RdR

dI 25

4001000)20( −=−=

dRdI , esto significa que, cuando

Ω= 20R al aumentar R , I disminuye a razón de Ω= /5,225 A

(amperes por ohms). 6.- Un fabrica de Laptops calcula que el costo de producir x unidades

está dado por 20001,005,0200)( xxxC ++= Hallar el costo medio y el costo marginal por la producción de 500=x

1000=x unidades Comparar el costo marginal por la producción de 1000=x unidades con el costo de producir 1001=x unidades.

Solución

a) El costo medio de fabricar x Laptops es

xxx

xCxc 0001,005,0200)()( ++== , el costo marginal es

xxC 0002,005,0)(' += , luego estimando para las unidades dadas tenemos:

250)500(0001,0)500(05,0200)500( 2 =++=C

350)1000(0001,0)1000(05,0200)1000( 2 =++=C

21)500(0001,005,0

500200)500( =++=c

207)1000(0001,005,0

1000200)1000( =++=c

203)500(0002,005,0)500(' =+=C

41)1000(0002,005,0)1000(' =+=C

b) 25,350)1100(0001,0)1001(05,0200)1001( 2 =++=C

4135025,350)1000()1001( =−=−CC

41)1000()1001()1000(' =−= CCC


128

7.- Una escalera de de 20 pies de largo está apoyada contra la pared de un edificio. La base de la escalera se desliza horizontalmente a razón de 10 pie/seg. ¿Con qué rapidez resbala el otro extremo de la escalera cuando se encuentra a 12 pie del suelo?

Solución

Sea x la distancia del edificio a la base de la escalera y otra variable y para denotar la altura sobre el suelo del otro extremo de la misma.

Como x aumenta a razón de 2pie/seg. segpiedtdx /2= , pero nuestro

propósito es hallar dtdy

La rapidez de cambio de la altura del extremo superior de la escalera en el momento que piey 12= .Pero por teorema de Pitágoras para el triángulo rectángulo tenemos que 40022 =+ yx entonces

022 =+dtdyy

dtdxx , entonces

dtdx

yx

dtdy

−= , pero

⇒=+⇒= 40014412 2xy 16=x entonces

./38)2(

1216 segpie

dtdy

−=−=

EJERCICIOS 1.- A las trece horas un barco A se encuentra a 25 millas al sur del barco B.

El barco A navega hacia el oeste a razón de 16 millas /h y B navega hacia el sur a 20 millas/s. Hallar la rapidez de cambio o variación de la distancia entre los dos barcos a las trece horas con 30 minutos

2.- Los extremos de un abrevadero de 3m de largo tienen la forma de

triángulo equilátero, con lados de 60cm.Se suministra agua al abrevadero a razón de 20 litros/min. ¿Cual es la rapidez de cambio o variación del nivel del agua cuando la profundidad es de 20cm? (1 litro = 31000cm ).

3.- En un depósito de un cono invertido se vierte agua a razón de hm /16 3 .

El cono tiene m25 de profundidad y m20 de diámetro en su parte superior .Si hay una fuga de agua en la base y el nivel de agua está


129

subiendo a razón de hm /91 cuando el agua tiene m15 de profundidad.

Hallar la rapidez con que el agua sale del depósito. 4.- Un grifo vierte agua en un depósito hemisférico de diámetro cm16 a la

razón de 312cm . Determinar la rapidez con que se eleva la superficie del agua:

Cuando el nivel del agua alcanza la mitad de la altura del depósito Cuando el agua empieza a derramarse. Sug: El volumen del segmento esférico es igual a

2 3 313

S r h h mπ π= −

5.- Una cámara de televisión sigue desde el suelo el despegue vertical de un

cohete de acuerdo con la ley 250)( ttSS == con S en pies y t en segundos. Si la cámara está a 2000 pies del lugar de despegue .Hallar la razón de cambio del ángulo de elevación de la cámara 15 segundos del despegue.

6.- Un abrevadero de 9 pies de largo, tiene sección transversal en la forma de

un triángulo isósceles de hipotenusa de 2 pies de largo, en la parte abierta del abrevadero. Si se vierte agua a razón de .min/2 3pies Calcular la altura )( th del agua a los .mint de haber iniciado la operación. Encontrar también la razón del cambio de la altura en el instante 2=t .

7. Una asociación de padres de familia de un colegio desea rentar el tren

del centro para llevar a sus hijos a Huancayo. La empresa accede a rentar el tren si el número de viajeros no es menor que 200.La tarifa por persona será $ 8 si viajan 200 y se reduce en un centavo de dólar por cada viajero adicional ¿Cuál es el número de pasajeros que conviene a la empresa?

8.- Un avión despega de un campo con dirección al N a las 14 horas a una

velocidad de 100 Km./h .Un segundo avión sale del mismo campo con dirección hacia el E a las 15 horas a una velocidad de de 150 Km. /h. ¿A qué razón está aumentando la distancia entre ellos a las 16 horas?


130

9.- Un astronauta se lanza al espacio, el peso de su cuerpo disminuye hasta llegar a un estado de ingravidad o ingravidez total . El peso W de un astronauta de 150 libras a una altura de x Km. Sobre el nivel del mar

está dado por ] 2

6406400150 ⎢⎣

⎡+

=x

W ¿ A razón de cuantas libras por

segundo ( lb/s ) pierde peso el astronauta si cuando kmx 1000= la astronave se va alejando a razón de 6 Km./s ?.

10.- Un estudio ambiental de una cierta comunidad indica que allí habrá

12003)( 2 ++= pppQ unidades de polución nociva de en el aire cuando la población sea de p miles . La población actual es de 30 000 y está creciendo a un ritmo de 2 000 por año ¿A que ritmo está creciendo el nivel de polución del aire ?

4.13 EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA DERIVADA Y SUS

APLICACIONES TEOREMA DE ROLLE.- Sea ][ →baF ,: R una función tal que :

i) F es continua en el intervalo ][ ba , ii) F es derivable en el intervalo >< ba , y iii) 0)()( == bFaF

Entonces existe al menos un punto ><∈ bac , tal que 0)(' =cF INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA.- En algún punto

))(,(0 cFcP de la curva sobre el intervalo >< ba ,


131

La recta tangente TL es paralela al eje X . (Ver fig.) TEOREMA DEL VALOR MEDIO.- Sea ][ →baF ,: R una

función tal que:

i) F es continua en el intervalo ][ ba , ii) F es derivable en el intervalo >< ba ,

Entonces existe un punto ><∈ bac , tal que ab

aFbFcF−−

=)()()('

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA.- En algún punto

))(,(0 cFcP de la curva sobre el intervalo >< ba , la recta tangente

TL es paralela al segmento AB . (Ver fig.).

Y

0 f’ (c) = 0

(a, f (a))

P0 (c , f (c))

c

(b, f (b))

Pendiente = 0

X


132

EJEMPLOS 1.- Dado xxxF 94)( 3 −= , verificar que satisface las condiciones del

teorema de Rolle en los intervalos [ ]0,23

− [ ]23,0 [ ]

23,

23

−

y hallar un valor apropiado dec en cada uno de los intervalos para los cuales 0)(' =cF .

Solución xxxF 94)( 3 −= es continua y derivable en todo R por ser una función

polinomial ,esto prueba que se cumple las condiciones i) y ii) .

Haciendo 0)( =xF se tiene que 23

−=x 0=x 23

=x

Si 23

−=a 0=b se cumplen las hipótesis del teorema de Rolle en

[ ]0,23

− y análogamente se cumplen en [ ]23,0 [ ]

23,0 .

Y

(x, f (x))

A

a x b c

(x, y)

E(x)

( a , f (a))

(b, f (b)) B

X


133

⇒=−= 0912)(' 2xxF 23

0912)(' 2 ±=⇒=−= cccF , entonces

tenemos que: para [ ]0,23

− 23

−=c , para [ ]23,0

23

=c

y para [ ]23,

23

− , 23

±=c .

2.- Hallar el valor de 0x que satisface las condiciones del Teorema del valor

Medio si 343)( 2 −+= xxxF cuando 1=a 3=b . Solución Aplicando el TVM 4)1()( == FaF 36)3()( == FbF

46)(' += xxF 46)(' 00 += xxF 2=− ab entonces tenemos que 2)46(2436 00 =⇒++= xx

3.- Aplicando el TVM calcular aproximadamente 6 65 Solución Sea 6)( xxF = 64=a 65=b , entonces se obtiene que

)6465(6

1)64()(')6465()64()65(6 5

0

0 −+=−+=x

FxFFF

6564 0 << x , como 0x no se conoce asumimos 640 =x , entonces

00521,2192

1264616465

6 566 ≅+=+=

4.- Dado 12)( 2 ++= xxxF , 41 ≤≤ x , encuentre un número >∈< 4,1c

tal que 14

)1()4()('−−

=FFxF

Solución

F satisface las condiciones del TVM sobre el intervalo [ ]4,1 por tanto existe tal número >∈< 4,1c , pero como 22)(' += xxF

25)4( =F 4)1( =F , por tanto ⇒−−

=+1442522c

25

=c es un número

con las propiedades requeridas .


134

EJERCICIOS 1.- Enuncie la generalización del Teorema del Valor Medio 2.- Si 3 43 5)( xxxg += , [ ]8,8− , hallar todos los números

>−∈< 8,8c tal que se cumple )8(8

)8()8()('−−

−−=

ggxg .

3.- Para la función 3124)( 23 −−+= xxxxH , encontrar tres intervalos

[ ]ba , tal que se cumplan las condiciones del teorema de Rolle y halle un número 0x en cada intervalo abierto >< ba , tal que

0)(' 0 =xH . 4.- Aplicando el teorema de Rolle, verificar que la ecuación

01464 23 =−+− xxx tiene al menos una raíz real en el intervalo abierto >< 1,0 .

5.- En cada uno de los ejercicios, hallar los intervalos [ ]ba , en los

que 0)()( == bFaF y el Teorema de Rolle es aplicable .Para cada uno de ellos hallar los 0x tal que 0)(' 0 =xF .

a) xxxF 2)( 2 −= f) 23)( 2 +−= xxxF b) 6116)( 23 −+−= xxxxF g) )2()( 2 −−= xxxxF

c) 1)( 32

−= xxF h) 2

32)(2

+−−

=x

xxxF

d) 33)( −−= xxF i) 2)1()3()( +−= xxxF

e) 106)( 2 +−= xxxF j) ( ) 4 ( )F x x tg xπ= −

f) ( )2 6x xF x sen π⎛ ⎞= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠ k) xsenxxF 246)( −=

π

6.- Aplicar el Teorema del Valor Medio a F en el intervalo indicado y

hallar los valores de 0x en >< ba , tales que ab

aFbFxF−−

=)()()(' 0

a) )2()( 2 −−= xxxxF , [ ]1,1− b) senxxxF 2)( −= , [ ]ππ ,−


135

c) 3)( xxF = , [ ]1,0 d) senxsenxxF += 2)( [ ]π,0 7.- La altura de una bola t segundos después de ser lanzada viene dada

324816)( 2 ++−= txtF ¿Según el Teorema de Rolle , que velocidad ha llevado en algún momento del intervalo [ ]2,1 ?

8.- El costo de pedido y transporte de compuesto usado en una factoría

viene dado por )3

1(10)(+

+=x

xx

xC con C medido en miles de

dólares y x la cantidad del pedido en cientos de unidades :

a) Verificar que )6()3( CC = b) Según el teorema de Rolle , la razón de cambio del costo debe ser

cero en algún tamaño del pedido en el intervalo [ ]6,3 . Hallarlo.

4.14 REGLAS DE L’ HOSPITAL

TEOREMA 1. Sean →IGF :, R dos funciones y )()(0 GDFDx ∩∈ . Supongamos que

0)(...)(')( 0)1(

00 ==== − xFxFxF n , 0)(...)(')( 0

)1(00 ==== − xGxGxG n donde )()( nn GyF son

continúas en un intervalo )()( GDFDI ∩⊂ tal que Ix ∈0 y

0)( 0)( ≠xG n , entonces

)()(

))()((lim

0)(

0)(

0 xGxF

xGxF

n

n

xx=

→.

TEOREMA 2. Sean →IGF :, R dos funciones continuas en [ ] )()(, 00 GDFDxhx ∩⊂− para 0>h y derivables en

>−=< 00 , xhxI , con IxxG ∈∀≠ 0)(' .Si 0)( 0 =xF 0)( 0 =xG

y ⇒=−→

LxGxF

xx)

)()((lim '

'

0

LxGxF

xx=

−→)

)()((lim

0

.


136

TEOREMA 3. Sean →IGF :, R dos funciones continuas en [ ] )()(, 00 GDFDhxx ∩⊂+ para 0>h y derivables en

>+=< hxxI 00 , , con IxxG ∈∀≠ 0)(' .Si 0)( 0 =xF

0)( 0 =xG y ⇒=+→

LxGxF

xx)

)()((lim '

'

0

LxGxF

xx=

+→)

)()((lim

0

TEOREMA 4.- Sean →IGF :, R dos funciones continuas en

[ ] )()(, 00 GDFDhxhx ∩⊂+− para 0>h y derivables con 0)(' ≠xG en el intervalo >+<∪>−< hxxhx 000 ,, . Si

0)( 0 =xF 0)( 0 =xG y ⇒=→

LxGxF

xx)

)()((lim '

'

0

LxGxF

xx=

→)

)()((lim

0

TEOREMA 5.- Sean →IGF :, R dos funciones y

)()(0 GDFDx ∩∈ para los cuales )1()1( −− nn GyF son continuas en [ ]hxhx +− 00 , , 0>h y además )()( xF n y )()( xG n existen en el mismo intervalo tal que 0)()( ≠xG n en

>+<∪>−< hxxxhx 0000 ,, . Si 0)(....)('')(')( 0

)1(000 ===== − xFxFxFxF n

0)(....)('')(')( 0)1(

000 ===== − xGxGxGxG n y LxGxF

n

n

xx=

→)

)()((lim )(

)(

0

entonces ))()((lim)

)()((lim )(

)(

00 xGxF

xGxF

n

n

xxxx →→= .

Los teoremas mencionados se llaman Reglas de L’ Hospital y es muy

importante tener presente que estos teoremas solamente se pueden aplicar

para calcular el ))()((lim

0 xGxF

xx→ cuando 0)( 0 =xF y 0)( 0 =xG .

TEOREMA 6.- Sean →IGF :, R funciones derivables en [ >∞,h

para algún 0>h y 0)(' ≠xG para [ >∞∈ ,hx .Si 0)(lim =∞→

xFx

y

0)(lim =∞→

xGx

y si LxGxF

x=

∞→)

)(')('(lim , entonces L

xGxF

x=

∞→)

)()((lim


137

TEOREMA 7.- Sean →IGF :, R funciones derivables en ]h,−∞< para algún 0>h y 0)(' ≠xG para ]hx ,−∞∈< .Si

0)(lim =∞→

xFx

y 0)(lim =∞→

xGx

y si LxGxF

x=

−∞→)

)(')('(lim , entonces

LxGxF

x=

−∞→)

)()((lim

TEOREMA 8 ( L’ Hospital ∞∞ ).- Sean →IGF :, R funciones:

Continuas en [ ]hxx +00 , Derivables en >+< hxx 00 ,

0)(' ≠xG >+∈< hxxx 00 , ∞=

+→)(lim

0

xFxx

∞=+→

)(lim0

xGxx

)())(')('(lim ∞±=

−∞→oL

xGxF

x.

Entonces LxGxF

xGxF

xxxx==

++ →→)

)(')('(lim)

)()((lim

00

)( ∞±o


138

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1.- Calcular )(lim 30 xsenxx

x

−→

Solución Sea senxxxF −=)( , 3)( xxG = observamos que 0)0( =F 0)0( =G , por tanto

)0()0(

GF está indefinido, por tanto

61)

6(lim)

3cos1(lim)

)()((lim

0200==

−=

→→→ xsenx

xx

xGxF

xxx

2.- Evaluar 21

0)(lim x

x xsenx

→

Solución 2 2

3 30

1 11lim6

0 0 0lim lim 1 1 lim 1 x

xsenx x senx xsenx xx x

x xx x x

senx senx senx x e ex x x

→

− −− −

→ → →

⎡ ⎤⎛ − ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= + − = + = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

En este problema se ha usado el numero e la Regla de L’ Hospital.

3.- Encontrar )(lim0 senxx

xtgxx −

−→

Solución Aplicando el mismo método que en el problema 1,

=−

−−=

−−

→→)

)cos1(cos1seccos1(lim)

cos11sec(lim 2

22

0

2

0 xxxx

xx

xx2)

coscos1(lim 20

=+

→ xx

x

4.- Calcular )1

)1((lim

x

xtg

x ∞→

Solución

1)1(seclim)1

)1(sec1

(lim)1

)1((lim 2

2

22

==−

−=

∞→∞→∞→ xx

xx

x

xtg

xxx


139

5.- Para un cierto valor deλ , el límite ][ xxxx

−++→

λ)27(lim 45

0 es finito y

diferente de cero. Determinar λ y calcular el valor del límite. Solución

] =⎢⎣

⎡+++

+++−++=−++=

∞→∞→)

)27())27)(()27(((lim)27(lim 45

454545

xxxxxxxxxxxxL

xx λ

λλλ

))27(

)27((lim))27(

))27)(()27(((lim 45

2245

45

4545

xxxxxx

xxxxxxxxx

xx +++−++

=⎢⎣

⎡+++

+++−++∞→∞→ λ

λ

λ

λλ

este límite existe si el grado del numerador y del denominador son

iguales, entonces 210 =λ o 15 =λ en ambos casos 51

=λ , por tanto

para este valor 57

=L


140

4.15 APLICACIONES DE LA DERIVADA MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES DE FUNCIONES. FUNCIONES CRECIENTE Y DECRECIENTE (O MONÓTONAS)

DEFINICIÓN.- Sea →IF : R una función definida en un intervalo I y Ixx ∈21 , . Entonces: i) F es una función creciente en I , si para ⇒< 21 xx

)()( 21 xFxF < ii) F es una función decreciente en I , si para ⇒< 21 xx

)()( 21 xFxF > iii) F es una función constante en I , si para ⇒< 21 xx

)()( 21 xFxF = La figura 1 ilustra gráficamente la definición anterior.

Figura 1

Con la siguiente definición se presenta la terminología que se usa para denotar los valores más grandes y los valores más pequeños de una función en un intervalo I .

DEFINICIÓN.- Sea →IF : R una función definida en un intervalo I y sea Ix ∈0 . Entonces: i) )( 0xF es el máximo o valor máximo de F en I si )()( 0xFxF ≤ Ix∈∀ ii) )( 0xF es el mínimo o valor mínimo de F en I si )()( 0xFxF ≥ Ix∈∀


141

Las figuras 2 y 3 muestran un máximo y un mínimo, en ellas se presenta I como intervalo cerrado [ ]baI ,= .

Figura 2 y 3

Si )( 0xF es el máximo de F en I , se dice que F alcanza su máximo

en 0x y en este caso el punto ))(,( 000 xFxP es el punto mas alto de la gráfica, llamado también cúspide o cima.

Si )( 0xF es el mínimo de F en I , se dice que F alcanza su mínimo

en 0x y en este caso ))(,( 000 xFxP es el punto mas bajo de la gráfica, llamado también valle o sima.

Los máximos y mínimos son también denominados valores extremos de

F .


142

EJEMPLOS 1.- La función 23 3)( xxxF −= es creciente en ]0,−∞< , [ >∞,2 y decreciente en [ ]2,0 como se ve en la figura 4

Figura 4

2.- Localizar los valores extremos de 23 3)( xxxF −= en los intervalos

siguientes intervalos >−< 5,3 , >−< 3,2 >−< 3,1 >−< 4,1 [ >− 5,3 [ ]5,3−

Solución

i) En >−< 5,2 , F no posee máximo ni mínimo ii) En >−< 3,2 , F solo tiene máximo y su valor máximo es

0)0( =F iii) En >−< 3,1 , F tiene máximo y mínimo, su valor máximo es

0)0( =F y su valor mínimo es 4)2( −=F . iv) En >−< 4,1 , F tiene mínimo y su valor mínimo es

4)2( −=F v) En [ >− 5,3 , F tiene mínimo y su valor mínimo es

54)3( −=−F vi) En [ ]5,3− , F tiene máximo y mínimo absolutos y su valor

máximo 50)5( =F y su valor mínimo es 54)3( −=−F


143

Figura 5

TEOREMA.- Si [ ]→baF ,: R es una función continua en [ ]ba , ,

entonces F alcanza un mínimo y un máximo por lo menos una vez en [ ]ba , .

Los valores extremos de una función se llaman también mínimo absoluto

y máximo absoluto de F en un intervalo. Los máximos y mínimos locales de una función son también importantes y se definen como sigue.

DEFINICIÓN.- Sea 0x un punto del dominio de F ( )(0 FDx ∈ )

entonces:

i) )( 0xF es un máximo local (o máximo relativo) de F si existe un intervalo abierto ><= baI , Ix ∈0 tal que

)()( 0xFxF ≤ Ix∈∀ ii) )( 0xF es un mínimo local (o mínimo relativo) de F si existe

un intervalo abierto ><= baI , Ix ∈0 tal que )()( 0xFxF ≥ Ix∈∀ .


144

La palabra local se refiere a que estos máximos y mínimos lo son en relación con una región, un intervalo abierto pequeño ><= baI , que contiene al punto 0x . Fuera de este intervalo F puede tomar valores mayores o menores. Los máximos y mínimos locales pueden no incluir entre ellos a los máximos y mínimos absolutos de F .

Figura 6

DEFINICIÓN (PUNTO CRÍTICO).- Sea →IF : R, un punto Ix ∈0

se llama punto crítico o punto singular (o estacionario) de F si 0)(' 0 =xF o )(' 0xF no existe (siempre que )(0 FDx ∈ o que existe

)( 0xF ). EJEMPLOS

1.- Hallar los puntos estacionarios de la función 31

2 )4()5()( −+= xxxF Solución

⇒−+= 31

2 )4()5()( xxxF

=−++−+=−

32

231

)4()5((31)4)(5(2)(' xxxxxF


145

0)(')4(3

197)(5()('32 =⇒

−

−+= xF

x

xxxF si 7

195 =∨−= xx , )4('F

no existe, pero )(4 FDx ∈= , entonces 7

19,5 =−= xx y 4=x son

puntos críticos de F .

2.- Hallar los puntos críticos de 212

)(xx

xG+

=

Solución

[ ] 1010)1(

12)(' 222

2

±=⇒=−⇔=+−

= xxxx

xxxG , pero en )0('G no

existe, sin embargo )0(G existe, entonces 1,0,1−=x son puntos críticos de G

TEOREMA.- Sea [ ]→baF ,: R una función continua en [ ]ba , y

derivable en >< ba , . i) Si 0)(' >xF para todo ><∈ bax , , entonces F es creciente

en [ ]ba , ii) Si 0)(' <xF para todo ><∈ bax , , entonces F es

decreciente en [ ]ba , iii) Si 0)(' =xF para todo ><∈ bax , , entonces F es una

constante en >< ba , EJEMPLOS 1.- Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de

23

23)( xxxF −=

Solución ⇒=−= 033)(' 2 xxxF 10 yx = son los puntos críticos, entonces

analizaremos en los siguientes intervalos >∞−< 0, >< 1,0 >∞< ,1 .


146

Intervalo >∞−< 0, >< 1,0 >∞< ,1

Valor prueba 1−=x 21

=x 2=x

Signo de )(' xF 06)1(' >=−F 043)

21(' <−=F 06)2(' >=F

Conclusión Creciente en

]0,∞−< Decreciente en [ ]1,0 Creciente en [ >∞,1

La grafica de F se ilustra en la figura 7.

Figura 7

2.- Encontrar los intervalos donde )696(61)( 23 ++−= xxxxH es creciente

o decreciente 0)94(21)(' 2 =+−= xxxxH 31 yx = son los punto

críticos, lo analizaremos en los siguientes intervalos >∞−< 1, >< 3,1 >∞< ,3


147

Intervalo >∞−< 1, >< 3,1 >∞< ,3

Valor prueba 0=x 2=x 4=x

Signo e )(' xH 023)0(' >=H 0

21)2(' <−=H 0

23)4(' >=F

Conclusión Creciente en

]1,∞−< Decreciente en [ ]3,1 Creciente en [ >∞,3

La gráfica se ilustra en la figura 8.

Figura 8

OBSERVACIÓN.- ¿Como determinar los máximos y mínimos

absolutos de una función F en un intervalo cerrado [ ]ba , ?

Esta no es una regla rígida, pero es una recomendación muy importante: i) Encontrar todos los puntos singulares de F ii) Calcular )( 0xF para cada punto crítico 0x iii) Calcular )( aF )(bF


148

iv) El máximo y el mínimo absolutos de F en [ ]ba , , son respectivamente el mayor y menor de los valores de la función obtenidos en ii) y iii) .

EJEMPLO Calcular el máximo y mínimo absolutos de xxxH 12)( 3 −= en el intervalo [ ]5,3− Solución

⇒=−= 0123)(' 2xxH i) 2±=x son los puntos críticos de H ii) 16)2( =−H 16)2( −=H iii) 16)2( =−H 16)2( −=H iv) 9)3( =−H 65)5( =H

Por la observación [ ]5,3− , el mínimo absoluto es 16)2( −=−H y el máximo absoluto es 65)5( =H como se aprecia en el gráfico.

Figura 9

TEOREMA (CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA).- Sea 0x un punto crítico de una función →IF : R continua en un intervalo abierto >=< baI , Ix ∈0 y derivable en >=< baI , , excepto a lo sumo en el mismo punto 0x . Entonces )( 0xF puede clasificarse como sigue:


149

i) Si 'F cambia de signo de positiva a negativa en 0x , entonces )( 0xF es

un Máximo relativo de F . ii) Si 'F cambia de signo de negativa a positiva en 0x , entonces )( 0xF

es un mínimo relativo de F . iii) Si 0)(' >xF ∨ 0)(' <xF para todo Ix∈ , excepto 0xx = ,

entonces )( 0xF no es un valor extremo de F . EJEMPLOS 1.- Determinar los valores extremos de la función 3 22 )8()( xxxH −= y

trazar la gráfica. Solución

03

)2(8)32()8()('

3

231

2 =−

=−=−

xxxxxH entonces los puntos críticos

son 2±=x )0('H no existe, pero )0(H está bien definida, entonces 0=x es también punto crítico, sugiere obtener el signo de )(' xH en

cada uno de los intervalos >−∞−< 2, >−< 0,2 >< 2,0 >∞< ,2

Intervalo 2−<<∞− x ><<− 02 x 20 << x ∞<< x2

Valor prueba k 8−=x 1−=x 1=x

8=x Valor de prueba

)(' kH 3248)8(' −=−H

38)1(' =−H

38)1(' −=H

3248)8(' =H

Signo de )(' kH ⎯ + ⎯

+ Conclusión

decreciente en ]2,−∞−<

creciente en [ ]0,2−

decreciente en [ ]2,0

creciente en [ >∞,2

Por el teorema del primer criterio tiene mínimos locales en 2±=x y

un máximo local en 0=x y los valores mínimos están dados por 3 26)2( −=±H y su valor máximo por 0)0( =H (Figura 10)


150

Figura 10

4.16 CONCAVIDAD Y CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA DEFINICIÓN.- Sea F una función derivable en un punto 0x .

i) La gráfica de F es cóncava hacia arriba en el punto ))(,( 000 xFxP si existe un intervalo abierto >=< baI , que

contiene a 0x , tal que en >=< baI , la gráfica de F está por encima de la recta tangente en ))(,( 000 xFxP

ii) La gráfica de F es cóncava hacia abajo en el punto ))(,( 000 xFxP si existe un intervalo abierto >=< baI , que

contiene a 0x , tal que en >=< baI , la gráfica de F está por debajo de la recta tangente en ))(,( 000 xFxP .

TEOREMA (CRITERIO DE CONCAVIDAD).- Sea F una función

derivable en un intervalo >=< baI , , tal Ix ∈0 y )('' 0xF existe.

i) Si 0)('' 0 >xF , la gráfica tiene concavidad hacia arriba en 0x ii) 0)('' 0 <xF , la gráfica tiene concavidad hacia abajo en 0x .

DEFINICIÓN (PUNTO DE INFLEXIÓN).- Un punto

))(,( 000 xFxP en la gráfica de una función F es punto de inflexión si


151

''F existe en un intervalo abierto >=< baI , , tal que Ix ∈0 y que ''F cambia de signo en 0x .

Dicho en pocas palabras: Un punto ))(,( 000 xFxP donde cambia de

concavidad la gráfica de la función F se denomina punto de inflexión TEOREMA.- Si ))(,( 000 xFxP es un punto de inflexión de la gráfica

de F , entonces 0)('' 0 =xF o )('' 0xF no está definido.

TEOREMA (CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA).- Si una función ⊂IF : R⇒R satisface las condiciones: i) F tiene dderivadas hasta segundo orden continuas

en >=< baI , con Ix ∈0 ii) 0)(' 0 =xF iii) 0)('' 0 ≠xF Entonces: a) Si 0)('' 0 <xF , F posee un máximo local en 0x y su valor

máximo es )( 0xF b) Si 0)('' 0 >xF , F posee un mínimo local en 0x y su valor

mínimo es )( 0xF ¡COMENTARIO! Existen problemas en que las condiciones dados en los criterios de la primera y segunda derivada no son aplicables. Por ejemplo si 4)5()( −= xxH para todo ∈x R Como ⇒−= 3)5(4)(' xxH 5=x es un punto critico de H , pero

⇒−= 2)5(12)('' xxH 0)5('' =H entonces el criterio de la segunda derivada no se puede aplicar, pero la teoría recomienda retomar el criterio de la primera derivada o viceversa, sin embargo podemos determinar los valores extremos de H , concavidad , puntos de inflexión con la ayuda del siguiente teorema que no es muy común en los textos de calculo diferencial.


152

TEOREMA ⊗ .- Sea ⊂IF : R⇒R que satisface las siguientes condiciones: i) F tiene derivadas continuas hasta el orden n en >=< baI , ii) 0)(....)(''')('' 0

)1(00 ==== − xFxFxF n y

iii) 0)( 0)( ≠xF n

Entonces se tiene: iv) Si n es par y ⇒> 0)( 0

)( xF n F es cóncava hacía arriba en

0x v) Si n es par y ⇒< 0)( 0

)( xF n F es cóncava hacía abajo en

0x vi) Si n es impar, en 0x existe punto de inflexión para F

EJEMPLOS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

1.- Dado la función )8(81)( 24 xxxG −= encontrar los valores extremos,

intervalos de crecimiento y de decrecimiento y graficar Solución

⇒=−= 0)164(81)(' 3 xxxG 2;0;2−=x son los puntos críticos, lo

analizaremos en los siguientes intervalos >−∞−< 2, >−< 0,2 >< 2,0 >∞< ,2

Intervalo 2−<<∞− x 02 <<− x 20 << x ∞<< x2


3=x Valor de prueba

)(' kG 215)3(' −=−G

25)1(' =−G

23)1(' −=G

215)3(' =G

Signo de )(' kH ⎯ + ⎯

+ Conclusión

decreciente en ]2,−∞−<

creciente en [ ]0,2−

decreciente en [ ]2,0

creciente en [ >∞,2

De acuerdo el criterio de la primera derivada tenemos que 0)0( =G es un valor máximo relativo y 2)2()2( −==− GG son valores mínimos relativos.


153

Figura 11

2.- Dado la función 35 5)( xxxH −= , encontrar los valores extremos, los

intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los intervalos de concavidad, puntos de Inflexión y trazar la grafica.

Solución ⇒=−= 0155)(' 24 xxxH 3,0,3−=x son los puntos

estacionarios ⇒=−= 03020)('' 3 xxxH 23,0,

23

−=x son los

posibles puntos de inflexión Como 0)0('' =H el criterio de la segunda derivada no se puede aplicar,

sin necesidad de acudir al criterio de la primera derivada podemos decidir aplicando el último Teorema ⊗ ,

030)0('''3060)(''' 2 ≠−=⇒−= HxxH entonces 0=x

corresponde a un punto de inflexión en 23,0,

26

−=x los puntos

de inflexión son:


154

)8621,

26()

26(,

26(0 −=− HP ))0,0(1P )

8621,

26(2 −P

Intervalo 26

−<<∞− x 026

<<− x 260 << x

∞<< x26


2=x

Valor de prueba )('' kH 100)2('' −=−H 10)1('' =−H 10)1('' −=H

100)2('' =H

Signo de )('' kH ⎯ + ⎯

+

Concavidad Cóncava abajo en

]26,−∞−<

Cóncava arriba

en ]0,26

⎢⎣

⎡−

Cóncava abajo en

[ ]26,0

Cóncava arriba en

>∞⎢⎣

⎡,

26

⇒<−=− 0330)3(''H existe máximo y su valor máximo es 36)3( =−H , ⇒<= 0330)3(''H existe mínimo y su valor

mínimo es 36)3( −=H

Los intervalos de crecimiento son y de decrecimiento ]3, −∞−< y [ >∞,3

Intervalos de decrecimiento [ ]3,3− .


155

Figura 12

3.- Dado la función 16203)( 35 +−= xxxF , encontrar los valores extremos,

los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los intervalos de concavidad, puntos de inflexión y trazar la grafica

Solución ⇒=−= 06015)(' 24 xxxF 2,0,2−=x son los puntos críticos ⇒=−= 012060)('' 3 xxxF 2,0,2−=x son los posibles puntos de

inflexión, análogamente que en el ejemplo anterior 0)0('' =F , entonces no es aplicable el segundo criterio, pero por Teorema ⊗

0120)0('''120180)(''' 2 ≠−=⇒−= FxxF 0=⇒ x corresponde a punto de inflexión y los punto de inflexión son

)22816,2(0 +−P ))16,0(1P )22816,2(2 −P


156

Intervalo 2−<<∞− x 02 <<− x 20 << x

∞<< x2 Valor prueba k 2−=x 1−=x 1=x

2=x

Valor de prueba

)('' kH 240)2('' −=−H 60)1('' =−H 60)1('' −=H

240)2('' =H Signo de

)('' kH ⎯ + ⎯ +

Concavidad Cóncava abajo en

]2,−∞−<

Cóncava arriba

en

]2 , 0⎡−⎣

Cóncava abajo en [ ]2,0

Cóncava arriba en

2 ,⎡ ∞ >⎣

0240)2('' <−=−F existe máximo y su valor máximo es 80)2( =−H ,

0240)2('' >=H existe mínimo y su valor máximo es 48)2( −=H Los intervalos de crecimiento son: ]2,−∞−< [ >∞,2 Intervalos de decrecimiento [ ]2,2−

Figura 13


157

4.- Dado la función 3)4()( −= xxxH , encontrar los valores extremos, los

intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los intervalos de concavidad, puntos de inflexión y trazar la grafica

Solución

=+−−=−+−= )34()4()4(3)4()(' 223 xxxxxxxH 0)4()1(4 2 =−− xx

4,1=x son los puntos críticos 0)2)(4(12)('' =−−= xxxH 4,2=x son los posibles puntos de inflexión , pero 0)4('' =H entonces

no se puede aplicar el criterio de la segunda derivada, pero por Teorema ⊗ 072)4(''' ≠−=H entonces 4=x corresponde a punto de inflexión y los puntos de inflexión son )16,2())2(,2(0 −=HP

)0,4())4(,4(1 =HP , el comportamiento del grafico analizaremos en los siguientes intervalos como se ve en el recuadro:

Intervalos )( xH )(' xH )('' xH Forma de gráfica

1<x - + Decreciente, cóncava hacia arriba

1=x - 27 0 + Mínimo relativo y su valor mínimo 27)1( −=H

21 << x + + Creciente , cóncava hacia arriba

2=x -16 + 0 Punto inflexión

42 << x + - Creciente , cóncava hacia Abajo

4=x 0 0 0 Punto de inflexión

4>x + + Creciente cóncava hacia arriba


158

Figura 14

5.- Determinar los valores extremos, la concavidad y los puntos de inflexión

de la función 186)( 34 +−= xxxh . Solución

02424)(' 23 =−= xxh 1,0=x son los puntos críticos,

⇒=−= 0)23(24)('' xxxh 32,0=x son los posibles punto de

inflexión. Como 0)0('' =h no se puede aplicar el teorema de segundo criterio, pero usando Teorema ⊗ tenemos 048)0(''' ≠−=h entonces 0=x corresponde a un punto de Inflexión y los puntos de inflexión son

)1,0())0(,0(0 =gP )275,

32())

32(,

32(1 −=gP , además

024)1('' >=h , entonces hay mínimo en 1=x y su valor mínimo es 1)1( −=h . Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento se da en

gráfico de la función.


159

Figura 15

6.- El costo de producción de x pantalones de casimir ingles 100 a 100 es

xxC 32)( += dólares y el precio de venta por pantalón es xxP 255)( −= ¿Cuántos pantalones se debe producir diario para

maximizar la utilidad? Solución

El ingreso por la venta de pantalones es )255()( xxxI −= , luego la utilidad es 2252)()()( 2 −−=−= xxxCxIxU , entonces

130452)(' =⇒=−= xxxU es el único punto de inflexión 04)13(''4)('' <=⇒−= UxU entonces existe máximo y valor máximo

es 336$)13( =U el número de pantalones producidos por día es 13=x Con lo cual ayuna utilidad diaria de 336$)13( =U .

7.- En una ciudad de 5000 habitantes, la tasa de propagación de una

epidemia (índice de variación de personas infectadas) es proporcional al producto del número de personas infectadas por el número de personas inmunizadas de esta enfermedad .Si la epidemia se difunde con una tasa de 9 personas por día cuando hay 100 personas infectadas a) ¿Con que


160

tasa se difunde la epidemia cuando ya están contagiados 200 personas? b) ¿Cuál es el número de personas contagiadas?

Solución

Sea x = el número de personas contagias, =− x5000 número de personas no contagias y =)(xg número de personas contagiadas por día, entonces )5000()( xkxxg −= donde 0>k es la constante de proporcionalidad. Por dato, cuando hay 100=x personas infectadas, hay 9 personas contagiadas por día 9)100( =g sustituyendo

4900009)1005000)(100(9 =⇒−= kk ,

entonces )5000(490000

9)( xxxg −=

a) Cuando 200=x 6,17)2005000()200(490000

9)200( =−=g

personas por día b) 0)25000(

4900009

4900009)5000(

4900009)(' =−=−−= xxxxg

entonces 2500=x

0245000

9)2500(''245000

9)2(490000

9)('' <−=⇒−=−= gxg

, luego hay un máximo de 2500=x y

115)25005000()2500(490000

9)2500( ≅−=g contagiadas por

día.


161

EJERCICIOS 1.- Un abrevadero de 9 pies de largo tiene sección transversal en la forma de

un triángulo isósceles de hipotenusa de 2 pies de largo en la parte abierta del abrevadero. Supongamos que en el abrevadero se vierte agua a razón de 2 pies3/min. Calcular la altura h(t) del agua a los t minutos de haber empezado la operación, encontrar también la razón de cambio de la altura en el instante t = 2.

2.- El volumen de ventas y = F(x) de una tienda en función del gasto diario

x de publicidad está dado por )388(50)( 2 ++−= xxxF donde x e y están expresados en miles de dólares:

a) Determinar si es ventajoso que el presupuesto diario de

publicidad fuera aumentado, si actualmente éste es: i) 300 dólares, ii) 600 dólares

b) ¿Cuánto debe asignarse al presupuesto de publicidad para obtener el máximo volumen de ventas?

3.- Se estima que dentro de x meses la población de una cierta comunidad

será 80020)( 2 ++= xxxP a) ¿A qué ritmo cambiará la población dentro de 15 meses? b) ¿Cuánto cambiará realmente la población durante el décimo

sexto mes. 4.- Dado las siguientes funciones, hallar los valores extremos, intervalos de

crecimiento y de decrecimiento, intervalos de concavidad, puntos de inflexión (si existen) y graficar la curva:

i) 22 )4()( −= xxF vi) 5223

41)( 24 ++−= xxxxG

ii) )135403(2701

)( 35 xxxxF ++−= vii) )696(61

)( 23 ++−= xxxxH

iii) 311232)( 23 +−−= xxxxF viii) 2)212()( xxxG −=

iv) 34 44)( xxxF −= ix) )8()( 232

−= xxxG

v) 31

32

)2()1()( +−= xxxG x) xxxxxv 8126)( 234 −+−=


162

5.- Lo mismo que en el problema (4) resolver los siguientes problemas: a) 143)( 34 +−= xxxh f) 68)( 24 −−= xxxh

b) 125127

301)( 246 −++−= xxxxxf g) 35 53)( xxxf −=

c) 20100

)(45 xxxg −= h) 210

332

59)( 36 −+−= xxxxf

d) 32 )5()( −= xxh i) 32 )8()( −= xxh e) 8188)( 234 −++= xxxxg j) 22 )9()( −= xxg

6.- Hallar los valores de m y n tal que la función definida por

3( ) 9F x m x n x= + + tiene un valor máximo igual a 5 en 10=x . 7.- Se va bardear un campo rectangular con 600 metros de material y

después subdividir el campo en dos partes con una barda paralela a uno de los lados. De todos los terrenos en los cuales se puede hacer esta operación ¿cuáles son las dimensiones para que el área sea máxima?

8.- Se va a reforzar una pared por medio de una viga que debe pasar sobre

otra pared baja de b metros de altura y situada a metros de la pared alta que va a ser reforzada. Graficar y hallar la longitud de la viga mas corta que se puede usar .Estimar para a = 27b

9.- El Departamento de carreteras del Ministerio de Transportes planea

construir un área de recreo para automovilistas a los largo de la panamericana sur. Debe ser de forma rectangular con un área de 5 000 m2 y debe ser cercado por los tres lados no adyacentes de la carretera. ¿Cuál será la menor cantidad de cerca que será necesario para completar el trabajo?

10.- Una compañía de autobuses alquila un autobús de 50 asientos a grupos de

35 o mas personas .Si un grupo es exactamente de 35 personas cada una de ellos paga S/. 60 c/u. en grupos mayores, la tarifa de todos se reduce en un sol por persona que sobrepasa los 35 personas .Determinar el tamaño del grupo para el cual los ingresos de la compañía sean mayores.

11.- Discutir la gráfica de la función 1,69,91,325,0)( 23 −+−= xxxxG ,

determinando los valores extremos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, intervalos de concavidad, puntos de inflexión.


163

12.- Un hombre se encuentra en una lancha, a cuatro millas del punto P más cercano de la costa (que es recta) y desea llegar a un punto Q, que está a diez millas del punto P a lo largo de la costa: La lancha puede desplazarse a 18 millas/hora. Y en cualquier punto de la costa podrá abordarse un automóvil que puede viajar a 30 millas/hora en dirección Q. ¿Hacia qué punto de la costa deberá dirigirse la lancha para alcanzar Q en este viaje combinado en el mínimo de tiempo?

13.- Una asociación de padres de familia de Cuzco desea rentar tren para

llevar a sus hijos a Machu-Picchu .La compañía accede rentar si el número de viajeros no es menor que 200.La tarifa por persona será de $8 si viajan 200 y se reduce en un Centavo de dólar por cada viajero adicional ( así si viajan 250 personas la tarifa se reduce a $7,50) ¿Cuál es el número de pasajeros que representará el mejor arreglo para la CIA ferroviaria?

14.- Esbozar el gráfico de una función con todas las propiedades siguientes:

a) 0)(' >xh cuando 0<x y cuando 5>x b) 0)(' <xh cuando 50 << x c) 0)('' >xh cuando 36 −<<− x y cuando 2>x d) 0)('' <xh cuando 6−<x y cuando 23 <<− x

15.- Esbozar el gráfico de una función con todas las propiedades siguientes:

a) 0)(' >xf cuando 1−<x y cuando 3>x b) 0)(' <xf cuando 31 <<− x c) 0)('' <xf cuando 2<x d) 0)('' >xf cuando 2>x

16.- Un alambre de 60 cm. de largo se va partir en dos trozos .Una de las

partes se va a doblarse en forma de circunferencia y la otra en forma de triángulo equilátero. ¿Como se debe cortar el alambre para que la suma de las áreas de la circunferencia y del triángulo que se forman sea máximo? ¿Y como debe cortar para que sea mínimo?


164


165

BIBLIOGRAFÍA

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Marcos. L. D. Hoffmann. (1980). Cálculo Avanzado para Administración y

Economía. México. Ed. McGRAW-HILL Maynanard Kong (2001). Cálculo Diferencial. Perú. Ed. UPCP E. F. Haeussler-R.S.Paul (2003). Matemática para Administración y

Economía. México. Ed. Prentice Hall. Tom. M Apóstol (1973). Cálculus V-I. México. Ed. Reverté. E .W. Swokowski (1988). Cálculo con Geometría Analítica. México. Ed.

Iberoamericana. Larson –Hosteler (1991). Cálculo con Geometría Analítica. México. Ed.

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Limusa Alvaro Pinzón (1984). Cálculo Diferencial I. Ed. Harla Frank Ayres, Jr (1985). Cálculo Diferencial e Integral. Ed. MGH Louis Leithold. Cálculo con Geometría Analítica. Ed. Harla

Analisis matematico 1

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