OBGETIVO GENERAL :

REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITCNICO

SANTIAGO MARIO

EXTENSIN-MATURN

ESTRUCTURAS HIPERESTTICAS POR EL MTODO DE KANI

Trabajo de Nivelacin de ndice

Autor: Jahnnys Alcal

Tutor: Merlin Villafranca

Maturn, abril de 2015

NDICE

Pp.

INTRODUCCIN ...

3

CAPTULO I ...

5

Planteamiento del Problema ............

5

Objetivos de la Investigacin ...............................................

6

Objetivo General

6

Objetivos Especficos

6

CAPTULO II ...................................

8

Desarrollo ..................................

8

Estructura ...

8

Hiperestaticidad Estructural

10

Mtodo de Kani .

18

Resultados

27

CONCLUSIN.

38

REFERENCIAS...............

39

INTRODUCCINToda estructura debe cumplir con las condiciones que se derivan de las tres componentes que intervienen en su clculo: esttica, cinemtica y leyes de comportamiento, que se traducen en ecuaciones de equilibrio, de compatibilidad y constitutivas. Calcular una estructura implica determinar tanto las incgnitas estticas (reacciones, esfuerzos de extremo de barra y solicitaciones) como las cinemticas (movimientos y funciones de desplazamiento). Ambos grupos estn relacionadas entre s, por lo que, para abordar el clculo, debe decidirse, en primer lugar, qu incgnitas son las principales: las estticas o las cinemticas y, en segundo lugar, de qu tipo de estructura se trata. Si la eleccin recae en las incgnitas estticas es imprescindible determinar su nmero o grado de indeterminacin esttica de la estructura (GIE) con el fin de utilizar un mtodo adecuado para su resolucin esttica en funcin de su clasificacin. Por otra parte debe identificarse si la estructura es un mecanismo y, por lo tanto, presenta problemas de estabilidad.Tomando en consideracin lo descrito, una estructura es hiperesttica cuando el GIE >0. En ese caso el nmero de ecuaciones de equilibrio es menor que el nmero de incgnitas estticas Una estructura hiperesttica tiene infinitas configuraciones estticamente admisibles. Ser, por lo tanto, estticamente indeterminada (para obtener la configuracin esttica real tendramos que considerar las condiciones de compatibilidad y las leyes de comportamiento).La hiperestaticidad se encuentra en varias formas: una estructura es internamente hiperesttica, esto se da si las ecuaciones no son suficientes para determinar sus esfuerzos. Por otra parte, es externamente hiperesttica, cuando las ecuaciones no son suficientes para determinar las fuerzas de reaccin que hay desde la estructura al suelo. Finalmente es completamente hiperesttica, cuando esto requiere que la estructura sea interna y externamente hiperesttica. Un problema que muestre estas caractersticas, tiene que resolverse tomando en cuenta la elstica del material en que est confeccionada la estructura, para as poder determinar y saber cules son las ecuaciones adecuadas que se van a aplicar, con la finalidad de poder resolver el problema estructural y sus deformaciones.Con relacin a lo descrito, se procedi a realizar un anlisis del mtodo de Kani para el anlisis de estructuras hiperestticas. En este sentido, el presente trabajo consta de dos (2) captulos, el Captulo I, donde se muestran el planteamiento del problema, objetivo general y especficos. Captulo II, conformado por el desarrollo y resultados de la investigacin. Seguidamente se muestran las conclusiones y referencias.

CAPTULO I

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

El anlisis estructural consiste en la determinacin del efecto de las acciones sobre la totalidad o parte de la estructura, con objeto de efectuar las comprobaciones de los estados lmites ltimos y de servicio. Dicho anlisis debe realizarse, mediante modelos estructurales adecuados que consideren la influencia de todas las variables que sean relevantes. Este proporciona resultados a nivel global (reacciones, desplazamientos) y a nivel seccional (esfuerzos, curvaturas, elongaciones). Debe servir, tambin, para determinar el comportamiento a nivel local (tensiones, deformaciones) de aquellas zonas singulares en las que las hiptesis clsicas de la resistencia de materiales no sean aplicables: zonas locales prximas a cargas concentradas, nudos, cambios bruscos de seccin, entre otros. Por lo tanto, debe adoptar, en cada caso, los modelos e hiptesis fundamentales de clculo apropiados para aproximar el comportamiento real de las estructuras con la precisin necesaria para asegurar la no superacin del estado lmite considerado.

Para realizar el anlisis se idealizan tanto la geometra de la estructura como las acciones y las condiciones de apoyo mediante un modelo matemtico adecuado que debe, asimismo, reflejar aproximadamente las condiciones de rigidez de las secciones transversales, de los elementos, de sus uniones y de los apoyos en el terreno. Cuando sea precis realizar anlisis dinmicos, los modelos estructurales deben adems considerar las caractersticas de masa, rigidez, resistencia y amortiguamiento de cada elemento estructural, as como las masas de los dems elementos no estructurales.

Sumado a esto, el conjunto de cargas que actan sobre una estructura queda completamente definido si se conocen las fuerzas directamente aplicadas sobre ella, y las reacciones en las ligaduras. Para establecer el equilibrio de fuerzas sobre la estructura, se plantea por cada rtula una ecuacin adicional. Una rtula divide a la estructura en dos partes e impide la transmisin de momentos entre stas. Por tanto, ha de verificarse que el sumatorio de momentos respecto a la rtula de todas las fuerzas y momentosactuando a un lado u otrode la rtula debe ser nulo.

Se dice que un problema es hiperesttico cuando el nmero de incgnitas estticas es mayor a la cantidad de ecuaciones de equilibrio de las que se dispone para resolverlo. El nmero de incgnitas en exceso sobre el nmero de ecuaciones se define como grado de hiperestaticidad del problema. El procedimiento a seguir para la resolucin de este tipo de problema se puede enunciar de la siguiente manera: identificar inicialmente el grado de hiperestaticidad externa (GDH) mediante la siguiente ecuacin: GDH = n de reacciones 3.

Posteriormente se liberan tantas ligaduras o movimientos restringidos como sean necesarios para convertir el prtico en un problema isosttico, sustituyendo las reacciones por unas fuerzas exteriores de valor incgnita llamadas reacciones hiperestticas. Seguidamente se resuelve el valor de los desplazamientos liberados. Estos desplazamientos quedaran en funcin de las reacciones hiperestticas. Por ltimo, se calcula el valor de estas reacciones mediante la imposicin de las ecuaciones de compatibilidad, que vuelven a restringir el desplazamiento liberado.

Objetivos de la Investigacin

Objetivo General

Analizar las estructuras hiperestticas por el mtodo de kani, con el fin de determinar el grado de hiperestaticidad del problema objeto de estudio.

Objetivos Especficos

1. Conocer cmo se determina el grado de hiperestaticidad de un sistema estructural.

2. Diferenciar entre hiperestaticidad externa interna y total de una estructura.

3. Describir las estrategias a aplicar en el mtodo de Kani para el anlisis de estructuras hiperestticas.

4. Exponer ejemplos de la aplicacin del mtodo de Kani en la resolucin de problemas de estructuras hiperestticas.

CAPTULO II

DESARROLLO

Estructura

Unaestructuraes, segn Celigeta, J. (2005) cualquiertipode construccin formada por uno o varios elementos enlazados entre s que estn destinados a soportar la accin de una serie de fuerzas aplicadas sobre ellos (p. 26). Esta definicin es quizs excesivamente simplista,yaquealemplearlostrminos elementos enlazados entre s, se induce a pensar en estructuras formadas por componentes discretos, por lo que slo puede servir como una primera definicin. La realidad es que las estructuras con componentes discretossonmuyfrecuentesenla prctica por lo quesu estudio resulta del mximo inters. Adems lo habitual es que los elementos sean lineales, deltipopiezaprismtica,conocidoscomovigasobarras, y cuyo comportamiento estructuralindividual es relativamente fcil de estudiar, comosehace en resistencia de materiales.

Qu es un Sistema Estructural?

Para Celigeta, J. (2005) Es un ensamblaje de miembros o elementos independientes para conformar un cuerpo nico y cuyo objetivo es darlesolucin (cargas y forma) a un problema civil determinado (p. 30). La manera de ensamblaje y el tipo de miembro ensamblado definen el comportamiento final de la estructura y constituyen diferentes sistemas estructurales. En algunos casos los elementos no se distinguen como individuales sino que la estructura constituye en s un sistema continuo como es el caso de domos, losas continuas o macizas y muros, y se analizan siguiendo los conceptos y principios bsicos de la mecnica.

El sistema estructural constituye el soporte bsico, el armazn o esqueleto de la estructura total y l transmite las fuerzas actuantes a sus apoyos de tal manera que se garantice seguridad, funcionalidad y economa. En una estructura se combinan y se juega con tres aspectos:

1. Forma

2. Materiales y dimensiones de elementos

3. Cargas

Los cuales determinan la funcionalidad, economa y esttica de la solucin propuesta.

Ingeniera Estructural

Tomando en consideracin lo descrito por Celigeta, J. (2005), es el arte de idealizar materialesa los cuales no se les conoce bien sus propiedades,para construir formasque no sabemos analizar, de tal manera que soporten cargasque ignoramos y sin embargo se comporten satisfactoriamente (p. 33). Ingeniera estructural es la aplicacin de los conocimientos dela Mecnica, ciencia que estudia las fuerzas y sus efectos, al arte de disear estructuras. En el anlisis estructural se conjugan conocimientos de ciencias bsicas aplicadas al arte de la ingeniera para encontrar fuerzas y deformaciones en una estructura.

Aunque la ingeniera estructural no es una ciencia, ella posee un mtodo propio. Este mtodo nos permite analizar y disear estructuras de una manera estndar en cualquier parte del mundo. Solo unos pocos ms adelantados estaran innovando y creando nuevos mtodos ms simplificados.

Objetivo General

Identificar, estudiar alternativas, seleccionar, analizar y verificar resultados de la solucin estructural a un problema ingenieril, teniendo presentes los criterios defuncionalidad, economa y seguridad. En el diseo estructural completo se distinguen dos etapas: anlisis y diseo.

Objetivo del Anlisis

Determinar fuerzas internas (axiales, cortantes, momentos) y deformaciones de una estructura, sobre la base de: una forma dada de la estructura, del tamao y propiedades del material usado en los elementos y de las cargas aplicadas.

Objetivo del Diseo

Seleccin de la forma, de los materiales y detallado (dimensiones, conexiones y refuerzo) de los componentes que conforman el sistema estructural. Ambas etapas son inseparables, parecera que se empieza por el diseo, ya que es en esta etapa donde se crea y luego se analiza, pero las cosas no terminan ah, se requiere verificar que las fuerzas encontradas en el anlisis, si son soportadas y resistidas con los materiales y dimensiones seleccionadas, por lo tanto volveramos al diseo, es decir, el proceso es iterativo.

Hiperestaticidad Estructural

Hiperestaticidad Externa (ge)

En este diagrama, segn Basset, L. (2000) se considera a toda la estructura como un slido rgido, y se sustituyen las ligaduras por sus reacciones correspondientes, con lo que se obtienen tantas incgnitas como reacciones haya, en nmero r (p. 54). A este conjunto se le aplica un estudio de estabilidad.

1. El nmero de reacciones es menor que el de ecuaciones de equilibrio rq. La estructura est estticamente indeterminada en principio, y se dice que es externamente hiperesttica: es necesario introducir nuevas condiciones, adems de las de la esttica, para calcular las reacciones exteriores (Ibdem, p. 60). Al igual que en el caso anterior esta condicin es necesaria pero no suficiente: puede ocurrir que aunque haya reacciones en exceso, stas tengan una disposicin espacial tal que no impidan la existencia de algn tipo de inestabilidad en alguna otra direccin. (Ver cuadro 1)

Cuadro 1

Relacin de Reacciones y Ecuaciones de Equilibrio

Relacin

Resultado

r q

Hiperesttica externamente

Fuente: Basset, L. (2000)

Hiperestaticidad Total

La hiperestaticidad total (gt) es la suma de la hiperestaticidad externa (ge) ms la hiperestaticidad interna (gi)

Para Armaduras

1. Celosas planas: En este caso se dispone de dos ecuaciones de equilibrio de fuerzas segn las direcciones X e Y de cada nudo, dando un total de 2n ecuaciones para los n nudos. Comparando con las b+r incgnitas existentes, las distintas situaciones que pueden producirse son: (Ver cuadro 2)

Cuadro 2

Situaciones para Celosias Planas

Situacin

Resultado

A

b+r < 2n Inestable

B

Isosttica b+r = 2n

C

Hiperesttica b+r > 2n

Fuente: Basset, L. (2000)

Estas relaciones definen la condicin de estabilidad global de la celosa, considerndola como un todo nico. Al respecto Basset, L. (2000) expresa que:

La condicin A es suficiente para indicar que la celosa tiene algn tipo de inestabilidad, pero sin indicar su origen interior o exterior. Las condiciones B y C son necesarias pero no suficientes ya que adems se requiere que haya una disposicin de barras y reacciones tal que no exista inestabilidad exterior ni interior, en ningn subconjunto de la celosa. (p. 63)

En todo caso, adems de la aplicacin de las frmulas anteriores, se requiere normalmente un anlisis visual de la estructura para su correcta clasificacin.

2. Celosas espaciales: En este caso se dispone de tres ecuaciones de equilibrio de fuerzas en cada nudo, segn las direcciones X, Y, Z. Las distintas situaciones que pueden producirse son las mismas que en el caso plano: (Ver cuadro 3, p. 13)

Cuadro 3

Situaciones para Celosas Espaciales

Situacin

Resultado

A

b+r < 3n Inestable

B

Isosttica b+r = 3n

C

Hiperesttica b+r > 3n

Fuente: Basset, L. (2000)

Algn tipo de inestabilidad, pero sin indicar su origen interior o exterior. Las condiciones B y C son necesarias pero no suficientes, ya que se requiere adems que haya una disposicin de barras y reacciones tal que no exista inestabilidad exterior ni interior, en ningn subconjunto de la celosa. Por lo tanto es necesario tambin un anlisis visual de la estructura para su correcta clasificacin, lo cual resulta normalmente bastante complejo dada la distribucin espacial de las barras.

Para Vigas

1. Estabilidad a Flexin y Cortante: De las tres ecuaciones de la esttica disponibles en el plano, slo se pueden usar dos para estudiar la estabilidad a flexin: la ecuacin de equilibrio de fuerzas verticales y la ecuacin de equilibrio de momentos. Sean:

a. r el nmero de reacciones en los apoyos que afectan a la flexin. Es decir que se consideran nicamente las reacciones en direccin Y (imposibilidad de movimiento transversal) y los momentos (imposibilidad de giro),

b. c el nmero de condiciones de construccin que afectan a la flexin. stas pueden ser articulaciones (condiciones de momento flector nulo) o deslizaderas verticales (esfuerzo cortante nulo). (Basset, L., 2000, p. 67)

El nmero de fuerzas incgnita en una viga es: cuatro para cada barra (dos fuerzas cortantes y dos momentos en cada extremo), ms r incgnitas debidas a las reacciones. El nmero de ecuaciones de equilibrio disponibles es: 2b ecuaciones debidas a las b barras (una ecuacin de equilibrio de fuerzas y otra de momentos), ms 2(b+1) ecuaciones debidas a los b+1 nudos (una ecuacin de equilibrio de fuerzas y otra de momentos), ms c ecuaciones debidas a las condiciones de construccin. Las condiciones de estabilidad referentes a la flexin se obtienen comparando el nmero de incgnitas con el de reacciones y se resumen en el cuadro 4.

Cuadro 4

Situaciones para Vigas con Estabilidad a Flexin y Cortante

Situacin

Resultado

A

4b + r < 4b + 2 + c Inestable

B

Isosttica 4b + r = 4b + 2 + c

C

Hiperesttica 4b + r > 4b + 2 + c

Fuente: Basset, L. (2000)

Estas relaciones definen la estabilidad de la viga considerndola como un todo nico, en lo que a su comportamiento a flexin se refiere. Para Basset, L. (2000), los resultados seran los siguientes:

La condicin A es suficiente para indicar que la viga tiene algn tipo de inestabilidad, pero sin indicar su origen interior o exterior. El nmero de grados de libertad de la viga es g=2+c-r. Las condiciones B y C son necesarias pero no suficientes, ya que se requiere adems que haya una disposicin de las barras y las reacciones tal que no exista inestabilidad exterior ni interior, en ningn subconjunto de la viga. Si esta disposicin es adecuada, el grado de hiperestaticidad en el caso C es h=r-c-2. (p. 73)

2. Estabilidad a esfuerzo axial: En la direccin axial slo hay una ecuacin de equilibrio esttico, de las tres existentes en el plano, y es con respecto a ella con quien se comparan las incgnitas existentes. Sean:

a. ra el nmero de reacciones en los apoyos que afectan al esfuerzo axial. Es decir que se consideran nicamente las reacciones en direccin X (imposibilidad de movimiento longitudinal), y

b. ca el nmero de condiciones de construccin que afectan al esfuerzo axial. Estas pueden ser nicamente deslizaderas longitudinales (esfuerzo axial nulo). La condiciones de estabilidad referentes al esfuerzo axial son las siguientes: (Ver cuadro 5)

Cuadro 5

Situaciones para Vigas con Estabilidad a Esfuerzo Axial

Situacin

Resultado

A

ra < 1 + ca Inestable

B

Isosttica ra = 1 + ca

C

Hiperesttica ra > 1 + ca

Fuente: Basset, L. (2000)

Estas relaciones definen la condicin de estabilidad de la viga en su direccin axial, considerndola como un todo nico. Basset, L. (2000) expone que:

La condicin A es suficiente para indicar que la viga tiene algn tipo de inestabilidad axial, pero sin indicar su origen interior o exterior. El nmero de grados de libertad de la viga es ga=1+ca-ra. Las condiciones B y C son necesarias pero no suficientes, ya que adems se requiere que haya una disposicin de las barras y de las reacciones axiales tal que no exista inestabilidad exterior ni interior, en ningn subconjunto de la viga. Si esta disposicin es adecuada, el grado de hiperestaticidad en el caso C es ha=ra-ca-1. En todo caso, adems de la aplicacin de las frmulas anteriores, se requiere normalmente un anlisis visual de la estructura para su correcta clasificacin. (p. 78)

Prticos

1. Condiciones de Estabilidad: En los prticos la mayor parte de las barras estn empotradas entre s, por lo que no suelen presentarse problemas de estabilidad, y el grado de indeterminacin esttica suele ser muy alto. Se denomina r al nmero de reacciones en los apoyos, c al nmero de condiciones de construccin, b al nmero de barras y n al nmero de nudos.

2. Prticos planos: En este caso las reacciones pueden ser dos fuerzas en las direcciones X e Y, y un momento en la direccin Z. Las condiciones de construccin pueden ser articulaciones (condiciones de momento flector nulo), o deslizaderas en sentido axial o transversal a cada barra (fuerza axial o cortante nula).

El nmero de ecuaciones de la esttica que pueden plantearse es 3 por cada nudo y 3 ms por cada barra, que unidas a las c condiciones de construccin dan 3n+3b+c ecuaciones. Por otro lado el nmero de fuerzas incgnita es de 6 por cada barra, ms las r reacciones exteriores, dando 6b+r incgnitas. Con estas magnitudes, la condiciones de estabilidad del prtico se resumen en el cuadro 6.

Cuadro 6

Situaciones para Prticos

Situacin

Resultado

A

6b + r < 3n + 3b +c Inestable

B

Isosttico 6b + r = 3n + 3b +c

C

Hiperesttico 6b + r > 3n + 3b +c

Fuente: Basset, L. (2000)

La condicin A es suficiente para indicar que el prtico es inestable, pero sin indicar el origen de esta inestabilidad. El nmero de grados de libertad g=3n-3b+c-r. Las condiciones B y C son necesarias pero no suficientes, ya que se requiere adems que haya una disposicin de las barras y las reacciones tal que no exista inestabilidad exterior del prtico en su conjunto, ni interior en ningn subconjunto del mismo.

Si la disposicin de las barras es adecuada para que no haya inestabilidad, el grado de hiperestaticidad en el caso C es h=3b-3n +r -c.

3. Prticos espaciales: En los prticos espaciales las reacciones en los apoyos pueden ser tres fuerzas y tres momentos. Las condiciones de construccin pueden ser articulaciones (condiciones de momento flector o torsor nulo) o deslizaderas (fuerza axial o fuerza cortante nula).

El nmero de ecuaciones de la esttica que pueden plantearse es 6 por cada nudo y 6 ms por cada barra, que unidas a las c condiciones de construccin dan un total de 6n+6b+c ecuaciones. Por otro lado el nmero de fuerzas incgnita es de 12 por cada barra (6 en cada extremo), ms las r reacciones exteriores, dando 12b+r incgnitas. Con estas magnitudes, las condiciones de estabilidad del prtico se resumen en el cuadro 7.

Cuadro 7

Situaciones para Prticos

Situacin

Resultado

A

12b + r < 6n + 6b +c Inestable

B

Isosttico 12b + r = 6n + 6b +c

C

Hiperesttico 12b + r > 6n + 6b +c

Fuente: Basset, L. (2000)

Al igual que en el caso plano la condicin A es suficiente para indicar que el prtico tiene algn tipo de inestabilidad, pero sin indicar su origen interior o exterior. El nmero de grados de libertad es g=6n-6b+c-r. Las condiciones B y C son necesarias pero no suficientes, ya que se requiere adems que la disposicin de las barras y las reacciones sea tal que no se produzca inestabilidad exterior ni interior en ningn subconjunto del prtico. Si esta disposicin es adecuada, el grado de hiperestaticidad en el caso C es h=6b-6n+r-c.

Mtodo de Kani

Este mtodo est basado en el desarrollado inicialmente por Gaspar Kani quien naci en octubre de 1910 en Frantztal, Serbia, que fue publicado en el idioma espaol por primera vez en 1968, en ingls en 1957 y en la propuesta mejorada por el Ingeniero Japons Fukuhei TaKabeya, publicada por primera vez en el idioma espaol en 1969, siendo su primera edicin en Ingls en 1965. Tambin se incluyen algunos conceptos desarrollados por Hardy Cross En todas las publicaciones mencionadas se inclua el anlisis para prticos con nodos desplazables.

Segn Jaramillo, J. (2004), Estos procedimientos resuelven el sistema de ecuaciones de rotacin para una estructura o sistema estructural del tipo fundamentalmente llamado Prtico Plano, por medio de aproximaciones sucesivas que se corrigen tambin sucesivamente (p. 189). Por tanto es importante recordar las hiptesis bajo las cuales se deducen las ecuaciones de rotacin como son:

1. El material es homogneo, istropo y se comporta como lineal elstico, es decir, todo el material es de la misma naturaleza, tiene idnticas propiedades fsicas en todas las direcciones y las deformaciones, e , que sufre son directamente proporcionales a los esfuerzos, s , que resiste y el factor de proporcionalidad se llama modulo de elasticidad, E, es decir, s = E e (Ley de Hooke)

2. El principio de las deformaciones pequeas que seala que una vez cargada la estructura las deformaciones o desplazamientos lineales y angulares de las juntas o nodos y de cada uno de los puntos de sus miembros son bastantes pequeos de tal manera que la forma de ella no cambia ni se altera apreciablemente

3. El principio de superposicin de efectos que supone los desplazamientos y fuerzas internas totales o finales de la estructura sometida a un conjunto o sistema de cargas se pueden encontrar por la suma de los efectos de cada una de las cargas consideradas aisladamente

4. Solo se pueden tomar en cuenta los efectos de primer rden como son: Las deformaciones internas por flexin siempre, mientras que las por fuerza axial y torsin as como la existencia de segmentos rgidos se pueden tomar en cuenta o no.

El enfoque de kani est basado en el mtodo de las aproximaciones sucesivas y en la distribucin de momentos para expresar el efecto de las rotaciones y desplazamientos nodales. El mtodo iterativo de anlisis de estructuras desarrollado por G. Kani, viene a ser extremadamente satisfactorio para el anlisis de cualquier estructura convencional para edificios de varios pisos bajo cualquier condicin de cargas dadas. Kani propuso extender este mtodo a las estructuras con columnas continuas a travs de varios pisos con solo ligeras modificaciones.

Los enfoques de Croos y Kani (1930) basados en los mtodos de las aproximaciones sucesivas y la distribucin de momentos descartan las complejas relaciones matemticas y por el contrario se apoyan en simplicidades aritmticas. Para Jaramillo, J. (2004),

Es errneo suponer que un mtodo de aproximaciones sucesivas sea un mtodo aproximado. Esencialmente un mtodo aproximado, es aquel que proporciona como su nombre lo indica, valores aproximados, mientras que los mtodos de aproximaciones sucesivas arrojan resultados con la precisin deseada por el calculista. (p. 190)

El enfoque neuronal del mtodo de kani es tolerante a fallas, por ser correctivo, esto permite calificar como un mtodo con eliminacin automtica de errores a medida que la red aprende. La comprobacin de los resultados que se obtienen despus de realizar los productos y sumas de unos pocos valores puede hacerse con finalidad extrema en cualquier elemento de procesamiento o nodo y en cualquier capa de neuronas, sin que para ello se requiera de servicios de expertos en ingeniera estructural. El mtodo de Kani es un mtodo iterativo para dar solucin a un sistema hecho por trabes y columnas (en dos dimensiones).

Los parmetros de entrada son las propiedades geomtricas de los elementos (rea, momento de inercia, longitud) propiedad mecnicas y las convexiones con los elementos y apoyos. Los resultados del mtodo son los elementos internos (momentos, fuerzas cortantes y axiales) con ellos podemos disear las estructuras a base de marcos rgidos. (p. 192)

La determinacin del desplazamiento lateral de un piso por el mtodo de Kani requiere efectuar iteraciones para cada columna. Este mtodo tambin se puede aplicar al anlisis con estructuracin irregular, acoplado a muros, ya sean vigas o columnas.

Caso Estructura sin Desplazamiento

La deduccin de las normas bsicas para el tratamiento de las estructuras sin desplazamiento relativo de sus extremos es completamente anloga a la vista anteriormente en los mtodos de ngulos de giro y de flexin y Cross; solamente existen ligeros cambios en nomenclatura. De nuevo se considera que el estado final del elemento se alcanza mediante la superposicin de 3 efectos: el de las cargas considerando empotramiento en los nudos, el efecto del giro en el nudo (i) y el efecto del giro en el punto (j).

Ventajas

1. El mtodo de kani maneja aproximaciones sucesivas y, en consecuencia las respuestas se pueden lograr con la exactitud que se desee mientras las hiptesis fundamentales y los datos bsicos lo permitan.

2. La inclusin de los efectos de desplazamiento se hace en forma muy simple.

3. La formulacin del procedimiento conduce a una eliminacin prcticamente automtica de los errores ocasionales.

4. Es muy fcil verificar en cualquier nudo la verdad de los resultados.

5. Los cambios eventuales de cargas o dimensiones en cualquier elemento se pueden tener en cuenta con muy poco esfuerzo adicional.

6. No es difcil de aplicar a estructuras con miembros acartelados.

7. Es fundamentalmente un mtodo de distribucin de momentos.

8. Tiene facilidad de programacin y baja exigencia de memoria de computador.

Desventajas

1. Su aplicacin est limitada a prticos octogonales y que no incluye los efectos de los acortamientos axiales, que se hacen cada vez mas importantes al incrementar el nmero de pisos a los niveles corrientes en las torres de nuestros das.

2. Este tipo de mtodo es algo extenso para edificios de muchos pisos por ser mtodo manual.

Procedimiento

Estructura con desplazamiento:

1. Se calcula la rigidez

2. Se calcula el coeficiente de giro

3. Se calcula el coeficiente de desplazamiento

4. Momento de empotramiento

5. Momentos de pisos y momentos finales

Estructura sin desplazamiento:

1. Calcular la rigidez

2. Calcular coeficiente de giro

3. Momento de empotramiento

Estos procedimientosresuelvenelsistema de ecuaciones de rotacin para una estructura osistemaestructuraldel tipo fundamentalmente llamadoPrtico Plano, por medio deaproximaciones sucesivas que se corrigentambinsucesivamente.Por tanto es importante recordar lashiptesisbajo las cuales se deducen las ecuaciones de rotacin

En esta metodologa se seala un procedimiento para tomar en cuenta si se desea alguna de las tres o todas las consideraciones siguientes: las deformaciones debidas al corte, los segmentos rgidos en los extremos de los miembros, as como tambin que los miembros puedan ser de seccin variable a lo largo de su eje recto.Esto se logra introduciendo sus efectos en la determinacin de las constantes elsticasCi, Cj y C.Otros efectos como el de torsin puede incluirse en estas constantes dejando al lector tal estudio. Laconvencin de signospropuesta por Kani y bajo la cual se deducen todas las expresiones a objeto de mantener su propuesta original es la siguiente:

Esto no quiere decir que no podemos usar la convencin de sentido contrario como es el de la convencin tradicional de positivos para momentos, giros de juntas y rotaciones de miembros el sentido antihorario.Esto no altera las expresiones deducidas ya que esto equivaldra hacer el mismo procedimiento con sentidos contrarios a los indicados en las deducciones, es decir:

Por lo tantose puede utilizar cualquiera de los dos sentidos para la convencin designosy ser conveniente indicar la que se utilice cada vez que apliquemos este procedimiento declculo.

Deduccinde las frmulas o ecuaciones de Rotacin para un miembro de una Estructura

Estas se definen al aplicar el mtodo llamado de los desplazamientos o de las rotaciones para un miembro cualquiera en unaestructura plana, tomando en cuenta las cincohiptesissealadas en la introduccin.Este mtodo es un mtodo de flexibilidad por que determina factores de flexibilidad que son desplazamientos producidos por fuerzas unitarias. Para esto se seleccionaun miembrocualquiera, que antes de aplicar a la estructura un sistema de cargas estar en unaposicin inicialy despus deaplicareste sistema de cargas pasa a una posicin deformadacomo se indica a continuacin en la figura 1 (p. 23)

Figura 1. Posicin deformada del miembro. Fuente: Jaramillo, J. (2004).

Donde se sealan las deformaciones finales denominadas por i, rotacin en el extremo i, j, rotacin en el extremo j yi j, rotacin del miembro como si fuera cuerpo rgido. Por principio de superposicin esta deformada puede ser igual a la suma de los dos casos siguientes: (Ver figura 2)

Figura 2. Deformaciones finales. Fuente: Jaramillo, J. (2004).

Clculos Iniciales

1. Momentos de empotramiento en cada extremo de los miembros.

2. Factores de Nudoque se anotarn en los nudos del marco.

3. Factores de Pisoque se registrarn a cada lado de cada piso.

4. Rotaciones Iniciales de Nudo.

5. Rotaciones Iniciales de Piso.

Clculos de Procedimiento

1. Como primera aproximacin para la rotacin de un piso, tmese la rotacin inicial del piso.

2. Como primera aproximacin para la rotacin de un nudo, tmese la rotacin inicial del nudo.

Losmtodosque utilizan Las ecuaciones de rotacin como son elmtodode las rotaciones, Cross, Kani y Tacabeya se consideran mtodos de rigidez ya que en ellos las incgnitas son las rotaciones de las juntas y giros en las columnas o desplazamientos horizontales de los niveles, aunque indirectamente se utiliza el mtodo de las fuerzas para obtener sus expresiones y las ecuaciones de momentos de empotramiento. El mtodo de flexibilidad aplicado a una estructura cualquiera no es prctico ya que cualquier estructura comn indeterminada tiene muchos sistemas primarios isostticos, mientras que la rigidez de cualquier miembro y toda una estructura es nica.

Expresiones para determinar en los extremos de un Miembro los momentos de Empotramiento

S.E. (Solicitaciones externas cualesquiera)

Figura 3. Momentos de empotramiento. Fuente: Jaramillo, J. (2004).

Aplicando elmtodo de las fuerzas,seleccionando un sistema primario isosttico eliminando las fuerzas redundantes seleccionadas como son los momentos de empotramientos MEi j y MEj i se puede establecer que este caso ser igual utilizando el principio de superposicin a la suma de los tres casos indicados en la figura 4:

Figura 4. Sistemas. Fuente: Jaramillo, J. (2004).

Casos equivalentes por el Mtodo de las Fuerzas

Adicionalmente deben cumplirse las siguientes ecuaciones de compatibilidad de deformaciones o deformaciones consistentes, es decir, las deformaciones en el sistema original en los extremos del miembro deben ser iguales por el principio de superposicin a las sumas correspondientes a los tres sistemas, como es:

0 = fi, 0 + MEi j (fi,i) + MEj I (fi,j )

0 = fj,0 + MEi j (fj,i) + MEj I ( fj,j )

Donde losvaloresf i j son los que hemos llamado anteriormente factores de flexibilidad y estos son siempre deformaciones o desplazamientos, de tal manera que uno de ellos es la deformacin en la direccin de i producido por una fuerza unitaria en la direccin j. En el caso de fi,0 y fj,0 son las deformaciones en las direcciones i,j respectivamente producidas en el sistema (0) con las cargas del sistema original. Estas ecuaciones de compatibilidad se resuelven obtenindose:

Los factores de flexibilidadfpor medio del principio de las fuerzas virtuales, de tal manera que el sistema virtual con fuerza unitaria ser el que indica el primer subndice y el otro sistema es el que corresponde al segundo subndice.

Resultados

Mtodo de Gaspar Kani en la resolucin de vigas hiperestticas de n claros

1. En este primer paso para la solucin de vigas hiperestticas por medio de este mtodo lo primero que procedemos a realizar es el clculo de los momentos de empotramiento perfecto, en los tramos en que se encuentra la viga, tomando en cuenta los apoyos que contenga. Al igual que tenemos que tomar en cuenta la carga y de cmo este distribuida en la viga.

2. Como segundo paso se procede a calcular las rigideces que existen en cada tramo de la viga, ya que no siempre sern del mismo material, y para ello se utiliza una formula en la cual se describe tanto el modulo de elasticidad y el momento de inercia en los tramos a calcular su rigidez. La formula a utilizar en este paso es:

R= Donde: E=Modulo de elasticidad L=Longitud del tramo

I=Momento de inercia

3. Como tercer paso en la resolucin de la viga se lleva a cabo el clculo de los factores de distribucin para cada tramo o nudo en que se est calculando la viga, tomando los valores obtenido en el caculo de la rigidez. Para ello se utiliza la siguiente frmula:

Donde: Ri= Rigidez inicial en que se encuentra

Rj= Rigidez que llega al nudo estudiado

4. En este cuarto paso se realiza el clculo de las iteraciones para poder obtener los valores de los momentos reales de los nudos y as saber cmo se comporta la viga con la carga con que se est calculando. En este paso tenemos que distribuir los valores obtenidos de los pasos anteriores y los cuales son:

El valor de empotramiento perfecto en cada nudo o tramo.

Las diferencias que existen en valores de momento de empotramiento perfecto en el nudo.

Los factores de distribucin de cada tramo de la viga.

Se harn iteraciones hasta que las cantidades se ciclen.

5. En este paso ya con los valores de los momentos ij, se procede a llenar la tabla para as obtener los valores de los momentos reales de la viga y as poder saber cmo estn reaccionando en la misma. El formato de la tabla es la siguiente:

Momento ij

MEP

2 Mij

Mij

Total

Ya obtenidos los resultados con esta tabla se llegan a los momentos reales y como est reaccionando o trabajando en la viga y su sentido de giro. Ejemplo de clculo de viga por el mtodo de kani:

Ejercicio 1

Las rigideces k de las distintas barras se anotan en el centro de cada una de ellas, donde adems, se indican los valores de las cargas exteriores y las longitudes de las barras de la misma. El valor de este momento debido al giro en el extremo i es igual a:

Mik = 2 E N i

Donde E es el mdulo de elasticidad del material de la barra. Se adopta el tipo de esquema de la siguiente figura, el cual permite escribir los sucesivos valores en los extremos de cada barra.

Los momentos de empotramiento perfecto para las cargas exteriores se calculan mediante las frmulas de los manuales corrientes y son anotados en la figura anterior, en los extremos de las barras correspondientes y por encima de los ejes de las mismas. Se debe tener en cuenta que la notacin de signos adoptada para los momentos es vlida para los que corresponden al extremo izquierdo de una barra horizontal, pero no para el derecho, por lo cual se escribir siempre los momentos de empotramiento en el extremo izquierdo como negativos y los del derecho como positivos. Los valores de los momentos de empotramiento en la barra 1-2, por ejemplo, que tiene una longitud de 4,00 m y una carga q = 1,8 mt (y que sern iguales para las barras 4-5 y 8-9, que se encuentran en idnticas condiciones) vales:

En el extremo izquierdo

En el extremo derecho

Para las dems barras de luces distintas a stas, pero iguales entre s, y con la misma carga anterior q 0 1,8 mt, se obtendr unos valores del momento de empotramiento de 8,60 mt en extremos izquierdos y de + 11,80 mt en los derechos, cuyos valores se anotaron en la figura anterior.

Seguidamente se escriben los momentos de sujecin en el crculo dibujado en el centro de cada nudo. Los momentos de sujecin que son los que mantienen la rigidez del nudo de giro del mismo son iguales a la suma de todos los momentos de empotramiento en los extremos de las barras que concurren en el nudo. Se tendr por lo tanto, para el nudo 2:

A continuacin se ir determinando las variaciones que producen los giros sucesivos de los nudos. Se puede sentar en principio que al girar uno cualquiera de los nudos, las barras que concurren en el mismo giran del mismo ngulo y que la influencia de estos giros angulares, sobre los momentos en los extremos de las barras que concurren en el nudo, dependen nicamente del valor del ngulo de giro y de la rigidez k de la barra correspondiente. Cuando gira nicamente un nudo de la estructura, ejerce este giro solamente influencia sobre los momentos de las barras que concurren en el mismo.

Posterior a esto, se calcularon los factores de giro para el nudo 9. La suma de los valores de las rigideces k de las barras que concurren en l es:

1,5 + 0,2 +- 1,2 + 0,2 = 3,1

El reparto de ( - ) en la relacin a las rigideces k da:

Las cuales se anotan en el nodo 9 de la figura. Como comprobacin se suman los valores de estos factores de giro en el nudo, que debe ser igual a -1//2. En la figura se han anotado los momentos de empotramiento perfecto, los momentos de sujecin y todos los factores de giro, y se han calculado las influencias de los giros en tres direcciones, con aproximacin sucesiva. Se ha empezado por el nodo 3, en el cual se han supuesto iguales a cero las influencias de los giros extremos opuestos. Los valores aproximados obtenidos de este nudo se han anotado en los respectivos extremos de las barras del esquema. Como puede observarse, los primeros valores han dado una buena aproximacin.

Se contina entonces con la cuarta iteracin. Para el nodo 3 se suman el momento de sujecin y las ltimas influencias aproximadas de los giros en los extremos opuestos de las barras:

+ 11,80 + 2,88 + 0,02 = + 14,70

Teniendo en cuenta que los factores de giro tienen signo negativo, los valores de los giros de los nudos y la suma que se ha obtenido, tienen siempre signo contrario; es decir:

M 3,2 = + 14,70 x (-0,462) = - 6,80

M 3,6 = + 14,70 x (-0,038) = - 0,56

Estos valores se anotan en los respectivos extremos de las barras del esquema, o sea, debajo de los valores -6,77 y 0,56 respectivamente. Para el nodo 2, se obtiene como suma de las influencias:

6,20 0,58 6,80 + 0,09 = - 13,49

Multiplicando por los factores de giro, se obtiene:

M 2,1 = - 13,49 x (-0,268) = + 3,62

M 2,3 = - 13,49 x (-0,214) = + 2,89

M 2,5 = - 13,49 x (-0,018) = + 0,24

En la ltima iteracin en el nudo 7 se observa que, calculando slo con dos cifras decimales, no se ha obtenido cambio apreciable con la anterior. En las iteraciones de los nudos 1 y 4 se han obtenido variaciones muy pequeas en los ltimos valores, y en los otros nudos han sido nulas. Cuando es suficiente la aproximacin de dos decimales, no es necesario continuar las iteraciones.

En los extremos de barras empotradas, en este caso los pies de las columnas del piso inferior, las influencias de los giros en estos nudos son nulas, ya que el ngulo de giro para cualquier deformacin es cero. Determinadas las influencias definitivas de los giros, se puede obtener los momentos definitivos sumando los valores.

Ejercicio 2

Como demostracin prctica se desarrollar el ejemplo para nudos desplazables. Se conservan los mismos valores de los coeficientes de reparticin y momentos de empotramiento perfecto en los extremos de las barras. La primera iteracin de las influencias del giro es tambin exactamente la misma, ya que se empieza asimismo con los valores de la influencia del desplazamiento iguales a cero, por no conocer otros ms aproximados. Se anotan los factores del corrimiento en el lado izquierdo central de cada columna a que corresponden. El reparto de este valor -3/2 para el piso superior da lugar a un valor en cada una igual a -0,50.

En el piso intermedio hay cuatro columnas de la misma rigidez K. El reparto del coeficiente -3/2 en cada una de ellas da un valor de -0,375.

En el piso inferior, las columnas no tienen la misma rigidez, por lo cual sumamos los valores de K:

0,2 + 0,2 + 0,3 + 0,3 = 1,0

Y se reparte el valor -3/2 proporcionalmente a los valores de K, que para las columnas de la izquierda da:

Y para las dos de la derecha

En la figura a continuacin se ha llegado hasta la tercera iteracin, antes de que se hayan calculado las influencias del desplazamiento de las columnas en los nudos 8, 9 y 10.

Al calcular las influencias de los giros de los nudos, se debe tener en cuenta tambin las debidas a los desplazamientos en la iteracin anterior. Para el nudo 10 la suma de influencias da:

+3,20 + 1,01 + 0,03 4,08 0,00 + 0,42 + 0,39 = + 0,97

Multiplicando este valor por los coeficientes de reparto, se obtienen las correspondientes influencias: -0,20, -0,03, -0,20 y 0,05, las cuales se anotan como nuevas aproximaciones en el nudo 10. Para el siguiente nudo 8, se obtiene como suma de influencias:

-2,40 + 0,04 + 1,26 + 0,00 + 0,42 + 0,26 = - 0,42

La multiplicada por los correspondientes coeficientes de reparto, da los valores: + 0,02, + 0,17 y + 0,02, los que se anotan en el lugar correspondiente del esquema. Para el nudo 9 se obtiene:

-6,20 + 0,17 + 0,16 0,20 + 0,00 + 0,42 + 0,26 = - 5,39

Y como influencia de los giros: +1,30, +0,17, +1,04, +0,17. A continuacin, se calcula la influencia del desplazamiento de las cabezas de todas las columnas de este piso.

-0,04 + 0,02 + 0,24 + 0,08 0,56 + 0,02 = - 0,24

Multiplicando este valor por los factores de corrimiento, se obtiene para las tres columnas el valor 0,12 que es igual al de la anterior iteracin. La suma en el piso intermedio es:

+0,04 + 0,02 + 0,16 + 0,17 + 0,03 0,03 0,84 0,68 = - 1,13

Que multiplicado por el factor de corrimiento -0,375, da el mismo valor anterior igual a +0,42

En el piso inferior, la suma de las influencias de giro da

+ 0,02 + 0,17 0,05 1,02 = - 0,88

Multiplicando por los correspondientes factores de corrimiento, da, para las columnas de la izquierda una influencia de desplazamiento igual a + 0,26 y para las de la derecha, igual a + 0,40. La cuarta iteracin da lugar solamente a pequeas correcciones, cuando no se precisan ms que dos decimales, y en realidad slo ser conveniente hacerla en los nudos 1, 2 y 3 y eventualmente en el 4. Por lo tanto, obtenidas las influencias de los giros de los nudos y de los desplazamientos de los mismos, basta para obtener los momentos definitivos en los extremos de las barras.

CONCLUSIONES

1. Para cada sistema como lo es las armaduras, vigas y prticos por sus elementos que lo conforman tienen diferentes ecuaciones para determinar su grado de estaticidad.

2. El grado de hiperestaticidad interna se determinara despejndolo de la ecuacin grado de hiperestaticidad total= gi+ge. Para sistemas compuestos hay que combinar las ecuaciones.

3. El mtodo de Kani se trata de un tcnica de aproximaciones sucesivas y, en consecuencia, las respuestas se pueden lograr con la exactitud que se desee, mientras las hiptesis fundamentales y los datos bsicos lo permitan.

4. El algebra matricial es una herramienta muy importante para el anlisis estructural y es necesario que los ingenieros estn familiarizados con este tipo de operaciones matemticas para as poder tener un mayor manejo a la hora de realizar cualquier ejercicio estructural.

REFERENCIAS

Basset, L. (2000). Clasificacin esttica de las estructuras. Universidad Politcnica de Valencia.

Celigeta, J. (2005). Curso de Anlisis Estructural. EUNSA

Jaramillo, J. (2004). Anlisis clsico de estructuras. Universidad Nacional de Colombia.

http://www.arqhys.com/construccion/estructuras-hiperestaticas.html

http://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/conceptos%20fundamentales/conceptos%20fundamentales.htm

1

2

7,2 t

7,2 t

7,2 t

1,8 t/m

123

4

5

6

7

891011

12131415

0,10,10,1

0,20,20,2

0,20,20,30,3

0,2

4,006,006,00

3

,

5

4

,

0

4

,

0

1,8 t/m

1,8 t/m

K = 1,5

1,2

K = 1,5

1,2

K = 1,5

1,2

1,2

1,2

2,002,00

7,2 t

7,2 t

7,2 t

7,2 t

7,2 t

1,8 t/m

1,8 t/m

1,8 t/m

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0,1

0,1

0,1

0,2

0,2

0,2

0,2

0,2

0,3

0,3

0,2

4,00

6,00

6,00

3,5

4,0

4,0

K = 1,5

1,2

K = 1,5

1,2

K = 1,5

1,2

1,2

1,2

2,00

2,00

7,2 t

7,2 t

-2,40-6,20+11,80

-2,40-6,20+3,20

-2,40-6,20+3,20

+11,80

+11,80

-0,02

-0,04

-0,04

-2,40

-0,34

-0,53

-0,58

-0,031

-

0

,

4

6

9

+0,21

+0,24

+0,24

-8,60

+2,50

+2,80

+2,88

-0,018

-

0

,

2

1

4

-

0

,

2

6

8

+2,40

+3,12

+3,50

+3,60

-

0

,

4

6

2

+11,80

-5,45

-6,60

-6,77

-4,45

-0,54

-0,56

-0,038

+0,05

+0,06

+0,06

-2,40

+0,38

+0,46

+0,47

-0,056

-

0

,

4

1

6

-0,028

+0,03

+0,03

+0,03

+0,20

+0,17

+0,17

-8,60

+1,20

+1,03

+1,01

-0,033

-

0

,

2

0

0

-0,017

+0,09

+0,09

+0,10

-

0

,

2

5

0

+2,40

+1,50

+1,28

+1,26

+0,04

+0,04

+0,05

-8,60

+0,25

+0,27

+0,28

-

0

,

2

2

2

-0,019

+0,02

+0,02

+0,02

-

0

,

2

2

2

+11,80

+0,25

+0,27

+0,28

-0,037

-

0

,

4

2

9

+11,80

-5,06

-4,88

-4,90

-0,84

-0,81

-0,81

-0,071

-

0

,

3

5

3

+11,80

-3,87

-3,84

-3,84

-0,96

-0,96

-0,96

-0,088

-0,059

-0,64

-0,64

-0,65

-0,03

-0,03

-0,03

-8,60

-0,11

-0,11

-0,11

-

0

,

2

0

7

-0,034

-0,02

-0,02

-0,02

-

0

,

2

0

7

+11,80

-0,11

-0,11

-0,11

-0,052

+0,19

+0,19

+0,18

-8,60

+1,16

+1,12

+1,12

-

0

,

1

9

4

-0,032

+0,18

+0,19

+0,19

-

0

,

2

4

2

-2,40

+1,45

+1,40

+1,40

-0,032

+0,05

+0,05

+0,05

-2,40

+0,35

+0,37

+0,37

-0,053

-

0

,

3

9

4

-0,053

+0,05

+0,05

+0,05

0,000,000,00

0,00

-2,40

-6,20

+11,80

-2,40

-6,20

+3,20

-2,40

-6,20

+3,20

+11,80

+11,80

-0,02-0,04-0,04

-2,40-0,34-0,53-0,58

-0,031

-0,469

+0,21+0,24+0,24

-8,60+2,50+2,80+2,88

-0,018

-0,214

-0,268

+2,40+3,12+3,50+3,60

-0,462

+11,80-5,45-6,60-6,77

-4,45-0,54-0,56

-0,038

+0,05+0,06+0,06

-2,40+0,38+0,46+0,47

-0,056

-0,416

-0,028

+0,03+0,03+0,03

+0,20+0,17+0,17

-8,60+1,20+1,03+1,01

-0,033

-0,200

-0,017

+0,09+0,09+0,10

-0,250

+2,40+1,50+1,28+1,26

+0,04+0,04+0,05

-8,60+0,25+0,27+0,28

-0,222

-0,019

+0,02+0,02+0,02

-0,222

+11,80+0,25+0,27+0,28

-0,037

-0,429

+11,80-5,06-4,88-4,90

-0,84-0,81-0,81

-0,071

-0,353

+11,80-3,87-3,84-3,84

-0,96-0,96-0,96

-0,088

-0,059

-0,64-0,64-0,65

-0,03-0,03-0,03

-8,60-0,11-0,11-0,11

-0,207

-0,034

-0,02-0,02-0,02

-0,207

+11,80-0,11-0,11-0,11

-0,052

+0,19+0,19+0,18

-8,60+1,16+1,12+1,12

-0,194

-0,032

+0,18+0,19+0,19

-0,242

-2,40+1,45+1,40+1,40

-0,032

+0,05+0,05+0,05

-2,40+0,35+0,37+0,37

-0,053

-0,394

-0,053

+0,05+0,05+0,05

0,00

0,00

0,00

0,00

-0,04

-0,01

-0,05

-2,40

-0,58

+3,04

+0,06

+0,24

+0,33

+0,57

-8,60

+2,89

-3,91

-9,62

+2,40

+3,62

+3,04

+9,06

+11,80

-6,80

-3,91

+1,09

-0,56

-0,54

-1,10

+0,06

+0,11

+0,17

-2,40

+0,47

+1,73

-0,20

+0,02

-0,01

+0,03

+0,17

+0,35

+0,52

-8,60

+1,00

+1,28

-6,32

+0,42

+0,33

+0,09

+2,40

+1,26

+1,73

+5,39

+0,05

+0,03

+0,08

-8,60

+0,28

-4,63

-12,95

-0,48

-0,56

+0,02

+11,80

+0,28

+1,28

+13,36

+11,80

-5,06

-4,88

-4,90

-0,84

-0,81

-0,81

+11,80

-3,84

-3,95

+4,01

-0,96

-0,96

-1,92

-2,09

-1,45

-0,64

-0,03

-0,03

-0,06

-8,60

-0,11

-3,95

-12,66

+0,01

+0,03

-0,02

+11,80

-0,11

+1,01

+12,70

+0,18

+0,18

+0,36

-8,60

+1,12

+1,01

-6,47

+0,53

+0,35

+0,18

+2,40

+1,40

+1,77

+5,57

+0,05

+0,05

+0,10

-2,40

+0,37

+1,77

-0,26

+0,16

+0,11

+0,05

0,000,000,00

0,00

-0,96

-0,96

-0,00

-0,03

-0,03

-0,00

-0,18

-0,18

-0,00

-0,05

-0,05

-0,00

-0,96-0,96-0,00

-0,03-0,03-0,00

-0,18-0,18-0,00

-0,05-0,05-0,00

-0,04-0,01-0,05

-2,40-0,58+3,04+0,06

+0,24+0,33+0,57

-8,60+2,89-3,91-9,62

+2,40+3,62+3,04+9,06

+11,80-6,80-3,91+1,09

-0,56-0,54-1,10

+0,06+0,11+0,17

-2,40+0,47+1,73-0,20

+0,02-0,01+0,03

+0,17+0,35+0,52

-8,60+1,00+1,28-6,32

+0,42+0,33+0,09

+2,40+1,26+1,73+5,39

+0,05+0,03+0,08

-8,60+0,28-4,63-12,95

-0,48-0,56+0,02

+11,80+0,28+1,28+13,36

+11,80-5,06-4,88-4,90

-0,84-0,81-0,81

+11,80-3,84-3,95+4,01

-0,96-0,96-1,92

-2,09-1,45-0,64

-0,03-0,03-0,06

-8,60-0,11-3,95-12,66

+0,01+0,03-0,02

+11,80-0,11+1,01+12,70

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+0,53+0,35+0,18

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+0,05+0,05+0,10

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+0,16+0,11+0,05

0,00

0,00

0,00

0,00

7,2 t

7,2 t

7,2 t

1,8 t/m

1,8 t/m

1,8 t/m

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

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0,1

0,1

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0,2

0,2

0,2

0,2

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0,3

0,2

4,00

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6,00

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4,0

4,0

K = 1,5

1,2

K = 1,5

1,2

K = 1,5

1,2

1,2

1,2

2,00

2,00

7,2 t

7,2 t

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-2,40-6,20+3,20

+11,80

+11,80

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-0,04

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-

0

,

4

6

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+0,24

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-

0

,

2

1

4

-

0

,

2

6

8

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-

0

,

4

6

2

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+0,04

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-

0

,

4

1

6

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+0,02

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+0,16

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-

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,

2

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0

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+0,08

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-

0

,

2

5

0

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+0,04

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-

0

,

2

2

2

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+0,02

+0,02

-

0

,

2

2

2

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-

0

,

4

2

9

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-5,05

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-0,84

-0,84

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-

0

,

3

5

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-4,08

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-1,92

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0

,

2

0

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-

0

,

2

0

7

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+1,12

-

0

,

1

9

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-

0

,

2

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0

,

3

9

4

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0,00

-

0

,

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-

0

,

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0

0

+0,06

+0,12-

0

,

5

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0

+0,06

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-

0

,

3

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-

0

,

3

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-

0

,

3

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+0,37

+0,42

-

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,

3

7

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+0,42

-

0

,

4

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0

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-

0

,

4

5

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-

0

,

4

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-

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,

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+11,80

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0,00

0,00

0,00

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-0,500

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+0,06+0,12

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+0,06+0,12

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-0,375

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-0,375

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+0,34+0,39

-0,450

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