Anlisis de datos

1. CONCEPTO:

Anlisis de datos es la tcnica que consiste en el estudio de los hechos y el uso de sus expresiones en cifras para lograr informacin.

1.1 OBJETIVOS QUE SE PROPONEN LOS INVESTIGADORES CUANDO ANALIZAN DATOS

En general, el anlisis pretende hacer explicitas las propiedades, notas y rasgos de todo tipo que, en relacin a las variables estudiadas.

Greenberg, Goldstucker y Bellenger sealaron con nfasis que pretenden los investigadores cuando analizan datos:

Hallar lo que hay en los datos.

Conocer que variaciones ocurren en los datos.

Como estn distribuidos los datos.

Qu relacin existe entre las variables.

Las estimaciones que resultan de los datos.

Describir las diferencias entre grupos y variables.

Determinar variables que causan variacin en otras variables.

2. CLASES DE ANLISIS DE DATOS

Existen diversos ordenamientos de los anlisis de datos que dependen del criterio de clasificacin, de acuerdo al nmero de variables, es decir si tenemos en cuenta cuantas variables se analizan: multivariables y multivariable.

De acuerdo al CARCTER DEL ANLISIS, puede ser: exploratorio, si se quiere encontrar nuevas hiptesis; si se quiere verificar las que anteriormente se formularon, entonces en este ltimo caso el anlisis ser confirmado.

Segn la NATURALEZA DEL ANLISIS, vale decir de acuerdo a lo que es el anlisis, este puede ser cuantitativo o cualitativo.

Segn el objetivo que pretende el anlisis, este ser causal, cuando se quiere llegar a las causas.

3. USO DEL ANLISIS SEGN EL NMERO DE VARIABLES

En la investigacin universitaria destacamos este anlisis puesto que permite al investigador la ejecucin de las siguientes operaciones:

a) Sintetizar lo que se observa en una variable.

b) Comparar lo que se observa en dos variables.

c) Expresar la asociacin que existe entre dos o ms variables.

d) Inferir conocimientos a partir de los logros a), b) y c).

4. IMPORTANCIA DE LA DISTINCIN DE VARIABLES PARA USAR LAS TCNICAS ESTADSTICAS

Precisar las clases de variables es importante en la instancia del anlisis de datos, puesto que es segn el tipo de variable que se usaran las tcnicas estadsticas. Las variables pueden clasificarse entonces segn su utilidad para expresar clculos estadsticos:

VARIABLES NOMINALES: Se caracterizan porque los nmeros se asignan a las categoras se usan como smbolos o cdigos para su ulterior clasificacin. Por ejemplo, se asigna a los alumnos el nmero 1 para la categora de aprobados y 2 para desaprobados.

VARIABLES ORDINALES: Son aquellas variables cuyos nmeros se asignan a quienes tienen una caracterstica determinada, lo cual permite el ordenamiento o el rango. As, por ejemplo queremos establecer un orden entre los alumnos de un aula, de un ao escolar en un colegio, o entre los alumnos de todas las aulas del tercer ao de secundaria de Lima Metropolitana. Para cumplir con el objetivo planteado, asignamos el nmero 1 para alumnos que obtienen la clasificacin entre 17 y 20 en sus promedios de clasificacin anual, 2 para alumnos que obtienen la clasificacin entre 14 y 16, etc.

VARIABLES INTERVALORES: Son aquellas variables que se caracterizan distancias iguales entre objetivos que se estudian tomando como referencia una determinada propiedad. Por ejemplo, un estudiante obtuvo de promedio de calificaciones 15, otro 13, otro 11 y otro 9. La distancia entre 15 y 13 es igual entre 11 y 9, es decir, 2.

VARIABLES PROPORCIONALES: Son variable que tienen las mismas caractersticas que las variables intervalores, pero adems poseen el cero real. Por ejemplo: la edad de las personas. En este caso existe n cero real, al igual que en los aos de estudios (escolaridad) y en los ingresos en un periodo de tiempo determinado.

5. TCNICAS ESTADSTICAS QUE SE PUEDE USAR CON LAS CLASES DE VARIABLES

Que con tcnicas de estadsticas del anlisis univariado que puede emplear quien elabora una tesis las variables nominales solo se pueden usar la tcnicas estadsticas siguientes: distribucin de frecuencia, el coeficiente de rango y mediana. Quiere decir que con valores de este tipo de variables no se pueden calcular medias aritmticas, varianza no desviaciones estndares.

Que con las variables proporcionales se pueden emplear todas las tcnicas estadsticas.

Con las variables intervalares se pueden aplicar todas las tcnicas estadsticas menos el coeficiente de variacin.

6. TCNICAS DE ESTADSTICAS DEL ANLISIS UNIVARIADO QUE PUEDE EMPLEAR QUIEN ELABORA UNA TESIS

La interpretacin es posible para el investigador en tanto este pueda comparar los resultados entre s o tambin compararlos con otros resultados ofrecidos en otras circunstancias.

Es posible ofrecer un panorama del proceso que sigue el investigador cuando lleva a cabo el anlisis e interpretacin de datos. He aqu una presentacin de los pasos:

a) El investigador toma como punto de partida los resultados estadsticos

b) Ejecuta la normalizacin de los resultados, lo cual quiere decir que el investigador formula las pautas para realizar comparaciones.

c) Hace la comparacin entre unos valores de la variable (comparacin interna), correspondiente al mismo grupo poblacional y puede tambin hacer comparaciones con valores de otra poblaciones (comparacin externa).

d) Enuncia los estadsticos que reflejan las conclusiones del anlisis estadstico.

e) Contrasta sus hallazgos con la teora existente respecto del os que estudia.

7. PROPIEDAD QUE SE DESCRIBEN CUANDO SE ESTUDIA UNA VARIABLE:

Cuando se estudia una variable se describen tres propiedades, llamadas tambin caractersticas mayores:

Posicin

Dispersin

Forma

8. MEDIDAS DESCRIPTIVAS CON LAS QUE SE REPRESENTA LAS PROPIEDADES DE POSICIN, DISPERSIN Y FORMA

El siguiente cuadro resume que propiedades de datos se describen cuando se estudia una variable. Las medidas descriptivas que corresponden a cada una de las tres propiedades (posicin, dispersin y forma), as como sus expresiones.

Estudio de datos de una variable

Propiedad

Tipo de medida

Expresiones (estadsticos)

Posicin

Medidas de tendencia central

Media aritmtica

Mediana

Moda o modo

Medida de tendencia no central

Cuartles

Dispersin

Medidas de dispersin o variabilidad

Recorrido

Varianza

Desviacin estndar

Coeficiente de variacin

Forma

Simetra

Asimetra o sesgada

Simtrica o con sesgamiento

Modalidad

Modos en una distribucin

Curtosis

Razn de momentos de Pearson

8.1 CONCEPTOS DE LAS PROPIEDADES O CARACTERSTICAS MAYORES

Aqu ofrecemos las definiciones que permiten precisar los conceptos de las propiedades o caractersticas mayores que corresponden al anlisis de datos de una varianza.

Posicin : Caractersticas la ms importante que permite describir o resumir la ubicacin de un grupo de datos, expresndola estadsticamente con medidas de tendencia central (media aritmtica, mediana y modo) y con medidas de tendencia no central: los cuartiles.

Dispersin: Propiedad o caracterstica que expresa la cantidad de variacin o disminucin expresada en los datos.

Forma: Propiedad o caracterstica mayor que expresa la manera en que se distribuyen los datos. Los tipos de medida que se usa para expresar la forma de los datos son la simetra, la modalidad y la curtosis.

8.2 CONCEPTO DE MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Se denomina medidas de tendencia central a aquellas medidas que describen la localizacin de los valores de las variables que se estudian. La media aritmtica, la mediana y el modo (o moda) son medidas de tendencia central.

9. CONCEPTO Y REGLAS PARA EL USO DE CADA UNA DE LAS MEDIDAS DE LA TENDENCIA CENTRAL

9.1. MEDIA ARITMTICA (X)

Se denomina media aritmtica (x) a aquella medida que caracteriza a un grupo de estudio con un solo valor y que se expresa como el cociente que resulta de dividir la suma de todos los valores o puntajes entre el nmero total de los mismos.

El investigador sabe que para hallar la media aritmtica debe usar las siguientes formulas:

a) Cuando se usa datos no agrupados

Dnde:

= Media aritmtica

= Suma

= Valores individuales de la variable

= nmero de valores o casos.

Ejemplo:

A seis estudiantes se les interroga: Cuntas veces a la semana acuden a la biblioteca de la facultad a la que pertenecen? Y ellos respondieron de la siguiente manera:

1 - 2 - 2 1 3 3 (seis respuestas, es decir, el primero respondi que una vez a la semana acude a la biblioteca de su facultad, el segundo contest que dos, el tercero que dos, le cuarto que una, el quinto que tres y el sexto que tres), entonces, aplicando la formula anterior, es decir, reemplazando las expresiones de la frmula pro sus valores respectivos, tenemos:

Segn el resultado, los alumnos acuden a la biblioteca de la facultad, en promedio, dos veces a la semana.

b) Cuando se usa datos agrupados

Dnde:

= punto medio de la clase

= frecuencia dela clase i de la distribucin

= suma de productos f1 x1

Usar la media aritmtica en la investigacin universitaria sirve para:

I. Expresar globalmente una informacin que frecen los datos

II. Expresar una media estable

III. Tener una media consistente

IV. Obtener un dato fundamental para otros estadstico

9.2. LA MEDIANA (MDN)

Es la medida de tendencia central que expresa el valor que ocupa el lugar central entre los valores ordenados segn su magnitud.

Ejemplo de mediana:

La produccin diaria en una fbrica de calzado en la cual se trabaja los siete das de la semana, expresada en docenas de calzado y presentada ordenadamente, es como sigue:

40 42 43 47 48 50 51

Se observa fcilmente que el valor central es 47.

Vamos al siguiente cuadro en el cual se expresan los aos de estudio de un grupo de trabajadores de una fbrica:

En este caso, como es un fenmeno acumulativo se tiene el siguiente cuadro de frecuencias:

X1

F1

11

6

16

18

19

3

2

7

2

1

Los valores obtenidos son los siguientes

11 11 11 6 6 16 16 16 16 16 16 16 18 18 19

Al ordenar los valores se obtiene:

6 6 11 11 11 16 16 16 16 16 16 16 18 18 19

Al apreciar el valor central, se tiene 16

9.2.1. PROCESO PARA OBTENER LA MEDIANA CUANDO EL NMERO DE VALORES ES PAR

En el caso en que el nmero de valores ordenados sea par, se considera el promedio de los dos valores centrales. Por ejemplo: si el registro de los valores fuera:

10 42 43 47 53 55 59 60 61 63

Los valores centrales son 53 y 55, para considerar su promedio se tiene:

La mediana en este caso es 54

9.2.2 CUNDO SE USA LA MEDIANA?

Los investigadores usan la medida cuando los valores estn muy seguidos y hay dato con valor extremo. La mediana no es afectada por el hecho de que los valores apareados aparezcan cargados a un extremo, pues se trata de un valor que esta entre 50% de unos y 50% de otros.

9.2.3 LA MODA (MO)

La moda o modo es el valor tpico o comn en un conjunto de datos, es decir, el valor que mas se repite, el que se presenta con mayor frecuencia.

9.3.1 LOS DATOS BIMODALES

Cuando los datos presentan situaciones en las que son dos los valores que se repiten con ms frecuencia, los datos se llaman bimodales.

Por ejemplo: Considrese que la seccin maestra de una escuela de posgrado tiene 14 aulas. En cada aula hay diferentes nmeros de carpetas, segn la siguiente tabla:

x1

f1

20

25

26

28

30

1

4

4

3

2

14

Tal como se puede observar fcilmente, los valores que hay ms se repiten son dos: 25 y 26, los que se reconocen como datos bimodales.

Cuando no se repite ningn valor no hay moda.

9.3.2 CUANDO USAR LA MODA

Aunque la moda se puede usar con todas las escalas, se usa preferentemente cuando se trabaja con escalas nominales. En realidad el uso de la moda la restringe el investigador solo a los casos en los c pretende ofrecer una idea aproximada acerca de donde esta la mayor concentracin de observaciones.

9.3.3 APLICACIN DE LA RELACIN DE PEARSON

La relacin de Pearson es una estimacin prctica del modo, siempre que la distribucin no sea bimodal y se acerque bastante a la modal.

10. MEDIDAS DE TENDENCIA NO CENTRAL

10.1. CONCEPTO

Son medidas tiles para una posicin no central, empleadas para resumir y describir un conjunto de datos. Estas medidas de tendencia no central se denominan cuartles.

10.2. CONCEPTO DE CUARTLES

Los cuartiles constituyen una clase de los (n-1) valores de participacin de una aleatoria que dividen a la frecuencia total de una poblacin o de una muestra dado n de partes iguales.

10.3. CLASES DE CUARTLES

Los cuartles dividen de una distribucin de n partes iguales. Cuando estas partes son cuatro se denominan cuartiles. Si se divide en diez partes son deciles y si se dividen en cien, percentiles.

Si S tiene una distribucin cuyo total de observaciones las dividimos en cuatro partes iguales, para expresarla grficamente requerimos de tres cuartiles, como lo muestra el siguiente grafico:

1er. Cuartil: Q1

2do. Cuartil: Q2

3er. Cuartil: Q3

Donde Q1 divide las observaciones en dos grupos: el 25% de las observaciones son menores al valor del Q1 y 75% de las observaciones son mayores.

Q2 es la mediana: ya sabemos que el50% de las observaciones son menores a la mediana (que en este caso coincide con el segundo cuartl) y 50% de las observaciones son menores que ella.

Q3 divide a las observaciones en dos grupos: 75% de ellas son menores al Q3 y el 25% son mayores.

10.4. CONCEPTO DE RANGO APLICADO A LOS CUARTILES

Se denomina rango de cuartiles a las posiciones que les corresponde a los cuartiles les correspondern los siguientes rangos:

Rango del primer cuartil =

Rango del segundo cuartl=

Rango del tercer cuartl =

10.5. OBTENCIN DE LOS DECILES Y PERCENTILES

Para obtener los deciles se divide el total de frecuencias entre diez, mientras que para la obtencin de los percentiles necesitamos dividir el total de frecuencias entre 100.

10.6. IMPORTANCIA DE LOS PERCENTILES

Trabajar con los percentiles es importancia para el investigador. Le permite comparar unos datos con otros que participan en los mismos hechos. Como dice Joan Welkowitz,

10.7. CONCEPTO DE RANGO DEL PERCENTIL

Se denomina el rango del percentil de un valor dado al nmero que expresa el tanto por ciento de casos en el grupo es pacfico de referencia y cuyo valor es igual o inferior al dado. As, si al puntaje de 41 le corresponde un rango de 85, entonces esto significa que el 85% del grupo que dio examen obtuvo una puntuacin igual o menor que 41 mientras que solo el15% obtuvo calificaciones ms altas. Pero, si a 41 le corresponde un rango de 55, esto significa que el 55% de los que dieron examen obtuvo puntuaciones iguales o ms bajas, pero tambin significa que el 45% logro calificaciones ms altas, y por tanto su calificacin de 85 no es alta como pareca al comienzo.

10.8. CALCULO DEL GRUPO PERCENTIL CUANDO SE CONOCE EL VALOR BRUTO

Esta operacin estadstica consiste en determinar el rango del percentil cuando se conoce el valor bruto, es decir, la puntuacin origina o puntuacin directa.

Las calificaciones de los estudiantes que conforman el grupo al que pertenece nuestro personaje que obtuvo 41 puntos fueron las siguientes.

Intervalo de clase

Frecuencia (f)

Frecuencia acumulada (fa)

48 50

45 47

42 44

36 38

33 35

30 32

27 29

24 26

21 23

18 20

15 17

12 14

9 11

1

3

4

7

9

14

8

10

8

4

3

3

5

85

84

81

71

64

55

41

33

23

15

11

8

5

Para obtener el rango del percentil se sigue el proceso que pasamos a describir:

a) Se localiza el intervalo de clase al que pertenece la clasificacin. Para una mejor ilustracin este intervalo aparece recuadrado: es la cuarta lnea en el cuadro anterior.

b) Se clasifican las frecuencias (f) de las tres categoras, las que corresponden a las tres clases de clasificaciones:

Calificaciones superiores al intervalo crtico.

Calificaciones del intervalo crtico.

Calificaciones inferiores al intervalo crtico.

c) Logro de porcentajes de intervalos. Para el logro del porcentaje de intervalo de cada caso se divide la frecuencia del intervalo correspondiente entre la frecuencia acumulada:

Por lo tanto, el proceso para hallar cada uno de los intervalos es el siguiente:

Intervalos superiores:f:88/859,4%(S%)

Intervalos crtico:f:66/8571,5%(C%)

Intervalos inferiores:f:7171/8583,5%(I%)

En el cuadro puede apreciarse que:

8 persona obtuvieron puntajes superiores al intervalo crtico.

6 persona obtuvieron puntajes en el intervalo crtico.

71 persona obtuvieron puntajes inferiores al intervalo crtico.

(Esta cifra se obtiene siempre tomando nota de las frecuencias acumuladas para el intervalo inmediatamente inferior al intervalo crtico)

S%, representa el porcentaje de persona con calificaciones superiores a las del intervalo crtico y se lee porcentaje superior

C%, se lee porcentaje crtico, representa el porcentaje de calificaciones que puntan en el intervalo crtico.

I%, porcentaje de la suma de las frecuencias inferiores, representa el porcentaje de la suma de calificaciones que puntan debajo del intervalo inferior.

d) Determinacin del lmite del intervalo crtico. Es conveniente sealar como podra creerse que el lmite del intervalo crtico no es 39. En efecto, tenemos que ponernos en el caso de que alguien obtenga una puntuacin decimal y en este caso habra una dificultad, puesto que l intervalo crtico seria ms estrecho que el que le corresponde.

e) Determinacin del tamao del intervalo. El tamao del intervalo es la distancia existente entre los puntajes que comprende cada uno de los intervalos. As, entre los puntajes 9 y 11 del primer intervalo inferior es 3, entre12 y 14, es 3, igualmente entre los otros restantes.

En el ejemplo, motivo del anlisis el tamao del intervalo es 3

10.9. OBTENCIN DEL RANGO DEL PERCENTIL

Para la obtencin del rango del percentil se suma el porcentaje de la suma de las frecuencias inferiores con el producto del intervalo expresado en fraccin por el porcentaje crtico (C%).

Como vimos, la suma del porcentaje de las frecuencias inferiores es 83,5; el tamao del intervalo es 3, pero expresado en fraccin en el caso del ejemplo- equivale a 2,5/3 puntos, o sea 0,83; y tambin, vimos que C% es 7,1, entonces el rango del percentil ser:

Rango del percentil= 83,5%(0,83)(7,1%)

= 83,55,98%

= 89,4%

10.10. FORMULA ABREVIADA PARA OBTENER EL RANGO DEL PERCENTIL

Dnde:

I % =porcentaje de la suma de las frecuencias inferiores. Calificacin obtenida = en

el ejemplo, 41.

LIR =limite de intervalo crtico. En este ejemplo (vase la tabla de intervalos de

Frecuencias) = 38,5

C% =porcentaje de calificaciones que se ubican en el intervalo crtico.

h =tamao del intervalo.

Reemplazando las expresiones de la formula por cifras correspondientes en el ejemplo, se tiene:

11. LAS MEDIDAS DE DESVIACIN

11.1. CONCEPTO DE MEDIDAS DE DESVIACIN

Se denominan medidas de desviacin aquellas medidas que usa el investigador para ofrecer informacin de la heterogeneidad u homogeneidad de los datos, es decir, aquellas medidas que se refieren a las variaciones o dispersiones de los datos en su conjunto.

11.2. MEDIDAS QUE SE USAN PARA MEDIR LA DISPERSIN DE DATOS

Las medidas que ms usan los investigadores para expresarla dispersin de los datos son: el rango (denominado tambin recorrido), la varianza (o variancia), la desviacin estndar y el coeficiente de variacin.

11.2.1. EL RANGO O RECORRIDO

Se denomina rango o recorrido a la diferencia entre el valor mximo y el valor mnimo en un conjunto de datos ordenados.

Por ejemplo, si hay un grupo de alumnos que ingreso a la Facultad de Estomatologa en 1995, y dentro de el hay seis que tienen la menor edad (15 aos); hay uno que tiene la mayor edad (62 aos) y los otros tienen diversas edades, pero mayores que 15 y menores que 62. En este caso el valor mximo es 62 y el mnimo es 15.

El recorrido se obtendr por la diferencia: se resta el valor mnimo al valor mximo.

Recorrido = 62 15 = 47

El recorrido o rango es fcil de obtener, pero la desventaja de esta medida radica en el hecho de que no informa absolutamente nada acerca de la distribucin de los datos entre los valores extremos.

11.2.2. LA VARIANZA O MEDIDA DE LO CUADRADOS

La varianza o medida de cuadrados es la medida de la variabilidad mas usada para apreciar las diferencias entre los hechos: expresa el grado de dispersin o diseminacin de los valores respecto a los valores de una serie con relacin a su media aritmtica.

La gran importancia de calcular la media y la varianza de grupos experimentales esta en el hecho de que cumple con una tarea fundamental en la investigacin: estudiar relaciones entre hechos.

Kerlinger afirma que la varianza es una medida de dispersin del conjunto de puntuaciones.

Un caso de uso de varianza en la investigacin en el rea de educacin es el siguiente:

11.2.2.1 LAS CLASES DE VARIANZA

Segn el uso del investigador le da a la varianza en tanto medida de variabilidad, suelen distinguirse diversos tipos de varianza. De acuerdo a la extensin de la poblacin que estudia puede ser de poblacin y varianza de muestra. Segn el conocimiento de las influencias: varianza sistemtica (debidas a influencias conocidas) y de error (debida a la casualidad). Entre las varianzas sistemticas se destaca la varianza entre grupos o varianza experimental.

11.2.2.1.1. VARIANZAS SEGN LA EXTENSIN DE LOS GRUPOS QUE SE ESTUDIAN

De acuerdo a la extensin de los grupos que se estudian, las varianzas pueden ser de poblacin o de muestras.

a) Varianza de poblacin

Se denomina as a la varianza que estudia la dispersin de datos correspondientes a una poblacin completa, es decir, a un universo. Cuando se reconocen todas la medidas de un universo que se estudia, entonces la varianza tambin es conocida. Tal hecho no ocurre siempre, por lo que los investigadores se preocupan por estudiar y de aplicar otro tipo de varianza: la varianza de muestras.

b) Varianza de muestras

La varianza de muestras es aquella varianza que se usa cuando no es posible estudiar toda la poblacin o universo o no hay dificultades para estudiar todo el universo o, tambin, cuando se prefiere no causar problemas por las condiciones para poder estudiar toda una poblacin completa, como el dinero requiere, el tiempo de dedicacin o la paralizacin de una poblacin.

Veamos el siguiente ejemplo: se quiere estudiar la duracin de todo los fluorescentes. Habra que paralizar todas las fbricas de fluorescentes? Indudablemente que no. Habra que recurrir a las muestras.

11.2.2.1.2 VARIANZAS SEGN EL CONOCIMIENTO DE LAS INFLUENCIAS

Segn el conocimiento de las influencias, las varianzas pueden ser varianzas sistemticas o varianzas de error.

a) Varianza sistemtica

Se denomina varianza sistemtica a aquella variabilidad que encuentra su explicacin en las influencias que se conocen.las influencias de fenmenos naturales, as como las producidas por el hombre y que se pueden predecir con influencias sistemtica.

b) La varianza entre grupos de medidas o experimental

La varianza entre grupos o varianza experimental es una clase de varianza sistemtica, que se denomina as por expresar diferencias sistemticas entre grupos de medida.

Las dispersiones de daros, como la cita diferencia de puntuaciones de compresin de lectura, establecen diferencias entre grupos y propiamente entre individuos de un grupo. Pero es posible hacer distinciones respecto de puntajes de compresin de lectura entre estudiantes de grupo distintos de procedencia: de universidades nacionales y de universidades privadas. Cabe hablar de varianza intra-grupos, cuando se distingue subgrupos dentro de uno existente y reconocido, y de varianza extra grupos.

c) La varianza de error

Se denomina varianza de error a la dispersin de datos medidos y que obedecen a la causalidad, debido a hechos que ignora o no conocer bien el investigador

Por ms providencias que tome el investigador ocurren dispersiones de datos por hechos que el investigador no identifica cono controla. Lgico es que si los conociera, sil os identificara, entonces adoptara una estrategia.

11.2.3. LA DESVIACIN ESTNDAR

Se denomina desviacin estndar a la medida de dispersin de datos relacionada con la varianza, pues en tanto que esta ltima se expresa en unidades elevadas al cuadrado, y de acuerdo a las unidades de los valores elevados al cuadrado (metros al cuadrado, dlares al cuadrado, etc.), para hacer practico el enunciado, se usa la medida de desviacin estndar, que por esta razn es la raz cuadrada positiva dela varianza.

La frmula para hallar la desviacin estndar (S) es:

Donde: S = desviacin estndar

Xi = valores individuales

= media aritmtica

f1 =frecuencia del valor x

n = casos

11.2.4. EL COEFICIENTE DE VARIACIN

Es la medida de dispersin de datos que mide el grado de desviacin con relacin a la media, de all que se le conciba como una medida de dispersin relativa. Se expresa en trminos de porcentajes.

Para hallar el coeficiente de variacin se aplica la siguiente formula:

Donde: V = coeficiente de variacin S = desviacin estndar = Media Aritmtica

11.2.4.1. IMPORTANCIA DEL USO DE LA DESVIACIN ESTNDAR EN COMPARACIN CON OTRAS MEDIDAS DE DISPERSIN

La desviacin estndar resulta ms estable de un muestreo a otro

Sus propiedades permiten que los investigadores puedan hacer interpretaciones que se aplican en las aferencias estadsticas.

Se aplica en el anlisis de inversin y medio con de riesgos. Los investigadores saben que a menor desviacin estndar, menor el riesgo del proyecto.

12. LA PRESENTACIN DE DATOS:

12.1. CONCEPTO

La presentacin de datos es la forma en que el investigador expone al jurado calificador y a los lectores de su informe, los datos que encontr al aplicar sus instrumentos de medicin.

12.2. LAS FORMAS POSIBLES DE PRESENTAR LOS DATOS

Un investigador que hace una tesis tiene un conjunto de posibilidades de presentar los datos. Generalmente combina los diversos recursos, esmerndose en alcanzar la informacin al jurado y sus lectores.

Vemos seguidamente estos recursos.

12.2.1 LA TABLA DE FRECUENCIAS

Consiste propiamente en un mtodo por el cual se clasifican y ordenan los datos en clases o intervalos, de tal manera que quera claramente definida la frecuencia con que se producen los hechos. El nmero de observaciones que registra, est tratando de tal manera que puede manejarse con versatilidad aunque implique cantidades considerables

Para elaborar una tabla de frecuencia el investigador que hace una tesis sigue las siguientes prescripciones.

a) El ttulo expresa las variables, de las cuales se ofrecen datos.

b) Seguidamente se establecen las clases o intervalos.

c) La tabla expresa el tamao del muestreo.

d) Hacer el conteo de cada clase o intervalo y presentarlo en forma de frecuencia.

e) Se el investigador presenta datos secundarios, incluir una nota indicando all las fuentes.

f) El nmero de clases o intervalos, as como su tamao debe definirse de tal manera que cada uno de los nmeros pertenezca siempre slo a una clase o intervalo.

12.2.2. CMO ESTABLECER LAS CLASES DE DISTRIBUCIN?

Para establecer las clases de distribucin se siguen los siguientes pasos:

a) Determinar el rango.

b) Se decide el numero de clases (para algunos autores, el numero de clases no debe ser mayor de 15 ni menor de 5). Es recomendable el siguiente criterio: extraer la raz cuadrada del tamao del muestreo.

c) Se establece la amplitud de la clase o intervalo. Se sugiere establecer esta amplitud dividiendo el rango entre el nmero de clases.

d) Establecer los intervalos preliminares. Para lograr este paso se considera un numero por debajo del valor ms pequeo del lmite inferior; para establecer el lmite inferior con la amplitud de clase.

e) Presentar claramente las clases, es decir, el investigador no puede dar pie para que la distribucin que presente, admita la repeticin de un mismo nmero en dos clases diferentes.

En este caso de que el investigador use nmeros continuos, instrumentar el signo