INTERPOLACIÓN

Supongamos que conocemos n+1 puntos (x0 , y0) ,(x1 , y0) ,... ,(xn , yn) de

esta determinada curva y=f (x ) que se aprecia en la gráfica. Su objetivo

principal de la interpolación significa encontrar un polinomio p(x ) de grado “n”

y es obligatorio que y=f (x ) (la curva) pase por toda la nube de puntos.

Forma para evaluar un polinomio:

Pn ( x )=a0+a1 x+a2 x2+.………an x

n .

P (X0 )=Y 0

P (X1 )=Y 1

⋮

P (Xn )=Y n

Entonces el Sistema de Ecuaciones Lineales (SEL) quedaría:

a0+a1 x0+a2 x20+¿…………………… ..an x

n0=Y 0¿

a0+a1 x1+a2 x21+¿……………………..an x

n1=Y 1¿

⋮

a0+a1 xn+a2 x2n+¿…………………… ..an x

nn=Y n¿

x1

y1

y0

x0 xn

(1 x0 x20………… .. x

n0

1 x1 x21………xn1

⋮ ⋮ ⋮ ⋮1 xn x

2n x

n1

)(a0a1⋮an)=(y0y1⋮yn

)a0=⋯ a1=… an=…

POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE

Este método simplemente es una reformulación del polinomio de Newton que

evita los cálculos de las diferencias divididas. Consiste en construir el polinomio

interpolador P ( x ) de grado “n” que pasa por “n+1” puntos (x i,y i). Entonces el

polinomio de Lagrange seria de esta forma:

Pn ( x )=Y 0+P1 (x )Y 1+P2 ( x )Y 2+…⋯+Pn (x )Y n

Donde p j ( x ) es un polinomio de grado n y pn ( x ) debe satisfacer y cumplir con

las siguientes restricciones:

pn (x i )= y i ; i=0 ;…….;n

Entonces generando (n+1) ecuaciones tenemos:

P j ( x )=(x−x0 ) (x−x1 )+…+(x−x i−1 ) (x−x i+1 )+…+(x−xn)

(x j−x0 ) (x j−x1)+…+(x j−xi−1 ) (x j−xi+1 )+…+(x j−xn)

pi (x i)=(xi−x0 ) (x i−x1 )+…+(x i−x i−1) (x i−x i+1)+…+(x i−xn)

(xi−x0 ) (x i−x1 )+…+(x i−x i−1) (x i−x i+1)+…+(x i−xn)=1

pi (x j )=(x j−x0 ) (x j−x1 )+…+(x j−x i−1) (x j−x i+1 )+…+(x j−xn)

(x j−x0 ) (x j−x1 )+…+(x j−x i−1) (x j−x i+1 )+…+(x j−xn)=0

Examinando las ecuaciones se observa que P j (x i ) se define como:

P j (x i )={1 ; i= j0; i ≠ j

Ahora para un mejor entendimiento del polinomio de Lagrange planteamos un

ejemplo:

x0 x1 x2 x3

y0 y1 y2 y3

p ( x )=( x−x1)(x−x2)(x−x3)

(x0−x1)(x0−x2)(x0−x3)y0+

(x−x0)(x−x2)(x−x3)(x1−x0)(x1−x2)(x1−x3)

y1+(x−x0)(x−x1)(x− x3)

(x2−x0)(x2−x1)(x2−x3)y2+

(x−x0)(x−x1)(x−x2)(x3−x0)(x3−x1)(x3−x2)

y3

Adicionalmente lo podemos definir de la forma:

Li (x )=(x−x0 ) (x−x1 ) ( x−x2)… (x−x i−1 ) (x−x i+1 )…(x−xn)

(x i−x0 ) (x i−x1 ) (xi−x2)… (x i−x i−1 ) (x i−x i+1 )…(x i−xn)=1

De donde:

Li (x )=∏j=1j ≠1

n (x−x j)(x i−x j)

; Li (x j )=K ij={1 ; i= j0 ;i ≠ j

Entonces diríamos que:

p ( x )=L0 (x ) y0+L1 ( x ) y1+…+Ln (x ) yn

p ( x )=∑i=0

n

Li (x ) y i

En conclusión el polinomio de Lagrange lo podemos representar de la siguiente

expresión:

p ( x )=∑i=1

n

∏j=0j ≠ i

n (x−x j)(x i−x j)

y i

Algoritmo de interpolación de Lagrange:

Declaro mi nube de puntos , número de puntos =n+1

Aplicamos la formula general

p ( x )=∑i=1

n

∏j=0j ≠ i

n (x−x j)(x i−x j)

y i

Fin.

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LAGRANGE maple.mw Y EN GEOGEBRA C:\Users\KHATERINE\Documents\

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