1. Un termómetro se saca de una habitación, en donde la temperatura del aire es de 70°F, al exterior, en donde la temperatura es de 10°F. Después de ½ minuto el termómetro marca 50°F. ¿Cuánto marco el termómetro cuando t=1 minuto? ¿Cuánto tiempo demorará el termómetro en alcanzar los 15°F?

SOLUCIÓN

El coeficiente de variación de la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio ambiente. (Ley de enfriamiento de Newton.) Si y = T (t) es la temperatura (desconocida) del cuerpo en el instante t y T0

designa la temperatura (conocida) del medio ambiente, la ley de Newton conduce a la ecuación diferencial

dTdt

=k (T−T o ) (1)

Siendo k una constante positiva. Esta ecuación lineal de primer orden es el modelo matemático que usamos para los problemas de enfriamiento. T₁=70°F T₂=10°F t=1/2 min Tt=50°F

Reemplazando los datos en la Ec. (1), se obtiene:

dTdt

=k (T−10 ) (2)

Desarrollando para T, obtenemos:

dTT−10

=Kdt

∫dT

T−10= ∫ Kdt

ln|T−10|=Kt+C1

T−10=eKt+C1

T−10=C2 EKt

T=C2eKt+10 Condicionado a T (0)=70.

Como: T (0 )=70, se halla el valor de C2:

⇒70=C2+10

⇒C2=70−10

T=60eKt+10

⇒C2=60

Entonces, ya que se conoce el valor de C2, se procede a hallar el valor de la constante de proporcionalidad K:

Como: T ( 12 )=50, se halla K:

⇒50=60e12K+10

⇒60e12K=40

⇒ e12K=4060⇒ 12K=ln( 4060 )⇒K=2 ln( 4060 )

Entonces, T=10+60e−0,8109 t

Cuando t=1 min,

T=10+60e−0,8109(1)

T=36,6 °F.

Cuando T=15°F,

t=ln(T−10

60 )−0,8109

t=3,06 min.

2. A un circuito en serie, en el cual la inductancia es de 0,1 H y la resistencia es de 50Ω, se aplica una tensión de 30 V. Evalúe la corriente i (t) si i (0)=0. Determine también la corriente cuando t→∞

SOLUCIÓN

En circuitos eléctricos en los que aparece una fuerza electromotriz, una resistencia, y una autoinducción conectadas en serie, la fuerza electromotriz produce un voltaje que origina una corriente eléctrica que recorre el circuito. Para nuestro objeto, todo lo que precisamos conocer acerca del circuito es que el voltaje, designado por V (t), y la intensidad de la corriente, designada por I (t), son funciones del tiempo t ligadas por una ecuación diferencial de la forma

Ldidt

+Ri=V (t ) (1)

Aquí L Y R se suponen constantes positivas. Se llaman respectivamente, la inductancia y la resistencia del circuito. La ecuación diferencial es una formulación matemática de una ley de conservación, llamada ley del voltaje de Kirchhoff, y sirve como modelo matemático para el circuito.

Inductancia: 0,1 HR= 50ΩV= 30VI (t)=?I (0)= 0

Aplicando la ley de Kirchhoff (Ec.1) a los datos anteriores, se tiene que

0,1didt

+50 i=30

Dividimos entre 0,1 y resolvemos,

didt

+500 i=300 P ( t )=500

⇒ e ∫ P (t )dt=e ∫500 dt=e500t

e500tdidt

+500e500t i=300e500 t

ddt

[e500t i ]=300e500t

i e500 t= ∫ 300e500 tdt

i e500 t=35e500 t+C

i=35−Ce−500 t (2)

Aplicando la condición i (0)= 0, se obtiene que:

0=35−C e0

c=35

De esto se tiene como resultado

i=35−35e−500t

Cuando t→∞, i=35

3. Un tanque contiene 200 litros de un líquido en el cual se disuelven 30 gramos (g) de sal. Una salmuera que contiene 1 g de sal por litro se bombea al tanque con una intensidad de 4 litros por minuto; la solución adecuada mezclada se bombea hacia afuera con la misma rapidez. Encuentre el número de gramos A (t) de sal que hay en el tanque en un instante cualquiera.

SOLUCIÓN:

Sea y = A (t) el número de gramos de sal que hay en el depósito t minutos después de haber comenzado la mezcla. Hay dos factores que producen la variación de y: la disolución que agrega sal a razón de 4 g por minuto y la mezcla que sale que disminuye la cantidad de sal a razón de (A /50) gramos por minuto. (La fracción A/50 representa la concentración en el tiempo t.) Por tanto la ecuación diferencial es:

V= 200 litrosm= 30g de salC= 1g/LRapidez de bombeo= 4L/min

A (t)=? (cantidad de sal en gramos)

dAdt

= (Rapidez a la que la sal entra )−(rapidez conque la sal sale )=R1−R2

R1= (Ra pidez debombeo ) (Concentracióna laque entra )=( 4 Lmin )( 1gL )= 4 gmin

R2= (Rapidez de bombeo ) (Concentraciónde salida )=( 4 Lmin )( A g200L )= A g

50min

dAdt

=4− A50

⇒ dAdt

+ A50

=4

Tomando como factor integrante e∫ P (t )dt, y con P (t )= 150 , se tiene:

e ∫ P (t )dt=e∫ 150

dt=e

150

t=e

t50

De ahí, se procede a resolver la ecuación diferencial:

et50 dA

dt+A e

t50

50=4e

t50

ddt

[ A et50 ]=4e t

50

Aet50=4 ∫ e

t50 dt

Aet50=200+C

A ( t )=200+C e−t50

Sujetando a A (0)=30, se halla el valor de C:

30=200+Ce−o50

30=200+C

C=-170

Dado el valor de C, se obtiene que

A (t )=200−170e−t50

4. Cuando un rayo vertical de luz pasa a través de una sustancia transparente, el grado con que su intensidad I disminuye es proporcional a I (t), en donde t representa el espesor del medio, expresado en pies. En agua de mar limpia, la intensidad a 3 pie bajo la superficie es 25% de la intensidad inicial I0 del rayo incidente. ¿Cuánta es la intensidad del rayo a 15 pie bajo la superficie?

SOLUCIÓN:

Cuando un rayo luminoso atraviesa a través de un material transparente, la razón a la que disminuye su intensidad está dada de manera proporcional al espesor del material, este problema, similar a los problemas de decaimiento (como se verá más adelante), y por ello, se puede expresar estas situación con la ecuación diferencial

dIdt

=KI (t) O dIdt

−KI (t)=0

I (0)=I0

I (3)= 0,25I0

I (15)=?

Tomando como factor integrante e ∫ P (t ) dt, con P ( t )=−K , se desarrolla la ecuación diferencial:

e ∫ P (t )dt=e ∫−Kdt=e−Kt

e−Kt dIdt

−KI e−Kt=0

ddt

[ I e−Kt ]=0

I e−Kt=C

I=C eKt sujetoa I (0 )=I 0,

I 0=C e0

I 0=C

I=I 0 eKt sujetoa I (3 )=0,25 I 0

0,25 I 0=I 0 e3 K

e3K=0,25 I 0I 0

3K=ln (0,25 )

K=ln (0,25 )3

K=−0,462

Se obtiene:

I (t )=I 0 e−0,462t

Finalmente, evaluando en t=15,

I=0,00097 I 0

I=0,097% I 0

5. La vida media del radio es aproximadamente 1600 años. Encontrar qué porcentaje de una cantidad dad de radio se ha desintegrado en 100 años.

SOLUCIÓN:Aunque los distintos elementos radiactivos presentan diferencias notables en sus coeficientes de desintegración, todas las sustancias tienen la propiedad común de que la velocidad de descomposición de una determinada sustancia en cada instante es proporcional a la cantidad de sustancia existente en aquel instante. Si se designa por y = M (t) la cantidad de sustancia radiactiva existente en el instante t, la derivada y' = M'(t) representa la velocidad de cambio de y en el instante t y la ley de descomposición expresa:

dMdt

=−KM ( t) O dMdt

+KM (t)=0

Donde k es una constante positiva (llamada constante de desintegración) cuyo valor depende del elemento particular que se está descomponiendo. El signo menos es debido a que y decrece cuando t crece, y por tanto y' es siempre negativo. La ecuación anterior es el modelo matemático utilizado para problemas relativos a desintegración radiactiva. Y otros tantos (tales como la disminución de intensidad, como se vio anteriormente)

M (t)=masa de Ra en un instante t T1/2(Ra)=1600 años%Ra (100 años)=?

De igual manera que en los casos anteriores, se toma P (t )=K , y se desarrolla el factor integrante, y a su vez, la ecuación diferencial:

e ∫ P (t )dt=e ∫ Kdt=eKt

eKt dMdt

+K eKt M=0

ddt

[eKtM ]=0

eKt M=C

M ( t ) ¿Ce−Kt tomandoM (0 )=M 0

M 0=C

M ( t )=M oe−kt conM (1600 )=1

2M 0

12M o=M 0 e

−k (1600 )

12=e−K (1600 )

−K (1600 )=ln|12|

K=ln|12|

−1600⇒K=0,00043

M (t )=M 0 e−0,00043 t

Evaluando en t=100 años, se obtiene:

M ( t )=0,95M 0

M (t )=95,8%M0

UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO

PROBLEMAS FISICOS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Walther Cardozo

Wilson Guillín

Pedro Jimenez

Francisco Monterrosa

Elver Rivera

Gustavo Villamil

Doc. John Beiro Ramos

Barranquilla, Marzo 20 de 2013