Contaduría IVMatemáticas financieras 7.1 Cuando su hijo cumple 10 años, un padre hace un depósito de $X en una fiduciaria a nombre de su hijo con el objeto de asegurar los estudios universitarios, los cuales iniciará cuando cumpla 18 años. Si la Fiducia reconoce una tasa de interés del 20% N-t y estimando que para esa época el valor de la matrícula anual en la universidad será de $2´500.000 y que permanecerá constante durante los seis años que duran los estudios; ¿Cuál deberá ser el valor del depósito?

RT/: 1. Paso, sacar los valores i = 20% nominal trimestral A = 2.500.000 n = 8 años VP = X

2. paso, equivalencia. i = 20% Nominal trimestral 20/4 = 5/100 = 0.05%TG = (1+ i)n -1*100TG = (1+0.05)4 -1 *100TG = 21.550625% / 100= 0,21550625 i = 0,21550625

3. paso, formula.P =A 1-(1+i) n i P = 2.500.000 1 - (1+0,21550625) -8 0,21550625

P = 2.500.000 0.790133833 0.21550625

P = 2.500.000 * 3.666407974

P = 9.166.019.9335

7.2 Una persona quiere solicitar un préstamo bancario el día 1 de marzo del 2008; su capacidad económica solo le permite realizar pagos mensuales de $240.000, a partir del 1 de octubre del mismo año y hasta el 31 de diciembre del 2010. Si la entidad bancaria aplica una tasa de interés del 1,8% EM; ¿De qué valor deberá ser el préstamo?

RT/ 1. Paso, sacar valores.A = 240.000 i = 1.8% efectivo mensual. n = 27 meses.VP= X

2. Paso, equivalencias. i = 1.8% / 100 = 0.018

3. Paso, la formula.P = A 1-(1+i) -n IP = 240.000 1-(1+ 0.018) -27 0.018

P =240.000 0,382253926 0.018

P = 240.000 * 21.23632922P = 5, 096,719.13 Vp = Vf (1+i)n

Vp = 5.096.719,13 (1 + 0,018) 6

Vp = 5.096.719,13 1.112978226Vp = 4.579.352,052El préstamo será de $ rr 4.579.352,052

7.3 Una persona próxima a pensionarse deposita en un fondo de inversión el 1 de mayo del 2000, la suma de $10´000.000. Si el fondo reconoce en promedio un interés del 36% N-s; ¿Cuántos retiros mensuales de $800.000 podrá hacer, a partir de la fecha de jubilación que se estima será el 1 de abril del 2006?

RT/ 1. Paso, sacar valoresVP = 10.000.000 i = 36% Nominal semestral. A = 800.000 n = 5 anos 11 meses Vf = X

2. paso, equivalencias. i = 36% nominal semestral 36/2 = 18% / 100 = 0.18 n = 5 años 11 meses = 71 meses

Vf (1 +i)

Vf = 81.553.565,69 i = 0,03 nominal mensual. A = 800.000 mensual n = X

Tp = (1+TG) ˆ (1/n)-1 *100Tp = (1+0.18) ˆ (1/ 6) -1 *100Tp = 2.796794919% / 100= 0.027969749

3. paso, la formula.

Vf = Vp (1+i)n

Vf = 10.000.000 (1+0.02796794919)71

Vf = 10.000.000 * 7.089306498Vf = 70.893.064,94 n = log 800.000- log (800.000- 0,02796974919* 70.893.064,94 Log (1+0,02796974919)n = 14.1768843

7.4 Un inversionista deposita hoy $1 millones, $3 millones en 2 años; al final del año 4 comienza a hacer depósitos semestrales de $800.000, durante 6 años; Si el fondo de inversiones le reconoce una tasa de interés del 12%EA; ¿Cuánto dinero podrá retirar mensualmente, en forma indefinida, comenzando al final del año 10?

RT/ 1. Paso, sacar valores A = 800.000 semestrales n = 6 años i = 12% efectivo anual Vp = año 1: 1.000.000Vp = año 2: 3.000.000

2. paso, equivalencias.i = 12% efectivo anual 12/100= 0,12n = 6 años = 72 meses

3. paso, la formula.Tp = (1+TG) ˆ (1/n)-1 *100TP = (1+0,12) ˆ (1/12) -1 *100TP = 0,9488792935% / 100 = 9.488792935* 10

-03 = 0,009488792935

3. Paso, la formula.P = A 1-(1+i) -n IP = 800.000 1-(1+0,00948879293) - 72

0,9488792935

P = 800.000 0,49333688788 0,009488792935

P = 800.000 * 51.9949041P = 41.595.923,29 41.595.923,29 + 1.000.000 + 3.000.000 = 45.595.923,29

7.5 Una empresa tiene dos alternativas para una instalación de producción: la primera de ellas requiere la suma de $2.500.000 mensuales como costo de mantenimiento y de $10´000.000 cada 4 años para reparaciones adicionales; de otro lado, la segunda alternativa requerirá de una suma de $3.000.000 mensuales para mantenimiento y de $12´500.000 cada tres años para reparaciones adicionales. Considerando que la instalación se usara

por tiempo indefinido y que el costo de capital de la empresa es del 35% EA; ¿Cuál de las dos alternativas es más conveniente? RT/ 1. Paso, sacar valores.Alternativa 1: $2´500.000 mensuales de mantenimiento, más $10´000.000 para mantenimiento mayor cada 4 años

Alternativa 2: $3´000.000 mensuales de mantenimiento, más $12´500.000 para mantenimiento mayor cada tres añosTasa de Interés: 35% Efectivo Anual.

2. paso, equivalencias.Tasa de Interés: 35% Efectivo Anual. = 35/100 = 0.35

3. Paso, de la fórmula de la alternativa 1. n1

i2 = (1+i1)n2 – 1

1

i2 = (1+0.35)12 – 1 = 0,02532 0,02532% = 2,532 Efectivo mensual n1

i2 = (1+i1)n2 – 1 1

1

i2 = (1+0.35)4 – 1 = 23215%

Valor presente de la alternativa 1:

Vp = 2´500.000 + 10´000.000 0,0 2532 2,3215Vp = 98.736.176.94 + 430.7559767Vp= 103.043.736,7

El valor presente de la alternativa 1 es: 103.043.736,7

3. Paso, de la fórmula de la alternativa 1. n1

i2 = (1+i1) n2 – 1 1

1

i2 = (1+0.35)3 – 1 = 1.4603%

Valor presente de la alternativa 1:

Vp = 3.000.000 + 12´500.000 0,0 2532 1.4603Vp = 118.483.412.3 + 8.559.884.955

Vp = 127.043.297,3

El valor presente de la alternativa 1 es: 127.043.297,3La mejor alternativa es la numero 1 porque es de menor valor presente.

7.6 Si un banco aplica una tasa de interés del 24% N-t; ¿Cuál deberá ser el valor de los pagos semestrales vencidos, hechos durante un periodo de 10 años, para amortizar una deuda de $45´000.000?

RT/ 1. Paso, sacar valores.Vp = 45.000.000 i = 24% nominal trimestral n = 10 años

2. paso, equivalencias. i = 24% nominal trimestral 24/100 = 0,24/4 = 0,06 n = 10 anos = 20 semestres j = i x m i = 0,24 = 0,06 4 3. Paso, la formula. n1

i2 = (1+i1) n2 – 1 4

i2 = (1+0,06) 2 – 1 i2 = 1.1236 – 1 = 0.1236 % Efectivo semestral

A = Vp i . 1-(1+i)-n

P = 45.000.000 0.1236 . 1-(1+ 0.1236)-20

P = 45.000.000 0.1236 . 1- 0.097222187

P = 45.000.000 0.1236 . 0.902777812P = 45.000.000 * 0.136910764P = 6.160.984.382

7.7 Una entidad financiera presta a un cliente $300 millones, con un interés del 34.8% N. El deudor tiene un plazo de 20 años para amortizar la deuda, mediante pagos semestrales. Suponiendo que la primera cuota es de $2´000.000 y vence al final del primer semestre, ¿Cuál será el porcentaje de reajuste mensual de la cuota, para cancelar la deuda?

RT/ 1. Paso, sacar valores.Vp = 300.000.000

i = 34.8% nominal n = 20 añosValor primera cuota: 2.000.000

2. paso, equivalencias. i = 34.8% nominal 34.8/100 = 0,348/ 12= 0,029 = 2,9 n = 10 anos = 20 semestres j = i x m i = 0,348 = 0,029= 2,9 12 2.000.000 (1+ i) 20 - 1

30.000.000= (i-0,029) (1+0,029)20

7.8 A un pequeño empresario le ofrecen en comodato un restaurante durante dos años, se le garantiza al menos la venta mensual de 10.000 platos durante todo año; los cuales le serán pagados a razón de $6.000 cada uno, al final del año sin intereses. El empresario calcula que el costo de los insumos de cada almuerzo será de $2.000 los cuales deberán ser pagados al principio de cada mes. El valor de los insumos se estima tiene un incremento del 4% mensual. El costo mensual de mano de obra, la cual se considera permanecerá estable es de $3´500.000; además estima que requerirá hacer una inversión inicial de $50 millones para la adecuación del restaurante. Suponiendo un interés mensual del 3%. Calcular el valor de la ganancia en pesos al final del comodato.

RT/: 1. Paso, sacar los valores Valor total de los almuerzos P= 10.000* 6.000*12 = 720.000.000Costo de insumos C= 10.000 * 2.000 = 20.000.000 con incrementoValor de los insumos = 4% / 100 = 0.04Costo mano de obra = 3.500.000Inversión inicial de = 50.000.000Tasa de interés = 3% 3 / 100= 0,03

Valor presente de los ingresos.Vp = . Vf. (1+i)n

720.000.000Vp = (1+0,03)12

720.000.000Vp = 1,425760887 Vp = 252.496.756,8

Valor presente de los insumos. A1 = 20.000.000* (1+0.04)= 20.800.000G = i = 5% = 5 / 100= 0.05 n = 11

Vp = . A1 + (1G) n -1

(G-i) (1+i)n

2.000.000 (1+ 0,05) 11 - 1

30.000.000 + (0,05-0,03) (1+ 0,03)11

30.000.000 + 2.000.000 1.710339358 -1 0.02 1.384233871

30.000.000 + 2.000.000 1.235585542 -1 0.0230.000.000 + 2.000.000 0,235585542 0.0230.000.000 + 100.000.000 0,235585542

53.558.554,2

Valor presente de la mano de obra. A1 = 3.500.000G = i = 3% = 3 / 100= 0.03 n = 12

VP = A 1-(1+i) -n IVP = 3.500.000 1-(1+0,03) - 12

0,03

VP= 3.500.000 0,298620119 0,03

VP = 3.500.000 * 9.954003994VP = 34.839.013,98 U= 252.496.756,8 - 53.558.554,2- 34.839.013,98 - 50.000.000U= 114.099.188.6 7.9 Si un banco aplica una tasa de interés del 24% N-t; ¿Cuál deberá ser el valor de los pagos semestrales anticipados, hechos durante un periodo de 10 años, para amortizar una deuda de $45´000.000? RT/ 1. Paso, sacar valores.Vp = 45.000.000 i = 24% nominal trimestral n = 10 años

2. paso, equivalencias. i = 24% nominal trimestral 24/100 = 0,24/4 = 0,06 n = 10 anos = 20 semestres j = i x m i = 0,24 = 0,06 4 3. Paso, la formula. n1

i2 = (1+i1) n2 – 1

4

i2 = (1+0,06) 2 – 1 i2 = 1.1236 – 1 = 0.1236 % Efectivo semestral

A = Vp i . 1-(1+i)-n

P = 45.000.000 0.1236 . 1-(1+ 0.1236)-20

P = 45.000.000 0.1236 . 1- 0.097222187

P = 45.000.000 0.1236 . 0.902777812P = 45.000.000 * 0.136910764P = 6.160.984.382

7.10 Un señor desea contratar una póliza de seguro que garantice a sus hijos el pago de $2´500.000 mensuales durante quince años y adicionalmente $5´000.000 al final de cada año durante ese periodo. Si el primer pago se realiza un mes después de la muerte del señor; ¿Cuál será el valor póliza? La compañía de seguros aplica una tasa de interés del 24% N-m

RT/ 1. Paso, sacar valores. i: 24% N-mAnualidad 1: $2´500.000 mensuales durante 180 mesesAnualidad 2: $5´000.000 anuales durante 15 años

2. paso, equivalencias. i = 24% nominal mensual 24/100 = 0,24/12 = 0,02

3. Paso, la fórmula. n1

i2 = (1+i1)n2 – 1

12

i2 = (1+0.02)1 – 1 = 0,2682 41794 0,02532% = 2,532 Efectivo mensual P = A 1-(1+i) -n iP = 2.500.000 1-(1+0,02) - 180

0,02

P = 2.500.000 1- 0,028311904

0,02

P = 2.500.000 0,971688095 0,02

P = 2.500.000 48.58440478 P = 121.461.012

P = A 1-(1+i) -n iP = 5.000.000 1- (1+0,02532)-15

0,02532

P = 5.000.000 1- 0,687240218 0,02532

P = 2.500.000 0,312759781 0,02532

P = 2.500.000 12.35228205 P = 61.761.410,25

Valor de la pólizaVP = 121.461.012 +61.761.410,25 = 59,699.601, 75El valor de la póliza es 59.699.601,75

7.11 Una empresa metalmecánica tiene cuatro opciones para la compra de una maquinaria: el modelo A cuesta $300 millones; el modelo B, $500 millones, el C $700 millones y el modelo D, $900 millones. Si la persona puede hacer 42 pagos mensuales de máximo $30 millones comenzando al final del mes 6. ¿Cuál será el modelo más costoso que podrá comprar? Suponga una tasa del 24% N-m.

RT/ 1. Paso, sacar valoresN = 42 pagos mensualesVp: $30´000.000 i: 24% N-m

2. paso, equivalencias. i = 24% nominal trimestral 24/100 = 0,24/12 = 0,02

3. Paso, la formula.P = A 1-(1+i) -n iP = 30.000.000 1-(1+0,02) - 42

0,02

P = 30.000.000 1- 0,435304128 0,02

P = 30.000.000 0.564695871 0,02

P = 30.000.000 28.23479358

P = 847.043.807,4

7.12 Un filántropo ha creado una institución de caridad y desea asegurar su funcionamiento a perpetuidad. Se estima que esta institución necesita para su funcionamiento $10´000.000, al final de cada mes, durante el primer año; $12´000.000, al final de cada mes, durante el segundo año y $13´000.000, al final de cada mes, en forma indefinida. Suponiendo que la fiducia que administrara el dinero reconoce una tasa de interés del 30% N-m; ¿Cuál será el valor del depósito que deberá hacer el filántropo al inicio en la fiducia?