Trabajo de Álgebra Lineal - Copia

8/17/2019 Trabajo de Álgebra Lineal - Copia

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INTRODUCCION

Álgebra de Boole (también llamada álgebra booleana) en informática y matemática,

es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O, O y !" (#$,

O%, O&, "'), as como el conunto de operaciones unión, intersección y complemento*

+n la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del

diseo electrónico* -laude !.annon fue el primero en aplicarla en el diseo de circuitos de

conmutación eléctrica biestables, en /012* +sta lógica se puede aplicar a dos campos3

• #l análisis, porque es una forma concreta de describir cómo funcionan los circuitos*

• #l diseo, ya que teniendo una función aplicamos dic.a álgebra, para poder

desarrollar una implementación de la función*

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Álgebra lineal

El álgebra lineal es una rama de las matemáticas que estudia conceptos

tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y su enfoque de

manera más formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales.

Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de

las matemáticas como ser el análisis funcional, las ecuaciones diferenciales, la

investigación de operaciones, las gráficas por computadora, la ingeniería, etc.

Los Elementos AND, OR, NOT

Los bloques elementales de un dispositivo lógico se denominan puertaslógicas digitales. Una puerta !"#$% tiene dos o más entradas y una &nica salida.

La salida de una puerta es verdadera sólo si todas las entradas son verdaderas.

Una puerta ' !'(% tiene dos o más entradas y una sola salida. La salida de una

puerta ' es verdadera si cualquiera de las entradas es verdadera, y es falsa si

todas las entradas son falsas. Una puerta )#*E(+'(" !)#*E(E(% tiene una

&nica entrada y una &nica salida, y puede convertir una se-al verdadera en falsa,

efectuando de esta manera la función negación !#'%. " partir de las puertas

elementales pueden construirse circuitos lógicos más complicados, entre los que

pueden mencionarse los circuitos inestables !tambin llamados flip/flops, que son

interruptores binarios%, contadores, comparadores, sumadores y combinaciones

más comple0as.

1% And. La operación "nd requiere que

todas las se-ales sean

simultáneamente verdaderas para que

la salida sea verdadera. "sí, el circuito

de la figura necesita que ambos

interruptores estn cerrados para que

la lu2 encienda.

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Los estados posibles del circuito se pueden modelar en la abla de *erdad que

tiene asociada. +abemos que los interruptores sólo pueden tener dos estados,

abiertos o cerrados, si el interruptor abierto se representa mediante el cero !3 o

falso% y el cerrado mediante el valor uno !1 o verdadero% entonces en la tabla de

verdad asociada se puede ver la situación que se describía en el párrafo anterior,

cuando se decía que la lu2 sólo prende cuando ambos interruptores están

cerrados, es decir, si " 4 1 y 5 4 1 entonces L 4 1.

Or. La operación 'r tiene similares características a la operación "nd,

con la diferencia que basta que una se-al sea

verdadera para que la se-al

resultante sea verdadera. En la figura sepuede ver tal situación.

#ote que en el circuito los interruptores están en paralelo, por lo

cual basta que uno de ellos est

cerrado para que el circuito se cierre y

encienda la lu2

La operación 'r tambin tiene una representación funcional como 'r! ", 5 %

donde " y 5 serían los parámetros de entrada !los mismos valores de " y 5 en el

circuito% y L 4 'r! ", 5 %, correspondería a la forma de asignación de valor a L. En

este caso, el parámetro de salida es la misma función 'r.

Not6 La &ltima de la tres operaciones fundamentales, la cual tambin se conoce

como negación, complemento o inversión, es mucho más simple que las

anteriores. En la figura se puede observar el circuito, que en este caso tiene la

particularidad de que al estar el interruptor abierto la lu2 enciende, cuando l estáen posición de cerrado la lu2 permanecería apagada.

La notación funcional para esta operación será #ot! " %, donde "

corresponde a la se-al de entrada y #ot! " % corresponde al valor complementario

de ".


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7on las operaciones básicas ya definidas es posible redefinir el "lgebra de

una manera más formal, por e0emplo, dándole el nombre de $ominio Lógico y

caracteri2ándolo de la siguiente manera6

Tablas De Verdad

Estas tablas pueden construirse haciendo una interpretación de los signos

lógicos,8, 9, :, ;, uede establecerse una correspondencia entre los resultados de estas tablas y

la deducción lógico matemática. En consecuencia, las tablas de verdad

constituyen un método de decisión para chequear si una proposición es o no un

teorema.

>ara la construcción de la tabla se asignará el valor 1!uno% a una proposición

cierta y 3 !cero% a una proposición falsa.

1. Negacin! El valor de verdad de la negación es el contrario de la proposición

negada.

> 8 >

1 3


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3 1

?. Dis"#ncin! La disyunción solamente es falsa si lo son sus dos componentes.

> @ > : @

1 1 1

1 3 1

3 1 1

3 3 3

A. Con$#ncin! +olamente si las componentes de la con0unción son ciertas, la

con0unción es cierta.> @ > 9 @

1 1 1

1 3 3

3 1 3

3 3 3

B. Condicional! El condicional solamente es falso cuando el antecedente es

verdadero y el consecuente es falso. $e la verdad no se puede seguir la

falsedad.

> @ >; @

1 1 1

1 3 3

3 1 1

3 3 1


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C. %icondicional! El bicondicional solamente es cierto si sus componentes tienen

el mismo valor de verdad.

> @ >< @

1 1 1

1 3 3

3 1 3

3 3 1

+e denomina tautología una proposición que es cierta para cualquier valor

de verdad de sus componentes. >or tanto, la última columna de su tabla de verdad

estará formada &nicamente por unos.

Contradicción es la negación de una tautología, luego es una proposición

falsa cualquiera sea el valor de verdad de sus componentes. La última columna de

la tabla de verdad de una contradicción estará formada &nicamente por ceros.

E&al#acin de las e'(resiones lgicas

E'(resiones Lgicas

En los programas con frecuencia debemos enfrentarnos con situaciones en las

que se deben proporcionar instrucciones alternativas que pueden o no e0ecutarse,

dependiendo de los datos de entrada, refle0andose el cumplimiento o no de una

deteminada condición.

>or e0emplo, supongamos que queremos dise-ar un programa para calcular el

salario semanal de un empleado que traba0a por horas, la empresa paga una tasade 1.C la tasa normal por todas las horas traba0adas mayores a B3. El algoritmo

sería6

leer!tasa%

leer!Dorastraba0adas%


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si Doras F B3 condición

entonces!se cumple la condición%

paga G/ tasa H B3 I 1.C H tasa H!horas / B3%

sino !no se cumple la condición%

paga G tasa H horas

finsi

+i te das cuenta la solución del problema requiere el uso de estructuras de control

selectivas6 si)i*+, entonces)ten+, sino)else+. >ara reali2ar el algoritmo anterior se

necesita reali2ar la pregunta6 +on las horas traba0adas mayores a B3J.

Esto se reali2a mediante la evaluación de expresiones lógicas, comparando dos

valores y &tili2ando un operador de relación.

Una expresión lógica es una expresión que puede ser verdadera o falsa.

O(eradores de Relacin

+e &tili2an para expresar condiciones y describen una relación entre ?

variables. El con0unto de operaciones relacionales se muestran en la siguiente

tabla.

'peradores +ignificado

G Kenor que

F Kayor que

4 )gual a

F4 Kayor o igual que

G4 Kenor o igual que

GF $istinto o diferente a

Estos operadores se &tili2an en condiciones cuyo formato tiene la siguiente forma.

http://www.oocities.org/ar/luis_pirir/cursos/decisiones.htmhttp://www.oocities.org/ar/luis_pirir/cursos/decisiones.htmhttp://www.oocities.org/ar/luis_pirir/cursos/decisiones.htmhttp://www.oocities.org/ar/luis_pirir/cursos/decisiones.htm


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*ariable o(erador relacional variable

contante o(erador relacional constante.

El resultado de una expresión lógica es un valor de tipo lógico6 verdadero o falso.

7uando se aplican a elementos de tipo caracter se verifican en orden alfabetico,

tomando en cuenta el orden del código "+7)). $e la siguiente manera6

3 G 1 G ? ... G

a G b G c ... G 2

" G 5 G 7 ... G M

Le"es %ásicas del Álgebra de %oole

N Leyes conmutativas de la suma y multiplicación.

N Leyes asociativas de la suma y multiplicación.

N Ley distributiva.

O +on las mismas que las del álgebra ordinaria.

Le"es Conm#tati&as

O El orden en que se aplica a las variables la operación '( es indiferente6

"I5 4 5I"

O El orden en que se aplica a las variables la operación "#$ es indiferente6

"5 4 5"

Le"es Asociati&as


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"l aplicar la operación '( a más de dos variables, el resultado es el mismo

independientemente de la forma en que se agrupen las variables6

" I !5 I 7% 4 !" I 5% I 7

"l aplicar la operación "#$ a más de dos variables, el resultado es el

mismo independientemente de la forma en que se agrupen las variables6

"!57% 4 !"5%7

Le" Distrib#ti&a

"plicar la operación '( a dos o más variables y luego aplicar la operación

"#$ al resultado de la operación y a otra variable aislada, es equivalente a aplicar la operación "#$ a la variable aislada con cada uno de los sumandos y luego

aplicar la operación '( a los productos resultantes.

Esta ley tambin expresa el proceso de sacar factor com&n, en el que la

variable com&n se saca como factor de los productos parciales.

Le" distrib#ti&a (ara tres &ariables

A)% - C+ A% - AC

Reglas %ásicas del Álgebra de %oole

Kuy &tiles para la manipulación y simplificación de expresiones booleanas.

1. " I 3 4 "

?. " I 1 4 1

A. " P3 4 3B. " P1 4 "

. " 4 "

13. " I "5 4 "

11. " I "5 4 " I 5

1?. !" I 5%!" I 7% 4 " I 57


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C. " I " 4 "

Q. " I " 4 1

R. " P" 4 "

S. " P" 4 3

", 5, o 7 pueden representar una &nica variable o una combinación de variables.

/igni*icacin De Las E'(resiones Algebraicas

Una expresión algebraica es un con0unto de cantidades numricas y literales

relacionadas entre sí por los signos de las operaciones aritmticas como sumas,

diferencias, multiplicaciones, divisiones, potencias y extracción de raíces.

"lgunos e0emplos de expresiones algebraicas son6

o

+i x es una variable, entonces un monomio en x es una expresión de la forma

ax n, en donde a es un n&mero real y n es un entero no negativo. Un binomio es

la suma de dos monomios que no se pueden simplificar y un trinomio es la suma

de tres monomios que no se pueden simplificar.

monomio binomio trinomio

(ecuerda siempre que un monomio tiene solo un trmino, un binomio dos

trminos y un trinomio tres trminos.


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CONCLU/ION

4as álgebras booleanas, estudiadas por primera 5ez en detalle por 6eorge Boole ,

constituyen un área de las matemáticas que .a pasado a ocupar un lugar prominente con el

ad5enimiento de la computadora digital* !on usadas ampliamente en el diseo de circuitos

de distribución y computadoras, y sus aplicaciones 5an en aumento en muc.as otras áreas*

+n el ni5el de lógica digital de una computadora, lo que com7nmente se llama .ard8are, y

que está formado por los componentes electrónicos de la máquina, se trabaa con

diferencias de tensión, las cuales generan funciones que son calculadas por los circuitos que

forman el ni5el* 9stas funciones, en la etapa de disea del .ard8are, son interpretadas

como funciones de boole*

:na e;presión algebraica es una combinación de letras, n7meros y signos de

operaciones* 4as letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan

5ariables o incógnitas* 4as e;presiones algebraicas nos permiten traducir al lenguae

matemático e;presiones del lenguae .abitual*
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