Trabajo Curvas(Espiral)

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS

Ejercicio de curvas

PEDRO CARRO ALLEGUE

TRABAJO DE CURVAS HÉLICE CIRCULAR

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 2

ÍNDICE:

1. Elección de la curva. ..................................................................................................... 3

2. Parametrización por longitud de arco de la curva. ....................................................... 3

2.1 Comprobación de la parametrización por longitud de arco. ................................... 5

3. Cálculo del Triedro de Frenet, de la curvatura y de la torsión. .................................... 6

3.1 Cálculo del vector tangente (V1). ........................................................................... 6

3.2 Cálculo de la curvatura (κ). ..................................................................................... 7

3.3 Cálculo del vector normal (V2). ............................................................................. 8

3.4 Cálculo del vector binormal (V3). .......................................................................... 9

3.5 Cálculo de la torsión (τ). ......................................................................................... 9

4. Longitud de la curva. .................................................................................................. 10

5. Teorema de Lancret. ................................................................................................... 11

6. INTERÉS CULTURAL. ............................................................................................ 12

6.1 ¿Por qué es tán común la hélice en la naturaleza? ................................................ 12

6.2 Aplicaciones de las hélices en la ingeniería. ......................................................... 13



1. Elección de la curva.

Para la realización del trabajo de estudio de la geometría de una curva, escogeremos

como curva una “hélice circular”

La expresión que define es la siguiente:

α (t) = ( a cos t , a sen t , bt )

La hélice circular se puede describir como la curva que describe un punto que recorre

una circunferencia y a la vez se desplaza verticalmente con respecto a dicho

desplazamiento

2. Parametrización por longitud de arco de la curva.

En este apartado, lo que buscaremos será obtener la parametrización por longitud de

arco de la curva.

Para saber si ya tenemos la curva parametrizada por longitud de arco, simplemente

debemos hacer la norma de la derivada ( ||α’ (t)|| ) y ver si se cumple:

||α’ (t)|| = 1;

En el caso de que esto suceda podríamos decir que la curva está parametrizada por

longitud de arco.

Los pasos que seguiremos son los siguientes:

- Obtenemos la derivada (α’ (t) ):

α’ (t) = (-a sen t , a cos t , b )



- Calculamos la norma de la derivada ( ||α’ (t)|| ):

||α’ (t)||2 = a

2sen

2t + a

2cos

2t + b

2

||α’ (t)||2 = a

2 (sen

2t + cos

2t) + b

2

||α’ (t)||2 = a

2 + b

2

||α’ (t)|| = √

Llegados a este punto, podemos observar que para todo a , b Є R, la norma no es

unitaria, por lo tanto, no la tenemos parametrizada por longitud de arco.

- Calculo de su parametrización por longitud de arco:

La obtendremos de la siguiente manera:

∫ || ( )|| ∫ √ √ ∫

√

√

A partir de ahora introduciremos la constante C, para simplificar la ecuación, de forma

que:

√

Por tanto:

Ahora este valor de “t” lo sustituyo en la parametrización inicial de la curva de la

siguiente forma:

α (s) = ( a cos (s·C) , a sen (s·C) , b(s·C )

De esta manera tenemos nuestra parametrización por longitud de arco de nuestra curva.



2.1 Comprobación de la parametrización por longitud de arco.

Como hemos dicho antes, para comprobar si una curva está parametrizada por longitud

de arco, simplemente debemos calcular la norma de la derivada y comprobar si esta es

unitaria:

α (s) = ( a cos (s·C) , a sen (s·C) , b(s·C )

α’ (s) = ( -a·C sen(s·C ) , a·C cos (s·C) , b·C )

|| α’ (s) ||2 = a

2· C

2 sen

2(s·C ) + a

2·C

2 cos

2(s·C ) + b

2·C

2

|| α’ (s) ||2 = a

2· C

2 (sen

2(s·C ) + cos

2(s·C ) ) + b

2·C

2

|| α’ (s) ||2 = C

2·(a

2 + b

2)

En donde:

Por tanto:

|| α’ (s) || = 1

Podemos concluir que efectivamente esta es su parametrización por longitud de arco.



3. Cálculo del Triedro de Frenet, de la curvatura y de la torsión.

En este apartado, nos centraremos en el cálculo de los vectores del “Triedro de Frenet”,

así como los valores de la curvatura (κ) y la torsión (τ) de la curva.

3.1 Cálculo del vector tangente (V1).

La manera de calcular el valor de V1 es a través de la siguiente fórmula:

( )

|| ( )||

α’ (s) = ( -a·C sen(s·C ) , a·C cos (s·C) , b·C )

|| α’ (s) || = 1

( )

V1 = ( -a·C sen(s·C ) , a·C cos (s·C) , b·C )



3.2 Cálculo de la curvatura (κ).

La curvatura la podemos definir como la siguiente expresión:

κ (s) = ||α’’(s)|| = ||V1’(s)||

Por tanto, debemos comenzar calculando tanto “ α’’(s) ”, como “ || α’’(s)|| ”

α’’(s) = (-a·C2 cos(s·C) , -aC

2 sen(s·C) , 0 )

|| α’’(s)||2 = a

2·C

4 cos

2(s·C) + a

2C

4 sen

2(s·C) = a

2·C

4 (cos

2(s·C) +

sen

2(s·C))

|| α’’(s)||2 = a

2·C

4

|| α’’(s)|| = a·C2

En donde:

Y como:

κ (s) = || α’’(s)||

( )



3.3 Cálculo del vector normal (V2).

V2 se calcula utilizando la siguiente fórmula:

( )

( )

Como:

V1(s) = α’(s) V1’(s) = α’’(s)

V1’ (s) = (-a·C2 cos(s·C) , -aC

2 sen(s·C) , 0 )

Por tanto V2 (s) lo calculamos como sigue:

( ) ( ( ) ( ) )

V2 (s) = ( ) · ( -C2 cos(s·C) , -C

2 sen(s·C) , 0 )

Podemos tomar:

( )

Por tanto la ecuación queda:

( )

( ( ) ( ) )

V2 (s) = (- cos(s·C) , - sen(s·C) , 0)



3.4 Cálculo del vector binormal (V3).

Lo podemos obtener con el producto vectorial de V1 y V2:

( ) ( ) ( )

( ) |

( ) ( )

( ) ( ) |

( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) )

( ) ( ( ) ( ) )

3.5 Cálculo de la torsión (τ).

La expresión de la torsión es la siguiente:

( ) ( ) ( )

Lo primero que calculamos es el valor de “ V3’ ”:

V3’ = ( c·C2

cos (s·C) , b·C2

sen (s·C) , 0 )

Por tanto la torsión ( ( )) será:

( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )

( ) ( ( ) ( ) )

( ) ( ( ) ( ))

( )

Sabiendo que:



Entonces podemos decir que:

( )

4. Longitud de la curva.

Para calcular la longitud de nuestra curva debemos dar unos valores para el parámetro t,

ya que, de lo contrario, no estaríamos tomando una porción de ella, y esta longitud

tendería hacia infinito porque la curva no está acotada.

La longitud de la curva para un intervalo que va desde A hasta B, la podemos definir

como:

∫ ‖ ‖

En nuestro ejemplo concreto vamos a tomar como límites de integración aquellos

valores en los que la hélice da una vuelta completa, es decir, donde los valores de x e y

vuelven a repetirse pero con distinta altura (representada en el eje OZ). Por tanto estos

límites serán A=0 y B=2π, que corresponden a las posiciones (a,0,0) y (a,0,b).

En donde α’ es:

α’ (t) = (-a sen t , a cos t , b )

Y su norma:

||α’ (t)||2 = a

2sen

2t + a

2cos

2t + b

2

||α’ (t)||2 = a

2 (sen

2t + cos

2t) + b

2

||α’ (t)||2 = a

2 + b

2

||α’ (t)|| = √

Por lo tanto, el valor de la longitud en nuestro intervalo [0 , 2π], será:

∫ √

√ ∫



√ (

l = 2π √

5. Teorema de Lancret.

Por el teorema de Lancret, una curva α(s) con κ (s) ≠0 es hélice si, y sólo si, existe una

constante c > 0, tal que:

En nuestra curva:

( )

( )

Nuestra constante c > 0, será

, ya que a y b son constantes, y por tanto nuestra

curva será una hélice.

Como además τ y κ son constantes, en particular, nuestra curva es una hélice circular.



6. INTERÉS CULTURAL.

En este apartado, introduciremos algunos datos de interés cultural sobre las hélices.

6.1 ¿Por qué es tán común la hélice en la naturaleza?

La cuestión de por qué es la hélice una forma tan popular en la naturaleza podría tener

ahora una respuesta clara: son formas idóneas para ahorrar espacio.

La cuestión se basa en tener en cuenta que una hélice, esencialmente, es una forma para

agrupar una molécula larguísima, como el ADN, en un lugar atestado, como una célula.

La forma espiral del ADN es dictada por el espacio disponible en una célula tal como la

forma de una escalera de caracol es dictada por el tamaño de un apartamento.



6.2 Aplicaciones de las hélices en la ingeniería.

Entre otras aplicaciones, las hélices se utilizan en ingeniería mecánica, para el diseño de

roscas de tornillos y tornillos sin fín, o muelles.

En ingeniería civil y arquitectura en el diseño de escaleras en espiral (escaleras de

caracol).



Y además a partir de las hélices, se pueden desarrollar las superficies helicoidales, que

nos permiten que puedan ser empleados, por ejemplo, en ingeniería civil para las

rampas de acceso a aparcamientos:

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