TRBAJO COLABORATIVO Nº 3

CARLOS RAMIORO CALDERON MARTINEZ

Código 7223323

Grupo 100411_98

TUTOR

FABIAN BOLIVAR MARIN

CALCULO INTEGRAL

INGENIERIA INDUSTRIAL

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y ADISTANCIA

DUITAMA

2009

TRABAJO COLABORATIVO 3

PREGUNTAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE

A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella que responde correctamente a la pregunta planteada entre cuatro opciones identificadas con las letras A, B, C, D. Una vez la seleccione, márquela en su hoja de respuestas rellenando el óvalo correspondiente.

1. 1. El área encerrada por las curvas y = x2 − 5x y y = 7x – x2 , es:

A. 70B. 72C. 74D. 76

Para Tener una idea mas clara del ejercicio se realiza un boceto de las gráficas de las funciones, esto con el fin de establecer los límites de integración y poder aplicar correctamente la formula para el cálculo del área.

Area=∫0

6

( f ( x )−g( x ))dx

Area=∫0

6

((7 x−x2 )−( x2−5 x ))dx

Area=∫0

6

((7 x−x2−x2+5 x ))dx

Area=∫0

6

((12 x−2 x2))dx

Area=[12 x2

2−2 x3

3 ]06

Area=[6 x2−2x3

3 ]06

Area=[(6(6 )2−2(6 )3

3 )−(6(0 )2−2(0)3

3 )]Area=[(216−432

3 )]Area=[ (216−144 ) ]Area=72 Unidades cuadradas

2. El área sombreada de negro tiene un valor de:

A. 2.0B. 1.0C. 0.5

D. 1.5

Como no se tienen las ecuaciones de las funciones, se deben obtener para calcular el área. A simple vista se establece que se trata de funciones cuadráticas, Una forma sencilla es tabulando ciertos valores sacados de la grafica y muy intuitivamente hallar su formula matemática.

x 0 1 2 3

y=g(x) 0 1 4 9

x 0 1 2 3

y=f(x) 4 1 0 1

Observando los datos,

g( x )=x2

f ( x )=(x−2)2

Para hallar el área se utiliza la definición:

Area=∫a

b

( f ( x )−g( x ))dx

En donde los limites se pueden hallar al observar la grafica, o igualando las dos ecuaciones y hallar los valores de x e y para los cuales son iguales.

Area=∫0

1

(( x−2 )2−x2)dx

Area=∫0

1

(x2−4 x+4−x2 )dx

Area=∫0

1

(−4 x+4 )dx

Area=∫0

1

(−4 x )dx+∫0

1

(4 )dx

Area=[−4 x2

2 ]0

1

+ [ 4 x ]01

Area=[−2x2 ]01+ [ 4 x ]0

1

Area=[−2 (1−0 ) ]+[ 4 (1−0 ) ]

Area=2 Unidades Cuadradas

3. El valor de la integral definida

dx, es.

X

Rta: 8 x = = 0.57

A. 0.57 B. 1.57 C. 2.57 D. 3.57

4. Hallar el volumen del sólido de revolución generado por la ecuación x3= y ,

y=1, y=8, el eje y, y el cual gira alrededor del eje y.

Debido a que gira en torno al eje y, se debe dejar x en términos de y, pues la integral es con respecto ay, igualmente los limites se pueden obtener en la grafica, y corresponde a la variación de y es decir sobre el eje y, desde 1 hasta 8.

La región determinada por las ecuaciones es la región sombreada, en la figura anterior, y esta es la que determina el sólido, al hacerla rotar alrededor del eje y, obteniendo:

x3= y( x3 )1/3= y1 /3

x= y1/3

x=3√ y

Volumen=π∫a

b

f ( y )dy Definición

Volumen=π∫1

8

[ 3√ y ]2dy

Volumen=π∫1

8 [[ y ]1

3 ]2

dy

Volumen=π∫1

8

y2

3dy

A. 2πB. 4πC. 18.6πD. 8π

5. La longitud del arco de la función y=√x3, entre los puntos (0,0 ) y (2 ,√8 )

es:

A. 3.5B. 3.0C. 4.0D. 4.5

6.185

93

1325

3

185

3

185

35

3

35

35

35

35

8

1

35

8

1

35

Volumen

Volumen

Volumen

Volumen

Volumen

yVolumen

yVolumen

Por definición se tiene que:

L=∫a

b

√1+( f ' ( x ))2dx Definición

f ( x )=√ x3

f ( x )=x3/2

Derivando

f '( x )=32

( x )12

f '( x )=32

√ x

Reemplazando en la formula inicial:

L=∫0

2

√1+(32

√x )2

dx

L=∫0

2

√(1+94x )dx

L=∫0

2

√(4+9 x4 )dx

L=∫0

212

√4+9 x dx

Integrando por sustitución:

u=4+9 x du=9dx ⇒du9

=dx

L=∫0

212

√4+9 x dx

L=12∫0

2

u1/2 du9

L=118

∫0

2

u1 /2 du

L=118u3/2

3 /2|02

L=254u3/2|0

2

L=254

(4+9 x )3 /2|02

L=254

√(4+9 x )3|02

L=254

[(√( 4+9∗2 )3 )−(√( 4+9∗0 )3 )]

L=254

[(√( 4+18 )3 )−(√(4 )3 )]

L=254

[(√(22 )3 )−( √( 4 )3 )]

L=254

[103 . 189−8 ]

L=3 . 52 Unidades de longitud

6. La longitud de la línea entre los puntos A(5,10) y B(9,13) , es:

A. 25/3

B. 35/4

C. 55/7

D.45/9

Debido a que solo se tienen dos puntos es necesario hallar la ecuación de la recta

P1=(5 ,10) P2=(9 ,13 )

Con los dos puntos se halla la pendiente:

m=( y2− y1

x2−x1)=13−10

9−5

m=34

Con uno de los puntos y la pendiente ya se puede hallar la ecuación de la recta:

y− y1=m( x−x1 )

y−10=34

( x−5 )

y−10=34x−15

4

y=34x−15

4+10

y=34x+

254

Por definición:

L=∫a

b

√1+[ f ¿( x )]2 dx

Luego se debe hallar la derivada de la función asi:

f ¿( x )=dydx (34 x+25

4 )f ¿( x )=3

4

¿ 9¿ ¿ L=∫5

9

√1+ 916dx ¿ ¿ L=∫

5

9

√16+916

dx ¿ ¿ L=∫5

9

√2516dx ¿ L=∫

5

954dx ¿ ¿ L=5

4x|5

9 ¿ ¿ L=54

(9)−54(5) ¿L=45

4−25

4¿ L=20

4=5 ¿ L=45

9Unidades de longitud ¿¿

7. Una partícula se mueve a lo largo del eje x, mediante una fuerza impulsora

f ( x )=x2+x−1 dada en Newton. Los Julios de trabajo que se realizan con esa fuerza desde x = 2 hasta x = 4 , son:

A. 22.6

B. 44.8

C. 66

D. 11

Como tenemos la función fuerza, podemos aplicar directamente la ecuación del trabajo.

w=∫a

b

f ( x )dx

Teniendo en cuenta la función dada se aplica la definición anterior

f ( x )=x2+x−1

w=∫2

4

(x2+ x−1)dx

w=[x3

3+x

2

2−x]

2

4

w=[43

3+42

2−4]−[23

3+22

2−2]

w=25 .33−2 . 667

w=22 .66 Julios