Hacia un Modelo de la Tierra

Trabajo Práctico

Primera Parte: Midiendo la Circunferencia Terrestre

Nuestra tarea es lograr una aproximación razonable de la

longitud de la Circunferencia Terrestre imaginándonos en un

mundo sin acceso a Internet, similar al mundo de Eratóstenes

en el 250 AC.

Eratóstenes fue como muchos estudiosos en su época un

matemático, astrónomo, filósofo y geógrafo de origen griego

que estando en Alejandría se enteró de que al sureste de

Egipto en la ciudad de Syene, el Sol no proyectaba sombra

alguna en el día más largo del año en ese hemisferio, el Norte.

A partir de esta sencilla observación y usando un método

geométrico calculo una aproximación bastante buena de la

circunferencia terrestre.

¿Cómo lo hizo?

Eratóstenes partió del supuesto de que la tierra era una

esfera. El hecho de que no “en el día más largo del año no

haya sombra en la ciudad de Syene” significa que:

I. El día en cuestión corresponde al Solsticio de Verano:

Junio 21 o 22, los rayos del Sol caen verticalmente sobre

la superficie terrestre.

II. El lugar donde esto sucede se ubica sobre una

circunferencia imaginaria paralela al Ecuador que

denominamos Trópico de Cáncer.

III. A esta latitud y debido a que el eje de la Tierra está

inclinado unos 23.5° respecto a la vertical, el eje

terrestre en esta fecha está apuntando hacia el Sol y los

días son más largos que las noche en el hemisferio

Norte.

Este es un diagrama que explica la aproximación de

Eratóstenes:

Estando en Alejandría, Eratóstenes usó un ingenioso aparato

llamado “Scaphe” para medir el ángulo “b” y por simple

geometría calcular el ángulo “a” que es el que subtiende la

longitud de arco de interés. Por supuesto Eratóstenes no la

tenía tan fácil para calcular su distancia a Syene, ¡tuvo que

emplear una estimación basada en el tiempo en que una

caravana de camellos hace el viaje entre ambas ciudades!

Nosotros usaremos un mapa.

Procedimiento

1. Calcule la proporción de circunferencia comprendida

entre ambas ciudades, el ángulo “b” entre el tope del

obelisco y su sombra es de 82.5°. La proporción pedida

se obtiene usando la relación:

P=360a

2. Use el mapa provisto y su escala para calcular la

distancia entre ambas ciudades D exprese la misma en

km.

3. La longitud de la circunferencia terrestre es:

C=D×P

4. Obtenga el radio terrestre r a partir de la relación:

C=2×π×r

5. Finalmente calcule el volumen de la Tierra usando:

V= 43π r3

Segunda Parte: Midiendo el “peso” de la Tierra

En esta segunda parte nuestro objetivo es medir la masa

terrestre, pero ¿cómo “pesar” algo tan masivo como la Tierra?

Normalmente, al pesar un objeto recurrimos a una balanza o

algo similar, cuando hacemos esto no estamos realmente

midiendo su masa sino el efecto de la fuerza de gravedad

terrestre sobre este objeto. Sabemos que esta fuerza es

proporcional a la masa del objeto pesado. ¡Esta es la “llave”

que abre la puerta de la solución!

Consideremos primero la ecuación fundamental propuesta por

Isaac Newton en el siglo 17 que relaciona la fuerza de

atracción entre dos cuerpos:

f=Gm1×m2d2

Consideremos ahora la masa de un objeto cualquiera sobre la

superficie terrestre y la masa misma de la tierra, la distancia

correspondiente entre ambos será el radio terrestre calculado:

f=Gmtierra×m

r2

Usaremos el valor de la constante de gravitación Universal en

CGS hallada por Lord Henry Cavendish experimentalmente en

1798:

G=6.670×10−8 dinas∙ cm2

g2

Reordenando la expresión:

fm

=Gmtierrar2

Observe que el miembro izquierdo de esta ecuación

representa una aceleración según: f=m×a esta aceleración

corresponde a la aceleración experimentada por un cuerpo

cayendo a la superficie terrestre por acción de la gravedad de

la Tierra, en otras palabras esta es la aceleración de la

gravedad terrestre que denominaremos “g”:

g=Gmtierrar2

Despejando la masa terrestre:

mtierra=g×r2

G

Teniendo a la mano todas las variables excepto “g” es obvio

que nuestra labor consiste en medir la aceleración de la

fuerza gravitacional terrestre. Para ello usaremos la ecuación

propuesta por Galileo que relaciona el periodo de un péndulo

simple con la aceleración de la gravedad terrestre:

g= 4 ∙ π ∙LT 2

Donde L es la longitud del péndulo en cm y T es el periodo

medido en segundos.

Procedimiento

1. Construya un péndulo simple según:

Puede utilizar una pequeña bola de goma, su masa no es

importante, pero asegúrese de emplear un hilo de 100 cm de

largo.

2. Coloque al péndulo en una posición inicial de unos 15°

en relación a la vertical y cuente el tiempo que le toma

completar 10 periodos completos, la oscilación debe ser

“suave” para ser válida, registre al menos tres

mediciones y obtenga un promedio.

3. Calcule en base a estos valores la aceleración de la

gravedad terrestre usando la ecuación de Galileo.

4. Finalmente calcule la masa terrestre usando la ecuación

de Newton.

Tercera Parte: Mi modelo de la Tierra

Habiendo obtenido el volumen y la masa terrestre puedo

calcular su densidad, en esta parte nuestro objetivo es

compara este valor experimental con datos de materiales

comunes en la corteza terrestre y presentar un modelo que

sea consistente con nuestras observaciones.

Vamos a suponer que podemos representar a la Tierra como

una esfera compuesta de dos capas de igual volumen:

De acuerdo a este modelo simple la relación entre las

densidades de ambas capas y la densidad total de la Tierra

es:

ρtierra=ρinterior+ρ exterior

2

Si en nuestras observaciones de la corteza terrestre

consideramos representativos al Cuarzo, Feldespato, Granito y

Basalto podríamos obtener una densidad promedio

suponiendo una distribución uniforme de estos componentes.

Finalmente, de la ecuación anterior podemos estimar la

densidad de la capa interior y su probable composición que

haría consistente a nuestro modelo. Siga el proceso sugerido

por el reporte para esta parte.

REPORTE: Trabajo Práctico 1

GEOLOGÍA GENERAL

ALUMNO:

………………………………………………………………………

……………

SECCIÓN:

………………………………………………………………………

…………..

PARTE 1 (6 puntos)

Ángulo b (°)

Ángulo a (°)

Proporción P

Circunferencia Terrestre C (km)

Radio Terrestre r (km)

Volumen Terrestre (km3)

PARTE 2 (8 puntos)

Medición del Periodo de un Péndulo Simple

Prueba Número de Oscilaciones

Tiempo para 10 oscilaciones

Tiempo para 1 oscilación

1 10

2 10

3 10

Promedio (s)

Aceleración de la Gravedad g (cm/s2)

Masa Terrestre (gramos)

Densidad Terrestre (g/cc)

PARTE 3 (6 puntos)

Averigüe la densidad para los siguientes componentes

comunes de la corteza terrestre y promedie su valor:

Mineral o Roca Densidad (g/cc)

Cuarzo

Feldespato

Granito

Basalto

Promedio

Registre las densidades como corresponda al modelo

propuesto y obtenga la densidad de la capa interior de

la Tierra:

Densidad de la Capa Exterior (g/cc)

Densidad de la Capa Exterior (g/cc)

Densidad Terrestre (g/cc)

Escoja de la siguiente tabla de densidades en g/cc la

composición probable de esta capa interior en base a

sus resultados:

RESPUESTA: