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UNMSM – FCF – IMF Laboratorio de Física I Página 1 de 21

TRATAMIENTO DE DATOS EXPERIMENTALESTRATAMIENTO DE DATOS EXPERIMENTALES

Las matemáticas constituyen un bello y elegante lenguaje. Las matemáticas constituyen un bello y elegante lenguaje. Desafortunadamente, con demasiada frecuencia la elegancia Desafortunadamente, con demasiada frecuencia la elegancia también significa elegancia para el experto oscuridad para el también significa elegancia para el experto oscuridad para el principianteprincipiante

I. OBJETIVOS

a) Obtener gráficas de datos organizados en tablas.b) Construir ecuaciones experimentales e interpretar su

comportamiento.

II. MATERIALES

a) Hojas de papel milimetradas (6).b) Hojas de papel logarítmicas (2).c) Hojas de papel semilogarítmica (1).

Se tratarán los datos de tres experimentos :

“Informe N° 03 - Tratamiento de datos experimentales”


a) La medida de la intensidad de corriente eléctrica conducida por un hilo conductor de nicrón, y de la diferencia de potencial aplicada entre los extremos de este. La Tabla 01 muestra datos de este experimento.

Tabla 01I V

(A) (v)0,5 2,181,0 4,362,0 8,724,0 17,44

(Sears-Semansky,1996)

Requerimiento : Una hoja de papel milimetrado.

a) La medida del tiempo de evacuación de agua de un depósito a través de una llave de cierto diámetro de salida. La Tabla 2 muestra datos de este experimento, tomadas para cuatro llaves de diferentes diámetros y todas medidas a igual altura de agua del mismo depósito.

Tabla 02h(cm) 30 10 4 1d(cm) Tiempo de vaciado t(s)

1,5 73,0 43,0 26,7 13,52,0 41,2 23,7 15,0 7,23,0 18,4 10,5 6,8 3,75,0 6,8 3,9 2,2 1,5



Requerimiento : 4 hojas de papel milimetrado y 2 hojas de papel logarítmico

a) Medida de la actividad radiactiva del radón, donde el día cero se detectó una desintegración de 4,3 x 1018 núcleos. Los porcentajes de experimentación de los demás días se muestran en la Tabla 03.

Tabla 03T(días)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A(%)

100 84 70 59 49 41 34 27 24 20 17

Requerimiento : Una hoja de papel milimetrado y una hoja de papel semilogarítmico.

III. FUNDAMENTO TEÓRICO

Los datos obtenidos en un proceso de medición se organizan en tablas. Las tablas de valores así confeccionadas nos informan acerca de relaciones existentes entre una magnitud y otra. Una alternativa para establecer dichas relaciones, es hacer representaciones gráficas en un sistema de ejes coordenados con divisiones milimetradas, logarítmicas o semilogarítmicas según sea el caso. De estas se buscan gráficas lineales (rectas), para facilitar la construcción de las fórmulas experimentales que representen las leyes que gobiernan el fenómeno.

a) Se grafica en un papel milimetrado los valores de la Tabla.b) Se compara la distribución de puntos obtenida con curvas

conocidas.



Si se logra identificar la forma de la distribución de los puntos, el siguiente paso es realizar el ajuste de curvas correspondiente mediante la técnica de mínimos cuadrados. El modelo de ajuste que utilizaremos es lineal, esto significa que la ecuación que se busca tiene la forma de una recta cuya ecuación es:

y = m x + b

Donde la pendiente m y la ordenada en el origen b son constantes a determinar. El ajuste de la distribución de puntos experimentales ahora se puede automatizar mediante programas de computo que facilitan el trabajo.

El primer paso es llevar los datos experimentales a un papel milimetrado. Si la distribución de puntos no tiene una tendencia lineal, se pasa a un papel logarítmico o semilogarítmico, en alguno de éstos papeles la distribución de los puntos saldrá una línea recta.

Para las relaciones de la forma y = k x n, n diferente a 1, sus gráficos en el papel logarítmico son rectas con pendiente m = n que cortan al eje vertical en b = k. Se recomienda preferentemente usar papel logarítmico 3 x 3, cada ciclo está asociado a una potencia de base 10. El origen de un eje coordenado logarítmico puede empezar con 10 -1, 100, 101, 102, 103, etc. Para relaciones exponenciales se recomienda utilizar el papel semilogarítmico.

En papel milimetrado también se pueden construir gráficos lineales para ecuaciones de curvas. Esto dependerá de los valores asignados a los ejes coordenados. Para esto es necesario tratar los datos.

Por ejemplo :

y = 1,5 x2



abscisa x 0 1 2 3 4ordenad

ay 0 1,5 6,0 13,5 24,0

Gráfico Parábola

abscisa x 0 1 4 9 16ordenad

ay 0 1,5 6,0 13,5 24,0

Gráfico Recta

Método de Mínimos Cuadrados:

De la distribución lineal de puntos obtenida en el papel milimetrado, logarítmico o semilogarítmico se calculan la pendiente m y la ordenada b. El método de ajuste más adecuado para una distribución lineal es la técnica de mínimos cuadrados.

Para aplicar esta técnica primero se construye una tabla de la forma :

xi yi xiyi xi2

x1 y1 x1y1 x12

x2 y2 x2y2 x22

xp yp xpyp xp2

xi yi xiyi xi2

Se calculan la pendiente y la ordenada en el origen :

donde p es el número de mediciones.

Luego la fórmula experimental es la ecuación de la recta : y = m x + b

Una vez ajustada la distribución lineal, se procede a hacer los cálculos a fin de encontrar la fórmula experimental buscada.



En los casos de las distribuciones lineales en papeles logarítmico y semilogarítmico las fórmulas experimentales son :

y = b xm Se grafica en papel logarítmico

y = b 10mx, y = be2,303mx Se grafica en papel semilogarítmico

Donde se considera que 10 = e2,303

Dado que en el ajuste lineal es por el método de los mínimos cuadrados la tabla se convierte en logarítmica y semilogarítmica, cuidando de colocar los valores con un mínimo de cuatro decimales de redondeo en cada columna. Observe que las ecuaciones de la recta en esas escalas son :

log y = m log x + log b, y log y = m x + log b

La ordenada en el origen b obtenida por la fórmula será b’, que corresponde a log b, por lo que b se calcula como antilogaritmo de b’. Así b = anti log b’.

En caso de no ser necesario hacer el ajuste, m se calcula con la pendiente de la distribución lineal donde el valor de b se toma como el punto correspondiente al corte de la prolongación de la recta con el eje vertical.

Se recomienda ver el método de los mínimos cuadrados en un libro de estadística.

Método de aproximación de pares de puntos:

Para utilizar este método debemos tener presente las siguientes consideraciones :



a) Se aplica a gráficas donde los puntos del eje horizontal están igualmente espaciados.b) Los puntos se dividen en dos grupos iguales. Un grupo para valores bajos de y, otro grupo para valores altos de y.c) A continuación se aparean los puntos uno de cada grupo.d) Luego se calcula la diferencia de los valores de y para cada par de puntos.e) A continuación se calcula el valor medio de las diferencias ?y.f) Por la primera consideración se sabe que la distancia Dx entre cada par de puntos es la misma, por lo tanto la pendiente de la recta ajustada será :

m = y x

g) Se determina el valor medio de x y el valor medio de y.h) Como la mejor recta ajustada debe pasar por el punto (x,y) con una pendiente igual a m, entonces la ecuación de la recta será :

y = mx + ( y - mx )

IV. ANÁLISIS EXPERIMENTAL

1. Plantee y grafique en papel milimetrado los valores de las tablas I, II Y III

Xi (I) Yi (V) Xi Yi Xi20,5 2,18 1,09 0,25


V= V(I)


1,0 4,36 4,36 1,02,0 8,72 17,44 4,04,0 17,44 69,76 16,0

Xi = 7,5 Yi = 32,7 Xi Yi = 92,65 (X2i) = 21,25

De donde:

m= (4)(92,65) - (7,5)(32,7)/ (4)(21,25)-(7,5)2 => m = 4,36b= (21,25)(32,7)-(7,5)(92,65) / (4)(21,25)-(7,5)2 => b = 0se observa del gráfico que se trata de una línea recta cuya ecuación es:

y = 4,36 x

T = T(d)

Para h = 30

d t Xi = log d Yi = log t Xi Yi Xi2

1,5 73,0 0,18 1,86 0,33 0,032,0 41,2 0,30 1,61 0,48 0,093,0 18,4 0,48 1,26 0,60 0,235,0 6,8 0,70 0,83 0,58 0,49

Xi =1,66 Yi =5,56 Xi Yi =1,99

X2i =0,84

De donde:m = (4)(1,99)-(1,66)(5,56) / (4)(0,84)-(1,66)2 => m = -2,11 b = (0,84)(5,56)-(1,66)(1,99) / (4)(0,84)-(1,66)2 => b = 2,28 =>

antilog b =190,55



La ecuación experimental es: y = - 2,11 x + 190,55

Para h = 10

d t Xi = log d Yi = log t Xi Yi Xi2

1,5 43,0 0,18 1,63 0,29 0,032,0 23,7 0,30 1,37 0,41 0,093,0 10,5 0,48 1,02 0,49 0,235,0 3,9 0,70 0,59 0,41 0,49

Xi =1,66 Yi = 4,61 Xi Yi = 1,60

Xi2 =

0,84

De donde:m = (4)(1,60)-(1,66)(4,61) / (4)(0,84)-(1,66)2 => m = -

2,08b = (0,84)(4,61)-(1,66)(1,60) / (4)(0,84)-(1,66) => b = 2,02=> antilog b = 104,71

La ecuación experimental es:

y = -2,08 x +104,71

Para h = 4d t Xi = log d Yi = log t Xi Yi Xi

2

1,5 26,7 0,18 1,43 0,26 0,032,0 15,0 0,30 1,18 0,35 0,093,0 6,8 0,48 0,83 0,40 0,235,0 2,2 0,70 0,39 0,24 0,49

Xi =1,66 Yi= 4,61 XiYi=1,60

X2i=0,84



De donde:m = (4)(1,25)-(1,66)(3,78) / (4)(0,84)-(1,66)2 => m = -2,12b = (0,84)(3,78)-(1,66)(3,768) / (4)(0,84)-(1,66)2 => b = 1,83 => antilog b = 67,61

La ecuación original será:

y = - 2,12 x + 67,61



Para h = 1d t Xi = log d Yi = log t Xi Yi Xi

2

1,5 13,5 0,18 1,13 0,20 0,032,0 7,2 0,30 0,86 0,26 0,093,0 3,7 0,48 0,57 0,27 0,235,0 1,5 0,70 0,18 0,13 0,49

Xi =1,66 Yi = 2,27 Xi Yi = 0,86

Xi2 = 0,84

De donde:m = (4)(0,86)-(1,66)(2,74) / (4)(0,84)-(1,66)2 => m = -1,85b = (0,84)(2,74)-(1,66)(0,86) / (4)(0,84)-(1,66)2 => b = 1,45=>antilog b = 28,18

La ecuación experimental será:

y = -1,85 x + 28,18

t = t(h)

Para d = 1,5

d t Xi = log h Yi = log t Xi Yi Xi2

30 73,0 1,48 1,86 2,75 2,1910 43,0 1 1,63 1,63 14 26,7 0,60 1,43 1,43 0,361 13,5 0 1,13 1,13 0

Xi = 3,08 Yi = 6,05 Xi Yi = 5,23

Xi2 =

3,55



De donde:m = (4)(5,23)-(3,08)(6,05) / (4)(3,55)-(3,08)2 => m = 0,49b = (3,55)(6,05)-(3,08)(5,23) / (4)(3,55)-(3,08)2 => b = 1,14=> antilog b = 13,8


y = 0,49x + 13,8



Para d = 2,0

h t Xi = log h Yi = log t Xi Yi Xi2

30 41,2 1,48 1,61 2,38 2,1910 23,7 1 1,37 1,37 14 15,0 0,60 1,18 0,71 0,361 7,2 0 0,86 0 0

Xi = 3,08 Yi = 5,02 Xi Yi = 4,46

Xi2 = 3,55

De donde:m = (4)(4,46)-(3,08)(5,02) / (4)(3,55)-(3,08)2 => m = 0,51b = (3,55)(5,02)-(3,08)(4,46) / (4)(3,55)-(3,08)2 => b = 0,87 => antilog b = 7,41


y = 0,51 x + 7,41

Para d = 3,0


30 18,4 1,48 1,26 1,86 2,1910 10,5 1 1,02 1,02 14 6,8 0,60 0,83 0,50 0,361 3,7 0 0,57 0 0

Xi 3,08 Yi = 3,68 Xi Yi = 3,38

Xi2 = 3,55



De donde:m = (4)(3,38)-(3,08)(3,68) / (4)(3,55)-(3,08)2 => m = 0,46b = (3,55)(3,68)-(3,08)(3,38) / (4)(3,55)-(3,08)2 => b = 0,56=> antilog b = 3,63


y = 0,46x + 3,63



Para d = 5,0


30 6,8 1,48 0,83 1,21 2,1910 3,9 1 0,59 0,59 14 2,2 0,60 0,34 0,20 0,361 1,5 0 0,18 0 0

Xi = 3,08 Yi = 1,94 Xi Yi = 2,0 Xi2 = 3,55

De donde:m = (4)(2,0)-(3,08)(1,94) / (4)(3,55)-(3,08)2 => m = 0,43b = (3,55)(1,94)-(3,08)(2,0) (4)(3,55)-(3,08)2 => b = 0,15=> antilog b = 1,41


y = 0,43X + 1,41

A = A(t)Xi = t A Yi = log A Xi Yi Xi

2

0 100 2 0 01 84 1,92 1,92 12 70 1,85 3,70 43 59 1,77 5,31 94 49 1,69 6,76 165 41 1,61 8,05 256 34 1,53 9,18 367 27 1,43 10,01 498 24 1,38 11,04 649 20 1,30 11,70 81

10 17 1,23 12,30 100Xi = 55 Yi = 17,71 Xi Yi = 79,97 Xi

2 = 385

De donde:m = (11)(79,97)-(55)(17,71) / (11)(385)-(55)2 => m = - 0.08



b = (385)(17,71)-(55)(79,97) / (11)(385)-(55)2 => b = 2=> antilog b = 100


Y = 1000*10-0,08X

2. Grafique las distribuciones no lineales:

a) Haga z = 1/d2 y grafique t = t(z) en papel milimetrado.



h(cm) 30 10 4 1z(m-2) Tiempo de Vaciado t(s)0,44 73,0 43,0 26,7 13,50,25 41,2 23,7 15,0 7,20,11 18,4 10,5 6,8 3,70,04 6,8 3,9 2,2 1,5

Para h = 30: Xi = 0,84 Yi = 139,4 Xi Yi = 44,71 Xi2 = 0,27

m = 160,3 b = 0,2 => Y = 160,3X + 0,2


m = 96 b = -0,07 => Y = 96 X - 0,07


m = 59,9 b = -0,02 => Y = 59,9 X - 0,02


m = 28,6 b = 0,3 => Y = 28,6 X -0,3

3. Haga w = ? h/d2 para las alturas y diámetros con los tiempos

d(cm) h(cm) t(s) w= h/d2

t(s)

1,5 30 73,0 2,44 73,01,5 10 43,0 1,40 43,01,5 4 26,7 0,89 26,72,0 4 15,0 0,50 15,03,0 10 10,5 0,35 10,5



5,0 10 3,9 0,13 3,95,0 1 1,5 0,04 1,5



De donde:

Xi = 5,75 Yi = 173,6

Xi Yi = 273,83

Xi2 = 9,09

m = 30,05b = 0,11 => y = m x + b

t = 30,05 w + 0,11 pero: w = h/d2


t = t(h ,d) t = 30,05 (w = h/d2) + 0,11

V. CUESTIONARIO

1. Halle los tiempos de vaciado del agua si:

De la formula hallada :

T = 30,05 (h/d2) + 0,11CASOS h(cm) d(cm) t(s)

01 20 4,0 8,5202 40 1,0 190,0303 25 3,5 12,4304 49 1,0 210,46

2. Calcule el tiempo en que se ha desintegrado el 50% de los núcleos del radón.

De la formula experimental obtenida:



A = 100 * 10 - 0,08x

donde: A: porcentaje de la desintegración.x: tiempo en días.

reemplazando:

- 50=100/100,08t => 100,08t = 100/50 => 100,08t = 2

=> log 100,08t = log 2 => 0,08t log 10 = log 2 => 0,08t = 0,30

* t = 3,75 días.



3. Compare los valores yia obtenidos usando la formula experimental con los valores de salida y1 experimentales aplicados al caso t =t(h)

diámetro = 15 diámetro = 20x y yi x y yi

1 13,5 13,8 1 7,2 7,44 26,7 27,2 4 15,0 15,02

10 43,0 42,6 10 23,7 23,930 73,0 73,0 30 41,2 41,9

Ecuación : y = 13,8 x 0,49 Ecuación : y = 13,8 x 0,49

diámetro = 30 diámetro = 50x y yi x y yi

1 3,7 3,63 1 1,5 1,414 6,8 6,86 4 2,2 2,55

10 10,5 10,46 10 3,9 3,7930 18,4 17,35 30 6,8 6,0

Ecuación : y = 3,63 x 0,46 Ecuación : y = 3,63 x 0,46


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