Topología

Definiciones previas

Vamos a ver que hay una serie de elementos y relaciones geométricas que no varían ante determinados cambios (estiramientos y giros), y que precisamente por esa invarianza son más asequibles al conocimiento del niño. Si hacemos un dibujo en una membrana de caucho (o en la superficie de un globo), y la estiramos y giramos libremente, habrá cosas que cambien – la forma del dibujo, la longitud de una línea – y cosas que no – si un punto está dentro de una figura, si una línea es contínua –. Éstas segundas son las primeras que adquiere el niño y son las que se conocen como relaciones y conceptos topológicos.

RELACIONES TOPOLÓGICAS BÁSICAS

Vamos a definir y explicar las principales relaciones topológicas básicas. Posteriormente veremos cómo se trabajan en el aula.

IMPORTANCIA DEL JUEGO EN LA MATEMATICA

(Según ROCÍO GARRIDO MARTOS

Profesora de Didáctica de las Matemáticas en la Universidad Pontifi cia Comillas rocio.garrido@upcomillas.es)

Desde hace unos años, ya es habitual ver como una actividad más dentro del aula de infantil, de primaria e, incluso, de secundaria, los juegos como recurso didáctico. De hecho, podemos aseverar que, afortunadamente, hoy en días casi todos somos conscientes de la importancia del juego para la enseñanza de las matemáticas. Tanto profesores, como alumnos y padres estamos de acuerdo en la pertinencia de su uso.

Así, los profesores de didáctica dedicamos mucho tiempo en clase a hablar del enorme potencial que tiene el aprender jugando, el plantear a los alumnos actividades manipulativas o el hacer uso de las TIC´s, entre otras muchas actividades motivadoras. No obstante, nuestras clases siguen siendo clases magistrales donde nuestros alumnos copian todo lo que explicamos.

Si recurrimos a la cita de Miguel de Guzmán encontramos la idea de que podemos impartir una clase seria, universitaria, que incluya trabajar el juego. Y quien mejor que el profesor de didáctica para predicar con el ejemplo: nuestras clases deberán ser, pues, un reflejo de lo que nuestros alumnos tendrán que llevar al aula.

Si bien es cierto que las matemáticas son una asignatura temida por muchos alumnos a cualquier nivel, también observamos que este temor se expande a la didáctica de las matemáticas, lo que proporciona un cúmulo de pensamientos negativos en nuestros futuros profesores, que transmitirán sus sensaciones a los niños. Uno de nuestros mayores objetivos como formadores de profesores de matemáticas debería ser, pues, cambiar la mentalidad de nuestros alumnos, dotándoles de una visión que les permita apreciar toda la energía que ofrece esta materia y su potencial pedagógico para desarrollar el pensamiento lógico y simbólico del niño.

Además, la teoría y la práctica en las carreras de maestro han estado, tradicionalmente, desconexionadas. Los alumnos de magisterio de estas diplomaturas no podían poner en práctica todo lo que aprendían ni tenían ningún contacto con los niños hasta el último curso. Nuestra incorporación al Espacio Europeo de Educación Superior ha favorecido, con la introducción de los nuevos grados, una mejor estructura organizativa de estos estudios; así, las prácticas arrancan ahora en los primeros cursos del grado. La opción incorporada por la Universidad Pontificia Comillas permite a sus alumnos disfrutar de las prácticas al mismo tiempo que reciben sus clases teóricas.

Esto facilita que los alumnos puedan llevar al aula, de manera inmediata, cada concepto, recurso, actividad o paradigma que descubren en la universidad.La didáctica de las matemáticas como algo teórico y sin proyección al aula no sería “didáctica”. Consecuentemente, durante el curso recién finalizado se ha realizado una actividad con dominós en tercer curso del Grado de Educación Infantil de la Universidad Pontificia Comillas, cuyo objetivo principal consistía en que cada una de las alumnas creara su propio dominó. De esta forma, las alumnas han trabajado con materiales reales, tangibles, que les han permitido utilizarlos y evaluarlos en sus centros de prácticas.

NOCIONES TOPOLOGICAS

Desarrollo del pensamiento lógico y matemático. Rubén Malonda

EN LA EDUCACIÓN INFANTIL

TÍTULO: MIS AMIGOS DE LA SELVA

Tipo: Grupal/individual

Objetivos:

Distinguir entre el conjunto de animales y conjunto de vegetación. Conocer los diferentes animales Relacionar cada animal con el entorno relacionado en la historia. Colocar los elementos de los conjuntos correctamente con las indicaciones de la

profesora. Conocer las nociones topológicas básicas. Escuchar atentamente la historia y mostrar una actitud participativa en el aula

Tiempo: 45 minutos

Material:

Las láminas de los animales y vegetación El mural del paisaje Historia: Mis amigos de la selva Velcro

Lugar donde se lleva a cabo la actividad: En el aula

Desarrollo:

El maestro/a leerá en el aula una historia: “Mis amigos de la selva”, utilizando recursos visuales como dibujos de los personajes del cuento. Además, también se colocará un mural con el ambiente donde se desarrolla la historia (la selva).

Mis amigos de la selva

¡Hola amigos! Me llamo Verdi y soy el cocodrilo más famoso de la selva.

Todo el mundo me conoce porque en todas partes tengo muchos amigos.

¿Queréis que os los presente?

Yo vivo en esta pequeña charca y en los matorrales de alrededor, y tengo como vecinos a la familia Cuac. Son unos patos muy desorientados, y su mamá siempre les está buscando.

- ¿Venís a jugar?

- ¡Claro, cuac cuac!

- ¡Mirad! ¡Vienen por la izquierda saltando los canguros!... ¿A dónde vais Cangu?

-A visitar a Leoncín, que está un poco enfermo, ¿os venís?

- ¡Sin dudarlo! Estará dentro de la cueva, ¿verdad?

- Sí, ¡vamos! Se pondrá muy contento de que vengáis.

Seguimos por la selva y pasamos por los árboles que están muy muy lejos. Por aquí vive mi amiga la pantera. Ella es muy dormilona y casi nunca viene a verme. Así que pararemos a saludarla, además seguro que quiere venir también.

Los elefantes vienen muchas veces a verme para nadar y beber en la charca. Y como viven cerca del campo de flores, cuando vienen me traen alguna de regalo. Quizás estén por aquí…

- ¡Elefantes! Nos vamos todos a ver a Leoncín que está malito, así le daremos una sorpresa.

Pasamos por arriba y por debajo de las montañas, caminamos por la derecha y por la izquierda del río… hasta llegar a la cueva del león Leoncín.

- ¡Sorpresa!

Leoncín se puso muy muy muy contento.

FIN

Una vez contada la historia, el maestro/a puede trabajar los conjuntos y las nociones topológicas básicas con los elementos que salen en ella.

Se cogerá el gran mural de la selva, en el que habrá árboles, flores, montañas, un río… y el maestro/a irá diciendo a cada niño que coloque un animal en una parte del mural.

Por ejemplo:

- Ana, coloca a un elefante a la derecha de las flores.

- Pablo, coloca al león dentro de la cueva.

Así sucesivamente, y teniendo sentido lo que le indicamos al niño con lo escuchado en la historia.

Además, el maestro hará entender a los niños que todos los animales (conjunto de animales) y los matorrales, árboles, flores… (Conjunto de plantas) forman parte de la selva (unión).

Así, podremos ir señalando todos los elementos que encontramos en el mural, de esta manera se quedará más comprendido el concepto de conjunto.

TÍTULO: FIESTA DE LOS ANIMALES

Tipo: grupal

Objetivos:

- Adquisición del concepto de intersección de conjuntos- Conocer el nombre de los distintos animales - Discriminar entre las diferentes comidas del día- Escuchar atentamente la historia de la fiesta

Tiempo: 30 minutos

Material utilizado:

- Historia - Imágenes de animales- Pizarra( soporte)

Lugar donde se lleva a cabo la actividad: En el aula

Desarrollo:

El maestro/a contará una breve historia:

En la selva se va a organizar una gran fiesta con todos los animales que quieran asistir al gran evento para celebrar el cumpleaños del elefante gris. A lo largo de todo el día los animales van a poder jugar, conocerse entre ellos, conocer animales nuevos, degustar diferentes platos de comida, etc.

Durante juegos y risas ha pasado la mañana y ha llegado la hora de comer.

¡Qué hambre tienen todos!, a este paso van a acabar con todos los cacahuetes, papas y los sandwiches de jamón york y queso que ha preparado la mamá del elefantito gris con todo su cariño.

- ¿Qué te pasa elefantito gris? le pregunta su mamá.

- Nada mamá que estoy un poco triste porque no han podido venir a mi fiesta todos mis amigos, solo han podido asistir unos pocos.

En la comida estaban junto al elefantito gris el canguro Tom, el perro Lukas, el gato Jerry y la pantera Mougly.

No te preocupes hijo, los amigos que faltan no han venido porque sus papás trabajaban y no los podían traer, pero ya verás como a la noche te llevas alguna sorpresita.

Pasaron las horas, se hizo de noche y muchos de los amigos del elefantito gris se despidieron de él porque sus papás habían venido a recogerlos para irse ya a casa.

A la media hora el elefantito vio que su madre estaba volviendo a preparar la mesa con un montón de comida y bebida y cuando el elefantito fue a preguntarle a su mamá que estaba haciendo, sonó el timbre. Y la mamá del elefantito le dijo:

- Ve a abrir la puerta.

Al abrir la puerta, ¿cuál fue la sorpresa del elefantito?, pues que habían acudido los animales que no habían podido ir a la comida. En la cena junto al elefantito gris estaban sentados: el perro Lukas, el león Simba, la pantera Mougly y los patitos amarillos.

Después de cenar todos juntos y abrir los regalos, el elefantito se despidió de sus amigos y les dió las gracias por haber podido asistir a su fiesta de cumpleaños.

Después de haber contado la historia sobre el cumpleaños del elefantito gris a los niños se les harán las siguientes preguntas :

- ¿Han asistido los mismos animales a la comida y al cena ?- ¿Qué animales han acudido a la comida y a la cena ?

De esta manera trabajaremos la intersección de conjuntos. COMIDA CENA

grupo Alquerque. Sevilla

ASPECTOS LÚDICOS DE LA TOPOLOGÍA.

Cuando se nombra la palabra Topología, o no se ha oído nunca o suele pensarse en una parte complicada de la matemática, sólo al alcance de aquellos que hayan profundizado bastante en sus estudios matemáticos. Sin embargo, hay aspectos topológicos elementales a los que podemos acercarnos desde edades muy tempranas.Dado que la Topología es una geometría (de hecho recibe el nombre de Geometría de laPosición) que no tiene interés en la medida, sino solamente en la forma y en cómo ésta puede variar sin provocar roturas (cortes, ni aparición de agujeros), hay elementos de esta disciplina que aparecen antes que el concepto de medida. Aspectos como dentro o fuera, formas equivalentes, conexiones entre agujeros, caminos dentro de laberintos, etc., se pueden abordar en la infancia.Algunos de los primeros juegos infantiles tienen relación con elementos topológicos. Por ejemplo, es frecuente en los primeros años de aprendizaje jugar con estructuras de madera llenas de agujeros por donde los infantes deben hacer pasar una cuerda que está anudada en un extremo; y en casi todos los niños se produce una gran fascinación por la plastilina y la transformación por deformación de unas figuras en otras.

Dado su evidente atractivo lúdico, muchos problemas topológicos aparecen en acertijos, rompecabezas y pasatiempos, siendo excelentes pruebas para cualquier competición divertida que podamos plantear a nuestros alumnos. Además hay problemas clásicos como los puentes de Königsberg, el de los cuatro colores, la sorprendente Cinta de Möbius, la conexión entre casas y distribuidores energéticos, etc. que han fascinado durante décadas a los matemáticos o aficionados. Los profesores José Luís Carlavilla y Gabriel Fernández hicieron una presentación de todos estos aspectos y muchos más de una forma amena y apasionante en un libro de obligada lectura (Carlavilla y Fernández; 1994).

Juegos y rompecabezas topológicos.

león.

pantera.

patos.

elefante.

perro.

canguro.

elefante.

elefante.

perro.

gato.

pantera.

Podemos encontrar multitud de juegos con connotaciones topológicas sin saber que estamos relacionándonos con esa materia. Muchos retos o incluso trucos de magia consisten en deshacer situaciones donde aparecen elementos unidos por cuerdas que a simple vista parecen imposibles (Muñoz; 2003).En general, consideraremos como rompecabezas topológicos aquellos formados por cuerdas, maderas, anillas, bolas, alambres, etc., donde una situación, a simple vista irresoluble, puede resolverse mediante traslación de sus elementos, sin romper, rasgar o modificar la estructura topológica del juego.Un estudio muy sistemático e interesante de los laberintos de alambre y de su implicación en la enseñanza puede encontrarse en el artículo publicado por nuestro compañero y amigo Pablo Flores Martínez en el nº 41 de esta misma revista SUMA (Flores Martínez;2002).

Desde el punto de vista matemático, los juegos topológicos potencian aspectos como la intuición, la visión espacial, el estudio sistemático de posibilidades, la búsqueda de soluciones imaginativas, la esquematización de los problemas y muchos más.

Un rompecabezas topológico tiene bastante relación con un problema de matemáticas. No solamente porque con frecuencia al enfrentarnos a ellos nos quedamos bloqueados al no saber cómo comenzar, sino porque existen muchos procedimientos de la resolución de problemas que se aplican para resolver el reto que nos plantea el rompecabezas. Entre otros, podemos citar los siguientes heurísticos:

1. Buscar un problema semejante. Muchos rompecabezas topológicos tienen estructuras de resolución muy parecidas. Por ello, al enfrentarnos a uno nuevo debemos ver si sirven o no las estrategias de resolución que conozcamos de casos similares.

2. Empezar por lo más fácil. Si el rompecabezas tiene distintos retos, se debe comenzar por solucionar lo que a simple vista sea más fácil.

3. Dividir el problema en partes. Para empezar por lo más sencillo debemos, si es posible, descomponer el rompecabezas en varias partes, que iremos resolviendo de forma independiente.

4. Considerar el problema resuelto. A veces desandar el camino es más fácil que hacerlo. Podemos suponer que el rompecabezas está resuelto e intentar razonar, de atrás adelante, los pasos necesarios para la resolución.

5. Realizar un esquema. En muchas ocasiones es fundamental realizar un esquema de la situación en que nos encontramos. Ayuda en la resolución y potencia la visión espacial.

DE LA GEOMETRÍA DEL ELÁSTICO (TOPOLOGÍA) A LOS PUZZLES DEALAMBREPablo Flores Martínez.Departamento de Didáctica de las Matemáticas,Universidad de Granada.

De la Topología a la Teoría de Nudos

Desde los tratados matemáticos formales, se considera a la Topología como el estudio abstracto del concepto de punto límite (Hocking y Young, 1966). Muchos conceptos matemáticos están relacionados con el límite, como la idea de función continua, pero también la de conexión de una figura geométrica (en la que hay que definir la idea de “dentro de”, frontera, etc.). Como nos dicen Courant y Robbins (1969), la Topología estudia las propiedades de los cuerpos que permanecen invariantes ante transformaciones topológicas1. Los divulgadores de la matemática nos sugieren la idea de transformación elástica (o de la goma elástica) para ejemplificar la transformación topológica (Stewart, 1998). La gráfica de una función no cambia su continuidad por medio de una deformación elástica, al igual que no cambia la conexión de una superficie ante su deformación. De ahí que se identifique a la

Topología con la geometría del elástico, y se dice que trata de aquellas propiedades que permanecen inalterables cuando se deforman los cuerpos por medio de transformaciones continuas(Stewart, 1977). O, en palabras de Hogben (1966), todo lo que se pude transformar cuando no se conservan las relaciones métricas ni la forma visible. En lenguaje cotidiano traduciríamos las caracterizaciones anteriores al decir que la Topología estudia las relaciones que se mantienen cuando se deforman los cuerpos sin cortarlos ni unir trozos separados. Por tanto una de las propiedades topológicas es el número de partes de que se compone la figura, es decir, el número de regiones conexas2 que la componen. Pero las regiones están delimitadas por bordes, por lo que el número de regiones está relacionado con el número de bordes de la figura. Gracias a estos elementos podemos definir lo que entendemos por figura abierta y figura cerrada. LaTopología formal recurre a la caracterización de estos adjetivos con la idea de conjunto abierto y cerrado, así como las operaciones que se pueden establecer entre ellos, lo que lleva a la caracterización de lo que se entiende por un Espacio Topológico en Topología(Hocking y Young, 1966).

Cuando pasamos a los puzzles de alambre percibimos que hay algunos elementos topológicos que podemos aprovechar. Podemos diferenciar puzzles con una, dos o más piezas, con lo que podríamos caracterizar su grado de conexión. También podríamos analizar el “cierre” de cada figura. Parece evidente que esta última característica tiene una relación mayor con los puzzles de alambre, pues un puzzle con piezas abiertas requiere estrategias diferentes que la que tiene sus piezas cerradas. (Figura 1)

Puzzle A Figura 1

Como se ve en la figura 1, el puzzle A tiene partes abiertas y partes cerradas. Sin embargo el puzzle B tiene todas sus partes cerradas. Si ambos puzzles tienen solución es debido a que las piezas que hay que extraer (que en ambos casos son cerradas), están enlazadas de diferente forma. Mientras en el A parte de la estructura soporte (Montoya y Flores 2003; Flores, 2003) atraviesa a la pieza a extraer (pieza problema), en la figuraB la pieza problema abraza a la estructura base, sin estar atravesada por ella.Como vemos, las condiciones de cierre nos llevan a fijarnos en otras características, tales como el estar dentro o fuera. Estas características no son ajenas a la Topología, sino que han sido objeto de atención de la Teoría de Nudos, con la que la relación de los puzzles de alambre es mayor.

La Teoría de Nudos

Surgida en el siglo XX, la Teoría de Nudos es una parte de la Topología que estudia las curvas unidimensionales trazadas en el espacio de dimensión tres, de forma que se inicien y terminen en un mismo punto y no se corten a sí mismas (Neuwirth 1979).Como vemos, la idea matemática de nudo no coincide exactamente con la idea cotidiana, ya que nuestros nudos no tienen los extremos unidos. Esta es una cualidad establecida por los matemáticos para poder llevar a cabo su estudio, ya que si el nudo está abierto se puede aplicar una transformación topológica y convertirlo en una cuerda no anudada (Figura 2).

Cuando emprendemos el estudio topológico de los puzzles de alambre surge el mismo problema, si nos valemos de las transformaciones topológicas para estudiar los puzles de alambre nos vamos a encontrar que los puzzles abiertos, como el A de la figura 1 son triviales. Igualmente serían triviales todos los puzzles de clavos (Flores, 2002). Por tanto hemos de admitir que si bien la Topología es necesaria para estudiar los puzzles de alambre, no es suficiente.

Volviendo a los nudos, Iam Sewart (1998) los define como superficies formadas porm una figura continua que se enlaza a si misma o a otras superficies continuas. Con ello laTeoría de Nudos se encarga de determinar si un nudo está realmente anudado3, a determinar que nudos son equivalentes al aplicarle la transformación y a clasificar los nudos. Para resolver estos tres problemas se buscan variables que permanezcan invaritantes a las transformaciones topológicas, lo que ha generado nuevos conceptos específicos, como los polinomios asociados a los nudos.Intuitivamente para clasificar los nudos se han comenzado por estudiar las intersecciones, la forma y el número de cruces, si los bucles están enlazados, la simetría,etc. Pero observamos que estas propiedades no quedan caracterizadas por el grado de conexión, por lo que focalizan la atención sobre otras propiedades de las figuras, lo que da lugar a una teoría propia, sumergida en la Topología (Cormwell, 2004). En efecto, no podemos determinar interior y exterior, ya que las curvas que los forman tienen dimensión 1. Un intento de estudiar los nudos por medio de la Topología clásica fue recurrir a envolver los nudos por superficies sólidas que los contengan, y estudiar las características de esas superficies debidas exclusivamente a los nudos. Estas regiones tienen interior y exterior, borde, etc., por lo que se prestan al estudio topológico clásico, pero tal como muestra Iam Stewart (1994), hay nudos diferentes que producen una misma superficie complementaria, por lo que se recurrió a otras herramientas que generó una rama de la Topología con cierta autonomía. Nosotros creemos que para el estudio de los Puzzles de alambre tenemos que introducir también otros elementos a los meramente topológicos o de nudos, al añadir cualidades diferentes

Nudo matemático Nudo de Balso

Figura 2:

De los Nudos a los puzzles de alambre

Al partir de la Teoría de Nudos para estudiar los puzzles de alambre nos encontramos con que así como los nudos matemáticos son cerrados, con los puzzles no ocurre lo mismo. Pero además algunas partes de las piezas se cortan entre sí, con lo que no pueden considerarse nudos. En Latinoamérica, dos compañeros, Montoya y Gómez-Alcalá (2001) hicieron un trabajo en el que transformaron los puzzles en enlaces matemáticos, con objeto de poder aplicar algunos resultados de la Teoría de Nudos a lospuzzles. En la figura 3 se observa cómo queda transformado en enlace un puzzle similar al A de la figura 1.

Este trabajo les suministró un resultado importante, una condición necesaria para que un puzzle de alambre tenga solución.

Un rompecabezas de alambre tiene solución si uno de sus invariantes topológicos consiste en que el nudo problema establezca un enlace trivial con el resto de los nudos. Es decir si el enlace que representa el juego en el inicio puede llevarse mediante transformaciones continuas al enlace que representa el juego resuelto. (Montoya y Gómez- Alcalá, 2001).

Figura 3: Puzzle

transformado en enlace

Intuitivamente traduciríamos que un puzzle de alambre sólo tiene solución sí al convertir el alambre en cuerda elástica (que permite transformaciones elásticas), se puede extraer la pieza problema de la estructura soporte, bien porque esta estructura se convierta en un nudo trivial, bien porque se pueden soltar. En la figura 4 vemos como los dos puzles de la figura 1 quedan al transformarlos en puzzles de cuerda elástica, el A convertido en una pieza abierta terminada en dos argollas y el otro en dos piezas que se separan sin problemas

Esta condición les permitió demostrar que un puzzle de alambre clásico como el de la figura 5 no tiene solución, pese a que aparece en muchas colecciones y se oferta como “imposible”4. Este puzzle ha sido objeto de estudio en Matemáticas (Coffin, s.f.)También los puzzles de alambre se plantean problemas similares a la Teoría de Nudos. Un problema muy importante de los coleccionistas de puzzles es señalar las diferencias entre ellos. ¿Qué tiene que cambiar para que lo consideremos diferente? ¿Son diferentes dos formas como las de la figura 6?:

Si bien se ha hecho un gran esfuerzo en clasificar los puzzles, a lo máximo que se ha llegado es a establecer variables generales y a incluir los puzzles de alambre en el tipotnaglement puzzles (puzzles de enredo, Dalguety & Horden, s.f.), o a diferenciar lospuzzles de alambre de los puzzles de metal.

Para clasificar los puzzles de alambre tenemos que afinar más, para lo que necesitamos elementos que nos permitan establecer equivalencias entre los puzzles. Para ello podemos recurrir a diferenciar a) elementos topológicos que repercutan en la forma de resolver los puzzles, b) elementos geométricos (forma y medida) o c) otros elementos que disimulen la estructura. Entre los elementos topológicos hemos comenzado am distinguir si las piezas están abiertas o cerradas, si su posición relativa es estar dentro o fuera de la estructura, el número de agujeros o partes de cada pieza, si las piezas se abrazan o se enlazan, si las piezas están atrapadas o permiten deslizarse, son simples o con ramificaciones, etc. Ente los elementos geométricos se encuentran aspectos ligados a la forma, a las características de la forma en los puntos críticos (en los que se encuentran las piezas que cierran la estructura, como el que en ellos se produzca una inflexión, por ejemplo), a la rigidez y movilidad general, etc.

Entre los otros encontramos aspectos que van desde el tamaño respectivo de las piezas, el número de pasos, los materiales y su aspecto,etc. En la figura 7 podemos ver algunas de estas diferenciaciones, que nos permiten caracterizar cada puzzles.

Gracias a ello podemos emprender una primera clasificación, recurriendo a criterios cruzados para establecer clases.

A partir de estas observaciones he realizado una primera clasificación de los puzles que ya he reflejado en diversas publicaciones, y que tiene un fundamento principalmente topológico, gracias a lo que puedo decir algunas características de losm puzzles de cada clase:

A) Puzzles Meter-salvar. La estructura soporte suele ser abierta, aunque una parte que puede ser cerrada traba al menos uno de los extremos, lo que deja a la pieza problema(que incluso puede ser cerrada5) enlazada en la estructura soporte.

B) Puzzles Escamoteables. La estructura soporte suele ser cerrada, y la pieza problema la abraza. Para resolverlos hay que escamotear una parte de la estructura con el resto.

C) Clavos. Se componen de dos piezas que suelen ser iguales o simétricas, ambas abiertas, por lo que la traba se establece por que el grosor de las piezas es superior el tamaño del hueco que forma cada pieza para evitar la salida de la otra.

Esta supone una clasificación básica, que luego puede ramificarse, estableciendo subclases, ya que el tipo A es muy amplio y permite variaciones complicando el sistema (por medio de piezas que requieren la realización de muchos pasos), o cerrando aparentemente la estructura soporte, lo que obliga a flexibilizar la pieza problema, convirtiéndola en cuerda, por ejemplo. Igualmente los escamoteables pueden diferenciarse por otros aspectos, como el emplear espiras, lo que añade a las restricciones topológicas las ligadas al sentido de giro de las espiras, que requiere una coincidencia para su posibilidad de escamoteo. Por último hay que reconocer que la creatividad de los autores de estos puzzles les ha llevado a proponer modelos mixtos, en los que se combinan las dificultades debidas a unos y otros puzzles.

Conclusiones

Este breve análisis ha pretendido justificar que tiene sentido llamar puzzles topológicos a los puzzles de alambre, pues para tener solución necesita que las piezas verifiquen unas condiciones topológicas determinadas (Montoya y Gómez-Alcalá, 2001). Pero además por que jugar y ejercitarse con ellos hace percibir cualidades topológicas (estar abierto cerrado, enlazar, abrazar, etc.) (Flores 2003). Ahora bien, puede resultar abusivo si se presta a confundir la Topología con los puzzles, en los que existen cualidades métricas y rígidas que no corresponden a estos puzzles.

Hemos visto que el estudio de los juegos se enriquece con la Topología, pues ella nos permite establecer algunas condiciones de solución, nos suministra algunas variables para diferenciar el tipo, así el número de cabos que atraviesan una pieza nos permiten distinguir si la pieza abraza o enlaza. Si el número de cabos que atraviesa el interior es par, la pieza abraza a la otra (puzzle B de la figura 1), mientras que si es impar está enlazada (puzzle A de la figura 1), con lo que estamos aplicando propiedades similares a las ligadas a curvas de Jordan, para determinar si dos puntos están en la misma o distinta región.

Por tanto es pertinente aportar puzzles de alambre a actividades de divulgación matemática, así como proponer a nuestros alumnos que los practiquen, ya que el jugar con ellos desarrolla el dominio de algunas características topológicas de los cuerpos (tanto de los puzzles como de otras situaciones cotidianas). Ahora bien, conviene

DEL AULA UNIVERSITARIA AL AULA DE INFANTIL: UNA EXPERIENCIA DE enseñanza con dominós

( segun ROCÍO GARRIDO MARTOS Profesora de Didáctica de las Matemáticas en laUniversidad Pontificia Comillas rocio.garrido@upcomillas.es)

La construcción del dominó bajo estas premisas se basó en los argumentos propuestos por el profesor Francisco Vecino3, que permitió un acercamiento a los invariantes geométricos. Si, por ejemplo, quisiéramos construir un dominó de tipo topológico necesitaríamos definir los invariantes a tratar: conceptos topológicos como abierto, cerrado, conexo, compacto,etc. Dos figuras se podrán unir si, y sólo si, son topológicamente equivalentes: dos líneas abiertas, el mismo número de bloques compactos, etc¿Cómo construimos un dominó?

Los pasos a dar para crear un dominó se pueden esquematizar como en la fi gura 4.

Un ejemplo de construcción de un dominó podría ser el siguiente:

1. Elegimos un dominó de tipo topológico.

2. A continuación tenemos que defi nir cuántas figuras no topológicamente equivalentes queremos crear. Un caso sencillo sería jugar con: línea abierta (1), línea cerrada (2), un agujero (3), dos bloques compactos (4). En este caso tendremos cuatro opciones, por lo que contaremos con 10 fi chas: 4*3/2+4=10. En la figura 5 podemos ver una posibilidad de fichas.

3. Algunas consideraciones que podríamos hacer son que todas las líneas abiertas se dibujen de rojo, las líneas cerradas de verde, las figuras con agujero de morado y las figuras compactas una de naranja y otra de azul, como se ha hecho en la fi gura 5. De esta manera las primeras veces que hace el niño un dominó de tipo topológico se ayuda de los colores para colocar ficha y cuando se observe que el niño ya está preparado podremos añadir un grado más de dificultad coloreando las figuras topológicamente equivalentes de manera distinta.

4. Finalmente elegiremos un material apto para su manipulación en el aula de infantil, como la madera de contrachapado que permite su serigrafiado.

OTRAS ACTIVIDADES PARA TRABAJAR LAS RELACIONES TOPOLÓGICAS

Ahora que ya conocemos los principales conceptos y relaciones topológicas, vamos a explicar algunas actividades que sirvan de ejemplo de cómo se pueden trabajar en el aula.

Tres en raya: juego de dos jugadores que consiste en colocar las tres fichas de un jugador continuas en la misma recta. Hay diferentes tableros para este juego, pero el más conocido es el de la figura 3.

Dominó: juego de mesa que consiste en colocar juntas las partes de unas fichas que sean iguales. Existen diferentes fichas de dominó, pero las más habituales representan los números del 0 al 6 con puntos negros.

Triminó: juego evolucionado del dominó, y que como su propio nombre indica se juega con fichas de tres partes y las mismas reglas del dominó. El aumento de esta variable didáctica (de tener dos partes a tener tres partes) multiplica las posibilidades didácticas de este juego.

4. Rellenar de color: actividad para un jugador que consiste en rellenar las distintas partes de un dibujo (recintos cerrados) con colores que se corresponden con una clave gráfica o numérica. El 1 con el rojo, el 2 con el azul, y así sucesivamente. Figuras 1 y 2.

5. Las sillas: conocido juego en que los niños corren alrededor de unas sillas (una menos que jugadores haya) colocadas en círculo mientras suena una música, y en el momento en que esta cesa deben sentarse cada

uno en una. El jugador que se queda sin silla se retira.

6.- Laberintos: actividad que consiste en tratar de recorrer desde un punto hasta la salida en un diseño de caminos diferentes, de los que sólo uno lleva a la salida. Hay muchos tipos diferentes de laberintos, sirvan como ejemplos los de las figuras siguientes.

7.- Enredos y desenredos: consiste en colocarse todos los niños en un grupo desordenado y a una señal del maestro se dan la mano con quien puedan o quieran en la posición en que estén. En ese momento se forma una cadena humana y el objetivo del juego es que logren desenredarla.

8.- El tren: el tradicional juego de simulación de los vagones y la locomotora.

9.- Cruces y recruces: juego en el que los alumnos deben recorrer caminos que se cruzan sin salirse del suyo propio y sin chocar con otros jugadores que van siguiendo el suyo. Se puede hacer tratando de recorrerlos en el menor tiempo posible, o simplemente con el objetivo de no confundirse de camino y no salirse del mismo. Puede hacerse moviéndose por el espacio –pintando los

caminos en el suelo– o gráficamente –con lápiz y papel–.

RETOS TOPOLÓGICOS EN EDUCACIÓN PRIMARIA (según Juan García Moreno)

Probablemente una gran mayoría de personas, incluso una mayoría de docentes, no hayamos sido conscientes de los momentos de acercamiento a cuestiones que tienen relación

con esta rama de la geometría denominada topología, sobre todo de los aspectos lúdicos de la misma.

Por ejemplo:

El reto de la “casita” (o “sobre de carta” si se prefiere). Se trataba de realizar el dibujo de un solo trazo, sin levantar el lápiz del papel y sin dibujar un mismo segmento dos veces…