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Universidad de Ciencias de la Informatica.Escuela de Ingeniería.Carrera de Análisis de Sistemas.

Matemáticas II

Profesores: Daniel Munar A.Miguel Muñoz J.Rossy Rivero S.

Universidad de ciencias de la Informatica Profesores: Daniel Munar A.Facultad de Ingeniería Miguel Muñoz J.Carrera de Análisis de Sistemas Rossy Rivero S.

- 1 - Curso: Matemáticas II

1. Matrices1.1. Definiciones.

Definición: una matriz sobre el cuerpo de los números reales es un ordenamientorectangular de números denotado por:

=

amnaa

aa

aaa

A

mm

n

................

.

.

.

.

.

.

.

.

.................................

21

2221

11211

donde njmiIRa ij ,....,2,1,...,2,1, ==∈ .

La i - esima fila de A es ( )inii aaa ............21 con mi ≤≤1 . Mientras que laj - esima columna de A es:

mj

j

j

a

a

a

.

.

.2

1

con nj ≤≤1 .

si una matriz A posee m filas y n columnas, diremos que A es una matriz deorden m por n )( nm × . Si nm = , se dice que la matriz A es una matriz cuadrada

de orden n y que los elementos nnaaa ,....., 2211 forman la diagonal principal de A .

Y nos referimos a los elementos ija como las entrada ),( ji de la matriz A con lo

cual podemos escribir:A )( ijnm aA == × .

El conjunto )(KM nm× denota el conjunto de todas las matrices de orden nm × sobre

el cuerpo K( IR= o C) . si nm = )(KM n denota el conjunto de las matricescuadradas de orden n sobre el cuerpo K .



Definición: dos matrices nmA × Y qpB × son iguales si y solamente si qnpm == , y

njmiba ijij ,...,2,1;,...,2,1, =∀=∀= .

Ejemplo: observe que en cada caso los pares de matrices dados son diferentes:

a)

−

≠

−

1231

001231

, ya que los ordenes son diferentes, mientras la primera

matriz posee orden 3x2 la segunda matriz posee orden 2x2.

b) BA =

−≠

−=

432010

432011

, ya que los elementos 11a Y 11b son

diferentes.

Ejemplo: determine cba ,, y d si existen de manera que en cada caso lasigualdades sean validas.

a)

+

−−=

−+2113

2122

ab

aa, en )(2 IRM .

b)

=

+

+−16

2312

12 c

dc

dcc, en )(2 IRM .

c)

+=

++

−++db

ca

cba

baa

221

212 22

, en )(2 IRM .

Solución:

a) ab

aa

ab

aa

ab

aa

+=−=+

⇒

=+=−=−−=+

⇒

+

−−=

−+1)2(

32)1(

221

1132

2113

212 2

2

2

.

De la ecuación (1) vemos que una solución es 21 ia +−= , con lo cual ∈ba, Casí la igualdad no es posible en )(2 IRM .



b) si

12)3(2)2(31)1(

1623

121

22

=+==+−

⇒

=

+

+−

dc

cd

ccc

dc

dcc

de (2) y (3) obtenemos que 65=c , pero este valor no satisface la ecuación (1).

Con lo cual deducimos que no existen cba ,, y d números Reales para que la

igualdad sea valida.

c)

( ) 221021

2421)3(

)2(12)1(

221

212

22

22

=

−==

=

⇒

==−=++

+=++

⇒

+=

++

−++

d

c

b

a

d

c

bcba

abaa

db

ca

cba

baa.

1.2. Matrices Especiales.

Definición: definimos la matriz nula o matriz cero por la matriz que posee todassus entradas cero, la cual denotamos por 00 =×nm .

Ejemplo:

a) 200000

=

. B) 430

000000000000

×=

.

Definición:(Matriz Diagonal) sea )()( IRMaA nij ∈= diremos que A es una matriz

diagonal si y solo si 0=ija para ji ≠ .

Ejemplo:

a)

=

100000001

A b)

=

0000

B c)

=

4000030000200001

C



Definición: llamamos matriz identidad o unitaria de orden n a la matriz diagonalde orden n definida por

==

1......00...

.

.

.0......10......01

nII

Definición: (Matriz Triangular Superior e Inferior) Una matriz )()( IRMaA nij ∈=se denomina matriz Triangular Superior si jia ij >∀= ,0 , analogamente diremos

que )()( IRMaA nij ∈= es una matriz Triangular Inferior si jia ij <∀= ,0 .

Ejemplo:

a)

300000321

matriz triangular superior.

b)

0200000000000001

matriz triangular inferior.

1.3. Operaciones entre Matrices.

Las operaciones entre matrices producen nuevas matrices a partir de las matricesdadas.

Definición:(Adición) sean )()(),( IRMbBaA mnijij ×∈== definimos la suma entre A

y B por:

( )ijijijijij bacbaBA +==+=+ )()()( .

Observe que la suma de matrices solo esta definida entre matrices de mismoorden.



Ejemplo: sean

−−

−=

−

=4123211

,210321

BA entonces

−−

=

−−

−+

−

=+6220232

4123211

210321

BA .

Teorema: ( )+× )(IRM mn es un grupo abeliano, es decir la suma es asociativa,conmutativa, existe elemento neutro y existe elemento inverso.

Definicion: sean )()( IRMaA mnij ×∈= y IRk ∈ definimos el producto de un escalar

k por la matriz A por:

)()( ijij kaakkA == .

Ejemplo:

−−−−

=

−

−420642

210321

)2( .

Definición:(Multiplicación de Matrices) sean ( ) ( )IRMaA nmij ×∈= y

( ) ( )IRMbB pnij ×∈= definimos el producto de A y B por:

( ) ( ) ( )pmijpnijnmij cbaAB

×××==

donde

∑=

=n

kkjikij bac

1

pjmi ,...,2,1.,...,2,1 == .

Ejemplo: sean

−

−=

−=

123452

,413121

BA entonces

−=

−

−⋅

−=

16624

123452

413121

AB .

Observación: el producto de matrices no es conmutativo.



Ejemplo: consideremos

=

=

000001000

,000001001

BA entonces

=

=≠

=

=

000001000

000001001

000001000

000000000

000001000

000001001

BAAB .

Definición: si A es una matriz cuadrada de orden n y ∈k N , definimos laspotencias de la matriz A por

1

0

−=

=

kk

n

AAA

IA

Ejemplo: sea

=

0101

A determine 3A

=

=

=

=

1301

1201

1101

1201

1101

1101

23

2

AAA

A

Definición: sea )()( IRMaA nij ∈= diremos que A es Idempotente si AA =2 .

Definición: sea )()( IRMaA nij ∈= diremos que A es Nilpotente si existe ∈k N ,

tal que 0=kA .

Definición: sea )()( IRMaA nij ∈= diremos que A es Involutiva si nIA =2 .



Ejemplo: sean

−=

−=

=

1011

,010000010

,0001

CBA observe que:

a)

=

0001

A es Idempotente.

b)

−=

010000010

B es Nilpotente de orden dos ya que 02 =A .

c)

−=

1011

C es Involutiva.

Definición:(Matriz Traspuesta) Sea )()( IRMaA nij ∈= , definimos la traspuesta de

A por tA ( ) ( )IRMb mnij ×∈= donde

jiij ab = .

Es decir la traspuesta de una matriz A se obtiene a partir de A intercambiandolas filas por las columnas de A .

Ejemplo:

−−

−=⇒

−−−

=

−

−=⇒

−

−=

10751150231

10127153501

1046351

1065431

t

t

AB

AA

Teorema: sean ( )IRMBA nm×∈, y IRk ∈ entonces

a) ( ) AAtt = .

b) ( ) tt kAkA = .

c) ( ) ttt BABA +=+

d) ( ) ttt ABAB =



Definición:(Traza) sea )()( IRMaA nij ∈= definimos la traza de A por

∑=

=n

iiiaATr

1

)( .

Teorema: sean ( )IRMBA n∈, y IRk ∈ entonces

a) )()( AkTrkATr = .

b) )()()( BTrATrBATr +=+ .

c) )()( BATrABTr = .

Definición:(Matriz Simétrica) sea ( )IRMA n∈ diremos que A es Simétrica sitAA = .

Definición:(Matriz Antisimétrica ) sea ( )IRMA n∈ diremos que A es

Antisimétrica si AAt −= .

Proposición: dada ( )IRMA n∈ existe una descomposición única de A como la

suma de una matriz simétrica con una matriz antisimétrica, tal descomposición es:

876876 icaantisimetr

t

simetrica

t AAAAA

22−++=

Ejemplo:

AAA t =

−=⇒

−=

3363662321

3363662321

, entonces A es simétrica.

AAA t −=

−−−

=⇒

−−−=

063602320

063602320

, entonces A es antisimétrica.

Observación: note que si una matriz es antisimétrica los elementos de sudiagonal están obligados a ser ceros.

Definición: sea ( )IRMA n∈ diremos que A es ortogonal si IAAAA tt == .



Ejemplo: sea

−−

−

=

94

91

98

97

94

94

94

98

91

A es ortogonal.

Definición: sea ( )IRMA n∈ , diremos que A es Normal si AAAA tt = .

Observación: note que si ( )IRMA n∈ es simétrica, antisimétrica u ortogonalentonces obviamente es normal. Sin embargo no todas las matrices normales sonde los tipos de matrices ya mencionados.

Ejemplo:

−=

6336

A es normal.

Teorema: sea ( )ℜ∈ 2MA una matriz normal entonces a es simétrica o bien lasuma de una matriz escalar y otra antisimétrica.



Ejercicios.

1. Dadas las siguientes matrices:

−

−=

=

−−−

=

−=

−

−=

415653122

4312

312765422

182310

403212

ED

CBA

calcular si es posible:

( ) ( )tt ECAEACECAABDDADABBAABDCBCE ++++++ ,,,,,,,,, 2

2. Resolver la ecuación matricial para ( )IRMX 2∈ ; 22 BAAX t +=+ , donde:

=

=

2113

;0112

BA .

3. Si A =

2 1 10 2 22 1 0

y B =−−−

1 1 12 2 01 0 1

, determine la matriz X en la siguiente

ecuación matricial: [ ]AX B A Xt t t− = + .

4. Resuelva la siguiente ecuación matricial, de acuerdo a los diversos valores dela constante a:

Xa

a

a

a a⋅

=

11

1 (donde X es una matriz cuadrada de orden 2).

5. Si A =

1 0 01 0 10 1 0

, demuestre que A nA n In2 231= − −( ) ; ∀ ∈n IN . Calcule A30 .



6. Encuentre An , en función de n, si A =− −

−

4 2 22 2 21 1 1

.

7. Demuestre que, en general, para dos matrices A, B cuadradas del mismoorden, se tiene que: ( )( )A B A B A B− + ≠ −2 2 .

8. Suponga que A y B son dos matrices cuadradas de orden n, invertibles y talesque A + B también es invertible. Resuelva el siguiente sistema de ecuacionesmatriciales, con X e Y son matrices cuadradas de orden n:

AX BX AYB A B I O

AX BX AYB I A B O

+ + − − − =

+ − − + + =

2 2

2 23 3 2 3 2 2

9. Dada la matriz

=

111111111

A deduzca una formula para nA .

10. Si

−=

−=

−=

=

=123410542

;5223

;312514313

;231201

;412321

EDCBA

a. Calcular si s posible: C+E; AB; 2C-3E; CB+D; AB+DD.

b. Si es posible calcular: ABD; A(C+E); CB+D+E; 23A+2A.

c. A t ; (AB) t ; B t A t ; (C+E) t ; C t +E t .

11. Determinar ℜ∈wzyx ,,, tales que

+

++

−

=

3

421

63

wz

yx

w

x

wz

yx.

12. Sea

=

6321

A determinar una matriz B de orden 32× con entradas distintas

tales que 0=AB .

13. Sea

−

=3421

A determine )(Af donde 542)( 3 +−= xxxf .



14. Sea

−

=3431

A . Determinar una matriz de orden 12× no nula, B , tal que

BAB 3= .

15. Sea

−−−

=5125152321

A , determinar todas las matrices columnas u tales que

0=Au .

16. Determinar todas las matrices de orden dos

=

tz

yxM que conmutan con

1011

.

17. Determinar ℜ∈tsyx ,,, si existen de tal modo que

=

tss

y

x

A31

32

32

32

sea

ortogonal.

18. Demuestre que si

=

dc

baA es ortogonal entonces 122 =+ ba .

19. Determinar todas las matrices de orden dos que conmuten con

−2011

.

20. Determine ( )IRMBA 2, ∈ distintas tales que 0=AB .

21. Resolver el sistema matricial para ( )IRMYX 2, ∈

( ) INnBYAX

BAYXAtntt

nt

∈=+

=− 24

donde

−

=

−−

=0110

,2323

BA .

22. Encuentre tres matrices de orden dos tales que AB = AC con B ≠ C y A ≠ 0.



23. Sea A una matriz de orden n x m y c IR∈ demuestre que si cA=0 entonces0 c = o A=0.

24. Sea A [ ]IRM n∈ . Diremos que A es Idempotente si y solo si A 2 = A. Diremos

que A es Nilpotente si y solo si existe Np ∈ tal que A p = 0. Muestre que:

a.

−−−

−−=

321431422

A es Idempotente.

b.

−−−=

312625311

B es Nilpotente.

25. Si A=

−

121211312

demuestre que 092 23 =−− AAA pero que 0923 ≠−− IAA .

26. Diremos que una matriz A de orden n es Involutiva si A 2 = I. Demuestre quesi A es Involutiva entonces las matrices ½ ( I + A ) y ½ ( I – A ) son idempotentesy que:

( I + A )( I – A )=0



1.4. Matrices Invertibles.

Definición: sea ( )IRMA n∈ , diremos que A es invertible si B∃ ( )IRM n∈ tal que

nIBAAB == y diremos que B es la inversa de A y denotaremos 1−= AB .

Propiedades: sean ( )IRMBA n∈, matrices invertibles entonces:

a) ( ) AA =−− 11 .

b) ( ) 111 −−− = ABAB .

c) ( ) ( )tt AA 11 −− =

Observación: sea ( )IRMA 2∈ una matriz invertible, tal que

=

dc

baA entonces

es fácil comprobar que A es invertible si y solo si 0≠− bcad y su inversa es:

−

−−

=−

ac

bd

bcadA

11 .

Observación: si una matriz A es invertible, esta es llamada habitualmente matrizRegular o No Singular.

En lo que sigue de esta sección trataremos de proporcionar las herramientasnecesarias para poder determinar cuando una matriz es invertible y si lo es poderdeterminar su inversa, ya que para matrices de orden 2>n no es tan fácil deduciruna formula para la inversa.

1.5 Determinantes

La idea intuitiva de determinante de una matriz )(IRMA n∈ es la siguiente. El

determinante de A denotado por )det( A o por A , es un numero que pertenece al

cuerpo de los números reales.

Para matrices de orden dos y tres es fácil calcular su determinante ya que esteesta dado por:

a. Si bcadAAIRMdc

baA −==⇒∈

= )det()(2 .



b. Si )(2

333231

232221

131211

IRM

aaa

aaa

aaa

A ∈

= . Entonces

122133112332132231322113312312332211)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaaAA −−−++== .

La expresión obtenida para calcular el determinante de una matriz de orden treses fácil recordarla por el siguiente algoritmo.

Ley de Sarrus

1. Se escriben las dos primeras columnas a continuación de la matriz.

2. Se desarrollan los productos triples según los signos de las flechas delsiguiente diagrama.

- - -

3231

2221

1211

333231

232221

131211

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

+ + +

Para un desarrollo mas general, primero definamos para )(IRMA n∈ la submatriz

ijM , como la matriz de orden )1()1( −×− nn que se obtiene de la matriz A aleliminar la fila i y la columna j.

Ejemplo: sea

−=

124112031

A entonces observamos que

=

−=

2431

;1211

2311 MM ; etc.

Observación: note que si )(IRMA n∈ entonces podemos formar 2n submatrices

de la forma ijM .



Estamos en condiciones de definir recursivamente el determinante de una matriz.

Definición: sea )()( IRMaA nij ∈= entonces

[ ]

>−

==

∑=

+ 1)det()1(

)det(

1

1111

nparaMa

aAsia

An

jijij

ji

Ejemplo: si

=

312431021

A entonces si escogemos 1=j obtenemos que:

15166494302

23102

3143

)det()1()det(2313

221231

3332

131221

3332

232211

3

1

=+−−=+−=

+−=−= ∑=

+

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaaMaA

jijij

ji

Proposición: sean )(, IRMBA n∈ y IRc ∈ entonces

a) )det()det( tAA = .

b) Si la matriz B se obtiene a partir de la matriz A por un intercambio de filas(ocolumnas) entonces

)det()det( AB −=

c) Si A tiene dos filas (columnas) iguales entonces 0)det( =A .

d) Si A tiene una fila(columna) nula entonces 0)det( =A .

e) Si B se obtiene a partir de la matriz A al multiplicar una fila(columna) por unescalar c entonces )det()det( AcB = .



f) Si B se obtiene a partir de la matriz A al intercambiar la fila(columna) i por lasuma de la fila(columna) i mas c veces la fila(columna) j )( ji ≠ entonces

)det()det( BA = .

g) Si A es triangular superior(inferior) entonces el determinante de A es elproducto de los elementos de s diagonal, es decir nnaaaA ⋅⋅⋅⋅= 2211)det( .

h) A es regular si y solo si 0)det( ≠A .

i) )det()det()det( BAAB = .

Ejemplo: sea

=

312431021

A si aplicamos la operación elemental 12F obtenemos la

matriz

=

312021431

B así 15)det()det( −=−= AB .

Proposición: si )(IRMA n∈ es no singular entonces )det(

1)det(A

A = .

1.6 Calculo de Inversas vía Determinantes.

Definición:(Cofactor) sea )()( IRMaA nij ∈= el cofactor ijA de ija se define por:

ijji

ij MA +−= )1( , donde ijM es la submatriz ij de la matriz A .

Ejemplo: sea

−=

217654213

A entonces vemos que

101713

1)1(

.342764

1)1(

2332

23

1221

12

−=−

−=−=

=−=−=

+

+

MA

MA

.



Definición:(Adjunta) sea )()( IRMaA nij ∈= la matriz adjunta de A denotada por)(AAdj esta definida por

=

nnnn

n

n

AAA

AAA

AAA

AAdj

21

22212

12111

)( .

Ejemplo: sea

−

−=

301265123

A entonces podemos calcular la matriz adjunta.

286523

)1(12513

)1(102612

)1(

20123

)1(103113

)1(63012

)1(

60165

)1(173125

)1(183026

)1(

633

532

431

523

422

321

413

312

211

=−

−=−=−=−=−

−=

−=−

−=−=−

−=−=−

−−=

−=−==−

−=−=−

−=

AAA

AAA

AAA

así la matriz adjunta es

−−−−

−−−=

282611017

10618)(AAdj .

Teorema: si )()( IRMaA nij ∈= es una matriz regular entonces A

AAdjA

)(1 =− .



Ejercicios

1. Calcular los siguientes determinantes:

0301013143211111

.22

2222

.1)()(1)()(1)()(

.

111

...

1000010000240043

.

1122121100000111110012121

.

7625762153424121

.

23

i

baccc

bacbb

aacba

h

yxyx

yxyx

yxyx

g

xxx

xf

yxyx

yxyxe

xx

xxd

cba

−−−−

−−

−+−−+−+

+−+

++−

+−−+

−

−−−−

−

2. Determine los valores de la constante a, de modo que el determinante de la

matriz A

a a

a a

a

=−

− −− −

1 12 11 1 2 1

, sea cero.

3. Encuentre los valores de las constantes “a” y “b” , de modo que la siguiente

matriz sea invertible: A

a b a

a

b a b

=−

−

1 0 .

4. Si A =−

−

6 2 22 5 0

2 0 7, resuelva la ecuación det( )A xI− =3 0 , donde x es una

variable real.



5. Verifique que

a b c a b

c b c a b

c a a c b

a b c

+ ++ +

+ += + +

22

22 3( ) .( Use Maple)

6. Exprese el determinante de la matriz A

a a bcd

b b acd

c c abd

d d abc

=

2

2

2

2

1111

, en forma

factorizada.

7. Verifique que

a

a

a

a

a a

++

++

= +

2 3 4 52 3 4 52 3 4 52 3 4 5

143( ) .

8. Sea A

a

a

a

a a b

=

−

1 1 11 1 1

1 1 10

, donde a y b son números reales. Exprese el

determinante de A en forma totalmente factorizada y a partir de esto calcule elrango de la matriz A, dependiendo de los valores de las constantes a y b.

9. Encuentre la forma general de las matrices cuadradas de orden 2, tales que

det( ) det( ) det( )A B A B+ = + , donde A =

2 11 1

.

10. Sea A =

−−

−− − −

1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1

. Demuestre que A A AA It t= = 4 4 y a partir de ésta

relación deduzca la inversa de la matriz A.



11. Calcule A A A A n− − − −+ + + ⋅ ⋅⋅ ⋅ +1 2 3 , en función del número natural n, si

A =−

1 01 1

.

12. Calcule los siguientes determinantes, usando propiedades

2100122001210012

,

3520202114320221

−−−

−−−

−−−−

13. Calcular el determinante de

=

0111101111011110

4A . Determinar los determinantes

de las matrices 32 , AA , con ceros en la diagonal y unos en las demás

posiciones.¿ puede determinar el valor de nA ?

14. Sean A, B )(ℜ∈ nM tales que | A | = 5 y | 4AB | = | B −1 | calcule | B |.

15. Dada la matriz

=

101012301

A determine los valores de k tal que 0=− kIA .

16. Determine sin son validas las siguientes igualdades

a) 0111111111

=−−−

b) 0010321301

=−−

c) 032

32

32

=zzzyyy

xxx



d)

111111

1

111111 2

xz

xyx

xz

yx

−=−

17. Resuelva las siguientes ecuaciones

a) 00

00

=xx

xx

xx

b) 0=bxb

mmm

xaa

c) 212310211 2

=−

−xx



1.7. Sistemas de Ecuaciones.

En esta sección resolveremos sistemas de ecuaciones con las herramientasexpuestas en las secciones anteriores.

Consideremos los siguientes sistemas:

3333232131

3323222121

1313212111

22222121

1212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxa

bxaxa

=++=++=++

=+=+

(1)

observe que (1) es equivalente al sistema matricial

bAX = (2)

donde ( )IRMaA ij 2)( ∈= , ( )IRM

x

x

X 12

2

1

. ×∈

= y ( )IRM

b

b

b 12

2

1

. ×∈

= y .

( )IRMaA ij 3)( ∈= , ( )IRM

x

x

x

X 13

3

2

1

×∈

= y ( )IRM

b

b

b

b 13

3

2

1

×∈

= respectivamente.

La matriz ( )IRMaA nmij ×∈= )( se denomina matriz asociada al sistema.

Observación: los sistemas dados en (1) poseen solución única si y solo si lasmatrices asociadas al sistema es una matriz invertible.Método de Crammer.

Si un sistema de orden dos de la forma

2222121

1212111

bxaxa

bxaxa

=+=+

posee solución única, dicha solución esta dada por:

∆∆

=∆∆

= 22

11 , xx

donde



221

1112

222

1211

2221

1211 ,,ba

ba

ab

ab

aa

aa=∆=∆=∆

Análogamente Si un sistema de orden tres de la forma

3333232131

3323222121

1313212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

=++=++=++

posee solución única, dicha solución esta dada por:

∆∆

=∆∆

=∆∆

= 33

22

11 ,, xxx

donde

,,,,

33231

22221

11211

3

33331

23221

13111

2

33323

23222

13121

1

333231

232221

131211

baa

baa

baa

aba

aba

aba

aab

aab

aab

aaa

aaa

aaa

=∆=∆=∆=∆

Ejemplo: determine si el siguiente sistema posee solución:

342

21

21

=+=+

xx

xx

Solución

23142

,11314

11112

21 ==∆==∆

⇒==∆ tanto lo por solucion posee sistema el

de donde se tiene que la solución esta dada por:

2,1 22

11 =

∆∆

==∆∆

= xx



Ejercicios.

1. Obtener A 1− si A=

−

814312201

.

2. Encuentre las inversas de :

−=

−−−−

−

=

=

14145432 522 5 632 3 42

4 1 32 11 2 132 3 1 2 11 2

,541431331

CyBA

3. Encuentre una matriz P no-singular tal que PA = B, donde:

−−

−=

=

1 12 2 1 112 1

421134432

ByA

4. Encuentre la inversa de:

=

4121031200210001

T

5. Determine en cada caso 1−A , si existe.

−

=

=

=

4532 0314 00230001

,001013101

,2112

CBA

6. Para las matrices

−=

−=

01 2211

1102 21

ByA

Calcule ( ) ttttttt BBAABAABAB , , , ,



A y B son matrices no singulares tales que( ) ( ) ( ) IABABBA

tttt =+− −−−− 1111.Despeje A en términos de B.

7. Si ( )KMBA n , ∈ ¿En que caso se cumple ( ) ( )? 22 BABABA −+=−

8. Para

−−−−

=111 2 2 16 5 3

A verifique que

−−=−

121 03 121 0

1A . Encuentre

( ) ( ) 11 y −−AAA tt

9. Sean

=

−−

=

=

z

y

x

XBA ;110101103

;100021201

, resuelva la ecuación:

3AX-I 3 X=A t BX+

101

10. Sea A=

−

−

335121041

. Encuentre la inversa de A si existe y resuelva el siguiente

problema:

03350204

=+−=++=−

wvu

wvu

vu

11. Sea A )(2 IRM∈ tal que 022 =−+ AIA , demuestre que A es invertible y calcule

su inversa.

12. Sea A =−

−−

1 1 12 1 11 1 2

, determinar A 1− , si existe.



13. Si A =

6 4 04 2 01 0 3

−−

−

determine todas las soluciones de los siguientes sistemas:

XAX 3= y XAX 2= .

14. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones.

a

x y z

x y z

y z

b

x y z

x y z w

y z w

x z w

c

x y z

x y z

x y z

x y z

d

x y z

x y z

x y z

e

y z w

x z w

x y w

x y z

f

x y z

. . .

. . .

− − =+ + =− + =

+ − =− − + = −

− + =+ − =

− + = −+ − =

− + + =− + =

− − =+ − =− + =

− + =− + = −+ − =+ − =

+ − =

12 3 2

5 1

2 52 2 3

3 2 5 12 0

3 22 3 0

3 32 1

2 13 4 2 113 2 4 11

3 3 52 3 4

3 2 5 124 3 5 5

−+ − =+ + =

+ − =

− − + =+ + =+ + = −

− − + =

+ + + =+ − = −

− + + − =+ − =

12 2 1

32 3 1

52 9

3 3 54 7

22 3 1

2 34

x y z

x y z

x y z

g

y z u

x y z

x z u

x y z u

h

x y z w

x z w

x y z w

x y z

. .

15. Resuelva las siguientes ecuaciones matriciales:

a

b c d

p r t

x y z

b

a b c d

e f g h

p q r s

t u v w

. .4 7 87 5 98 9 6

1 2 32 4 53 5 6

1 0 0 00 0 4 70 2 3 00 0 0 8

1 0 0 00 1 0 00 0 2 00 0 0 1

=

=

16. Analizar según los valores de a, b, c, d la existencia y los valores de lassoluciones de los siguientes sistemas lineales



a

ax y z

x ay z

x y az a

b

dx y z a

x y z b

x y z c

c

x y z

x y z

x y z a

x y z b

d

ax y z

x ay z

x y az

. .

.

+ + =+ + =+ + =

− + =+ − =− + =

− − =+ − =+ + =

+ − =

− + =− + =

− + =

00 2

2 3 33 5 04

3 13

3 3 43 2

9 7 8 0

17. Determine los valores de a de modo que el siguiente sistema posea solución:

x y zax y z

x y z

− + =+ − =

+ − = −

2 10

2 3 1

18. Determine el valor de m para que el siguiente sistema tenga solución .

mx y zx my z

y mz

+ − =+ + =

+ =

02 0

0

19. Dado el sistema

x y a z b

y a z

x y a z

− + + =+ − =

− + − = −

( )( )( )

4 13 0

2 7 2

2

con IRba ∈, , determine condiciones

para a y b de manera que el sistema tenga solución:

20. Determine t de manera que A

t

=−

−

1 2 10 3 12 2

sea singular ¿Tiene solución el

sistema AX

t

t

=−

11

.

21. Determine a b c, , ∈ℜ tal que el sistema ax by czx cy bz

x y cz

+ + =+ + =

+ + =

3 4 53 4 6

5 7 tenga como

solución a C=( , , )12 3 t



22. Resuelva el sistema:

3

2

1

65354232

bzyx

bzyx

bzyx

=++=++=++

donde a) 1321 === bbb

b) 5 ,3 ,1 321 =−== bbb

c) 2 ,2 ,0 321 −=== bbb

23. Resuelve los siguientes sistemas.

a)

03708102051623

4321

432

4321

=+++=++=+++

xxxx

xxx

xxxx

b)

2312

223

=+−=++

=+−

yx

zyx

yx z

c)

2 32228 2631435 52

4321

4321

4321

4321

=−++=+−+

−=−−+=+++

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

d)

2 312423

21

321

321

=+−=++−=+−

xx

xxx

xxx

e)

72132

21

32

31

=+=+=−

xx

xx

xx

f)

3 3221 232325

431

421

4321

4321

=++=++

−=+++=−−−

xxx

xxx

xxxx

xxxx

g)

03768102051623

4321

432

4321

=+++=++=+++

xxxx

xxx

xxxx

h)

3321

2321

1321

1311518169 887

xxxx

xxxx

xxxx

−=++−−=−−−=++

24.

3321

232

131

3344345 34

xxxx

xxx

xxx

=++−=+=−



2. Números Naturales

2.1 Nociones Básicas de Sumatorias

Definición: Consideremos la sucesión de términos reales, denotada por na , ∈n IN.

Llamaremos suma parcial o sumatoria de los n-primeros términos de na , a laexpresión :

n

n

ii aaa ++=∑

=

....11

Número de términos de una sumatoria

a) n

n

ii aaa ++=∑

=

....11

la sumatoria tiene n términos.

b) ∑=

m

aiix tiene (m-a)+1 términos, es decir, el numero de términos se obtiene

mediante la operación: límite superior - límite inferior + 1.

Propiedades Importantes.

a. ( ) ∑∑∑===

±=±n

ii

n

ii

n

iii baba

111

.

b. ∑∑==

=n

ii

n

ii aa

11

λλ , IR∈λ .

c. nkkn

i

=∑=1

, IRk ∈∀ .

d. npaaan

pii

p

ii

n

ii <∀+= ∑∑∑

+===

,111

.

e. npaaap

ii

n

ii

n

pii <∀−= ∑∑∑

−

===

,1

11

.

f. ( ) 111

1 aaaa n

n

iii −=− +

=+∑ .

g. ( )

21

1

+=∑=

nni

n

i

.

h. ( )( )

6121

1

2 ++=∑

=

nnni

n

i

.

i. ( ) 2

1

3

21

+=∑

=

nni

n

i

.



Ejercicios

1. Desarrolle las siguientes sumas en términos de sumatorias y calcúlelas:

a) 2222 19321 ++++ KK

b) 2222 204321 −−+− KKc) 121*4010*37*24*1 ++++ KKd) 32*2010*88*55*2 ++++ KK

2. Sume los n primeros términos.

a) KK+++ 333 531b) K+++ 9*7*55*33*1c) n(n+1)+(n+1)(n+2)+(n+2)(n+3)+…d) n*1+(n-1)*2+(n-2)*3+…

3. Calcule la suma de los n primeros paréntesis;

(1)+(3+5+7)+(9+11+13+15+17)+……

4. Calcule ∑=

+++n

k

pkkkk1

)()2)(1( L

5. Calcule la suma de los n términos

−

−=++++ −1)12(*7*5*3

)2(6*4*2:7*5*36*4*2

5*33*2

321 kkk uucalculey

kk

uSugerenciaL

K

6. Calcular : S =4*7+7*12+10*17+…+157*262. (Indicación

∑=

++=?

1

)25)(13(k

kkS ).

7. Demuestre que:

( ) ( )( )3

2111

++=+∑=

nnnii

n

i

.

8. Determine el valor de la expresión:

( )( )∑=

+−40

11

323i

ii .

9. Si se sabe que 150310

1

=∑=i

ia , 23059

1

=∑=i

ia y ( ) 37810

1

2 =∑=i

ia calcular el valor

de la expresión: ( )( )∑=

−−9

1

23i

ii aa .



10. Si ( )

213

1

−=∑=

nna

n

ii determine:

a. ∑=

10

1iia b. 20a

11. Dado que ( ) 16;3412

1

12

1

2 == ∑∑== i

ii

i xx , determine el o los valores de la constante

c tal que:

( ) 306312

1

2 =−∑=i

ixc

12. Si ( ) ( )( ) ( ) 98;6222;233539

1

29

1

8

1

2 ==+−=− ∑∑∑=== i

ii

iii

i xxxx y 99 =x

determine: i = 1

8

a. ( )∑=

8

1

2

iix .

b. ∑=

8

1iix .

c. ( )( )∑=

+9

1

2 72i

ix .

13. Si ( ) 164

1

2 =∑=i

ix ; 124

1

=∑=i

ix ; 65 =x y 86 =x , determine

a. ( )∑=

6

1

2

iix .

b. ( )∑=

−5

1

2i

ii xx .

c. ( ) ( )∑∑==

−−−4

1

26

1

2 11i

ii

i xx .

d. ( )∑=

−6

1

32i

ix

14. Calcular ( )∑=

+−k

n

nn1

23 523 .



15. Calcular ( )∑=

+−k

n

nn1

3 28 .

16. Calcular ∑=

−

k

n

nn

1

2

32 .

17. Calcular ( )( )∑=

+−9

1

22 2k

kk

18. Calcular ( )( )∑=

−−9

1

33 1k

kk .

19. Calcular ( )( )∑=

++100

20

325n

kk .

20. Encuentre la suma de todos los múltiplos de 5 comprendidos entre 81 y1566

21. Encuentre la suma de todos los números pares comprendidos entre 7 y 517



2.2 Nociones Básicas de Teorema del Binomio

Haciendo uso de las sumatorias agregaremos un nuevo concepto, este es unageneralización de las fórmulas que conocimos anteriormente, tales como elcuadrado y cubo de binomio.

Previamente analizaremos dos elementos que son definiciones muy usadas enla matemática universitaria.

Definición: El factorial de un número natural n es representado por n!, y sedefine por:

n! = n · (n-1)·(n-2)·(n-3)·········3·2·1, ∀ n ∈ ΙN

Definición: Se define 0! = 1, es necesario agregar esta definición puesto quefactorial sólo se define para números naturales.

Propiedades:

1) n! = n · (n - 1)!

2) (2n + 2)! = (2n + 2) · (2n+-1) · (2n)!

3) (2n)! = 2n · (2n - 1) · (2n - 2) · (2n - 3) ······· 3 · 2 · 1

Observación: (m· n)! ≠ m! · n!

Definición: El coeficiente binomial esta definido por:

( ) !!!

nnmm

n

m

−=

con m ≥ n tenga presente el lector que este elemento, aparecerá también en elcálculo de combinatoria y probabilidades.

Propiedades:

1) 10

=

m .

2) mm

=

1

.

3) mm

m=

−1

.



4) 1=

m

m

5)

++

=

+

+

11

1 k

m

k

m

k

m

Teorema: Binomio de Newton. Dados IRba ∈, y INn ∈ se tiene que

( ) ∑=

−

=+

n

k

kknn bak

nba

0

Observe que en el desarrollo de ( )nba + se tienen 1+n termino donde eltérmino ( )1+k -esimo esta dado por:

kknk ba

k

nt −

+

=1

Observación: en algunas ocasiones es útil considerar los términos de unaprogresión aritmética de la siguiente forma:

,....2,,,,2...., dadaadada ++−−

donde d denota la diferencia.

Análogamente en el caso de una progresión geométrica es bueno considerarlos elementos de la siguiente forma:

,...,,,,...., 22

ararara

ra



Ejercicios

1. En el desarrollo .31

23 9

2

−

xx Hallar:

a) El quinto términob) El término independiente de x.

2. Encontrar el coeficiente de xn en: ( )( ) 122 11 +++− nxxx

a) El término independiente de x en: 12

2

1

−

xx

3. Demuestre que:

∑=

+=

−

n

k

n

k

n

k

n

k1 2

1

1

4. Encuentre el término central de .1 12

+

xx

5. Determine la relación que debe existir entre r y n, para que los coeficientesde los términos de lugares 3r y r+2 en el desarrollo de (1+x)2n, seaniguales.

6. Si rx ocupa un lugar en el desarrollo de n

xx

22 1

+ pruebe que su

coeficiente es:

!)2(31!)4(

31/)!2(

+

− rnrnn



2.3 Nociones Básicas de Progresiones.

Definición: Una Progresión Aritmética (P.A) es una sucesión de expresiones,en la cual todos los términos, posteriores al primero, se obtienen, siempresumando una misma cantidad al número anterior, esta cantidad es llamadarazón de la progresión, o bien, diferencia. En otras palabras una serie detérminos se encuentra en P.A si la diferencia entre dos términos consecutivoscualesquiera es un valor constante.

d = an + 1 - an

Los términos en una P.A están dados por:

a1 ; a1 + d ; a1 + 2d ; a1 + 3d ; a1 + 4d ; .........; a1 + (n - 1)d .

Si consideramos la suma de todos n primeros términos de una (P.A):

Sn =a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + (a1 + 3d) + (a1 + 4d) + ......... + (a1 + (n - 1)d)

Observamos que esta queda representada por:

Sn = n ( 2a1 + (n - 1)d) 2

En resumen el término general y la suma de los n primeros términos está dadapor:

an = a1 + (n - 1)d

Sn = n ( 2a1 + (n - 1)d) 2

Definición: Una Progresión Geométrica (P.G) es una sucesión deexpresiones, en la cual todos los términos, posteriores al primero, se obtienen,siempre multiplicando una misma cantidad al número anterior, esta cantidad esllamada razón de la progresión, o bien, cuociente. En otras palabras una seriede términos se encuentra en P.G si el cuociente entre dos términosconsecutivos cualesquiera es un valor constante.

r = an + 1 / an

Los términos en una P.G están dados por:



a1 ; a1 ·r ; a1 ·r2 ; a1 ·r3 ; a1 ·r4 ; .............a1 ·r (n - 1).

Claramente se puede apreciar que el n-ésimo término esta dado por:

an = a1 ·r (n - 1)

Si consideramos la suma de todos estos términos:

Sn = a1 + (a1 ·r) + (a1 · r2) + (a1 · r3) + (a1 · r4) +............... + (a1 · r (n - 1))

esta queda representada por:

Sn = a1 (1 - rn ) 1 - r

Definición: Se llaman medios aritméticos o geométricos entre a y b, a aquellostérminos que corresponden a una P.A o P.G y que se ubican en formaordenada entre a y b.

Observación: Si se desea insertar t medios aritméticos entre a y b, se calculaprimero d, el cual está expresado por

d = (b - a ) / (t + 1)

Luego se calcula cada uno de los términos de la progresión.

Cuando d > 0 la progresión es creciente, y si d < 0, la progresión esdecreciente.

Observación: Si se desea insertar t medios geométricos entre a y b, se calculaprimero r, el cual está expresado por:

r = 1+t

ab

.

Las aplicaciones de las progresiones las podemos encontrar por ejemplo en elámbito financiero, cuando aplicamos tasas de interés a un determinado monto,cuando se trata de un interés simple, estamos frente a una P.A. en la cual dcorresponde al interés simple aplicado, y los períodos se relacionan con elnúmero de términos requeridos. En el caso de un interés compuesto, la razóncorresponde al interés compuesto aplicado y nuevamente los períodos serelacionan con el número de términos.



Ejercicios.

1. Suponga que 3,9/2, a, b, c, d, 12 es una progresión aritmética finita.Encuentre los medios aritméticos a, b, c, d de 3 y 12.

2. Intercale 4 medios aritméticos entre 2 y 4.5

3. Intercale 8 medios aritméticos entre 2 y 5

4. Halle el trigésimo término de la sucesión –7, -4, -1, 2,...

5. Halle el vigésimo término de la sucesión 1.5, 3, 4.5,...

6. Halle el sexto y el séptimo términos de una progresión geométrica cuyoprimer término es –2 y cuya razón es r = -1/2

7. Halle el décimo término de la sucesión 1/729, 1/243, 1/81,...

8. Halle el primer término de una progresión geométrica cuyos cuarto y quintotérminos son –8 y 32 respectivamente.

9. Sumar 17 términos de la progresión: 49,44,39,…..

10. Sumar 19 términos de la progresión; ,.....127,

32,

43

11. Dada la P.A. –35x,….,3x, calcular el término general sabiendo que existen17 términos, entre los extremos.

12. El tercer término de una P.A. es 18 y el séptimo es 30. Encontrar 17S

13. Encontrar el número de términos de la P.A.: 12,16,20,…..si Sn=208

14. Si f(4)=0, f(42)=-95 y f(n)=-125. Encuentre a y n.

15. Encontrar la suma de todos los números entre 100 y 1000, que seandivisibles por 14.

16. La suma de los 50 primeros términos de una P.A. es 200 y la de los 50siguientes 2700. Encontrar a y d.

a) Demostrar que para todo n perteneciente a los naturales, se cumple quela suma de n términos de la serie: 4,12,20,28 …..es un cuadradoperfecto. ( )2yx +

b) Encontrar 4624

c) Encontrar r si f(r)+f(r+1)= 16S



17. Calcular la suma de ,......92,

31,

21

(7 términos).

18. Interpolar tres medios geométricos entre 9/4, …….,4/9

19. Si a,b,c,d están en P.G., demostrar que 2222 )()()()( dabdaccb −=−+−+−

20. Calcular la suma de los n - términos de Sn=1+3/2+5/4+7/8+……..

21. La suma de tres números en P.G. es 70, si los extremos son amplificadospor 4 y el del medio por 5, la serie está en P.A.. Hallar los números.

22. Hallar una P.A. cuyo primer término sea la unidad y tal que los términos delugares 2, 10 y 34 formen una P.G.

23. Un campesino vendió al primero de sus compradores la mitad de susmanzanas más ½ manzana; al segundo la mitad de las restantes más ½manzana; al tercero la mitad de cuantas le quedaban más ½, etc. El sétimocomprador adquirió también la mitad de las manzanas restantes más ½,agotado con ello la mercadería. ¿Cuántas manzanas tenía el campesino?

24. Halle el primer término de una progresión aritmética cuyos quinto y sextotérminos son 3 y –4 respectivamente.

25. Halle el noveno término de una progresión aritmética cuyo primer y tercertérmino son 181 y 150 respectivamente.

26. Halle el octavo término de una progresión geométrica si el segundo y elcuarto términos son 20/9 y 80/81 respectivamente.

27. Halle una progresión aritmética cuyo primer término es 3 y la suma delsegundo y tercer término es 18.

28. Halle una sucesión geométrica cuyo segundo término es 4, y tal que

aa

4

6

254

=

29. Una pareja decide ahorrar US$10 cada mes del primer año de matrimonio,US$25 cada mes del segundo año de matrimonio, US$40 cada mes deltercer año del matrimonio, y así sucesivamente aumentando US$15 lacantidad mensual cada año. Halle la cantidad que deberá ahorrar cada mesdel año décimo.

30. En el problema anterior encuentre una fórmula para la cantidad que lapareja deberá ahorrar cada mes del año n -ésimo.

31. Puede probarse que los términos de la sucesión { an } definidos por la

fórmula de recurrencia



a ar

an nn

+ = +

1

12

Se aproximan cada vez más a r cuando n aumenta. Suponga que a1 =1.En cada uno de los siguientes casos halle a10 y compare con el valorcorrespondiente que dé su calculadora.

(a) r = 2 (b) r = 3 (c) r = 5

32. La media geométrica de dos números positivos a y b es el número m tal quea, m y b son términos consecutivos de una progresión geométrica finita.Encuentre una fórmula para la media geométrica de a y b.

33. Si ( an ) es una progresión aritmética con a 14 = 40 y a 20 = 64, encuentre:

(a).-d

(b).-a 1

(c).-S 20

34. Sea (an ) una progresión aritmética con d = 40 tal que S 20 = 650; halle a 1 ya 10 .

35. Suponga que a1 =-17.5 y an = 20 son el primero y el n -ésimo términorespectivamente de una serie aritmética para la cual S n = 63.75. Halle n y d.

36. Si {a n } es una progresión con r = 1/5 tal que S5 = 4.992, encuentre elprimer término a 1 .

37. Si el primer término de una serie geométrica infinita es 4 y su suma es 5,halle r.

38. Halle la suma de los ocho primeros términos de la progresión aritmética

bb a

a, , ,.....+2

39. Halle la suma de los 20 primeros términos de la progresión geométrica

ba

ba

2

1, , ,.....

40. Un turista le saca una foto a una pirámide y observa que en su base hay 50bloques, en la fila siguiente hay 49, en la siguiente 48, y así sucesivamente



hasta que en la fila superior hay 8 bloques.¿ Cuántos bloques tendrá esacara de la pirámide fotografiada?

41. Una pareja decide ahorrar US$10 cada mes de su primer año dematrimonio, US$25 cada mes de su segundo año de matrimonio, y asísucesivamente aumentando US$15 la cantidad mensual cada año. ¿Cuántohabrá ahorrado al cumplir 20 años de casada?

42. En una reunión de 200 personas cada una le dio un apretón de manos atodas las demás personas exactamente una vez ¿Cuántos apretones demanos hubo?

43. Hay una antigua leyenda cerca de las series geométricas y los tableros deajedrez. Cuando un rey de Persia aprendió a jugar el ajedrez quisoagradecerle al inventor del juego por ello y le prometió concederle lo que lepidiera. Este señor llamado Sessa, quiso jugarle una broma, y con aire demodestia le pidió un grano de trigo por el primer cuadro del tablero, 2 por elsegundo, 4 por el tercero, 8 por el cuarto y así sucesivamente. Explique enqué consiste la “broma” de Sessa.

44. Una persona ve dos anuncios de empleo para realizar el mismo trabajodurante todos los días de un mes o 30 días. Uno de ellos dice que pagaráUS$10,000 por el mes de trabajo y el otro dice que pagará diariamente 1c elprimer día, 2c el segundo, 4c el tercero y así sucesivamente hasta el últimodía del mes. ¿Cuál empleo le resulta más llamativo? ¿Por qué?

45. Un automóvil que se acelera en una razón constante recorre 3 metros elprimer segundo, 8 metros el segundo, 13 metros el tercer segundo, y asísucesivamente recorre 5 metros adicionales cada segundo. Halle ladistancia total que el automóvil ha recorrido después de 10 segundos.

46. Una epidemia crece tan rápido que cada día hay el doble de personascontaminadas que había el día anterior. Si una población se contaminacompletamente en 19 días, si el primer día hay 2 personas contaminadas.¿Cuántos días se demorará si el primer día hay 4 personas contaminadas?



2.4 Nociones Básicas de Polinomios

Una expresión de la forma: 012

2...11)( axaxanxnanxnaxP ++++−

−+= se

llama polinomio de grado n, 01,2,...1, aaanana +− se denominan coeficientes del

polinomio, los cuales pueden ser reales o complejos.

Se dice que “r” es un cero del polinomio P(x) ó una raíz o solución de la ecuación:P(x)=0, si P(r)=0.

Ejemplo: Sea ( ) 18911 234 +−−+= xxxxxP un polinomio de grado tres concoeficientes reales, entonces 1 es una raíz o un cero del polinomio.

En efecto, como ( ) 18911 234 +−−+= xxxxxP al reemplazar x = 1 en P(x) se

obtiene: ( ) ( ) ( ) ( ) 018911111819)1(11111 234 =+−−+=+−−+=P

Definición: Dos polinomios 01

22...1

1)( axaxanxnanxnaxP ++++−−+= y

012

2...11)( bxbxbnxnbnxnbxQ ++++−

−+= son iguales, si sus coeficientes son

iguales, es decir: ,nn ba = ,11 −− = nn ba … ,22 ba = ,11 ba = 00 ba =

Definición: La suma de los polinomios 01

22...1

1)( axaxanxnanxnaxP ++++−−+= y

012

2...11)( bxbxbnxnbnxnbxQ ++++−

−+= está dada por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00121 12

2...11)( baxbaxbanxbnanxbnaxQxP nn +++++++−+−++=+ − .

División sintética

Tiene por objetivo dividir dos polinomios uno de la forma

012


−+= y el otro de la forma x – r.

Descripción, primero ordenar P(x) de grado mayor a menor y extraer suscoeficientes y llevarlos a una tabla de la forma

an An-1 … a2 a1 ao

Incorporar el valor de “r” al lado derecho de la tabla.

an An-1 … a2 a1 ao r



El coeficiente de an, se repite en la última fila de la tabla.

an An-1 … a2 a1 ao r

an

Se multiplica an por r y se escribe bajo an-1 y luego se suman

an an-1 … a2 a1 ao r

an*ran an-1+ an*r …

Luego el resultado obtenido se multiplica por r, se escribe bajo an-2 y luego sesuma y así sucesivamente hasta llegar al ao.

an an-1 an-1 … a2 a1 ao R

an*r (an-1+ an*r)*ran an-1+ an*r an-1+(an-1+ an*r)*r …

Luego los coeficientes se extraen para escribir el polinomio resultante que es deun grado menos que el polinomio P(x) partiendo por la izquierda y el últimocoeficiente corresponde al resto de la división.

Ejemplo: Se quiere dividir ( ) 532 34 −−+= xxxxP por 2+x

Escribir todos los coeficientes P(x), aquellos que no aparecen son ceros, es decir,( ) 5*1032532 23434 −−++=−−+= xxxxxxxxP llevar los coeficientes a la tabla,

escribir en la última columna el valor de r, escribir en la última fila el primercoeficiente.

2 3 0 -1 -5 -2

2

Efectuar las multiplicaciones y sumas respectivas.

2 3 0 -1 -5 -2(2*-2)= -4 (-1*-2)= 2 (2*-2)= -4 (-5*-2)= 10

2 3+-4= -1 0+2= 2 -1+-4= -5 -5+10= 5



Finalmente la tabla queda así:

2 3 0 -1 -5 -2-4 2 -4 10

2 -1 2 -5 5

El resultado de 5222)( 23 −+−=

+xxx

xxP

y resto 5.

Algoritmo de la división.

Para cada polinomio P(X) de grado mayor o igual a uno y para cada número “r”existe un polinomio único Q(x) de un grado menor que el de P(x) y un númeroúnico “R” que puede ser cero tal que: P(x)=(x-r)Q(x)+R. El polinomio Q(x) sedenomina cuociente, x-r es el divisor y R el residuo o resto.

Del ejemplo anterior ( ) 532 34 −−+= xxxxP , 2+=− xrx , 522)( 23 −+−= xxxxQ yR = 5.

Teorema del residuo

Si R es el residuo o resto después de dividir el polinomio P(x) entre x-r, entoncesP(r)=R.

Ejemplo: Sea ( ) 519104 34 +++= xxxxP , verifique el teorema para r = -3.

Podemos decir que ( ) 519104 34 +++= xxxxP se quiere dividir por x + 3, usandodivisión sintética se tiene:

4 10 0 19 5 -3-12 6 -18 -3

4 -2 6 1 2

Concluimos que el resto es 2.

Al reemplazar x = -3 en P(x) se obtiene: ( ) ( ) ( ) ( ) 5319310343 34 +−+−+−=−P ,( ) 252270324557)27(*1081*43 =−−=+−−+=−P

Teorema del factor

Si r es un cero del polinomio P(x) entonces x – r es un factor de P(x), inversamentesi x - r es un factor de P(x), entonces r es un cero de P(x).



Ejemplo: Use el teorema del factor para probar que x + 1 es un factor de( ) 125 += xxP

En este caso r = -1, luego P(-1)=(-1)25 + 1 = - 1 + 1 = 0

Por lo tanto -1 es un cero de P(x) y x+1 es un factor de P(x).

Teorema fundamental del álgebra

Cada polinomio de grado mayor o igual a uno, con coeficientes reales o complejostiene al menos un cero real o complejo.

Teorema de los “n” ceros.

Todo polinomio P(x) de grado mayor o igual a uno con coeficientes reales ocomplejos se puede expresar como el producto de “n” factores lineales, por lotanto, tiene exactamente n ceros, no necesariamente distintos.

Si P(x) se representa como el producto de factores lineales y x - r ocurre “k” vecesentonces r se denomina cero de multiplicidad k.

Ejemplo: Considere ))(()1()5(4)( 23 ixixxxxP +−+−=

Este polinomio es de grado siete, tiene siete ceros, no todos distintos:

5 es un cero de multiplicidad 3-1 es un cero de multiplicidad 2 i es un cero de multiplicidad 1 -i es un cero de multiplicidad 1

Teorema: Regla de los signos de Descartes

Dado un polinomio P(x) con coeficientes reales, este puede tener:

a) Ceros positivos: El número de ceros reales positivos de P(x) nunca esmayor que el número de variaciones de signo de P(x) y si es menor,entonces siempre será en un número par.

b) Ceros negativos: El número de ceros reales positivos de P(x) nunca esmayor que el número de variaciones de signo de P(-x) y si es menor,entonces siempre será en un número par.



Ejemplo: Determine los posibles ceros positivos y negativos del polinomio( ) 5323 34 −+−= xxxxP

Como ( ) { 5323cambio 1 1

3

1

4 −+−= xxxxPcambiocambio

321321 existen tres cambios o variaciones de signo,

luego existen tres o un cero real positivo.

Ahora calculamos ( ) ( ) ( ) ( ) 53235323 3434 −−+=−−+−−−=− xxxxxxxP

entonces ( ) { 5323cambio hubo No Cambio 1

3

cambio hubo No

4 −−+=− xxxxP 321321 existe un cambio o variación de

signo, luego existe un cero real negativo.

Teorema de localización

Si P(x) es un polinomio con coeficientes reales y si P(a) y P(b) son de signoopuesto, entonces existe al menos un cero real entre a y b.

Localización de ceros racionales

Teorema: Si el número racional cb

, en los términos menores es un cero del

polinomio 012


−+= con coeficientes enteros,

entonces b debe ser un factor de ao (el término constante de P(x)) y c debe ser unfactor de an (el coeficiente del término de mayor grado en P(x))

Ejemplo: Encuentre los posibles ceros racionales de ( ) 482 23 +−−= xxxxP

b = 4, sus divisores son: ±1 , ±2, ± 4

c = 2, sus divisores son: ±1 , ±2

Por lo tanto las posibles raíces o ceros racionales son. 21 ,4 ,2 ,1 ±±±±=

cb

( ) 482 23 +−−= xxxxP dos variaciones de signo por lo tanto existen dos o ningúncero real positivo.

( ) 482 23 ++−−=− xxxxP una variación de signo por lo tanto existe un cero realnegativo.

Como existen más ceros positivos que negativos es conveniente probar primerocon los números positivos.

Usando división sintética:



2 -1 -8 4 12 -1 -7

2 -1 -7 -3

Como el resto no cero, por lo tanto 1 no es un cero de P(x).

Probemos con 2

2 -1 -8 4 22 6 -4

2 3 -2 0

Luego x = 2 es un cero de P(x) en consecuencia( ) )2)(232()2)((482 223 −−+=−=+−−= xxxxxQxxxxP

Para localizar el resto de la raíces trabajamos con 232)( 2 −+= xxxQ ,nuevamente utilizando división sintética y con liderando las restantes posiblesraíces positivas, tenemos:

2 3 -2 48 44

2 11 42

Como el resto no cero, por lo tanto 4 no es un cero de P(x).

2 3 -2 1/21 2

2 4 0

Luego ( ) ( )( )12221)2(2

2142232)( 2 −+=

−+=

−+=−+= xxxxxxxxxQ

Finalmente: ( ) )12)(2)(2(482 23 −+−=+−−= xxxxxxxP es decir los ceros

racionales son x = 2, x = 21

, x= -2



Descomposición en fracciones parciales:

Cualquier fracción propia reducida )()(

xDxN

(el grado del polinomio del numerador

debe ser menor que el del denominador) se puede descomponer en la suma defracciones parciales como sigue:

a) Si D(x) tiene un factor lineal que no se repite, de la forma ax+b, entonces la

descomposición en fracciones parciales de )()(

xDxN

contiene un término de la

forma bax

A+

donde A es constante.

b) Si D(x) tiene un factor lineal que se repite k veces, de la forma ( )kbax +

entonces la descomposición en fracciones parciales de )()(

xDxN

contiene

términos de la forma ( ) ( ) ( )k

k

bax

A

bax

A

bax

Abax

A

+++

++

++

+...3

32

21 donde A1, A2

, … , Ak son constantes.c) Si D(x) tiene un factor cuadrático que no se repite, de la forma cbxax ++2 ,

entonces la descomposición en fracciones parciales de )()(

xDxN

contiene un

término de la forma cbxax

BAx++

+2

donde A y B son constantes.

d) Si D(x) tiene un factor cuadrático que se repite k veces, de la forma

( )kcbxax ++2 , entonces la descomposición en fracciones parciales de

)()(

xDxN

contiene términos de la forma:

( ) ( ) ( )k

kk

cbxax

BxA

cbxax

BxA

cbxax

BxAcbxax

BxA

++

+++++

++++

++++

+232

3322

222

11 ...

donde A1, A2 , … , Ak B1, B2 , … , Bk son constantes.

Ejemplo:

Descomponer en fracciones parciales: )1)(3(

75−+

+xx

x



Como x+3 y x-1 son factores lineales, la descomposición en fraccionesparciales está dada por:

)1)(3()3()1(

13)1)(3(75

−+++−=

−+

+=

−++

xxxBxA

xB

xA

xxx

por lo tanto )3()1(75 ++−=+ xBxAx , nuestro trabajo se reduce a calcular los

valores de A y B, un método sería multiplicar, sumar y luego asociar loselementos del lado derecho de la igualdad y luego comparar el polinomioresultante con el de la derecha y resolver un sistema de ecuaciones:

)3()(3)3()1(75 BABAxBBxAAxxBxAx +−++=++−=++−=+

entonces: 3124)(73

5=⇒=⇒+

=+−=+

BBBA

BA.

Si B = 3 lo reemplazamos en la primera ecuación obtenemos que A=2, así

13

32

)1)(3(75

−+

+=

−++

xxxxx

Otro método que nos permite determinar los valores de A y B, es el siguiente:Como )3()1(75 ++−=+ xBxAx , determinar en que valores de “x” losparéntesis se hacen cero en este caso para x=1 y x=-3 y estos valoresreemplazarlos en la igualdad:

Si x=1, entonces

3412)31()11(71*5

=⇒=++−=+

BB

BA

Si x=-3, entonces

248)33()13(7)3(*5

=⇒−=−+−+−−=+−

AA

BA

Independiente del método escogido lo importante es determinar los valores deA y B.

Ejemplo: Descomponer en fracciones parciales: ( )( )2

2

3227146

−+−−

xx

xx.

En este caso x+2 es un factor lineal que se repite una vez y x-3 es un factorlineal que se repite dos veces, luego la descomposición queda:



( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )232327146

3323227146

22

22

2

++−++−=−−

⇒−

+−

++

=−+−−

xCxxBxAxx

x

Cx

Bx

A

xx

xx

De donde se obtiene A = 1, B = 5, C = -3 por lo tanto:

( )( ) ( )22

2

3

33

52

1

32

27146

−

−+

−+

+=

−+

−−

xxxxx

xx .

Ejemplo: Descomponer en fracciones parciales: ( )22

23

32

594

+−

−+−

xx

xxx

Aquí 322 +− xx corresponde a un factor cuadrático que se repite dos veces,entonces la descomposición en fracciones parciales está dada por:

( ) ( )22222

23

323232

594

+−

+++−

+=+−

−+−

xx

DCxxxBAx

xx

xxx

de donde A = 1, B = -2, C = 2, D = 1, entonces:

( ) ( )22222

23

32

1232

2

32

594

+−

+++−

−=+−

−+−

xx

xxx

x

xx

xxx



Ejercicios

1. En cada caso, determine si el polinomio Q(x) divide a P(x)

a) P(x) = 4x2-1 Q(x) = 2x-1

b) P(x) = x2-9 Q(x) = x+3

c) P(x) = 11x - 2 +12x2 Q(x) = 3x+2

d) P(x) = x3-1 Q(x) = x-1

e) P(x) = x3+27 Q(x) = x+3

f) P(x) = 2x3-1+3x-x2 Q(x) = x+2

2. Utilizando división sintética, determinar F(x): G(x)

a) F(x) = 3x4-x-4 G(x) = x+1

b) F(x) = 5x4-2x2-3 G(x) = x-1

c) F(x) = 11x - 2 +12x2 G(x) = 3x+2

d) F(x) = x3-1 G(x) = x-1

e) F(x) = x3+27 G(x) = x+3

d) F(x) = 2x3-1+3x-x2 G(x) = x+2

3. Descomponga en fracciones parciales:

15221)2

8222)1 22 −+

−−−−

+−xx

xxx

x

961875)10

44572)9

4316156)8

32635)7

)4(48365)6

961812)5

3761111)4

1261313)3

24

2

24

3

23

2

23

2

2

2

23

2

22

++−+−

++++

+−+−

++++

−+−

+−+−

−+−

−−−

xxxx

xxxx

xxxxx

xxxxx

xxxx

xxxxx

xxx

xxx



1762210116)20

25544247124)19

18211771020122)18

48957)17

1281185)16

361521816)15

6184)14

96954)13

1521113)12

6517177)11

234

2345

234

2345

234

23

234

2

23

2

23

2

3

2

3

2

2

23

2

23

−++−−−−+−

−+−++−+−+

+−+−−−+−

+−+−−+−

+−−+−

−−+++

+−+−

−−−+

−++−+

+−−+−

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxx

xxxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxx

xxxx

xxxxx

xxxxx

Universidad de ciencias de la Informatica. Profesores: Daniel Munar A.Facultad de Ingeniería. Miguel Muñoz J.Carrera de Análisis de Sistemas. Rossy Rivero S.


3. Geometría analítica

3.1 Generalidades y Línea Recta

Consideremos el siguiente problema:

Dados P(x,y) y Q(a,b) dos puntos en el plano. Determine la distancia entre P y Q.

Solución: b

y

x a

d(P,Q)= 22 )()( byax −+− .

Definición: Llamaremos línea recta al lugar geométrico de todos los puntos talesque tomando dos puntos diferentes ),(),,( 2211 yxQyxP del lugar geométrico, elvalor:

21

21

xxyy

m−−

=

resulta siempre constante. Tal valor se denomina pendiente de la recta.

Motivación: Dados dos puntos ),(),,( 2211 yxQyxP distintos ¿ como determinar laecuación de la recta que pasa por dichos puntos?( Ecuación punto punto).

Solución: sea L la recta requerida. Ya que los puntos ),(),,( 2211 yxQyxPpertenecen a la recta sabemos que

21

21

xxyy

m−−

=

así podemos deducir que:

L: )( 121

211 xx

xxyy

yy −−−

=−

Con lo cual hemos resuelto nuestro problema.



Ecuación Simétrica de la recta: Sean 0, ≠ba las intersecciones con los ejes X y

Y respectivamente de una recta L, entonces:

1=+by

ax

se denomina la ecuación simétrica de la recta L.

a

b

Definición: Diremos que dos rectas:

L : .nmxy +=L 1 : .11 nxmy +=

1.- Son Paralelas si 1mm = y denotaremos L L 1 .

2.- Son perpendiculares si 1· 1 −=mm ,siempre y cuando las pendientes sean nonulas, y denotaremos L L 1 .

Distancia de un punto a una recta

Observación: Dada una recta L siempre podemos representarla en su formageneral es decir:

L : .0=++ CByAx donde ℜ∈CBA ,,

Sean L : .0=++ CByAx y ),( 11 yxP para determinar la distancia del punto a larecta debemos calcular:

22

11),(BA

CByAxLPd

+

++=



Motivación: Dados los puntos A(a,b) y B(c,d) determinar un punto P quepertenezca al segmento AB de modo que divida al segmento en una razón dada res decir:

r = AP : PB.

Solución: Consideremos el siguiente gráfico:

2y C

y P

1y A

1x x 2x 2x

de lo cual podemos concluir rxx

xx−

−=

2

1 así rrxx

x++

=1

21 . Análogamente

obtenemos rryy

x++

=1

21 .



Ejercicios

1. Hallar la ecuación de recta que pasa por el punto A(1,5) y tiene pendiente 2.

2. Hallar la ecuación de recta cuya pendiente es –3 y cuya intersección con el ejeY es –2.

3. Hallar la ecuación de recta que pasa por los puntos A(4,2) y B(-5,7).

4. Los vértices de un cuadrilátero son A(0,0),B(2,4),C(6,7) y D(8,0). Hallar laecuación de los lados.

5. Los segmentos que una recta determina sobre los ejes X y Y son 2 y –3respectivamente. Hallar su ecuación.

6. Una recta pasa por los puntos A(-3,-1) y B(2,-6). Hallar su ecuación en la formasimétrica.

7. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento A(-3,2)B(1,6).

8. Una recta pasa por el punto A(7,8) y es paralela a la recta que pasa por lospuntos(-2,2) y (3,-4).

9. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento que los ejes coordenadosdeterminan en la recta 5x + 3y –15=0.

10. Un triángulo posee vértices A(-2,1),B(4,7) y C(6,-3). Determinar la recta quepasa por el vértice A y es paralelo al lado opuesto.

11. Considerando el triángulo del ejercicio 10 hallar las ecuaciones de sus lados.

12. Hallar el valor de k para que la recta kx+(k-1)y-18=0 sea paralela a la recta4x+37+7=0.

13. Determine el valor de k para que la recta k x k y2 1 3 0+ + + =( ) seaperpendicular a la recta 4x+3y+7=0.

14. En las ecuaciones ax+(2-b)y-23=0 y (a-1)x+by+15=0 hallar los valores de a y bpara que representen rectas que pasan por (2,-3)

15. Hallar la distancia de la recta 4x-5y+10=0 al punto P(2,-3).

16. Los vértices de un triángulo son A(-4,1)B(-3,3) y C(3,-3). Hallar la longitud de laaltura del vértice A sobre el lado BC y el área del triángulo.

17. Hallar la longitud entre las rectas 3x-4y+8=0 y x+2y+6=0.



18. Hallar la ecuación de la recta paralela a 5x+12y-10=0 y distante a cuatrounidades de ella.(dos soluciones)

19. El costo de almacenaje de un articulo A esta definido por la funciónG(x)=$0.004+$1.36 donde x es el costo unitario de A.

a. Dibujar la función G para 5<x<25.

b. Encontrar el costo de almacenaje para un articulo que cuesta $6.

c. Encontrar el valor de un articulo para el cual su costo de almacenaje es$1.8.

20. Si el costo de ventas es Q(x)=x/3 +1 y la ganancia por venta es R(x)= x/2 +4determinar la función utilidad.

21. Un articulo que cuesta $9 se vende en $12 y otro que cuesta $99 se vende en$142 si estos dos ejemplos representan la política general de precios.

a. Determinar una función que represente el precio de venta en términos delcosto.

b. Encontrar el costo de un articulo que se vende en $80.

c. Encontrar el precio de venta de un articulo que cuesta $35.

d. Representar la función gráficamente.

22. El flete aéreo de una libra de mercadería cuesta $55 transportándola 800 millasy $100 transportándola 2000 millas. Determine

a. Una función lineal que determine el costo de transporte aéreo si los datoscorresponden a la política usual de costos.

b. El costo de transportar 1.5 libras por 1500 millas.

23. Determine la Ecuación General y principal de la Recta que pasa por lossiguientes pares de puntos:

a) (3,-2) ; (8,5) c) (-1,3) ; (7,-4)

b) (-10,-2) ; (9,0) d) (2,1) ; (4,-8)



24. Encuentre el valor de IRk ∈ tal que la recta -3(k + 6)y + 5x + 9 = 0 sea

Paralela a : Perpendicular a :

3x + 6y + 7 = 4x - 3 4x - 2y = 0

4x - y = 5y + 8x 3x - 5y + 8 = 4y - 2x + 3

-5x = 7 2( x + 5y) - 15 = 3x + 8y - 23

7y = 9 4x = 2

26. Determine la ecuación de la recta que es perpendicular a 5x + 7y - 4 = 0 yque pasa por el punto de intersección de las rectas 4x + 6y -9 = 0 ; 5y + 8x+ 3 = 0

27. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de lasrectas 7y + x - 3 = 0 ; x + 3y + 10 = 0 y -2x + 6y + 8 = 0 ; 3x + y +15 = 0

28. Encuentre la distancia de los siguientes puntos a la recta: - 4y + 5x - 9 = 0

a) (-1 , 4) b) (0, 3)

c) (1 , -1) d) (-6 , 5)

29. Determine la distancia entre las rectas 4x + 5y - 8 = 0 y 16x + 20y - 2 = 0.

30. Una empresa fabrica un producto de tal forma que si fabrica 20 unidades elcosto es de 515 dólares y si fabricara 16 el costo sería de 512 dólares.Determine una función lineal que represente el costo y determine. ¿Cuál es elcosto si se produjeran 120 artículos?. ¿Cuántos artículos se produjeron si elcosto fue 24 dólares?

31. Un artículo que cuesta $ 90 se vende en $ 120 y otro que cuesta $ 990 sevende en $1.420. Si estos dos artículos representan la política general deprecios.

a) Encuentre una función lineal que represente el precio de venta entérminos del costo.

b) Determine el costo de un artículo que se vende en $ 450.32. Una empresa vende un producto al precio unitario de $ 10. Si la función de

costo total correspondiente está definida por C (x) = 5x + 100, determine apartir de que número de unidades vendidas la empresa sufrirá pérdidas



33. Una empresa elabora un producto que se vende a un precio de $ 150 porunidad. El costo variable por unidad se estima en $130 y los costos fijos en $250.000.

a) Determine el nivel de producción en equilibrio.

b) ¿ A partir de qué número de unidades vendidas la empresa comienza arecibir utilidades?

c) ¿ Cuál será la utilidad, si la demanda es de 12.000 unidades?

34. Demuestre que el triángulo de vértices (0,0), (2,2) y ( , )1 3 1 3− + , esequilátero. Dibuje el triángulo en un sistema coordenado.

Demuestre que los puntos de coordenadas (7,5), (2,3) y (6,-7), son los vértices deun triángulo rectángulo. Encuentre su área y perímetro.

35. Determine el valor del número real positivo “a”, de manera que el triángulo devértices (0,0), (1,0) y (0.5,a), sea equilátero.

Encuentre las coordenadas del punto del plano que está a la misma distancia decada uno de los puntos de coordenadas (1,7), (8,6) y (7,-1). Haga una gráficade la situación.

36. Dado el triángulo de vértices (0,-1), (2,3) y (8,5);

a) Determine las ecuaciones de las rectas que contienen a lastransversales.

b) Determine las ecuaciones de las rectas que contienen a las medianas.

c) Encuentre el área de dicho triángulo.

Encuentre las coordenadas de los puntos que dividen al segmento de recta conextremos (1,7) y (6,-3), en tres partes iguales.

37. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1,2) y por el puntomedio del segmento de recta de extremos (3,4) y (1,0).

38. Determine el valor de número real “c”, de modo que la recta de ecuación( ) ( )c x c y c+ + − + − =1 1 2 1 0 , sea:

a) Paralela a la recta de ecuación 2 1 0x y− + =



b) Perpendicular a la recta de ecuación 2 1 0x y− + =

39. En cada caso, encuentre condiciones sobre los números reales “a” y “b”, demanera que las rectas ax b y+ − − =( )2 23 0 y ( )a x by− + + =1 15 0 :

a) Contengan al punto (2,-3)

b) Sean paralelas

c) Sean perpendiculares

40. Las tres rectas que se dan a continuación, definen un triángulo ABC:− + + =x y2 4 0 , x y− − =1 0 y − + − =x y3 3 0 . Determine:

a) El perímetro del triángulo ABC.

b) El área del triángulo ABC.

c) La ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC.

41. Encuentre las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto decoordenadas (4,-2) y están a 2 unidades de distancia del origen.

42. Los costos fijos que cobra mensualmente una empresa de agua potable, a losusuarios, son de $ 1.800. Adicionalmente la empresa cobra $300 por cadametro cúbico consumido (costo variable). Encuentre una fórmula que expreseel gasto total mensual de un usuario del servicio, en función de los metroscúbicos de agua consumidos. Grafique ésta función y determine el gasto de unusuario que consumió 21,5 metros cúbicos de agua, en un cierto mes.

43. Una empresa adquiere una máquina por un valor de US$ 20.000, que sedeprecia linealmente hasta que su valor de venta es de US$ 1.000 después de10 años. Exprese el valor de la máquina en función de su edad. Grafique éstafunción y calcule el valor de la máquina cuando ésta tiene cuatro años de uso.

44. La empresa de arriendo de autos “A” cobra 80 centavos de dólar por cadakilómetro recorrido, más una cantidad fija de 30 dólares, por el arriendo de uncierto tipo de automóvil. La empresa “B” cobra 60 centavos de dólar por cadakilómetro recorrido, más una cantidad fija de 40 dólares, por el arriendo delmismo tipo de automóvil. ¿Cuál empresa es más conveniente para un usuariodel servicio, dependiendo del kilometraje recorrido. Grafique la situaciónplanteada.



3.2 La Parábola

Definición: Una Parábola es el lugar geométrico de u punto que se mueve en unplano de tal manera que su distancia de una recta fija, es siempre igual a ladistancia de un punto fijo que no pertenece a la recta. El punto fijo se denominafoco y la recta fija se denomina directriz de la parábola.

Designaremos por F y d el foco y la directriz de la parábola la recta J que pasa porel foco y es perpendicular a L se denomina eje focal de la parábola. El puntomedio del segmento AF se denomina vértice de la parábola y lo denotaremos porV.

d

J A V F

Ecuación de la parábola de vértice en el origen y eje focal uno de los ejescoordenados:

1.- Eje focal igual al eje X

.42 pxy =

F=(0, p )

d: px −= .

2.- Eje Igual al eje Y

pyx 42 =

F=( p ,0)

d: py −=

Observe que en muchos casos puede ocurrir que el vértice de la parábola nocoincida con el origen, en ese caso ¿como determinamos la ecuación de laparábola?.

Motivados por el problema anterior determinaremos las ecuaciones de lasparábolas con ejes focales paralelos a uno de los ejes coordenados.

Proposición: La ecuación de la parábola con vértice V=( ),kh es :

Universidad de ciencias de la Informatica Profesores: Daniel Munar A.Facultad de Ingeniería Miguel Muñoz J.Carrera de Análisis de Sistemas Rosy Riveros.


1.- si el eje focal es paralelo al eje X tenemos que la ecuación es:

phxd

kphF

hxpky

−=

+=

−=−

:

),(

)(4)( 2

2.- si el eje focal es paralelo al eje Y tenemos que la ecuación es:

phyd

pkhF

kyphx

−=

+=

−=−

:

),(

)(4)( 2

Proposición: Una ecuación de segundo grado en las variables yx, que no poseatérminos yx·· puede escribirse de la siguiente manera:

022 =++++ FEyDxCyAx (1)

Si 0,0 ≠= CA y 0≠D la ecuación (1) representa una parábola con eje focalparalelo al eje Y. Si 0=E la ecuación (1) representa dos rectas paralelas al eje Ycoincidentes o no ó ningún lugar geométrico.

Si 0,0 ≠= CA y 0≠D la ecuación (1) representa una parábola con eje focalparalelo al eje X. Si 0=D la ecuación (1) representa dos rectas paralelas al eje Ycoincidentes o no ó ningún lugar geométrico.

Ejemplo: Determinar la parábola que pasa por los puntos A(3/2,2); B(0,5) yC(-6,-7).



Ejercicios

1. En cada uno de los siguientes ejercicios hallar la gráfica de la parábola,ecuación de la directriz, el foco, la longitud del lado recto.

a.- 0122 =+ yx d.- 0122 =− yx f.- 02 =+ xx

b.- 052 =− xy e.- 052 =− xy g.- 02 =− xy

2. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y foco (3,0).

3. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y directriz y-5=0.

4. Hallar la ecuación de la parábola de vértice (-4,3) y foco (-1,3). Hallar ademásla ecuación de su eje y directriz.

5. La directriz de una parábola es la recta y-1=0 y su foco es el punto (4,-3).Determinar la gráfica de la parábola y todos sus elementos.

6. En cada uno de los siguientes ejercicios determine todos los elementos de loslugares geométricos dados por las siguientes ecuaciones

a.- 7120484 2 =−− yxy c.- 01672249 2 =+++ yxx e.- 742 =+ xy

b.- 15912484 2 =++ xyx d.- 019242 =−++ yxy f.- 136122 =−+ yxx

7. Hallar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (0,0),(8,-4) y (3,1), ycon eje paralelo al eje X.

8. Hallar la ecuación de la parábola de vértice (4,-1), eje la recta y+1=0 y quepasa por el punto (3,-3).

9. Dadas las siguientes ecuaciones, identifique aquellas que corresponden a unaparábola y determine las coordenadas del vértice y del foco, y la ecuación de ladirectriz. Grafique:

a) y y x2 8 6 4 0+ − + = b) 3 9 5 2 02x x y− − − = c) x y y2 24 8 0+ − =d) y y x2 4 6 8 0− + − = e) x y y− + =8 02 f) 01222 =−+− xyx

g) 036842 =+−+ xyy h) 010242 =+−− yxx i) 020622 =−−+ xyy

10. Hallar la ecuación de las siguientes parábolas:

a) Foco (3 , 0) directriz x + 3 = 0b) Foco (0 , 6) , directriz el eje Xc) Vértice el origen, eje el de coordenadas X y que pase por el punto (-3, 6)



11. Encuentre la ecuación de la parábola cuyo lado recto es el segmento conextremos

(3,5) y (3,-3).

12. Encuentre la ecuación de la parábola de vértice (0,3) y foco (4,3).

13. Diga a qué altura del suelo se encuentra el punto de un arco parabólico de 18metros de altura y 24 metros de base, situado a una distancia de 8 metros delcentro del arco.

13. El cable de suspensión de un puente colgante adquiere la forma de un arco deparábola. Los pilares que lo soportan tienen una altura de 60 metros y estánseparados por 500 metros, quedando el punto más bajo del cable a unaaltura de 10 metros sobre la calzada del puente. Tomando como eje X lahorizontal que define el puente, y como eje Y el de simetría de la parábola,encuentre la ecuación de ésta. Calcule la altura de un punto situado a 80metros del centro del puente.



3.3 La Elipse

Definición: Una Elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueven en elplano de tal manera que la suma de las distancias a dos puntos fijos dados en elplano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre los dospuntos dados.

AB

1V 1F 1F 2V

A’ B’

Los puntos fijos se denominan focos y los denotaremos por 1F y 2F . La recta Lque pasa por los focos se denomina eje focal. El eje focal corta a la elipse en dospuntos 21 ,VV llamados vértices, la porción del eje focal comprendida entre losvértices se denomina eje mayor. El punto medio del eje focal se denomina centro ylo denotaremos por C. La Recta 'L que pasa por C y que es perpendicular a L sedenomina eje normal, el eje normal corta a la elipse en dos puntos A y A’; elsegmento AA’ se denomina eje menor.Un segmento como BB’ que une dos puntos de la elipse se denomina cuerda. Unacuerda que pasa por uno de los focos se denomina cuerda focal. Una cuerda focalperpendicular a L se denomina lado recto

Proposición: Ecuación de la Elipse que posee centro en (0,0) y eje focal uno delos ejes coordenados

1.- Eje focal el eje X

xa

yb

2

2

2

2 1+ = a b> .

Focos: F c F c1 20 0= = −( , ); ( , ). donde c a b= −2 2

Vértices: V=(-a,0) ; V’=(a,0).

Longitud del Lado Recto: 2b/a.

1F 2F



Excentricidad: e=c/a.

2.- Eje focal el eje Y

xb

ya

2

2

2

2 1+ = a b> .

Focos: F c F c1 20 0= = −( , ); ( , ). donde c a b= −2 2

Vértices: V=(0,-a) ; V’=(0,a).

Longitud del Lado Recto: 2b/a.


Ejemplo: Una Elipse tiene centro en el origen y su eje mayor coincide con el eje Y.Si uno de sus focos es el punto (0,3) y la excentricidad es igual a 0,5. Hallar lascoordenadas del otro foco las longitudes del eje mayor y menor, la longitud dellado recto y la ecuación de la elipse

Ecuación general de la Elipse: L a ecuación de la Elipse de centro (h,k) y ejefocal paralelo a uno de los ejes coordenados.

1.- Eje focal paralelo al eje X

( ) ( )x ha

y kb

− + − =2

2

2

2 1 a b> .

Focos: F h c k F h c k1 2= + = −( , ); ( , ). donde c a b= −2 2

Vértices: V=(h-a,k) ; V’=(h+a,k).

Longitud del Lado Recto: 2b 2 /a.


2.- Eje focal paralelo al eje Y

( ) ( )x hb

y ka

− + − =2

2

2

2 1 a b> .

Focos: F h k c F h k c1 2= − = +( , ); ( , ). donde c a b= −2 2



Vértices: V=(h,k-a) ; V’=(h,k+a).

Longitud del Lado Recto: 2b 2 /a.


Ejemplo: Los vértices de una elipse tienen coordenadas (-3,7) y (-3,1) y lalongitud de cada lado recto es 2. Determine todos los elementos de la elipse y sugráfica.



Ejercicios

1. En cada uno de los siguientes casos trace y discuta los lugares geométricos:

a.- 3649 22 =+ yx c.- 4002516 22 =+ yx

b.- 3694 22 =+ yx d.- 63 22 =+ yx

2. Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos (4,0) y (-4,0) ycuyos focos son (3,0) y (-3,0).

3. Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son (2,0) y (-2,0) y su excentricidades igual a 2/3.

4. Hallar la ecuación de la elipse que satisface cada caso:

a.- posee focos (3,8) y (3,2) y longitud de eje mayor 10.

b.- posee vértices (-3,-1) y (5,-1) y excentricidad ¾.

c.- posee vértices (2,6) y (2,-2) y longitud de lado recto 2.

5. En cada uno de los casos siguientes discuta y grafique el lugar geométrico:

a.- 0211664 22 =++−+ yxyx

b.- 037183294 22 =+−++ yxyx

c.- 010940104 22 =+−−+ yxyx

d.- 032849 22 =−−+ yyx

6. Encuentre la ecuación de la elipse que satisface las condiciones dadas:

1.- vértices )2,8(+ y focos )2,5(+

2.-vertices )2,5(+ y longitud del eje menor 3.

3.- centro en el origen y que pasa por los puntos (2,3) y (6,1).

7. El arco de un puente es semieliptico, con eje mayor horizontal. La base delarco tiene 30 mts de largo y su parte mas alta con respecto al suelo mide 10mts. Determine la altura del arco a 6 mts de la base.



8. Un cuadrado, cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados esta inscrito

en una elipse 12

2

2

2

=+by

ax

. Exprese el área A del cuadrado en términos de a y

.b

9. Dadas las siguientes ecuaciones, identifique aquellas que corresponden a unaelipse y determine las coordenadas del centro, de los focos y de los vértices,las longitudes de los semiejes y la excentricidad. Grafique:

a) x y x y2 24 6 32 0+ − + = b) 3 9 5 2 02x x y− − − = c) x y y2 24 8 0+ − =d) y y x2 4 6 8 0− + − = e) 9 4 362 2x y+ = f) x y x2 2 2 1 0− + − =g) 576169 22 =+ yx h) 524 22 =+ yx i) 0144724894 22 =++−+ yxyxj) 221548095 22 −=+−+ yxyx k) 3866 22 =+−+ yxyx l) 01915018259 22 =−−++ yxyx

10. En cada una de las siguientes elipses determine las coordenadas de losvértices , focos, y centro, determine además la longitud de los ejes y suexcentricidad

a) 1144169

22

=+ yx

b) 1128

22

=+ yx

c) 225x² + 289y² = 65025

11. Hallar las ecuaciones de las siguientes elipses de manera que satisfagan lascondiciones que se indican:

a) Focos (± 4 , 0) ; vértices (± 5 , 0)b) Focos (0 , ± 8) , vértices (0 , ± 17)d) Focos (0 , ± 6) , semieje menor igual a 8e) Focos (± 5 , 0) , excentricidad igual a 5/8

12. La Tierra describe una trayectoria elíptica alrededor del Sol que se encuentraen uno de los focos. Sabiendo que el semieje mayor de la elipse vale 1 485 108, ⋅kilómetros y que la excentricidad es, aproximadamente, 1/62; determine lamáxima y la mínima distancias de la Tierra al Sol.



3.4 La Circunferencia

Definición: La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos de unplano que se encuentran a la misma distancia de un punto dado fijo. Tal punto sedenomina centro y la distancia se denomina radio.

Proposición: Ecuación general de la circunferencia de centro en el punto (h,k) yradio r esta dada por:

( ) ( ) 222 rkyhx =−+− .

* ( )kh,



Ejercicios

1. Determine la ecuación de la circunferencia de radio 5 y que posee centro en elpunto de intersección de las rectas 02423 =−− yx y 0972 =++ yx .

2. Determinar la ecuación de la circunferencia circunscrita en el triángulo devértices A(0,2),B(0,0) y C(1,0).

3. Determine la ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta01223 =−+ yx y cuyo centro es (-4,1).

4. Dado el triángulo de vértices A(-1,0),B(2,9/4) y C(5,0):

1. Determine la ecuación de la circunferencia circunscrita en el triángulo

2. Determine la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo

3. Determine la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos mediosde los lados del triángulo.

5. Diga cuáles de las siguientes ecuaciones representa una circunferencia. En elcaso que alguna lo sea, determine su centro y su radio:

a) x y y2 2 2 1 0+ − − = b) 4 4 4 12 1 02 2x y x y+ − + + = c) 4 4 3 02x x y+ + − =d) x y x y2 2 2 4 5 0+ + + + = e) 4 4 4 8 21 02 2x y x y+ + − + = f) 16 9 1442 2x y+ =g) 16 9 1442 2x y− = h) x y x y2 2 2 2 2 0− + − + = i) x y2 2 9+ =j) 0102422 =+++ yxyx k) 0122822 =+−−+ yxyx l) 0124622 =−+−+ yxyxm)

072822 =+−−+ yxyxn) 0403641251313 22 =+−++ yxyx

o) 0631333 22 =++−+ yxyx p) 012101077 22 =−−−+ yxyx

6. Hallar la ecuación de la circunferencia:

a. De centro en el punto (3 , -1) y radio 5.

b. De centro en el punto (0 , 5) y radio 5.

c. De centro en el punto (- 4 , 2) y de diámetro 8 .

d. De centro en el punto (4 , -1) y que pase por (-1 , 3).

e. De diámetro el segmento que une los puntos (-3 , 5) y (7 , -3).



f. De centro en el punto (-4 , 3) y que sea tangente al eje Y.

g. De centro en el punto (3 , -4) y que pase por el origen.

h. De centro el origen y que pase por el punto (6 , 0).

i. Que sea tangente a los dos ejes coordenados, de radio 8 y cuyo centroesté en el primer cuadrante.

7. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos:

1. (4 , 5) , (3 , -2) y (1 , -4)2. (8 , -2) , (6 , 2) y (3 , -7)3. (1 , 1) , (1 , 3) y (9 , 2)4. (-4 , -3) , (-1 , -7) y (0 , 0)5. (1 , 2) , (3 , 1) y (-3 , -1)

8. Encuentre la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y estangente a la recta de ecuación y x= + 2 en el punto (1,3).

9. Determine la ecuación de la recta tangente a la circunferencia de ecuaciónx y x y2 2 8 6 0+ − + = , en el punto (1,1).

10. Determine la ecuación de la circunferencia tangente a las rectas de ecuacionesx y+ + =4 0 y 7 4 0x y− + = y que tiene su centro en la recta de ecuación4 3 2 0x y+ − = .

11. Encuentre la ecuación de la circunferencia de radio 5 que es tangente a larecta de ecuación 3 4 16 0x y+ − = , en el punto (4,1).

Determine la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos decoordenadas (6,2), (8,-2) y (3,-7). Encuentre su centro y su diámetro.



3.5 La Hipérbola

Definición: Una Hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en unplano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dospuntos fijos en el plano, llamados focos, es siempre constante, positiva y menorque la distancia entre los focos.

Los focos están designados por F y F’. La recta l que pasa por los focos sedenomina eje focal. El eje focal corta a la hipérbola en dos puntos V, V’denominados vértices. El segmento VV’ se denomina eje transverso. El puntomedio del eje transverso se denomina centro. La recta l’ que pasa por el centro yes perpendicular a l se denomina eje normal. El segmento AA’ se denomina ejeconjugado. La cuerda focal LL’ que es perpendicular al eje focal se denomina ladorecto.

Proposición: La ecuación de la hipérbola de centro en el origen y eje focalcoincidente con uno de los ejes coordenados es:

1.- Eje focal el eje X.

xa

yb

2

2

2

2 1− =

Focos: F c F c1 20 0= − =( , ); ( , ). donde c a b= +2 2

Vértices: V=(-a,0) ; V’=(a,0).




1.- Eje focal el eje Y.

ya

xb

2

2

2

2 1− =

Focos: F c F c1 20 0= − =( , ); ( , ). donde c a b= +2 2

Vértices: V=(0,-a) ; V’=(0,a).


Ejemplo: Los vértices de una hipérbola son los puntos V(0,3) y V’(0,-3) y susfocos son F(0,5) y F’(0,-5). Determine la ecuación de la hipérbola y todos suselementos.

Definición: Las rectas ybxa

= y ybxa

= − son las asintotas de la hipérbola.

Proposición: La ecuación de la hipérbola con centro en el punto (h,k) y eje focalparalelo a uno de los ejes coordenados es:

1.- Eje focal paralelo al eje X

( ) ( )x ha

y kb

− − − =2

2

2

2 1

Focos: F h c k F h c k1 2= − = +( , ); ( , ). donde c a b= +2 2

Vértices: V=(h-a,k) ; V’=(h+a,k).


2.- Eje focal paralelo al eje Y

( ) ( )y ka

x hb

− − − =2

2

2

2 1



Focos: F h k c F h k c1 2= − = +( , ); ( , ). donde c a b= +2 2

Vértices: V=(h,k-a) ; V’=(h,k+a).


Ejemplo: Discutir el lugar geométrico de ecuación:

9 4 54 8 113 02 2x y x y− − + + = .



Ejercicios

1. En cada uno de los siguientes casos determine todos los elementos de lahipérbola de ecuación:

a.- 3649 22 =− yx b.- 3649 22 =− xy

c.- 3694 22 =− yx d.- 44 22 =− yx

2. Los vértices de una hipérbola son los puntos(2,0) y (-2,0), y sus focos son lospuntos (3,0) y (-3,0). Hallar todos los elementos que la componen.

3. En cada determinar la ecuación de la hipérbola que satisface cada condición:

a.- Posee focos (-7,3) y (-1,3) y longitud del eje transverso igual a 4.

b.- Posee vértices (1,4) y (5,4) y longitud de lado recto igual a 5.

c.- Posee vértices (3,4) y (3,-2) y excentricidad igual a 2.

4. Hallar y trazar las asintotas de la hipérbola de ecuación 144916 22 =− yx .

5. Los vértices de una hipérbola son los puntos (-1,3) y (3,3) y su excentricidad es3/2. Determine todos los elementos que la componen.

6. Los vértices de una hipérbola son los puntos (-2,2) y (-2,4) y la longitud del ladorecto es 2. Determine todos los elementos que la componen.

7. En cada caso estudie minuciosamente las siguientes ecuaciones:

a.- 0413649 22 =−+−− yxyx . b.- 064363294 22 =+++− yxyx .

c.- 029165449 22 =+++− yxyx . d.- .0124 22 =+−− xyx

8. Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se muevede tal manera que su distancia al punto (3,2) es siempre igual al triple de sudistancia a la recta 02 =+x .

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