Tesis: Propuesta metodol´ogica para un curso introductorio...
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Tesis: Propuesta metodologicapara un curso introductorio deSistemas dinamicos discretos.
Hermelinda Servın Campuzano
Abril 2008
Indice general
Resumen I
Introduccion III
Justificacion V
Objetivos XV
1. Conceptos basicos 1
1.1. Sistemas dinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.1. Definiciones elementales de sistemas dinamicos . . . . . 7
2. Dinamica de la funcion cuadratica 11
2.1. Analisis grafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2. Orbitas de la funcion cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1. Analisis de los puntos fijos . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.2. Puntos especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3. Analisis de la funcion fc(x0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4. Orbitas periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3. Diagrama de bifurcacion 45
3.1. Analisis para −2 < c < 14
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2. Doblamiento del periodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3. Analisis para c = −2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4. Autosimilaridad 61
4.1. Familia cuadratica de dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 644.1.1. Sistemas dinamicos complejos . . . . . . . . . . . . . . 664.1.2. Conjunto de Mandelbrot . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.1.3. Conjunto de Julia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.1.4. El metodo de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . 714.1.5. Metodo de la secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Recomendaciones 77
3
4 INDICE GENERAL
Conclusiones 79
I Apendices 81
Practicas 83
A Orbitas de la funcion cuadratica 85
B Puntos periodicos 89
C Orbitas periodicas 91
D Bifurcacion 93
E Diagrama de bifurcacion 95
F Conjunto de Mandelbrot 99
G Conjunto de Julia 103
H Metodo de Newton-Raphson 107
I Metodo de la secante 111
Bibliografıa 117
Indice de figuras
1. Ubicacion esquematica de la asignatura Temas Selectos de Ma-tematicas II, del bachillerato general . . . . . . . . . . . . . . vi
1.1. Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Teorema del valor intermedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Punto fijo unico de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Puntos fijos: Los puntos de la interseccion que se muestran en
la grafica corresponden a los puntos fijos. . . . . . . . . . . . . 10
2.1. Grafica de fc(x) = x2 + c cuando c = 0 . . . . . . . . . . . . . 162.2. Grafica de fc(x) = x2 + c cuando c > 0 . . . . . . . . . . . . . 162.3. Grafica de fc(x) = x2 + c cuandoc < 0 . . . . . . . . . . . . . 162.4. Grafica de la funcion f(x) = x2, primer paso. . . . . . . . . . . 172.5. f(x) = x2 y y = x, segundo paso. . . . . . . . . . . . . . . . . 172.6. Se une x0 con q1 un segmento, tercer paso. . . . . . . . . . . . 182.7. Se obtiene q2, cuarto paso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.8. Se obtiene de q3, quinto paso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.9. Grafica de como se obtienen los qi, paso n. . . . . . . . . . . . 202.10. Obtencion de los puntos de la orbita de x2 + 1 mediante el
metodo del analisis grafico, con x0 = 1 y c = 1. . . . . . . . . . 222.11. Metodo grafico para analizar los puntos qi. . . . . . . . . . . . 232.12. Las intersecciones de las graficas muestran los puntos fijos. . 252.13. Cuando c es mayor que 1
4, las graficas nunca se intersectan y
todas sus orbitas tienden al infinito. . . . . . . . . . . . . . . . 262.14. Cuando c = 1
4se tiene un unico punto fijo en x = 1
2y las
orbitas de los puntos muy cercanos a 0 y menores que 14
tiendenal punto fijo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.15. Cuando c es menor que 14
se tienen dos puntos fijos y el com-portamiento de las orbitas ya no es predecible. . . . . . . . . . 28
2.16. Puntos fijos atractores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.17. Puntos fijos repulsivos, los puntos de las orbitas tienden a
alejarse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.18. Punto eventualmente fijo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5
6 INDICE DE FIGURAS
2.19. Cuando c es menor que 14
existe una variedad de puntos fijos:Atractores, repelentes, periodicos, eventualmente periodicos,etcetera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.20. Analisis grafico de f(x) = x2, cuando x0 esta muy cerca dex = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.21. Analisis grafico de f(x) = x2 cuando x0 es menor que uno. . . 332.22. Analisis grafico de f(x) = x2 cuando x0 es mayor que uno. Con
el analisis grafico se observa que efectivamente, las orbitas def(x) = x2 tienden al infinito cuando x0 es mayor que uno. . . 34
2.23. Una funcion de cuarto grado puede llegar a tener hasta cuatropuntos fijos (puntos de interccion), es decir, puntos de periododos de fc(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.24. f(x) = ax8 + bx7 + cx6 + dx5 + ex4 + fx3 + gx2 + hx + i:Una funcion de octavo grado puede llegar a tener hasta ochopuntos fijos o puntos periodicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.25. Los puntos de interseccion muestran los puntos fijos y pun-tos periodicos. La interseccion de las graficas de las funcionesf(x) = x (lınea recta inclinada a 45 grados) y f(x) = x2 − 1(parabola), muestra los dos puntos fijos. La interseccion de lasgraficas de las funciones f(x) = x y f(x) = (x2−1)2−1 = f 2
−1
muestra los cuatro puntos periodicos. . . . . . . . . . . . . . . 392.26. Orbitas periodicas de periodo dos de la funcion f−1 = x2 − 1;
mediante el analisis grafico. Las orbitas de −1 y el 0 son orbitasperiodicas y las orbitas que se encuentran entre los puntos P−y P+ oscilan entre −1 y 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.27. Orbita periodica cuando c=1.1 y x0 = −0.661894977. . . . . . 412.28. Orbita periodica cuando c=1.3 y x0 = 0.241619542. . . . . . . 41
3.1. Esta figura corresponde a la grafica formada por los puntos delas orbitas atractoras (eje ” y ”) de fc(x) = x2 + c, con x0 = 0;contra el parametro c (eje ” x ”) de −2 < c < 1
4. . . . . . . . 46
3.2. Diagrama de bifurcacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3. Bifurcacion de nodo-silla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4. Comportamiento de fc y fn
c con −34
< c < 14. . . . . . . . . . . 51
3.5. Bifurcacion de doble periodo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.6. Cuando c pasa de −3
4a −5
4, aparece una nueva orbita de pe-
riodo dos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.7. Cuando c = −1.5 f 4
c (x), dobla su periodo. . . . . . . . . . . . 543.8. Las graficas tienen exactamente 2n puntos fijos (intersecciones)
para cada n cuando c = −2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.9. Graficas de fn
c (x0), que muestran 2n puntos fijos para cada n. 563.10. El diagrama de bifurcacion, esta formado por los puntos pe-
riodicos atractores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
INDICE DE FIGURAS 7
4.1. Autosimilaridad en el diagrama de bifurcacion. . . . . . . . . . 614.2. Autosimilaridad en el diagrama de bifurcacion. . . . . . . . . . 624.3. Autosimilaridad de una hoja de helecho y fractales que se pue-
den incontrar en internet, tanto generados por un algoritmomatematico o simplemente que se encuentran en la naturaleza. 63
4.4. Fractales encontrados en internet. . . . . . . . . . . . . . . . . 644.5. Representacion grafica de los numeros complejos. . . . . . . . 644.6. Suma de numeros complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.7. Conjunto de Mandelbrot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.8. Conjunto de Mandelbrot, cambiando colores. . . . . . . . . . . 684.9. Conjunto de Mandelbrot, cambiando colores y haciendo acer-
camientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.10. Conjunto de Julia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.11. Conjunto de Julia, cambiando colores. . . . . . . . . . . . . . 704.12. Newton-Rapshon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.13. Newton-Raphson, cambiando colores . . . . . . . . . . . . . . 724.14. Metodo de la secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.15. Metodo de la secante, cambiando colores. . . . . . . . . . . . . 744.16. Metodo de la secante, cambiando colores y acercamientos. . . 744.17. FRACTALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Indice de cuadros
2.1. Orbitas de f(x) = x2 para algunos valores de x0 muy cercanosa 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2. Los datos corresponden a los primeros puntos de la orbita def(x) = x2 con x0 < 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3. Primeros puntos de las orbitas de f(x) = x2 cuando x0 > 1. . . 342.4. Puntos de las orbitas. Los puntos que resaltan son puntos pe-
riodicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1. Los numeros de la diagonal, representan los puntos periodicosde fn
c (x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2. Raıces de fn
c (x) = x, n = 1, 2, 3, . . . 7 . . . . . . . . . . . . . 583.3. Raıces de fn
c (x) = x, n = 8, 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
9
Resumen
El trabajo presente, es el resultado de una revision documental del tema
Sistemas dinamicos, un tema especıfico de matematicas avanzadas, el cual ha
sido revisado minuciosamente para exponerlo desde un punto de vista elemen-
tal, enfocado y propuesto como un curso introductorio de sistemas dinamicos,
enfocado principalmente estudiantes que cursan el ultimo semestre de nivel
medio superior o estudiantes que inician el nivel superior, pero que hallan
cursado el bachillerato fısico-Matematico. El curso propuesto esta sustenta-
do con los elementos de algebra y calculo elemental que se encuentran en los
contenidos en los programa de estudio del bachillerato general de la Subse-
cretaria de educacion media superior (DGC). Conforme avanza el trabajo se
introducen nuevos conceptos de sistemas dinamicos y algunos otros de pro-
gramacion. El conocimiento nuevo para los estudiantes, se introduce poco a
poco de forma logica, sistematica y dinamica. Esta tesis es una propuesta que
se hace con la finalidad de motivar e impulsar, ademas de proporcionarles a
los estudiantes, una vision mas amplia de: ¿que son?, ¿en donde? y ¿como?
se aplican las matematicas.
i
Introduccion
Uno de los problemas mas severos que afronta cualquier institucion edu-
cativa, es el de la gran cantidad de estudiantes que no les gustan los cursos
relacionados con las ciencias basicas, y que estan basados principalmente en
las matematicas. Tal pareciera que se trata de una epidemia, que no solo se
contagia, sino que se transmite de generacion en generacion. Existen muchos
trabajos en los cuales se cuestiona este tipo de problemas, pero que real-
mente se ha conseguido remediar muy poco. Se ha analizado muchas veces
los contenidos programaticos, su didactica y su aplicacion, y que al parecer,
es ahı donde radican varios problemas, uno de los mas importantes es el no
seguir adecuadamente una secuencia logica en los objetivos del aprendizaje,
otro problema que se ha podido observar en estos estudios (ver por ejemplo
[9]) es que los estudiantes no tienen la suficiente motivacion para estudiar
carreras relacionados con las matematicas, es por ello, que en el presente tra-
bajo se implementa de forma logica con la ambicion de buscar la motivacion
de los estudiantes.
Esta propuesta se puede implementar como un curso especial para el sex-
to semestre de nivel medio superior o primer semestre de nivel superior, es
un curso en donde se muestra una pequena parte de lo bello e interesan-
te que pueden ser las matematicas y en especial los ”sistemas dinamicos”,
ademas de que permite divulgar e informar en donde se puede aplicar las
matematicas, ya que no es comun para este nivel y que pudiese ser un te-
ma tan fuerte para que algunos estudiantes se inclinen un poco mas por las
matematicas. La propuesta pretende dar a conocer las nociones basicas so-
bre sistemas dinamicos, ası como, preparar el material didactico, como una
fuente mas de informacion, este tipo de informacion se encuentra en muchos
libros o en Internet pero seguramente en un lenguaje matematicamente so-
fisticado o de manera fragmentada, por lo cual, el material que se pone a
su disposicion, es tambien una sugerencia para alguien que no conoce mucho
iii
iv INTRODUCCION
de matematicas y que solo busca ideas de como abordar el tema sin tener
que manejar conceptos demasiado abstractos. Se muestra, como a partir del
conocimiento matematico basico de nivel medio superior, se puede construir
el conocimiento de sistemas dinamicos de una forma simple y natural. Se
pretende que este curso sea uno de los temas, que se pudiese implemetar de
los Temas Selectos de Matematicas, que se incluyen en los programas de las
materias optativas en los ultimos semestres de varios subsistemas de nivel
medio superior o un curso inicial de nivel superior, ası mismo, se pone a la
disposicion de cualquier docente familiarizado con nociones elementales de
calculo de una variable real.
Se ha seleccionado, como punto de estudio la funcion cuadratica, porque
de esta funcion se pueden obtener propiedades muy interesantes en cuanto a
sistemas dinamicos se refiere, y por otro lado, es una funcion con la que los
estudiantes, estan suficientemente familiarizados.
Se partira con una parametrizacion de la funcion cuadratica, haciendo un
analisis de ella, se iran introduciendo algunas definiciones intuitivamente y
repasando atras, ası como algunos conceptos basicos en sistemas dinamicos
que desde luego, no son parte en los contenidos de los programas a nivel medio
superior. Tales son los conceptos como orbitas, puntos fijos y bifurcaciones,
hasta llegar a fractales, se pretende que todos estos temas se aborden de
forma sencilla e intuitiva.
La tesis esta desarrollada en tres partes, una parte introductoria que
consta de la justificacion, los objetivos y la metodologıa de la propuesta, en la
segunda parte se muestra el material del curso propuesto y en la tercera parte
se muestran los resultados, el trabajo a futuro, los apendices y la bibliografıa.
Justificacion
En las ultimas decadas, el tema de ”sistemas dinamicos”ha tenido un auge
importante, con la llegada de las computadoras. Cientıficos de varias discipli-
nas han ayudado a desarrollar tecnicas geometricas y cualitativas al respecto,
y mas importante es el hecho de que han podido aplicar dichas tecnicas en
la solucion de una buena cantidad de problemas, en fısica, quımica, ecologıa
y economıa, principalmente.
La aplicacion de los sistemas dinamicos puede ser aun mas amplia, por
lo cual, resulta interesante su estudio. Desafortunadamente, el estudio de
estos temas de matematicas (en Mexico) se realiza casi exclusivamente en
cursos especiales a nivel licenciatura en matematicas o en cursos de posgrado,
salvo algunos proyectos ([5]) y libros de divulgacion ([7]). Es por ello, que
en el presente trabajo se busca empezar a introducir estos temas desde los
ultimos semestres de nivel bachillerato o inicio del nivel superior, usando
por supuesto, elementos de matematicas de acuerdo a dicho nivel. Adicional
a esto, para obtener los resultados deseados se requerira tambien, algunos
conocimientos de programacion basicos que les seran proporcionados, a traves
de ejemplos ilustrativos, en este mismo trabajo como parte de la propuesta.
La propuesta busca tener sustento bajo el modelo educativo actual. Donde
el aprendizaje en el modelo educativo actual es de caracter constructivista
y el profesor es un facilitador del conocimiento; el alumno debe aprender
de acuerdo al entorno que lo rodea. En este trabajo se hace de manifiesto,
ademas, la importancia del uso de equipos didacticos.
La rapida evolucion de la ciencia y la tecnologıa ha impulsado en el sis-
tema educativo del paıs la busqueda de programas, metodos y recursos, que
conlleven a elevar el nivel cultural y cientıfico de la poblacion, ası como incre-
mentar el numero de profesionistas en los campos cientıficos y tecnologicos.
Con la finalidad de brindar la formacion antes mencionada, se ha propuesto
la incorporacion de dos asignaturas: Temas Selectos de Matematicas I, para el
v
vi JUSTIFICACION
quinto semestre y Temas Selectos de Matematicas II para el sexto semestre,
en las cuales se muestran aplicaciones de las matematicas. Las asignaturas
mencionadas, pertenece al grupo disciplinario fısico matematico en las cuales
se puede introducir el tema de ”sistemas dinamicos”.
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Figura 1: Ubicacion esquematica de la asignatura Temas Selectos de Ma-tematicas II, del bachillerato general
El tema de ”sistemas dinamicos.en la asignatura de Temas Selectos de Ma-
tematicas II, o en un curso introductorio de nivel superior, es consecuente con
los contenidos de las asignaturas anteriores (referencia: planes y programas
de estudio de Colegio de Bachilleres del Michoacan):
Matematicas I
Programa:
Unidad I. Introduccion al Algebra.
Unidad II. Polinomios de una variable.
Unidad III. Ecuaciones de primer grado.
Unidad IV. Ecuaciones de segundo grado.
vii
Matematicas II
Programa:
Unidad I. Angulos y triangulos..
Unidad II. Polıgonos y circunferencia.
Unidad III. Las funciones trigonometricas.
Unidad IV. Las Leyes de Senos y Cosenos.
Matematicas III
Programa:
Unidad I. Sistema de ejes coordenados.
Unidad II. La lınea recta.
Unidad III. La circunferencia.
Unidad IV. La parabola.
Matematicas IV
Programa:
Unidad I. Relaciones y funciones.
Unidad II. Funciones polinomiales.
Unidad III. Funciones racionales.
Unidad IV. Funciones exponencial y logarıtmica.
Calculo diferencial
Programa:
Unidad I. Lımites.
Unidad II. La razon de cambio y la derivada.
Unidad III. Valores maximos y mınimos relativos y sus aplicaciones.
Temas Selectos de Matematicas I
Programa:
Unidad I Sistemas de Ecuaciones.
Unidad II Sistemas de Ecuaciones de 2◦ grado.
Unidad III Fracciones Parciales.
Unidad IV Induccion Matematica.
Unidad V Numeros Complejos.
Unidad VI Logaritmos.
viii JUSTIFICACION
A partir del sexto semestre los alumnos ya cuentan con los antecedentes
academicos necesarios, y de desarrollo cognitivo para el aprendizaje del tema
propuesto. El hilo conductor de todos los cursos del area de matematicas,
desde la perspectiva operativa es el algebra y los conectivos que les dan
secuencia, donde cada asignatura es la base de la inmediata superior. Con el
respaldo de las asignaturas mencionadas anteriormente se realizo el siguiente
programa, para el curso introductorio propuesto. El curso consta de cuatro
unidades como se muestra a continuacion:
Programa propuesto:
Unidad I Conceptos basicos.
Unidad II Dinamica de la funcion cuadratica.
Unidad III Diagrama de bifurcacion.
Unidad IV Autosimilaridad y fractales.
Propuesta metodologica
Clases teoricas. La preparacion del material, se ha hecho una revi-
sion bibliografica al respecto, es decir, se investigaron las asignaturas
anteriores e investigaron los contenidos de los programas, concluyen-
do que con los conocimientos previos, se espera obtener un dominio
adecuado de los contenidos teoricos mınimos necesarios para exponer
de manera clara e intuitiva, los conceptos fundamentales de sistemas
dinamicos, mediante una exposicion teorica frente al grupo por parte
del facilitador.
Practicas de laboratorio. Con el fin de que los estudiantes puedan
reproducir la mayor parte de lo publicado en este trabajo de tesis se
han elaborado programas de computadora (algoritmos) que son de facil
manejo y acceso , para que los estudiantes con ayuda del facilitador
realicen las practicas (ver la seccion de apendices).
Las actividades que se proponen en el trabajo son actividades guiadas por
el maestro, que consisten principalmente en: El uso de la calculadora, el ma-
nejo de software dinamico simple y el programar algunos algoritmos sencillos.
Para estas actividades se propone el uso de software libre, a continuacion se
explica la razon de esta eleccion.
ix
Software libre
Se ha considerado usar el software libre, debido a que: ”es el software
que, una vez obtenido, puede ser usado, copiado, estudiado, modificado
y redistribuido libremente”(Software libre, 2007), en adicion a que su
codigo de construccion esta abierto para cualquier proposito. La licencia
del software libre es denominada GNU-GPL que es una licencia creada
por la Free Software Foundation a mediados de los 80, y esta orienta-
da principalmente a proteger la libre distribucion, modificacion y uso
de software. Su proposito es declarar que el software cubierto por esta
licencia es software libre y protegerlo de intentos de apropiacion que
restrinjan esas libertades a los usuarios. ([13]). Esto implica que la ma-
yorıa del software libre es gratuito o de bajo costo en comparacion con
el software de algunas empresas comerciales. De modo mas preciso, el
software libre se refiere a cuatro libertades que poseen los usuarios del
software:
1. La libertad de usar el programa, con cualquier proposito.
2. La libertad de estudiar como funciona el programa, y adaptarlo a
las necesidades. El acceso al codigo fuente es una condicion previa
para esto.
3. La libertad de distribuir copias.
4. La libertad de mejorar el programa y hacer publicas las mejoras a
los demas, de modo que toda la comunidad informatica se benefi-
cie. El software libre esta disponible gratuitamente en Internet.
Breve historia del software libre
En 1985 Richard Stallman fundo la Free Software Fundation con el ob-
jetivo de crear y difundir el uso de programas libres, basados en que: el
software es una parte de la ciencia y como tal, debe ser compartido li-
bremente por toda la humanidad; los programas se pueden copiar, usar
y modificar sin mas restriccion que respetar su autorıa. Para ello, los
programas se distribuyen con el codigo fuente. El proyecto principal de
la Free Software Fundation es la creacion de un sistema operativo com-
patible con UNIX, pero totalmente libre. Este proyecto se llama GNU,
acronimo de GNU’s not UNIX. Consta de multitud de programas, en
constante desarrollo y expansion, pero hasta el momento, adolecıa de
x JUSTIFICACION
la parte mas interna y fundamental de un sistema operativo, un nucleo
bien depurado y operativo, ya que el proyecto HURD, que deberıa ha-
ber sido el nucleo de GNU, habıa pasado por muchos problemas en
su desarrollo. En 1991 el estudiante finlandes Linus Torvalds creo un
nucleo de sistema operativo (al que se le llamo ”Linux”) y lo ofrecio a la
comunidad por medio de Internet, para que sirviera de tema de estudio
y pudiera ser adaptado libremente. Es decir, lo ofrecio con la misma
filosofıa que el sistema operativo GNU, del que se sirvio. La union de
Linux, un nucleo, con GNU, el resto del sistema operativo, fue un exito
inmediato, y pronto se distribuyeron juntos, formando lo que se conoce
como GNU/Linux.
El software libre en la educacion.
El uso de software libre en la educacion tiene una gran cantidad de
beneficios sobre el uso de el software privativo entre las cuales se en-
cuentran:
• Promueve la creacion de profesionales independientes de un deter-
minado entorno de software. Cuando se ensena carpinterıa no se
ensena como usar una marca determinada de martillos o de sierras
electricas. Cuando se ensena a escribir no se ensena el uso de una
marca de plumas o bolıgrafos determinada. ¿Por que cuando se
ensena informatica, sı parece razonable ensenar a usar una deter-
minada marca de programas? ¿Hay razones para eso? Utilizando
software libre, mas que ensenar a utilizar un producto se ensena a
utilizar una tecnologıa, ya que este se apoya en estandares libres
y reconocidos.
• Reduce costos. El software libre al permitir su copia de manera
legal evita a las universidades tener que pagar una licencia por
cada maquina que posea con lo cual sumado a que gran parte del
software libre se distribuye de forma gratuita se traduce en un
enorme ahorro de recursos publicos. Otro punto a tener en cuenta
es que el costo de mantenimiento del software libre es menor de-
bido a su gran estabilidad y calidad que evita tener que reinstalar
completamente el software en los equipos cada lapsos cortos de
tiempo como sucede con el sistema operativo Windows. Ademas
xi
ASPECTO GNU/LINUX WINDOWS
FILOSOFIAEl sistema es libre,cualquiera lo puede usar,modificar y distribuir
Pertenece a Microsoft,unica companıa que lopuede modificar
PRECIOGratis,tantas licencias,como se desee
Segun las versiones,miles de pesos,cada licencia.
DESARROLLOMiles de voluntarios en todo elmundo cualquiera puede participar,pertenece a la comunidad”
Lo desarrolla Microsoft,que vende algunos datos tecnicosrelevantes y oculta otros
CODIGOFUENTE
Abierto a todos Secreto empresarial
ESTABILIDADMuy estable, los servidoresque lo usan pueden funcionardurante meses sin parar
Poco estable, es comun verseobligado a reiniciar el sistema.Los servidores no admiten masde un par de semanas sin reiniciar
SEGURIDADMuy seguro, tiene variossistemas de proteccion.No existen virus para Linux
Muy poco seguro, existenmiles de virus que atacansistemas Windows
FACILIDADDE USO
Poca en algunas aplicaciones Es muy sencillo de manejar
CONTROLADORESDE HARDWARE
Desarrollados por voluntarios;algunos dispositivos no funcionanen absoluto porque sus fabricantesocultan los de- talles tecnicos
Los fabricantes de dispositivossiempre los venden concontroladores para Windows,todos deben funcionar enpocos momentos.
DIFUSIONPoco extendido en hogares yoficinas, muy extendido enservidores.
Copa casi todo el mercado,salvo el de servidores
DISPONIBILIDADDE PROGRAMAS
Existen programas para casi todaslas aplicaciones, pero no hay tantavariedad como los programas paraWindows
Miles y miles de programasde todo tipo que se instalancon facilidad
PRECIO DE LOSPROGRAMAS
Existen programas de pago,pero lo mas habitual esque sean libres.
La mayor parte de losprogramas son de pago
COMUNICACION CONOTROS SISTEMASOPERATIVOS
Lee y escribe en sistemas de archivosde Windows, Macintosh, etc. Por red,se comunica con cualquier otro sistema
Solo lee y escribe sus propiossistemas de archivos, y presentaincompatibilidades entre algunasde sus versiones
el software libre permite reciclar equipos que hallan quedado ob-
soletos por los grandes requerimientos de los nuevos programas
privativos.
• Permite que los estudiantes puedan usar el mismo software con el
que se les ensena. El software libre permite que se hagan copias de
los programas y se distribuyan a los estudiantes de forma legal, lo
cual permite que los estudiantes puedan utilizar el mismo software
que utilizan en sus escuelas, en sus casas.
• Ofrece control sobre el software. Si no existe una herramienta in-
formatica que cubra un determinado requerimiento, es posible bus-
car una que haga lo necesario y se modifica la misma para que se
adapte a nuestras necesidades.
Para finalizar, se muestra una breve comparacion entre los sistemas ope-
rativos GNU/Linux y Microsoft Windows([10]).
El material didactico y metodologico que se presenta en el capıtulo de
practicas (apendices), esta dirigido a los estudiantes, pero no excluye a otros
usuarios que se interesen por el tema y que tengan conocimientos mınimos
xii JUSTIFICACION
de algebra y calculo elemental.
Estrategia de evaluacion sugerida
Evaluacion diagnostica. Su proposito es establecer un vınculo signifi-
cativo entre lo que el estudiante sabe, piensa o siente antes de iniciar su
proceso de aprendizaje sobre el contenido a abordar; tiene un caracter
descriptivo-cualitativo. Se aplica al inicio del curso y al inicio de cada
unidad tematica del programa, de esta manera se explora o recupera el
conocimiento formal o informal que implica dos cosas:
1. Dominio de los antecedentes academicos necesarios, conocimientos
previos formales, para comprender los contenidos planteados en el
curso.
2. Conocimiento informal de los contenidos que se abordaran en cada
unidad tematica, que daran pauta para conocer su predisposicion,
motivacion e interes.
Se sugiere aplicar una guıa de observacion o lista de cotejo, que incluya
cuestionamientos acerca de los procesos basicos del algebra, mismos
que han sido desarrollados en la asignatura de Matematicas I nivel
medio superior, estos deben dirigirse a temas tales como factorizacion,
identificacion de variables, resolucion de ecuaciones de primer y segundo
grado, manejo de expresiones algebraicas, entre otros; de esta forma se
obtendra en forma clara el nivel de los alumnos y se podran detectar
las areas de oportunidad del grupo para planear las actividades acorde
a las expectativas y necesidades grupales e individuales.
Evaluacion formativa. La evaluacion formativa tiene un caracter cua-
litativo, procesal, orientador y dinamico, ya que marcha paralelamente
con los objetivos tematicos, no se considera como parte de la calificacion
del estudiante. Permite conocer el avance en la adquisicion y dominio
de los nuevos aprendizajes, con el proposito de realimentar el proceso de
ensenanza y aprendizaje; a fin de detectar las dificultades, fortalecer los
logros y emprender actividades correctivas; ası mismo, valorar la perti-
nencia de los objetivos y metodos de ensenanza, la estrategia didactica
y los contenidos tematicos de los programas de estudio, respecto a la
secuencia y tiempo para abordarlos. Esta evaluacion considera:
xiii
• Contenido Declarativo: se evaluaran los conocimientos factuales y
conceptuales a partir de la comprension, por medio de su parti-
cipacion activa, discusion, que se manifieste en esquemas, mapas
conceptuales, algoritmos, justificaciones, solucion a problemas, en
donde el estudiante se auto evalue en forma individual y grupal,
ası como sus habilidades para: expresar en propias palabras los
terminos y metodos aprendidos, exponer y justificar sus resulta-
dos, resumir y comparar conceptos.
• Contenido Procedimental: se evaluaran las destrezas operativas, a
traves de la realizacion de trabajo individual o por equipos me-
diante reportes escritos, exposicion, planteamiento de conceptos,
mapas conceptuales, algoritmos y registros que determinan los ele-
mentos a evaluar.
• Contenido Actitudinal: se evaluaran actitudes o predisposicion po-
sitiva respecto al interes academico que el alumno manifieste en el
desarrollo de las actividades, el respeto, la tolerancia y la honesti-
dad durante el trabajo en el aula y fuera de ella, en las modalidades
individual y grupal, por medio de registros, guıas de observacion
que determinen los elementos a evaluar.
Evaluacion sumativa. Esta modalidad de evaluacion se aplica al final
de cada unidad y al termino del curso. Sus resultados se utilizan para
efectos de asignar una calificacion, acreditar conocimientos y promo-
ver al estudiante a otro nivel del proceso educativo. En forma paralela
al proceso formativo en el cual el estudiante trabaja en equipo, pro-
ducira en forma individual las evidencias crıticas de su aprendizaje,
es decir, aquellas que tienen un caracter integrador del objetivo de la
unidad, para presentarlas en su evaluacion final. Tales evidencias se
deberan acordar en trabajo de academia ası como su ponderacion para
la calificacion. Los instrumentos para recolectarlas (instructivos, cues-
tionarios, pruebas objetivas,etc.) tambien se elaboraran en trabajo co-
legiado junto con los instrumentos de evaluacion (guıas de observacion,
listas de cotejo, rubricas, escalas valorativas, plantillas de respuestas,
entre las mas comunes). Se sugiere considerar por lo menos una eviden-
cia de cada tipo que en conjunto integren los contenidos de la unidad
en terminos de conocimientos y capacidades practicas y/o creativas.
xiv JUSTIFICACION
Sugerencias para el portafolio de evidencias: Reportes sumativos o cua-
dernos de trabajo Producto: Reportes sumativos o cuadernos de tra-
bajo Desempeno: Participacion en actividades de trabajo cooperativo
Conocimiento: Prueba objetiva.
Objetivos
Proporcionar un curso introductorio de sistemas dinamicos basodo en
matematicas elementales.
Proponer un curso para la asignatura optativa de Temas Selectos de
Matematicas II, que se imparte a nivel medio superior, con el cual el
estudiante abordara conceptos basicos de los sistemas dinamicos en este
nivel.
Dar a conocer mediante una introduccion y de forma sencilla e intuitiva,
algunas de las ideas fundamentales de sistemas dinamicos. Estas ideas
introductorias a sistemas dinamicos incluyen las nociones de fractales,
uno de los conceptos interesantes que pueden hacer que los estudiantes
se interesen por las matematicas.
Hacer una profunda reflexion del enfoque, del estilo de la ensenanza de
la matematica necesaria en nuestros dıas y de la importancia de dejar
la impresion de estar generando nuevo conocimiento, de lo importante
que resulta sentir que se esta descubriendo algo nuevo.
Proporcionar el material didactico a profesores, estudiantes y personas
que esten interesados en el tema.
Con este material se pretende que el estudiante sea capaz de imple-
mentar algoritmos sencillos que permitan visualizar el comportamiento
de sistemas dinamicos reales y posiblemente complejos, y de detectar
su existencia. En el caso de los sistemas dinamicos complejos1. el es-
tudiante adquirira nociones de como se generan los conjuntos clasicos
como es el caso del conjunto de Julia y el conjunto de Mandelbrot.
1En este caso, sistemas dinamicos complejos se refiere a sistemas dinamicos con numeroscomplejos (C)
xv
Capıtulo 1
Conceptos basicos
En esta seccion se muestran los conceptos elementales necesarios, en
terminos de repaso, que de acuerdo a los planes de estudio el estudiante
de nivel medio superior obtuvo durante su trayectoria academica previa. La
pimera parte contiene los conocimientos previos, en la seccion (1.1) se in-
troducen los conceptos elementales de sistemas dinamicos y de ser necesario
algun otro concepto, que no sea mencionado en las secciones de este capıtulo
se introduciran en el momento adecuado. Para mayores detalles acerca de
este tema, ver por ejemplo, ([6]).
En principio, se considera la siguiente notacion.
Al conjunto de los numeros reales se les denota con la letra R.
R2 denota el conjunto de puntos del plano cartesiano.
Funcion
Para comenzar se tiene el concepto de funcion. Cuando en la vida coti-
diana se dice algo como: ”tu ida al cine esta en funcion de que recojas el
tiradero de tu cuarto”, lo que se trata de decir es que una cosa (ir al cine en
este caso) depende de otra (asear el cuarto), es decir una cosa condiciona a
la otra. En matematicas el concepto es muy similar.
Definicion 1 Funcion Una funcion es un conjunto de pares ordenados de
elementos tales que ningunos dos pares distintos tienen el mismo primer
elemento. El conjunto de los primeros elementos de los pares ordenados
se llama dominio de la funcion, y el conjunto de los segundos elementos
contradominio o ambito de la funcion. De manera matematica, una funcion
1
2 CAPITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
se denota como f : A → B, que quiere decir que la funcion considerada tiene
al conjunto A de dominio y al conjunto B de contradominio.
En otras palabras, suponga que se tiene un par de conjuntos, A y B y que
se establece una relacion entre ellos de tal forma que siempre que se escoge
un elemento del conjunto A la relacion entrega exactamente un elemento del
conjunto B, es decir, el elemento de B esta en funcion del elegido en A. La
restriccion es que no es posible que al elegir un elemento de A la relacion
entregue dos o mas elementos de B o no entregue ninguno, sino que debe
entregar exactamente uno. Eso es una funcion: un vınculo entre dos conjuntos
que relaciona a cada elemento de uno de ellos, al que se denomina el dominio
de la funcion, con otro llamado contradominio de tal forma que cada elemento
del dominio esta vinculado con uno y solo uno del contradominio.
Ejemplo 1 Funcion En mi casa suelo juntar mis calcetines por pares con
un nudo, de forma que no pueda perder ninguno de los miembros del par
(o pierdo ambos o ninguno), yo solo tengo un par de cada color, ası que
si entreveo en mi cajon uno de mis calcetines azules y lo jalo, seguramente
secare mi par de calcetines azules y no solo el que alcance a ver. Eso es
una funcion. Donde el conjunto A podrıa ser un conjunto constituido por
un calcetın de cada par (derechos) y el conjunto B el conjunto del resto de
los calcetines (izquierdos). Los nudos constituyen la funcion de A a B, cada
nudo relaciona un elemento de A con uno y solo uno de B. Generalmente
se utilizan letras minusculas para denotar los elementos de los conjuntos,
ası que se puede decir; si a es un calcetın del conjunto A y b es el que
le corresponde del conjunto B entonces el nudo entre ellos es una funcion
f tal que f(a) = b. Para especificar que una funcion tiene dominio A y
contradominio B se escribe ası f : A → B.
Definicion 2 Funciones reales
Sea f : R → R. Una funcion f es real si tanto el dominio como el contra-
dominio son subconjuntos de los reales, es decir, es una regla que asigna a
cada elemento x en R un elemento unico y en R. Si la definicion de funciones
reales presenta dificultades a los estudiantes, puede consultar cualquier libro
de calculo elemental (ver por ejemplo ([14] )).
Definicion 3 Funcion identidad
Es la funcion que tiene a R, como su dominio y como su regla de corres-
pondencia a f(x) = x.
3
Definicion 4 Grafica
Si f es una funcion real de variable real, entonces la grafica de f es el
conjunto de pares ordenados de f considerados como un conjunto de puntos
en R2.
Definicion 5 Derivada
Sea f : R → R. La derivada de f en x es el siguiente lımite si existe.
f ′(x) = limh→0f(x + h) − f(x)
h
La derivada de f(x) en x se denota por f ′(x), la segunda derivada por
f ′′(x) y la derivada k-esima por f (k)(x). Geometricamente la derivada se
interpreta como la pendiente de la lınea tangente que pasa por el punto de
la grafica de la funcion en donde se evalua la derivada.
Nota:
La composicion de dos funciones se denota por (f ◦ g)(x) = f(g(x)). La
n-esima composicion se denota por fn(x) = (f ◦ ... ◦ f)(x). Notar que fn no
es lo mismo que la n-esima potencia de f(x), ni tampoco la n-esima derivada.
Otras nociones elementales son el teorema del valor medio y el teorema
del valor intermedio.
Teorema del valor medio
Si f : [a, b] → R es continua en [a, b] donde a < b y diferenciable en (a, b),
entonces existe un punto cǫ(a, b) tal que,
f(b) − f(a) = f ′(c)(b − a)
c
Teorema del valor medio
bax
y
Figura 1.1: Teorema del valor medio
4 CAPITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
Teorema del valor intermedio
Si f : [a, b] → R es continua sobre [a, b] y f(a) < f(b) y si t es un numero
cualquiera tal que f(a) < t < f(b), entonces existe un punto cǫ(a, b) tal que
f(c) = t.
a c b
f(b)
f(a)
t=f(c)
x
y
Teorema del valor intermedio
Figura 1.2: Teorema del valor intermedio
Corolario
Si f es continua en [a, b] y f(a) y f(b) tienen signos opuestos, entonces
existe un numero cǫ(a, b) tal que f(c) = 0.
Definicion 6 Puntos fijos
Sea f:R → R. Los puntos fijos de f(x) son todos los puntos que cumplen
con lo siguiente: f(x) = x.
Estos puntos toman un rol muy especial en la teorıa de sistemas dinami-
cos. Es por ello que vale la pena repasar este tema para recordar a que refieren
estos puntos. Por ejemplo, la funcion f(x) = x2, tiene un punto fijo en x = 1,
5
porque, f(1) = 12 = 1. Un primer cuestionamiento sera, dada una funcion
cualquiera f(x), ¿tiene puntos fijos?, y si es ası, ¿cuantos puntos fijos tiene?.
En algunas ocasiones, la respuesta se encuentra aplicando el teorema del va-
lor intermedio ası como un criterio. En este momento, se hace notar la gran
utilidad de las matematicas formales, en el sentido de que aun sin obtener
los valores de los puntos fijos, se puede saber que estos existen, bajo ciertas
condiciones de la funcion.
Proposicion 1 Criterio para conocer la existencia de los puntos fijos
Sea I = [a, b] un intervalo y sea f : I → I continua. Entonces f(x) tiene
al menos un punto fijo en I.
El criterio para conocer la existencia de los puntos fijos establece, en que
condiciones el conjunto de puntos fijos no es vacıo.
Proposicion 2 Existencia de un punto fijo unico
Sea f : I → I y |f ′(x)| < 1 para todo x en I, entonces existe un punto
fijo unico de f(x) en I siempre que:
|f(x) − f(y)| < |x − y|
para todo x y y que se encuentren en I, x 6= y.
ba
f(a)
c
f(b)
f(c)
x
y
Figura 1.3: Punto fijo unico de f .
6 CAPITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
Una vez que se tiene certeza de la existencia de al menos un punto fijo
de alguna funcion de variable real, el siguiente cuestionamiento es, ¿como se
encuentran los puntos fijos de alguna funcion en particular?. Pareciera que
la respuesta no es muy complicada, sin embargo, la busqueda de puntos fijos
se traduce a la busqueda de las raıces de la ecuacion: f(x) = x, es decir, la
interseccion de la funcion de la cual se pretende conocer los puntos fijos con
la funcion identidad. La solucion de la ecuacion depende de la funcion que
se este considerando, en ocasiones es una tarea bastante complicada, como
se vera con mayor detalle en la seccion (1.1.1) y (2.1).
1.1. Sistemas dinamicos
Para empezar a entender lo que son los sistemas dinamicos, es necesario
tener nociones basicas acerca de algunos otros conceptos, que muy proba-
blemente los estudiantes de nivel medio no conozcan, tales como los puntos
fijos, los puntos atractores, los puntos periodicos, las iteraciones, etc. estos
conceptos son esenciales para explicar lo que pasa con un sistema dinamico
es por ello que la seccion (1.1.1) esta dedicada a estos conceptos necesarios.
La seccion (1.1.1) contiene el material necesario para desarrollar el curso pe-
ro tambien se pueden ayudar con otros muchos libros (ver por ejemplo [14]
o cualquiera de los referidos en los programas de estudio del bachillerato
general).
La primer pregunta es: ¿Que son los sistemas dinamicos? Para empezar a
dar respuesta a esta pregunta considerese el siguiente ejemplo: Se quiere sa-
ber que tan rapido se pudre una manzana, para resolver el problema se puede
realizar una medicion, en el laboratorio, de la cantidad de bacterias que pro-
vocan la pudricion de las manzanas, y observar como aumenta y en cuanto
tiempo. Si en un tiempo inicial hay x bacterias (x representa la cantidad de
bacterias) y despues de 5 horas la cantidad de bacterias ha aumentado, apro-
ximadamente el doble. Se puede hacer un modelo matematico para describir
la situacion, mediante una regla que asigne cada x a doble de este, es decir,
con la funcion f(x) = 2x. Esta regla expresa que la cantidad de bacterias au-
menta el doble cada 5 horas. Entonces si se conoce el valor de x se puede saber
cuantas mas habra en un determinado tiempo y ası saber cuando se pudre la
manzana. Es decir, si la cantidad inicial de bacterias es x = 10, 000, entonces
despues de 5 horas se tendra una poblacion de bacterias de 20, 000. Esto es:
1.1. SISTEMAS DINAMICOS 7
f(10, 000) = 2(10, 000) = 20, 000, esto quiere decir, que aumento el doble
y diez horas despues tendra 40, 000 f(f(10, 000)) = f(20, 000) = 40, 000, y
ası sucesivamente.
El sistema dinamico consiste de un conjunto de posibles estados, junto
con una regla que determina el estado presente en terminos de los estados
pasados ([12]). Es decir, el estudio de modelos matematicos que consideran
la evolucion en el tiempo. En el ejemplo anterior se ha empezado a discutir
un sistema dinamico simple cuyos estados son las cantidades de bacterias
en un determinado tiempo. El sistema cambia con el tiempo bajo la regla
xn = f(xn−1) = 2xn−1, el estado actual (xn) depende del anterior (xn−1).
En este caso, n denota el tiempo y xn la cantidad de bacterias al tiempo
n. Otra definicion de sistema dinamico es: el estudio de una funcion que se
mapea (Def. 1.1.1) en sı misma, puede depender de una o varias variables,
y el objetivo del estudio es predecir su comportamiento cuando cambian
los parametros (valores), que involucra la funcion. El objetivo principal de
sistemas dinamicos es conocer la estructura de las orbitas (ver la seccion
(1.1.1)).
Existen dos clases de sistemas dinamicos: unidimesionales y de varias di-
mensiones ([12]). Dentro de los primeros se encuentran sistemas dinamicos
lineales, cuadraticos etc., y dentro de los sistemas dinamicos de dos dimen-
siones se encuentran, los sistemas dinamicos complejos.
1.1.1. Definiciones elementales de sistemas dinamicos
El objetivo principal en el estudio de un sistema dinamico como se men-
ciono en la seccion anterior, es conocer la estructura de las orbitas. Una forma
para ayudar a entender el concepto de orbita de una manera intuitiva es la
siguiente. Con ayuda de una calculadora de bolsillo siga los siguientes pasos:
1. Escoja cualquier numero ( por ejemplo, 1).
2. Tome como referencia alguna funcion (podrıa ser x2 − 0,2).
3. Con la ayuda de alguna calculadora, aplique la funcion, es decir sustituir
el numero que escogio por la x (en el ejemplo 12 − 0,2).
4. Del paso anterior se obtuvo un numero (en el ejemplo 0,8), entonces a
este nuevo numero se le vuelve aplicar la funcion (en el ejemplo (0,8)2−0,2).
8 CAPITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
5. Repetir el mismo procedimiento muchas veces.
Observar los resultados y comentarlos, se propone hacer varios ejercicios de
esta ındole, con diferentes funciones conocidas y diferentes numeros, por
ejemplo, la funcion exponencial, Despues de seguir este procedimiento se
obtendra una sucesion de numeros x, ex, eex
, eeex
, ha este procedimiento se le
llama iterar una funcion, es decir, se ha iterado la funcion exponencial y a
los numeros de la sucesion forman una orbita. Realizando este proceso para
algun valor inicial x, puede observar en algunas cuantas iteraciones aparece
el mensaje de desbordamiento (overflow) en la calculadora, en el caso de la
funcion exponencial e quiere decir que para cualquier eleccion de x las ite-
raciones sucesivas de la exponencial tienden (se van) al infinito. De manera
similar se puede tomar alguna otra funcion para observar que pasa con algu-
nas de sus orbitas. En general, existe un definicion de orbita para cualquier
funcion y se define a continuacion.
Definicion 7 Orbitas
Sea f : R → R. La orbita de x es el conjunto de puntos x, f(x), f 2(x), ...
y se denota por O(x).
Ademas del concepto de orbita, en sistemas dinamicos es importante con-
siderar el concepto de punto fijos y el de punto periodico, pues en terminos
de ellos se describe la .estructura”de los sistemas dinamicos.
Definicion 8 Punto periodico
Sea f:R → R el punto x es un punto periodico de periodo n de f(x) si
existe n, tal que fn(x) = x. Pero f i(x) 6= x para 0 < i < n.
El menor entero positivo n para el que fn(x) = x es llamado periodo
principal de x y es de periodo n si y solo si, x es punto fijo de fn.
Definicion 9 Orbita periodica
Sea f:R → R y x un punto periodico de periodo n, al conjunto de iteracio-
nes de x se le llama orbita periodica de periodo n. El numero de elementos
de una orbita periodica es n.
Definicion 10 Punto eventualmente periodico
Sea f : R → R un punto x es un punto eventualmente periodico de
periodo n, si no es periodico y ∃ m > 0 tal que fn+i(x) = f i(x) para todo
i ≥ m, donde f i(x) es periodico para i ≥ m.
1.1. SISTEMAS DINAMICOS 9
Definicion 11 Mapeo Sea f : I → J, tal que, I pertenece a R y J pertenece
R, se dice que f es un mapeo de I en J .
Para conocer las orbitas periodicas de un sistema dinamico, como en
el caso de los puntos fijos, es necesario resolver ciertas ecuaciones, que en
muchas veces tienen un alto grado de dificultad, en el ejemplo (ejemplo 2)
se puede notar la diferencia, entre resolver la ecuacion analıticamente, es
decir, de manera algebraica y analizar graficamente las mismas, con la ayuda
de la computadora y algun programa computacional, como por ejemplo, el
“kmplot”, del software libre, con el que se pueden visualizar las graficas de
funciones. Las dificultades que se presentan mediante el metodo analıtico, que
van desde equivocarse en un signo en el despeje, hasta saber de que tipo de
soluciones tiene la ecuacion (reales o complejas), sin embargo observando la
grafica de la funcion, el trabajo laborioso se reduce y es muy simple observar
los puntos de interseccion entre la recta y = x y f(x) que seran en este caso
los puntos fijos de f(x). Para ilustrar lo anterior, considerese el siguiente
ejemplo.
Ejemplo 2 La funcion f(x) = x3 tiene al 0, 1 y al -1 como puntos fijos.
Para probar esto, primero se procede de forma algebraica. Utilizando la
definicion de puntos fijos se tiene que:
f(x) = x,
por lo tanto x3 = x,
y factorizando, x3 − x = 0,
se obtiene: x(x2 − 1) = 0.
De aquı x = 0, o x2 − 1 = 0.
Resolviendo x2 − 1 = 0, se obtiene, x = 1, y x = −1. Por lo tanto,
f(x) = x3 tiene tres puntos fijos los que tambien son puntos periodicos, pues
las unicas soluciones de la ecuacion fn(x) = x son: 0, 1 y −1. Mediante una
grafica se pueden observar los puntos en donde f(x) = x, es decir, los puntos
de interseccion de las graficas y = x y f(x) (figura 1.4).
10 CAPITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
y=x
y=x3
Figura 1.4: Puntos fijos: Los puntos de la interseccion que se muestran en lagrafica corresponden a los puntos fijos.
Capıtulo 2
Dinamica de la funcion
cuadratica
El objetivo del capıtulo es mostrar que estudiar la dinamica de una fun-
cion sencilla conduce a un problema muy interesante y bastante complicado.
La funcion que se ha elegido, en este caso, es la funcion cuadratica, esto es,
sea fc : R → R, donde fc(x) = x2 + c; donde c un numero real o dicho de
otra forma, es un parametro real. La eleccion de esta funcion como punto
de partida, es una de las propuestas principales del presente trabajo. En pri-
mera instancia, se considera que la funcion cuadratica es lo suficientemente
familiar para los estudiantes de los ultimos semestres de nivel medio supe-
rior, dado que es parte del material que se incluye en los primeros cursos de
matematicas, (el plan curricular se encuentra dentro de la justificacion). Por
otro lado, la funcion cuadratica es util cuando se modela matematicamente,
por ejemplo, el movimiento parabolico, esto es, el movimiento que resulta de
lanzar una piedra o patear un balon de futbol. Este tema se aborda en el cur-
so de Fısica I de cualquier bachillerato. En segunda instancia, esta funcion
es el ejemplo mas sencillo desde el que se pueden explorar las estructuras
matematicas propias del caos. Su origen se describe en el siguiente ejemplo:
En biologıa, comunmente se requiere conocer la evolucion de una cierta
especie. Supongase que se desea saber como evoluciona la poblacion de peces
en un criadero, por lo cual, un problema importante es construir un modelo
matematico que permita predecir la conducta de la poblacion en un tiempo
determinado. Para esto, considerese el modelo biologico mas sencillo de cre-
cimiento de una poblacion, cuya razon de cambio en el tiempo, que se denota
pordP
dt, es directamente proporcional a la poblacion presente en un tiempo
11
12 CAPITULO 2. DINAMICA DE LA FUNCION CUADRATICA
determinado, siendo k la constante de proporcion que depende del caso en
consideracion. Si P (t) denota la poblacion en un cierto tiempo t, entonces,
el modelo matematico se expresa:
dP
dt= kP.
La solucion de esta ecuacion diferencial 1 es P (t) = P0ekt, y representa
la poblacion en cualquier tiempo t, donde P0 = P (0) es el valor inicial de
la poblacion y se supone conocida. Este modelo implica un crecimiento o
decrecimiento exponencial de la poblacion. De esta forma, si k > 0 enton-
ces, la poblacion crecerıa indefinidamente a traves del tiempo, en lenguaje
matematico, esto se escribirıa ası P (t) → ∞ cuando t → ∞, pero si k < 0,
entonces la poblacion disminuirıa y a traves del tiempo se extinguirıa, es
decir, P (t) → 0, cuando t → ∞.
Este modelo simple puede tambien ser estudiado matematicamente, como
una ecuacion de diferencias de la siguiente manera. Sea Pn, la poblacion
despues de n generaciones, donde n es un numero natural. Supongase que
la poblacion de la generacion siguiente, es directamente proporcional a la
generacion presente, similar al caso anterior. Esto es:
Pn+1 = kPn donde k es una constante
Se tiene entonces:
P1 = kP0
P2 = kP1 = k2P0
P3 = kP2 = k3P0
:
:
Pn = kPn−1 = knP0
En este caso, realizando el analisis, si k > 1, Pn → ∞ mientras que si
0 < k < 1, entonces Pn → 0.
Esta ecuacion de diferencias se puede expresar en terminos de una fun-
cion. Sea x = P0 y sea f(x) = kx, por lo cual se nota que, f(x) = P1,
f(f(x)) = k2x = P2, f(f(f(x))) = P3, etc. Por lo que, el comportamiento
1Basicamente, el estudio de sistemas dinamicos ha evolucionado a razon de entender elcomportamiento de las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. Intuitivamente,una ecuacion diferencial ordinaria es una ecuacion en donde la incognita se encuentra enterminos de su derivada.
13
de la poblacion se relacionara con el comportamiento de las iteraciones de la
funcion, es decir, de su dinamica.
En cuanto a los modelos anteriores para predecir el crecimiento de una
poblacion, se puede decir que son demasiado simples, porque solo se puede
llegar a dos posibilidades, crecimiento ilimitado o extincion. La experiencia
obtenida en el campo de la biologıa sugiere que la evolucion de la poblacion
de alguna especie es mucho mas complicada, debido a ello se han considerado
modelos mas plausibles, pero mas complicados, como suponer que existe un
lımite L, para el crecimiento de la poblacion P (t) de la especie. Si P (t) excede
a L, la poblacion deberıa decrecer, por factores tales como, escasez de comida.
Por otra parte, si P (t) < L, entonces P (t) tenderıa a crecer hasta alcanzar el
lımite L. Un modelo matematico que es consistente con este comportamiento
es:dP
dt= kP (L − P ) (2.1)
Notese que este modelo difiere en el anterior por el factor (L − P ).
Cualitativamente, suponiendo que k > 0 se observa que:
Ejemplo 3 Si P = L, dPdt
= 0, esto es, si la poblacion ha tomado el
valor lımite, entonces no habrıa cambio en la poblacion.
Si P > L, dPdt
< 0, es decir si P ha excedido a L, la poblacion tendera a
decrecer.
Si P < L, dPdt
> 0, entonces la poblacion tenderıa a crecer.
No es difıcil solucionar la ecuacion (2.1), se resuelve de manera explıcitadPdt
= kP (L − P )
Integrando la ecuacion∫
dPP (L−P )
=∫
kdt
Por fracciones parciales se obtiene1
P (L−P )= 1
LP+ 1
L(L−P )
∫
dPP (L−P )
=∫
(
1LP
+ 1L(L−P )
)
dP =1
L
∫
dPP
+ 1L
∫
dPL−P
= 1L
(ln P − ln (P − L))
Por lo tanto,1L
(ln P − ln (P − L)) = kt + c
Despejando P (t), con la condicion inicial P (t = 0) = P0, finalmente se
obtiene
P (t) =LP0e
Lkt
L − P0 + P0eLkt=
LP0
(L − P0)e−Lkt + P0
14 CAPITULO 2. DINAMICA DE LA FUNCION CUADRATICA
Desde este punto de vista, el modelo planteado quedara completamente
determinado, porque se pueden estudiar las distintas soluciones de acuerdo
a los distintos valores de L, P0 y k, que dependen del caso analizado.
De la misma manera que el caso anterior, se puede considerar el mode-
lo usando ecuaciones de diferencias y se esperarıa encontrar resultados muy
similares con el modelo de la ecuacion diferencial. Sin embargo, sorprenden-
temente, se encuentra que la ecuacion de diferencias conduce a uno de los
sistemas dinamicos mas complejos que se pueda imaginar. Para plantear el
modelo de la ecuacion de diferencias, se considera primero una simplificacion.
Se supone que L = 1 es el valor lımite. Esto es, en lugar de poblacion, se
considera porcentajes de la misma. Sea Pn el porcentaje de la poblacion en
la generacion n, en este caso la ecuacion de diferencias se escribe como:
Pn+1 = kPn(1 − Pn) donde k es constante
De igual manera que en el caso anterior, sea x = P0 y f(x) = kx(1 − x) que
a diferencia de la funcion anterior que era lineal, es una funcion cuadratica
de donde se tiene que:
P1 = f(x)
P2 = f(f(x))
P3 = f(f(f(x)))
:
:
Esta funcion f es conocida como funcion logıstica, mapa logıstico, mapa
cuadratico, mapa de Feigenbaum, parabola logıstica de Robert May o fun-
cion de Verhulst, cuya dinamica ha sido objeto de estudio de la matematica
contemporanea. Actualmente el caos esta empezando a tener una posicion
importante para la explicacion de fenomenos incluso en ciencias sociales. En
referencia al mapa logıstico, desde una vision antropologica se propone ([11]):
”Conjeturo que sera mas motivador realizar la ejemplificacion en base a ella
y no mediante fenomenos alejados de la semantica de la sociedad y la cul-
tura, como las pistas de esquı, las palanganas vibrantes, los pendulos con
rozamiento, las reacciones autocatalıticas o la transformacion del panadero,
con las que los cientıficos dados a la divulgacion acostumbran poblar sus pe-
dagogıas”. Este punto de vista es consistente con el modelo constructivista.
En el presente trabajo no se estudiara la dinamica de la funcion cuadratica
escrita en la forma f(x) = kx(1 − x), si no de la funcion fc(x) = x2 + c por
2.1. ANALISIS GRAFICO 15
razones didacticas, ademas que desde el punto de vista de sistemas dinamicos
son equivalentes ([3]). Como se ha estado mencionando, el estudio desde el
punto de vista de sistemas dinamicos, se realizara al analizar el comporta-
miento y estructura de las orbitas, es decir, de los puntos x, fc(x), f 2c (x), etc.,
para diferentes valores del parametro real c, los calculos de fnc (x) se realizan
mediante la composicion de funciones, que como ya se ha mencionado, antes
se entiende como la aplicacion sucesiva de alguna funcion empezando con
un valor inicial. Existen diversas maneras en las que se pueden estudiar las
orbitas de alguna funcion, por ejemplo, se puede simplemente tomar algun
numero y con ala ayuda de una calculadora de bolsillo se empezaran estudiar
las orbitas y lo que sucede con estas. De la misma manera, pero ahora, con la
ayuda de una computadora, se puede usar alguna hoja de calculo. No es difıcil
darse cuenta de que este no es para nada un trabajo sencillo, pues se tendrıa
que decir que pasa para cualquier valor de x y para cada valor de c. Por lo
cual, implica una gran cantidad calculos y de tiempo, incluso con la ayuda de
las computadoras. En estos casos es de mucha utilidad y es sencillo observar
el comportamiento de las orbitas mediante un graficador computacional. Con
el uso de un graficador se considera un metodo cualitativo alternativo para
estudiar las orbitas que es llamado analisis grafico.
2.1. Analisis grafico
Una forma cualitativa de observar el comportamiento de las orbitas de
una funcion es mediante el analisis grafico, donde se puede observar paso a
paso, lo que va sucediendo con los elementos de las orbitas, ademas de ser
un metodo sencillo de manejar. Antes de iniciar la explicacion del metodo
grafico que intuitivamente sirve para observar el comportamiento de una
orbita,se analizara la grafica de la funcion cuadratica, para observar como
se comporta cuando cambia el valor de c. En la grafica correspondiente a la
funcion cuadratica fc(x); figuras (4.5, 2.2 y 2.3) respectivamente, se muestra
su comportamiento.
Para c > 0, la grafica se encuentra por encima del eje X, ver figura (4.5).
Para c = 0, la grafica se encuentra sobre el eje X, ver figura (2.2) y
para c < 0, la grafica se encuentra por debajo del eje X, ver figura (2.3).
16 CAPITULO 2. DINAMICA DE LA FUNCION CUADRATICA
x
y
f(x)=x2
Figura 2.1: Grafica de fc(x) = x2 + c cuando c = 0
Y
x
f(x)=x +c2
Figura 2.2: Grafica de fc(x) = x2 + c cuando c > 0
x
y
f(x)=x +c2
Figura 2.3: Grafica de fc(x) = x2 + c cuandoc < 0
2.1. ANALISIS GRAFICO 17
El analisis grafico (ver [3]) se hace de la siguiente forma:
1. Se grafica la funcion que se quiere analizar, en este caso, se toma como
ejemplo, f(x) = x2.
x
y
f(x)=x 2
Figura 2.4: Grafica de la funcion f(x) = x2, primer paso.
2. Luego se grafica la funcion identidad y = x.
x
yf(x)=x
f(x)=x
2
Figura 2.5: f(x) = x2 y y = x, segundo paso.
18 CAPITULO 2. DINAMICA DE LA FUNCION CUADRATICA
3. Se toma un punto x0 sobre el eje ′′x′′ y se le asocia con un segmento de
recta paralela al eje ′′y′′, que comienza en x0 y termina donde se inter-
secta con la grafica correspondiente a f(x), en el punto de coordenadas
(x0, f(x0)), obteniendo ası la primera iteracion f(x0).
(x , f(x ))
x
y
f(x)=x
f(x)=x
00
2
����
q1
x0
Figura 2.6: Se une x0 con q1 un segmento, tercer paso.
4. Despues se asocia este punto q1 a la recta con otro segmento de recta
paralelo al eje ′′x′′ que comienza en q1 y termina en la recta corres-
pondiente a la grafica de la funcion lineal, en el punto de coordenadas
q2 = (f(x0), f(x0)).
(x , f(x ))
x
y
f(x)=x
f(x)=x
00
2
(f(x ), f(x ))
2���
���
���
���
q1
x0
0 0
q
Figura 2.7: Se obtiene q2, cuarto paso.
5. Asociando el punto q2 del paso anterior, con un segmento de recta para-
lelo al eje ′′y′′ con la grafica de f(x), obteniendo el punto (f(x0), f(f(x0))) =
(f(x0), f2(x0)) = q3.
2.1. ANALISIS GRAFICO 19
(x , f(x ))
x
y
f(x)=x
f(x)=x
00
2
(f(x ), f(x ))
2
(f(x ), f(f(x )))
���
���
���
���
���
�������������
����������
1
x0
0 0q
q3
q
0 0
Figura 2.8: Se obtiene de q3, quinto paso.
6. Se repiten los dos pasos anteriores, una y otra vez, obteniendo los puntos
q4, q5, q6, etc.
(f 2(x0), (f2(x0)) = q4,
(f 2(x0), f(f 2(x0))) = (f 2(x0), f3(x0)) = q5,
(f 3(x0), f3(x0)) = q6
(f 3(x0), f(f 3(x0))) = (f 3(x0), f4(x0)) = q7,
(f 4(x0), f4(x0)) = q8
(f 4(x0), f(f 4(x0))) = (f 4(x0), f5(x0)) = q9,
(f 5(x0), f5(x0)) = q10 ,
(f 5(x0), f(f 5(x0))) = (f 5(x0), f6(x0)) = q11,
(f 6(x0), f6(x0)) = q12, ...
Con este procedimiento se pueden ir obteniendo los puntos qi de la orbita
de cualquier x0 en f(x), que son todos las ordenadas (xi) de los puntos de
coordenadas (xi, yi) = qi, i > 0, iǫZ.
20 CAPITULO 2. DINAMICA DE LA FUNCION CUADRATICA
x
y
f(x)=x
f(x)=x 2
(x , f(x )
(f(x ), f(f(x )))
0 )0(f(x ), f(x ))2������
������
������
������
��������
���� ��
����
������
������
������
����
����
���
���
����
���
���
������
�������
�������
����������
���������
���������
������������
������������
������������
����������
����������
����������
��������
���
���
������������������������������������
������������������������������������
q
0 0
4
0
q
0
q
q
q
q
q
q
q 1
q3
5
q6
7
i x0
Figura 2.9: Grafica de como se obtienen los qi, paso n.
2.2. ORBITAS DE LA FUNCION CUADRATICA 21
La ordenada (xi) de los puntos qiǫR2 de la recta correspondiente, a la
grafica de la funcion lineal y = x, que a la vez son los puntos de las iteracio-
nes de f(x), se van relacionando con los puntos de la grafica de la funcion
cuadratica y ası, se puede observar facilmente, al menos cualitativamente, en
donde se encuentran los puntos y su patron de comportamiento para cada
valor de x0. Para llevar a cabo este proceso, es conveniente utilizar algun
software dinamico de geometrıa, como el Cabri en Windows o el Kig, del
software libre, con los cuales se pueden crear algunos programas simples, (ver
practicas propuestas I) que puedan simular el comportamiento de los pun-
tos de las orbitas. Existen trabajos en donde se ha propuesto la utilizacion
del Cabri.en la ensenanza de la funcion cuadratica (ver por ejemplo [2]). El
analisis grafico, es un metodo practico que puede ser analizado como una
herramienta mas, para ayudar a que el aprendizaje sea significativo en la
ensenanza del tema de sistemas dinamicos.
2.2. Orbitas de la funcion cuadratica
En esta seccion se estudiaran las orbitas de la funcion f(x) = x2 + c, para
algunos valores de c mediante el metodo del analisis grafico.
Ejemplo 4 Analisis de la orbita de f(x) = x2+c tomando como valor inicial
x0 = 1, cuando c = 1.
Sea el punto (1, 0) ǫ R2 y aplicando el metodo grafico, se empieza con un
segmento de recta paralelo al eje ′′y′′ desde el punto (1, 0), hasta el punto
de interseccion con la grafica de la funcion f(x) = x2 + 1, el cual correspon-
dera al punto de coordenadas (1, f(1))=(1, 2), y este nuevo punto se asocia
con un segmento de recta paralelo al eje ′′x′′ con la recta y = x, estando
ahora en el punto de coordenadas (2, 2), ahora se vuelve asociar el punto
de coordenadas (2, 2), con un segmento de recta paralelo al eje ′′y′′ hasta el
punto de interseccion con la grafica de la funcion f(x) = x2 + 1, que es el
punto en el plano (2, f 2(1))=(2, 5), se repite el procedimiento de unir con un
segmento de recta paralelo al eje ′′x′′ con el punto anterior a la recta y = x
obteniendo las coordenadas del punto (5, 5), el procedimiento que se repite
una y otra vez es: Del punto inicial a la grafica cuadratica, de la grafica de
la funcion cuadratica a la grafica de la funcion identidad, es decir, a la rec-
ta (x0-parabola-recta-parabola, etc.), obteniendo el punto (5, f 3(1))=(5, 26)
y ası sucesivamente, es decir, se pueden obtener los xi que son los elementos
22 CAPITULO 2. DINAMICA DE LA FUNCION CUADRATICA
que forman las orbitas, en este caso, los puntos de la orbita son cada vez mas
grandes(ver la figura 2.10), es decir, tienden al infinito.
y=xy
x(1,0)
f(x)=x2+1
(2,5)
(5,26)
(1,2)(2,2)
(5,5)
(26,26)
1
0
Figura 2.10: Obtencion de los puntos de la orbita de x2 + 1 mediante elmetodo del analisis grafico, con x0 = 1 y c = 1.
Los puntos de la orbita se pueden obtener con una calculadora de bolsillo,
aplicando repetidamente la funcion:
x0 = 1
f(x0) = f(1) = (1)2 + 1 = 1 + 1 = 2
f(f(x0)) = f(f(1)) = f(2) = (2)2 + 1 = 4 + 1 = 5
f(f(f(x0))) = f(f 2(x0)) = f(f 2(1)) = f(5) = (5)2 + 1 = 25 + 1 = 26
f(f(f(f(x0)))) = f(f 3(x0)) = f(f 3(1)) = f(26) = (26)2 + 1 = 676 + 1 = 677
f(f(f(f(f(x0))))) = f(f 4(x0)) = f(f 4(1)) = f(677) = (677)2 + 1 = 458330
f(f(f(f(f(f(x0)))))) = f(f 5(x0)) = f(f 5(1)) = f(458330) = (458330)2 +
1 = 2,1006638 × 1011
etc. etc. ...
2.2. ORBITAS DE LA FUNCION CUADRATICA 23
De esta manera, se llega a la misma conclusion que con el metodo grafico.
P1 x0 1P2 f(x0) 2P3 f 2(x0) 5P4 f 3(x0) 26P5 f 4(x0) 677P6 f 5(x0) 45558330P7 f 6(x0) 2,1006638 × 1011
: : :: : :Pn fn(x0) :: : :: : ∞
Ejemplo 5 Analizar la orbita de f(x) = x2 + c, con x0 = −1 y c = 1, de
forma numerica y con el metodo del analisis grafico.
Analisis grafico
y=xy
x
f(x)=x2+1
(2,5)
(5,26)
(2,2)
(5,5)
(26,26)
1
0(−1,0)
(−1,2)
Figura 2.11: Metodo grafico para analizar los puntos qi.
24 CAPITULO 2. DINAMICA DE LA FUNCION CUADRATICA
Numericamente, si x0 = −1 y c = 1, entonces:
x0 = −1
f(x0) = f(−1) = (−1)2 + 1 = 1 + 1 = 2
f(f(x0)) = f(f(−1)) = f(2) = (2)2 + 1 = 4 + 1 = 5
f(f(f(x0))) = f(f 2(x0)) = f(f 2(−1)) = f(5) = (5)2 + 1 = 25 + 1 = 26
f(f(f(f(x0)))) = f(f 3(x0)) = f(f 3(−1)) = f(26) = (26)2 + 1 = 676 + 1 =
677
f(f(f(f(f(x0))))) = f(f 4(x0)) = f(f 4(−1)) = f(677) = (677)2+1 = 458330
f(f(f(f(f(f(x0)))))) = f(f 5(x0)) = f(f 5(−1)) = f(458330) = (458330)2 +
1 = 2,1006638 × 1011
etc. etc. ...
De aquı se obtiene la misma conclusion que con el metodo grafico.
P1 x0 -1P2 f(x0) 2P3 f 2(x0) 5P4 f 3(x0) 26P5 f 4(x0) 677P6 f 5(x0) 45558330P7 f 6(x0) 2,1006638 × 1011
: : :: : :Pn fn(x0) :: : :: : ∞
Este mismo analisis se puede hacer para fc(x) = x2 + c, con diferentes
valores de los parametro c y x0, pero como se puede apreciar es un trabajo
bastante arduo.
2.2.1. Analisis de los puntos fijos
En primera instancia, de manera grafica es posible saber si una funcion
tiene puntos fijos, o no, observando en donde se intersecta la grafica de la
funcion, con la grafica de la recta y = x; por definicion f(x) = x (puntos
fijos), ademas de que, con ayuda de los graficadores se pueden observar varios
de los comportamientos a la vez, como se vera mas adelante. En la figura
(2.12) se observa que las graficas pueden y no intersectarse, esto dependiendo
2.2. ORBITAS DE LA FUNCION CUADRATICA 25
del valor que tome c, para el caso de la funcion cuadratica puede tener dos,
uno o ningun punto fijo.
y=x
f(x)=x + c2
f(x)=x + c2
y=x
y=x
f(x)=x + c2
x
y
x
y
x
y
Figura 2.12: Las intersecciones de las graficas muestran los puntos fijos.
Para encontrar de manera algebraica los puntos fijos de la funcion fc(x) =
x2 + c, se debe resolver la ecuacion x2 + c = x, recordando la definicion de
punto fijo.
Por lo tanto, partiendo de la ecuacion x2 + c = x y resolviendo para x
por medio de bien conocida, formula general para la resolucion de ecuaciones
cuadraticas,
x =−b ±
√b2 − 4ac
2a.
De donde se obtiene que: x = 1±√
1−4c
2.
Para que las raıces sean reales, se debe cumplir la siguiente desigualdad:
0 ≤ 1 − 4c.
26 CAPITULO 2. DINAMICA DE LA FUNCION CUADRATICA
Por lo tanto
1 ≤ 4c
y
c ≤ 1
4.
Por lo cual, el parametro c debe ser menor que 14
y graficamente puede
observarse lo pasa con las graficas y las orbitas cuando c > 14, c = 1
4y c < 1
4.
y=xy=x
y=xy=x
f(x)=x + c2f(x)=x + c
f(x)=x + cf(x)=x + c
2
22
c>1/4c>1/4
c>1/4 c>1/4
Figura 2.13: Cuando c es mayor que 14, las graficas nunca se intersectan y
todas sus orbitas tienden al infinito.
Cuando c > 14, la grafica que corresponde a la funcion cuadratica no toca
en ningun momento la grafica de y = x, sino que se encuentra por encima
de la recta, lo cual quiere decir, que no tiene raıces reales, es por ello, que
no tienen puntos en comun. Si no tienen puntos en comun estas dos graficas,
implica que la funcion cuadratica, no tiene puntos fijos para c > 14
y todas
las orbitas de fc tienden al infinito como es el caso de f1(x) = x2 + 1 (ver la
figura del ejemplo (2.11)).
2.2. ORBITAS DE LA FUNCION CUADRATICA 27
Cuando c = 14, las graficas se intersectan en x = 1
2por lo tanto, tiene un
punto fijo unico. En este caso, las orbitas de fc para puntos muy cercanos al
punto fijo tienden a acercarse (para valores que se encuentran entre -12≤ x ≤
12), y las orbitas de puntos lejanos al punto fijo tienden a alejarse (para valores
de x > −12
y x < 12). Las orbitas de los puntos que se encuentran entre 0.5 y
-0.5, son las orbitas que tienden al punto fijo Pf = 14, las demas orbitas que
no se encuentran en este intervalo tiende al infinito.
y=x
f(x)=x + c2
c=0.25
X=0.5c=0.25
X=0.5
y=x
f(x)=x + c2
c=0.25
X=0.5
y=x
f(x)=x + c2
X=0.5
y=x
f(x)=x + c2
c=0.25
x
y
x
y
x
y
x
y
Figura 2.14: Cuando c = 14
se tiene un unico punto fijo en x = 12
y las orbitasde los puntos muy cercanos a 0 y menores que 1
4tienden al punto fijo.
Cuando c < 14, la grafica toca en dos puntos a la recta y = x. Aquı las
orbitas ya no son tan predecibles como en los casos anteriores, pues aparecen
dos puntos fijos, uno por la derecha y otro por la izquierda. Sea P+ el punto
fijo mas grande(derecha) y P− el punto fijo mas pequeno (izquierda) ([4]).
28 CAPITULO 2. DINAMICA DE LA FUNCION CUADRATICA
Del analisis grafico, parece ser que si 0 < c < 14, las orbitas que se encuentran
entre P− < x0 < P+ tienden al punto P− y para las orbitas de los puntos
que se encuentran entre P− > x0 > P+ tienden al infinito. Pero si se sigue
variando el valor de c, no es para nada facil predecir que pasa con las orbitas
pues son muy variables dependiendo de la posicion del punto inicial x0.
f(x)=x + cf(x)=x + c
f(x)=x + cf(x)=x + c
y=xy=x
y=xy=x
c<1/4c<1/4
c<1/4 c<1/4
22
2
Figura 2.15: Cuando c es menor que 14
se tienen dos puntos fijos y el com-portamiento de las orbitas ya no es predecible.
2.2.2. Puntos especiales
Dentro del conjunto de los puntos fijos existen otros subtipos de puntos
como son:
Definicion 12 Punto crıtico
Un punto x es un punto crıtico de f si f ′(x) = 0. El punto crıtico es no
degenerado si f ′′(x) 6= 0. El punto critico es degenerado si f ′′(x) = 0.
Ejemplo, fc(x) = x2 + c
f ′c(x) = 2x;
2.2. ORBITAS DE LA FUNCION CUADRATICA 29
f ′′c (x) = 2
Esto quiere decir que x = 0 es un punto crıtico de fc y es no degenerado
para toda x.
Definicion 13 Puntos fijos atractores
Sea f:R → R, x es un punto fijo atractor de f , si existe un entorno abierto
I de x, tal que, para todo xǫI el limn→∞ fn(x) = x. Intuitivamente, que x sea
un punto fijo atractor quiere decir que atrae las orbitas de todos los puntos
de su entorno.
El conjunto {xǫI tal que limn→∞ fn(x) = x} es el conjunto de atraccion
de x, (x atrae las orbitas de los puntos de su entorno).
����
f(x)=x − 0.25
f(x)=x +.02
f(x)=x − 0.25
f(x)=x + 02
2
2
2
x x
xx
����
���
���
����
����
puntos atractores
Figura 2.16: Puntos fijos atractores.
Definicion 14 Puntos fijos repulsivos
Sea f:R → R x0 es un punto fijo repulsivo de f , si existe un entorno
abierto I de x0, tal que, para todo x 6= x0ǫI el fn(x) 6= I. Intuitivamente
quiere decir que x repele las orbitas de los puntos del entorno.
30 CAPITULO 2. DINAMICA DE LA FUNCION CUADRATICA
xx
x x
f(x)= x − 0.2 f(x)=x − 0.2
f(x)= x − 0.6
f(x)= x + 0.25
22
2
2
Figura 2.17: Puntos fijos repulsivos, los puntos de las orbitas tienden a ale-jarse.
Definicion 15 Punto eventualmente fijo
Sea f:R → R los puntos eventualmente fijos de f , son todos los puntos
que cumplen con lo siguiente: fn+1(x) = fn(x).
x
x
x
x
f(x)=x − 0.9f(x)=x − 0.8
f(x)=x − 0.9 f(x)=x − 1.2
22
22
Figura 2.18: Punto eventualmente fijo.
El comportamiento de las orbitas no es tan predecible a simple vista
cuando 14
> c > −2. Como se puede ver en las graficas, existen orbitas que
2.3. ANALISIS DE LA FUNCION FC(X0) 31
se van hacia un punto fijo para ciertos valores de c, pero para otros valores
diferentes de c la orbita tiende al infinito; y para otros valores no se acerca a
algun punto en especial. Tambien cuando se toman valores diferentes de x0 los
puntos de las orbitas no son predecibles a simple vista. Los puntos especiales
a los que tienden las orbitas son: puntos atractores, puntos repelentes, puntos
periodicos, puntos eventualmente periodicos, etcetera.
f(x)=x + c
f(x)=x + cf(x)=x + c
y=xy=x
y=xy=x
f(x)=x + c2
2
2 2
c<1/4 c<1/4
c<1/4 c<1/4
Figura 2.19: Cuando c es menor que 14
existe una variedad de puntos fijos:Atractores, repelentes, periodicos, eventualmente periodicos, etcetera.
2.3. Analisis de la funcion fc(x0)
A continuacion se muestra un estudio simple de la dinamica de fc(x) =
x2+c , especıficamente para cuando c = 0. Se muestran los puntos especiales,
el comportamiento de sus orbitas; de forma grafica y haciendo los calculos,
tambien se muestra, como hacer los calculos mas facilmente con ayuda de
la computadora. Uno de los casos mas simple en la dinamica de la funcion
cuadratica es cuando c = 0.
32 CAPITULO 2. DINAMICA DE LA FUNCION CUADRATICA
f(x) = x2 x0 = 0 x0 = 0.1 x0 = 0.01 x0 = −0.1x0 0 0.1 0.01 -0.1f(x0) 0 0.01 0.0001 0.01
f2(x0) 0 0.0001 1,0 × 10−8 .000 1
f3(x0) 0 1,0 × 10−8 1,0 × 10−16 1,0 × 10−8
f4(x0) 0 1,0 × 10−16 1,0 × 10−32 1,0 × 10−16
f5(x0) 0 1,0 × 10−32 1,0 × 10−64 1,0 × 10−32
f6(x0) 0 1,0 × 10−64 1,0 × 10−128 1,0 × 10−64
f7(x0) 0 1,0 × 10−128 1,0 × 10−256 1,0 × 10−128
f8(x0) 0 1,0 × 10−256 1,0 × 10−512 1,0 × 10−256
f9(x0) 0 1,0 × 10−512 1,0 × 10−1024 1,0 × 10−512
: : : : :↓ ↓ ↓ ↓
limn→∞fn(x0) 0 0 0 0
Cuadro 2.1: Orbitas de f(x) = x2 para algunos valores de x0 muy cercanosa 0.
En el cuadro (2.1), se muestran algunos puntos de las orbitas para la
funcion f(x) = x2. Los puntos fueron calculados con ayuda de una compu-
tadora, mediante un programa computacional, que realiza los calculos de las
iteraciones para cuando c = 0 y tomando x0 muy cercanos a 0, los calculos
tambien se pueden realizar en una hoja de calculo. 2. Al observar, tanto los
datos del cuadro (2.1) como el analisis grafico de la figura (2.20), se puede
inferir que: Para valores de x0 cercanos a cero la orbita tiende a cero.
Figura 2.20: Analisis grafico de f(x) = x2, cuando x0 esta muy cerca de x = 0
2Los programas que se utilizaron para obtener los puntos de las orbitas, se encuentranen el apendice A pagina 85
2.3. ANALISIS DE LA FUNCION FC(X0) 33
f(x) = x2 x = 1 x = 0.9 x = 0.5x0 1 9 . 5f(x0) 1 . 81 . 25
f2(x0) 1 . 656 1 ,0 625
f3(x0) 1 . 430 47 3. 906 3 × 10−3
f4(x0) 1 . 185 3 1. 525 9 × 10−5
f5(x0) 1 3. 433 7 × 10−2 2. 328 3 × 10−10
f6(x0) 1 1. 179 × 10−3 5. 421 × 10−20
f7(x0) 1 1. 390 1 × 10−6 2. 938 7 × 10−39
f8(x0) 1 1. 932 3 × 10−12 8. 636 2 × 10−78
f9(x0) 1 3. 733 9 × 10−24 7. 458 3 × 10−155
f10(x0) 1 1. 394 2 × 10−47 5. 562 7 × 10−309
: : : :↓ ↓ ↓
limn→∞fn(x0) 1 0 0
Cuadro 2.2: Los datos corresponden a los primeros puntos de la orbita def(x) = x2 con x0 < 1.
Del cuadro (2.2) donde se itera la funcion f(x) = x2, para 0 ≤ x ≤ 1 y
de la figura (2.21) se puede inferir que los puntos de la orbita tienden a cero.
Figura 2.21: Analisis grafico de f(x) = x2 cuando x0 es menor que uno.
En el cuadro (2.3), se puede observar que para valores de x0 mas grandes
que uno (x0 > 1) las orbitas tienden al infinito.
34 CAPITULO 2. DINAMICA DE LA FUNCION CUADRATICA
f(x) = x2 x = 1,1 x = 1,5x0 1. 1 1. 9f(x0) 1. 21 3. 61
f2(x0) 1. 464 1 13. 032
f3(x0) 2. 143 6 169. 84
f4(x0) 4. 595 28844.
f5(x0) 21. 114 8. 319 8 × 108
f6(x0) 445. 79 6. 922 × 1017
f7(x0) 1. 987 3 × 105 4. 791 4 × 1035
f8(x0) 3. 949 4 × 1010 2. 295 7 × 1071
f9(x0) 1. 559 7 × 1021 5. 270 4 × 10142
f10(x0) 2. 432 8 × 1042 2. 777 7 × 10285
. . .
. . .
. . .
. ↓ ↓
limn→∞fn(x0) ∞ ∞
Cuadro 2.3: Primeros puntos de las orbitas de f(x) = x2 cuando x0 > 1.
1x
y
Figura 2.22: Analisis grafico de f(x) = x2 cuando x0 es mayor que uno. Conel analisis grafico se observa que efectivamente, las orbitas de f(x) = x2
tienden al infinito cuando x0 es mayor que uno.
2.4. ORBITAS PERIODICAS 35
En conclusion sobre la dinamica de la funcion f(x) = x2, graficamente se
infiere:
fn(x) → ∞ si |x| > 1,
fn(x) → 0 si |x| < 1,
fn(1) → 1 para todo n,
fn(−1) → 1 si n ≥ 1.
Ver las figuras (2.20, 2.21 y 2.22).
Comparando el analisis grafico, con los datos de los cuadros, se puede
decir que:
Todas las orbitas tienden a ∞ o a 0, excepto en 1 y en −1.
El 1 y el 0 son puntos fijos, y el −1 es un punto eventualmente fijo.
Se puede observar que existen dos puntos fijos, un punto fijo atractor
y un punto fijo repelente, el punto fijo atractor es P− y el punto fijo
repelente P+. El 0 es un punto fijo atractor, subsecuentemente los pun-
tos cercanos tienen orbitas que tienden a 0, por otro lado, el 1 es un
punto repelente, ya que las orbitas tienden a alejarse del el.
2.4. Orbitas periodicas
En el analisis grafico, se puede observar lo que ocurre con los puntos
especiales, a partir de analizar el comportamiento de los puntos de las ite-
raciones, hasta esta seccion se han mostrado los puntos fijos de fc(x), grafi-
camente y haciendo los calculos para obtener los puntos de forma numerica,
pero ¿que pasa? con los puntos fijos periodicos, es decir, las soluciones de las
siguientes ecuaciones:f(x) = x, f 2(x) = x, f 3(x) = x, f 4(x) = x, f 5(x) = x,
etc., (ver definicion de puntos periodicos en la seccion 1.1.1), para cono-
cer los puntos fijos de fc(x), basta con resolver algebraicamente la ecuacion
cuadratica y analizar sus raıces, para encontrar los puntos fijos periodicos
de fnc (x) = x (o puntos periodicos de periodo n); (n ≥ 3 n es un entero
positivo), es complicado, porque las ecuaciones que se tendrıan que resolver
son las siguientes:
f 2(x) = x
f(f(x)) = f(x2 + c) = (x2 + c)2 + c
x4 + 2x2c + c2 + c = x
36 CAPITULO 2. DINAMICA DE LA FUNCION CUADRATICA
x4 + 2x2c + −x + c2 + c = 0
f 3(x) = x
f(f(f(x))) = f(f(x2 + c)) = f(x4 + 2x2c + c2 + c)
(x4 + 2x2c + c2 + c)2 + c = x8 + 2(2x4x2c) + (c2 + c)2
x8 + 4x6c + (c2 + c)2 = x
x8 + 4x6c − x + (c2 + c)2 = 0
f 4(x) = x
x16 + ax14 + bx12 + ... − x + f = 0
f 5(x) = x
x32 + ... − x + g = 0
El asunto se complicarıa mas, si la funcion bajo estudio fuera trigo-
nometrica, logarıtmica, exponencial, etc., o si se tomara una ecuacion que
fuese alguna combinacion entre ellas, porque implicarıa la resolucion de ecua-
ciones de esa naturaleza, como por ejemplo, ax sen(bx) = 0, lnx − 3 = 0,
ex = a, ax3 + bx2 + cx + d = 0 para resolver este tipo de ecuaciones se tiene
que usar un metodo iterativo ver por ejemplo ([1]).
Regresando al caso en consideracion, es decir; la ecuacion cuadratica ele-
vada a una potencia n, para resolver una ecuacion de cuarto grado, no es una
cosa sencilla y para resolver una ecuacion de quinto grado o mayor no existe
un metodo analıtico para encontrar una solucion. Sin embargo, mediante un
analisis grafico se puede saber a priori si alguna ecuacion de ese tipo tiene
raıces o no, es decir puntos periodicos de periodo n.
Por medio de una grafica, se puede saber si una ecuacion tiene soluciones
o no, en caso de la grafica de la figura (2.23) corresponde a una funcion de
cuarto grado la cual puede intersectar a la recta y = x, de cero hasta cuatro
veces, lo cual quiere decir que una funcion de cuarto grado puede tener hasta
cuatro raıces reales y por lo tanto, f 2c (x) puede tener hasta cuatro puntos
periodicos de periodo 2.
2.4. ORBITAS PERIODICAS 37
f(x)= ax + bx +cx + dx + e4 3 2
Figura 2.23: Una funcion de cuarto grado puede llegar a tener hasta cuatropuntos fijos (puntos de interccion), es decir, puntos de periodo dos de fc(x).
De igual forma, con la grafica de una funcion de octavo grado f 3(x) =
x8 + ax6 + ... en la grafica de la figura (2.24) se puede observar que f 3(x)
puede intersectar a la recta y = x, de cero hasta ocho veces, lo cual quiere
decir que f 3c (x) puede tener hasta ocho puntos periodicos de periodo 3, los
cuales corresponden a los puntos fijos de la ecuacion de octavo grado, que es
la solucion de la ecuacion f 3c (x) = x.
����
����
����
����
����
����
����
���
���
x
y
Figura 2.24: f(x) = ax8 + bx7 + cx6 + dx5 + ex4 + fx3 + gx2 + hx + i: Unafuncion de octavo grado puede llegar a tener hasta ocho puntos fijos o puntosperiodicos.
38 CAPITULO 2. DINAMICA DE LA FUNCION CUADRATICA
Definicion 16 Puntos periodicos repulsores
Sea f : R → R, un punto x periodico de periodo n es repulsor si,
|(fn)′(x)| > 1. x es un punto de periodo n repulsor de f(x), si y solo si,
x es un punto repulsor de fn(x). Si f es continua, todos los puntos {x, f(x),
f 2(x), fn−1(x)} son simultaneamente repulsores.
Definicion 17 Puntos periodicos atractores
Sea f:R → R, un punto periodico de periodo n es atractor si, |(fn)′(x)| <
1. x es un punto de periodo n atractor de f(x), si y solo si, x es un pun-
to atractor de fn(x). Si f(x) es continua, todos los puntos {x, f(x), f 2(x),
fn−1(x)} son simultaneamente atractores.
Ejemplo 6 Orbitas periodicas atractoras
Sea la funcion fc(x), con c = −1, es decir, f−1 = x2−1. Se puede mostrar
que tiene orbitas periodicas de periodo dos en -1 y 0. Tambien que sus orbitas
son atractoras y tiene cuatros puntos periodicos.
Para encontrar los puntos fijos y puntos periodicos, se tienen que resolver
las ecuaciones:
1. x2 − 1 = x (para encontrar los puntos fijos).
2. (x2 − 1)2 − 1 = x4 − 2x2 = x (para encontrar los puntos periodicos).
La primera ecuacion corresponde a una ecuacion cuadratica, que se puede
resolver, por medio de la formula general, p± = −b±√
b2−4c2
, obteniendo P− y
P+. Para resolver la segunda ecuacion que es una ecuacion de cuarto grado,
no es un caso simple, pero observando la grafica (2.25), se pueden observar
los cuatro puntos periodicos que tiene; son los puntos de interseccion que
muestra la grafica.
Mediante el analisis grafico, se puede observar e inferir el comportamiento
de los puntos periodicos, en la figura (2.25) se observan las intersecciones que
corresponden a los puntos fijos y a los puntos periodicos. Las graficas que
corresponden a las funciones f−1 = x2 − 1, la cual tiene dos puntos fijos
P+− = 1±
√1+4
2y f 2
−1(x) = (x2 − 1)2 − 1; que tiene cuatro puntos periodicos.
2.4. ORBITAS PERIODICAS 39
Puntos fijos
Puntos periodicos’
����
��������
����
��������
y
x
Figura 2.25: Los puntos de interseccion muestran los puntos fijos y puntosperiodicos. La interseccion de las graficas de las funciones f(x) = x (lınearecta inclinada a 45 grados) y f(x) = x2 − 1 (parabola), muestra los dospuntos fijos. La interseccion de las graficas de las funciones f(x) = x yf(x) = (x2 − 1)2 − 1 = f 2
−1 muestra los cuatro puntos periodicos.
P+
P −
0−1
���
���
����
x
y
P
P
−1 0
−
+
Figura 2.26: Orbitas periodicas de periodo dos de la funcion f−1 = x2 − 1;mediante el analisis grafico. Las orbitas de −1 y el 0 son orbitas periodicas ylas orbitas que se encuentran entre los puntos P− y P+ oscilan entre −1 y 0.
40 CAPITULO 2. DINAMICA DE LA FUNCION CUADRATICA
En la grafica de la figura (2.26), se muestran la tendencias de los puntos
que conforman las orbitas para x0, y se observa que si el valor absoluto de x0
es mayor al punto fijo mayor (lado derecho) |x0| > P+ entonces las orbitas
tienden al infinito. Pero las orbitas que se encuentran entre los puntos fijos
P− (lado izquierdo) y P+, oscilan entre −1 y 0. Dentro de los cuatro puntos
periodicos estan el −1, el 0 y 1±√
1+42
pero el −1 y el 0 tienen la peculiaridad
de que f(−1) = 0 y f(0) = −1, lo cual quiere decir, que las orbitas del −1 y
0 son orbitas periodicas u orbitas cıclicas de periodo dos.
Del analisis grafico, se pueden inferir los comportamientos de las orbitas,
pero eso no es suficiente para afirmar que se cumple para cualquier valor
que se le asigne al parametro c. Formalmente en terminos matematicos, pa-
ra afirmar dicho comportamiento, se tendrıa que realizar la demostracion
matematica correspondiente.
De acuerdo con la definicion de punto periodico y de orbita periodica, las
orbitas de segundo periodo solamente pueden ser los conjuntos formados por
{x0, fc(x0)} (el conjunto solamente contienen dos elementos), es decir, orbita
periodica de periodo 2, analogamente la orbita periodica de tercer periodo
es el conjunto: {x0, fc(x0), f 2c (x0)}, (la orbita de tercer periodo solamente
contiene tres elementos). La orbita periodica de fnc esta formada por el con-
junto de puntos: {x0, fc(x0), f 2c (x0), ...f
n−1c (x0)}, donde n = 1, 2, 3, 4, etc es
un numero entero positivo tambien se cumple que: cada punto de la orbita es
un punto periodico, y el conjunto que forma la orbita contiene n elementos.
Ejemplo 7 Orbitas periodicas
A continuacion se muestran dos ejemplos de orbitas periodicas; los dos
se muestran graficamente (figuras 2.27 y 2.28). Tambien se muestran en el
cuadro (2.4) algunos datos, los cuales fueron obtenidos realizando los calculos
con ayuda de la computadora, los datos corresponde a los puntos que con-
forman las orbitas, es decir, que los puntos de las orbitas se muestran en el
cuadro (2.4). En las graficas de las figuras (2.27 y 2.28) se muestra la tenden-
cia de la orbita periodica de periodo dos formada por el conjunto siguiente:
{-0.661894977, -0.661895037 }. La orbita se obtiene de la ecuacion cuadratica
cuando c = −1,1, es decir, f−1,1(x), y la orbita periodica de periodo cuatro
cuando c = −1,3, {0.241619542, -1.24161994, 0.241620138, -1.24161971}, es
decir, de f−1,3(x), respectivamente.
2.4. ORBITAS PERIODICAS 41
−0.661895037−0.661894977
Figura 2.27: Orbita periodica cuando c=1.1 y x0 = −0.661894977.O={-0.661894977, -0.661895037 }
−1.3
0.241619542
0.241620138−1.24161971−1.24161994
Figura 2.28: Orbita periodica cuando c=1.3 y x0 = 0.241619542.O={ 0.241619542, -1.24161994, 0.241620138, -1.24161971 }
42 CAPITULO 2. DINAMICA DE LA FUNCION CUADRATICA
Para estimar las orbitas periodicas de fc(x), es muy necesaria la ayuda
de la computadora, mediante un programa computacional que realice los
calculos (ver el apendice C pagina 91 ), los datos que se muestran en el cuadro
(2.4) fueron encontrado por el programa que se encuentra en el apendice C.
De acuerdo con la teorıa que se ha venido mencionando, para obtener
los puntos especiales, necesariamente se tendrıan que resolver ecuaciones de
quinto grado y como ya tambien se menciono es muy complicado. Para re-
solver ecuaciones de quinto grado y mayores se debe hacer mediante una
tecnica de aproximacion; los datos que se presentan en el cuadro (2.4), son
aproximaciones numericas de los puntos de las orbitas.
En el cuadro (2.4), se resaltan los puntos periodicos. El programa numeri-
co que se uso, para obtener los daros del cuadro utiliza una de las tecnicas
mas conocidas para aproximar las raıces, (ver el apendice C en la pagina 91).
El programa encuentra los puntos periodicos y cuando encuentra un punto
periodico, entonces realiza los calculos para encontrar los puntos de la orbita.
Ejemplo 8 Puntos periodicos
Supongamos que el programa encuentra un punto periodico de periodo 2
(ver la figura 2.27), donde el punto periodico es x0 = −0.661894977, entonces
el programa procede a encontrar los puntos de la orbita periodica, que en
este caso, es un conjunto de dos elementos distintos, es decir, la orbita: {-0.661894977, -0.661895037 } de igual forma para el caso de la figura 2.28 el
programa encuentra un punto periodico de cuarto periodico x0 = 0.241619542
y el programa calcula la orbita { 0.241619542, -1.24161994, 0.241620138, -
1.24161971 } .3.
3Los datos que se encuentran en el cuadro (2.4) se pueden confirma reproduciendoreproduciendo el programa computacional que se encuentra en el apendice B en la pagina89
2.4. ORBITAS PERIODICAS 43
n fnc c=-1.1 fn
c c = −1,3 fnc c = −1,38
x0 -0.661894977 0.241619542 0.293725342
1 -0.661895037 -1.24161994 -1.293725372 -0.661894977 0.241620138 0.2937253423 -0.661895037 -1.24161971 -1.293725374 -0.661894977 0.241619542 0.2937253425 -0.661895037 -1.24161994 -1.293725376 -0.661894977 0.241620138 0.2937253427 -0.661895037 -1.24161971 -1.293725378 -0.661894977 0.241619542 0.293725342
9 -0.661895037 -1.24161994 -1.2937253710 -0.661894977 0.241620138 0.29372534211 -0.661895037 -1.24161971 -1.2937253712 -0.661894977 0.241619542 0.29372534213 -0.661895037 -1.24161994 -1.2937253714 -0.661894977 0.241620138 0.29372534215 -0.661895037 -1.24161971 -1.2937253716 -0.661894977 0.241619542 0.293725342
17 -0.661895037 -1.24161994 -1.2937253718 -0.661894977 0.241620138 0.29372534219 -0.661895037 -1.24161971 -1.2937253720 -0.661894977 0.241619542 0.29372534221 -0.661895037 -1.24161994 -1.2937253722 -0.661894977 0.241620138 0.29372534223 -0.661895037 -1.24161971 -1.2937253724 -0.661894977 0.241619542 0.293725342
25 -0.661895037 -1.24161994 -1.2937253726 -0.661894977 0.241620138 0.29372534227 -0.661895037 -1.24161971 -1.2937253728 -0.661894977 0.241619542 0.29372534229 -0.661895037 -1.24161994 -1.2937253730 -0.661894977 0.241620138 0.29372534231 -0.661895037 -1.24161971 -1.2937253732 -0.661894977 0.241619542 0.293725342
Cuadro 2.4: Puntos de las orbitas. Los puntos que resaltan son puntos pe-riodicos.
Capıtulo 3
Diagrama de bifurcacion
En el estudio del sistema dinamico fc(x) = x2 + c existen, varias dificul-
tades, tanto graficas como analıticas. Estas comienzan cuando se requieren
calcular las iteraciones (orbitas) de la funcion para algunos valores de c. Asi-
mismo, para obtener los puntos periodicos, muchas veces el sistema dinamico
se vuelve sumamente complicado, ya que para realizar un estudio completo
se tienen que analizar todas las orbitas para un cierto intervalo de puntos
para observar que es lo que pasa ahı, es decir que tipo de orbitas se producen
para cada valor diferente de c. Como ya se menciono antes, esto requiere de
mucho trabajo, pero que con ayuda de las computadoras se puede minimizar,
al implementar un programa computacional. Una manera clasica de estudiar
las orbitas, al menos de forma intuitiva es: Dado un valor para x0, en este
caso se ha tomado el x0 = 0, se itera la funcion fnc (x0), n-veces (n=1, 2,
3, 4, 5, etc.); es decir la orbita del cero O(0), y tambien se varia el valor
de c en un cierto intervalo; en este caso de 0,25 a −2. Si los puntos forman
una orbita atractora, es decir, que no tienda al infinito, entonces los puntos
obtenidos de las iteraciones se grafican en un sistema de ejes coordenados;
en 2 dimensiones, en donde el eje horizontal representa el valor de c y en
el eje vertical los valores de los puntos de las orbitas. En el apendice D en
la pagina 93, se muestra un programa que calcula los puntos de las orbitas
(atractoras) del cero, y estos puntos reproducen la figura (3.1); las orbitas
del cero cuando se varıa el parametro c, y se deja fijo a x0 = 0. A la figura
(3.1) se le llama diagrama de bifurcacion, y en este caso, las condiciones
que se utilizaron para llevar acabo la grafica son: fc(x0) = x2 + c con x0 = 0,
y variando a c desde c = 14, hasta c = −2. De hecho, se obtiene la misma
grafica para algun x0 en el intervalo (0, 1).
45
46 CAPITULO 3. DIAGRAMA DE BIFURCACION
Diagrama de bifurcacion.
������������������������������������������������������
������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������
��������
c
orbi
tas
atra
ctor
as d
e f(
x)
Figura 3.1: Esta figura corresponde a la grafica formada por los puntos delas orbitas atractoras (eje ” y ”) de fc(x) = x2 + c, con x0 = 0; contra elparametro c (eje ” x ”) de −2 < c < 1
4.
3.1. ANALISIS PARA −2 < C < 14
47
3.1. Analisis para −2 < c < 14
Para empezar a entender la informacion que provee el diagrama de bifur-
cacion, es necesario, recordar el comportamiento de las orbitas del sistema
dinamico de la funcion cuadratica. Mediante el analisis grafico, se pudo ob-
servar que las orbitas son muy variables, y para c, mayor que 14, todas las
orbitas tienden al infinito. Es por ello, que en el diagrama de bifurcacion no
aparecen estos puntos. Pero, para los valores de c que se encuentran entre -2
y 14, las orbitas tienden a diferentes puntos, dependiendo del valor de c. Es
aquı donde se reproduce el diagrama de bifurcacion (3.2), cuando se calculan
las orbitas de la funcion cuadratica y donde c toma valores del intervalo de
-2 a 14. Para los valores de c < −2, tanto en el analisis grafico, como numeri-
camente o en el diagrama de bifurcacion aparecen, muchas dificultades para
calcular los puntos importantes del sistema. En este caso, la dinamica es
mucho mas complicada y no se dira mucho al respecto, porque requiere de
matematicas mas avanzadas.
Figura 3.2: Diagrama de bifurcacion.
48 CAPITULO 3. DIAGRAMA DE BIFURCACION
En el diagrama de bifurcacion, se observa un patron de comportamiento
muy especial. Para algunos valores del parametro c la grafica se va separando
en dos partes, y esto tiene que ver con los puntos periodicos de fnc (x) ([4]);
pues los puntos graficados en el diagrama de bifurcacion, son los puntos
periodicos atractores, como se muestra a continuacion en el analisis de −34
<
c < 14.
Analıticamente, para el caso cuando −34
< c < 14, c 6= 0, donde la orbita
tiene dos puntos fijos (P± = 1±√
1−4c
2y f ′(x) = 2x), se puede verificar
facilmente que:
Si c = −34; entonces P+ = 3
2
P+ =1 +
√4
2=
3
2.
Si c = 14; entonces: P+ = 1
2
P+ =1 +
√0
2=
1
2.
Por lo cual, si −34
< c < 14, entonces,
1
2< P+ <
3
2,
a demas
1 < 2P+ < 3,
y como f ′(x) = 2x
1 < |f ′c(P+)| < 3,
por lo tanto,
|f ′c(P+)| > 1 si
1
2< P+ <
3
2. (3.1)
Por otro lado:
Si c = −34; entonces P− = −1
2
P− =1 −
√4
2= −1
2.
Si c = 14; entonces P− = 1
2
P− =1 +
√0
2=
1
2.
3.1. ANALISIS PARA −2 < C < 14
49
Por lo cual,
−1
2< P− <
1
2,
entonces
−1 < 2P+ < 1,
−1 < |f ′c(P+)| < 1,
por lo tanto,
|f ′c(P−)| < 1 si − 1
2< P− <
1
2. (3.2)
Recordando la definicion de punto periodico atractor (definicion 2.4), en el
intervalo (−12, 3
2) los puntos tienden al punto periodico atractor (ver 3.1 y
3.2).
Si c < −34, entonces P+ > 3
2
P+ >1 +
√4
2=
3
2.
Por lo tanto,
|f ′c(P+)| > 1 si P+ >
3
2. (3.3)
Entonces para c < −34, los puntos tienden a un punto periodico repelente.
Notar que para todo c < 14, si x ∈ (−P+, P+), y −3
4< c < 1
4entonces
fnc (x) → P−.
Si |x| > P+, entonces
fnc (x) → ∞.
Por esta razon, en el diagrama de bifurcacion solamente aparecen los
puntos de las iteraciones cuando los puntos de la orbita tiende al punto P−.
Para entender el comportamiento del diagrama de bifurcacion, tambien
es util, analizar las graficas de las funciones de fc(x0) y fnc (x0) y sus puntos
periodicos, ya que el numero de puntos periodicos de periodo n depende
directamente del parametro c. Haciendo el analisis, la primera bifurcacion de
fc(x0) aparece para cuando c = 14, donde se determina que la grafica f(x) = x,
es tangente a la grafica de fc(x) en el punto x0 = 12, es ahı donde fc(x0) tiene
un punto fijo, y aparece el primer punto en el diagrama de bifurcacion e
50 CAPITULO 3. DIAGRAMA DE BIFURCACION
inmediatamente despues cuando c < 14, fc(x0) tiene dos puntos fijos P± (son
las raıces de la ecuacion fc(x) = x), un punto atractor por la izquierda (P−) y
otro repulsor por la derecha(P+), a esta bifurcacion se le llama bifurcacion
de nodo-silla, figura (3.3), del analisis grafico tambien se observa que para
todo c < 14, si |x| > P+, fn
c (x) → ∞. Estas razones indican que la dinamica
interesante de fc(x0) ocurre en el intervalo Ic dado por (-P+, P+).
x
y
x
y
x
y
Figura 3.3: Bifurcacion de nodo-silla.
En las graficas de la figura (3.4), donde fn(x) vara a c desde 14
hasta −34,
se muestra que fc(x) puede tener de cero hasta dos puntos fijos unicamente,
dependiendo del valor que se le otorgue a c. Tambien muestra que los puntos
periodicos de fnc (x) pueden llegar unicamente a ser de periodo 2, sin importar
el valor de n. Por lo cual, se puede deducir, que en el intervalo −34
< c < 14
existe un punto periodico atractor de periodo n. Ası, el diagrama de bifur-
cacion, unicamente grafica a ese punto en ese intervalo (ver figura 3.4), el
3.1. ANALISIS PARA −2 < C < 14
51
punto fijo P+ (derecha) y el punto fijo P− (izquierda). Observando el analisis
grafico (seccion 2.1) y el diagrama de bifurcacion (figura 3.2), las orbitas que
se encuentran entre −34
< c < 14, tienden al punto P− y por tal motivo,
solamente aparece una curva en este intervalo.
f(x)
c= 0.25
2 3 nf (x) f (x) f (x)
c=0
c=−0.75
Figura 3.4: Comportamiento de fc y fnc con −3
4< c < 1
4.
La siguiente bifurcacion de fc ocurre cuando c = −34
(ver figura 3.2), en
donde los puntos tienden al punto fijo neutro P−, pues (f ′c(x) = 2x) y
f ′c(P−) = −1, P− = −1
2,
entonces
|f ′c(P−)| = 1.
52 CAPITULO 3. DIAGRAMA DE BIFURCACION
mientras que P+ es un punto periodico repelente.
|f ′c(P+)| > 1 P+ =
3
2.
Ası, P− es un punto fijo neutro. Ademas, todas las orbitas de los puntos
en el intervalo (-P+, P+) tiende a P−.
Para el intervalo, −54
< c < −34, fn
c (x) las graficas muestran que se tienen
de dos a cuatro puntos fijos (figura 3.5) y porque depende tanto del valor de
n, como el valor de c, se espera que la curva del intervalo −34
< c < −14, se
parta en dos, como se puede ver en el diagrama de bifurcacion..
f(x)2 3 nf (x) f (x) f (x)
c=−1
c=−1.25
c= 4/5
Figura 3.5: Bifurcacion de doble periodo.
3.2. DOBLAMIENTO DEL PERIODO 53
3.2. Doblamiento del periodo
Mediante la observacion del diagrama de bifurcacion, se pueden inferir
ciertos comportamientos, algunos de los cuales se pueden comprobar analıti-
camente, existen tambien comportamientos del diagrama que no se pueden
inferir facilmente, tal es el caso, de cuando c pasa a traves de −34, donde
ocurren dos cosas, la primera es que el punto fijo P− se vuelve repelente para
c < −34
y la segunda es que, una nueva orbita periodica de periodo 2 aparece,
para cuando −54
< c < −34, esta orbita periodica es atractora. Es facil ver,
mediante una grafica de f 2c (x) este comportamiento, figura (3.6).
C = − 0.75 C = −1 C = −1.25
x
y
x
y
x
y
Figura 3.6: Cuando c pasa de −34
a −54, aparece una nueva orbita de periodo
dos.
Cuando el punto fijo P− se vuelve repelente y aparece una nueva orbita
periodica, se dice que ha doblado el periodo. Se puede repetir el proceso para
fnc (x), y se va observando el mismo patron de comportamiento, por ejemplo,
con f 4c (x) y c = −1,5, figura (3.7), donde una orbita de periodo 4 dobla su
periodo, produciendo un nuevo punto atractor de periodo 8. Continuando de
la misma forma, se esperar una sucesion de valores de c0, c1, c2, c3, ..., en los
cuales fnc dobla su periodo, bifurcandose y apareciendo una nueva orbita de
periodo 2n.
54 CAPITULO 3. DIAGRAMA DE BIFURCACION
En la figura (3.7), se puede observar que aparecen replicas de fc(x) en
los recuadros. Es una forma de saber como aparecen nuevos puntos fijos,
puntos periodicos, etc.; y tambien para notar que para ciertos valores de c
el periodo se dobla. Una pregunta natural en este punto es ¿Que pasa en el
lımite de esta sucesion de doblar el periodo? Antes de intentar responder a
esta pregunta es conveniente responder primero al cuestionamiento ¿Cuantos
puntos periodicos tiene fc(x), cuando c = −2? Ya que en el diagrama no se
ve este comportamiento, del diagrama sı se puede concluir que para c = 14
empieza y que para −34
< c < 14, las orbitas de fc(x) tienden a un unico punto
periodico, para c = −34
ocurre una bifurcacion y que de −54
< c < −34
los
puntos de la orbita tienden a dos puntos periodicos, pero el comportamiento
de los puntos periodicos de −2 < c < −54, es complicado analizarlo porque
cada orbita difiere mucho, para puntos muy cercanos.
Figura 3.7: Cuando c = −1.5 f 4c (x), dobla su periodo.
3.3. ANALISIS PARA C = −2 55
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c=−2f
c c
c3
2
2−1 0−2 −2 2
2
−2
2
−2
2
−2
−2 2 −2 2
a)b)
c) d)
c=−2 ff
fnc
Figura 3.8: Las graficas tienen exactamente 2n puntos fijos (intersecciones)para cada n cuando c = −2.
3.3. Analisis para c = −2
Notese que los puntos fijos de fc(x) cuando c = −2 (figura 3.8), son 2
y −1, y que f(0) = −2 (figura 3.8 inciso (a)), f 2−2(0) = 2 (figura 3.8 inciso
(b)), es decir, que el 0 es un punto eventualmente fijo y f−2 mapea los sub-
intervalos [−2, 0] y [0, 2], sobre el intervalo [−2, 2]. Esto es, f−2 dobla Ic sobre
el mismo dos veces. En consecuencia, f 2−2 dobla I−2 sobre el mismo 4 veces.
En la figura (3.8) se muestran varias graficas de fn−2, donde se puede observar
que las graficas de fn−2, tienen exactamente 2n puntos fijos para cada n. En
los cuadros (3.2, 3.3) y en las graficas de la figura (3.8), tambien se muestran
los puntos que se van repitiendo; es decir, los puntos que tienen en comun
fn, con fn−i, i = 1, 2, n − 1 (anteriores). Esto quiere decir que cuando el
valor de c disminuye hasta −2, el numero de puntos periodicos se incrementa
notoriamente.
Por ejemplo, sea f 5−2, la cual tiene 32 puntos fijos, dos de estos son P± y
30 puntos periodicos de periodo 5 ver el cuadro (3.1), y 6 orbitas periodicas,
un cuadro similar se encuentra en por ejemplo, [12].
56 CAPITULO 3. DIAGRAMA DE BIFURCACION
puntos fijos
puntos fijos
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f(f(f(f(f(x)))))
f(f(f(x))
f(f(f(f(x))))
f](x)
f(f(x))
4
8puntos fijos
2puntosperiodicos
2
2puntos
periodicos
6puntos
periodicos
puntos12
periodicospuntos fijos
16
puntos fijos
32 puntosperiodicos
30
Figura 3.9: Graficas de fnc (x0), que muestran 2n puntos fijos para cada n.
3.3. ANALISIS PARA C = −2 57
n f2(x) f22 (x) f3
2 (x) f42 (x) f5
2 (x) f62 (x) f7
2 (x) f82 (x) f9
2 (x)
1 2 2 2 2 p+
−2 2 2 2 2
2 2 2 2 23 6 6 64 12 125 306 567 1268 2409 504
Totalde 2 4 8 16 32 64 128 256 512
puntosfijos
Cuadro 3.1: Los numeros de la diagonal, representan los puntos periodicosde fn
c (x).
El cuadro (3.1) muestra los puntos fijos que tiene fnc (x), n =1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8 y 9 (2n ultima fila), los puntos periodicos (numeros de la diagonal),
los puntos que tienen en comun fnc (x) con fn−i
c (x) i =1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
y 8, el cuadro se construye a partir de los datos que se encuentran en los
cuadros (3.2 y 3.3) las raıces de fnc (x), de los cuadros se pueden calcular
aproximadamente, usando un software simbolico llamado ” Maxima ”. Una
tabla similar puede encontrarse en ([12]). Los datos del cuadro para f 9c (x) se
calculan de la siguiente manera:
Los puntos fijos de f2(x), se repiten para cualquier fnc (x).
Los puntos periodicos de f 22 (x), se repiten para fn
c (x), solo si n es par.
Los puntos periodicos de f 32 (x), se repiten para todos los multiplos de
n = 3.
Los puntos periodicos de f 42 (x), se repiten para todos los multiplos de
n = 4.
Por lo tanto, para f 9c (x) si tiene 29 puntos fijos, de los cuales 2, coinciden
con los de f 22 (x) y 6, son los mismos que los puntos periodicos de f 3
2 (x), pues
9 es multiplo de 3, por lo tanto, el numero de puntos periodicos de f 9c (x) son
29 − 2 − 6 = 504. Los cuadros (3.2) y (3.3) muestran todos los puntos fijos
de fnc (x) para cuando n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y c = −2, los numeros que se
remarcan, son los puntos que hay en comun entre fn y fn−i.
58 CAPITULO 3. DIAGRAMA DE BIFURCACION
xn f(x) = x f2(x) = x f3(x) = x f4(x) = x f5(x) = x f6(x) = x f72 (x) xn f7
2 (x)x1 -1.0 -1.0 -1.0 -1.0 -1.0 -1.0 -1.0 x65 0.50587x2 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 x66 -0.51365x3 0.61803 -1.8794 0.61803 -0.50131 0.61803 1.0419 x67 -1.0566x4 -1.618 0.34730 -1.618 1.0579 -1.618 -0.26709 x68 -1.0831x5 1.5321 -0.54733 -0.28463 -1.8794 0.27127 x69 1.0983x6 -0.44504 1.3383 1.1601 0.34730 -0.55284 x70 0.56131x7 x7 -1.8019 0.18454 0.30286 1.5321 1.1238 x71 -1.1393
x8 1.2470 1.478 -1.2242 -0.44504 -7.3044×10−2 x72 -1.1637
x9 -1.2053 -0.65414 -1.8019 7.4194×10−2 x73 1.1796x10 -0.20906 -1.3097 1.2470 0.59948 x74 1.2030x11 -1.7004 1.3779 1.9603 -1.2192 x75 -1.2415x12 0.89148 0.69461 0.97197 1.2580 x76 0.31527x13 1.8271 1.4475 -1.9419 1.2793 x77 -0.32020x14 1.8649 -1.5175 -1.9382 -0.64576 x78 -1.2961
x15 -1.9563 9.5164×10−2 0.24107 0.65555 x79 -1.3164x16 -1.9659 -1.5721 1.9165 1.3527 x80 -0.17027x17 -0.10130 1.9111 -1.3698 x81 0.69166x18 1.6415 1.3965 0.17294 x82 -1.3881x19 0.83083 -1.9977 -0.70209 x83 1.4054x20 1.6825 -1.362 1.4228 x84 -1.4402x21 -1.7487 -0.33671 -0.36327 x85 -1.4566x22 -0.88079 -1.3234 1.4741 x86 -0.73715x23 -1.7777 1.2897 0.36893 x87 1.4895x24 1.8379 0.63697 -1.5071 x88 -1.5216x25 1.8567 1.9627 1.5391 x89 1.5528
x26 0.47152 -1.9975 2.4353×10−2 x90 0.74819x27 -1.9083 -1.2143 0.78221 x91 -1.5703
x28 -1.9190 0.14946 -2.4736×10−2 x92 -1.5830x29 1.9591 -1.1675 -0.79384 x93 1.6004x30 1.9639 -0.14487 1.6123 x94 -1.6296x31 -1.9897 1.1361 -1.6406 x95 0.41106x32 -1.9909 1.0851 -0.8268 x96 1.6578x33 0.54168 1.6680 x97 -0.41744x34 -1.0553 0.839 x98 -1.6849x35 -0.52541 -1.6944 x99 1.7111x36 -0.70921 1.7197 x100 -1.7362x37 1.4312 0.8709 x101 -1.7441x38 0.73068 0.21874 x102 1.7602x39 -1.4661 1.7674 x103 -0.22217x40 -1.497 -1.7831 x104 -1.7897x41 1.9907 1.8050 x105 1.8109
x42 4.8327×10−2 -1.8257 x106 -0.88365x43 1.5593 -0.91448 x107 -1.831x44 -1.5943 -0.45860 x108 1.8454
x45 -4.9861×10−2 1.8501 x109 0.92776x46 0.79873 0.46569 x110 -1.8639x47 1.9901 -1.868 x111 1.8813x48 -0.82257 1.8849 x112 0.12169x49 1.6525 -1.8975 x113 -1.9006x50 1.6729 1.9125 x114 0.95753x51 -1.8866 1.9152 x115 -1.9264x52 -1.9777 -1.9287 x116 1.9391x53 1.8523 1.9410 x117 -0.9713x54 1.8430 -1.9506 x118 -1.9522x55 0.91242 1.9610 x119 1.9622x56 -1.8137 -1.9701 x120 -1.971x57 1.979 -0.12361 x121 1.9976x58 -0.24869 1.978 x122 1.9787x59 -0.88638 -1.9847 x123 -1.9852x60 1.7709 .9902 x124 1.9905x61 1.7564 -1.9945 x125 -1.9947x62 0.43157 1.9976 x126 -1.9994x63 -1.7239 -1.9994 x127 10142x64 -1.7066 -0.60862 x128 1.3334
Cuadro 3.2: Raıces de fnc (x) = x, n = 1, 2, 3, . . . 7
3.3. ANALISIS PARA C = −2 59
xn f82 (x) xn f8
2 (x) xn f82 (x) xn f8
2 (x)x1 -1.0 x65 0.52359 x129 -1.0141 x193 1.0213x2 2.0 x66 -1.0559 x130 1.0633 x194 -0.13436
x3 0.61803 x67 0.13542 x131 -1.0841 x195 3.6958×10−2
x4 -1.618 x68 1.1175 x132 -1.0971 x196 1.1047x5 -0.54733 x69 -0.28023 x133 -1.1252 x197 0.28241x6 1.3383 x70 -1.1377 x134 0.57098 x198 1.1455x7 0.18454 x71 -1.1656 x135 -0.03667 x199 -1.1775
x8 1.478 x72 -0.59455 x136 1.1972 x200 8.6213×10−2
x9 -0.20906 x73 -0.30678 x137 1.236 x201 1.0766,x10 -1.7004 x74 1.2634 x138 0.15875 x202 0.63661x11 0.89148 x75 -1.2824 x139 -0.64142 x203 -1.2928x12 1.8271 x76 1.3114 x140 -0.32855 x204 -0.65973x13 1.8649 x77 0.33111 x141 0.66471 x205 -1.3298x14 -1.9563 x78 1.3479 x142 -1.3565 x206 0.68276
x15 -1.9659 x79 -8.5543×10−2 x143 1.3745 x207 -0.68790x16 -1.2053 x80 1.3836 x144 -1.3923 x208 -1.4012x17 0.35265 x811 -0.70569 x145 1.4185 x209 0.256x18 -0.25800 x82 1.0351 x146 -0.51961 x210 -1.0424x19 -0.35538 x83 0.71098 x147 -1.4272 x211 -1.4357x20 1.4444 x84 1.4526 x148 0.72851 x212 -1.4613x21 -0.1831 x85 -0.73396 x149 -1.4693 x213 1.1577x22 1.1855 x86 1.4857 x150 -1.4945 x214 -1.5020x23 -0.75123 x87 -0.37668 x151 1.5108 x215 0.75682x24 1.518 x88 0.3796 x152 -1.5268 x216 -1.5338x25 1.5426 x89 0.77383 x153 1.5494 x217 -1.5582
x26 -0.77957 x90 1.2224×10−2 x154 -1.5648 x218 1.5735
x27 -1.2320×10−2 x91 1.5799 x155 -1.5886 x219 -0.79631x28 0.40067 x92 1.6034 x156 0.8022 x220 1.6094x29 0.54318 x93 -1.6238 x157 1.6324 x221 0.81868x30 1.6379 x94 -1.6465 x158 -0.82471 x222 -1.6518x31 0.20744 x95 1.6604 x159 1.6655 x223 -0.61338x32 -1.6740 x96 -1.6789 x160 -0.84093 x224 1.6873x33 1.6921 x97 0.84710 x161 -0.42459 x225 -1.2552x34 -1.7050 x98 0.42787 x162 1.7133 x226 1.7176x35 -1.7259 x99 0.86304 x163 -1.73 x227 1.7382x36 -0.86935 x100 1.7421 x164 -1.7502 x228 -1.754x37 0.10996 x101 1.762 x165 1.7656 x229 -0.88503x38 -0.11082 x102 -1.7735 x166 -1.7770 x230 -0.15999x39 1.7848 x103 1.7881 x167 0.44845 x231 -1.7958x40 -1.7989 x104 1.8065 x168 -0.4519 x232 1.8094x41 0.90689 x105 -1.8169 x169 -1.8197 x233 -0.91347x42 1.3012 x106 1.8297 x170 -1.8370 x234 -1.8395x43 1.8466 x107 1.8489 x171 -0.23174 x235 -1.8559x44 -0.92861 x108 -1.8581 x172 -1.3198 x236 1.867x45 0.23355 x109 0.93532 x173 -1.8737 x237 -1.8756x46 1.8822 x110 1.8840 x174 -0.47224 x238 -1.8904x47 -1.8921 x111 1.8983 x175 1.8998 x239 0.95020x48 0.47587 x112 -1.9059 x176 -1.9073 x240 1.9132x49 -0.95702 x113 1.9145 x177 -1.9202 x241 -1.9215x50 1.9270 x114 1.9281 x178 -1.9334 x242 -1.9345x51 1.9396 x115 1.9405 x179 -0.97164 x243 -1.9455
x52 -1.9463 x116 1.951 x180 1.9518 x244 6.1111×10−2
x53 -0.56666 x117 -1.9570 x181 0.97859 x245 1.9613x54 1.9619 x118 -1.3659 x182 -1.9665 x246 1.9703x55 1.9708 x119 -0.06159 x183 -1.9744 x247 -1.9748x56 1.9782 x120 1.9785 x184 -1.9817 x248 -1.9819x57 0.49596 x121 1.9848 x185 1.9851 x249 0.99293x58 -1.9877 x122 -1.9879 x186 1.9903 x250 1.9904x59 -1.9926 x123 -1.9927 x187 1.9945 x251 1.9946x60 -1.9963 x124 1.9976 x188 1.9976 x252 -1.9962x61 -1.9986 x125 -1.9987 x189 -0.49977 x253 1.9994x62 1.9994 x126 -1.9998 x190 -1.9999 x254 1.4099x63 0.59007 x127 -1.2167 x191 0.30441 x255 1.2248x64 -1.2442 x128 1.274 1 x192 -1.5947 x256 -0.40376
Cuadro 3.3: Raıces de fnc (x) = x, n = 8, 9
60 CAPITULO 3. DIAGRAMA DE BIFURCACION
En conclusion, lo que se puede inferir del analisis del diagrama de bifur-
cacion (3.10):
El diagrama de bifurcacion comienza a ser visible en c = 14.
En el intervalo −34
< c < 14, fc(0) tiene, unicamente, un punto periodico
atractor.
En el intervalo −54
< c < −34, fc(0), tiene dos punto periodicos atrac-
tores.
Para c = −2, fc(0), tiene una infinidad de puntos periodicos.
����������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������
4
8
48 2
1
Figura 3.10: El diagrama de bifurcacion, esta formado por los puntos periodi-cos atractores.
Capıtulo 4
Autosimilaridad
Volviendo el caso cuando −2 < c < −54
y realizando un acercamiento
en el diagrama de bifurcacion, (ver la figura (4.1)), se puede notar que el
diagrama de bifurcacion se vuelve a ”reproducir”.
Figura 4.1: Autosimilaridad en el diagrama de bifurcacion.
61
62 CAPITULO 4. AUTOSIMILARIDAD
En los acercamientos, tambien se puede observar, muy claramente, que se
repite el patron de las bifurcaciones y el patron de las ventanas del diagrama.
������������
������
������
Figura 4.2: Autosimilaridad en el diagrama de bifurcacion.
Al fenomeno de autosimilaridad, como el que se reproduce a partir del
diagrama de bifurcacion, matematicamente se le llama fractal, pero: ¿Que es
un fractal?. La definicion de fractal, aun no esta del todo establecida, pero
la mas aceptada por la ciencia es: Un cuerpo fractal es aquel que tiene la
63
dimension Topologica estrictamente menor que su dimension de Haussdorf-
Besucovic (dimension fractal) ([8]). Una definicion mas intuitiva, puede enun-
ciarse como: Un fractal es un ente geometrico infinito. Para entender la defini-
cion de fractal, a profundidad, es necesario, del conocimiento de matematicas
mas avanzadas y escapa al alcance y los objetivos del presente trabajo. Pero
esto no impide, que se pueda tener como acercamiento inicial, con un trata-
miento intuitivo y mencionar en forma general que los fractales tambien se
encuentra en la naturaleza (figura 4.4), mucha gente se dedica a estudiarlos
para trata reproducirlos mediante un simulador, otras personas tratan a los
fractales como un arte.
Figura 4.3: Autosimilaridad de una hoja de helecho y fractales que se pue-den incontrar en internet, tanto generados por un algoritmo matematico osimplemente que se encuentran en la naturaleza.
64 CAPITULO 4. AUTOSIMILARIDAD
Figura 4.4: Fractales encontrados en internet.
4.1. Familia cuadratica de dimension 2
En esta seccion, se mostraran algunos fractales clasicos, los cuales son
consecuencia de estudiar sistemas dinamicos complejos. Antes de mostrar los
fractales clasicos, se ponen a consideracion algunos de los conceptos basicos
de numeros complejos.
Numeros complejos
Son numeros que se representan de la forma z = a + bi, donde a, b ǫ
R (son numeros reales), i =√−1 (se llama numero imaginario). Los
numeros complejos se representan en el plano complejo como puntos
de la forma a + bi = ρ(cosθ + isenθ), donde ρ se le llama el modulo de
z y θ argumento de z.
������
������
��
a
b (a+bi)
0
Figura 4.5: Representacion grafica de los numeros complejos.
4.1. FAMILIA CUADRATICA DE DIMENSION 2 65
Suma de numeros complejos
La suma de numeros complejos se define ası:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
��������
��������
��������
�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������
1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4−5−6
1
3
5
−1
−2
−3
−4
−5
2
4
a+bi
a
b
c+di
(a+c)+(b+d)i
c
d
Figura 4.6: Suma de numeros complejos.
Producto de numeros complejos
El producto de numeros complejos se define como sigue:
(a + bi)(c + di) = ((ac − bd) + (bc + ad)i),
y en forma polar
(ρ(cosθ + isenθ))(ρ′(cosθ′ + isenθ′)) = ρρ′(cos(θ + θ′) + isen(θ + θ′).
Para multiplicar numeros complejos se multiplican sus modulos y se
suman sus argumentos.
Potencia de numeros complejos
Si z = a + bi = ρ(cosθ + isenθ) entonces:
zn = (a + bi)n = ρn(cos(nθ) + isen(nθ)).
66 CAPITULO 4. AUTOSIMILARIDAD
Raıces de numeros complejos
Si z = a + bi = ρ(cosθ + isenθ), entonces una de las raıces n-simas de
z es:n√ρ
(
cosθ
n+ isen
θ
n
)
.
Existen n raıces n-simas de z de la forma:
n√ρ(
cos( θ
n+
2kπ
n
)
+ isen( θ
n+
2kπ
n
))
k = 0, 1, 2, 3, ...n.
4.1.1. Sistemas dinamicos complejos
Dada f : C → C y dado z0 ǫ C, la formula recursiva zn+1 = f(zn) deter-
mina una sucesion de puntos. Esta sucesion es la orbita positiva O+(z0) de
z0. La definicion de orbita negativa se hace tomando todas las preimagenes
se define la orbita negativa de z0 como O−(z0) = {fk(z) = (z0)|z0ǫC kǫN}.
Si zn = z0 para todo nǫN , se dice que z0 es un punto fijo.
Si zn = z0 para algun nǫN se dice que z0 es un punto periodico, y
la orbita O+(z0) es periodica o cıclica. El periodo de la orbita es
el menor n con esta propiedad. z0 es n-periodico para f , si y solo si, es
punto fijo de fn.
4.1.2. Conjunto de Mandelbrot
Si el analisis y calculos de los capıtulos anteriores se hubiesen realizado
para la funcion cuadratica compleja f : C → C, fc(z0) = z20 +c; z0 = 0, c ǫ C,
las graficas que se mostraran analogo al diagrama de bifurcacion, seran las
que se muestran en las figuras (4.7 y 4.8), las cuales representan el conjunto de
Mandelbrot. El conjunto de Mandelbrot se construye de la siguiente manera:
dado un z0 (en este casos z0 = 0) se itera fc(z0) para diferentes valores c,
para el caso de la figuras de esta seccion, el valor de c se toma, seleccionando
una malla rectangular de [−2, 0.9]× [−1.3,1.3] del plano complejo. Entonces,
para cada punto de la malla, se calcula la orbita, hasta un cierto numero de
iteraciones, si la orbita no se escapa, es decir, si su norma es menor que cierto
numero (en esta caso 2), el punto de la malla se pinta de color negro. De la
misma manera, para los puntos que se escapan, dependiendo de la iteracion
en la que se escape se les asigna un color (ver figuras 4.7 y 4.8). 1.
4.1. FAMILIA CUADRATICA DE DIMENSION 2 67
Figura 4.7: Conjunto de Mandelbrot.
Al igual que las graficas que se realizaron para la funcion cuadratica con
numeros reales, aquı tambien las graficas que se reproducen con numeros
complejos son fractales, es decir, tienen la propiedad de autosimilaridad (ver
figura 4.7). Las imagenes tan hermosas generadas por un fractal, las podemos
observar gracias al uso de las computadoras, que son las que ayudan a calcular
los puntos de una forma mas rapida y eficiente, ya que para poder generar una
imagen de este estilo es necesario hacer muchos calculos. Cabe mencionar que
las imagenes generadas por la computadora, no son propiamente fractales,
ya que los fractales son un conjunto de puntos infinitos, y las computadoras
por poderosas que sean no podran hacer calculos infinitas veces.
1El programa que muestra las graficas del conjunto de Mandelbrot (figuras 4.7 y 4.8),se describe en los apendices (ver el apendice F pagina 99)
68 CAPITULO 4. AUTOSIMILARIDAD
Figura 4.8: Conjunto de Mandelbrot, cambiando colores.
Figura 4.9: Conjunto de Mandelbrot, cambiando colores y haciendo acerca-mientos.
4.1. FAMILIA CUADRATICA DE DIMENSION 2 69
4.1.3. Conjunto de Julia
Ahora, estudiando el sistema dinamico complejo f(z) = z2 +c y tomando
un numero fijo c complejo y variando a z0, se obtiene el conjunto de Julia,
para generar la grafica que representa el conjunto de Julia, se toma z0 en una
malla del plano complejo, se itera fc(z) y dependiendo de la iteracion en que
se escape la orbita, se le asigna un color. las figuras representan el conjunto
de Julia (4.10, 4.11). 2
f1,1(x)
Figura 4.10: Conjunto de Julia.
2El programa que reproduce las graficas del conjunto de Julia (figuras 4.10, 4.11),esta en los apendices (ver el apendice G en la pagina 103)
4.1. FAMILIA CUADRATICA DE DIMENSION 2 71
4.1.4. El metodo de Newton-Raphson
Figura 4.12: Newton-Rapshon
El metodo de Newton-Raphson, es uno de los metodos numericos mas
conocidos y poderosos para la resolucion del problema de busqueda de raıces
de funciones, es decir, encontrar los valores de x, que satisfagan la ecua-
cion, f(x) = 0, dada una aproximacion inicial P0 mediante la sucesion {Pn}definida por(ver por ejemplo, [1]):.
Pn = Pn−1 −f(Pn−1)
f ′(Pn−1)n ≥ 1
En el caso de la figura (4.12), se refiere a una funcion compleja f(z) = z3−1,
cuyas raıces son: zr1 = 1, zr2 = −1+i√
32
y zr3 = −1−i√
32
, partiendo de un
z0 en el rectangulo [−2, 2] × [−2, 2] se itera n veces, usando el metodo de
Newton-Raphson, zi = zi−1 − f(zi−1)f ′(zi−1)
, i = 1, 2, 3, . . . n. Si la sucesion {zn}converge a una de las tres raıces, el punto se pinta de un color en la grafica,
por ejemplo en la figura (4.12) si z0 converge a zr1 , entonces z0 se pinta de
72 CAPITULO 4. AUTOSIMILARIDAD
color rojo, pero si z0 converge a zr2 , entonces z0 se pinta de color amarillo, y
si z0 converge a zr3 se pinta de color azul.
Figura 4.13: Newton-Raphson, cambiando colores
Pero como se muestra en la figura (4.13), los colores se pueden cambiar,
obteniendo ası estas hermosas figuras. El programa que realiza las aproxima-
ciones de las raıces, por medio del metodo de Newton-Raphson; para obtener
las graficas, se encuentra descrito, en los apendices (ver el apendice H en la
pagina 107)
4.1. FAMILIA CUADRATICA DE DIMENSION 2 73
4.1.5. Metodo de la secante
El metodo de la secante es un metodo que se utiliza para aproximar raıces,
a partir de P0 y P1 mediante la sucesion de puntos {Pn} definida como (ver
por ejemplo, [1]) :
Pn = Pn−1 −f(Pn−1)(Pn−1 − Pn−2)
f(Pn−1) − f(Pn−2).
Figura 4.14: Metodo de la secante
La figura (4.14), muestra los numeros z que mediante el metodo de la
secante estan mas cerca de las raıces de la funcion compleja f(z) = z3 − 1,
cuyas raıces son: zr1 = 1, zr2 = −1+i√
32
y zr3 = −1−i√
32
, partiendo de z0 y
z0 se itera n veces la sucesion zn = zn−1 − f(zn−1)(zn−1−zn−2)f(zn−1)−f(zn−2)
, y de acuerdo al
criterio anterior (los puntos mas cercanos a zr) se pintan de algun color en el
rectangulo [−2, 2]× [−2, 2], en la figura (4.14), si zn converge a zr1 , entonces
z0 se pinta de color rojo, pero si zn converge a zr2 , entonces z0 se pinta de
color amarillo, y si zn converge a zr3 se pinta de color azul, (ver el apendice
I en la pagina 111).
74 CAPITULO 4. AUTOSIMILARIDAD
Figura 4.15: Metodo de la secante, cambiando colores.
Figura 4.16: Metodo de la secante, cambiando colores y acercamientos.
4.1. FAMILIA CUADRATICA DE DIMENSION 2 75
Figura 4.17: FRACTALESEstas figuras fueron generadas por el software libre XaoS
Recomendaciones
Para la aplicacion de esta propuesta, es conveniente que para la pre-
paracion de cada clase el facilitador revise con anticipacion cada resultado
de aprendizaje, con la finalidad de precisar los materiales y equipo que se
utilizaran y para enriquecer y puntualizar las actividades que se realizaran.
Tambien es importante considerar el numero de estudiantes por grupo, tanto
por la cuestiones didacticas y pedagogicas como la de los requerimientos. Un
promedio de 20 alumnos por grupo y una computadora a lo mas por cada 2
estudiantes, el caso ideal una computadora por estudiante. Los conocimien-
tos basicos sobre una computadora y programacion, el manejo de software
elemental (hoja de calculo, procesador de texto y graficador).
Cabe precisar que el desarrollo de los contenidos se debe basar en la
estrategia didactica propuesta por la subdireccion de educacion media supe-
rior y complementar con la experiencia vivencial de cada facilitador, con la
intencion de:
Impulsar la realizacion de la evaluacion diagnostica y de las evaluacio-
nes continuas y de competencia laboral.
Estimular el interes del alumno por el contenido que va a aprender a
traves de la contextualizacion de cada unidad y del elemento o compe-
tencia.
Promover actividades centradas en el aprendizaje para desarrollar los
contenidos establecidos en la unidad de competencia que se va a desa-
rrollar.
Dar seguridad al alumno promoviendo su participacion permanente,
en todo el proceso, a traves de impulsar la solucion de problemas, el
trabajo en equipo y la demostracion grupal.
77
78 RECOMENDACIONES
La aplicacion de la propuesta consiste en que los estudiantes reprogra-
men los algoritmos que se encuentran en las practicas de esta propuesta
(apendices). Y la implementacion de la metodologıa propuesta es un trabajo
a futuro.
Resultados Como resultado de este trabajo de tesis, se pone a disposicion
el material didactico que se presentan en las cuatro unidades y los programas
computacionales en los apendices, los cuales se organizaron de acuerdo a la
secuencia de la teorıa de los capıtulos anteriores.
Conclusiones
Se ha hecho una revision documental, del tema de matematicas avan-
zadas ”Sistemas dinamicos”.
Se elaboro material para un curso introductorio de sistemas dinamicos,
que puede ser impartido en un curso de temas selectos de matematicos
de nivel bachillerato o un curso inicial de matematicas a nivel superior.
El objetivo del material se centro en la busqueda de la motivacion de
los estudiantes, para el estudio de las matematicas.
Debido a que solo se requieren conocimientos de matematicas de ni-
vel bachillerato para abordar el material, se pretende que personas que
incursionan en otras areas del conocimiento, lo puedan revisar sin ma-
yores dificultades.
El material se ha elaborado usando aplicaciones del sistema operativo
Linux, para promover el uso del software libre en el contexto de la
educacion, tanto a nivel medio superior como superior y ası, evitar
las dificultades economicas de licencias al que obedecen la mayorıa de
software educativo, que corre en el sistema operativo Windows.
Como trabajo a futuro se plantea de manera natural la aplicacion de
la metodologıa propuesta y la valoracion de su efectividad. Del mismo
modo, se pretende seguir con la promocion del uso del software libre
educativo para abordar temas especıficos de nivel medio superior y
superior.
Por otra parte, el estudio, reconstruccion y programacion de los algo-
ritmos que sirven para generar las figuras que representan fractales, en
particular, la que considera el metodo de la secante, ha dado lugar a la
generacion de figuras, posiblemente asociadas a algun tipo de fractal,
79
Practicas
Los programas computacionales realizados en el presente trabajo, se han
desarrollado usando software libre, en esta ocasion en el sistema operativo
Linux Ubuntu 7.0.4. pero se pueden adaptar a otra plataforma, como pudiese
ser la plataforma de Windows u otros. Todos los programas estan escritos
en el lenguaje en Fortran. El compilador usado es el ”gfortran” que compila
codigos escritos en Fortran 77, Fortran 90 y Fortran 95.
Para realizar las graficas se ha utilizado una librerıa de Fortran llamada
”PGPLOT”.
Para hacer los calculos de los puntos fijos, mostrados en los cuadros (3.2
y 3.3) de la seccion (3.3) se ha usado software de calculo simbolico llamado
”Maxima”, que corre en Linux y es parecido al ”Mathematica” y al ”Mapple”
a deferencia que el ”Maxima” es parte del software libre y es totalmente
gratuito, los calculos simbolicos pueden ser exportados en codigo compatible
para ser compilados en ”Latex”.
83
A Orbitas de la funcion
cuadratica
Este es un programa que calcula las orbitas de f(x) = x2, para diferentesx0.
program orbx2
implicit none
integer i,j,nc
parameter(nc=9)
real x,y,c,a
print*,’Dame el valor inicial de la orbita’
read(*,*) a
x=a
do i=1,10
y=x**2
x=y
print*,i,x
end do
return
end
Programa que calcula las orbitas de f(x) = x2.
Este apendice contiene, una nocion basica de como realizar y compilar losprogramas numericos, que se utilizaron para obtener los datos que se muestran enlos capıtulos anteriores, este programa se utilizo para calcular los puntos de lasorbitas, es decir, los datos que contienen los cuadros (2.1, 2.2 y 2.3) para obtenerlos puntos, y manejar adecuadamente el programa que se mostro, se puede hacerde la siguiente manera.
85
86 A ORBITAS DE LA FUNCION CUADRATICA
Para escribir dicho programa se utiliza un editor cualquiera como Xemacs,emacs, KDevelop, Gedit, Nedit, etc. editores de software libre.
Para obtener los resultados del programa, primero se tiene que compilar; dela siguiente forma:
• En linea de comandos se escribe
gfortran -o nombre-del-ejecutable nombre-del-programa.f
• Y se ejecuta con
./nombre-del-ejecutable
en linea de comandos de cualquier terminal.
En este caso el programa tiene extension .f (punto f), ya que es un programaen lenguaje de fortran, de haber sido creado en lenguaje c se compilarıa dela siguiente forma:
• gcc -o nombre-del-ejecutable nombre-del-programa.c
• Y se ejecutarıa ası
./nombre.
Los resultados que arroja el programa, corresponden a los primeros 10puntos de la orbita de f(x) = x2 cuando x0 = 0.1
87
Este programa calcula los puntos de la orbita de la funcion cuadratica para unvalor determinado de c y x0.
program orbita
integer i
real x0 ,x, c
print*,’dame el valor inicial x0 y el valor de c’
read(*,*) x0,c
open(unit=2,file=’orb.dat’,status=’unknown’)
do i=1, 100
x=x0**2+c
x0=x
write(2,*)x0,x
print*,x
enddo
close(2)
return
end
Para que el programa calcula las orbitas de f(x) = x2 + c,se debe dar deentrada los valores de x0 y c.
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������./orbita
0tra opcion para compilarf77
gfortran orbita.f −o orbita
./orbita orbita.f −o orbita
Resultados obtenidos del programa que calcula las orbitas defc(x) = x2 + c, dando de entrada los valores de x0 y c.
B Puntos periodicos
Este programa aproxima el punto periodico x0 con cierta precision (precisiontol=−1e−4), para c = −1.1 y en este caso de periodo dos, f2(x) = x, de igual formase calculan los puntos periodicos, para los valores de c = −1.3 y c = −1.38 que sonlos que se encuentran en el cuadro del capıtulo Dinamica de la funcion cuadratica.A este programa se le dan dos numeros Xi y xf , y dentro de ese intervalo, elprograma busca si hay puntos periodicos, es decir, si en la segunda iteracion def(x) el valor que devuelve es x, es decir que vuelva hacer igual, entonces, si esası, el programa pinta ese numero en la pantalla de lo contrario, toma el siguientevalor y realiza las iteraciones. Ası sucesivamente hasta barrer todo el intervalo.
program periodo1
implicit none
integer i,j,nc,nper
parameter(nc=1000000,nper=2)
real x,y,xi,xf, x0, tol
parameter (tol=1.e-4)
xi=-0.5
xf=-1.0
do j=0,nc
x=xi+j*(xf-xi)/nc
x0=x
do i=1,nper
y=x0**2-1.1
x0=y
if(abs(y-x).le.tol.and.i.eq.nper)then
print*,i,x
endif
end do
end do
return
end
Programa que aproxima los puntos periodicos.
89
90 B PUNTOS PERIODICOS
Datos del programa que aproxima los puntos periodicos.
La primera columna representa el valor del periodo (en este caso 2, pero en elprograma se le puede cambiar este valore, en (nper=2)). En la segunda columnaestan los puntos periodicos de periodo 2. El intervalo que vario el programa separtio en 1000000 y de esos, solamente los que se encuentran el la columna doscorresponden a puntos periodicos de periodo 2. Para saber en que intervalo existenpuntos periodicos, se puede apoyar en el analisis grafico.
C Orbitas periodicas
Este programa calcula las orbitas de los puntos periodicos (seccion 2.4, cuadro2.4). Con c = −1.1, c = −1.3 y c = −1.38.
Programa que calcula las orbitas con c = −1.3 y x0 = 0.241619542.
91
D Bifurcacion
program bifurcacion
implicit none
integer i, j
integer ncmx, nomx, nmin
parameter (ncmx=200, nomx=80, nmin=10)
real x,y,x0,c0,c
real ci, cf
c0=0.25
cf=-2.0
ci=c0
open(unit=2,file=’func.dat’,status=’unknown’)
do j=1,ncmx
c=c0-(ci-cf)*(j-1)/ncmx
x0=0.0
x=x0
do i=0,nomx
y=x**2+c
x=y
if(i.gt.nmin)then
write(2,*) c, x
print*,c,x
endif
enddo
enddo
close(2)
return
end
93
94 D BIFURCACION
Resultados que se obtienen del programa que calcula los puntos deldiagrama de bifurcacion.
E Diagrama de bifurcacion
Programa que reproduce las graficas de los acercamientos del diagrama debifurcacion.
En este programa y en los siguientes, se utiliza la librerıa de fortran llama-da ”PGPLOT”. Para graficar y para compilarlo se deben escribir las siguientesinstrucciones:
g77 -fno-backslash nobre-del-programa.f -o nombre-del-ejecutable -lpgplot-L/usr/X11R6/lib -lX11 -lpng -lz -lm
program bifurcacion
implicit none
integer igraf, pgopen
integer i, j, k, cont
integer ncmx, nomx, nmin
integer ncmx1, nomx1, nmin1
integer nzoom
parameter (ncmx=1000, nomx=1000, nmin=500)
real x,y,x0,c0,c
real ci, cf
real xc1, yc1, xc2, yc2
real x1, x2, y1 ,y2
CHARACTER*1 CH
CH=’M’
c0=-0.5
cont=0
10 if(cont.eq.0)then
ncmx1=ncmx
nomx1=nomx
nmin1=nmin
cf=-2.0
ci=c0
y1=-2.0
y2=2.0
else
ncmx1=ncmx+2000*cont
95
96 E DIAGRAMA DE BIFURCACION
nomx1=nomx+2000*cont
nmin1=nmin+1900*cont
ci=x1
cf=x2
c0=ci
endif
igraf= pgopen(’/xs’)
call pgask(.false.)
call pgpage
call pgvstd
CALL PGSLW(1)
call pgswin(cf,ci,y1,y2)
call pgbox(’bcnst’,0.0,0,’bcnst’,0.0,0)
call pgsci(1)
call pgsls(2)
call pglab(’c’,’ORBITA DE f(x)’,’DIAGRAMA DE BIFURCACION’)
call pgsci(4)
CALL PGSLS(1)
k=0
do j=1,ncmx1
c=c0-(ci-cf)*(j-1)/ncmx1
x0=0.0d0
x=x0
do i=0,nomx1
y=x**2+c
x=y
if(i.gt.nmin1)then
call pgpt1(c,y,-2)
k=k+1
endif
enddo
enddo
nzoom=1
if(nzoom.eq.1)then
call pgcurs(xc1,yc1,ch)
call pgcurs(xc2,yc2,ch)
call pgsfs(2)
call pgsci(1)
call pgsls(2)
if(xc1.lt.xc2.and.yc1.gt.yc2)then
x2=xc1
y2=yc1
x1=xc2
97
y1=yc2
goto 20
endif
if(xc1.gt.xc2.and.yc1.lt.yc2)then
x2=xc2
y2=yc2
x1=xc1
y1=yc1
goto 20
endif
if(xc1.lt.xc2.and.yc1.lt.yc2)then
x2=xc1
y2=yc2
x1=xc2
y1=yc1
goto 20
else
x2=xc2
y2=yc1
x1=xc1
y1=yc2
goto 20
endif
20 call pgrect(x1, x2, y1, y2)
cont=cont+1
goto 10
endif
call pgclos(igraf)
return
end
Programa que calcula y grafica el diagrama de bifurcacion con acerca-
mientos.
F Conjunto de Mandelbrot
Programa que reproduce las graficas del conjunto de Mandelbrot.
program mandelbrot
implicit none
integer igraf, pgopen
integer ncmx, nomx, nmin
integer ncmx1, nomx1, nmin1
integer nzoom
integer i, j, nx, ny, niter, k, cont, niter1
parameter (nx=800, ny=800, niter1=200)
real xi, yj, x0, y0, xf, yf, xr1, xr2, xr3, yr1, yr2, yr3
complex z0, zi, z, z1, z2, z3
real xc1, yc1, xc2, yc2
real x1, x2, y1 ,y2
CHARACTER*1 CH
CH=’M’
xr1=1.
yr1=0.
xr2=-0.5
yr2=0.5*(3)**0.5
xr3=-0.5
yr3=-0.5*(3)**0.5
z1=complex(xr1,yr1)
z2=complex(xr2,yr2)
z3=complex(xr3,yr3)
cont=0
10 if(cont.eq.0)then
x0=-2.
xf=0.9
y0=-1.3
yf=1.3
niter=niter1
else
x0=x2
99
100 F CONJUNTO DE MANDELBROT
xf=x1
y0=y1
yf=y2
niter=niter1+10*cont
endif
igraf= pgopen(’/xs’)
call pgask(.false.)
call pgpage
call pgvstd
CALL PGSLW(1)
call pgwnad(x0,xf,y0,yf)
call pgbox(’bcnst’,0.0,0,’bcnst’,0.0,0)
call pgsci(1)
do i=1,nx
xi=x0+i*(xf-x0)/nx
do j=1,ny
yj=y0+j*(yf-y0)/ny
zi=complex(xi,yj)
z0=complex(0.,0.)
do k=1,niter
z=z0**2+zi
z0=z
if(abs(z).gt.2..and.k.gt.1.and.k.le.5)then
call pgsci(2)
call pgpt1(xi,yj,-4)
goto 5
endif
if(abs(z).gt.2..and.k.gt.5.and.k.le.10)then
call pgsci(3)
call pgpt1(xi,yj,-4)
goto 5
endif
if(abs(z).gt.2..and.k.gt.10.and.k.le.15)then
call pgsci(4)
call pgpt1(xi,yj,-4)
goto 5
endif
if(abs(z).gt.2..and.k.gt.15.and.k.le.20)then
call pgsci(5)
call pgpt1(xi,yj,-4)
goto 5
endif
101
if(abs(z).gt.2..and.k.gt.20)then
call pgsci(6)
call pgpt1(xi,yj,-4)
goto 5
endif
enddo
if(abs(z).lt.2.)then
call pgsci(0)
call pgpt1(xi,yj,-4)
endif
5 continue
enddo
enddo
nzoom=1
if(nzoom.eq.1)then
call pgcurs(xc1,yc1,ch)
call pgcurs(xc2,yc2,ch)
call pgsfs(2)
call pgsci(1)
call pgsls(2)
if(xc1.lt.xc2.and.yc1.gt.yc2)then
x2=xc1
y2=yc1
x1=xc2
y1=yc2
goto 20
endif
if(xc1.gt.xc2.and.yc1.lt.yc2)then
x2=xc2
y2=yc2
x1=xc1
y1=yc1
goto 20
endif
if(xc1.lt.xc2.and.yc1.lt.yc2)then
x2=xc1
y2=yc2
x1=xc2
y1=yc1
goto 20
else
x2=xc2
y2=yc1
x1=xc1
102 F CONJUNTO DE MANDELBROT
y1=yc2
goto 20
endif
20 call pgrect(x1, x2, y1, y2)
cont=cont+1
goto 10
endif
call pgclos(igraf)
return
end
Programa que calcula y grafica el conjunto de Mandelbrot.
Resultado de correr el programa del conjunto de Mandelbrot. La forma decompilacion es igual que en el diagrama de bifurcacion.
G Conjunto de Julia
Programa que reproduce las graficas del conjunto de Julia.
program julia
implicit none
integer igraf, pgopen
integer ncmx, nomx, nmin
integer ncmx1, nomx1, nmin1
integer nzoom
integer i, j, nx, ny, niter, k, cont, niter1
parameter (nx=500, ny=500, niter1=200)
real xi, yj, x0, y0, xf, yf, xr1, xr2, xr3, yr1, yr2, yr3
complex z0, zi, z, z1, z2, z3
real xc1, yc1, xc2, yc2
real cx, cy
real x1, x2, y1 ,y2
CHARACTER*1 CH
CH=’M’
xr1=1.
yr1=0.
xr2=-0.5
yr2=0.5*(3)**0.5
xr3=-0.5
yr3=-0.5*(3)**0.5
cx=-0.122
cy=0.745
z1=complex(xr1,yr1)
z2=complex(xr2,yr2)
z3=complex(xr3,yr3)
cont=0
10 if(cont.eq.0)then
x0=-1.5
xf=1.5
y0=-1.5
yf=1.5
103
104 G CONJUNTO DE JULIA
niter=niter1
else
x0=x2
xf=x1
y0=y1
yf=y2
niter=niter1+10*cont
endif
igraf= pgopen(’/xs’)
call pgask(.false.)
call pgpage
call pgvstd
CALL PGSLW(1)
call pgwnad(x0,xf,y0,yf)
call pgbox(’bcnst’,0.0,0,’bcnst’,0.0,0)
do i=1,nx
xi=x0+i*(xf-x0)/nx
z0=complex(cx,cy)
do j=1,ny
yj=y0+j*(yf-y0)/ny
zi=complex(xi,yj)
do k=1,niter
z=zi**2+z0
zi=z
if(abs(z).gt.2..and.k.gt.1.and.k.le.5)then
call pgsci(2)
call pgpt1(xi,yj,-4)
goto 5
endif
if(abs(z).gt.2..and.k.gt.5.and.k.le.10)then
call pgsci(3)
call pgpt1(xi,yj,-4)
goto 5
endif
if(abs(z).gt.2..and.k.gt.10.and.k.le.15)then
call pgsci(4)
call pgpt1(xi,yj,-4)
goto 5
endif
if(abs(z).gt.2..and.k.gt.15.and.k.le.20)then
call pgsci(5)
105
call pgpt1(xi,yj,-4)
goto 5
endif
if(abs(z).gt.2..and.k.gt.20)then
call pgsci(6)
call pgpt1(xi,yj,-4)
goto 5
endif
enddo
if(abs(z).lt.2.)then
call pgsci(0)
call pgpt1(xi,yj,-4)
goto 5
endif
5 continue
enddo
enddo
nzoom=1
if(nzoom.eq.1)then
call pgcurs(xc1,yc1,ch)
call pgcurs(xc2,yc2,ch)
call pgsfs(2)
call pgsci(1)
call pgsls(2)
if(xc1.lt.xc2.and.yc1.gt.yc2)then
x2=xc1
y2=yc1
x1=xc2
y1=yc2
goto 20
endif
if(xc1.gt.xc2.and.yc1.lt.yc2)then
x2=xc2
y2=yc2
x1=xc1
y1=yc1
goto 20
endif
if(xc1.lt.xc2.and.yc1.lt.yc2)then
x2=xc1
y2=yc2
106 G CONJUNTO DE JULIA
x1=xc2
y1=yc1
goto 20
else
x2=xc2
y2=yc1
x1=xc1
y1=yc2
goto 20
endif
20 call pgrect(x1, x2, y1, y2)
cont=cont+1
goto 10
endif
call pgclos(igraf)
return
end
La forma de compilacion es igual que en el diagrama de bifurcacion.
H Metodo de Newton-Raphson
Programa que reproduce las graficas de Newton-Raphson.
program newtonrap
implicit none
integer igraf, pgopen
integer ncmx, nomx, nmin
integer ncmx1, nomx1, nmin1
integer nzoom
integer i, j, nx, ny, niter, k, cont
parameter (nx=500, ny=500, niter=50)
real xi, yj, x0, y0, xf, yf, xr1, xr2, xr3, yr1, yr2, yr3
complex z0, zi, z, z1, z2, z3
real xc1, yc1, xc2, yc2
real x1, x2, y1 ,y2
CHARACTER*1 CH
CH=’M’
xr1=1.
yr1=0.
xr2=-0.5
yr2=0.5*(3)**0.5
xr3=-0.5
yr3=-0.5*(3)**0.5
z0=(0,0)
z1=complex(xr1,yr1)
z2=complex(xr2,yr2)
z3=complex(xr3,yr3)
cont=0
10 if(cont.eq.0)then
x0=-2.
xf=2.
y0=-2.
yf=2.
else
x0=x2
xf=x1
107
108 H METODO DE NEWTON-RAPHSON
y0=y1
yf=y2
endif
igraf= pgopen(’/xs’)
call pgask(.false.)
call pgpage
call pgvstd
CALL PGSLW(1)
call pgwnad(x0,xf,y0,yf)
call pgbox(’bcnst’,0.0,0,’bcnst’,0.0,0)
call pgsci(1)
do i=1,nx
xi=x0+i*(xf-x0)/nx
do j=1,ny
yj=y0+j*(yf-y0)/ny
zi=complex(xi,yj)
do k=1,niter
z=zi-(zi**3-1)/(3*zi**2)
zi=z
enddo
if(abs(zi-z1).le.1.e-10)then
call pgsci(2)
call pgpt1(xi,yj,-4)
endif
if(abs(zi-z2).le.1.e-10)then
call pgsci(3)
call pgpt1(xi,yj,-4)
endif
if(abs(zi-z3).le.1.e-10)then
call pgsci(4)
call pgpt1(xi,yj,-4)
call pgsci(1)
endif
enddo
enddo
nzoom=1
if(nzoom.eq.1)then
call pgcurs(xc1,yc1,ch)
call pgcurs(xc2,yc2,ch)
call pgsfs(2)
call pgsci(1)
call pgsls(2)
if(xc1.lt.xc2.and.yc1.gt.yc2)then
109
x2=xc1
y2=yc1
x1=xc2
y1=yc2
goto 20
endif
if(xc1.gt.xc2.and.yc1.lt.yc2)then
x2=xc2
y2=yc2
x1=xc1
y1=yc1
goto 20
endif
if(xc1.lt.xc2.and.yc1.lt.yc2)then
x2=xc1
y2=yc2
x1=xc2
y1=yc1
goto 20
else
x2=xc2
y2=yc1
x1=xc1
y1=yc2
goto 20
endif
20 call pgrect(x1, x2, y1, y2)
cont=cont+1
goto 10
endif
call pgclos(igraf)
return
end
Programa que calcula y grafica el metodo de Newton-Raphson.La forma de compilacion es igual que en el diagrama de bifurcacion.
I Metodo de la secante
Programa que reproduce las graficas por el metodo de la secante.
program secante
implicit none
integer igraf, pgopen
integer ncmx, nomx, nmin
integer ncmx1, nomx1, nmin1
integer nzoom, csec, nsec
integer i, j, nx, ny, niter, k, cont, l, itp, i2
parameter (nx=200, ny=200, niter=25, nsec=80)
real xi, yj, x0, y0, xf, yf, xr1, xr2, xr3, yr1, yr2, yr3
complex z0, zi, z, z1, z2, z3, zsec
real xsec, ysec
real xc1, yc1, xc2, yc2
real x1, x2, y1 ,y2
CHARACTER*1 CH
character*100 arch
CH=’M’
xr1=1.
yr1=0.
xr2=-0.5
yr2=0.5*(3)**0.5
xr3=-0.5
yr3=-0.5*(3)**0.5
z0=(0,0)
z1=complex(xr1,yr1)
z2=complex(xr2,yr2)
z3=complex(xr3,yr3)
cont=0
10 if(cont.eq.0)then
x0=-10.
xf=10.
y0=-10.
yf=10.
else
111
112 I METODO DE LA SECANTE
x0=x2
xf=x1
y0=y1
yf=y2
endif
do l=1,nsec
xsec=x0+l*(xf-x0)/nsec
ysec=xsec
print*,xsec,ysec
itp=l+9
IF(ITP.LT.10) THEN
WRITE(arch,1000) ITP
1000 FORMAT(’/home/mauricio/Desktop/figpng/points’,I1,’.png/png’)
endif
IF(ITP.GT.10.and.itp.lt.100) THEN
WRITE(arch,1100) ITP
1100 FORMAT(’/home/mauricio/Desktop/figpng/points’,I2,’.png/png’)
print*,arch
endif
igraf= pgopen(arch)
call pgask(.false.)
call pgpage
call pgvstd
CALL PGSLW(1)
call pgwnad(x0,xf,y0,yf)
call pgbox(’bcnst’,0.0,0,’bcnst’,0.0,0)
call pgsci(1)
do i=1,nx
xi=x0+i*(xf-x0)/nx
do j=1,ny
yj=y0+j*(yf-y0)/ny
zi=complex(xi,yj)
zsec=complex(xsec,ysec)
do k=1,niter
z=zi-((zi**3-1)/(zi**2+zsec**2+zsec*zi))
zsec=zi
zi=z
enddo
csec=0
if(abs(zi-z1).le.1.e-4)then
113
call pgsci(2)
call pgpt1(xi,yj,-4)
csec=csec+1
endif
if(abs(zi-z2).le.1.e-4)then
call pgsci(3)
call pgpt1(xi,yj,-4)
csec=csec+1
endif
if(abs(zi-z3).le.1.e-4)then
call pgsci(4)
call pgpt1(xi,yj,-4)
call pgsci(1)
csec=csec+1
endif
if(csec.eq.0)then
call pgsci(0)
call pgpt1(xi,yj,-4)
call pgsci(1)
endif
enddo
enddo
call pgclos(igraf)
enddo
nzoom=1
if(nzoom.eq.1)then
call pgcurs(xc1,yc1,ch)
call pgcurs(xc2,yc2,ch)
call pgsfs(2)
call pgsci(1)
call pgsls(2)
if(xc1.lt.xc2.and.yc1.gt.yc2)then
x2=xc1
y2=yc1
x1=xc2
y1=yc2
goto 20
endif
if(xc1.gt.xc2.and.yc1.lt.yc2)then
x2=xc2
y2=yc2
x1=xc1
y1=yc1
goto 20
114 I METODO DE LA SECANTE
endif
if(xc1.lt.xc2.and.yc1.lt.yc2)then
x2=xc1
y2=yc2
x1=xc2
y1=yc1
goto 20
else
x2=xc2
y2=yc1
x1=xc1
y1=yc2
goto 20
endif
20 call pgrect(x1, x2, y1, y2)
cont=cont+1
endif
return
end
Programa que calcula y grafica el metodo de la secante.
115
Resultado de correr el programa de la secante. La forma de compilacion esigual que en el diagrama de bifurcacion.
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[1] Burden, R. L. & Faires, J. D. (1985), Analisis numerico, Iberoamericana.
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psicologica de la actividad de Leontiev”.
[3] Devaney, Robert L. (1989), An introduction to chaotic dynamical systems,
Addison-Wesley second Edition.
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Matematicas del Bachillerato, valle.fciencias.unam.mx/textos
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http://es.wikipedia.org/wiki/Software−libre
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119
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