Teorias Termologicas Aplicacion a La Arquitectura

Francisco González de PosadaMercedes González Redondo Mª Dolores Redondo Alvarado

Teorías TermológicasAplicación a la Arquitectura y a las Ingenierías

www.FreeLibros.me

a

www.FreeLibros.me

Teorías TermológicasAplicación a la Arquitectura y las Ingenierías

www.FreeLibros.me

Teorías TermológicasAplicación a la Arquitectura y las Ingenierías

Francisco González de PosadaDr. Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos. Ldo. Ciencias Físicas. Ldo. Filosofía

Catedrático de Fundamentos Físicos. Universidad Politécnica de Madrid

Mercedes González RedondoLda. Ciencias Físicas. Dra. Física Aplicada (Termología)

Profesora Titular de Construcciones Arquitectónicas. Universidad Politécnica de Madrid

M.a Dolores Redondo AlvaradoLda. Ciencias Químicas. Dra. Ciencias Físicas

Profesora Titular de Física Aplicada. Universidad Politécnica de Madrid

Madrid México Santafé de Bogotá Buenos Aires Caracas Lima MontevideoSan Juan San José Santiago Sao Paulo White Plains

www.FreeLibros.me

Datos de catalogación bibliográfica

TEORÍAS TERMOLÓGICAS.Aplicación a la Arquitectura y las IngenieríasGonzález de Posada, F.; González Redondo, M.;Redondo Alvarado, M. D.

PEARSON EDUCACIÓN, S.A., Madrid, 2007

ISBN: 978-84-8322-363-5

Materia: Física, 53

Formato 195 # 250 mm Páginas: 328

Todos los derechos reservados.Queda prohibida, salvo excepción prevista en la Ley, cualquier forma de reproducción,distribución, comunicación pública y transformación de esta obra sin contar conautorización de los titulares de propiedad intelectual. La infracción de los derechosmencionados puede ser constitutiva de delito contra la propiedad intelectual (arts. 270y sgts. Código Penal).

DERECHOS RESERVADOS5 2007 por PEARSON EDUCACIÓN, S.A.Ribera del Loira, 2828042 Madrid (España)

TEORÍAS TERMOLÓGICAS. Aplicación a la Arquitectura y las IngenieríasGonzález de Posada, F.; González Redondo, M.; Redondo Alvarado, M. D.

ISBN: 978-84-8322-363-5

Depósito legal: M.

PEARSON PRENTICE HALL es un sello editorial autorizado de PEARSON EDUCACIÓN, S.A.

Equipo editorial:Editor: Miguel Martín-RomoTécnico editorial: Marta Caicoya

Equipo de producción:Director: José Antonio ClaresTécnico: Tini Cardoso

Diseño de cubierta: Equipo de diseño de Pearson Educación S.A.

Composición: COPIBOOK, S. L.

Impreso por:

IMPRESO EN ESPAÑA - PRINTED IN SPAINEste libro ha sido impreso con papel y tintas ecológicos

www.FreeLibros.me

a

www.FreeLibros.me

Presentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

INTRODUCCIÓN

Capítulo 1. TERMOLOGÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1. ¿Qué es la Termología? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Sinopsis histórica de la Termología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Contenido de la Termología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

PARTE I. EN TORNO A LA TEMPERATURA

Capítulo 2. EL PROBLEMA DE LA NATURALEZA DE LA TEMPERATURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1. Brevísimas notas históricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2. Introducción filosófica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.1. Una palabra, temperatura, para tres ámbitos diferentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.2. Realidad e idealidad. Referente y conceptos. Correspondencia compleja . . . . . . . . . . . 132.2.3. Objetivo intrínseco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3. El referente de la temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4. La idea de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4.1. Consideraciones introductorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4.2. La construcción de la idea termológica general de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.3. Consideración complementaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5. Conceptos de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5.1. Concepto termodinámico de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5.2. Concepto cinético de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5.3. Concepto fourieriano de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.6. Consideraciones finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

www.FreeLibros.me

Capítulo 3. EL PROBLEMA DE LA MEDICIÓN DE LA TEMPERATURA: TERMOMETRÍA . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.1.1. Fundamentos científico-filosóficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.1.2. Noticias históricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.3. Propiedades termométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.1.4. Ecuación termométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.1.5. Termómetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1.6. Sensibilidad termométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2. Ecuaciones termométricas básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2.1. Ecuación termométrica lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2.2. Ecuación termométrica afín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.3. Ecuación termométrica cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.4. Ecuación termométrica polinómica general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3. Termómetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3.1. Termómetros de gas a volumen constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3.2. Termómetros de resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3.3. Par termoeléctrico o termopar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3.4. Termistores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Capítulo 4. DILATACIÓN TÉRMICA DE SÓLIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2. Dilatación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3. Dilatación superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.4. Dilatación cúbica o real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.5. Fórmulas matemáticas de los coeficientes de dilatación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.6. Tensiones térmicas. Relación elemental dilatación térmica-tensión mecánica . . . . . . . . . . . . . . 54Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Capítulo 5. DILATACIÓN TÉRMICA DE LÍQUIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.1. Consideraciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2. Ecuaciones prácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.3. Dilatación anómala del agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Capítulo 6. TEORÍA DE GASES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.1.1. Notas introductorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

vi CONTENIDO

www.FreeLibros.me

6.1.2. Noticias históricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.2. Consideraciones de índole mecánica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.2.1. Propiedades generales (macroscópicas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.2.2. Descripción físico-matemática de un medio gaseoso: la magnitud presión . . . . . . . . . . 806.2.3. Principios clásicos de Pascal y Arquímedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.2.4. Trabajo producido al expansionarse un gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.3. La atmósfera terrestre: el aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.3.1. Composición de la atmósfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.3.2. La presión atmosférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.4. Teoría del gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.4.1. Estructura lógico-filosófica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.4.2. Compresión isotérmica (deformación mecánica) del gas ideal. Ley de Boyle-Mariotte . . 886.4.3. Dilatación térmica de los gases. Leyes de Gay-Lussac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.4.4. Ecuación de estado de los gases ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.4.5. Reducción de volúmenes y densidades de un gas a condiciones normales . . . . . . . . . . 926.4.6. Expresiones del trabajo de expansión de un gas ideal en los procesos fundamentales . . 936.4.7. Mezcla de gases ideales: ley de Dalton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.5. Gases reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.5.1. Representación de Amagat. Desviaciones de la ley Boyle-Mariotte . . . . . . . . . . . . . . . . 956.5.2. Representación de Clapeyron. Valores críticos, curva de saturación . . . . . . . . . . . . . . . . 966.5.3. Superficies de estados. Diagramas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.5.4. Ecuaciones analíticas de estado para gases reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99


PARTE II. EN TORNO AL CALOR

Capítulo 7. EL PROBLEMA DE LA NATURALEZA DEL CALOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.1. La diferencia de temperatura como causa de los flujos de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7.2. Expresiones físico-matemáticas del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.3. El flujo de calor como causa de las diferencias de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.4. Naturaleza del calor: la era del calórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.5. Naturaleza clásica del calor: forma de energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7.6. Naturaleza del calor: perspectiva físico-matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Capítulo 8. TEORÍA ELEMENTAL DE LOS INTERCAMBIOS DE CALOR DE LAVOISIER-LAPLACE:

CALORIMETRÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8.1. Fundamentos teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

8.1.1. Magnitudes primarias específicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1168.1.2. Formalismo de la teoría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1168.1.3. Ampliación de la teoría para cambios de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

8.2. Calorimetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

CONTENIDO vii

www.FreeLibros.me

8.2.1. Principios de balance térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1208.2.2. Consideraciones en torno a sólidos y líquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1208.2.3. Consideraciones en torno a los gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1208.2.4. Expresiones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1228.2.5. Relación de Mayer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Capítulo 9. TEORÍA ANALÍTICA DE LA CONDUCCIÓN DEL CALOR DE FOURIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

9.1. Consideraciones preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9.1.1. Objeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1349.1.2. Contexto de los modos de transmisión del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1349.1.3. Noticias históricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1359.1.4. Características fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9.2. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

9.2.1. Esquema filosófico-matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1369.2.2. La causa: el campo térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1369.2.3. El efecto: el flujo térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1379.2.4. El medio: la conductividad térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

9.3. Ley fundamental de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

9.3.1. Consideraciones introductorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1409.3.2. Expresión elemental, unidireccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1419.3.3. Expresión general en medios isótropos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1429.3.4. Expresión general en medios anisótropos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

9.4. Ecuación del campo térmico en recintos sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

9.4.1. Ecuación de balance energético calorífico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1449.4.2. Ecuación del campo térmico en un medio anisótropo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1449.4.3. Ecuación del campo térmico en un medio isótropo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1469.4.4. Casos particulares relativos al régimen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1469.4.5. Notas complementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

9.5. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

9.5.1. Superficie en contacto con un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1479.5.2. Superficie isoterma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1489.5.3. Superficies adiabáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

9.6. Ejemplos clásicos con solución analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

9.6.1. Notas introductorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1489.6.2. Problema del «muro indefinido» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1499.6.3. El calorífugo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1509.6.4. Problema del «cilindro hueco indefinido» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1519.6.5. Problema de la «esfera hueca» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154



viii CONTENIDO

www.FreeLibros.me

PARTE III. EN TORNO A LA ENERGÍA: TERMODINÁMICA CLÁSICA

Capítulo 10. FUNDAMENTOS DE LA TERMODINÁMICA CLÁSICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

10.1. Consideraciones introductorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

10.1.1. Consideraciones conceptuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17810.1.2. Consideraciones históricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

10.2. Conceptos primordiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

10.2.1. Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18410.2.2. Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18710.2.3. Proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

Capítulo 11. PRINCIPIOS DE LA TERMODINÁMICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

11.1. Síntesis de la axiomática formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

11.2. Primer principio: conservación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19911.2.1. Enunciado general del primer principio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19911.2.2. Aplicaciones generales (a cualquier tipo de sistema) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20011.2.3. Ley de Joule para los gases ideales. Expansión de un gas sin trabajo mecánico . . 20111.2.4. Aplicación del primer principio a los procesos fundamentales de un gas ideal . . . 203

11.3. Segundo principio: versión Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20611.3.1. Máquinas térmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20611.3.2. Máquinas frigoríficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20711.3.3. Ciclo de Carnot: rendimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20811.3.4. Ciclo de Carnot inverso: máquina frigorífica ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21011.3.5. Escala termodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

11.4. Segundo principio: aumento de la entropía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

11.4.1. Degradación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21111.4.2. Variaciones de entropía en procesos reversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21411.4.3. Concepto de entropía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21611.4.4. Variaciones de entropía en procesos irreversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21711.4.5. Ejemplos elementales de cálculo de variaciones de entropía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218



Capítulo 12. POTENCIALES TERMODINÁMICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

12.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

12.2. Evoluciones de sistemas aislados. Entropía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

12.3. Evoluciones de sistemas cerrados. Entalpía y potenciales de Helmholtz y de Gibbs . . . . . . 250

12.4. Relaciones gráficas complementarias entre las magnitudes energéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254



CONTENIDO ix

www.FreeLibros.me

Capítulo 13. CAMBIOS DE FASE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

13.1. Cuestiones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26213.1.1. Concepto de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26213.1.2. Concepto de cambio de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26313.1.3. Cambios de «estado de agregación» o cambios de fase de primer orden . . . . . . . . . 26313.1.4. Cambios de fase de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

13.2. Estudio de las transiciones de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26413.2.1. Fusión y solidificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26413.2.2. Vaporización y licuefacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26813.2.3. Sublimación y condensación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27113.2.4. Curvas p-T de equilibrio de transiciones de fase de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . 271

13.3. Regla de las fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27213.3.1. Estudio de sistemas heterogéneos. Relación de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

13.4. Ecuación de Clausius-Clapeyron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27413.4.1. Ecuación de Clausius-Clapeyron para las transiciones de fase de primer orden . . 274


Capítulo 14. MÁQUINAS TÉRMICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

14.1. Concepción de las máquinas térmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28814.1.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28814.1.2. Descripción elemental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28814.1.3. Rendimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

14.2. Clasificación de las máquinas térmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28814.3. Máquinas de combustión externa: máquinas y turbinas de vapor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28914.4. Máquinas de combustión interna: motores de explosión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

Capítulo 15. REFRIGERACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

15.1. Refrigeración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30415.2. Máquina frigorífica ideal: ciclo de Carnot inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30415.3. Máquina frigorífica real de refrigeración por compresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

15.3.1. Descripción física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30415.3.2. Descripción del ciclo termodinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304


x CONTENIDO

www.FreeLibros.me

Presentación

El lector tiene ante sí un libro de Termología, materia tradicional, pero presentado con una es-tructura novedosa, con una organización no usual, exigida por el rigor de la lógica de la pers-pectiva científica, organizada sobre tres conceptos fundamentales: temperatura, calor y ener-gía; y con la novedad añadida del rigor de la evolución histórica que complementa al rigorcientífico.

La temperatura y el calor son conceptos macroscópicos que se introducen, se desarrollan yse establecen en la física clásica, y que se expresan, por tanto, matemáticamente, como varia-bles continuas reales y, físicamente, como magnitudes físicas clásicas; de otra manera, mate-máticamente como espacios vectoriales reales unidimensionales y físicamente como magnitu-des escalares.

La energía es un concepto que se introduce y se desarrolla en Mecánica como magnitudsecundaria. Sin embargo, en la Termodinámica clásica se establece como magnitud fundamen-tal y primaria, y en ésta se desarrolla también como variable continua real, como magnitud fí-sica clásica.

Así, con los conceptos de temperatura, calor y energía establecidos como magnitudes físi-cas clásicas, se han elaborado a lo largo de la historia moderna diferentes teorías físicas. Esteconjunto de teorías físicas clásicas constituye un subconjunto de teorías físicas que denomina-mos TERMOLOGÍA, objeto de estudio de este libro.

******

Las teorías físicas se construyen con un trasfondo filosófico y un trasfondo matemático. Enlas teorías físicas clásicas el trasfondo filosófico esencial —continuismo— consiste en la ideade continuidad de las magnitudes físicas que se expresó en el trasfondo matemático medianteel uso de variables continuas reales, lo que facilitó la creación y el desarrollo de la teoría defunciones reales de variables reales con el cálculo diferencial e integral.

Por lo que respecta a las leyes de la física clásica, el trasfondo filosófico quedó inscrito enla idea del determinismo causal, que se expresó en el trasfondo matemático mediante leyes deproporcionalidad generalizada entre las magnitudes implicadas en las mismas.

www.FreeLibros.me

Otras dos ideas básicas (de las que ordinariamente no se habla) están implícitas unas vecesy aflorando otras: primero, el principio general de homogeneidad (todos los términos de unaigualdad han de ser cualitativamente idénticos), fundamento de la estructura de las leyes físi-cas; y, segundo, el principio de complitud, consensuado y práctico (las ecuaciones físicas debentener una expresión única sea cual fuere el sistema de unidades coherente que se utilice).

******

Esta densa presentación sugiere la orientación y la novedad de este texto que se manifiestaprimordialmente en los primeros capítulos de cada una de sus partes. Por lo demás, su conteni-do puede considerarse tradicional. Un extenso conjunto de ejercicios y cuestiones completan ellibro.

Como subtítulo se utiliza «Aplicaciones a la Arquitectura y a las Ingenierías» por varias ra-zones: la situación profesoral de los autores, el elevado número de problemas y la fundamenta-ción clásica necesaria de estos profesionales. Lo destacado como original lo hacen de sumointerés, también, para las licenciaturas de Ciencias Físicas, Químicas y Ambientales.

El libro, como texto docente, se concibe para los programas de los primeros cursos univer-sitarios: los de fundamentos teóricos y de aprendizaje de métodos prácticos para la resoluciónde ejercicios, pero tiene vocación de recuerdo y consulta para toda la carrera y el ejercicio pro-fesional de arquitectos (ahora impulsados a un mayor conocimiento científico por las superioresexigencias técnicas en la edificación) e ingenieros.

xii PRESENTACIÓN

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.me

a

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.me

1.1 ¿Qué es la Termología?

Las notas distintivas que caracterizan la Termología son las siguientes.

a) Es una parte de la Física, la parte de la Física que trata sobre las ideas, de tanta impor-tancia científica e histórica, de temperatura, de calor y de energía. Parte de la Físicacuyo referente lo constituyen aquellos procesos o fenómenos de/en la Realidad que seidealiza como térmicos. En expresión de la Teoría de conjuntos:

Termología Ñ Física

b) Integra diferentes teorías físicas de la temperatura, del calor y de la energía. En estesentido puede considerarse como el conjunto de teorías físicas que tratan de las ideasde temperatura, calor y energía.

Termología z {teorías físicas de la temperatura y/o del calor y/o de la energía}

c) Los conceptos de temperatura —magnitud de objeto— y de calor —magnitud de pro-ceso— son de referentes y de expresiones macroscópicos y se establecieron como mag-nitudes físicas clásicas expresadas mediante variables continuas reales; es decir, susespectros de valores fueron inicialmente concebidos (en expresiones actuales) comoisomorfos con la recta real

T T � ; Q T �

y con estructuras algebraicas de espacios vectoriales reales unidimensionales

T(�) T �(�) ; Q(�) T �(�)

Los conceptos de energía, hasta la Termodinámica Clásica, en todas sus formas seestablecieron análogamente como magnitud física clásica —expresada, por tanto, me-diante variable continua real.

E(�) T �(�)

En consecuencia, la Termología es un subconjunto de teorías físicas clásicas, el integradopor las teorías de la temperatura y/o del calor y/o de la energía que consideran estas ideas porsus concepciones clásicas.

Termología Ñ Física Clásica

Las respectivas ideas —nociones cualitativas primeras— de temperatura, calor y energíason comunes en las teorías que las utilizan. Los conceptos —ideas expresadas matemática-mente—, sin embargo, son distintos en las diferentes teorías, aunque pudieran parecer únicos eidénticos para todas ellas, y análogos si no idénticos sus correspondientes referentes. Estos con-ceptos fundamentales de temperatura, calor y energía deben caracterizarse filosófica y matemá-ticamente de la manera más completa posible; es decir, «tanto como se pueda... y lo mejor quese pueda cada tanto...». La formulación de las diferentes teorías y descripción de los resultadosobservacionales y experimentales y de su interpretación constituyen los objetos de estudio delos respectivos marcos teóricos que son las diferentes teorías físicas.

Es, por tanto, un subconjunto de teorías físicas integrado por todas las teorías físicas quetratan de la temperatura y/o del calor y/o de la energía.

4 TEORÍAS TERMOLÓGICAS

www.FreeLibros.me

1.2 Sinopsis histórica de la Termología

Se ofrece en este apartado, por una parte, una breve introducción a las referencias históricasque se ampliarán en el texto con más precisión pero entonces carentes de marco global; y, porotra parte, una clasificación o periodización de la historia de la Termología. Se trata, pues, sim-plemente de elaborar un esquema histórico de los marcos de las ideas, de los conceptos y delas teorías físicas de la temperatura y/o del calor y/o de la energía.

Los fenómenos básicos, primiciales, de naturaleza térmica que constituyen las primeras re-flexiones del pensamiento humano son el calor solar (fuente de vida) y el fuego (fundamento,entre otras cosas, de las civilizaciones de la cerámica y de los metales). Calor solar y fuego hansido, pues, los objetos principales de las primeras acciones del pensamiento, la observación y laexperimentación. Pero estos focos de atención —calor solar y fuego— han presentado enormesdificultades para el estudio, su análisis y comprensión. El estudio teórico de estos elementos hallegado demasiado tarde en la historia de la física, comparado con otros ámbitos o partes deésta. Quizás la mayor dificultad que se detecta en la historia de la Termología ha consistido enel aislamiento, la distinción y la separación de las ideas básicas: temperatura y calor.

El complejo contexto en el que se ha desarrollado la historia de estas ideas básicas ha sidoparticularmente complicado, lo que sin duda ha contribuido a su dificultad, por su presencia enfenómenos de las otras partes de la Física Clásica (Mecánica, Elasticidad, Magnetismo, Elec-tricidad...), en Química (combustión, reacciones de diversos tipos), en Fisiología (calor animal),en Psico-fisiología (sensaciones de calor-frío, humedad-sequedad), etc.

Las etapas de la historia, que normalmente se solapan cuando se organizan mediante con-ceptos, pueden caracterizarse primordialmente por los elementos (cada uno de ellos singular yrepresentativo de cada una) que se destacan en los respectivos títulos.

1.a etapa. Visión empedocliano-aristotélica (puede considerarse activa desde el siglo V a.C.,perdurando prácticamente hasta finales del siglo XVI)

Empédocles concibe la Realidad (material, inorgánica) como constituida por cuatro elementosbásicos: agua-aire-tierra-fuego, primera impresión a nuestra escala humana.

Aristóteles completa esta visión de los cuatro elementos con la manifestación de la existen-cia de cuatro cualidades fundamentales: caliente-frío, seco-humedo, dualidades complementa-rias entre sí, de tal modo que los elementos de Empédocles quedarían caracterizados por lascualidades siguientes: Agua (frío-húmedo), Aire (cálido-húmedo), Tierra (frío-seco), Fuego (cá-lido-seco).

Galeno, con la introducción de la idea de los grados de calor o de frío, sugiere que sonideas medibles.

2.a etapa. Aislamiento de la idea de temperatura y su medida (siglos XVII y XVIII): TermometríaGalileo redescubre el termoscopio (]1592), rechaza el punto de vista de las cualidades funda-mentales de Aristóteles y sugiere la búsqueda de ideas que impliquen métodos cuantitativos.

A partir de 1632 se desarrollan con profusión los termómetros de líquidos.Es la etapa del aislamiento de la temperatura, del discernimiento de las ideas de temperatu-

ra y calor. La de temperatura adquiere un sentido aceptablemente claro; la de calor es variopin-ta, compleja y poco clara. Hay una progresiva disociación de ambas ideas.

CAPÍTULO 1. Termología 5

www.FreeLibros.me

Finalidades médicas y meteorológicas —en menor grado, estrictamente físicas— facilitan elinterés por la investigación de instrumentos de medida de la temperatura aunque, en realidad,no se sabe correctamente qué se está midiendo. El nombre de termómetro se conoce citado conprofusión.

En resumen, esta etapa (según el historiador de la ciencia René Tatón) quedaría caracteriza-da por los esfuerzos realizados en:

a) Profundización en el concepto de temperatura.b) Definición de una escala termométrica más precisa y racional.c) Realización de instrumentos más fieles, más precisos y mejor adaptados a las necesi-

dades.

En 1743-1744 nace la escala centesimal clásica (0o-100o) debida a J. P. Christin (francés) yA. Celsius (sueco).

A mediados del siglo XIX, en 1848, W. Thomson (Lord Kelvin) introduce el concepto detemperatura termodinámica o absoluta que facilitaría el establecimiento y desarrollo de la Ter-modinámica.

3.a etapa. Teorías del calor

En el siglo XVIII surge con fuerza la noción del calórico que se difunde rápidamente. El calóri-co es una especie de fluido (sustancia, materia) que lo «inunda» todo y que se transfiere, setransporta de unos cuerpos a otros, y de unos lugares a otros dentro de un cuerpo.

Mediante la teoría elemental de los intercambios de calor de Lavoisier-Laplace, primerateoría del calor, se establecen las bases de la Calorimetría. En ella, el calor transita de unoscuerpos a otros.

En 1798, B. Thompson (Conde de Rumford), reflexionando sobre el torneado de cañonesen un arsenal militar, observando que el calor se presenta como inagotable (se calienta el tornodel tubo, las virutas, el ambiente... y así día tras día... sin que se agote), destierra la noción decalórico: el calor no es materia, debe representar algo de movimiento.

En 1808, J. B. Fourier concibe la Teoría analítica del calor1, que se publicaría en 1822. Heaquí unas notas significativas de ésta:

a) Fourier manifiesta una conciencia clara (frente a la concepción del «Sistema del mun-do» de Newton) de que construye una teoría, es decir, un modelo ideal físico-matemá-tico, una construcción mental.

b) Se estructura con el esquema clásico de las teorías físicas: constructos magnitudinalesy constructos legaliformes (que relacionan los magnitudinales).

c) El calor, siendo o no siendo calórico, es algo que fluye (se transfiere, se transporta, seconduce, etc.).

d) Es una teoría más fina que la anterior: el calor transita no sólo de un cuerpo a otro,sino de un punto a otro del mismo cuerpo.

1 FOURIER, J. (1822): Théorie analytique de la chaleur. París. Firmin Didot. (2.a ed. París: Gauthier-Villars, 1888).[Ed. en castellano, Teoría analítica del calor. Madrid: Grupo de Trabajo de Análisis Dimensional. E.T.S. Arquitectura.Universidad Politécnica de Madrid, 1992. Trad.: M. D. REDONDO ALVARADO.]


www.FreeLibros.me

4.a etapa. Teoría de la energía, la Termodinámica (1824-1865)

En 1824, N. I. Sadi Carnot2 escribió su hoy conocido —y muy reconocido— trabajo Réflexionssur la puissance motrice du feu, en el que estableció que el calor no puede ser transformado ensu totalidad en trabajo en un proceso cíclico, pero esta obra fundamental de la historia interna-lista de la Física pasó desapercibida. Los «espíritus» andaban por otros derroteros.

A partir del año 1842 se inicia la estructuración de las ideas de energía, del principio de suconservación y del hecho de su degradación. El concepto de energía (en el que se integra elcalor como una forma de ella) ocupa el lugar central de esta teoría. Desde él la Termodinámicainunda y alumbra las restantes partes generales y teorías específicas de la física.

5.a etapa. Las teorías postermodinámicas

Relacionadas con las ideas de temperatura y/o calor y/o energía se han creado otras numerosasteorías postermodinámicas pero con consideraciones no exactamente clásicas: concepcionesmagnitudinales macroscópicas expresadas mediante variables continuas reales. Entre ellas po-demos recordar los siguientes ámbitos.

a) Teoría cinética de los gases (de la materia)

J. C. Maxwell3, en 1871, publica su Theory of Heat introduciendo la ley de distribución de ve-locidades de las moléculas que constituyen los gases. Se trata de una relación de lo macroscó-pico en función de lo microscópico.

b) Radiación térmica

Desde la noción de onda electromagnética, en el ámbito de la radiación electromagnética (trans-porte de energía), se consideran las ondas térmicas —portadoras de calor— la región infrarrojadel espectro.

c) Físicas estadísticas

Se refieren a la visión microscópica —discreta— de la física: distribuciones moleculares, ató-micas, iónicas, de partículas.

1.a Mecánica estadística de Maxwell-Boltzmann.2.a Mecánica estadística de Fermi-Dirac.3.a Mecánica estadística de Bose-Einstein.

d) Otro subconjunto de teorías que desarrollan, a modo de complementos, la propia Termodi-námica Clásica, tales como: Termodinámica de los procesos irreversibles, formulaciónaxiomática, ampliación a la Biología, como otros numerosos aspectos parciales y de gene-ralización.

2 CARNOT, S. (1824): Réflexions sur la puissance motrice du feu.3 MAXWELL, J. C. (1871): Theory of Heat.

CAPÍTULO 1. Termología 7

www.FreeLibros.me

1.3 Contenido de la Termología

Se ha caracterizado la Termología como parte de la Física, como un conjunto de teorías físicasque tratan de las ideas de temperatura y/o calor y/o energía, pero referidas, como corresponde alos conceptos de temperatura y calor, a las concepciones clásicas de la energía. Y se ha expues-to una breve descripción de la historia de estas ideas.

Ahora conviene precisar el contenido de esta disciplina, que se manifiesta en el índice dellibro. El contenido lo integran las teorías físicas que utilizan conceptos de temperatura y/o ca-lor y/o energía como magnitudes clásicas, y son, en síntesis: Termometría, Dilatación térmica(de sólidos y líquidos), Teoría elemental de gases, Teoría elemental de los intercambios de ca-lor de Lavoisier-Laplace (y Calorimetría), Teoría analítica del calor de Fourier y Termodinámi-ca Clásica.


www.FreeLibros.me

En esta primera parte, En torno a la temperatura, se pretende abordar, en los respectivos capítulos, los si-guientes problemas que enunciamos en síntesis.

Primero. El problema de la naturaleza de la temperatura. ¿Qué es temperatura? ¿A qué se denomina tem-peratura? ¿Cómo se conceptualiza en la Física la temperatura? Es decir, el problema del reconocimiento dela temperatura como algo con existencia en la Naturaleza —pretendidamente independiente de (casi) todo lodemás—, y como magnitud fundamental en la perspectiva clásica. En resumen, clarificar la idea de tempera-tura y caracterizar unos primeros conceptos de temperatura en diferentes teorías físicas.

Segundo. El estudio concreto cuantitativo de esa magnitud fundamental; es decir, el problema de la me-dición de la temperatura. La relación de la temperatura con distintas propiedades en numerosos fenómenos(y, en consecuencia, de las variaciones térmicas con las variaciones de otras diferentes magnitudes de otrosámbitos de la Física), permite considerar estas propiedades de valor cambiante como propiedades termomé-tricas. Este capítulo se denomina también, obviamente, Termometría. Se tratan en él:

1. Unas cuestiones generales.2. Las ecuaciones termométricas usuales.3. La descripción de los principales tipos de termómetros.

Tercero. El problema de la dilatación térmica de los cuerpos, asociada a las variaciones de temperaturade éstos, con la descripción de las teorías elementales (primitivas, clásicas) de la dilatación, se estudia entres capítulos correspondientes a los diferentes estados —actualmente fases— en que se presenta la materiaa la luz del conocimiento acumulado hasta principios del siglo XX: sólido, líquido y gaseoso.

Estos tres tipos de problemas, con sus cuestiones propias, son expresamente independientes (en susconceptos físicos y en el tratamiento matemático de las leyes físicas correspondientes) de la noción de calory de los conceptos de calor, que son innecesarios para el estudio histórico-científico de estos problemas, yconstituirán el núcleo de la segunda parte.

www.FreeLibros.me

a

www.FreeLibros.me

2

CAPÍTULO

El problema de la naturaleza

de la temperatura

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

Brevísimas notas históricas

Introducción filosófica

El de la temperatura

La de temperatura

de temperatura

Consideraciones finales

referente

idea

Conceptos

CONTENIDO DEL CAPÍTULO

www.FreeLibros.me

2.1 Brevísimas notas históricas

Las ideas de temperatura (como algo propio de/en un cuerpo) y de calor (como algo que tran-sita de unos cuerpos a otros o de un lugar de un cuerpo a otro lugar de éste) han estado confun-didas en el devenir histórico prácticamente hasta el siglo XVIII. Tan largo periodo puede con-siderarse como de confusión de nociones no sólo propiamente científicas (en sí mismas, encuanto creadas por la mente humana), sino en cuanto a los objetos de referencia —los referen-tes respectivos— en la Naturaleza: se confundían sus referentes naturales. Hubo mucha dificul-tad para separar, distinguir, diferenciar, aislar las ideas básicas de lo que hemos denominadoTermología: temperatura, calor y energía. La aparición de las primeras ideas acerca del calor, afinales del siglo XVIII, puede considerarse como muy tardía en la historia del pensamiento físico.

Temperatura y calor intervenían (e intervienen, ¡claro!) en contextos complejos y múltiplesde referentes con visiones muy distintas: Física (Mecánica, Cambios de fase, Electricidad...),Química (Combustión, Reacciones...), Fisiología, etc.

La noción de temperatura, individualizada e independizada de la del calor, se gesta en elsiglo XVIII y se alumbra con cierta precisión en el siglo XIX en el ámbito de la física experi-mental, al margen de la Mecánica newtoniana (teoría físico-matemática supuesta perfecta, com-pleta y definitiva). En esta época se considera física todo lo que no es mecánica (matematiza-da); física es todo lo demás, lo experimental y lo fenoménico.

Temperatura y calor son ideas que se disciernen y clarifican, paulatinamente, a finales delsiglo XVIII y principios del siglo XIX. Se inician sus conceptualizaciones en el ámbito de la Fí-sica clásica, caracterizada ésta por el continuismo —números reales, funciones continuas reales,cálculo íntegro diferencial— y el determinismo —«dada una causa determinada se produce ne-cesariamente siempre un determinado efecto»—, y en la visión y creencia de que «la Física esuna» y que se identifica con la Naturaleza y la convicción de que lo importante, y casi exclusi-vo, es «medir» (la Física como ciencia de la medida).

Hacía siglos (digamos que desde el XVI) que los científicos —físicos, médicos— medían latemperatura (de hecho, usaban termómetros), pero, en realidad, no sabían aceptablemente quéera lo que medían.

2.2 Introducción filosófica

El método que se utiliza en este apartado introductorio para analizar y diferenciar los distintossentidos y significados —en Física— de la palabra temperatura puede aplicarse análogamentea todas las palabras que se usan en Física con categoría de magnitudes. Diferente sería el méto-do correspondiente a palabras que designan otras categorías de la Física tales como hipótesis,ley, principio o teoría.

2.2.1. Una palabra, temperatura, para tres ámbitos diferentes

Es conveniente introducir unos fundamentos filosóficos de la Física necesarios y cómodospara hacer más fácil la comprensión de estos temas. En particular hemos sintetizado en la Ta-bla 2.1 los niveles sustantivamente diferentes de la Naturaleza y de la Física, y los niveles


www.FreeLibros.me

lógicos diferentes de Realidad, Física conceptual y Física linguística; niveles lógicos que per-miten diferenciar el término linguístico «temperatura», el concepto de «temperatura» y el re-ferente natural TEMPERATURA, con el uso de tres escrituras diferentes que ahora destaca-mos pero que no utilizaremos de manera redundante una vez que sabemos de la existencia delos diferentes campos y de la conveniencia de conocer en qué nivel se habla en cada momento.

Tabla 2.1

Niveles lógicos

Naturaleza Nivel de realidad TEMPERATURA

FísicaNivel conceptual «temperatura»

Nivel linguístico StemperaturaT

Complementariamente, conviene distinguir también nítidamente los tres sentidos (no «acep-ciones gramaticales»; se trata de algo más fuerte: tres cosas netamente diferentes aunque rela-cionadas entre sí) distintos asociados en la Física a toda palabra que designa una magnitud. Esdecir, distinguir entre referente (algo propio de la Naturaleza, de la Realidad, de la Materia, delCosmos), idea (noción tan predominantemente vaga como compleja, y difundida y concebidacomo única) y concepto o conceptos (noción aceptablemente precisa establecida en el seno deuna teoría física). Se hace necesario un notable esfuerzo de reflexión y de crítica en los camposde la investigación, de las publicaciones y del ejercicio de la docencia para no identificar lodiferente y para precisar las distintas nociones que se encierran en una misma palabra.

2.2.2. Realidad e Idealidad. Referente y conceptos. Correspondencia compleja

El referente —en la Naturaleza (física), en la Realidad (física)— está ahí (fuera de nosotros eindependiente de nuestras convicciones científicas) supuestamente con entidad real. Los con-ceptos son creaciones de la mente, son entes ideales, formales, no necesariamente reales; tienenentidad ideal (o entidad racional). La correspondencia entre Realidad e Idealidad (entre Natura-leza y Razón) en Física es muy problemática y tanto más porque tradicionalmente los físicos—en apreciable mayoría— entienden (inconscientemente al menos) que hablan de Realidad,que la Física es algo así como «la Naturaleza hablando»: «leyes de la Naturaleza», «leyes uni-versales», etc.

Suele ser frecuente en la Física que una impresión de un único referente posea varios con-ceptos netamente diferenciados en diversas teorías físicas. Aunque la ignorancia o la ingenui-dad inviten a pensar que el concepto se identifica con el referente, es conveniente insistir enque aquél es creación mental (o conjunto de creaciones mentales) y éste algo supuesto real.

Realicemos una breve excursión cultural científica. Yuri Gagarin, en su glorioso regreso ala Tierra después de su «estancia en el espacio exterior», pronunció (al menos eso contó unacampaña propagandística extensa) estas palabras: «No he visto a Dios» o «Me he paseado porel espacio y no me he encontrado con Dios»; expresión ridícula, estúpida y estéril, sobre todoestéril. No hubiera estado mal (valga como anécdota de ficción) que, en el clima del realismocientífico y del materialismo dialéctico, de los que su ambiente político-cultural también se

CAPÍTULO 2. El problema de la naturaleza de la temperatura 13

www.FreeLibros.me

nutría, a su regreso, el primer cosmonauta, hubiera dicho para consumo o indignación de bas-tantes menos pero para que la razón humana de los científicos (físicos en nuestro caso) se hi-ciera más realista y menos ingenua: «No he visto ningún vector... aunque haya podido sentirlo(la gravitación terrestre); no he visto ni sentido ningún tensor de orden n 2».

La temperatura se considera de naturaleza escalar y además real (variable real, su medidaes un número real); se le otorga, pues, la naturaleza matemática más sencilla concebible paralas magnitudes físicas. Por ello, la temperatura es, bastante más claramente que referente, unaidea; y, por otra parte, es no sólo un concepto sino un conjunto de conceptos más o menos di-ferentes, como veremos, en distintas teorías físicas.

La Física, si bien utiliza realidad (mejor podríamos decir «realidades», muchas, en generalcomo parte), fabrica objetos, emplea instrumentos, se refiere a la Naturaleza, y sobre todo seconstruye con conceptos (entes de razón), y sólo con conceptos. La pena es que, con frecuen-cia, los físicos nos olvidemos de ello y nos creamos tantas veces que manejamos entes reales.Nuestras ideas —algunas— a medida que pasa el tiempo se van puliendo; es decir, presumible-mente se van aproximando más a la realidad a que se refieren. La correspondencia entre Reali-dad e Idealidad física (entre Naturaleza y Razón) —que es muy compleja y variada—, en gene-ral, se mejora con el tiempo.

2.2.3. Objetivo intrínseco

El objetivo intrínseco de este apartado consiste en insistir, destacar y, en síntesis, concluir:

a) Que si bien el referente podría ser único (aunque cada día parezca más difícil creerloasí).

b) La idea predominante en la Física es que se trataría en todo caso de una realidad única.c) Sin embargo, los conceptos son múltiples y bastante diversos.

Las afirmaciones anteriores podrían producir cierto desasosiego expresadas tan directa-mente. Quizá para facilitar la reflexión podrían expresarse en forma interrogativa. Así:

a) ¿El referente de la temperatura es único?, ¿en la Realidad, todo aquello a lo que apli-camos la palabra temperatura es lo mismo cualitativamente?

b) ¿La idea física acerca del referente de la temperatura es única?, ¿la idea es de la Físi-ca?, ¿la idea es de los físicos?

c) ¿Existe un único concepto de temperatura en la Física o múltiples conceptos en el ar-senal de teorías físicas que utilizan una palabra única —temperatura en esta ocasión—que se refiere a una idea única asociada a un referente supuesto único?

No se trata aquí obviamente de profundizar filosóficamente en el contenido caracterizadorde las nociones de referente, idea y conceptos, sino de aplicarlos al tema de la temperatura; esdecir, destacar, desde la elementalidad propia de la Física actual en estas cuestiones, la diferen-cia y la diversificación de los distintos conceptos que se utilizan con una misma palabra.

2.3 El referente de la temperatura

Cuando el físico —¿o la Física?— habla de temperatura, normalmente ¿de qué cree estar ha-blando?, ¿a qué se refiere? Uno de los tipos de definiciones (usando esta expresión en el sentido


www.FreeLibros.me

más extendido y general) que suelen reproducirse en libros especializados de la disciplina, em-pieza de la siguiente forma: «Propiedad de la materia que...». Según esta definición linguísticala temperatura es algo realmente existente en la Naturaleza, es propiedad de la materia. Cabeque formulemos muchas preguntas; por ejemplo: ¿Toda materia tiene esta propiedad?, ¿dichapropiedad es cualitativamente, en tanto que propiedad, idéntica cuando la materia de referenciaes el Universo, un sistema termodinámico clásico, un cuerpo en el que se estudia la transmisióndel calor por conducción, una molécula, un átomo, una partícula elemental, etc.? En el caso deun átomo ¿dónde se conocería?, ¿en qué lugar de él? Resuelto que existe ese algo (la tempera-tura), quedaría otra pregunta fundamental: ¿El referente de la temperatura, dado por supuestoque existe, es único?

El referente de una magnitud física cualquiera forma parte de lo real. La idea y los concep-tos, en su caso, forman parte de lo ideal. El tema, filosóficamente hablando, data de antiguo.La Física que es, de hecho, ideal sólo tiene finalidad y objetivo reales, conviene no olvidarlo;las ideas y los conceptos —ideales— de la Física carecen de sentido y de objeto al margen desu referente —real.

El físico tradicional ha venido creyendo que existe una (adjetivo numeral, cardinal) propie-dad determinada de la materia o/y una propiedad en la Naturaleza a la que ha denominadotemperatura. Esta propiedad en la que «se cree poseer certeza» es el referente natural o real dela idea (noción mental) que en la mente humana se ha ido formando el científico y también delos conceptos más o menos precisos que ha ido elaborando.

Desde esta creencia —o, quizá, certeza— la temperatura constituye un referente único, y laFísica ha concebido, consecuentemente, una idea única, aunque ha elaborado, con mayor o me-nor conciencia explícita, una diversidad de conceptos diferentes. «La Naturaleza es lo que es,tanto mejor si se deja interpretar matemáticamente —decía Newton—». El referente «es lo quees»; nuestros conceptos son una interpretación (o quizá sólo un intento de interpretación) delreferente.

Dos son las cuestiones básicas de la reflexión en torno al referente de la temperatura (comoal de cualquier otra magnitud física, sobre todo en aquellas teorías en las que sea primaria):existencia y unicidad. La visión actual de la Física es mayoritariamente ésta: existe una carac-terística de (o presente en) la Naturaleza1 que es un atributo, una particularidad, y una manifes-tación, al menos, macroscópica. En síntesis, existe y es única.

2.4 La idea de temperatura

2.4.1. Consideraciones introductorias

Centrando la atención en el ámbito de las nociones físicas con naturaleza de magnitudes con-viene distinguir entre las nociones de idea y de concepto.

Las ideas son nociones más o menos vagas que se refieren a algo que se presupone conexistencia real en la Naturaleza, con pretensiones de unicidad, claridad y correspondencia con su

1 El término Naturaleza integra como sinónimos, en la perspectiva clásica, los de Cosmos, Realidad, Materia.


www.FreeLibros.me

referente y se plasman (finalmente), a veces, en uno o varios conceptos dentro de una o variasteorías físicas.

Los conceptos son nociones aceptablemente precisas caracterizadas filosóficamente (y lin-guísticamente), matemáticamente (teoría de conjuntos, topología, álgebra, análisis, estadística,etc.), con contenido físico asociado a su referente (y a la idea correspondiente) y que se integraen una teoría física.

Una idea se expresa por una única palabra que es la misma que se aplica a su referente yque se utiliza también para los diferentes conceptos asociados. Esa palabra única (por ejemplo,temperatura) que lo engloba todo —referente, idea, conceptos— es, a efectos del Comité Interna-cional de Pesas y Medidas, una única variable cuyas cantidades se miden con una unidad común.

Con la palabra temperatura el físico cree referirse: a) Por una parte, a una característicapresente en la Naturaleza o propiedad de ella; algo que existe realmente y que constituye elreferente natural de la idea física que se denomina también temperatura; y b) Por otra parte, hacreído que ha creado una magnitud física. (El una lo utilizamos como adjetivo numeral cardi-nal, no como artículo indeterminado. Es una característica —que se cree o se considera— pre-cisa, determinada, única; así al menos se ha venido creyendo).

A partir de esa característica de la Naturaleza (o presente en ella) supuesta precisa y consi-derada única —claramente en la época moderna una vez discernidas las ideas de temperatura ycalor, previamente confundidas— se ha construido la magnitud física; las cantidades de ésta semiden respecto de una cantidad arbitrariamente elegida denominada unidad. (Ésta es la visióntradicional absoluta del Comité Internacional de Pesas y Medidas.)

En resumen, la ciencia física y sus versiones culturales tienen una idea de temperatura quela suponen única tanto en su versión como referente (propiedad «de» la materia, característica«en» la Naturaleza) cuanto en su consideración de magnitud física (creación de la mente huma-na para la interpretación de dicho referente).

La ciencia física está aún muy lejos de conocer exactamente (utilizando un lenguaje clási-co) la Naturaleza y su funcionamiento. ¿Tienen sentidos siquiera análogos hablar de temperatu-ra de una habitación, temperatura de un átomo, temperatura de un electrón? ¿Se parecen —o separecerían— esas nociones de temperatura? Y todas estas expresiones son conceptuales, no ne-cesariamente reales. Dejemos, pues, el referente (no conocido) y prestemos atención a la mag-nitud física (que se conoce, en cuanto que es creación mental)2.

2.4.2. La construcción de la idea termológica general de temperatura

Puede aceptarse como perspectiva general de la construcción de las ideas con naturaleza físicade magnitudes, aplicable, en consecuencia, a la idea de temperatura, un proceso con ingredien-tes lógicos e históricos que se resume a continuación.

2 Nota complementaria: es usual en los libros que estas visiones de referente, idea y concepto estén confundidas, en-tremezcladas, difusas, incompletas, mal enfocadas, y, sin embargo, están en la base de todo razonamiento por elementalque sea en cualquier teoría física. La idea se enriquece, matiza, completa con los diferentes conceptos, descubrimientos,aplicaciones, pero también está abierta a revoluciones por cambios de paradigmas, bien referenciales o bien conceptuales.(Piénsese en otro término linguístico, calor, tan próximo al de temperatura y tan confundido con él hasta el siglo XVIII y alque dedicaremos de manera especial la segunda parte de este libro: noción de calórico, forma de energía calorífica, radia-ción electromagnética, etc.).


www.FreeLibros.me

a) Primer estadio: Creencia de que existe un «algo» determinado, aislable, en la Naturaleza(Realidad)

En el ámbito de la visión tradicional macroscópica, se cree que en todo punto, en todas partes,en todo cuerpo, existe algo distinguible a lo que se denomina temperatura, que debe «aislarse»y «caracterizarse». Es una propiedad de la Realidad. Ese algo de/en la Naturaleza es el referen-te de la nueva idea; al referente —concebido como único— y a la idea —creada como única—se los denomina con una única e idéntica palabra: temperatura. La Naturaleza y la Física en sucorrespondencia utilizan el mismo símbolo linguístico.

Figura 2.1. Correspondencia (supuesta) biunívoca Realidad-Física.

Se elabora paulatinamente la idea que permitirá la construcción de conceptos en diferentesteorías termológicas.

b) Segundo estadio: Construcción de la «idea» referida. Caracterización general

Se trata de una fase de precisión filosófica y creciente matematización.

1. La temperatura tiene naturaleza de magnitud física primaria; así no se define medianteuna fórmula sino que debe caracterizarse «tanto como se pueda, lo mejor que se pueda»3.(En teorías microscópicas se expresa mediante fórmulas de definición; y puede conside-rarse magnitud secundaria.) Se representa con el símbolo h4.

2. Se concibe como nivel de calentamiento (cantidad de temperatura).3. Se representa como variable real continua:

«h» T � z {.ä, !ä}

4. Se postula la existencia de un cero absoluto (natural)5. Se niega así la posibilidad deconcebirla como función potencial matemática ordinaria.

«h» T �!z {0, !ä}

5. Se postula que hay una única temperatura absoluta (real) para unos determinados puntosfijos (sistemas en determinados estados o situaciones) de la Naturaleza. Estos puntos fijosson simultáneamente concretos y resultado de la abstracción. (Se plantean los problemasdel conocimiento, de la selección, y de la reproducibilidad de estos puntos fijos).

6. El esquema gráfico de la noción de temperatura más útil, a nuestro juicio, es el represen-tado por la semirrecta real positiva de la Topología (véase Figura 2.2).

3 Con esta expresión, que venimos utilizando desde hace años, pretendemos, por una parte, indicar la imposibilidad deuna completa y perfecta caracterización de los conceptos primitivos de la Física (que se refieren a la Realidad), y por otra,incitar a la exigencia de profundización creciente en las exhibiciones de este tipo de conceptos.

4 Con frecuencia se utiliza h y no T para evitar confusiones con tiempo, pero también T, t, q.5 El denominado Tercer Principio de la Termodinámica —comienzos del siglo XX— afirma, además, la inacce-

sibilidad del cero absoluto.


www.FreeLibros.me

Figura 2.2. Nivel de calentamiento.

c) Tercer estadio: Constitución en magnitud fundamental

La temperatura se concibe como magnitud fundamental de la Naturaleza (y, en consecuencia,de la Física). Todo lo que es materia {M} está en el tiempo y en el espacio absolutos {L, T}.Además existe la temperatura {h} que se constituye en concepto primario (indefinido, básico),magnitudinal (propiedad de las cosas, matematizable) y universal (existe en todo lugar, en todoinstante y en todo cuerpo). Es una magnitud fundamental de la Naturaleza.

2.4.3. Consideración complementaria

De la manera expuesta se ha ido construyendo, poco a poco, a lo largo de la historia, la idea detemperatura referida a la Realidad e impuesta a/desde la Física como realidad única de algoque está en todo, en todas partes y en todo tiempo. Sin embargo, se ha creado desde la FísicaClásica, en y para el ámbito de lo macroscópico. Pero, por ejemplo, en la imagen atómica deBohr, ¿cómo se nos ocurriría determinar —o incluso sólo referimos a— la temperatura de unprotón?, ¿o la de un electrón?... ¿o la de lugares del espacio intraatómico extranuclear? Y así,en diferentes ámbitos muy diversos nos veríamos enormemente preocupados por nuestra igno-rancia sobre la validez o no de la idea general construida sobre la temperatura. Se trata de unproblema de notable envergadura, como puede apreciarse.

2.5 Conceptos de temperatura

El concepto de temperatura que ha creado la Física, ¿es único? ¿Existe un único concepto? ¿Elconcepto concebido como único —cuando así se formula, se expresa, se cree, se utiliza comodogma— es concepto auténtico (caracterización filosófica, caracterización matemática, conteni-do físico) o sólo idea (noción más o menos vaga)? ¿No existen múltiples conceptos netamentediferentes?

Comencemos por una afirmación fuerte, categórica, que facilite su justificación: existen(casi) tantos conceptos de temperatura como teorías físicas que integren entre sus magnitudesuna, denominada «temperatura», asociada al referente natural temperatura.

Ahora paseémonos por el Jardín Termológico y disfrutemos contemplando y reflexionandoacerca de algunas especies diferentes con nombre idéntico, ubicadas en tres de sus parterres. Laexistencia de una multiplicidad de teorías termológicas y la diversidad de estos conceptos sepone de manifiesto concentrándonos exclusivamente en tres de las teorías termológicas —aúnno estudiadas— con estas notas: a) las más conocidas; b) de las primeras establecidas histórica-mente; y c) las más clásicas. Son ellas:


www.FreeLibros.me

1. La Termodinámica Clásica.2. La Teoría analítica del calor de Fourier.3. La Teoría cinética de la materia (o de los gases).

Son suficientes para el objetivo propuesto. Puede completarse (ampliarse) con un desarrollo pa-ralelo aplicado a otras teorías como Radiación Térmica, Físicas estadísticas, etc.6

Un trabajo de esta naturaleza aquí ha de ser necesariamente breve. No profundizaremos enla caracterización topológica, algebraica y analítica de los diferentes conceptos; prácticamentesólo se enuncian sus características para una mejor comprensión de la existencia de divergen-cias. En los capítulos correspondientes se desarrollarán adecuadamente.

2.5.1. Concepto termodinámico de temperatura

La temperatura, en Termodinámica, se caracteriza, entre otras, por las siguientes propiedades:

a) Es un concepto primario7 —magnitud física primaria— que se concibe, se explica des-de sí mismo necesariamente, sin recurrir a otros y se introduce en las leyes y/o prin-cipios de la teoría en que se integre.

b) Topológica y algebraicamente, es una variable escalar real.c) Analíticamente, es una variable escalar real continua, pero no es una función espacial,

ni temporal, ni espacio-temporal.d) Se aplica al concepto previo de la Termodinámica denominado sistema. La temperatu-

ra constituye una de las variables (denominadas, a veces, funciones) que caracterizan elestado del sistema; es, pues, una variable de estado. En un proceso el sistema cambiade estado y, en consecuencia, el valor de la temperatura del sistema, salvo que el pro-ceso fuera isotermo.

e) Los sistemas termodinámicos clásicos tienen propiedades macroscópicas. La tempera-tura es, por tanto, un concepto de referente macroscópico (lo macroscópico es una ca-racterística general de los sistemas de la Física Clásica). La temperatura caracteriza,con otras variables, al sistema.

f) En el desarrollo de la teoría Termodinámica Clásica, utilizando la magnitud primariade temperatura descrita en los apartados anteriores, se completa el concepto:

1. Con el Principio Cero para afirmar que es una propiedad de valor común o idénti-co —es decir, que se presenta en la misma cantidad— de los cuerpos en equilibriotérmico.

2. Mediante el Segundo Principio (versión de Carnot) con el que se concluye queexiste un cero absoluto que concreta su topología.

3. Mediante el Tercer Principio que afirma la inaccesibilidad de dicho cero absolutoy completa su naturaleza topológica.

6 En los textos más difundidos de Física es usual que los conceptos primarios con naturaleza de magnitudes físicassean los menos desarrollados siendo así que son, justamente, los primarios o básicos o fundamentales sobre los que se va aconstruir toda la formalización teórica. Parece como si esa otra expresión que también se utiliza para designarlos, indefini-dos (por contraste con las magnitudes secundarias que se definen en función de las primarias mediante fórmulas de defini-ción) tomara cuerpo con otra significación distinta de la propia, tal como la de no caracterizarse casi de ninguna manera.

7 O indefinido, o básico, o fundamental; no se establece mediante una «fórmula de definición», procedimiento propiode «las magnitudes secundarias», que se introducen en función de otras.


www.FreeLibros.me

En consecuencia, la temperatura termodinámica es una variable escalar pero no po-tencial (queda absolutamente determinada, no «determinada a menos de una constanteaditiva»)8.

g) Representa básicamente una especie de «nivel de calentamiento» desde el cero absoluto.

2.5.2. Concepto cinético de temperatura

La temperatura, en la Teoría cinética de los gases —o de la materia—, posee las siguientespropiedades:

a) Es una magnitud física secundaria (concepto secundario, o definido o deducido o deri-vado; ya que se establece mediante una fórmula de definición).

b) Topológica y algebraicamente, es una variable escalar real.c) Analíticamente, puede considerarse como una función escalar real continua de magni-

tudes primarias (o secundarias), pero no función temporal, ni espacial, ni espacio-tem-poral.

d) Se aplica a la noción mecánica de sistema físico —sistema mecánico— constituido porun número muy grande de partículas en movimiento.

e) En estos sistemas cinéticos, de constitución supuesta microscópica, la temperatura esuna propiedad macroscópica (relativa al sistema de su totalidad).

f) Una fórmula de definición en el desarrollo de la teoría cinética, para gases idealesmonoatómicos (utilizándolos como ejemplo)9, es

E1 %mSv62T

2%

3

2kT ú T %

2E1

3k

y tiene que ser T n 0, siendo T % 0 sólo para E1 % 010.g) Representa básicamente una manifestación de la energía cinética media de las molécu-

las. Pretende expresar una propiedad termológica macroscópica de un sistema mecáni-co concebido propiamente como de naturaleza microscópica.

Digamos, por concretar de alguna manera, que la diferencia más llamativa entre estos dosconceptos de temperatura termodinámica y cinética la constituye su diferente naturaleza demagnitud:

a) En Termodinámica Clásica: magnitud primaria que hay que caracterizar por ser unconcepto indefinido.

b) En Teoría cinética: magnitud secundaria que se introduce mediante una fórmula de de-finición.

Y la semejanza más significativa es que se refiere a una propiedad macroscópica que carac-teriza al sistema, termodinámico o mecánico, en su totalidad.

8 El ser potencial es rasgo matemático común a los denominados potenciales termodinámicos: U, energía interna;H, entalpía; S, entropía; F, función de Helmholtz; G, función de Gibbs.

9 E1 : valor medio de la energía cinética; Sv62T: valor medio de los cuadrados de las velocidades de las partículas.10 Se suele afirmar, complementariamente, que en el cero absoluto las partículas estarían absolutamente quietas.


www.FreeLibros.me

2.5.3. Concepto fourieriano de temperatura

La temperatura, en la Teoría analítica del calor de Fourier, se caracteriza por estas otras pro-piedades:

a) Es una magnitud física primaria.b) Topológica y algebraicamente, es una variable escalar real.c) Analíticamente, es una función escalar real espacio-temporal (es un campo escalar

real definido sobre el cuerpo objeto de estudio).d) Se aplica a una propiedad distribuida en el cuerpo sólido (no de valor único para todo

el cuerpo, identificado como sistema) en cada instante; es decir, T % T(P, t).e) No es un concepto macroscópico (termodinámico) ni microscópico (mecánico). La

idealización de la teoría lo concibe como campo escalar en el recinto del cuerpo—considerado como parte del espacio clásico continuo— frente a las nociones de sis-tema termodinámico y de sistema mecánico de gran número de partículas.

f) En el desarrollo de la teoría de la conducción tiene el papel de función potencial esca-lar (determinada a menos de una constante aditiva) cuyo gradiente ( ) es la causa gene-radora del flujo térmico (o de calor).

La gran diferencia del concepto fourieriano respecto de los dos anteriormente expuestos esque la temperatura es una función distribuida espacialmente en el cuerpo —T(P, t)— frente aser propiedad del sistema global representativa del estado de equilibrio.

2.6 Consideraciones finales

En resumen:

1. Se considera (se cree) que la temperatura en la Naturaleza —la temperatura referen-te— existe en las cosas y en sus puntos y es única (determinada) en cada lugar e ins-tante (espacio y tiempo absolutos de la Física clásica).

2. Se construye una idea o noción científica progresivamente más completa y adecuadaacerca de dicha temperatura referente.

3. Se utilizan —o se han creado— diferentes conceptos de temperatura en las distintasteorías físicas.

4. Esos conceptos bastante diferentes tienen todos un mismo referente. Por ello son acep-tablemente próximos y relativamente concurrentes, de modo que sus medidas y suscálculos deberían converger.


www.FreeLibros.me

a

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.me

3.1 Generalidades

3.1.1. Fundamentos científico-filosóficos

El algo —referente— de la Naturaleza que en la Física ha dado origen a la idea y posteriores osimultáneos conceptos de temperatura se manifiesta por medio de otras propiedades de la mate-ria, y se mide, indirectamente, midiendo éstas.

La Termología es especial entre los subconjuntos de teorías físicas. Sus magnitudes princi-pales —temperatura y calor— son, en general, magnitudes primarias, aunque no en todas lasteorías termológicas, y son, también, un tanto singulares.

La temperatura es una magnitud primaria de naturaleza algebraica escalar y real. En cadacuerpo, lugar, punto, etc. —según la Física Clásica— existe una determinada cantidad de tem-peratura (nivel de calentamiento) que se representa por un valor real —en Termodinámica, sumedida respecto del cero absoluto y con el tamaño de grado Celsius o centígrado.

La temperatura se puede considerar como una función de nivel (aunque no sea una funciónpotencial matemática ordinaria, ya que posee un cero absoluto y, en consecuencia, está siempredeterminada). Por ello, cobra importancia el concepto de diferencia de temperatura bien entredos puntos o entre dos cuerpos en contacto, bien entre dos instantes o momentos de un interva-lo temporal.

Es conveniente discernir algunos fenómenos o procesos que pueden parecer análogos, almenos desde su tratamiento formal, y son diferentes en la Naturaleza y, también, en su encua-dre en una teoría física. Sólo tratamos estos casos por y para abrir horizontes comprensivos;véanse, por ejemplo:

a) Una diferencia de temperatura entre dos puntos (dos zonas) de un cuerpo origina unflujo de calor interior de la zona más caliente (la de mayor temperatura) hacia la másfría (la de menor temperatura). Este tipo de cuestiones —flujo térmico interior— se es-tudia en el ámbito de la Teoría analítica del calor de Fourier.

b) Una diferencia de temperatura entre dos cuerpos en contacto origina un flujo de calordel cuerpo más caliente hacia el cuerpo más frío. Este tema se estudia en dos situacio-nes distintas desde ópticas teóricas también diferentes:

b.1) La considerada como balances térmicos, Intercambios de calor y Calorimetría.Es uno de los temas generales termológicos pretermodinámicos y constituye ob-jeto central de estudio en la lección clásica denominada Teoría elemental de losintercambios de calor de Lavoisier-Laplace.

b.2) Los procesos de convección en contactos sólidos-fluidos, que da origen a otrateoría —la convección calorífica— objeto de estudio en Transmisión de calor.

c) Finalmente cabe considerar la variación de temperatura a que se somete un solo cuerpo—como unidad— entre dos situaciones concretas —dos estados— a diferentes tempe-raturas. Estos fenómenos se estudian en la Teoría (elemental) de dilatación de loscuerpos. Este efecto térmico (causado por una variación de la temperatura) de la di-latación de los cuerpos fue el primero históricamente considerado con tratamientomatemático aceptable. A él se dedicarán los temas de dilatación de sólidos, de líquidosy de gases de este texto. En especial la dilatación térmica de líquidos fue el primer


www.FreeLibros.me

efecto que en condición de propiedad termométrica fue utilizado como buen termó-metro.

Centrado el tema —efectos de los cambios de temperatura en un cuerpo determinado—, esposible considerar todo efecto observable de la variación de temperatura como objeto mediatode conocimiento de la correspondiente variación de temperatura causa de dicho efecto. Así fueincrementándose el conjunto de las propiedades termométricas (aquellas características físicasque varían con el cambio de temperatura).

3.1.2. Noticias históricas

Parece conveniente recordar, de manera organizada, algunos datos históricos.

A) Antiguedad

La noción de temperatura como nivel de calentamiento medible por medio de una escala naceen la Antiguedad clásica en el ámbito de la Medicina (Galeno, siglo II d.C.).

B) Siglos XVII y XVIII

Galileo Galilei (1564-1642) construyó, aproximadamente en 1597, los primeros termómetros(de aire) de los que se tiene conocimiento histórico. Consistían en un balón de cristal lleno deaire comunicado con un tubo parcialmente lleno de agua desde un recipiente inferior.

Otto von Guericke (1602-1686) inventó el termómetro de alcohol, consistente en una esferade latón llena de aire comunicada con un tubo en U con alcohol, y consideró una escala. (Tam-bién inventó el barómetro —medidor de presión—).

C. Huygens (1629-1695) sugiere en 1655 utilizar como punto fijo (punto de referencia) latemperatura (que denomina grado observable de calor) de ebullición del agua.

I. Newton (1642-1727) describió en 1701 una escala de manera bastante precisa colocandoel cero en el punto de congelación del agua. G. Amontan, en 1703, comentando su trabajo, in-trodujo el termómetro de gas a presión variable bloqueando el volumen del aire, es decir, ter-mómetro de gas a volumen constante e introdujo dos puntos fijos.

G. D. Fahrenheit (1686-1736) describió en 1724 el primer termómetro moderno (tal que to-dos los ejemplares registraban la misma temperatura con gran sorpresa de sus coetáneos). Mar-caba las divisiones con ayuda de diferentes puntos fijos (constantes): mezcla frigorífica de hie-lo, sal común y cloruro amónico —0 oF—, mezcla de hielo y agua —32 oF— (la distancia ladividió en 32 partes iguales, tamaño de su grado1), la temperatura del cuerpo humano—98 oF—, y ebullición del agua —212 oF—. Demostró que la temperatura de ebullición delagua depende de la presión.

R. Réaumur (1683-1757) creó en 1740 la escala que lleva su nombre, que utiliza los puntosde congelación —0 oR— y de ebullición —80 oR— del agua.

A. Celsius (1701-1744) propuso en 1742 la escala centígrada (aunque invertida para evitartemperaturas negativas) que actualmente lleva su nombre.

En resumen, durante los siglos XVII y XVIII la medida de la temperatura se reducía, en todoslos instrumentos y en el mejor de los casos, a medir la longitud de una columna de agua, de

1 oF: grado Fahrenheit.

CAPÍTULO 3. El problema de la medición de la temperatura: termometría 25

www.FreeLibros.me

alcohol o de mercurio. Por otra parte, los termómetros trabajaban en un intervalo limitado detemperaturas.

C) Siglo XIX

Pueden destacarse como notas básicas de la situación a principios del siglo XIX, las siguientes:

a) El termómetro era un instrumento habitual, extendido, pero la respuesta a la pregunta«¿qué medía?» tardó en encontrarse. Aún no se habían diferenciado las ideas de calory de temperatura y, por tanto, mucho menos sus conceptualizaciones.

b) Aparecen paulatinamente numerosos trabajos que analizan la relación entre la tempera-tura y otras propiedades de la materia distintas de la dilatación térmica (ésta tampocosuficientemente conocida).

S. N. Carnot (1796-1832) escribió en 1824 su posteriormente famosa obra Réflexions sur lapuissance motrice du feu. La idea de temperatura cobra cierto sentido de exactitud a partir de lafórmula del rendimiento de una máquina térmica

g %T1 . T2

T1

de modo que puede ser caracterizada (teóricamente, al menos) sin referencia a propiedades desustancias concretas, ni siquiera de la consideración de gases ideales.

W. Thomson (Lord Kelvin) (1824-1907) dedujo en 1848 de la ecuación de Carnot la relación

T1

T2%

Q1

Q2

que permitía establecer definitivamente la escala absoluta de temperaturas o escala termodiná-mica.

Quedaban pendientes, y por referencia exclusiva a la consideración macroscópica, proble-mas prácticos tales como: termómetro patrón, punto o puntos fijos, construcción de termóme-tros, etc., hasta el establecimiento de una escala práctica internacional de temperaturas.

3.1.3. Propiedades termométricasLas variaciones de temperatura en un cuerpo producen, generalmente, una variación de algunasmagnitudes observables (macroscópicas) que caracterizan el estado (conjunto de condicionesfísicas) del cuerpo.

En principio, y en general, toda propiedad de un cuerpo cuya medida varíe con la variaciónde temperatura es una propiedad termométrica. Estas propiedades suelen representarse en unatabla (véase Tabla 3.1).

3.1.4. Ecuación termométricaUn enfoque topológico permite establecer una correspondencia biunívoca entre valores reales(medidas) de la propiedad termométrica, x, y valores reales (medidas) de la temperatura, h, da-do que ambos conjuntos pueden considerarse como intervalos de la recta real, �:

x T h

� Ö [a, b] T «x» T «h» T �!

0 Ñ �


www.FreeLibros.me

Tabla 3.1

Propiedad termométrica Variabletermométrica Nombre del termómetro

Dilatación de una columna líquida capilar l De líquido (mercurio, alcohol...)

Dilatación de un sólido l De sólido

Volumen de un gas V De gas a presión constante

Presión de un gas p De gas a volumen constante

Resistencia eléctrica de un metal R De resistencia

Resistencia eléctrica de un semiconductor R Termistor

Fuerza electromotriz termoeléctrica E Termopar

Radiación energética total e Pirómetro de radiación total

Radiación monocromática e Pirómetro monocromático

Susceptibilidad magnética k Magnético

Frecuencia de vibración l De cuarzo

Desde una perspectiva analítico-funcional interesa establecer esa correspondencia en formade una ecuación entre variables reales de la forma:

h % f(x) (3.1)

o bien

x % h(h) (3.2)

denominada ecuación termométrica.Las funciones f o h se introducen teóricamente y sus parámetros se obtienen experimental-

mente de modo que para cada propiedad termométrica existe un tipo de ecuación termométricay para cada termómetro deben obtenerse los valores concretos de los parámetros mediante sucontraste, calibración, con unos puntos fijos de referencia general (valores supuestos absolutos,reproducibles).

El establecimiento de una ecuación termométrica exige, pues, adoptar una propiedad termo-métrica y establecer una correspondencia —elegir una ecuación— que tendrá validez, normal-mente, para un determinado intervalo de temperaturas.

3.1.5. Termómetro

Termómetro es todo dispositivo transductor o sensor para medir (indirectamente) la temperatu-ra. El termómetro mide (directa y realmente) otra magnitud física: la representada por la pro-piedad termométrica.


www.FreeLibros.me

3.1.6. Sensibilidad termométrica

A partir de la ecuación termométrica:

x % h(h)

se denomina sensibilidad termométrica a:

s %dx

dh(3.3)

es decir, la derivada de la propiedad termométrica respecto de la temperatura, función que indi-ca precisamente la sensibilidad —variación de la propiedad termométrica al variar un grado latemperatura— del correspondiente termómetro para cada valor (usualmente, intervalo) de tem-peratura.

3.2 Ecuaciones termométricas básicas

Se consideran ecuaciones termométricas básicas las de estructura polinómica. Se describen in-crementando el número de términos.

3.2.1. Ecuación termométrica lineal

La ecuación termométrica matemáticamente más sencilla es la del tipo lineal, de proporcionali-dad simple entre h y x, que se expresa de la forma:

h % ax (3.4)

donde h es la medida de la temperatura, x es la medida de la propiedad termométrica y a es unparámetro (variable física dimensionada o constante dimensionada) de fórmula dimensional[a] % [h][x].1. La representación gráfica de la Ecuación (3.4) (Figura 3.1) es una recta que pa-sa por el origen y cuya pendiente es a. (La correspondencia entre valores x de la propiedadtermométrica y valores de la temperatura h es precisamente dicha recta.)

Figura 3.1

Lo absoluto son las cantidades de temperatura (o nivel de calentamiento). La unidad (tama-ño de grado, nombre clásico de unidad de temperatura) podría elegirse arbitrariamente.


www.FreeLibros.me

En este tipo de ecuación, para determinar el valor del parámetro a se necesita un solo puntofijo. Por razones históricas se ha acordado internacionalmente mantener como tamaño de gradoel centígrado o Celsius, y elegir como punto fijo un determinado nivel de calentamiento exactoy reproducible: el denominado punto triple del agua (temperatura de equilibrio del hielo, delagua y del vapor que se verifica a esa temperatura determinada, única, y a una presión tambiénúnica —4,58 torr2—). Arbitrariamente, para no alterar los puntos fijos de la escala Celsius,punto de fusión del hielo y punto de ebullición del agua, se le asigna el valor 273,16 K(K, grado Kelvin, es la unidad de temperatura de la escala absoluta, en honor del inventor deesta escala, Lord Kelvin). Representando por x3 la medida de la propiedad termométrica en elpunto triple, se obtiene:

273,16 % ax3 ú a %273,16

x3

h % 273,16x

x3(3.5)

Esto se verifica para cualquiera que fuese la propiedad termométrica x que respondiera acepta-blemente a la Ecuación (3.4).

3.2.2. Ecuación termométrica afín

Una especial relevancia histórica han tenido, por su sencillez y uso generalizado, las ecuacio-nes termométricas del tipo lineal afín:

h % ax ! b (3.6)

En éstas, h es la medida de la temperatura, x la variable termométrica, y a y b parámetros (va-riables dimensionadas) con las fórmulas dimensionales: [a] % [h][x].1 y [b] % [h]; exigidas porla necesaria homogeneidad física de los términos de la Ecuación (3.6).

Para determinar los parámetros a y b correspondientes a un termómetro considerado, según(3.6), se recurre a la adopción de dos puntos fijos. Tradicionalmente, estos puntos fijos han si-do el punto de hielo (o hielo fundente, o punto de fusión del hielo) y el punto de vapor (o deebullición del agua), ambos a presión normal. En la escala Celsius o centígrada, estos puntosson:

hh % 0 oC hv % 100 oC

de modo que el valor hv . hh % 100 oC determinó el tamaño del grado, no sólo Celsius o centí-grado sino también el grado absoluto, idéntico al Celsius, de forma que

t(oC) % T(K) . 273,15 (3.7)

El punto triple del agua, T % 273,16, tiene, por tanto, una temperatura Celsius

t % 273,16 . 273,15 % 0,01 oC

2 Torr, torricelli; 1 torr % 1 mm Hg % 1/760 atm.


www.FreeLibros.me

Esta pequeña diferencia entre el punto de hielo y el punto triple se debe a que éste tienelugar para una presión de 4,58 torr y no a la presión normal de 1 atm z 760 mm Hg.

Para aquellas propiedades termométricas, x, que idealmente admitieran una ecuación del ti-po (3.6) y en el caso de que se quisiera relacionar dicha propiedad con las temperaturas expre-sadas en oC, resultaría:

t % ax ! b (3.8)

Sustituyendo para los puntos fijos considerados (punto de hielo y punto de vapor) se obtie-ne un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:

0 % ax0 ! b

100 % ax100 ! bde solución elemental:

a %100

x100 . x0, b % .

100

x100 . x0x0

Por tanto, la ecuación termométrica será de la forma:

t % 100x . x0

x100 . x0(3.9)

3.2.3. Ecuación termométrica cuadrática

Con frecuencia, en numerosos casos de termómetros, se expresa la temperatura, h, en funciónde la propiedad termométrica, x, mediante la ecuación cuadrática:

h % ax2! bx ! c (3.10)

o bien la propiedad termométrica, x, en función de la temperatura, h, mediante:

x % a ! bh ! ch2 (3.11)

Si se consideran temperaturas centígradas Celsius, t, la ecuación adquiere la forma:

x % a ! bt ! ct2 (3.12)

usual en termopares y termómetros de resistencia, según se verá en los Apartados 3.3.2 y 3.3.3.

3.2.4. Ecuación termométrica polinómica general

Con carácter exhaustivo se utiliza la ecuación termométrica polinómica general del tipo:

x % a0 ! a1t ! a2t2! ñ ! ant

n (3.13)

o con notación densa:

x %

n

;i%0

aiti (3.14)


www.FreeLibros.me

donde x representa las medidas de la propiedad termométrica utilizada y t los valores de latemperatura —que deben calcularse por medio de esa ecuación ya que no se miden directamente.

El significado físico de los coeficientes de la ecuación se deduce de la aplicación del prin-cipio de homogeneidad, general de la Física, con lo que se obtiene la naturaleza física de lasconstantes:

[a0] % [x]

[a1] % [x][h].1

[a2] % [x][h].2

ó[an] % [x][h].nF (3.15)

o bien con notación densa:

[ai] % [x][h].i (3.16)

que constituyen una familia de constantes dimensionadas dependientes de la variable termomé-trica, x, y de la temperatura, h.

Los valores concretos de estas constantes para cada termómetro —valores correspondienteso asociados a un termómetro— se determinan —por cálculo— mediante calibración con(n ! 1) puntos fijos. El grado u orden n del polinomio que se utilice depende del número depuntos fijos que se consideren3.

3.3 Termómetros

Se describen algunos termómetros tradicionales que utilizan ecuaciones termométricas básicas—de gas a volumen constante, de resistencia, termopar—, así como otro de ecuación diferente—termistor.

3.3.1. Termómetros de gas a volumen constante

Dado que las propiedades de los gases para pequeños valores de la presión son muy parecidas alas de los gases ideales, se utiliza (se elige) como patrón el termómetro de gas a volumen cons-tante, operando con él de tal forma que el resultado de la medida de temperatura sea indepen-diente del gas (supuesto ideal).

En la Figura 3.2 se esquematiza el sistema termométrico en el que el volumen del gas semantiene prácticamente constante ajustando el nivel del mercurio en la rama de la izquierdadel manómetro con el nivel A marcado en el capilar mediante el desplazamiento del ramalderecho.

3 Nota complementaria. Teóricamente —es decir, matemáticamente— también sería una ecuación termométrica poli-nómica la siguiente:

t % t0 ! a1x ! a2x2! ñ ! anx

n

que expresaría la temperatura t como función de potencias de la propiedad termométrica, pero no es el caso físico en vigor.


www.FreeLibros.me

Figura 3.2

La aplicación del principio de Pascal a los puntos A y B situados a la misma altura de unaúnica masa fluida —mercurio— permite medir la presión midiendo la diferencia de altura h:

pA % pB ú pgas % ch

siendo c el peso específico del mercurio.Se acepta que este termómetro verifica la ecuación termométrica lineal (3.3), es decir:

h % ap (3.17)

resultando:

h % 273,16p

p3(3.18)

La experiencia demuestra que los valores p/p3 dependen de la naturaleza del gas (véase Fi-gura 3.3), pero de forma que en el eje p/p3 confluyen las curvas asociadas a los diferentes gases.De esta manera el valor de p/p3 para p3 r 0 para es independiente de la naturaleza del gas utili-zado en el termómetro. La temperatura así obtenida se denomina temperatura absoluta del gasideal.

Figura 3.3

T % 273,16 límp3r0

p

p3(3.19)

Si p r 0, T r 0 (p%0 ú T%0). La ecuación se representa gráficamente en la Figura 3.4.


www.FreeLibros.me

Figura 3.4

Este termómetro es de escaso uso por la complejidad de las medidas, que deben ser reitera-das, y por la necesidad de extrapolación para el cálculo o representación gráfica. Su uso se re-duce a la determinación precisa de puntos fijos, referencias termométricas fundamentales.

3.3.2. Termómetros de resistencia

La propiedad termométrica utilizada en estos termómetros es la resistencia eléctrica de un hilometálico cuya medida se relaciona con la temperatura, empíricamente, mediante ecuaciones detipo polinómico:

Rt % R0(1 ! a1t ! a2t2! ñ ! ant

n) (3.20)

Usualmente se considera sólo hasta el término de segundo grado, es decir:

Rt % R0(1 ! at ! bt2) (3.21)

donde R0, a y b son constantes físicas dimensionadas cuyas fórmulas dimensionales son:[R0] % [R], [a] % [h].1, [b] % [h].2, y R0 es la resistencia del hilo a 0 oC.

Esta ecuación es del tipo x % h(t). Mediante gráficos, tablas o ábacos se calcula la tempera-tura, una vez obtenido el valor de la resistencia.

Para determinar la ecuación de un termómetro de resistencia concreto a partir de (3.13) seprecisan tres puntos fijos; normalmente se consideran: el punto triple del agua (0,01 oC), elpunto de ebullición del agua (100 oC) y el punto de solidificación del zinc (419,58 oC).

Por debajo de los 0 oC, suele utilizarse una ecuación de tercer grado:

Rt % R0(1 ! at ! bt2 ! ct3) (3.22)

En los termómetros industriales, la resistencia-sonda consiste, frecuentemente, en un hilometálico (de platino o níquel) arrollado sobre un soporte (de mica) protegido por un recubri-miento apropiado al medio cuya temperatura se desea conocer.

La medida de Rt suele hacerse por uno de los dos procedimientos que se describen a conti-nuación.

a) Dispositivo con tensión de alimentación constante (Puente de Wheatstone)

Se considera el dispositivo eléctrico esquematizado en la Figura 3.5, denominado puente deWheatstone. Las resistencias R1 y R2 son fijas. Se equilibra el puente (VB % VD; galvanómetroindicando que no pasa corriente) variando R4, que es el objeto de la medida directa, para obte-


www.FreeLibros.me

Figura 3.5. Puente de Wheatstone.

ner Rt, objeto de cálculo. De la aplicación de la ley de Ohm a las dos ramas (superior e infe-rior) del puente resulta:

VB . VA % VD . VA ú i1R1 % i2R2

VC . VB % VC . VD ú i1Rt % i2R4

de donde se obtiene la relación:

Rt %R1

R2R4 (3.23)

Si la sonda, resistencia Rt, debe estar lejos de la estación de medidas (control) —por ejem-plo en un recinto de hormigón en masa, (presa de gravedad)— y la longitud de los cables hastala estación es larga, la resistencia de los cables puede introducir errores apreciables obligando aefectuar correcciones.

b) Dispositivo de intensidad constante

En el circuito de la Figura 3.6 se mantiene una intensidad constante controlada por el amperí-metro mediante la resistencia variable Rv. De la aplicación de la ley de Ohm resultan las igual-dades:

i %Vp

Rp

%Vt

Rt

Figura 3.6


www.FreeLibros.me

De ellas se obtiene:

Rt %Vt

Vp

Rp (3.24)

Conocida la resistencia patrón, Rp, basta medir los potenciales Vt y Vp para obtener Rt.

3.3.3. Par termoeléctrico o termopar

Un termopar o par termoeléctrico (Figura 3.7) es un circuito sencillo integrado por dos con-ductores de diferentes metales soldados por los extremos.

Figura 3.7. Esquema de un termopar.

Si las soldaduras están a diferente temperatura se genera una corriente por el circuito (efec-to Seebeck). Intercalando en uno de los conductores un amperímetro puede detectarse la inten-sidad que circula por el termopar.

Así, un termopar es un termómetro cuya propiedad termométrica es la fuerza electromotrizgenerada. Ésta depende de la naturaleza de los metales y de la diferencia de temperatura entrelas soldaduras. Una de éstas es la sonda (soldadura caliente) y la otra, la soldadura de referen-cia, usualmente el punto de hielo, 0 oC (soldadura fría).

La relación entre E y t puede representarse por la ecuación termométrica de tipo polinómico:

E % a0 ! a1t ! a2t2! a3t

3! ñ ! ant

n (3.25)

donde E es la fuerza electromotriz y t la temperatura en oC sobre la referencia (de modo quea0 % 0). Frecuentemente se consideran sólo dos términos y la ecuación se reduce a

E % bt ! ct2 (3.26)

Los valores de las constantes dimensionadas b y c deben obtenerse para cada termómetroconcreto mediante su calibración.

En el caso frecuente en el que se verifique b b 0 y c a 0, la Ecuación (3.26) se representagráficamente en la Figura 3.8, donde se indican la temperatura neutra (aquella para la cual Ees máxima y, por tanto, su derivada nula) y la temperatura de inversión (aquella para la cual laE cambia de signo).


www.FreeLibros.me

Figura 3.8. Ecuación termométrica de un termopar.

En estos termómetros la sensibilidad, derivada de E con respecto a t, se denomina tambiénpoder termoeléctrico, potencia termoeléctrica y coeficiente Seebeck, es decir:

P %dE

dt(3.27)

Para el caso (3.26) de la Figura 3.8, el poder termoeléctrico se expresa:

P % b ! 2ct (3.28)

y se representa en la Figura 3.9 relacionada con la 3.8 mediante la concordancia de los respec-tivos ejes de abscisas, t.

Figura 3.9. Poder termoeléctrico.

3.3.4. Termistores

Se denomina termistor a un elemento eléctrico cuya resistencia posee un coeficiente de tempe-ratura (o sensibilidad) elevado y negativo (la resistencia decrece con la temperatura). El termis-tor típico es un semiconductor estable y compacto de naturaleza cerámica con dos terminales.

Los termistores son elementos de circuito de gran adaptabilidad y con muchas aplicacionesen medidas y control. Entre ellas destaca la de servir de termómetros de resistencia.

La relación entre la variable termométrica, resistencia eléctrica, y la temperatura se estable-ce mediante la ecuación empírica del tipo

R % A . eB/T (3.29)

A y B son constantes físicas dimensionadas, de fórmulas dimensionales [A] % [R] y[B] % [T] para garantizar la homogeneidad de (3.29).


www.FreeLibros.me

E J E R C I C I O S R E S U E L T O S

3.1 a) Obtener las relaciones que existen entre las lecturas de temperaturas en las escalasCelsius, Fahrenheit y Absoluta.

b) La escala Rankine es una escala termodinámica (a partir del cero absoluto) con elmismo tamaño de grado que la Fahrenheit. ¿Cómo se relacionan sus medidas con lasrelativas a la escala Absoluta?

Solución:

a) Teniendo en cuenta el concepto de temperatura («nivel de calentamiento») puede hacersela siguiente representación:

donde se han designado por t, tF y T las temperaturas en grados Celsius, Fahrenheit y Ab-soluta, respectivamente.

La relación entre las unidades de las dos primeras escalas es:

u

uF

%180

100%

9

5

1. tF % f (t)

tF % 32 ! tñF % 32 !9

5t [1]

2. Directamente, T % f (t)

T % t ! 273,15 [2]

3. T % f (t)

T %5

9(tF . 32) ! 273,15 ú T %

5

9tF ! 255,15 [3]


www.FreeLibros.me

b) Escala Rankine:

Por tanto:

TR %9

5T [4]

Las relaciones entre las lecturas en escalas Celsius y Fahrenheit se obtienen sin másque sustituir T por sus expresiones en función de t y tF, respectivamente:

TR %9

5(t ! 273,15) [5]

TR % tF ! 459,67 [6]

Nota: Las Ecuaciones [1] a [6] son igualdades entre medidas (números reales).

3.2 Se supone una escala lineal de temperaturas (oX) de forma que los puntos de fusión del hie-lo y de ebullición del agua a 1 atm sean 100 oX y 500 oX, respectivamente. Obténgase larelación existente entre las temperaturas Celsius y las medidas en dicha escala.

Solución:

La idea de temperatura («nivel de calentamiento») permite hacer la siguiente representación:

De la relación entre las medidas t y x de la temperatura en las escalas lineales consideradas,se obtiene:

100 . 0

t%

500 . 100

x . 100ú t %

1

4x . 25

O bien

x % 4t ! 100


www.FreeLibros.me

3.3 Un termómetro de agua —tubo de vidrio conagua— se usa para determinar si dos sistemas se-parados se encuentran en equilibrio térmico. Ladensidad del agua (representada en la figura ad-junta) es el parámetro termométrico.

Supóngase que, cuando el termómetro se in-serta en cada uno de los sistemas, el agua se ele-va a la misma altura, correspondiente a una den-sidad de 0,999945 g . cm.3.

a) ¿Están los sistemas necesariamente en equili-brio térmico?

b) ¿Cambiaría la altura del agua en el termóme-tro si los sistemas se pusieran en contacto térmico?

c) Si se produjera un cambio en la altura del agua, ¿aumentaría o disminuiría ésta?d) ¿Qué conclusión extraería de la reflexión sobre el problema?

Solución:

a) Los sistemas no estarían necesariamente en equilibrio térmico, ya que a una o determinadapueden corresponder dos temperaturas distintas.

b) 1. Hipótesis de sistemas a idéntica temperatura: no se modifican ni o ni h.2. Hipótesis de sistemas a diferente temperatura: al ponerlos en contacto evolucionarían

hacia una temperatura intermedia y, en consecuencia, cambiaría la altura al variar ladensidad.

c) El sistema A, y también el B, aumentarían su densidad; es decir:

ox b oA

ox b oBFox aumenta ú V disminuye ú h disminuye

d) La densidad del agua no es una buena propiedad termométrica (al menos para temperatu-ras en torno a los 4 oC). El termómetro de agua es un mal termómetro.

3.4 Una soldadura de un par termoeléctrico de dos metales diferentes se mantiene en hielo fun-dente mientras que la otra se introduce en un baño de arena que incluye un buen termóme-tro. Cuando el baño de arena tiene una temperatura de 100 oC la fuerza electromotriz esde 1,5 mV y cuando la temperatura es de 200 oC la fuerza electromotriz es de 2,0 mV.¿Cuál sería la fuerza electromotriz entre las soldaduras si la diferencia de temperaturas fuesede 150 oC?

Solución:

La ecuación termométrica usual de un par termoeléctrico es:

E % a ! bt ! ct2


www.FreeLibros.me

La soldadura de referencia se encuentra en hielo fundente, es decir que para:

t % 0 , E % 0 ú a % 0 ú E % bt ! ct2

Imponiendo las dos condiciones explícitas del enunciado se obtienen los valores de los pa-rámetros b y c:

1,5 % b . 100 ! c . 104

2 % b . 200 ! c . 4 . 104

b % 2 . 10.2

c % .0,5 . 10.4

Por tanto:E % 2 . 10.2t . 0,5 . 10.4t2

y, haciendo t % 150, resulta:

E % 2 . 10.2 . 150 . 0,5 . 10.4 . 1502

E % 1,875 mV

3.5 En la tabla adjunta se expresan las fuerzas electromotrices termoeléctricas (en mV) de algu-nos materiales respecto al platino para dos temperaturas de la soldadura caliente (200 y400 oC) cuando la soldadura de referencia se mantiene a 0 oC.

t(oC) Cromo Aluminio Cobre Hierro Constantán Níquel

200 5,96 .2,17 1,83 3,54 .7,45 .3,10400 12,75 .3,64 4,68 5,88 .16,19 .5,45

El signo de la fuerza electromotriz se considera positivo cuando produce la corriente en elsentido del elemento al platino en la soldadura de referencia y negativo en caso contrario.Se pide:

1. Si se dispone de pares Cu-constantán, Fe-constatán, Cr-Al, Fe-Cu, Al-Ni para los cualespuede suponerse que la dependencia de la fuerza electromotriz con la temperatura escuadrática en el dominio de temperaturas 0-400 oC, ¿cuál debe utilizarse para obtener lamayor sensibilidad en la medida?

2. ¿Qué par termoeléctrico proporciona una sensibilidad lo más uniforme posible para elrango de temperaturas considerado?

Solución:

1. La ecuación termométrica de los pares citados para 0 m t m 400 oC es:

E % a ! bt ! ct2

Teniendo en cuenta la condición de la temperatura de referencia:

t % 0 , E % 0 ú a % 0 ú E % bt ! ct2


www.FreeLibros.me

Aplicando esta ecuación reducida (dos parámetros) a losdatos de la tabla pueden obtenerse los valores de los paráme-tros correspondientes a cada uno de los pares termoeléctricos:

E1 % b . 200 ! c . 4 . 104

E2 % b . 400 ! c . 16 . 104

de donde se obtienen:

b %4E1 . E2

400; c %

E2 . 2E1

8 . 104

La sensibilidad o potencia termoeléctrica se define por:

P %dE

dtú P % b ! 2ct

Con carácter general se acepta la hipótesis del comportamiento algebraico relativo de losmateriales entre sí a partir de los datos referidos al platino.

Cálculo para el par Cu-constantán:

E1 % 1,83 . (.7,45) % 9,28 mV

E2 % 4,68 . (.16,19) % 20,87 mV

b % 4,06 . 10.2 mV . oC.1

c % 2,89 . 10.5 mV . oC.2

t1 % 0 oC ú P1 % 40,6 ]V . oC.1

t2 % 400 oC ú P2 % 63,7 ]V . oC.1

Procediendo análogamente para los restantes pares, se resumen los resultados en la tablasiguiente:

Cu-constantán Fe-constantán Cr-Al Fe-Cu Al-Ni

b (mV . oC.1) 4,06 . 10.2 5,47 . 10.2 4,03 . 10.2 1,41 . 10.2 0,48 . 10.2

c (mV . oC.2) 2,89 . 10.5 1,13 . 10.6 1,63 . 10.6.2,78 . 10.5

.6,25 . 10.7

P1(]V . oC.1) 40,6 54,7 40,3 14,1 4,8

P2(]V . oC.1) 63,7 55,6 41,6 .8,1 4,4

y se representan en la figura de la página siguiente.De la representación puede deducirse que los pares de mayor sensibilidad son:

0-250 oC: Fe-constantán

250-400 oC: Cu-constantán


www.FreeLibros.me

donde el valor ] 250 oC se obtiene de la figura (puede calcularse algebraicamente paramejor exactitud).

2. Mayor uniformidad implica menor pendiente de la recta (2 c), lo que implica menor valorde c. Por tanto: Al-Ni.

En la práctica se utilizaría el Fe-constantán, de uniformidad análoga por su mayor sen-sibilidad.

3.6 La presión de un termómetro de gas a volumen constante es de 0,400 atm en el punto defusión del hielo y de 0,546 atm en el punto de vaporización del agua. Se pide:

a) Calcular la temperatura del agua cuando la presión es de 0,100 atm.

b) Calcular la presión en el punto de ebullición del azufre (444,6 oC).

Solución:

La ecuación termométrica es:

t % ap ! b

Las constantes a y b se determinan mediante dos puntos fijos:

t % 0 oC , p % 0,4 atm ú 0 % 0,4 a ! b

t % 100 oC , p % 0,546 atm ú 100 % 0,546 a ! b

De estas ecuaciones se deducen los valores:

a % 685 ; b % .274

Por tanto:

t % 685p . 274

a) Para p % 0,1 ú t % 68,5 . 274 % .205,5 oC

b) Para t % 444,6 ú p %t ! 274

685% 1,05 atm


www.FreeLibros.me

3.7 Un termómetro de gas a volumen constante se encuentra a una presión de 30 mm Hg cuan-do se aplica a una temperatura de 373 K.

a) ¿Cuál es su presión p3 en el punto triple del agua?

b) ¿Qué temperatura corresponde a una presión de 0,25 mm Hg?

Solución:

Se acepta la hipótesis de gas ideal. En este caso:

pV % nRT ú T %V

nRp % ap

Se necesitaría un punto fijo para calibrar el termómetro. Como:

T % 373 K y p % 30 mm Hg

a %T

p%

373

30% 12,43

K

mmHgú T % 12,43p

a) T3 % 273,16 % 12,43 p3 ú p3 % 21,98 mm Hg

b) T % 12,43 . 0,25 % 3,10 K

t ] .267 oC

3.8 Un par termoeléctrico, de potencia termoeléctrica constante en el intervalo de temperaturasutilizado, P % 92 . 10.6 V/oC, y de resistencia R % 10 L está conectado a un galvanómetrocuya resistencia interna es r % 120 L.

Calcúlese la intensidad de corriente que marcará el galvanómetro cuando se introduceuna de las soldaduras en vapor de agua a presión normal y la otra en hielo fundente.

Solución:

P %dE

dt; E %I

t2

t1

P dt % P(t2 . t1)

E % 92 . 10.6(100 . 0) % 0,0092 V % 9,2 mV

I %E

R ! r%

92 . 10.4

10 ! 120% 0,71 . 10.4 A % 0,071 mA

3.9 El calor específico molar de un determinado gas se expresa en cal/mol . K mediante la ecua-ción cp % 3,38 ! 18,04 . 10.3 T, siendo T la temperatura del gas en K.

Obténgase la expresión de cp si se utilizan las siguientes escalas de temperaturas: a) oC,Celsius; b) oF, Fahrenheit; c) oR, Réaumur.


www.FreeLibros.me

Solución:

Simbólicamente, por el Postulado general de homogeneidad de las ecuaciones físicas, la expre-sión dada puede escribirse de la forma:

cp Acal

mol . KB% 3,38Acal

mol . KB! 18,04 . 10.3 Acal

mol . KB T

donde T representa medidas (números reales) de temperatura en la escala Kelvin.

a) El cambio de la escala Kelvin por la escala Celsius invita a proceder de la forma siguiente:

cpAcal

mol . KB AKoCB% 3,38A

cal

mol . KB AKoCB! 18,04 . 10.3 A

cal

mol . KBAKoCB (t ! 273,15)

donde t representa medidas (números reales) de temperatura en oC. Reagrupando las opera-ciones indicadas, resulta:

cp Acal

mol . oCB% (3,38 ! 18,04 . 10.3 . 273,15)Acal

mol . oCB! 18,04 . 10.3 Acal

mol . oCB t

Efectuando las operaciones indicadas, se obtiene:

cp % 8,305 ! 18,04 . 10.3t ; midiendo t en oC

b) Análogamente:

cpAcal

mol . KBAK

9/5 oFB! 18,04 . 10.3Acal

mol . KBAK

9/5 oFBC5

9(tF . 32) ! 273,15D

donde tF son medidas (números reales) de temperatura en oF.Efectuando operaciones, resulta:

cp % 7,98 ! 10,02 . 10.3tF ; midiendo tF en oF

c) Análogamente, se obtendría:

cp % 3,37 ! 10,02 . 10.3tR ; midiendo tR en oR

3.10 Sea un termisor tal que, al calibrarlo, da una resistencia de R % 7.280 L en el punto de con-gelación y R % 149 L en el punto de vaporización del agua. Calcular:

a) Las constantes A y B del aparato.

b) La resistencia del termistor a 96 oF.

c) La variación de la resistencia con la temperatura en los puntos de congelación y vapori-zación.

Solución:

Se considera la ecuación termométrica de un termistor (3.18): R % AeB

T.


www.FreeLibros.me

a) Sustituyendo los valores:

7.280 % AeB

273,15

149 % AeB

373,15

y resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene:

B % 3.963,8 K y A % 3,63 . 10.3L

b) Pasando a la temperatura absoluta:

TC %5

9(TF . 32) ; T % TC ! 273

TC %5

9(94,2 . 32) % 34,5 oC % 307,5 K

R % 3,63 . 10.3e3.963,8

307,5

R % 1.439,26 L

c) Derivando respecto de T:

dR

dT%

d(AeB

T)

dT% A

.B

T2 eB

T

Para la temperatura de congelación del agua:

dR

dT% 3,63 . 10.3A.

3.963,8

273,152 e3.963,8

273,15B% .386,77 L

Para la temperatura de vaporización del agua:

dR

dT% 3,63 . 10.3A.

3.963,8

373,152 e3.963,8

373,15B% .4,24 L


www.FreeLibros.me

E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S

3.1. Si en una habitación un termómetro marca 68 oF, ¿cuál será la temperatura expresadaen la escala Celsius?

3.2. Si un enfermo tiene fiebre y el termómetro marca 39 oC, ¿qué temperatura marcaría siel termómetro estuviera calibrado en la escala Fahrenheit?

3.3. Si el punto de fusión del sodio es 371 K en la escala Kelvin, ¿a qué temperatura fundi-rá en las escalas Celsius y Fahrenheit?

3.4. Un termómetro está graduado en la escala Celsius y en la Fahrenheit. ¿A qué tempera-tura marcará el mismo número en ambas escalas?

3.5. La temperatura de fusión de la plata es de 960 oC y la de vaporización, 2.193 oC. Sepide:

a) Expresar dichas temperaturas en grados Kelvin y Fahrenheit.b) Calcular la diferencia entre ambas temperaturas en grados Celsius y Kelvin.

3.6. La diferencia de temperatura entre el interior del motor de un automóvil en marcha y elambiente es aproximadamente de 435 oC. ¿Cuál es esa diferencia expresada en la escalaFahrenheit? ¿Y en la escala Absoluta?

3.7. La escala Celsius indica 0 y 100 en los puntos de fusión y ebullición del agua, respecti-vamente. Sabiendo que la escala Fahrenheit indica 32 y 212 para esas mismas condicio-nes, se pide:

a) Deducir la relación que existe entre las medidas de temperatura en oF y oC.b) Convertir en oF las siguientes temperaturas: .186 oC, .12 oC, 127 oC.c) Expresar en oC las siguientes temperaturas: .275 oF, 24 oF, 162 oF.d) ¿Cuál es la medida en oF del cero absoluto?

3.8. Un termómetro de hidrógeno a volumen constante indica una presión de 760 mm Hg a0 oC y 1.160 mm Hg a 100 oC. ¿Qué temperatura tendrá un recinto en el cual dicho ter-mómetro indica 1.000 mm Hg?

3.9. Un termómetro de gas a volumen constante indica una presión de 50 mm Hg en el pun-to triple del agua. Calcular:

a) La presión cuando el termómetro indique 315 K.b) La temperatura del gas cuando marque una presión de 596 mm Hg.

3.10. En un termómetro de gas a volumen constante, la presión a 25 oC es de 0,87 atm.

a) ¿Qué presión marcará a 51 oC?b) ¿Cuál será la temperatura si el termómetro marca una presión de 0,63 atm?

3.11. Sea un termopar cuya fuerza electromotriz viene dada por la ecuación E % At ! Bt2

cuando la soldadura de referencia se mantiene a la temperatura del hielo fundentey la soldadura de medida está a t oC. Sus constantes son: A % 0,20 mV/grado;B % .5 . 10.4 mV/grado2. Se desea conocer:


www.FreeLibros.me

a) Valor de E para las temperaturas .100 oC, 200 oC, 400 oC y 500 oC.b) Representación gráfica de E en función de t para ese intervalo de temperaturas.c) Tomando E como magnitud termométrica se define una escala de temperaturas tñ,

mediante la ecuación lineal tñ % aE ! b, en la que se considera tñ % 0, en el puntode fusión del hielo y tñ % 100 en el de ebullición del agua; calcular a y b.

d) Representación gráfica de E en función de tñ.e) Valores de tñ para t: .100 oC, 200 oC, 400 oC y 500 oC.f) Representación gráfica de tñ en función de t, comparando ambas escalas.


www.FreeLibros.me

a

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.me

4.1 Introducción

Esta teoría física elemental de la dilatación térmica de los cuerpos se concibe y se construyeen la primera mitad del siglo XIX, en el ámbito de la Física Clásica del continuo, determinista,de base experimental o empírica y de la búsqueda de leyes de proporcionalidad.

Se parte de un hecho experimental: los sólidos, líquidos y gases, con muy pocas excepcio-nes (por ejemplo, el agua entre 0 y 4 oC), se dilatan, es decir, aumentan de volumen al calentar-se (incrementar su temperatura) cuando la presión permanece constante.

Este tema suele concebirse, sobre todo, como un tema práctico para la vida cotidiana y paralas construcciones de cálculo sencillo y, por ello, se refieren usualmente las temperaturas engrados Celsius, y se presupone, salvo afirmación en contrario, que el proceso térmico tiene lu-gar a la presión atmosférica (que se supone constante durante el proceso considerado).

Los aspectos microscópicos (moleculares, atómicos, etc.) interiores de la materia no tienencabida en este contexto, ya que pertenecen a otro ámbito (teoría cinética de la materia, vibra-ciones de los átomos, etc.). El tema se centra en la física macroscópica, de «lo observable»,característica de la ciencia experimental del siglo XIX, y conviene destacar con reiteración quese desarrolla en la hipótesis de presión constante.

He aquí unas pocas y breves noticias históricas:

— En 1772 Deluc (después Lavoisier y Laplace) hace mediciones bastante precisas dedilataciones.

— En 1818 Dulong y Petit determinan coeficientes de dilatación cúbica de metales yexpresan una relación lineal con la temperatura.

— En 1827 Mitscherlich muestra que los cristales anisótropos presentan dilataciones dife-rentes en las distintas direcciones.

4.2 Dilatación lineal

Si se somete una barra de un metal a una experiencia tal que se sitúa sucesivamente en diferen-tes atmósferas con temperaturas distintas y se espera en cada experiencia concreta un tiemposuficiente para que se alcancen sucesivos equilibrios térmicos y se representan los resultadosexperimentales en un sistema de coordenadas cartesianas (temperatura en abscisas y variacio-nes, relativas o absolutas, de longitud en ordenadas), se obtiene una gráfica del tipo de la dibu-jada en la Figura 4.1.

Figura 4.1. Experiencia de dilatación de sólidos.


www.FreeLibros.me

Puede apreciarse que la curva de la figura en un tramo bastante largo se aproxima adecua-damente a una recta. De esta clase de experiencias con diferentes cuerpos de distinta naturalezay dimensiones puede, como se hizo, concebirse (creación de la mente humana, conceptualiza-ción, construcción racional) la validez de una ley física de proporcionalidad que se expresa dela forma:

Bl

lã Bt (4.1)

de la que se deduce, como es usual, la correspondiente ecuación de la dilatación lineal, unidi-reccional o unidimensional:

Bl

l% a Bt ;

dl

l% a dt (4.2)

donde a, mal denominado coeficiente de dilatación lineal, es una constante característica de ca-da cuerpo, con fórmula dimensional [a] % [h].1. En la visión acerca del material, en la con-cepción del experimento y en la noción de ley física de proporcionalidad están implícitas lashipótesis de medio continuo (para matematizar la descripción del sólido mediante variables yfunciones continuas y aplicación del análisis íntegro-diferencial) y de medio homogéneo (igual-dad de naturaleza del material en todos los puntos y, por tanto, igualdad de comportamientoante causas determinadas, como las variaciones de temperatura en este caso).

La integración de (4.2) entre unos límites arbitrarios de temperaturas t1 y t2, en el intervalotérmico de validez y en la hipótesis usual de a constante, da:

lnl2l1

% a(t2 . t1) ú l2 % l1 . ea(t2.t1) (4.3)

La Ecuación (4.3) suele expresarse de forma más sencilla considerando t1 % 0 oC, como sedijo en la introducción, desarrollando en serie la exponencial y despreciando los términos degrado n 2 en a (dado que a ] 10.6 oC.1). Es decir:

ltl0

% 1 ! at !1

2at2 ! ñ

Por tanto, la fórmula elemental de uso ordinario, para cualquier Bt, es:

lt % l0(1 ! a Bt) (4.4)

El coeficiente de dilatación lineal, a, con naturaleza de constante física dimensionada, ca-racterística de cada cuerpo, en realidad debería considerarse, al menos, como una función de latemperatura, a(t), del tipo de la Figura 4.2, que presentaría discontinuidades en los cambios defase del material (cambio de estructura cristalina de la red, produciéndose, en este caso, unavariación brusca de volumen a temperatura constante, de modo que a sería infinito para estepunto). Prácticamente puede considerarse constante en un amplio intervalo de temperaturas.Para cada sólido existe una temperatura característica —temperatura de Debye—, tD, por de-bajo de la cual a varía mucho con la temperatura y por encima es prácticamente constante. Abajas temperaturas el coeficiente de dilatación lineal tiende a cero (se explica mediante teorías

CAPÍTULO 4. Dilatación térmica de sólidos 51

www.FreeLibros.me

microscópicas —vibraciones atómicas—). La temperatura ambiente, ta (.10 a ta a 40 oC), esmayor que la temperatura de Debye para casi todas las sustancias corrientes, que verifican, portanto, la Ecuación aproximada (4.4), tan importante como sencilla.

Figura 4.2. Valores del coeficiente de dilatación lineal.

La dilatación térmica de la mayor parte de las sustancias ordinarias es tal que la variaciónde longitud desde el cero absoluto hasta el punto de fusión es del orden del 2%.

He aquí la Tabla 4.1 con algunos valores del coeficiente de dilatación lineal a temperaturaambiente: Tabla 4.1

Sustancia �(x10.6 oC.1)

Acero 12Aluminio comercial 24Bronce 19Cobre 17Cuarzo 0,4Diamante 1Granito 8,3Hielo 50Hierro 12Invar (aleación) 0,9Plomo 29Plata 20Roble (dirección de la fibra) 5Roble (normal a la fibra) 54Vidrio ordinario 10Vidrio pyrex 3

Esta teoría elemental de la dilatación lineal de los cuerpos sólidos tiene aplicación acepta-blemente correcta en los cálculos relativos a los proyectos de elementos constructivos talescomo vigas, pilares, ménsulas, barras y tirantes, piezas básicas en construcciones de ingenieríay arquitectura.

4.3 Dilatación superficialSe considera como una superficie, a los efectos de dilatación superficial, un cuerpo en el queuna de sus tres dimensiones es muy pequeña con respecto a las otras dos (longitud y anchura).


www.FreeLibros.me

Ejemplos prácticos podrían ser: una plancha metálica, un forjado, una placa cerámica, una pistade patinaje, una terraza, una visera, etc.

Como en el caso anterior, se acepta la hipótesis usual de cuerpo de material continuo y ho-mogéneo y se le aplica el mismo proceso metodológico que al caso lineal.

a) Hipótesis de cuerpo isótropo (igual comportamiento, en este caso, respecto de la dilata-ción térmica, en todas las direcciones del plano superficial). Si se considera una placa rectangu-lar (Figura 4.3), puede procederse de la siguiente manera, utilizando las expresiones de la dila-tación lineal en las dos direcciones:

St % atbt % a0(1 ! aBt)b0(1 ! bBt) % a0b0(1 ! 2aBt ! a2(Bt)2)

y prescindiendo del término cuadrático, se obtiene:

St % S0(1 ! 2aBt) % S0(1 ! pBt) (4.5)

El coeficiente p % 2a se denomina coeficiente de dilatación superficial. Es también unaconstante física dimensionada (oC.1), constante característica del cuerpo (superficial).

Figura 4.3. Dilatación de una placa rectangular al calentarla.

b) Hipótesis de cuerpo anisótropo (diferente comportamiento, en este caso, respecto de ladilatación térmica, en distintas direcciones). Los cristales puros pueden presentar valores dife-rentes de a en las distintas direcciones, pero las sustancias ordinarias, por ejemplo, acero es-tructural, que tienen muchos cristales orientados al azar, pueden considerarse isótropas.

La hipótesis matemática usual de representación de la conducta de las constantes caracterís-ticas de los cuerpos mediante un tensor de segundo orden de elementos reales simétrico permi-te diagonalizar la matriz asociada, de modo que existen siempre unas direcciones principalesde anisotropía.

Si se considera que las direcciones principales de dilatación anisótropa coinciden con lasdirecciones límites de la superficie objeto de estudio (véase Figura 4.3), puede procederse de lasiguiente manera, en línea con los apartados anteriores:

St % atbt % a0(1 ! aaBt)b0(1 ! abBt)

St % a0b0[1 ! (aa ! ab)Bt ! aaab(Bt)2]

Suele despreciarse el tercer término del corchete y resulta, en este caso, la fórmula práctica:

St % S0[1 ! (aa ! ab)Bt] (4.6)


www.FreeLibros.me

4.4 Dilatación cúbica o real

Los cuerpos físicos —reales— tienen siempre tres dimensiones; son, pues, éstos los que existenen la naturaleza. Procediendo de manera análoga a los casos anteriores se obtienen los siguien-tes resultados:

a) Sólido isótropo:

Vt % V0(1 ! 3aBt) % V0(1 ! KBt) (4.7)

b) Sólido anisótropo:

Vt ] V0[1 ! (aa ! ab ! ac)Bt] (4.8)

El coeficiente K % 3a se denomina coeficiente de dilatación cúbica, constante física dimen-sionada (oC.1).

4.5 Fórmulas matemáticas de los coeficientes de dilatación

Desde una perspectiva matemática más correcta, los coeficientes de dilatación pueden definir-se, conjuntamente, de la forma siguiente:

a %1

l

dl

dt; p %

1

S

dS

dt; K %

1

V

dV

dt(4.9)

Es decir, como variaciones relativas geométricas por unidad de temperatura.

4.6 Tensiones térmicas. Relación elemental dilatacióntérmica-tensión mecánica

Si un cuerpo homogéneo está sometido a un sistema isostático de cargas constantes y se elevauniformemente su temperatura, la distribución de tensiones no varía, es decir, no aparecen nue-vas tensiones debidas a la variación térmica, a menos que varíen sus propiedades elásticas.

En general, aparecen tensiones de origen térmico si:

1. El cuerpo es heterogéneo (respecto de la dilatación térmica), es decir, si está compuestopor sustancias o materiales de distintos coeficientes de dilatación.

2. Se dificultan las variaciones de volumen.3. La distribución de temperatura no es uniforme.

El estudio del segundo caso, en la hipótesis de imposibilidad de cambio de volumen, esimportante por la sencillez del tratamiento matemático. Sea una barra biempotrada (paredes


www.FreeLibros.me

rígidas estables) en un determinado estado térmico y tensional considerado inicial. Si varíasu temperatura en Bt, la dilatación térmica lineal Bl, si pudiera dilatarse libremente, sería,según (4.2):

Bl

l% aBt

Pero, dado que las paredes impiden la deformación (alargamiento en caso de aumentar la tem-peratura o acortamiento en caso de disminuir ésta), el efecto se interpreta como una acción axil(de una compresión o de una tracción) que produjera deformaciones lineales de sentido contra-rio pero de idéntica cuantía (véase Figura 4.4).

Figura 4.5

Se utiliza la ley de Hooke de la elasticidad lineal unidireccional:

p % Ee (4.10)

donde p es la tensión (p %F

S% fuerza axil por unidad de área), E el módulo de elasticidad o de

Young, y e la deformación unitaria o relativa, Bl/l. Por tanto, igualando las deformaciones me-cánica y térmica, se obtiene:

p % EBl

l% E . a . Bt (4.11)

ecuación que relaciona la tensión (magnitud mecánica) con la variación de temperatura, expre-sando el efecto mecánico de la acción térmica.


www.FreeLibros.me


4.1 A 15 oC una varilla de hierro mide 50 cm y otra de estaño, 49,98 cm. Se desea saber a quétemperatura ambas varillas miden lo mismo.

(Coeficientes de dilatación lineal: aFe % 12 . 10.6 oC.1; aSn % 23 . 10.6 oC.1).

Solución:

La ecuación elemental de la dilatación lineal de sólidos es

lt % l0(1 ! aBt)

donde l0 representa la longitud a la temperatura de referencia que en el caso presente esde 15 oC.

Aplicando esta fórmula a las dos varillas, con la condición de igualdad de las respectivaslongitudes a la temperatura t buscada, resulta:

50(1 ! 12 . 10.6Bt) % 49,98(1 ! 23 . 10.6

Bt)De aquí se deduce:

Bt % 36,40 oC ú t % 36,40 ! 15

t % 51,4 oC

4.2 Un anillo de acero de 75 mm de diámetro interior a 20 oC ha de ser calentado e introducidoen un eje de latón de 75,05 mm de diámetro a 20 oC.

a) ¿A qué temperatura ha de calentarse el anillo?b) ¿A qué temperatura debería enfriarse el conjunto para que el anillo saliera él solo del eje?

(aacero % 1,2 . 10.5 oC.1; alatón % 2 . 10.5 oC.1).

Solución:

a) De la fórmula de la dilatación lineal de un cuerpo sólido:

lt % l0(1 ! aBt)

aplicada a la longitud de la circunferencia:

(nd)t % (nd)0(1 ! aBt) ú dt % d0(1 ! aBt)

Dt % D20[1 ! (t . 20)] Dt n 75,05 mm

Considerando la hipótesis de la perfección geométrica de anillo y eje: D % 75,05

75,05 % 75(1 ! 1,2 . 105 . Bt) ú Bt %0,5

75 . 1,2 . 10.5 % 55,5 oC

t % 20 ! 55,5 % 75,5 oC


www.FreeLibros.me

b) Los diámetros del eje y del interior del anillo habrían de ser iguales a la misma temperatura.

Anillo: Dt % D20(1 ! aacBt) [1]

Eje: dt % d20(1 ! alaBt) [2]

Estas ecuaciones resuelven el problema con las condiciones siguientes:

t % 20 ! Bt y Dt % dt

Dividiendo la Ecuación [1] por la [2] resulta:

Dt

dt

% 1 %(1 ! aacBt) D20

(1 ! alaBt) d20

Bt %d20 . D20

D20aac . d20ala

%75,05 . 75

75 . 1,2 . 10.5. 7,55 . 2 . 10.5 ] .83 oC

Por tanto:

t % 20 . 83 % .63 oC

4.3 Un péndulo de latón de un reloj tiene un periodo de oscilación de 1 s a 16 oC de temperaturamedia en invierno. ¿Cuánto adelantará o atrasará el reloj cada día en verano si la temperatu-ra media es de 26 oC? (alatón % 1,9 . 10.5 oC.1).

Solución:

El periodo de un péndulo es:

T % 2n Jl

g

y aplicando esta fórmula a las condiciones de invierno y verano resulta:

Ti % 2n Jlig

; Tv % 2n Jlvg

de donde se deduce:

Tv

Ti

%Jlvli

ú Tv %Jlvli

Ti

Dado que lv b li ú Tv b Ti, el reloj atrasa en verano.

lv % li(1 ! aBt) % li(1 ! 1,9 . 10.5 . 10) % 1,00019 li

Tv % ∂1,00019 . 1 % 1,000095 s

Por tanto, en cada oscilación atrasa 0,000095 s, y en un día:

Atraso diario % 24 . 60 . 60 . 0,000095 Atraso diario % 8,2 s


www.FreeLibros.me

4.4 La densidad del oro a 20 oC es 19,30 g/cm3 y su coeficiente de dilatación lineal es14,3 . 10.6 oC.1. ¿Cuál será la densidad del oro a 100 oC?

Solución:

Teniendo en cuenta la definición de densidad: o %m

V, se deduce que volúmenes y densidades

varían en razón inversa: Por tanto:

V100 % V20(1 ! 3a . BT)

1

o100

%1

o20

(1 ! 3a . BT)

o100 % 19,23 g/cm3

4.5 Se mide una barra de cobre con una cinta métrica de acero de 2 m de longitud. La medidase realiza a 10 oC, que es la temperatura de calibración de la cinta, y da 75 cm. ¿Cuál será lalectura en la cinta de la longitud de la barra cuando la temperatura ambiente sea de 35 oC?

(aacero % 1,1 . 10.5 oC.1 y acobre % 1,7 . 10.5 oC.1).

Solución:

A efectos del problema, la longitud de la cinta métrica que interesa es sólo 75 cm a 10 oC, si-tuación inicial.

A 30 oC: Longitud de la barra de cobre: LCu % 75(1 ! aCuBt)La cinta métrica también se habrá dilatado, por lo que las marcas de los centímetros estarán

más separadas:

Lacero

75%

75

75(1 ! aaceroBt)

Por tanto, la medida será:

LCu %75(1 ! aCuBt)

1 ! aaceroBt%

75,031875

1,000275% 75,011247 cm

LCu ] 75,01125 cm

También se podría resolver considerando las longitudes finales de ambos elementos:

Lacero % 75(1 ! aacero25) % 75,020625 cm

LCu % 75(1 ! aCu25) % 75,031875 cm

La diferencia de dilatación entre ambos será: 0,01125 cm.Por tanto, la medida en la cinta de acero será: 75 ! 0,01125 % 75,01125 cm.


www.FreeLibros.me

4.6 Se considera una barra de aluminio que es 25 cm más corta que otra barra de cobre. Calcular:

a) La longitud de cada una de las barras sabiendo que la diferencia de longitudes es lamisma a cualquier temperatura.

b) Tensión que soportaría la barra de cobre si estuviera empotrada en los extremos y latemperatura ambiente disminuyera 30 oC.

(aAl % 2,2 . 10.5 oC.1; aCu % 1,7 . 10.5 oC.1; E % 1,22 . 1011 Pa).

Solución:

a) En el estado inicial las barras miden:

LAl % LCu . 25

A cualquier temperatura:

LAl % L0(Al)(1 ! aAlBt) % L0(Al) ! L0(Al)aAlBt

LCu % L0(Cu)(1 ! aCuBt) % L0(Cu) ! L0(Cu)aCuBt

Para que a cualquier temperatura la diferencia de longitudes se mantenga, tendrán queser iguales los incrementos de longitud de ambas barras:

L0(Al)aAlBt % L0(Cu)aCuBt ú (L0(Cu) . 25)LAl % L0(Cu)aCuBt

L0(Cu) %25aAl

aAl . aCu

%25 . 2,2

2,2 . 1,7

L0(Cu) % 110 cm L0(Al) % 85 cm

b) La tensión que soportaría si estuviera biempotrada sería:

p % E . Bl

l% E .L0aBt

L0% EaBt % 1,22 . 1011 . 1,7 . 10.5 . 30

p % 62,22 . 10.6 Pa

4.7 El coeficiente de dilatación lineal de una varilla se determina midiendo su longitud a dostemperaturas distintas con una regla de acero. A 8 oC la regla indica 130 cm; a 40 oC la lec-tura es de 130,4 cm. Calcúlese el coeficiente de dilatación lineal de la varilla.

(Coeficiente de dilatación lineal del acero: a % 12 . 10.6 K.1).

Solución:

En la medida de la varilla a 40 oC, con la regla que también está a esa temperatura, influye ladilatación experimentada por los dos materiales; es una medida aparente.

areal % aregla ! aaparente ú aaparente % areal . aregla


www.FreeLibros.me

Laparente: 130,4 % 130[1 ! (areal . aregla)(40 . 8)]

130,4 % 130[1 ! (areal . 12 . 10.6) . 32]

areal % 1,81 . 10.4 K.1

4.8 Un anillo de cobre de 0,4 mm de espesor y 1 cm de ancho que tiene un diámetro interior de5 cm a 20 oC, se introduce en un cilindro de acero, calentándolo y deslizándolo. El cilindrotiene 5 cm de diámetro a 20 oC. ¿Cuál es la tensión del anillo de cobre si se enfrían el ci-lindro y el anillo a 0 oC?

Coeficiente de dilatación lineal del Cu: aCu % 17 . 10.6 K.1.Coeficiente de dilatación lineal del acero: aacero % 12 . 10.6 K.1.Módulo de Young (de elasticidad superficial) del cobre: E % 12 . 1010 N/m.

Solución:

Al ser un anillo de espesor muy pequeño comparado con su superficie, el problema se puedeconsiderar como de dilatación-contracción superficial.

Superficie interior del anillo a 20 oC:

S20 % nD . a % n . 5 . 1 % 15,708 cm2

Superficie interior del anillo a 0 oC:

S0 % S20(1 . 17 . 2 . 10.6 . 20) % 15,708 . 0,99932 % 15,6973

BS % .10,68 . 10.3 cm2

BS

S20

% .6,8 . 10.4

Si se considera sólo la dilatación-contracción lineal:

Bl

l20

% aBT % 17 . 10.6 . 20 % 3,4 . 10.4

Para una superficie inicial igual del cilindro:

Sñ0 % 15,708(1 . 12 . 2 . 10.6 . 20) % 15,708 . 0,99952 % 15,700423 cm2

BSñ % .7,57655 . 10.3 cm2

BSñ

Sñ20

% .4,8 . 10.4

Teniendo en cuenta sólo la dilatación-contracción lineal:

Blñ

lñ20

% añBT % 12 . 10.6 . 20 % 2,4 . 10.4


www.FreeLibros.me

Al contraerse en distinta proporción ambos materiales, el efecto será el debido a la diferen-cia entre ambos:

Bl

l20

.

Blñ

lñ20

% 3,4 . 10.4. 2,4 . 10.4

% 10.4

p %F

S% E . e % E

Bl

l% 12 . 1010 . 10.4

p % 12 . 106 N/m2

4.9 Un anillo de cobre debe ajustarse perfectamente en un cilindro de acero. El diámetro del ci-lindro mide exactamente 5 cm a 20 oC y el diámetro interior del anillo 4,98 cm. Calcular aqué temperatura habrá de calentarse el anillo para poder introducirlo en el cilindro,

a) si se calienta sólo el anillo;b) si se calienta el conjunto;c) si se calienta sólo el eje.

Coeficiente de dilatación del cobre: aCu % 17 . 10.6 K.1.Coeficiente de dilatación del acero: aacero % 12 . 10.6 K.1.

Solución:

a) 5,00 % 4,980(1 ! 17 . 10.6BT)

BT %5,00 . 4,980

4,980 . 17 . 10.6 % 236 oC

Temperatura final del anillo: 236 ! 20 % 256 oC

b) 4,98(1 ! 17 . 10.6BT) % 5(1 ! 12 . 10.6

BT)

BT %5,00 . 4,98

24,66 . 10.6 % 811 oC

Temperatura final del conjunto: 811 ! 20 % 831 oC

c) Calentando sólo el eje no se podría introducir el anillo. Habría que enfriarlo para con-traerlo.


www.FreeLibros.me


4.1. Un reloj de péndulo de longitud l0 a una temperatura t0 marca correctamente el trans-curso del tiempo. Se desea saber cuánto adelantará o atrasará cuando la temperaturaambiente sea 10 oC menor. Explicitar las hipótesis realizadas para la resolución delejercicio.

(Coeficiente de dilatación del material del péndulo: 1,81 . 10.4 oC.1).

4.2. Una cinta métrica de acero de 200 cm de longitud se utiliza para medir un alambre decobre. Cuando ambos se encuentran a 10 oC, que es la temperatura de calibración de lacinta métrica, la medida del alambre es de 55 cm. ¿Cuál será el resultado de medir di-cho alambre con esa cinta cuando la temperatura ambiente sea de 40 oC?

(Coeficientes de dilatación lineal: aacero % 1,1 . 10.5 oC.1; aCu % 1,7 . 10.5 oC.1).

4.3. Se tienen dos esferas de un mismo metal y radios iguales, una de ellas maciza y la otrahueca, a temperatura ambiente. Se someten ambas a un mismo aumento de temperatura.¿Cuál de ellas se dilatará más?

4.4. Para medir la longitud de una determinada pieza de acero se emplea una cinta métricade aluminio. Si se repite la medida otro día en el que la temperatura ambiente haaumentado 10 oC, ¿se obtendrá el mismo resultado? Razone la respuesta.

4.5. Un determinado mecanismo tiene un conjunto de arandelas metálicas perfectamenteajustadas a un eje a temperatura ambiente. Por efecto de su puesta en funcionamientoaumenta la temperatura 25 oC. ¿Qué ocurriría? Razone la respuesta.

4.6. En una lámina de acero de dimensiones 23 # 40 cm2 se hace un orificio de 3 cm dediámetro a 20 oC. Posteriormente, se calienta la lámina a 120 oC. ¿Cuáles serán las nue-vas dimensiones de la lámina y del orificio?

(Coeficiente de dilatación lineal del acero: a % 12 . 10.6 oC.1).

4.7. Una lámina bimetálica plana consta de dos tiras, una de aluminio y otra de cobre, sol-dadas entre sí por los extremos. Si se calienta, ¿qué metal quedará en el interior de lacurva?

(Coeficientes de dilatación lineal: aAl % 25 . 10.6 oC.1; 17 . 10.6 oC.1).

4.8. Un cubo de cuarzo de 10 cm de lado a 20 oC ¿qué volumen tendrá si se calienta a100 oC?

(Coeficiente de dilatación volumétrica del cuarzo: Kc % 1 . 10.6 oC.1).

4.9. En la construcción de una carretera se proyecta emplear losas de hormigón de 10 m delongitud, perfectamente unidas entre sí. El área de contacto entre bloques es de 0,25 m2.Si los bloques se colocan a una temperatura de 10 oC:

a) ¿Qué ocurrirá en verano, cuando la temperatura sea de 45 oC?

b) ¿Qué tamaño le daría a las juntas de dilatación? Razone las respuestas.

(Módulo de elasticidad o de Young del hormigón: E % 10 . 109 N/m2. Coeficiente dedilatación lineal del hormigón: a % 12 . 10.6 oC.1).


www.FreeLibros.me

4.10. En un edificio en rehabilitación se desea instalar unas ventanas de aluminio y vidrioque encajen perfectamente (es decir, de dimensiones iguales —1 m— a las interioresdel marco), a 20 oC, en unos marcos preexistentes de hierro. Se prevé que soportarántemperaturas máximas de 45 oC en verano. Se pide:

a) Realizar los cálculos previos para conocer la viabilidad del proyecto.b) ¿Qué ocurriría si se instalaran en una fachada en la que se alcanzaran temperaturas

de hasta .10 oC?

(aFe % 12 . 10.6 oC.1; aAl % 24 . 10.6 oC.1; avidrio % 9 . 10.6 oC.1).

4.11. Un tapón de vidrio ha de encajarse en un matraz tipo pírex de 2 litros de capacidad a20 oC, con el fin de obtener un cierre hermético. Para lograrlo, se calienta el conjuntohasta conseguirlo. Se desea saber:

a) Temperatura final.b) Volumen final del matraz.

(Diámetro del tapón, 6,01 cm; diámetro del cuello, 6 cm; coeficientes de dilatación li-neal: avidrio esm. % 4,1 . 10.6 oC.1; apírex % 9 . 10.6 oC.1).

4.12. En un cierto mecanismo hay una pieza de cobre de sección cuadrada de lado D%24 mm,unida a otra de hierro, también de sección cuadrada, de lado d, según esquema. Hay,además, 2 tiras verticales de aluminio cuyo espesor es, siempre, a cualquier temperatu-ra, la semidiferencia de los lados de los cuadrados. Suponiendo que la estructura está a15 oC, calcular el espesor de las láminas de aluminio.

(aCu % 17 . 10.6 oC.1, aFe % 12,1 . 10.6 oC.1, aAl % 23,5 . 10.6 oC.1).

4.13. La puerta de entrada a una casa está fabricada de madera de roble maciza, así como elmarco correspondiente, con las direcciones de la fibra y dimensiones especificadas enel esquema, a temperatura ambiente de 20 oC.

En verano tendrá que soportar temperaturas de hasta 50 oC durante varias horas. Sepide:

a) Estudiar los fenómenos derivados de esos cambios de temperatura en la puerta y elmarco.

b) Indicar cualitativa y cuantitativamente la solución (o soluciones) a los problemasque se presentarán por esta causa.

(Coeficiente de dilatación lineal del roble en dirección normal a la fibra:a1%54 . 10.6 oC.1 y coeficiente de dilatación lineal del roble en dirección de la fibra:a2 % 5 . 10.6 oC.1).


www.FreeLibros.me

4.14. Una cinta métrica de acero se utiliza para medir la longitud de una barra de hierro de80 cm cuando ambas se encuentran a 12 oC, que es la temperatura de calibración de lacinta. Determinar la lectura en la cinta de la longitud de la barra cuando las dos estén auna temperatura de 35 oC.

(aacero % 1,1 . 10.5 oC.1; ahierro % 1,2 . 10.6 oC.1).

4.15. En el interior de la pared de una casa hay una tubería de agua caliente, con una secciónen forma de L (véase figura), cuyo tramo horizontal recto tiene 28 cm de longitud, yestá unido a otro vertical de 134 cm de longitud mediante un codo. Los extremos deesta tubería de cobre (a % 17 . 10.6 oC.1) permanecen en posiciones fijas. Calcular:

a) El módulo, dirección y sentido del desplazamiento del codo cuando por la tuberíacircula agua que hace que la temperatura de la tubería aumente de 18 oC a 46,5 oC.

b) Especificar las hipótesis utilizadas para resolver el ejercicio y describir los tipos defenómenos que se han producido.


www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.me

5.1 Consideraciones generales

La pretensión de determinar cuantitativamente la dilatación de un líquido presenta el problema,inherente a la necesidad de depositar el líquido objeto de estudio en un recipiente sólido —va-sija—, de la dilatación simultánea del recipiente.

Las experiencias se realizan, de ordinario, en un matraz de cuello graduado, largo y estre-cho, como se muestra en la Figura 5.1. Es difícil conseguir un calentamiento uniforme del con-junto debido a la situación del foco calorífico, normalmente exterior al conjunto y en la base dela vasija, y a que el calor llega antes al recipiente y a su través pasa al líquido. En dichas expe-riencias se observa, aparentemente al menos:

a) Un descenso, al principio, del nivel del líquido. (Se interpreta como consecuencia de ladilatación primera del sólido, ya que éste se encuentra en contacto con el foco).

b) Un ascenso del nivel del líquido por encima del nivel inicial previo al calentamiento.La línea con flechas de la figura indica la posición seguida por el nivel del líquido des-de el inicial I hasta el final F pasando por el mínimo M.

Figura 5.1. Esquema de cómo varían los niveles de un líquido conforme se va calentando el recipientepor su parte inferior.

El proceso es análogo para los diferentes líquidos, salvo algún comportamiento anómalo.Por ello, se concluye afirmando que los líquidos se dilatan más que los sólidos. (Como valorrepresentativo medio, puede decirse que el coeficiente de dilatación de los líquidos es del ordende 100 veces superior al medio de los sólidos).

El estudio de estas experiencias sugiere distinguir, formalmente, dos tipos de dilatación enlos líquidos:

a) Dilatación aparente, la que se mediría respecto del recipiente considerando a éste nodilatado durante el proceso de calentamiento.

b) Dilatación real, absoluta o cúbica.


www.FreeLibros.me

5.2 Ecuaciones prácticas

De manera análoga al caso de los sólidos puede establecerse la siguiente fórmula práctica paravolúmenes reales:

Vt % V0(1 ! KBt) (5.1)

donde K es el coeficiente de dilatación cúbica del líquido. Con frecuencia puede considerarseprácticamente constante para un amplio intervalo de temperaturas (como en el caso del termó-metro de dilatación de líquidos), pero, en general, hay que contar con alguna variación (ejem-plo: anomalía del agua, apartado 5.3).

La medida de volúmenes presenta dificultades como consecuencia de la dilatación del reci-piente. En la Figura 5.2 se dibuja esquemáticamente el estado final del matraz a una temperatu-ra de t oC (línea de trazos) sobre el estado inicial a 0 oC (línea continua).

Figura 5.2. Estado final del matraz con respecto a su estado inicial después de calentarlo.

Si el matraz está graduado (en escala volumétrica de referencia correspondiente a la tempe-ratura de 0 oC), podría formularse la dilatación aparente de la forma:

Vñ % V0(1 ! KaBt) (5.2)

donde Ka es el coeficiente de dilatación aparente del líquido. El valor Vñ es pequeño compara-do con el Vt real (5.1) ya que representa sólo el volumen indicado por la escala (como si no sehubiera dilatado el recipiente o el líquido no llenara el incremento de volumen de aquél). Paratener esto en cuenta se considera, a continuación, el incremento de volumen de la vasija, acep-tando que tiene lugar según la Ecuación (4.7).

Sea

V0 % Volumen inicial de líquido % volumen inicial de la vasija.Vt % Volumen final real de líquido.Va % Volumen final aparente de líquido.

BVv % Dilatación volumétrica de la vasija.Kv % Coeficiente de dilatación volumétrica de la vasija.Ka % Coeficiente de dilatación aparente del líquido.K % Coeficiente de dilatación real del líquido.

CAPÍTULO 5. Dilatación térmica de líquidos 67

www.FreeLibros.me

Vt % Va ! BVv

BVv % V0(1 ! KvBt) . V0.Kvt

Va % V0(1 ! KaBt) (5.3)

Vt % V0(1 ! KaBt) ! V0KvBt[(1 ! KaBt) ! KvBt]

Vt % V0[1 ! (Ka ! Kv)Bt] (5.4)

El contraste de la Ecuación (5.4) con (5.2) permite establecer la siguiente igualdad:

K % Ka ! Kv (5.5)

El valor del coeficiente de dilatación real de un líquido es igual a la suma del valor delcoeficiente de dilatación aparente más el valor del coeficiente de dilatación de la vasija.

He aquí la Tabla 5.1 con algunos valores del coeficiente de dilatación cúbico (volumétrico)de algunos líquidos:

Tabla 5.1

Sustancia K(x10.5 oC.1)

Acetona 15

Agua 21

Alcohol etílico 11

Gasolina 95

Glicerina 50

Mercurio 18

5.3 Dilatación anómala del agua

Un caso anómalo de dilatación de líquidos se presenta en el agua entre 0 y 4 oC. El agua es elcompuesto fundamental de la vida y sustancia esencial en los procesos de la biosfera terrestre.Su conocimiento preciso no sólo es conveniente sino estrictamente necesario en todo tipo deobras de arquitectura y de ingeniería. En la Figura 5.3 se representan las variaciones del volu-men específico y de la densidad del agua con respecto a las variaciones de temperatura en elentorno anómalo. (Por otra parte, conviene recordar que el agua al congelarse —solidificarse—a 0 oC, aumenta de volumen).

La densidad, magnitud secundaria, como función de punto y tiempo en un medio continuo,se define mediante la fórmula de definición:

o(P, t) %dm

dV(5.6)


www.FreeLibros.me

Figura 5.3

y, para un cuerpo, directamente en función de la temperatura, de la forma:

o(h) %M

V(h)(5.7)

El volumen específico (volumen de la unidad de masa) es el inverso de la densidad.Puede apreciarse que el valor máximo de la densidad y, en correspondencia, el mínimo del

volumen específico se presentan aproximadamente a 4 oC. Esta anomalía (cualidad característi-ca del agua) desempeña una función primordial en la biosfera terrestre: el agua menos densa—más fría— se sitúa en las partes altas (superficie), de modo que se hiela la superficie y,como el hielo flota, por su menor densidad, el resto del agua (profunda) queda aislada del frío.El fondo de los mares, ríos, lagos y embalses difícilmente baja de los 4 oC.


www.FreeLibros.me


5.1 Una vasija de cinc (a % 2,9 . 10.5 oC.1) de 10 l de capacidad está llena de mercurio a100 oC. Posteriormente se enfría hasta 0 oC.

Calcúlese la masa de mercurio que debe añadirse para que la vasija quede completa-mente llena a 0 oC.

(Coeficiente de dilatación cúbica del mercurio: KHg % 1,82 . 10.4 oC.1; densidad del mercu-rio a 0 oC: oHg % 13,6 g/cm3).

Solución:

El cambio de volumen de la vasija se obtiene mediante la fórmula:

V0 % V100(1 ! 3aBt)

Bt % .100 oC ; V0 % 10(1 . 3 . 2,9 . 10.5 . 100) % 9,913 l

Análogamente, el volumen del mercurio a 0 oC se obtiene de la expresión:

Vñ0 % Vñ100(1 ! KBt)

Vñ0 % 10(1 . 1,82 . 10.4 . 100) % 9,818 l

El volumen del mercurio a 0 oC que deberá añadirse para enrasar la vasija será:

V0 . Vñ0 % 9,913 . 9,818 % 95 cm3

que, en masa, es:

m % V . o % 95 cm3 . 13,6 g . cm.3

m % 1,292 kg

5.2 Un recipiente abierto de acero de 10 l está lleno de un líquido a 0 oC. La temperaturaaumenta de 0 a 40 oC. ¿Qué cantidad de líquido se saldrá del recipiente?

(aacero % 16 . 10.5 oC.1; Klíquido % 1,5 . 10.3 oC.1).

Solución:

El volumen del recipiente de acero a 40 oC es:

V40 % V0(1 ! 3a . Bt) % 10(1 ! 3 . 1,1 . 10.5 . 40) % 10,0132 l

y el volumen del líquido:

Vñ40 % V0(1 ! K . Bt) % 10(1 ! 1,5 . 10.3 . 40) % 10,60 l


www.FreeLibros.me

El volumen del líquido que se derrama es:

V % 10,6 l . 0,132 l % 0,5868 l

V % 0,5868 l % 586,8 cm3

Nota: La cantidad de líquido sería más correcto expresarla según masa (cantidad de materia,independiente de la temperatura), pero no se ofrecen datos adecuados.

5.3 En un depósito de un material cuyo coeficiente de dilatación lineal es 3,3 . 10.5 oC.1, dedimensiones son 6 # 9 # 10 m3, se introducen 900 toneladas de gasolina (o % 1,7 g/cm3),siendo la temperatura del conjunto 15 oC. ¿Qué espacio queda vacío en el depósito al produ-cirse un brusco descenso de la temperatura hasta estabilizarse en 3 oC?

(Coeficiente de dilatación cúbica de la gasolina: 17 . 10.5 oC.1).

Solución:Vd0

% 6 . 9 . 10 % 540 m3

Vd % Vd0(1 ! 3aBT) % 540[1 ! 3 . 3,3 . 10.5(3 . 15)] % 539,358 m3

Vg0%

m

o%

900 . 103 kg

1,7 . 103 kg/m3 % 529,41 m3

Vg % Vg0(1 ! KBT) % 529,41[1 ! 17 . 10.5(.12)] % 528,33 m3

Vd . Vg % 1,08 m3

5.4 Una vasija contiene 8,450 g de agua a 0 oC y el resto de aquélla se llena de parafina. Cuan-do el agua se congela a 0 oC se derraman 0,620 g de parafina. La densidad de la parafina a20 oC es de 0,80 mg/cm3 y su coeficiente de dilatación volumétrica 9 . 10.4 K.1. Calcúlesela densidad del hielo a partir de dichos datos, explicitando y justificando las hipótesis que seutilicen.

Solución:

Hipótesis previas:

— El conjunto vasija-agua-parafina está a temperatura uniforme de 0 oC.— El coeficiente de dilatación volumétrica de la parafina es constante en el intervalo de tem-

peraturas considerado.— Densidad del agua (a 0 oC) % 1 g/cm3.— La parafina está en estado líquido a la temperatura de 0 oC.

m % V . o

V20 % V0(1 ! kBt)

V0

V20

%o20

o0


www.FreeLibros.me

Para la parafina:m

o20

%m

o0(1 ! 9,0 . 10.4 . 20)

1

0.800%

1

o0(1 ! 9,0 . 10.4 . 20) ú o0 % 0,8144 g/cm3

Volumen de parafina derramado:0,620

0,8144% 0,7613 cm3.

El volumen de parafina derramado es lo que ha aumentado el volumen del agua al solidifi-carse.

Volumen inicial del agua líquida:8,450 g

1 g/cm3 % 8,450 cm3

Vhielo . Vagua % 0,7613 cm3

8,450

ohielo

.

8,450

1% 0,7613

ohielo % 0,91735 g/cm3

5.5 Un depósito de acero inoxidable (coeficiente de dilatación lineal, a % 1,1 . 10.5 oC.1),abierto por la parte superior, de dimensiones 5 # 4 # 3 m3 a 5 oC, está completamente llenode un líquido cuyo coeficiente de dilatación cúbica es 1,5 . 10.3 oC.1. Soporta una tempera-tura de 40 oC que posteriormente desciende a 18 oC.

Determínese, en la situación final:

a) El volumen del líquido.b) La altura que alcanza el líquido en el depósito.

Solución:

a) Volumen depósito (5 oC) % Volumen líquido (5 oC) % 5 # 4 # 3 % 60 m3

V % V[1 ! KBT]

Depósito: V40 % V5[1 ! 3a(40 . 5)] % 60,0693 m3

V18 % V5[1 ! 3a(18 . 5)] % 60,0257 m3

Líquido: V40 % 60[1 ! 1,5 . 10.3(40 . 5)] % 63,15 m3

Se salen: 63,15 . 60,0693 % 3,0807 m3.A 40 oC quedan 60,0693 m3 en el depósito.

V18 % V40[1 ! 1,5 . 10.3(18 . 40)] % 58,087 m3

V18 % 58,087 m3


www.FreeLibros.me

b) Las dimensiones de la superficie (base) del depósito (a 18 oC) coincidirán con las dellíquido:

S18 % 5 . 4[1 ! 2 . 1,1 . 10.5(18 . 5)] % 20,0057 m2

V18 % S18. h18 ú h18 %

V18

S18

%58,087

20,0057% 2,903 m

h18 % 2,903 m

5.6 ¿Qué volumen de Hg habrá de introducirse en una vasija de 540 cm3 de capacidad a 0 oCpara que al calentar el conjunto no varíe la capacidad de la parte vacía, si el coeficiente dedilatación real del Hg se considera seis veces mayor que el de la vasija?

Solución:

Volumen de la vasija a t oC:

Vt % V0(1 ! KvBt) % V0 ! V0KvBt

La vasija se dilata V0KBt para cualquier temperatura.Volumen que ocupa el mercurio a t oC:

Vt Hg % V0 Hg(1 ! 6KvBt) % V0 Hg ! V0 Hg6KvBt

El aumento de volumen del mercurio tendrá que ser igual al aumento de la vasija. Por tanto:

VKvBt % V0 Hg6KvBt

V0Hg %540 KvBt

6 KvBt% 90 cm3

V0 Hg % 90 cm3


www.FreeLibros.me


5.1. Si el módulo de elasticidad volumétrico del agua a 27 oC es E % 229,0 N/cm2, determí-nese la variación de volumen de 1 m3 de agua, a 27 oC, al aumentar la presión en 210N/cm2.

5.2. Un recipiente cilíndrico de acero, de 20 cm de diámetro y 18 cm de altura, abierto por laparte superior, se llena totalmente de un líquido estando todo el conjunto a 25 oC. Poste-riormente se calienta dicho conjunto a 100 oC. Se pide:

a) Volumen del líquido en el recipiente una vez alcanzados los 100 oC.

b) Suponiendo que se han necesitado 500 kcal para lograr esa temperatura, ¿cuál es elcalor específico del líquido?

c) ¿Qué altura tiene el líquido en el recipiente una vez que recupera la temperatura ini-cial de 25 oC?

(Coeficiente de dilatación cúbica del líquido, K % 1,7 . 10.3 oC.1; densidad del líquido a25 oC: 4,7 g/cm3; coeficiente de dilatación lineal del acero: a % 1,1 . 10.5 oC.1).

5.3. Un cubo de vidrio de 7,62 cm3 se pesa lleno de agua a 4 oC y a 80 oC. Calcúlese la dife-rencia de pesada en ambas condiciones.

(Densidad del agua a 4 oC: 1 g/cm3, y a 80 oC, 0,9718 g/cm3; coeficiente de dilataciónlineal del vidrio: a % 9 . 10.6 oC.1).

4.4. Un termómetro consta de un bulbo conectado a un capilar de 0,50 mm de diámetro. Bul-bo y tubo son de vidrio común. La diferencia de los niveles de mercurio en el capilar a35 oC y 44 oC se observa que es de 8 cm. ¿Cuánto mercurio se necesita para este termó-metro?

(Coeficiente de dilatación lineal del vidrio común: a % 9 . 10.6 oC.1; coeficiente de di-latación volumétrica del mercurio: K % 180 . 10.6 oC.1).

5.5. El depósito de un camión se llena con 50 litros de gasoil a la temperatura ambiente de20 oC. A continuación se deja aparcado al sol, donde alcanza la temperatura de 30 oC.Explicar los fenómenos que se producen:

a) Si se ha dejado mal tapado el depósito.

b) Si está perfectamente tapado el depósito.

5.6. Un recipiente de 50 litros de capacidad está lleno, hasta el borde, de agua a 100 oC. Si latemperatura desciende a 20 oC, ¿qué cantidad de agua sería necesaria para que volviera aestar lleno? ¿Qué otros datos se necesitan?

5.7. Se observa que 55,5 cm3 de agua a 20 oC llenan hasta el borde un recipiente. Cuando secalienta el conjunto a 60 oC se derraman 0,35 g de agua. Determínese el coeficiente dedilatación volumétrica del material del recipiente.

(Densidad del agua a 60 oC: 0,98324 g/cm3).


www.FreeLibros.me

5.8. Una vasija cilíndrica de hierro contiene mercurio hasta una altura 10 cm a 0 oC. Calcu-lar el cambio que experimenta la altura del mercurio si se calienta el conjunto hasta100 oC.

(aFe % 1,18 . 10.5 oC.1; KHg % 1,82 . 10.4 oC.1).

5.9. Un flotador está formado por una esfera hueca de vidrio de volumen 24 cm3, que estáunida por un hilo, de volumen y peso despreciable, a otra pieza de distinto material de4 cm3 de volumen, ambos medidos a 0 oC. El peso total del flotador es 30,62 g.

Se calienta lentamente el agua hasta 80 oC y se observa que el flotador queda enequilibrio, en el seno del líquido, totalmente sumergido. Se pide:

a) Calcular el coeficiente de dilatación del material que no es vidrio.b) Comprobar que el coeficiente de dilatación volumétrico medio del agua, a partir de

4 oC, es Ka % 3,8 . 10.4 oC.1.

(Kvidrio % 25 . 10.6 oC.1. Densidad del agua a 80 oC: oa % 0,9718 g/cm3).

5.10. Un recipiente de vidrio se llena hasta una marca con 46 cm3 de Hg a 20 oC. Si se ca-lienta el conjunto a 40 oC:

a) Determinar cuánto Hg habrá sobrepasado dicha marca.b) Especificar las hipótesis consideradas para la resolución numérica del ejercicio.

(avidrio % 8,3 . 10.6 oC.1; KHg % 1,82 . 10.4 oC.1).

5.11. Un recipiente prismático de plástico de sección 35 # 35 cm2 y 120 cm de altura estálleno hasta la mitad de agua, todo a 40 oC. Si se disminuye la temperatura del conjuntohasta 7 oC, ¿en qué posición relativa quedará el nivel de agua respecto de la alturatotal?

(Coeficiente de dilatación lineal del plástico: a % 10.4 oC.1; coeficiente de dilatacióncúbica del agua: K % 0,35 . 10.3 oC.1).


www.FreeLibros.me

a

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.me

6.1 Generalidades

En este tema se estudia el comportamiento de los gases ante las variaciones de temperatura, demanera análoga a los dos temas anteriores relativos a sólidos y líquidos.

No obstante, hay una diferencia fundamental: el volumen de los gases varía mucho con lasvariaciones de presión; los gases son muy compresibles, mientras que los sólidos y los líquidosson muy poco compresibles. La compresibilidad establece una clara diferencia en el tratamien-to de estas distintas fases de la materia clásica.

Por ello, los temas anteriores podían titularse con rigor —y así se denominaron desde susorígenes— «Dilatación de sólidos» y «Dilatación de líquidos», dilataciones que son consecuen-cia de las variaciones de temperatura (de ordinario a presión constante). De manera paralelaaunque absolutamente independiente se estudiaba la deformación mecánica.

En el caso de los gases, las teorías físicas clásicas no pudieron diferenciar la dilatación (tér-mica) de la deformación (mecánica) como fenómenos separables sino que se creó una teoríaunificadora para el estudio de los gases que relacionaba mediante una ley única (no mediante«superposición de efectos» de leyes diferentes) las variaciones de volumen con las de presión ytemperatura. Se justifica así por qué el título de este tema difiere sustancialmente de los ante-riores.

Y se entiende, complementariamente, la necesidad de considerar elementos de naturalezamecánica (representados prioritariamente por la magnitud presión) que estarán presentes simul-táneamente con los de naturaleza térmica (representados fundamentalmente por la magnitudtemperatura, centro de esta primera parte del libro) y los de naturaleza geométrica (representa-dos métricamente por el volumen).

6.1.1. Notas introductorias

1.a En este tema no se habla de unos elementos químicos especiales, de unos compuestosquímicos especiales, de unas sustancias especiales o de una mezcla especial de ele-mentos, de compuestos o de sustancias. Se trata de hablar de sustancias que se encuen-tran en fase gaseosa —como se dice, con precisión termodinámica, desde hace tiem-po— (antiguamente se decía estado gaseoso). Es un mismo compuesto químico elque, según las condiciones de presión, temperatura, etc., se encuentra en estado deagregación (o fase) sólido, líquido o gaseoso.

2.a El aire es un gas, una mezcla de gases, el gas que constituye la atmósfera terrestre.(Quizás ésta, así de simple, sea la mejor definición de aire). Todas las obras actualesde arquitectura y de ingeniería civil se realizan sobre la superficie de la Tierra, en laparte baja de la atmósfera. Por ello, el conocimiento, en sí mismo, del aire se hacefundamental; su estudio adquiere importancia capital.

En la actualidad, el hombre tiene una preocupación creciente por su hábitat, su en-torno vital, su medio ambiente. Ecología, biosfera, biotopo, medio ambiente, consti-tuyen un conjunto de sustantivos, de actitudes, de preocupaciones no disjuntas sinomás bien con un común denominador: el aire debe ser de calidad, puro (aunque seauna mezcla de gases). Debe conocerse su pureza y las causas de su contaminación, pa-ra eliminarlas —o reducirlas— y los procedimientos para purificarlo.


www.FreeLibros.me

Pero el hombre, en su búsqueda del bienestar, no se conforma con un aire puro ensu entorno sino que lucha contra la naturaleza (lo específico del hombre no es «ade-cuarse a la naturaleza» sino más bien «adecuar la naturaleza a sus necesidades», a susdeseos, a sus aspiraciones). El tercer estadio, por tanto, consiste en acondicionar elaire, adecuarlo a la comodidad requerida en temperatura, grado de humedad, etc.

Aire en sí mismo, aire contaminado/purificado, aire acondicionado son tres nive-les de conocimiento no sólo útiles sino estrictamente necesarios para los profesionalesde la arquitectura, de la ingeniería, del medio ambiente, del urbanismo.

3.a Históricamente, el estudio de los gases comenzó y se concretó en fórmulas matemáti-cas antes de que naciera la Termodinámica, esa teoría física tan exquisita y portadorade una gran pretensión de generalidad y de universalidad. La Termodinámica Clásicaqueda establecida básicamente en torno a 1850. El estudio macroscópico de los gasesconstituyó un capítulo previo que se utiliza con profusión y se integra en su desarrolloy en sus aplicaciones de manera singular.

4.a El estudio que se realiza aquí se centra, prioritariamente, en el contexto clásico que lefue y le es propio, contexto macroscópico, de «lo observable» (escala humana), conlas concepciones pretermodinámicas aunque no se ignore el desarrollo posterior.

6.1.2. Noticias históricasOtto von Guericke (1602-1686) inventó la bomba neumática o de vacío. Constituye un hito his-tórico la experiencia que realizó en 1654 ante el emperador Fernando III y la Dieta de Magde-burgo demostrando que 16 magníficos caballos eran incapaces de separar dos hemisferios decobre acoplados en cuyo interior se había hecho el vacío. (Los hemisferios utilizados se conser-van en el Museo de las Ciencias de Múnich). Analizó propiedades del aire, introdujo técnicasde manipulación de gases y descubrió algunos.

R. Boyle (1627-1691) es considerado como el primero que dio una definición aceptable deelemento químico (creía que la materia estaba constituida por átomos —sustancias puras—, nopor moléculas —sustancias compuestas—). Estudió propiedades de los gases y descubrió en1661, confirmada por Mariotte (1679), la famosa ley denominada de Boyle-Mariotte:

pV % Cte

H. Cavendish (1731-1810) identificó, por primera vez, el hidrógeno (1765), conoció lacomposición de la atmósfera y demostró la naturaleza compuesta del agua (1781) haciendo verque ésta no era «elemento primordial» (en referencia a los elementos de Empédocles: aire-agua-tierra-fuego).

J. Dalton (1766-1844) realizó importantes combinaciones o mezclas de gases e introdujo la«ley de las presiones parciales» que lleva su nombre (estudio algebraico). Catalogó hasta 20especies diferentes de materia («elementos») y estableció las bases de la teoría atómica. (Con-cibe la materia como formada por partículas indivisibles).

J. Berzelius (1779-1848) descubrió un número elevado de nuevos elementos, introdujo lanoción de peso atómico e inició la electroquímica.

J. L. Gay-Lussac (1778-1850) formuló en 1802 la ley de dilatación de los gases que llevasu nombre:

V % V0(1 ! a Bt)

Determinó la relación c % Cp/Cv entre las capacidades caloríficas a presión y volumen constan-te de un gas.

CAPÍTULO 6. Teoría de gases 79

www.FreeLibros.me

A. Avogadro (1776-1856) formuló la hipótesis que lleva su nombre: «Volúmenes iguales degases cualesquiera, a idéntica presión y temperatura, contienen el mismo número de molécu-las». Constante o número de Avogadro es el número (constante) de moléculas contenidas en unmol para cualquier gas.

6.2 Consideraciones de índole mecánica

6.2.1. Propiedades generales (macroscópicas)

El contexto denominado clásico, macroscópico, orienta la descripción que se hace en este apar-tado.

La naturaleza íntima de la materia se analiza en la actualidad desde perspectivas que pue-den denominarse microscópicas (física cuántica, teoría cinética, físicas estadísticas, partículaselementales). Interesa destacar dos cuestiones fundamentales:

a) las distancias intermoleculares son mucho mayores que el tamaño de las moléculas(éstas están muy separadas unas de otras),

b) las fuerzas de atracción intermoleculares son mucho menores que en sólidos y líquidos,

y resaltar una hipótesis fundamental: el caos molecular (es decir, la libertad de movimientos entodas direcciones regidos por el azar).

Las propiedades generales macroscópicas del estado de agregación (o fase) gaseoso son:

1. Fluido (analogía con la fase líquida) con tendencia a expansionarse (diferencia con lafase líquida), a ocupar el máximo volumen y, por tanto, sin «superficie libre». No po-seen «forma propia» (analogía con la fase líquida) ni «volumen propio» (diferencia conla fase líquida), sino que adoptan la forma y volumen del recipiente que los contiene.

2. Densidad pequeña, consecuencia de la ausencia de cohesión.3. Homogeneidad, consecuencia del caos molecular.4. Isotropía, consecuencia también del caos molecular.5. Compresibilidad alta, como consecuencia de la ausencia de fuerzas de repulsión.6. Viscosidad muy pequeña, dado que las acciones mutuas de las moléculas son muy pe-

queñas.

6.2.2. Descripción físico-matemática de un medio gaseoso: la magnitud presión

Es usual describir una sustancia en fase gaseosa en un recinto, de manera elemental, por mediode la magnitud física denominada presión.

6.2.2.1. Perspectiva escalar

En el marco de «lo observable», escalarizado, la presión suele considerarse como magnitudsecundaria de naturaleza mecánica que se introduce mediante la fórmula de definición:

p %F

S(6.1)


www.FreeLibros.me

que determina su fórmula dimensional en la base usual de la Mecánica clásica {L, M, T}:

[p] %[F]

[S]%

MLT.2

L2 % ML.1T.2

y el uso como unidad del N/m2 (que se denomina pascal y se representa por Pa).Esta perspectiva, derivada del estudio de los sólidos, manifiesta la presión como un efecto

de una causa que es una fuerza, de modo que es consecuencia de una fuerza (y se concibe co-mo una especie de magnitud intensiva superficial derivada del concepto de fuerza). En los flui-dos la cuestión no se presenta de forma tan clara. En el seno de las masas fluidas, existe pro-piamente una presión que se va a mostrar como causa generadora de posibles acciones, efectos,contra superficies interiores al fluido o de contorno. Este razonamiento invita a considerar lapresión desde otra perspectiva más compleja.

6.2.2.2. Perspectiva tensorial

Con mayor rigor algebraico, la presión se define como magnitud secundaria de naturaleza al-gebraica tensorial de segundo orden, �, mediante la expresión:

dF % � dS % � . n . dS (6.2)

tensor �, que se caracteriza por las siguientes propiedades:

1. Analíticamente, la presión en el recinto es una función continua de punto y tiempo, esdecir:

� % �(P, t) (6.3)

2. Es un tensor simétrico, diagonal e isotrópico.3. En consecuencia, se expresa mediante la matriz asociada simétrica, diagonal e isotrópi-

ca siguiente:

� % �(P, t) %C.p(P, t) 0 0

0 .p(P, t) 0

0 0 .p(P, t)D (6.4)

que se denomina matriz escalar. La presión puede concebirse, en consecuencia, «comosi» fuera un escalar (una vez determinada la superficie sobre la que actúa).

4. Actúa normal a toda superficie dS interior o de contorno, es decir, según la direccióndel vector normal a ella.

6.2.2.3. Expresión diferencial de la presión en el seno de un fluido

En la Naturaleza (limitada aquí a la superficie del planeta Tierra en la que existen fluidos, lí-quidos y gases), la presión en el interior de un fluido se considera consecuencia de la accióngravitatoria sobre él. La diferencia de presión, en el interior de un fluido, entre dos puntos A yB, Figura 6.1, con una diferencia de altura z (de manera análoga a los líquidos), es:

dp % o g dz % c dz (6.5)


www.FreeLibros.me

Figura 6.1

ecuación diferencial fundamental donde o es la densidad, g la aceleración de la gravedad y c elpeso específico. Como plano de referencia se toma la superficie de la Tierra (supuesta hori-zontal).

La presión se manifiesta consecuencia del potencial gravitatorio o de altitud, p(z), de modoque las diferencias de presión se relacionan con las diferencias de altura, p(h).

No obstante, dado que la densidad (y, en consecuencia, el peso específico) de los gases esmuy pequeña comparada con la de los líquidos (del orden de mil veces menor), tendría queexistir una diferencia de nivel z muy grande para que fuera apreciable la diferencia de presiónasociada. Por ello:

a) En el caso de un gas encerrado en un recipiente se acepta la hipótesis de que la pre-sión es uniforme en todos los puntos del recipiente, variando exclusivamente en eltiempo, es decir:

p % p(t) o bien � % �(t) (6.6)

De aquí surge la noción (o hipótesis) de «presión de un sistema gaseoso», como pará-metro característico de todo el sistema —del sistema como conjunto, como unidad— yrepresentado por un único valor (o medida), concepto utilizado por la TermodinámicaClásica (la presión como variable de estado).

b) En grandes recintos o para grandes masas gaseosas (por ejemplo, la atmósfera) nopuede aceptarse dicha hipótesis simplificativa y deben considerarse las Expresiones(6.3) o (6.4) y (6.5).

p % p(P, t) o bien � % �(P, t) (6.7)

6.2.3. Principios clásicos de Pascal y Arquímedes

Los principios clásicos y elementales en los que se basa el estudio de los fluidos en estado deequilibrio —Hidrostática— se exponen a continuación.

6.2.3.1. Principio de Pascal

Blaise Pascal (1623-1662) demostró mediante un experimento en 1648 que el nivel de lacolumna del barómetro de mercurio lo determina el aumento o disminución de la presiónatmosférica circundante. Este descubrimiento verificó la hipótesis del físico italiano Torricellirespecto al efecto de la presión atmosférica sobre el equilibrio de los líquidos. Otra de sus con-


www.FreeLibros.me

tribuciones científicas importantes, la que más interesa en esta sección, es la deducción del lla-mado principio de Pascal, que establece que los líquidos transmiten presiones con la mismaintensidad en todas las direcciones, y que se resume en la frase: «el incremento de presión apli-cado a una superficie de un fluido incompresible, contenido en un recipiente indeformable, setransmite con el mismo valor a cada una de las partes de éste».

El principio de Pascal puede comprobarse utilizando un recipiente cilíndrico, perforado endiferentes puntos del fondo y provisto de un émbolo. Al llenarlo con agua y ejercer presiónsobre él mediante el émbolo, se observa que el agua sale por todos los agujeros con la mismapresión.

Este principio puede ser interpretado como una consecuencia de la ecuación fundamentalde la hidrostática y del carácter incompresible de los líquidos. En este tipo de fluidos la densi-dad es constante, de modo que de acuerdo con la ecuación

p % p0 ! ogh

si se aumenta la presión en la superficie libre, por ejemplo, la presión en el fondo ha de aumen-tar en la misma medida, ya que pgh no varía al no hacerlo h.

La prensa hidráulica constituye la aplicación fundamental del principio de Pascal y tambiénun dispositivo que permite entender mejor su significado. Consiste, en esencia, en dos cilindrosde diferente sección comunicados entre sí por su parte inferior, y cuyo interior está completa-mente lleno de un líquido que puede ser agua o aceite. En cada uno de los dos cilindros seajustan dos émbolos de secciones diferentes, de modo que estén en contacto con el líquido.Cuando sobre el émbolo de menor sección S1 se ejerce una fuerza F1 la presión p1 que se origi-na en el líquido en contacto con él se transmite íntegramente y de forma instantánea a todo elresto del líquido; por tanto, será igual a la presión p2 que ejerce el líquido sobre el émbolo demayor sección S2, es decir:

p1 % p2 (6.8)con lo que:

F1

S1%

F2

S2

y por tanto:

F2 % F1

S2

S1(6.9)

Figura 6.2. Principio de Pascal.

Si la sección S2 es diez veces mayor que la S1, la fuerza F1 aplicada sobre el émbolo pequeñose ve multiplicada por diez en el émbolo grande.


www.FreeLibros.me

6.2.3.2. Principio de Arquímedes

Arquímedes (287-212 a.C.) fue el descubridor de la naturaleza de las fuerzas ascendentes (fuer-zas de empuje o fuerzas de flotación) que actúan sobre los objetos cuando están sumergidos enun fluido.

Cuenta la historia que el rey Hierón II le había encomendado a Arquímedes la tarea de de-terminar si una corona fabricada para él estaba hecha toda ella de oro o si éste estaba mezcladocon algún otro metal más barato. El problema consistía en determinar la densidad de la coronasin destruirla. Arquímedes encontró la solución, al parecer, mientras se bañaba, y salió desnudopor las calles de Siracusa gritando «¡Eureka!» («¡Lo encontré!»). Descubrió lo que constituyóun procedimiento simple y exacto para determinar la densidad específica de la corona que des-pués pudo comparar con la densidad específica del oro.

Densidad específica %peso del cuerpo en aire

peso de un volumen igual de agua

El principio de Arquímedes afirma que «todo cuerpo sumergido en un fluido experimentaun empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido desalojado». Por lo que:

Densidad específica %peso del cuerpo en aire

pérdida de peso cuando está sumergido en agua

Y así pudo determinar la densidad específica de la corona pesándola en aire y luego cuandoestaba sumergida en agua.

Muchos años más tarde, unos 1.900, se pudo explicar, a partir de las leyes de Newton, endos pasos que se exponen a continuación:

1. El estudio de las fuerzas sobre una porción de fluido en equilibrio con el resto del fluido.La fuerza que ejerce el fluido sobre la «superficie de separación» es, dF % p . dS,

donde p es la presión que sólo depende de la profundidad (p % ogh) y dS % dS . n es unelemento diferencial de superficie.

Dado que la porción de fluido se encuentra en equilibrio, la resultante de las fuer-zas debidas a la presión se debe anular con el peso de dicha porción de fluido. A estaresultante se le denomina empuje (o fuerza ascendente), y su punto de aplicación es elcentro de gravedad de la porción de fluido, denominado centro de empuje.

De este modo, para una porción de fluido en equilibrio con el resto, se verifica queel empuje es igual al peso de la porción de fluido (P % ogV).

2. La sustitución de dicha porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma forma ydimensiones.


www.FreeLibros.me

En este caso, las fuerzas debidas a la presión no cambian; por tanto, su resultante(empuje) es la misma y actúa en el mismo centro de empuje. Lo que cambia es el pesodel cuerpo sólido y su centro de gravedad, que puede o no coincidir con el centro deempuje. En los casos más simples, se considera que el sólido y el fluido son homogé-neos, por lo que coincide el centro de gravedad del cuerpo con el centro de empuje.

Por tanto, sobre el cuerpo actúan dos fuerzas: el empuje y el peso del cuerpo, que soniguales y de sentido contrario cuando el cuerpo está en equilibrio mecánico:

P % E . ogV (6.10)

Ésta es la expresión matemática del principio de Arquímedes que se enuncia de lasiguiente manera: «cuando un sólido está parcialmente o totalmente sumergido en elseno de un fluido, en equilibrio mecánico, se verifica que su peso es igual al empujedel volumen de fluido desalojado».

6.2.4. Trabajo producido al expansionarse un gasEl concepto de trabajo en mecánica se crea como magnitud secundaria derivada de los concep-tos de fuerza y métrica espacial —longitud, desplazamiento—, de modo que se define mediantela expresión:

W %I2

1F . d l (6.11)

que se aplica sin dificultad al caso de los gases, tomando como ejemplo la imagen de un pistónen un cilindro.

Sea un gas encerrado en un cuerpo de bomba sometido a la presión exterior p y S la super-ficie (sección) del émbolo. Se hace expansionar el gas, por lo que el émbolo se deslizará haciaarriba (Bl), según se muestra en la Figura 6.3.

Figura 6.3. Trabajo de un émbolo.


www.FreeLibros.me

Partiendo de la expresión de la presión:

p %F

Sú F % p . S

se obtiene el trabajo elemental realizado:

BW % F . Bl % p . S . Bl % p . BV

dW % p . dV ú W %IV2

V1

p . dV (6.12)

de modo que la presión se considera como una fuerza generalizada y el volumen como un des-plazamiento generalizado.

6.3 La atmósfera terrestre: el aire

El estudio de la atmósfera interesa aquí sólo en cuanto constituida por aire, que es un gas,mezcla de gases, y para su descripción por medio de la presión. También conviene señalar quees usual estudiar el aire desde la hipótesis aceptable, en líneas generales, de que su comporta-miento es muy próximo al de los gases ideales.

6.3.1. Composición de la atmósferaLa atmósfera es la zona gaseosa que envuelve la tierra. (Desde una perspectiva topológico-geo-métrica puede considerarse como contenida en el recipiente abierto Tierra por la acción gravi-tatoria terrestre).

Está constituida por una mezcla de gases cuya composición es variable con muy diversos fac-tores: época (geológica, histórica, estacional, etc.), estado atmosférico (anticiclón, borrasca, etc.),latitud, altitud (superficie terrestre, troposfera, ionosfera, etc.), zona terráquea (bosque, mar, llanu-ra, ciudad, etc.), estado dinámico (vientos, corrientes, huracanes, etc.), etc. Como composiciónmedia de referencia en las zonas bajas puede considerarse la reflejada en la Tabla 6.1).

Tabla 6.1

Gas Volumen(en %)

Peso(en %)

Nitrógeno 78,095 75,529

Oxígeno 20,939 23,140

Argón 0,933 1,284

Anhídrido carbónico 0,033 0,047

Ozono variable

Otros gases variable

Impurezas variable


www.FreeLibros.me

La denominada «capa de ozono», situada a unos 20 km de altitud, a pesar de la escasez deeste isótopo, desempeña un papel fundamental para la vida sobre la Tierra al filtrar parte consi-derable de la radiación ultravioleta del sol.

6.3.2. La presión atmosférica

La atmósfera es una gran masa gaseosa. La presión se expresa, por tanto, de las formas:

p % p(P, t)

o bien

� % �(P, t)

y se estudia en función de la altura mediante la ecuación diferencial:

dp % og dz % c dz

El valor de la presión debida a la atmósfera —su medida— puede determinarse mediante lafamosa experiencia de Torricelli que se describe a continuación. Un tubo de vidrio de un metrode longitud lleno de mercurio se introduce invertido en una cubeta que contiene también mer-curio. Puede observarse lo que se indica en la Figura 6.4: la diferencia de niveles entre la su-perficie libre del mercurio en la cubeta y el nivel en el tubo es aproximadamente de 760 mm.Se interpreta afirmando que la presión atmosférica (presión hidrostática de la atmósfera) apli-cando el principio de Pascal a los puntos A y B equilibra la presión hidrostática de la columnade mercurio del tubo.

p0 % ogz % cz

Figura 6.4

Con los datos:

oHg (a 0 oC) % 13.595,1 kg/m3

g % 9,806 m/s2

z % 0,76 m

se obtiene el valor:

p0 ] 1,013 # 105 N/m2% 1 atm % 760 mm Hg


www.FreeLibros.me

6.4 Teoría del gas ideal

6.4.1. Estructura lógico-filosófica

El estudio físico-matemático de los gases (de todos como conjunto) con generalidad se hacemediante la conceptualización del gas ideal, construyéndose la Teoría física del gas ideal(usualmente de «los gases ideales», por la consideración inicial de que casi todos los gases rea-les se comportan «como si» fueran gases ideales).

Con el esquema lógico-filosófico que construimos para explicar la concepción general de laFísica clásica esta teoría física puede estructurarse básicamente según la Tabla 6.2.

Tabla 6.2

«Cosa» Propiedadescaracterizadoras

«Acaecimiento» Ley

Teoría delgas ideal

Gas ideal(qué)

(de estado) V [geometría]p [mecánica]T [temperatura]

Evolución(cambio de estado)

Ecuaciónde estados

(cuánto) n[materia] pV % nRT

Esta teoría no precisa propiedades descriptoras del acaecimiento ya que éste consiste sóloen cambiar de estado según un proceso cualquiera, y en cualquier estado sus propiedades (va-riables) verifican dicha condición (ecuación de estado).

6.4.2. Compresión isotérmica (deformación mecánica) del gas ideal.Ley de Boyle-Mariotte

Se denomina compresión isotérmica a un proceso ideal de compresión (aumento de presión,disminución de volumen) a temperatura constante, cuyas características hipotéticas serían: len-titud, eliminación del calor y baño a temperatura constante.

Se comprueba que aproximadamente se verifica:

pV % p1V1 % p2V2 % ñ

es decir, que a temperatura constante se cumple la ley de Boyle-Mariotte:

p .V % cte (6.13)

Esta ley se representa gráficamente en un diagrama de Clayperon, diagrama p-V, Figura 6.5,mediante una familia de hipérbolas equiláteras.

La ley de Boyle-Mariotte es una ley límite (es decir, para gases ideales). Cuanto menor esla presión y mayor es la temperatura, tanto mejor la cumplen los gases reales.

Existe otro tipo de proceso que se formula también mediante una ley en la que no intervie-ne la temperatura (tampoco el calor) que hace referencia, no obstante, al concepto de calor, por


www.FreeLibros.me

lo que no es propio integrarla en este capítulo pero sí conveniente referirla para contextualizarmejor los aspectos formales y no sólo los históricos: el proceso adiabático1.

Figura 6.5

6.4.3. Dilatación térmica de los gases. Leyes de Gay-Lussac

En el estudio de la dilatación (efecto de la temperatura) de los gases se consideran tradicional-mente dos casos extremos, denominados respectivamente:

a) Dilatación a presión constante. Proceso en el que permanece constante la presión y lavariación de temperatura (causa) origina cambios de volumen (efecto). El volumen, va-riable con la temperatura, se expresa mediante la denominada 1.a ley de Gay-Lussac:

Vt % V0(1 ! aBt) (6.15)

donde a ] 1/273,15 para todos los gases.

b) Dilatación a volumen constante. Proceso en el que permanece constante el volumen yla variación de temperatura (causa) origina cambios de presión (efecto). La presión,variable con la temperatura, se expresa mediante la denominada 2.a ley de Gay-Lussac:

pt % p0(1 ! bBt) (6.16)

donde b ] a ] 1/273,15 para todos los gases.Si se aplica la Ecuación (6.16) a una temperatura t % .273,15 se obtiene:

p.273,15 % p0C1 !A

.273,15

273,15 BD% 0

De aquí se deduce que en el cero absoluto —límite inferior natural de temperaturas—la presión se anula. (Se interpreta en física microscópica como la congelación de todoslos movimientos de las entidades elementales: moléculas, átomos, iones, etc.).

1 Se denomina proceso adiabático aquel que se realiza sin intercambio de calor con el medio (¡aún no se ha habladode calor! Ya se hará más adelante). Para obtener una visión más completa del tema parece adecuado introducir este aspectoen este lugar. Los gases en este tipo de proceso verifican la denominada ecuación de Poisson:

PVc% Cte (6.14)

donde c es una constante característica del gas denominada coeficiente de compresibilidad adiabática que verifica la ine-cuación c b 1.


www.FreeLibros.me

Expresiones diferenciales de los coeficientes de dilatación cúbica

a) Coeficiente de dilatación cúbica a presión constante. Representa la variación relativade volumen de un gas (en general de un cuerpo) respecto de la temperatura a presiónconstante. Su expresión matemática es:

a %1

V ALV

LTBp

(6.17)

Dimensionalmente [a] %C1

TD , por lo que sus valores estarán expresados en K.1, sien-

do normalmente a b 0; para gases ideales: a %1

273,15K.1.

b) Coeficiente de compresibilidad isoterma. Representa la variación relativa de volumende un gas (en general de un cuerpo), respecto de la presión a temperatura constante. Suexpresión matemática es:

k %1

V ALV

LpBT

(6.18)

Dimensionalmente: [k] %C1

pD , por lo que sus valores, mayores que 0, estarán expresa-

dos, por ejemplo, en atm.1.

c) Coeficiente piezométrico. Representa la variación relativa de presión respecto de latemperatura a volumen constante. Su expresión es:

b %1

p ALp

LTBV

(6.19)

Dimensionalmente [b] %C1

TD , por lo que sus valores vendrán dados en K.1.

6.4.4. Ecuación de estado de los gases ideales

6.4.4.1. Ley del gas ideal

Se denomina ecuación de estado o de estados de un sistema (sustancia) a una ecuación querelaciona los parámetros o variables representativos del sistema en la hipótesis de que todosellos estén relacionados por dicha ecuación considerada única.

De las ecuaciones (6.15) y (6.16), respectivamente, se deducen:

Vt

V0%

273,15 ! t

273,15%

T

T0ú V %

V0

T0T; a p % cte ú V ã T (6.20)


www.FreeLibros.me

pt

p0%

273,15 ! t

273,15%

T

T0ú p %

p0

T0T; a V % cte ú p ã T (6.21)

donde ã significa «es proporcional a».De las Expresiones (6.20) y (6.21) puede deducirse:

pV ã T (6.22)

ley del gas ideal.

6.4.4.2. Ecuación de estado para un mol de un gas ideal

Una forma elemental —e instructiva— de obtener la ecuación de estado para un mol de un gasideal consiste en utilizar un diagrama de Clapeyron y en éste representar (véase Figura 6.6) dosestados determinados A(p0, v0, T0) y B(p1, v1, T1) arbitrarios, de tal manera que se suponen losprocesos AM isobaro y MB isotermo entre ambos estados A y B. v0 y v1 son los volúmenes mo-lares (volúmenes de 1 mol) del gas.

Figura 6.6

Considerando, en primer lugar, la isobara AM y aplicándole la 1.a ley de Gay-Lussac se ob-tiene:

vM %v0TM

T0%

v0T1

T0(6.23)

Considerando, a continuación, la isoterma MB y aplicándole la ley de Boyle-Mariotte, seobtiene:

vM %p1v1

pM

%p1v1

p0(6.24)

De las Ecuaciones (6.23) y (6.24), por igualación de los últimos miembros, se deduce paralos puntos A y B, y por ser arbitrarios cualesquiera:

p0v0

T0%

p1v1

T1% ñ %

pv

T% R (6.25)

siendo R la constante de los gases ideales.


www.FreeLibros.me

Si p0 % 1 atm, T0 % 273,15 K y v0 (volumen molar normal) % 22,415 l/mol para todos losgases (ley de Avogadro),

R %p0v0

T0%

1,013 . 10.5 N .m.2 . 22,415 . 10.3 m3 . mol.1

273,15 K% 8,31

J

mol . K

que, expresada en otras unidades, será:

R % 0,082 atm . l . mol.1 . K.1 V% 2 cal .mol.1 . K.1

6.4.4.3. Ecuación de estado general

Para un volumen V cualquiera, V % nv, siendo n el número de moles, se deduce la ecuación deestado general de los gases ideales:

pV % nRT (6.26)

6.4.5 Reducción de volúmenes y densidades de un gas a condiciones normales

Se denomina condiciones normales a las caracterizadas por una presión de 1 atmósfera y poruna temperatura de 0 oC. En condiciones normales se consideran los conceptos de volumen mo-lar normal, v0, y volumen normal de una cantidad de materia, v, en fase gaseosa.

p0v0

T0%

pv

Tú v0 % v

p

p0

T0

T

v0 % vp(mm Hg)

760

273,15

T(K)

La densidad normal se obtiene mediante la fórmula:

o0 %M

22,415(6.27)

siendo M la masa molecular del gas y 22,415 el volumen de un mol en condiciones normalesobtenido en el parágrafo anterior.

Para obtener la masa m de un volumen v medido en condiciones p, T puede procederse dela forma:

m(g) % o0v0 %M(g/mol) . p(mm Hg) . 273,15 (K)

22,415 (1/mol) . 760 (mm Hg) . T (K)v(l) (6.28)

ecuación que relaciona la naturaleza del gas (M) con las variables de estado del gas (p, v, T).Dividiendo (6.28) por v se obtiene:

o %M

22,415

p

760

273,15

T(g/l) (6.29)


www.FreeLibros.me

6.4.5.1. Aplicación al aire

Las expresiones anteriores tienen un uso común frecuente en aire, higrometría y medio ambien-te. Se considera que el aire medio tiene una masa molecular ficticia M % 28,9. De esta manera,la densidad del aire en función de las condiciones p, T del mismo se expresa de la forma:

oaire %28,9

22,415

p

760

273,15

T(g/l) % 1,293

p

760

273,15

T(6.30)

6.4.5.2. Aplicación a un gas (relativo al aire)

Se denomina densidad relativa, respecto del aire, a: oñ %ogas

oaire

en las mismas condiciones de

presión y temperatura. De esta manera, se obtiene la expresión usual para un gas cualquiera:

o % 1,293 oñ

p

760

273,15

T(g/l) (6.31)

6.4.6 Expresiones del trabajo de expansión de un gas idealen los procesos fundamentales

La expresión general del trabajo de expansión de un gas (6, 12), ya deducida en el Apartado6.2.4, es:

W %IV2

V1

p dV

que aplicada a las transformaciones (o procesos) fundamentales de los gases adquiere las si-guientes formas:

a) Expansión isobara: p % cte ú W %IV2

V1

p . dV % p(V2 . V1) (6.32)

b) Expansión isocora: V % cte ú No hay expansión (dV % 0) ú W % 0 (6.33)

c) Expansión isoterma: T % cte y pV % nRT ú p %nRT

V; V %

nRT

p

W % nRT IV2

V1

dV

V% nRT ln

V2

V1% nRT ln

p1

p2(6.34)

6.4.7. Mezcla de gases ideales: ley de Dalton

Se considera un recinto compartimentado en celdillas [Figura 6.7.a)], tales que en cada unaexiste una determinada cantidad de un gas diferente (materia distinta en general): n1, n2, ..., nr.Mediante una imagen de émbolos sin rozamiento e impermeables a la materia puede concebirsefácilmente que todos los gases se encuentren en idénticas condiciones de presión (p) y tempera-


www.FreeLibros.me

tura (T), una vez alcanzados los equilibrios mecánico y térmico. En este momento pueden reti-rarse las compuertas [Figura 6.7.b)], y esperar a que se alcance la homogeneidad de la mezclaocupando todo el volumen V a dicha presión y temperatura.

Figura 6.7

Se denomina presión parcial de un gas componente a la que tendría dicho gas si ocupara élsolo todo el volumen V. Se simbolizan estas presiones parciales por p1, p2, ..., pr. En los casosa) y b) de la figura puede comprenderse aceptablemente el uso reiterado de la ecuación de esta-do que se esquematiza a continuación:

a) b)

pV1 % n1RT % p1V

pV2 % n2RT % p2Vñ ñ

pVr % nrRT % prV

p(V1 ! V2 ! ñ ! Vr)% (n1 ! n2 ! ñ ! nr)RT % (p1 ! p2 ! ñ ! pr)V

p . V %

r

;i%1

niRT %

r

;i%1

piV (6.35)

Por tanto:

p % ;i%1

pi (6.36)

La ley de Dalton puede enunciarse de la siguiente manera: «la presión total de una mezclagaseosa es igual a la suma de las presiones parciales que tendrían sus componentes si cada unoocupara todo el volumen a la misma temperatura».

La mezcla de gases ideales se comporta como otro gas ideal que tuviera un número de mo-les igual a la suma de los números de moles de los componentes.

En una mezcla de gases se denomina fracción molar del gas i a:

xi %ni

n(6.37)


www.FreeLibros.me

En el recinto completo, caso b) de la Figura 6.7, se aprecia:

Para el gas i: piV % niRTPara la mezcla: pV % nRT

Dividiendo estas expresiones, se obtiene:

pi

p%

ni

n% xi (6.38)

Por otra parte:

r

;i%1

xi % x1 ! x2 ! ñ xr %n1

n!

n2

n! ñ !

nr

n%

1

n

r

;i%1

ni % 1

6.5 Gases reales

La noción de gas ideal es, precisamente lo que indica el adjetivo, un concepto mental, ideal.Basado en la realidad, pero también para una fácil caracterización matemática.

El comportamiento de los gases reales se aproxima a la hipotética conducta del gas ideal, otiende hacia ésta, sólo en algunos intervalos de condiciones definidas por las variables de esta-do correspondientes. La ecuación de estado de los gases ideales puede considerarse, por tanto,como una ley límite para los gases reales.

En este apartado se pretende estudiar los gases reales en sí mismos, pero a la luz de la pers-pectiva del gas ideal y mediante el contraste con los resultados teóricos deducidos para éste.

6.5.1. Representación de Amagat. Desviaciones de la ley de Boyle-Mariotte

El diagrama termológico de variables (p, pV) asociado a los estados de un sistema se denominadiagrama de Amagat.

Un gas ideal cumple la ley de Boyle-Mariotte:

pV % cte (a T % cte)

En consecuencia, las isotermas ideales en el diagrama de Amagat son rectas horizontales, co-mo se indica en la Figura 6.8. [En el diagrama de Clapeyron, (p, V), son hipérbolas equiláteras].

Figura 6.8

Experimentalmente puede comprobarse que para gases reales la representación cualitativade su comportamiento en el diagrama de Amagat ofrece las formas de las curvas de la Figu-


www.FreeLibros.me

ra 6.9. Para una temperatura baja, T1, sólo cuando p r 0 los gases reales coinciden con el valorde la recta ideal. Para temperaturas elevadas, T2 b T1, las curvas son progresivamente más pró-ximas a la recta (isoterma ideal) correspondiente. De estos resultados experimentales descritoscualitativamente puede extraerse una conclusión importante: los gases reales tienden hacia elgas ideal para presiones pequeñas y temperaturas elevadas. Cuanto menor sea la presión ymayor la temperatura, tanto más se asemeja la conducta de los gases reales a la límite del gasideal.

Figura 6.9

6.5.2. Representación de Clapeyron. Valores críticos, curva de saturación

Se considera como trasfondo gráfico de referencia una familia de hipérbolas equiláteras (repre-sentadas de trazos en el diagrama de la Figura 6.10 para temperaturas elevadas) correspondien-te al comportamiento del gas ideal en un diagrama de Clapeyron con volúmenes específicos enabscisas.

Figura 6.10

Si se procede experimentalmente con un gas real cualquiera (por ello la representación escualitativa) de modo que se considere un mol de dicho gas (sistema) en un recipiente (por


www.FreeLibros.me

ejemplo, cilindro con un émbolo) iniciando las experiencias concretas para condiciones degrandes volúmenes y pequeñas presiones (parte inferior derecha del diagrama) y se efectúanreiterados procesos de compresión isoterma, pueden explicarse los resultados de la siguienteforma:

a) Para temperaturas bajas (T a Tc)

Si el gas se encuentra en las condiciones iniciales representadas por el punto A1, la primera par-te del proceso de compresión sigue la isoterma ideal T1 y en un determinado momento (alcan-zado el estado representado por el punto B1) comenzaría a separarse de la isoterma ideal.A partir de C1 se observa que la reducción de volumen tiene lugar también a presión constante,es decir, que el proceso se describe mediante un tramo de recta horizontal C1D1. Desde el pun-to de vista físico se está produciendo un cambio de fase: de gas a líquido. Se trata de un tránsi-to paulatino, progresivo, de gas a líquido; la reducción de volumen tiene lugar a temperaturaconstante y a presión también constante, es un proceso simultáneamente isotermo e isóbaro.A esa presión constante, p1, para la temperatura también constante, T1, se le denomina presiónde vapor correspondiente a dicha temperatura (presión de saturación, de coexistencia gas-líqui-do de una sustancia a una temperatura determinada). Si se continúa la compresión, ya de lafase líquida, se produce una pequeña variación de volumen para grandes variaciones de presión(curvas casi rectas verticales, debido a la pequeña compresibilidad de los líquidos).

Para una temperatura algo mayor, T2 b T1, el proceso, cualitativamente, es análogo, obte-niéndose los puntos C2 y D2 extremos también de un tramo recto horizontal (simultáneamenteisotermo e isóbaro) correspondiente al proceso de cambio de fase gas-líquido. (El gas se va li-cuando —condensando—, al principio en forma de gotitas sobre las paredes del recipiente, has-ta que al final todo el gas se ha convertido en líquido). El tramo C2D2 es más corto que elC1D1; esto se explica afirmando que al crecer la temperatura la condensación se inicia (puntoC2) para volúmenes menores y presiones mayores (y se justifica, desde la perspectiva micros-cópica, como consecuencia del incremento de energía cinética de las moléculas con la tempera-tura, lo que dificulta la acción de las fuerzas intermoleculares) y concluye (punto D2) para vo-lúmenes mayores (lo que puede explicarse como consecuencia de la dilatación del líquido conla temperatura).

La curva... C1C2 ... D2D1... se denomina curva de saturación y es característica de cada sus-tancia.

b) Para la temperatura crítica (Tc)

Existe una isoterma singular —denominada crítica— que divide el cuadrante del diagrama endos zonas netamente diferenciadas: la descrita en el apartado a), en la que tienen lugar cambiosde fase gas-líquido, de la cual esta isoterma crítica puede considerarse como límite superior, yla zona superior derecha en la que el gas real nunca cambia de fase (siempre es gas) de la cualpuede considerarse como límite inferior.

El punto de contacto de la isoterma crítica con la curva de saturación se denomina puntocrítico y a las condiciones que representa, condiciones críticas (temperatura crítica, Tc; presióncrítica, pc; volumen crítico, vc).

A continuación se presenta la Tabla 6.3 de temperaturas y presiones críticas para distintassustancias.


www.FreeLibros.me

Tabla 6.3

SustanciaTemperatura crítica Presión crítica

oC K atm

Agua 374 647 218

CO2 31 304 72,8

Helio .267,9 5,3 2,3

Hidrógeno .239,9 33,3 12,8

Nitrógeno .147 126 33,5

Oxígeno .118 155 50

c) Para temperaturas altas (T b Tc)

La sustancia en fase gaseosa considerada, para estas temperaturas, permanece siempre en fasegaseosa independientemente de la presión a que se le someta. A estas temperaturas superiores ala crítica la sustancia sólo se presenta como gas y, en consecuencia, con precisión, se le deno-mina gas.

Los estados de la sustancia comprendidos en la parte inferior derecha bajo la isoterma críti-ca y a la derecha de la curva de saturación se denominan estados de vapor (véase Figura 6.11).

Figura 6.11

Los estados de representación interior a la curva de saturación son de coexistencia de lasfases líquida y gaseosa (es decir, de equilibrio entre un líquido y su vapor).

En la Figura 6.11 puede observarse también:

a) Que una sustancia en estado de vapor A no sólo puede evolucionar hasta el estado lí-quido E mediante el proceso de compresión isoterma (a T1 constante) descrito anterior-mente, sino que también son posibles procesos tales como el AE por el que pasa alíquido en M sin la transición isotermo-isobárica interior a la curva de saturación.


www.FreeLibros.me

b) Que, análogamente, puede pasarse de un estado de gas B a un estado de líquido E se-gún procesos del tipo BE con transición de fase en N2.

Los denominados gases permanentes tienen una temperatura crítica muy baja; de ahí la jus-tificación de su denominación.

6.5.3. Superficie de estados. Diagramas fundamentales

Las consideraciones anteriores relativas a los gases reales invitan a mostrar todos los estadosposibles de existencia de una sustancia real en un espacio tridimensional de coordenadas (p, v,T) sin limitaciones. Dichos estados se sitúan en la denominada superficie de estados, integradapor diferentes «zonas de superficies» correspondientes a las fases gaseosa, líquida y sólida, asícomo a las respectivas transiciones. Podría observarse que sólo para altas temperaturas y bajaspresiones el comportamiento de una sustancia real es del tipo indicado por la ecuación de esta-do del gas ideal.

La ecuación teórica analítica de una superficie de estado es f (p, v, T) % 0 en el espaciotermológico tridimensional de variables coordenadas p, v, T. Los planos coordenados (p, v),(p, T) y (T, v) constituyen los diagramas fundamentales: las proyecciones sobre ellos de la su-perficie de estados, por medio de las líneas de discontinuidades y secciones por planos parale-los al de proyección, constituyen importantes elementos auxiliares de estudio para la Termolo-gía, en general, y para la Termodinámica, en particular.

6.5.4. Ecuaciones analíticas de estado para gases reales

Con referencia exclusiva a los gases reales (fase gaseosa de sustancias reales, incluyendo, claroes, los estados de vapor para el estudio de su transición de fase a líquido) se han propuestodiferentes ecuaciones analíticas concebidas empíricamente, es decir, para su ajuste a los resul-tados experimentales. Entre ellas pueden citarse las siguientes, propuestas por:

J. Van der Waals (1899): Ap !a

v2B (v . b) % RT

F. Dieterici (1899): p . ea/vRT(v . b) % RT

P. E. M. Berthelot (1907): Ap !a

Tv2B(v . b) % RT

donde los parámetros a y b son constantes físicas dimensionadas características de cada sustan-cia. Las «a», como puede apreciarse, son físicamente diferentes en cada una de las ecuaciones.

Ninguna de las ecuaciones analíticas representa adecuadamente la superficie de estadosreales de ninguna sustancia; constituyen sólo una aproximación aceptable en un intervalo máso menos amplio de presiones y temperaturas.

2 En el Capítulo 13 «Cambios de fase», se tratan estas cuestiones con más detalle.


www.FreeLibros.me


6.1 Un mol de un gas ideal está en un cilindro provisto de un pistón a una presión y una tempe-ratura iniciales de 2 atm y 300 K. (R % 0,082 atm . l/mol . K)

a) ¿Cuál es el volumen inicial del gas?b) Se deja expansionar el gas a temperatura constante hasta que la presión sea de 1 atm.

¿Cuál es el nuevo volumen?c) El gas se comprime y calienta al mismo tiempo hasta que alcance su volumen original,

siendo entonces su presión de 2,5 atm. ¿Qué temperatura se alcanza?

Solución:

a) Estado 1, ecuación de estado de los gases ideales:

pV % nRT

Si se aplica a un mol (n % 1) en el estado 1:

V1 %RT1

p1%

0,082 . 300

2

V1 % 12,3 l

b) Proceso 1 ú 2, isotermo a 300 K, hasta p % 1 atm.Aplicando la ley de Boyle-Mariotte para una expansión isoterma: p1V1 % p2V2

V2 %p1V1

p2%

2 . 12,3

1

V2 % 24,6 l

c) Estado 3, ecuación de estado de los gases ideales:

p3V3 % RT3

T3 %p3V3

R%

2,5 . 12,3

0,082

T3 % 375 K


www.FreeLibros.me

6.2 Calcúlense las expresiones del trabajo de expansión de un gas ideal cuando se realiza:

a) A presión constante.

b) A temperatura constante.

Solución:

La expresión del trabajo elemental en la expansión de un gas y la ecuación de estado de losgases ideales son, respectivamente:

dW % p dV ; pV % nRT

a) p % cte

W %I2

1p dV % p I

2

1dV % p(V2 . V1)

b) T % cte

W %I2

1

nRT

VdV % nRT I

2

1

dV

V% nRT ln

V2

V1

W % nRT lnV2

V1% p1V1 ln

V2

V1% p2V2 ln

V2

V1

O también:

W % p1V1 lnp1

p2% p2V2 ln

p1

p2

6.3 a) Demuéstrese que el valor del coeficiente de dilatación cúbica de un gas ideal a 0 oC es1/273,15 y compárese con el valor experimental para el nitrógeno a 0 oC y 1 atm que esde 0,003676 oC.1.

b) 14 g de nitrógeno ocupan 1 l a 127 oC. Calcúlese el coeficiente de compresibilidad iso-termo, admitiendo un comportamiento ideal del gas.

Solución:

a) Coeficiente de dilatación cúbica:

a % límBTr0p%cte

1

V

BV

BT%

1

V ALV

LTBp

De la ecuación de estado de los gases ideales:

pV % nRT ú V %nRT

p


www.FreeLibros.me

y, sustituyendo en la ecuación anterior:

a %1

V

nR

p%

nR

nRT%

1

Tú a0 %

1

273,15

Comparación:

a0 % 0,003661 oC.1 ; aexp % 0,003676 oC.1

Si se considera como referencia el resultado experimental, el relativo sería:

e %15

3.676] 0,004

e ] 0,004 ; e ] 0,4%

b) Coeficiente de compresibilidad isotermo:

k % límBpr0T%cte

.

1

V

BV

Bp% .

1

V ALV

LpBT

De manera análoga al caso anterior:

k % .

p

nRT A.

nRT

p2 B%1

p

En el caso presente:

pV % nRT %m

MRT %

14

28RT % 0,5 RT

p %0,5RT

V%

0,5 . 0,082 . 400

1% 16,4 atm

k %1

p%

1

16,4% 0,061 atm.1

6.4 La ecuación de Clapeyron para los gases referida a un mol es p(v . b) % RT. Calcúlese elcoeficiente de dilatación cúbica y el de compresibilidad para una sustancia que obedezca es-ta ecuación.

Solución:

a) El coeficiente de dilatación cúbica (isobárico) viene determinado por la expresión:

a %1

V ALV

LTBp


www.FreeLibros.me

Para un mol:

a %1

V ALv

LTBp

De la ecuación de Clapeyron:

v %RT

p! b %

RT ! bp

pSe obtiene, por tanto:

a %p

RT ! bp.R

p%

1

t !bp

R

b) El coeficiente de compresibilidad (isotermo) se obtiene a partir de la expresión:

k % .

1

V ALV

LpBT

Para un mol:

k % .

1

v ALv

LpBT

% .

p

RT ! bp. bp . (RT ! bp)

p2

k %RT

(RT ! bp)p%

1

A1 !bp

RTB p

Nota: Compárense los resultados con los del ejercicio anterior.

6.6 Una botella de acero de 10 l de capacidad tiene una llave que permite ponerla en comunica-ción con la atmósfera. La presión exterior es de 76 cm Hg y se admite que la botella no sedilata. Se pide:

1. Peso del aire contenido en la botella si está a 0 oC y 114 cm Hg.2. Presión del aire interior cuando se calienta hasta 100 oC.3. Peso del aire que queda dentro cuando, estando en la situación anterior, se abre la llave.4. Presión del aire interior cuando finalmente se cierra la llave y se enfría a 0 oC.

Dato complementario: La densidad del aire en condiciones normales es 1,293 g/l.

Solución:

1. El sistema termodinámico es el aire contenido en la botella.

El estado del sistema se caracteriza por T % 0 oC, V % 10 l, p % 114/76 % 1,5 atm.

La hipótesis usual para el aire en condiciones próximas a las normales es la de gasideal, cuya ecuación de estado es pV % nRT. Por tanto:

n %p1V1

RT1%

1,5 . 10

0,082 . 273% 0,67 mol


www.FreeLibros.me

Masa molar del aire:

Maire % 22,41

mol1,293

g

l% 28,96

g

mol

Peso del aire en la botella:

m % n . M % 0,67 mol . 28,96g

mol

m % 19,4 g

2. El calentamiento desde 0 oC hasta 100 oC es un proceso por el cual se parte del estado ini-cial del sistema (apartado 1) y se acaba en el estado final (apartado 2) caracterizado porT % 100 oC, V % 10 l, y, conocido ya, n % 0,67 mol (cantidad de materia del sistema).

Aplicando la ecuación de estado de los gases ideales:

p2 %nRT2

V2%

0,67 . 0,082 . 373

10% 2,049 atm

p2 % 2,049 atm % 155,7 cm Hg

[Nota: Desde la perspectiva del proceso, dado que la botella se considera indeformable, setrata de un calentamiento isóstero (a volumen constante) y puede aplicarse la 2.a ley deGay-Lussac.]

p

T%

pñ

T ñú pñ % p

T ñ

T% 114

373

273

pñ % 155,7 cm Hg

3. Se trata de otro sistema (otra cantidad de aire: la que queda dentro de la botella). El estadode este sistema se caracteriza por V % 10 l, p % 76 cm Hg (presión exterior % presiónequilibrio) y, al principio, T % 100 oC (hipótesis algo aventurada dada la expansión delgas). En este estado:

n %pV

RT%

1 . 10

0,082 . 373% 0,327 mol

maire % 0,327 mol . 28,96g

m

maire % 9,47 g

4. Proceso de enfriamiento del nuevo sistema una vez cerrada la llave (análogo a 2):

pññ % pT ññ

T76

273

373

pññ % 55,6 cm Hg


www.FreeLibros.me


6.1. Una vasija de 10 l de capacidad, inalterable a los cambios de temperatura, se destapa enun recinto que contiene aire seco a 710 mm Hg de presión y 18 oC de temperatura. Acontinuación, se tapa herméticamente y se destapa después en un lugar donde la presiónes de 630 mm Hg y la temperatura es de .8 oC.

Se desea conocer:

a) Si entra o sale aire la vasija.

b) Cuánto pesa el aire que entra o sale.

(oaire % 0,001293 g/cm3 en condiciones normales de presión y temperatura —0 oC y 760mm Hg—).

6.2. Un depósito de cobre de 50 l de capacidad contiene oxígeno y está provisto de un dispo-sitivo que permite ponerlo en comunicación con la atmósfera. El valor de c (coeficienteadiabático) para el dióxido de carbono (CO2) se comprobó experimentalmente que es de1,3. Si se admite que dicho gas se comporta como un gas ideal, calcúlense:

a) La constante del gas, R.

b) El calor molar a volumen constante, Cv.

c) El calor molar a presión constante, Cp.

(Masas atómicas: oxígeno, 16; carbono, 12).

6.3. Dos depósitos A y B, de 300 y 100 l de capacidad, respectivamente, contienen aire a10 atm y 27 oC, estando conectados entre sí por un tubo de volumen despreciable. El de-pósito mayor (A) se calienta a volumen constante hasta que su presión se duplica, mien-tras se mantienen constantes la temperatura y el volumen del depósito B.

Calcúlese la temperatura final del depósito A.

6.4. Un recipiente rígido y aislado térmicamente del exterior, de 5 l de capacidad, contiene0,05 kg de un gas ideal siendo la presión en el interior de 750 mm Hg y la temperatura50 oC. ¿Cuál será la presión en el interior de un recipiente de las mismas características,de 2 l de capacidad, si se introducen en él 0,006 kg de dicho gas a 0 oC?

6.5. En una vasija, aislada térmicamente, de 3 l de capacidad, hay dióxido de carbono (CO2)a una presión de 23 cm Hg y 10 oC de temperatura. Se introducen, además, 2,4 l de ni-trógeno (N2) a 27 oC y una presión de 73 cm Hg y 5,8 l de hidrógeno (H2) a 0 oC y 1 atmde presión. Se calienta la mezcla a 60 oC hasta alcanzar el equilibrio térmico. En estascondiciones, se desea conocer:

a) Presiones parciales de cada uno de los gases.

b) Presión total en el interior de la vasija.

6.6. Un depósito de cobre, de 50 l de capacidad, contiene oxígeno (O2) y está provisto de undispositivo que permite ponerlo en comunicación con la atmósfera. La presión exteriores de 756 mm Hg y la temperatura ambiente es 20 oC. Se desea conocer:

a) Masa del O2 contenido en la botella si la presión interior es de 120 cm Hg.


www.FreeLibros.me

b) Presión del O2 si se calienta el depósito y el gas interior a 200 oC.c) Cantidad de oxígeno que entra o sale al ambiente si se abre la llave de comunica-

ción con el exterior, manteniendo la temperatura interior a 200 oC.d) Error que se cometería si se considerada la hipótesis de no dilatación del depósito

en ese intervalo de temperaturas.e) Explicitar y justificar las hipótesis utilizadas para resolver los anteriores apartados.

(Masa molecular del oxígeno: MO2% 32; coeficiente de dilatación lineal del cobre:

aCu % 17 . 10.6 oC.1).

6.7. En un recipiente de vidrio hay una cantidad de aire seco que pesa 1,5 g y ocupa unvolumen de 2 l a 0 oC. Después se calienta a 100 oC.

a) Considerando el aire como gas ideal, calcular la presión interior a esa temperatura.b) Calcular la densidad del aire en condiciones normales de presión y temperatura.

(Coeficiente de dilatación cúbica del vidrio: k % 2,58 . 10.5 oC.1. Masa molecular me-dia del aire seco: Maire % 28,9).

6.8. Un tanque de acero contiene 0,0565 m3 de oxígeno (MO2% 32) a una presión de

140,6 kg/cm2 y una temperatura de 21,1 oC. Determinar:

a) Peso del oxígeno en el tanque.b) Si la temperatura se mantiene constante, la presión después de que se hayan esca-

pado 4,536 kg de gas.

6.9. Un globo se infla con 350 l de hidrógeno a condiciones normales de presión y tempera-tura. Cuando el sol calienta el globo, sube la temperatura del gas a 60 oC y el globo seexpande. ¿Cuánta energía calorífica ha absorbido el gas?

(Téngase en cuenta que el gas de los globos aerostáticos permanece a presión at-mosférica. Para el hidrógeno, gas biatómico, se admite: Cp % 7/2 R cal/mol . K).

6.10. Una llanta se infla a una presión manométrica de 2,2 atm a temperatura ambiente de15 oC. Al cabo de cierto tiempo de estar en movimiento el automóvil, la temperatura dela llanta aumenta desde su valor inicial hasta 55 oC, y, al mismo tiempo, su volumenaumenta en un 12%. ¿Cuál es la presión manométrica de la llanta a esa temperatura?


www.FreeLibros.me

PARTEII

En torno al calor

En esta segunda parte, En torno al calor, se estudian los siguientes temas.Primero. El problema de la naturaleza del calor. ¿Qué es calor? ¿Qué es el calor? ¿Cómo se conceptualiza

en la Física el calor? Es decir, el problema del reconocimiento del calor como algo con existencia en la Natu-raleza, existencia propia —distinta e independiente de la temperatura— y magnitud inicialmente primaria. Enresumen, clarificar la idea de calor y caracterizar unos primeros conceptos de calor.

Segundo. Las primeras soluciones teóricas físico-matemáticas, que se ofrecieron para formalizar mate-máticamente fenómenos caloríficos: 1.a La teoría elemental de los intercambios de calor de Lavoisier-Lapla-ce, con una primitiva respuesta al problema de la medición del calor —Calorimetría—; y 2.a La teoría analíti-ca de la conducción del calor de Fourier, que describe el campo térmico y permite calcular (sin pretensionesde medir) los flujos de calor.

www.FreeLibros.me

a

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.me

7.1 La diferencia de temperaturas como causa de los flujos de calor

La experiencia acumulada había permitido descubrir un conjunto de relaciones entre lo quepaulatinamente se concebía como temperatura y lo que se concebía como calor, según se des-cribe a continuación.

a) Si dos cuerpos sólidos, o un sólido y un líquido, o dos líquidos inmiscibles, a distintatemperatura, se ponen en contacto se produce un flujo de calor Q (un tránsito de calor)desde el más caliente (que cede calor) hacia el más frío (que recibe calor), según seesquematiza en la Figura 7.1.

Figura 7.1. Flujo de calor entre dos cuerpos en contacto.

Este flujo de calor se estudia en la Teoría elemental de Lavoisier-Laplace mediante laecuación elemental de los intercambios de calor:

Q % mcBT (7.1)

que relaciona la cantidad de calor que cede o gana un cuerpo (caracterizado por la can-tidad de materia, masa m, y por una propiedad característica, calor específico c) con suvariación de temperatura, que se estudia con detalle en el próximo capítulo. El equili-brio térmico (igualdad de temperaturas entre los cuerpos al final del proceso) se esta-blece aplicando la ecuación de balance térmico entre el calor cedido por el cuerpo ca-liente y el recibido por el frío:

Qcedido % Qabsorbido (7.2)

b) Si entre dos puntos (zonas) de un cuerpo existe una diferencia de temperatura se pro-duce un flujo de calor Q desde la zona más caliente (mayor temperatura, más alto ni-vel de calentamiento) hacia la más fría (menor temperatura, más bajo nivel de calenta-miento), según se esquematiza en la Figura 7.2.

Figura 7.2. Flujo de calor interior en un cuerpo.


www.FreeLibros.me

Este flujo de calor se estudia en la Teoría analítica del calor de Fourier (independien-temente de cuál fuere la naturaleza del calor) mediante la ecuación fundamental :

q %.K grad T (7.3)

donde q es la densidad vectorial de flujo calorífico1, K la conductividad térmica ygrad T el campo vectorial de gradientes de temperatura, causa de que exista un flujo decalor de los puntos de mayor temperatura a los de menor temperatura.

El calor (flujo) es el efecto (consecuencia) de una causa: la diferencia de tempera-tura. El proceso tendería hacia el equilibrio térmico (igualación de temperaturas) demodo que se enfriarían las zonas más calientes y se calentarían las más frías.

c) Si un sólido y un fluido en contacto están a diferente temperatura se produce un flujode calor desde el más caliente (que se enfría) hacia el más frío (que se calienta) segúnse esquematiza en la Figura 7.3.

Figura 7.3. Flujo superficial de calor.

c) Este flujo de calor se estudia como proceso de transmisión del calor por convecciónmediante la ecuación fundamental :

h % h . S . BT (7.4)

donde h es la cantidad de calor por unidad de tiempo, S la superficie objeto de estudiode separación sólido-fluido y h la constante característica de la convección.

7.2 Expresiones físico-matemáticas del calor

En los tres tipos de fenómenos (concebidos como tales, procesos de transmisión de calor) quese han descrito en el apartado anterior, el calor se ha expresado de diferentes formas.

Primero, como cantidad de calor, Q, que se intercambia entre los cuerpos.Segundo, como densidad (vectorial) de flujo de calor, q; es decir, cantidad de calor por

unidad de tiempo y unidad de superficie:

dQ % (q . dS) . dt (7.5)

1 q %Q

S . BT%

h

S; h %IS I q . dS

CAPÍTULO 7. El problema de la naturaleza del calor 111

www.FreeLibros.me

o bien, simbólicamente:

q %Q

t . S(7.6)

Tercero, como flujo de calor, h ; es decir, cantidad de calor por unidad de tiempo:

h %Q

t(7.7)

En resumen: el calor es efecto de la existencia de una diferencia de temperatura, que actúacomo causa del flujo calorífico.

7.3 El flujo de calor como causa de diferencias de temperatura

La experiencia acumulada, anteriormente descrita, se completaba con esta otra visión añadidaque se expone a continuación.

Primero. Los fenómenos/procesos descritos en el apartado anterior también pueden contem-plarse desde otra perspectiva: el flujo de calor como causa de la variación de temperatura enlos cuerpos. Si un cuerpo se calienta (se le da calor, recibe calor, absorbe calor), aumenta sutemperatura; si se enfría (se le retira calor, da calor, cede calor), disminuye su temperatura. Elcaso formulado en la Ecuación (7.1) es, quizás, el que más claramente se contempla desde estaperspectiva y así se considera formalmente al aplicar las ecuaciones de balance calorífico,(7.2), para calcular —consecuencia, efecto— la temperatura final (de equilibrio) en los proce-sos de intercambio de calor.

Segundo. En los capítulos de Dilatación de sólidos (4), y de líquidos (5) y Teoría de ga-ses (6), no se ha hablado explícitamente de calor, sólo de la dilatación térmica de los cuerpos:la diferencia de temperaturas de un cuerpo, entre dos instantes (no registrados), como causade la dilatación (o contracción) del cuerpo, pero sin reparar en la causa que producía el saltotérmico en el cuerpo. Las primeras observaciones históricas eran claras: el calentamiento, laentrega de calor al cuerpo, la absorción de calor por el cuerpo.

7.4 Naturaleza primitiva del calor: la era del calórico

Los conocimientos observacionales descritos facilitaban la construcción de una idea acerca dela naturaleza del calor:

1. El calor es algo que fluye (puede fluir) de un cuerpo a otro, de una zona a otra de uncuerpo.

2. El calor es bien efecto o bien causa de una diferencia de temperaturas —entre dos pun-tos, entre dos cuerpos, entre dos instantes— y está ligado con ella.


www.FreeLibros.me

3. El calor es una sustancia —el «calórico»—, fluido imponderable, invisible, indestructi-ble y que, de alguna manera, estaría en los cuerpos, pasando de los más calientes a losmás fríos, e incluso permaneciendo en cantidad invariable.

En esta era científica termológica del calórico y con esta noción, no sólo predominante sinocasi exclusiva, fueron posibles nada menos que dos acontecimientos intelectuales cruciales yotros dos experimentos cruciales.

Los acontecimientos cruciales en la historia intelectual de la Física, compatibles con la no-ción del calórico, idea fuertemente instalada y de la que fue difícil desprenderse como de todaslas instaladas o establecidas aunque poco después se rechazaría totalmente, fueron éstos:

1. 1808, J. B. Fourier. Teoría analítica del calor.2. 1824, S. Carnot. Reflexiones sobre la potencia motriz del fuego (primera manifestación

del segundo principio de la Termodinámica, aunque permaneciera desconocida durantebastante tiempo).

Los dos experimentos cruciales para el conocimiento de la naturaleza del calor que cam-bian las ideas, que modifican las concepciones básicas, fueron los siguientes:

1. 1798: B. Thompson, Conde de Rumford (1753-1814), en el arsenal militar de Múnichobservó y comprobó que al barrenar los tubos de cañón se calentaba todo: barreno,tubo, virutas metálicas, ambiente... ¿De dónde sale «tanto calor» (prácticamente infini-to)? ¿Dónde está acumulado?

2. 1799: H. Davy (1778-1829) fundió dos trozos de hielo a .2 oC, en el vacío, frotándo-los uno contra otro y obtuvo agua a !2 oC. Si el calor se conservara no podría apareceren un sitio sin que desapareciera en otro.

A partir de estas experiencias, entre otras, se fue intuyendo que el trabajo mecánico es equi-valente al calor: el trabajo puede producir calor; el calor puede producir trabajo.

7.5 Naturaleza clásica del calor: forma de energía2

En Termodinámica Clásica3 se estudia con cierto detalle la historia del principio de conserva-ción de la energía, así como este otro concepto: energía.

El calor es una de las posibles formas o manifestaciones de la magnitud física (más gene-ral) que se denomina energía.

El calor no es algo que está en los cuerpos, no es energía de/en un cuerpo sino energía entránsito; no es una función de estado (no depende de las variables que caracterizan o determi-nan el estado de un sistema), sino que es una magnitud de proceso, de intercambio, de flujo. Laenergía que está en un cuerpo es energía interna; la energía que fluye (transita, se transmite,pero no se acumula) es calor.

El calor puede considerarse como efecto (de la transformación) de otra forma de energía ytambién como causa (por su transformación) de otras formas de energía.

2 Nota: la Modernidad acaba (en la Física) en torno a Planck y a Einstein, ]1900.3 Véanse los temas correspondientes a la Parte III de este libro.

CAPÍTULO 7. El problema de la naturaleza del calor 113

www.FreeLibros.me

7.6 Naturaleza del calor: perspectiva físico-matemática

La conceptualización de toda magnitud física precisa también su caracterización matemática;pero esto, con rigor, sólo puede hacerse para una teoría física determinada y en el seno de unateoría física determinada. Por lo que respecta a la magnitud calor, puede caracterizarse por lasnotas siguientes:

a) Es un concepto de referente natural macroscópico.b) No es una variable de estado ni tampoco una función del estado de un sistema; es una

variable asociada a los procesos termológicos; por tanto, magnitud de proceso.c) Desde la perspectiva del Análisis Dimensional es una magnitud primaria, bien se con-

ciba como calor (en las teorías pretermodinámicas) o bien como energía (en Termodi-námica); en consecuencia, indefinida. Hay que «caracterizarla tanto como se pueda»,no puede «definirse» mediante una fórmula en función de otras variables.

d) Topológicamente es una variable escalar real relativa.

QT � % {.ä, ä}

e) Algebraicamente es un espacio vectorial real lineal unidimensional isomorfo con �(�):

Q(�) T �(�)

de modo que puede establecerse entre sus elementos (cantidades de calor) una rela-ción de comparación, fundamento para la introducción de las ideas de unidades y me-didas de cantidades de calor.


www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.me

8.1 Fundamentos teóricos

8.1.1. Magnitudes primarias específicas

De las visiones antiguas cuya estructura de conocimiento, en parte importante, se conserva enla actualidad, la más simple es la que hemos denominado Teoría elemental de los intercambiosde calor debida a los trabajos de Lavoisier y Laplace.

Las magnitudes primarias específicas1 de esta teoría son la temperatura y el calor, magni-tudes físicas indefinidas que se han caracterizado en los Capítulos 2 y 7, respectivamente.

La temperatura (véase Capítulo 2) se ha concebido como nivel de calentamiento de uncuerpo, de una sustancia, de un sistema; es decir, asociada al «todo» —cuerpo— como un enteúnico de referente total. Esta propiedad macroscópica caracteriza, con otras, el estado del cuer-po, como ente unitario, mediante un único valor real positivo:

T T �!

0

El calor (véase Capítulo 7) es una magnitud de proceso, fluye de unos cuerpos (calientes) aotros (fríos); es también magnitud macroscópica, pero relativa ya que puede manifestarse me-diante cantidades positivas o negativas.

Q T �

8.1.2. Formalismo de la teoría

Esta teoría física se constituye mediante una ley fundamental y un principio.

1. La ley fundamental de los intercambios de calor es una ley de proporcionalidad entre(la cantidad de) el calor que recibe o cede un cuerpo y el consiguiente aumento o dis-minución de su temperatura; es decir:

Q ã BT (8.1)

La ecuación fundamental correspondiente introduce la constante característica deproporcionalidad denominada capacidad calorífica del cuerpo:

Q % CBT (8.2)

La capacidad calorífica del cuerpo se puede definir «secundariamente» a partir dela ecuación anterior:

C %Q

BT(8.3)

y, dimensionalmente,

[C] %[Q]

[T]%

Q

h(8.4)

1 Magnitudes primarias no específicas son longitud, duración, masa y fuerza, introducidas por la Dinámica clásica.Específicas son las propias de la teoría.


www.FreeLibros.me

Dado que el cuerpo objeto de estudio, desde los tiempos de Newton, se caracterizaprincipalmente por su masa, se acepta este concepto ya establecido de modo que la ca-pacidad calorífica del cuerpo se exprese también como relación de proporcionalidadcon la masa:

C % c .m (8.5)

por medio de una nueva constante característica, c, denominada calor específico de lasustancia del cuerpo:

c %C

m(8.6)

cuya fórmula dimensional es, por tanto:

[c] %[C]

[m]%

[Q]

[m] [T]%

Q

M . h(8.7)

De este modo, considerando tres magnitudes primarias (masa, temperatura y calor), laley fundamental de los intercambios de calor se expresa de la forma siguiente:

Q % c .m . BT (8.8)

A continuación se presenta la Tabla 8.1 con los calores específicos de distintos ma-teriales en las condiciones de 1 atm de presión y 20 oC.

Tabla 8.1

Calor específicoSustancia

J/kg . oC cal/g . oC

Alcohol (etílico) 2.400 0,58

Aluminio 900 0,22

Cadmio 230 0,055

Cobre 390 0,093

Germanio 322 0,077

Hierro 450 0,11

Latón 380 0,092

Madera 1.700 0,41

Mármol 860 0,21

Mercurio 140 0,033

Oro 129 0,031

Plata 230 0,056

Plomo 130 0,031

Silicio 703 0,168

Vidrio 840 0,20

CAPÍTULO 8. Teoría elemental de los intercambios de calor de Lavoiser-Laplace: calorimetría 117

www.FreeLibros.me

Para el agua:

Tabla 8.2

Calor específicoSustancia

J/kg . oC cal/g . oC

Hielo (.5 oC) 2.100 0,50

Agua (15 oC) 4.186 1,00

Vapor (110 oC) 2.010 0,48

2. El principio denominado de balance térmico o de equilibrio térmico, que iguala —comocondición de equilibrio— el calor absorbido por un cuerpo con el calor cedido por otro;es decir, iguala cantidades de calor sin necesidad de establecer relaciones entre cantida-des de magnitudes diferentes.

Qabsorbido % Qcedido (8.9)

Se hace notar expresamente que esta teoría física no precisa de un referencial espa-cio-temporal y, en sí misma, en principio, tampoco de la métrica de los cuerpos2.

8.1.3. Ampliación de la teoría para cambios de fase

El esquema formal básico de la teoría elemental de los intercambios de calor representado porlas ecuaciones siguientes:

(Ley) Q% c .m . BT (8.13)

(Principio) Qabsorbido % Qcedido (8.14)

2 EscolioIntroducido el concepto de energía en la Física y considerado el calor como una forma de energía, aparece la constan-

te relacional entre las magnitudes, en principio diferentes, de calor y trabajo, J, tal que:

W % J . Q (8.10)

siendo J, en esta simbología clásica, el equivalente mecánico del calor (4,18 julios/caloría). Con la simbología «oficial» laactual J es el símbolo de la unidad SI de trabajo, del «joule» (o julio, en español). Con esta consideración actual las rela-ciones clásicas se expresan de las formas siguientes:

4,18 (J) % 4,18 (J/cal) . 1 (cal) (8.11)o bien

1 (J) . 1

4,18(cal/J) % 0,24 (cal) (8.12)

Actualmente se expresa el calor directamente en J —julios—, habiendo desaparecido prácticamente la consideraciónclásica.


www.FreeLibros.me

se completa, cuando el intercambio tiene lugar durante un cambio de fase con una nueva leyfundamental, también de proporcionalidad, entre el calor absorbido o cedido y la masa delcuerpo:

Q ã m (8.15)

que da origen a la ecuación fundamental:

Q % L .m (8.16)

donde L es una constante característica de la sustancia en el cambio de fase (que tiene lugar atemperatura constante), constante característica que recibe el nombre de calor de transforma-ción (antiguamente calor latente), y que formalmente se definiría:

L %Q

m(8.17)

siendo su fórmula dimensional:

[L] %[Q]

[m]%

Q

M(8.18)

La nueva ley introduce una nueva constante característica y, en consecuencia, no se alterael panorama dimensional de la teoría cuya base sigue siendo {M, h, Q}.

Las unidades tradicionales de esta teoría primitiva son: de temperatura, el grado (centígra-do); de calor, la caloría; de masa, el gramo. La caloría se definía como la cantidad de calornecesario para elevar la temperatura de un gramo de agua de 14,5 a 15,5 oC.

En la Tabla 8.3 se muestran las temperaturas de cambio de fase y los calores de transforma-ción, a 1 atm de presión, de distintas sustancias.

Tabla 8.3 Temperaturas de cambio de fase y calores de transformación (a 1 atm).

Sustancia

Puntode fusión

Calor latentede fusión

Punto deebullición

Calor latentede vaporización

(oC) (J/kg) (cal/g) (oC) (J/kg) (cal/g)

Agua 0 3,33 . 105 80 100 22,6 . 105 540

Alcohol etílico .114 1,04 . 105 25 78 8,5 . 105 204

Aluminio 660 3,97 . 105 95 2.450 1,14 . 107 2.736

Amoniaco .77,8 0,33 . 105 8,0 .33,4 1,37 . 105 33

Azufre 119 0,38 . 105 9,1 444,6 3,26 . 105 78,2

Hierro 1.808 2,89 . 105 69,1 3.023 63,4 . 105 1.520

Nitrógeno .210 0,26 . 105 6,1 .195,8 2,0 . 105 48

Oro 1.063 0,64 . 105 15,3 2.660 15,8 . 105 379

Oxígeno .218,8 0,14 . 105 3,3 .183 2,1 . 105 51

Plata 961 0,88 . 105 21 2.193 23 . 105 558

Plomo 327 0,25 . 105 5,9 1.750 8,7 . 105 208


www.FreeLibros.me

8.2 Calorimetría

8.2.1. Principios de balance térmico

Las experiencias para calcular —presupuestamente medir indirectamente— calor se interpretandesde la aceptación de dos principios:

1. Principio de igualdad de los intercambios de calor (expresado con carácter general enel esquema formal de la teoría: Qa % Qc). Los problemas prácticos que se presentanson de estas índoles:a) El aislamiento de los cuerpos que ceden y reciben calor de las acciones y contacto

con el exterior.b) El conocimiento de cuáles son los que se enfrían y cuáles los que se calientan.

2. Principio de las transformaciones inversas3 que considera idénticos:a) Las cantidades de calor absorbido por un cuerpo para un salto térmico (!t oC) y

las cantidades de calor cedido por ese cuerpo para la caída térmica inversa (.t oC).b) Los calores de transformación de fase en los procesos inversos (ejemplo: tránsito

de sólido a líquido y de líquido a sólido; Lf % Ls, calor de fusión igual a calor desolidificación).

8.2.2. Consideraciones en torno a sólidos y líquidos

1. De manera análoga a los temas de dilatación en el estudio de sólidos y líquidos seprescinde de la consideración de la presión, variable de naturaleza mecánica.

2. El calor específico, desde la perspectiva dimensional, es una constante característicade los cuerpos (propiamente de las sustancias). Cada uno tiene un valor que le es pro-pio.

3. El calor específico, a su vez, puede depender de la temperatura, c % c(T). Según cómose considerara el referente (sustancia «abstracta» y cuerpo «concreto») podría hablarsetambién de la dependencia con la historia del material, con la composición, con el pro-pio proceso de intercambio de calor, etc.

8.2.3. Consideraciones en torno a los gases

1. En el estudio de los gases, como pudo comprobarse en el Capítulo 6, en contraste conel correspondiente estudio de sólidos y líquidos juega un papel importante la presión,magnitud considerada como de naturaleza mecánica.

2. En los gases, considerados como «sistemas {p, V, T}», las variaciones de temperaturase relacionan —a través de la ecuación de estado— con las variaciones de volumen y/olas de presión. Es posible calentar (ceder calor a) un gas, y observar su dilatación sinque cambiara la temperatura (denominado proceso isotérmico). Esto significaría:

Q % C .m . BT ; BT % 0 ú c % ä

3 Inverso aquí se refiere a «proceso» (a la inversión del proceso físico), no al concepto algebraico.


www.FreeLibros.me

es decir, que el calor específico, c, con las definiciones usuales, sería infinito, lo quecarece de sentido. En consecuencia, el calor específico de un gas se hace depender delas condiciones —de presión y volumen— en las que recibe calor.

3. Esto invita (como en el Capítulo 6) a separar conceptualmente dos tipos básicos de pro-cesos: isóbaro, p % cte, e isóstero, V % cte. Y así, se introducen dos tipos de caloresespecíficos: calor específico a volumen constante y calor específico a presión constante.

Figura 8.1

a) Si el proceso de intercambio de calor se realiza a presión constante, en el procesotiene lugar, además del aumento de temperatura, una expansión, es decir, una pro-ducción de trabajo. En este caso:

Q % cp.m . BT (8.19)

b) Si el proceso se realiza a volumen constante, todo el calor se gasta en incrementarla temperatura (también incremento de la presión), pero no hay trabajo de expan-sión. En este caso:

Q% cV. m . BT (8.20)

siendo siempre cp b cV.

4. La cantidad de materia, o de sustancia, en los gases suele considerarse desde la pers-pectiva del número de moles, con más frecuencia que desde la perspectiva de la masa.Por tanto, las ecuaciones correspondientes son:

Q % Cp. n . BT (8.21)

Q % CV. n . BT (8.22)

donde Cp y CV representan los calores molares a presión constante y a volumen cons-tante, respectivamente (véase Tabla 8.4).

Las relaciones entre los calores molares, Cp y CV, y los calores específicos, cp y cV,correspondientes se deducen de la noción de capacidad calorífica, por ejemplo, de laforma siguiente:

m . cp % n . Cp ; m . cV % n .CV (8.23)

Cp %m

n. cp % M . cp ; CV %

m

n. cV % M . cV (8.24)

donde M es la masa molecular del gas.


www.FreeLibros.me

Tabla 8.4 Calores específicos y calores molares de gases a 15 oC.

Gas

Calores específicos(cal/g . K)

Calores molares(cal/mol . K) Cp . CV

(cal/mol .K) ccc %Cp

CVcV cp CV Cp

Monoatómicos

Ar 0,075 0,126 3,01 5,00 1,99 1,67

He 0,745 1,245 2,98 4,98 1,99 1,67

Ne 0,148 0,246 2,98 4,97 1,99 1,67

Biatómicos

H2 2,45 3,445 4,90 6,89 1,99 1,40

N2 0,177 0,248 4,96 6,95 1,99 1,40

O2 0,155 0,218 5,03 7,03 2,00 1,40

Triatómicos

CO2 0,153 0,199 6,80 8,83 2,03 1,30

H2O (100 oC) 0,350 0,482 6,20 8,20 2,00 1,32

8.2.4. Expresiones diferenciales

Utilizando las expresiones correspondientes del cálculo diferencial asociadas a procesos infini-tesimales, las ecuaciones anteriores se expresarían de las formas siguientes.

a) Ecuaciones fundamentales de los intercambios de calor:

dQ % C . dT (8.25)

dQ % c .m . dT (8.26)

dQ% L . dm (8.27)

b) Principio de equilibrio térmico:

dQa % dQc (8.28)

c) Capacidad calorífica y calor específico:

C %dQ

dT; c %

1

m. dQ

dT(8.29)

d) Calores molares de gases (para un mol, n % 1):

Cp % ALQ

LTBp

; CV %ALQ

LTBV

(8.30)


www.FreeLibros.me

8.2.5. Relación de MayerSi las Ecuaciones (8.21) y (8.22):

Q % Cp. n . BT ; Q % CV

. n . BT

se aplican a n % 1 mol y BT% 1 oC, se obtienen las relaciones numéricas (en sus correspon-dientes unidades coherentes):

Q(p) % Cp ; Q(V) % CV

Dado que:Q(p) % Q(V) ! W

Se obtiene la relación numérica:Cp % CV ! W (8.31)

Aplicación a los gases ideales

Sea 1 mol de un gas en un estado inicial (p, V, T ) y en un estado final (p, V ! BV, T ! 1o).Aplicando la ecuación de estado de los gases ideales en los dos casos:

p .V % R . T

p(V ! BV ) % R(T ! 1)

y restando una de otra, se obtiene la igualdad numérica:

p . BV % R ú W % RSustituyendo en (8.31):

Cp . CV % R (8.32)

que se denomina relación de Mayer, ecuación homogénea (y no sólo relación numérica).Teniendo en cuenta los valores de R:

Cp . CV % R ] 2 cal . mol.1 . K.1% 8,31 J . mol.1 . K.1

El cocienteCp

CV

se denomina coeficiente de expansión adiabática y se suele representar porla letra c.

Para gases monoatómicos:

Cp %5

2. R ] 5 cal .mol.1 . K.1

CV % Cp . R %5

2R . R %

3

2R ] 3 cal .mol.1 . K.1

Para gases biatómicos:

Cp %7

2. R ] 7 cal .mol.1 . K.1

CV % Cp . R %7

2R . R %

5

2R ] 5 cal .mol.1 . K.1

A bajas temperaturas todos los gases tienden a comportarse como monoatómicos.


www.FreeLibros.me


8.1 En un calorímetro sin pérdidas cuyo equivalente en agua es de 101 cal/grado y cuya tempe-ratura inicial es de 20 oC se echan 250 cm3 de agua a 40 oC, 100 g de Fe a 98 oC y 80 g dehielo fundente.

Calcúlese la temperatura de equilibrio.

Datos complementarios: Lfusión%80 cal/g; cagua%1 cal/g . grad; cFe%0,109 cal/g . grad

Solución:

Las temperaturas iniciales conocidas, ordenadas de menor a mayor, son:

Hielo (0 oC); calorímetro (20 oC); agua (40 oC); hierro (98 oC)

Las temperaturas posibles de equilibrio son:Hipótesis 1: 0 oCHipótesis 2: (0-20) oCHipótesis 3: 20 oCHipótesis 4: (20-40) oCHipótesis 5: 40 oCHipótesis 6: (40-98) oC

Los problemas de este tipo se resuelven mediante un proceso iterativo o de tanteo.

Hipótesis 1: 0 oC

La fusión del hielo requiere: Q % m .Lh % 80 g . 80cal

g% 6.400 cal.

El enfriamiento del resto del sistema hasta 0 oC requeriría:

Qñ % k(tc . th) ! maca(ta . th) ! mFecFe(tFe . th)

Qñ % 101(20 . 0) ! 250 . 1(40 . 0) ! 100 . 0,109(98 . 0) % 13.088,2 cal

Qa Qñ ú tequilibrio b 0 oC

Hipótesis 2: 20 oC

Q % mh[Lh ! ca(20 . 0)] % 8.000 cal

Qñ % maca(40 . 20) ! mFecFe(98 . 20) % 5.850,2 cal

Qb Qñ ú tequilibrio a 20 oC

Hipótesis 3: (0-20) oC

Por el principio de conservación de la energía: Qabsorbido % Qcedido

mh[Lh ! ca(teq . 0)] % k(tc . teq) ! maca(ta . teq) ! mFecFe(tFe . teq)

tequilibrio % 15 oC


www.FreeLibros.me

8.2 Determínese el valor del coeficiente adiabático c para el gas argón, si se necesitan 254 calpara elevar en 2 oC la temperatura de 1 kg de esta sustancia a la presión normal y se liberan486 cal al enfriar argón desde 100 oC hasta 0 oC a un volumen constante de 5 l. La presióninicial del argón enfriado es de 10 atm y su masa molecular 40.

Solución:

Coeficiente adiabático:

c %Cp

CV

%cp

cV

; Cp % M cp ; CV % M cV

Las fórmulas de los procesos de calentamiento y enfriamiento indicados son:

Q1 % m1cpBT1 ; Q2 % m2cVBT2

Dividiéndolas resulta:

Q1

Q2%

m1

m2

cp

cV

BT1

BT2ú c %

cp

cV

%Q1

Q2

m2

m1

BT2

BT1

donde:Q1 % 254 cal ; Q2 %.486 cal ; BT1 % 2 oC ; BT2 %.100 oC ; m1 % 1 kg

En la hipótesis de que el argón se comporta como un gas ideal puede utilizarse la ecuaciónde estado de los gases ideales. Aplicándola al estado inicial del segundo sistema:

pV % nRT ; n %m

Mú m2 %

pVM

RT

c %Q1

Q2

. pVM

RTm1

. BT2

BT1%

254

.486. 10 . 5 . 40

0,082 . 373,15 . 1 . 103. (.100)

2

c % 1,7068

8.3 Un herrero ha de colocar una llanta circular de hierro de 1 m de diámetro a una rueda demadera de igual diámetro. Con objeto de poder ajustarla, calienta la llanta hasta conseguirque su radio supere en 2 mm al de la rueda. Sabiendo que la llanta pesa 4 kg, la temperaturaambiente es de 20 oC, el calor específico del hierro 0,11 cal/g . oC y su coeficiente de dilata-ción lineal a % 1,22 . 10.5 oC.1, se pide:

a) Temperatura, en oC, a que debe calentarse la llanta para cumplir las condiciones ex-puestas.

b) Expresar dicha temperatura en oF y K.c) Kilocalorías absorbidas por la llanta en el proceso de calentamiento.

Solución:

a) dt % d20 (1 ! aBT)

1,004 % 1(l ! 1,22 . 10.5BT ) BT % 328 oC


www.FreeLibros.me

b) tF % 32 !9

5t % 32 !

9

5348 % 658 oF tF % 658 oF

T % 273,15 ! 348 % 621,15 K T % 621,15 K

c) Q % m . c . BT % 400 g . 0,11cal

go C. 328 oC % 144.320 cal % 144,320 kcal

Q % 144.320 cal % 144,320 kcal

8.4 En un calorímetro (de equivalente en agua k % 10 cal/grado) con 100 g de hielo, ambos a.10 oC, se añaden 200 g de agua a 80 oC. Se pide:

a) Temperatura final de la mezcla.b) Cantidad de vapor de agua a 100 oC que habría que introducir para que la temperatura

final fuera de 90 oC.

(chielo % 0,5 cal/g . grad; cagua % 1 cal/g . grad; L f % 80 cal/g; Lv % 540 cal/g).

Solución:

a) Calor que cedería el agua si tuviera que pasar de 80 oC a 0 oC:

Qñc % c . m . BT % 1 . 200 . 80 % 16.000 cal

Calor que necesitaría absorber el hielo (a .10 oC), en el recipiente considerado, parafundirse:

Qña % ch. mh

. BT ! mh. L f ! k . BT

Qña % 0,5 . 100 . 10 ! 100 . 80 ! 10 . 10 % 8.600 cal

Por tanto, existe calor suficiente para fundir el hielo; la temperatura t estará compren-dida entre 0 y 80 oC. Aplicando el principio de conservación de la energía:

Qabsorbido % Qcedido

Qabsorbido % Qfusión ! Qagua ! Qcalorím.

8.600 ! 1 . 100 . t ! 10 . t % 1 . 200 . (80 . t)

310 t % 7.400

t % 23,87 oC

b) El sistema anterior consiste en un calorímetro con 300 g de agua a 23,87 oC; el calor nece-sario para elevar su temperatura hasta los 90 oC es:

Qa % 10 . BT ! 1 . 300 . BT% 310 (90 . 23,87) % 20.500,3 cal

El calor cedido por una masa m de vapor de agua a 100 oC hasta el equilibrio a 90 oCsería:

Qcedido % Lv. m ! cagua

. m . BT % 540 . m ! 1 . m . 10 % 550 .m


www.FreeLibros.me

Y, por el principio de conservación de la energía:


550 .m % 20.500,3

m% 37,3 g

8.5 Un trozo de hielo de 200 g a 0 oC se introduce en 500 g de agua a 20 oC. El sistema se en-cuentra en un recinto de capacidad despreciable y aislado de sus alrededores. Se pide:

a) ¿Cuál es la temperatura final de equilibrio del sistema?

b) ¿Qué cantidad de hielo se funde?

(Calor latente de fusión del hielo: L f % 80 cal/g).

Solución:

a) Cantidad de calor que necesitaría absorber el hielo para fundirse en su totalidad:

Qña % L f. m % 80 . 200 % 16.000 cal

Cantidad de calor que podría ceder el agua enfriándose hasta 0 oC (el recipiente es talque no aporta calor: C % c .m r 0):

Qñc % ca.ma

. BT % 1 . 500 (20 . 0) % 10.000 cal

Dado que Qña b Qñc, el hielo no se funde en su totalidad y, por tanto, la temperatura deequilibrio del sistema es 0 oC.

b) Aplicando el principio de conservación de la energía:


10.000 % L f.m % 80 .m ú m%

10.000

80

m % 125 g

8.6 Un calorímetro de aluminio de 200 g contiene 500 g de agua a 20 oC. Por otra parte, se ca-lientan 300 g de virutas de aluminio a 100 oC y se depositan en el calorímetro. El calor espe-cífico del aluminio es 0,215 cal/g . K. Se pide:

a) Determinar la temperatura final del sistema.

b) Si el calorímetro se utiliza para realizar un «medida exacta» del calor específico delaluminio, ¿cuál debería ser la temperatura inicial del agua y del recinto para minimizarel error debido al intercambio del calor con los alrededores si la temperatura ambientees de 20 oC?


www.FreeLibros.me

Solución:

a) Aplicando el principio de conservación de la energía:


Qcedido % Cv.mv

. Bt % 0,215 . 300 . (100 . t)

Qabsorbido % (ca.ma ! cc

.mc)BT % (1 . 500 ! 0,215 . 200)(t . 20)

64,5 (100 . t) % 543 (t . 20)

t % 28,5 oC

b) Se considera, en general, que para obtener un error mínimo, la temperatura media entre lainicial y la final del calorímetro debería ser la temperatura ambiente. Sean ti y t f, respecti-vamente.

Qcedido % 0,215 . 300 . (100 . tf ) % 64,5 . (100 . tf )

Qabsorbido % 543 (tf . ti)

Por el principio de conservación de la energía:


64,5 (100 . tf ) % 543 (tf . ti) (1)

Por otra parte:

ti ! tf2

% tamb % 20 oC

tf % 40 . ti (2)

Resolviendo el sistema formado por (1) y (2):

ti % 15,5 oC


www.FreeLibros.me

E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S8.1. Se consideran tres cuerpos, de la misma sustancia, de masas m1, m2, m3 y temperaturas

T1, T2, T3, respectivamente, que se encuentran aislados térmicamente del exterior. Si seponen en contacto entre sí, ¿cuál será la temperatura de equilibrio?

8.2. Una aleación está formada por plata y cobre cuyos calores específicos son 0,057 y0,095 cal/g . oC, respectivamente. Se calienta ésta a 100 oC y se colocan 250 g de ellaen un calorímetro de capacidad calorífica 300 cal/oC, con lo que se observa que la tem-peratura de éste se eleva de 10 oC a 14,6 oC. ¿Cuál es la ley de la aleación?

8.3. Un recipiente cilíndrico de acero de 20 cm de diámetro y 18 cm de altura, abierto porla parte superior, se llena totalmente (hasta enrasar con el borde) de un líquido de coe-ficiente de dilatación cúbica k % 1,7 . 10.3 oC.1, estando todo el conjunto 25 oC. Poste-riormente se calienta dicho conjunto a 100 oC. Se pide:

a) Volumen del líquido en el recipiente una vez alcanzados los 100 oC.

b) Si se han necesitado 500 kcal para lograr esa temperatura, ¿cuál es el calor especí-fico del líquido?

c) ¿Qué altura tiene el líquido en el recipiente una vez que recupera la temperaturainicial de 25 oC?

[Coeficiente de dilatación lineal del acero: a % 1,1 . 10.5 oC.1; densidad del líquido(a 25 oC): o % 4,7 g/cm3].

8.4. En un recipiente cilíndrico de capacidad calorífica 10 cal/grado con 5 litros de agua,ambos a 30 oC, se introducen 50 g de cierto material a 150 oC.

Determinar:

a) El calor específico de ese material, sabiendo que no se produce evaporación deagua y la temperatura de equilibrio es 60 oC.

b) Temperatura a la que habría que haber introducido el material para que se evapora-sen 25 g de agua.

(Densidad del agua: o % 1 g/cm3; calor específico del agua: c % 4,18 J/g . oC; calorde vaporización: Lv % 2.257,2 J/g).

8.5. En un recipiente, de paredes adiabáticas, se introducen tres cuerpos de masas m1, m2,m3; de calores específicos c1, c2, c3, y cuyas temperaturas iniciales son: t1 % 10 oC,t2 % 50 oC, t3 % 100 oC, respectivamente. Sabiendo que se verifican las igualdades si-

guientes:m1

1%

m2

2%

m3

3y

c1

5%

c2

4%

c3

6, determinar la temperatura de equilibrio del

conjunto.

8.6. En un depósito de cierto material de dimensiones 6 . 9 . 10 m3, y coeficiente de dilata-ción lineal a % 3,3 . 10.5 oC.1, se introducen 9 . 105 kg de gasolina, siendo la tempera-tura del conjunto 15 oC.

a) ¿Qué espacio queda vacío en el depósito al producirse un brusco descenso de latemperatura hasta estabilizarse en 3 oC?


www.FreeLibros.me

b) ¿Cuánto calor absorbe el líquido si, posteriormente, asciende la temperatura hasta23 oC?

c) Especificar las hipótesis realizadas para la resolución de los apartados anteriores.

Datos complementarios de la gasolina: calor específico: c % 0,19 cal/g . oC; coeficien-te de dilatación cúbica: 17 . 10.5 oC.1; densidad: o % 1,7 g/cm3.

8.7. Una vasija de aluminio de 150 g contiene 6 cubitos de hielo de 8 g cada uno, encon-trándose el conjunto a .5 oC. Si en la vasija se añade 1 l de agua a 25 oC, calcúlese latemperatura de equilibrio del sistema especificando, previamente, las hipótesis utili-zadas.

(Calor específico del hielo: chielo % 0,5 cal/g . oC; calor específico del aluminio:cAl % 0,214 cal/g . oC; calor latente de fusión del hielo: L f % 80 cal/g).

8.8. Para determinar el calor específico de cierto material se mide la variación de tempera-tura que tiene lugar cuando una porción del material se coloca en un recinto de paredesadiabáticas, recubierto en su interior por el mismo material, y que contiene agua.

La porción del material tiene una masa de 200 g y una temperatura inicial de300 oC. El recubrimiento interior del recinto tiene una masa de 100 g y contiene 500 gde agua a una temperatura inicial de 15 oC. Si la temperatura final es 85 oC, determinar,especificando las hipótesis realizadas previamente:

a) Calor específico del material.b) Volumen final de la pieza.

Datos complementarios del material: densidad a 300 oC: o % 3,2 g/cm3; coeficientede dilatación lineal: a % 1,8 . 10.6 oC.1.

8.9. En un recipiente aislado térmicamente, de capacidad calorífica despreciable, se intro-ducen 50 g de agua destilada a 8 oC y 240 g de hielo a .10 oC, de calor específico0,5 cal/g . oC. Determínese:

a) Temperatura de equilibrio.

b) Proporción de hielo y agua en dicho equilibrio.

c) Masa de plomo (de calor específico: cPb % 0,031 cal/g . oC) a 300 oC que habríaque añadir al sistema para conseguir que se vaporizara por completo.

(Calor de vaporización del agua: Lv%540 cal/g; calor de fusión del hielo: Lf%80 cal/g).

8.10. Una bala de 3,5 g que se mueve con una velocidad de 174 m/s penetra en un saco dearena y se detiene. Determinar el incremento en la temperatura de la bala si toda suenergía cinética se transforma en calor que es absorbido por la bala.

8.11. En un calorímetro de equivalente en agua 95 cal/grado en el que hay 210 g de agua y50 g de hielo, todo a 0 oC, se introducen 38 g de agua a 90 oC.

Determinar cuáles serán las condiciones finales del sistema cuando se alcance elequilibrio.

(Calor de fusión del hielo: Lf % 80 cal/g).


www.FreeLibros.me

8.12. En un calorímetro de capacidad calorífica despreciable en cuyo interior hay 250 g deagua a 18 oC se introduce una pieza de metal de 45 g a 94 oC.

Determinar el calor específico de dicho metal.

8.13. Se desea calentar 500 g de agua a 15 oC hasta la temperatura de 95 oC con un calenta-dor de 480 W de potencia. ¿Cuánto tiempo tardará?

8.14. En un recipiente metálico de 27 kg que contiene 90 kg de hielo a .18 oC se añaden15 kg de agua a 100 oC. Cuando se alcanza el equilibrio térmico, se inyecta vapor deagua a 100 oC.

Determinar:

a) Condiciones térmicas del equilibrio cuando se empezó a inyectar el vapor.b) Cantidad de vapor de agua que hay que introducir para que todo el conjunte esté

a 22 oC.


www.FreeLibros.me

a

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.me

9.1 Consideraciones preliminares

9.1.1. Objeto

El objeto de este capítulo consiste en el estudio del campo térmico en los medios materialessólidos; es decir, de la función temperatura T(P, t), dependiente de punto y del tiempo. Conse-cuencia de esa temperatura distribuida en el cuerpo [la función o campo escalar T(P, t)], condiferentes valores en general en los distintos puntos del medio, es el flujo de calor, interior alsólido y que se intercambia con los alrededores a través de los contornos del sólido.

Este tema es de importancia capital en arquitectura y en construcciones de ingeniería. Sepretende, pues, ofrecer los fundamentos físicos de las técnicas de aislamiento térmico.

El flujo calorífico en el interior de un sólido, transporte de energía calorífica, es consecuen-cia de un gradiente de temperaturas (de un desequilibrio térmico) y, por tanto, no puede estu-diarse a la luz de los principios de la Termodinámica Clásica, disciplina aplicable a los siste-mas en estados de equilibrio.

Con estas ideas tan escuetamente expuestas puede insinuarse, en este primer parágrafo delas consideraciones preliminares, que la teoría de la conducción del calor en sólidos se insertaen el ámbito de las teorías fenomenológicas de transporte.

9.1.2. Contexto de los modos de transmisión del calor

A) Tipología

La teoría analítica de la conducción del calor, teoría de la conducción del calor en sólidos, essólo uno de los modos, uno de los mecanismos, uno de los procesos, una de las formas detransmisión del calor. Es conveniente situar hoy esta teoría en el contexto más amplio de losdiferentes modos, procesos, etc., de transmisión de calor. Estos modos, en visión y lenguaje ac-tualizados, y en síntesis introductoria, son los siguientes:

Conducción. Consiste en un transporte de energía calorífica sin transporte de materia, pero enpresencia de ésta; es decir, tiene lugar en los cuerpos, exige la presencia de materia. Este pro-ceso es típico de los sólidos y se considera consecuencia de la agitación térmica:

1. De los fonones (cuantos de energía de las ondas elásticas o de vibración de las redesinteratómicas; caso de los sólidos no metálicos).

2. De los electrones libres (sólidos metálicos).3. De las moléculas (en los fluidos).

En este último caso —de los fluidos— es imposible separar el proceso de conducción del pro-ceso de convección, propio de los fluidos.

Convección. Consiste en un transporte de energía calorífica con transporte de materia (portanto, precisa también la presencia de materia). Este proceso es típico de los fluidos y se consi-dera consecuencia de una diferencia de temperatura que origina diferencias de densidad deunos puntos a otros —ya que la densidad es función de la temperatura, o(T)— que en presenciade un campo gravitatorio origina las corrientes de convección.


www.FreeLibros.me

Radiación. Consiste en un transporte de energía calorífica que puede tener lugar tanto en pre-sencia de materia como en ausencia de ésta (en el vacío). No exige, en consecuencia, la presen-cia de materia. Este proceso tiene carácter de onda electromagnética térmica; es decir, cualita-tivamente es una onda electromagnética, y de manera concreta de un determinado rango defrecuencias. La emisión tiene lugar en todas direcciones y al incidir en un cuerpo éste puedeactuar reflejándola, absorbiéndola (con aumento de la energía interna, incremento de la tempe-ratura) o transmitiéndola.

Con independencia de los adjetivos que, usualmente, en cada caso se utilizan, sugerimos laconveniencia de que para los tres tipos de modos de transmisión del calor se utilice el mismoadjetivo; es decir, por ejemplo, conducción térmica, convección térmica y radiación térmica, obien, conducción calorífica, convección calorífica y radiación calorífica.

B) Regímenes de transmisión del calor

Cualquiera de los tres tipos de procesos anteriores, atendiendo a la variable tiempo, puede tenerlugar, básicamente, en los siguientes tipos de régimen:

a) Régimen permanente o estacionario. La temperatura es una función exclusiva depunto; por tanto, independiente del tiempo, T(x, y, z). El flujo térmico (o calorífico) esconstante en el tiempo.

b) Régimen variable o transitorio. La temperatura y el flujo de calor dependen del tiem-po. En general, T(x, y, z, t).

En este capítulo se estudia directamente la conducción del calor. Los demás modos detransmisión del calor actúan aquí sólo como condiciones de contorno o complementos.

9.1.3. Noticias históricas

El origen de la teoría de la conducción del calor se encuentra en la obra de J. Fourier Théorieanalytique de la chaleur (1822; aunque había sido presentada en 1808 a la Academia de Cien-cias de París).

Con esta obra no sólo se inicia la conducción del calor sino que, en realidad, se establececon ella el nacimiento de las teorías físicas del transporte, en cuyo marco la conducción delcalor puede considerarse como un caso particular y la primera. El modelo formal de esta teoríase adopta por, y se adapta para, otras teorías físicas tales como la Conducción eléctrica en me-dio continuo de Ohm, la Hidráulica del medio permeable de Darcy, la Difusión de Fick, etc.Estas teorías responden al mismo modelo filosófico-matemático que la conducción del calor deFourier, a quien puede, por tanto, considerarse como pionero de todas ellas.

A pesar de la antiguedad de esta teoría (Fourier, 1807) el tratamiento de Fourier continúasiendo de plena actualidad; es aplicable —y se aplica, prácticamente con exclusividad— a losproblemas y proyectos de naturaleza térmica en arquitectura e ingeniería.

9.1.4. Características fundamentales

Es interesante destacar, aunque sólo sea sinópticamente, algunas de las características básicasde esta teoría. Entre ellas se reiteran explícitamente algunas de las expuestas anteriormente.

CAPÍTULO 9. Teoría analítica de la conducción del calor de Fourier 135

www.FreeLibros.me

a) Es una teoría termológica. Trata fundamentalmente de las ideas de temperatura y decalor, ideas que conceptualiza con suficiente precisión.

b) Precisa de la existencia de un referencial espacio-temporal. Para ello ha elegido la no-ción de espacio clásico, el newtoniano-kantiano, el espacio geométrico ordinario(euclídeo tridimensional); y la noción clásica de tiempo, el tiempo newtoniano-kantia-no. En este referencial espacio-temporal se definirán las funciones necesarias para lateoría. (Conviene destacar aquí su radical diferencia conceptual con la TermodinámicaClásica).

c) Es una teoría del continuo. El cuerpo sólido (o el fluido en su caso) objeto de estudiode esta teoría se supone medio continuo; es decir, todas sus propiedades se expresanmediante funciones (o campos) continuas (en general, mediante funciones de la claseC(2), diferenciables de segundo orden).

d) Es una teoría determinista. Es decir, dada una causa determinada —un campo térmicoT(P, t)— actuando en un cierto cuerpo —de conductividad K—, se produce necesaria-mente un efecto determinado —un flujo de calor—, siempre, y siempre de la mismacuantía.

9.2 Conceptos básicos

9.2.1. Esquema filosófico-matemático

Las teorías físicas de transporte de tipo Fourier, entre las que se integra la Teoría analítica dela conducción del calor, responden al modelo formal filosófico-matemático que se esquematizaa continuación.

Existe una CAUSA, que produce necesariamente un EFECTO cuya cuantía depende deuna propiedad del MEDIO. En consecuencia, causa, medio y efecto constituyen los ingredien-tes básicos de esta teoría.

En el caso de la teoría analítica de la conducción del calor la CAUSA es el campo térmico(la distribución de temperaturas en el cuerpo), que produce como EFECTO necesario un flujotérmico (flujo calorífico) desde las zonas de temperaturas más altas hacia las de temperaturasmás bajas, de tal modo que la cuantía de este efecto no depende sólo de la diferencia de tempe-raturas (gradiente térmico), sino también de la naturaleza del MEDIO material, la conductivi-dad térmica.

9.2.2. La causa: el campo térmico

La causa del flujo térmico es la existencia de un campo térmico, T(P, t), en el seno del sólido—recinto del campo térmico—. La existencia de este campo escalar diferenciable supone oimplica, simultáneamente con él, la existencia de un campo vectorial de gradientes de dicho


www.FreeLibros.me

campo escalar, grad T, que puede considerarse como la causa inmediata del fenómeno o proce-so de transporte del calor (energía calorífica) por conducción. T(P, t) y grad T, campos escalary vectorial respectivamente, coexisten simultáneamente con existencia (matemática) común sinpreeminencia temporal ni esencial, se autoimplican matemáticamente. La teoría física los asu-me así; están correlacionados.

Desde el punto de vista de la teoría general de las magnitudes físicas, el concepto básico,caracterizador del campo térmico, es el de temperatura, que tiene la naturaleza de magnitudprimaria; es decir, que debe caracterizarse tanto como sea posible, ya que no puede introducir-se, en esta teoría de la conducción del calor, mediante una fórmula de definición en función deotras magnitudes.

El concepto fourieriano de temperatura utilizado en la Teoría analítica de la conduccióndel calor se caracteriza por las siguientes notas distintivas fundamentales o propiedades:

a) Magnitud primaria; por tanto, un concepto primario o indefinido que debe caracterizar-se (no definirse mediante una fórmula matemática) «tanto como se pueda».

b) Algebraicamente es una variable escalar real.c) Analíticamente es una función escalar real espacio-temporal (campo escalar real) defi-

nida sobre el cuerpo —concepto prefísico— objeto de estudio. Se aplica a una supuestapropiedad, con existencia real, distribuida por/en el cuerpo (no de valor único para to-do el cuerpo o sistema) en cada instante; es decir, T % T(P, t).

d) No es propiamente un concepto macroscópico (termodinámico) ni tampoco microscó-pico (mecánico, teoría cinética de la materia). La idealización de la teoría lo concibecomo campo escalar en el recinto del cuerpo, considerado como parte del espacio clá-sico continuo, frente a las nociones de cuerpo y de sistema termodinámico caracteriza-do macroscópicamente y de sistema mecánico de gran número de partículas.

e) En el desarrollo de la teoría de la conducción tiene el papel de función potencial esca-lar (es decir, determinada a menos de una constante aditiva), cuyo gradiente, grad T, esla causa generadora del flujo térmico.

La gran diferencia del concepto fourieriano de temperatura en contraste con el conceptotermodinámico clásico es que la temperatura, en esta teoría de Fourier, es una función distri-buida espacialmente en el cuerpo —T(P, t)— frente a ser una propiedad global —macroscópi-ca— del sistema representativa, entre otras, del estado de equilibrio.

9.2.3. El efecto: el flujo térmico

El efecto es un flujo de calor, cuya cuantía depende de la causa —gradiente térmico— y de laconductividad térmica del medio.

En esta teoría —teoría analítica, matemática— poco importa cuál sea el referente naturalmejor o peor conocido e incluso cuál sea la idea física de calor. En el origen —noción de Fou-rier— imperaba mayoritariamente la idea de calórico (especie de fluido material). Posterior-mente, se impuso la idea de forma de energía (energía calorífica), actualmente vigente; paraambas —tan radicalmente distintas en el pensamiento físico— es válida la representación mate-mática fourieriana del calor.


www.FreeLibros.me

Aceptando la noción de calor —sea la que fuere, aunque hoy deba ser la de energía calorí-fica— simbolizada por Q, ésta es una magnitud que se caracteriza por las siguientes propie-dades:

a) Magnitud primaria.b) Algebraicamente escalar.c) De proceso, de transporte en un espacio geométrico-físico (cuerpo).

A partir de ella, Q, se deducen las siguientes magnitudes secundarias:

Flujo de calor, h %Q

t, cantidad de calor por unidad de tiempo.

Densidad vectorial de flujo de calor, q, que puede definirse:

a) Vectorialmente, de modo indirecto: h % q . S % IIS

q . dS

b) Escalarmente: q %Q

t . S

De las tres magnitudes, Q, h, q, una de ellas debe considerarse primaria (normalmente Q) ylas otras dos, en consecuencia, son secundarias y se introducen mediante las fórmulas de defi-nición anteriores.

9.2.4. El medio: la conductividad térmica

La causa, gradiente vectorial de T, actúa en un medio material; éste posee una propiedad carac-terística, la conductividad térmica, con la que interviene en el proceso de conducción térmica.Esta propiedad determina, junto con el gradiente, la cuantía del flujo térmico.

Una atención especial debe dedicarse a la conductividad térmica, propiedad característicadel medio, constante física dimensionada característica, que es fundamental en el proceso. De-pende de numerosas condiciones y variables tales como la propia temperatura, la presión, lapresencia de impurezas, los posibles cambios de fase, la orientación del sólido respecto de unascondiciones térmicas exteriores, etc., pero matemáticamente (en la hipótesis de medio conti-nuo) pueden condensarse todas estas variables en forma compacta, de tal manera que la funciónque la representa es una función tensorial de segundo orden real simétrica, de punto, del tiempoy de la orientación; es decir, K(P, t, n).

Esta función (o campo) tensorial distribuida en el cuerpo, en un sistema arbitrario de coor-denadas cartesianas (0, x, y, z), puede expresarse mediante una matriz simétrica de orden tres yde funciones reales, K à M3#3(�)

K % Ck11(x, y, z, t) k12(x, y, z, t) k13(x, y, z, t)

k12(x, y, z, t) k22(x, y, z, t) k23(x, y, z, t)

k13(x, y, z, t) k23(x, y, z, t) k33(x, y, z, t)D (9.1)


www.FreeLibros.me

tal que, si el medio es homogéneo (identidad en todos los puntos), no depende del punto; esdecir:

K % Ck11(t) k12(t) k13(t)

k12(t) k22(t) k23(t)

k13(t) k23(t) k33(t)D (9.2)

y si es estable en el tiempo (permanente), no depende de éste; es decir:

K % Ck11(x, y, z) k12(x, y, z) k13(x, y, z)

k12(x, y, z) k22(x, y, z) k23(x, y, z)

k13(x, y, z) k23(x, y, z) k33(x, y, z)D (9.3)

y si es, simultáneamente, homogéneo y estable se reduce a:

K %Ck11 k12 k13

k12 k22 k23

k13 k23 k33D (9.4)

Dada la naturaleza algebraica de matriz simétrica, existe un determinado sistema de refe-rencia, denominado principal respecto de la conductividad, en el cual K se expresa mediante lamatriz diagonal:

K %Ckx 0 0

0 ky 0

0 0 kzD (9.5)

donde kx, ky, kz son las conductividades térmicas principales del medio.Si el medio fuera isótropo —independencia de la dirección de transporte del flujo térmico,

identidad de la conductividad en todas las direcciones—, los términos no diagonales de la ma-triz serían nulos y los diagonales iguales entre sí; es decir, K se reduciría a una matriz escalar:

K %Ck 0 0

0 k 0

0 0 kD (9.6)

y, en este caso, el tensor K actúa como si fuera un escalar.Este largo desarrollo matricial puede expresarse de manera compacta, en el caso general,

como K(P, t, n), es decir, campo tensorial real de segundo orden simétrico, y corresponde amedios no homogéneos, inestables o transitorios y anisótropos. Además, pueden presentarseunos casos especiales de suma importancia en la práctica:

1. Homogeneidad (independencia de P): K(t, n).2. Estabilidad en el tiempo (independencia de t): K(P, n).3. Isotropía (independencia en la dirección, de n): K(P, t).


www.FreeLibros.me

En el caso de que se verifiquen los tres la conductividad actúa «como si» fuera un escalar.

Tabla 9.1. Tabla de conductividades térmicas

Conductividades térmicasSustancia

(W/m . oC) (kcal/m . s . oC)

Acero 40 0,96 . 10.2

Agua 0,56 1,34 . 10.4

Aire 0,023 0,55 . 10.5

Aluminio 200 4,8 . 10.2

Asbesto 0,09 0,216 . 10.4

Cobre 380 9,12 . 10.2

Corcho 0,042 0,1 . 10.4

Fibra de vidrio 0,048 0,15 . 10.4

Hielo 2 4,8 . 10.4

Hierro 82 1,97 . 10.2

Hormigón 0,84 2 . 10.4

Ladrillo 0,84 2 . 10.4

Lana 0,040 0,1 . 10.4

Latón 120 2,88 . 10.2

Madera 0,1 0,3 . 10.4

Oro 314 7,5 . 10.2

Plata 420 10 . 10.2

Plomo 35 0,84 . 10.2

Pluma de ganso 0,025 0,6 . 10.5

Poliuretano 0,024 0,6 . 10.5

Titanio 20 0,48 . 10.2

Vidrio 0,84 2 . 10.4

9.3 Ley fundamental de Fourier

9.3.1 Consideraciones introductorias

La Teoría analítica del calor de Fourier tiene una sola ley fundamental que relaciona sus mag-nitudes primarias —temperatura y calor— y constantes características —conductividad térmi-ca—; es la denominada ley de Fourier.


www.FreeLibros.me

Suele decirse, con demasiada frecuencia, que es una ley experimental o fenomenológica,deducida del comportamiento de los cuerpos. Más bien puede afirmarse que es un modelo teó-rico, conscientemente irreal en su origen (cuando aún no se vislumbraba con un mínimo de ni-tidez la noción física de calor). Constituye un instrumento formal muy importante, dado que losresultados que de ella se deducen concuerdan aceptablemente con la experiencia.

A continuación se desarrolla el tema con una orientación pedagógica, constructiva. Podría,no obstante, expresarse directamente de modo axiomático.

9.3.2. Expresión elemental, unidireccional

Sea un sólido continuo y homogéneo cualquiera en el que se considera una lámina de superfi-cie Sx normal a la dirección x y de espesor dx (Figura 9.1).

Figura 9.1

Llamando hx al flujo de calor que atraviesa la superficie normal a x, o lo que es lo mismo,la cantidad de calor que atraviesa Sx por unidad de tiempo, la ecuación de Fourier se expresapor:

hx %dQ

dt% .k . Sx

dT

dx(9.7)

donde:

hx % AdQ

dt Bx

es la cantidad de calor que atraviesa Sx en la dirección x en el intervalo de

tiempo dt.k es la conductividad térmica según la dirección x, propiedad característica del medio. Su

inverso, 1/k, recibe el nombre de resistividad térmica.T es el campo térmico.dT

dxes el gradiente térmico en la dirección x.

El signo . significa que el flujo térmico tiene lugar en el sentido del campo térmico decre-ciente.

La aceptación de esta ley permite construir la teoría de la conducción del calor.Desde el punto de vista del Análisis Dimensional clásico puede introducirse la ley de acuer-

do con las siguientes relaciones de proporcionalidad:

(h) ã (S)(dT)(dx).1 (9.8)


www.FreeLibros.me

o bien

(Q) ã (t)(S)(dT)(dx).1 (9.9)

De estas relaciones de proporcionalidad se pasa a la ecuación entre medidas mediante laintroducción de la constante característica k del cuerpo en cuestión.

9.3.3. Expresión general en medios isótropos

En la hipótesis de que la conductividad térmica sea isotrópica (idéntica en todas las direccio-nes), la Ecuación (9.7) puede aplicarse a las tres direcciones mutuamente ortogonales de un sis-tema cartesiano ortonormal (0; x, y, z) de la forma siguiente:

hx % .kSx

LT

Lx(9.10,a)

hy % .kSy

LT

Ly(9.10,b)

hz % .kSz

LT

Lz(9.10,c)

expresiones en las que T es función de punto y tiempo, T(x, y, z, t), y sus derivadas respecto delas variables espaciales son derivadas parciales.

De las Ecuaciones (9.10) pueden obtenerse otras expresiones relativas a las cantidades decalor por unidad de tiempo y de superficie en las direcciones de los ejes. Éstas son:

hx

Sx

% qx % .kLT

Lx(9.11,a)

hy

Sy

% qy % .kLT

Ly(9.11,b)

hz

Sz

% qz % .kLT

Lz(9.11,c)

Interpretando el conjunto de estas ecuaciones escalares como correspondientes a las compo-nentes escalares de un campo vectorial q, se obtiene la ecuación del flujo vectorial de calor ode la densidad vectorial de flujo de calor:

q % qxi ! qyj ! qzk % .k CLT

Lxi !

LT

Lyj !

LT

LzkD (9.12)

o bien, sintéticamente:

q % .k grad T (9.13)

expresión general de la ecuación de Fourier en medios isótropos, donde q representa el flujovectorial de calor (densidad vectorial de calor: calor por unidad de tiempo y de superficie).


www.FreeLibros.me

9.3.4. Expresión general en medios anisótropos

La expresión unidireccional de la Ecuación de Fourier (9.7) puede aplicarse también a las di-recciones principales de la conductividad térmica del sólido y, en este caso, se obtendrían lasigualdades siguientes:

qx %hx

Sx

% .kx

LT

Lx(9.14,a)

qy %hy

Sy

% .ky

LT

Ly(9.14,b)

qz %hz

Sz

% .kz

LT

Lz(9.14,c)

de las que, interpretadas conjuntamente como en el caso anterior, puede deducirse la ecuaciónmatricial:

Cqx

qy

qzD% .Ckx 0 0

0 ky 0

0 0 kzDCLT

LxLT

LyLT

LzD (9.15)

tal que, en notación tensorial, se expresa de cualquiera de las formas siguientes:

q % .K grad T (9.16)

q % .K �c grad T (9.17)

qi % .kij

LT

Lxj

(9.18)

expresiones generales de la ley de Fourier de la conducción del calor.El caso anterior de medio isótropo es un caso particular del anisótropo para

kx % ky % kz % k, como se comprueba a continuación. De la aplicación de (9.15) resulta:

Cqx

qy

qzD% . Ck 0 0

0 k 0

0 0 kDCLT

LxLT

LyLT

LzD (9.19)

y de ésta (9.13):q % .k grad T

de manera que esta última equivale prácticamente a (9.19), pero conceptualmente existe la di-ferencia de la naturaleza algebraica tensorial de segundo orden de K y de naturaleza escalar de


www.FreeLibros.me

k; es decir, en el caso de medio isótropo la conductividad puede considerarse «como si» fueraun escalar ya que la matriz de (9.19) es una matriz escalar.

Finalmente conviene destacar que en la actualidad, y al margen de consideraciones de índo-les pedagógica e histórica, la ecuación generalizada de Fourier (9.17) o (9.18) o (9.19), se in-troduce directamente por vía axiomática o como postulado básico de la teoría de la conducción.

9.4 Ecuación del campo térmico en recintos sólidos

9.4.1. Ecuación de balance energético calorífico

El problema más general relativo a la conducción del calor en sólidos, en el ámbito de la ley deFourier, consiste en determinar el campo térmico T(P, t); es decir, la distribución de temperatu-ras en el cuerpo (en el espacio, en el recinto sólido) y su evolución en el tiempo.

En el marco de las hipótesis de medio continuo, homogéneo y estable, de densidad o ycalor específico a presión constante c, se recurre al principio de conservación de la energía(actualmente uno de los principios generales de conservación de la física, inexistente en 1808)aplicando a un elemento diferencial de volumen la ecuación de balance energético calorífico.Sobre el formalismo matemático fourieriano se introducen otras ideas de otras teorías termoló-gicas, primordialmente de la Termodinámica Clásica.

ACALOR

que entraB.ACALOR

que saleB!ACALOR

generadoB%ACALOR

que gana el cuerpoBreferida a un determinado intervalo de tiempo. Si se considera la unidad de tiempo, resulta:

he . hs ! q5 dV % CLT

Lt% c . dm . LT

Lt% c . o . dV . LT

Lt(9.20)

donde:

he es el flujo de calor (cantidad de calor por unidad de tiempo) que entra por las superficiesdel contorno.

hs es el flujo de calor que sale por las superficies del contorno.he . hs % hc es el flujo neto de calor que atraviesa el contorno hacia el interior del recinto.q5 es el calor generado en/por el cuerpo por unidad de volumen en la unidad de tiempo.C es la capacidad calorífica del elemento de volumen.c es el calor específico a presión constante.o es la densidad del material.

9.4.2. Ecuación del campo térmico en un medio anisótropo

Se utiliza un sistema de referencia principal (0, x, y, z) respecto de la conductividad térmica, demodo que el volumen elemental esté orientado según dichas direcciones. Por tanto:

K %Ckx 0 0

0 ky 0

0 0 kzD (9.21)


www.FreeLibros.me

Figura 9.2

Si T es el valor del campo térmico en la cara x % x1, perpendicular al eje x, en la carax % x2 el valor del campo es:

T !LT

Lxdx

El flujo que entra por la cara x % x1, según la ley de Fourier, es:

hx1 % .kx dy dzLT

Lxy el que sale por x % x2:

hx2 % .kx dy dzLLx AT !

LT

LxdxB% .kx dy dz

LT

Lx. kx dy dz

L2T

Lx2 dx

de modo que el flujo neto que atraviesa las caras perpendiculares al eje x hacia el interior delelemento es:

hx % hx1 . hx2 % kx dx dy dzL2T

Lx2 (9.22,a)

Por analogía cíclica de los ejes, los flujos netos que atraviesan las caras perpendiculares alos ejes y y z son:

hy % ky dx dy dzL2T

Ly2 (9.22,b)

hz % kz dx dy dzL2T

Lz2 (9.22,c)

En consecuencia, el flujo total neto que atraviesa el contorno hacia el interior es:

hc % hx ! hy ! hz %Akx

L2T

Lx2 ! ky

L2T

Ly2 ! kz

L2T

Lz2B dV (9.23)

y sustituyendo en (9.20) y dividiendo por dV resulta:

kx

L2T

Lx2 ! ky

L2T

Ly2 ! kz

L2T

Lz2 ! q5 % coLT

Lt(9.24)

que es la ecuación general del campo térmico en un recinto sólido homogéneo y estable.


www.FreeLibros.me

9.4.3. Ecuación del campo térmico en un medio isótropo

En el caso kx % ky % kz % k, la Ecuación (9.24) se reduce a

k AL2T

Lx2 !L2T

Ly2 !L2T

Lz2B! q5 % coLT

Lt(9.25)

donde:

AL2T

Lx2 !L2T

Ly2 !L2T

Lz2B% BT (9.26)

es el laplaciano del campo térmico, y, por tanto, (9.25) puede escribirse de la forma:

kBT ! q5 % coLT

Lt(9.27)

o bien, dividiendo por k:

BT !q5

k%

cok

LT

Lt%

1

D

LT

Lt(9.28)

donde D %k

coes la difusividad térmica del medio, propiedad característica de éste.

9.4.4 Casos particulares relativos al régimen

A continuación se consideran diferentes condiciones de régimen y se aplican a las ecuacionescorrespondientes a medios anisótropos e isótropos, respectivamente.

a) Régimen variable (o transitorio) sin generación interna de calor

q5 % 0 ú Ea) kx

L2T

Lx2 ! ky

L2T

Ly2 ! kz

L2T

Lz2 % c . oLT

Lt

b) BT %1

D

LT

Lt

(9.29)

La Ecuación (9.29,b) se denomina usualmente ecuación de la difusión.b) Régimen permanente (o estacionario)

LT

Lt% 0 ú E

a) kx

L2T

Lx2 ! ky

L2T

Ly2 ! kz

L2T

Lz2 ! q5 % 0

b) BT % .

q5

k

(9.30)

En estas ecuaciones q5 no depende del tiempo (como consecuencia, también, de lahipótesis de régimen permanente). La Ecuación (9.30,b) se denomina de tipo Poisson.


www.FreeLibros.me

c) Régimen permanente sin generación interna de calor

Eq5 % 0

LT

Lt% 0F ú E

a) kx

L2T

Lx2 ! ky

L2T

Ly2 ! kz

L2T

Lz2 % 0

b) BT % 0

(9.31)

La Ecuación (9.31,b) se denomina de tipo Laplace. Puede observarse que en estecaso de medio isótropo sin generación de calor y en régimen permanente el campo tér-mico es independiente de las propiedades características del medio.

9.4.5. Notas complementariasLas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que se han obtenido en este tema consti-tuyen las ecuaciones que debe satisfacer el campo térmico en determinadas situaciones; sonecuaciones clásicas de la física-matemática que, en general, no pueden resolverse medianteprocedimientos analíticos.

Los casos con soluciones matemáticas exactas se reducen prácticamente a los que se desa-rrollan en el Apartado 9.6 de este capítulo, Ejemplos clásicos con solución analítica, corres-pondientes a geometrías (contornos) singulares con condiciones de contorno (valores de T) muysencillas.

Los casos ordinarios pueden abordarse: a) por métodos de simulación analógica eléctrica(resolución en otro campo físico analógico), y/o b) por métodos numéricos (aproximados).

9.5 Condiciones de contorno

La resolución de las ecuaciones del campo térmico exige el conocimiento de las condiciones decontorno del sólido objeto de estudio. Las más usuales son las siguientes.

9.5.1. Superficie en contacto con un fluidoEn una superficie de contorno en contacto con un fluido el proceso de transmisión de calor esmuy complejo y se engloba con la introducción de un coeficiente de transmisión superficial decalor. Para la descripción del estudio de esta transmisión de calor sólido-fluido y viceversa seutiliza la Figura 9.3:

Figura 9.3


www.FreeLibros.me

en la que se representa una pared plana, de dimensiones suficientemente grandes como para su-ponerla infinita y considerar el problema bidimensional. Se superponen a ella unos ejes decoordenadas coincidiendo con la superficie de la pared, temperatura T, y la dirección del flujo(normal a la pared y hacia fuera, n) y se comprueba que, a distancias muy pequeñas de la pa-red, la temperatura es igual a la del fluido Ta (considerada temperatura ambiente). La tempera-tura en la superficie del sólido es Ts, Ts b Ta. La curva de la figura representa la temperaturareal, y se denomina capa límite convectiva a la zona del fluido próxima a la pared de espesor dque se obtendría mediante la intersección de la tangente a la curva de temperaturas con la hori-zontal Ta. En esa zona se aplica la ley de la conducción de Fourier, de la siguiente forma:

h % kf STs . Ta

d%

kf

dS(Ts . Ta) % h . S(Ts . Ta) (9.32)

donde la constante física h obtenida se denomina constante de transmisión superficial del calor.

9.5.2. Superficie isoterma

En general, las superficies isotermas son lugares geométricos de puntos de temperatura cons-tante en el interior del sólido. En este tipo de superficies:

T(P, t) % cte

A efectos de este apartado, si en una zona del contorno se verifica que Ts % cte; se trata deuna condición de contorno isoterma.

9.5.3. Superficies adiabáticas

Superficie de contorno adiabática es toda superficie aislante desde el punto de vista térmico, esdecir, que no hay flujo a través de ella. En el caso de sólido isótropo:

qn % .kLT

Ln% 0 ú

LT

Ln% 0 (9.33)

siendo qn la componente de q según la normal a la superficie.En consecuencia, en los medios isótropos, las superficies isotermas son perpendiculares a

las adiabáticas, y éstas tienen, por tanto, consideración de superficies engendradas por líneas deflujo térmico.

9.6 Ejemplos clásicos con solución analítica

9.6.1. Notas introductorias

Se estudian en este tema unos problemas que tienen solución teórica completa; es decir, aque-llos para los que puede obtenerse la expresión del campo térmico en el recinto objeto de estu-dio por medio del análisis matemático.

Estos problemas son muy pocos y requieren, para tener solución, un extenso conjunto dehipótesis simplificativas. Para mejor fijación de las ideas más importantes en la práctica se re-suelven con reiteración de las hipótesis en enunciados y desarrollos.


www.FreeLibros.me

9.6.2. Problema del «muro indefinido»

Se considera un muro indefinido de material homogéneo, estable e isótropo en el que se es-tablece un régimen permanente. Se pide:

1. Describir las hipótesis necesarias para su resolución analítica.2. Obtener la expresión del campo térmico.3. Obtener la expresión del flujo de calor que atraviesa el muro.

Figura 9.4

1. Hipótesis relativas a:

a) Medio: continuo, caracterizado por propiedades que se describen mediante funcionescontinuas distribuidas (definidas) en el recinto sólido, homogéneo, estable e isótropo;en consecuencia, k, escalar.

b) Régimen: permanente.

T1 % cte

T2 % cteF ú T1 . T2 % cte ú Causa constante en medio estable

Causa constante en medio estable ú Efecto constante ú Flujo constante

c) Geometría: muro infinito (o indefinido) en las direcciones planas perpendiculares ax ú Flujo unidireccional.

2. Campo térmico.

hx % .k . SdT

dx% cte ú

dT

dx% C ú T % Cx ! Cñ (9.34)

Se imponen las condiciones de contorno para calcular C y Cñ:

Ex % 0; T1 % C . 0 ! Cñ ú Cñ % T1

x % a; T2 % C . a ! Cñ % C . a ! T1 ú C %T2 . T1

aPor tanto, el campo térmico es:

T %T2 . T1

ax ! T1 % T1 .

T1 . T2

ax (9.35)


www.FreeLibros.me

3. Flujo de calor.

hx % .k . SdT

dx% .k . S

T2 . T1

a(9.36)

donde hx será la cantidad de calor por unidad de tiempo que atraviesa el muro.

Consideraciones complementarias

1. El campo térmico no depende de k (consecuencia de la hipótesis de medio isótropo); de-pende sólo de la geometría del recinto y de las condiciones de contorno.

2. El flujo térmico es directamente proporcional a k (depende del medio) y del gradiente tér-mico.

9.6.3. El calorífugo

Se considera un muro indefinido de material homogéneo, estable e isótropo, situado entredos fluidos a distinta temperatura, en el que se establece un régimen permanente. Se pide:

1. Describir las hipótesis necesarias para su resolución analítica.2. Obtener la expresión del flujo de calor que atraviesa el muro.

Figura 9.5

1. Hipótesis.

a) Relativas al material sólido: estabilidad, homogeneidad, continuidad e isotropía.b) Relativas a la geometría: pared infinita (flujo unidireccional).c) Relativas al régimen: régimen permanente.d) Relativas a las leyes: validez de la ley de Fourier en procesos de transmisión de calor

en el interior del sólido y a través de sus superficies externas.

2. El problema consiste en la resolución de la ecuación de Laplace, BT % 0, en un recintocon condiciones de contorno isotermas.

Por tratarse de un flujo en régimen estacionario:

h1 % h2 % h3 % h (9.37)


www.FreeLibros.me

donde:h1 % h1

. S . (T1 . T3)

h2 % k . S . T3 . T4

e

h3 % h2. S . (T4 . T2)

y, por tanto:

h %S . (T1 . T3)

1

h1

%S . (T3 . T4)

e

k

%S . (T4 . T2)

1

h2

(9.38)

Aplicando la propiedad de las proporciones de «suma de antecedentes partido por sumade consecuentes es igual a una cualquiera de las razones» a (9.38) resulta:

h %S(T1 . T3) ! S(T3 . T4) ! S(T4 . T2)

1

h1!

e

k!

1

h2

(9.39)

y englobando el denominador en una sola constante:

1

h1!

e

k!

1

h2%

1

Uo bien

U %1

1

h1!

e

k!

1

h2

y sustituyendo en (9.39), se obtiene finalmente:

h % U . S(T1 . T2) (9.40)

donde U representa la constante global de transmisión del calor del calorífugo.Si el muro no fuese homogéneo, sino que estuviese formado por varios materiales de

distintos espesores (por ejemplo, 3), la expresión de la constante global de transmisión delcalor sería de la forma:

U %1

1

h1!

e1

k1!

e2

k2!

e3

k3!

1

h2

9.6.4. Problema del «cilindro hueco indefinido»

Estúdiese, estableciendo previamente las hipótesis que se consideren convenientes, el campotérmico y el flujo de calor en un recinto sólido en forma de corona cilíndrica («cilindro hue-co») de radios R1 y R2 (R1 a R2) y altura l.


www.FreeLibros.me

Figura 9.6. Esquema (sección axial de una «rebanada» de altura l ) del cilindro hueco en el que se representa la direccióny sentido del flujo calorífico desde la zona más caliente a la zona más fría.

1. Hipótesis.

a) Relativas al medio: continuo, homogéneo, estable e isótropo.b) Relativas al régimen: permanente.

T1 % cte y T2 % cte; equipotenciales térmicas (superficies isotermas de contorno)

c) Relativas a la geometría: problema bidimensional (según planos normales al eje). Si-metría axial o cilíndrica. (Se considera un «cilindro hueco» —tubería— de longitudinfinita o limitado por dos superficies adiabáticas paralelas entre sí y normales al eje).

Como consecuencia de estas hipótesis el flujo es radial plano, perpendicular a las su-perficies isotermas (las superficies equipotenciales, por simetría axial, son superficies cilín-dricas coaxiales).

2. Campo térmico.Partiendo de la ecuación de Fourier:

h % .k . SdT

dr% .k . 2nrl

dT

dr% cte (9.41)

se obtiene la ecuación diferencial del campo térmico:

h

2nkl% r

dT

dr% c ú c

dr

r% dT (9.42)

cuya integración es:

c ln r ! c1 % T ! c2 ú c ln r ! cñ % T (9.43)

Imponiendo las condiciones de contorno:

Er % R1; c ln R1 ! cñ % T1

r % R2; c ln R2 ! cñ % T2


www.FreeLibros.me

se obtienen las constantes c y cñ:

c %T2 . T1

lnR2

R1

; cñ % T1 .

T2 . T1

lnR2

R1

ln R1

Por tanto:

T %T2 . T1

lnR2

R1

ln r ! T1 .

T2 . T1

lnR2

R1

ln R1

o bien

T % T1 .

T1 . T2

lnR2

R1

lnr

R1(9.44)

3. Flujo de calor.El flujo h que atraviesa la superficie interior de la corona cilíndrica diferencial, utili-

zando la ecuación de Fourier y la condición de constante, es:

h % .k . SdT

dr% cte % .k . 2nrl

dT

dr(9.45)

Separando variables e integrando entre los límites correspondientes, teniendo en cuentael valor de T en la Ecuación (9.44) y derivando respecto de r:

dT

dr%

T2 . T1

lnR2

R1

. 1

r

h % .kSdT

dr% .k . 2nrl

T2 . T1

lnR2

R1

. 1

r% !k . 2nrl

T1 . T2

lnR2

R1

. 1

r

h % 2nklT1 . T2

lnR2

R1

(9.46)

Si la parte sólida del cilindro hueco está formada por varios materiales distintos (A, B yC) de conductividades kA, kB y kC, y, además, se considera el fenómeno de la conveccióntanto en el interior como en el exterior (calorífugo cilíndrico):

h %T0 . T5

1

2nr1lhi

!

lnr2

r1

2nkAl!

lnr3

r2

2nkBl!

lnr4

r3

2nkCl!

1

2nr4lhe

(9.47)


www.FreeLibros.me

O bien

h % US(T0 . T5)

siendo:

U %1

1

hi

!

r1 lnr2

r1

kA

!

r1 lnr3

r2

kB

!

r1 lnr4

r3

kC

!1

he

(9.48)

9.6.5. Problema de la «esfera hueca»

Estúdiese, estableciendo previamente las hipótesis que se consideren convenientes, el campotérmico y el flujo de calor en un recinto sólido en forma de corona esférica de radios R1 yR2 (R1 a R2).

Figura 9.7

a) Hipótesis.Medio continuo, homogéneo, estable e isótropo; régimen permanente; corona esférica

limitada por superficies concéntricas (equipotenciales isotermas) a temperaturas T1 y T2.En este marco hipotético se trata de un problema con simetría esférica (o difusión radial ocentral).


www.FreeLibros.me

b) Flujo de calor.

h % .k . 4nr2 dT

dr% cte (9.49)

Separando variables e integrando entre los límites correspondientes:

h

dr

r2 % .4nk dT

IR2

R1

h

dr

r2 % IT2

T1

.4nk dT

h A.

1

rBR2

R1

% h A1

R1.

1

R2B% h

R2 . R1

R1R2% .4nk(T2 . T1)

h % 4nk(T1 . T2)R1R2

R2 . R1(9.50)

c) Campo térmico.

h

4nk% r2 dT

dr% c ú dT % c

dr

r2 ú T % .

c

r! cñ (9.51)

Imponiendo las condiciones de contorno se obtiene el sistema de ecuaciones:

Er % R1 : T1 % .

c

R1! cñ

r % R2 : T2 % .

c

R2! cñ

cuya solución es:

c % (T1 . T2)R1R2

R1 . R2; cñ % T1 !

c

R1

y, por tanto, la ecuación del campo térmico es:

T % T1 . (T1 . T2)R1R2

R2 . R1 A1

R1.

1

rB (9.52)


www.FreeLibros.me


9.1 Un muro de ladrillo tiene un espesor e1 % 42 cm y se le adosa por la parte interior un recu-brimiento de madera de espesor 2,6 cm. Las conductividades térmicas respectivas sonk1 % 0,6 kcal/m . oC . h y k2 % 0,13 kcal/m . oC . h. La superficie externa está al sol y tieneuna temperatura de 40 oC. La temperatura interior es de 20 oC.

Calcúlese:

a) La temperatura existente en el plano de separación de la madera y el ladrillo.

b) Las calorías que el muro transmite por minuto y m2.

Solución:

a) Suponiendo despreciables los fenómenos de convección, hipóte-sis de régimen permanente y muro de altura lo suficientementegrande para aceptar flujo unidireccional:

te . t % cte ú h % cte ú h1 % h2 ú q1 % q2

siendo:

te % temperatura del muro en paramento exterior.t % temperatura del muro en el paramento recubierto por la

madera.h1 % flujo de calor que atraviesa el muro.h2 % flujo de calor que atraviesa la madera.

Utilizando la ley de Fourier unidireccional:

q % .kSBt

e

para 1 m2 de superficie tanto de muro como de madera:

0,6kcal

m . oC . h. (40 . t) oC

0,42 m% 0,13

kcal

m . oC . h. (t . 20) oC

0,026 m

0,0702t % 1,716

t % 24,44 oC

b) Para 1 m2:

h % 0,6 . 40 . 24,4

0,42% 22,23

kcal

h%

22,93

60

kcal

h. h

minuto% 0,370

kcal

minuto

En consecuencia:

q % 370cal

minuto . m2


www.FreeLibros.me

9.2 Se tienen 0,5 l de agua a 20 oC que llenan por completo un cilindro de material aislante, unade cuyas bases es acero a 1 cm de espesor y 10 cm2 de sección, y está en contacto con unfoco calorífico constante a 80 oC. Calcúlese la temperatura del agua a los 5 minutos de ac-tuar el foco, si la k del acero es de 0,12 cal/oC . cm . s.

Solución:

Se consideran las siguientes hipótesis:

a) No hay pérdidas de calor a través de las paredes ni de la base supe-rior del cilindro.

b) Se admite como calor específico del agua 1 cal/g . oC, constante, sinanalizar el proceso de transmisión de calor en el agua (convección).

c) Régimen permanente mientras dura el proceso.

d) Densidad del agua constante, o % 1 g/cm3.

magua % oV % 1 g/cm3 . 0,5 cm3% 500 g

Q % qy. S . t % .S . t . k

BT

By% .10(5 . 60)0,12

(80 . 20)

1% 21.600 cal

Qganado por el agua % Qque atraviesa la base conductora

21.600 % 500 . 1(t . 20)

t % 63,2 oC

9.3 Se considera una taza de porcelana de 8 cm de diámetro exterior, 2,5 mm de espesor y deconductividad térmica k % 0,0025 cal/cm . oC . s que contiene agua hirviendo y está situadaen un ambiente cuya temperatura es 20 oC.

Calcúlese, estableciendo previamente las hipótesis que se consideren oportunas:

a) Temperatura de la cara externa.

b) Espesor que habría de tener la taza para que se pudiera tocar sin quemarse los dedos(t a 50 oC).

La constante de convección es h % 0,005 W/cm2 . oC.

Solución:

Se consideran las siguientes hipótesis:

a) Problema de conducción en la pared de la taza (100 oC en la cara interior) y con convec-ción en la exterior.

b) Relativas al medio sólido: continuo, homogéneo e isótropo.

c) Relativas al régimen: permanente.

d) Relativas a la geometría: cilindro hueco infinito; así el flujo es bidimensional radial.


www.FreeLibros.me

Las condiciones de contorno, de acuerdo con la figura, son:

a) Superficies adiabáticas, dadas las características deflujo bidimensional y radial. Por tanto, en ellas:

LT

Ln% 0

b) Superficies isotermas:

Superficie interior cilíndrica: T % cte % 100 oC.

Superficie exterior cilíndrica: en contacto con el fluido.

La ecuación de recinto es: BT % 0, ecuación de Laplace.La ley de Fourier para la taza (sólido) es la de proceso de conducción:

q % .k grad T

La expresión del flujo calorífico a través de las paredes de la taza (cilindro hueco),cuando el flujo es radial, viene dada por la Expresión (9.46):

h % 2nklT1 . T2

lnR2

R1

y la ley de Fourier para el proceso convectivo es:

h % kf STs . Ta

d% hS(Ts . Ta)

a) Como el régimen es permanente, el flujo es constante, y, por tanto, en un punto cual-quiera de la superficie externa de la taza se verifica:

h % 2nklT1 . Te

lnRe

Ri

% h2nRel(Te . T2)

0,0025cal

s . cm . oC. 2nl .

(100 . Te)

ln4

3,75

oC

cm% 0,005 . 0,24

cal

J

W

cm2 . oC2nl . 4(Te . 20) oC


www.FreeLibros.me

8,075(100 . Te) % Te . 20 ú 827,5 % 9,075Te

Te % 91,18 oC

b) 0,0025cal

s . cm . oC. 2nl .

(100 . 50)

ln4

4 . e

oC

cm% 0,005 . 0,24

cal

J

W

cm2 . oC2nl . 4(50 . 20) oC

ln4

4 . e%

0,125

0,144% 0,868 ú

4

4 . e% 2,382 ú 4 % 9,529 . 2,382e

e %5,529

2,382% 2,32 cm

espesor de la taza b 2,32 cm

9.4 La temperatura del fluido que contiene un horno es ti % 1.280 oC y la del exterior 30 oC. Sedesea que el horno pierda q % 800 kcal/m2 . h y para ello su pared, de espesor e % 0,4 m, secompone de tres partes:

Una primera de material refractario k1 % 1 kcal/m . oC . h.La segunda de otro material de k2 % 0,2 kcal/m . oC . h.Otra tercera de fibra de vidrio de k3 % 0,1 kcal/m . oC . h.

Se conoce la temperatura del plano común a la segunda y tercera parte, t3 % 430 oC.Los coeficientes de transmisión superficial de calor son:

h1 % 50 kcal/m2 . oC . h el correspondiente al fluido interior del horno.h2 % 10 kcal/m2 . oC . h el de la pared exterior al ambiente.

Calcúlese:

a) Los espesores de las capas e1, e2 y e3.b) Las temperaturas t1 de la cara interior del horno, t2 del plano común a la primera y se-

gunda capa y t4 de la pared exterior en contacto con el ambiente.

Solución:

Como hipótesis fundamental se considera la usual de muro indefinido con flujo unidireccionalnormal al muro y se aplica el principio de conservación de la energía (versión continuidad delflujo en régimen permanente).

Para los cálculos se aplican las fórmulas a una superficie de 1 m2.

q %A800kcal

m2 . hB% h1(ti . t1) % k1

(t1 . t2)

e1% k2

(t2 . t3)

e2% k3

(t3 . t4)

e3% h2(t4 . te)

(1) (2) (3) (4) (5)

e1 ! e2 ! e3 % 0,4 m(6)


www.FreeLibros.me

Directamente se obtienen los siguientes valores:

(1): 800kcal

m2 . h%50

kcal

m2 . oC . h(1.280 . t1)

oC ú t1%1.264 oC

(5): 800kcal

m2 . h% h2(t4 . te) % 10(t4 . 30) ú t4 % 110 oC

(4): 800 % k3

t3 . t4e3

% 0,1430 . 110

e3ú e3 % 0,04 m

y resolviendo el sistema de ecuaciones siguiente:

(2): 800 % k1. t1 . t2

e1% 1 . 1.264 . t2

e1

(3): 800 % k2. t2 . t3

e2% 0,2 . t2 . 430

e2

(6): e2 ! e1 % 0,4 . e3 % 0,36

se obtienen los otros tres valores:

t2 % 1.112,5 oC ; e1 % 18,94 cm ; e2 % 17,06 cm

9.5 En un horno eléctrico se ha introducido un electrodo de carbón de sección circular de 20 cmde diámetro y 1 m de longitud. Uno de sus extremos está a 3.000 oC y el otro a 200 oC. Laconductividad térmica de ese carbón se estima en 0,1258 cal/cm . s . oC. Calcúlese, explici-tando y justificando previamente las hipótesis que se consideren, el flujo de energía a lo lar-go de él en kcal/h y kW.

Solución:

Como hipótesis se consideran las siguientes:

a) Relativas al medio (carbón): continuo, homogéneo, estable e isótropo.b) Relativas al régimen: permanente. T1 % 3.000 oC y T2 % 200 oC, ambas constantes; y, por

tanto, T(P), es decir, no depende de t.c) Geometría: tubo cilíndrico.d) Condiciones de contorno:

Superficie lateral: pared adiabática úLT

Ln% 0.

Superficie de las bases: paredes isotermas ú T % cte.Se prescinde de fenómenos convectivos.


www.FreeLibros.me

Flujo unidireccional (axial).

Para el cálculo del flujo se utiliza la ecuación de Fourier de flujo unidireccional:

h % .kSdT

dx

h % 0,1258Acal

cm . s . oCB n . 102 (cm2)3.000 . 200

100 AoC

cmB 3.600As

hBh % 3.983,7

kcal

h%

3.983,7

3.600 Akcal

s B . 4,18 AJ

calB% 4,6255 kW

9.6 Un panel de material plástico de 0,1 m2 de área y 0,650 cm de espesor conduce calor enrégimen estacionario con una potencia (flujo) de 3 W, siendo las temperaturas de las super-ficies externas T0 % 24 oC y T1 % 26 oC. ¿Cuál es el valor de la conductividad térmica, ex-presada en cal/s . K . cm?

Solución:

h %Q

t% 3

J

s. 0,24

cal

J% 0,72

cal

s

h % k . S . BT

e

k %h . e

BT . S%

0,72 . 0,65

2 . 1.000

k % 2,34 . 10.4 cal

s . K . cm

9.7 En la hipótesis de régimen permanente, calcúlense:

a) Las pérdidas que se producen por unidad de tiempo a través de un cerramiento exterioropaco de 30 m2 de superficie formado por las siguientes capas:

N.o

de capa Descripción de la capa Espesor capae (m)

Conductividadcapa k (W/m . oC)

1 Ladrillo perforado cara vista 0,250 0,76

2 Poliestireno expandido 0,060 0,04

3 Ladrillo hueco sencillo 0,040 0,49

4 Guarnecido y enlucido de yeso 0,025 0,30


www.FreeLibros.me

b) Las temperaturas en ambas superficies de aislamiento (poliestireno).

Datos complementarios: Temperatura exterior: .3 oC. Temperatura interior: 20 oC. Cons-tante de convección en la superficie exterior: he % 1/0,06 W . m.2 . oC.1. Constante de con-vección en la superficie interior: hi % 1/0,11 W .m.2 . oC.1.

Solución:

a) La ecuación global del calorífugo, en régimen permanente, es:

h % US(Ti . Te)

donde h es el flujo de calor a través de la superficie S y U es la constante global de trans-misión del calor, expresada por:

1

U%

1

hi

! ;ei

ki

!1

he

1

U% 0,06 !

0,25

0,76!

0,6

0,04!

0,04

0,49!

0,025

0,3! 0,11 % 2,16

m2 . oC

W

U % 0,46W

m2 . oC

h % 0,46 . 30(20 ! 3) % 317,4 W

b) En régimen estacionario el flujo de calor que pasa por cada una de las capas del cerra-miento es el mismo.

Designando por t1, t2, ..., t5 las temperaturas de las distintas superficies de las capasque componen el cerramiento desde el interior al exterior y aplicando las leyes de Fourier,se obtiene:

t1 % te !

h

S

he

% .3 !1,058

1,666ú t1 % .2,36 oC

t2 % t1 !

h

Se1

k1% .2,36 !

2,645

0,76ú

ú t4 % 1,12 oC

t3 % t2 !

h

Se2

k2% 1,12 !

0,6348

0,04ú

ú t3 % 17 oC


www.FreeLibros.me

9.8 La caldera de la calefacción está a 20 m del local que se desea calentar. El agua circula en-tre la caldera y el local por dos tubos cilíndricos de hierro y se quiere evitar las pérdidas endichos tubos. El agua circula por uno de los tubos a la temperatura de 80 oC, mientras quepor el otro la temperatura del agua es de 40 oC, siendo la temperatura ambiente de 0 oC. De-terminar:

a) El calor que se pierde cada hora cuando los tubos están descubiertos.

b) El calor que se pierde cada hora cuando los tubos se recubren con una capa de materialaislante de 2 cm de espesor.

Datos complementarios: Radio interior de los tubos, Ri % 2,8 cm. Radio exterior de los tu-bos, Re % 3,0 cm. Conductividad del hierro, k1 % 0,15 cal/cm . s . oC. Conductividad del ais-lante, k2 % 10.4 cal/cm . s . oC. Supóngase que el coeficiente de intercambio por convecciónentre los fluidos y los materiales es único y de valor h % 1,68 . 10.4 cal/cm2 . s . oC.

Solución:

a) Hipótesis de régimen permanente ú h % cte

h % h . 2n . l .R1(T1 . Ti) % k . 2n . lTi . Te

lnR2

R1

% h . 2n . R2. l(Te . 0)

h

2n . l%

T1 . Ti

1

hR1

%Ti . Te

lnR2

R1

k

%Te

1

hR2

Para el tubo 1:h1

2nl%

T1

1

hR1!

lnR2

R1

k!

1

hR2

%80

4.110,437% 0,01946

h1 % 0,01946 . 2n . l % 244,574cal

s

Análogamente, para el tubo 2:h2

2nl%

40

4.110,437% 0,00973

h2 % 0,00973 . 2n . l % 122,287cal

s

Por tanto:

Q % h . t % (h1 ! h2) % (244,574 ! 122,287)(60 . 60) % 1.320.701 cal

Q % 1.320,7 kcal


www.FreeLibros.me

b) R1 % 2,8 cm; R2 % 3 cm; R3 % 5 cm.

h % h . 2nl .R1(T1 . T2) % kh. 2nl .

T2 . T1

lnR2

R1

% ka. 2nl .

T3 . T4

lnR3

R2

% h . 2nl .R3T4

h

2nl%

T1 . T2

1

hR1

%T2 . T3

lnR2

R1

kh

%T3 . T4

lnR3

R2

ka

%T4

1

hR3

Para el tubo 1:

h1

2nl%

T1

1

hR1!

lnR2

R1

kh

!

lnR3

R2

ka

!1

hR3

%80

8.454,07% 0,00946

cal

cm2

h1 % 0,00946 . 2nl % 118,878cal

s

Análogamente, para el tubo 2:

h2

2nl%

40

8.454,07% 0,0047 ú h2 % 59,457 cal/s

Q % hT. t % (h1 ! h2)

t% (118,878 ! 59,457) 3.600 % 642.006,1 cal

Q % 642 kcal

9.9 En el verano, una habitación de una vivienda se quiere matener a 22 oC durante el día en elque se supone una temperatura media exterior de 32 oC. Se admite que la habitación es unrecinto de paredes adiabáticas salvo la fachada y que sólo intercambia calor, por tanto, poruna única pared y que está compuesta de placas cerámicas de 5 mm de espesor, ladrillos de20 cm y corcho (revestimiento interior) de 3 mm.

Se pide:

1. Potencia que tendría que suministrar por m2 de fachada un refrigerador instalado en elinterior.

2. Si se para el refrigerador, ¿cómo podría calcularse la temperatura interior al cabo de 2horas?

Datos complementarios: Conductividades térmicas: del material cerámico, kce % 11,8 kcal/h .m . oC; del ladrillo, k1 % 0,9 kcal/h . m . oC; y el del corcho, kco % 0,035 kcal/h . m . oC.

Coeficiente de transmisión superficial del calor (supuesto idéntico en ambos paramentos):h % 20 kcal/m2 . h . oC.


www.FreeLibros.me

Solución:

1. Transmisión del calor en régimen permanente: q % .Ugrad T.El coeficiente global de transmisión superficial del calor, U, considerando que se pro-

ducen los fenómenos de conducción y de convección, es:

1

U%

1

he

!e1

k1!

e2

k2!

e3

k3!

1

hi

%2

20!

0,005

1,18!

0,2

0,9!

0,003

0,035

1

U% 0,1 ! 4,237 . 10.4

! 0,222 ! 0,0857 % 0,408h . m2 . oC

kcal

U% 2,449kcal

h .m2 . oC

Para cada m2 de superficie de pared:

Pot %Q

t% K . S . BT% 2,499 . 1 . (305 . 295) % 24,99

kcal

h

Pot % 24,99kcal

h

2. Ti variable, Te cte, K cte ú Régimen variable de transmisión del calor

dQ

dt% KS(Te . Ti)

y como:dQ % mc dT % C dT

C dT

dt% KS(Te . T)

Separando variables:dT

Te . T%

KS

Cdt

Integrando: ln (Te . T) . ln A % .

KS

Ct ú Te . T % Ae

.

KS

Ct

Para el cálculo del valor de la constante de integración A se impone la condición:

t % 0 ú Ti % T0 ú Te . T0 % A

T2 % 305 . (305 . 295)e.2,449 . 1

C. 2

% 305 . 10.4,9

C

Por tanto, la ecuación del campo térmico es:

T % Te . (Te . T0)e.

KS

Ct


www.FreeLibros.me

9.10 La cubierta de 500 m2 de un recinto para exposiciones debe tener el 12% de su superficieformado por claraboyas o lucernarios que permitan la iluminación natural del espaciointerior. Si la parte opaca tiene un coeficiente global de transmisión superficial del calor de0,76 kcal/h .m2 . oC, la traslúcida de 2,08 kcal/h . m2 . oC y la temperatura interior se debemantener a 18 oC, siendo la temperatura en el exterior de .3 oC, se pide:

a) La cantidad de calor que se pierde por conducción-convección a través de la cubierta,en una hora.

b) Si fuera necesario aumentar la superficie traslúcida hasta el 20% de la superficiecubierta, para mejorar la iluminación interior, ¿qué coeficiente global de transmisiónsuperficial del calor deberá tener el nuevo material opaco para mantener igual las pér-didas?

Solución:

a) De los 500 m2, 440 m2 son opacos y 60 m2 son traslúcidos.

htotal % hop. ! htrans. % U0S0Bt ! UtStBt % 440 . 0,76 . 21 ! 60 . 2,08 . 21

htotal % 9,6436kcal

h

b) En esta tesitura, 400 m2 son opacos y 100 m2 son traslúcidos, siendo análogamenteBt % 21 oC.

9,6432 % hopacos ! htrans. % U0. 400 . 21 ! 2,08 . 100 . 21 % U0

. 400 . 21 ! 4.368

U0 %5,2752

400 . 21

U0 % 0,628kcal

h .m2 . oC

9.11 En un día de invierno las pérdidas de calor por convección-conducción a través de los cerra-mientos verticales de un edificio industrial son del orden de 10.000 kcal/h. Si el área totalde estos cerramientos es de 500 m2, de los cuales 100 m2 son de material traslúcido cuyocoeficiente global de transmisión del calor es de 2,08 kcal/h . oC . m2, y la diferencia de tem-peraturas entre el exterior y el interior es de 20 oC, se pide:

a) ¿Cuál es el coeficiente global de transmisión de calor de las superficies opacas?

b) Si se reduce el área de las superficies traslúcidas a 80 m2, ¿de qué orden deberá ser elcoeficiente global de transmisión del calor del material opaco para que las pérdidas decalor se reduzcan a la mitad?


www.FreeLibros.me

Solución:

htotal % hopacas ! htrans.

a) 10.000 % U0. S0

. BT! Ut. St

. BT

htotal % 10.000 % U0. 400 . 20 ! 2,08 . 100 . 20 % 8.000U0 ! 4.160

U0 %10.000 . 4.160

8.000%

5.840

8.000

U0 % 0,73kcal

h .m2 . oC

b) Straslúcidas % 80 m2 y Sopacas % 500 . 80 % 420 m2

htotal % 5.000 % U0ñ. 420 . 20 ! 2,08 . 80 . 20

U0ñ%

5.000 . 3.328

8.400%

1.672

8.400

U0ñ% 0,199

kcal

h . m2 . oC


www.FreeLibros.me


9.1. Se considera una barra de acero de 10 cm de largo y otra de cobre de 20 cm de largo,ambas con la misma sección transversal cuadrada de 2 cm de lado.

Se pide:

a) Suponiendo que la barra de acero se suelda por un extremo a la de cobre, de formaque el extremo libre de la barra de acero se mantiene a 100 oC (colocándolo en con-tacto con vapor de agua) y el de la de cobre se mantiene a 0 oC (colocándolo en hie-lo fundente), determinar la temperatura en la unión de las dos barras y el flujo totalde calor a través de ellas.

b) Suponiendo que se separan las dos barras, de forma que un extremo de cada una semantiene a 100 oC, y el otro a 0 oC, calcular el flujo total de calor a través de ellas.

c) Si se anclan los dos extremos de la barra de cobre, inicialmente a 0 oC, y a conti-nuación se calienta ésta a 100 oC, ¿qué tensión soportará la barra?

(Conductividad del acero: 50,2 W/m .K; conductividad del cobre: 385 W/m .K; módulode Young del cobre: 2.1011 Pa; coeficiente de dilatación lineal del cobre: 1,4 . 10.5 oC.1).

9.2. La fachada de una vivienda está formada por 150 m2 de superficie de ladrillo y 50 m2 deunas ventanas de aluminio (15%) y vidrio (85%).

Calcular:

a) Pérdida de calor a través de toda la fachada cuando la temperatura exterior es de10 oC y la temperatura interior se mantiene constante a 20 oC.

b) Pérdida de calor a través de toda la fachada en las mismas condiciones.

[Constante de transmisión del calor (conductancia) del ladrillo: 0,76 kcal/h .m . oC; cons-tantes de transmisión superficial del calor exterior e interior, respectivamente: he%50 cal/h . m . oC y hi % 10 kcal/h . m . oC; constante de transmisión global del calor del aluminio:1,12 kcal/h .m . oC, y constante de transmisión global del calor del vidrio: 2,08 kcal/h . m . oC].

9.3. El muro exterior de una vivienda está constituido de la forma siguiente: fábrica de ladri-llo macizo de 11 cm de espesor, rasilla de 4 cm y enlucido de yeso de 1,4 cm. El interiorde la vivienda se quiere mantener a 24 oC y la temperatura exterior se considera constan-te de 18 oC. Calcular:

a) Pérdida diaria de calor por m2 de fachada.b) Temperaturas de las caras del ladrillo y de la rasilla.

(Conductividades: kladrillo%0,75 kcal/h .m . oC; krasilla%0,42 kcal/h .m . oC; kyeso%0,26 kcal/h . m . oC. Coeficientes de transmisión superficial del calor (convección) exterior einterior, respectivamente, he % 142,85 kcal/h .m . oC y hi % 7,7 kcal/h . m . oC).

9.4. Un gran edificio comercial de 25 # 50 # 6 m3 está formado por cerramientos lateralestipo panel sandwich (dos chapas de acero con aislamiento intermedio) y una cubierta ho-rizontal compuesta por chapa de acero de 1 mm de espesor, aislamiento térmico de espe-sor 4 cm y membrana de impermeabilización protegida de 2 cm de espesor. Si el 12% de


www.FreeLibros.me

la superficie de la cubierta debe utilizarse para iluminar y se utilizan lucernarios de do-ble capa traslúcida de metacrilato, se pide:

a) Calcular la cantidad de calor que se pierde en una hora a través de la envolvente deledificio (sin considerar las posibles pérdidas a través del suelo) suponiendo que latemperatura exterior fuera de .5 oC y constante y la temperatura interior se quisieramantener constante a 18 oC.

b) Si se sustituyen las dos fachadas menores por un cerramiento de ladrillo visto, ¿quéespesor mínimo debe tener ese muro para que las pérdidas de calor sean iguales queen el caso del cerramiento original?

c) Determinar la energía mínima que se gastaría con una bomba de calor para mante-ner la temperatura interior deseada durante una hora.

(Conductancia de la fachada tipo sandwich: 0,45 kcal/h .m2 . oC. Conductividad térmicadel ladrillo macizo: 0,8 kcal/h .m . oC. Conductividad térmica del acero: 50 kcal/h . m . oC. Conductividad térmica del aislamiento: 0,036 kcal/h . m . oC. Conductividadtérmica de la membrana de impermeabilización: 0,6 kcal/h . m . oC. Constante de trans-misión de calor de los lucernarios: 3,2 kcal/h . m2 . oC. Resistencias térmicas superficialesde los cerramientos verticales: 1/hi % 0,13 h .m2 . oC/kcal y 1/he % 0,07 h .m2 . oC/kcal yde los cerramientos horizontales: 1/hi % 0,11 h .m2 . oC/kcal y 1/he %0,06 h .m2 . oC/kcal).

9.5. En una habitación donde funcionan unas máquinas que disipan 3.000 kcal/h se va a ins-talar un acondicionador para que la temperatura se mantenga a 20 oC. La única pared dela habitación que intercambia calor es una que lo hace con el exterior, donde la tempera-tura es de 35 oC.

Si 10 m2 de esa pared están acristalados con vidrio de 8 mm de espesor y los 20 m2

restantes son de hormigón de grosor 25 cm, calcúlese la potencia de la instalación frigo-rífica necesaria suponiendo que se trata de una máquina de Carnot.

(Conductividad térmica del hormigón: 1,5 kcal/h . m . oC. Conductividad térmica del vi-drio: 0.82 kcal/h .m . oC. Constantes de transmisión superficial global del calor interior:hi % 8 kcal/h .m2 . oC; y exterior: he % 4 kcal/h .m2 . oC).

9.6. Las superficies (o líneas) isotermas en un problema de conducción térmica bidimensio-nal se definen por la ecuación T % 3xy.

a) Determinar la densidad vectorial de flujo calorífico en el punto P(1, 1) si se expresala ley de Fourier de la forma q % .k grad T, siendo k la conductividad térmica.

b) Ídem si se expresa de la forma q % .K grad T, siendo la matriz K asociada al ten-sor conductividad:

K %Ck 0 0

0 2k 0

0 0 3kD9.7. Estúdiese, estableciendo previamente las hipótesis que se consideren oportunas, el cam-

po térmico y el flujo de calor en un recinto sólido de forma esférica de radio exterior25 cm y espesor 3 cm cuando las temperaturas interior y exterior son, respectivamente,100 oC y 20 oC.


www.FreeLibros.me

9.8. Imagínese un elemento constructivo de forma esférica que tiene un espesor de 15 cm yen cuyo interior hay un líquido que se mantiene a una temperatura constante de 50 oC.La temperatura ambiente se supone que es, constante, de 20 oC. Determinar:

a) Expresión del campo térmico en el interior del sólido.

b) Flujo de calor a través del mismo.

c) Hipótesis realizadas para la resolución del problema.

(Conductividad térmica del elemento: k % 0,1 J/s .m . oC).

9.9. Se considera una plancha de acero de 1 m2 de superficie y 0,5 cm de espesor.Se pide:

a) Calcular la cantidad de agua a 100 oC que se evaporaría en 8 horas con la energíacalorífica recibida a través de la plancha, si la temperatura de la superficie exteriorde ésta, en contacto con el foco térmico, está a 200 oC.

b) Especificar las hipótesis utilizadas para la resolución numérica del ejercicio.

(Conductividad térmica de ese acero: k % 42 W/m . oC. Calor de vaporización del agua:cv % 2.257 kJ/kg).

9.10. Una nevera, cuyas paredes tienen una superficie total de 8 m2 y 5 cm de espesor, estáconstruida con un material aislante de conductividad térmica 10.4 cal/s . cm . oC. Latemperatura exterior es de 20 oC. En el interior de la nevera se mantiene una temperatu-ra de 5 oC mediante la introducción de una determinada cantidad de hielo a 0 oC. Elhielo fundido sale de la nevera a la temperatura de 5 oC. Si el hielo cuesta a 0,20 e/kg:

a) ¿Cuál será el gasto diario de la nevera?

b) Especificar las hipótesis realizadas en la resolución numérica del apartado anterior.

(Calor de fusión del hielo: 334,4 J/g. Calor específico del agua: 4,18 J/g . oC).

9.11. Una placa de bronce de 3 cm de espesor está pegada a una hoja de vidrio. Ambas tie-nen el mismo área. La cara exterior de la placa de bronce está a 80 oC, mientras que laexterior del vidrio está a 20 oC.

Si la capa de contacto entre ambos materiales está a 65 oC, calcular:

a) El espesor del vidrio.

b) Cantidad de hielo a 0 oC que se fundiría con el calor que atraviesa, por m2, las pla-cas en 30 minutos.

c) Hipótesis realizadas para resolver cada uno de los apartados.

(Conductividad del bronce % 105 W/m .K. Conductividad del vidrio % 0,80 W/m .K).

9.12. Una gran tetera de cobre, con base circular de 30 cm de diámetro interior, tiene un es-pesor uniforme de 2,5 mm. Está situada sobre un quemador cuya temperatura es de150 oC. La tetera, de 10 litros de capacidad, está llena de agua en ebullición.

a) Determinar el flujo de calor a través de su base.

b) Suponiendo que el único aporte de calor es el del quemador, ¿cuánta agua se eva-poraría en 5 minutos?


www.FreeLibros.me

c) Razonar los resultados.

(Conductividad térmica del cobre: 390 W/m . oC. Temperatura ambiente: 22 oC. Calorespecífico del agua: 4,18 J/g . oC. Calor de vaporización del agua: 22,6 . 105 J/kg).

9.13. En la casa de la figura, la conductividad media de todos loscerramientos es de 0,480 W/m . oC, y su espesor medio es de21 cm. El interior se calienta mediante gas natural, que tieneun calor de combustión (energía proporcionada por metrocúbico de gas consumido) de 9.300 kcal/m3.

a) ¿Cuántos metros cúbicos de gas será preciso consumircada día si se quiere mantener una temperatura interiorde 20 oC y la temperatura media exterior es de 0 oC?

b) Especificar las hipótesis consideradas para la resolución numérica del ejercicio.

9.14. Un recipiente de espuma de poliuretano, de conductividad térmica 0,042 W/m . oC, tie-ne una superficie total de 1 m2 y un espesor de 2,5 cm.

Si se guarda en su interior 5 kg de hielo a 0 oC, se desea saber:

a) ¿Cuánto tardará en fundirse todo el hielo si la temperatura exterior es de 35 oC?

b) Si se recubre el exterior del recipiente con madera de pino de conductividad térmi-ca 0,12 W/m . oC, ¿qué espesor debería tener la capa para que tardara en fundirse10 horas?

c) Hipótesis consideradas para la resolución numérica del ejercicio.

9.15. Imagínese una sala, de planta circular, coronada por una gran cúpula acristalada conuna artística vidriera (cristales policromados unidos con tiras de plomo). En verano so-porta temperaturas exteriores extremas (desde 6 oC a 40 oC), por lo que durante 8 horasfunciona un acondicionador de aire.

a) Describir los fenómenos físicos que tienen lugar en el interior durante esa épocadel año.

b) Enunciar las teorías físicas que permitirían estudiarlos.

c) Describir cada una de las magnitudes físicas propias de cada una de esas teorías.

d) Concepto de temperatura en cada una de ellas: analogías y diferencias.

9.16. Un arquitecto desea determinar la conductividad de un material aislante que se sumi-nistra en hojas de 1,1 cm de espesor. Para hacerlo, con este material, construye unacaja cúbica de 25 cm de lado, y coloca un termómetro y un calentador de 100 W en suinterior. Cuando se ha alcanzado el equilibrio térmico, la temperatura en el interior dela caja es de 85 oC, cuando la temperatura exterior es de 22 oC. ¿Cuál es la conductivi-dad de ese material? ¿Es buen aislante?

9.17. Para determinar la conductividad térmica de una varilla de metal, un investigador tomala varilla cuya sección transversal es de 2,25 cm2 y cuya longitud es 1,5 m y coloca unextremo de ella en contacto con agua hirviendo. Después hace un hueco semiesféricoen el otro extremo, colocando en él un cubito de hielo de 5 g, y observa que al cabo de6,5 minutos se ha fundido todo el hielo.


www.FreeLibros.me

a) ¿Cuál es la conductividad térmica del material de la varilla?

b) ¿Qué hipótesis ha realizado para la resolución del apartado anterior?

9.18. Una ventana térmica tiene dos capas de vidrio de 3 mm de espesor separadas por unespacio con aire de 5 mm. La superficie de la ventana es de 2 m2.

Determínese la pérdida de calor a través ella cuando la temperatura exterior es de.12 oC y la interior de 20 oC.

(Conductividad del vidrio: kv%1 W/m . oC. Conductividad del aire: ka%0,024 W/m . oC).

9.19. En una vivienda se ha instalado un termo de agua caliente de 90 l de capacidad, deforma cilíndrica, de 440 mm de diámetro, que mantiene el agua a una temperatura de65 oC. El termo, de chapa de 2 mm de espesor, de conductividad térmica 50 kcal/m . h . oC, está recubierto de un material aislante de 10 cm de espesor y conductividadtérmica 0,04 kcal/m . h . oC. Suponiendo que la constante de convección exterior (coefi-ciente de película) es de 9 kcal/m2 . h . oC, determínese la energía perdida durante 24horas si la temperatura ambiente se supone, constante, de 20 oC.

9.20. La pared de un horno industrial está compuesta por 25 cm deladrillo de barro refractario en la cara interior, una capaintermedia de 8 cm de ladrillo aislante y una capa exterior de12 cm de ladrillo de mampostería (en la figura se muestrauna sección del mismo). Las conductividades térmicas res-pectivas son: k1 % 0,18 W/m .K, k2 % 0,02 W/m .K yk3 % 0,12 W/m .K.

Las temperaturas de las superficies interior y exterior son250 oC y 22 oC, respectivamente.

Si se desprecia, a efectos de la conducción y del espesor,la influencia de las uniones de mortero, determínese las tem-peraturas de las superficies interiores de los respectivos ladri-llos.

9.21. Por un tubo de aleación de aluminio rectilíneo, en el que la

relaciónRexterior

Rinterior

%R2

R1% e (base de los logaritmos neperia-

nos), circula un líquido a presión que mantiene su paredinterior a T1 % 60 oC constante. La temperatura de la superficie exterior es T2 % 30 oC yel flujo de calor perdido por unidad de longitud es 334 J/cm . s. Para disminuir estaspérdidas, se rodea el tubo con un aislante coaxial de espesor a % R2(∂e . 1) cm, y seobserva que el flujo de calor por unidad de longitud es ahora de 33,4 J/cm . s y la tem-peratura exterior del aislante, T3 % 4 oC.

Prescindiendo de los fenómenos de convección y radiación, determínese:

a) Las conductividades térmicas de la aleación de aluminio y el aislante.

b) La temperatura de la superficie de separación entre el tubo y el aislante.

c) El coeficiente global de transmisión del calor.

9.22. Una tubería de acero de 10 m de longitud, provista de un aislamiento térmico de2,5 cm de radio interior y 5 cm de radio exterior, transporta vapor de agua a 200 oC.


www.FreeLibros.me

Las temperaturas de la pared interior del acero en contacto con el vapor de agua y de lapared exterior del aislante son, respectivamente, 198 oC y 160 oC. La tubería está situa-da en un ambiente a 20 oC.

Se pide:

a) Enumerar y definir los mecanismos de transmisión de calor que intervienen en elproceso de pérdida de calor entre el vapor que circula por la tubería y el aire delexterior.

b) Determinar los coeficientes de transmisión superficial por convección interno y ex-terno, sabiendo que el flujo de calor es de 2.150 kcal/h.

c) Calcular la resistencia térmica de la tubería de acero con el aislamiento térmico.¿Cuál sería su expresión matemática?

9.23. Durante una noche se ha formado en un lago una capa superficial de hielo de 11 cm deespesor. Suponiendo que ha tardado 8 horas en formarse y que la temperatura del aguase ha mantenido constante en 0 oC, calcular la temperatura del ambiente (supuesta tam-bién constante).


www.FreeLibros.me

a

www.FreeLibros.me

En esta tercera parte, En torno a la energía, se estudia con cierto detalle la Termodinámica clásica dedicandouna atención especial a su contextualización histórica y a sus revolucionarias concepciones.

La Termodinámica nace a mediados del siglo XIX como una ciencia básica de naturaleza macroscópica.Integra las antiguas magnitudes físicas temperatura y calor, ya aceptablemente diferenciadas, y aporta otrasdos que se constituirán en fundamentales: una, la energía; otra, la entropía. Pero se presenta con unas pre-tensiones exageradas que denominamos universalidad, generalidad y totalidad, y que en síntesis pueden ca-racterizarse como se hace a continuación.

Universalidad, la pretensión de valer en todo tiempo, todo lugar y para todos los cuerpos; es decir, comoreferencia a las tradicionales categorías fundamentales de la Naturaleza establecidas desde el pensamientogriego clásico: espacio, tiempo, materia.

Generalidad, como referencia a los fenómenos, a todo tipo de fenómenos. Todos los procesos de la Na-turaleza, con absoluta generalidad, debían someterse a los principios de la Termodinámica.

Totalidad, para todas las teorías físicas. Esto hará de ella, y con ella, el ámbito posibilitador para transitarde una teoría física a otra. El concepto de energía adquirirá rango de magnitud fundamental en la, y con la,Termodinámica y por su mediación se convertirá en magnitud relacional entre las diferentes teorías físicasen las que la energía será forma singular de aquella única propia de la Termodinámica y que será, de ordina-rio, secundaria en cada teoría física una vez definida y adjetivada: energía mecánica potencial, energía mecá-nica cinética, energía mecánica elástica, energía eléctrica, energía hidráulica, energía calorífica (térmica osimplemente calor), energía luminosa, energía acústica, energía magnética, etc.

La Termodinámica permanece vigente. Ha superado la prueba del fuego del nacimiento de las nuevas fí-sicas: Física atómica, Física nuclear y Física de partículas elementales o de altas energías. Pero no en tantoque siga imponiendo sobre ellas sus conceptos y sus principios, ya que, por ejemplo, carece de sentido ha-blar de la temperatura de un electrón, o del intercambio de calor entre el núcleo y un electrón de un átomo,o del aumento de la entropía de un núcleo atómico.

Conviene afirmar que aquellas pretensiones iniciales eran ciertamente desorbitadas. Su campo, como seha sugerido, es el de la Física macroscópica, el de la Física y la Química clásicas. Su mundo no es propia-mente el de la Física de partículas elementales, el de la Física cuántica. Su mundo es el de la Ingeniería, el detodas las ingenierías. Pocas teorías físicas tienen el valor intrínseco que aporta la Termodinámica y, sobretodo, el valor relacional teórico asociado al principio de conservación de la energía y la expresión de quetodo lo que sucede en la Naturaleza está dominado por el segundo principio: la degradación de la energía oel incremento de la entropía.

Y ha ganado un ámbito inexistente propiamente en su origen: el de la Cosmología. Se une a la Relativi-dad para constituir los fundamentos teóricos del comportamiento del Universo.

La Termodinámica constituye, pues, un capítulo fundamental de la Física. Desde su inicio siempre lo hasido. Y también para la Ingeniería y la Arquitectura. Y hoy lo es tanto o más que en el reciente pasado.

www.FreeLibros.me

a

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.me

10.1 Consideraciones introductorias

10.1.1. Consideraciones conceptuales

La Termodinámica Clásica se establece en y con un marco de ideas básicas generales —ideasfuertes—, no suficientemente explicitadas, en general, y menos aún estructuradas en conjunto;su ausencia de los libros de texto usuales hace difícil la comprensión de cuestiones importantes.La tarea, a nuestro juicio más que interesante, de salvar esta laguna, constituye el objeto y elobjetivo de este primer tema. ¿Qué es la Termodinámica Clásica? ¿Qué papel representa? ¿Enqué contexto intelectual científico se genera, se desarrolla y se establece? ¿Cuál es su relaciónradical con el resto de las teorías físicas?

Estas ideas deben recordarse con alguna frecuencia, y son más importantes que los propiosprincipios fundamentales, ya que éstos carecen de sentido al margen de estas ideas básicas.Pueden ser las que se explicitan, sucinta pero claramente, en sus primeros contenidos y a faltade matices y desarrollos más amplios, en los párrafos siguientes.

1. La Termodinámica Clásica puede considerarse como (o es) una teoría física termológi-ca; es decir, es una teoría física del calor y de la temperatura, ideas (variables, magni-tudes, conceptos) estas —calor y temperatura— que han marchado tan ligadas siemprea lo largo de la historia de la física (y de la medicina, biología, química). Se ha desta-cado el «puede considerarse como» sobre el «es» por diferentes razones:

a) Por el origen y la tradición de dichos conceptos que la engarzan con las teoríastermológicas en cuya historia se inscribe.

b) De hecho, el concepto central —y nuevo en esencia— de la Termodinámica es elde energía, respecto del cual el calor clásico, preexistente históricamente, va a ad-quirir una dimensión nueva: la de forma de energía (energía calorífica, una de lasdiferentes maneras que la energía tiene de manifestarse). Por ello, posiblemente, el«puede considerarse como» sea más correcto que el «es».

2. Es la teoría de la energía, idea —la energía— ya existente parcialmente, en la Mecáni-ca, que se constituye en el concepto central de la nueva ciencia Termodinámica.

3. Caracteriza los sistemas y estudia los fenómenos que tienen lugar en ellos desde unaperspectiva macroscópica, independientemente de cuál sea la naturaleza íntima de lamateria. Estudia, por tanto, sistemas y fenómenos macroscópicos, que describe macros-cópicamente, relacionados con el calor y otras formas de energía y la temperatura. To-das las magnitudes propias de la teoría son de referente macroscópico.

4. Históricamente nace y se desarrolla con el estudio y la experimentación de las relacio-nes entre calor («termo») y trabajo mecánico («dinámica»); de la búsqueda de produc-ción de trabajo mecánico (energía) a partir de calor (energía).

5. Limita su estudio a los estados de equilibrio de un sistema y a los procesos (transfor-maciones) de éste, que pueden representarse mediante sucesivos estados de equilibrio1.

1 De aquí el uso, por algunos, del vocablo termostática, que, aunque pudiera considerarse más correcto linguística-mente, iría, en este caso, contra su origen histórico —Termodinámica: relación entre el calor y el trabajo mecánico— ycontra la historia de esta teoría física.


www.FreeLibros.me

6. La construcción de esta teoría se hace utilizando también elementos previos:

a) Como prefísica integra la Geometría métrica, con las nociones de cuerpo (geomé-trico), volumen y superficie limitadora (contorno).

b) Como protofísica hereda e integra la noción de materia y con ella la de masa(cantidad de materia).

c) De la mecánica recibe las nociones fundamentales, entre otras, de movimiento,fuerza (y presión) y trabajo.

d) De las teorías termológicas previas continúa con los de calor y temperatura.

7. Es una teoría cuya axiomática está integrada sólo por hipótesis magnitudinales y porprincipios ecuacionales relativos, cada uno de ellos, exclusivamente, a una magni-tud. (No está integrada por leyes relacionales entre variables diferentes asociadas adeterminadas magnitudes). A modo de antecedente de lo que se ha de desarrollar,pero fijando el interés exclusivamente en el preámbulo anterior, se sintetizan a con-tinuación, destacando la magnitud utilizada en cada caso, con la denominación usualde principios.

Principio 0. (Temperatura). Noción de equilibrio térmico.Principio 1. (Energía). Conservación.Principio 2. (Energía). Degradación.

(Entropía). Crecimiento.Principio 3. (Temperatura). Inaccesibilidad del cero absoluto.

8. Es una teoría física aespacial y atemporal. Tal como se establecen los principios y susaplicaciones, todo sucede en ella como si nada estuviera en ningún sitio o lugar de unespacio-soporte o referencial (absoluto, externo) ni en ningún instante o momento deningún devenir de referencia (absoluto, externo). Aquí ha radicado y radica una parteimportante de su gloria, pero también en esto, simultáneamente, ha radicado parcial-mente la parte correspondiente de su fracaso.

9. Aunque nace para establecer las relaciones entre calor y trabajo y sus aplicaciones amáquinas, es —en sí misma— una teoría muy general. Nuestra expresión más repre-sentativa es que «tiene pretensiones de universalidad, de generalidad y de totalidad»;es decir, aplicación para todos los sistemas, en todas partes y en todo lugar para todoslos fenómenos físicos y para todas las restantes teorías físicas que deben someterse asus principios. Se yuxtapone a otras teorías físicas y, en conjunto, constituyen teoríasmás complejas.

10. A modo de nota complementaria: Suele ser frecuente integrar en los textos usuales deTermodinámica (casi) todos los temas relacionados con la temperatura y/o el calor.Los objetivos de esta obra, de orientación histórica global y de búsqueda de rigor con-ceptual, insistiendo en su fundamentación filosófica y formulación matemática, hacenque se distinga nítidamente entre Termología (conjunto de teorías físicas del calor yla temperatura) y Termodinámica (una teoría física concreta que considera de mane-ra especial —entre otras magnitudes— el calor y la temperatura), de modo que la Ter-modinámica es una teoría termológica y queda integrada en la Termología.

CAPÍTULO 10. Fundamentos de Termodinámica Clásica 179

www.FreeLibros.me

10.1.2. Consideraciones históricas2

10.1.2.1. En torno al primer principio: conservación de la energía

El descubrimiento del principio de conservación de la energía y su establecimiento científicotienen lugar en la década 1840-1850. Las diferentes teorías físicas clásicas han alcanzado alarribar el año 1840 apreciables niveles de desarrollo; son muchos los fenómenos conocidos enlos diferentes ámbitos, unos suficientemente interpretados, otros deficientemente o no interpre-tados. La energía, en cuanto idea, se va abriendo camino; en cuanto concepto físico, no está nimucho menos definido con precisión; la palabra, en el ámbito de la expresión linguística cientí-fica, no se usa.

¿Quiénes fueron los descubridores del denominado principio de conservación de la ener-gía? Este importante descubrimiento fue realizado más o menos simultáneamente, e indepen-dientemente, por diferentes pensadores e investigadores, caso que suele ser frecuente en la his-toria de la ciencia. Puede afirmarse, dado el nivel alcanzado por la Física en esta época, que, siellos no hubiesen existido, otros lo habrían hecho. El caso de que fuesen tres es una pruebacomplementaria de fácil aceptación; ello demuestra más aún que no era sólo fruto del azar o dela suerte, sino que, en gran medida, el considerable número de fenómenos aceptablemente co-nocidos exigían y presagiaban una ley que los relacionase, una ley de síntesis. Pero ¿quiénesfueron? Un médico alemán, de una pequeña ciudad, un industrial inglés y un ingeniero danés;el primero y el último lejos del ámbito específico y profesionalmente científico. Así les fue.Lógicamente con desiguales aportaciones participan del mérito del descubrimiento.

a) Julius Robert von MAYER (1814-1878)

El primero de ellos es Mayer, modesto médico de la ciudad alemana de Heilbronn. Realizó en1840 un viaje a la isla de Java como médico en un barco holandés. El viaje era muy largo y sellevó un considerable número de libros de Física, extrañísima afición —digamos literaria— enla época. En los numerosos y extensos ratos de ocio que le permite su trabajo y le facilita supersonalidad, se dedica a la lectura de tales libros. Los textos en general no le satisfacen; leresultan a veces incoherentes. Piensa que se describen algunos fenómenos por unos efectos, sincausas que los expliquen, o viceversa, que unas causas determinadas no producen los efectosque lógica y coherentemente debían esperarse. Muchas dudas, algunos problemas, bastante in-satisfacción para su espíritu científico.

En Java tiene que sangrar a unos cuantos tripulantes y observa que el color de la sangre delas venas es más rojo. En un primer nivel de abstracción concluye que la sangre es más roja enlas zonas más calurosas, caso del trópico, que en las templadas o frías. (Hacía casi 350 años deldescubrimiento de América). En un segundo nivel de abstracción intuye la causa del fenómeno:la temperatura ambiente es más alta, y, en consecuencia, el cuerpo humano puede mantenerconstante su temperatura realizando una menor combustión que en las latitudes más frías.La sangre de las venas tiene una mayor proporción de oxígeno, causa inmediata del rojo másintenso, en los climas cálidos («la sangre caliente de las personas del Sur»). Esta observacióncasual, accidental, unida por supuesto a sus dudas y a sus pensamientos críticos del viaje, cons-

2 Este apartado constituye una adecuación de los párrafos correspondientes a la Termodinámica de la monografía:González de Posada, F. (1981): Consideraciones históricas en torno al concepto de energía y a la evolución del principiode su conservación. Santander: Amigos de la Cultura Científica.


www.FreeLibros.me

tituye la base del proceso mental que le permite concluir que aquellos conceptos formalmentetan distintos como el trabajo mecánico y el calor no son más que dos aspectos de una mismarealidad física transformables el uno en el otro. Con este fundamento, en Surabaya, año 1840,Mayer inicia el descubrimiento del principio de conservación de la energía. Se alumbra unanueva época en la historia del pensamiento científico.

Vuelve a Alemania. Prepara una memoria relativa a su descubrimiento. En julio de 1841 sela envía a Johann Christian Poggendorff, director de la revista Annalen der Physik und Chemie(hoy Annalen der Physik), en Berlín. Éste decide no publicarla y no atiende las frecuentes soli-citudes del autor reclamando su memoria, la retiene. Decenios más tarde, cuando Poggendorfffallece, entre sus papeles aparece el manuscrito de Mayer.

Este suceso le impulsa a escribir una nueva memoria en el año siguiente, 1842: «Observa-ciones acerca de las fuerzas de la naturaleza inanimada», publicada en la revista química quedirigen Justus von Liebig (1803-1873) y Friedrich Wohler (1800-1882), y en ella expone suteoría con más rigor y más precisión.

En estas primeras memorias aplica el principio de conservación de la energía (fuerza sellama todavía, aunque con el significado de nuestra actual energía) a los procesos del mundoinanimado; constituyen auténticos hitos en la historia de la Física. Sus contemporáneos —nosreferimos, claro está, a los científicos profesionales—, que marcan la pauta de conducta social,la reciben con incomprensión. Es tal la magnitud de su descubrimiento, en el ámbito de lascomplejas relaciones entre los fenómenos de naturaleza física tan diferente en aquella época,que permanece ignorado y marginado. Su ley, el principio de conservación de la energía, so-brepasa ampliamente, por su generalidad, a las leyes mecánicas de Newton.

En 1845 publica otra memoria en la que extiende el principio a los fenómenos orgánicos.Finalmente, en 1858, en otra, lo aplica al Cosmos entero.

La afirmación de su poderosa intuición, de su convicción, de su genialidad, debe completar-se con otras notas también de interés, entre las que pueden señalarse: primero, el bajo nivel desus conocimientos matemáticos, que le impide enriquecer y formular analíticamente su princi-pio; segundo, basado en su intuición realiza sus deducciones sin ningún tipo de verdaderos ex-perimentos propios. No obstante, comprende el principio de conservación perfectamente y logeneraliza a un número verdaderamente impresionante de fenómenos físicos, químicos y astro-nómicos. En su primera memoria ya indica un método para calcular el equivalente mecánicodel calor.

Mayer distingue cinco formas de energía: de situación, de movimiento, calor, electromag-nética y química; formas de energía (de fuerza) que están en continua metamorfosis, pero de talmanera que su cantidad permanece constante en todas las transformaciones.

El formalismo matemático que aporta posteriormente Helmholtz a este principio y la difu-sión que adquieren las experiencias de Joule hacen que, más o menos a partir del año 1850,los físicos empiecen a considerarlo. Pero, y he aquí la tragedia, se le niega la paternidad.En la pequeña ciudad de Heilbronn, donde continúa viviendo, se le considera un megalómano,es causa de risa y de pena, padece horribles sufrimientos psíquicos y fuertes depresiones, inten-ta el suicidio en el verano de 1850, y permanece encerrado durante dos años en un manicomio.

Al final de su vida percibió los primeros destellos de su celebridad futura. Thyndall, suce-sor de Faraday en la Royal Society de Londres, defiende sus derechos, y en Berlín, en un ciclode conferencias, Duhring glosa su obra y le llama «el Galileo alemán». Mayer muere en 1878.


www.FreeLibros.me

b) James Prescott JOULE (1818-1889)

En segundo lugar debe citarse a Joule, propietario de una cervecería en Manchester. El proble-ma objeto de su atención fue el calor que se engendra en los hilos de la pila de Volta.

En 1840 estableció la ley posteriormente denominada efecto Joule: la cantidad de calor des-prendido por unidad de tiempo en un conductor es directamente proporcional al cuadrado de laintensidad de la corriente (Q ã I 2).

Intuye que debe existir una cierta relación entre la cantidad de sustancias químicas que con-sume la pila, la cantidad de calor producida en los conductores y el trabajo que realiza la má-quina accionada por la corriente. Se manifiesta como un experimentador de fecunda creativi-dad; su capacidad de abstracción está casi en línea con su habilidad experimental.

La obtención del equivalente mecánico del calor constituye su objetivo principal. Hace nu-merosos experimentos, de naturaleza muy diversa, se encuentra con grandes y múltiples dificul-tades porque el calor tiende a disiparse y no se deja medir con facilidad. Los primeros resulta-dos que obtiene son de valores muy dispersos, pero como fruto final de sus investigacionesdeduce el valor de 424 kg .m/cal, valor muy próximo al que se acepta hoy.

c) Ludvig COLDING (1815-1888)

El tercero es Colding, ingeniero danés. En 1843 enuncia el principio de conservación de laenergía con total generalidad: los fenómenos del mundo físico no son más que transformacio-nes de una fuerza única que permanece en cantidad constante. Realiza bastantes experimentos,de concepción notablemente inferiores a los de Joule, y lógicamente obtiene unos resultadosmás deficientes.

En 1851 publica un trabajo con la finalidad aparente de analizar las consecuencias del prin-cipio. En él considera la energía como algo etéreo, inmaterial, espiritual y puede afirmarse quese adentra en el campo de la reflexión metafísica.

El conjunto de las contribuciones de Mayer, Joule y Colding queda enmarcado en los ámbi-tos de las ideas, de los conceptos físicos, de la intuición generalizadora del principio y del aná-lisis de hechos, de experimentos y de cálculos concretos para la obtención del equivalente me-cánico del calor. Faltó a los descubridores del principio una estructuración matemática.

d) Hermann von HELMHOLTZ (1821-1892)

Esta tarea, también importante, la realiza Helmholtz, médico, profesor de anatomía primero, fí-sico en la Universidad de Berlín después.

En 1847 publica una memoria titulada «Sobre la conservación de una fuerza». En ella ex-presa la fuerza en las diferentes ramas de la Física y propone como hipótesis aceptable la de suconservación. Con las limitaciones propias del estado de la Física de la época, aplica el princi-pio de conservación para la obtención de las diferentes fórmulas matemáticas de las transfor-maciones físicas, y contrasta sus resultados teóricos con la experiencia.

Helmholtz fundamenta el principio de conservación en un hecho empírico incuestionable:la imposibilidad de los mecanismos con movimiento perpetuo. Y relaciona el principio de con-servación con otro también general: el principio de la mínima acción; principio enunciado porHamilton en 1834 en el ámbito de la matemática pero no aplicado a la Física hasta este mo-mento. El de conservación se refiere a los sucesivos estados de los sistemas; el de mínimaacción se refiere a la evolución de los sistemas en el paso de unos estados a otros. Este principio


www.FreeLibros.me

de mínima acción prescribe la evolución del sistema de modo que la potencia suministrada seamínima.

Clasifica los fenómenos en reversibles (aquellos procesos en los que no interviene la natu-raleza atómica de la materia) y en irreversibles (aquellos procesos que afectan a la naturalezade los átomos). La jerarquía y coordinación de ambos principios la establece de la siguientemanera: el principio de conservación es general, es decir, aplicable a todos los procesos físicosreversibles o irreversibles; el principio de mínima energía es sólo aplicable a los reversibles.

10.1.2.2. En torno al segundo principio: la degradación de la energía

El principio de conservación de la energía afirma la equivalencia cuantitativa de la energía endos estados de un sistema cerrado, pero no indica nada respecto al proceso de transformaciónen sí mismo, no señala en qué sentido es posible ni de qué forma sucede.

La respuesta a esta problemática constituye una importante contribución de la Física de lasegunda mitad del siglo XIX a la historia del pensamiento científico. Tiene lugar fundamental-mente en el ámbito de la Termodinámica y destacan las aportaciones de Clausius y Kelvin,cuyos trabajos van apareciendo paralela y complementariamente.

a) Rudolf CLAUSIUS (1822-1888)

Clausius, berlinés, es un teórico, matemático y físico. Puede afirmarse que no experimentó,aunque sí utilizó lógicamente los resultados de otros.

El año de 1850 se considera como fecha de nacimiento de la Termodinámica, al publicarsela primera memoria importante de Clausius en la que defiende la tesis de que el calor no puedepasar de forma espontánea de cuerpos a temperatura inferior a otros a temperatura superior. Elcalor pasa de los cuerpos calientes a los fríos, y para hacerlo pasar de los fríos a los calientes esnecesario realizar un trabajo que sea por lo menos igual al que produciría el proceso inverso.Esta tesis significa un primer enunciado del segundo principio de la Termodinámica.

En 1854, en otra importante memoria, publica los famosos desarrollos matemáticos en losque aparece de forma insistente el cociente Q/T, objeto de especial atención. En él descubreuna nueva magnitud física de considerable importancia en los procesos físicos, que permiteclasificar éstos, en la línea de Helmholtz, en: a) reversibles, aquellos en los que se verificadQ/T% 0; y b) irreversibles, aquellos en los que se verifica dQ/Tb 0. En el año 1865, a estanueva magnitud le da el nombre de entropía.

El tema queda planteado, en resumen, de la siguiente manera: en la naturaleza no existenprocesos cíclicos totalmente reversibles y, en consecuencia, la variación de entropía es siemprepositiva. El segundo principio de la Termodinámica se enuncia: «En las transformaciones deenergía la entropía crece».

b) William THOMSON (1824-1907)

Thomson, lord KELVIN en 1892 —nombre con el que ha pasado a la historia—, que ha contri-buido al desarrollo de la Termodinámica en relación con Clausius, extiende al Universo enterolas ideas relativas a la evolución unidireccional de las metamorfosis energéticas. Denomina alfenómeno que nos ocupa disipación o degradación de la energía. La consideración del Univer-so como un sistema termodinámico aislado le lleva a la conclusión de la irremediable «muerte


www.FreeLibros.me

térmica del Universo». En todo cambio físico o químico se produce una cantidad de calor queno puede convertirse íntegramente en trabajo mecánico u otra forma de energía, ya que no pue-de volver en ningún momento a estados anteriores. Cuando todas las formas de energía sehayan transformado en calor se alcanzará un equilibrio térmico final, de tal modo que el Uni-verso quedará inmovilizado sin posibilidad de cambio. Esta tesis ha sido utilizada también, dediversas maneras, en la Filosofía y sobre todo en la Literatura.

En 1865, Clausius expresa los dos primeros principios de la Termodinámica de forma quese aplican a todo el Cosmos:

1. La energía del Universo es constante.2. La entropía del Universo tiende hacia un máximo.

10.2 Conceptos primordiales

10.2.1 Sistema

10.2.1.1. Noción de sistema

Sistema termodinámico (o, simplemente, sistema en Termodinámica) es un cuerpo o una sus-tancia (en cualquier fase) encerrada por una superficie (real o ficticia) que la separa (aísla geo-métricamente) de su exterior y concebida (caracterizable) como portadora de propiedades ma-croscópicas (magnitudes «observables») cuyas cuantías pueden determinarse mediante medidaso cálculos de aquéllas3. Las propiedades macroscópicas son, por ejemplo, las magnitudes ordi-narias: masa, volumen, densidad, presión y temperatura; las constantes características: caloresespecíficos a presión constante y a volumen constante, módulo de elasticidad, coeficiente dedilatación, conductividad térmica.

A modo de límite inferior podría concebirse como caso o ejemplo de sistema, aunque espe-cial, un recinto vacío (de materia) en el que existiera energía (radiación)4. Otro caso especial,límite superior, sería el Universo, objeto de próxima referencia.

Sistema termodinámico es, por tanto, cualquier cuerpo (geometría) o cualquier sustancia(materia), en cualquier teoría física clásica macroscópica. También puede considerarse comocualquier porción de espacio y su contenido.

El objeto (real y/o conceptual) de estudio, de consideración, de referencia de la Termodiná-mica es, pues, el sistema. Como ejemplos pueden citarse.

a) Un gas encerrado en un cilindro.b) Una viga (o un pilar) de un edificio.c) El aire de una habitación.d) Una barra de acero, armadura de una pieza de hormigón.e) El agua de un lago.f) El Universo.g) Una pila eléctrica.

3 Sin necesidad de hipótesis especiales sobre la estructura de la materia.4 No debe olvidarse que se estudia una teoría física clásica macroscópica, y que, por tanto, materia y radiación son

ideas —conceptos— netamente diferentes.


www.FreeLibros.me

En tanto que recinto o región del espacio S:

S Ñ U

donde U es el Universo, que queda dividido, desde la perspectiva del sistema objeto de estudio,en Int(S), F(S) y Ext(S), donde Int(S) es el recinto o porción (sistema propiamente dicho), F(S)la frontera del sistema (límite, contorno o pared) y Ext(S) «los alrededores», ambiente o medioexterior, de modo que:

Int(S) é F(S) é Ext(S) z U

El conjunto «sistema (S) más sus alrededores (AS)» referido a cualquier sistema termodiná-mico, integrando uno u otro la frontera:

S é AS z U

constituye el sistema aislado límite universal o general (Universo, según la Termodinámica)5.

10.2.1.2. Límites del sistema: tipología de las paredes

Todo sistema tiene una frontera —una superficie límite— que lo separa de los alrededores, delresto del Universo.

Esta frontera, este límite o esta pared en general, o cada una de las zonas en que se consi-dere dividida, puede ser de diversas naturalezas. En la Tabla 10.1 se hace una clasificación in-tegradora de las tres diferentes perspectivas de las nociones fundamentales consideradas: Prefí-sica, geometría; Protofísica: materia; Física Mecánica (movimiento y deformación) y FísicaTermológica específica: energía calorífica.

Tabla 10.1. Tipología de paredes de un sistema.

PerspectivaVariable

física

Cambio

Ámbitodisciplinar

Idea Sí No

Prefísica EspacioVolumen

Mecánica Paredes (movimiento)Cuerpo (deformación)

MóvilDeformable

RígidaIndeformable

Protofísica Materia Flujo de materia Permeable Impermeable

Termología Calor Flujo de calor Diatérmica Adiabática

Esta tabla esquemática introduce unos términos de lenguaje adecuados a los conceptos queimplican y facilita la fijación de las ideas que se utilizarán en adelante.

5 El Universo real, físico, para la Termodinámica es un sistema aislado.


www.FreeLibros.me

Los noes de la tabla son cualitativamente claros y cuantitativamente precisos (nada, cero,nulo), constituyen idealidad; los síes de la tabla son cualitativamente claros, pero precisan decuantificación (cantidad, valor de su cuantía). Por su parte, la noción de impermeabilidadpuede ser absoluta (para todo tipo de materia) o parcial (para una/s determinada/s clase/s demateria).

10.2.1.3. Tipología de los sistemas

a) Por referencia a las paredes

Los sistemas termodinámicos pueden clasificarse en aislados, cerrados y abiertos, y suelen re-presentarse simbólicamente como en la Figura 10.1.

Figura 10.1. Representación simbólica de los tipos de sistemas.

Sistema aislado es aquel que no puede intercambiar ni energía (calor y/o trabajo) ni materiacon el medio exterior; por ejemplo, un sistema de paredes rígidas (dW % 0), adiabáticas(dQ % 0) y (totalmente) impermeable (dm % 0).

Sistema cerrado es aquel que puede intercambiar energía (calor y/o trabajo) pero no mate-ria con sus alrededores.

Sistema abierto es aquel que puede intercambiar energía y materia con sus alrededores.

b) Por referencia al contenido (naturaleza de la materia)

Simple: de una única naturaleza (única sustancia).

Compuesto: de varias naturalezas.

Homogéneo: identidad de las propiedades en todos los puntos, uniformidad.

Heterogéneo: no identidad de las propiedades en todos los puntos, no uniformidad.

También pueden ser parcialmente homogéneos; es decir, ser homogéneo respecto de algunao algunas propiedades.

Estable químicamente: permanente (en el devenir) naturaleza.

Inestable químicamente: cambiante (en el devenir) naturaleza.

Isótropo: conducta idéntica en todas las direcciones (y sentidos).

Anisótropo: diferente conducta en distintas direcciones.

Los sistemas usuales de la Termodinámica Clásica son sistemas simples, homogéneos, isó-tropos, sin cargas eléctricas ni magnéticas y químicamente inertes; grandes (para despreciar los


www.FreeLibros.me

efectos superficiales) y tales que sobre ellos no actúan (como acciones exteriores) campos eléc-tricos, magnéticos ni gravitatorios.

c) Por su relación con la Mecánica

Sistema estático o inmóvil (propia y simplemente termodinámico): aquel en el que no se produ-cen variaciones de energía cinética y potencial durante los procesos que pueden modificar suestado termodinámico. (En el sentido clásico, propio de la Termodinámica y exclusivamentetermodinámico, estos sistemas no están en ningún lugar y, por tanto, no poseen energía poten-cial, y no se mueven, por lo que no se consideran variaciones de energía cinética).

Sistema dinámico6 o móvil es aquel que (se considera que) modifica su posición (energíapotencial) y/o su velocidad (energía cinética).

10.2.2. Estado

10.2.2.1. Noción de estado

Se denomina estado termodinámico (o simplemente estado) de un sistema a cada condiciónconcreta que tiene, tuvo, puede tener o pueda concebirse, para el sistema termodinámico. Cadaestado se manifiesta —se caracteriza, se describe— por un conjunto de valores (cantidades) delas variables (magnitudes ordinarias y constantes características) que definen todas las propie-dades del sistema.

La noción de estado se refiere, por tanto, a la de sistema.

10.2.2.2. Caracterización del estado de un sistema: magnitudes de estado

El estado termodinámico de un sistema se caracteriza —y/o se describe y/o se especifica— porunos valores concretos (cantidades) de sus magnitudes macroscópicas7, que proceden de diver-sos ámbitos disciplinares, tales como:

a) Prefísica. Geometría (métrica, clásica o euclídea): su métrica (sus dimensiones geomé-tricas); usualmente, en los gases, por el volumen.

No precisa de geometría espacial, analítica ni diferencial ya que la TermodinámicaClásica es aespacial y atemporal (no necesita de la existencia de coordenadas referen-ciales espacio-temporales; no es baladí reiterar que los sistemas termodinámicos no es-tán —en tanto que consideración teórica termodinámica— en ningún lugar ni instante8;o no importa dónde estuvieren, en su caso).

b) Protofísica. Materia: cantidad de materia o masa (no la «naturaleza íntima» distin-guible de la misma —microscópica—). Las hipótesis de la Termodinámica (conceptosprimitivos, magnitudes, principios) no se refieren a la imagen molecular o atómica, sino

6 El concepto de dinámico —móvil— es propiamente mecánico. En los Capítulos 14 a 17 se trata la conexión de laTermodinámica Clásica —sistemas estáticos— con la Mecánica, de modo que, integrando ambas teorías en una nueva—unitaria— que podría denominarse Termomecánica, se estudian desde una perspectiva conjunta fenómenos reales. Seaplica, particularmente, al caso del flujo de un fluido en el que tienen lugar procesos termodinámicos.

7 Propiedades susceptibles de medida.8 Los procesos suceden, pero tampoco suceden en ningún momento temporal.


www.FreeLibros.me

a lo macroscópico observable. La masa puede medirse respecto de unidades másicasordinarias —usuales en Mecánica— o respecto del mol —usuales en Química.

c) Mecánica Clásica. Se utiliza el concepto (de fuerza y el) de presión, y, notablementeenriquecido, el concepto de energía que, a los efectos de la descripción del estado delsistema, se manifiesta en la forma de energía interna, nuevo concepto que debe carac-terizarse9 «tanto como se pueda», dado que se considera magnitud primaria.

Estas magnitudes de estado se denominan en Termodinámica también variables de estado ocoordenadas termodinámicas y describen macroscópicamente (propiedades observables, canti-dades medibles) el estado del sistema.

Por lo que respecta a otras teorías físicas históricamente previas, simultáneas y posteriores,la Termodinámica se aplica10 a ellas (por ejemplo: Electricidad, Elasticidad, Magnetismo)completándolas, de modo que se constituyen teorías mixtas más complejas (Termoelectricidad,Termoelasticidad, Termomagnetismo).

10.2.2.3. Concepto de temperatura

La temperatura, en Termodinámica Clásica, se caracteriza11, entre otras, por las siguientes pro-piedades:

1. Es un concepto primitivo (o indefinido o básico o primario o fundamental) —magnitudfísica primaria—; no se establece mediante una «fórmula de definición», propia de lasmagnitudes secundarias, en función de otras. Se concibe, se explica desde sí misma ne-cesariamente, sin recurrir a otras, y se introduce en principios de la teoría.

2. Topológicamente es una variable escalar real estrictamente positiva, magnitud relativa,dada (por el tercer principio) la inaccesibilidad del cero absoluto.

T T �!

3. Analíticamente es una variable escalar real continua, pero no es función espacial nitemporal, ni espacio-temporal.

4. Se aplica al concepto primitivo no magnitudinal de la Termodinámica denominado sis-tema, de modo que constituye una de las variables que caracterizan el estado del siste-ma; es, pues, una variable de estado.

5. Los sistemas termodinámicos clásicos tienen propiedades macroscópicas. La temperatu-ra es, por tanto, un concepto de referente macroscópico. Caracteriza, con otras varia-bles, al sistema en su totalidad e individualidad.

6. En el desarrollo de la teoría Termodinámica Clásica, se completa el concepto:

a) Con el principio cero para afirmar que es una propiedad de valor común o idéntico—es decir, que se presenta en la misma cantidad— de los cuerpos en equilibriotérmico.

b) Mediante el segundo principio (versión Carnot) con el que se concluye que existeun cero absoluto que concreta su topología.

9 El trabajo es una magnitud de proceso, no de estado, que se estudiará en el próximo capítulo.10 El calor es también una magnitud de proceso, no de estado, que se estudiará en el próximo capítulo.11 Para un análisis más completo puede verse Homenaje al Dr. D. José Aguilar Peris de F. González de Posada.


www.FreeLibros.me

c) Mediante el tercer principio que afirmando la inaccesibilidad de dicho cero abso-luto completa su naturaleza topológica.

7. Es una variable escalar no potencial (ya que queda «absolutamente determinada», y no«determinada a menos de una constante aditiva» —rasgo matemático común a las fun-ciones potenciales escalares y, más en concreto, a los denominados potenciales termo-dinámicos12—).

8. Representa básicamente una especie de nivel de calentamiento desde un cero absoluto.

10.2.2.4. Conceptos de energía y de energía interna

La energía es una magnitud primaria de la Termodinámica, que admite diversas formas: ener-gía interna, calor y trabajo.

La energía interna es una característica del sistema, una magnitud de estado; calor y traba-jo son magnitudes de proceso (por tanto, su lugar de estudio es el próximo capítulo). La ener-gía interna, en cuanto concepto de la Termodinámica Clásica13, puede caracterizarse mediantelas notas sustantivas siguientes:

1. Se refiere a la noción de sistema (termodinámico) —a un cuerpo concreto— como algopropio de él, una propiedad, entre otras, del sistema. El sistema, sea simple o compues-to, se describe macroscópicamente, globalmente, por unas variables determinadas, entreellas, la energía interna.

2. Es una forma de energía que radica en los cuerpos en mayor o menor cantidad. Esenergía acumulada; que se puede intercambiar con los alrededores mediante otras for-mas —calor y/o trabajo—. La energía es una magnitud primaria en Termodinámica; laenergía interna es una forma de energía, una manifestación de esta magnitud primaria.La Termodinámica hereda —asume— algunas formas de energía de otras teorías pre-vias (tales como la Mecánica newtoniana o la Teoría elemental de los intercambios decalor) e introduce otras como propias mediante consideraciones o experiencias de di-versos tipos que pueden inducir a la creencia de que estas formas de energía son mag-nitudes secundarias al aceptar dichas expresiones como fórmulas de definición. Porello, la energía interna, en cuanto concepto termodinámico, debe considerarse no comouna magnitud física en sí misma sino como una de las posibles manifestaciones de lamagnitud primaria energía. Sus cantidades se expresan —como las de las demás formasde energía—, por ejemplo, calor y trabajo, en J (julios) o en cal (calorías).

3. Caracteriza, con otras variables, el estado en que se encuentra el sistema; por tanto,ayuda a describir el sistema. Es una variable de estado. (En algunos sistemas puedeexpresarse como función de estado, función de otras variables de estado —por ejemplo,en el caso de los gases ideales—; en estos casos podría considerarse como magnitudsecundaria).

12 Se estudiarán más adelante: U, energía interna; H, entalpía; S, entropía; F, función de Helmholtz; G, función deGibbs.

13 El concepto de energía interna de la Termodinámica Clásica, para una mejor comprensión de la idea correspondienteen la Naturaleza, puede completarse con consideraciones de otras teorías físicas, tales como, por ejemplo, la Teoríacinética de la materia.


www.FreeLibros.me

4. Tiene —como energía— naturaleza algebraica de espacio vectorial lineal real unidi-mensional.

5. Tiene —como energía— naturaleza analítica de variable continua real (o función realde variables reales).

6. Tiene naturaleza de potencial escalar, es decir, está determinada a menos de una cons-tante aditiva. Pueden calcularse diferencias14 pero no valores absolutos (no existe uncero absoluto de energía interna en Termodinámica)15.

En cuanto magnitud primaria se ha caracterizado tanto como ha sido posible, pero obvia-mente no se ha definido mediante una fórmula; su explicación conceptual se completa al intro-ducirse en los principios primero y segundo.

10.2.2.5. Magnitudes extensivas e intensivas

Las magnitudes macroscópicas constituyen una representación físico-matemática de las propie-dades de los cuerpos, las sustancias y/o los sistemas16. Estas propiedades pueden ser de dostipos: se denomina propiedad extensiva (y, en consecuencia, magnitud extensiva) a cualquiercualidad de una sustancia o de un sistema que sea directamente proporcional a su masa (canti-dad de materia), tales como la propia masa, el volumen, el peso, la capacidad calorífica, la can-tidad de movimiento, la energía mecánica; y propiedad intensiva (y, en consecuencia, magnitudintensiva) a cualquier cualidad característica de una sustancia o de un sistema que sea inde-pendiente de su masa, tales como la presión, la temperatura, la densidad, el calor específico, laviscosidad.

10.2.2.6. Estados de equilibrio

Estado de equilibrio termodinámico es toda condición —todo estado— de un sistema tal que,si no se modifican las condiciones exteriores, ninguna variable macroscópica (magnitud deestado) de aquél experimentaría cambio en el transcurso del tiempo.

14 En Termodinámica Clásica. En otras teorías puede expresarse absolutamente.15 Consideraciones complementarias.a) Es un concepto previo al establecimiento del primer principio —de conservación de la energía— que, sometido al

principio general de homogeneidad de la física, se expresa de la siguiente manera: BU % Q . W, donde los trestérminos son diferentes formas de energía (es decir, de lo mismo en términos físico-matemáticos, para que puedanrelacionarse en una ecuación física, que, por el principio general de homogeneidad, exige identidad cualitativa detodos los términos: han de ser términos homogéneos).

b) Los casos de gases ideales —en su consideración formal— que se estudiarán más adelante, son aplicaciones concre-tas, no concepto.

c) De la aplicación del primer principio a casos concretos, a sistemas determinados, con diferentes tipos de procesos sepueden deducir consecuencias, pero éstas son aplicaciones del primer principio, son consecuencias deducidas, noconcepto, ya que éste debe ser, lógicamente, previo al establecimiento del primer principio y necesario para introdu-cirlo en éste. No obstante, las consecuencias pueden enriquecer la idea física relativa al referente natural. Por ejem-plo:1. En una transformación adiabática BU % .W.2. En una transformación isócora BU % Q.3. En un proceso cíclico BU % 0.

16 La propiedad puede considerarse como ente natural; la magnitud física asociada a ella es ente físico y constituye larepresentación científica de la propiedad. No obstante, fruto de la usual identificación inconsciente «Naturaleza % Física»,se consideran sinónimos.


www.FreeLibros.me

La Termodinámica Clásica considera que los sistemas tienden espontáneamente hacia esta-dos de equilibrio, y a partir de ese momento los valores de las magnitudes termodinámicas per-manecerían constantes.

El equilibrio termodinámico implica normalmente:

a) Equilibrio térmico: identidad de temperatura en todos los puntos del sistema (y con losalrededores).

b) Equilibrio mecánico: identidad de presión en todos los puntos del sistema (y con losalrededores).

c) Equilibrio químico: identidad de composición en todos los puntos del sistema (y sinreacciones).

Es decir, homogeneidad de naturaleza y constancia de valores de las variables de estado.La Termodinámica Clásica estudia los sistemas considerando sus estados de equilibrio, sin

importarle ni cuándo ni cómo se logran o alcanzan17.Si un sistema homogéneo está en equilibrio termodinámico, entre las variables de estado

existe una relación que se denomina ecuación de estado. Los sistemas constituidos por gases olíquidos puros pueden caracterizarse (en la Termodinámica Clásica) por las variables p, V, T; sedenominan sistemas p-V-T y su ecuación de estado es de la forma f (p, V, T) % 0.

10.2.2.7. Representaciones gráficas. Diagramas termodinámicos

Un sistema termodinámico —caracterizado por un conjunto de variables de estado (total o par-cialmente)— puede representarse mediante el uso de espacios termodinámicos denominadosdiagramas, de modo que cada estado de equilibrio del sistema (caracterizado por unos valoresde sus variables, o cantidades determinadas de sus magnitudes) se representa en un punto deldiagrama.

La representación termodinámica del sistema puede simbolizarse así:

Sistema AConjunto de estados

de equilibrio BT Superficie (de estados) en el espacio termodinámico

Estado T Punto

Existen diferentes diagramas para representar gráficamente un sistema. Los sistemas p-V-Tse representan en espacios tridimensionales (p, V, T). La ecuación de estado del sistema es laecuación de la superficie de estados del sistema en el espacio termodinámico (p, V, T).

Suele ser frecuente el uso de diagramas planos (representación sobre un plano). En el casoanterior, mediante las intersecciones de una familia de planos perpendiculares a uno de los ejes,con la superficie de estado y proyección paralela a dicho eje, se obtiene un diagrama sobre elplano de los otros dos ejes con líneas asociadas a la otra variable correspondientes a valoresconstantes. Así los diagramas de Clapeyron p-V, V-T o p-T para los sistemas p-V-T, que se uti-lizarán más adelante.

17 La noción de equilibrio termodinámico puede contemplarse también con los siguientes adjetivos usuales en Mecáni-ca; así, un sistema en equilibrio podría estar en:

a) Equilibrio estable: si al efectuar una ligera modificación de las condiciones, el sistema retorna a su estado inicial.b) Equilibrio inestable: si al efectuar una ligera modificación de las condiciones, el sistema pierde el equilibrio.c) Equilibrio metastable: si es estable para pequeñas modificaciones, pero inestable para mayores modificaciones.


www.FreeLibros.me

10.2.3. Proceso

10.2.3.1. Noción de proceso18

Un proceso termodinámico, o un proceso en Termodinámica, es una transformación de/en elsistema por la cual éste pasa de un estado a otro estado por alteración de una o varias variablesde estado. Dos notas sustantivas conviene destacar en el concepto de proceso:

1. Se refiere a un sistema termodinámico determinado.2. Implica o supone un tránsito de un estado (de equilibrio) a otro estado (de equilibrio).

El estado inicial está caracterizado por unos valores de las magnitudes que caracterizan al sis-tema, y el estado final está caracterizado por otro conjunto de valores de dichas magnitudes.

10.2.3.2. Magnitudes de proceso

Magnitudes de proceso, de transformación o de intercambio energético con el exterior son elcalor y el trabajo.

a) El calor19

Dos ideas radicalmente nuevas se introducen en el contexto termodinámico del calor y se cons-tituyen en elementos claves para la Termodinámica Clásica y, con ella, para la evolución delpensamiento científico.

1. El calor puede transformarse en trabajo mecánico20.2. El calor es una forma de energía21.

b) El trabajo22

La Termodinámica Clásica asume la noción mecánica de trabajo, que es también una forma deenergía.

c) Consideraciones conjuntas acerca del calor y del trabajo

1. (En torno a su presencia en la teoría). El calor y el trabajo son magnitudes de proceso.El sistema intercambia con sus alrededores calor (absorbe o cede) y trabajo (realiza oconsume). Usualmente, como criterio, se consideran los signos que se utilizan en la Fi-gura 10.2.

2. (Su naturaleza de magnitudes). Desde las perspectivas propias de la Teoría elementaldel calor y de la Mecánica, calor y trabajo son magnitudes radicalmente diferentes sinningún punto de contacto. En Termodinámica Clásica, calor y trabajo son realidades(fenómenos de la Naturaleza) distintas, pero en cuanto magnitudes físicas son homogé-neas; sólo son formas o manifestaciones distintas de una misma magnitud, la energía.

18 Los términos proceso, transformación, cambio y evolución son sinónimos termodinámicos. Aquí nos referimos,ahora, a un sistema cerrado.

19 Véanse los Capítulos 7 y 8.20 La obra de Sadi Carnot con sus reflexiones en torno a la potencia motriz del fuego constituye el origen de la Ter-

modinámica.21 Véase la introducción histórica en 10.2.22 Véanse textos de Mecánica y de Teoría de Campos.


www.FreeLibros.me

Q < 0W < 0

W > 0 Q > 0

Figura 10.2. Convenio usual de signos para el calor y el trabajo.

Esto se verá más claramente —desde un punto de vista algebraico— a la luz del enun-ciado del primer principio. Además son también la misma cosa física —magnitud—que la energía interna, que es otra forma o manifestación de la energía, que radica enlos cuerpos (en los sistemas) siendo variable de estado.

3. Tradicional y erróneamente se consideraban magnitudes distintas, aunque proporciona-les y convertibles una en otra. Así se utilizaba el concepto de equivalente mecánico delcalor, J, como constante de proporcionalidad, W % JQ, midiendo las cantidades de Wen julios y las de Q en calorías23. De aquí derivan los valores que se explicitan, dadoel mantenimiento aún generalizado de la unidad caloría, siguientes: J % 4,18 julios/ca-loría; 1/J% 0,24 calorías/julio. En el sistema SI, la visión es integradora: W y Q sonformas de energía y ambas deben medirse en julios, J24.

4. El concepto de energía en Termodinámica Clásica es, en consecuencia, una magnitudque puede radicar en cuerpos (sistemas), en forma de energía interna, y transitar deunos a otros en forma de calor y/o de trabajo.

5. Calor y trabajo son formas de energía en tránsito. El calor es energía en tránsito entredos o más sistemas, como consecuencia de una diferencia de temperaturas. El trabajoes energía en tránsito entre dos o más sistemas producida por fuerzas aplicadas.

10.2.3.3. Tipología de procesos

Una evolución cualquiera de un sistema cerrado en su relación con el exterior intercambia Q yW, y, como consecuencia, cambia su estado (algunos valores de las variables de estado o to-dos). Son posibles numerosos tipos de procesos que conviene, de alguna manera, clasificar ydenominar, sobre todo aquellos que son especialmente significativos.

a) Por su consideración geométrica:Proceso abierto. Es todo proceso tal que el estado final del sistema no coincide con el ini-cial.Proceso cerrado. Es todo proceso tal que el estado final del sistema coincide con el inicial.Proceso cíclico. Es todo proceso cerrado reiterado o múltiple.

23 Como si la Termodinámica Clásica no fuera una nueva teoría consistente sino sólo vehículo de conexión entre laTeoría del Calor y la Mecánica Clásica.

24 Símbolo J —julio, admitido en español— de Joule, que no hay que confundir con el «difunto» oficialmente, J, equi-valente mecánico del calor.


www.FreeLibros.me

b) Procesos termodinámicos fundamentales (propios de los sistemas p-V-T) denominados par-ticularmente procesos fundamentales, que son:

Proceso isobaro o isóbaro, cuando tiene lugar a presión constante.Proceso isóstero o isócoro, cuando tiene lugar a volumen constante.Proceso isotermo, cuando tiene lugar a temperatura constante.

c) Por la relación con la superficie de estados (naturaleza procesual):

Proceso reversible. Proceso termodinámico ideal considerado como sucesión de estados deequilibrio. (El proceso se representaría como una línea situada sobre la superficie de esta-dos, «de equilibrio», del sistema).Proceso irreversible. Proceso termodinámico caracterizado por una sucesión de estadosque no son de equilibrio.

d) Por la relación del sistema con manantiales térmicos:

Proceso adiabático. Cuando tiene lugar sin transferencia del calor con los alrededores.Proceso monotérmico. Si el sistema intercambia calor con un solo manantial térmico.Proceso bitérmico, tritérmico y, en general, politérmico. Si el sistema intercambia calorcon dos, tres o más manantiales térmicos, respectivamente.

10.2.3.4. Procesos cuasiestáticos, reversibles e irreversibles

Proceso cuasiestático. Si los estados intermedios del sistema son también estados de equilibrio.La evolución (la trayectoria termodinámica) tiene lugar como línea sobre la superficie de esta-dos, «de equilibrio», del sistema.

Proceso reversible. Proceso cuasiestático en el que, además, es posible invertir el sentido dela evolución mediante una pequeña modificación de las condiciones exteriores.

Estos conceptos límite de proceso cuasiestático y proceso reversible desempeñan un papelfundamental en la Termodinámica Clásica.

Proceso irreversible. Es esencialmente todo proceso real, natural.En la Figura 10.3 se dibujan las líneas de representación simbólica de estos procesos entre

un estado inicial, 1, y otro estado final, 2.

Figura 10.3. Líneas de representación simbólica de procesos.

Un proceso reversible —como imagen comprensiva de una idealidad— puede caracterizar-se con más precisión por las notas siguientes:


www.FreeLibros.me

1. Su evolución consiste en una sucesión de estados de equilibrio.2. Es infinitamente lento.3. Basta modificar infinitamente poco las condiciones del sistema para invertir el sentido

del proceso.4. Es irrealizable.5. Es una noción límite, noción ideal25.

10.2.3.5. Representación en los diagramas termodinámicos

Los procesos termodinámicos de un sistema, considerados como sucesión de estados del siste-ma, pueden representarse mediante líneas en los diagramas termodinámicos, tal como se ha in-dicado, simbólicamente, en la Figura 10.3.

25 6. Se comprenderá a la luz del segundo principio pero aquí se anticipa: Su rendimiento es superior a cualquier otroreal posible —irreversible— entre los mismos estados inicial y final.


www.FreeLibros.me

a

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.me

11.1 Síntesis de la axiomática formalUna teoría física se establece mediante un conjunto de axiomas, postulados, principios o leyesrelativos a los conceptos primitivos (a veces a través de sus derivados). Estos principios:

1. No pueden demostrarse matemáticamente (no lo precisan, ya que son axiomas o postu-lados).

2. Se contrastan —ellos y sus consecuencias— con la Realidad (Naturaleza, Cosmos) y deeste contraste resulta su ámbito de validez.

Principio ecuacional es un postulado relativo exclusivamente a una magnitud física. (Noconstituye, directamente, en sí y por sí mismo, por tanto, una relación entre magnitudes dife-rentes. Indirectamente pueden establecerse mediante uso de complementarias ecuaciones de ba-lance).

En Termodinámica es usual denominar principios1 (para algunos autores, leyes) a cada unode los enunciados de la axiomática formal, que en síntesis está constituida por los siguientes:

Principio 0 (para algunos). Concepto de equilibrio térmico.

Primer principio:CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA2 (conexión calor-trabajo mecánico). Mayer, 1842; Col-ding, 1843; Joule, 1843.

Segundo principio (con dos versiones):a) DEGRADACIÓN DE LA ENERGÍA3. Carnot, 1824.b) CRECIMIENTO DE LA ENTROPÍA4. Clausius, 1849 (Helmholtz, Kelvin) (sentido de los

procesos naturales).

Tercer principio: Inaccesibilidad del cero absoluto5. Nernst, 1906.

Los principios cero y tercero se refieren a la magnitud física temperatura; el primero y se-gundo a) a la magnitud energía y el segundo b) a la magnitud entropía.

El segundo b) y tercero representan condiciones límite para los conceptos de entropía (sen-tido siempre creciente) y temperatura (siempre mayor que 0).

El primer principio es de conservación, y el segundo de degradación, ambos referidos aprocesos de evolución de los sistemas.

1 Por nuestra parte, distinguimos:a) Hipótesis magnitudinales, aquellos axiomas o postulados formales —o formalizables— que afectan exclusivamente

a una magnitud física (como, por ejemplo, el tercer principio de la Termodinámica, T b O).b) Principios ecuacionales, aquellos postulados que establecen una ecuación, o inecuación, cuyos términos representan

cantidades de una única magnitud, aunque pueda integrar variables diferentes —distinguibles—, tales como, por ejemplo,el primer principio, BU % Q . W.

c) Leyes relacionales, integradas por dos o más magnitudes diferentes.2 Principio ecuacional.3 Principio ecuacional.4 Hipótesis magnitudinal.5 Hipótesis magnitudinal.


www.FreeLibros.me

11.2 Primer principio: conservación de la energía

11.2.1. Enunciado general del primer principio

El enunciado formal (algebraico) del primer principio de la Termodinámica se expresa median-te la ecuación:

BU % Q . W (11.1)

que, en expresión diferencial, puede ponerse:

dU % dQ . dW (11.2)

El enunciado linguístico puede ser: «La variación de la energía interna (el contenido ener-gético) de un sistema durante un proceso es igual a la energía calorífica (calor) absorbida delambiente menos la energía mecánica (trabajo) realizada contra el ambiente».

Debe contrastarse el sentido de los signos.

BU % U2 . U1: Energía interna del sistema al final del proceso (estado final) menos laenergía interna del sistema al inicio del mismo (estado inicial).Q: Cantidad de calor, positivo si el sistema lo absorbe durante el proceso, y negativo si elsistema lo cede durante el proceso.W: Cantidad de trabajo, positivo si lo realiza el sistema contra los alrededores (es decir, siel sistema produce trabajo), y negativo si lo realizan los alrededores contra el sistema (esdecir, si el sistema consume trabajo).

Todas las variables —BU, Q, W— deben expresarse en las mismas unidades energéticas.Una expresión popular del principio de conservación de la energía es: la energía ni se crea nise destruye, sólo se transforma. La Ecuación (11.1) relaciona las transformaciones de unas for-mas de energía en otras.

Unas consideraciones complementarias estimamos de interés:

Primera. Se trata de un principio ecuacional6 ya que se refiere —termodinámicamente ha-blando— a una única magnitud: la energía.

Segunda. El principio está sometido, como todos los de la Física, al postulado general dehomogeneidad7 de esta ciencia que le obliga a que los tres términos de (11.1) sean homogé-neos, lo que supone que, termodinámicamente, sean de idéntica naturaleza.

Tercera. De ahí la corrección de la palabra energía como sustantivo y la conveniencia delas denominaciones no suficientemente usuales de energía interna8, energía calorífica (mejorque calor) y energía mecánica (mejor que trabajo). Éstas son, por tanto, formas o manifesta-ciones de la energía, único sustantivo, que debe adjetivarse, tal como se ha hecho, para cadauna de las formas.

Cuarta. El primer principio se refiere a los procesos de un sistema, que si no está aisladopuede intercambiar calor (energía calorífica) y trabajo (energía mecánica) con el medio exteriormodificando su energía interna.

6 No es una ley relacional de magnitudes diferentes.7 Puede considerarse postulado meta-físico; es decir, a él deben someterse todas las teorías físicas.8 En Termodinámica Clásica es sólo esto; nunca energía mecánica de partículas, inexistentes en ella.

CAPÍTULO 11. Principios de la termodinámica 199

www.FreeLibros.me

11.2.2. Aplicaciones generales (a cualquier tipo de sistema)

Desde una perspectiva formal, a la luz de (11.1), pueden considerarse como especiales los ca-sos de procesos correspondientes a un término nulo, que son:

a) Proceso cíclico. Es el proceso en el que el sistema acaba (estado final) en el origen(estado inicial). Y dado que U es una variable (o función) de estado del sistema:

BU % U2 . U1 % U1 . U1 % 0

En consecuencia:

Q % W

es decir, el calor absorbido (energía calorífica) por el sistema se ha utilizado íntegra-mente en producir trabajo mecánico (energía mecánica).

b) Proceso en un sistema aislado mecánicamente (paredes fijas y rígidas). En este caso,no hay desplazamientos ni deformaciones, y, por tanto:

W % 0

Y, en consecuencia, de (11.1) se deduce que:

BU % Q

es decir, el calor absorbido (energía calorífica) se transforma íntegramente en energíainterna.

c) Proceso en un sistema aislado térmicamente (paredes aislantes, proceso adiabático):

Q % 0

y, por tanto:

BU % .W

es decir, la energía interna consumida se ha transformado en trabajo.d) Por otra parte, también pueden ser nulos los dos términos de intercambio de energía

del sistema con los alrededores durante el proceso, caso de un sistema aislado. Entonces,

Q % W % 0

y, en consecuencia:

BU % 0 ú U % cte

Se interpreta afirmando que la energía interna de un sistema aislado permanece cons-tante9. (Éste es el caso del Universo tal como lo concibe la Termodinámica Clásica).

En todos los procesos de un sistema que tengan lugar desde un estado 1 determinado a otroestado 2 también determinado, BU12 % U2 . U1 % cte, ya que por ser U variable (o función)de estado, tan sólo depende de sus valores en los estados inicial y final, y no del proceso.

9 Desde el punto de vista microscópico —partículas: moléculas, iones del sistema ...—, no termodinámico clásico, laenergía interna total del sistema permanece también constante, pero pueden variar las cantidades parciales de sus integran-tes mecánicos: traslación, rotación, vibración.


www.FreeLibros.me

Se denomina históricamente móvil perpetuo de primera especie a una máquina que fueracapaz de producir trabajo sin consumir una cantidad equivalente de energía. El primer principioprohíbe la existencia, o garantiza la imposibilidad, de una tal máquina.

11.2.3. Ley de Joule para los gases ideales. Expansión de un gas sin trabajo mecánico

Joule realizó —presupuestamente— una «experiencia», que se simboliza en la Figura 11.1, conun «gas ideal» comprimido en el recinto A que se deja expansionar libremente hacia el Babriendo la válvula de conexión, de modo que el conjunto esté inmerso en un estanque de aguaperfectamente «adiabático»10.

Gas Vacío

A B

Termómetro

Agua

Figura 11.1. Experiencia de Joule (1).

En la «experiencia»:

a) Se constata que el gas ideal no realiza trabajo externo en la expansión libre.b) Se observa que no varía la temperatura del agua (mediante el termómetro), lo que per-

mite suponer que no ha habido intercambio de calor.

Por tanto, en el proceso Q % 0 y W % 0, y, aplicando el primer principio, se obtiene:

U2 . U1 % Q . W % 0 ú U2 % U1

Es decir que la energía interna del gas ideal, en este proceso de expansión libre sin produc-ción de trabajo, se mantiene constante (siendo p variable, V variable y T constante).

Joule realizó otra «experiencia complementaria» separando los recintos A y B, ahora su-mergidos en recipientes distintos, y comprobó (según él) que la temperatura en A disminuía yen B aumentaba, ligera y compensadamente (Figura 11.2).

Y concluyó que la energía interna del gas ideal no había cambiado y afirmó, en consecuen-cia, que la energía interna [función de estado, que en un sistema p-V-T puede expresarse de laforma U% U(p, V, T) sólo es función de la temperatura; es decir, U% U(T). De otra manera,la energía interna de un gas ideal en una expansión (isoterma) sin producción de trabajo exte-rior no varía (ley de Joule11).

10 Dado que gas ideal no existe realmente (ya que es una noción límite), afirmar que se trata de una experiencia es un tanto fuerte, asícomo que el aislamiento del estanque es adiabático. Son hipótesis más o menos razonables.

11 Las explicaciones científicas (justificaciones) se dan desde una perspectiva microscópica en la Teoría cinética de los gases.


www.FreeLibros.me

A

Gas

TermómetroTermómetro

B

Vacío

AguaAgua

Figura 11.2. Experiencia de Joule (2).

La expresión analítica concreta de la ley de Joule —exclusivamente para gases ideales—,U %U(T), se obtiene a partir de la siguiente consideración: se supone un proceso de calenta-miento a volumen constante que genera una variación de temperatura BT en el sistema. Dado que:

BV % 0 ú W % 0

de la aplicación del primer principio:

BU % Q . W % Q

y teniendo en cuenta la ley elemental de los intercambios de calor12 a volumen constante enlos gases [Ecuación (8.22)]:

Q % nCVBT

se deduce la expresión analítica de la ley de Joule para gases ideales:

BU % nCVBT (11.3)

Dado que U es una función de estado, esta expresión —aunque obtenida a partir de consi-deraciones procesuales concretas— tiene valor absoluto para cualquier proceso entre idénticosestados inicial y final, siempre que se refiere a gases ideales.

En un diagrama U-V o U-p correspondiente a un gas ideal las isotermas son rectas horizon-tales, es decir, líneas isoenergía interna (Figura 11.3).

V

U

T1

T2

T3

Figura 11.3. Isotermas de un gas ideal en el diagrama U-V.

12 Véase Capítulo 8.


www.FreeLibros.me

11.2.4. Aplicación del primer principio a los procesos fundamentales de un gas ideal

El objeto de este parágrafo consiste en obtener las expresiones de los valores de las diferentesformas de energía (o términos de la expresión del primer principio) utilizando ésta en las trans-formaciones reversibles consideradas como más importantes: los procesos fundamentales paragases ideales. Indirectamente pueden considerarse como aproximaciones al estudio de gasesreales y procesos irreversibles (naturales, reales).

El conjunto de ecuaciones, en síntesis, que deben tenerse presentes es el siguiente:

a) Primer principio:BU % Q . W (11.1)

b) Ley de Joule:BU % nCVDT (11.3)

c) Expresión del trabajo mecánico:

W %I pext dV ; pext % pint (en las transformaciones reversibles) (11.4)

d) Ecuación de estado:pV % nRT (11.5)

Las transformaciones que se consideran se representan en el diagrama de Clapeyron de laFigura 11.4:

V

p

V = cte

P = cte

Q = 0

T = cte

Figura 11.4. Procesos fundamentales.

1. Proceso isotermo

T % cte ú BT % 0 ú BU % 0 ú U % cte

BU % Q . W % 0 ú Q% W

W %I2

1

p dV %I2

1

nRTdV

V% nRT ln

V2

V1% nRT ln

p1

p2% Q (11.6)


www.FreeLibros.me

2. Proceso isóbaro

p % cte ú W %I2

1p dV % p(V2 . V1) % nR(T2 . T1) % pBV

BU % nCVBT%CV

RpBV (11.7)

Q % BU ! W % pBVACV

R! 1B% pBV

Cp

R% nCpBT (11.8)

3. Proceso isócoroV % cte ú W % 0

Q % BU % nCVBT %CV

RVBp (11.9)

4. Proceso adiabático (sin intercambio de calor).En la práctica supone:

a) Que el sistema está aislado térmicamente.b) Que la transformación sea brusca.

Q % 0 ú BU % .W % . I2

1p dV

Obtención de la ecuación de Poisson (proceso adiabático de un gas ideal):

dU % Q . p dV % nCV dT

Q% 0 ú nCV dT ! p dV % 0 ú dT % .

p dV

nCV

Diferenciando la ecuación de estado pV % nRT:

p dV ! V dp % nR dT % nR A.

p dV

nCVB% .

R

CV

p dV

A1 !R

CVB p dV ! Vdp % 0

Teniendo en cuenta que Cp . CV % R:

Cp

CV

p dV ! V dp % 0

Y, haciendoCp

CV

% c, se obtiene:

cp dV ! V dp % 0 ú cdV

V!

dp

p% 0 ú c ln V ! ln p % ln C

pVc% cte (11.10)


www.FreeLibros.me

que puede expresarse en función de las temperaturas considerando:

pVc% pñVñ

c

y la ecuación de estado:

pV

T%

pñV ñ

T ñ

y dividiendo miembro a miembro estas dos ecuaciones:

pVc

pV

T

%p ñV ñ

c

pñV ñ

T ñ

ú TVc.1% T ñV ñ

c.1

TVc.1% cte (11.11)

Puede concluirse que en toda expansión adiabática (V ñ b V) hay enfriamiento (T ñ a T)ya que c b 1; y que en toda compresión adiabática hay calentamiento. Obsérvese la situa-ción relativa de las curvas adiabática e isoterma de la Figura 11.4.

5. Procesos cerrados y cíclicosPara cualquier sistema, en toda transformación cerrada o cíclica, los estados inicial y

final del sistema son iguales, lo que implica:

pf % pi; Vf % Vi; Tf % Ti ú Uf % Ui ú BU % 0 ú Q % W

Trabajo que geométricamente se representa en los diagramas p-V por:

WABC % Área interior a ABCVCVA

WCDA % Área interior a CDAVAVC

W % WABC . WCDA, que es el área encerrada por la curva ABCD del proceso cíclico.

p

VC

A C

B

D

VA V

Figura 11.5.

En las transformaciones reversibles cíclicas, si el recorrido tiene lugar en sentido inver-so, el trabajo tendrá signo contrario.


www.FreeLibros.me

Si existen distintas transformaciones cerradas consecutivas, el trabajo total realizadoserá la suma algebraica de los trabajos parciales; es decir, con los correspondientes signosque se indican en la Figura 11.6.

+ _+

p

V

Figura 11.6.

11.3 Segundo principio: versión Carnot

11.3.1. Máquinas térmicas

Una máquina térmica es un sistema que opera, según un ciclo termodinámico, entre dos focosde calor a distinta temperatura, produciendo trabajo mecánico. En la Figura 11.7 se representael esquema usual de una máquina térmica. El foco caliente (u hogar) se encuentra a una tempe-ratura T1 y de él extrae el sistema una cantidad de calor Q1, de modo que la máquina cede unacantidad de calor Q2, menor que Q1, al foco frío y realiza un trabajo mecánico W.

T1

Q1

Q2

T2

W

1

2

Figura 11.7. Esquema usual del proceso de una máquina térmica.


www.FreeLibros.me

En la figura, mediante la anchura del espacio sombreado se representa una posible distribu-ción de las cuantías de las energías implicadas en el proceso.

Dado que se trata de un proceso cíclico —reiterado—, para cada ciclo se verifica:

BU % Q . W % 0 ú Q % W ú Q1 . Q2 . W % 0

es decir:

W % Q1 . Q2

Aplicando el concepto usual de rendimiento13 de un ciclo, se obtiene:

g %W

Q1%

Q1 . Q2

Q1% 1 .

Q2

Q1(11.12)

Necesariamente g a 1, ya que Q2 b 0. De aquí se deduce el que puede considerarse co-mo enunciado mecánico del segundo principio: Es imposible construir una máquina térmica derendimiento unidad.

11.3.2. Máquinas frigoríficas

Una máquina frigorífica es un sistema termodinámico tal que operando cíclicamente su objetoconsiste en extraer calor de un foco frío (congelador, frigorífico, sala acondicionada en verano)y cederlo a un foco caliente (aire ambiente), para lo que precisa un aporte de energía mecánicaexterior.

Se considera como una máquina térmica de funcionamiento en sentido inverso. En la Figu-ra 11.8 se representa el esquema usual.

T1

Q1

Q2

T2

W

1

2

Figura 11.8. Esquema de una máquina frigorífica.

13 Rendimiento de una máquina % (energía útil)/(energía absorbida).


www.FreeLibros.me

De la aplicación del primer principio:

BU % 0 % Q2 . Q1 ! W ú W % Q1 . Q2

En este caso se denomina efecto frigorífico (y se mide de ordinario en frigorías/kW . h) deuna manera análoga al rendimiento, al cociente entre la energía útil que es la extraída del focofrío y la energía absorbida, que es el trabajo necesario. Por tanto:

E %Q2

W%

Q2

Q1 . Q2(11.13)

11.3.3. Ciclo de Carnot: rendimiento

Se considera ciclo de Carnot al realizado por una máquina ideal con una sustancia ideal (gasideal) que evoluciona según un ciclo ideal compuesto por dos tramos isotermos y otros dosadiabáticos.

En la Figura 11.9 se simboliza el proceso cíclico de Carnot de un gas ideal en un cilindro, yen la Figura 11.10 se representa el ciclo en un diagrama de Clapeyron.

Figura 11.9. Transformaciones de un ciclo de Carnot.

El diagrama del proceso cíclico (Figura 11.10) con una explicación detallada de los desa-rrollos matemáticos se expone a continuación.

Figura 11.10. Ciclo de Carnot.


www.FreeLibros.me

a) Transformación 1-2: expansión isotermaAplicando el primer principio:

T1 % T2 ú BT % 0 ú U % U2 . U1 % 0 ú Q % W

y según (11.6):

Q1 % W12 % nRT1 lnV2

V1

La ecuación del proceso isotermo (a partir de la ecuación de estado) es:

p1V1 % p2V2 (11.14)

b) Transformación 2-3: expansión adiabáticaPor el primer principio:

Q % 0 ú BU % .W23

y por la ecuación del proceso adiabático:

p2Vc2 % p3V

c3 (11.15)

c) Transformación 3-4: compresión isotermaAplicando el primer principio y (11.6):

Q2 % W34 % nRT2 lnV4

V3

y por la ecuación del proceso isotermo:

p3V3 % p4V4 (11.16)

d) Transformación 4-1: compresión adiabáticaAplicando el primer principio:

Q % 0 ú BU % .W41

y por la ecuación del proceso adiabático:

p4Vc4 % p1V

c1 (11.17)

Rendimiento del ciclo de Carnot

g %W

Q1%

Q1 . Q2

Q1%

W12 ! W23 ! W34 ! W41

Q1

Multiplicando los primeros y segundos miembros de las Ecuaciones (11.14) a (11.17)correspondientes a cada uno de los cuatro procesos, se obtiene:

p1p2p3p4V1Vc2V3V

c4 % p1p2p3p4V

c1V2V

c3V4


www.FreeLibros.me

y, simplificando, resulta:

V2V4 % V1V3

Por tanto:

lnV4

V3% ln

V1

V2% .ln

V2

V1

Y sustituyendo en la expresión del rendimiento, teniendo en cuenta que W23%.W41, se obtiene:

g %

T1 lnV2

V1! T2 ln

V4

V3

T1 lnV2

V1

%

(T1 . T2) lnV2

V1

T1 lnV2

V1

y simplificando:

g %Q1 . Q2

Q1%

T1 . T2

T1(11.18)

En consecuencia, g, el rendimiento de una máquina ideal de Carnot, es independiente de lanaturaleza del sistema y de las ramas adiabáticas del ciclo; sólo es función de las isotermas, esdecir, de las temperaturas de los focos caliente y frío.

Si fuera T2 % 0 el rendimiento resultaría g % 1, en compatibilidad con el tercer principio,de «la inaccesibilidad del cero absoluto».

De aquí se deduce el teorema de Carnot, que matemáticamente se expresa:

1 .

Q2

Q1% 1 .

T2

T1ú

Q2

Q1%

T2

T1ú

Q1

Q2%

T1

T2(11.19)

El rendimiento de una máquina real:

g %Q1 . Q2

Q1m

T1 . T2

T1(11.20)

y, en consecuencia, menor que el de una máquina ideal.

11.3.4. Ciclo de Carnot inverso: máquina frigorífica ideal

El mismo ciclo de Carnot analizado anteriormente pero funcionando en sentido inverso se con-sidera como ciclo frigorífico de Carnot. Su eficiencia frigorífica, a partir de (11.13), es:

Ef %Q2

Q1 . Q2%

1

Q1

Q2. 1

%1

T1

T2. 1

%T2

T1 . T2(11.21)

Si T2 es muy grande, la eficiencia, así definida, será grande.


www.FreeLibros.me

La misma máquina considerada como bomba térmica (en invierno enfría la calle, foco frío,y calienta la sala, foco caliente), tiene una eficiencia:

EC %Q1

Q1 . Q2%

T1

T1 . T2(11.22)

11.3.5. Escala termodinámica

La Ecuación final (11.19) del teorema de Carnot permite definir una escala termodinámica ab-soluta, es decir, independiente de la naturaleza de la sustancia.

T1

T2%

Q1

Q2(11.23)

11.4 Segundo principio: aumento de la entropía

11.4.1. Degradación de la energía

El primer principio, por una parte, utilizó un nuevo concepto —una nueva variable—, U, laenergía interna del sistema, caracterizada, entre otras notas, por ser:

a) Una forma de energía (y, por tanto, energía).b) Una variable o función de estado del sistema.

Y, por otra parte, estableció, como consecuencia de su enunciado, BU % Q . W, que su valorpermanece constante (es decir, se conserva), BU % 0, en los procesos (de la naturaleza que fue-ren) de un sistema (siempre que éste permaneciera) aislado (Q % W % 0).

El tema objeto de estudio en este capítulo es la degradación termodinámica de la energía,compatible con su conservación (o constancia). Con otras palabras, explicar que «la energía seconserva, pero se degrada».

Algunos ejemplos introductorios facilitarán la comprensión de las ideas básicas.

Ejemplo 1. El problema del contacto de dos cuerpos en la teoría elemental de los inter-cambios de calor14

Dos cuerpos A y B, a diferente temperatura, TA y TB, que se ponen en contacto, alcanzan elequilibrio térmico T ñA % T ñB % T0. La interpretación del proceso, en el seno de dicha teoría ele-mental, se limitaba a establecer que el calor, Q1, cedido por el cuerpo caliente, en su procesode enfriamiento desde la temperatura inicial TA hasta la de equilibrio T0, es igual al calor absor-bido por el cuerpo frío, en su proceso de calentamiento desde la temperatura inicial TB hasta lade equilibrio T0; es decir, algebraicamente:

Q1 % Q2



www.FreeLibros.me

o bien

m1c1(TA . T0) % m2c2(T0 . TB)

Desde la Termodinámica, considerando como sistema el conjunto de los dos cuerpos, puededecirse bastante más:

1. El proceso es irreversible (no se concibe que naturalmente, espontáneamente, si se po-nen en contacto dos cuerpos a la misma temperatura, tenga lugar una evolución tal queuno incremente su temperatura y el otro disminuya la suya).

2. La energía total del sistema conjunto permanece constante (ya que sólo ha habido unatransferencia de calor, energía, de un cuerpo a otro).

3. El sistema ha perdido capacidad para producir trabajo. En la situación inicial de losdos cuerpos se podía obtener trabajo mediante una máquina térmica funcionando entreambos focos a TA y TB.

En síntesis, el proceso espontáneo —natural— de tendencia a la igualación de temperaturade los dos cuerpos es tal que:

a) Se ha conservado la energía total.b) Se ha degradado dicha energía, porque si bien permanece cuantitativamente constante,

cualitativamente es diferente, ya que ha perdido capacidad para producir trabajo.

Ejemplo 2. La expansión libre de un gas ideal (experiencia de Joule)

La experiencia de Joule15 constituye un nuevo ejemplo clásico de proceso irreversible (Figu-ra 11.11) de sumo interés para la comprensión de la idea de degradación de la energía. El gasencerrado en la cámara A (estado 1), Figura 11.1, se expansiona libremente hacia la B al abrirla válvula, hasta alcanzar el equilibrio ocupando ambas cámaras (estado 2). El proceso de ex-pansión ha sido brusco, instantáneo, es decir, irreversible. (No se concibe que, por sí mismo, elgas vuelva a concentrarse en A).

p

p1

p2

V1

V2

T

1

2

V

Figura 11.11. Proceso irreversible de expansión libre de un gas ideal.

15 Descrita con cierto detalle en el Apartado 11.2.3.


www.FreeLibros.me

Dado que BT % 0, BU % 0, y, por tanto, la energía interna no ha variado, U2 % U1 (la iso-terma ideal es una línea de isoenergía interna).

Pero en 1 el gas tenía una capacidad para producir el trabajo que se representa en la Figu-ra 11.12 por el área tramada, si hubiera evolucionado hasta el estado 2 mediante un procesoreversible (por ejemplo, moviendo «lentamente» el émbolo de un cilindro en equilibrio mecá-nico continuo, pint % pext); o bien, para producir, en un proceso irreversible contra la presiónexterior p2, el trabajo p2(V2 . V1) que se indica también en la Figura 11.12.

Figura 11.12. Procesos de expansión de un gas ideal con producción de trabajo.

El gas ideal (en los tres procesos: expansión libre, proceso reversible, proceso irreversiblecontra p2) posee en el estado 2 (único —el mismo— en las dos figuras) la misma energía inter-na que en el 1 (de ambas figuras), pero esta energía, cuantitativamente idéntica, ha sufrido unadegradación termodinámica, ha perdido, precisamente, la capacidad para producir trabajo quese cuantifica en la Figura 11.12 por las áreas bajo la isoterma y bajo la isobara p2 entre lasordenadas correspondientes a V1 y V2. En el caso de la expansión libre —proceso irreversi-ble—, además, sin haber producido ningún trabajo.

Ejemplo 3. Procesos en una habitación herméticamente cerrada

El profesor Julio Palacios exponía con maestría el caso de una habitación herméticamente ce-rrada con paredes adiabáticas (sistema aislado) en la que hay un vaso con agua caliente, otrocon alcohol y un reloj de cuerda en marcha. Al cabo de cierto tiempo el agua se ha enfriado, elalcohol se ha evaporado y el reloj se ha parado. En el interior hay la misma masa y la mismaenergía pero se ha producido una degradación, una igualación térmica, una anulación de dife-rencias, lo que implica disminución, pérdida de posibilidades.

Como conclusión general de estos ejemplos puede afirmarse que en los procesos irreversi-bles hay degradación termodinámica de la energía.

Se ha expuesto un conjunto de ideas más o menos claras pero que conviene conceptualizar,y facilitar, en su caso, la medición. Son las englobadas por las siguientes expresiones que a lolargo de este capítulo se irán explicando: degradación térmica de la energía, grado de irreversi-bilidad de un proceso, sentido de las transformaciones espontáneas, tendencia natural a la igua-lación de las diferencias (térmicas, o mecánicas, en los ejemplos), disminución de las posibili-dades o de la potencialidad para producir trabajo, el orden del sistema.


www.FreeLibros.me

Clausius, al introducir el concepto de entropía, magnitud termodinámica, permitió dar res-puesta —mediante explicación matematizable— a este conjunto de ideas.

11.4.2. Variaciones de entropía en procesos reversibles

11.4.2.1. Ciclo de Carnot

En el estudio del ciclo de Carnot (Apartado 11.3.3) se concluyó la Ecuación (11.22):

Q2

Q1%

T2

T1

p

V

1

2

3

4

T1

T2

Q1

Q2

Figura 11.13. Ciclo de Carnot.

resultado que puede ponerse de las formas siguientes:

Q1

T1%

Q2

T2ú

Q1

T1.

Q2

T2% 0 ú ;

i

Qi

Ti

% 0 (11.24)

donde a los Qi hay que considerarlos con el signo convenido (Qi b 0, si el calor es absorbidopor el sistema; y Qi a 0, si es calor cedido por el sistema).

Cocientes de los tipos Q/T y dQ/T se le presentaron, repetidamente, a Clausius en suscálculos teóricos. La última expresión de (11.24) representa que la suma algebraica de las can-tidades Q/T de un ciclo de Carnot es nula para cualesquiera que sean las isotermas T1 y T2 y lasadiabáticas del ciclo.

11.4.2.2. Ciclo reversible

Si se considera un ciclo reversible arbitrario, éste puede descomponerse aproximadamente, me-diante una red de isotermas y adiabáticas, en ciclos de Carnot elementales, tal como se apreciaen la Figura 11.14.

Para cada ciclo elemental puede escribirse:

;i

dQi

Ti

% 0


www.FreeLibros.me

p

V

Figura 11.14. Partición de un ciclo reversible arbitrario en ciclos elementales de Carnot.

y dado que las integrales curvilíneas correspondientes a un mismo tramo de isoterma o de adia-bática interior al ciclo se anulan por tratarse de dos recorridos de ciclo de Carnot adyacente, elresultado total es el correspondiente a los límites destacados en la citada figura. Haciendo cre-cer indefinidamente el número de ciclos de Carnot, en el límite —elementos infinitesimales—se obtendría:

Irev

dQ

T% 0 (11.25)

donde la integral se realiza a lo largo de la curva cerrada representativa del ciclo reversible.Este resultado importante sugirió a Clausius la existencia de (o la conveniencia de introdu-

cir) una nueva magnitud de estado (o función de estado, dQ/T) que es una diferencial exacta enprocesos reversibles. A esta nueva variable —cociente entre la cantidad de calor intercambiadapor el sistema con sus alrededores y la temperatura absoluta a la que se intercambia— la deno-minó entropía.

11.4.2.3. Proceso abierto reversible

Sea la evolución reversible de un sistema desde un estado A a otro B a lo largo del caminotermodinámico (C). Puede considerarse otro camino reversible (D) arbitrario, de B a A, con ob-jeto de cerrar un ciclo reversible (Figura 11.15), y aplicarle el resultado anterior. Es decir:

IACB

dQ

T!IBDA

dQ

T% 0

o bien:

IACB

dQ

T% .IBDA

dQ

T


www.FreeLibros.me

A B

( )C

( )D

( )E

p

V

.

Figura 11.15. Ciclos reversibles arbitrarios a partir de un proceso reversible abierto.

Pero dado que los procesos son reversibles:

IACB

dQ

T%IADB

dQ

T

y como (D) es arbitrario (aunque reversible), la integral entre A y B de dQ/T no depende de(C), (D), (E), etc., sino que sólo depende de los estados inicial y final, lo que permite conside-rar la existencia de una nueva variable de estado (o función de estado): la entropía.

IAB(rev)

dQ

T% SB . SA (11.26)

Para una transformación reversible elemental abierta se verifica:

dS %dQ

T(11.27)

11.4.3. Concepto de entropía

A la luz de las igualdades del apartado anterior conviene hacer unas consideraciones en torno ala entropía destacando sus notas significativas.

El valor energético de un sistema no depende sólo de la cantidad de su energía interna, sinotambién de otra magnitud que exprese su calidad. Las evoluciones naturales tienden al desor-den, a la eliminación de diferencias, a la igualación.

La entropía (S) es una magnitud de estado con la que se mide el desorden del sistema(Boltzmann, Gibbs). Puede utilizarse para describir sistemas y fenómenos térmicos, de modoanálogo al uso de otras magnitudes (por ejemplo: p, V, T, U).

Entre sus notas caracterizadoras pueden destacarse:

1. Magnitud asociada a los estados del sistema, variable de estado. Puede variar en losprocesos a que se someta el sistema.


www.FreeLibros.me

2. Magnitud secundaria AdS %dQ

T B .

3. Es de naturaleza algebraica escalar.4. Es una función potencial. Por tanto, sólo pueden conocerse (y medirse) diferencias,

BS % S2 . S1, no valores absolutos, ya que está determinada a menos de una constanteaditiva.

5. Magnitud extensiva.6. Indica el sentido de las transformaciones espontáneas (hacia entropía creciente).7. Mide la degradación de la energía (expresión del segundo principio).

11.4.4. Variaciones de entropía en procesos irreversibles

11.4.4.1. Desigualdad de Clausius

Todo proceso real es esencialmente irreversible. En las expresiones ;dQ

Ttodos los sumandos

positivos (absorción de calor, dQ b 0) serán menores que los asociados a los correspondientesprocesos reversibles ya que Tsist. a Tmedio y los sumandos negativos (cesión de calor, dQ a 0)serán mayores que los asociados a los correspondientes procesos reversibles dado queTsist. b Tmedio. En consecuencia, para los procesos reales:

IAB (real, irreversible)

dQ

TaIAB (rev)

dQ

T% SB . SA (11.28)

expresión que se denomina desigualdad de Clausius. El primer miembro de la desigualdad,

IAB(irrev.)

dQ

T, depende del camino termodinámico, es decir, del proceso irreversible concreto; el

segundo miembro, sólo de los estados inicial y final, pero no del proceso reversible concretoentre dichos estados.

La Ecuación (11.28) expresa otro enunciado del segundo principio: «Para que un procesopueda tener lugar espontáneamente —naturalmente— la integral de Clausius correspondienteal proceso tiene que ser menor que el cambio de entropía entre los estados inicial y final delsistema».

El cambio de entropía de un sistema entre dos estados determinados (por ser la entropíafunción de estado) no depende del proceso que se considere para su cálculo. Éste, en conse-cuencia, puede efectuarse mediante la consideración de un proceso reversible arbitrario entreambos estados extremos.

11.4.4.2. Índice de irreversibilidad

En un proceso abierto se denomina índice de irreversibilidad (o de espontaneidad) a:

I % (SB . SA) . IAB(real)

dQ

T(11.29)

ya que cuanto mayor es I más espontáneo es el proceso.


www.FreeLibros.me

Todo proceso reversible tiene lógicamente un valor I % 0, valor mínimo posible (inaccesi-ble) del índice de irreversibilidad de un proceso natural. Es imposible un proceso natural, es-pontáneo, con un índice de irreversibilidad I m 0; I siempre ha de ser positivo, I b 0.

11.4.4.3. Evolución espontánea de un sistema aislado. Aplicación al Universo

En un sistema aislado, Q % 0 o dQ % 0, y, por tanto, aplicando la desigualdad de Clausius:

IAB(real)

dQ

T% 0 a IAB(rev)

dQ

T% SB . SA

Es decir:

0 a SB . SA ú SB b SA (11.30)

con un índice de irreversibilidad:

I % SB . SA b 0 (11.31)

A la luz de estos resultados puede ofrecerse otro enunciado del segundo principio: «Todosistema aislado evoluciona siempre en el sentido de la entropía creciente».

Aplicando este concepto termodinámico al Universo (sistema aislado) se afirma que «laentropía del Universo aumenta» (aunque la energía —primer principio— permanezca cons-tante).

Una expresión síntesis de los dos primeros principios de la Termodinámica es ésta: «En unsistema aislado la energía se conserva, pero se degrada a medida que la entropía crece».

En resumen, en todo sistema aislado (ejemplo: el Universo según la Termodinámica Clási-ca) se verifica:

1. La energía total se mantiene constante.(Conservación de la energía)

2. La entropía evoluciona en sentido creciente.(Aumento de la entropía. Degradación de la energía)

11.4.5. Ejemplos elementales de cálculo de variaciones de entropía

11.4.5.1. Casos tratados según la Teoría elemental de los intercambios de calor.Calorimetría16

a) Calentamiento de un cuerpo.En el proceso de calentamiento de un cuerpo de masa m y calor específico c:

dQ % m . c . dT (11.32)

Por tanto:

S2 . S1 %IT2

T1

dQ

T%I

T2

T1

m . c . dT

T% m . c . ln

T2

T1(11.33)



www.FreeLibros.me

b) Cambio de fase de una sustancia.En un proceso de cambio de fase:

Q % mL (11.34)

siendo L el calor de cambio de fase (calor latente) y m la masa que cambia de fase. SiendoT la temperatura, constante, a la que tiene lugar dicho cambio de fase, resulta:

S2 . S1 %mL

T(11.35)

11.4.5.2. Evoluciones de gases ideales

a) Expresiones generales:La variación de entropía de un proceso elemental se define (11.27):

dS %dQ

T(11.36)

El primer principio de la Termodinámica se expresa por:

dU % dQ . dW (11.37)

Deben recordarse, por otra parte, las ecuaciones usuales en el estudio de los gases idea-les, tales como la ecuación de estado, la de Joule (exclusiva de los gases ideales), la deltrabajo de expansión de un gas y la relación de Mayer, que son, respectivamente:

pV % nRT (11.38)

dU % nCV dT (11.39)

dW % p dV (11.40)

Cp % CV ! R (11.41)

En consecuencia:

dQ % dU ! dW % nCV dT ! p dV (11.42)

Y, sustituyendo en (11.36), se obtiene:

dS % nCV

dT

T!

p

TdV % nCV

dT

T! nR

dV

V(11.43)

e integrando:

S2 . S1 % nCV lnT2

T1! nR ln

V2

V1(11.44)

O bien, dado que:p1V1

T1%

p2V2

T2ú

V2

V1%

p1T2

p2T1

se obtiene:

S2 . S1 % nCp lnT2

T1. nR ln

p2

p1(11.45)


www.FreeLibros.me

b) Expresiones para los procesos fundamentalesEn la Figura 11.16 se recuerdan las representaciones gráficas de los procesos funda-

mentales a partir de un estado A, en el diagrama de Clapeyron.

Figura 11.16. Procesos fundamentales de un gas ideal a partir de un estado A.

1. Proceso isotermo: T % cte

S2 . S1 % nR lnV2

V1% nR ln

p1

p2(11.46)

2. Proceso isóbaro: p % cte

S2 . S1 % nCp lnT2

T1% nCp ln

V2

V1(11.47)

3. Proceso isócoro: V % cte

S2 . S1 % nCV lnT2

T1% nCV ln

p2

p1(11.48)

4. Proceso adiabático: Q % 0

dS %dQ

T; dQ % 0 ú dS % 0 ú S2 % S1 (11.49)


www.FreeLibros.me


11.1 Se mantienen 65 g de xenón en un recinto a 2 atm y 298 K. Posteriormente se efectúa unaexpansión adiabática:

a) Reversiblemente hasta la presión de 1 atm.

b) Contra la presión de 1 atm.

Determínese la temperatura final en cada caso.

Solución:

a) dU % dQ . dW, dQ % 0 ú dU % .dW

Hipótesis: el gas xenón se comporta como un «gas ideal» que verifica pV % nRT.

pVc% cte ú pA

nRT

p Bc

% cte ú p1.cTc% cte

p1.c1 Tc

1 % p1.c2 Tc

2 ú T2 % T1 Ap1

p2B1.c

c % T1Ap2

p1Bc.1

c

Por ser gas monoatómico: CV %3

2R; Cp %

5

2R; c %

Cp

CV

%5

3% 1,67

T2 % 298A1

2B1,67.1

1,67

T2 % 225,8 K

b) Evolución irreversible, BU % .W. BU % nCV(T2 . T1)

W % IV2

V1

pext dV % pext(V2 . V1) % p2nR AT2

p2.

T1

p1B% nR AT2 .

p2

p1T1B

nCV(T2 . T1) % .nRAT2 .

p2

p1T1B ú T2 %

ACV ! Rp2

p1B T1

CV ! R

T2 % 238,4 K

Notas:

a) La ley de Joule es aplicable sólo a gases ideales.

b) En las expansiones adiabáticas se produce enfriamiento.

c) La temperatura final (T2) en procesos reversibles (de expansiones adiabáticas) es menorque las asociadas irreversibles. (Enfriamiento mayor, se aporta más cantidad de trabajo).


www.FreeLibros.me

11.2 Se colocan 10 g de N2 en un cilindro, a 27 oC y 2 atm, cerrado mediante un pistón que pue-de deslizarse sin rozamiento. Se pone en contacto con el medio ambiente que se encuentra adicha temperatura y a 1 atm de presión hasta que se establece el equilibrio y a continuaciónse le somete a los siguientes procesos:

a) Se sumerge en un baño de agua y hielo hasta alcanzar el equilibrio.

b) Se le aplica lentamente una fuerza variable (reversible) hasta reducir su volumen a lamitad.

c) Se sujeta el pistón y se extrae el cilindro del baño hasta que adquiera de nuevo el equi-librio térmico con el ambiente.

d) Se deja libre el pistón que adquiera de nuevo el equilibrio termodinámico con el am-biente.

Admitiendo que el N2 se comporta como un gas ideal:

1. Dibújese el proceso en el diagrama p-V.

2. Calcúlese Q, W y BU para cada una de las etapas.

(Dato complementario: Pat(N2) % 14).

Solución:

1. Estados del sistema:1. Medio ambiente (27 oC, 1 atm)2. (0 oC, 1 atm)3. (0 oC, V/2, 2 atm)4. Medio ambiente (27 oC, 1 atm)

Procesos:1 r 2: irreversible2 r 3: reversible3 r 4: irreversible4 r 1: irreversible

T = 0 ºC

T = 27 ºC1

2

3

4

V/2 V

p

V2. Etapa 1 r 2:

Gas ideal:

BU12 % nCVBT %m

MCVBT %

10

28. 5 . 4,18 . (.27) % .201,55 J

Gas biatómico: CV %5

2R ] 5

cal

mol . K; Cp %

7

2R ] 7

cal

mol . K

W12 % pext(V2 . V1) % nR(T2 . T1) %10

28. 2 . 4,18 . (.27) % .80,6 J

Q12 % BU ! W % .282,15 J


www.FreeLibros.me

Etapa 2 r 3:

BU23 % 0 (proceso isotermo) ú Q23 % W23

Q23 % W23 %IV3

V2

p dV % nRT2 lnV3

V2%

10

28. 2 . 4,18 . 273 . ln

1

2% 565 J

Etapa 3 r 4:

W34 % 0 ú BU34 % Q34 % nCVBT %10

28. 5 . 4,18 . 27 % 201,55 J

Etapa 4 r 1:

BU41 ú 0 ú Q41 % W41 % pext(V1 . V4) % p1nR AT1

p1.

T4

p4BPara hallar p4:

p3V3 % nRT3

p4V3 % nRT4

Por tanto:p3

p4%

T3

T4

y sustituyendo:

Q % W % nRAT1 .

p1

p3T3B%

10

28. 2 . 4,18A300 .

1

2273B% 488 J

Q % W % 488 J

11.3 Se expansiona adiabáticamente un gas ideal diatómico desde un volumen de 2 l a presión de2 atm y temperatura de 300 K hasta que su temperatura final sea la cuarta parte de la inicial.Se pide:

a) Volumen y presión finales.

b) Trabajo y variación de energía interna en la transformación.

Solución:

a) Gas perfecto diatómico: c % 1,4Estado 1: V1 % 2 l, p1 % 2 atm, T1 % 300 KTransformación adiabática 1 r 2 ú pVc

% cte; TVc.1% cte

Estado 2: T2 % T1/4 % 75 K

T1Vc.11 % T2V

c.12 ú V2 %A

T1

T2B1

c.1 V1 % 42,5 . 2 % 64 l


www.FreeLibros.me

Para calcular la presión pueden seguirse dos caminos directos:

1. Ecuación de estado en 2:

p2 %nRT

V2%

p1V1

T1

T2

V2%

2 . 2

300. 75

64%

1

64atm

2. Ecuación de la transformación:

p2 % p1AV1

V2Bc

% 2A2

64B1,4

%1

64% 1,5625 . 10.4 atm

b) Ley de Joule: BU % nCVBT; gas diatómico: CV % 5/2 R ] 5 cal/mol . K

n %p1V1

RT1%

2 . 2

0,082 . 300% 0,1626 mol

BU % 0,1626 . 5 . (75 . 300) % .183 cal

Aplicando el primer principio:

BU % Q . W; Q % 0 ú BU % .W ú W % 183 cal

El trabajo (positivo) realizado por el sistema se produce a costa de su energía interna.

11.4 a) ¿Qué cantidad de calor se desprende al comprimir isotérmicamente por vía reversible10 l de un gas ideal a 27 oC y 1 atm de presión hasta reducir su volumen a la décimaparte?

b) Y si la presión se hace bruscamente (adiabáticamente), ¿en cuánto se incrementa sutemperatura?

Solución:

a) Proceso isotérmico (T % 27 oC)

1

101

1

2

V (l)

p (atm)PROCESO DE COMPRESIÓN

ISOTÉRMICA REVERSIBLE «infinitamente» lento, para

conservación de temperatura

y desprendimiento del calor

BT % 0 ú BU % 0 ú Q % W (primer principio)

Q% W %I2

1p dV % I

2

1

nRT

VdV % nRT ln

V2

V1


www.FreeLibros.me

Utilizando la ecuación de estado de los gases ideales: p1V1 % nRT

n %p1V1

RT%

1 atm . 10 l

0,082atm . l

mol . K. 300 K

% 0,406 mol

Q % 0,406 mol . 8,314J

mol . K. 300 K . ln 0,1 . 1 cal

4,18 J% .557,8 cal

Q % 557,8 cal se desprenden

b) Proceso adiabático

Q % 0 (proceso brusco que no permite desprendimiento de calor): TVc.1% cte

Aceptando la hipótesis de gas biatómico: c % 7/5 % 1,4

T1Vc.11 % T2V

c.12 ú T2 %A

V1

V2Bc.1

T1 % 101,4.1 . 300 % 753,56 K

BT % T2 . T1 % 453,56 K

11.5 Un mol de un gas ideal monoatómico se calienta a volumen constante desde 300 K a 600 K.Se pide:

a) Determinar el incremento de energía interna, el trabajo realizado y el calor absorbido.

b) Determinar las cantidades de esas formas de energía en el caso de que el gas se calientede 300 a 600 K a presión constante.

Solución:

El sistema es un mol de gas ideal monoatómico:

n % 1 ; Cp % 5R/2 ; CV % 3R/2

Estado inicial: p1, V1, T1 % 300 K

Estado final a): p2, V1, T2 % 600 K

Estado final b): p1, V2, T2 % 600 K

a) W % 0 (proceso isóstero, V % cte)

BU % nCVBT % 1 . 1,5 . 8,314 . 300 % 3.741,3 J %

% 894 cal

BU % Q % 3.741,3 J % 894 cal W % 0


www.FreeLibros.me

b) La energía interna es una función de estado que, para los gases ideales, depende sólo de latemperatura del estado correspondiente —ley de Joule—. Por tanto:

BU % 894 cal

Por tratarse de un proceso isóbaro (P % cte):

W % p(V ñ2 . V1) % R(T ñ2 . T1) % 8,314 . 300 % 2.494,2 J % 596 cal

W % 596 cal

Por el primer principio de la Termodinámica:

Q % BU ! W % 1.490 cal

11.6 Un mol de gas ideal biatómico, a partir de un estado inicial a 1 atm y 27 oC, realiza el si-guiente ciclo:

1. Se calienta a volumen constante hasta duplicar su temperatura absoluta.

2. A continuación se expansiona adiabáticamente hasta la presión inicial.

3. Se cierra el ciclo mediante un proceso isobárico.

Determinar:

a) Las condiciones de presión, volumen y temperatura en cada uno de los puntos extremosde los procesos.

b) El trabajo realizado en el ciclo.

Solución:

Gas ideal biatómico: Cp % 7R/2, CV % 5R/2, c % 7/5 % 1,4; n % 1.

a) p1 % 1 atm; T1 % 300 K

V1 %RT1

p1%

0,082 . 300

1% 24,6 l

V2 % 24,6 l, T2 % 600 K

p2 %0,082 . 600

24,6% 2 atm

p2Vc2 % p3V

c3; p2 % 2 atm

V2 % 24,6 l; p3 % 1 atm

V3 %cJ

p2

p3V2 %

1,4J2

124,6 % 40,36 l ; T3 %

p3V3

R%

1 . 40,36

0,082% 492,2 K


www.FreeLibros.me

b) W % I1231

p dV %I2

1

p dV ! I3

2

p dV !I1

3p dV % W23 ! W31

W23 % Wad %1

c . 1(p2V2 . p3V3) %

1

1,4 . 1(2 . 24,6 . 1 . 40,36) % 22,1 atm . l

W31 % Wisob % p(V1 . V3) % 1 . (24,6 . 40,36) % .15,76 atm . l

W % 22,1 . 15,76 % 6,34 atm . l % 6,34 . 1,013 . 105 N

m2. 10.3 m3

% 642 J

W % 642 J

11.7 Se consideran las transformaciones de la figura correspondientes a un gas ideal. Si el estadoinicial es A y X puede ser B, C, D o E, determinar para cuál se cumple:

1. Que IX

A

dQ % UX . UA

2. Que IX

A

dQ % WXA

B

EDC

U

V

AT1

T2

T3

Solución:

Gas ideal: BU % nCVT

Primer principio: BU % Q . W

Las isotermas son rectas horizontales en el diagrama U-V para gases ideales

1. ú W % 0 ú BV % 0 ú Proceso AD

2. ú BU % 0 ú BT % 0 ú Proceso AB

11.8 Demuéstrese el teorema de Carnot, cualquiera que sea la naturaleza del sistema, a partir delsegundo principio de la Termodinámica.


www.FreeLibros.me

Solución:

Se consideran dos máquinas de Carnot C y C ñ tra-bajando entre las mismas fuentes térmicas con sus-tancias distintas.

Si se hace funcionar una de ellas, por ejemplola C ñ, como máquina frigorífica de tal forma que elcalor cedido al foco caliente sea igual al absorbidopor la máquina C:

Q1 % Qñ1

y el rendimiento de ambas fuera distinto, tal como

g % gñ

resultaría:

W

Q1b

Wñ

Qñ1

ú W . Wñ b 0

de modo que el sistema acoplado formaría una máquina térmica que intercambiaría calor conun solo foco y produciría trabajo (móvil perpetuo de segunda especie), lo que está en contra-dicción con el segundo principio.

Si se invirtiera el sentido siendo C la frigorífica y Cñ el motor, suponiendo gñ b g se demos-traría análogamente la imposibilidad. Por tanto:

g % gñ

11.9 Se denomina ciclo de Carnot al proceso cíclico integrado por dos tramos isotermos y dosadiabáticos. En primer lugar el sistema experimenta una expansión isoterma a la temperaturaT1, seguida de una expansión adiabática, de una compresión isoterma a la temperatura T2, y,finalmente, de una compresión adiabática hasta el estado inicial. Las isotermas correspondenal foco caliente (caldera, horno, etc.), T1, y al foco frío (condensador, refrigerante, etc.), T2.

Denominando a, b, c y d los cuatro extremos del ciclo y Va, pa, Ta, ..., las variables ter-modinámicas en cada uno de ellos, se pide:

1. Dibujar en el diagrama de Clapeyron el ciclo de Carnot.2. Utilizando las ecuaciones de cada transformarción, demostrar que

Vb

Va

%Vc

Vd

3. Cantidad de calor Q1 absorbida del foco caliente durante la expansión isoterma a latemperatura T1 y la cedida Q2 al foco frío durante la compresión isoterma a la tempera-tura T2.

4. Demostrar las siguientes relaciones:

Q1

Q2%

T1

T2; g %

W

Q1% 1 .

T2

T1


www.FreeLibros.me

Solución:

1.

T2

T1

p

V

a

b

d

c

Q= 0

Q= 0

T1

> T2

2. a r b: pV % cte ú paVa % pbVb (1)

b r c: pVc% cte ú pbV

cb % pcV

cc (2)

c r d: pV % cte ú pcVc % pdVd (3)

d r a: pVc% cte ú PdV

cd % paV

ca (4)

Multiplicando miembro a miembro las ecuaciones (1), (2), (3) y (4), resulta:

papbpcpdVaVcbVcV

cd % pbpcpdpaVbV

ccVdV

ca

Vc.1b Vc.1

d % Vc.1a Vc.1

c

Por tanto:

Vb

Va

%Vc

Vd

3. T % cte ú BU % 0

Por el primer principio:

Q % W %I2

1

p dV

Q1 %Ib

a

p dV % Ib

a

nRT1

dV

V% nRT1 ln

Vb

Va

b 0; calor absorbido

Q2 %Id

c

p dV %Id

c

nRT2

dV

V% nRT2 ln

Vd

Vc

a 0; calor cedido


www.FreeLibros.me

4. Para que Q2 sea positivo: Q2 % nRT2 lnVc

Vd

Q1(absorbido)

Q2 (cedido)%

T1 ln AVb

VaBT2 ln A

Vc

VdB% (por 2.o principio) %

T1

T2

g %W

Q1%

área rayada

Q1

Aplicando el primer principio al ciclo de Carnot: BU % 0 y el calor neto absorbido porel sistema es igual al trabajo realizado:

Q % Q1 . Q2 % W

g %Q1 . Q2

Q1% 1 .

Q2

Q1% 1 .

T2

T1

11.10 Un ciclo de Carnot de un gas ideal diatómico conecta dos estados extremos caracterizadospor las condiciones siguientes:

A: pA % 1 atm; TA % 20 oC.

C: pC % 10 atm; TC % 250 oC; VC % 11

siendo Ta y Tc las temperaturas de las fuentes fría y caliente, respectivamente. Se pide:

a) Determinar las coordenadas termodinámicas de los puntos B y D del ciclo.

b) Calcular las cantidades de calor Q1 y Q2 intercambiadas en el ciclo, así como el trabajoproducido y el rendimiento del ciclo.

Solución:

a) El sistema (número de moles de un gas idealdiatómico) queda caracterizado por la aplica-ción de la ecuación de estado al punto C:

pCVC % nRTC

n %10 . 1

0,082 . 523% 0,233 mol

El volumen en el estado A:

pAVA % nRTA

VA %nRTA

pA

%0,233 . 0,082 . 293

1% 5,6 l

T 2

T1

p (atm)

V (l)

C

D

B A

T1 >T2

1

1

10


www.FreeLibros.me

El punto B queda determinado por:

a) Isoterma que pasa por A: pBVB % pAVA % 1 . 5,6

b) Adiabática que pasa por C: pBV1,4B % pCV1,4

C % 10 . 11,4

sistema del que se deduce:

V0,4B % 1,786 ú VB % 4,26 l

pB %5,6

4,26% 1,31 atm

El punto D, análogamente, por:

añ) Isoterma por C:

pDVD % pCVC % 10 . 1

bñ) Adiabática que pasa por A:

pDVcD % pAV

cA % 1 . 5,61,4 ú V0,4

D % 1,115 ú VD % 1,31 l

pD %10

1,31% 7,61 atm

El valor de VD invita a reconstruir el ciclo gráficamente, dado que VD a VB.

b) Q1 (calor absorbido) a T1. BU % 0

Q1 % WCD %ID

C

p dV % nRT1 lnVD

VC

Q1 % 0,233 . 0,082 . 523 ln1,31

1% 273 J

T2

T1

p (atm)

V (l)

C

D

BA

T1 > T2

Q1

Q2

Q2 (calor cedido) a T2.. BU % 0.

Q2 % WAB %IB

A

p dV % nRT2 lnVA

VB

Q2 % 0,233 . 0,082 . 293 . ln5,6

4,26% 155 J

Como es un ciclo cerrado, por el primer principio:

BU % 0 % Q . W ú W % Q % Q1 . Q2 % 273 . 155 % 118 J

Por tanto, el rendimiento es:

g %W

Q1%

118

273% 0,43 (43%)


www.FreeLibros.me

11.11 Un motor térmico funciona mediante un ciclo de Carnot reversible entre temperaturasT1 % 200 oC (hogar) y T2 % 20 oC (refrigerante). El hogar comunica al sistema 60 kcal porminuto. Calcúlese la potencia del motor en caballos de vapor.

Solución:

Datos del problema: T1 % 473 K, T2 % 293 K.

Rendimiento del motor: g % 1 .

T2

T1% 1 .

293

473% 0,38 %

W

Qabs

El calor absorbido es el suministrado por el hogar: 60 kcal/min % 1.000 cal/s, y el trabajodesarrollado por el motor por segundo (la potencia) será:

W* % gQ*abs % 0,38 . 1.000 % 380 cal/s

P % 380 cal/s . 4,184 J/cal % 1.590 W

Como 1 CV % 735 W:

P %1.590

735] 2,2 CV

11.12 Obténgase la relación entre el rendimiento g de una máquina térmica que opera según unciclo de Carnot reversible y la eficiencia E de la correspondiente máquina frigorífica idealoperando en sentido contrario entre las mismas temperaturas.

Solución:

E %Q2

W%

Q2

Q1 . Q2%

Q2

Q1

1 .

Q2

Q1

g %W

Q1%

Q1 . Q2

Q1% 1 .

Q2

Q1

De las que se deduce:

E %1 . g

gú gE % 1 . g

g %1

1 ! E

Las máquinas térmicas que admiten funcionar como refrigeradores a expensas de un trabajoexterior son tales que, si el rendimiento es alto, su coeficiente de eficacia (efecto refrigerador ofrigorífico) es reducido, y recíprocamente.


www.FreeLibros.me

11.13 a) Demuéstrese que por descomposición de cualquier ciclo reversible en una serie de ci-clos de Carnot elementales y paso al límite se obtiene la desigualdad de Clausius.

b) Comparando con el de Carnot el rendimiento de un ciclo irreversible entre dos focos alas mismas temperaturas y posterior ampliación a un ciclo con un número infinito defocos, dedúzcase la desigualdad de Clausius para procesos irreversibles.

Solución:

a) Sea el ciclo reversible de la figura quemediante una red de isotermas y adiabá-ticas puede descomponerse en un con-junto de pequeños ciclos de Carnot.

Para cada uno de éstos puede escri-birse:

dQ1

T1!

dQ2

T2% 0

p

V

Y para todos los ciclos de Carnot enque se ha descompuesto el ciclo se tiene:

;i

dQi

Ti

% 0

extendida la suma exclusivamente al contorno ya que cada términodQi

Ti

correspondiente a una

isoterma de los ciclos de Carnot internos se anula con el valor opuesto que le corresponde alciclo contiguo.

Haciendo crecer indefinidamente el número de ciclos de Carnot reduciendo la separaciónentre cada dos isotermas y cada dos adiabáticas, por paso al límite se cumplirá:

IdQR

T% 0; igualdad de Clausius

b) Sea g1 el rendimiento de una máquina térmica cuya sustancia de trabajo realiza un cicloirreversible entre las temperaturas T1 del foco caliente y T2 del foco frío. Se verifica (todairreversibilidad acarrea una pérdida de rendimiento):

g1 % 1 .

Q2

Q1a 1 .

T2

T1% g (rendimiento de ciclo de Carnot reversible); Q1, Q2 b 0

De todo ello se deduce:

Q1

T1.

Q2

T2b 0; o bien con sus signos

Q1

T1!

Q2

T2a 0


www.FreeLibros.me

Y si se trata de un ciclo con n focos:

n

;i%1

Qi

Ti

a 0

Finalmente, si el número de focos se hace infinito, el sumatorio se convierte en inte-gral, y, siendo QI la cantidad de calor intercambiada con cada foco elemental:

IdQI

Ta 0; desigualdad de Clausius

El conjunto de las dos condiciones se resume en:

IdQ

Tm 0

11.14 Obténganse las expresiones de las variaciones de entropía de un gas ideal utilizando comovariables de estado independientes (V, T), (p, T) y (p, V), respectivamente.

Solución:

a) Expresión en función de V y TPrimer principio: dQ % dU ! p dV

Segundo principio: dS %dQ

Tú T dS % dQ

TdS % dU ! p dV % nCV dT !nRT

VdV (1)

dS % nCV

dT

T! nR

dV

V

S2 . S1 % BS % nCV lnT2

T1! nR ln

V2

V1

b) Expresión en función de p y T

V %nRT

p; dV %

nR

pdT .

nRT

p2 dp ;dV

V%

dT

V%

dT

T.

dp

p

En (1):

dS % nCV

dT

T! nR A

dT

T.

dp

p B% nCp

dT

T. nR

dp

p

S2 . S1 % BS % nCp lnT2

T1. nR ln

p2

p1


www.FreeLibros.me

c) Expresión en función de p y V

T %pV

nR; dT %

1

nR(p dV ! V dp)

En (1):

dS % nCV

1

nRT(p dV ! V dp) ! nR

dV

V% n(CV ! R)

dV

V! nCV

dp

p

S2 . S1 % BS % nCp lnV2

V1! nCV ln

p2

p1

11.15 En el esquema adjunto, las líneas de trazos representan las isotermas de un gas ideal, y lalínea continua es la adiabática que pasa por A.

p

V

C

D

AF

E

a) ¿Se puede acceder adiabáticamente a los estados C, D, E y F desde el A?

b) Dibújese la región inaccesible adiabáticamente desde el estado A.

Solución:

a) Reversiblemente sólo pueden efectuarse procesos a lo largo de la adiabática, cuyos puntosrepresentan los posibles nuevos estados.

Irreversiblemente pueden efectuarse procesos adiabáticos desde A hacia otros estadosno representados por la adiabática.

Dado que S es función de estado y que BSAX b 0, siendo X % C, D, E, F, para hallar Spuede seguirse cualquier proceso.

Sustituyendo el proceso irreversible AX por la sucesión de procesos reversibles AB, BXse obtiene:

ABad. rev ú BSAB % 0

BSAX % BSAB ! BSBX % nR ln AVX

VBBb 0

si VX b VB, ya que BX es isotermo.


www.FreeLibros.me

En gases ideales se tiene:

BS % S2 . S1 % nCV lnT2

T1! nR ln

V2

V1

En resumen:

C, E: accesibles

D, F: inaccesibles

b)p

V

B

A

X

adiabática p

V

adiabática

Zona

inaccesible

11.16 Se coloca 1 kg de agua a 20 oC en contacto térmico con un baño calorífico a 80 oC.

a) ¿Cuál es el cambio de la entropía del sistema global (agua más baño calorífico) cuandose ha restablecido el equilibrio?

b) Si se calienta agua a 20 oC mediante contactos sucesivos con baños caloríficos a 50 oC y80 oC (y se espera, en cada ocasión, hasta que se alcanza el equilibrio), ¿cuál sería elcambio de entropía del sistema total?

c) ¿Qué ocurre si se aumenta progresivamente el número de baños caloríficos con los quese establece el contacto térmico descrito?

Solución:

a) dS %dQ

T; Teq % 80 oC % 353 K

1. Para el cuerpo (agua): dQ % m c dT ú dS %dQ

T%

m c dT

T

BSagua %I2

1m c

dT

T% m c ln

T2

T1% 103 . 4,18 . ln

353,15

293,15% 778,35

J

K

2. Para el baño:

BSbaño%1

T I dQ%Qbaño

T2%

.Qagua

T2%.

m c(T2 . T1)

T2%.

103 . 4,18 . 60

353,15%.710,18

J

K

BSsistema % BSagua ! BSbaño % 68,17J

Kb 0 ú proceso irreversible


www.FreeLibros.me

b) 1. BSagua % m c AlnT3

T1! ln

T2

T3B% m c lnT2

T1% 778,35

J

K

El cuerpo pasa del estado 1 al estado 2 como en a).

2. BSb % BS13 ! BS32

BSbaño%.

mc(T3.T1)

T3.

mc(T2 . T3)

T2%.

103 . 4,18 . 30

323,15.

103 . 4,18 . 30

353,15%.743,15

J

K

BSsistema % BSagua ! BSbaño % 35,20J

Kb 0; proceso irreversible

c) Cuantos más contactos sucesivos con baños caloríficos de temperaturas intermedias cre-cientes habrá menos irreversibilidad y en el límite:

BSsistema r (BSrev r) 0

11.17 Un gas ideal realiza una transformación isoterma desde un volumen de 10 l y presión de 5atm, a la temperatura de 300 K, hasta que su volumen se reduce a la mitad.

Se pide:

a) Presión final del gas.

b) Número de moles.

c) Trabajo y calor en la transformación.

d) Variación de entropía en la transformación.

Solución:

a) T % cte ú p1V1 % p2V2

p2 %p1V1

V2%

5 . 10

5

p2 % 10 atm

b) n %p1V1

RT1%

5 . 10

0,082 . 300

n % 2,03 mol

c) T % cte ; BU % 0 % Q . W

W % I2

1p dV %I

2

1nRT

dV

V% nRT ln

V2

V1% 2,03 . 0,082 . 300 ln

1

2% .34,6 atm . l


www.FreeLibros.me

W % .34,6 atm . l A24,22 cal

atm . l B% .838 cal .A4,18J

calB% .3.502,84 J

Las cantidades de trabajo y de calor son ambas negativas ya que comprimir el gas im-plica trabajo realizado contra el sistema y éste debe ceder calor al ambiente para que latemperatura permanezca constante.

d) dS %dQ

T; S2 . S1 %I

2

1

dQ

T%

1

T I2

1dQ %

Q

T%

.838

300% .2,8

cal

K% .11,7

J

K

S2 . S1 % .2,8cal

K% .11,7

J

K

11.18 Determínese la variación de entropía del Universo en los siguientes procesos irreversibles:

a) Calentamiento irreversible de un cuerpo.

b) Expansión de Joule de un gas ideal.

c) Mezcla irreversible, a presión constante, de dos líquidos a distinta temperatura en un re-cinto aislado.

d) Flujo de calor de un cuerpo caliente hacia otro frío en un recinto aislado.

Solución:

a) Un cuerpo de masa m y calor específico c a la temperatura inicial T1 se pone en contactocon un foco a temperatura constante T2, siendo T2 b T1. El proceso es irreversible y latemperatura final del cuerpo es T2.

BScuerpo %I2

1

dQ

T%I

2

1

m c dT

T% m c ln

T2

T1

La temperatura del foco permanece constante:

BSfoco %.Q

T2%

.m c(T2 . T1)

T2% m c

T1 . T2

T2

La variación de entropía del Universo es:

BSUniverso % BScuerpo ! BSfoco % m cAlnT2

T1!

T1

T2. 1Bb 0

como puede comprobarse desarrollando en serie de Taylor lnT2

T1y efectuando las opera-

ciones.


www.FreeLibros.me

b) El gas se expansiona isotérmica e irreversiblemente frente al vacío desde el volumen ini-cial V1 al final V2. Imaginando un proceso reversible con los mismos extremos (isotérmico):

BSgas % n R lnV2

V1b 0

Respecto de los alrededores del sistema: W % 0, BU % 0, Q % 0. El proceso es adiabá-tico (e isentrópico).

BSaire % 0

Por tanto:

BSUniv % BSgas ! BSaire % n R lnV2

V1b 0

c) Sean dos líquidos (m1, c1) y (m2, c2) a temperaturas distintas T1 y T2, siendo T1 b T2, quese mezclan en un recinto aislado, hasta que se alcanza el equilibrio térmico:

Qc % Qa ú m1c1(T1 . T0) % m2c2(T0 . T2)

a la temperatura:

T0 %m1c1T1 ! m2c2T2

m1c1 ! m2c2

Si se consideran cantidades de los líquidos tales que sus capacidades caloríficas seaniguales, es decir:

C % m1c1 % m2c2 ú T0 %T1 ! T2

2

BS1 %I0

1

dQ

T%I

0

1

CdT

T% ln

T0

T1

que es negativo, ya que T0 a T1.Y

BS2 % C lnT0

T2

que es positivo, ya que T0 b T2.Por tanto:

BSUniv % BS1 . BS2 % CAlnT0

T1! ln

T0

T2B% C lnT2

0

T1T2% 2C ln

T0

∂T1T2

b 0

ya que la media aritmética de dos números es siempre mayor que la media geométrica.


www.FreeLibros.me

d) Sean dos cuerpos 1 y 2 en contacto térmico. Dadoque T1 b T2, fluye calor de 1 a 2. Considerando unproceso elemental de transferencia de calor:

dS1 % .

dQ

T1; dS2 % !

dQ

T2

dSUniv % dS1 ! dS2 % dQA1

T2.

1

T1Bb 0

Nota: En todos estos ejemplos de procesos irreversibles se ha comprobado que la entropía delUniverso aumenta (principio de crecimiento de la entropía).

11.19 Un recipiente de 5 litros de paredes térmicamente aislantes y que contiene nitrógeno a 2 atmy 27 oC se comunica mediante una llave de paso con otro recipiente de 2 l, térmicamenteaislado, que contiene oxígeno a 6 atm y 27 oC. Al abrir la llave de paso se mezclan ambosgases.

Suponiendo que el N2 y el O2 se comportan coomo gases ideales, calcúlese:

1. La presión final.

2. La variación de entropía de este proceso irreversible.

Solución:

N2

O2

V1

V2

1. Presión final.

a) Estado inicial:V % V1 ! V2

p1V1 % n1RT

p2V2 % n2RT

b) Mezcla:pV % nRT ú p(V1 ! V2) % (n1 ! n2)RT % p1V1 ! p2V2

p %p1V1 ! p2V2

V1 ! V2%

2 . 5 ! 6 . 2

5 ! 2%

22

7atm

2. Variación de entropía del proceso irreversible.Se imagina un proceso reversible entre los mismos estados extremos del sistema:

a) Proceso reversible que lleve los dos gases al estado de p y T del equilibrio final.b) Se considera la variación debida a la mezcla.

1.a etapa:La variación de entropía en una transformación de un gas ideal es:

BS % nCpAlnTF

TI

. R lnpF

pIBdonde TF % TI % T y existen dos gases.


www.FreeLibros.me

Dado que:

n1R %p1V1

T1; n2R %

p2V2

T2

BS1 % .R An1 lnp

p1! n2 ln

p

p2B%1

T Ap1V1 lnp

p1! p2V2ln

p

p2B

BS1 % .

1

300 A2 . 5 ln

22

7

2! 6 . 2 ln

22

7

6 B1,013 . 105 . 10.3

4,18% 0,264

cal

K

2.a etapa:BS2 % .R ;

i

ni ln xi

pi

p%

ni

n% xi (ley de Dalton)

xi %ni

n%

piVi

RT

pV

RT

BS2 %p1V1

Tln

p1V1

pV.

p2V2

Tln

p2V2

pV

BS2 % .

.1

300 A2 . 5 ln2 . 5

22

7. 7B

1,013 . 105 . 10.3

4,18% 1,225

cal

K

BS % BS1 ! BS2 % 0,264 ! 1,225 % 1,489cal

K

11.20 Si dos curvas adiabáticas tuvieran un punto de intersección en un diagrama pV relativo a ungas ideal, se podría completar un ciclo trazando un camino isotérmico entre las dos adiabáti-cas, como se indica en la figura.

Demuéstrese que este ciclo violaría el segundo principio de la Termodinámica.

p

V

adiabáticas

isoterma


www.FreeLibros.me

Solución:

Si ello fuera así, se podría realizar el ciclo de la figuraformado por una isoterma y dos adiabáticas.

Etapa 1-2:

W12 %I2

1p dV % nRT1 ln

V2

V1

BU12 % U2 . U1 % 0 ú

Q12 % W12 % nRT1 lnV2

V1Etapa 2-3:

Q23 % 0 ú W23 % .BU23 % U2 . U3 % nCV(T1 . T2)

Etapa 3-1:

Q31 % 0 ú W31 % .BU31 % U3 . U1 % nCV(T2 . T1)

El trabajo desarrollado por el ciclo sería:

W % W12 ! W23 ! W31 % nRT1 lnV2

V1! nCV (T1 . T2) ! nCV(T2 . T1)

W % nRT1 lnV2

V1% Qabs

Un motor térmico que funcionara según este hipotético ciclo transformaría todo el calor ab-sorbido en trabajo, en contra del segundo principio de la Termodinámica (enunciado de Kelvin-Planck). Por tanto, dos adiabáticas no tienen punto de intersección.

11.21 Un mol de un gas ideal monoatómico (Cp % 5/2 R; CV % 3/2 R) evoluciona según un ciclode Carnot ABCD, del que se conoce el valor de TA y se sabe que VB % 3VA y VC % 3VB. Sepide, en función sólo de TA y de R:

1. Rendimiento del ciclo.

2. Trabajo en la transformación AB.

3. Incremento de entropía en AB, en cal/K.

4. Variación de energía interna en el ciclo.

Solución:

1. g %TA . TC

TA

; TA % TB (isoterma del foco caliente)


www.FreeLibros.me

BC es adiabática, por tanto:

TBVc.1B % TCVc.1

C ú TC %AVB

VCBc.1

TA %TA

3c.1

g %

TA .

TA

3c.1

TA

%3c.1

. 1

3c.1 % 0,52

g % 52%

2. WAB % IB

A

p dV % IB

A

nRTA

dV

V% nRTA ln

VB

VA

% RTA ln 3

3. BSAB %IB

A

dQ

T%

1

TA

QAB %1

TA

WAB, ya que BU % 0 (por ser BT % 0)

Y, por aplicación del primer principio:

QAB % WAB

BSAB %RTA ln 3

TA

% R ln 3cal

K

4. BU % 0, por ser U función de estado y tratarse de un ciclo cerrado.


www.FreeLibros.me


11.1. Describir a qué tipo de sistema termodinámico pertenecen:

a) Una gota de agua.

b) El gas encerrado en una bombona.

c) El aire de una habitación.

d) Un vaso con Coca-Cola y cubitos de hielo.

11.2. Calcular el trabajo realizado por un gas ideal cuando se expande de un volumen de5 litros a otro de 25 litros contra una presión constante de 3 atm.

11.3. Calcular el trabajo realizado al comprimir isotérmicamente 20 litros de un gas ideal a2 atm hasta un volumen de 5 litros.

11.4. Dos moles de un gas ideal se expansionan isotérmicamente desde un volumen inicialV0 hasta duplicar dicho volumen. A continuación sigue expansionándose adiabática-mente hasta alcanzar una temperatura T2. Si a continuación tiene lugar una compresióna dicha temperatura hasta un volumen V3, seguida de otra compresión hasta alcanzar elvolumen inicial, calcular:

a) Trabajo desarrollado en cada una de las transformaciones.

b) Trabajo total.

c) Energía calorífica puesta en juego.

11.5. Un gas ideal monoatómico se lleva por el ciclo reversible que indica la figura.

p (atm)

A B

C

5

2

10 30 V (l)

La temperatura en A es de 300 K.Calcúlese para los tramos BC y CA:

a) Variación de energía interna.

b) Calor.

c) Trabajo.

11.6. Una bala de 85 g (c %0,031 cal/g . oC) está inicialmente a 22 oC. Se dispara horizontal-mente con una velocidad de 380 m/s, y choca con un bloque de hielo que está a 0 oC.


www.FreeLibros.me

Determinar, explicitando previamente las hipótesis que se consideren oportunas, lacantidad de hielo que se funde.

11.7. Se consideran 6 g de aire cuyo calor específico a volumen constante es de 0,175 cal/g . oC.

a) Si se calientan de 25 oC a 380 oC, ¿cuál será la variación de su energía interna?

b) Si se comprimen adiabáticamente de forma que su temperatura aumenta de 25 oC a380 oC, ¿qué trabajo se realiza para comprimirlo?

11.8. Una muestra de 32 g de metano (M % 16) inicialmente a 1 atm y 27 oC se calienta a277 oC. Las ecuaciones empíricas para los calores molares del metano son:

Cp % 3 ! 2 . 10.2 Tcal

mol . grado

CV % 1 ! 2 . 10.2 Tcal

mol . grado

Suponiendo que el metano se comporta idealmente, calcular BU, Q y W si el proce-so es:

a) Isobaro reversible.

b) Isócoro reversible.

11.9. Un recipiente de 18 m3 contiene radiación electromagnética en equilibrio con sus pare-des a la temperatura de 310 K. Dicha radiación se comporta como gas de fotones cuyasecuaciones energética y térmica están dadas por:

U % aVT4

p %1

3aT4

donde a % 7,56 . 10.16 J/m3 K4. Se pide:

a) Calcular el calor absorbido por la radiación electromagnética para que en un pro-ceso cuasiestático e isotermo, su volumen se duplique.

b) Obtener la relación que gobierna los procesos adiabáticos experimentados por esegas de fotones, utilizando como variables independientes la presión y el volumende aquél.

11.10. Un recipiente cilíndrico cerrado de paredes adiabáticas impermeables al calor está divi-dido en dos partes iguales por un émbolo sin rozamiento, también impermeable al ca-lor. En cada compartimento hay un gas ideal biatómico e inicialmente ambos están auna temperatura de 25 oC y a una presión de 78 mm Hg. El volumen total del recipien-te es de 12 litros. El compartimento de la izquierda lleva un sistema de calefacción quepermite calentar el gas que hay en él, se acciona este sistema y se triplica la presión.Determinar:


www.FreeLibros.me

a) Las temperaturas y volúmenes finales de los dos compartimentos.

b) La cantidad de calor absorbido por el gas de la izquierda.

11.11. Un gas ideal realiza una transformación isoterma desde un volumen de 15 litros y pre-sión de 4 atm, a la temperatura de 280 K, hasta que su volumen se reduce a la terceraparte.

Calcular la variación de entropía en la transformación.

11.12. En un recinto a temperatura ambiente de 25 oC se coloca 1 kg de hielo a .8 oC. Éstese derrite y alcanza un estado de equilibrio térmico con la atmósfera.

¿Cuál es el aumento de entropía del Universo en el proceso?

(Calor específico del hielo: cH % 0,5 cal/g . oC; calor de fusión del hielo: LH % 80 cal/g; calor específico del agua: cagua % 1 cal/g . oC).

11.13. Un mol de un gas ideal biatómico que ocupa 2 litros a la presión normal, aumenta suentropía en 16,43 cal/K a la vez que su presión pasa a ser 10 atm.

Calcular el nuevo volumen.

11.14. Tres moles de un gas ideal monoatómico describen el ciclo de la figura.

Determinar:

a) La temperatura en cada vértice.

b) La variación de energía interna, el calor, el trabajo y la variación de entropía co-rrespondientes a cada proceso del ciclo.

c) El rendimiento del ciclo.

11.15. En un recinto aislado adiabáticamente se tienen 0,5 kmol de helio y 1 kg de hielo. Ini-cialmente la temperatura del hielo es de 273 K y la del helio de 305 K. El recipienteestá cerrado por un émbolo móvil sin rozamiento de peso despreciable y la presión ex-terior es la atmosférica.

Calcular la variación de entropía del sistema una vez alcanzado el equilibrio, des-preciando la variación del volumen del hielo al fundirse.

(Calor de fusión del hielo: LH % 80 cal/g; calor molar del helio a presión constante:Cp % 7/2 R).


www.FreeLibros.me

11.16. Se introduce en un congelador un recipiente con medio litro de agua a 27 oC que alcan-za una temperatura mínima de .19 oC. El congelador opera entre el agua y la habita-ción a 25 oC, que puede considerarse como foco térmico.

¿Cuál es la variación de entropía del agua?

(Calor específico del hielo: cH%0,5 cal/g . oC; calor de fusión del hielo: LH%80 cal/g;calor específico del agua: cagua % 1 cal/g . oC)

11.17. En un calorímetro que contiene una masa m1 %120 g de agua a la temperatura t1 % 8 oCse coloca un pedazo de cobre de masa m2 % 250 g a una temperatura t2 % 95 oC.

Calcular la variación de entropía del sistema y del Universo desde el inicio de laexperiencia hasta el equilibrio térmico.


www.FreeLibros.me

a

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.me

12.1 Generalidades

Se denominan potenciales termodinámicos a un conjunto de magnitudes físicas de la Termodi-námica Clásica que se caracterizan por:

1. Referirse a la noción de sistema.2. Considerarse como magnitudes macroscópicas del sistema como unidad.3. Ser variables o funciones de estado del sistema.4. Determinar el sentido de la evolución y constituir un índice de evolución espontánea

del sistema.5. Comportarse como funciones potenciales escalares; es decir, estar determinadas a me-

nos de una constante aditiva de modo que pueden conocerse sus diferencias entre losestados inicial y final de la evolución pero no sus valores absolutos en ningún estado.

6. Ser especialmente importantes para el estudio de las evoluciones naturales (irreversi-bles, espontáneas) de los sistemas.

7. Sus derivadas parciales respecto de otras variables del sistema expresan diferentes ca-racterísticas del estado del mismo.

12.2 Evoluciones de sistemas aislados. Entropía

Toda evolución espontánea de un sistema aislado se caracteriza por el crecimiento de la entropía:

dS b 0 (12.1)

Desde esta nueva perspectiva de los potenciales termodinámicos, puede afirmarse que lasevoluciones espontáneas de un sistema aislado siempre tienen lugar en el sentido de la entro-pía creciente.

12.3 Evoluciones de sistemas cerrados. Entalpía y Potencialesde Helmholtz y de Gibbs1

En un sistema cerrado (es decir, que interacciona con sus alrededores intercambiando energía—calor y/o trabajo—) pueden considerarse diferentes potenciales termodinámicos.

A) Entalpía

La entalpía es una magnitud termodinámica que se introduce en las transformaciones que tie-nen lugar con intercambios de calor y a presión constante, mediante la expresión:

H % U ! pV (12.2)

1 Un caso análogo se estudia en Mecánica: el potencial gravitatorio. La energía potencial gravitatoria de un sistema(un cuerpo) evoluciona siempre en el sentido decreciente: dEp a 0. Los cuerpos, espontáneamente, «caen» desde un nivel1 (de altura relativa h1 respecto de un «0» arbitrariamente elegido) hasta otro nivel 2 (de altura relativa h2 respecto dedicho «0») «perdiendo» una energía potencial mg(h1 . h2); nunca ascienden, espontáneamente, ganando potencial.


www.FreeLibros.me

Se caracteriza, entre otras, por las notas siguientes:

1. Magnitud secundaria cuya fórmula de definición es (12.2).2. Tiene naturaleza algebraica escalar.3. Es función de estado del sistema.4. Tiene carácter de magnitud potencial, determinada a menos de una constante aditiva.5. Tiene naturaleza física de energía, igual que U (energía interna), W (trabajo mecánico)

y Q (calor).

La entalpía juega el papel de la energía interna en los procesos isobáricos, y es de especialutilidad en el estudio de las reacciones químicas, con calor de reacción, que tienen lugar a pre-sión constante.

Según el primer principio, si la reacción tiene lugar a V constante:

QV % U2 . U1 (12.3)

y si tiene lugar a p constante:

Qp % (U2 . U1) ! p(V2 . V1) % (U2 ! pV2) . (U1 ! pV1) % H2 . H1 (12.4)

De las Ecuaciones (12.3) y (12.4) se deduce la ley de Hess: El calor de reacción no dependemás que de los estados inicial y final de la reacción.

En los cambios de fase, como tienen lugar a presión constante:

L %H2 . H1

mú L m % H2 . H1 (12.5)

Diferenciando (12.2) y teniendo en cuenta el segundo principio:

dH % dU ! p dV ! V dp % dQ ! V dp % T dS ! V dp

de donde se deducen las importantes relaciones siguientes entre las variables de estado:

ALH

LSBp

% T (12.6)

ALH

LpBS

% V (12.7)

B) Potencial de Helmholtz

Se denomina función de Helmholtz y potencial de Helmholtz de un sistema a la expresión:

F % U . TS (12.8)

Esta nueva variable F se caracteriza, entre otras, por las notas siguientes:

1. Magnitud secundaria, cuya fórmula de definición es (12.8).2. Naturaleza algebraica escalar.3. Función de estado del sistema, ya que U, T y S son variables de estado.4. Función potencial, determinada a menos de una constante aditiva.5. Naturaleza física de energía, a la luz de los sumandos integrantes de su definición.

CAPÍTULO 12. Potenciales termodinámicos 251

www.FreeLibros.me

El estudio de su evolución, en procesos isócoros (dV % 0; V % cte) a temperatura ambienteconstante (T % Ta), presenta un interés especial.

dF % dU. Ta dS

Los dos primeros principios de la Termodinámica, aplicados a este caso, pueden escribirsede las siguientes formas:

Primer principio:

dW % dQ . dU

Segundo principio:

dQ a Ta dS

De ellos se deduce:

dW a Ta dS . dU

y, por tanto:

dF % dU. Ta dS a.dW

dF a.dW %. p dV

Dado que dV % 0:

dF a 0 (12.9)

En consecuencia, puede concluirse que las evoluciones espontáneas de un sistema en condi-ciones isócoras a temperatura ambiente constante tienen lugar en el sentido del potencial deHelmholtz decreciente.

C) Potencial de Gibbs

Se denomina función de Gibbs y potencial de Gibbs de un sistema a la expresión:

G % U . TS ! pV (12.10)

que se define a partir de variables de estado del sistema. Otras fórmulas diferentes de la ante-rior, aunque equivalentes, son:

G % H . TS (12.11)

G % F ! pV (12.12)

de modo que la nueva variable G se caracteriza por las notas sustantivas siguientes2:

1. Magnitud secundaria, cuya fórmula de definición es la Expresión (12.6).2. Naturaleza algebraica escalar.3. Función de estado del sistema, ya que lo son U, T, S, p y V.4. Función potencial, determinada a menos de una constante aditiva.5. Naturaleza física de energía, a la luz de los sumandos integrantes de su definición.

2 Nótese que son idénticas a las de la función de Helmholtz. Se pretende resaltar la común naturaleza de potencialestermodinámicos.


www.FreeLibros.me

En los procesos espontáneos a temperatura y presión constantes (correspondientes a un de-terminado ambiente) de un sistema cerrado el potencial de Gibbs tiene una especial significa-ción3. En ellos:

G % U . TaS ! pV

Diferenciando (12.10) resulta:

dG % dU . TdS . S dT ! p dV ! V dp (12.13)

Pero, teniendo en cuenta que:

dp % dT % 0 ; p % pa ; T % Ta

se obtiene:

dG % dU . Ta dS ! pa dV (12.14)

Los dos primeros principios de la Termodinamica, aplicados de modo análogo al caso an-terior:

Primer principio:

dW % dQ . dU

Segundo principio:

dQ a Ta dS

conducen a:

dU a Ta dS . dW ú dU . Ta dS a.dW

y sustituyendo en (12.14), resulta:

dG a. dW ! pa dV % 0

Dado que dW % pa dV, se tiene:

dG a 0 (12.15)

En consecuencia, puede concluirse que las evoluciones espontáneas de un sistema en condi-ciones de presión y temperatura constantes tienen lugar en el sentido del potencial de Gibbsdecreciente.

3 Los cambios de fase de primer orden, procesos reversibles, tienen lugar a presión y temperatura constantes. En éstos,en síntesis, el desarrollo formal es el siguiente:

dG % dU . TdS . SdT ! pdV ! Vdp ; dp % dT % 0

dG % dU . TdS ! pdV ; dU % TdS . pdV (primer principio)

dG % 0

Por tanto, en estos cambios de fase, la función de Gibbs pasa por un mínimo, dG % 0, y los valores de G en ambas fasesson iguales.

G1 % G2

En el capítulo próximo se estudiará este tema con más detalle.


www.FreeLibros.me

Conclusión general

Desde la perspectiva de los potenciales termodinámicos, puede afirmarse que las evolucionesespontáneas de un sistema cerrado siempre tienen lugar en el sentido decreciente de los poten-ciales de Helmholtz y de Gibbs4.

12.4 Relaciones gráficas complementariasentre las magnitudes energéticas

El primer principio de la Termodinámica relaciona tres magnitudes físicas, históricamente dis-tintas, pero que convierte en homogéneas: U (energía interna), Q (calor) y W (trabajo); las tresse constituyen, en ella, en formas de energía, es decir, en manifestaciones distintas de un algoúnico: la energía.

Con las nuevas magnitudes secundarias introducidas que tienen también naturaleza de ener-gía (entalpía, potencial de Helmholtz y potencial de Gibbs) se enriquece el panorama de lasvariables útiles para el análisis de los procesos. En los sistemas p-V-T suele utilizarse la repre-sentación gráfica de la Figura 12.1 como referencia para relacionar estas formas de energía a laluz de las definiciones de las expresiones secundarias de la forma siguiente:

H

U pV

pVF

G

TS

TS

Figura 12.1. Diagrama de relaciones energéticas.

donde, por ejemplo, puede observarse que la energía interna, U, se compone de dos términos, Fy TS, que pueden interpretarse como:

F % Energía utilizable íntegramente en forma de trabajo.

TS % Energía no susceptible de transformarse en trabajo, que se denomina, a veces, ter-mentropía.

La entalpía, H, se compone, a su vez, de otros dos términos, G y TS, de modo que G seconsidera como entalpía libre.

4 No se ha considerado oportuno continuar, en esta ocasión, con el estudio de las evoluciones de los sistemas abiertos.


www.FreeLibros.me


12.1 a) Demuéstrese que el potencial de Helmholtz disminuye en las transformaciones espontá-neas (irreversibles) a volumen constante y con temperatura ambiente constante.

b) Ídem para el potencial de Gibbs en transformaciones a presión y temperatura constante.

Solución:

a) El potencial de Helmholtz, F % U . TaS, varía en un proceso infinitesimal según:

dF % dU . Ta dS

Por el primer principio:

dW % dQ . dU

y como el segundo principio establece que dS b

dQI

Ta

, para un proceso espontáneo (irrever-sible), resulta:

dW a Ta dS . dU %.dF

Por tanto:

dF a.dW %.p dV

y en el caso de volumen constante (dV % 0):

dF a 0

Es decir, en este tipo de transformaciones el potencial de Helmholtz disminuye; tiendea un mínimo en la situación de equilibrio.

b) El potencial de Gibbs, G % F ! paV, varía en un proceso infinitesimal según:

dG % dU . Ta dS ! pa dV % dF ! pa dV

y, teniendo en cuenta el apartado anterior:

dG a.dW ! pa dV % 0 ú dG a 0

Es decir, el potencial de Gibbs disminuye en las transformaciones espontáneas que tie-ne lugar a presión y temperaturas constantes.


www.FreeLibros.me

12.2 Supóngase que un cuerpo a 400 K se pone en contacto con un sistema de capacidad calorífi-ca ilimitada a 200 K. Si la capacidad calorífica del cuerpo es de 1.000 cal/K y se admite quepermanece constante:

a) Calcular la variación de entropía del cuerpo, del sistema y del Universo.b) Evaluar lo que ha aumentado la termentropía del cuerpo, demostrando que es igual al

trabajo que se hubiese obtenido en un ciclo de Carnot en el que se hubiese utilizado elcuerpo como foco caliente, el sistema como foco frío y teniendo en cuenta que el cuer-po se enfría hasta los 200 K.

c) Comentar los resultados.

Solución:

a)

BScuerpo %IT0

Tc

CdT

T% C ln

T0

Tc

%.C lnTc

T0%.1.000 ln

400

200%.693

cal

K

BSsistema %IdQ

T%

1

T0 I dQ %Qsistema

T0%

.Qc

T0%

C(T0 . Tc)

T0

BSsistema %1.000 (400 . 200)

200% 1.000

cal

K

BSUniverso % BScuerpo ! BSsistema %.693 ! 1.000 % 307cal

Kb 0 ú irreversible

b) El área T1BS es energía comunicada al sistema; (T1 . T2)BS es energía utilizada comotrabajo exterior (Wext.), y T2BS es energía cedida al foco frío; no puede producir trabajo:es energía degradada.

La termentropía es la energía que no puede producir trabajo; la cedida al foco frío. Re-presenta, por tanto, la degradación de la energía.

T1

T2

T

S1 SS

2

En un proceso irreversible, la termentropía (o energía degradada) es:

T0BSUniverso % T0C.C lnTc

T0! C

Tc . T0

T0 D% 200 . 307 % 61.400 cal (1)


www.FreeLibros.me

Ciclo de Carnot:

g %dW

dQ%

T . T0

T; dQ %.CdT

donde el signo negativo proviene de que se toma el foco caliente como referencia y no elsistema activo.

dW %T . T0

TdQ %

T . T0

T(.CdT) %.CA1 .

T0

T B dT

W %I dW %IT0

Te

. CA1 .

T0

TB d5 %.C AT0 . Tc . T0 lnT0

TcB% CATc . T0 . T0 lnTc

T0Bque coincide con (1).

c)F % U . TS

En contacto con un foco a T dada:BF % BU . T BS

Si

BU % BF ! T BS % cte EBS m ú BF n

BS n ú BF m

Cuando la termentropía crece, F disminuye, lo que implica menos energía libre para trans-formar en trabajo.

TBS se denomina «energía ligada» porque no se puede utilizar directamente para transfor-marse en trabajo.

F es la energía que potencialmente se puede transformar en trabajo.

12.3 Dos moles de un gas ideal monoatómico se expansionan irreversiblemente desde (400 K,10 atm) hasta (200 K, 5 atm). Se pide:a) Representar el proceso en un diagrama p-V, indicando los estados inicial y final con sus

valores numéricos.b) Evaluar en calorías las variaciones de energía interna y de entalpía.c) Evaluar en clausius la variación de entropía. ¿Qué habría que exigir para que este resul-

tado sea compatible con el segundo principio?d) Intentar el cálculo de las variaciones de la energía libre y del potencial de Gibbs. ¿Es

posible hacerlo?

Solución:

10 1

5 2

p (atm)

V (l)6,56

a) pV % nRT ú V %nRT

p

V1 %2 . 0,082 . 400

10% 6,56 l

V2 %2 . 0,082 . 200

5% 6,56 l

Proceso isócoro, irreversible (resulta extraña la expresión se expansionan, del enunciado).


www.FreeLibros.me

b) BU % nCVBT % 2 . 3 (200 . 400) %.1.200 cal

BH % nCpBT % 2 . 5 (200 . 400) %.2.000 cal

c) Utilizando los datos del problema en la expresión general:

BS %IdQ

T% nACp ln

T2

T1. R ln

p2

p1BBS % 2A5 ln

200

400. 2 ln

5

10B 4,18 %.17,31J

K

(una vez deducido que es un proceso isócoro, podría utilizarse: BS % nCV lnT2

T1).

BSsistema %.17,31J

Ka 0

BSUniverso b 0, BSUniverso % BSsistema ! BSmedio ú BSmedio b 17,31J

K

d) F % U . TS

BF % BU . B(TS) % BU . (TFSF . TiSi) %

% BU . TF (Si ! BS) ! TiSi % BU . (TF . Ti)Si . TFBS %

%.1.200 . (200 . 400)Si . 200A.

17,31

4,18 B%.372 ! 200Si

G % H . TS

BG % BH . B(TS) % ñ % BH . (TF . Ti)Si . TFBS %.1.172 ! 200Si

Nota: No es posible calcular dichas variaciones, dado que no se conoce la entropía inicial.

12.4 Un sistema termodinámico cuya ecuación de estado es pV % T2. aVT posee una entropía

que, en función de T y V, puede escribirse mediante:

S % 2T ln V .

b

T. aV

siendo a y b dos constantes características del sistema.Determínese:

a) La forma explícita de la energía libre F % F(T, V).

b) La ecuación energética de estado U % U(T, V ).

c) El potencial de Gibbs G % G(T, p), comprobando que ALG

LpBT

% V.


www.FreeLibros.me

Solución:

a) F % F(T, V ):

dF % ALF

LTBV

dT !ALF

LVBT

dV

F % U . TS:

dF % dU . d(TS) % dU . TdS . S dT %.S dT . p dV

ya que dU . T dS % dU . dQ %.dW % .p dV

S %. ALF

LTBV

; p %. ALF

LVBT

F %.I p dV ! J(T) %.I AT2

V. aTB dV ! J(T ) %.T2 ln V ! aVT ! J(T )

ya que pV % T 2. aVT ú p %

T2

V. aT

ALF

LTBV

%.2T ln V ! aV !dJ

dT%.S %.2T ln V !

b

T! aV ú

dJ

dT%

b

T

Por tanto:

J % b ln T ! C ú F %.T 2 ln V ! aVT ! b ln T ! C

b) U % F ! TS; U % T 2 ln V ! b ln T ! C . b

c) G % F ! pV %.T2 ln V ! aVT ! b ln T ! C ! T 2. aVT % ...; G(T, V )

donde: V %T2

p ! aT

... % b lnT ! T 2. 2T 2 ln T ! T2 ln (p ! aT) ! C; G(T, p)

ALG

LpBT

%T2

p ! aT% V


www.FreeLibros.me


12.1. Calcúlense, justificando en cada caso las respuestas, los valores de Q, W, BU, BS, BF,BH y BG en la ebullición de 460 g de agua, a presión normal.

(Calor de vaporización del agua 2.241 J/cal).

12.2. Se considera un gas cuya ecuación de estado responde a la expresión v %ART

p B.AA

T3B,

en la que v es el volumen molar y A una constante (dimensionada). Determínese lavariación de entalpía que experimenta dicho gas cuando, a temperatura de 0 oC, su pre-sión cambia de p1 a p2.

12.3. Calcúlese la variación de S, G y H cuando 2 mol de un gas ideal experimentan unacompresión isoterma, a la temperatura de 300 K, hasta duplicar su presión inicial.

12.4. Una batería de automóvil puede suministrar 1,48 kWh de energía eléctrica para ponerloen marcha. Calcúlese el volumen de aire comprimido a 74 atm y 22 oC que se necesita-ría para que con su energía se pudiera realizar un trabajo equivalente. Especifíquenselas hipótesis utilizadas.

12.5. Calcúlese la variación del potencial de Gibbs del benceno líquido cuando se compri-me isotérmicamente de 2 a 43 atm, indicando el significado energético del resultadoobtenido.

(Densidad del benceno: o % 0,88 g/cm3; M % 78 g/mol).

12.6. Determínese la variación del calor molar a presión constante, Cp, de un gas que cumple

la ecuación de estado v % ART

p B.AA

T 3B, cuando varía la presión en un proceso isotér-

mico. Aplíquese a una expansión a 100 oC.


www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.me

13.1 Cuestiones generales1

13.1.1. Concepto de fase

Las sustancias pueden presentarse en diferentes estados de agregación o fases (ejemplo: H2Opuede presentarse como hielo, agua líquida o vapor de agua). Los conceptos de la Termodiná-mica pueden aplicarse al estudio de las fases de la materia y a los procesos de transición defase o cambio de fase.

Fase es toda porción de materia homogénea diferenciada. Unos ejemplos facilitarán la com-prensión de este concepto y su distinción con el de sistema termodinámico.

Ejemplo 1. El agua en equilibrio con su vapor constituye un sistema simple heterogéneo in-tegrado por dos fases (homogéneas y diferenciadas cada una de ellas): el agua líquida y el va-por de agua. La curva de saturación, en el diagrama p-V (Figura 13.1), se ha estudiado en elCapítulo 6 analizando el proceso de compresión isoterma a temperaturas inferiores a la crítica.El estado representado por el punto A corresponde a un sistema simple homogéneo (todo sólovapor) que queda determinado por dos variables. El estado representado por el punto B corres-ponde a un sistema simple heterogéneo (líquido-vapor) de coexistencia de dos fases.

p

V

T1 < Tc

Tc

Vc

pc

pv

(T1)

B

A

Figura 13.1. Curva de saturación.

Ejemplo 2. Una mezcla de gases (por ejemplo, el aire) constituye un sistema compuesto ho-mogéneo con una sola fase.

Análogamente una disolución diluida.

Ejemplo 3. Cada sustancia sólida constituye una fase diferente.

1 La existencia de fases o estados de agregación de la materia es real, natural. Esta realidad (estudiada de diferentesmaneras en capítulos anteriores) se estudia ahora de forma más completa con apoyo de las nociones de la TermodinámicaClásica.

Se describen fenómenos reales macroscópicos. Una interpretación más exacta de tales fenómenos exige referencias a laTeoría cinética de la materia.

Las descripciones experimentales corresponden a la Naturaleza. No son propiamente Termodinámica. Posteriormentese utilizan conceptos termodinámicos para el estudio de los cambios de fase.


www.FreeLibros.me

Ejemplo 4. Una disolución saturada en presencia de sus solutos constituye un sistema com-puesto heterogéneo con varias fases: la disolución y cada uno de los solutos no disueltos.

Las fases o estados de agregación2 de la materia, consideradas clásicamente, son: sólida,líquida y gaseosa. Una sustancia (naturaleza química) puede encontrarse en cualquiera de estosestados de agregación clásicos; pero a su vez pueden encontrarse —caso de los sólidos— endiferentes fases sólidas (diferentes estructuraciones internas). «Estados de agregación» es unaexpresión única para todos estos casos.

13.1.2. Concepto de cambio de fase

Se denomina cambio de fase al proceso de transición o evolución de una sustancia de una fasea otra. Este proceso tiene lugar, de ordinario, para cada sustancia y tipo de cambio —en unascondiciones externas dadas; por ejemplo, de presión—, a una temperatura constante que se de-nomina temperatura de cambio de fase.

13.1.3. Cambios de «estado de agregación» o cambios de fase de primer orden

En la Figura 13.2 se representan —y denominan— las transiciones de fase ordinarias o clásicasconocidas también como de primer orden. Los procesos quedan, conceptualmente, claros, aun-que las palabras que se utilizan para su representación no tanto por el uso inadecuado comomúltiple de algunas de ellas que pueden inducir a confusión.

Figura 13.2. Cambios de fase de primer orden.

Estos cambios de fase —concebidos como reversibles— se caracterizan porque todo el pro-ceso tiene lugar en las siguientes condiciones:

1. Temperatura constante.2. Presión constante.3. Potencial de Gibbs constante.

Pero de tal modo que se producen cambios en el volumen específico y en la entropía, por loque en estas transiciones pueden presentarse manifestaciones energéticas.

2 No hay que confundir con la noción termodinámica de estado de un sistema.

CAPÍTULO 13. Cambios de fase 263

www.FreeLibros.me

El proceso de cambio de fase de una sustancia pVT (imagínese su superficie de estado) esuna línea recta en el espacio pVT paralela al eje V (intervalo continuo de sucesivos estados deequilibrio), a p % cte y T % cte. El potencial de Gibbs3 rige las transformaciones de este tipo;si son reversibles, G debe ser mínimo, y, por tanto, dG % 0, lo que implica que

G1 % G2 (13.1)

es decir que los potenciales de Gibbs de ambas fases son iguales.

13.1.4. Cambios de fase de segundo orden

Son aquellos que tienen lugar sin discontinuidades en el volumen ni en la entropía y, por tanto,sin manifestaciones energéticas; pero en los que pueden cambiar otras propiedades, tales comocoeficiente de dilatación lineal, calores específicos a presión constante, cambio de naturalezaferromagnética a paramagnética en el punto de Curie, y la transición del estado superconductoral conductor en ausencia de campo magnético.

13.2 Estudio de las transiciones de primer orden

13.2.1. Fusión y solidificación

13.2.1.1. Conceptos

Se denominan fusión y solidificación los procesos de cambio de fase de primer orden por losque un sólido se hace líquido y viceversa, respectivamente, de modo que se consideran proce-sos inversos. Notas caracterizadoras de estos procesos son las siguientes:

a) Tienen lugar a presión y temperatura constantes. Para una presión dada (usualmente seconsidera la presión atmosférica normal), cada sustancia pura funde a una determinadatemperatura llamada temperatura de fusión, Tf .

b) Tf se mantiene constante mientras dura el proceso de fusión a la presión considerada.Se denomina calor de fusión, Lf , la cantidad de calor precisa para fundir la unidad demasa de la sustancia considerada. Pueden recordarse las ecuaciones elementales delApartado 8.1.3:

Q % Lf m

Q % Lv m

c) La presión exterior influye sobre la temperatura de fusión, de tal modo que éstaaumenta (o disminuye) al aumentar la presión si la sustancia se dilata (o contrae) en lafusión.

3 Véase la nota del capítulo anterior relativa al potencial de Gibbs.


www.FreeLibros.me

13.2.1.2. Curvas de calentamiento: proceso de fusión

Unos procesos experimentales, respecto del tiempo, se representan en la Figura 13.3, para trespresiones ambiente diferentes y una sustancia ordinaria (aquella que se dilata al fundirse)4.

Figura 13.3. Procesos de calentamiento (fusión) de una sustancia sólida.

13.2.1.3. Curva de equilibrio p-T

La representación en el diagrama plano p-T de la curva de equilibrio entre las dos fases sóliday líquida es la de la Figura 13.4.

Sólido

Líquido

PT

T1

pPT

T 1 TPT T

p1

PT

Sólido

Líquido

p

p1

TTPT

p

pPT

a) Sustancia ordinaria b) Sustancia anómala

Figura 13.4. Curvas de equilibrio p-T para la fusión.

Respecto de la Figura 13.4.a) puede decirse que a una presión determinada, p1 b pPT, sólopuede existir la fase sólida si T a T1, y la fase líquida si T b T1; si T % T1 coexisten las dos

4 El H2O no es sustancia ordinaria, sino de conducta anómala: el hielo tiene más volumen que el agua; se contrae alfundirse y se dilata al solidificarse.


www.FreeLibros.me

fases en equilibrio. Análogamente, a una temperatura T1, para presiones inferiores a p1, existela fase líquida; para p b p1, sólo la fase sólida; para p % p1, coexisten ambas fases en equi-librio.

13.2.1.4. Curvas de cambio de volumen

Las sustancias, en general, en una fase determinada aumentan de volumen con la temperatura.En la fusión, de ordinario, se produce un aumento de volumen, caso a) de la Figura 13.5, aun-que a veces (sustancias que se consideran anómalas) disminuye el volumen.

Tf T

V

a) Sustancia normal

TfT

V

b) Sustancia anómala

Figura 13.5. Curvas de cambio de volumen.

Interesa destacar la conducta anómala del agua. En la fase sólida (hielo) tiene mayor volu-men que en la fase líquida. Por ello:

a) El hielo flota en el agua.b) Las tuberías pueden reventar al congelarse el agua en ellas.c) Las rocas se agrietan por congelación del agua en las fisuras y oquedades.

Entre los metales, algunos, como Fe, Bi, Sb, y determinadas aleaciones se expansionan alsolidificar; otros, en cambio, se contraen, como Au y Cu.

13.2.1.5. Curvas de enfriamiento: proceso de solidificación

Procediendo experimentalmente en sentido contrario al del calentamiento de una sustancia enestado sólido hasta la fusión, es decir, enfriando un líquido hasta su solidificación, no se obtie-nen exactamente las mismas curvas que las de la Figura 13.3, invertidas de derecha a izquierda,sino otras del tipo de la Figura 13.6.

Lo más significativo del proceso es la aparición frecuente de la zona AB, denominada desubfusión, en la que la sustancia se mantiene en fase líquida, y se enfría por debajo de la tem-peratura de fusión, que es (se supone) idéntica a la de solidificación Tf % TS. Se interpreta co-mo fenómeno de inercia, de oposición a la ordenación cristalina de la fase sólida. De repente,bruscamente, el líquido subenfriado solidifica, y aumenta la temperatura hasta Tf .

A modo de apéndice puede considerarse como ejemplo singular de caso de cambio de fasede segundo orden el de la curva de enfriamiento del hierro puro (Figura 13.7) que es especial-


www.FreeLibros.me

C

Sólido

Subfusión

T

Líquido

SolidificaciónTs = Tf

D

B

A

t

Figura 13.6. Curva de enfriamiento. Proceso de solidificación.

mente interesante por sus diferentes estructuras cristalinas y por su generalizada utilización eningeniería y construcción.

Ts Solidificación

T

t

δ

γ

β

α

Figura 13.7. Curva de enfriamiento del hierro puro.

Existen para el hierro diferentes fases sólidas, a, b, c, d, con distintos puntos de transición—de fases cristalinas—, reestructuraciones cristalinas, con sus correspondientes calores decambio de fase.

13.2.1.6. Determinación del calor de fusión

La determinación del calor de fusión, Lf , de una sustancia (cantidad de calor que precisa 1 gpara su fusión) se hace mediante experiencia calorimétrica5.

13.2.1.7. Influencia de las impurezas sobre la temperatura (punto) de fusión

Las impurezas debilitan las estructuras cristalinas, lo que implica una mayor facilidad de des-trucción de los enlaces y, por tanto, un descenso del punto de fusión.

5 Para más detalle, véase Capítulo 8.


www.FreeLibros.me

Esta alteración en la temperatura de fusión de las sustancias no puras tiene especial impor-tancia en las aleaciones, disoluciones de metales, en las que ocurre que, para una determinadaproporción de cada uno de los metales, ambos funden a la vez como si se tratara de una sustan-cia pura. Este punto de fusión se denomina temperatura eutéctica. Por ejemplo, en el caso delplomo (Pb) y estaño (Sn), de temperaturas de fusión 327 oC y 225 oC respectivamente, el puntoeutéctico corresponde al 63% de Sn y al 37% de Pb, y dicha temperatura eutéctica es 181 oC.

100% A C 100% B

B

TE

Tf Tf

E

A

Figura 13.8. Curva tipo de temperaturas de fusión en aleaciones.

Otro ejemplo interesante son los aceros, entendiendo por acero toda aleación de hierro ycarbono, que se caracteriza por su gran resistencia mecánica y a la corrosión.

El hierro puro (cristales de ferrita) es frágil, resiste muy poco a la deformación plástica. Elhierro aleado con carbono forma estructuras cristalinas diferentes que incrementan mucho suresistencia.

Existen, además, los denominados aceros especiales que contienen no sólo hierro y carbo-no, sino otros metales que los hacen aún más resistentes a la corrosión.

13.2.2. Vaporización y licuefacción

13.2.2.1. Vaporización en un recinto cerrado

Si se considera un líquido, con superficie libre, en un recinto cerrado (por ejemplo, un recipien-te o un gran depósito) a una determinada temperatura, se produce vaporización del líquido has-ta que se alcanza una determinada presión, denominada presión de saturación o presión satu-rante correspondiente a dicha temperatura (véase Figura 13.9).

En la Figura 13.9.b) se dibuja la curva de equilibrio líquido-vapor (o curva de transición defase líquido-vapor), que representa las presiones máximas posibles del vapor a las correspon-dientes temperaturas, con las que se establece el equilibrio vaporización-licuefacción (o líqui-do-vapor) de la sustancia. A partir de un punto de la curva de la Figura 13.10, por ejemplo el l,si la presión aumenta sin variación de temperatura (proceso 1-2), el vapor se condensa; si latemperatura crece a presión constante (proceso 1-2ñ), el líquido se vaporiza.


www.FreeLibros.me

Figura 13.9. Presión saturante del vapor.

p

p1

2

T1

1 2�

T

Líquido

Vapor

Figura 13.10. Procesos elementales a partir de estados de equilibrio líquido-vapor.

13.2.2.2. Vaporización en el vacío

Un método experimental interesante consiste en colocar un conjunto de tubos barométricos(medidores de presiones absolutas; es decir, respecto del vacío) verticalmente sobre un baño demercurio, como se indica en la Figura 13.11.

Figura 13.11


www.FreeLibros.me

1. Se realizan unas primeras experiencias a una temperatura determinada, y se observa:

a) En el tubo 0: mercurio hasta una altura determinada que sirve de referencia de al-turas y vacío.

b) En los tubos 1, 2, ..., n, en los que se introducen diferentes líquidos en cada uno deellos, gota a gota, por debajo: que ascienden hacia la parte superior por ser menosdensos que el mercurio y se vaporizan aumentando la presión que hace descenderel nivel del mercurio hasta que se alcanza la presión saturante y el líquido quedasobre el mercurio como una película. Las alturas h1, h2, ..., hn permiten conocer laspresiones saturantes de los diferentes líquidos 1, 2, ..., n para la temperatura de laexperiencia.

2. Si se calienta el depósito de mercurio se observa que las presiones saturantes crecencon la temperatura.

3. Si se aumenta o disminuye el diámetro de los tubos barométricos no se observan varia-ciones; es decir, las presiones saturantes no dependen del volumen.

En resumen: la presión saturante crece con la temperatura y es independiente del volumen;es decir:

psat % psat(T) (13.2)

13.2.2.3. Vaporización en el seno de otro gas

Si la experiencia anterior en vez de hacerse contra el vacío se realiza en atmósferas con otrogas, el fenómeno de la vaporización es más lento. Una vez saturado el recinto con el vapor dellíquido objeto de estudio, la presión parcial del vapor en la mezcla gaseosa es la máxima posi-ble para la temperatura de estudio. (La presión total, según la ley de Dalton, desarrollada teóri-camente en el Apartado 6.4.7, es la suma de la del gas más la presión parcial del vapor).

13.2.2.4. Vaporización en atmósfera libre: evaporación

Si la vaporización de un líquido tiene lugar en una atmósfera muy grande (proceso continuo devaporización) sin alcanzar la saturación, se denomina, usualmente, evaporación. Es un fenóme-no general para todos los líquidos, y se produce con mayor o menor rapidez según sea mayor omenor su tensión de vapor.

Para la evaporación, los líquidos precisan absorber calor (una cantidad determinada por uni-dad de masa —calor de vaporización, Lv—), produciendo enfriamiento en los cuerpos con losque están en contacto, de los que toman el calor. (Los casos de vaporización del alcohol o étersobre una zona superficial del cuerpo humano producen un notable enfriamiento instantáneo;análogamente, en la playa, al salir del baño).

13.2.2.5. Ebullición

Se denomina ebullición al proceso de vaporización cuando tiene lugar en todo el volumenlíquido simultáneamente. Así, todo el líquido hierve a una temperatura en la que su presión devapor es igual a la atmosférica. En realidad la presión es:

p % p0 ! ogh


www.FreeLibros.me

donde:

p % Presión del vapor saturante.p0 % Presión atmosférica.

ogh % Presión hidrostática de la burbuja, según la posición en que se encuentre en el senodel líquido.

Si la presión exterior aumenta, aumenta la temperatura de ebullición del líquido; si la pre-sión exterior disminuye, disminuye también la temperatura de ebullición del líquido.

13.2.3. Sublimación y condensación

Con estos términos se refieren los tránsitos directos de la fase sólida a la de vapor y viceversa,tal como se indicó en la Figura 13.2, sin pasar por la fase líquida. Estos procesos tienen lugarbajo determinadas condiciones de presión y temperatura y también se representan mediantecurvas p-T de equilibrio, en este caso, sólido-vapor.

Se denomina calor de sublimación (igual numéricamente al calor de condensación, procesoinverso del anterior) a la cantidad de calor que debe absorber 1 g de sustancia en fase sólidapara sublimarse.

13.2.4. Curvas p-T de equilibrio de transiciones de fase de primer orden

En la Figura 13.12 se representan, conjuntamente, las curvas de equilibrio, p(T), o de coexis-tencia de dos fases, que se han estudiado separadamente en los tres apartados anteriores.

Figura 13.12. Curvas de transiciones de fase de primer orden.

En las figuras aparece un punto singular, PT, punto triple, cuyo estudio facilita la compren-sión de los procesos descritos sobre el diagrama p-T, aunque su visión completa debe hacerseen el espacio termodinámico p-V-T.

Concepto de punto triple

He aquí unas notas caracterizadoras:

a) Representa un conjunto de estados de una sustancia en los que coexisten las fases sóli-do-líquido-gas.


www.FreeLibros.me

b) Estos estados se presentan a una determinada presión y temperatura constantes (y tam-bién, y como consecuencia, con potencial de Gibbs constante, dado que integran cam-bios de fase de primer orden).

c) Estos estados, que constituyen un segmento paralelo al eje V en el espacio termodiná-mico p-V-T, se proyectan en un punto —el PT— en el diagrama p-T (proyección para-lela a V de dicho segmento); de aquí le viene la denominación de «punto» que puedeinducir a error.

Es momento oportuno de reproducir una superficie de estados (pedagógica) de una sustan-cia ficticia para facilitar la reconsideración individualizada y conjunta de los procesos de cam-bio de fase descritos hasta aquí.

p

Sólido

Línea de punto triple V

T

Sólido

Vapor

Gas

Punto crítico

Líquido

Figura 13.13. Superficie de estados p-V-T.

13.3 Regla de las fases6

13.3.1. Estudio de sistemas heterogéneos. Relación de Gibbs

El objeto de este apartado consiste en la determinación del número de variables independientespara describir el estado de equilibrio de un sistema heterogéneo.

Se considera un sistema de f fases y c componentes (sustancias que no reaccionan, espe-cies químicas diferentes presentes). Sean i, el índice de fase, y j, el índice de componente; esdecir:

i à If z {1, 2, 3, ..., f} ; j à Ic z {1, 2, 3, ..., c}

6 Este tema constituye teoría (no es representación de unas experiencias e interpretación directa de la realidad) y, enconcreto, Termodinámica Clásica.


www.FreeLibros.me

de modo que se verifican las siguientes ecuaciones másicas:

Em1 % m11 ! m12 ! ñ ! m1c

m2 % m21 ! m22 ! ñ ! m2c

ñññññññññññmf % mf1 ! mf2 ! ñ ! mfc

F á mi % ;j

mij (13.3)

La condición de equilibrio del sistema se expresa mediante potencial de Gibbs mínimo. (Elpotencial de Gibbs es una magnitud aditiva y cada Gi es homogénea y de primer grado en mij).

G % G1 ! G2 ! ñ ! Gf (13.4)

En sistemas abiertos (cada fase es «abierta» ya que algunas cantidades de masa de las sus-tancias pueden variar de fase):

Gi % Gi (T, p, mi1, mi2, ..., mij, ..., mic)

Gk % Gk(T, p, mk1, mk2, ..., mkj, ..., mkc)(13.5)

Si se estudia el equilibrio a unas T y p dadas, para el caso de una cantidad dmj (un compo-nente «j») que pase de la fase «i» a otra «k»:

mij . dmj r mkj ! dmj

se verifica, a partir de (13.4), ya que el resto no varía, que:

dG % dGi ! dGk %ALGk

Lmkj

.

LGi

LmijB dmj % 0

por la condición de mínimo, y donde:

dmj Ç 0 úLGk

Lmkj

%LGi

Lmij

(13.6)

Se denomina potencial químico del componente «j» en la fase «i» a

LGi

Lmij

Por tanto, existen en total c( f . 1) condiciones o ecuaciones de equilibrio independientes.El resumen algebraico conduce a lo siguiente:

N.o de variables: c . f ! 2N.o de ecuaciones: c( f . 1) ! fN.o de grados de libertad % n.o de variables . n.o de ecuaciones:

l % [c . f ! 2] . [c( f . 1) ! f ] % 2 ! c . f

f ! l % c ! 2 (13.7)

que recibe el nombre de regla de las fases, que le dio Gibbs en 1875.


www.FreeLibros.me

Esta conclusión sugiere una nueva clasificación de los sistemas, complementaria de la tipo-logía establecida en el Capítulo 10, según el número de grados de libertad, del modo siguiente(Tabla 13.1):

Tabla 13.1

N.o de grados de libertad SISTEMA

l % 0 Invariante

l % 1 Monovariante

l % 2 Bivariante

l b 2 Polivariante

13.4 Ecuación de Clausius-Clapeyron

13.4.1. Ecuación de Clausius-Clapeyron para las transiciones de fase de primer orden

Las transiciones de fase de primer orden tienen lugar a una temperatura T y a una presión pdeterminadas, que se relacionan mediante la curva de transición de fase p % p(T), ya reiterada.

Figura 13.14. Curva de transición de fase p % p(T).

Si se considera 1 mol de una sustancia, de modo que sea x la fracción molar de la fase 1 y,en consecuencia, (1 . x) la fracción molar de la fase 2, su función de Gibbs g (asociada a1 mol) se expresa de la forma:

g % xg1(1 . x)g2

Dado que la condición de equilibrio es dg % 0:

dg % dx . g1 . dx . g2 ú g1 % g2 (13.8)

Al efectuar un cambio en las condiciones de equilibrio de una temperatura (T) y de una pre-sión (p), BT y Bp, se producen, como consecuencia, unas variaciones de las fracciones molares,


www.FreeLibros.me

Bx y B(1 . x), de modo que también se producen unas variaciones de los potenciales de Gibbsde ambas fases, Bg1 y Bg2.

A modo de recuerdo se reproduce el desarrollo formal en variables extensivas que se utilizóen el capítulo anterior, teniendo en cuenta que el proceso de transición de fase se considerareversible.

G % U . TS ! pV

dG % dU . TdS . S dT ! p dV ! V dp

donde, por tratarse de un proceso reversible,

T dS % dQ

y, por aplicación del primer principio,

dU % dQ . p dV

resulta:

dG % .S dT ! V dp

Aplicando ahora esta conclusión extensiva al mol objeto del problema presente, y teniendoen cuenta que se trata de un cambio de fase, proceso reversible, se obtiene:

dg % .s dT ! v dp

dg1 % .s1 dT ! v1 dp

dg2 % .s2 dT ! v2 dp

dg1 % dg2 ú .s1 dT ! v1 dp % .s2 dT ! v2 dp

(s2 . s1) dT % (v2 . v1) dp

de forma que se obtiene, finalmente, la ecuación diferencial:

dp

dT%

s2 . s1

v2 . v1%

dQ

T(v2 . v1)%

L

T(v2 . v1)(13.9)

que se denomina ecuación de Clausius-Clapeyron, donde L es el calor molar de cambio de fasey v1 y v2 los volúmenes molares de las fases 1 y 2, respectivamente.

Para cantidades arbitrarias, la ecuación se expresa:

dp

dT%

L

T(V2 . V1)

siendo L el calor de transformación de fase (ordinario, no molar); y de manera aproximada paravariaciones finitas incrementales, análogamente:

Bp

BT%

L

T(V2 . V1)


www.FreeLibros.me


13.1 El volumen de 1 kg de agua a 0 oC es de 1.000,22 cm3 y el de 1 kg de hielo a 0 oC es de1.090,82 cm3. Por cada atmósfera que aumenta la presión, desciende la temperatura de fu-sión del hielo 0,0075 oC.

Calcúlese el calor de fusión.

Solución:

Se aplica la ecuación de Clausius-Clapeyron incremental:

Bp

BT%

Lf

T(V2 . V1)

donde:

Bp

BT%

1 atm

.0,075 K% .133,3 atm/K

V2 . V1 % Vagua . Vhielo % .90,6 cm3/kg % .90,6 . 10.3 l/kg

T % 273 K

Lf % T(V2 . V1)Bp

BT% 273,15 . 90,6 . 10.3 . 133,3 % 3.297,7

atm . l

kg

L f % 79,8 cal/g

13.2 Un mol de agua pasa de la fase líquida a la fase de vapor a 100 oC a expensas del calortomado de un foco a 100 oC.

Calcúlese la variación de entropía experimentada por el agua y por el foco, así como lavariación de entropía del Universo. ¿Es reversible este proceso?

(Lv % 540 cal/g).

Solución:

El proceso tiene lugar a temperatura constante.

BSagua %Ivap.

líq.

dQ

T%

Q

T%

LvM

T%

540 cal/g . 18 g/mol

373,15 K% 26

cal

mol . K

BSfoco %Qcedido

T% .26

cal

mol . K

BSUniv % BSagua ! BSfoco % 0

Por tanto, el proceso es reversible en el marco de las hipótesis aceptadas.


www.FreeLibros.me

13.3 Un gramo de agua a la presión de una atmósfera cambia de volumen específico en el puntode ebullición, pasando de 1 cm3/g a 1.673 cm3/g.

Sabiendo que el calor de vaporización del agua es 539 cal/g, determínense las variacio-nes experimentadas por la energía interna, la entropía y la entalpía.

Solución:

Energía interna: BU % BQ . W ú BU % Lv.m . p . BV

BU % 539cal

g. 1 g . 1,013 . 105 N

m2 (1.673 . 1) . 10.6 m3 . 0,24cal

J

BU % 539 . 40,65 % 498,35 cal

Entropía:

BS %BQ

T%

Lv.m

T%

539

373% 1,445

cal

K

Entalpía:

H % U ! pV ú BH % BU ! pBV (a p % cte) % BQ % Lv.m

BH % 1 g . 539 cal/g % 539 cal

13.4 En un recipiente indeformable y aislado térmicamente hay 5 g de aire a 1.000 oC y 10 atm.Se introduce 1 g de agua a 100 oC.

Calcúlese:

a) Temperatura de equlibrio.b) Presión final de la mezcla suponiendo constante el calor de vaporización del agua.

Datos complementarios: Calor de vaporización, Lv % 540 cal/g; calor específico del aire,ca % 0,17 cal/g . oC; calor específico del vapor de agua, cv % 0,42 cal/g . oC.

Solución:

a) Calor cedido por el aire % calor absorbido por el agua.

maire. c . Bt % magua

.Lv ! magua. cv

. Btñ

5 . 0,17(1.000 . teq) % 1 . 540 ! 1 . 0,42(teq . 100)

y despejando:

teq % 277,16 oC

b) Se acepta la hipótesis de que el aire y el vapor de agua son gases ideales. La presión finalde la mezcla en el estado final de equilibrio es la suma de las presiones parciales de losgases componentes (ley de Dalton).


www.FreeLibros.me

Determinación del volumen del recipiente con los datos iniciales del aire:

p .V % n . R .T

10 .V %5

28,8. 0,082 . (1.000 ! 273,15) ú V % 1,81 l

Determinación de la presión parcial del aire en el estado final de equilibrio:

pa. 1,81 %

5

28,8. 0,082(273,15 ! 277,16) ú pa % 4,326 atm

Cálculo de la presión parcial del vapor de agua en el estado final de equilibrio:

pv. 1,81 %

1

18. 0,082(273,15 ! 277,16) % 1,38 atm

Por tanto, la presión de la mezcla será:

p % pa ! pv % 4,326 ! 1,380 % 5,706 atm

13.5 Un cilindro de 20 cm3 de diámetro tiene un émbolo que ajusta perfectamente y que esta a1 mm del fondo, quedando en este espacio una película de agua. Se levanta el émbolo 1 m.

Suponiendo que el aislamiento es perfecto, calcúlense las masas finales de las fases queresultan.

Datos complementarios: Condiciones iniciales (0 oC): Lv % 595,9 cal/g; Lf % 80 cal/g; pre-sión de vapor: 4,6 mm Hg.

Solución:

1 m

Vi % nr2h1 % n . 102 . 0,1 % 31,4 cm3

Vf % nr2h2 % n . 102 . 102% 31,4 . 103 cm3

magua % Vi. o0 % 31,4 g

Se parte de la hipótesis de conservación de la masa por ajusteperfecto del émbolo. De la cantidad de agua (líquida) inicial, si seevapora una parte es porque ha absorbido una cantidad de calorque hace que se congele otra parte del total inicial de ese agua.

magua % ms ! ml ! mv

Conservación de la energía (en la hipótesis de aislamiento perfecto):

Qv % Qs

Lvmv % Lf ms

Como los procesos de cambio de fase son isotermos, la temperatura seguirá siendo 0 oC.


www.FreeLibros.me

Considerando la hipótesis usual de gas ideal para el vapor de agua:

p .V % n .R .T ú n %mv

Mv

%p .V

R . T%

4,6 . n . 102 . 102

760 . 0,082 . 273,15% 0,0084 mol

mv % n .Mv % 0,0084 . 18 % 0,153 g

ms %Lv

Lf

. mv % 595,9 . 0,153

80% 1,137 g

ml % magua . ms . mv % 30,11 g

13.6 Los diagramas p-T de transiciones de fase de dos sustancias (ficticias) son de las formas quese indican en las Figuras 1 y 2.

Si Lf y Lv son positivos, ¿qué signo tendrían los cambios de volumen en la fusión y en laevaporación?

Solución:

p

SL

V

S L

V

p

TTFigura 1 Figura 2

Ecuación de Clapeyron para un mol:

dp

dT%

L

T(v2 . v1)

1. Caso de la Figura 1:

a) Fusión:

dp

dTa 0; L, T b 0 ú (vl . vs) a 0

b) Vaporización:

dp

dT% 0; L, T b 0 ú (vv . vl) r ä


www.FreeLibros.me

2. Caso de la Figura 2:

a) Fusión:dp

dTb 0; L, T b 0 ú (vl . vs) b 0

b) Vaporización:dp

dTa 0; L, T b 0 ú (vv . vl) a 0

13.7 Determínese aproximadamente el punto de vaporización del agua a 2 atm a partir de laecuación de Clapeyron.

(Lv % 4,07 . 104 J/mol).

Solución:

•

B

A

T

p

S

L

G

La ecuación ordinaria de Clapeyron para la vaporización es:

dp

dT%

Lv

T(V2 . V1)

donde V2 A V1, y, por tanto, en la transición de fase de vaporiza-ción se puede afirmar, aproximadamente, que V2 . V1 ] V2.

Aplicando la ecuación de estado de los gases ideales (hipóte-sis que se utiliza para el vapor de agua), a 1 mol (obsérvese queen el enunciado Lv está expresado en J/mol), pv2 % nRT (paran % 1, siendo v2 el volumen específico molar):

v2 %RT

pPor tanto:

dp

dT%

Lv

T . v2%

Lv. p

R .T2

donde Lv es constante.Separando variables resulta:

dp

p%

Lv

R

dT

T2

e integrando desde A (1 atm, 100 oC) hasta B (2 atm, x oC) se obtiene:

ln p�BA % .

LvT.1

R GB

A

; lnpB

pA

%Lv

R A1

TA

.

1

TBBln

2

1%

4,07 . 104

8,31 A1

373,15.

1

TBBTB ] 394 K ] 121 oC


www.FreeLibros.me

13.8 Determínese, a partir de la ecuación de Clapeyron, el punto de ebullición del agua a la pre-sión de 700 mm Hg (Lv % 4,07 . 104 J/mol).

Nota: Se trata de un problema análogo al anterior resuelto desde una perspectiva «incremen-tal» en lugar de «íntegro-diferencial».

Solución:Bp

BT%

Lv

T(v2 . v1)

Para calcular el segundo miembro, se tomará como valor de (v2 . v1) el valor medio en elintervalo de presiones. Y se acepta la hipótesis usual de considerar el vapor de agua como gasideal.

v2(100 oC, 1 atm) %p0

p

T

T0v0 %

1

1

373,15

273,15. 22,4

1

mol% 30,6

1

mol

v2(100 oC, 700 mm Hg) %760

700

373,15

273,15. 22,4

1

mol% 33,2

1

mol

v2 %30,6 ! 33,2

2% 31,9

1

mol

Por tanto:

v2 . v1 % 3,19 . 0,018 % 31,8821

mol

Lv

T(v2 . v1)%

4,07 . 104 J/mol

373,15 K . 31,882 l/mol% 3,42

J

K . l%

3,42

101,3

atm . l

K . l% 3,38 . 10.2 atm

K

BT %Bp

Lv/T(v2 . v1)%

.60/760 atm

3,38 . 10.2 atm/K%.2,3 K

Tv (700 mm Hg) % 373,15 . 2,3 % 370,85 K % 97,7 oC

13.9 Demuéstrese que las primeras derivadas del potencial de Gibbs, G % G(p, T), presentan dis-continuidades a la temperatura de transición en los cambios de fase.

Solución:G% G(p, T)

dG % ALG

LpBT

dp !ALG

LTBp

% V . dp . S . dT

Por tanto:

ALG

LpBT

% V ; ALG

LpBp

% .S


www.FreeLibros.me

En los cambios de estado de agregación (cambios de fase) hay absorción o cesión de calora la temperatura de transición y cambio de volumen, es decir, S2 Ç S1 y V2 Ç V1, siendo

BS %BQ

Tt

%m .Lt

Tt

. En consecuencia, estos cambios de S y V a la Tt implican discontinuidades

en las primeras derivadas del potencial de Gibbs. Gráficamente, pueden representarse cualitati-vamente de las formas siguientes:

13.10 En una urbanización residencial hay un depósito de 20 m3 que contiene 8.500 kg de propanoa 20 oC. Admitiendo que la fase gaseosa del propano se puede considerar como gas ideal, yque la expansión del propano desde la presión del depósito hasta la atmósfera, en los que-madores, es adiabática, con el coeficiente adiabático c % 1,4, calcúlese:

a) Presión en el depósito.

b) Densidad de la fase gaseosa en el depósito.

c) Volumen total de propano que puede suministrar a la urbanización hasta que la presióndel depósito comience a disminuir.

Datos del propano: Peso molecular: M % 44 g/mol; Densidad del propano líquido: o % 600kg/m3; Temperatura de ebullición (a presión atmosférica): T % .42 oC; Calor de vaporiza-ción: Lv % 109 cal/g.

Solución:

a) En principio no se conoce el número de fases en que se encuentra el propano en el interiordel depósito.

Densidad media del contenido:

m

V%

8.500

20% 425

kg

m3 a 600kg

m3

En el depósito, si hay fase líquida, también existirá fase gaseosa.En la hipótesis de coexistencia de las dos fases en el interior del depósito, y conside-

rando el volumen específico de la fase líquida despreciable frente al de la fase gaseosa, se


www.FreeLibros.me

integra la ecuación de Clapeyron para el cambio de fase entre los límites de presión y tem-peratura correspondientes:

dp

dT%

Lv

T(v2 . v1); I dp %

Lv

vg IdT

T

p % paeLvM

R A1

T0.

1

TB

p % 1 . e109 . 44

2 A1

231.

1

293B

b) p . V % n .R .T

o %m

Vú m % V . o; m % n .M

og %p . M

R . T%

9 . 44

0,082 . 293% 1,648

g

l% 1,648

kg

m3

c) Gas:mgas % ml ! mg

Vgl %ml

og

% Vl

ol

og

% 1,325600

1,648% 4,825 l

Líquido:

8.500 % ol.Vl ! og

.Vg % 600Vl ! 1,648(20 . Vl)

Vl % 14,15 l


www.FreeLibros.me


13.1. En un diagrama p-T, la curva de fusión del fenol en el punto de fusión, 41 oC, a presiónnormal, tiene un coeficiente angular a % 89o 41’ 7’’ cuando el eje de presiones se gra-dúa en atmósferas y el de temperaturas en Kelvin, correspondiendo igual longitud a1 atm y 1 K.

Calcúlese el incremento de volumen específico en el cambio de estado, sabiendoque el calor de fusión es 24,9 cal/g.

13.2. Aplíquese la «regla de las fases» de Gibbs a una sustancia pura, por ejemplo el agua, sise presenta:

a) En una fase (por ejemplo, agua líquida).

b) Coexistiendo dos fases (por ejemplo, agua-vapor).

c) Coexistiendo tres fases (por ejemplo, punto triple del agua).

13.3. Determínense los grados de libertad de los siguientes sistemas:

a) Disolución no saturada de una sal en agua que ocupa totalmente el volumen de uncilindro encerrado por un émbolo.

b) Disolución saturada de una sal en agua que ocupa totalmente el volumen de un ci-lindro encerrado por un émbolo.

c) Ídem, cuando se deposita hielo en el cilindro por ser baja la temperatura.

d) Ídem, cuando, además, se eleva el émbolo.

13.4. El orden de los cambios de fase se define por la derivada de menor orden de la funciónde Gibbs, G, que presenta una discontinuidad en la transición. Demuéstrese que las de-rivadas segundas de G tienen relación con el calor específico a presión constante, cp, elcoeficiente de dilatación cúbica, c, y el coeficiente de compresibilidad isotérmico, k.

13.5. Dedúzcase la ecuación de Clausius-Clapeyron que representa los estados de equilibriode los cambios de fase (cambios de estado de agregación), a partir de la constancia delpotencial de Gibbs, en dichos cambios.

13.6. Se considera 1 kg de agua que pasa de la fase líquida a la fase de vapor a 100 oC. De-termínese en el cambio de fase:

a) Variación de entropía del sistema.

b) Variación de entropía del Universo.

c) El proceso ¿es reversible o irreversible? ¿Por qué?

Si esta cantidad de vapor de agua se mezcla con 100 g de hielo a .2 oC:

d) ¿Qué temperatura alcanzaría el conjunto en el equilibrio?

e) Especifíquense las hipótesis utilizadas para resolver los apartados anteriores.

(Calor específico del hielo: cH%0,5 cal/g . oC; calor de fusión del hielo: Lf %80 cal/g; ca-lor específico del agua: cagua%1 cal/g . oC; calor de vaporización del agua: Lv%540 cal/g).


www.FreeLibros.me

13.7. En un recinto aislado térmicamente, se tiene una masa de hielo a .3 oC a presión atmos-férica. Se aumenta su presión, reversiblemente, hasta conseguir su fusión completa.

Determínese a qué presión y temperatura ha tenido lugar el proceso.

(Calor de fusión del hielo: Lf %80 cal/g; densidad del hielo: o %0,916 g/cm3; calor es-pecífico del hielo: cp % 0,48 cal/g . oC, y coeficiente de dilatación lineal del hielo:a % 1,58 . 10.4 oC.1).

13.8. La temperatura de ebullición del benzol (C6H6) cuando p %1 atm es de 80,2 oC.Hállese la presión del vapor del benzol saturado a la temperatura de 75.6 oC si el va-

lor medio de su calor de vaporización en el intervalo de temperaturas considerado se to-ma igual a 4 . 105 J/K.


www.FreeLibros.me

a

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.me

14.1 Concepción de las máquinas térmicas

14.1.1. Definición

Una máquina térmica es, desde el punto de vista mecánico, todo dispositivo destinado a trans-formar energía calorífica en energía mecánica; y desde el punto de vista termodinámico, todosistema que evolucionando cíclicamente transforma calor en trabajo.

14.1.2. Descripción elemental

El calor procede, generalmente, de una reacción química (combustión) y lo absorbe un fluido(agente motor) que pone en movimiento unas piezas mecánicas (de ordinario un émbolo o uneje con paletas de álabes) que realizan un trabajo sobre el medio exterior. (En el apartado si-guiente se establece una clasificación de estas máquinas térmicas según dónde se produzca lacombustión y según sea el tipo de accionamiento mecánico).

A la luz del segundo principio, condición básica para el funcionamiento de la máquina,consta de un hogar (foco, manantial térmico, fuente térmica caliente) y de un refrigerante (fo-co, manantial térmico, fuente térmica, frío). Un fluido toma en el hogar una cantidad de calorQ1 y cede otra cantidad menor Q2 al refrigerante; la diferencia es el calor útil a efectos mecáni-cos, que se transforma en trabajo1.

14.1.3. Rendimiento

El rendimiento es:

g %W

Q1%

Q1 . Q2

Q1m

T1 . T2

T1(15.1)

donde T1 y T2 son las temperaturas del hogar y del refrigerante, respectivamente.

14.2 Clasificación de las máquinas térmicas

En la Tabla 14.1 se establece una clara clasificación de las máquinas térmicas según que lacombustión se produzca en el interior o en el exterior de la máquina (cilindro o turbina) propia-mente dicha.

1 Este capítulo, propiamente de ingeniería, puede considerarse continuación inmediata de lo expuesto en el Capítu-lo 11, particularmente en el apartado 11.3.


www.FreeLibros.me

Tabla 14.1. Clasificación de las máquinas térmicas.

Accionamiento mecánico Tipología

Combustión

Externa Movimiento alternativoMovimiento circular

Máquina de vaporTurbina de vapor

Interna Movimiento alternativoMovimiento circular

Motor de explosiónTurbina de gas

14.3 Máquinas de combustión externa: máquinas y turbinas de vapor

En la Figura 14.1 se describe la concepción y funcionamiento generales de las máquinas decombustión externa (máquinas y turbinas de vapor)2.

Refrigerante

Licuador

(condensador)

Caldera

Turbina

Hogar

Q1

Q2

A

B

CD

W

Bomba

Figura 14.1. Esquema de instalación de máquinas y turbinas de vapor.

El sistema termodinámico es el fluido que circula cíclicamente por la instalación. En la cal-dera (generador de vapor), por absorción del calor Q1 del hogar, se forma vapor de agua quefluye hacia el émbolo de un cilindro (o hacia los álabes de una turbina, caso que se representaen la Figura 14.1), realizando un trabajo externo W, de modo que el vapor se expansiona condescenso de temperatura y de presión.

El fluido, parcialmente licuado, pasa a la temperatura ambiente al licuador (usualmentecondensador3) cediendo un calor Q2 al refrigerante (atmósfera, agua de mar o río). A continua-ción el agua se bombea hasta la caldera completándose el ciclo.

El análisis del proceso cíclico del fluido mediante un ciclo de Carnot (ideal, reversible)interior a la región líquido-vapor (interior de la curva de saturación) se representa en las Figu-

2 No constituye objeto de este texto realizar estudios más detallados.3 Se utiliza licuador ya que se ha denominado condensación al proceso de cambio de fase gas-sólido.

CAPÍTULO 14. Máquinas térmicas 289

www.FreeLibros.me

ras 14.2 y 14.3, en los diagramas p-V y T-S. Su utilización presentaría inconvenientes graves: larealización correcta de ese ciclo (las isotermas son simultáneamente isobaras) exigiría detenerla licuación en el punto D, antes de que se produjera la licuación completa, para que después,por medio de una compresión adiabática, se alcanzase el punto A, a la temperatura T1 del ho-gar. Técnicamente este proceso resulta inalcanzable.

Figura 14.2. Diagrama p-V del ciclo de Carnot interior a la curva de saturación (región líquido-vapor).

T

S

T1

T2

B

C

A

D

Curva de saturación

Figura 14.3. Diagrama T-S del ciclo de Carnot interior a la curva de saturación (región líquido-vapor).

J. M. Rankine sugirió la modificación del ciclo de Carnot en la forma que posteriormente llevósu nombre, ciclo de Rankine, también ideal y cuya novedad (diferencia) consiste en llevar elpunto D hasta la curva de saturación y bombear agua líquida (sin vapor). Se representa en laFigura 14.4, con los siguientes procesos:

1. (A r Añ). El agua de la caldera, desde A a B en proceso reversible, eleva su temperatu-ra, a presión constante, tomando calor del hogar, hasta la temperatura T1.

2. (Añ r B). A presión y a temperatura constantes, desde Añ a B, el agua se transforma re-versiblemente en vapor saturado y seco.

3. (B r C). El vapor se expansiona en la máquina (cilindro o turbina), adiabática y rever-siblemente, produciendo trabajo, hasta alcanzar la temperatura del refrigerante, ya par-cialmente licuado.


www.FreeLibros.me

Figura 14.4. Diagramas del ciclo de Rankine.

4. (C r C). La mezcla líquido-vapor (punto C) se licúa isotérmica, isobárica y reversible-mente hasta su total licuefacción (punto D).

5. (D r A). Finalmente, el agua se comprime, adiabática y reversiblemente, hasta la pre-sión de la caldera (punto A).

14.4 Máquinas de combustión interna: motores de explosión

Las máquinas de combustión interna4 son aquellas máquinas térmicas en las que la combustióntiene lugar en el interior de la máquina propiamente dicha (el cilindro o la turbina), de modoque T1 puede ser bastante elevada y, normalmente, el rendimiento mayor.

En la Figura 14.5 se representa el proceso de los cuatro tiempos de un motor de explosiónque evoluciona según un ciclo de Otto, dibujado en la Figura 14.6.

Figura 14.5. Esquema del proceso de los cuatro tiempos de un motor de explosión según un ciclo de Otto.

4 No constituye objeto de este texto realizar estudios más detallados.


www.FreeLibros.me

01

4

3

2

V

p

Vmuerto Vmáx

patm

Figura 14.6. Ciclo de Otto.

En la Figura 14.7 se representa el ciclo de Diesel, correspondiente a otro tipo de motores deexplosión, en los que se pretende aumentar el rendimiento.

0

1

4

32

V

p

Figura 14.7. Ciclo de Diesel.


www.FreeLibros.me


14.1 Una máquina tiene como sustancia de trabajo un mol de un gas ideal monoatómico. El cicloempieza a p1 %1 atm y V1 %24,6 l. El gas se calienta a volumen constante hasta p2 %2 atm.Luego se expande a presión constante hasta V2 % 49,2 l. A continuación el gas es enfriado avolumen constante hasta que su presión vuelve a ser de 1 atm. Finalmente se comprime apresión constante hasta que alcanza de nuevo su estado original.

Considerando todas las etapas reversibles, se pide:

a) Dibujar el ciclo en un diagrama (p, V).

b) Calcular el trabajo realizado, el calor y la variación de energía interna para cada etapadel ciclo.

c) Calcular el rendimiento del ciclo.

Solución:

Q12

Q34

Q41

Q23

1 4

232

1

24,6 49,2

p (atm)

V (l)

a) Se trata de un gas ideal monoatómico:

CV % 3/2 R; Cp % 5/2 R; c % 5/3

p2V2 % RT2

p1V1 % RT1

R(T2 . T1) % p2V2 . p1V1

b) Etapa 1 r 2:

W12 %I2

1p dV % 0, ya que V % cte

Q12%I2

1CV dT % CV(T2 . T1) %

3

2R(T2 . T1) %

3

2(p2V2 . p1V1)%1,5(2 . 24,6 . 1 . 24,6)

Q12 % 36,9 atm . l24,22 cal

atm . l% 894 cal (calor absorbido)

U2 . U1 % Q12 . W12 % 894 cal

Etapa 2 r 3:

W23 % p(V3 . V2) % 2 . 24,6 % 49,2 atm . l (24,22 cal/atm . l) % 1.192 cal


www.FreeLibros.me

Trabajo realizado por el sistema

Q23%I3

2Cp dT%Cp(T3.T2)%

5

2R

1

R(p3V3.p2V2)%123 atm . lA24,22

cal

atm . lB%2.979 cal

Calor absorbido por el sistema

U3 . U2 % Q23 . W23 % 2.979 . 1.192 % 1.787 cal

Etapa 3 r 4:

W34 % 0, ya que V34 % cte

Q34 % CV(T4 . T3) %3

2(p4V4 . p3V3) % .73,8 atm . l A24,22

cal

atm . lB% .1.787 cal

Calor cedido por el sistema

U4 . U3 % Q34 . W34 % .1.787 cal

Etapa 4 r 1:

W41 % p(V1 . V4) % 1(24,6 . 49,2) % .24,6 atm . lA24,22cal

atm . lB% .596 cal

Trabajo realizado contra el sistema

Q41 % Cp(T1 . T4) % 2,5(p1V1 . p4V4) % 2,5 . 1 . (24,6 . 49,2) % .1.490 cal

Calor cedido por el sistema

U1 . U4 % Q41 . W41 % .1.490 ! 596 % .894 cal

Ciclo completo:

Qneto % 894 ! 2.979 . 1.787 . 114 % 596 cal

W % 596 cal

BU % 0

c) El rendimiento es la relación entre el trabajo desarrollado y el calor absorbido.

Qabs % 894 ! 2.979 % 3.873 cal

W % 596 cal

g %W

Qabs

%596

3.873% 0,154 ; g % 15,4%


www.FreeLibros.me

14.2 Dos moles de un gas ideal (CV % 3 cal/mol . K) describen el ciclo de la figura.

1 4

2 32

1

100 200

p (atm)

V(l)

a) Determínese la temperatura de cada vértice.

b) Calcúlese el trabajo, el calor, la variación de energía interna y la variación de entropíacorrespondientes a cada una de las líneas que constituyen el ciclo total.

c) Determínese el rendimiento del ciclo.

Solución:

a) Cada vértice es un punto del diagrama; es decir, un estado termodinámico. Utilizando laecuación de estado de los gases ideales:

pV % nRT ú T1 %p1V1

nR%

1 . 100

2 . 0,082% 609 K

piVi

Ti

% nR %p1V1

T1ú Ti %

piVi

p1V1T1

T2 %2 . 100

1 . 100609 % 1.218 K

T3 %2 . 200

1 . 100609 % 2.436 K y T4 %

1 . 200

1 . 100609 % 1.218 K

Q12

Q34

Q41

Q23

1 4

2 32

1

100 200

p (atm)

V(l)

b) Se considera el conjunto de ecuaciones significa-tivas siguientes:

Primer principio: BU % Q . W

Intercambios de calor: QV % nCVBT ; Qp % nCpBT

Ley de Joule de los gases ideales: BU % nCVBT

Trabajo: W %Ib

a

p dV

Variación de entropía: BS % Ib

a

dQ

T


www.FreeLibros.me

Etapa 1 r 2: Proceso isócoro: W12 % 0

BU12 % Q12 %I2

1nCV dT % nCV(T2 . T1) % 2 . 3 . 609 % 3.654 cal % 15.222 J

BS12 % S2 . S1 %I2

1

dQ

T% I

2

1

nCV dT

T% nCV ln

T2

T1% 2 . 3 . ln

1.218

609% 4,16

cal

K% 17,4

J

K

Etapa 2 r 3: Proceso isóbaro: p % cte

W23 % p(V3 . V2) % 2(200 . 100) % 200 atm . l A101,3J

atm . lB% 20.260 J

Q23 %I3

2nCp dT % nCp(T3 . T2) % 2 . 5(2.436 . 1.218) % 12.180 cal % 50.741 J

ya que Cp % CV ! R ] 3 ! 2 % 5cal

mol . K

BU23 % U3 . U2 % Q23 . W23 % 50.741 . 20.260 % 30.481 J

BS23 % I3

2

dQ

T%I

3

2nCp

dT

T% nCp ln

T3

T2% 2 . 5 ln 2 % 6,93

cal

K% 29

J

K

Etapa 3 r 4 Proceso isócoro: W34 % 0

Q34 % nCV(T4 . T3) % 2 . 3(1.218 . 2.436) % .7.308 cal % .30.445 J%U4 . U3%BU34

BS34 % nCV lnT4

T3% .nCV ln

T3

T4% .2 . 3 . ln

2.436

1.218% .4,16

cal

K% .17,4

J

K

Etapa 4 r 1: Proceso isóbaro: p % cte

W41 % p(V1 . V2) % 1(100 . 200) % .100 atm . l % .10.130 J

Q41 %I1

4nCp dT % nCp(T1 . T4) % .2 . 5(1.218 . 609) % .6.090 cal % .25.370 J

BU41 % U1 . U4 % Q41 . W41 % .25.480 ! 10.130 % .15.350 J

BS41 % S1 . S4 % nCp lnT1

T4% .2 . 5 . ln

1.218

609% .6,93

cal

K% .29

J

K

Ciclo completo:

W % W12 ! W23 ! W34 ! W41 % 10.130 J

Q % Q12 ! Q23 ! Q34 ! Q41 % 10.148 J

(Deberían ser iguales; la diferencia es debida al redondeo de los decimales).

BU12341 % Q . W % 0


www.FreeLibros.me

BS12341 % 0

Nota: El resultado es consecuencia de la naturaleza de U y S de funciones de estado.

c) Rendimiento:

g %W

Qabs

%10.130

15.222 ! 50.741%

10.130

65.963% 0,153

g % 15,3%

14.3 Hállese el trabajo máximo que se puede obtener de una kilocaloría en una máquina térmicaque funciona entre las temperaturas de 120 oC y 20 oC.

Solución:

El trabajo máximo —teórico— corresponde al ciclo de Carnot entre las dos temperaturasdadas.

g %W

Q1, g % 1 .

T2

T1

W % gQ1 %A1 .

T2

T1BQ1 % A1 .

293

393BQ1

W % 0,25 . 1.000 . 4,18 ] 1.050 J

14.4 Demuéstrese que el rendimiento de un ciclo de Otto es igual a 1 . r1.c, siendo r la relaciónde compresión. ¿Qué rendimiento máximo podría tener un motor de explosión con una rela-ción de compresión 9?

Solución:

1. a r b. Adiabática: paVca % pbV

cb (1)

b r c. Isócora:pb

Tb

%pc

Tc

(2)


www.FreeLibros.me

c r d. Adiabática: pcVcb % pdV

ca (3)

a

c

db

V

p

Vb Va

Q2

Q1

d r a. Isócora:pd

Td

%pa

Ta

(4)

De (1) y (3) ú pa pc % pb pd ;pa

pd

%pb

pc

De (2) y (4) úpa

pd

%Ta

Td

;pb

pc

%Tb

Tc

En consecuencia, en un ciclo de Otto se cumple:

pa

pd

%pb

pc

%Ta

Td

%Tb

Tc

;Ta

Tb

%Td

Tc

%Td . Ta

Tc . Tb

En las transformaciones adiabáticas:

TVc.1% cte ú

Tb

Ta

%AVa

VbBc.1

% rc.1

siendo la relación de compresión:

r %Va

Vb

%Vd

Vc

Por otra parte:

Calor absorbido: Q1 % nCV(Tc . Tb)

Calor cedido: Q2 % nCV(Td . Ta)

Aplicando el primer principio a un ciclo:

Q . W % 0 r W % Q % Q1 . Q2

En consecuencia:

g %W

Q1%

Q1 . Q2

Q1% 1 .

Q2

Q1% 1 .

Td . Ta

Tc . Tb

% 1 .

Ta

Tb

% 1 . A1

rBc.1

% 1 . r1.c

Nota: El rendimiento de un ciclo de Carnot que operase entre las temperaturas Tc, máxima,y Ta, mínima, de este ciclo de Otto, sería:

g % 1 .

Ta

Tc

b gOtto AgOtto % 1 .

Ta

Tb

; Tc b TbB2. Para r % 9, g % 1 . 9.0,4

% 0,58 o 58%. Sería máximo, ya que el proceso se ha conside-rado reversible y en la práctica sería irreversible.


www.FreeLibros.me

14.5 El comportamiento de un motor de gasolina se puede aproximar al ciclo ideal de la figura(ciclo de Otto) cuyas etapas se describen a continuación:

a

ec

d

b

V

p

p0

Vb Va

N.o Etapa Acción

1 a r b Entrada de aire a presión constante.2 b r c Compresión adiabática hasta Vc.3 c r d Calentamiento isócoro.4 d r e Expansión adiabática hasta Vb.5 e r b Enfriamiento isócoro hasta p0.6 b r a Salida del gas a presión constante.

Se pide:

1. Expresar las cantidades de calor asociadas a losprocesos isócoros.

2. Demostrar que el rendimiento puede expresarse de la forma:

g % 1 .

Te . Tb

Td . Tc

donde Tb, Tc, Td y Te son las temperaturas respectivas de los estados b, c, d, e.

3. Utilizando la ecuación de los procesos adiabáticos, demostrar que:

g % 1 .AV1

V2Bc.1

donde V1 % Vc % Vd y V2 % Vb % Ve.

4. Calcular el rendimiento del ciclo para una relación de compresión r % 8 (r % V2/V1),siendo c % 1,5.

5. Explicar por qué el rendimiento de un motor de gasolina puede ser mucho menor queel calculado anteriormente.

Solución:

1. Calor absorbido en la etapa c r d (calentamiento):

Qcd % nCv(Td . Tc)

Calor cedido en la etapa e r b (enfriamiento):

Qeb % nCv(Te . Tb)

Considerando ambos calores positivos, el balance de calor en el ciclo (calor neto) es:

Q% Qcd . Qeb

Por el primer principio,

BU % 0 ú Q % W


www.FreeLibros.me

2. Rendimiento:

g %W

Qabs

%Q

Qabs

%Qcd . Qeb

Qcd

% 1 .

Qeb

Qcd

% 1 .

Te . Tb

Td . Tc

3. En un ciclo de Otto se verifica (véase ejercicio anterior):

pb

pe

%pc

pd

%Tb

Te

%Tc

Td

;Tb

Tc

%Te

Td

%Te . Tb

Td . Tc

Las transformaciones adiabáticas verifican la ecuación TVc.1% cte. Por tanto:

Tc

Tb

%AVb

VcBc.1

%AV2

V1Bc.1

g % 1 .

Tb

Tc

% 1 . AV1

V2Bc.1

4. El rendimiento del ciclo será:

g % 1 .AV1

V2Bc.1

% 1 .A1

rBc.1

% 1 . r1.c% 1 . 80,5

% 0,646

g ] 65%

5. La expansión y la compresión no son adiabáticas y ninguna de las etapas son lo suficiente-mente lentas para considerar los procesos reversibles.


www.FreeLibros.me


14.1. Una máquina térmica recibe la mitad de su energía calorífica de un foco a 1.000 K y elresto de otro foco a 500 K y cede calor al foco frío que está 300 K.

Calcúlese:

a) Máximo rendimiento posible.

b) Energía disipada en el foco frío.

14.2. Una máquina térmica, esquematizada en la figura, recibe un tercio de su energía calorí-fica a 581 oC, otro tercio a 681 oC y el otro tercio a 781 oC, cediendo calor hacia el re-frigerante a 54 oC.

581 ºC

1/3Q681 ºC

1/3Q781 ºC

1/3Q

54 ºC

QL

W

Se pide:

a) Calcular el máximo rendimiento de esta máquina, explicitando las hipótesis consi-deradas.

b) ¿Se podría obtener un rendimiento n 1? Justifíquese la respuesta.

14.3. Teniendo en cuenta el concepto de rendimiento de una máquina térmica, determínese elrendimiento de las siguientes máquinas térmicas alimentadas con un carbón cuya po-tencia calorífica se supone que es de 34.525 kJ/kg.

a) Un conjunto de máquinas de vapor de agua que producen 2,13 kWh de trabajomientras consumen 35,5 kg de carbón.

b) Una central térmica alimentada con carbón que genera 2.600 MW de potencia yquema carbón a una velocidad de 2 . 107 kg/día.

c) Comparar dichos rendimientos con los de una máquina de aceite de un submarinoque desarrolla 1.500 kW, si su gasto de combustible se estima en 290 kg/h y lapotencia calorífica del combustible se puede estimar de 45.250 kJ/kg.

14.4. Una máquina térmica trabaja entre los límites de temperatura de 600 oC y 120 oC. Aldesarrollar 60 kW consume 18 kg/h de combustible. Si el combustible tiene una poten-


www.FreeLibros.me

cia calorífica de 47.200 kJ/kg, determinar el cociente entre el rendimiento real de lamáquina y el de Carnot.

14.5. Un motor industrial de turbina de gas desarrolla una potencia de salida de 12 MW conun rendimiento del 33%. Determinar el flujo másico requerido del combustible si éstetiene una potencia calorífica de 45.700 kJ/kg.

14.6. A través de una turbina adiabática se expande aire a 60 atm y 1.023 oC hasta una pre-sión de 1 atm, en un proceso de flujo estable.

Determinar la salida de trabajo cuando:

a) La turbina funciona en forma reversible.b) La turbina funciona con un rendimiento del 81%.

14.7. Una bomba de calor se quiere utilizar para mantener a 23 oC una casa, en invierno,cuando la temperatura exterior es .5 oC. Si se supone que las pérdidas de calor sonaproximadamente de 75.400 kJ/h, ¿cuál ha de ser la potencia mínima del aparato?

14.8. Una máquina térmica tipo Carnot opera entre un foco a 1.000 K y un refrigerante a300 K. Si la máquina térmica recibe 26 kW, determinar:

a) Rendimiento de esa máquina.b) Potencia de la misma.

14.9. Una máquina térmica recibe 644 kJ desde una fuente a temperatura desconocida y cede252 kJ al foco frío, que está a 24 oC.

Determinar:

a) Rendimiento de la máquina.b) ¿Se podría calcular la temperatura de la fuente? ¿En qué condiciones?


www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.me

15.1 Refrigeración

El objeto de la refrigeración consiste en reducir la temperatura de un recinto/sistema (aire deuna habitación o sala de oficinas, de una cámara frigorífica) o/y mantener la temperatura a unnivel inferior a la del medio ambiente que lo rodea.

Existen diversos procedimientos y métodos para alcanzar dicho objetivo. Este capítulo selimita a describir el procedimiento de refrigeración denominado por compresión.

15.2 Máquina frigorífica ideal: ciclo de Carnot inverso

El ciclo de Carnot inverso puede considerarse como el ciclo teórico de refrigeración más sim-ple. Se le denomina bomba térmica de Carnot. Se extrae Q2 del refrigerante y se cede Q1 alhogar consumiendo (realizando contra el sistema) un trabajo:

W % Q1 . Q2

El coeficiente de refrigeración o eficiencia frigorífica de una máquina que funcionara se-gún un ciclo de Carnot inverso sería:

E %Q2

W%

Q2

Q1 . Q2%

T2

T1 . T2(15.1)

Se demuestra, por consideraciones análogas a las de la máquina de Carnot, que esta bombatérmica es la de máxima eficiencia frigorífica entre todas las que trabajan entre unos manantia-les térmicos determinados.

15.3 Máquina frigorífica real de refrigeración por compresión

15.3.1. Descripción física

Las máquinas frigoríficas reales no funcionan según un ciclo de Carnot inverso. En la Figu-ra 15.1 se representa un modelo de funcionamiento usual.

15.3.2. Descripción del ciclo termodinámico

En la Figura 15.2 se describe el ciclo termodinámico que, aproximadamente, sigue una máqui-na frigorífica real.

Se supone que el ciclo se inicia en el estado A: en el licuador (denominado, de ordinario,condensador) existe líquido a temperatura T1 (foco caliente) y presión alta, p1, proporcionadapor el compresor. Este líquido es aproximadamente saturante (A está sobre la curva de satura-ción). El ciclo se compone de los siguientes procesos:

1. (A r B). Proceso irreversible al atravesar una válvula de estrangulación hasta la presiónbaja, p2, del evaporador.


www.FreeLibros.me

Figura 15.1. Esquema de funcionamiento una máquina frigorífica de compresión.

Figura 15.2. Ciclo de refrigeración de una máquina real de compresión.

2. (B r C). Proceso isobárico, p2, e isotermo, T2, que tiene lugar en el evaporador absor-biendo un calor Q2 del foco frío. Se completa la vaporización de modo que todo el flui-do es vapor saturante en C.

3. (C r D). En el compresor, el vapor se comprime adiabáticamente, en un proceso hipo-téticamente reversible, de forma que se produce un sobrecalentamiento hasta la tempe-ratura T3 y presión p1, en D.

4. (D r A). En el licuador (condensador) el gas se enfría a presión constante p1 hasta latemperatura T1 saturante. A partir de este momento, Dñ, el vapor saturante, se va li-cuando hasta pasar a líquido saturado en A, habiendo cedido una cantidad de calor Q1

al foco caliente.

En el caso de una nevera, actúa como foco frío el congelador y como foco caliente, el am-biente de la habitación. El calor Q1 cedido al ambiente es igual a la suma del calor extraído del

CAPÍTULO 15. Refrigeración 305

www.FreeLibros.me

congelador y del trabajo consumido en el ciclo (ambos expresados en las mismas unidadesenergéticas).

Q1 % Q2 ! W (15.2)

La eficiencia frigorífica es:

E %Q2

W%

Q2

Q1 . Q2(15.3)

El proceso BC es isóbaro. Si se refiere a la unidad de masa de fluido, se obtiene:

q2 % hC . hB

donde q2 es el calor extraído por unidad de masa de fluido refrigerante, y hC y hB las entalpíasespecíficas de los estados C y B, respectivamente.

De modo análogo:

q1 % hD . hAV% hD . hB

ya que el proceso AB es prácticamente isentálpico.Por tanto:

E %hC . hB

hD . hC

(15.4)

En los ciclos reales ninguna transformación es reversible; en consecuencia, la eficiencia fri-gorífica o coeficiente de refrigeración es inferior al obtenido en la expresión anterior.

Entre los inconvenientes que se presentan puede destacarse que el vapor que llega al com-presor puede transportar algo de líquido creando problemas de golpes al final de la carrera delémbolo. Puede evitarse: a) haciendo móvil el fondo del cilindro (manteniéndolo mediante mue-lles) o b) instalando un separador de líquido a la salida del evaporador que devuelva el líquidoa la entrada.

Conviene tener presentes algunas consideraciones acerca del fluido refrigerante que ha decumplir las siguientes prescripciones teóricas y prácticas:

1.o Su calor de vaporización, Lv, debe ser alto para que la extracción de calor (Q % mLv)pueda hacerse sin necesidad de utilizar una cantidad grande de líquido.

2.o Su temperatura crítica, Tc, debe ser mayor que la del condensador, Tc b T1.3.o Volumen específico pequeño.4.o No atacar químicamente a la instalación.5.o No toxicidad.

Suelen utilizarse los siguientes fluidos: SO2 (anhídrido sulfuroso), CH3Cl (cloruro de meti-lo), CCl2F2 (freón), NH3 (amoniaco).

La eficiencia frigorífica teórica (16.3) se calcula mediante tablas o con la ayuda de un dia-grama de Mollier.


www.FreeLibros.me


15.1 En una cámara frigorífica, cuya temperatura es T1 % 20 oC, entran del exterior 30.000 cal/h.La temperatura en el interior de la cámara ha de mantenerse constante a T2 %.15 oC.

Determínese la potencia teórica del motor que ha de accionar la máquina frigorífica(ciclo de Carnot) y el consumo de agua de refrigeración si ésta eleva su temperatura 7 oC.

Solución:

T1

Q1

T2

Q2

W

Q1 (calor absorbido del foco frío) % 30.000 cal/h

T1 (foco caliente) % 293 K

T2 (foco frío) % 258 K

La eficiencia o efecto frigorífico (coeficiente de eficacia) delciclo de Carnot (inverso) es:

E %T2

T1 . T2%

258

293 . 258% 7,37 %

Q2

W

Por tanto, el trabajo teórico que debe desarrollar el motor delfrigorífico en una hora es:

W %Q2

E%

30.000

7,37cal

Pot % 4.070cal

h. 1

3.600

h

s. 4,184

1

J

cal% 4,73 W

El calor total, Q1 % Q2 ! W, debe ser cedido al agua de refrigeración que eleva su tempera-tura 7 oC. En una hora:

Q1 % 30.000 ! 4.070 % ca. ma

. BT % 1 . ma. 7 ú ma % 4.867 g

En consecuencia, el consumo de agua (caudal másico) es:

qm %4.867

3.600

g

s% 1,35 g/s

15.2 En un frigorífico se desea fabricar 5 kg de hielo por hora partiendo de agua a 0 oC. El am-biente exterior está a 27 oC.

Se pide:

a) Eficiencia del frigorífico.b) Potencia teórica del motor.c) Potencia real si el rendimiento de la operación es del 75%.


www.FreeLibros.me

Solución:

a) La eficiencia (teórica) vale:

E %Q2

W

(absorbido del foco frío)

(suministrado)

E %Q2

Q1 . Q2%

T2

T1 . T2%

273

300 . 273] 10

b) El trabajo desarrollado, teóricamente, por el motor en una hora es:

Wt %Q2

E%

m . L f

E%

5 . 103 g . 80 cal/g

10% 40.000 cal % 167.360 J

La potencia teórica es:

Pt %Wt

t%

167.360

60 . 60

J

s] 46 W

c) Para calcular la potencia real:

Pt % gPr ú Pr %46

0,75] 61 W

15.3 ¿Qué afecta más a la eficiencia de un ciclo frigorífico, una variación de la temperatura delfoco caliente T1 o del foco frío T2? Demuéstrese.

Solución:

T1

Q1

T2

Q2

W

Ciclo frigorífico:

E %Q2

W%

Q2

Q1 . Q2

Ciclo de Carnot (ideal, de gas ideal, totalmente reversible).

Q1

Q2%

T1

T2ú E %

T2

T1 . T2

dE

dT1%.

T2

(T1 . T2)2

dE

dT2%

(T1 . T2) . T2(.1)

(T1 . T2)2 %

T1

(T1 . T2)2

Por tanto:

GdE

dT1 Ga GdE

dT2 G


www.FreeLibros.me

15.4 Un frigorífico posee un ciclo de refrigeración que absorbe del congelador 200 kJ/día, consi-guiendo mantenerlo a una temperatura de .5 oC, si la temperatura de la habitación es de22 oC. ¿Cuál es la potencia mínima necesaria para que funcione?

Solución:

La eficiencia máxima del ciclo de refrigeración sería la conseguida con una máquina que fun-cionara según un ciclo, ideal, de Carnot inverso:

Emáx %T2

T1 . T2%

(.5 ! 273)

(22 ! 273) . (.5 ! 273)%

268

295 . 268% 9,926

Emáx %�Q2�

�Wciclo (mín) �

Cuando la eficiencia es la máxima, se habrá gastado un trabajo mínimo. Por tanto, la poten-cia necesaria será la mínima.

9,926 %200 . 106 J/día

Wmín

ú Wmín %200 . 106

9,926

J

día% 20,15 . 106 J

día

Pot %W

t%

20,15 . 106

24 . 3.600% 0,233 kW

Como las máquinas reales (ciclos irreversibles) consumen más energía, se requerirá una poten-cia real mayor.

15.5 En un frigorífico de 2,5 de eficiencia y potencia de entrada de 450 W se pretende enfriar a10 oC una partida de 10 melones de 5 kg cada uno, inicialmente a temperatura ambiente de20 oC. Aceptando que, como su composición es en su mayoría agua, se puede tomar comovalor aproximado del calor específico 4,5 kJ/kg, ¿cuánto tardarán en enfriarse? ¿Coincidiríael resultado anterior con la realidad? Justifíquese la respuesta.

Solución:

Cantidad de calor que tendría que eliminar el frigorífico:

Q % m . ce. BT % (5 . 10) kg . 4,5 kJ/(kg . oC) . (20 . 10) oC % 2.250 kJ

E %Q

Wú W %

2.250

2,5% 900 . 103 J

Pot %W

tú t %

W

Pot%

900 . 103

450% 2.000 s % 0,55 horas

En realidad tardaría más. No se han tenido en cuenta otros fenómenos que afectan a lavelocidad de enfriamiento (la conductividad de las distintas partes del melón, el flujo delinterior del melón al interior del frigorífico, la convección, el régimen no permanente del flujode calor, etc.).


www.FreeLibros.me


15.1. Un congelador está impulsado por un pequeño motor cuya potencia útil es de 150 W.Si suponemos que esta máquina trabaja según un ciclo ideal de Carnot, y que las tem-peraturas de la habitación y el interior del congelador son, respectivamente, 20 oCy .5 oC:

a) ¿Cuál sería la eficiencia de esa máquina frigorífica?b) ¿Cuánto hielo fabricará en 1 hora si en su interior se coloca agua a 15 oC?c) ¿Cuál sería el rendimiento de esa máquina si se invirtiera el ciclo y actuara como

bomba de calor?

15.2. Un dispositivo que funciona según un ciclo de Carnot inverso se utiliza para proporcio-nar aire acondicionado a un edificio. La temperatura del aire exterior es de 38 oC y elaire interior se quiere mantener a 23 oC.

Calcúlese la eficiencia del dispositivo.

15.3. Un sistema de refrigeración mantiene el interior de un recinto a 4 oC y rechaza calor a26 oC al aire circundante. Si la rapidez de transferencia de calor es de 235 W, determí-nese el suministro de potencia al refrigerador.

15.4. Para mantener el interior de un frigorífico a 4 oC se extrae de él una cantidad de calorde 350 kJ/min. Si la potencia requerida es de 2 kW, calcúlese la eficiencia de ese frigo-rífico.

15.5. Un congelador funciona en una habitación cuya temperatura ambiente es de 25 oC yconsume 500 W. Si la eficiencia del aparato es de 4,5, ¿cuál será la temperatura míni-ma que podrá alcanzar el interior de dicho congelador? Justifíquese la respuesta.

15.6. Se instala un sistema de aire acondicionado para mantener el interior de una casa a24 oC cuando la temperatura exterior es de 36 oC. Suponiendo que el flujo de calor através de las paredes y ventanas es de 13 kW y el calor generado en el interior por per-sonas, aparatos, luces, etc. equivale a 1,5 kW, ¿cuál debe ser la potencia mínima reque-rida para este sistema?

15.7. Una máquina térmica tipo Carnot recibe 15 kW de un foco que está a 900 oC y cedecalor al refrigerante que se encuentra a 27 oC. Todo el trabajo producido se utiliza parael funcionamiento de un congelador que se mantiene a .5 oC y cede calor al mismoambiente a 27 oC.

Determínese:

a) Cantidad máxima de calor cedida por el congelador.b) Cantidad total de calor que llega al refrigerante.


www.FreeLibros.me

Teorias Termologicas Aplicacion a La Arquitectura

Documents

Transcript of Teorias Termologicas Aplicacion a La Arquitectura