Teoría y Problemas Resueltos de Electrostatica

8/19/2019 Teoría y Problemas Resueltos de Electrostatica

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Hoja 1 de 5

Tema 1.- INTERACCIÓN ELÉCTRICA ( RESUMEN)

1.1 Cargas puntuales

Carga eléctricaLa carga eléctrica es una propiedad fundamental de lamateria, existiendo dos tipos de carga: positiva ynegativa. Dos cuerpos con el mismo tipo de carga serepelen, mientras que si tienen distinto tipo de carga, seatraen entre sí.

Cuantización de la carga eléctricaLa carga eléctrica aparece siempre como múltiplo deuna carga fundamental o cuanto eléctrico, cuyo valor ese = 1.602177 x 10

-19 C, que es la carga del electrón, en

módulo.

Principio de conservación de la carga eléctricaEn todos los procesos observados en la Naturaleza, lacarga neta o total de un sistema aislado permanececonstante.

• Ley de Coulomb

La ley de Coulomb expresa la fuerza eléctrica F

queejerce una carga puntual q sobre otra q’ :

r u

r

qq K F

2

´

donde r

es el vector de posición con origen en q yfinal en q’ . Esta fuerza es de tipo inverso delcuadrado de la distancia, siendo atractiva entrecargas de distinto signo y repulsiva entre cargas delmismo signo.

Para calcular la fuerza ejercida sobre una carga q0 por un conjunto de cargas puntuales qi se utiliza elprincipio de superposición: La fuerza resultantesobre un objeto es la suma vectorial de las fuerzasindividuales ejercidas sobre él.

Así: ir

n

ii

in

ii

ur

qq K F F

1

201

siendoi

r

los diferentes vectores posición con origen

en cada carga qi y final en q0.

• Campo eléctrico

Existe un campo eléctrico en cualquier región dondeuna carga eléctrica en reposo experimenta una

fuerza, la cual se debe a la presencia de otras cargasen esa región. El campo eléctrico E

producido poruna carga puntual o una distribución de cargas es la

fuerza F

ejercida por estas sobre una partícula deprueba, dividida por el valor de la carga q0 de lapartícula de prueba:

E q F q

F E

0

0

El campo eléctrico creado por una carga puntual q enun punto P es:

r u

r

q K E

2

donde r

es el vector posición con origen en q y final

en P.

Para calcular el campo creado por un conjunto decargas puntuales qi en un punto P, aplicamos de nuevoel principio de superposición:

ir

n

ii

in

ii

ur

q K E E

1

21

siendoi

r

los vectores con origen en qi y final en P.

Las características espaciales de un campo eléctricopueden ilustrarse con líneas de campo: Lugargeométrico de los puntos en los cuales la dirección del

campo eléctrico E

es tangente a los mismos. Laslíneas de campo eléctrico parten de las cargaspositivas y finalizan en las cargas negativas.

Un campo uniforme tiene la misma intensidad,dirección y sentido en todos los puntos del espacio yse representa por líneas de campo rectilíneas,paralelas y equidistantes.

Potencial y diferencia de potencial

La fuerza eléctrica es conservativa. La energíapotencial de una partícula de prueba q0 en el campocreado por varias cargas fijas qi se expresa como:

n

ii

ir

P

r

qq K l d F E

10

(tomando el origen de energía potencial, E P =0, en el infinito)

El potencial V producido por una carga puntual o una

distribución de cargas es la energía potencial eléctricade una partícula de prueba, dividida por el valor de lacarga q0 de la partícula de prueba:


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Hoja 2 de 5

V q E q

E V

P

P 0

0

El potencial eléctrico creado por una carga puntual q en un punto P es:

r

q K V (tomando: V=0 en el infinito)

donde r es la distancia entre la carga q y el punto P.

El potencial eléctrico creado por un conjunto decargas puntuales qi en un punto P es:

n

ii

i

r

q K V

1

(tomando: V=0 en el infinito)

donde r i son las distancias entre cada carga qi y el

punto P.

La diferencia de potencial V entre dos puntos 1 y 2está relacionada con el trabajo W realizado por elcampo eléctrico al desplazar una carga de prueba q0desde el punto 1 al 2:

V qV V q E E E W P P P

021021

)(

Relación entre el potencial y campo eléctrico

Se cumple que l d E dV

. Si se conoce laexpresión de E

, puede obtenerse el potencial V en

un punto P por medio de la integral de línea de E

:

P

l d E V

Si se conoce V, el campo E

se puede encontrar pormedio del gradiente de V :

V V E grad

Si el campo eléctrico es constante en dirección (porejemplo, la X):

idxdV E X

)/(

Si el potencial sólo depende del módulo de r

:

r udr dV E

)/(

Dipolo eléctrico

Un dipolo eléctrico está formado por dos cargasiguales y de signo opuesto +q y -q separadas por unadistancia d. El momento dipolar eléctrico se definecomo:

pud q p

donde p

u es el vector unitario en la

dirección de las cargas y sentido de la carga negativa ala positiva.

El potencial de un dipolo eléctrico varía con el inversodel cuadrado de la distancia:

22

cos

r

u p K

r

p K V

p

Cuando se sitúa un dipolo en un campo eléctrico, éstetiende a alinear al dipolo paralelamente al campo. El

dipolo está en equilibrio cuando los vectores E

y p

son paralelos. La energía de un dipolo de momento

dipolar p

situado en un campo eléctrico E

, es:

E p E P

Movimiento de cargas en campos eléctricos

Si la fuerza eléctrica es la única que afecta a unapartícula de masa m y carga q, la segunda ley deNewton nos proporciona una aceleración:

m E qa /

Cuando una partícula se mueve en un campo eléctricouniforme, su movimiento es descrito por la cinemáticadel movimiento bajo aceleración constante.

La energía total de una partícula de masa m y carga q

que se mueve en un campo eléctrico es:

V qvm E E E P C

22

1


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Hoja 3 de 5

1.2 Distribuciones continuas de carga

Densidades de carga

Cuando se desea calcular el campo eléctrico en un

punto P, producido por distribuciones de cargacontinuas, se toman elementos de carga diferencialdq como cargas puntuales, de forma que cada dq creará un campo:

r u

r

dq K E d

2

donde r

es el vector posición con origen en dq yfinal en P.

Utilizando el principio de superposición, el campo

total será la suma vectorial de los E d

creados porcada dq, es decir:

r ur

dq K E d E

2

Para resolver esta integral se ha de expresar dq enfunción de las características de la distribución decarga. Para ello se introducen las densidades decarga

Densidad lineal de carga : Carga por unidad delongitud

dl dqdl

dq

Densidad superficial de carga : Carga por unidadde superficie

dS dqdS

dq

Densidad volúmica de carga (o densidad decarga en volumen): Carga por unidad de volumen

dV dqdV

dq

Si las distribuciones de carga son uniformes,entonces:

V

Q

S

Q

L

Q ,,

Siendo Q la carga total de la distribución y L, S ó V lalongitud, superficie o volumen totales,

respectivamente.

Campo de un anillo cargado

El módulo del campo eléctrico creado por un anillo deradio R , cargado con carga total Q y densidad lineal de

carga uniforme, en un punto P del eje perpendicularque pasa por el centro del anillo (por ejemplo, el eje Y)es:

2/322 )( y R

yQ K E

y

siendo y la distancia entre el punto P y el centro delanillo. Su dirección es la del eje y sentido hacia elexterior del centro del anillo si Q > 0.

Ley de Gauss

Flujo del campo eléctrico: Se define el flujo delcampo eléctrico a través de una superficie S como laintegral de superficie del vector campo eléctricoextendida a toda la superficie:

S E S d E

Cuando se calcula el flujo a través de una superficiecerrada a ésta se la denomina superficie gaussiana.Las líneas de campo pueden ser utilizadas paravisualizar el flujo a través de la superficie. El flujo total

puede ser positivo, negativo o cero. Por convenio, elsentido del vector superficie de una superficie cerradase toma hacia fuera de esta, por lo tanto, cuando

S d E

es positivo el flujo es saliente y cuando esnegativo es entrante.

La Ley de Gauss para el campo eléctrico estableceque el flujo eléctrico a través de una superficie cerradaes igual a la carga eléctrica neta encerrada dentro de

la superficie, dividida por 0:

00

;

e

SC

e

E

qS d E

q

En electrostática la Ley de Gauss es equivalente a laLey de Coulomb. La Ley de Gauss puede ser utilizadapara encontrar el campo eléctrico producido pordistribuciones de carga que posean una alta simetría.El paso crucial de este proceso es la selección de lasuperficie gaussiana.

Carga esférica. Cuando la distribución de carga tienesimetría esférica y es uniforme si está distribuida ensuperficie, y uniforme o función del radio si estádistribuida en volumen, podemos aplicar la ley deGauss para calcular el campo eléctrico tanto en puntos

interiores como exteriores. En todos los casos se tomauna superficie gaussiana esférica que contenga al


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Hoja 4 de 5

punto donde se desea calcular el campo y centro enla distribución de carga. Por lo tanto, el radio de lasuperficie gaussiana r será la distancia del centro dela distribución al punto en cuestión.En todos los casos la primera parte de la ley deGauss nos conduce a:

24 r E S d E SC

y el problema se limita a calcular la carga encerradadentro de la superficie gaussiana elegida.

Ejemplos:

Carga Q, uniforme en superficie esférica de radio R :

r exe

ine

ur Q K E Qq Rr

E q Rr

2

00,

Carga Q, uniforme en esfera de radio R :

r exe

r ine

ur

Q K E Qq Rr

u R

r Q K E

R

r Qq Rr

2

33

3

,

Carga lineal. Si disponemos de una distribuciónlineal de carga infinita y densidad uniforme,podemos utilizar la ley de Gauss para calcular elcampo creado en un punto P que se encuentra a unadistancia r de la distribución. Elegimos una superficiegaussiana cilíndrica que contenga al punto en susuperficie lateral. El radio de la base del cilindro debeser por tanto r y su altura h arbitraria. Así:

hq yhr E S d E e

SC

;2

El módulo del campo eléctrico será:

r E

02

Plano. Si disponemos plano infinito con densidadsuperficial de carga uniforme, podemos utilizar la ley

de Gauss para calcular el campo creado en un punto Ppróximo a la distribución. Elegimos una superficiegaussiana cilíndrica que corte al plano de forma quelas bases del cilindro queden paralelas al plano y quecontenga al punto en una de sus bases. Así:

C eC SC

S q yS E S d E ;2

siendoC

S la superficie de la base del cilindro. Por

tanto, el módulo del campo eléctrico será:

02

E

Propiedades electrostáticas de los conductores

Un material conductor que se encuentra en equilibrioelectrostático presenta las siguientes propiedades:

- El campo eléctrico en el interior del conductor escero.

- La carga eléctrica neta del conductor se encuentradistribuida sobre su superficie

- El campo eléctrico en puntos próximos a lasuperficie del conductor es perpendicular a estasuperficie y su módulo es:

0

E

- Todos los puntos del conductor están al mismopotencial. Por lo tanto, un conductor en equilibrioelectrostático constituye una superficieequipotencial.

1.3 Condensadores. Campo eléctrico en la materia y energía del campo

Condensadores

Un condensador es un dispositivo eléctrico utilizadoen los circuitos para almacenar carga y energíaeléctrica. Está formado por dos placas conductorasseparadas por un dieléctrico. Un condensador secaracteriza por su capacidad C definida como la

relación entre la carga neta almacenada Q y ladiferencia de potencial entre sus placas V :

V

QC

En el S.I. la capacidad se mide en faradios (1 F = 1C/V). La capacidad depende del diseño geométrico delcondensador y de la naturaleza del dieléctrico que hay

entre sus placas o armaduras. Para un condensadorde láminas planoparalelas de superficie S separadasuna distancia d y vacío entre las placas:


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Hoja 5 de 5

d

S C

0

Un condensador cilíndrico, de radio interno R a,externo R b y longitud L, su capacidad es:

)/(ln

20

ab R R

LC

Asociación de condensadores:

Condensadores en serie: i

iT C C

11

Condensadores en paralelo: i

iT C C

Propiedades electrostáticas de losdieléctricos

Existen dieléctricos apolares y polares. En losprimeros, sus moléculas no tienen momento dipolareléctrico, mientras que en los segundos lasmoléculas tienen un momento dipolar eléctricopermanente.Cuando se coloca un dieléctrico apolar en un campo

eléctrico, como el que existe entre las armaduras deun condensador, aparece sobre sus átomos omoléculas un momento dipolar inducido,convirtiéndose éstos en dipolos eléctricos que seorientan en la dirección del campo. Esta orientaciónda lugar a que sobre cada una de las superficies delmaterial polarizado aparezca una densidadsuperficial de carga ligada o densidad de carga de

polarización d.

El campo eléctrico en el interior de un condensadorcon dieléctrico entre sus placas es:

0

0

d d

E E E

donde E 0 es el campo sin dieléctrico y E d es elcampo creado por la densidad superficial de cargaexistente en las superficies del dieléctrico.

Cuando se introduce un dieléctrico entre las armadurasde un condensador en el que había el vacío entre lasplacas, la capacidad aumenta de modo que:

0C k C

mientras que la diferencia de potencial y el campo

eléctrico disminuyen:

k

E E

k

V V 00

siendo k la constante dieléctrica del material.

La relación entre la constante dieléctrica de un material

y las densidades superficiales de carga y d es:

k

k d

)1(

Un medio dieléctrico posee una permitividad eléctrica ,siendo su permitividad relativa:

k r

0

Energía del campo eléctrico

La energía de un condensador es la energía potencial

de las cargas que hay en sus placas:

2

2

2

1

2

1

2

1V C

C

QV QU

Cuando se asocia esta energía con el campo eléctrico,la densidad de energía u E (energía por unidad devolumen) en el espacio ocupado por el campo (en elvacío) es:

2

0

2

1 E u

E

En un medio material basta sustituir 0 por . Laenergía eléctrica total U en un volumen V se calcularámediante la integral:

V

E dV uU


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Tema 1. Campo Eléctrico

RESOLUCIONES

1.1 Cargas Puntuales

1.1.1. Una carga puntual de 5 C está localizada en el punto x=1cm, y=3cm y otra de -4 C está situada en el punto x=2cm, y=-2cm. Determinar:a) El campo eléctrico en el punto x=-3cm e y=1cm

b) La fuerza que actúa sobre una carga de -6 C situada en el punto x=-3cm e y=1cm

RESOLUCIÓN:

cmC Q 3,151

1,3 P

cmC Q 2,242

a) El campo eléctrico en P es la suma de los campos eléctricos creados en P por Q1 yQ2:

P P E E E 21

P

P

P ud

Q K E 12

1

11

P P

P ud

Q K E 22

2

22

donde:

)2,4()3,1()1,3(1 P 242

12

122 1020102020416)2()4(1 md md cm P P P

20

2,

20

41 P u

C N E E P P

20

1045,20

1090

20

2,20

4

102

105109

66

13

6

91

E1

E2


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3,51,32,22 P 242

22

2 10341034349252 md md P P P

343,

3452 P u

C N E P

34

10813,

34

10925

34

3,

34

5

1034

104109

66

4

69

2

C N

E E E P P P

551,0511100862

644010,

0862

282810

3420

20813344510,

3420

20925349010

34

10813

20

1045,

34

10925

20

1090

666

66

6666

21

b) N E q F P 93,36610551,100511106 666

1.1.2. Dos cargas fijas q1 y q2 se encuentran separadas por una distancia d . Una terceracarga libre q3 se encuentra en equilibrio cuando está situada en la línea que une ambascargas, a una distancia d de q1 y 2d de q2.

a) ¿Qué relación existe entre las cargas q1 y q2? b) Si q3=-q1, determinar en función de q1 el valor del campo eléctrico creado por las

tres cargas en el punto medio del segmento que une q1 y q2

RESOLUCIÓN:

a) La carga Q3 está en equilibrio si el campo eléctrico es nulo en el punto donde seencuentra. Este campo está creado por las cargas Q1 y Q2, que inicialmente suponemosque son positivas:

122

221

22

21 4

20

2021 QQ

d

Q

d

Qi

d

Qk i

d

Qk E E P P

X

Q3 Q2

d d

P·

Q1


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b) Suponemos que Q1 es positiva:

C

N i

d

QiQ

d E

i

Q

QQd

k

id

Q

id

Q

id

Q

k E E E E

P

P P P P

219

12

9

1

1122

3

2

2

2

1

321

101769444109

94

4

23

22

Suponemos que Q1 es negativa:

C

N i

d

QiQ

d E

iQ

QQd

k i

d

Qi

d

Qi

d

Qk E E E E

P

P P P P

219

12

9

11122

32

22

1321

101769444109

94

4

23

22

En este último caso, el módulo y la dirección son iguales que en el primero, pero susentido es contrario.

1.1.3. Dos cargas positivas e iguales q están en el eje Y , una en la posición y=a y otra enla posición y=-a.

a) Calcular el campo eléctrico que crean estas cargas en el eje X , dando su valor en loscasos en los que se cumple que x a b) Demostrar que el campo eléctrico que crean estas cargas en el eje X tiene su máximo

valor en x=-a · (2)-1/2 y en x=a · (2)-1/2 c) Representar gráficamente E x en función de x

RESOLUCIÓN:

a y

a y

y

x P

x

P E

P E

q

q

y P E

y P E

x P E


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a) El campo eléctrico en el eje x es la suma de los campos eléctricos creados en este eje por las 2 cargas +q que están situadas en el eje y.

P P P E E E 21

Las componentes en el eje y de los campos que crean ambas cargas se anulan. Sinembargo, las componentes en el eje x se suman:

i xa

qk i

xa

qk x E p

coscos2222

donde:

22 xad y 22

cos xa

x

C

N i xa

xqk i

xa

x

xa

qk x E P

23222222

22

Para x > a C

N i x

qk i

x

xqk x E P

23

22

b) Para calcular el valor máximo del campo:

0202322 xa

xqk

dx

d

dx

dE x

(c.q.d)c)

220203

032

022

322

02

23

22

2222222

2222122

21222322

322

21222322

a x

a x xa x xa

x xa xaqk

x xa xqk xaqk

xa

x xa xqk xaqk

x

E ( x )


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1.1.4. Dos cargas puntuales q y q’ están separadas por una distancia a. En un punto a ladistancia a/3 de q y a lo largo de la línea que une las dos cargas, el potencial es cero.a) Determinar la relación q/q’

b) ¿Cuál es el trabajo que realiza el campo eléctrico al desplazar una carga de 2 C

desde un punto situado a una distancia a/3 de q a otro punto que está a una distancia a/3de q’ ?

RESOLUCIÓN:

a)2

1

32

332

3

0

q

q

a

qk

a

qk

a

qk

a

qk V P

b) El trabajo viene dado por:

J a

q

a

qk W

V a

qk

a

qk q

q

a

k qq

a

k

a

qk

a

qk V

V

V V qW

final

inicial

inicial final

2

1081

4

9102

4

9

4

333

4

3

3132

2

332

0

36

1.1.5. Se disponen en forma alternada un número infinito de cargas positivas y

negativas q sobre una línea recta. La separación entre cargas adyacentes es d .Determinar la energía potencial eléctrica de una carga +q.

Dato: El desarrollo en serie de ln(1+x) es: 432

)1ln(432 x x x

x x

………. + q -q +q -q +q -q +q -q …………..

RESOLUCIÓN:

El potencial en un punto P creado por N =i cargas puntuales es:

32a

a

P

q q

3a

0 P V

d


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i i

i p

r

qk V

La energía potencial de una partícula cargada q que se encuentra en ese punto P es:

qV U P q

El potencial en el punto P donde se encuentra una carga positiva es la suma del potencial creado por las cargas positivas V P

+ y el potencial creado por las cargasnegativas V P

-:

P P P V V V

Siendo, respectivamente, el potencial creado por las cargas positivas situadas a la

derecha de esa carga y el creado por las cargas positivas situadas la izquierda de esacarga:

...6

1

4

1

2

12)()(

...6

1

4

1

2

1)(

...6

1

4

1

2

1)(

d

qk izquierdaV derechaV V

d d d qk izquierdaV

d d d qk derechaV

P P P

P

P

Igualmente, si consideramos el potencial creado por las cargas negativas situadas a laderecha e izquierda de la carga positiva:

...5

1

3

11

2)()(

...5

1

3

11)(

...5

1

3

11)(

d

qk izquierdaV derechaV V

d d d qk izquierdaV

d d d qk derechaV

P P P

P

P

La energía potencial de la carga positiva q situada en P es:

J d

qk

d

qk qV V qV qU P P P q

····51

41

31

21

12

····51

31

1····61

41

212

2

Sustituyendo x=1 para el desarrollo en serie:

·····

5

1

4

1

3

1

2

112ln11ln


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Sustituyendo esta expresión en el resultado U q:

J d

qk U q

2ln2 2

1.1.6. En dos vértices contiguos de un cuadrado de 1m de lado se tienen cargaseléctricas positivas de 2·10-6 C y en los otros dos de 5·10-6 C . Hallar el valor del campoeléctrico y el potencial en el centro del cuadrado

RESOLUCIÓN:

El campo eléctrico en el punto P es la suma de los campos eléctricos creados por cadauna de las cargas puntuales situadas en los vértices del cuadrado:

4

12

4

1 i

r

i

i

i

i P ur

qk E E

Siendo los vectores de posición, sus módulos y sus vectores unitarios:

21

21

21

21

,21

)21

,21

()0,0( 21

22

11

r r r

2

1

2

1

2

1

2

1,2

1)2

1,2

1()0,1( 22

22

22 r r r

2

1

2

1

2

1

2

1,

2

1)

2

1,

2

1()1,1( 23

22

33

r r r

2

1

2

1

2

1

2

1,

2

1)

2

1,

2

1()1,0( 24

22

44

r r r

2

1,

2

1

22

21

,21

;2

1,

2

1

22

21

,21

21 r r uu

2

1,

2

1

2

2

21

,21

;2

1,

2

1

2

2

21

,21

43 r r uu


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Los campos eléctricos creados por cada carga son:

C

N u

r

qk E

C

N u

r

qk E

C

N u

r

qk E

C

N u

r

qk E

r P

r P

r P

r P

2

1,

2

11036

2

1,

2

1

21102

109

2

1,

2

11036

2

1,

2

1

2

1102

109

2

1,

2

1109

2

1,

2

1

21105

109

2

1,

2

1109

2

1,

2

1

21105

109

36

92

4

1

36

92

3

3

46

92

2

2

46

92

1

1

44

33

22

11

El campo eléctrico total es:

C N j

E E E E E P P P P P

434

3

344

106.72

108000

,02

10362

2

1092

,02

1

,2

1

1036

2

1,

2

11036

2

1,

2

1109

2

1,

2

1109

4321

El potencial en el centro del cuadrado lo crean las cuatro cargas puntuales de losvértices:

V

r

qk V V

i i

i

i

i P

3

694

1

66669

4

1

102.178

10214109

2

1102

2

1102

2

1105

2

1105

109

X

Y

(0,1) Q4 Q3

Q1 Q2

P E3E4

E1 E2

(1/2,1/2)

(1,1)

(0,0) (1,0)


14/185

Página 9 de 50

1.1.7. Cargas iguales, cada una de ellas de 1 C , están situadas en los vértices de untriángulo equilátero de 0.1m de lado. Calcular:a) La fuerza que se ejerce sobre cada carga como resultado de la interacción con lasotras dos

b) La energía potencial de cada cargac) El campo eléctrico resultante y el potencial en el centro del triángulo

RESOLUCIÓN:

11322211

12

13212

22111

1121

269

32232

23122

12

122

11

31

2211

21

13121

22111

1121

269

31231

13212

21

121

231333212231211

107.8,105107.8,105º30cos10,2

10)0,1.0(32)0,1(

10

103.78,10135107.8,1015109

107.8,1050,110

10109

107.8,105107.8,105º30cos10,2

10

)0,0(31

)0,1(0,1.00,021

10

103.78,10135107.8,1015109

107.8,1050,110

10109

;;

uu

md d

N

ud

qqk u

d

qqk F

u

u

md d

N

ud

qqk ud

qqk F

F F F F F F F F F

3q

1q 2q

)0,0( )0,10(

)1078,050( 2

60

30

23d

12d

13d

30a

31 F

21 F


15/185

Página 10 de 50

11232211

1113

22

12313

11

111121

269

23223

23132

13

133

107.8,105107.8,105)0,1.0(º30cos10,2

1023

107.8,105)0,0(107.8,10513

10

6.1,0104.17,0109

107.8,105107.8,10510

10109

u

u

md d

N

ud

qqk u

d

qqk F

b) La energía potencial de cada carga es: 111 V qU

)(1018101810

)(101810 102109

2461

41

69

31

3

21

21

J U

V d

qk d

q K V

Todas las cargas tienen la misma energía potencial:)(1018 232 J U U

c) El campo en el centro del triángulo será:0321 E E E E

Las componentes en el eje x de 1 E

y 2 E

se anulan. Las componentes en el eje y de 1 E

y

2 E

son la mitad de la componente en el eje y de 3 E

, y como y

E 1 y y E 2 llevan sentido

contrario a y

E 3 , la suma de las dos primeras anula la tercera.

El potencial en dicho punto es:

)(10766410

232101093

41

69

321321 V

a

Qk

a

Qk

a

Qk V V V V

siendo ma 05770)30cos(2

10

1.1.8. El potencial eléctrico a una distancia d de una carga puntual q es V=600V y elcampo eléctrico es E=200N/C .a) Calcular el valor de la carga

b) Calcular la distancia a la carga puntual

RESOLUCIÓN:

a) El potencial V y el módulo de campo eléctrico E que crea una carga puntual es:


16/185

Página 11 de 50

d

qk V despejando la distancia

V

qk d d

2d

q

k E

Sustituyendo d en la expresión del módulo del campo eléctrico y despejando q, podemos obtener el valor de ésta:

C E k

V q

qk

V

V

qk

qk E 79

222

2 102200109600

b) Una vez que conocemos la carga q, podemos obtener el valor de la distancia d :

mV

qk d 3

600102

1097

9

1.1.9. Calcular el gradiente de la función escalar V=V(r), siendo r= r el módulo del

vector de posición k z j yi xr . Aplicar a los casos:

a) V=1/r

b) V=ln r

RESOLUCIÓN:

El vector operador gradiente se define como:

k z

V j

y

V i

x

V V grad

Como V depende de r y éste, a su vez, depende de las coordenadas x, y, z , entonces cada

uno de los sumandos que hay a la derecha de la ecuación se puede calcular de lasiguiente forma:

z

r

dr

dV

z

V

y

r

dr

dV

y

V

x

r

dr

dV

x

V

El módulo de r es: 222 z y xr

Por tanto:


17/185

Página 12 de 50

r

z

z y x

z

z

z y x

z

r

r

y

z y x

y

y

z y x

y

r

r

x

z y x

x

x

z y x

x

r

222

222

222

222

222

222

2

2

2

2

2

2

Sustituyendo estas expresiones en el gradiente:

r udr

dV

r

r

dr

dV k

r

z j

r

yi

r

x

dr

dV V grad

)(

Aplicando esta última expresión a los casos (a) y (b):

r r

r r

ur

udr

dV V grad r V b

ur

udr

dV V grad

r V a

1ln)(

11)( 2

1.1.10. El potencial eléctrico en una cierta región del espacio viene dado porV(x)=C 1+C 2·x

2, en donde V se expresa en voltios, x en metros y C 1 y C 2 son constantes positivas. Hallar el campo eléctrico E en esta región. ¿En qué dirección está E ?

RESOLUCIÓN:

221)( xC C xV

Utilizando la relación que existe entre campo eléctrico y potencial:

k

dz

dV j

dy

dV i

dx

dV E

Como el potencial depende sólo de x, el campo eléctrico únicamente tendrá componenteen esta dirección:

iC xidx

dV E

22


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Página 13 de 50

1.1.11. Un campo eléctrico viene determinado por E x=2x3(kN/C). Determinar la

diferencia de potencial entre los puntos del eje x situados en x=1m y x=2m.

RESOLUCIÓN:

Utilizando la relación que existe entre campo eléctrico y potencial:

k

dz

dV j

dy

dV i

dx

dV E

Sólo existe componente en x:

V x

dx xV V

dx E dV

dx E dV idx

dV E

x

x

x

x

x

x

x

x x

3344

34

32

1

33

2

1

2

1

10574

15102

4

1

4

2102

4102102)1()2(

1.1.12. El potencial eléctrico en una región del espacio viene dado por V=2·x2 + y·z(V/m2 ). Determinar el campo eléctrico en el punto x=2m, y=1m y z=2m.

RESOLUCIÓN:Utilizando la relación entre campo eléctrico y potencial:

m

V k ji E

k y j z i xk dz

dV j

dy

dV i

dx

dV E

282,1,2

4

1.1.13. Dos cargas puntuales q1=2pC y q2=-2pC están separadas una distancia de 4 m.a) ¿Cuál es el momento dipolar de este par de cargas?

b) Hacer un dibujo del par e indicar la dirección y sentido del momento bipolar

RESOLUCIÓN:

a)

mC d q p

d q p

18612 108104102

b) mC i p

18108


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Página 14 de 50

1.1.14. Un dipolo de momento 0.5e-·nm se coloca en el interior de un campo eléctricouniforme de valor 4·104 N/C . ¿Cuál es el valor del momento ejercido sobre el dipolocuando?:a) ¿El dipolo es paralelo al campo eléctrico?

b) ¿El dipolo es perpendicular al campo eléctrico?c) ¿El dipolo forma un ángulo de 30º con el campo eléctrico?d) Determinar la energía potencial del dipolo en el campo eléctrico en cada caso.

RESOLUCIÓN:

C

N E

mC p

4

28919

104

108010106150

El momento ejercido sobre le dipolo es: E p

La energía potencial del dipolo en el campo eléctrico es: E pU

a) Si el campo y el dipolo son paralelos, forman un ángulo de 0º : 00 sen E p

Y la energía potencial será:

J E pU 24428 1023110410800cos

b) Si el campo eléctrico y el dipolo forman un ángulo de 90º :

m N sen E p 24428 10231104108090


090cos E pU

c) Si ambos forman un ángulo de 30º :

m N sen E p 24428 10612

1104108030


J E pU 24428 107722

3104108030cos

p

md 6104 1q 2q


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Página 15 de 50

1.1.15. Dos cargas de signos contrarios y de 10-8C están situadas a una distancia de10cm en el vacío formando un dipolo eléctrico. Determinar la intensidad del campoeléctrico que el dipolo produce en los siguientes puntos:a) A una distancia de 5cm de la carga positiva en la prolongación del segmento que

une las cargas b) En un punto de dicho segmento a 4cm de la carga positivac) En un punto que equidiste 10cm de ambas cargas

RESOLUCIÓN:

a) El campo eléctrico total en el punto A de coordenadas (-5,0)cm es la suma del

campo eléctrico creado en A por la carga 1 y el campo eléctrico creado en A por la carga2.

C

N ii

iiid

qk i

d

qk E E E A A A

44

22

89

22

89

22

22

1

121

102.39

8

2510

109

1015

10109

105

10109

b) El campo eléctrico total en el punto B de coordenadas (4,0)cm es la suma del campoeléctrico creado en B por la carga 1 y el campo eléctrico creado en B por la carga 2

C

N i

iiid

qk i

d

qk E E E

B B

B B B

4

22

89

22

89

22

221

121

101.8

106

10109

104

10109

c) El campo eléctrico total en el punto C de coordenadas (5,-10·cos30º)=(5,-8.7)cm esla suma del campo eléctrico creado en C por la carga 1 y el campo eléctrico creado en C

por la carga 2

C (5,-10·cos30º)

(-5,0) (4,0)

L=10cm

1C 2C

Q1=10-8 C Q2=-10

-8 CE2A

E1A

E2B

E1B

E1C

E2C

60º

·A ·BX

Y


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Página 16 de 50

11222

111

22

21

3112

2

89

1122

89

222

212

1

121

107.8,105107.8527.8,57.8,50,102

107.8,105107.851)7.8,5()0,0()7.8,5(1

10

109107.8,105

1010

10109

107.8,1051010

10109

c

c

cc

c

C

c

C

C

uC C

uC C

cmd d C

N i

ud

qk u

d

qk E E E

C C

1.1.16. Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas opuestas de magnitud q=10-6 C separadas una distancia de 2cm. El dipolo está colocado en un campo eléctrico externode módulo 105 N/C .

a) ¿Cuál es el momento máximo que ejerce el campo en el dipolo? b) ¿Cuánto trabajo debe hacer un agente exterior para dar al dipolo media vuelta a partir de una posición paralela al campo?

RESOLUCIÓN:a) El momento o giro que produce sobre un dipolo eléctrico, un campo eléctricoexterno uniforme es:

sen E d q sen E p E p

El momento es máximo si el valor del seno del ángulo que forman los vectores es 1.Esto ocurre cuando los vectores p y E forman un ángulo de 90º .

m N sen E d q 3526 10211010210º90

b) La energía potencial que tiene un dipolo que está situado en un campo eléctricoexterno uniforme es:

cos E p E pU

En el estado inicial si el campo E y el momento dipolar p son paralelos:

E p E p E pU º0cos

En el estado final cuando ha girado 180º respecto a su posición inicial:

E p E p E pU º180cos

El trabajo que realiza un agente externo para dar la media vuelta al dipoloes:

J E p E p E pU U U U U W final inicial inicial final 31042


22/185

Página 17 de 50

1.1.17. Existe un campo eléctrico uniforme entre dos placas paralelas con cargasopuestas. Se libera un electrón desde el reposo sobre la superficie de la placa negativa yalcanza la superficie de la placa opuesta, colocada a una distancia d=2·10-2m de la otra,en un intervalo de tiempo t=1.5·10-8 s:

a) Calcular la intensidad del campo eléctrico b) Calcular la velocidad del electrón cuando llega a la segunda placac) ¿Cuál es la diferencia de potencial que hay entre las placas?

RESOLUCIÓN:

a)

22200

0

2

1

2

1

2

1t E

m

qt ad t at v xd x

t at avv

E m

qaam E q F

x

x

Despejando el campo de esta última:

mV

t q

d m E 1011

10511061

1021019222819

231

2

b) s

Kmt E m

qt av 2666266637410511011

10191061 8

31

19

c) V d E V 22221020221021011 22

1.1.18. Un electrón de masa m=9.1·10-31kg y carga eléctrica q=-1.6·10-19C se proyectaen el interior de un campo eléctrico uniforme E=2000N/C con una velocidad inicialv0=10

6 m/s perpendicular al campo.a) Hallar las ecuaciones del movimiento del electrón

b) ¿Cuánto se habrá desviado el electrón si ha recorrido 1cm sobre el eje OX ? (OX :dirección de entrada del electrón)

d

0 x x

E

E q F

q


23/185

Página 18 de 50

RESOLUCIÓN:

a) Como la E q F

:

E m

ea E qam F

siendo (-e), la carga del electrón.

Eje x: t v xvcteva x x 00;0

Eje y: 22000 2

1

2

1; t at av y yt at avv E

m

ea y y y y

b) Sustituimos la aceleración en y:2

2

1t E

m

e y

Como necesitamos el tiempo, lo hallamos con x:

sv xt t v x 8

6

2

00 1010

10

Y lo llevamos al desplazamiento en y:

cmm y 81017601020001019

1061

2

1 2831

19

El ángulo que se ha desviado será:

60 x

yarctg

1.2 Distribuciones continuas de carga

1.2.1. Consideremos un campo eléctrico uniformeC

kN i E 2 .

a) ¿Cuál es el flujo de este campo a través de un cuadrado de 10cm de lado cuyo planoes paralelo al plano YZ ?

b) ¿Cuál es el flujo que atraviesa el mismo cuadrado si la normal a su plano forma unángulo de 30º con el eje X ?

y

x

0v

E

a


24/185

Página 19 de 50

RESOLUCIÓN:y

i E

2

s

S cml

210

x

z

a) El flujo de campo eléctrico a través de la superficie abierta es:

C

m N s E s E sd E s s

223 2010102)º0cos(

Con 2222 1010101010 m s

b) En este caso el ángulo que forman el vector superficie y el vector campo eléctrico es30º . Por lo tanto:

C

m N s E s E sd E s s

223 371

2

310102)º30cos()º30cos(

1.2.2. Una carga puntual q=3 C está en el centro de una esfera de 0.6m de radio.a) Hallar el valor del campo eléctrico en los puntos situados en la superficie de la esfera

b) ¿Cuál es el flujo del campo eléctrico debido a la carga puntual a través de lasuperficie de la esfera?c) ¿Variaría la respuesta dada a la parte b) si se moviese la carga puntual de modo queestuviese dentro de la esfera pero no en el centro?d) ¿Cuál es el flujo neto que atraviesa un cubo de 1m de arista que circunscribe laesfera?

RESOLUCIÓN:

E

sd

q=3 C r


25/185

Página 20 de 50

a) El campo eléctrico en un punto situado a una distancia R de una carga puntual es:

C N uuuu

r

Q K E

r r r r

5

2

3

21

69

2

104

3

1036

1027

106

103109

con mmr R 110660

b) El flujo de campo eléctrico a través de la superficie es:

0

)º0cos( enc

s s

q sd E sd E

C m N

23

9

6

103933

10941103

c) No cambia la respuesta porque el flujo depende sólo de la carga encerrada en dichasuperficie, siendo independiente de la posición que ocupe en el interior de la misma.

d) El flujo neto sería el mismo que el que atraviesa la esfera, ya que la carga encerradaes la misma en ambos casos.

1.2.3. Una carga puntual Q está situada en el centro de un cubo cuya arista tiene unalongitud L.a) ¿Cuál es el flujo del campo eléctrico a través de una de las caras del cubo?

b) Si la carga Q se traslada a un vértice del cubo, ¿cuál es el flujo a través de cada unade las caras del cubo?

RESOLUCIÓN:

a) El flujo total del campo eléctrico a través del cubo es:

L

0

enc

s E

q sd E

Q


26/185

Página 21 de 50

Por simetría, el flujo que atraviesa cada una de las caras del cubo es 1/6 del flujo total:

066

Qtotal cara

b)1

Q2

3

Dibujamos una esfera alrededor de la carga puntual Q que está situada en el vértice delcubo. Si dividimos la esfera en 8 partes, vemos que el flujo que entra en el cubocorresponde a 1/8 del flujo total que sale de la esfera.

0

00

88

1

Q

QQ

total cubo

enctotal

Este flujo sólo atraviesa 3 caras del cubo porque el vector superficie de las caras 1, 2 y 3 forman un ángulo de 90º con el vector E

, por tanto:

00 24383 QQcubo

cara

1.2.4. Una corteza esférica de radio 6cm posee una densidad superficial uniforme decarga =9nC/m2:a) ¿Cuál es la carga total sobre la corteza?

b) Determinar el campo eléctrico en r 1=2cm, r 2=5.9cm, r 3=6.1cm y r 4=10cm

RESOLUCIÓN:

+ ++ + + +

+ + + R ++ + + + +

+ + + + ++ + +


27/185

Página 22 de 50

a) Como la densidad superficial de carga es constante:

pC C RS QS

Q1740101740103641094 12492

Siendo m R 2106 y 29109 m

C

b) Aplicando el teorema de Gauss, se puede demostrar que le campo eléctrico en unacorteza esférica de densidad superficial uniforme es:

E

2r

Q K Rr E r

r E(r


28/185

Página 23 de 50

Como es una distribución simétrica de carga, utilizaremos el teorema de Gauss parahallar el campo eléctrico en r>R1:

0

200 4

º0cos r

q E

qS E sd E

q sd E

s

encenc

s E

El potencial eléctrico en r R1:

V r

q K r V

r

q K

r q K

r

q K dr

r

q K V r V

dr E dV dr E dV dr

dV E

r r

r r

r r r

112

Como por definición V( ) = 0 para una carga puntual:

r

q K r V

b)

sd

E

La carga total es q y está distribuida uniformemente en el volumen:

3231

32

31

4

334

R R

q

V

q R RV

siendo la densidad de carga.Aplicando de nuevo el teorema de Gauss, el campo eléctrico en R2


29/185

Página 24 de 50

3231

32

3

024

1

R R

Rr q

r E

El potencial en R2 r R1:

r

R

R

Rr R

R R

q RV r V

r Rr

R Rq RV r V

dr r

Rrdr

R R

q RV r V

dr r

Rr

R R

q RV r V

dr E dV dr E dV

R

r

R

r

R

r

r

R

r

R r

r

Rr

32

1

32

221

32

310

1

322

32

310

1

2

32

32

310

1

2

32

32

310

1

221

4

241

41

41

11

1

1

11

Del apartado a) sabemos el potencial en R1 y despejando V(r):

21

32

2

32

310

1

32

31

32

1

32

221

32

310

1

32

1

32

221

32

310

11

23

24

224

224

Rr

Rr

R R

qr V

R

R R

r

R

R

Rr R

R R

qr V

R

q K

r

R

R

Rr R

R R

qr V

R

q K RV

d) El campo eléctrico en r


30/185

Página 25 de 50

1.2.6. Supongamos que una carga positiva está distribuida uniformemente en unvolumen esférico de radio R, siendo la densidad de carga por unidad de volumen.Calcúlese la fuerza de repulsión que sufriría una carga puntual q, situada a una distanciar del centro de la esfera, siendo r R.

RESOLUCIÓN:

E

V Q

La fuerza de repulsión que se ejerce sobre una carga puntual situada a una distancia r R es E q F

, donde E

se puede calcular usando el teorema de Gauss:

0

º0cos enc

s s E

qS E sd E sd E

Despejando el campo:

002

3

02

02 34

34

44

r

r

r

r

V

r

q E enc

El campo eléctrico resultante será:

r r r u R

r Qu

R

r Qu

r E

303

00 4

34

33

Por lo tanto, la fuerza que actúa sobre la carga es:

r u R

r Qq E q F

304

sd

R

r


31/185

Página 26 de 50

1.2.7. Una esfera de radio R posee una densidad volumétrica de carga proporcional a ladistancia al centro =A·r para r R y =0 para r>R, siendo A una constante. Hallar:a) El valor de la constante A si la carga total de la esfera es Q

b) El campo eléctrico tanto en el interior como en el exterior de la distribución de carga

RESOLUCIÓN:

Ar si r R

=0 si r > Rr

a) Si la carga total de la esfera es Q, la densidad es constante en un elementoinfinitesimal de volumen dV , el cual tiene un carga dq:

dV dqdV

dq

En una determinada superficie cerrada la carga encerrada será la suma de las cargas dq de los infinitos elementos dV que forman esa región:

dV dqqenc

La carga total encerrada en la esfera de radio R es:

4

4

00

42

0 44

444

R

Q A

R A

r Adr r Ar dV RqQ

R R

R

enc

b) Para hallar el campo eléctrico en el interior y en el exterior de la esfera utilizaremosel teorema de Gauss:

0

enc

s E

q sd E

Para r R:

0

º0cos

enc

s

qS E sd E

rR


32/185

Página 27 de 50

b V1

necesitamos hallar la carga encerrada hasta r :

4

44

4

4

00 0

42

44

44

444

R

r Q

r

R

Qr A

r Adr r r AdV q

r r r

enc

sustituyendo:

04

2

4

4

02

02 444 R

r Q

R

r

r

Q

r

q E enc

Para r > R la carga encerrada es Q, por lo tanto:

024 r

Q E

1.2.8. Sean dos esferas conductoras concéntricas de radios a


33/185

Página 28 de 50

Restando los valores de V 1 y V 2

ba

Q K b

KQ

b

KQ

b

KQ

a

KQV V

111

212121

Si despejamos Q1

abab K

V V

ab

ab K

V V

ba K

V V Q

2121211 11

Para obtener Q2 hacemos:

ab

Q K a

Q K

b

Q K

b

Q K

b

Q K

a

b

b

Q K

a

Q K V

a

bV

112

22212121

Si despejamos Q2:

ab K

V a

bV

Q11

21

2

1.2.9. Considérese dos esferas concéntricas y aisladas de radios a y b (a < b), estando lade radio a descargada y la de radio b con una carga total Q sobre su superficie. Seconecta la esfera interior a tierra sin tocar la exterior para nada. ¿Cuál será la carga quese induce en la esfera de radio a? ¿Cuál será el potencial en los puntos comprendidosentre las dos esferas?

RESOLUCIÓN:Q

a) Cuando conectamos a tierra la esfera interior, se induce en ella una carga Q´ , siendosu potencial 0:

b

Q K

a

Q K

0

b

a


34/185

Página 29 de 50

de donde podemos despejar Q´ :

b

aQ

K

a

b

Q K Q

b) El potencial en un punto comprendido entre las dos esferas a una distancia r delcentro es:

b

Q K

r

Q K r V

que sustituyendo Q´ , será:

siendo a


35/185

Página 30 de 50

El potencial inicial en la esfera exterior es:

721219

23

2122

2

2

12

102109

10101018

QQQQ

QQ R

K

R

Q K

R

Q K V

Resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones, obtenemos Q1 y Q2:

721

21

6

102

23

10

QQ

QQ

C Q

C QQQQ

7772

611

76

17

1

6

10701031102

101301023

101022

310

Cuando conectamos la esfera interior a tierra cambia Q1, mientras Q2 se mantiene. El potencial ahora es:

C Q

R R

QQ

R

Q

R

Q

R

Q

R

Q K

R

Q K

R

Q K V

92

27

1

12

21

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

11

103510101051070

00

El potencial en la esfera exterior es:

V V

QQ R

K

R

Q K

R

Q K V

37102

772

9

2122

2

2

12

1015310350109

1070103501010109


36/185

Página 31 de 50

P

ac E arg

q

línea E

P

ac E arg

q

línea E

1.2.11. Una carga lineal infinita de densidad lineal uniforme =-1.5 C/m es paralela aleje y en x=-2m. Una carga puntual de 1.3 C está localizada en el punto (1,2).Determinar el campo eléctrico en el punto (2,1.5)

RESOLUCIÓN:

y

x=-2 x

El campo total es la suma del campo que crea la línea y el campo que crea la carga.El campo que crea la línea en P es:

C

N i E

C N

r E

línea

línea

3

396

0

10756

1075642

109410512

C

N E

u

r r

ur

Qk E

puntual ac

r

r puntual ac

336

9arg

22

2arg

10325,1057950,90111031

109

50,901150

,11

1

1150150,12,151,2

El campo total en P es:

C

N jii ji E E E líneaac P P P

33333 1032510822107561032510579arg


37/185

Página 32 de 50

1.2.12. En cada uno de los tres planos indefinidos x= 2, x=0, x=2, existe unadistribución de carga superficial 1 =2 C/m2, 2=4 C/m2, 3= 3 C/m2, respectivamente.Hallar el campo eléctrico y el potencial en todo el espacio, tomando origen de

potenciales V=0 en x=0.

RESOLUCIÓN:

Teniendo en cuenta el signo de la carga de cada plano, dibujamos el campo eléctricoque crea cada uno de ellos en cada región.

El campo eléctrico que crea un plano indefinido en sus proximidades es:

En una región el campo eléctrico total es la suma de los campos eléctricos que crea cada plano:

V

x

2 x 0 x 2 x

1 E

1 E

1 E

1 E

2 E

2 E

2 E

2 E

3 E

3 E

3 E

3 E

1 2 3

0V

E

E

E

E

x

0 0

i x E

020

i x E

02

0


38/185

Página 33 de 50

REGIÓN :

C N i E

iiiiii E E E E

0

0000

3

0

2

0

1

23

2

3

2

4

2

2

222321

REGIÓN II:

C

N i E

iiiiii E E E E

0

0000

3

0

2

0

1

2

1

2

3

2

4

2

2

222321

REGIÓN III:

C

N i E

iiiiii E E E E

0

0000

3

0

2

0

1

29

23

24

22

222321

REGIÓN IV:

C

N i E

iiiiii E E E E

V

V V V V

0

0000

3

0

2

0

1

2

3

23

24

22

222321

Para obtener los potenciales, consideramos V(x=0) = 0:

REGIÓN II (-2 x 0):

x x x

x xV x xdx E V xV dV 0

000

00 2

121

21

0

REGIÓN I (x -2):

23

2

322

2

3

223

23

2

000

02

022

V xV x xV

x xd E V xV dV x x x


39/185

Página 34 de 50

Utilizando el resultado de la región II:

00000

0

42313

23

12

x x xV

V

REGIÓN III (0 x 2):

x xV

x xdxdx E V xV dV x x x x

0

00

000

00

2

9

2

9

2

9

2

90

REGIÓN IV (x 2):

23

23

223

23

2

00

200

2 2

V x xV

xdxdx E V xV dV x x x

Utilizando el resultado de la región III:

00000

0

62393

23

92

x x xV

V

1.2.13. Una esfera conductora, de radio R1 y carga Q se une mediante un hilo conductor,de capacidad despreciable, a otra esfera de radio R2 ( R2


40/185

Página 35 de 50

El potencial de la primera, V’ 1, será:

1

1

0

1 41

R

QV

Y el de la segunda:

2

1

02 4

1 R

QQV

Como V=V’ 1=V’ 2:

21

2

21

112

21

11

2

1

01

1

0 41

41

R R

RQ

R R

RQQQQQ

R R

RQQ

R

QQ

R

Q

Si comparamos las cargas, vemos que Q1 es mayor que Q2.

b) El potencial al que quedan ambas esferas es:

2101211

0 41

41

R R

Q

R R R

RQV

c) Las densidades superficiales de carga en cada esfera son:

2112

1

11 4

14 R R R

Q

R

Q

y

21222

22 4

14 R R R

Q

R

Q

Siendo en este caso 1 menor que 2.

APÉNDICE

1.2.14. Un trozo de varilla delgada no conductora de longitud L tiene una carga total q,distribuida uniformemente a lo largo de ella. Hallar el campo eléctrico E

en:a) Un punto P de la mediatriz de la varilla

b) En el mismo punto cuando L tiende a infinito.

1 R

2 R

1Q2Q


41/185

Página 36 de 50

Siendo la densidad lineal de carga, escribimos el valor de la carga dq de un trozo

infinitesimal de barra:dxdq Lq Y el campo eléctrico correspondiente a dicho trozo será:

22 r

dx K

r

dq K E d

cuyas componentes son:

0 x x x x E d E E d E d

por simetría (para cada dq siempre hay un dq´

simétrico de forma que las componentes del campo eléctrico en el eje x se anulan).

cos

41

cos 20 r

dx E d E d y

(sólo existe componente en el eje y)

Tenemos que el campo depende de tres variables : ),,( r x f dE , pero debemos ponerlo en función de una sola variable, en este caso .

2cos

d ydxtg y x

y

xtg

2

22

coscoscos

yr

yr

r

y

Sustituimos en la componente y:

d y y

d y E d y cos4

1cos

cos

cos4

1

02

2

2

0

Integrando:

2

22

2

0

000

0000

22

24

2

4

2

4

12cos

4

12cos

4

10

0

0

0

y L y

qk

y L

L

y

sen y

sen y

d y

d y

E y

y E d

E d

x E d

r

x

y

P

dx

dq qd


42/185

Página 37 de 50

2/ L 2/ L

ya que:

220

2

2

y L

L sen

Valoración:

Si y

k E sen L y

21

22

1.2.15. Un anillo de radio a tiene una carga q distribuida uniformemente a lo largo desu circunferencia. Calcular el campo eléctrico y el potencial eléctrico en puntos a lolargo del eje perpendicular que pasa por el centro del anillo, en función de la distancia adicho centro.

El campo eléctrico que crea en el eje x un elemento de carga infinitesimal dq es:

20

2 41

r

dq

r

dq K E d

Sólo existe componente en x, ya que por simetría las componentes en y se anulan.

x

a x

q x

r

q x

r

dq E d E d E x x

23

220

30

30 4

14

14

1cos

siendor

x cos y 22 a xr

Por lo tanto, el campo en cualquier punto del eje x es:

i

a x

xq E

23

2204

1

Casos particulares:

a

0 x

22 a xr

E d

x E d

dq


43/185

Página 38 de 50

2

00

x

q K E a x

E x

Para x muy alejadas del origen se aproxima al campo de una carga puntual.Y el potencial será:

220 a x

KQ

r

dq K V

r

dq K dV

Q

1.2.16. Un cilindro hueco de radio R y longitud L se encuentra cargado uniformementecon una densidad superficial de carga . Calcular el campo eléctrico y el

potencial en los puntos que están sobre el eje del cilindro.

Considerando la expresión del campo eléctrico obtenida en el ejercicio anterior para unanillo de radio R y carga dq:

dq

x R

x K E d x2

322

donde dx Rdq 2 Sustituyendo el valor dq:

22222223

22

23

22

112

22

2

r Rr L R

KR

x R

R K dx

x R

x R K E

dx x R

x R K dE

r

r L

r

r L

x

x

h R

r

x

L

ydx

P

x E d

E d


44/185

Página 39 de 50

En cuanto al potencial creado en un punto P por anillo de radio R y carga dq:

dx

x R

R K

x R

dq K dV

2222

2

Que considerando el origen en P, e integrando a todo el cilindro:

2222

22

2222

lnln2

ln222

Rr Lr L Rr r R K

R x x R K x R

dx R K dx

x R

R K V

r

r L

r

r L

r

r L

1.3 Condensadores. Campo eléctrico en la materia y energía del campo

1.3.1. Un condensador de láminas plano paralelas tiene una capacidad C 0 y unaseparación entre las láminas d . Se insertan entre las placas dos láminas dieléctricas deconstantes 1 y 2, cada una de ellas de espesor d/2 y de la misma área que las placas.

Demostrar que la capacidad es: 021

212 C C

RESOLUCIÓN:

La capacidad de un condensador de láminas plano-paralelas es C 0:

d

S

V

QC

00

Si se insertan 2 dieléctricos entre las láminas que ocupan cada uno la mitad del espacioque existe entre ellas, tenemos 2 condensadores en serie (misma carga y distinta d.d.p.)cuyas capacidades son, respectivamente:

2

01 d

S C

2

02 d

S C

La capacidad equivalente es:

2d

2d

1

2

S


45/185

Página 40 de 50

22

2

22

22

21

21

21

2

21

21

21

21

21

d

S

S S d

d S S

d

S

d

S

d

S

d

S

C C

C C C eq

22121

d

S C eq

Teniendo en cuenta que:

01 1 r y 02 2 r

0

0

0

20

00

00

21

21

21

21

21

21

21

2122

22

C

d

S

d

S

d

S C

r r

r r

r r

r r

r r

r r

r r

r r

eq

Otra forma de resolver el problema es usar la definición de capacidad y calcular lanueva diferencia de potencial:

V

QC donde 221121 d E d E V V V siendo

11

E y

22

E

1.3.2. Una lámina de cobre de espesor b se introduce dentro de las láminas planas de uncondensador. La lámina de cobre se encuentra situada exactamente a la mitad de la

distancia d entre las placas. ¿Cuál es la capacidad del condensador antes y después deintroducir la lámina?

RESOLUCIÓN:

Antes de introducir la lámina conductora:

donded

S C 00

Q Q

d

0 E

S


46/185

Página 41 de 50

Al introducir la lámina conductora de cobre:

Utilizando la definición de capacidad:

V

S

V

QC

donde: 321 V V V V

En la lámina de cobre el campo es cero y el potencial constante, por lo que la d.d.p entresus extremos es 0.

2222 3131bd

E bd

E V V V

siendo0

1

E y

02

E

bd bd bd

V

000 2222

La capacidad, por lo tanto, es:

d b

C

d bd

S

bd

S

V

S C

1

1

10

0

0

1.3.3. Las láminas de un condensador plano están separadas 5mm y tienen 2m2 de área.Entre ellas se introducen dos dieléctricos, uno con espesor 2mm y permitividad relativa5, el otro de 3mm y permitividad relativa 2. El condensador se carga a C 510543 .Calcular:a) El campo eléctrico en cada dieléctrico

b) La diferencia de potencial entre las láminas del condensador

c) La capacidad del condensador

Q Q

b

1V 2V 3V

22

bd

22

bd


47/185

Página 42 de 50

RESOLUCIÓN:

a) El campo eléctrico entre láminas de un condensador plano-paralelo con undieléctrico de permitividad es:

S

Q E

con 0 r

de donde:

m

V S

Q

S

Q E

r

4003652

10945

10543

9

5

10111

1

m

V S

Q

S

Q E

r

10009112

10942

10543

9

5

20222

2

b) La d.d.p entre las placas del condensador es:

V d E d E V V V 38031031000911102400365 33221121

c) La capacidad es:

nF V

QC 391039

380310543 9

5

1.3.4. Una placa de dieléctrico de espesor b y constante dieléctrica relativa r , se colocaentre dos placas planas y paralelas de área A y separación d . La diferencia de potencialantes de introducir el dieléctrico es V . Supóngase que A=100cm2, d=1cm, r =7 , V=100V y b=0'5cm. Calcular:a) La capacidad del condensador antes de introducir el dieléctrico

b) La carga libre depositada en las placas del condensadorc) La intensidad del campo eléctrico en el hueco

Q Q

1d 2d

d

1 E

2 E

1V 2V


48/185

Página 43 de 50

d) La intensidad del campo eléctrico en el dieléctricoe) La diferencia de potencial que existe entre las placasf) La capacidad del condensador después de introducir el dieléctrico

RESOLUCIÓN:

a) pF d

S C 84810848101084810

101001094

1 12932

4

900

b) C V C QV

QC 1012

00 1084810010848

c) m

V d

V E d E V 42

0000 1010

100

d) mV E

E r

681427104

0

e) V b E

bd E V r

1475105068142105010 22400

f) F V

QC 12

10

10551147510848

1.3.5. Las armaduras de un condensador plano tienen una superficie de 250 cm2. Eldieléctrico situado entre las armaduras es mica de 1.2mm de espesor y r =6. Determinar:a) La capacidad del condensador

b) La carga cuando la diferencia de potencial entre las armaduras es de 500V c) El campo eléctrico entre las armadurasd) La fuerza atractiva entre las mismase) La energía almacenada en el condensador

S

d

b

r


49/185

Página 44 de 50

RESOLUCIÓN:

a) F d

S C r

93

4

901011

102110250

10941

6

b) C V C QV

QC 69 105505001011

c)

mV

d

V E d E V 416667

1021

500

3

d)

El trabajo está

Teoría y Problemas Resueltos de Electrostatica

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