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PRODUCTOS NOTABLES

Concepto: Se llama así a ciertas multiplicaciones cuyos resultados se pueden hallar directamente, mediante reglas sencillas que se deducen de la multiplicación de polinomios.

1) Cuadrado de la suma o diferencia de dos monomios.

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2

Ejemplo:(x – 3y)2 = x2 - 2(x)(3y) + (3y)2

= x2 – 6xy + 9y2

Obs.- Un polinomio de la forma ax2 + bx + c es un trinomio cuadrado perfecto si y sólo si b2 = 4ac.

2) Diferencia de cuadrados.

(a + b)(a - b) = a2 - b2

Ejemplo:

(2x - 3y)(2x + 3y) = 4x2 - 9y2

(x + 2)(x - 2) = x2 - 22 = x2 - 4

3) Trinomio al Cuadrado.

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) (a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab – ac – bc)

4) Binomio al Cubo.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) (a - b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

(a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b)

5) Suma y diferencia de cubos.

a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

Ejemplo:8x3 – 27z3 = (2x)3 – (3z2)3

= (2x – 3z2)[(2x)2 + (2x)(3z2) + (3z2)2] = (2x – 3z2)( 4x2 + 6xz2 + 9z6)

6) Trinomio al Cubo.

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b) (b + c) (c + a) (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + (a + b + c) (ab + bc + ca) – 3abc

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2( b + c) + 3b2(a + c) + 3c2(a + b) + 6abc

7) Producto de Binomios con un término común (Identidad de

Steven).

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ac) x + abc (x – a)(x – b)(x – c) = x3 – (a + b + c)x2 + (ab + bc + ac) x – abc

8) Identidades de Legendre.

(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab

9) Identidades de Argan`d.

(x2 + x + 1) (x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1 (x2 + xy + y2) (x2 – xy + y2) = x4 + x2y2 + y4

Ejemplo:x8 + x4 + 1 = (x4 + x2 + 1)(x4 - x2 + 1)

En general:

(x2m + xmyn + y2n) (x2m – xmyn + y2n) = x4m + x2my2n + y4n

10) Identidades adicionales (Identidades de Gauss).

a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) (a + b) (b + c) (c + a) + abc = (a + b + c) (ab + bc + ac)

Ejemplo:Si a2 + b2 + c2 = 3(ab + bc + ac). Hallar:

Sol.Usando la primera identidad de Gauss y reemplazando en el numerador tenemos:

Luego usamos la condición: a2 + b2 + c2 = 3(ab + bc + ac)

11) Igualdades condicionales.Si a + b + c = 0, se cumple:

a2 + b2 + c2 = –2(ab + bc + ac) (ab + bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2 a3 + b3 + c3 = 3abc

Además:

( a2 + b2 + c2 )2 = 2 (a4 + b4 + c4)

Maestros: Maria Rosa Barnuevo L – Arturo Carbajal C

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1) Reducir: 5 – (xn + ) ( - xn ) a) xn b) 5 c) 10 d) x2n e) x4n

2) El término lineal del producto (2x + 5) (2x – 5) es: a) 4x b) 25 c) 2x d) 1 e) 0

3) Simplificar:

a) x2+y b) c)

d) x2 + xy e) (x + y)2

4) Efectuar:

a) 1 b) xn c) -1 d) xn - 2 e) xn – 1

5) Realizar:

a) 4 b) 12 c) 36 d) 72 e) 48

6) Si:

Calcular:

a) 400 b) 500 c) 600 d) 700 e) 800

7) Efectuar:

a) 2 b) -2 c) 6x d) -6x e) 1

8) Si:

Hallar: x – y a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 6

9) Reducir:

, si a + b =5

a) 5 b) 3 c) 7 d) 9 e) 15

10) Si . Calcular:

a) 145 b) 144 c) 143 d) 141 e) 142

11) Si: x = 24 , y = 22. Calcular:

a) 128 b) 24 c) 12 d) 64 e) 144

12) Hallar el valor de:

a) 1 b) 9 c) 27 d) 81 e) 729

13) Calcular el valor de:

Para: a = 2, b = 1- y c = - 3a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

14) Evaluar:

Para: a = ; b = a) 2 b) 4 c) 16 d) 8 e) 10

15) El valor de:

Es igual a:a) 6 b) 14 c) 12 d) 8 e) 10

16) Efectuar:

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

17) Si:

Calcular el valor de:

a) 2 b) 3 c) 2x d) 4 e) 5 + x/2

18) Si

Hallar x.ya) 1 b) -1 c) 2 d) 4 e) 3

19) Si:

Hallar:

a) 18 b) 24 c) 16 d) 18 e) 9

20) Si:

Calcular:

a) -5 b) 5 c) 10 d) -10 e) 1

21) Si

Hallar:

a) 18 b) 5 c) 10 d) 30 e) 20

Maestros: Maria Rosa Barnuevo L – Arturo Carbajal C

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1) Si:

Hallar:

a) 3 b) 4 c) 4 d) 4 e) 2

2) Sabiendo que:

Calcular:

a) 3 b) 3 c) 0 d) 1 e) 2

3) Si: x + y + z = 0Calcular:

a) 1 b) 5 c) 2 d) 3 e) 4

4) Simplificar:

a) 6 b) -6 c) -3 d) 3 e) x

5) Si:

Hallar:

a) 1 b) c) 11 d) e)

6) Si: x – y = y – z = 2Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

7) Si:

Hallar el valor de:

a) 1 b) 2 c) 3/4 d) -1 e) 1/4

8) Si:

Calcular el valor de:

a) 1 b) 2 c) 3 d) e)

9) Si: a + a-1 = 2, Hallar: a4 + a-4

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 16

10) Si x2 – x + 1 = 0, calcular .

a) 2 b) –2 c) 1 d) –1 e) 0

11) Hallar: 24 1263 )12)(12)(12(71 P

a) 2 b) 8 c) 16 d) 64 e) 5

12) Si:

entonces el valor de 25.16 HR .

a) 2x + 1 b) c) x+ 2 d) e) 2x – 1

13) Simplificar:

))((

)(

))((

)(

))((

)( 222

cbba

ac

baac

cb

accb

ba

a) 1 b) a + b + c c) 0 d) abc e) 3

14) Reducir:

8)3)(3(

13)2)(2()2()2( 22

xx

xxxx

a) x b) 1 c) –13 d) 3 e) x – 2

15) Si se sabe que x4 – 3x2 + 1 = 0

Hallar

a) 2 b) 1 c) 4 d) 3 e) 5

16) Después de simplificar:

3

2222 )12()1()12()1(

x

xxxxxx

Obtiene:a) 2 b) 4 c) 3 d) –2 e) 8

17) Siendo a + b + c = 0 ; determinar:

222

222 )2()2()2(

cba

acbbcacbaE

a) 9 b) 8 c) 11 d) 10 e) 7

18) Si: 4(a + b + c) = a3 + b3 + c3 = 24Calcular: (a + b)(a + c)(b + c)a) 2 b) 4 c) 16 d) 64 e) 216

19) Si: 51 xx

Calcular: )1(

124

10

xx

xW

a) 5 b) c) d) e)

20) Efectuar:

)7)(13()9)(11(

1)7)(17()12( 2

xxxx

xxxP

a) 13/4 b) 13/2 c) 1 d) 4/3 e) 4/13

21) Si , hallar .

a) b) 5 c) 3 d) e)

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