Productos notables
41
-
Upload
william021729 -
Category
Education
-
view
297 -
download
5
Transcript of Productos notables
2. Cuadrado de la suma de dos términos
3. Cuadrado de la diferencia de dos términos
4. Producto de la suma por la diferencia de dos términos
5. Producto de dos binomios con un termino común
6. Producto de dos binomios con términos no común
7. Cubo de la suma de dos términos
8. Cubo de la diferencia de dos términos
Índice
1.Concepto de producto notable
Los productos notables son multiplicaciones
cuyo resultado puede obtenerse aplicando
reglas especificas
(𝒂+𝒃 )𝟐=𝒂𝟐 +𝟐𝒂𝒃+𝒃
𝟐
(𝒂−𝒃)𝟐 =𝒂
𝟐 −𝟐𝒂𝒃+𝒃
𝟐
(𝒂+𝒃 )𝟑=𝒂𝟑+𝟑𝒂𝟐𝒃+𝟑𝒂𝒃𝟐+𝒃 𝟑(𝒂−𝒃 ) 𝟑=𝒂𝟑
−𝟑𝒂𝟐𝒃+𝟑𝒂𝒃 𝟐
−𝒃 𝟑
(𝒙+𝒎 ) (𝒙+𝒏 )=𝒙𝟐+(𝒎+𝒏 )𝒙+𝒎 ∙𝒏
(𝒂𝒙+𝒎 ) (𝒌𝒙+𝒏 )=𝒂𝒌𝒙𝟐+ (𝒌𝒎+𝐚𝒏 ) 𝒙+𝒎 ∙𝒏
Fórmula de los productos notables
2. El cuadrado de la suma de dos términos
Definición: El cuadrado de la suma de dos términos es igual al
cuadrado del primer término, más el doble producto de ambos,
más el cuadrado del segundo.
Comprobación algebraica del cuadrado de la suma de dos cantidades
Multipliquemos los dos binomios verticalmente
Se ha demostrado que
Representemos geométricamente el cuadrado de la suma de dos cantidades
Observa que en la figura uno tenemos un cuadrado de color azul de área dos rectángulos de color amarillo de área y un cuadrado de color rojo de área
Figura. 1.
𝑎𝑏𝑎2 𝑎𝑏 𝑏2
Armemos un mosaico con las fichas de la figura 1. Uno de los
mosaicos que se forma es el de la figura 2, calculemos el área de
este mosaico, para esto sumemos todas las áreas de cada ficha
que se usó y obtenemos:
Al observar la figura 2 que se forma nos damos cuenta que es un
cuadrado de dimensiones , entonces el área debe ser por lo tanto
𝑎2𝑎𝑏 𝑎𝑏𝑏2
a
𝑎+𝑏(𝑎+𝑏 )2=𝑎2+𝑎𝑏+𝑎𝑏+𝑏2
(𝑎+𝑏 )2=𝑎2+𝟐𝑎𝑏+𝑏2figura 2
El mosaico que ves a continuación representa el cuadrado de la suma de dos cantidades
𝑎2𝑎𝑏 𝑎𝑏 𝑏2(𝑎+𝑏 )2¿ +¿ +¿ +¿
Ejemplos
1- Desarrollar: 2- Completar:
Datos: ; Datos: ;
Pasos preliminares:
•
Solución:
Pasos preliminares:
•
Solución:
Ejemplos
3-Completar
4- Completar:
Datos: a • Datos: ;
Pasos preliminares:•
Solución:
Pasos preliminares:
2ab=2
• Solución:
3. El cuadrado de la diferencia de dos términos
Definición: El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual
al cuadrado del primer término, menos el doble producto de
ambos, más el cuadrado del segundo.
Comprobación algebraica
Multipliquemos los dos binomios verticalmente
Se ha demostrado que
Representación geométrica del cuadrado de la diferencia de dos cantidades
Armemos un mosaico sobre el cuadrado de lado con las fichas
restantes de la figura 1 como se muestra en la figura 3.
Si observamos la figura 3 resultante, se puede constatar que el
área de cuadrado de lado es igual a la diferencia del área
original y las áreas adyacentes.
El mosaico que ves en azul representa el cuadrado de la diferencia de dos cantidades
(𝑎−𝑏)2𝑏 (𝑎−𝑏)𝑏2𝑏 (𝑎−𝑏)
Figura. 3.
𝑎
𝑎𝑎2 𝑏 (𝑎−𝑏) 𝑏 (𝑎−𝑏)(𝑎−𝑏)2 ¿ 𝑏2− +¿ +¿
𝑎−𝒃
𝑎−𝒃
Ejemplo:
Desarrollar:
Datos:
Pasos preliminare:
Solución:
4. Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades Definición: El producto de la suma de dos términos por la diferencia de los mismos, es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo.
Representación geométrica
Al cuadrado de lado , le añadimos un rectángulo de lados de la figura 1
luego tapamos parte del cuadrado de lado con el rectángulo restante de lado
de la figura 1 y por ultimo tapamos parte del rectángulo que añadimos
anteriormente con el cuadrado de lado , como se muestra en la figura 4.
Si observamos la figura resultante, figura 5, se puede constatar
que el área del rectángulo de dimensiones y es equivalente a::
𝑎𝑏𝑏2
𝑎+𝑏
𝑎−𝑏 𝑎𝑎
𝑎𝑏−𝑏2𝑎 𝟐−ab
figura 5
figura 4
+¿=(𝑎+𝑏 ) (𝑎−𝑏)𝑎𝑏
𝑎𝑏
𝑏2− +¿𝑎2
Calcular:
Ejemplo:
Datos:
Pasos preliminares:
Solución:
Taller Nº1Piensa y practica
1. Cada una de las siguientes igualdades se obtiene al desarrollar un
producto notable. Anota en los espacios respectivos la expresión que
falta para que la igualdad se verifique.
•
•
•
•
•
2. Desarrolla las siguientes multiplicaciones. Aplica los productos notables correspondientes.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• 3
•
3. Completa las siguientes igualdades. Para ello aplica los productos notables.
•
• • _____ • • •
Prueba Nº1
1. Diga el nombre y su expresión matemática de los tres productos notables estudiados en clase.
•
•
Nombre del producto notable expresión matemática
2. Completa la expresión matemática
3. Completa las siguientes igualdades. Para ello aplica los productos notables
•
•
• __________
4. Desarrolla las siguientes multiplicaciones. Aplica los productos notables correspondientes.
•
•
•
Donde:
Ejemplo:
Multiplicar
Datos:
5. Producto de dos binomios con un termino común
Donde:
Solución
6. Producto de dos binomios con términos no común
Donde:
Ejemplo:
Multiplicar
9 𝑥
−10 𝑥
−2 𝑥
−156 𝑥2
Taller Nº2Piensa y practica
Escribir por simple inspección, el resultado de:
•
•
•
•
7. Cubo de la suma de dos cantidades
Definición:
El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer
termino más el cubo del cuadrado del primer término por el
segundo, más tres veces el primer término por el cuadrado del
segundo, más el cubo del segundo termino.
Comprobación algebraica
Representación geométrica del cubo de la suma de dos cantidades
Se tiene que el volumen de un cubo de arista
es ò
Considera un cubo cuya arista mide unidades,
como se muestra en la figura. 6.
El volumen es:
𝑏
𝑎
Figura. 6
𝑎 2𝑏
𝑎2𝑏
𝑎2𝑏3𝑎2𝑏
𝑎𝑏2𝑎𝑏2 𝑎𝑏23𝑎𝑏2
𝑎3 𝑏3
Descomposición del cubo de la suma de dos términos en ocho prismas
Observa que el volumen del cubo de la figura seis se descompuso en ocho prismas.
Entonces, el volumen del cubo es la suma de los volúmenes de los ocho prismas que lo
componen; es decir:
V
De la expresión se puede establecer la igualdadque corresponde al desarrollo del cubo de la
suma de dos cantidades
Definición:
El cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del
primer termino menos el cubo del cuadrado del primer término por
el segundo, más tres veces el primer término por el cuadrado del
segundo, menos el cubo del segundo termino.
8. Cubo de la diferencia de dos cantidades
Comprobación algebraica
Representación geométrica del cubo de la diferencia de dos cantidades
a
a
bb a - b
a - bb
ba - b
a
Considere un cubo de arista , al cual se le desea extraer un cubo de arista . Observa la figura. 7.
figura. 7.
El volumen del cubo de arista es: .
Descomposición del cubo de la diferencia de dos términos en cuatro prismas
𝑏 (𝑎−𝑏)2 (𝑎−𝑏) 𝑎2𝑏(𝑎−𝑏)3
𝑎3¿ − +¿ +¿
Ejemplos:
1. Desarrollar
Datos:
Pasos preliminares:
Solución:
1. Desarrollar
Datos:
Pasos preliminares:
Solución:
27
Taller Nº3Piensa y practica
Desarrolla las siguientes multiplicaciones. Aplica los productos notables correspondientes
Examen mensual
1. Diga el nombre y su expresión matemática de los productos notables estudiados en clase.
PRODUCTOS NOTABLES
Nombre Expresión matemática
2. Cada una de las siguientes igualdades se obtiene al desarrollar un producto notable. Anota en los espacios respectivos la expresión que falta para que la igualdad se verifique.
• .
• .
3. Completa las siguientes igualdades. Para ello aplica los productos notables.
(𝑥3−𝑥 )2=𝑥6−¿
•_________ ___________
•
4. Desarrolla las siguientes multiplicaciones. Aplica los productos notables correspondientes
