INFERENCIA ESTADISTICA TEORA ELEMENTAL DE MUESTREO La teora de muestreo se refiere al estudio de las relaciones que existen entre un colectivo o poblacin y las muestras que se extraen de las mismas. El estudio de las muestras permite hacer estimaciones de caractersticas desconocidas de la poblacin (tales como media, desviacin tpica, proporciones, etc). Estas estimaciones se hacen a partir del conocimiento de las caractersticas de las muestras (media, desviacin tpica, proporcin, etc). Las caractersticas o medidas obtenidas de una muestra se llaman estadsticos; y las medidas correspondientes a la poblacin parmetros. Cuando una medida muestral o estadstico es utilizada como representante de una caracterstica poblacional o parmetro se denomina estimador.

Ventajas de la utilizacin de las muestras 1) El costo es menor y se puede obtener un mejor rendimiento del dinero invertido. 2) Se obtiene una disminucin notable del tiempo necesario para alcanzar la informacin Cuando una muestra posee 30 o ms datos se denomina grandes muestras y si la muestra tiene menos de 30 observaciones se denomina pequeas muestras. Al procedimiento utilizado para elegir una muestra se denomina Muestreo.

Necesidad del Muestreo. 1. Poblacin Infinita 2. Poblacin uniforme 3. Proceso de investigacin destructiva 4. Economa de costos 5. Calidad Muestreo con o sin reemplazamiento: Con reemplazamiento cuando un elemento de la poblacin puede ser escogido varias veces para formar parte de la muestra

INFERENCIA ESTADISTICA Sin reemplazamiento cuando un elemento de la poblacin solo puede ser seleccionado una sola vez para formar parte de la muestra. Poblacin: es una coleccin de todos los elementos que estamos estudiando y

acerca de los cuales se intenta extraer conclusiones. Puede ser infinita o finita. Muestra: Una parte de la poblacin o un subconjunto del conjunto de unidades obtenidas con el objeto de investigar las propiedades de la poblacin. Muestreo estadstico: Es un enfoque sistemtico para seleccionar unos cuantos elementos (una muestra) de un grupo de datos (poblacin) a fin de hacer algunas inferencias sobre el grupo total. Desde el punto de vista matemtico, podemos describir las muestras y las poblaciones mediante medidas como la media, la moda, la desviacin estndar, etc. No es mas que el procedimiento a travs del cual se obtienen las muestras. Tipos de muestreo Muestreo de juicio o no probabilstico. (opintico). Se basa en el conocimiento de la poblacin por parte de alguien, quien hace a la muestra representativa, dependiendo de su intencin, por lo tanto es subjetiva. Probabilstico(Errtico): Todos los elementos de la poblacin tienen la posibilidad de pertenecer a la muestra. Muestreo Aleatorio: 1. Muestreo aleatorio simple 2. Muestreo Sistemtico. 3. Muestreo Estratificado 4. Muestreo por Conglomerado Muestreo de juicio: A travs del conocimiento y la opinin personal, basada en la experiencia del investigador, se identifican los elementos de la poblacin que van a formar parte de la muestra. Una muestra seleccionada por muestreo de juicio se basa en el conocimiento de la poblacin por parte de alguien. Por ejemplo, un guardabosques tomar una muestra de juicio si decide con antelacin que parte de una gran zona reforestada deber recorrer para estimar el total de metros de madera que pueden cortarse. En ocasiones el muestreo de juicio sirve de muestra piloto para decidir cmo seleccionar despus una muestra aleatoria.

INFERENCIA ESTADISTICA Muestreo aleatorio: Cuando se conoce la probabilidad de que un elemento de la poblacin figure o no en la muestra, puede ser:

Muestreo Aleatorio Simple (Irrestrictamente Aleatorio): Un muestreo es aleatorio cuando cada elemento de la poblacin tiene la misma probabilidad de ser escogido para formar parte de la muestra. Este tipo de muestreo evita que la muestra sea sesgada evitando por lo tanto que se realice una mala inferencia estadstica. Por ejemplo, supngase que un investigador quiera estimar el mdulo de ruptura promedio de un material determinado formado por una poblacin de tamao N = 500; por ser ensayos destructivos este quiere seleccionar una muestra de tamao n = 10 que le permita realizar la inferencia, ahora bien el criterio que us el

investigador para seleccionar dicha muestra fue el de tomar 10 materiales que estaban ms prximos a l; evidentemente esta muestra no es representativa de la poblacin, se dice que esta sesgada, por lo que la inferencia estadstica que se realice ser errnea. Por lo tanto, una muestra se dice que esta sesgada cuando los elementos seleccionados tenan mayor probabilidad de pertenecer a la misma. Cmo hacer el muestreo aleatorio La forma ms fcil de realizarlo es usando nmeros aleatorios, para esto se puede recurrir a una tabla o a un generador de nmeros aleatorios. Actualmente, se recurre a computadora. Muestreo Sistemtico o Secuencial. Los elementos se seleccionan de la poblacin con un intervalo uniforme en el tiempo, en el orden o en el espacio. Por ejemplo, supongamos que se quiere estudiar una determinada caracterstica de un producto fabricado en serie y se decide seleccionar a cada veinte producto hasta formar la muestra, para esto se escoge un punto aleatorio de arranque en los primeros veinte productos y luego se escoge cada vigsimo producto hasta completar la muestra. Una de las ventajas de este muestreo es cuando los elementos presentan un patrn secuencial, tal vez requiera menos tiempo y algunas veces cuesta menos que el mtodo de muestreo aleatorio.

INFERENCIA ESTADISTICA Muestreo Estratificado. Para aplicar el muestreo estratificado, se divide la poblacin en grupos homogneos, llamados estratos, los cuales son hetergeneos entre si. Despus se recurre a uno de dos mtodos posibles: a) Se selecciona al azar en cada estrato un nmero especificado de elementos correspondientes a la proporcin del estrato de la poblacin total b) Se extrae al azar un nmero igual de elementos de cada estrato y damos un peso a los resultados de acuerdo a la proporcin del estrato en la poblacin total

El muestreo estratificado es adecuado cuando la poblacin ya est dividida en grupos de diferentes tamaos y queremos reconocer este hecho. La ventaja de las muestras estratificadas, es que cuando se disean bien, reflejan ms exactamente las caractersticas de la poblacin de donde se extrajeron que otras clases de muestreo.

Muestreo por Conglomerado. En el muestreo por conglomerados, se divide la poblacin en grupos o conglomerados de elementos heterogneos, pero homogneos con respecto a los grupos entre si. Un procedimiento bien diseado, de muestreo por conglomerados, puede producir una muestra ms precisa a un costo mucho menor que el de un simple muestreo aleatorio. Se usa el muestreo estratificado cuando cada grupo presenta una pequea variacin en su interior, pero existe una amplia variacin entre ellos. Se usa el muestreo por conglomerado en el caso contrario, cuando hay considerable variacin dentro de cada grupo pero los grupos son esencialmente semejantes entre s.

INFERENCIA ESTADISTICA DISTRIBUCIONES MUESTRALES 1 2 DISTRIBUCIN MUESTRAL DE MEDIAS DISTRIBUCIN MUESTRAL PARA DIFERENCIAS DE MEDIAS 3 DISTRIBUCIN MUESTRAL DE PROPORCIONES Y DIFERENCIAS 4 DISTRIBUCIN MUESTRAL DE VARIANZAS

Se define la distribucin muestral de un estadstico (distribucin de muestreo) en una poblacin, como la distribucin de probabilidad de todos los posibles valores que un estadstico puede asumir para cierto tamao de la muestra. Especficamente, se trabajar con las distribuciones muestrales para: medias, proporciones y varianzas. Una distribucin muestral es una distribucin de probabilidad de un estadstico muestral calculado a partir de todas las muestras posibles de tamao n, elegidas al azar en una poblacin determinada. Si la poblacin es infinita, tenemos que concebir la distribucin muestral como una distribucin muestral terica, ya que es imposible sacar todas las muestras aleatorias posibles de tamao n de una poblacin infinita. Si la poblacin es finita y moderada se puede construir una distribucin muestral

experimental, sacando todas las muestras posibles de un tamao dado, calculando para cada muestra el valor del estadstico que nos interesa. Ejemplo, supongamos que se tiene una poblacin de tamao N = 10 y queremos extraer con reemplazamiento todas las muestras posibles de tamao n = 5, para esto se utiliza la relacin N , es decir, 105 = 100000 muestras de tamao n = 5.n

En cambio, si el muestreo es sin reemplazamiento, el nmero de muestras de tamao N = 5 viene dado por la combinatoria:

N! 10! 10.9.8.7.6.5! N = = = 252 muestras. = n n!( N n)! 5!(10 5)1 5!.5.4.3.2.1

INFERENCIA ESTADISTICA Por lo que considerando este caso, la distribucin muestral para un estadstico

muestra 1v determinado, por ejemplo, la media X viene dado por:

X1 X2

muestra 2 M

muestra 252 X 252

Esto es, X1 , X 2 , X 3 ,K , X 252 o sea, la distibucin muestral de medias.Se puede hacer una aproximacin experimental de distribuciones muestrales basadas en poblaciones infinitas o finitas grandes, sacando un nmero de muestras aleatorias y siguiendo el mismo procedimiento anterior.

1) DISTRIBUCIN MUESTRAL DE MEDIAS:Es la distribucin de probabilidad de todas las medias posibles de las muestras, para un tamao n determinado. Ver ejemplo, anterior. Esta probabilidad tiene asociados (parmetros) tales como la media X distribucin de y desviacin

estndar X . Para calcular, estos parmetros de la distribucin muestral de medias se utilizan las siguientes relaciones:

X = X = n N n N 1 para poblacione s finitas

X =

n

para poblacione s infinitas

La expresin es la desviacin estndar de la distribucin muestral de medias, se le llama error tpico o estndar de la media y nos indica la diferencia promedio entre los diversos valores de X y . Como se observa, a medida que el tamao de la muestra aumenta este error dismunuye, las diversas medias muestrales se hacen ms uniforme en su valor, y en consecuencia, cualquier media muestral es una buena estimacin de la media poblacional .

INFERENCIA ESTADISTICA Distribuciones Muestrales ConstruccinDe una poblacin discreta, finita, de tamao N, extraer todas las muestras posibles de tamao n Calcular el valor del estadstico de inters de cada muestra Hacer una tabla con dos columnas: en la primera los posibles valores diferentes del estadstico y en la segunda, la frecuencia de ocurrencia.

Distribucin Muestral de la MediaUna poblacin consiste de 10 vendedores de una compaa. La variable de inters, X, es la antigedad. X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10} Podemos calcular los siguientes

55 = 5,5 10 N ( xi ) 2 = 8,25 2 = N

=

x

i

=

Distribucin Muestral de la Media1. Extraemos todas las posibles muestras. Supongamos n=2 (100 muestras). 2. Calculamos la media para cada una de esas muestra x 3. Listar los valores diferentes del estadstico y sus frecuencias.

INFERENCIA ESTADISTICA

Calculamos la media de la distribucin muestral con reemplazamiento x 550 x = n i = = 5,5 N 100 Calcular la media muestral sin reemplazamiento? Calculando la varianza de la distribucin muestral: ( xi x ) 2 = 412,5 = 4,125 x2 = 100 Nn 2 8,25 x2 = = = 4,125 n 2 Error estndar de la media: =

n

INFERENCIA ESTADISTICA Distribuciones Muestrales Cuando el muestreo se extrae de una poblacin distribuida normalmente, la distribucin muestral de la media muestral tiene las siguientes propiedades: 1. La distribucin de la media es normal, independientemente del tamao de la muestra. 2. La Media de la distribucin de las medias es igual a la media de la poblacin. 3. La varianza de la distribucin de las medias es igual a la varianza de la poblacin, dividida entre n. Teorema del Lmite Central Dada una poblacin con media y varianza finita 2, con cualquier distribucin, la distribucin muestral de la media, calculada de muestras aleatorias de tamao n, est distribuida normalmente con media y varianza finita 2/n, cuando n es grande. La regla de oro dice que n30. Ejemplo La vida promedia de cierta herramienta es de 41.5 horas, con una desviacin estndar de 2.5 horas. Cul es la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamao 50 extrada de esta poblacin tenga una media entre 40.5 y 42 horas?P ( 40,5 x 42) = P ( 2,86 z 1,43) = P (0 z 2,86) + P (0 z 1,43) = 0,9215DISTRIBUCIN MUESTRAL PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS (

X 1 X 2 ).-

A veces interesa hacer inferencias sobre la diferencia poblacional de medias 1 - 2, o saber si es razonable concluir que dos medias poblacionales no son iguales, considerando que se tienen sendas muestras para las poblaciones 1 y 2, respectivamente, donde:n 1 = tamao2

de la muestra de la poblacin 1 1 2

X 1 = media de la muestra

1 = varianza de la poblacin 1n 2 = tamao de le muestra de la poblacin X 2 = media de la muestra 2

22 = varianza de la poblacin

2

Entonces, la diferencia de las medias muestrales X 1 X 2 , estima a

1 - 2. La forma

funcional de la distribucin muestral de X 1 X 2 depende de la forma funcional de las poblaciones donde se extraen las muestras tomando en cuenta: Si ambas poblaciones son normales la distribucin muestral de la diferencia de medias es normal. Si una o ambas de las poblaciones no es normal, la distribucin muestral de las diferencias de medias X 1 X 2 es normal si n1 + n2 2 >30 (grandes muestras), este resultado se deduce del teorema del lmite central

INFERENCIA ESTADISTICA En estos casos, los parmetros que definen esta distribucin muestral de las diferencias de medias vienen dados por: X1 X2

= 1 =

2

2 1

X1 X

n1

+

2 2

n2

El cual se aplica para dos casos especficos dependiendo de la muestra: a) Para grandes muestras, cuando v = n1+n2 - 2 > 30, se trabaja con la distribucin normal. En estos casos, estandarizando la diferencia de medias muestrales, se tiene:( X 1 X 2 ) ( 1 2 )

Z=

12n1

+

22n2

b) Para pequeas muestras, Cuando v = n1 + n2 2 < 30, se trabaja con la Distribucin t de Student. Por lo tanto, el valor viene dado por:

t=

( X 1 X 2 ) ( 1 2 ) Sp n12

+

Sp n2

2

donde:

Sp =2

(n1 1) S1 + (n2 1) S 2 n1 + n2 22

2

INFERENCIA ESTADISTICA Ejemplo Dos compaas fabrican lubricantes de alta temperatura, para el mismo mercado. La compaa A anuncia que en promedio, su lubricante deja de ser efectivo a 505 F, con una desv. est. de 10 F. La compaa B anuncia que su producto tiene una media de 475 F, con una desv. est. de 7 F. Suponga que una muestra de tamao 20 para la primera compaa y otra independiente de tamao 25 para la segunda son extradas aleatoriamente. Cul es la probabilidad de que la diferencia en temperatura promedio de falla para las dos muestras est entre 25 y 35 F?

) DISTRIBUCIN DE UNA PROPORCION MUESTRAL ( P ).-

Se define una proporcin muestral como el cociente:p= nmero de casos favorables total de casos

Por ejemplo: si de una poblacin de N = 50, empleados de una empresa, 15 de ellos no cumplen con su horario de trabajo, la proporcin de empleados que no cumplen horario con relacin al total, viene dado: P = 15/50 = 0,3; es decir, el 30 % de los empleados no cumplen su horario.

La proporcin muestral ( p ), se define como: p=Ejemplo: Si se toma una muestra aleatoria de tamao n = 1000 y 425 personas satisfacen un evento, entonces p = 425 / 1000 = 0,425. Esto significa que el 42,5 % de las personas satisfacen dicho evento.

nmero de casos favorables tamao de la muestra

INFERENCIA ESTADISTICA La distribucin de una proporcin muestral, se define de una manera anloga a a la distribucin de media, o sea: Muestra 1---- p1 Muestra 2---- p2 Muestra 3---- p3

Muestra 252---- p252 De esta forma: p1 , p2 , p3 ,..., p252 corresponden a la distribucin de una proporcin muestral. De acuerdo a lo expuesto, la distribucin muestral de proporciones corresponde a una distribucin de probabilidad de todas las proporciones posibles de las muestras, para un tamao n determinado. Los parmetros que definen esta distribucin vienen dados por:

p = p = P X =p.q n N n N 1 para poblacione s finitas

X =

p.q para poblacione s infinitas n

Para el clculo de probabilidades relativa a proporciones, se trabaja de manera anloga al caso de la distribucin muestral de medias. Ejemplo: Un encuestador sabe que en cierta rea el 20 % est a favor de las emisiones en bonos. Considerando una muestra de 64 personas, hallar la probabilidad de que la proporcin muestral difiera de la proporcin real a lo sumo en un 0,06.

Solucin:p = 0.20 proporcin de personas de la poblacin que estn a favor de la emisin

p = proporcin de personas de la muestra que estn a favor de la emisinentonces nos estn pidiendo la siguiente probabilidad:

P ( p p 0,06) = P

0,06 p p 0,2.0,8 p.q 64 n

0,06 = P ( 0,27 Z 0,27 ) = 0,20 4 0,2.0,8 64

INFERENCIA ESTADISTICA ESTIMACION DE PARAMETROS a) ESTIMACIN PUNTUALPara estimar un parmetro de una poblacin se toma una muestra representativa

de la misma y se calcula el estadstico , el valor del estadstico se conoce como laestimacin puntual del parmetro . Por ejemplo,

Parmetro= = =p = 1 2

Estimacin puntual

= X (media muestral)

= S (varianza muestral) = p (proporcin muestral)X 1 X 2 (diferencia muestral de medias)

b) ESTIMACIN POR INTERVALOS DE CONFIANZAEn la seccin anterior se habl sobre la estimacin puntual, una de sus desventajas es el hecho de no saber que tan prxima est del parmetro, es decir, cuando se obtiene una estimacin , a partir de una muestra aleatoria de tamao n, se desconoce que tan

cerca (por defecto o exceso) est del parmetro a estimar . Por eso se utiliza frecuentemente otro tipo de estimacin, la estimacin por intervalos, la cual nos

permite de acuerdo a un nivel de confianza especificado obtener una informacin ms precisa sobre el parmetro a estimar.

1. Intervalo de confianza para medias con n 30 (grandes muestras):

x z / 2

n

, x + z/2

n

es una estimacin por intervalo de la media de la

poblacin para un nivel de confianza del (1-)%; por ejemplo, si se define un nivel de confianza del 95 %, esto significa que por cada 100 muestras de tamao n 30 en 95 de ellas la media de la poblacin cae dentro de este intervalo.

INFERENCIA ESTADISTICA Intervalo de confianza para medias con n < 30 (pequeas muestras):Se utiliza la t de Student para estos casos y cuando se desconoce la desviacin de la poblacin, utilizando la siguiente expresin:

x t / 2

S S , x + t/2 n n

Es una estimacin por intervalo de la media de la poblacin para un nivel de confianza del (1-)%.

Intervalo de confianza para diferencias de medias (1 - 2 ):a) si n >30 (grandes muestras) se usa la distribucin normal:

2 2 2 2 (1 - 2) ( X X ) Z . 1 + 2 , ( X X ) + Z . 1 + 2 1 2 1 2

2

n1

n2

2

n1

n2

b) si n < 30 (pequeas muestras) se usa la t de Student:

2 2 2 2 (X X ) t . S p + S p , (X X ) + t . S p + S p 2 1 2 (1 - 2) 1 n1 n2 n1 n2 2 2 para un nivel de confianza del (1 - )% y v = n 1 + n 2 2 g.l.

(n 1) S1 + (n2 1) S 2 donde S p = 1 n1 + n2 2 Intervalo de confianza para proporciones ( p ):2 2 2

a) grandes muestras: p.q p.q p p Z . , p + Z . n n 2 2

INFERENCIA ESTADISTICA b) pequeas muestras:

p.q p.q p p t . , p + t . n n 2 2

Intervalo de confianza para varianzas:

(n 1) S 2 (n - 1)S 2 , 2 2 1 2 22

Ejemplos:

1. Un fabricante de monitores prueba dos diseos de microcircuitos paradeterminar si producen un flujo de corriente equivalente: Diseo 1 Diseo 2 n1= 18 n2 =20 X 1 =24.2 X 2 =23.9 S12 = 10 S22 = 20

Hallar un intervalo de confianza con un nivel de confianza del 98 % para: a) el flujo medio del diseo 1 y diseo 2. b) La diferencia media del flujo entre los dos diseos. c) La variabilidad del diseo 1 y diseo 2.

Solucin: a) para un nivel de confianza del 98 % se tiene que = 1 0,98 = 0,02 y0,01. /2 =

-

diseo1, como n = 18 < 30, entonces para v = 17 grados de libertad se tiene

que t = t 0.01 = 2.567 y se emplea la frmula2

x t / 2

S n

, x + t /2

S 3.16 3,16 , 24.2+ 2.567 = 24.2 2.567. n 18 18

= (20.38 , 26.11)

Esto significa, que por cada 100 muestras de tamao n =18 en 98 de ellas la media poblacional cae dentro de este intervalo.

-

INFERENCIA ESTADISTICA diseo 2, como n = 20 < 30, para v = 19 g.l. se tiene que t = t 0.01 = 2.539 por lo2

tanto

x t / 2

S n

, x + t /2

S 4.47 4,47 , 24.2+ 2.539 = 24.2 2.539. n 20 20

) = (21.661 , 26.739

b) para la diferencia de flujo medio (1 - 2 ), como n = 18+20 2 = 36 > 30 , se tiene que Z = 2.33 y se utiliza la frmula2

2 2 2 2 (1 - 2) ( X 1 X 2 ) Z . 1 + 2 , ( X 1 X 2 ) + Z . 1 + 2 n1 n2 n1 n2 2 2

10 20 10 20 ( 24.2 23 .9 ) 2.33. = (0.3 - 2.90 , 0.3 + 2.90 ) = ( 2.6 , 3.2 ) + , ( 24.2 23 .9 ) + 2.33. + 18 20 18 20

Se concluye que por cada 100 muestras de tamao n1 =18 y n2 =20 en 98 de ellas la diferencia de medias poblacionales (1 - 2 ) est dentro de este intervalo.2 2 c) diseo 1, con v = 17 g.l. se tiene = 0.01 = 33,41 2 2 y 2 = 0.99 = 6,41 12

usando la relacin:

(n 1) S 2 (n - 1)S 2 , 2 2 1 2 22

17.10 17 .10 , = (5.09 , 26.52) = 33,41 6,41

Por cada 100 intervalos de tamao n = 18 en 98 de ellos la varianza poblacional 2 cae dentro de este intervalo.

INFERENCIA ESTADISTICA PRUEBA DE HIPTESISPara probar una hiptesis relativa a un parmetro se debe proceder de la siguiente manera:

Definir la hiptesis nula H0 : (se considera la aseveracin del fabricante)H0: = 0 2. Establecer la hiptesis alternativa: Ha: 0 (prueba de dos colas o bilaterales) Ha: > 0 (prueba de cola derecha o unilateral) Ha: < 0 (prueba de cola izquierda o unilateral) Nota: La hiptesis alternativa se escoge de acuerdo a cada problema en particular. Por ejemplo: supongamos que un fabricante de bombillos asegura que su producto tiene una duracin promedio de 2000 horas. Por lo que el dueo de una ferretera quiere contrastar esta aseveracin. Para esto se deben definir la hiptesis nula y alternativa: H0: = 0 = 2000 h Ha: < 0 =2000 (prueba de cola izquierda)

Se selecciona esta hiptesis alternativa ya que si la duracin promedio es mayor que 2000 h, entonces esta hiptesis no es antagnica con H0, es decir, es mejor para el dueo de la ferretera.

3. Definir el nivel de significacin: Para realizar una prueba de hiptesis relativa a un parmetro, se debe fijar el nivel de confianza (1-) % , de aqu definimos el nivel de significacin como el valor de . Si el nivel de confianza es del 95 %, 1- = 0,95 de donde =0,05.

INFERENCIA ESTADISTICA Calcular el Estadstico de Prueba:HIPOTESIS NULA ESTADISTICO DE PRUEBAGrandes muestras Pequeas muestras

H0: = 0 (para medias)

z=

x

t=

x S n

n

H0: 1 - 2 = 0 (diferencia de medias)

Grandes muestras

z=

( x1 x2 ) ( 1 2 )

12n1

+

2 2

n2

Pequeas muestras

t=

( x1 x 2 ) ( 1 2 )2 Sp

n1

+

2 Sp

n2

H0 : 2 = 02 (para varianzas)

2 =F=

(n 1) S 2

2

H0 : 12 = 22 (igualdad de varianzas)

2 (nM 1) S M (nm 1) S m

2 S M : var ianza mayor

S2 : varianza menor mH0 : P = P 0 (para proporciones)

z=

p p

p p.q n

p = p P =

H0 : P1 P2 = 0 (diferencia de proporciones)

INFERENCIA ESTADISTICA

INFERENCIA ESTADISTICA

ya que el rea de las colas est muy cercana a cero (0,0000892649) entonces los valores de < 0,0000892649 permiten aceptar la hiptesis nula; por lo que el valor p = > 0,0000892649 permiten rechazar H0. Por lo tanto, es evidente que para niveles de significacin del 1% ( =0,01), 5% (=0,05),10% (=0,1) se rechaza H0. En conclusin se rechaza la hiptesis nula de que la conductividad trmica del ladrillo es igual a 0,36; es decir, se acepta la alternativa de que es diferente.

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2. Se analizan dos catalizadores para determinar la forma en que se afectan el rendimiento medio de un proceso qumico. De manera especfica el catalizador 1 es el que se est empleando en este momento, pero el catalizador 2 es ms econmico. Los datos de rendimiento de un catalizador se muestran a continuacin:

Catalizador 1 91.5

94.18 92.18

95.39 91.79

89.07 94.72 89.21

Catalizador 2 89.19 90.95 92.75

90.46 93.21

97.19

97.04

91.07

Existe alguna diferencia entre los rendimientos medios. Hallar el valor p. Explique sus conclusiones. Solucin: - formulacin de hiptesis H0: 1 - 2 = 0 Ha: 1 - 2 0 - clculo del estadstico de prueba primero se calculan los estadsticos para la poblacin 1 y 2 respectivamente:

x1 = 92,255

2 S1 = 2,39

x 2 = 92,7325 S 2 = 2,98 2

2 luego S p =

7 . 2,39 + 7 . 2,98 = 2,69 , entonces se tiene que: 14

t=

( x1 x 2 ) ( 1 2 )2 Sp

n1

+

2 Sp

=

- 0,1775 2,69 2,69 + 8 8

= 0,6725

n2

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El valor p nos define los para el cual se rechaza H0. Considerando v = 14 g.l. y el estadstico = -0,67 como valor crtico, se tiene que el rea a la izquierda de 0,67 y a la derecha de 0,67 es igual a 0,255. Por lo que, el valor p = > 0,255, en consecuencia, la hiptesis nula se rechaza para > 0,255. De manera particular, se tiene que para los valores usuales de = 0,01, =0,05 y = 0,1. La hiptesis nula H0 no se rechaza (se acepta). Por tanto, se concluye

que para estos niveles de significacin la diferencia del rendimiento medio no es estadsticamente significativa. Tamao de la Muestra. La clave del problema estriba en escoger una muestra cuyo seleccin garantice la representatividad de la poblacin objeto de estudio. En los estudios socio-econmicos, una muestra de un 30% de la poblacin, tiene un elevado nivel de representatividad (Ramrez 1995); sin embargo, esta representatividad depende mayormente, del tipo de muestreo. Obviamente, que el trabajar con muestras, por muy confiables que sean, no se obtiene el 100% de exactitud, sin embargo, ese pequeo error que acompaa siempre a los estudios por muestreo, es compensado con el tiempo y costo ahorrado al trabajar con grupos pequeos en vez de toda la poblacin.

Determinacin del Tamao de la Muestra en una poblacin, cuando se utilizan proporciones:

Z n= 2 Donde: n: Tamao de la muestra

. p.q

2

Z/2: Valor terico en funcin del nivel de confianza, para 99 %, Z/ 2 = 2,56 y para el 95%, Z/2 =1,96: error de muestreo

P: Nmero de veces que se produce un evento en % Q: Es el porcentaje complementario de P Ejemplo: Opinin de los electores sobre gestin de gobierno. Se realiz un estudio piloto de 150 electores donde 60 opinan favorablemente. A cuantas personas es necesario encuestar si se desea un nivel de confiabilidad de 99 % y un error de muestreo +/- 1.5%.

Entonces se tiene:

Z n= 2

. p.q

2

El valor de P viene dado por:

P = 60 / 150 X 100 = 40%, por lo tanto Q = 100 - 40 = 60%.

2,56 De esta forma se tiene: n = . 0,4. 0,6 = 6.991 . 0,015

2

Es necesario

encuestar a 6.991 personas para alcanzar cierta confiabilidad en los resultados.

En el caso de una Poblacin Infinita con 95 % de Confiabilidad.

Utilizando el ejemplo anterior, se tiene:

1,96 n= . 0,4. 0,6 = 4098 0,015

2

Al bajar el coeficiente o el nivel de confiabilidad, tambin baja el tamao de la muestra.

INFERENCIA ESTADISTICA En el caso de que no exista un Estudio Piloto.

A los valores de P y Q se les asigna el valor de 50% a cada uno y es lo que se denomina Condiciones desfavorables de muestreo. En el caso del ejemplo citado el tamao de la muestra viene determinado de la siguiente manera:

1,96 n= . 0,5. 0,5 = 4.268 0,015 Esto quiere decir que habr que encuestar a 4.268 personas.

2

En el caso de poblaciones finitas, el modelo matemtico difiere con el de las poblaciones infinitas:n= Z / 2 . p.q.N ( n 1) + Z / 2 . p.q2

Donde: N es el tamao de la poblacin y n el tamao de la muestra.

Se puede aplicar en el siguiente caso: Conocer la opinin de los miembros de un sindicato, ante un nuevo contrato colectivo. Compuesto por 3.257 obreros. Cuntas obreros se deben entrevistar para obtener un nivel de confianza de 99 % y un error de muestreo de +/- 3%, en condiciones desfavorables?n= 2,562 . 0,5 . 0,5. 3257 = 1.168 0,032 (3257 1) + 2,562.0,5.0,5

Se requieren encuestar a 1.168 obreros, para lograr cierto grado de Confianza.

INFERENCIA ESTADISTICA Determinacin del Tamao de la Muestra en una poblacin para medias. En este caso se utiliza la relacin:

Z . n= 2

2

Ejemplo: Se quiere estudiar la vida til media de una marca de neumticos. Si sabe por estudios anteriores que la desviacin estndar es de 800 Km . Determinar el tamao de la muestra requerido para un nivel de confianza del 95 %, fijando un error de 40. Sustituyendo los valores se tiene

1,96. 800 1568 n= = = 1536,64 1537 neumticos 40 40

2

2

En conclusin, la validez en la investigaciones de negocios, est muy relacionada con la confiabilidad del muestreo y una muestra confiable est en funcin del tipo de poblacin a estudiar ( finitas o infinitas); asi mismo, en cuanto al nivel de confiabilidad, sta ser mayor si la muestra es mayor y en relacin al error de muestreo, ste ser menor cuando la muestra es mayor. Para determinar el tamao de la muestra de una forma mas rpida y prctica, se han diseado las Tablas de Harvard, las cuales permiten calcular, rapidamante el tamao de la muestra a tomar, en funcin del error de muestreo, niveles de confiabilidad y posibles valores de P y Q.

Para profundizar en este aspecto de muestreo, se recomienda consultar los textos especializados en estas reas. Pues una vez determinado el tamao de la muestra el paso siguiente que se plantea es lo relacionado al tipo de muestreo que se va a utilizar para escoger los elementos que integran a la muestra y sto es un amplio e interesante tema a tratar.

INFERENCIA ESTADISTICA AJUSTES DE CURVAS.Cuando se quiere estudiar la relacin entre variables se puede recurrir a dos tipos de modelos: a) modelo determinstico, la relacin viene definida a travs de una frmula. Por ejemplo, sea y = x2, entonces se dice que y est en funcin de x, donde y se conoce como variable dependiente y x variable independiente. La caracterstica fundamental de este modelo es que para un valor particular de x siempre obtenemos el mismo resultado en y, esto significa que la relacin entre las variables es perfecta. Ver grfica.

b) modelo probabilistico, la relacin entre las variables no es perfecta, ya que debido a una perturbacin aleatora (ruido) a veces para un mismo valor de la variable independiente x se obtienen valores diferentes para y. En este caso, no se obtiene una curva sino un diagrama de dispersin. Considerando el ejemplo anterior, y = x2 + donde es un ruido. Ver grfica.

Por tanto, los modelos probabilsticos son tiles cuando se realizan investigaciones del tipo experimental donde a pesar de mantener fijo los valores de la variable independiente ocurren fluctuaciones debido fundamentalmente a errores de medicin, de los equipos, etc. En el presente trabajo estamos interesados en este tipo de modelos. A continuacin mencionamos los modelos de ajustes ms usados:

INFERENCIA ESTADISTICA Regresin simple: Se define como la curva que optimiza (minimiza), mediante el mtodo de los mnimos cuadrados, los saltos o fluctuaciones de los datos. Es decir, es la curva que mejor ajusta los valores del diagrama de dispersin convirtiendo el modelo probabilstico en un modelo determinstico con la finalidad de realizar predicciones. De igual forma, la curva de regresin permite modelar la tendencia de los valores. Los modelos de regresin simple vienen definidos por y = f(x)+. A continuacin veamos los distintos modelos con su respectivo ajuste o curva de regresin: Modelos Probabilsticos Curva de Regresin

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