TEORÍA DE PLACAS - Calculo Estructural II (IM-IME ... · PDF fileCompendio de...

Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015

65

Capítulo 4

TEORÍA DE PLACAS

1 INTRODUCCIÓN Se considera como lámina al sólido tridimensional donde una de las dimensiones, el espesor, es

mucho menor que las otras. Se pueden considerar dos casos: láminas planas, que llamaremos placas, y láminas curvas que llamaremos cáscaras.

Para las placas adoptamos un sistema de referencia cartesiano ortogonal que sitúa los ejes x1 y x2 en coincidencia con el plano medio de la placa de espesor h y el eje x3 perpendicular a dicho plano y hacia abajo como se indica en la Figura 1.

Figura 1: Ejes coordenados ubicados sobre el plano medio de la placa

Los puntos ubicados sobre el plano medio quedan definidos por las coordenadas x1 y x2.

( )1 2,P x x (1)

Los puntos fuera del plano medio se denotan con un asterisco y están relacionados con el punto del plano medio ubicado sobre la normal a través de la coordenada x3:

3( , )P P x∗ (2)

Las fuerzas másicas, Fi, (fuerzas por unidad de volumen) se integran en el espesor resultando fuerzas por unidad de superficie, pi, que se suman a las fuerzas de borde.

3

3

/2

3/2; 1,2,3

x h

i ix hp F dx i

=

=−= =∫ (3)

2 RELACIONES CINEMÁTICAS

Para reducir el problema tridimensional a un problema de dos dimensiones es necesario hacer varias hipótesis simplificativas. 1) Los desplazamientos son pequeños:

31 21 1 1uu uh h h

∗∗ ∗

< < < (4)

Esta hipótesis permite utilizar el tensor lineal de deformaciones .ijε 2) Las condiciones geométricas de contorno permiten desplazamientos en el plano medio de la placa.

Las hipótesis 1 y 2 permiten desacoplar el problema de la placa en su plano del problema de la flexión.

3) Las fibras rectas y normales al plano medio de la placa permanecen rectas y normales al plano medio deformado y no cambian de longitud.


66

Figura 2: Tramo de placa y su posición deformada donde se indican los desplazamientos

Según se puede observar en la Figura 2 los desplazamientos membranales de un punto genérico P* están relacionados con los desplazamientos membranales del punto P ubicado sobre el plano medio: 3 1, 2i i iu u x iβ∗ = + = (5) donde por definición:

3 1, 2ii

u ix

β∂

= − =∂

(6)

Además se supone que: 3 3u u∗ = (7)

La hipótesis 3 se debe a Kirchhoff y es similar a la hipótesis de Navier para vigas en flexión.

En conclusión los desplazamientos son:

3 31 1 3 2 2 3 3 3

1 2

; ;u uu u x u u x u ux x

∗ ∗ ∗∂ ∂= − = − =

∂ ∂ (8)

Estos desplazamientos se utilizan para determinar el tensor lineal de deformaciones:

12

jiij

j i

uux x

∗∗∗ ∂∂

= + ∂ ∂ ε (9)

Recordando que los desplazamientos del plano medio u1, u2 y u3 son sólo funciones de x1 y x2 se tiene:

2 23 31 1 2

3 321 1 2 1 1 2

232

3 22 2

12 0

0

0

ij

u uu u ux xx x x x x x

uu xx x

simétrica

ε ∗

∂ ∂∂ ∂ ∂− + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂∂ = −

∂ ∂

(10)

La aplicación de la hipótesis de Kirchhoff implica que las deformaciones por corte trasversal a la placa son nulas ( 13 23 0ε ε∗ ∗= = ), como se observa en (10). Esta aparente contradicción puede subsanarse como en la teoría de vigas calculando los esfuerzos de corte a partir de las ecuaciones de equilibrio. (Esto último implica usar (20) y (21) como definición de los esfuerzos de corte ).


67

Definiendo las curvaturas χij como:

2 2 2

3 3 311 22 122 2

1 2 1 2

u u ux x x x

∂ ∂ ∂= − = − = −

∂ ∂ ∂ ∂χ χ χ (11)

podemos reducir las ecuaciones cinemáticas (10) a sólo tres ecuaciones:

3ij ij ijx∗ = +ε ε χ ; 1, 2i = (12)

donde εij es el tensor lineal de deformaciones para puntos del plano medio.

3 ECUACIONES DE EQUILIBRIO Se hace una hipótesis adicional referida a las tensiones, que permite reducir el problema:

33 0σ = (13)

Esta hipótesis es coherente con el hecho de suponer que los desplazamientos 3*u son constantes

en el espesor según (8) y con la integración de las fuerzas másicas en el espesor según (3) para el caso i = 3 Sin embargo existiría cierta contradicción con (10) según el cual 33 0ε ∗ = pero debemos recordar que en lo sucesivo consideraremos sólo las relaciones cinemáticas (12) que no contienen tal limitación.

La ecuación (13) hace imposible distinguir si la carga de borde actúa por arriba o por debajo de la placa, de todas maneras este hecho no tiene mayor importancia, como tampoco lo tiene en teoría de vigas.

3.1 Esfuerzos resultantes En la teoría de vigas en flexión se determina el esfuerzo axial en una sección dada, integrando

las fuerzas debidas a las tensiones normales a lo largo de toda el área de la sección. De igual manera se determina el momento flector como un efecto integrado del momento de las fuerzas asociadas a las mismas tensiones normales.

De una manera similar en la teoría de placas se definen los esfuerzos resultantes por unidad de longitud integrando las fuerzas y los momentos actuantes a lo largo del espesor de la placa.

3

3Fuerzas por unidad de longitud ij ijxN dxσ→ = ∫ (14)

3

3 3Momentos por unidad de longitud ij ijxM x dxσ→ = ∫ (15)

donde: 3

3 3

/2

/2

x h

x x h

=

=−=∫ ∫ (16)

Notar que σij es función de x1, x2 y x3 y por lo tanto al integrar según x3 se obtienen los esfuerzos Nij y Mij que son sólo funciones de x1, y x2.

Teniendo en cuenta la simetría del tensor σij solo quedan seis Nij distintos. Recordando que según (13) σ33= 0 se reducen a sólo cinco. Dos de ellos son fuerzas normales, N11 y N22 y los tres restantes son fuerzas cortantes: N12, N13 y N23

Además, debido a la simetría de σij, los momentos (15) se reducen a seis; como σ33= 0 se elimina M33 y como el brazo de palanca x3 es nulo para σ13 y σ23 se eliminan M13 y M23. Los momentos son entonces tres: dos momentos flectores, M11 y M22 y un momento torsor M12.

Resulta conveniente definir como momento flector positivo al que tracciona las fibras inferiores, coincidiendo así con el sentido positivo adoptado para los giros ( los giros son positivos cuando el vector que los representa tiene el sentido positivo de los ejes).


68

Figura 3: Relación entre los momentos torsores M12 y M21

Para los momentos torsores, a fin de mantener la convención anterior y además respetar la reciprocidad (ver Figura 3), adoptamos:

3

12 12 3 3 21 12;x

M x dx M Mσ= − = −∫ (17)

En resumen los ocho esfuerzos resultantes se pueden agrupar según el efecto que producen en la placa como se indica a continuación en esfuerzos membranales y flexionales. Dibujamos solamente el plano medio. (Notar que h >> dx1 y que h >> dx2 ).

3.1.1 Esfuerzos membranales

Considerando equilibrio según x1, y x2 en la Figura 4 y simplificando se tiene:

11 121

1 2

0N N px x

∂ ∂+ + =

∂ ∂ (18)

22 122

2 1

0N N px x

∂ ∂+ + =

∂ ∂ (19)

donde se consideró N21 = N12, p3 = 0 y σi 3 = 0.

Figura 4: Esfuerzos membranales actuando sobre el plano medio del elemento infinitesimal de placa


69

3.1.2 Esfurzos flexionales

Observando la Figura 5, considerando equilibrio de momentos con respecto a x1, y x2, equilibrio de fuerzas según x3, despreciando infinitésimos de orden superior y simplificando se obtiene:

11 2113

1 2

0M M Nx x

∂ ∂+ − =

∂ ∂ (20)

21 2223

1 2

0M M Nx x

∂ ∂+ − =

∂ ∂ (21)

13 233

1 2

0N N px x

∂ ∂+ + =

∂ ∂ (22)

donde se consideró M12 = −M21, p1 = 0 y p2 = 0.

Figura 5: Esfuerzos flexionales actuando sobre el elemento infinitesimal de placa

4 ECUACIONES CONSTITUTIVAS Si se utiliza material elástico, lineal, isótropo y homogéneo podemos utilizar la ecuación

(133) del Capítulo 1. Considerando σ33 = 0 dado en (13), puede despejarse ε33 en función de ε11 y ε22 y ser sustituido en las expresiones para σ11 y σ22 lo que permite escribir:

( )11 11 2221E vσ ε εν

∗ ∗= +−

( )22 22 1121E vσ ε εν

∗ ∗= +−

(23)

12 1221Eσ εν

∗=−

Las ecuaciones (23) son válidas para un punto P* de la placa y pueden integrarse a lo largo del espesor. En el primer miembro según la definición (14) se obtiene una fuerza por unidad de longitud Ni j . En el segundo miembro considerando las ecuaciones cinemáticas (12) se tienen integrales del tipo

3 3 33 3 3 3ij ij ijx x x

dx dx x dxε ε χ∗ = +∫ ∫ ∫ (24)


70

4.1 Estado membranal Teniendo en cuenta que en el estado membranal (estado plano), 3 0u ≡ y considerando la

definición de las curvaturas (11) resulta:

0 ; 1, 2ij i= =χ (25)

Teniendo en cuenta (14), (24) y (25), se pueden integrar las ecuaciones constitutivas (26) llegando a: ( )11 11 22N C= +ε ν ε

( )22 22 11N C= +ε ν ε (26)

( )12 121N C= −ν ε

que es la versión integrada de las ecuaciones constitutivas para el estado plano caracterizado por (25), donde:

21E hC =−ν

(27)

es la rigidez membranal por unidad de longitud, que es el equivalente al AE de las vigas.

4.2 Estado flexional Teniendo en cuenta que el estado membranal se considera en forma independiente podemos

considerar al estado flexional como caracterizado por:

0 ; , 1, 2ij i jε = = (28)

Si en ambos miembros de las ecuaciones constitutivas (23) se multiplica por x3 y se integra en el espesor h de la placa se tiene:

1) En los primeros miembros según (15) se obtienen los momentos resultantes por unidad de longitud , 1,2ijM i j = .

2) Considerando (12), en el segundo miembro se obtienen integrales del tipo:

3 3 3

23 3 3 3 3 3ij ij ijx x x

x dx x dx x dxε ε χ∗ = +∫ ∫ ∫ (29)

según (28) εij =0 por lo tanto (29) queda:

3

/23 33

3 3/23 12

h

ij ij ijxh

x hx dxε χ χ−

∗ = =∫ (30)

Teniendo en cuenta(15) y (30) pueden integrarse las ecuaciones constitutivas (23) llegando a:

( )11 11 22M D= +χ ν χ

( )22 22 11M D= +χ ν χ (31)

( )21 121M D= − −ν χ

que es la versión integrada de las ecuaciones constitutivas para el estado flexional caracterizado por (28), donde:

( )3

212 1E hD =−ν

(32)

es la rigidez flexional de la placa por unidad de longitud, que es el equivalente al EI de las vigas.


71

5 FORMULACIÓN DIFERENCIAL DEL MÉTODO DE RIGIDEZ Sustituyendo las ecuaciones cinemáticas en las ecuaciones constitutivas y reemplazando luego

el resultado en las ecuaciones de equilibrio se obtienen las ecuaciones diferenciales de equilibrio en función de los desplazamientos.

5.1 Estado membranal: = 0ijχ Haciendo χij = 0 en las ecuaciones cinemáticas (12) y recordando la definición del tensor

lineal de deformaciones resulta:

12

jiij ij

j i

uux x

∗ ∂∂= = + ∂ ∂

ε ε (33)

Reemplazando (33) en (26) y luego reemplazando las fuerzas resultantes Nij (i , j = 1, 2) en las ecuaciones de equilibrio (18) y (19), resultan dos ecuaciones en derivadas parciales:

2 2 2 2

1 2 2 1 12 21 1 2 1 2 2

1 02

u u u u px x x x x x C

∂ ∂ ∂ ∂−+ + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

νν (34)

2 2 2 2

2 1 1 2 22 22 1 2 1 2 1

1 02

u u u u px x x x x x C

∂ ∂ ∂ ∂−+ + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

νν (35)

La formulación del problema debe completarse dando las condicionas de borde.

Figura 6: Ejemplo de condiciones de borde de un estado membranal de una placa rectangular

Sea, por ejemplo, el caso de la Figura 6. Para el borde libre x1 = a empleando (26) se tiene:

1

1

11

1

12

1 21 2

1 22 1

0 0

0 0

x a

x a

u ux x

u ux x

N

x aN

=

=

∂ ∂∂ ∂

∂ ∂∂ ∂

= → + = = = → + =

ν

[ ]

[ ]

2

2

1 0

2

2 0

0

0

0

x

x

u

xu

=

=

== =

(36)

mientras que en x2 = 0 la placa está impedida de desplazarse en el plano. Se sugiere al lector completar las condiciones de borde (36).

Encontrar la solución del sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (31) que cumpla las condicionas de borde del tipo (36) resulta casi imposible aún en un caso aparentemente simple como el de la Figura 6. La solución existe pero no somos capaces de encontrar una represen-tación analítica.

En general, se encuentran soluciones aproximadas por vía numérica utilizando técnicas tales como diferencias finitas o elementos finitos.

Más adelante, en el Capítulo 11, se desarrolla en detalle el método de elementos finitos para estados planos de modo que no nos ocupamos de ese tema en el presente capítulo.


72

5.2 Estado flexional: 0ijε = Despejando los esfuerzos cortantes en (20) y (21), derivando respecto de x1 en (20) y respecto

de x2 en (21) se obtiene:

2 2

13 11 212

1 1 1 2

N M Mx x x x

∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂ (37)

2 2

23 21 222

2 1 2 2

N M Mx x x x

∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂ (38)

Reemplazando (37) y (38) en (22) se tiene:

2 2 2

11 12 2232 2

1 1 2 2

2 0M M M px x x x

∂ ∂ ∂+ + + =

∂ ∂ ∂ ∂ (39)

Reemplazando en (31) las curvaturas según su definición (11) y luego reemplazando en (39) se obtiene una ecuación diferencial en derivadas parciales de 4º orden:

4 4 4

3 3 3 34 2 2 41 1 2 2

2u u u px x x x D

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂ ∂ (40)

que es la ecuación diferencial de la placa en flexión derivada por primera vez por Navier en 1820. Utilizando al operador bilaplaciano,

43u∇ , se nota la similitud con la ecuación diferencial

para vigas:

Placa → 4 33

puD

∇ = Viga → 4

4

y qx EI

∂=

∂ (41)

La formulación del problema debe completarse fijando las condiciones de borde. Por ejemplo sea el caso de la Figura 7.

Figura 7: Ejemplo de condiciones de borde de un estado flexional de una placa rectangular

1) Bordes empotrados: no hay desplazamiento transversal ni giro.

[ ]1

1

31 3

10

0

0 0 0xx

ux ux=

=

∂= → = = ∂

(42)

[ ]2

2

32 3

20

0

0 0 0xx

ux ux=

=

∂= → = = ∂

(43)

2) Borde apoyado: no hay desplazamiento transversal y se anula el momento flector por unidad de longitud M11. Según (31) y (11) se tiene:

[ ] ( )1 1

1

2 23 3

11 11 22 2 21 2

0x a x ax a

u uM D Dx x= =

=

∂ ∂= + = − + = ∂ ∂

χ ν χ ν (44)


73

La ecuación (44) puede independizarse del material. A lo largo del apoyo ( )3 2, 0u a x ≡

1

23

3 22

0 0x a

uux =

∂= → = ∂

entonces (44) queda → 1

23

21

0x a

ux =

∂= ∂

(45)

Resumiendo, para el borde apoyado x1 = a, según (44) y (45) se tiene:

1x a= → [ ]1

1

2 23 3

3 2 21 2

0 0x ax a

u uux x=

=

∂ ∂= + = ∂ ∂

(46)

3) Borde libre: son nulos los esfuerzos resultantes

2x b= → 22 21 230 0 0M M N= = = (47)

Estas tres condiciones no pueden ser independientes porque al ser la ecuación diferencial de 4º orden permite imponer solo dos condiciones en cada extremo. Esta situación se resuelve definiendo el “corte efectivo” que relaciona el momento torsor M21 con el corte N23. Teniendo en cuenta el principio de Saint Venant se pueden reemplazar los momentos torsores infinitesimales por cuplas, también infinitesimales como se indica en la Figura 8.

Figura 8: Reemplazo de momentos torsores infinitesimales por cuplas infinitesimales

Según se observa en la Figura 8-b se puede definir un corte equivalente al momento torsor y con él se define el corte efectivo:

2x b= → ( )2

21 2123 23 23efectivo

1 1 x b

M MN N Nx x =

∂ ∂= → = + ∂ ∂

(48)

Recordando que los esfuerzos cortantes se calculan a partir de los momentos en la ecuación de equilibrio puede reescribirse (48) considerando (21), (31) y (11) como:

( ) ( )3 3

3 321 22 21 21 2223 2 3efectivo

1 2 1 1 2 1 2 2

2 2 u uM M M M MN Dx x x x x x x x

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + = + = − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

ν (49)

La condición M22 conduce a una condición similar a (42) y (43) para el borde apoyado. En resumen considerando (49), (42) y(43) se tiene para el borde libre:

( )2 2

3 3 2 23 3 3 3

2 3 2 2 22 1 2 1 2

2 0 0x b x b

u u u ux bx x x x x= =

∂ ∂ ∂ ∂= → + − = + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

ν (50)

La solución de la ecuación diferencial de la placa en flexión (40) que satisfaga las condicionas de borde del tipo descripto en (42), (43), (46) y (50) resulta imposible de lograr en forma analítica aún en casos aparentemente sencillos en cuanto a la carga p3 y a las condiciones de borde.

En general se obtienen soluciones numéricas aproximadas mediante técnicas tales como diferencias finitas o elementos finitos.

No obstante, como se ve en la Sección siguiente, existen algunos casos particulares, pero de mucha aplicación práctica para los cuales la solución se conoce en forma exacta o casi exacta y se encuentra tabulada.


74

6 SOLUCIONES TABULADAS Para los casos prácticos más frecuentes se han tabulado los resultados. En el manual

“ROARK’s Formulas for Stress and Strain” se dan fórmulas para las tensiones y desplazamientos para diversas condiciones de apoyo y de cargas, para placas de espesor constante y de forma circular, anular, elíptica, rectangular, etc., tanto para pequeñas como para grandes deformaciones.

A continuación se presentan varios casos de interés práctico.

6.1 Placas con carga transversal uniformemente repartida q = cte.

6.1.1 Pequeños desplazamientos (wmáx < 0,5 h ) - Caso lineal

En este caso el efecto membranal es despreciable y se utilizan las siguientes fórmulas:

4

máxw q ch E h

=

δ (51)

2

máxcqh

=

σ β (52)

donde: c lado menor de la placa.

h espesor.

σ tensión máxima.

E módulo de elasticidad.

ν módulo de Poisson.

q carga transversal uniforme por unidad de área.

wmáx desplazamiento transversal máximo de la placa.

Los coeficientes δ y β para ser usados en (51) y (52) se obtienen de la Tabla 1 en la página siguiente y de la Tabla 6 al final del capítulo para el caso ν = 0,3; en esas tablas se encuentran tabulados los valores de δo , 1/βc y 1/βe que permiten calcular δ, βc y βe :

δ = (1− ν2)/ δo se usa en (51) para determinar el desplazamiento transversal máximo.

βc se usa en (52) para hallar la tensión en el centro de la placa.

βe se usa en (52) para hallar la tensión en el centro del borde empotrado.

Las mayores tensiones ocurren en el borde empotrado donde se utiliza βe.

a) En el caso de materiales dúctiles podemos admitir cierta plastificación localizada en el empotra-miento y diseñar utilizando en la ecuación (52) un βp promedio:

( )12p c e= +β β β (53)

b) En el caso de materiales frágiles debe utilizarse siempre βe .

c) En el caso de carga repetida (fatiga) debe utilizarse siempre βe .

Para grandes deformaciones (wmáx > 0,5 h ) los valores dados por (51) y (52) son demasiado conservativos, por ello resulta conveniente encarar un análisis no lineal como se ve más adelante.


75

Tabla 1: Pequeñas deflexiones: wmáx < 0,5 h

6,37

+ 5

,91

α +

8,63

α4


76

6.1.2 Grandes desplazamientos (wmáx > 0,5 h ) - Caso no lineal Cuando se producen grandes deflexiones la placa desarrolla su capacidad de resistir membra-

nalmente (como los cables) . La placa aumenta su rigidez al poder equilibrar la carga en parte por tracción (además de la flexión). El problema es altamente no lineal.

Figura 9: Tensión máxima en la placa en función del desplazamiento máximo

Figura 10: Carga soportada por la placa en función del desplazamiento máximo

Figura 11: Tensión máxima en la placa en función de la carga creciente

Una buena aproximación para calcular la tensión adimensionalσ en función del desplazamiento máximo adimensional w se logra agregando un término cuadrático. Ver Figura 9 y ecuación (56).

Para la calcular la carga adimensional q en función del desplazamiento máximo adimen-sional w conviene agregar un término cúbico. Ver la Figura 10 y la ecuación (55).

En la Figura 11 se observa que el aumento porcentual de la tensión σ es menor que el aumento porcentual de la carga q. Cuando el desplazamiento se hace grande la placa se hace más rígida y más resistente.


77

Definiendo variables adimensionales se pueden usar fórmulas aproximadas relativamente simples:

wwh

= 4q cq

E h =

2c

E h =

σσ (54)

( )31 2q K w K w= + (55)

( )23 4K w K wσ = + (56)

Los coeficientes K1, K2, K3 y K4, se presentan en la Tabla 2 para 7 casos. La Tabla 3 tiene 12 casos particularizados para el módulo de Poisson ν = 0,3. En los casos de apoyos empotrados se dan dos valores de K3 y K4 que permiten calcular la tensión en el centro y en borde empotrado, este último caso se indica con un asterisco.

Notar que (51) puede escribirse como :

1 w qδ

= (57)

Además, multiplicando ambos miembros de (52) por (c/h)2/E y luego reemplazando q por el valor dado en (57) se tiene :

wβσδ

= (58)

En consecuencia existe correspondencia entre los valores (δ, β ) de la Tabla 1 para pequeñas deflexiones y los valores (K1, K3 ) de la Tabla 2 para grandes deflexiones:

1 31 ;K K βδ δ

= = (59)

Hay que tener presente que las ecuaciones no lineales propuestas (55) y (56) son aproxima-ciones algo burdas, pero una mejor aproximación requeriría varios términos de orden superior (desarrollo de McLaurin). Para evitar inconsistencias

(55) y (56) sólo deben usarse cuando: 0w w> siendo 1 40

2 3

K Kw

K K= (60)

Esas aproximaciones relativamente sencillas (cuadrática y cúbica) permiten despejar la solución de una manera sencilla:

• Si el dato es la carga q resolvemos la ecuación cúbica (55) haciendo

[ ]3 2 1/3 1/31 2

2

/(3 ) ( ) ( ) ( , )2

qq q T S K K T w S T S T wK

σ σ→ → = → = + → = + − − → → (61)

Para obtener buenos resultados, S y T deben calcularse con muchas cifras significativas. • Si el dato es la tensión σ (por ejemplo σadm) se resuleve la ecuación cuadrática (56) haciendo

2

3 4 3

4

( ) 42

K K Kw q w w q q

Kσ

σ σ+ −

→ → = → → → (62)

6.1.3 Consideraciones de diseño usando la teoría lineal Se tienen dos ecuaciones y cinco variables principales (c, h, σ, q y w ) .

(51) → ( )4/w q c hh E

δ= (52) → ( )2/q c hσ β=

Siempre será posible despejar dos variables cuando se conocen las tres restantes. El problema más frecuente en diseño es calcular el espesor h cuando c y q son datos y se dan los valores máximos admisibles para las tensiones y los desplazamientos: adm admw wσ σ≤ ≤ (63)


78

reemplazando éstos valores en (51) y (52) permiten despejar dos valores para el espesor 4 24

1 2

1/3adm

admadm adm

wq c qc c qh h q h h cE h h w E h

< ⇒ > = < ⇒ > =

δ βδ β σσ

(64)

y deberá adoptarse el mayor espesor entre h1 y h2 porque satisface las dos ecuaciones.

6.1.4 Consideraciones de diseño usando la teoría no lineal La Figura 12 (similar a la Figura 11) muestra la relación no lineal entre la carga q y la tensión σ.

Notar que en este caso no lineal el coeficiente de seguridad en tensiones es menor que el coeficiente se seguridad en cargas, o sea: ( ) ( )s s qC Cσ < .

Figura 12: Distintas maneras de calcular el coeficiente de seguridad (en cargas o en tensiones)

Para estar del lado seguro se puede utilizar (Cs)σ = σfalla /σ , o definir una σadm. Para calcular el espesor h en función de los datos habituales c, q, σadm y wadm se procede por tanteos.

Datos: c, q, σadm y wadm Proponemos: hi

Calculamos: ( , )i i i i iq w w→ → →σ σ Controlamos que: i adm i admy w wσ σ< < Debemos repetir hasta satisfacer (63). Notar la importancia de la expresión explícita (61) que

provee directamente la solución de la ecuación (55). Conviene hacer una tabla del tipo (65):

h q T S 1/3( )S T+ 1/3( )S T− w σ max admw w≤ admσ σ≤ (65)

Debe destacarse que generalmente la diferencia S−T parece insignificante, pero debe calcularse con cuidado porque su raíz cúbica es importante.

El cálculo no lineal es necesario cuando se debe calcular el espesor para una carga pequeña menor que qL :

2 2

22

0 3 4

( ) ( )adm admL

Kqw E K K Eδ σ σ

β= = (66)

La carga pequeña qL se dedujo haciendo wmax = ( 0w h ) en (51) y σ = σadm en (52) lo que permite eliminar el tamaño característico “c”, luego se usaron (59) y (60). La ecuación (66) muestra que la carga pequeña q < qL que requiere análisis no lineal no depende del tamaño de la placa pero si depende de la forma y del tipo de apoyo.

METODOLOGÍA DE CÁLCULO • El hecho de que la carga sea menor que qL no justifica comenzar el cálculo del espesor

necesario utilizando de entrada la teoría no lineal; la carga qL es sólo un valor de referencia. • Es recomendable comenzar siempre empleando la teoría lineal porque es más simple. • Si al emplear la teoría lineal se encuentra que 0w w> , los valores obtenidos son igualmente

útiles ya que están del lado de la seguridad y además sirven como referencia si se decide realizar un posterior análisis no lineal.

• Si el cálculo no lineal es necesario, es recomendable adoptar de entrada el espesor mínimo que estamos dispuestos a utilizar por razones de fabricación y manipuleo y luego usar (65). Todo lo anterior se puede observar en detalle en el gráfico final del problema 5 en la página 86.


79

Tabla 2 Grandes deflexiones ( ) ( ) 0 1 4 2 30 siendo => /w K K K Kw w


80

Tabla 3 Grandes deflexiones ( ) ( ) = 1 4 2 30> / Caso = 0,3K K K Kw w ν


81

6.2 Placa circular con presión en una pequeña zona central ( r0 /r < ½ )

Tabla 4: Placa circular con carga en el centro r0 < r /2

2

0 0

0 0

0,33 0,5

si 0,33 usar 0,33

h r r P r q

r h r h

π< < → =

< → =

Placa circular σmax en el centro wmax

Bordes apoyados 2

02 2

0

3 1 (1 ) (1 )2 4

rP rlnh r r

ν νπ

+ + − −

2

3

3(1 ) ( )4

3+ P rE h

ν νπ

−

Bordes empotrados 2

02 2

0

3(1 )2 4

rP rln +h r rν

π +

( )2 2

3

3 14

P rE hν

π

−

6.3 Placa anular con distintos apoyos y cargas

Tabla 5: Placa anular

Los coeficientes K1 y K2 se interpolan en función de x para 0,1 < x < 0,9 0 /x r a=

Caso K1 K2 1 2 3 43,3 4,37 4,54 18,36 12,75x x x x− − + − 2 30,52 1,4 2,46 0,54x x x+ − +

2 2 3 410 34 56,4 48,5 16,1x x x x− + − + 2 31 3,26 9,57 5,31x x x+ − +

3 2 3 48 29,76 48,44 40,46 13,78x x x x− + − + 2 3 41 2,2 1,15 5,26 2,91x x x x− − + −

4 2 32,06 1,97 2,56 2,48x x x− − + 2 30,92 2,56 2,25 0,61x x x− + −

5 2 3 46 21,6 31,6 22,4 6,4x x x x− + − + 2 30,54 1,98 2,43 1x x x− + −

6 2 3 42,5 9,88 18,44 17,17 6,11x x x x− + − + 2 30,236 0,764 0,83 0,3x x x− + −

7 2 32,6 1,8 1,25 0,45x x x− − + 2 30,43 3,23 7,39 3,73x x x+ − +

8 2 3 42,86 6,86 6,87 3,53 0,657x x x x− + − + 2 3 40,63 1,57 0,74 0,75 0,55x x x x− + + −

9 2 3 44 21,3 48,26 48,67 17,71x x x x− + − + 2 3 40,274 0,156 2,35 3,12 1,2x x x x+ − + −

10 2 3 40,76 0,09 0,89 1,73 1,77x x x x+ − − + 2 3 40,19 0,246 2,1 2,7 1,036x x x x+ − + −

2 4

1 22 3

2

1 22 3

máx máx

máx máx

a aK w Kh E h

P P aK w Kh E h

σ

σ

= =

= =

q q

q

q q

q

q q

a: radio de la placa ro: radio del orificio


82

6.4 Carga de colapso para materiales dúctiles

Resulta útil poder determinar un coeficiente de seguridad a colapso de una placa. La carga de colapso se puede expresar de manera similar a (52):

( )2/c fq h cγ σ= (67)

1,3

6 para una placa circular apoyada.

donde: 11,26 para una placa circular empotrada.

1,42 4,06 para una placa rectangular apoyada / 1c l

γ

α α

=

+ = ≤

qc resulta superior al valor provisto por (52) en el orden del 80 %.

La máxima carga concentrada, P , actuando en cualquier punto de una placa de cualquier forma y tamaño y cualquier condición de apoyo puede estimarse como:

212 c fP hπ σ= (68)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tabla 6: Pequeñas deflexiones: wmáx < 0,5 h ( módulo de Poisson ν = 0,3 )

Relación de lados lado menorlado mayor

α =

Forma Apoyo Caso 1/δ 1/βc 1/βe

Articulado 1 23 3,232 ////

Empotrado 2 93,77 8,205 5,333

Articulado 3 7 + 6,5 α + 9,5 α4 1,332 + 1,9 α2,2 ////

Empotrado 4 35,2 + 58,6 α3 4 + 4,2 α3 2 + 3,33 α3

Articulado 5 7 + 15,7 α3 1,33 + 2,2 α2,8 ////

Empotrado 6 35,2 ( 1 + α4 ) 4 ( 1 + α4 ) 2 ( 1 + α4 )

Cortos apoyados Largos empotrados 7 35,2 + 10,8 α4 4 + α5 2 + 0,4 α5

Cortos empotrados Largos apoyados 8 7 + 41 α3,5

α<0,8 → 1,3+5,61 α3,2

α≥ 0,8 → 3 + 2 α3

1,33 + 1,1 α3,6


83

PRÁCTICO Teoría de Placas Nota: Todos los datos se dan unidades [cm] y [kg]

1 Un recipiente circular de 240 cm de diámetro y 100 cm de altura está lleno de agua. El fondo está apoyado en el perímetro y en un círculo central de 40 cm de diámetro.

σadm = 1200 ν = 0,3 E = 2100000 Calcular el espesor del fondo y la carga sobre el apoyo central.

2 Estimar la tensión máxima en el fondo circular cuando

la brida de salida es forzada a subir 0,2 cm durante el montaje con el tanque vacio.

σf = 2400 ν = 0,3 E = 2100000 h = 1 h1 = 0,4

3 Una escotilla elíptica de 0,516 cm de espesor debe soportar una presión

de 300 cm de agua. Considerar bordes apoyados sin restricción axial. σf = 2400 σadm = 1200 ν = 0,3 E = 2100000

a) Determinar (CS)c a presión de colapso. b) Determinar (CS)σ a tensión de fluencia. b) Verificar si wmáx < c/100. (c = lado menor)

4 Para disminuir la σmáx en una placa cuadrada se le coloca una

viga central de apoyo, resultando dos tramos rectangulares.

a) ¿En qué porcentaje disminuye la tensión máxima σmáx si el espesor de la placa se mantiene ?

b) ¿En qué porcentaje se puede disminuir el espesor determinado por la tensión admisible ?

Considerar el caso apoyado y el empotrado, admitiendo y no admitiendo plastificación.

5 Se deben fabricar tanques cilíndricos de 45 cm de diámetro y diversas

alturas H. Graficar la relación entre el espesor mínimo requerido (h) y la presión (q) en el fondo plano del tanque lleno de agua para H ≤ 800 cm.

Material: σadm = 1200 E = 2100000 ν = 0,3

Considerar bordes apoyados sin restricción axial.

Restricciones: a) El desplazamiento máximo debe ser menor a 0,45 cm. b) La tensión máxima debe ser menor que la tensión admisible. c) Por razones de fabricación y manipuleo considerar hmín = 0,2 cm.


84

SOLUCIÓN del PRÁCTICO Teoría de Placas Nota: Todos los resultados se dan unidades [cm] y [kg]

1 Resolvemos por el método de las fuerzas quitando el apoyo central. 0,001 100 0,1q hρ= = =x

a) Considerando bordes apoyados Sin apoyo central: Caso 1 Tabla 6 0,04348 0,3094δ β= =

Ec. (51) → 4 4

0 3 3 3

0,1 240 6,86930,043482100000

q cE h h h

δ δ= − = − = −

Desplazamiento δ1 en el centro debido a la carga unitaria actuando sola en la zona central:

Tabla 4: 2 2

1 3 3 3

3(1 ) ( ) 3 0,7 3,3 1 120 0,00378154 4 2100000

3+ P rE h h h

ν νδπ π

−= = =

x x x x

x x x

Ecuación de compatibilidad: 0 1 3 3

6,8693 0,00378150 0 1817X X X kgh h

+ = − + = → =δ δ

Notar que la reacción en el apoyo central es independiente del espesor de la placa. La superposición de las tensiones de distinto signo σX y σq no puede ser superar a σadm

Ec. (52) → q → ( )2 20,3094 0,1 240 1782q h hσ = =/ /x x

Tabla 4 X → 2 2

02 2 2 2 2

0

3 3 1817 120 20 28841 (1 ) (1 ) 1 1,3 0,72 4 2 20 4 120X

rP rln lnh r r h h

= + + − − = + − =

σ ν ν

π πx

xx

2 22884 1782 / 1200X q adm h hσ σ σ− ≤ → − ≤/ ................. 0,96h cm≥

b) Considerando bordes empotrados 3 3

0 11 / 93,77 0,01066 1,685 / 0,00149 /h hδ δ δ= = = = 2 21 / 8,205 0,1219 1131 702 1263q XX h hβ σ σ= = = = =/ / ..... 0,68h cm≥

c) Considerando una situación intermedia entre los casos a) y b) Promediando los resultados a) y b) se tiene ........................... 1474X kg= .......... 0,82h cm≥

d) Para comparar calculamos el espesor ignorando el apoyo central y considerando bordes apoyados:

Ec. (64) → 240 0,3094 0,1 /1200 1,22admh c qβ σ≥ = =/ x (un 50 % más que en el caso c )

2 Según Tabla 5: 3 3

2 22 2

2

2 32100000 1 0,2

50máx máxE hP

K a KPaw K wE h

→ = == x

x...... 2168 /P K=

21 12 2

168(1)máx

KPh

K Kσ == / ....................................................................... 1 2168 /máx K K=σ

Consideraremos varias condiciones de apoyo aplicables a esta problema: x = ro /a = 10/50 = 0,2

Perímetro Centro Caso K1 K2 P σmáx apoyado apoyado 1 2,37 0,706 238 557 apoyado empotrado 8 1,74 0,351 479 833

empotrado apoyado 9 1,31 0,234 718 940

Como las distintas condiciones de apoyo consideradas son casos ideales, se puede asumir que el caso real corresponde a una situación intermedia y se puede estimar que:............... 600 900máxσ< <

Si se quiere estar del lado de la seguridad se puede suponer que.................................. 940máxσ =


85

3 Verificar la seguridad de una escotilla elíptica. Carga de 3 metros de agua: 0,001 300 0,3q hρ= = =x Tabla 3, Caso 5: 4

148 80 0,6 7 6,5 0,6 9,5 (0,6) 12,13c Kα = = = → = + + =/ / x x

( )242 3 44 2 (0,6) 4,26 5,27 1,84 0,6 5,93 1,18K K K= + = = + = =x x

a) Coeficiente de seguridad a colapso (calculamos γ con la fórmula para rectángulos) Ec. (67) → 1,31,42 4,06 (0,6) 3,51γ = + =x → ( )2 23,51 2400 (0,516 48) 0,9735C fq h cγ σ= = =/ /x x

( ) 0,9735 0,3 3,24CS CC q q= = =/ / ......................................................................... ( ) 3,24

CSC =

b) Coeficiente de seguridad a fluencia Ec. (66)

2 22

3 4

( ) 4,26 1200 0,425,93 1,18 2100000

admL

KqK K E

= = =σ x

x x 0,3 0,42Lq q= < = ⇒ Cálculo no lineal

Secuencia (61) [ ]3 2 1/3 1/31 2

2

(3 ) ( ) ( )2

qq q T S K K T w S T S TK

σ σ→ → = → = + → = + − − → →/

Ec. (54) →

40,3 48 10,69710,697 1,2555 1,5593

2100000 0,516 2 4,26q T S

= = → = = → =

x

1/3 1/3(2,815) (0,3038) 0,74w = − = .....→ Ec. (56) → ( )25,93 0,74 1,18 0,74 5,03x x= + =σ

Ec. (54) → 20,5165,03 2100000 1221

48σ = =

x x → ( ) 2400

1221f

fSC

σσ

= = ........ ( ) 1,96fSC =

c) Control del desplazamiento máximo 0,74 0,516 0,38

/100 48 /100 0,48máx

adm

w wh

w c

= = =

= = =

x.......................................................... VERIFICAmáx admw w<

d) Comparación con el cálculo lineal (Tabla 6 caso 3)

Ec. (51) → 4 3 4 3/( ) 0,08247 0,3 48 /(2100000 0,516 ) 0,46máxw qc Ehδ= = =x x x (20 % superior al real )

Ec. (52) → 2 2 2 2/ 0,5135 0,3 48 / 0,516 1333máx q c hσ β= = =x x (9 % superior al real, σmáx = 1221)

4 Incidencia de agregar a la placa un travesaño. Notación: c = cuadrado r = rectángulo. La relación entre los lados menores (c) es: cr = cc /2

Ec. (52) → ( )( )

2

2

/

/

c c c c

r r r r

q c h

q c h

σ β

σ β

=

=

/ / (4 )

/ / (4 )r c r c r c

r c r c r c

h h

h h

= → =

= → =

σ σ β β

σ σ β β

Los valores de β para la placa cuadrada y rectangular se pueden obtener en la Tabla 6 para ν = 0,3:

TABLA 6 Placa Cuadrada α = cc/ℓ = 1 Placa rectangular α = cr/ℓ = 0,5 Centro βc Borde βe Promedio βp Centro βc Borde βe Promedio βp

Caso5 Apoyado 0,283 ----- ----- 0,607 ----- ----- Caso 6 Empotrado 0,125 0,250 0,188 0,235 0,470 0,353

Disminución de la tensión máxima o del espesor requerido debido al agregado del travesaño: Valores

fijos Valor que disminuye Bordes Apoyados

Bordes empotrados Sin Plastificación Con plastificación

q, c, h Disminución % en σmáximo 46,4 53,0 53,0 q, c, σadm Disminución % en hrequerido 26,8 31,5 31,5

Conclusión: Al agregar el travesaño la tensión máxima en la placa se reduce alrededor de un 50 %, o bien se puede usar una placa con un espesor menor (disminuye alrededor de un 30 %) .


86

5 Calcular el espesor requerido para un fondo plano circular en función de la carga. Cálculo lineal: Tabla 6 caso 1 1 23 0,04348 1 3,232 0,3094δ β= = = =/ /

Cálculo no lineal: Tabla 3 caso 1 1 2 3 423 6 7,11 1,18K K K K= = = =

Ec. (66) → 2 2

2

3 4

( ) 6 (1200) 0,497,11 1,18 2100000

admL

KqK K E

= = =σ x

x x

a) Cálculo lineal cuando q > 0,49

Ec. (51) → ( )4máxw q c hh E

δ= / → 3 31 1 14 4

2100000 0,45( ) ( )0,04348 (45)

admE wq h h

cδ= =

x

x.... 3

1 15,300 ( )q h=

Ec. (52) → ( )2/máx q c hσ β= → 2 22 2 22 2

1200( ) ( )0,3094 45

admq h hc

σβ

= =x

...... 22 21,915 ( )q h=

b) Cálculo no lineal cuando q < 0,49 dato wadm = 0,45 → 1 1 1/ 0,45/admw w h h= =

Ec. (55) → 31 1 123 (0,45 ) 6 (0,45/ )q h h= +/

x x

Ec. (54) → 4 41 1 1 1 1( ) 0,512 ( )q q E h c q h= =/ .............................................. 3

1 1 15,3 ( ) 0,28q h h= +

dato σadm = 1200: usamos secuencia (62): 2

3 4 3

4

23 4

1 22

( ) 4

2( ) ( / )adm

adm

K K K

Kc w q K w K w q q E h c

E hσσ

σ σ+ −

→ = → = → = + → =

Ec. (54) → 2 22 2 21,157 / ( ) 9,08 0,98 /( ) 3,01h w hσ = → = + −

Ec. (55) y (54) → 3 42 2 2 20,512 23 6 ( ) ( )q w w h = +

x

TEORÍA DE PLACAS - Calculo Estructural II (IM-IME ... · PDF fileCompendio de...

Documents

Transcript of TEORÍA DE PLACAS - Calculo Estructural II (IM-IME ... · PDF fileCompendio de...