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Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015

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Capítulo 3

MECÁNICA DE FRACTURAS 1 INTRODUCCIÓN

El desarrollo de la teoría de dislocaciones ha permitido explicar los mecanismos de deformación y fractura de los materiales a nivel atómico pero aún no ha provisto herramientas de cálculo simples que permitan al ingeniero estimar combinaciones potencialmente críticas de cargas, materiales y geometría que provoquen la falla por fractura.

La mecánica de fracturas se desarrolló a partir de fallas catastróficas en: barcos construidos en la década del 40, aviones Comet a principios de la década del 50, tanques de misiles y grandes turbinas a mediados de los 50, el tanque de helio de Bomark en 1960, los tanques de la nave espacial Apolo, etc.

La utilización de nuevos materiales más resistentes pero con propiedades no bien conocidas en aquellos tiempos fue la causa de las fallas antes mencionadas. Los estudios que se llevaron a cabo para entender el fenómeno que causaba esas fallas catastróficas dieron origen al desarrollo de nuevos materiales y métodos de diseño más adecuados basados en un nuevo concepto: la falla por fractura.

Durante ese proceso se comenzó a gestar el control de fracturas que pretende que la tensión nominal y el tamaño (largo) de la grieta sean compatibles con la geometría de la pieza y el material utilizado de modo que no produzcan falla.

Experimentalmente se comprobó que la tensión nominal que causa la falla por fractura depende del tamaño de la grieta. En la Figura 1 se muestra un ejemplo.

Figura 1: Placa de aluminio 2024 – T 851 traccionada y con grieta central 2a (dimensiones en mm)

Para cada tamaño (largo) de grieta (2a) existe un valor σ de la tensión que produce la falla por fractura. Para grietas muy pequeñas, de tamaño menor a 2ao (1,9 mm), la falla es por fluencia, mientras que para grietas mayores a 2ao la falla es por fractura a un valor de la tensión inferior a la tensión de fluencia σf. Notar que cuanto mayor es el tamaño de la grieta menor es el valor de la tensión que produce la falla por fractura. A modo de ejemplo, cuando σ = 20 kg/mm2 la grieta crítica es de 10 mm.

2 FACTOR DE INTENSIDAD DE TENSIÓN ELÁSTICA La severidad de una grieta se define con el factor de intensidad de tensión elástica K:

K C aσ π= (1) donde: a es la longitud característica de la grieta ( indicada en los gráficos para cada caso),

σ es la tensión nominal calculada ignorando la grieta (medida por ejemplo en kg/mm2 ), C es un coeficiente adimensional que está tabulado y que depende de la geometría de la placa.

La falla por fractura se produce cuando el valor del factor de intensidad de tensión elástica K iguala a la resistencia a fractura del material Kc, también llamado factor crítico. Esta propiedad


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de los materiales se determina experimentalmente y se encuentra tabulada, ver por ejemplo el Anexo A.

Falla por FracturacK K≥ ⇒ (2) Notar que ni K ni Kc son tensiones, sus dimensiones son, por ejemplo, [ kg/mm1,5 ] y cuando se

cambia de mm a cm no basta con correr la coma !

Algunos investigadores proponen tener en cuenta la plastificación localizada de radio “r” en el extremo de la grieta que modifica el valor de “a” según se observa en la Figura 2.

( )21 /6 frr K= σπ

(3)

Entonces (1) debe modificarse de la siguiente manera:

( )rK C a rσ π= + (4) Figura 2: Modificación del tamaño de la grieta por la plastificación en el extremo

Como el valor de Kr en (4) depende de “r”, que según (3) depende de Kr, se podría iterar para obtener Kr, pero reemplazando el valor de r dado en (3) en la ecuación (4) se lo puede despejar:

rC a

K =σ πβ

(5)

donde β es un coeficiente adimensional cuyo valor es algo menor que la unidad y está dado por

( )21 / 6/fCβ σ σ= − (6)

por lo tanto Kr definido en (5) es algo mayor que K definido en (1).

3 EL COEFICIENTE C El coeficiente C depende de las relaciones

geométricas y del tipo de solicitación.

En la Figura 3, a modo de ejemplo, se ha graficado el valor de C para el caso de una placa con grieta pasante central perpendicular a la dirección traccionada.

En los Anexos B, y C se proveen valores de C para diversas situaciones de uso frecuente: en forma de gráficos en el Anexo B y mediante fórmulas en el Anexo C.

0 0,2 0,4 0,6 0,8

Figura 3: C en función de la geometría

4 RESISTENCIA A FRACTURA DEL MATERIAL En el Anexo A se dan valores de Kc para aleaciones de alta resistencia susceptibles de fallar

por fractura: aceros, aluminios y titanios. Notar que la resistencia a fractura no es físicamente una tensión. Además es muy importante destacar que en general:

xxKc disminuye al aumentar σf xx (7)

por ello para prevenir fracturas resulta conveniente sacrificar algo de resistencia a fluencia mediante tratamientos térmicos adecuados o cambiando la aleación inicialmente seleccionada.

Los aceros blandos disminuyen la resistencia a fractura cuando trabajan a muy bajas temperaturas (50 a 100 oC bajo cero). Afortunadamente los materiales no ferrosos (ej. aluminios) y los aceros de alta resistencia no presentan cambios en Kc a bajas temperaturas. Notar que las bajas temperaturas son habituales en los fuselajes de aviones.

a+r

a 2r

grieta

a/b →

↑ C

4

3

2

1

0,4

0,5

0,7

1 ∞

h/b


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5 MODOS DE DEFORMACIÓN Hay tres modos de aplicar la carga sobre una grieta para producir la fractura como se indica en

la Figura 4. Notar que los Modos II y III son modos cortantes; uno deforma en el plano (Modo II ) mientras que el otro (Modo III ) actúa fuera del plano de la placa. La mayoría de los problemas de fractura están referidos al Modo I y es el modo sobre el cual hay más información en la literatura. Toda la teoría y lo ejercicios prácticos dadas en este capítulo están referidas al Modo I.

Figura 4: Modos de deformación por fractura: I Modo de tracción, II y III Modos cortantes

6 COEFICIENTE DE SEGURIDAD EN EL FACTOR DE INTENSIDAD DE TENSIÓN

Resulta natural definir al coeficiente de seguridad como el cociente entre la resistencia a la fractura del material ( Kc) y la solicitación ( K ó Kr según el caso considerado).

(1) ocKK C a CS

Kσ π= → = (8)

(5) r rr

cKK C a CSK

σ βπ= → =/ (9)

Notar que CSr es algo menor (pero no mucho) que CSo y que además según (5) y (6) se tiene que:

o oademásr rCS CS CS CSβ< = (10)

7 COEFICIENTE DE SEGURIDAD EN LA TENSIÓN También se puede definir otro coeficiente de seguridad que denotaremos CSR que mayora la

tensión aplicada hasta producir la falla por fractura. En ese caso modificando la ecuación (4) se obtiene:

( ) ( )RcK C CS a R= +σ π (11)

Notar que en la ecuación (11) se denota al radio de la zona plástica como R, el cual resulta ser una propiedad del material que se puede tabular (ver Anexo A), ya que particularizando la ecuación (3) se tiene:

( )21 /6 fcR K σπ

= (12)

Como el valor de R de la sección plastificada dado en (12) es mayor que r dado en (3), el coeficiente en tensiones CSR es el más conservativo. Es más conservativo que CSo dado en (8) y que CSr dado en (9)

( )

RcK

CSC a R

=+σ π

(13)

En conclusión: oR rCS CS CS< < (14)

Modo I Modo II Modo III


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8 LIMITACIONES DE LA TEORÍA UTILIZADA La formulación desarrollada anteriormente tiene varias limitaciones. Limitación 1. La formulación presentada en este capítulo está deducida sobre la base de un

campo elástico de deformación plana, lo que requiere que el espesor sea suficientemente grande para restringir deformaciones en el sentido del espesor de la placa. El espesor mínimo, B, para que las ecuaciones anteriores sean válidas está dado por la ecuación (15) que depende del material y puede tabularse (ver Anexo A). 22,5 /( )C fB K σ= (15)

Cuando el espesor de placa es menor que B, la resistencia a fractura Kc puede llegar a ser bastante superior al valor tabulado para el material.

Advertencia

Limitación 2. Debe destacarse que si el radio “r ” supera, digamos, el 10 % de “a”, eso indica una zona plástica extendida; en tal caso los resultados obtenido por la Teoría Elástica, ecuaciones (1) y (5), resultan dudosos y debieran considerarse conceptos elastoplásticos de mecánica de fracturas.

: Si el espesor es menor que B y se insiste en usar las ecuaciones (8), (9) y (13) se está del lado de la seguridad.

9 PROBLEMAS TÍPICOS DE DISEÑO Para resolver problemas simples de diseño considerando la posibilidad de falla por fractura

pueden usarse las ecuaciones (8), (9) y (13) siendo esta última la más conservativa. Pueden darse diversas situaciones:

1) Durante el diseño: Debe contemplarse como caso crítico la existencia de la grieta de mayor tamaño que no será detectada por la inspección (dada por las limitaciones del sistema de medición) actuando en la posición más desfavorable.

2) Durante la vida útil: Si se detecta una grieta de tamaño ‘a’ debe recalcularse el Coeficiente de Seguridad para la nueva situación. Si el nuevo CS no es satisfactorio se puede: i ) reparar la estructura o ii ) limitar las tensiones (por ejemplo, en una aeronave pueden limitarse los márgenes de maniobra ).

3) Determinación de la grieta admisible: En este caso debe procederse por tanteos o en forma iterativa. Si se usa por ejemplo la ecuación (13) se puede despejar el valor de ai+1 a partir de un valor tentativo ai con el cual se calcula C(ai). Se debe iterar hasta convergencia:

2

1 2 2( )

( ) donde: ( )( )

i

Ci

a R

Ka RC CS+

Φ= − Φ =

π σ (16)

De manera alternativa se puede proceder por tanteos usando valores tentativos para ‘a’ con los cuales se calcula el coeficiente C(a) graficando el segundo miembro de la ecuación (13) hasta llegar al valor prefijado para CSR. También se puede tantear y graficar el segundo miembro de (11).

10 RELACIÓN ENTRE LA VERIFICACIÓN A FLUENCIA Y A FRACTURA Modo de falla por fluencia:

Cuando la grieta es de tamaño muy pequeño el modo de falla es por fluencia. Tener presente que la verificación de la posibilidad de falla por fluencia debe realizarse siempre!

Advertencia 1: Al hacer la verificación a fluencia debe ignorarse la presencia de grietas, porque de eso se encarga la verificación a fractura.

Advertencia 2

Modo de falla por fractura:

: La verificación a fractura no reemplaza a la verificación a fluencia!

Cuando la grieta es de tamaño considerable el modo de falla es fractura. En las proximidades de la grieta hay redistribución de tensiones, hay concentración de tensiones tanto en el fondo del defecto, cuando la grieta no es pasante, como en los extremos del mismo y se admite plastificación localizada.

Advertencia 3: Si una placa sin grieta tiene un cierto CS a fluencia no hay que pensar que al aparecer una grieta necesariamente el CS a fractura será menor que el CS a fluencia. El CS a fractura mide otro tipo de falla y puede resultar menor o mayor que el CS a fluencia dependiendo del tamaño de la grieta.


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Anexo A TABLA DE MATERIALES

Mat No Denominación del material Kc kg/mm1,5

σf kg/mm2

Espesor B [mm]

Radio R [mm]

A C

E R

O

1 A 533 B 563 51 300 6,46

2 A 538 357 176 10 0,22

3 2618 Ni Mo V 341 66 67 1,42

4 V 1233 Ni Mo V 240 60 40 0,85

5 124 K 406 Cr Mo V 199 66 23 0,48

6 17 –7 PH 247 117 11 0,23

7 17 – 4 PH 155 120 4 0,09

8 PH 15 –7 Mo 161 144 3 0,07

9 AISI 4340 316 88 32 0,68

10 AISI 4340 190 153 4 0,08

11 4340 (Templado 260º - Laminado) 183 160 3 0,07

12 4340 (Templado 450º - Forjado) 275 143 9 0,20

13 AISI 403 247 70 31 0,66

14 D6AC a 20º (Laminado -Templado 500º) 329 152 12 0,25

15 D6AC a -50º (Laminado -Templado 500º) 199 160 4 0,08

A L

U M

I N

I O

16 2014 –T 6 Forjado 101 45 13 0,27

17 2024 – T 351 Laminado 120 38 25 0,53

18 2024 – T 851 79 46 7 0,16

19 2219 – T 851 101 35 21 0,44

20 6061 – T 651 92 31 22 0,46

21 7075 – T 6 107 60 8 0,17

22 7075 –T 651 85 53 6 0,14

23 7075 –T 7351 104 42 15 0,33

24 7079 –T 651 82 51 6 0,14

T I T

A N

I O

25 Ti – 6 Al – 4 Zr –2 Sn – 0,5 Mo – 0,5 V 450 85 70 1,49

26 Ti – 6 Al – 4 V – 2 Sn 357 81 49 1,03

27 Ti – 6 Al – 4 V 370 93 40 0,84

28 Ti – 6 Al – 4 V Endurecido 174 106 7 0,14

29 Ti – 6,5 Al – 5 Zr – 1 V 341 87 38 0,81

30 Ti – 6 Al – 5 Sn – 1 V 297 90 27 0,58

31 Ti – 6 Al – 6 V – 2,5 Sn 212 117 8 0,17


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Anexo B Valores del COEFICIENTE C dados en gráficos

a/b → a/h →

Fig. 1: Grieta no centrada en placa traccionada Fig. 2: Grieta longitudinal de profundidad “a”

a/b → a/(ro-ri) →

Fig. 3: Grieta en el borde, placa traccionada Fig. 4: Grieta longitudinal de (∞ significa impedida de flexionarse ) profundidad “a”

a /(ro-ri ) → a/b →

Fig. 5: Cilindro traccionado con grieta circun- Fig. 6: Placa traccionada con agujero ferencial de 360º y profundidad “a” central y dos grietas

↑ C

↑ C

↑ C

↑ C

↑ C

↑ C


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Anexo C Valores del COEFICIENTE C dados en fórmulas

( 0 1)ax xb

= ≤ ≤

( ) ( )2

3

0,51 0,45 0,3 1

efecto de 1 ( 1)

1 0,592 cuando 1,5 donde /

3 1,5 cuando 1,5

o

o

h b C x x x

h C f C

f b h

f

β

β

β

β β β

β β

>> → = − + −

→ = + −

= + < =

= − >

/

( ) ( )2 0,5/ 1 1,12 0,61 0,13 1h b C x x x= → = − + −/

( )

( )

( )

2 3

2

1,5/ 1 (1,12 1,06 2,09 1,03 ) 1

/ 0,5 (1,12 0,444 0,512 ) 1

/ (1,12 0,8 ) / 1

h b C x x x x

h b C x x x

h b C x x

= → = − + − −

= → = + + −

= ∞ → = − −

/

/

( )2 3

2

1,5(1,12 2,4 3,15 1,5 ) 1

6 donde es el espesor

C x x x x

M tt b

σ

= − + − −

=

/

o 1

2 3o

2 31

(1 )

donde

3,36 7,17 8,08 3,57

2,24 2,69 1,75 0,60

α α= − +

= − + −

= − + −

C F F

F x x x

F x x x

Grieta pequeña “no pasante” de profundidad “a”

a < espesor b << ancho = c h ≥ c

σf es la tensión de fluencia

{ } 0,52 3 21,12 0,77 0,57 5,5 2,5 0,22 [1 ( / ) ]fC x x x σ σ−

= + + − + −

Los casos 1 al 5 corresponden a grietas “pasantes” en el espesor.

1

2a

σ

σ

6

5

3

4

2

a

b

a

b

h

h c

a

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

ασ

σ

ασ b

b

b b

a a

M

M

b b

h

h

h

h

h

h


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BIBLIOGRAFÍA

[1] Richard G. Budynas, J. Keith Nisbett, Diseño en Ingeniería Mecánica de Shigley, Mc Graw Hill, 8a Edición, 2008.

[2] Arthur Boresi, Richard Schmidt, Advanced Mechanics of Materials, John Wiley & Sons; 2002.

[3] Julio C. Massa y Alejandro J. Giudici “Comportamiento de un gasoducto con fisuras”, Revista Internacional de Desastres Naturales, Accidentes e Infraestructura Civil ( ISSN 1535-0088 ), vol. 9 (1-2), pp. 143 -162, Año 2009. Descargar: http://academic.uprm.edu/laccei/index.php/RIDNAIC/article/viewFile/205/192

[4] José Stuardi, Leonardo Cocco, Guillermo Chiappero y Alejandro Giudici. “Análisis de falla por fractura en gasoductos”, Mecánica Computacional, vol. 32, pp. 1671-1686 (ISSN 1666-6070), 2013. Descargar:

[5] Stanley T. Rolfe and John M. Barsom, Fracture and Fatigue Control in Structures, Applications of Fracture Mechanics, ASTM, 1999.

http://www.cimec.org.ar/ojs/index.php/mc/article/viewFile/4447/4377

http://academic.uprm.edu/laccei/index.php/RIDNAIC/article/viewFile/205/192�


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PRÁCTICO Mecánica de Fracturas Nota: Todos los datos se dan unidades [mm] y [kg]

1 La placa rectangular del croquis de 7 mm de espesor tiene una grieta pasante de 8 mm en un borde. La placa está traccionada en dirección perpendicular a la grieta con una tensión de 10 kg/mm2. Material: Aluminio 7079 – T 651 a) Determinar el CS a fractura. b) Repetir para un espesor de 2 mm.

2 El resorte de ballesta del croquis es de acero 17 – 4 PH. a) Calcular el espesor b de modo que la rigidez sea K = 2 kg/mm. b) Calcular uadm en el extremo con CS = 3 a falla por fluencia. c) Repetir lo pedido en b) para una grieta pasante de 1,5 mm de

profundidad en la posición más desfavorable.

3 Cilindro de aluminio de 150 mm de diámetro externo y 5 mm de espesor. Material: Aluminio 2024 – T 851. Calcular la presión admisible con CS = 2,5 considerando falla por fractura debido a una grieta longitudinal externa de profundidad a = 1,5 mm.

4 Se han detectado grietas en el borde del refuerzo del apoyo del actuador del comando de los alerones que soporta una carga máxima de tracción de 14000 kg. El refuerzo tiene sección rectangular de 50 x 8 mm y las grietas pasantes indicadas en el croquis tienen 5 mm de profundidad. El repuesto tardará en llegar 3 semanas. Material: Ti – 6,5Al – 5Zr– 1V. ¿ Recomendaría Ud “parar” el avión ?

5 Al desmontar un panel de 4 mm del fuselaje de un avión se descubrió que un agujero para alojar un remache tiene una grieta pasante de 5 mm en dirección perpendicular a la dirección de la carga de tracción. En la dirección de la grieta no hay carga de tracción. Material 2024–T 351 Laminado. a) Calcular σadm con CSR = 2 a fractura. b) Repetir para CS r = 2.

6 La herramienta para extraer marcas sobre el pavimento del croquis de sección rectangular de 60 x 25 mm tiene una grieta pasante de a = 5 mm. Material: acero AISI 4340 σf = 140 kg/mm2. Determinar la carga máxima admisible Padm con CS = 2.

7 Recipiente cilíndrico diámetro 400 mm. Presión interior 1,74 kg/mm2. Material: acero 4340 templado a 450 oC - Forjado. a) Calcular el espesor con CS = 4 usando el criterio de Rankine. b) Calcular el CS para una grieta no pasante en forma elíptica de 12 mm

en sentido longitudinal y profundidad igual a la mitad del espesor. c) Repetir lo pedido en b) para una grieta con orientación circunferencial.

8 Un caño de aluminio 2024–T 851 trabaja en tracción estática. Diámetro exterior 50 mm y espesor 6 mm. Se ha detectado una grieta transversal pasante de 15 mm.

a) Determinar la carga admisible con CS = 2. b) Repetir el análisis si la grieta es longitudinal.


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SOLUCIÓN del PRÁCTICO Mecánica de Fracturas Nota: Todos los resultados se dan en unidades [mm] y [kg]

1 Se pide determinar el coeficiente de seguridad a fractura de una placa con una grieta en el borde. Propiedades de la aleación de titanio, material No 24 del Anexo A → Kc = 82 σf = 51 B = 6 R = 0,14

a.1) Coeficiente de seguridad a falla por fluencia Se verifica ignorando la grieta usando la tensión nominal: / 51 /10S fC = =σ σ …..... 5,10SC = Las alteraciones producidas por la presencia de la grieta se tienen en cuenta en la verificación a fractura! a.2) Coeficiente de seguridad a fractura para espesor 8 mm Anexo C, caso 3: x = 8/600 = 0,0133 h/b = 500/600 ≈ 1 → 1,129C =

Ec. (6) → 2 21 ( / ) / 6 1 (1,129 10 / 51) / 6fCβ σ σ= − = − x ................................... 0,996β =

Ec. (5) → ( )1,129 10 8 0,996/ /rK C aσ π β π= = x x x ....................................... 0,996rK =

Ec. (9) → / 82 / 56,83 1,44r rcCS K K= = = ................................................................ 1,44rCS = e = 7 B = 6 e > B ⇒ Vale la hipótesis de deformación plana. Ec. (3) → ( ) ( )2 2/ /(6 ) 56,83/51 /(6 ) 0,07 8/10r fr K rσ π π= = = → << Vale la hipótesis de defor. elástica.

b) Coeficiente de seguridad a fractura para espesor 2 mm Todo el cálculo se hace igual, pero como e = 2 y B = 6 resulta e > B , entonces NO vale la hipótesis de deformación plana. Por ello podemos afirmar que estamos del lado de la seguridad: El coeficiente de seguridad a fractura es mayor que el valor calculado en a.2)............ 1,44rCS >

2 Se pide dimensionar un resorte de ballesta y verificarlo a falla por fractura. Las propiedades del material se obtienen del Anexo A:

Acero, material No 7 del Anexo A → Kc = 155 σf = 120 B = 4 R = 0,09

a) Cálculo del espesor b del resorte de ballesta para que la rigidez sea K = 2 kg/mm Momento de inercia: 3 4[(6 ) ] /12 /2I b b b= = (1) Relación carga–desplazamiento: K u P= (2)

Desplazamiento en el extremo del voladizo: 3( )/(3 )u P EI= (3). Llevando (1) y (2) a (3) se obtiene: 0,253 3

4

( ) 2 2 2 1000 15,93 ( /2) 3 3 21000

K u Ku bE b E

= → = = =

0,253 x x

x Adoptamos: 16b mm=

Relación entre la tensión por flexión y el desplazamiento en el extremo del voladizo:

2 3 3 ( ) (2 ) 1000[(6 ) ] /6 16 40964096

M Ku uW b b bW W

σ= = = = → = = = x ....... →…. 0,488 uσ =

b) Desplazamiento admisible considerando falla por fluencia

0,488 ; / 120 / 40 0,488 40adm ádm adm f S ádmu C uσ σ σ= = = = → =3 ..... 82,0ádmu mm=

c) Desplazamiento admisible considerando falla por fractura La ubicación más desfavorable de la grieta es en el empotramiento en la cara superior. Anexo C, caso 4 → x = a/b=1,5/16 = 0,094 → 2 3 1,5(1,12 2,4 3,15 1,5 ) (1 )C x x x x= − + − −/ ... 1,068C =

Ec. (11) → Aplicamos el CSR a la tensión: ( ) ( )R cC CS a R K+ =σ π

1,068 ( 0,488 ) (1,5 0,09) 155admu π + =3x x ....................→....................... 44,3ádmu mm= Conclusiones:

1) Con ese tamaño de grieta (1,5 mm), el modo de falla es fractura (ocurre antes que la fluencia). 2) Con CSR = 3, se puede aplicar una carga 88,6 g (= 2 44,3)P k K u= = x que produce una

deflexión de 44,3 mm en el extremo.


63

3 Se pide determinar la presión admisible con CS = 2,5 en un cilindro de aluminio con una grieta. Propiedades del material No 18 del Anexo A → Kc = 79 σf = 46 B = 7 R = 0,16 La tensión nominal en la parte exterior del cilindro con presión interior se calcula como cilindro grueso:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

751 / / 70 1 75 /75 / 75 70t i i o o i r

p r r r r r p=

= + − = + −σ ................ 13,52 ipσ =

a) Falla por fluencia con CS = 2,5 13,52 ; / ... ... (46/ ) /13,52adm adm adm f S admp C pσ σ σ= = ⇒ = 2,5 .............. 21,36 /admp Kg mm=

b) Falla por fractura con CSR = 2,5 Gráfico 4 del Anexo B → /( ) 1,5 / (75 70) 0,3 / 70 / 75 0,93o i i oa r r r r− = − = = = 1,6C = Aplicamos el CSR a la tensión: Ec. (11) → ( ) ( )R cC CS a R K+ =σ π

( )1,6 13,52 (1,5 0,16) 79admp π + = 2,5x x x ......................................... 20,64 /admp Kg mm=

0,64 13,52 0,64 8,65adm admp σ= → = =x Ec. (6) → ( )2 1/21 1,6 8,65 / 46 /6[ ]β = − x → 0,992β =

Ec. (5) → ( )/ 1,6 8,65 1,5 /0,992 30,29rK C aσ π β π= = =x x x → / 79/30,29r c rCS K K= = → 2,6rCS =

Ec. (3) → 2(30,29 / 46) / (6 ) 0,02 /10 0,15r a= = << =πx ⇒ Vale la hipótesis de deformación elástica. e = 5 < B = 7 ⇒ No vale la hipótesis de deformación plana ⇒ Los resultados son algo conservativos.

4 Se pide evaluar la seguridad del refuerzo del apoyo de un actuador que presenta grietas de 5 mm. Aleación de titanio, material No 29 del Anexo A → Kc = 341 σf = 87 B = 38 R = 0,81 a) Coeficiente de seguridad a fluencia

14000 / (50 8) 14000 / 400 35 / 87 / 35S fCσ σ σ= = = → = =x .................... 2,48SC =

b) Coeficiente de seguridad a fractura Anexo C, caso 3: x = 5/50 = 0,1 → C = (1,12 – 0,8 x)/(1–x) = (1,12–0,08)/ (1–0,1) → C = 1,155 σ = 35 Ec. (6) → 2 21 ( / ) / 6 1 (1,155 35 /87) / 6fCβ σ σ= − = − x ...→... 0,9818β =

Ec. (5) → ( )/ 1,155 35 5 / 0,9818rK C aσ π β π= = x x x ...→... 163,2rK =

Ec. (9) → / 341 /163,2r rcCS K K= = ....................................................................... 2,09rCS =

c) Tamaño de la grieta que produce la falla (CSR = 1) Ec. (11) → ( ) 35 ( 0,81) 341aC a + =π Tanteos: ( )17,35 0,347 1,29... 17,3a máxa x C a mm= → = → = =

CONCLUSIÓN: Dado que el coeficiente de seguridad a fractura es 2,09 recomendamos no parar el avión, realizando inspecciones periódicas durante las tres semanas. Además puede anticiparse que cuando la mayor grieta llegue a los 10 mm la situación será más delicada dado que en ese caso:

10 0,2 1,2 35 0,959 245ra x C K= → = → = → = → = → =σ β 1,39rCS→ =

5 Se pide determinar la tensión admisible con CS = 2 en un panel de fuselaje que tiene una grieta. Propiedades del material frágil No 17 del Anexo A → Kc = 120 σf = 38 B = 25 R = 0,53

Falla por fluencia con CS = 2 / 38 /adm f SCσ σ= = 2 ..................... 219 /adm kg mm=σ

a) Falla por fractura con CSR = 2 Caso 5 del Anexo B: o o5 / 5 / (3,5 5) 0,588 1,21 0 a x a b F C Fα= = = + = = = = → C = 1,21

Aplicamos el CSR a la tensión: Ec. (11) → ( )1,21 (5 0,53) 120admσ π + =2x x 211,90 /adm kg mm=σ

b) Usando CSr Ec. (6) → 2 1/2[1 (1,21 11,9 / 38) /6] 0,988β = − =x Ec. (9) → / 120/2r c rK K CS= = 60rK =

Ec. (5) → ( )60 1,21 5 /r admK = = π βσx x x → 12,511adm =σ βx iterando → 212,35 /adm kg mm=σ e = 4 << B = 25 ⇒ No vale la hipótesis de deformación plana ⇒ Los resultados son conservativos. Ec. (3) → r = (60/38)2/(6xπ) = 0,13 << a/10 =5/10 = 0,5 ⇒ Vale la hipótesis de deformación elástica.


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6 Se pide determinar la carga máxima admisible con CS = 2 de una herramienta con una grieta. Interpolamos entre los materiales No 9 y 10.. 316 (316 190) (140 88)/(153 88)cK = − − − −x → 215,2cK = Ec. (15) → ( )222,5 ( / ) 2,5 215,2 /140 5,9C fB K σ= = = Ec. (3) → ( )2215,2 /140 /(6 )R π= → 0,125R = e = 25 B = 5,9 e > B ⇒ Vale la hipótesis de deformación plana.

0,125 /10 5 /10 0,5R a= < = = ⇒ Vale la hipótesis de deformación elástica. Vale la teoría lineal ⇒ Vale la superposición de la flexión con la tracción.

Anexo C caso 4 flexióncaso 3 tracción5 /60 0,0833 / 1,15 1,07T Fx h b C C→= = = ∞→ = → = Tensión por tracción.... 60 25 1500 / /1500TA P A Pσ= = → = =x ..................... /1500 T Pσ =

Tensión por flexión.... 225 60 /6 53,57 ( 280) / /53,57FW P W Pσ= = → = =x x ... /53,57 F Pσ =

Usamos CSR= 2 en tensiones adaptando la Ec. (11) → ( ) ( )R T T F FcK CS C C a Rσ σ π= + +

(1,15 /1500 1,07 / 53,57) (5 0,125) 215,2adm admP P π+ + =2 x x x ....................... 1293admP kg= Falla por fluencia ( /1500 / 53,57) 140 3260adm adm admP P P kg+ = → =2 x

7 Se pide determinar el espesor de un recipiente cilíndrico y verificarlo a fractura. Propiedades del material No 12 del Anexo A→ Kc = 275 σf = 143 B = 9 R = 0,2

a) Cálculo del espesor con CS = 4 usando el criterio de Rankine Considerando cilindro de pared delgada, la tensión máxima es la tensión circunferencial:

/ 1,74 200 / 348 /máx p r e e e= = =σ x ..................................................................... 348 /máx eσ =

/S f máxC = σ σ → /(348 / )f eσ = 4 → 9,7e = ...... Adoptamos espesor .⅜” → 9,5 e mm=

b) Verificación a fractura por una grieta longitudinal Tensión circunferencial perpendicular a la grieta: 348 / 348 / 9,5eσ = = .................. 36,63 σ = Coeficiente C según el caso 6 del Anexo C: / ( / 2) /12 (9,5 / 2) /12x a b e= = = ...... 0,396 x =

{ } 0,52 3 21,12 0,77 0,57 5,5 2,5 0,22 1 ( / )[ ]fC x x x σ σ−

= + + − + − ............................. 0,81C =

Ec. (11) → aplicamos el CSR a la tensión: 0,81 ( 36,63) (4,75 0,2) 275RCS + =πx x 2,35RCS =

c) Verificación a fractura por una grieta circunferencial Como la tensión longitudinal (18,31) es la mitad de la tensión circunferencial (36,63), el CSR vale el doble ya que C tiene un cambio insignificante ( 0,808 0,81C = ). Por lo tanto resulta:...... 2 2,35 4,7RCS = =x ...................................................................... 4,70RCS = Por lo tanto el modo de falla será fluencia ya que CS = 4 < CSR = 4,7.

8 Se pide determinar la carga admisible con CS = 2 en un caño de aluminio con una grieta. Propiedades del material No 18 del Anexo A → Kc = 79 σf = 46 B = 7 R = 0,16

Falla por fluencia ...... 2 2(50 38 ) / 4 829,4A = − =π .... / 829,4 46admP =2 x …... 19080admP kg= a) Falla por fractura en grita circunferencial Desplegamos del cilindro haciendo un corte imaginario longitudinal y resulta el caso 1 del anexo C :

44 138 7,5 7,5 / 69mb d a xπ π= = = = → =x 0,0272x =

300 69 / 300 0,23 1,5h β= → = = < → 1,0072fβ =

1,0016 1 1,0072 (1,0016 1)oC C= → = + −x 1,0017C =

Usamos CSR en tensiones: Ec. (11) → ( )1,0017 /829,4 (7,5 0,16) 79admP π + =2x x 6667admP kg= e = 6 < B = 7 ⇒ Vale la hipótesis de deformación plana. R = 0,16 << a /10 = 7,5/10 = 0,75 ⇒ Vale la hipótesis de deformación elástica. b) Falla por fractura en grita longitudinal No puede fallar porque no hay tensiones de tracción perpendiculares a la dirección de la grieta.

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