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Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015

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Capítulo 11

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS 1 INTRODUCCIÓN

La solución analítica exacta de las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de cuerpos deformables es de sumo interés en innumerables circunstancias para el ingeniero, pero la posibilidad de acceder a la misma está seriamente limitada por la complejidad de los problemas de interés práctico. En efecto, la geometría del cuerpo, las condiciones de borde o apoyo, los estados de carga y los aspectos relacionados al comportamiento mecánico de los materiales hacen que con frecuencia las soluciones exactas sean inaccesibles. Esta seria limitación, reconocida por físicos y matemáticos de todos los tiempos, llevó al desarrollo de técnicas o teorías aproximadas destinadas a la resolución de problemas específicos de la mecánica de sólidos elásticos. Así, surgió la teoría de vigas, con la hipótesis de que las secciones planas permanecen planas y normales al eje deformado, las teorías de placas planas en flexión, como una generalización de la teoría de vigas a dos dimensiones y luego las teorías de láminas o cáscaras curvas, entre otras. Estas teorías fueron posteriormente modificadas o ampliadas para cubrir un mayor número de casos de interés práctico, pero a pesar de ello subsisten muchísimos problemas que no pueden ser resueltos satisfactoriamente con ellas.

Tanto estas teorías especiales como la teoría general de la elasticidad dan origen a sistemas de ecuaciones diferenciales acopladas, donde interesa obtener su solución para condiciones de carga, geometría y contorno más o menos arbitrarios con el mayor grado de generalidad posible. Como respuesta a este problema surgieron los métodos de aproximación basados en consideraciones energéticas, pudiendo citarse los métodos de Rayleigh-Ritz y Galerkin entre otros. Estos métodos son procedimientos analíticos que proponen reemplazar la respuesta del sistema (campo de desplaza-mientos desconocido) por funciones de aproximación que sean relativamente simples (polinomiales o armónicas), que deben cumplir ciertas condiciones de continuidad y además satisfacer las condiciones de borde establecidas para el problema. Así es que se transforma el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales que gobiernan el fenómeno en un sistema de ecuaciones algebraicas, cuyas incógnitas representan los parámetros característicos de las funciones de aproximación adoptadas.

Aunque por ese camino se pueden resolver muchos problemas interesantes, se comprueba que en los casos de estructuras complejas, ya sea por su geometría, condiciones de apoyo y/o condiciones de carga, no es posible la determinación de una función de aproximación que conduzca a la solución a través de un procedimiento sistemático que ofrezca cierta generalidad.

El último párrafo merece un comentario aparte. Debe notarse que la misión del ingeniero es resolver problemas y para ello es necesario disponer de herramientas de aplicabilidad general, que no requieran de un tratamiento específico y particular para cada caso que se presente. Esta es una de las principales causas por las que fue abandonado el Método de las Diferencias Finitas, donde en las ecuaciones diferenciales que representan un problema se reemplazan las derivadas por expresiones incrementales, lo que conduce a un sistema de ecuaciones algebraicas. Las Diferencias Finitas permiten resolver problemas estacionarios y transitorios con muy buena aproximación, para lo cual debe tenerse la precaución de utilizar incrementos de las variables independientes de un tamaño apropiado. Sin embargo, como contrapartida, se requiere un tratamiento específico para cada caso particular, con muy pocas posibilidades de generalización, por lo que resulta muy costoso introducir cambios en los modelos o reciclar soluciones de problemas similares.

Es en este contexto que hace su aparición el Método de los Elementos Finitos (MEF), favorecido por el vertiginoso desarrollo de la computación y destinado a provocar un trascendental impacto en el cálculo estructural y posteriormente en todos los campos de estudio de los medios continuos. Puede afirmarse, sin temor a exagerar, que muchas de las estructuras concebidas en los últimos cuarenta años hubiesen sido impracticables de no contarse con una herramienta de cálculo como lo es el Método de los Elementos Finitos. Para brindar un ejemplo, las estructuras de los aviones de fuselaje ancho solo fueron posibles al poder determinarse los campos de tensiones con gran detalle, lo que condujo a estructuras más confiables y livianas.

Como introducción general, puede decirse que el método de los elementos finitos permite obtener la solución de un problema mediante la descomposición del objeto estudiado en un gran


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número de constituyentes básicos o elementos, los que se interconectan a través de puntos denomi-nados nodos. Esto se basa en el hecho de que es posible de determinar numéricamente el compor-tamiento físico de cada uno de estos elementos, a partir de las ecuaciones propias del problema tratado y de las condiciones de contorno adyacentes. Luego, una vez determinadas las propiedades de cada elemento, éstas son combinadas para posibilitar la representación de la estructura completa y evaluar su comportamiento. La solución del problema provee los desplazamientos de estos nodos, y a partir de ellos, las deformaciones y las tensiones del sistema estudiado.

Nótese que esto ya fue realizado en un curso anterior al ensamblarse estructuras de elementos prismáticos a través de una formulación matricial con el Método de la Rigidez, por lo que puede decirse que el método de los elementos finitos es una evolución o generalización del Cálculo Matricial de Estructuras, e históricamente de hecho lo fue. Inversamente, y desde una óptica general, podría reconocerse a las barras prismáticas como elementos finitos de una sola dimensión. Así ambos, el Método de los Elementos Finitos y el Cálculo Matricial de Estructuras exhiben la cualidad de la que carecía el método de las Diferencias Finitas: su aplicabilidad sistemática.

A título de ejemplos se muestran dos modelos de elementos finitos. En la Figura 1 se representan dos piezas deslizantes y en la Figura 2 el modelo de una biela de un motor de combustión interna.

Figura 1: Dos piezas deslizantes con superficie

de contacto cilíndrica Figura 2: Modelo de una biela de un motor

de combustión interna

Para estudiar las piezas deslizantes de la Figura 1 puede asumirse que la profundidad es muy grande y basta con representar un corte en un plano transversal de las mismas, por tratarse de lo que es denominado estado plano de tensión. Para ello se utilizan elementos finitos de dos dimensiones, tales como los triángulos y cuadriláteros, en lugar de tener que representar la totalidad del sólido, lo que implica una enorme reducción en la complejidad del modelo. Por el contrario, la biela de la Figura 2 esta sometida a condiciones de trabajo que obligan a desarrollar un modelo espacial con elementos 3D que represente fielmente los alojamientos del perno de pistón y cojinete de bancada, reproduzca las irregularidades geométricas que seguramente dan lugar a concentración de tensiones y permita aplicar las condiciones de carga distribuidas sobre superficies de contacto.

2 BREVE RESEÑA HISTÓRICA En realidad, esta forma de abordar un problema físico fue propuesta hace ya varios siglos, pero

su efectiva puesta en práctica debió esperar hasta la disponibilidad de las primeras computadoras. Las elevadas exigencias de cálculo inherentes a este enfoque, en especial cuando se trabaja con modelos tridimensionales, restringían su aplicación manual a casos muy simples. No es por lo tanto una coincidencia que el Método de los Elementos Finitos haya comenzado a utilizarse tan pronto se dispuso de computadoras y de lenguajes superiores de programación (Backus et al., 1956). A partir de allí, la incesante evolución de la tecnología ofreciendo procesadores más rápidos, mayores capacidades de memoria y compiladores más eficientes favoreció la amplia difusión del método de los elementos finitos y la posibilidad de tratar modelos de dimensiones asombrosas. A esto debe sumarse la contribución de la evolución experimentada en otros campos, como son el análisis numérico y la computación gráfica. Mucho más recientemente, el procesamiento paralelo suma un nuevo recurso que tendrá un fuerte impacto, hoy insospechado, en el cálculo estructural y procesos de simulación de los próximos años.

Superficie de contacto


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Volviendo a la historia del MEF, se reconoce como precursores a Duncan y Collar, quienes en 1930 presentaron una formulación matricial destinada a resolver problemas aeroelásticos. Ellos mismos fueron luego autores de los primeros dos artículos sobre el tema (Duncan y Collar, 1934 y 1935) y presentaron juntamente con Frazer un libro que introdujo la terminología que es aún hoy utilizada (Frazer, Duncan y Collar, 1938). Llegaron luego los aportes de McHenry (1943) y la publicación de una serie de artículos en la que Argyris presentó un enfoque matricial de los métodos de las fuerzas y rigidez que se apoyó en los teoremas energéticos. Argyris también insinuó que su enfoque matricial podría ser extendido mas allá de las barras prismáticas, para considerar elementos estructurales de dos y tres dimensiones (Argyris y Kelsey, 1955). A los pocos años Turner (1959) trabajó en un modelo aeroelástico de un ala delta en el que empleó barras y elementos triangulares para repre-sentar su recubrimiento, lo que constituyó una de las primeras aplicaciones prácticas del método para la resolución de problemas reales. Además, propuso al método de los desplazamientos como el camino más apropiado para una implementación sistemática y eficiente del nuevo procedimiento de cálculo.

Hasta ese momento, la implementación del análisis matricial de estructuras primero y del método de los elementos finitos después daba lugar a dos enfoques posibles según el orden en que se formulaba el problema matemático y en consecuencia cuales eran las incógnitas principales resultantes: desplazamientos o fuerzas. Finalmente, el Método de la Rigidez con los desplazamientos como incógnitas principales demostró ser el más apropiado para su implementación en computadora, tal como lo comprobó Turner, y quedo de hecho establecido. Sin embargo, hubo prestigiosos autores que insistieron por mucho tiempo con las bondades del Método de las Fuerzas (Robinson, 1973) y también quienes propusieron una combinación de desplazamientos y fuerzas como incógnitas principales, reunidas en lo que fue llamado “vector de estado”.

Este último método de incógnitas combinadas, denominado de Matrices de Transferencia, estaba inspirado en la técnica propuesta por Holzer (1921) para el análisis dinámico de cigüeñales, fue extendido por Myklestad (1944) al estudio de vigas en flexo torsión y posteriormente planteado matricialmente por Pestel y Leckie (1963). Si bien se trata de un método conceptualmente muy interesante, es muy difícil de sistematizar para tratar estructuras de geometría compleja, por lo que fue prácticamente abandonado.

El Método de los Elementos Finitos se desarrolló entonces en base a los desplazamientos como incógnitas principales y su nombre “elementos finitos” fue empleado por primera vez por Clough en 1960. Posteriormente, los libros presentados por Przemieniecki (1968) y Zienkiewicz (1967 y 1994) contribuyeron enormemente a la difusión del método en los ámbitos universitarios e industriales. El mismo Zienkiewicz junto a otros autores (Cheung y Taylor) presentó una interpretación amplia del método de los elementos finitos en la que extiende su aplicación a diversos problemas de campos.

Naturalmente, se ha hecho de una reseña histórica muy breve que omite a numerosísimos investigadores que hicieron sustanciales aportes para que el Método de los Elementos Finitos cubra en la actualidad todo el espectro de problemas de la mecánica del continuo, y lo haga eficazmente, convirtiéndose en una herramienta esencial para la ingeniería moderna.

Sin embargo, no sería justo terminar esta reseña sin mencionar a los prestigiosos profesores Edgard Wilson y Klaus Bathe, de la Universidad de California, Berkeley. Wilson desarrolló uno de los primeros sistemas integrales para la aplicación práctica del Método de los Elementos Finitos, denominado SAP -Structural Analysis Program, (Wilson, 1970). Posteriormente se incorporó Bathe al grupo de trabajo y con su aporte se completó el proyecto en 1972, denominado SAP IV. Ambos, Bathe y Wilson, desarrollaron luego un nuevo sistema de cálculo denominado NONSAP (Bathe, Wilson,Iding, 1974) que contemplaba materiales no lineales, grandes deformaciones y grandes desplazamientos. También cabe destacar que ambos fueron autores de un libro titulado “Numerical Methods in Finite Element Analysis” (1976) en el que sintetizan sus experiencias y que se convirtió rápidamente en un clásico.

El mérito de Bathe y Wilson estuvo tanto en la calidad de sus trabajos como en su distribución gratuita en todo el mundo, incluyendo los programas fuentes, posibilitando que el Método de los Elementos Finitos salga de los ámbitos académicos y se incorpore como herramienta práctica de uso habitual en las oficinas de proyecto de ingeniería.


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3 MODELOS DISCRETOS El proceso de resolver un problema de ingeniería a través de una computadora se presenta en

el esquema de la Figura 3. Para comenzar, el problema físico debe ser idealizado a través de un modelo conceptual que debe preservar las características esenciales de la realidad y descartar toda otra característica que no tenga incidencia significativa en el caso estudiado. Estas características incluyen el comportamiento de la estructura (desplazamientos grandes o pequeños), tipos de cargas (estáticas o dinámicas), propiedades del material (linealidad, elasticidad, isotropía, etc.), complejidad geométrica (2D, 3D, etc.), condiciones de apoyo (concentradas, distribuidas, etc.) y otras condiciones de trabajo que formen parte del problema (movimientos de apoyos, variación térmica, rozamiento, etc.).

Figura 3: Proceso de resolución de un problema de ingeniería

La definición correcta de esta etapa es fundamental para entender y delimitar el fenómeno estudiado y puede conducir a dos situaciones extremas: i) modelos incapaces de representar adecua-damente el problema estudiado y ii) modelos innecesariamente complejos. En el primer caso se han ignorado características esenciales en el desarrollo del modelo y éste no será capaz de brindar resultados correctos referidos al problema planteado, con el consiguiente riesgo que esto implica. En el segundo caso ocurre lo contrario, es decir se han preservado características no relevantes y/o un nivel de detalle innecesario, lo que dificulta la determinación de la solución, la hace muy costosa o contribuye a confundir comportamientos importantes con otros que no lo son.

Una vez disponible el modelo conceptual se llega a la segunda etapa, en la que se propone una formulación matemática para resolver el problema físico, que ya ha sido convenientemente delimitado. Para ello, y en el caso de la mecánica del sólido continuo, se recurre a las denominadas ecuaciones fundamentales de la elasticidad: ecuaciones de equilibrio, relaciones cinemáticas y ecuaciones constitutivas, las que normalmente conducen a una formulación matemática del problema a través de un sistema de ecuaciones diferenciales. Con el fin de poder alcanzar este modelo matemático es muchas veces necesario simplificar aún más el modelo conceptual y/o definir con claridad su alcance dentro del rango de las variables independientes del problema estudiado.

Sistema Físico

Modelo Conceptual

Modelo Matemático

Modelo Discreto

Solución Discreta

Idealización Discretización Solución

Errores de la Solución

Errores de la Discretización y Solución

Errores de la Formulación Matemática, Discretización y Solución

Errores de la Idealización, Formulación Matemática, Discretización y Solución

Verificación

Validación


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Tal como ya fue comentado con anterioridad, el modelo matemático no puede ser planteado en forma integral para dominios de interés práctico, quedando esta posibilidad reservada solo a casos muy simples. Para superar esta dificultad se transforma al modelo matemático en un modelo discreto, ya sea a través de diferencias finitas o a través de método de los elementos finitos. En el primer caso, como ya fue anticipado, la formulación diferencial es convertida en un sistema de ecuaciones algebraicas al introducir fórmulas de derivación numérica. En el segundo el sólido elástico es descompuesto en elementos simples y es aquí muy importante seleccionar los tipos de elementos apropiados para representar el comportamiento del objeto estudiado. Luego es necesario disponer los elementos formando mallas de elementos, establecer sus condiciones de apoyo y definir las cargas actuantes, todas las cuales deben ser discretizadas en concordancia con los tipos de elementos utilizados.

Finalmente, la última etapa corresponde a la obtención de la solución, que normalmente incluye la resolución de grandes sistemas de ecuaciones algebraicas que conducen a la determi-nación de desplazamientos, que son las incógnitas primarias del problema. Posteriormente se obtienen las incógnitas secundarias, representadas por las solicitaciones, reacciones de apoyos, deformaciones y tensiones. En el caso del estudio de la respuesta de estructuras en el dominio del tiempo la solución incluye el cálculo de frecuencias y modos de vibración (autovalores y autovectores) y la integración numérica de sus ecuaciones dinámicas.

Nótese que cada una de las etapas tiene características muy particulares y son por si mismas fuentes de errores, todos los cuales contribuyen a desviaciones de los resultados respecto de los que corresponden al problema real.

Como se puede comprobar, los errores tienen orígenes diversos y para identificarlos es necesario tener en claro los conceptos de “validación” y “verificación”. La verificación se refiere a la comprobación de que el problema ha sido correctamente resuelto, teniendo esencialmente que ver con su formulación matemática, discretización y resolución numérica. La validación, por el contrario, tiene que ver con que el problema resuelto sea el correcto. Es decir, asegurar que no se haya resuelto correctamente un problema que en realidad no es el problema planteado. El proceso de validación se refiere a la comprobación de que el modelo conceptual estudiado responde al problema físico, es decir que el modelo rescata de la realidad todas sus características esenciales. En resumen, la comprobación de que se estudió el problema correcto es el objetivo de la validación y de que se alcanzaron las soluciones correctas es el objetivo de la verificación. Esto último podría ser consecuencia de una formulación matemática errónea, una mala discretización, el uso de un algoritmo inapropiado, un error de programación, un problema numérico que condujo a una excesiva propagación de errores, etc.

Una vez planteado el proceso tendiente a la obtención de la solución de un problema, la comprobación de su correctitud y la identificación de las causas de errores, es oportuno reconocer otro concepto muy vinculado a los problemas y es el de su complejidad. El concepto de complejidad admite diferentes interpretaciones según el punto de vista considerado. Estas son: i ) Complejidad del problema, que es inherente al objeto estudiado, ii ) Complejidad cognitiva, que se refiere al esfuerzo requerido para entender el problema, iii ) Complejidad matemática, que es la naturaleza de la formulación involucrada, iv ) Complejidad algorítmica, que refleja la dificultad que ofrece el proceso adoptado para alcanzar la solución, v) Complejidad estructural, que es la composición del software usado para implementar los algoritmos y vi ) Complejidad operativa, que es una medida del esfuerzo que demanda alcanzar la solución del problema. Desde un punto de vista informático, intuitivamente se asocia la complejidad operativa con los recursos de cómputo requeridos para resolver un problema, es decir espacio de memoria y tiempo de proceso.

Como se comprueba, cualquiera sea la interpretación de complejidad, se trata de un indicador difícilmente cuantificable salvo en el caso de la complejidad operativa, motivo por el cual esta ha sido intensamente estudiada y ha dado lugar a una disciplina denominada Teoría de la Complejidad Computacional. A partir de sus indicadores, y bajo ciertas precauciones que aseguren que sus valores puedan ser comparables, se los utiliza para evaluar otras interpretaciones de la complejidad, como la matemática y la algorítmica. Los indicadores de complejidad operativa, el espacio de memoria y tiempo de proceso, son los factores que impidieron la utilización de los elementos finitos hasta que se dispuso de medios automáticos de cálculo con capacidades acordes a los requerimientos de los problemas de interés práctico.


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4 PUNTOS DE VISTA EN EL ESTUDIO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Como ya fue mencionado, la idea general del método de los elementos finitos es la división

de un dominio continuo en un conjunto de pequeños elementos interconectados por una serie de puntos llamados nodos, donde las ecuaciones que gobiernan el comportamiento del dominio completo gobernarán también el de cada uno de los elementos.

Este proceso de discretización permite pasar de un sistema continuo de infinitos grados de libertad, que es regido por una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales, a un sistema discreto con un número de grados de libertad finito y cuyo comportamiento se representa por un sistema de ecuaciones algebraicas, que pueden ser lineales o no.

A partir de esta descripción general se advierte que el estudio del método de los Elementos Finitos puede ser abordado con diferentes objetivos desde tres diferentes puntos de vista que se describen a continuación.

4.1 Utilización de sistemas en la resolución de problemas de ingeniería Existen sistemas de cálculo generales que son aptos para abordar los más diversos tipos de

problemas y hay también otros más específicos, destinados a resolver problemas particulares. Los sistemas generales prevén el análisis estático y dinámico de estructuras, la determinación de despla-zamientos, solicitaciones y tensiones. Es decir se trata de sistemas destinados al análisis de estructuras. Por el contrario, los sistemas específicos incluyen también opciones de diseño estructural según las previsiones de normas e incluyen verificación del cumplimiento de las mismas. Además, disponen de elementos específicos, facilidades para las definiciones de las condiciones de carga y la emisión de los correspondientes diagnósticos. Pueden citarse como ejemplos los sistemas de análisis y diseño de torres metálicas y los de cañerías.

Los sistemas de Elementos Finitos, ya sean generales o específicos, se han convertido en una herramienta insustituible para el ingeniero y su utilización exige un profundo conocimiento de las facilidades de cálculo disponibles, sus alcances y limitaciones. En efecto, es necesario poder seleccionar los elementos más apropiados para cada caso, establecer los apoyos, definir las condiciones de carga y finalmente interpretar los resultados. Para esto último se dispone normalmente de facilidades para su representación gráfica.

4.2 Desarrollo de sistemas de cálculo A pesar de la gran oferta de sistemas de análisis estructural de variado alcance, no debe

descartarse la posibilidad de tener que desarrollar un sistema específico para estudiar problemas particulares. En estos casos se restringe la generalidad del sistema con el fin de abordar en análisis y diseño de estructuras especiales que deben responder a normas particulares. Aquí debe tenerse en cuenta que el desarrollo de sistemas requiere un profundo conocimiento de tres disciplinas básicas; que son: i ) el cálculo estructural, ii ) el análisis numérico y iii ) la programación de computadoras.

Aún a pesar de la ya mencionada disponibilidad de variados sistemas de análisis y diseño estructural, el desarrollo de nuevos sistemas, en muchos casos de dimensiones reducidas, también se justifica ampliamente en ámbitos universitarios y de investigación por brindar la oportunidad de conocer el problema en profundidad y desarrollar aptitudes para la obtención de mejores rendimientos a través del mejor aprovechamiento de los recursos tecnológicos disponibles. El aprovechamiento efectivo del procesamiento paralelo sirve de ejemplo en este sentido.

4.3 Desarrollo de nuevos elementos Un dominio es discretizado a través de elementos que deben ser seleccionados según las

características y propiedades que se desea preservar en el modelo. Para ello debe disponerse de una amplia variedad de elementos y su desarrollo constituyó un activo campo de investigación durante muchos años. En la actualidad se busca desarrollar nuevos elementos que mejoren el comportamiento de elementos existentes, ya sea porque conducen a la obtención de resultados similares con modelos más simples o porque permiten mejorar la calidad de los mismos. También se trabaja en el desarrollo de elementos para tratar problemas muy especiales, como son el caso de la propagación de grietas, representación de materiales compuestos, análisis plástico, no lineal, etc.


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5 CONCEPTOS GENERALES DEL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS (MEF) En las secciones anteriores se ha descripto la idea general de dividir un dominio continúo en

un conjunto discreto de subdominios interconectados. Eso es ejemplificado en la Figura 4 para el caso de una planchuela plana cargada en su mismo plano y que se aprovecha para definir la terminología de uso habitual en el tratamiento de este tema:

Elementos: subdominios elementales continuos que son tratados mediante las ecuaciones de la elasticidad y utilizados para representar el objeto de estudio. Nodos: Puntos característicos en función de los cuales se definen las propiedades elásticas de los elementos y permiten vincular diferentes elementos entre sí. Mallas: Ensamble de elementos destinados a reproducir un cierto medio continuo a través de un modelo discreto.

Grados de Libertad de un nodo: Número mínimo de parámetros necesarios para definir completa-mente la posición de un nodo. Grados de Libertad de un elemento: Cantidad de parámetros a través de los cuales se expresan las propiedades elásticas de un elemento, lo que significa que es el orden de su matriz de rigidez. Grados de Libertad de un modelo discreto: Total de grados de libertad de los nodos de una malla de elementos menos los grados de libertad que están restringidos por condiciones de apoyo, ya sean fijos o de movimientos predefinidos. Representa el orden de la matriz de rigidez de la estructura. Condición de carga: Conjunto de acciones aplicadas sobre el objeto estudiado.

A título de ejemplo, la planchuela de la Figura 4 da lugar a un estado plano de tensión, por lo que cada nodo tiene dos grados de libertad (desplazamientos en dos direcciones ortogonales) y los elementos triángulo empleados en el modelo tienen seis grados de libertad cada uno. El modelo tiene un total de 31 nodos y 56 grados de libertad (31 x 2 – 3 x 2 = 56), con una malla formada por 43 elementos del mismo tipo. Nótese que los elementos han sido dispuestos de manera de reproducir el contorno del dominio de la mejor manera posible, lo que obviamente depende de la cantidad de elementos utilizados. El mejor modelo será el más simple que permita obtener resultados correctos, con errores máximos acordes a los objetivos planteados para el análisis.

Objeto estudiado Modelo discreto Figura 4: Dominio plano y su modelo discreto

5.1 Funciones de aproximación Un término adicional que debe ser introducido es el de función de desplazamiento o de

aproximación, que se refiere a la función adoptada para representar el comportamiento de los desplazamientos dentro de cada tipo de elemento. Su importancia reside en que el MEF es implementado a través del método de la rigidez, con los desplazamientos de los nodos como incógnitas principales, y las distribuciones de desplazamientos, deformaciones y tensiones en el interior de los elementos dependerá de los valores resultantes en los desplazamientos de los nodos y de la función de aproximación adoptada en la formulación del método. Por tal motivo, es necesario disponer de una expresión que permita conocer los desplazamientos de cualquier punto del elemento a partir de su posición y de los desplazamientos de sus nodos que lo definen.

Discretización


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Para estas funciones de aproximación se utilizan normalmente polinomios, que ofrecen dos ventajas importantes: i ) son fáciles de manipular matemáticamente; evaluar, derivar, integrar, etc. y ii ) a medida que aumenta el grado del polinomio la solución debería converger asintóticamente a la del medio continuo representado, lo que implica que un polinomio de grado infinito permitirá obtener una solución exacta. Las funciones de aproximación polinomial de grado “n” para el problema de dos dimensiones del ejemplo de la Figura 4 responden a las siguientes expresiones:

2 2

1 1 2 10 11 1 12 2 13 1 2 14 1 15 2 1 1 1 1 2

2 2

2 1 2 20 21 1 22 2 23 1 2 24 1 25 2 2 1 1 2 2

( , )

( , )

...

...

α α α α α α α α

α α α α α α α α

−

−

= + + + + + + + +

= + + + + + + + +

n nm m

n n

m m

x x

x x

u x x x x x x x x

u x x x x x x x x (1)

Las consideraciones realizadas conducen a pensar en la conveniencia de adoptar polinomios de grado elevado. Sin embargo, al aumentar el grado “n” de los polinomios aumenta también la cantidad de constantes αik (i = 1,2..; k = 0,1..,m) que son necesarias para su definición, y estas constantes deben obtenerse a partir de las incógnitas principales del problema, es decir los despla-zamientos de los nodos incluidos en el elemento. Esto significa que los elementos deben contener una cantidad de nodos acorde al grado de la función de aproximación, de manera de hacer posible la determinación de esos coeficientes. En conclusión, aumentar el grado de la función de aproxi-mación mejora la calidad de la solución y a la vez aumenta los nodos y grados de libertad de los elementos, lo que conduce a modelos más complejos, por lo que es necesario encontrar una solución de compromiso. Para ilustrar el tema se presenta a continuación un ejemplo con un caso muy simple.

Ejemplo 1

Se adopta una función de aproximación lineal para un elemento triángulo plano similar a los utilizados en el modelo de la Figura 5 y se desea expresar los desplazamientos de cualquier punto del dominio en función de los desplazamientos de los nodos.

1 1 2 10 11 1 12 2

2 1 2 20 21 1 22 2

( , )

( , )

α α α

α α α

= + +

= + +

p p p

p p p

u x x

u x x x x

x x (2)

Figura 5: Elemento triángulo plano y sus funciones de aproximación lineal

Nótese que en la definición de los símbolos que representan las posiciones y desplazamientos de los nodos el subíndice define la dirección y el supraíndice define el punto considerado. Las expresiones (2) son aplicables en todos los puntos del dominio y por lo tanto pueden aplicarse a los vértices del triángulo, cuyos desplazamientos son conocidos. Se obtiene así el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

1 1 2 10 11 1 12 2 2 1 2 20 21 1 22 2

1 1 2 10 11 1 12 2 2 1 2 20 21 1 22 2

1 1 2 10 11 1 12 2 2 1 2 20 21 1 22 2

( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , ) ( , )

i i i i i i

j j j j j j

k k k k k k

x x u x x

u x x x x u x x x x

x x u x x

u x x x x

u x x x x

α α α α α α

α α α α α α

α α α α α α

= + + = + +

= + + = + +

= + + = + +

(3)

Estas ecuaciones son expresadas en forma matricial y reordenada en (4), de manera de expresar a las incógnitas en función de los desplazamientos de los nodos y sus posiciones. Las incógnitas del problema son los coeficientes αik que definen las funciones de aproximación (2).

p(x1, x2)

i

j

k x2

x1


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110 1 2 1

11 1 2 2

12 1 2 1

20 1 2 2

21 1 2 1

22 1 2 2

1 0 0 00 0 0 11 0 0 00 0 0 11 0 0 00 0 0 1

ααα

ααα

− =

i i i

i i i

j j j

j j j

k k k

k k k

x x ux x u

x x u

x x u

x x u

x x u

(4)

que en forma resumida puede presentarse como

{ } [ ] { }α −= 1X u (5)

donde la matriz “X ” esta compuesta por las posiciones de los vértices del triángulo. Tal como fue planteado, la determinación de los coeficientes “α” involucra la inversión de “X ”, cuyo orden es igual a la cantidad de grados de libertad del elemento, y estos coeficientes permiten conocer los desplazamientos de cualquier punto del dominio según lo expresa (2).

5.2 Funciones de aproximación en coordenadas triangulares La necesidad de invertir la matriz “X ”, una operación matricial que normalmente se desea

evitar, llevó a explorar alternativas para definir las funciones de aproximación de manera más directa. Algunas de ellas son muy ingeniosas, y para el caso de elementos triangulares se propuso hacerlo a través de coordenadas triangulares, que se definen a continuación.

Figura 6: Elemento triángulo plano. Simbología utilizada en coordenadas triangulares

Los nodos del triángulo son identificados como “i”, “j”, “k”, ordenados en un cierto sentido, en este caso antihorario. A su vez, se asigna la misma denominación a los lados opuestos de los nodos, mostrados en la Figura 6 entre paréntesis. Por ultimo, las componentes horizontal y vertical de cada uno de los lados del triángulo son identificados con la letra “a”, donde el subíndice corresponde a la dirección y el supraíndice al cateto correspondiente. Así, todos los lados del triángulo quedan definidos por las siguientes componentes:

1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

;

;

;

i k j i k j

j i k j i k

k j i k j i

a x x a x xa x x a x xa x x a x x

= − = −

= − = −

= − = −

(6)

Nótese que todo punto arbitrario “p” perteneciente al dominio define sobre el triángulo tres zonas, cuyas áreas son identificadas como Ai, Aj y Ak , siendo Ai +Aj +Ak = A el área total del triángulo. A partir de los valores de estas áreas se definen las llamadas coordenadas triangulares, que son las siguientes:

1 2 1 2 1 2( , ) , ( , ) , ( , )ji ki j k

AA Ax x x x x xA A A

ζ ζ ζ= = = (7)

y de acuerdo a como están definidas, no se trata de tres coordenadas independientes ya que

1ia

2ia

Aj j

i

x2

x1

p

k

(k)

(i ) ( j ) Ai

Ak


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1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , ) 1ζ ζ ζ+ + =i j kx x x x x x (8)

Disponiendo de estas coordenadas triangulares, se las puede emplear para definir funciones de aproximación destinadas a expresar los desplazamientos de cualquier punto del dominio a partir de los desplazamientos de sus vértices (nodos).

1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2

2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

ζ ζ ζ

ζ ζ ζ

= + +

= + +

i j ki j k

i j ki j k

u x x u x x u x x u x x

u x x u x x u x x u x x (9)

Es decir que, en lugar de quedar los desplazamientos definidos en función de los coeficientes “α” de la expresión (2) y (4), se lo hace con las expresiones (9) y para ello se deben determinar las coordenadas ζ. Estas se obtienen a través del algebra vectorial, tal como se muestra a continuación:

1 2 3

1 2 1 2 1 1 2 2 2 1

1 1 2 2

( , ) ( ) 0 ( ) ( )0

1 1 12 2 2

i i j i j ii

j j

t t tA x x jk jp a a x x a x x a

x x x x = × = = − − −

− −

1 2 3

1 2 1 2 1 1 2 2 2 1

1 1 2 2

( , ) ( ) 0 ( ) ( )0

1 1 12 2 2

j j k j k jj

k k

t t tA x x ki kp a a x x a x x a

x x x x = × = = − − −

− −

(10)

1 2 3

1 2 1 2 1 1 2 2 2 1

1 1 2 2

( , ) ( ) 0 ( ) ( )0

1 1 12 2 2

k k i k i kk

i i

t t tA x x ij ip a a x x a x x a

x x x x = × = = − − −

− −

Reemplazando (10) en (7) se obtienen las expresiones específicas para las coordenadas triangulares que permiten definir las funciones de aproximación (9).

1 1 2 2 2 11 2

1 1 2 2 2 11 2

1 1 2 2 2 11 2

( ) ( )( , )2

( ) ( )( , )2

( ) ( )( , )2

j i j ii

i

k j j jj

j

i k i kk

k

A x x a x x ax xA AA x x a x x ax xA AA x x a x x ax xA A

ζ

ζ

ζ

− − −= =

− − −= =

− − −= =

(11)

Ejemplo 2

Se propone expresar en coordenadas triangulares las posiciones de los puntos “A”, “B”, “C” y “D” mostrados en el triángulo representado en la Figura 7.

Figura 7: Identificación de posiciones de puntos usando coordenadas triangulares

Tal como fue expresado en la ecuación (8), no se trata de coordenadas independientes ya que definen las posiciones de puntos en el plano a través de tres parámetros.

x2

x1 i

j

k

A

B

D

C

P(ζ i, ζ j, ζk)

A(⅓,⅓,⅓)

B(0,½,½)

C(½ , 0 , ½)

D(½,½,0)


211

5.3 Funciones de aproximación y condiciones de convergencia Se ha demostrado que las propiedades de rigidez de una estructura obtenidas a través del MEF

son mayores que las que corresponden a la solución exacta, lo que equivale a decir que los verdaderos desplazamientos representan un límite superior para los que puedan obtenerse a través de diferentes modelos discretos. En estas condiciones, es de esperarse que los desplazamientos brindados por los diferentes modelos se aproximen asintóticamente, y en forma creciente, a los valores reales a medida que la cantidad de elementos (y grados de libertad) crecen. Sin embargo, para asegurar esta tendencia asintótica se deben cumplir tres condiciones básicas:

i) Las funciones de aproximación de los desplazamientos deben ser continuas dentro del dominio y los desplazamientos de elementos adyacentes deben ser compatibles en los bordes.

ii) Las funciones de aproximación deben incluir el movimiento del sólido como un cuerpo rígido, condición en que todas las deformaciones deben ser nulas.

iii) Las funciones de aproximación deben permitir la representación de condiciones de deformación constante.

Las formulaciones de las funciones de aproximación que cumplen la condición i ) se dice que son “compatibles” y las que satisfacen las condiciones ii ) y iii ) se dice que son “completas”. Sin embargo, a pesar de que las tres condiciones son suficientes para asegurar convergencia, se ha comprobado que con solo cumplir la tercera condición se pueden obtener resultados prácticos aceptables. Mas específicamente, muchos elementos que no cumplen con el primer criterio, es decir que sus funciones de aproximación son completas pero no compatibles, han sido ampliamente utilizados con éxito. Los problemas que presentan los elementos no compatibles son esencialmente dos: a) no se puede asegurar que su rigidez se encontrará siempre por encima de los valores atribuidos a la solución exacta y b) el proceso de convergencia hacia la solución exacta puede no existir o ser muy lento.

5.4 Consideraciones energéticas Como es sabido, la energía potencial total Π de un sólido elástico es la suma de su energía

interna de deformación W y la energía potencial de las fuerzas exteriores U: W UΠ = + (12)

donde la energía interna de deformación W se obtiene integrando la densidad de energía de deformación en todo el volumen y el potencial U incluye la acción de fuerzas másicas y fuerzas de superficie. Se obtiene así:

V V S

dV Fu dV f u dsωΠ = − −∫ ∫ ∫

(13)

El teorema de la Mínima Potencial Total establece que, de todos los campos de desplaza-mientos que cumplen con las condiciones geométricas de contorno, aquel que hace estacionario a Π corresponde a un estado de equilibrio. Más aun, puede ser demostrado que en una condición de equilibrio estable la energía potencial total de un sólido elástico no solo es estacionaria sino que es mínima.

Luego, se asegura el equilibrio de un sólido elástico a partir de imponer las condiciones de que las derivadas de Π con respecto a los desplazamientos de los nodos debe ser nula:

0∂Π=

∂ ku (14)

Aquí cabe reconocer que, si la condición de equilibrio requiere un mínimo absoluto de la energía potencial total, un modelo discreto con funciones de desplazamientos aproximadas siempre tendrá un valor de Π que será superior al del sólido continuo. Podría esperarse que este valor tienda al mínimo absoluto a medida que la cantidad de grados de libertad del modelo crece, pero para ello es necesario que las funciones de aproximación de los desplazamientos cumplan con las condiciones de convergencia ya establecidas en el punto anterior. De lo contrario, la condición de energía potencial total mínima nunca podrá ser alcanzada.


212

6 DESARROLLO DE UN ELEMENTO BÁSICO DE DOS DIMENSIONES Para mostrar la forma en que se define un elemento finito para obtener la expresión de su

matriz de rigidez se estudiará un triángulo destinado a representar un estado plano de tensión. Para ello se comienza adoptando la función de aproximación de los desplazamientos, y en este caso se opta por la forma más simple: una función lineal, tal como la que fue estudiada a través de las coordenadas triangulares y fue expresada en (9). El elemento seleccionado tiene un espesor “h”, su área es “A”, esta sometido a la acción de fuerzas másicas constantes en el interior del dominio y no tiene cargas de superficie.

Se recuerdan ahora las ecuaciones fundamentales para el estudio del comportamiento de sólidos elásticos: i ) equilibrio, ii ) constitutivas y iii ) cinemáticas. Estas ecuaciones son presentadas a continuación para el caso en que las tensiones normales al plano del elemento son nulas, lo que corresponde a un estado plano de tensión:

i) Ecuaciones de Equilibrio:

11 211

1 2

12 222

1 2

0

0

Fx x

Fx x

σ σ

σ σ

∂ ∂+ + =

∂ ∂∂ ∂

+ + =∂ ∂

(15)

ii) Ecuaciones Constitutivas: 11 11

22 222

12 12

1 01 0

(1 ) 10 02

Eνσ ε

νσ εν νσ γ

= − −

(16)

iii) Ecuaciones Cinemáticas: 1 21 211 22 12

2 11 2

+ ; ; 12

u uu ux xx x

ε ε ε∂ ∂∂ ∂

= = = ∂ ∂∂ ∂ (17)

6.1 Deformaciones en función de la distribución de desplazamientos Como ya fue mencionado, para la definición del elemento triángulo se han propuesto funciones

de aproximación lineal expresadas en coordenadas triangulares definidas en (9). Para comenzar es necesario expresar las deformaciones (17) en función de las expresiones de desplazamientos propuesta.

1 1 1 111

1 1 1 1

2 2 2 222

2 2 2 2

1 2 1 1 1 2 2 212

2 1 2 2 2 1 1

1 12 2

ji k

i j k

ji k

i j k

j ji k i k

i j k i j k

u u u ux x x x

u u u ux x x x

u u u u u u u ux x x x x x x

ζζ ζε

ζ ζ ζ

ζζ ζε

ζ ζ ζ

ζ ζζ ζ ζ ζε

ζ ζ ζ ζ ζ ζ

∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= = + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= = + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 1x

∂

(18)

Derivando los desplazamientos u dados en (9) con respecto a las variables ζ y derivando las coordenadas ζ dadas en (11) con respecto a las coordenadas cartesianas x se obtiene (en notación indicial):

1 211 1 2 1 2 1 2

2 122 2 1 2 1 2 1

1 1 2 212

12 2

1 2 2

4

m mi i j j k k

m mi i j j k k

m m m m

u au a u a u aA A

u au a u a u aA A

u a u aA

ε

ε

ε

− = + + = −

− = + + = −

−=

(19)


213

Es importante observar que los valores de las deformaciones obtenidas (19) son independientes de las coordenadas del punto considerado, es decir que las deformaciones tienen un valor constante en todo el interior del elemento. Esto es consecuencia del tipo de función de aproximación usada, en este caso lineal. Además, de acuerdo a las ecuaciones constitutivas (16) también serán constantes las tensiones en el interior del dominio.

Si se fijan valores arbitrarios a las deformaciones ε11, ε22 y ε12 debería ser posible despejar de las ecuaciones (19) los valores de los desplazamientos que producen tales deformaciones. Pero, por ser tres las deformaciones y seis los desplazamientos existen infinitos juegos de desplazamientos capaces de cumplir tales condiciones. La indeterminación de los desplazamientos es de grado tres y para ser superada deben fijarse las componentes del desplazamiento del cuerpo rígido en el plano.

También es importante observar que las funciones de aproximación propuesta para los desplazamientos son continuas en los límites entre elementos vecinos para cualquier conjunto de valores de desplazamientos nodales. Por el contrario, las deformaciones son constantes en cada elemento y presentarán una discontinuidad en los límites entre ellos.

6.2 Energía de deformación La energía interna de deformación para el caso de un solidó linealmente elástico resulta:

12 σ ε= ∫ ij ij

V

W dV (20)

que expresa en notación indicial una suma de nueve términos, que se reduce a tres para el caso en que una de las tensiones es nula. Se integra sobre el área por tratarse de un elemento de espesor “h” constante:

( )11 11 22 22 12 12212n

A

W h dAσ ε σ ε σ ε= + +∫ (21)

Reemplazando las tensiones por las deformaciones con las ecuaciones constitutivas (16):

2 2 2 211 22 12 12 122 2 2(1 )

2(1 )nA

EW h dAε ε ν ε ε ν εν

= + + + − − ∫ (22)

e integrando sobre toda el área del triángulo se obtiene una expresión aproximada para la energía potencial. Como ya fue mencionado, y a raíz del tipo de función de aproximación utilizada para expresar los desplazamientos, las deformaciones (19) son constantes para todo el dominio.

( )2 2 2 211 22 12 12 122 2 2(1 )

2(1 )nh E AW ε ε ν ε ε ν ε

ν= + + + −

− (23)

6.3 Potencial de las cargas exteriores El potencial de las cargas exteriores se compone de un término que proviene de las fuerzas

másicas por unidad de volumen (en este caso por unidad de área) y de otro que corresponde a las fuerzas de contorno por unidad de superficie (en este caso por unidad del perímetro). Se tiene entonces:

( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2nA S

U F u F u dA f u f u dS= − + + +∫ ∫ (24)

Considerando que son constantes a las fuerzas másicas en el interior del triángulo y que son nulas las fuerzas de superficie sobre su contorno, resulta:

( ) ( )1 1 1 1 2 2 2 2i j k i j k

n i j k i j kA A

U F u u u dA F u u u dAζ ζ ζ ζ ζ ζ= − + + − + +∫ ∫ (25)

Puede además demostrarse que:

1 2 3 3ζ ζ ζ= = =∫ ∫ ∫

A A A

AdA dA dA (26)


214

Con lo que, una vez integrada la expresión (25) se obtiene:

( ) ( )1 21 1 1 2 2 23 3i j k i j k

nF A F AU u u u u u u= − + + − + + (27)

6.4 Mínima energía potencial total Cuando un dominio continuo es representado por un modelo discreto compuesto por cierto

número de elementos, su potencial total resulta de sumar las contribuciones de las energías internas de deformación y los potenciales de cargas exteriores de cada uno de ellos.

1 1

n n

k kk k

W U W U= =

Π = + = +∑ ∑ (28)

Considerando en particular la contribución de un dado elemento a la energía potencial total y aplicando el teorema que establece que esta energía será mínima cuando el sistema este en equilibrio, se pueden establecer ecuaciones de equilibrio para cada uno de los grados de libertad:

1 1 1

2 2 2

0 ; 0 ; 0

0 ; 0 ; 0

∂Π ∂Π ∂Π= = =

∂ ∂ ∂∂Π ∂Π ∂Π

= = =∂ ∂ ∂

i j k

i j k

u u u

u u u

(29)

Algunas de estas ecuaciones, por ejemplo las que corresponden al nudo “i ” en las direcciones “x1” y “x2” se desarrollan de la siguiente manera:

211 22 22 11 1211 22 11 22 122

1 1 1 1 1 1 1

2(1 )2(1 )i i i i i i i

h E A Uu u u u u u u

ε ε ε ε εε ε ν ε ν ε ν εν

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂Π ∂= + + + + − + ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(30a)

211 22 22 11 1211 22 11 22 122

2 2 2 2 2 2 2

2(1 )2(1 )i i i i i i i

h E A Uu u u u u u u

ε ε ε ε εε ε ν ε ν ε ν εν

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂Π ∂= + + + + − + ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(30b)

A partir de las ecuaciones (19) se deduce que:

11 2 11 12 1

1 1 1

, 0 , 2 4

i i

i i i

a au A u u Aε ε ε∂ ∂ ∂

= − = = −∂ ∂ ∂

(31)

y reemplazando en las ecuaciones (30) y luego en las (29) se tiene:

1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 12

1

2 1 1 2 2 1 2 1 1 222

1( ) ( ) ( ) 04 (1 ) 2 3

1 1( ) ) ( ) 04 (1 ) 2 2 3

m m i m m i m m m m i ii

m i m m i m m i m i ii

AFEh a u a a u a a u a u au A

AFEh u a a a a u a a a au A

ννν

ν ννν

∂Π − = − − + − + − − = ∂ −

∂Π − − = + − + − = ∂ −

(32)

y de la misma forma se obtienen las expresiones que corresponden a los restantes nodos “j” y “k”, totalizando las seis ecuaciones de equilibrio.

Los factores que multiplican a los desplazamientos nodales en estas ecuaciones de equilibrio pueden ser interpretados como coeficientes de rigidez del elemento triangular “i-j-k”, con un sentido similar al de los coeficientes de rigidez de los elementos prismáticos (barras), que establecen una relación entre los desplazamientos de los nodos y las fuerzas sobre los mismos.

6.5 Matriz de rigidez del elemento triángulo Agrupando los factores de los desplazamientos de los nodos y expresando las ecuaciones

de equilibrio en forma matricial se tiene:


215

11 12 11 12 11 12

21 22 21 22 21 22

11 12 11 12 11 12

21 22 21 22 21 22

11 12 11 12 11 12

21 22 21 22 21 22

ii ii ij ij ik ik

ii ii ij ij ik ik

ji ji jj jj jk jk

ji ji jj jj jk jk

ki ki kj kj kk kk

ki ki kj kj kk kk

k k k k k kk k k k k kk k k k k kk k k k k kk k k k k kk k k k k k

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

3

i i

i i

j j

j j

k k

k k

u Fu Fu FAu Fu Fu F

=

(33)

donde queda definida la matriz de rigidez de un elemento triangular de espesor constante y cuyos desplazamientos en el interior del dominio son proporcionales a los desplazamientos de los nodos. Al igual que en el caso de barras prismáticas, la matriz de rigidez es simétrica. Además, para un conjunto de elementos triangulares la matriz de rigidez global del dominio se ensambla en forma similar a la de un sistema de barras prismáticas, solo que considerando que ahora cada elemento vincula entre sí tres nodos en lugar de dos. Los elementos de la matriz de rigidez responden a las ecuaciones:

11 122 2 1 1 1 2 2 12 2

21 222 1 1 2 1 1 2 22 2

1 14 (1 ) 2 4 (1 ) 2

1 14 (1 ) 2 4 (1 ) 2

ν ννν ν

ν ννν ν

− − = + = − + − −

− − = − + = + − −

m i m i m i m iim im

m i m i m i m iim im

Eh Ehk a a a a k a a a aA A

Eh Ehk a a a a k a a a aA A

(34)

donde E y ν representan propiedades del material, h y A propiedades geométricas del elemento y los coeficientes a son las componentes cartesianas de los lados del triángulo definidas en (6).

Ejemplo 3

Se determinan los coeficientes de la partición “4-4” de la matriz de rigidez del triángulo de tensión constante que es representado en la Figura 8.

Figura 8: Elemento triángulo

[ ]

1 1 4 4 4 4 3 5 2 3 5 2 2 24 4 2 2 1 1 2 2 1 12

1 2 4 4 4 444 1 2 2 12

2 1 4 4 4 444 2 1 1 22

1 ( ) ( ) ( 80) ( 60)4 (1 ) 2

1 ( 60)( 80) ( 80)( 60)4 (1 ) 2

1 (4 (1 ) 2

ν α β α βν

νν α ν βν

νν αν

− = + = − + − = − + − − − = − + = − − − + − − − − = − + = − − −

Ehk a a a a x x x xA

Ehk a a a aA

Ehk a a a aA

[ ]

2 2 4 4 4 4 3 5 2 3 5 2 2 24 4 1 1 2 2 1 1 2 22

80)( 60 ( 60)( 80)

1 ( ) ( ) ( 60) ( 80)4 (1 ) 2

ν β

ν α β α βν

− + − −

− = + = − + − = − + − −

Ehk a a a a x x x xA

donde 2

1 , =4 (1 ) 2

να βν

−=

−Eh

A

11 12 11 12 11 1233 33 34 34 35 3521 22 21 22 21 2233 33 34 34 35 3511 12 11 12 11 1243 43 44 44 45 4521 22 21 22 21 2243 43 44 44 45 4511 12 11 12 11 1253 53 54 54 55 5521 22 21 22 21 2253 53 54 54 55 55

A

k k k k k kk k k k k kk k k k k k

Kk k k k k kk k k k k kk k k k k k

=

20 80

3 4

5 90 10

x1

x2


216

7 OTROS ELEMENTOS DE USO CORRIENTE

7.1 Estados planos de tensión y deformación El Triángulo de Tensión Constante desarrollado en detalle en el punto anterior es de gran utilidad

práctica y su implementación en programas de cálculo es relativamente sencilla. Sin embargo, en muchos casos y para obtener un grado aceptable de aproximación deben emplearse mallas muy densas, compuestas por un elevado número de elementos. Como alternativa pueden emplearse menor número de elementos triángulo, desarrollados a partir de funciones de aproximación de grado más elevado, como cuadráticas o cúbicas, y también elementos cuadriláteros con estas mismas funciones.

7.1.1 Triángulos de Tensión Lineal y Cuadrática

Como mejora del Triángulo de Tensión Constante (TTC) aparece el Triángulo de Tensión Lineal, en el que se introducen polinomios de segundo grado para expresar los desplazamientos en las dos direcciones ortogonales, u1 y u2, tales como:

2 2

1 10 11 1 12 2 13 1 14 2 15 1 2

2 22 20 21 1 22 2 23 1 24 2 24 1 2

u a a x a x a x a x a x x

u a a x a x a x a x a x x

= + + + + +

= + + + + + (35)

Con el fin de satisfacer continuidad de los desplazamientos en los límites entre elementos se debe introducir un nudo intermedio en cada lado del triángulo, que por simplicidad es ubicado en los puntos medios como muestra la Figura 9-a. Tal como ocurrió en el caso del Triángulo de Tensión Constante, se puede facilitar su desarrollo empleando coordenadas triangulares para expresar las funciones de aproximación de desplazamientos. En este caso se tiene:

1 1 2 1 1 1 1 1 1

2 1 2 2 2 2 2 2 2

( , ) (2 1) (2 1) (2 1) 4 4 4

( , ) (2 1) (2 1) (2 1) 4 4 4

ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ

ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ

= − + − + − + + +

= − + − + − + + +

i j k l m ni i j j k k i j j k k i

i j k l m ni i j j k k i j j k k i

u x x u u u u u u

u x x u u u u u u (36)

Por un procedimiento enteramente similar al seguido en el punto anterior se plantean las ecuaciones de equilibrio y se obtiene la matriz de rigidez asociada a un Triángulo de Tensión Lineal, identificado como TTL.

Figura 9: Triángulos de tensión lineal y cuadrática

Una nueva mejora en el elemento triángulo puede introducirse adoptando funciones de aproximación cúbicas, lo que conduce a que las funciones de deformación y tensión sean cuadráticas. Para satisfacer la continuidad de los desplazamientos en los bordes de los elementos aquí es necesario definir dos puntos intermedios sobre cada lado del triángulo, tal como muestra la Figura 9-b.

Se observa que al aumentar el grado de la función de aproximación se hace necesario aumentar el número de nudos necesarios para definir un elemento, y consecuentemente aumentan sus grados de libertad, lo que queda reflejado en la Tabla 1 que se presenta a continuación. En ella se muestra para las funciones de aproximación lineal, cuadrática y cúbica: i) el grado de la función de deformación que corresponde a cada una, ii ) la cantidad de nodos necesarios para definir el elemento y iii ) la cantidad de grados de libertad.

i

j

k

l

m

n

i

j

k

l m

n o

p

q

a) b)


217

Tabla 1: Grado de las funciones, cantidad de nudos y de grados de libertad en elementos triángulo

Función de aproximación

Grado de la función de deformación

Cantidad de Nodos

Grados de libertad

Lineal Constante 3 6

Cuadrática Lineal 6 12

Cúbica Cuadrática 9 18

El uso de elementos más sofisticados, en este caso con una mejor función de aproximación, reduce la cantidad de elementos necesarios para definir un cierto modelo, pero como se desprende de la tabla anterior no necesariamente reduce la cantidad total de grados de libertad involucrados o por lo menos no lo hace en la misma proporción.

En efecto, el uso de elementos más sofisticados, y por lo tanto la reducción de la cantidad de elementos, no tiene normalmente por finalidad disminuir los grados de libertad del modelo sino más bien facilitar la definición de los datos, mejorar la calidad de la solución y facilitar la interpretación de los resultados. Puede también darse el caso de que estos mejores elementos sean indispensables para una adecuada representación del fenómeno físico estudiado.

7.1.2 Cuadriláteros

Los elementos cuadrilátero son de gran utilidad práctica. Su forma arbitraria les permite adaptarse a dominios de forma irregular y presentan la ventaja sobre los triángulos de que el número de elementos del modelo se reduce significativamente, lo que simplifica la tarea de preparación de los datos. Al igual que lo ya visto para el caso de los triángulos, pueden generarse para el cuadrilátero innumerables funciones de aproximación, desde algunas muy sencillas hasta otras muy sofisticadas.

La forma más simple de formar un cuadrilátero es adjuntando dos triángulos de tensión constante (Figura 10-a y 10-b) y para ello basta con superponer las correspondientes matrices de rigidez. Otra forma de generar el cuadrilátero es componer cuatro triángulos (Figura 10-c) y eliminar el nodo central común a todos ellos a través de condensación matricial. Esta eliminación debe hacerse para expresar la rigidez de cada cuadrilátero sólo en función de los cuatro vértices, antes de combinar la matriz global del sistema.

Figura 10: Cuadriláteros formados por dos y cuatro triángulos

7.2 Estados tridimensionales de tensión La generalización para estados elásticos tridimensionales del método desarrollado en los

puntos anteriores para estados planos sigue los lineamientos ya presentados. El procedimiento para la formulación de las matrices de rigidez es enteramente similar, por lo que se hará una breve descripción de algunos de los tipos de elementos de uso corriente.

7.2.1 Tetraedro de tensión constante

Este elemento, mostrado en la Figura 11, constituye una inmediata generalización del triángulo de tensión constante, adoptándose un tetraedro de forma arbitraria y desarrollándose sus propiedades a partir de coordenadas adimensionales que relacionan volúmenes, de la misma forma que en el estado plano de tensión se relacionaron áreas.

i

j k

l

i

j

k l

i

j

k l

a b c


218

Figura 11: Elemento tetraedro de tensión constante

7.2.2 Prisma rectangular

El elemento prisma rectangular, mostrado en la Figura 12, puede ser obtenido dando una tercera dimensión a un cuadrilátero regular, proponiendo las correspondientes funciones de aproximación y siguiendo un procedimiento similar al ya visto para el caso del triángulo con el fin de plantear las ecuaciones de equilibrio y desarrollar la matriz de rigidez del elemento.

Figura 12: Elemento prisma rectangular

7.3 Elementos isoperimétricos Se han visto hasta ahora diversos elementos de variada complejidad en las funciones de aproxi-

mación, pero todos ellos de formas geométricas simples y lados rectos. También pudo comprobarse que al mejorar la función de aproximación del elemento era necesario introducir nodos adicionales y por lo tanto nuevos grados de libertad.

Un método alternativo para mejorar elementos existentes, que no implica introducir mayor cantidad de grados de libertad, consiste en la generalización de su forma geométrica. Esto es, desarrollar elementos con lados curvos. Se llega así a un elemento que, además de disponer de la capacidad de representar el comportamiento elástico de un sólido, se adapta con facilidad a un contorno irregular sin hacer necesario un refinamiento excesivo de la malla.

La innovación introducida por los elementos “isoparamétricos” consiste en adoptar para la forma de los bordes una función del mismo tipo que la empleada para la función de aproximación de los desplazamientos, y de aquí proviene su denominación. En la Figura 13 se muestran elementos isoparamétricos de diferente configuración, planos y espaciales.

Figura 13: Elementos isoperimétricos en dos y tres dimensiones

Cuando se usa para la geometría una función de grado inferior a la utilizada para los desplazamientos el elemento es definido como “subparamétrico” y si ocurre lo contrario, es decir que la función adoptada para representar la geometría es de mayor grado a la de los desplazamientos, el elemento es definido “superparamétrico”.

ξ = Kk

VV

x1

x2

x3

i j

k l

m n

o p

i

j

k

m


219

La principal limitación que presentan los elementos de este tipo reside en la necesidad de una transformación única entre las coordenadas cartesianas globales y las coordenadas adimensionales propias del elemento, la que no siempre existe.

7.4 Elementos axilsimétricos El problema de la distribución de tensiones en cuerpos de revolución (axilsimétricos) bajo

condiciones de cargas también axilsimétricas es de considerable interés práctico. Desde un punto de vista matemático, el problema planteado es muy similar al de los estados planos de tensión o de deformación, ya que el análisis requerido se reduce en una dimensión y es bidimensional.

Por simetría, dos componentes de desplazamiento en cualquier sección plana orientada radial-mente definen completamente el estado de deformación y por lo tanto el estado de tensión. Una sección que cumple esta condición se muestra en la Figura 14, siendo r y z las coordenadas radial y axial que definen la posición de cualquier punto.

Para estos casos pueden emplearse las mismas funciones de desplazamientos adoptadas en los desarrollos de los elementos triángulos. La diferencia esencial reside en que el desplazamiento radial induce deformación en la dirección circunferencial, por lo que una cuarta componente de deformación y tensión debe ser considerada. Definiendo vectores de tensión y deformación tales como:

;

z z

r r

rz rz

θ θ

ε σε σ

ε σε σγ τ

= =

(37)

es posible relacionarlos a través de las ecuaciones constitutivas ya estudiadas al tratar tubos de pared gruesa utilizando coordenadas cilíndricas. Se tiene así:

{ } [ ]{ }

[ ]

1 01 0

1 01 20 0 0

2

(1 )(1 2 )

σ ε

ν ν νν ν νν ν ν

ν

ν ν

=

− −

= − −

=+ −

C

C D

ED

Figura 14: Sólido y elemento axilsimétrico

El resto de la formulación para el desarrollo del elemento sigue el mismo lineamiento general visto con anterioridad, sólo que naturalmente es más compleja.

Tal como fue presentada, la solución a este problema requiere que las cargas tengan también una distribución axilsimétrica. De no ser así, y en el caso en que las cargas presentan una distribución armónica que es función del ángulo θ , el problema puede ser planteado en términos similares a los ya expuestos. En caso contrario, es decir que no haya una representación armónica de las cargas, deben previamente ser descompuestas a través del análisis de Fourier con el fin de ser expresadas como una sumatoria de funciones cosenoidales.

Por ser las funciones cosenoidales ortogonales entre sí, las funciones de aproximación quedan desacopladas para cada armónica y por lo tanto las matrices de rigidez que corresponden a cada una de ellas pueden obtenerse por separado. De esta manera queda planteado un sistema de ecuaciones algebraicas lineales para cada armónica, cuyos resultados deben ser combinados para la obtención de los desplazamientos y tensiones finales que correspondan al estado de cargas aplicado.

r

z


220

7.5 Bandas finitas Se considera aquí el caso de estructuras que presentan una sección transversal constante a lo

largo de un eje, tal como ocurre en el ejemplo ilustrado en la Figura 15. Pueden mencionarse como principales aplicaciones para este tipo de elemento el modelado de

cubiertas o techos, puentes y recipientes. En este último caso se trata de objetos que han perdido su condición de axilsimétricos como consecuencia de refuerzos o por formar parte de una configu-ración multicelular.

Todos estos casos pueden ser tratados con los elementos finitos de uso general ya comentados con anterioridad, pero la ventaja que ofrecen las bandas finitas es un enorme ahorro en la preparación de los datos del modelo, esfuerzo de procesamiento e interpretación de los resultados. Scordelis empleó en 1964 un planteo similar al de las Bandas Finitas para el análisis de techos múltiples de configuración semicilíndrica y Cheung desarrolló y difundió a partir de 1968 una técnica de análisis que él mismo denominó “Método de las Bandas Finitas” (Finite Strip Method).

Volviendo a la Figura 15, un desplazamiento genérico “w” de cualquier punto de la cubierta puede expresarse a través de un desarrollo de Fourier en la dirección del meridiano, es decir:

1

( , , ) ( , )n

ii

i zw x y z w x y senLπ

=

=∑ (38)

donde L representa la altura del meridiano en la dirección z. De esta forma un problema espacial es reducido en una dimensión, debiendo analizarse para cada armónica un problema de dos dimensiones en el plano (x, y). Posteriormente, los resultados se extienden a la tercera dimensión z superponiendo la contribución de todas las armónicas. Aquí es necesario destacar que esta separación de variables es posible debido a las propiedades de ortogonalidad que presentan las funciones armónicas, que ya fueron mencionadas al presentarse los elementos axilsimétricos.

En resumen, para resolver un problema por el método de las Bandas Finitas se deben cumplir los siguientes pasos:

a) Expresar la condición de cargas como una combinación de funciones senoidales a través de un análisis armónico de Fourier.

b) Obtener las matrices de rigidez de los elementos correspondientes a cada una de las armónicas determinadas en el análisis del punto anterior.

c) Armar las matrices de rigidez de la estructura y calcular los correspondientes desplazamientos y solicitaciones para cada armónica por separado.

d) Combinar los resultados anteriores con el fin de obtener los desplazamientos y solicitaciones finales en cualquier punto a lo largo del meridiano z. Volviendo al punto “b”, se presentan dos variantes para el desarrollo de las matrices de

rigidez de los elementos. Si las bandas empleadas son planas se sigue un procedimiento análogo al mostrado en detalle para el triángulo de tensión constante y éste es el método clásico de “bandas finitas planas”. Por el contrario, si se adoptan bandas de sección curva se recomienda integrar numéri-camente a lo largo del elemento para determinar sus propiedades y armar así sus matrices de rigidez para cada armónica. Estos últimos elementos son denominados “elementos finitos semianalíticos.

Llegado a este punto es necesario reconocer la principal limitación que presenta el método de las bandas finitas. Por ser los desplazamientos y esfuerzos expresados a través de funciones senoidales provenientes del análisis de Fourier, la solución propuesta queda limitado a estructuras que presenten una condición de apoyo simple en sus bordes extremos, que corresponden a z = 0 y z = L. En efecto, una condición de apoyo con desplazamientos y rotaciones nulas, correspondientes a un empotramiento, no es representable mediante la función senoidal empleada.

y

x z

Figura 15: Bandas finitas

L


221

7.6 Otros elementos Las ventajas que ofrece el Método de los Elementos Finitos para la resolución de problemas

estructurales motivó que un gran esfuerzo se haya orientado a desarrollar nuevos elementos más sofisticados para reemplazar otros ya existentes o para modelar casos muy particulares. Es así que en la actualidad se dispone de Elementos Finitos que representan materiales compuestos (plásticos reforzados con fibra de vidrio o carbono, panel de abejas, etc.), materiales fisurados, materiales con diverso grado de anisotropía, etc. Estas propiedades especiales y sus diversas formas hacen posible la correcta representación de sólidos elásticos de la más variada geometría, propiedades y condiciones de trabajo. A estos nuevos elementos deben agregarse los otros más simples y ya conocidos del curso anterior, como son los elementos prismáticos en todas sus variantes: barra, viga, resorte axial y tubo recto con presión interior. Además, deben también sumarse el tubo curvo (codo) y el elemento elástico (resorte) en flexión y torsión.

Todos estos elementos están normalmente disponibles en las “librerías” de los grandes sistemas de cálculo que emplean este método, mostrándose como ejemplo en la Tabla 2 una de estas librerías que podría ser considerada típica.

Tabla 2: Librería de Elementos Finitos de un sistema comercial (NISA)

Nótese que las filas de la tabla de esta librería corresponden a los diferentes tipos de elementos disponibles, que son definidos en la primera columna. La segunda columna describe los grados de libertad por cada nodo, donde el prefijo “U” corresponde a desplazamientos y el “R” a rotaciones.

Luego, las siguientes columnas corresponden a diferentes funciones de aproximación de los desplazamientos, tales como lineal, cuadrática, cúbica o una combinación de estas. Es decir que se trata de una tabla de doble entrada que permite seleccionar cierto tipo de elemento y su función de aproximación.

Por ejemplo, en la sexta fila se encuentran los elementos de placa de tipo general (general shell ), que tienen seis grados de libertad por nodo (tres desplazamientos y tres rotaciones, es decir


222

que los nodos transmiten momentos) y en la quinta columna se encuentra el elemento de placa general definido con una función de aproximación de desplazamientos cúbica. Nótese que los elementos de placa de esta sexta fila se definen a partir de nodos distribuidos sobre el plano medio y que el elemento de la quinta columna queda definido por 12 nodos, es decir se trata de un elemento de 72 grados de libertad.

La séptima fila también corresponde a placas, pero en este caso se trata de elementos con espesor que quedan definidos a partir de nodos en ambos planos, superior e inferior, que solo tienen tres grados de libertad de desplazamientos y no incluyen rotaciones. En este caso el elemento con función de aproximación cúbica queda definido por 24 nodos (12 nodos en cada plano) con 72 grados de libertad (igual que en el caso anterior). Este elemento es apropiado para placas de espesor considerable y el anterior es para placas delgadas.

En la parte inferior derecha de la tabla se presentan elementos especiales, tales como los destinados a representar placas sándwich o laminados con materiales compuestos. Como se observa, hay una amplia disponibilidad de elementos que requieren de criterio y experiencia para su correcto uso y el mejor aprovechamiento posible. En caso de duda siempre es recomendable desarrollar varios modelos progresivamente más complejos y comprobar la consistencia de sus resultados.

La librería de elementos mostrada en la Tabla 2 pertenece al Sistema de Cálculo NISA (Numerically Integrated elements of System Analysis), pero hay que aclarar que, si bien los diversos sistemas tienen particularidades que los caracterizan, todos disponen de librerías similares a la mostrada en la Tabla 2.

8 COMBINACIÓN DE ELEMENTOS FINITOS

8.1 Mallas de elementos Tal como fue comentado al presentar la Figura 3, el objetivo del Método de los Elementos

Finitos es desarrollar modelos discretos de sólidos elásticos que permitan el cálculo de las tensiones y deformaciones que experimentan ante ciertas condiciones de trabajo. El primer paso fue desarrollar estos elementos, que quedan representados por sus matrices de rigidez, y una vez que estos elementos están disponibles, el paso siguiente es combinar dichos elementos de forma tal que reproduzcan correctamente el comportamiento de los objetos estudiados. Los interrogantes que aquí se presentan son varios y muchos de ellos solo encuentran respuesta en la experiencia. ¿Qué elementos usar? ¿Cómo disponer los elementos para conformar una malla? ¿Qué densidad de elementos es conveniente? son algunos de estos interrogantes.

Como ejemplo se presenta el caso de una viga simplemente apoyada, sometida a una condición de carga distribuida aplicada estáticamente y cuya sección transversal presenta gran altura respecto de su distancia entre apoyos (luz). La viga en cuestión es representada en la Figura 16-a y el ejemplo fue presentado por K. Rockey en su libro (Rockey et al, 1975). Nótese que se eligió este caso porque, pese a su sencillez, la solución exacta no se obtiene en forma inmediata como consecuencia de la elevada altura de la sección. Para resolver este problema mediante el método de los Elementos Finitos se proponen diferentes modelos y se comparan las soluciones obtenidas con cada uno.

Para representar los modelos de la viga se adoptaron triángulos de tensión constante y dos diferentes formas de disponer estos triángulos, que se muestran en las Figuras 16-b y 16-c. Después de estudiar algunos casos se comprueba que la malla 16-b conduce a mejores resultados que la malla 16-c y presenta además la ventaja de que su regularidad facilita la generación automática de los datos.

Una vez encontrada la forma más conveniente de disponer los triángulos, el paso siguiente es determinar la densidad de malla requerida para alcanzar la solución del problema. Las Figuras 16-d, 16-e y 16-f muestran los tres modelos empleados en el análisis y con los cuales se obtuvieron resultados. En todos ellos se impusieron las condiciones de apoyo haciendo nulos los desplazamientos verticales de los nodos del borde inferior de ambos extremos y las características de estos tres modelos se resumen en la Tabla 3 presentada a continuación.


223

Tabla 3: Características de los modelos de la viga de la Figura 16-a

Modelo Elementos Nudos Grados de Libertad

Figura 16-d 96 65 120 Figura 16-e 150 96 180 Figura 16-f 600 341 660

En la Figura 16-g se representa la deflexión de la viga obtenida con los diferentes modelos y se las compara con las deflexiones que corresponden a la solución exacta y a la obtenida a partir de la teoría de vigas. Para este último caso no se consideró la deformación por corte.

En todos los casos estudiados los resultados obtenidos con elementos finitos están por debajo de los verdaderos. Como puede apreciarse, al afinarse la malla los resultados se aproximan a los de la solución exacta, lo que demuestra la “convergencia” del modelo. Finalmente, en las Figuras 16-h y 16-i se muestran gráficos con las tensiones longitudinales y transversales en toda la altura de la sección. Para representar estos resultados y por haberse utilizado triángulos de tensión constante, se asumió que los valores corresponden a los centroides de los elementos.

A partir del análisis realizado se obtiene una primera conclusión: se recomienda usar varios modelos hasta hallar uno que demuestre convergencia en los resultados cuando el número de elementos

Figura 16-a: Viga de elevado espesor Figura 16-d: Modelo de 120 grados de libertad

Figura 16-b: Modelo de malla regular Figura 16-e: Modelo de 180 grados de libertad

Figura 16-c: Modelo de malla simétrica Figura 16-f: Modelo de 660 grados de libertad

Figura 16-g: Deformación de la viga Figura 16-h: Tensiones longitudinales y transversales

Distancia a lo largo de la viga [inch] 0 5 10 15

1

2

3

4

5

Def

lexi

ón [

inch

x 1

0-3]

65 Nodos, 96 elementos 96 Nodos, 150 elementos 341 Nodos, 600 elementos Teoría de vigas Teoría de la elasticidad

65 Nodos, 96 elementos 96 Nodos, 150 elementos 341 Nodos, 600 elementos Teoría de vigas Teoría de la elasticidad

Tensión Transversal σy [ton/in2]

Tensión Longitudinal σx [ton/in2]

E = 13400 ton/in2 ν = 0,3

Carga uniforme 0,8 ton/in

15 in

5 in

1 in


224

crece. De esta forma puede asegurarse que el modelo es correcto y puede concentrarse la atención en seleccionar el tamaño de malla más apropiado. Deben evitarse las mallas más densas de lo necesario ya que, no solo consumen esfuerzo de cálculo, sino que también aumentan el trabajo de preparación de los datos y dificultan la interpretación de los resultados.

Otro interrogante que enfrenta quien emplea el método de los Elementos Finitos es el siguiente: ¿conviene usar elementos simples en una malla densa o elementos sofisticados con una malla poco poblada? Aparentemente este interrogante tendría rápida respuesta si se considera el problema desde el punto de vista de facilitar la entrada de datos, ya que indudablemente resulta ventajosa una malla poco poblada. Sin embargo, esto no es definitivo ya que la definición de los elementos sofisticados requiere de mayor cantidad de nodos. Además, si se considera la calidad de los resultados tampoco pueden darse recomendaciones definitivas y nuevamente la experiencia es la que tiene la última palabra.

8.2 Algunas recomendaciones para la definición de mallas Si bien una buena modelización con elementos finitos es en gran medida el resultado de la

propia experiencia del analista, se proponen algunas pautas que pueden ser útiles para alcanzar los siguientes cinco objetivos principales:

• Facilitar la definición del modelo y sus datos. • Representar adecuadamente las características elásticas del objeto estudiado. • Evitar problemas numéricos. • Reducir el esfuerzo de cálculo (tiempo de proceso). • Facilitar la interpretación de los resultados.

Las recomendaciones enumeradas a continuación son en realidad sólo recomendaciones que serán más oportunas en algún caso que en otro, y si bien son aplicables para cualquier tipo de elemento, serán especialmente útiles cuando se trabaje con los elementos más simples, que son las que corresponden a las mallas más densas. Estas son las siguientes:

a) Referidas al propio elemento 1) Los elementos deben ser tan regulares como sea posible, los elementos distorsionados o con

ángulos obtusos deben evitarse. En el caso de triángulos lo ideal son los equiláteros. La buena relación de aspecto de los elementos mejora la convergencia y exactitud.

b) Referidas a las mallas de elementos 2) La malla debe respetar los contornos del objeto tan fielmente como sea posible y debe densificarse,

reduciendo el tamaño de los elementos, en las zonas en que el contorno presenta radios pequeños o discontinuidades.

3) Desde el punto de vista de los resultados, las mallas deben densificarse en las zonas donde se espera el mayor gradiente de tensiones.

4) Las mallas deben densificarse gradualmente, y no en forma brusca, evitándose que elementos finitos de tamaños muy diferentes compartan un mismo nudo.

5) Las mallas deberían ser regulares en el sentido de que cada nodo sea compartido por una cantidad similar de elementos.

6) En un proceso de refinamiento es recomendable que las mallas mas densas estén incluidas en las anteriores, lo que significa que todos los nodos de las mallas más gruesas forman parte de las derivadas de ellas (más finas).

c) Referidas a la cantidad de elementos 7) Las mallas densas son costosas y deben evitarse. Por este motivo, se sugiere introducir mejoras

en los modelos a través de densificaciones localizadas en zonas especiales tomando como base una malla general aceptable.


225

d) Referidas a la numeración de nodos y elementos 8) Se debe ser sistemático en la asignación de la identificación numérica a nodos y elementos.

Esto facilita la definición del modelo y la interpretación de los resultados. 9) Siempre que sea posible, debe procurarse que los nodos de un mismo elemento estén identificados

con números próximos entre sí, ya que de esta manera se reduce el ancho de banda de la matriz de rigidez de la estructura.

e) Referidas a la convergencia de los resultados 10) Una buena malla debe mostrar que su sucesiva refinación conducen a resultados que muestran

un comportamiento asintótico a lo que se supone que es la solución exacta. Por el contrario, la falta de una tendencia clara en los resultados debe tomarse como una señal de advertencia que está poniendo en evidencia problemas en el desempeño del modelo.

A título de ejemplo se muestran en las Figuras 17 y 18 mallas de elementos finitos y se comentan los criterios utilizados en la definición de cada una.

Figura 17: Placa con orificio rectangular (sólo un 1/4 del dominio por doble simetría)

Figura 18: Accesorio de montaje (planchuela plana con orificios)

Puede observarse que ambos modelos respetan las recomendaciones 1 (elementos de forma regular), 2 (los modelos respetan los contornos geométricos), 3 (las mallas se densifican en las zonas


226

de concentración de tensiones, donde se espera mayores gradientes), 4 (la densificación de las mallas es gradual ), 5 (en general los nodos comparten la misma cantidad de elementos) y 7 (las zonas más densas están localizadas). Para evaluar los criterios 6, 8, 9 y 10 se requiere de mayor información que la suministrada.

8.3 Ensamble de la matriz de rigidez de la estructura

Una vez definida la malla que materializa el modelo discreto, el paso siguiente es el armado de la matriz de rigidez global de la estructura. Esta es una etapa que realiza en forma automática el sistema

de cálculo, y por lo tanto es totalmente externa al usuario. Sin embargo, es muy importante que este último este informado sobre las características de esta tarea, aun cuando no vaya nunca a desarrollar su propio sistema. Algunas de las recomendaciones referidas a la definición de mallas presentadas en el punto anterior tienen impacto directo en la matriz de rigidez a la que se hace aquí referencia.

Por ejemplo, la matriz de rigidez tendrá sus valores numéricos concentrados en torno a la diagonal principal si los nodos son numerados de conformidad con la recomendación No. 9. Esto es muy importante debido a que el orden de estas matrices puede llegar a ser enorme (cientos de miles) y a efectos de reducir el espacio de almacenamiento y el tiempo de proceso sólo se almacenan y operan los valores de la semibanda (perfil de valores no nulos a partir de la diagonal). De no cumplirse con este criterio los elementos estarán dispersos en toda la matriz y en el peor de los casos habrá que almacenar y operar la matriz completa, limitando la capacidad del sistema y aumentando el tiempo de cálculo. Por ello es habitual que los software de elementos finitos renumeren internamente los nudos para obtener ventajas computacionales.

Las recomendaciones 1, 4 y 5 también impactan en la matriz de rigidez. Elementos distorsio-nados o la combinación de elementos de dimensiones extremadamente diferentes, por citar algunos casos típicos, pueden llevar a un mal condicionamiento de la matriz (ill conditioned ) que contribuirá a una mayor propagación de errores en el proceso de resolución del sistema de ecuaciones. En casos extremos se pueden llegar a tener resultados inútiles por la importante presencia de errores.

La eventualidad de un problema de mal condicionamiento en la matriz de rigidez se pone de manifiesto en la falta de equilibrio global de la estructura (cargas y reacciones de apoyos) y/o en la falta de equilibrio en los nodos, por lo que es recomendable hacer ambos controles antes de comenzar a interpretar los resultados.

Volviendo al propio armado de la matriz de rigidez, se trata de una actividad sistemática donde cada una de las particiones de las matrices de cada elemento de la malla debe ser transformada a un sistema de coordenadas global de referencia y posteriormente incorporada a la matriz global de la estructura. Esta tarea es totalmente similar al armado de la matriz de rigidez de estructuras de barras prismáticas, solo que debe considerar la mayor cantidad de nodos en la definición de cada elemento.

La necesidad de la transformación de coordenadas se origina en que las matrices de los elementos son definidas con referencia a sistemas locales y deben ser objeto de un cambio de base para referirlos a un sistema de referencia único. Tal como en el caso de las estructuras de barras, se trata de una transformación ortogonal.

Luego, en el proceso de armado de la matriz de rigidez global de la estructura debe tenerse en cuenta que cada elemento finito es definido por una cierta cantidad de nodos “m”, que son localmente identificados en un cierto orden (normalmente antihorario). A su vez, cada nodo tiene cierta cantidad de grados de libertad “g” (entre dos y seis), por lo que la matriz de rigidez de cada elemento es de orden n = mxg y en ella se reconocen m2 particiones de orden g. Por su parte, la estructura queda definida por “M” nodos, que corresponde a un total de N = M xg grados de libertad y una matriz de rigidez global que tendrá M 2 particiones de orden g. El armado de la matriz global implica establecer un vínculo entre cada partición de esta y cada partición de las matrices de los elementos, incorpo-rándolas progresivamente.

Ejemplo 4

Mostrar en detalle el armado de la matriz de rigidez global que corresponde al ensamble de tres triángulos de tensión constante presentado en la Figura 19.


227

Figura 19: Ensamble de tres elementos triángulo

Por razones de claridad y espacio disponible, se presentan por separado las contribuciones de las matrices de rigidez de los elementos “A”, “B” y “C” a la matriz de rigidez global de la estructura. La contribución del triángulo “A” a la es la siguiente:

11 12 11 12 11 1211 11 12 12 14 1421 22 21 22 21 22

11 11 12 12 14 1411 12 11 12 11 1221 21 22 22 24 2421 22 21 22 21 2221 21 22 22 24 24

11 12 11 12 11 1241 41 42 42 44 442141 4

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

A

K K K K K KK K K K K KK K K K K KK K K K K K

K

K K K K K KK K

=

22 21 22 21 221 42 42 44 440 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

K K K K

(39)

De igual forma, la contribución del elemento “B” a la matriz de rigidez global es:

11 12 11 12 11 1211 11 13 13 14 1421 22 21 22 21 22

11 11 13 13 14 14

11 12 11 12 11 1231 31 33 33 34 3421 22 21 22 21 2231 31 33 33 34 3411 12 11 12 11 1241 41 43 43 44 442141 4

0 0 0 00 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

B

K K K K K KK K K K K K

K K K K K KK

K K K K K KK K K K K KK K

=

22 21 22 21 221 43 43 44 440 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

K K K K

(40)

Por último, la contribución del elemento “C” a la matriz de rigidez es:

11 12 11 12 11 1233 33 34 34 35 3521 22 21 22 21 2233 33 34 34 35 3511 12 11 12 11 1243 43 44 44 45 4521 22 21 22 21 2243 43 44 44 45 4511 12 1153 53 54 5

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

C K K K K K KK

K K K K K KK K K K K KK K K K K KK K K K

=

12 11 124 55 55

21 22 21 22 21 2253 53 54 54 55 550 0 0 0

K KK K K K K K

(41)

x1

x2 1

2

3

4 5

A C

B


228

La matriz de rigidez de los tres elementos considerados es la suma de las matrices anteriores. Representando con un solo símbolo las cuatro particiones que corresponden a cada nodo se tiene:

11 11 12 13 14 14

21 22 24

31 33 33 34 34 35

41 41 42 43 43 44 44 44 45

53 54 55

00 0

0

0 0

A B A B A B

A A A

A B C B B C B C C

A B A B C A B C C

C C C

K K K K K KK K K

K K K K K K K K K KK K K K K K K K K

K K K

+ + = + + = + +

+ + + +

(42)

Observando la matriz de rigidez se pueden sacar las siguientes conclusiones:

a. Las particiones que corresponden a los nodos 1-5, 2-3 y 2-5 son nulas, en correspondencia con la falta de un elemento que vincule estos nodos en forma directa. Es decir, ningún elemento aporta rigidez relativa entre ellos. Debido a la simetría de la matriz de rigidez y a la misma razón ya expuesta, también son nulas las particiones de los nodos 5-1, 3-2 y 5-2.

b. Sobre la diagonal principal y en correspondencia con los nodos 1 y 3 se verifica la contribución de la rigidez de dos elementos. En efecto, a la rigidez de los nodos 1 y 3 contribuyen los elementos “A-B” y “B-C” respectivamente, por tener esos nudos en común.

c. A la partición del nodo 4 sobre la diagonal principal contribuyen los tres elementos “A”, “B” y “C” ya que este nodo es común a todos ellos.

d. Los nodos 2 y 5 pertenecen cada uno a un único elemento, por lo que las correspondientes particiones sobre la diagonal principal tienen una sola contribución.

Supóngase ahora que se desea aumentar la rigidez relativa entre los nodos 1 y 5 y para ello se recurre a un tensor “D” como se muestra con línea de trazos en la Figura 20. Esto significa que se desea combinar una malla de elementos triángulo con un elemento prismático que es definido por dos nodos, en este caso los identificados como “1” y “5”.

Figura 20: Ensamble de tres elementos triángulo con un tensor de refuerzo

Lo que debe hacerse es incorporar a la matriz de rigidez de la estructura las cuatro particiones de la matriz de rigidez del elemento “D”, que contribuyen a la rigidez de las particiones de los nodos 1 y 5. Es así que las particiones 1-5 y 5-1 dejan de ser nulas y se incorpora rigidez a las particiones correspondientes sobre la diagonal.

11 11 11 12 13 14 14 15

21 22 24

31 33 33 34 34 35

41 41 42 43 43 44 44 44 45

51 53 54 55 55

0 0

0

0

+ + + = + + + = + + + + + + +

A B D A B A B D

A A A

A B C D B B C B C C

A B A B C A B C C

D C C C D

K K K K K K K K

K K KK K K K K K K K K K K

K K K K K K K K K

K K K K K

(42)

El ejemplo propuesto sirve para mostrar la facilidad con que pueden combinarse diferentes tipos de elementos finitos en un modelo discreto, a condición de asegurar compatibilidad en los grados de libertad de los nodos involucrados. También para poner en evidencia que el armado de la matriz de rigidez implica un proceso algorítmico completamente sistemático, que resulta particular-mente apropiado para ser implementado a través de computadoras.

x1

x2 1

2

3

4 5

A D

B

C tensor

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS - · PDF fileCompendio de Cálculo Estructural II...

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