Instituto Universitario Politécnico

“Santiago Mariño”

Ampliación Maracaibo

Teoría de la probabilidad

Elaborado por:

María Angélica Pérez

Introducción

En muchos campos de la actividad humana se trabajan fenómenos que poseen algún grado de incertidumbre y en un importante número de situaciones se llega a decisiones soportadas en el estudio de tales hechos.

Así, el economista estudia la oferta y la demanda de un producto y establece alguna relación funcional sin llegar a determinar exactamente la interacción entre las dos; igualmente el médico evalúa al paciente y en ocasiones no puede precisar cuál es la enfermedad que le aqueja; el ingeniero tiene problemas de lograr exactitud en la resistencia de materiales, de confiabilidad de sus sistemas, de medición de precipitaciones atmosféricas, de la caracterización de un suelo, el mismo flujo del tráfico en una ciudad o una carretera; al sociólogo le interesa conocer el comportamiento de un cierto grupo de indígenas ante la civilización, sus aptitudes y actitudes con base en algunas de las personas que lo conforman; por igual diferentes profesionales buscan medir el riesgo que está involucrado en las decisiones que deben tomar.

La incertidumbre se presenta debido a la aleatoriedad del fenómeno que se observa, pero además por el desconocimiento del verdadero estado del sistema lo cual equivale a ignorar los parámetros que determinan ese estado de la naturaleza.

Existe incertidumbre, por ejemplo cuando: El agricultor se interesa sobre

cuantas semillas serán vanas. El jefe de producción debe detener o no el proceso de producción. Al sociólogo le interesa de un conglomerado sus ingresos, estado civil, edad, etc. El ingeniero electrónico debe identificar la confiabilidad de un sistema.

Se requiere por lo tanto de un procedimiento estructurado,

sistematizado, formalizado, es decir, científico, para manejar la incertidumbre y que además permita cuantificar los diversos niveles de ésta.

El ser humano ha tratado de medir su nivel de incertidumbre, tal medida se conoce como probabilidad.

Filosóficamente no se está desarrollando o descubriendo la probabilidad,

ella es inherente al ser humano, sino que se está cuantificando.

Probabilidad

En la antigüedad se asocia con el concepto de incertidumbre, en el sentido de falta de certeza. En el siglo XVII se encuentra un antecedente del término (“aprobable”) para referirse a acciones o decisiones que las personas

sensatas harían. En el siglo XVIII ya se utiliza para referirse a la toma de decisiones bajo condiciones de incerteza. También aparece la noción lógica de probabilidad vinculada a la descripción de inferencias a partir de datos incompletos.

Teoría de la probabilidad

La teoría de la probabilidad es una teoría matemática axiomatizada, sobre la cual existe un amplio consenso. La formulación usual de la teoría de la probabilidad se hace en el lenguaje de la teoría de conjuntos.

El dominio de la teoría es un conjunto no vacío de elementos

cualesquiera, habitualmente simbolizado como Ω. La probabilidad es una función que asigna números reales a los subconjuntos de Ω.

La probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de un

acontecimiento determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.

La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la

estadística, la física, la matemática, las ciencias y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos, por lo tanto es la rama de las matemáticas que estudia, mide o determina a los experimentos o fenómenos aleatorios.

Precursores de la teoría de la probabilidad

Richard de Fournival (1200-1250)

Uno de los primeros problemas dedicados a contabilizar el número de posibles resultados al lanzar un dado varias veces podemos encontrarlo aún en la Edad Media, en el poema De Vetula de Richard de Fournival (1200-1250)

donde afirma correctamente que si se lanzan tres dados hay 216 combinaciones posibles y calcula acertadamente los diferentes valores para la suma de los tres dados. Aunque ahora puede parecer una cuestión trivial, en aquella época no lo era, y otros autores se equivocaron al intentar resolverla, generalmente porque no tenían en cuenta las posibles permutaciones de una misma combinación.

Luca Pacioli (1445-1517)

Quien en 1487 propuso estos dos problemas particulares: un juego en el

que el premio es de 22 ducados que consiste en alcanzar 60 puntos se interrumpe cuando un equipo lleva 50 puntos y el otro 30; y tres arqueros que compiten por un premio de 6 ducados lanzan flechas hasta que uno de ellos haga 6 dianas, siendo interrumpidos cuando el primero de ellos lleva 4 dianas, el segundo 3 y el tercero 2.

¿Cómo deben repartirse los premios entre los contendientes? Pacioli propuso que el premio debería ser repartido en función de las victorias obtenidas anteriormente: así, el premio del primer problema se dividía en 60×5/8 ducados para el primer equipo y en 360×3/8 para el segundo; para el problema de los arqueros, el premio se dividía en la proporción 4/9, 3/9 y 2/9. Como más tarde se pondría de manifiesto, esta solución obtenida por Pacioli es incorrecta.

Girolamo Cardano (1501-1576)

Quien escribió la primera obra importante relacionada con el cálculo de

probabilidades en los juegos de azar. Fue en 1565 y se llamaba Libro de los juegos de azar. Además Cardano se había ocupado anteriormente del problema del reparto de apuestas y en 1539 llegó a la conclusión de que la solución de Pacioli era incorrecta porque al considerar tan sólo el número de juegos ganados por cada equipo, no contaba cuántos juegos debían ganar para hacerse con el premio.

Cardano propuso como solución del problema que si n es el número de juegos totales y a y b los juegos ganados por cada equipo, el premio debía repartirse de la siguiente manera: [1+2+…+(n-b)]: [1+2… (n-a)].

Esta solución es, en general, incorrecta y sólo da resultados válidos en casos particulares.

Niccolo Tartaglia (1499-1557)

También intentó resolver este problema y en 1556 publicó un libro en el que descartaba la solución dada por Pacioli y daba su propia solución: si un equipo ha ganado a puntos y el otro b, se juega a n puntos y el premio total es P, las ganancias deberían repartirse de la forma:

(P/2)±P[(a-b)/n] siendo la cantidad mayor para el equipo que tenga más victorias. Sin embargo, Tartaglia fue consciente de que su solución no era la correcta y en su libro dejaba claro que era buena para impartir justicia y equilibrio a un reparto, pero no era exacta desde el punto de vista matemático.

Galileo Galilei (1564-1642) Durante su vida también resolvió problemas sobre dados, hasta tal punto

que escribió un libro llamado Sobre la puntuación en tiradas de dados. Sin embargo, la mayor aportación de Galileo a los inicios de la probabilidad fue la invención de su teoría de la medida de errores. Clasificó los errores en dos tipos: “sistemáticos” y “aleatorios”, clasificación que se mantiene aún en la

actualidad y estableció cuidadosamente las propiedades de los errores aleatorios. Con esto contribuyó sin saberlo a la creación de ramas fundamentales de la estadística y la probabilidad posterior.

Los axiomas de Kolmogorov (1903-1987)

Dado un conjunto de sucesos elementales, Ω, sobre el que se ha definido un ∆ de subconjuntos de Ω y una función P que asigna valores reales a los miembros de ∆, a los que denominamos "sucesos", se dice

que P es una probabilidad sobre (Ω,∆) si se cumplen los siguientes tres

axiomas. Primer axioma

La probabilidad de un suceso es un número real mayor o igual que 0. P (A) ≥ 0

Segundo axioma La probabilidad del total, es igual a 1. P (Ω) = 1

Tercer axioma Si dos sucesos A y B, son mutuamente excluyentes o independientes, entonces:

P (A o B) = P (A) + P (B)

Objeto de la teoría de probabilidad

El objeto de la teoría de probabilidades es proporcionar un modelo matemático adecuado, aplicable a la descripción e interpretación de los fenómenos aleatorios.

Problemas de la interpretación clásica.

El término “igualmente posible” debe ser definido de manera tal que no

suponga el término probabilidad. Si aplicamos esta interpretación para situaciones donde el número de

casos posibles es infinito, entonces la probabilidad de cada evento o conjunto de eventos finitos es siempre 0.

Probabilidad condicional Se denomina así a la probabilidad de que ocurra el evento A dado que ha ocurrido el evento B. Pr (A|B) = Pr (A ∩ B) Pr (A) Cuando dos sucesos A y B son independientes se cumple que Pr (A|B)= P (A) Ejemplo:

Pr (mejora) = 800 / 1590 = 0,503 Pr (Mejora | fármaco) = 500 / 860 = 0,581

Probabilidad subjetiva Asignamos probabilidad a eventos tales como:

Que X persona se enferme. Que durante Enero haya muchas lluvias. Que un automóvil sufra desperfectos. Que Z se destaque en su profesión. Que un atleta gane una medalla de oro. o La probabilidad de estos eventos no depende del tratamiento

matemático ni de la noción de experimentos repetibles. Ejemplo: Caso 1: El apostador es indiferente ante las tres apuestas

Pr (1) = Pr (2) = Pr (3)

Caso 2: El apostador es indiferente ante las tres apuestas

Pr (1) > Pr (2) > Pr (3)

Probabilidad lógica

Los sistemas lógicos consideran a la probabilidad como una única relación lógica entre proposiciones o sentencias. Bajo tales aspectos: “la

probabilidad mide como un conjunto de proposiciones, fuera de la lógica necesidad y aparte de la opinión humana, confirma la verdad de otro”.

Entre los cultivadores de este concepto destacan Jeffreys, Keynes, Carnap (que la denomina “grado de confirmación”), Tintner

(“credibilidad”) y Le Blanc (“probabilidad inductiva”).

Dados p y q, hay sólo un valor q/p.

Los posibles valores de q/p son todos los números reales en el intervalo (0,1).

Si p implica q, entonces q/p = 1.

Si p no implica q, entonces q/p = 0.

La probabilidad de q y r dado p es la probabilidad de q dado p

multiplicada por la probabilidad de r dado p (axioma conjuntivo).

La probabilidad de q o r dado p es la probabilidad de q dado p más la probabilidad de r dado p menos la probabilidad de q y r dado p (axioma disyuntivo).

Aportes a la probabilidad Lógica

John Maynard Keynes. (1883-1946) A Treatise on Probability. (1921) Harold Jeffreys. (1891-1989) Theory of Probability (1939) Rudolph Carnap. (1891-1970) Logical foundations of Probability (1952)

La teoría de la probabilidad moderna La teoría de la probabilidad en el siglo XIX:

A partir, fundamentalmente, de Laplace las dos disciplinas más importantes dentro de la teoría de la probabilidad, que eran el cálculo de probabilidades y la estadística se fusionaron de manera que el cálculo de probabilidades se convirtió en el andamiaje matemático de la estadística. Toda la base matemática que permitió desarrollar la teoría de probabilidades está extraída del análisis combinatorio, una disciplina iniciada por Leibniz y Jacob Bernoulli. Posteriormente con el paso del tiempo fue introduciendo la teoría de límites disminuyendo el peso que tenía el análisis combinatorio.

Esta fue sólo la primera de las modernizaciones que sufriría la probabilidad el siglo XIX. Otra de las más importantes fue la que llevó a cabo el matemático alemán Karl Friedrich Gauss (1777-1855), que desarrolló la teoría de errores conjuntamente con Bessel y Laplace, llegando a establecer el método de mínimos cuadrados como el procedimiento más elemental para resolver los problemas de la teoría de errores. Gauss y Laplace, independientemente aplicaron conceptos probabilísticos al análisis de los errores de medida de las observaciones físicas y astronómicas. De hecho, científicos consagrados de la época como Maxwell, Boltzmann y Gibbs aplicaron la probabilidad en su obra "Mecánica Estadística". La teoría de los errores constituye la primera rama de la estadística que puede constituirse como una estructuración teórico-matemática.

Resaltemos ahora uno de los resultados importantes en teoría de errores de Gauss (también hallado de manera independiente por A. Legendre(1752-1833)) que demostraba que, bajo ciertas condiciones generales, la función de densidad de los errores de medida tiene la forma:

Otras contribuciones importantes a la teoría de errores fueron las de Simeon Denis Poisson (1781-1840) que descubrió que la media aritmética no es siempre mejor que una única observación, A.Cauchy(1789-1857) y más tarde de matemáticos rusos como P.Chebyshev(1821-1894). Al margen de la teoría, el francés Poisson aportó otras cosas destacadas a la teoría de la probabilidad, como la distribución que lleva su nombre y que es aplicable a fenómenos poco comunes y extraños. En 1837 publica su trabajo En 1837 publica su trabajo en Recherches sur la Probabilité des Jugements. Poisson

originalmente estudió Medicina, en 1789 se dedicó al campo matemático en la Escuela Politécnica.

Fue muy amigo de Laplace y de Lagrange. Publicó alrededor de 400 artículos en matemática y estadística. Pese al éxito de las aplicaciones se oyeron voces de inconformidad a la definición clásica de probabilidades, que exigía "a priori" saber que todos los eventos eran igualmente posibles. Además, en ciertos casos era imposible aplicar la definición clásica de la probabilidad. Pese a los avances de Poisson, esto no se resolvería hasta el siglo XX.

Sin embargo lo que sí hizo Poisson, fue introducir de alguna manera el

concepto de variable aleatoria, no como lo entendemos actualmente, sino esbozando sus primeros pasos como un conjunto de cada uno con su probabilidad. Posteriormente, Chebyshev asumió que esos conjuntos de los que hablaba Poisson eran independientes e introdujo el término” variable

aleatoria” que aún tiene validez en la actualidad y fue A.Liapunov (1857-1918) quien especificó que estas variables no serían siempre independientes y que esa dependencia estaba sujeta a ciertas condiciones. Además Liapunov dio una definición de distribución casi exacta a la actual:

.

Conclusión

La probabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico.

Existen diversas formas como método abstracto, como la teoría Dempster Shafer y la teoría de la relatividad numérica, esta última con un alto grado de aceptación si se toma en cuenta que disminuye considerablemente las posibilidades hasta un nivel mínimo ya que somete a todas las antiguas reglas a una simple ley de relatividad.

La probabilidad de un evento se denota con la letra p y se expresa en términos de una fracción y no en porcentajes, por lo que el valor de p cae entre 0 y 1. Por otra parte, la probabilidad de que un evento "no ocurra" equivale a 1 menos el valor de p y se denota con la letra q.

Bibliografía

-http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/-history/

(Mc Tutor history of mathematics).

http://www.arrakis.es/~mcj/prb019.htm (Solución del problema del c.de Meré).

http://www.sectormatematica.cl/biografias.htm (Breves apuntes biográficos).

http://kogi.udea.edu.co/revista/16/16-11.pdf#search=%22historia %20de%20la%20probabilidad%22 (Ponencia breve acerca de la probabilidad).

http://www.monografias.com/trabajos/renacim/renacim.shtml (Texto sobre el renacimiento, usado para conocer la época y contexto histórico).