Teoria de Decisiones

TEORÍA DEDECISIONES

Objetivos

Contenido del capítulo

c a p í t u l o17

755

• Aprender métodos de toma dedecisiones bajo incertidumbre

• Usar el valor esperado y lautilidad como criterios dedecisión

• Comprender por qué lainformación adicional es útil y calcular su valor

• Ayudar a los tomadores dedecisiones a proporcionar

valores de probabilidadnecesarios, aun cuando nocomprendan la teoría deprobabilidad

• Aprender a usar árboles dedecisión para estructurar yanalizar problemas complejosde toma de decisiones

17.1 El entorno de la decisión 75617.2 Ganancia esperada en

condiciones de incertidumbre:asignación de valores deprobabilidad 757

17.3 Uso de distribucionescontinuas: análisis marginal765

17.4 Utilidad como criterio dedecisión 773

17.5 Ayuda para que lostomadores de decisionesproporcionen las probabi-lidades correctas 776

17.6 Análisis de árboles dedecisiones 780

• Estadística en el trabajo 790

• Del libro de texto al mundoreal 791

• Términos introducidos en elcapítulo 17 793

• Ecuaciones introducidas en el capítulo 17 793

• Ejercicios de repaso 794

17

756 Capítulo 17 Teoría de decisiones

La Acme Fruit and Produce Wholesalers compra jitomates paravenderlos a minoristas. Actualmente, Acme paga 20 dólares porcaja; las cajas vendidas el mismo día cuestan 32 dólares cada una.

Por ser en extremo perecederos, los jitomates que no se venden elprimer día, valen sólo 2 dólares la caja. Acme ha calculado que la mediade las ventas diarias históricas es 60 cajas y que la desviación estándar de las ventas diarias es 10 cajas. Usando las técnicasintroducidas en este capítulo, podremos indicar a Acme cuántas cajasordenar diariamente para maximizar las ganancias. ■

En la sección 5-3, introdujimos la idea de usar el valor esperado en la toma de decisiones. Trabajamoscon un problema sencillo que involucraba la compra de fresas para su reventa. Esa clase de problemasforma parte de un conjunto de problemas que puede resolverse mediante las técnicas desarrolladasen ese capítulo.

En los últimos 35 años, los administradores han utilizado técnicas estadísticas de reciente desarro-llo para solucionar problemas con información incompleta, incierta o, en algunos casos, casi inexis-tente. Esta nueva área de la estadística tiene varios nombres: teoría estadística de decisiones, teoríade decisiones bayesiana (en honor al reverendo Thomas Bayes, quien se mencionó en el capítulo 4),o simplemente teoría de decisiones. Estos nombres se usan indistintamente.

Cuando hicimos la prueba de hipótesis, tuvimos que decidir si aceptar o rechazar la hipótesis formu-lada. En la teoría de decisiones, debemos decidir entre varias opciones tomando en cuenta las reper-cusiones monetarias de nuestras acciones. Un administrador que ha de seleccionar de entre variasinversiones disponibles debe considerar la ganancia o pérdida que pudiera resultar de cada opción.La aplicación de la teoría de decisiones implica seleccionar una alternativa y tener una idea razona-ble de las consecuencias económicas de elegir esa acción.

17.1 El entorno de la decisiónLa teoría de decisiones puede aplicarse a problemas que abarcan un periodo de cinco años o un día,ya sea que involucre administración financiera o una línea de ensamble en una planta, o que se rela-cione con el sector público o el privado. Independientemente del entorno, la mayor parte de estosproblemas tiene características comunes. Por ello, quienes toman decisiones enfocan sus solucionesde manera bastante consistente. Los elementos comunes a la mayoría de los problemas de la teoría dedecisiones son los siguientes:

1. Objetivo que el tomador de decisiones trata de lograr. Si el objetivo es minimizar el tiem-po de fallas de maquinaria costosa, el administrador puede tratar de encontrar el número ópti-mo de motores de repuesto que debe tener reparaciones rápidas. El éxito de encontrar esenúmero puede medirse contando las fallas mensuales.

2. Varios cursos de acción. La decisión debe involucrar una elección entre alternativas (llama-das actos). En el ejemplo de motores de repuesto, los diversos actos posibles para el tomadorde decisiones incluyen almacenar cero, uno, dos, tres, cuatro o cinco motores de repuesto.

3. Medida calculable del beneficio o valor de las diversas alternativas. En general, estos cos-tos pueden ser negativos o positivos, y se denominan pagos. Los contadores deben determinarel costo del tiempo perdido de producción, resultante de la descompostura de un motor, cuan-do se tiene a mano un repuesto y cuando no. Pero algunas veces, los pagos implican con-secuencias que no sólo son financieras. Imagínese intentando decidir el número óptimo de

Elementos comunesa los problemas deteoría de decisiones

¿Qué es la teoría de decisiones?

generadores de repuesto que un hospital requeriría en caso de presentarse una falla de energíaeléctrica. No tener suficientes podría costar vidas, además de dinero.

4. Eventos que están fuera del control del tomador de decisiones. Este tipo de hechos incon-trolables a menudo se denominan resultados o estados de la naturaleza, y su existencia creadificultades así como interés en la toma de decisiones bajo incertidumbre. Dichos eventos po-drían ser el número de motores de nuestra costosa maquinaria de producción que fallarán enun mes dado. El mantenimiento preventivo reducirá estas fallas, pero seguirán ocurriendo.

5. Incertidumbre respecto a qué resultado o estado de la naturaleza ocurrirá realmente. Ennuestro ejemplo, no estamos seguros respecto a cuántos motores se quemaron. Esta incerti-dumbre suele manejarse con probabilidades asignadas a los diversos eventos que pudieran te-ner lugar; digamos, una probabilidad de 0.1 de que fallen cinco motores al mes.

17.2 Ganancia esperada en condiciones de incertidumbre: asignación de valores de probabilidad 757

Ejercicios 17.1

Aplicaciones■ 17-1 La empresa Wholesale Lamps ha estado en contacto con Leerie’s, una tienda local minorista de lámparas,

para surtirle una lámpara especial de pie cromado, que la tienda desea usar como atracción en sus ventaspróximas. Wholesale Lamps debe ordenar la fabricación de las lámparas 2 días antes para entregarlas enla fecha de venta. El costo de las lámparas para Wholesale es $49 y las vende a Leerie’s en $54. Whole-sale no está seguro de la cantidad que Leerie’s desea, pero supone que serán entre 15 y 20. Uno de los ad-ministradores ha asignado probabilidades a los distintos números de lámparas que Leerie’s podría orde-nar. El gerente de Wholesale Lamps pronostica que no tendrá mercado para las lámparas que no venda aLeerie’s. Se espera que Leerie’s presente la orden mañana. ¿Debe el gerente de Wholesale Lamps usar lateoría de decisiones para ordenar las lámparas que le pedirá Leerie’s?

■ 17-2 Adventures, Inc., es una fuente de capital para empresarios que inician compañías en el campo de la in-geniería genética. Lisa Levin, socia de Adventures, ha estado estudiando varias propuestas de negociosrecientes. Cada propuesta describe una nueva empresa, delinea su mercado potencial y solicita la inver-sión de Adventures. Lisa acaba de terminar de leer el capítulo de teoría de decisiones en el libro de esta-dística de su padre. Piensa que esta técnica proporciona una metodología que puede ayudarle a decidirqué empresas respaldar y a qué nivel. ¿Está Lisa en lo correcto? Si es así, ¿qué información requiere pa-ra aplicar la teoría de decisiones a su problema? Si no es así, ¿por qué?

■ 17-3 La 8th Avenue Book Store depende de Grambler News Service para el suministro de varias revistas co-nocidas. Cada semana, Grambler entrega un número predeterminado de Today’s Romances, entre otras, yrecoge los ejemplares no vendidos durante la semana anterior. No se sabe con seguridad el número deejemplares que venderá la librería, pero el gerente cuenta con datos históricos de las ventas. Grambler co-bra $1.60 a la librería por ejemplar que se vende en $2.95. El gerente de la librería desea obtener una má-xima rentabilidad de la venta de revistas y quiere determinar el número óptimo de Today’s Romances aordenar. ¿Debe usar la teoría de decisiones para decidir el número de revistas que debe tener?

17.2 Ganancia esperada en condiciones de incertidumbre: asignación de valores de probabilidad

Comprar y vender fresas, como en el ejemplo del capítulo 5, es sólo un caso en que las decisionesdeben tomarse bajo incertidumbre. Otro de ellos sería el del comerciante de periódicos que compracada ejemplar a $0.30 cada uno y lo vende a $0.50. Los periódicos no vendidos al final del día care-cen completamente de valor. El problema del comerciante es determinar el número óptimo a orde-nar diariamente. En los días en los que tiene más periódicos de los que vende, sus ganancias se re-

Decisión de comprabajo incertidumbre

ducen por el costo de los periódicos no vendidos. En los días en que los compradores piden másejemplares de los que tiene, pierde ventas y tiene menores ganancias de las que podría haber tenido.

El comerciante ha mantenido un registro de sus ventas en los 100 días anteriores (tabla 17-l). Estainformación es una distribución de las ventas pasadas del comerciante. Como el volumen de ventaspuede tomar sólo un número limitado de valores, la distribución es discreta. Supondremos en esteanálisis, que el comerciante sólo venderá las cantidades enumeradas; no 412,525 ni 637. Más aún,no tiene una razón para pensar que el volumen de ventas tomará cualquier otro valor en el futuro.

Esta información dice algo sobre el patrón histórico de ventas del comerciante. Aunque no da lacantidad que los compradores pedirán mañana, sí dice que existen 45 oportunidades en 100 de quela cantidad sea 500 periódicos. Por consiguiente, se asigna una probabilidad de 0.45 a la cifra de ven-tas de 500 periódicos. La columna de probabilidades de la tabla 17-1 muestra la relación entre lasobservaciones totales de ventas (100 días) y el número de veces que apareció cada valor posible deventas diarias en las 100 observaciones. Así, la probabilidad de cada nivel de ventas se obtiene divi-diendo el número total de veces que aparece cada valor en las 100 observaciones entre el número to-tal de ellas, esto es, 15/100, 20/100, 45/100, 15/100 y 5/100.

Maximizar ganancias en vez de minimizar pérdidasEn la sección 5-3, cuando presentamos por primera vez el valor esperado en la toma de decisiones,usamos un enfoque que minimizaba pérdidas y nos conducía a un patrón de inventario óptimo paranuestro comerciante de fresas. Es igual de fácil encontrar el patrón de inventario óptimo al maximi-zar ganancias, y eso es justo lo que haremos aquí.

Recuerde que el comerciante de frutas y verduras del capítulo 5 compraba fresas a $20 la caja ylas vendía a $50. Supusimos que el producto no tenía valor si no se vendía el primer día (una restric-ción que pronto quitaremos). Si mañana los compradores piden más cajas de las que el comerciantetiene, las ganancias potenciales disminuyen $30 (el precio de venta menos el costo) por cada cajaque no pueda vender. Por otra parte, también se tienen costos de almacenar demasiadas unidades enun día dado. Si el comerciante tiene 13 cajas pero sólo vende 10, obtiene una ganancia de $300, o$30 por caja en 10 casos. Pero esta ganancia debe reducirse $60, el costo de las tres cajas no vendi-das y carentes de valor.

Una observación de 100 días de ventas históricas proporciona la información de la tabla 17-2. Losvalores de probabilidad se obtienen igual que en la tabla 5-6.

Observe que sólo hay cuatro valores discretos para el volumen de ventas, y hasta donde sabemos,no existe un patrón discernible en la secuencia en que ocurren estos cuatro valores. Suponemos queel comerciante no tiene razones para creer que el volumen de ventas se comportará de manera dis-tinta en el futuro.

Cálculo de las ganancias condicionalesPara ilustrar este problema, podemos construir una tabla que muestre los resultados en dólares de to-das las combinaciones posibles de compras y ventas. Los únicos valores de compras y ventas quetienen significado para nosotros son 10, 11, 12 y 13 cajas, porque el comerciante no tiene razonespara considerar la compra de menos de 10 o más de 13 cajas.

Un problema del capítulo 5 trabajadode otra manera

Cálculo de las probabilidades paralos niveles de ventas


Distribución de la ventade periódicos

Tabla 17-1 Número de días Probabilidad de cadaVentas diarias que se venden número que se vende

300 15 0.15400 20 0.20500 45 0.45600 15 0.15700 5 0.05

1�0�0� 1�.�0�0�

La tabla 17-3, denominada tabla de ganancias condicionales, muestra la ganancia resultante de cual-quier combinación posible de oferta y demanda. Las ganancias podrían ser positivas o negativas(aunque todas son positivas en este ejemplo) y son condicionales en cuanto a que una ganancia dadaes el resultado de tomar una acción específica de inventario (ordenar 10, 11, 12 o 13 cajas) y venderun número específico de cajas (10, 11, 12 o 13 cajas).

La tabla 17-3 refleja las pérdidas ocurridas cuando quedan existencias sin vender al final de undía. Observe, asimismo, que el comerciante no aprovecha las ganancias potenciales adicionalescuando los clientes demandan más cajas de las que tiene.

Observe que el inventario diario de 10 cajas siempre dará una ganancia de $300. Incluso en losdías en los que los compradores quieren 13 cajas, el comerciante sólo puede vender 10. Cuando al-macena 11 cajas, su ganancia será $330 en los días en que los compradores solicitan 11, 12 o 13cajas. Pero en los días que tiene 11 cajas y los compradores compran sólo 10, la ganancia baja a $280.La ganancia de $300 por las 10 cajas vendidas se reduce $20, el costo de la caja no vendida. Un in-ventario de 12 cajas incrementa las ganancias diarias a $360, pero sólo en los días en que los com-pradores deseen 12 o 13 cajas. Si los compradores sólo quieren 10 cajas, la ganancia se reduce a$260; la ganancia de $300 sobre la venta de 10 cajas se reduce $40, el costo de las dos cajas no ven-didas. Almacenar 13 cajas producirá una ganancia de $390 ($30 por cada caja vendida cuando sevenden todas) si existe mercado para las 13 cajas. Cuando los compradores adquieren menos de 13cajas, esa acción de inventarios da ganancias menores que $390. Por ejemplo, con 13 cajas y unaventa de sólo 11 cajas, la ganancia es $290; la ganancia de 11 cajas, $330, se reduce por el costo dedos cajas no vendidas ($40).

La tabla de ganancias condicionales no muestra al comerciante cuántas cajas debe tener cada díapara maximizar sus ganancias. Sólo revela el resultado de tener en inventario un número específico decajas cuando se vende un número específico de ellas. En condiciones de incertidumbre, el comercian-te no sabe de antemano el tamaño del mercado de cada día. Sin embargo, debe decidir qué número decajas tener en existencia continua para maximizar las ganancias durante un periodo largo.

Cálculo de las ganancias esperadasEl siguiente paso para determinar el mejor número de cajas que debe tener es asignar probabilida-des a los resultados o ganancias posibles. En la tabla 17-2 vimos que las probabilidades de los valo-res posibles para las ventas del comerciante son las siguientes:

Cajas 10 11 12 13Probabilidad 0.15 0.20 0.40 0.25

Función de la tablade ganancias condicionales

Explicación de loselementos de la tabla de ganancias condicionales

Tabla de gananciascondicionales


Cajas vendidas

en 100 días

Tabla 17-2 Número de días Probabilidad de cadaVentas diarias que se venden número que se vende

10 15 0.1511 20 0.2012 40 0.4013 25 0.25

1�0�0� 1�.�0�0�

Tabla de ganancias condicionales

Tabla 17-3Posible acción de inventario

Demanda posible (ventas) en cajas 10 cajas 11 cajas 12 cajas 13 cajas

10 $300 $280 $260 $24011 $300 $330 $310 $29012 $300 $330 $360 $34013 $300 $330 $360 $390

Usando estas probabilidades y la información contenida en la tabla 17-3, podemos calcular la ganan-cia esperada de cada posible acción de inventario.

En el capítulo 5 establecimos que podemos calcular el valor esperado de una variable aleato-ria ponderando cada valor posible de la variable con la probabilidad de que tome ese valor.Usando este procedimiento, podemos calcular la ganancia diaria esperada de tener en existencia 10cajas al día. Vea la tabla 17-4. Las cifras de la columna 4 de esa tabla se obtienen multiplicando laganancia condicional de cada volumen de ventas posible (columna 2) por la probabilidad de que ocu-rra esa ganancia condicional (columna 3). La suma de la última columna es la ganancia esperada dia-ria al tener en inventario 10 cajas al día. No es sorprendente que esta ganancia esperada sea $300,puesto que vimos en la tabla 17-3 que almacenar 10 cajas al día siempre dará una ganancia de $300 pordía, sin importar si los compradores quisieran 10, 11, 12 o 13 cajas.

Se puede hacer el mismo cálculo para un inventario de 11 unidades, como se ve en la tabla 17-5.Esto nos dice que si el comerciante tiene en existencia 11 cajas cada día, su ganancia diaria espera-da con el tiempo será $322.50. El 85% del tiempo, la ganancia diaria será $330; en estos días, loscompradores piden 11, 12 o 13 cajas. Sin embargo, la columna 3 nos dice que el 15% del tiempo elmercado tomará sólo 10 cajas, produciendo una ganancia de sólo $280. Esto reduce la ganancia dia-ria esperada a $322.50.

Para 12 y 13 unidades, la ganancia diaria esperada se calcula según se muestra en las tablas 17-6y 17-7, respectivamente.

Calculamos la ganancia esperada para cada una de las acciones de inventario abiertas al comer-ciante. Estas ganancias esperadas son:

• Si se almacenan 10 cajas cada día, la ganancia diaria esperada es $300.00.• Si se almacenan 11 cajas cada día, la ganancia diaria esperada es $322.50.• Si se almacenan 12 cajas cada día, la ganancia diaria esperada es $335.00.• Si se almacenan 13 cajas cada día, la ganancia diaria esperada es $327.50.

La acción de inventario óptima es la que proporciona la mayor ganancia esperada, es decir, lasmayores ganancias promedio diarias y, por tanto, las ganancias totales máximas en un periodo dado.En esta ilustración, el número adecuado en inventario es 12 cajas, porque esta cantidad rendirá lasganancias diarias promedio más altas posibles.

No disminuimos la incertidumbre en el problema que enfrenta el comerciante. Más bien, usamossu experiencia pasada para determinar su mejor acción de inventario. Continúa ignorando cuántascajas le pedirán en un día determinado. No hay garantía de que mañana obtendrá una ganancia de

Significado de la solución

Solución optima

Para 12 y 13 unidades

Para 11 unidades

Cálculo de la ganancia esperada

Para 10 unidades


Ganancia esperada al tener 10 cajas en inventario

Tabla 17-4 Tamaño del Ganancia Probabilidad del Gananciamercado en cajas condicional tamaño de mercado esperada

(1) (2) (3) (4)

10 $300 � 0.15 = $ 45.0011 300 � 0.20 = 60.0012 300 � 0.40 = 120.0013 300 � 0.25 = 75.00

1�.�0�0� $�3�0�0�.�0�0�



10 $280 � 0.15 = $ 42.0011 330 � 0.20 = 66.0012 330 � 0.40 = 132.0013 330 � 0.25 = 82.50

1�.�0�0� $�3�2�2�.�5�0�

$335.00. Sin embargo, si almacena 12 cajas cada día bajo las condiciones dadas, tendrá gananciaspromedio de $335.00 diarios. Esto es lo mejor que puede hacer, porque la opción de cualquiera delas otras tres acciones posibles de existencias ocasionará una ganancia diaria esperada menor.

Ganancia esperada con información perfectaAhora, supongamos que el comerciante de nuestro ejemplo pudiera eliminar toda la incertidumbrede su problema al obtener información completa y precisa respecto al futuro, denominada infor-mación perfecta. Esto no significa que las ventas variarían de 10 a 13 cajas diarias. Las ventas seguiríansiendo 10 cajas diarias el 15% del tiempo, 11 el 20%, 12 el 40% y 13 cajas el 25%. Sin embargo,con información perfecta, el comerciante sabría de antemano cuántas cajas le pedirían cada día.

En estas circunstancias, el comerciante tendría en existencia hoy el número exacto de cajas quelos compradores desearían mañana. Para ventas de 10 cajas, el comerciante tendría 10 cajas y obten-dría una ganancia de $300. Cuando las ventas fueran de 11 cajas, almacenaría exactamente 11 cajas,obteniendo una ganancia de $330.00.

La tabla 17-8 muestra los valores de la ganancia condicional aplicables al problema del comer-ciante si tiene una información perfecta. Conociendo el tamaño del mercado con antelación para undía particular, el comerciante elije la acción de inventario que maximizará sus ganancias. Esto sig-nifica que puede comprar y tener en inventario cantidades que evitan todas las pérdidas por existen-cias obsoletas, así como todas las pérdidas por demanda de fresas no satisfecha.

Ahora podemos calcular la ganancia esperada con información perfecta. Esto se muestra en la ta-bla 17-9. El procedimiento es el mismo que usamos, pero observe que las cifras de ganancia condi-cional de la columna 2 de la tabla 17-9 son las ganancias máximas posibles para cada volumen deventas. Cuando los compradores adquieren 12 cajas, por ejemplo, el comerciante siempre obtendráuna ganancia de $360 con información perfecta, porque habrá almacenado exactamente 12 cajas.

Ganancia esperadacon información perfecta

Uso de lainformaciónperfecta

Definición de informaciónperfecta




10 $240 � 0.15 = $ 36.0011 290 � 0.20 = 58.0012 340 � 0.40 = 136.0013 390 � 0.25 = 97.50

1�.�0�0� $�3�2�7�.�5�0�



10 $260 � 0.15 = $ 39.0011 310 � 0.20 = 62.0012 360 � 0.40 = 144.0013 360 � 0.25 = 90.00 Acción de

1�.�0�0� $�3�3�5�.�5�0�, ← inventario óptima

Tabla de ganancias condicionales con información perfecta

Tabla 17-8Acción de inventario posible

Venta posibles en cajas 10 cajas 11 cajas 12 cajas 13 cajas

10 $300 — — —11 — $330 — —12 — — $360 —13 — — — $390

Con información perfecta, entonces, el comerciante podría confiar en tener una ganancia promediode $352.50 diariamente. Ésta es una cifra significativa porque es la máxima ganancia esperadaposible.

Valor esperado de la información perfectaSuponiendo que un comerciante pudiera obtener un pronosticador perfecto del futuro, ¿cuál sería suvalor para él? Debe comparar el costo de esa información con la ganancia adicional que obtendríacomo resultado de tener la información.

El comerciante de nuestro ejemplo puede obtener ganancias diarias promedio de $352.50 si tie-ne información perfecta acerca del futuro (vea la tabla 17-9). Su mejor ganancia diaria esperada sinel pronosticador es sólo $335.00 (vea las tablas 17-4 a 17-7). La diferencia de $17.50 es la cantidadmáxima que el comerciante estaría dispuesto a pagar, por día, por un pronosticador perfecto, porqueésa es la cantidad máxima en que puede incrementar su ganancia diaria esperada. La diferencia es elvalor esperado de información perfecta y se conoce como VEIP. No tiene sentido pagar más de$17.50 por el pronosticador; hacerlo costaría más que lo que vale el conocimiento.

El cálculo del valor de la información adicional en el proceso de toma de decisiones es un pro-blema serio para los administradores. En el ejemplo que estamos trabajando, encontramos que nues-tro comerciante pagaría $17.50 al día por un pronosticador perfecto. Sin embargo, rara vez podemosasegurar un pronosticador perfecto. En la mayoría de los casos de toma de decisiones, los adminis-tradores en realidad intentan evaluar el valor de la información que les permitirá tomar mejores de-cisiones, aunque no perfectas.

¿Por qué se necesita el valor de la informaciónperfecta?

Valor de la infor-mación perfecta


Ganancia esperada con información perfecta

Tabla 17-9 Ganancia condicional Probabilidad Ganancia esperadaTamaño del con información de tamaño de con información

mercado en cajas perfecta mercado perfecta

10 $300 � 0.15 = $ 45.0011 330 � 0.20 = 66.0012 360 � 0.40 = 144.0013 390 � 0.25 = 97.50

1.00 $352.50

Advertencia: todos los ejemplos usadosen esta sección involucraron distribucio-nes discretas; es decir, se permitió quelas variables aleatorias tomaran sólo unos

cuantos valores. Esto no refleja la mayoría de las situacio-nes del mundo real, pero facilita los cálculos necesarios pa-ra presentar esta idea. Con eventos discretos, la gananciaesperada no necesariamente es uno de los eventos. Suge-rencia: 50% de posibilidad de una ganancia esperada de

$10, unida a 50% de posibilidad de no tener ganancias dauna ganancia esperada de $5. Pero con una distribución dis-creta el resultado será ¡ya sea $10 o cero! Algunas situacio-nes del mundo real también se comportan de esta manera.Una parcela de tierra no desarrollada puede valer ya sea $5millones o $250,000, dependiendo de dónde van a construirun nuevo aeropuerto. La tierra puede también venderse por$500,000 a un especulador que espera obtener el precio deventa final de $5 millones.

SUGERENCIASY

SUPOSICIONES

Ejercicios 17.2

Ejercicios de autoevaluación

EA 17-1 La Writer’s Workbench opera una cadena de franquicias de procesamiento de palabras en ciudades uni-versitarias. Por una tarifa de $8.00 por hora, Writer’s Workbench proporciona acceso a una computadorapersonal, software de procesamiento de palabras y una impresora a los estudiantes que necesitan elaborar

trabajos escritos para sus clases. El papel se proporciona sin costo adicional. La compañía estima que el costovariable por hora por máquina (principalmente por el papel, las cintas, electricidad y desgaste de las compu-tadoras e impresoras) es alrededor de $0.85. Deborah Rubin está considerando abrir una franquicia de Wri-ter’s Workbench en Ames, Iowa. Una investigación de mercado preliminar arrojó la siguiente distribuciónde probabilidad del número de máquinas requeridas por hora durante las horas que planea operar:

Número de máquinas 22 23 24 25 26 27Probabilidad 0.12 0.16 0.22 0.27 0.18 0.05

Si desea maximizar sus beneficios, ¿cuántas máquinas debe Deborah planear tener?, ¿cuál es el valor es-perado de la información perfecta en esta situación? Aunque Deborah pudiera obtener un pronóstico pre-ciso de la demanda para cada hora, ¿por qué no estaría dispuesta a pagar el VEIP por esa información enesta situación?

Aplicaciones

■ 17-4 La Center City Motor Sales se acaba de constituir en sociedad. Su principal activo es una franquicia paravender automóviles de un importante fabricante estadounidense. El gerente general de la Center City estáplaneando cuánto personal ocupará en las instalaciones del taller del negocio. A partir de información pro-porcionada por el fabricante y por otros negocios cercanos, ha estimado el número de horas de mecánicaanuales que es probable que requiera el taller.

Horas 10,000 12,000 14,000 16,000Probabilidad 0.2 0.3 0.4 0.1

El gerente planea pagar a cada mecánico $9.00 por hora y cobrar a su cliente $16.00. Los mecánicos tra-bajan una semana de 40 horas y tienen 2 semanas de vacaciones anuales.a) Determine cuántos mecánicos debe contratar Center City.b) ¿Cuánto debe pagar Center City por la información perfecta del número de mecánicos que necesita?

■ 17-5 Airport Rent-A-Car es un negocio local que compite con varias compañías importantes. La administra-ción de Airport Rent-A-Car planea un nuevo trato para los clientes que desean rentar un automóvil por unsolo día y regresarlo al aeropuerto. Por $24.95, la compañía rentará un automóvil económico pequeño aun cliente cuyo único otro gasto será ponerle gasolina al final del día. La empresa planea comprar al fa-bricante varios automóviles pequeños al reducido precio de $6,750. La gran pregunta es cuántos comprar.Los ejecutivos de la compañía han decidido aplicar la siguiente distribución de probabilidad estimada delnúmero de automóviles rentados por día:

Número de automóviles rentados 10 11 12 13 14 15Probabilidad 0.18 0.19 0.21 0.15 0.14 0.13

La compañía pretende ofrecer el plan 6 días a la semana (312 días al año) y anticipa que su costo varia-ble por automóvil por día será $2.25. Después de usar los automóviles durante un año, la Airport Rent-A-Car espera venderlos y recuperar 45% del costo original. Ignorando el valor del dinero en el tiempo y cualesquiera otros gastos no monetarios, determine el número óptimo de automóviles que la Airpor Rent-A-Car debe comprar.

■ 17-6 Durante varios años, la tienda departamental Madison Rhodes ha ofrecido lápices personalizados comoartículo especial de Navidad. Madison Rhodes compraba los lápices a su proveedor, quien proporciona-ba la máquina de grabado en relieve. La personalización se hacía en los departamentos de la tienda. A pe-sar del éxito en la venta de los lápices, Madison Rhodes recibió comentarios respecto a que la mina de loslápices era de mala calidad, y la tienda encontró un proveedor diferente. El nuevo proveedor, sin embar-go, no puede comenzar a surtir a la tienda antes del primero de enero. Madison Rhodes se vio forzada acomprar sus lápices una última vez con su proveedor original para satisfacer la demanda navideña. Eraimportante, por un lado, que no hubiera exceso de lápices y, por otro, que hubiera suficientes para no per-der clientes por faltantes. Los lápices vienen empacados en estuches de 15 unidades, en cajas de 72 estu-ches. Madison Rhodes pagó $60 por caja y vendió los lápices a $1.50 el estuche. Los costos de mano deobra son de 37.5 centavos por estuche vendido. Basándose en las ventas del año anterior, la gerencia cons-truyó la siguiente tabla:

Ventas esperadas (cajas) 15 16 17 18 19 20Probabilidad 0.05 0.20 0.30 0.25 0.10 0.10


a) ¿Cuántas cajas debe ordenar Madison Rhodes? b) ¿Cuál es la ganancia esperada?

■ 17-7 Emily Scott, jefa de una pequeña compañía consultora de negocios, debe decidir cuántos egresados de lamaestría en administración (MBA) contratar como asesores de tiempo completo el año siguiente. (Emilyha decidido que no contratará empleados de tiempo parcial.) Emily sabe por experiencia que la distribu-ción de probabilidad del número de trabajos de consultoría que su compañía obtiene cada año es la si-guiente:

Trabajos de consultoría 24 27 30 33Probabilidad 0.3 0.2 0.4 0.1

Emily también sabe que cada MBA contratado podrá manejar exactamente tres trabajos de consultoría alaño. El salario de cada uno es $60,000. Cada trabajo de consultoría que gana la compañía pero que nopuede concluir le cuesta $10,000 por la pérdida de negocios futuros.a) ¿Cuántos MBA debe contratar Emily?b) ¿Cuál es el valor esperado de la información perfecta para Emily?

■ 17.8 Algunos estudiantes de la sociedad de alumnos, como organización que colecta fondos, han decidido ven-der pizzas individuales en la entrada de sus instalaciones los viernes. Cada pizza cuesta $0.77 y se puedevender a $1.75. Las ventas históricas indican que se venderán entre 66 y 60 docenas de pizzas con la si-guiente distribución de probabilidad:

Docenas 55 56 57 58 59 60Probabilidad 0.15 0.20 0.10 0.35 0.15 0.05

Para maximizar la contribución a la ganancia, ¿cuántas pizzas deben ordenar? Suponga que las pizzas de-ben ordenarse por docena. ¿Cuál es el valor esperado de la información perfecta en este problema? ¿Cuáles la cantidad máxima que la organización estaría dispuesta a pagar por la información perfecta?

■ 17-9 Manfred Baum, gerente de comercialización de la Grant Shoe Company, está planeando las decisiones deproducción para la línea de zapatos de verano del año entrante. Su principal preocupación es estimar lasventas de un nuevo diseño de sandalias de moda. Estas sandalias han planteado problemas en el pasadopor dos razones: 1) la temporada de ventas limitada no proporciona tiempo suficiente para que la compa-ñía produzca una segunda corrida del popular artículo y 2) los estilos cambian drásticamente de un añopara otro, y las sandalias no vendidas pierden todo valor. Manfred discutió el nuevo diseño con la gentede ventas y formuló las siguientes estimaciones sobre las ventas del artículo:

Pares (miles) 45 50 55 60 65Probabilidad 0.25 0.30 0.20 0.15 0.10

La información del departamento de producción revela que la fabricación de las sandalias costará $15.25el par, y los estudios de mercado informan a Manfred que el precio total por par será $31.35. Usando elcriterio de decisión del valor esperado, calcule el número de pares que Manfred debe recomendar que pro-duzca la compañía.

Soluciones a los ejercicios de autoevaluación

EA 17-1 La siguiente tabla de pagos da las ganancias tanto esperadas como condicionales:

Máquinas necesarias 22 23 24 25 26 27 Ganancia Probabilidad 0.12 0.16 0.22 0.27 0.18 0.05 esperada

22 157.30 157.30 157.30 157.30 157.30 157.30 157.3023 156.45 164.45 164.45 164.45 164.45 164.45 163.49

Máquinas 24 155.60 163.60 171.60 171.60 171.60 171.60 168.40provistas 25 154.75 162.75 170.75 178.75 178.75 178.75 171.55

26 153.90 161.90 169.90 177.90 185.90 185.90 172.54 27 153.05 161.05 169.05 177.05 185.05 193.25 172.09

Debe tener 26 máquinas.

VEIP � 157.30(0.12) � 164.45(0.16) � 171.60(0.22) � 178.75(0.27)

� 185.90(0.18) � 193.25(0.05) �172.54 � $1.787


←

Como el número de máquinas que tendrá disponibles no puede ajustar cada hora, un pronóstico de la de-manda cada hora será de poco valor en esta situación.

17.3 Uso de distribuciones continuas:análisis marginal

En muchos problemas de inventarios, el número de cálculos requeridos dificulta el uso de las tablasde ganancias condicionales y ganancias esperadas. El ejemplo anterior contenía sólo cuatro accio-nes de existencias posibles y cuatro niveles de ventas posibles, que daban como resultado una tablade ganancias condicionales con 16 posibilidades. Si tuviéramos 300 valores posibles para el volu-men de ventas y un número igual de cálculos para determinar la ganancia condicional y esperada,tendríamos que hacer muchísimos cálculos. El enfoque marginal evita este problema.

El análisis marginal se basa en el hecho de que cuando se compra una unidad adicional de un ar-tículo, pueden ocurrir dos cosas: la unidad se vende o no se vende. La suma de las probabilidades deestos dos eventos debe ser 1. (Por ejemplo, si la probabilidad de vender la unidad adicional es 0.6,entonces la probabilidad de no venderla debe ser 0.4.)

Si hacemos que p represente la probabilidad de vender una unidad adicional, entonces 1 � p debeser la probabilidad de no venderla. Si se vende la unidad adicional, lograremos un incremento denuestras ganancias condicionales como resultado de la ganancia de la unidad adicional. Nos referi-mos a esto como ganancia marginal, o GM. En el ejemplo anterior sobre el comerciante, la ganan-cia marginal resultante de la venta de una unidad adicional es $30, el precio de venta ($50) menos elcosto ($20).

La tabla 17-10 ilustra esto. Si tenemos 10 unidades cada día y la demanda diaria es 10 o más uni-dades, nuestra ganancia condicional es $300 diarios. Ahora decidimos tener 11 unidades cada día.Si la onceava unidad se vende (y éste es el caso cuando la demanda es 11, 12 o 13 unidades), nues-tra ganancia condicional se incrementa a $330 diarios. Observe que el incremento en la gananciacondicional no es consecuencia simplemente de tener en existencia la onceava unidad. En las con-diciones supuestas en el problema, este incremento en la ganancia se obtiene sólo cuando la deman-da es 11 unidades o más. Esto ocurrirá 85% del tiempo.

También debemos considerar que afectará las ganancias tener almacenada una unidad adicionalque no se vende. Esto reduce nuestra ganancia condicional. La cantidad de la reducción se conocecomo la pérdida marginal (PM) que resulta de tener en existencia un elemento que no se vende. Enel ejemplo anterior, la pérdida marginal era $20 por unidad, el costo del artículo.

La tabla 17-10 también ilustra la pérdida marginal. Una vez más decidimos tener en inventario 11unidades. Si la onceava unidad (la unidad marginal) no se vende, la ganancia condicional es $280.La ganancia condicional de $300, con un inventario de 10 unidades y una venta de 10, se reduce en$20, el costo de la unidad no vendida.

Las unidades adicionales deben almacenarse mientras la ganancia marginal esperada de tener ca-da una de ellas sea mayor que la pérdida marginal esperada de almacenarlas. El tamaño de la ordende cada día debe incrementarse hasta el punto en que la ganancia marginal esperada de alma-cenar una unidad más si ésta se vende sea justo igual a la pérdida marginal esperada de al-macenar esa unidad si no se vende.

Derivación de la reglade inventario

Pérdida marginal

Obtención de la ganancia marginal

Limitaciones del enfoque tabular

17.3 Uso de distribuciones continuas: análisis marginal 765

Tabla de ganancias condicionales

Tabla 17-10 Demanda Probabilidadposible del tamaño(ventas) del en cajas mercado 10 cajas 11 cajas 12 cajas 13 cajas

10 0.15 $300 $280 $260 $24011 0.20 $300 $330 $310 $29012 0.40 $300 $330 $360 $34013 0.25 $300 $330 $360 $390

Posible acción de inventario

En nuestro ejemplo, la distribución de probabilidad de la demanda es:

Tamaño Prob. del tamañodel mercado del mercado

10 0.1511 0.2012 0.4013 0.25

1�.�0�0�

Esta distribución nos dice que al aumentar el inventario, la probabilidad de vender una unidad adi-cional ( p) disminuye. Si incrementamos el inventario de 10 a 11 unidades, la probabilidad de ven-der las 11 es 0.85. Ésta es la probabilidad de que la demanda sea 11 unidades o más. Los cálculosson los siguientes:

Probabilidad de que la demanda sea 11 0.20Probabilidad de que la demanda sea 12 0.40Probabilidad de que la demanda sea 13 0.25Prob. de que la demanda sea 11 o más unidades 0�.�8�5�

Si añadimos una doceava unidad, la probabilidad de vender las 12 unidades se reduce a 0.65 (lasuma de las probabilidades de demanda de 12 o 13 unidades). Por último, la adición de una trecea-va unidad lleva consigo sólo una probabilidad de 0.25 de vender las 13 unidades, porque la deman-da será 13 unidades sólo 25% del tiempo.

Derivación de la ecuación de probabilidad mínimaLa ganancia marginal esperada de almacenar y vender una unidad adicional es la ganancia margi-nal de la unidad multiplicada por la probabilidad de que se venda dicha unidad; esto es p(GM). Lapérdida marginal esperada de almacenar y no vender una unidad adicional es la pérdida marginalen que se incurre si no se vende la unidad multiplicada por la probabilidad de que no se venda; esdecir (1 � p)(PM). Podemos generalizar que el comerciante en esta situación mantendría existen-cias hasta el punto en que:

p(GM) � (1 – p)(PM) [17-1]

Esta ecuación describe el punto hasta el cual la ganancia marginal esperada de almacenar y ven-der una unidad adicional, p(GM), es igual a la pérdida marginal esperada de almacenar y no venderla unidad (1 � p)(PM). Mientras p(GM) sea mayor que (1 � p)(PM), se deben almacenar unidadesadicionales, porque la ganancia esperada de esa decisión es mayor que la pérdida esperada.

En cualquier problema de inventario, habrá un solo valor de p para el que la ecuación de maxi-mización es cierta. Debemos determinar ese valor para conocer la acción de inventario óptima. Po-demos hacer esto tomando nuestra ecuación de maximización y despejando p de la siguiente ma-nera:

p(GM) � (1 – p)(PM) [17-1]

Multiplicando los dos términos del lado derecho de la ecuación, obtenemos

p(GM) � PM – p(PM)

Reuniendo los términos que contienen a p, tenemos

p(GM) � p(PM) � PM

o

p(GM � PM) � PM

Dividiendo ambos lados de la ecuación entre GM � PM obtenemos

Acción de inventarioóptima

Definición de ganancia y pérdidamarginal esperada


El símbolo p* representa la probabilidad mínima requerida de vender al menos una unidad adicionalpara justificar la existencia de esa unidad adicional. El comerciante debe tener unidades adicionalessiempre y cuando la probabilidad de vender al menos una unidad adicional sea mayor que p*.

Ahora podemos calcular p* para nuestro ejemplo. La ganancia marginal por unidad es $30 (el pre-cio de venta menos el costo); la pérdida marginal por unidad es $20 (el costo de cada unidad); portanto,

p* � � � � 0.40 [17-2]

Este valor de 0.40 para p* significa que para justificar el almacenamiento de una unidad adicio-nal, debemos tener al menos 0.40 de probabilidad acumulada de vender esa unidad o más. Con el finde determinar la probabilidad de vender cada unidad adicional que pensamos almacenar, debemoscalcular una serie de probabilidades acumuladas, como se ve en la tabla 17-11.

Las probabilidades acumuladas de la columna derecha de la tabla 17-11 representan las probabi-lidades de que las ventas alcancen o excedan cada uno de los cuatro niveles de ventas. Por ejemplo,el 1.00 que aparece junto al nivel de ventas de 10 unidades significa que estamos 100% seguros devender 10 o más unidades. Esto debe ser cierto porque nuestro problema supone que siempre ocu-rrirá uno de los cuatro niveles de ventas.

El valor de probabilidad de 0.85 junto a la cifra de ventas de 11 unidades significa que sólo es-tamos 85% seguros de vender 11 o más unidades. Esto puede calcularse de dos maneras. Primero,podemos sumar las posibilidades de vender 11, 12 o 13 unidades:

11 unidades 0.2012 unidades 0.4013 unidades �0.25

��13 unidades �0.85 � probabilidad de vender 11 o más

O podemos razonar que las ventas de 11 o más unidades incluyen todos los resultados posibles,excepto la venta de 10 unidades, que tiene una probabilidad de 0.15.

Todos los resultados posibles 1.00Probabilidad de vender 10 �0.15

��Todos los resultados posibles �0.85 � probabilidad de vender 11 o más

El valor de la probabilidad acumulada de 0.65 asignado a ventas de 12 unidades o más puede estable-cerse de una manera similar. La venta de 12 o más significa ventas de 12 o 13 unidades; de esta forma

Probabilidad de vender 12 0.40Probabilidad de vender 13 �0.25

��0.65 � probabilidad de vender 12 o más

Cálculo de las probabilidades acumuladas

$20�$50

$20��$30 � $20

PM��GM � PM


Probabilidad mínima requerida para almacenar otra unidad

p* � [17-2]PM

��GM � PM

Ecuación de probabilidad mínima

Probabilidades acumuladas deventas

Tabla 17-11 Probabilidad Probabilidad acumuladaUnidades de este nivel de que las ventas esténde ventas de ventas en este nivel o en uno mayor

10 0.15 1.0011 0.20 0.8512 0.40 0.6513 0.25 0.25

Por supuesto la probabilidad acumulada de vender 13 unidades sigue siendo 0.25, ya que las ventasnunca excederán 13.

Como mencionamos, el valor de p disminuye al aumentar el nivel de inventario. Esto ocasionaque la ganancia marginal esperada disminuya y la pérdida marginal esperada aumente hasta que, enalgún punto, almacenar una unidad adicional no sea rentable.

Hemos afirmado que las unidades adicionales deben almacenarse mientras la probabilidad devender al menos una unidad adicional sea mayor que p*. Ahora podemos aplicar esta regla a nues-tra distribución de probabilidad de ventas y determinar cuántas unidades deben almacenarse.

En este caso, la probabilidad de vender 11 o más unidades es 0.85, cifra claramente mayor quenuestro p* de 0.40; por consiguiente, debemos tener en existencia una onceava unidad. La gananciamarginal esperada de tener esta unidad es mayor que la pérdida marginal esperada. Podemos verifi-car esto de la siguiente manera:

p(GM) � 0.85($30) � $25.50 de ganancia marginal esperada

(1 � p)(PM) � 0.15($20) � $3.00 de pérdida marginal esperada

Debe almacenarse una doceava unidad porque la probabilidad de vender 12 o más unidades (0.65)es mayor que la p* requerida de 0.40. Tal acción ocasionará la siguiente ganancia marginal espera-da y pérdida marginal esperada:



Doce es el número óptimo de unidades que debe haber en inventario, porque agregar una trecea-va unidad tiene una probabilidad de sólo 0.25 de venderse, y eso es menos que la p* requerida de0.40. Las siguientes cifras revelan por qué la treceava unidad no debe tenerse en existencia:



Si almacenamos una treceava unidad, añadimos más a la pérdida esperada que a la ganancia esperada.Observe que el uso del análisis marginal nos conduce a la misma conclusión que obtuvimos con

las tablas de ganancia condicional y ganancia esperada. Ambos métodos de análisis sugieren que elcomerciante debe tener en inventario 12 unidades cada periodo.

Nuestra estrategia, tener 12 cajas cada día, supone que las ventas diarias es una variable aleato-ria. Sin embargo, en la práctica las ventas diarias a menudo siguen patrones detectables, dependiendodel día de la semana. En las ventas al menudeo, se sabe en general que el sábado es un día con unvolumen más alto que, digamos, el martes. De manera similar, las ventas al menudeo del lunes sonpor lo general menores que las del viernes. En situaciones con patrones reconocibles de ventas diarias,podemos aplicar estas técnicas calculando un nivel de inventario óptimo para cada día de la sema-na. Para el sábado, usaríamos como datos de entrada la experiencia de ventas anteriores de los sába-dos únicamente. Cada uno de los otros seis días podría tratarse de la misma manera. Básicamente, esteenfoque no representa más que el reconocimiento, y la reacción, a patrones discernibles en lo que a pri-mera vista podría parecer un entorno completamente aleatorio.

Uso de la distribución de probabilidad normal estándar

Vimos el concepto de distribución de probabilidad normal estándar en el capítulo 5. Ahora podemosusar esa idea como ayuda para resolver un problema de teoría de decisiones empleando una distri-bución continua.

Suponga que un gerente ofrece un artículo que tiene ventas con distribución normal con media de50 unidades diarias y desviación estándar en las ventas diarias de 15 unidades. El gerente compra es-te artículo en $4 por unidad y lo vende en $9. Si el artículo no se vende el día que sale a la venta,

Solución de un problema usandoanálisis marginal

Ajuste del nivel de inventario óptimo

Nivel de existenciasóptimo para este problema

Regla de inventario


pierde su valor. Usando el método marginal de calcular niveles de compra de inventario óptimos,podemos calcular nuestra p* requerida:

p* � [17-2]

� � 0.44

Esto significa que el gerente debe estar 0.44 seguro de vender al menos una unidad adicional an-tes de almacenar esa unidad. Reproducimos aquí la curva de las ventas históricas para determinar có-mo incorporar el método marginal con distribuciones continuas de ventas diarias históricas.

Ahora consulte la figura 17-1. Si trazamos una línea vertical b en 50 unidades, el área bajo la cur-va a la derecha de esta línea es la mitad del área total. Esto nos dice que la probabilidad de vender50 o más unidades es 0.5. El área a la derecha de cualquier línea vertical de este tipo representa laprobabilidad de vender esa cantidad o más. Al disminuir el área a la derecha de cualquier línea ver-tical, también disminuye la probabilidad de que vendamos esa cantidad o más.

Supongamos que el gerente desea almacenar 25 unidades, la línea a. La mayor parte del área com-pleta bajo la curva está a la derecha de la línea vertical trazada en 25; por tanto, la probabilidad deque el gerente venda 25 unidades o más es alta. Si piensa almacenar 50 unidades (la media), la mi-tad del área total bajo la curva está a la derecha de la línea vertical b; por consiguiente, está 0.5 se-guro de vender las 50 unidades o más. Ahora, digamos que considera almacenar 65 unidades. Sólouna pequeña porción de toda el área bajo la curva cae a la derecha de la línea c; en consecuencia, laprobabilidad de vender 65 o más unidades es bastante pequeña.

La figura 17-2 ilustra la probabilidad de 0.44 que debe existir antes de que convenga a nuestrogerente almacenar otra unidad. Mantendrá en inventario unidades adicionales hasta que llegue alpunto Q. Si almacena una cantidad mayor, el área sombreada bajo la curva es menor que 0.44 y laprobabilidad de vender otra unidad o más será menor que el 0.44 requerido. ¿Cómo podemos locali-zar el punto Q? Como vimos en el capítulo 5, podemos usar la tabla 1 del apéndice para determinarcuántas desviaciones estándar se necesitan para incluir cualquier porción del área bajo la curva, mi-diendo desde la media hasta cualquier punto como Q. En este caso particular, como sabemos que elárea sombreada debe ser 0.44 del área total, entonces el área desde la media hasta el punto Q debeser 0.06 (el área desde la media hasta la cola derecha es 0.50). Al consultar el contenido de la tabla,encontramos que 0.06 del área bajo la curva se localiza entre la media y un punto a 0.15 de la des-viación estándar a la derecha de la media. Por tanto, sabemos que el punto Q está a 0.15 de la desvia-ción estándar a la derecha de la media (50).

Tenemos la información de que 1 desviación estándar para esta distribución es 15 unidades; así,esto por 0.15 serían 2.25 unidades. Como el punto Q está 2.25 unidades a la derecha de la media (50),

Solución óptimapara este problema

Uso de la distribuciónde probabilidad normal estándar en el análisis marginal

$4�$5 � $4

PM��GM � PM


20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80

Media de 50

a

b

c

FIGURA 17-1

Distribución normal de ventasdiarias históricas

debe estar aproximadamente en 52 unidades. Ésta es la cantidad a ordenar óptima para el gerente:52 unidades cada día.

Una vez terminado un problema usando una distribución de probabilidad continua, podemos tra-bajar en nuestro problema de inicio del capítulo con los datos siguientes de las ventas diarias quesiguen una distribucióln normal:

Media de ventas diarias históricas 60 cajasDesviación estándar de distribución

de ventas diarias históricas 10 cajasCosto por caja $20Precio de venta por caja $32Valor si no se vende el primer día $ 2

Igual que en el problema anterior, primero calculamos la p* que se requiere para justificar el inven-tario de una caja adicional. En este caso:

p* � [17-2]

�

�

� � 0.60

Ahora podemos ilustrar la probabilidad sobre una curva normal marcando 0.60 del área bajo lacurva, comenzando desde la cola derecha de la curva, como se muestra en la figura 17-3.

El administrador desea incrementar su tamaño de orden hasta el punto Q. Ahora bien, el punto Qestá a la izquierda de la media, mientras que en el problema anterior estaba a la derecha. ¿Cómo

$18�$30

$18��$12 � $18

$20 � $2��$12 � ($20 – $2)

PM��GM � PM

Problema de iniciodel capítulo

Probabilidad mínimarequerida

Observe que el valor de recupera-ción de $2 se deduce del costo de$20 para obtener la PM


0 50 100Punto Q

0.44 del área

FIGURA 17-2

Distribución deprobabilidad normal, con 0.44del área bajo lacurva sombreada

FIGURA 17-3

Distribución deprobabilidad normal, con 0.60del área bajo lacurva sombreada

0 60 120Punto Q

0.60 del área

0.25 de la desviación estándar

podemos localizar el punto Q? Como se tiene 0.50 del área bajo la curva entre la media y la cola de-recha, debemos tener 0.10 del área sombreada a la izquierda de la media (0.60 � 0.50 � 0.10). Enla tabla 1 del apéndice, el valor más cercano a 0.10 es 0.0987, de manera que, deseamos encontrarun punto Q con 0.0987 del área bajo la curva contenida entre la media y el punto Q. La tabla indicaque el punto Q está a 0.25 de desviación estándar de la media. Ahora obtenemos el valor del puntoQ de la siguiente manera:

0.25 � desviación estándar � 0.25 � 10 cajas � 2.5 cajas

Punto Q � media menos 2.5 cajas

� 60 � 2.5 cajas � 57.5, o 57 cajas

Solución óptima parael problema de iniciodel capítulo


Advertencia: usar la ganancia esperadamáxima calculada de una sola distribu-ción de ventas como regla de decisiónsupone que la distribución de ventas que

se maneja representa toda la información que tiene acercade la demanda. Si sabe, por ejemplo, que las ventas el sá-bado se representan mejor con otra distribución, entoncesdebe manejar el sábado como una decisión separada y calcu-lar un nivel de inventario para los sábados, que tal vez di-fiera del de los otros seis días. Sugerencia: de todos modos,

ésta es la manera en que los buenos administradores tomandecisiones. En lugar de aceptar que todos los días de la se-mana tienen características de mercado idénticas, se sabedesde hace mucho que existen diferencias fuertes y discer-nibles. Estas diferencias entre los días son en sí distintas enciertos países. Sugerencia: mientras que el sábado es el díamás importante para las compras en Estados Unidos, lasventas del sábado serían nulas en Israel, debido a sus creen-cias religiosas.

SUGERENCIASY

SUPOSICIONES

Ejercicios 17.3

Ejercicios de autoevaluación

EA 17-2 Floyd Guild atiende un puesto de periódicos cerca de la estación de la línea suburbana de la calle 53. ElCity Herald es el más popular de los periódicos que tiene Floyd. Durante muchos años, ha observado quela demanda diaria del Herald queda bien descrita por una distribución normal con media � � 165 y des-viación estándar � � 40. Él vende los ejemplares del Herald a 30 centavos, y los compra a la casa editoraa 20 centavos cada ejemplar. Si quedan algunos Herald al final de las horas de trasbordo de la tarde, Floydlos vende al mercado de pescado de Jesselman de la misma calle a 10 centavos cada uno. Si Floyd deseamaximizar su ganancia diaria esperada, ¿cuántos ejemplares del Herald debe ordenar?

Aplicaciones

■ 17-10 La construcción de carreteras en Dakota del Norte se concentra en los meses de mayo a septiembre. Paraproporcionar protección a las cuadrillas de trabajo en las carreteras, el Departamento de Transporte (DT)requiere que se coloquen grandes letreros anaranjados de HOMBRES TRABAJANDO antes de cualquierconstrucción. Debido al vandalismo, el desgaste y el robo, el DT compra nuevos letreros cada año. Aun-que los letreros se hacen con el apoyo del Departamento de Correccionales, el DT paga un precio equiva-lente al que pagaría por los letreros a una fuente externa. El cargo interdepartamental por los letreros es$21 si se ordenan más de 35 del mismo tipo; de otra forma, el costo por letrero es $29. Debido a las pre-siones de presupuesto, el DT intenta minimizar sus costos no comprando demasiados letreros, a la vez queintenta comprar una cantidad suficiente para obtener el precio de $21. En los últimos años, el departamen-to ha promediado compras de 78 letreros al año, con una desviación estándar de 15. Determine el núme-ro de letreros que el DT debe comprar.

■ 17-11 La ciudad de Green Lake, Wisconsin, se está preparando para la celebración del “79° Día Anual de Pro-ductos Lácteos”. Para recolectar fondos, el ayuntamiento nuevamente planea vender camisetas de recuer-do. Las camisetas, impresas en seis colores, tendrán la imagen de una vaca y las palabras “79° Día Anualde Productos Lácteos” al frente. El ayuntamiento compra parches de aplicación térmica a un proveedor

en $0.75 y camisetas blancas de algodón a $1.50. Un comerciante local provee el dispositivo para aplicarcalor y también compra todas las camisetas blancas que no se venden. El ayuntamiento planea establecerun puesto en la avenida principal y vender las camisetas a $3.25. La impresión de la camiseta se realiza-rá en el momento de la venta. El año anterior, las ventas de camisetas similares promediaron 200 con unadesviación estándar de 34. El ayuntamiento sabe que no habrá mercado para los parches después de la ce-lebración. ¿Cuántos parches debe comprar?

■ 17-12 Jack compra salchichas todas las mañanas para su puesto de hot-dogs en la ciudad. Se enorgullece de ven-der sólo salchichas frescas, rostizadas lentamente y, por ello, puede vender sólo las que compra en la ma-ñana. El precio de cada hot-dog es $1.50; su costo es $0.67. Suponga que Jack puede comprar cualquiercantidad de salchichas. Como mañana es viernes, sabe que la demanda tendrá una distribución normal conmedia de 375 hot-dogs y varianza de 400. Si Jack se queda con alguna salchicha, deberá comérsela él mis-mo o regalarla a los pobres, sin ingresos por ella. Para maximizar sus ganancias, ¿cuántas salchichas de-berá comprar Jack? ¿Cuántas compraría si cada salchicha sobrante pudiera venderse a $0.50 cada una?

■ 17-13 Bike Wholesale Parts se estableció a principios de la década de 1990 como respuesta a la demanda de va-rias tiendas de bicicletas pequeñas recién establecidas que requerían acceso a una amplia variedad departes, pero que no podían financiarse a sí mismas. La compañía tiene en existencia una gran diversidadde partes y accesorios pero no bicicletas completas. La gerencia está preparando un pedido de rines de27″ � 11/4″ que comprará a la Flexspin Company, anticipándose a una mejora comercial esperada en al-rededor de dos meses. Flexspin fabrica un producto superior, pero el tiempo de entrega requerido obligaa que los mayoristas hagan un solo pedido, que les debe durar los meses críticos del verano. En el pasa-do, Bike Wholesale Parts ha vendido un promedio de 120 rines en verano, con una desviación estándar de28. La compañía espera que su inventario se agote para el momento en que llegue el nuevo pedido. BikeWholesale Parts ha tenido bastante éxito y planea trasladar sus operaciones a una planta mayor duranteel invierno. La gerencia calcula que el costo combinado de trasladar algunos productos, como los rines, y elcosto existente de financiarlos es al menos igual al costo de compra de la compañía de $7.30. Aceptandola hipótesis de la gerencia de que los rines no vendidos al final del verano ya no se venden, determine elnúmero de rines que la compañía debe ordenar si el precio de venta es de $8.10.

■ 17-14 La cafetería B&G ofrece pollo a la parrilla todos los jueves y Priscilla Alden, la gerente, desea asegurarque la cafetería obtendrá ganancias por este platillo. Incluyendo los costos de mano de obra y prepara-ción, cada porción de pollo cuesta $1.35. El precio de venta de $2.15 por porción es una ganga, por lo queel especial de pollo a la parrilla se ha vuelto un plato muy popular. Los datos tomados del último año in-dican que la demanda del plato especial sigue una distribución normal con media � � 190 porciones ydesviación estándar � � 32 porciones. Si la cafetería B&G prepara dos porciones del pollo a la parrillapor cada pollo entero que cocina, ¿cuántos pollos debe ordenar Priscilla cada jueves?

■ 17-15 Paige’s Tire Service almacena dos tipos de llantas radiales: con banda de poliéster y con banda de acero.Las llantas de banda de poliéster cuestan a la compañía $30 cada una y las vende en $35. Las de banda deacero le cuestan $45 cada una y las vende en $60. Por varias razones, Paige’s Tire Service no podrá vol-ver a ordenar neumáticos a la fábrica este año, así que debe ordenar sólo una vez para satisfacer la deman-da de los clientes todo el año. Al final de éste, debido a los nuevos modelos de llantas, Paige’s tendrá quevender todo su inventario como caucho de desecho a $5 cada pieza. Las ventas anuales de ambos tipos dellantas radiales tienen distribución normal con las siguientes medias y desviaciones estándar:

Tipo de llanta radial Ventas medias anuales Desviación estándar

Banda de poliéster 300 50Banda de acero 200 20

a) ¿Cuántas llantas de banda de poliéster debe ordenar? b) ¿Cuántas llantas de banda de acero debe ordenar?


EA 17-2 GM � 50 � 20 � 30 PM � 20 � 10 � 10

p* � � � 0.25, que corresponde a 0.67�, de manera que debe ordenar � � 0.67� �

165 � 0.67(40) � 191.8 o 192 ejemplares.

10�40

PM��GM � PM


17.4 Utilidad como criterio de decisiónEn lo que va de este capítulo, utilizamos el valor esperado (ganancia esperada, por ejemplo) comonuestro criterio de decisión. Supusimos que si la ganancia esperada de la alternativa A es mejor quela de la opción B, entonces el tomador de decisiones sin duda elegirá la alternativa A. De manera in-versa, si la pérdida esperada de la opción C es mayor que la pérdida esperada de la opción D, enton-ces el tomador de decisiones seguramente elegirá D como el mejor curso de acción.

Inconvenientes del valor esperado como un criterio de decisiónExisten situaciones, en las que el uso del valor esperado como criterio de decisión causaría proble-mas serios a un administrador. Suponga que un empresario posee una nueva fábrica con un valor de$2 millones. Suponga también que existe sólo una posibilidad en 1,000 (0.001) de que se incendieeste año. A partir de estas cifras, podemos calcular la pérdida esperada:

0.001 � $2,000,000 � $2,000 � pérdida esperada por incendio

Un agente de seguros le ofrece asegurar el edificio por $2,250 este año. Si el empresario aplica laidea de minimizar pérdidas esperadas, se negará a asegurar el inmueble. La pérdida esperada de ase-gurar ($2,250) es mayor que la pérdida esperada por incendio. No obstante, si el empresario piensaque una pérdida no asegurada de $2 millones lo arruinaría, probablemente descarte el valor espera-do como su criterio de decisión y compre el seguro al costo adicional de $250 por año de la póliza($2,250 � $2,000). Elegiría no minimizar la pérdida esperada en este caso.

Tome un ejemplo quizá más cercano a la vida estudiantil. Usted es un estudiante con el dinerojusto para acabar el semestre. Un amigo le ofrece una oportunidad de 0.9 de ganar $10 por $1. Esprobable que usted analice el problema en términos de valores esperados y razone de la siguientemanera: “¿Es 0.9 � $10 mayor que $1?” Como $9 (el valor esperado de la apuesta) es nueve vecesmayor que el costo de la apuesta ($1), puede sentirse inclinado a aceptar la oferta de su amigo. Aunsi pierde, la pérdida de $1 no afectará su situación monetaria.

Ahora su amigo le ofrece una oportunidad de 0.9 de ganar $1,000 por $100. Ahora se plantearíala pregunta: “¿Es 0.9 � $1,000 mayor que $100?” Claro está que $900 (el valor esperado de la apues-ta) sigue siendo nueve veces el costo de la apuesta ($100), pero es más que seguro que lo piense dosveces antes de dar su dinero. ¿Por qué? Porque aunque el placer de ganar $1,000 sería alto, el dolorde perder sus $100 ganados con esfuerzo podría ser mayor que el que desearía experimentar.

Digamos, por último, que, su amigo le ofrece una oportunidad de 0.9 de ganar $10,000 por todossus bienes, que resultan ser $1,000. Si utiliza el valor esperado como su criterio de decisión, se pre-guntaría: “¿Es 0.9 � $10,000 mayor que $1,000?” Obtendría la misma respuesta que antes: sí. Elvalor esperado de la apuesta ($9,000) sigue siendo nueve veces mayor que el costo de la apuesta

Un ejemplo personal

El valor esperado algunas veces es inadecuado

Diferentes criteriosde decisión

17.4 Utilidad como criterio de decisión 773

FIGURA 17-4

Utilidad de diferentes ganancias y pérdidas

1,000

1,000 5,000 9,000

Ganancia monetaria en dólares

Pérdida monetaria en dólares

Utili

dad

posit

ivaUt

ilida

d ne

gativ

a

•

•

($1,000), pero ahora probablemente se negará a apostar, no porque el valor esperado de la apuestano sea atractivo, sino porque la idea de perder todo es un resultado completamente inaceptable.

En este ejemplo, cambió el criterio de decisión del valor esperado cuando la idea de perder $1,000era demasiada dolorosa, a pesar del placer que podría constituir ganar $10,000. En este punto, ya noconsideró el valor esperado; sólo pensó en la utilidad. En este sentido, la utilidad es el placer o dis-gusto que se derivaría de ciertos resultados. Su curva de utilidad, en la figura 17-4, es lineal alrededordel origen (en esta región $1 de ganancia es tan deseable como $1 de pérdida es doloroso), pero dis-minuye rápidamente cuando la pérdida potencial aumenta a niveles cercanos a $1,000. En particu-lar, esta curva de utilidad muestra que desde su punto de vista, el disgusto de perder $1,000 es casiigual al placer de ganar nueve veces esa cantidad. La forma de la curva de utilidad personal es pro-ducto de la constitución sicológica, las expectativas personales respecto al futuro y la decisión o actoparticular que se esté evaluando. Una persona puede tener una curva de utilidad para una situacióny otra bastante diferente para la siguiente.

Diferentes utilidadesLas curvas de utilidad para la decisión de tres administradores se muestran en la gráfica de la figura17-5. Damos los nombres arbitrarios de David, Ann y Jim a estos administradores. Sus actitudes sonevidentes a partir del análisis de sus curvas de utilidad. David es un hombre de negocios cauto y con-servador. Un movimiento a la derecha del punto de ganancias cero incrementa sólo un poco su uti-lidad, mientras que un movimiento a la izquierda de ese punto disminuye su utilidad rápidamente.En términos de valores numéricos, la curva de utilidad de David indica que ir de una ganancia de $0a $100,000 incrementa su utilidad en un valor de 1 en la escala vertical, mientras que moverse al in-tervalo de pérdida de sólo $40,000 disminuye su utilidad en el mismo valor de 1 en la escala verti-cal. David evitará situaciones en que puedan ocurrir grandes pérdidas; se dice que tiene aversión alriesgo.

Ann es otra historia. Vemos en su curva de utilidad que una ganancia incrementa su utilidadmucho más de lo que la disminuye una pérdida de la misma cantidad. Específicamente, aumentar susganancias en $20,000 (de $80,000 a $100,000) aumenta su utilidad de 0 a �5 en la escala vertical,pero disminuirlas $20,000 (de $0 a �$20,000) disminuye su utilidad en sólo 0.33, de �4 a �4.33.Ann es una apostadora arriesgada; está convencida de que una gran pérdida no empeoraría demasiadolas cosas, pero que una gran ganancia sería bastante remuneradora. Se arriesgará para tener ganan-cias aún mayores.

Actitudes hacia elriesgo

Función de utilidad


FIGURA 17-5

Tres curvasde utilidad

•

• •

•

• •

•

Utili

dad

Ganancia o pérdida monetaria

–80,000 –40,000 40,000 80,0000

+5

+4

+3

+2

+1

0

–1

–2

–3

–4

–5

David

Jim

Ann

Jim, una persona con buenas finanzas, es la clase de hombre de negocios que no sufriría muchopor una pérdida de $60,000 y que tampoco incrementaría significativamente su riqueza con una ga-nancia de $60,000. El placer de obtener $60,000 adicionales o de perderlos tendría casi la mismaintensidad. Como su curva de utilidad es lineal, puede usar efectivamente el valor esperadocomo su criterio de decisión, mientras que David y Ann deben usar su utilidad. Jim actuarácuando el valor esperado sea positivo, David pedirá un valor esperado alto en su resultado yAnn quizá actúe cuando el valor esperado sea negativo.

¿Quién usaría el valor esperado?

17.4 Utilidad como criterio de decisión 775

Un requisito importante para entender elcomportamiento de los inversionistas esadvertir que sus curvas de utilidad no soniguales. En especial, los “grandes apos-

tadores” se sienten atraídos por inversiones de alto riesgoque pueden dar como resultado la pérdida de la inversióncompleta o la ganancia de una fortuna. Es de suponerse queesas personas con fortunas significativas pueden darse el

lujo de perder. Por otro lado, las personas con fortunas mo-deradas y fuertes obligaciones familiares tienden a sentiraversión al riesgo e invierten sólo cuando el resultado espe-rado es positivo. Una pregunta interesante para analizar consus compañeros es por qué las personas de edad avanzadason víctimas de los esquemas de inversión para “hacerse ri-cos rápido”, muy por arriba de la proporción que corres-ponde a su número en la población.

SUGERENCIASY

SUPOSICIONES

Ejercicios 17.4

Aplicaciones

■ 17-16 El ingreso de Bill Johnson lo sitúa en la categoría del 50% en términos de impuestos federales por ingre-sos. Johnson a menudo proporciona capital de riesgo a pequeñas compañías que inician, a cambio de algúntipo de participación en la compañía. Recientemente, Bill fue contactado por Circutronics, una pequeñacompañía que intenta ingresar a la industria de microcircuitos. Circutronics le solicitó $1.6 millones derespaldo. Debido a su posición fiscal, Bill invierte en valores municipales exentos de impuestos cuandono encuentra empresas atractivas que respaldar. Actualmente, tiene una cantidad grande colocada enbonos de la Agencia Energía Municipal del Este de Carolina del Norte, cuyo rendimiento es 9.43%. Billconsidera que este rendimiento después de impuestos es su punto de equilibrio de utilidad. Arriba de es-te punto, su utilidad aumenta con rapidez; abajo, disminuye un poco, ya que bien puede permitirse perderel dinero.a) ¿Qué rendimiento en dólares debe prometer Circutronics antes de que Bill considere financiarlo?b) Grafique la curva de utilidad de Bill.

■ 17-17 La Enduro Manufacturing Company es una sociedad que produce componentes de acero estructural parala construcción. El gerente financiero y socio William Flaherty está examinando proyectos potencialesque la compañía podría emprender en el siguiente año fiscal. La compañía tiene una tasa de rendimientometa del 10% sobre su inversión, pero como no existe financiamiento ni interferencia externa, los socioshan aceptado proyectos con tasas de rendimiento entre 0 y 100%. Arriba del 10%, la utilidad de los so-cios se incrementa muy rápido; entre 0 y 10%, se incrementa sólo un poco arriba de 0; abajo de 0, caemuy rápido. Flaherty está considerando varios proyectos que implican que Enduro invierta $250,000. Gra-fique la curva de utilidad de la compañía.

■ 17-18 Una inversionista está convencida de que el precio de unas acciones de movimiento rápido (PDQ) se in-crementará en el futuro cercano. Las acciones PDQ se venden actualmente a $57 la acción. Después deinspeccionar las últimas cotizaciones del mercado, la inversionista se da cuenta que puede comprar unaopción a un costo de $5 por acción, que le permite comprar acciones PDQ a $55 por acción en los siguien-tes dos meses. También puede adquirir una opción de compra de acciones en un periodo de 4 meses; es-ta opción, con costo de $10 por acción, también tiene un precio de uso de $55 por acción. Ella ha estima-do las siguientes distribuciones de probabilidad para el precio de las acciones en los días en que expiranlas opciones:

Precio 50 55 60 65 70 75Probabilidad en 2 meses 0.05 0.15 0.15 0.25 0.35 0.05Probabilidad en 4 meses 0 0.05 0.05 0.20 0.30 0.40

La inversionista planea ejercer su opción justo antes de la expiración si las acciones PDQ se venden enmás de $55 y venderlas de inmediato al precio de mercado. Claro está que si las acciones se venden en $55o menos, cuando la opción expire, perderá todo el costo de compra de la opción. La inversionista es rela-tivamente conservadora, con los siguientes valores de utilidad para cambios en sus bienes en dólares:

Cambio �1,500 �1,000 �500 0 �500 �1,000Utilidad 1.0 0.9 0.8 0.7 0.1 0.0

Ella está considerando una de tres opciones:

1) Comprar una opción a 2 meses sobre 100 acciones.2) Comprar una opción a 4 meses sobre 100 acciones.3) No comprar en absoluto.

¿Cuál de estas alternativas maximizará su utilidad esperada?

17.5 Ayuda para que los tomadores de decisiones proporcionen las probabilidades correctas

Los dos problemas que trabajamos usando la distribución de probabilidad normal requerían que co-nociéramos la media (�) y la desviación estándar (�). Pero, ¿cómo podemos usar una distribuciónde probabilidad cuando los datos históricos faltan o están incompletos? Al trabajar un problema, ve-remos cómo muchas veces podemos generar los valores requeridos utilizando un enfoque intuitivo.

Un enfoque intuitivo para estimar la media y la desviación estándarSuponga que está pensando en comprar una máquina que reemplace la mano de obra de una opera-ción. La operación de la máquina costará $10,000 al año y ahorrará $8 por cada hora que opere.Entonces, para quedar a mano, deberá operar al menos $10,000/$8 � 1,250 horas al año. Si estáinteresado en la probabilidad de que trabaje más de 1,250 horas, debe saber algo acerca de la distri-bución de los tiempos de operación, en especial, la media y la desviación estándar de esta distribu-ción. Pero como no tiene un registro de la operación de la máquina, ¿dónde encontraría esas cifras?

Podríamos pedir al supervisor, quien ha estado estrechamente involucrado en el proceso, quecalcule el tiempo de operación promedio de la máquina. Digamos que su mejor estimación es 1,400horas. ¿Pero cómo reaccionaría él si usted le pidiera la desviación estándar de esta distribución? Es-te término podría no tener significado para él, y sin embargo, quizá tenga alguna noción intuitiva dela dispersión de la distribución de los tiempos de operación. La mayoría de las personas entiendenlas posibilidades de una apuesta, así que lo abordamos con esa idea.

Comenzamos por descontar una distancia igual a cada lado de su media, digamos, 200 horas. Es-to produce un intervalo de 1,200 a 1,600 horas. Entonces podemos preguntarle al supervisor, ¿cuáles la posibilidad de que el número de horas caiga entre 1,200 y 1,600 horas? Si él ha apostado algu-na vez, debe poder contestar. Supongamos que dice, “creo que la posibilidad de que opere entre1,200 y 1,600 horas es de 4 a 3”. Mostramos su respuesta en una distribución de probabilidad en lafigura 17-6.

La figura 17-6 ilustra la respuesta del supervisor de que las posibilidades son de 4 a 3 de que lamáquina corra entre 1,200 y 1,600 horas, y no fuera de esos límites. ¿Cuál es el siguiente paso? Pri-mero, etiquetamos el punto de 1,600 horas en la distribución de la figura 17-6 como el punto Q.Después vemos que el área bajo la curva entre la media y el punto Q, de acuerdo con las estimacio-nes del supervisor, es 4/7 de la mitad del área bajo la curva, o 4/14 � (0.2857) del área total bajola curva.

Estimación de la desviación estándar

Estimación de la media

Información faltante


Observe la figura 17-7. Si consultamos el valor 0.2857 en la tabla 1 del apéndice, encontramosque el punto Q está a 0.79 de desviación estándar a la derecha de la media. Como sabemos que ladistancia desde la media hasta Q es de 200 horas, vemos que

0.79 de desviación estándar � 200 horas

y, por tanto,

1 desviación estándar � 200/0.79

� 253 horas

Ahora que conocemos la media y la desviación estándar de la distribución del tiempo de opera-ción, podemos calcular que la probabilidad de que la máquina opere menos horas que su punto deequilibrio de 1,250 horas:

�

� �0.59 de desviación estándar

La figura 17-8 ilustra esta situación. En la tabla 1 del apéndice, encontramos que el área entre la me-dia de la distribución y un punto a 0.59 de desviación estándar abajo de la media (1,250 horas) es0.2224 del área total bajo la curva. A 0.2224 sumamos 0.5, el área de la media a la cola derecha. Es-to nos da 0.7224. Como 0.7224 es la probabilidad de que la máquina opere más de 1,250 horas, laposibilidad de que opere menos de 1,250 horas (su punto de equilibrio) es 1 � 0.7224 o 0.2776. Apa-rentemente, ésta no es una situación demasiado riesgosa.

Este problema ilustra cómo podemos usar el conocimiento de otras personas respecto a una situa-ción sin requerir que comprendan lo intrincado de las diversas técnicas estadísticas. Si hubiéramosesperado que el supervisor comprendiera la teoría en que se basan los cálculos, o si hubiéramos in-tentado explicarle esa teoría, tal vez nunca hubiéramos aprovechado su conocimiento práctico de lasituación. Al usar un lenguaje y términos comprensibles para él, pudimos hacer que nos diera esti-

Obtención de información para los modelos

�150�

2531,250 � 1,400��

253

Cálculo de la probabilidad de quedar a mano

17.5 Ayuda para que los tomadores de decisiones proporcionen las probabilidades correctas 777

FIGURA 17-6

Intervalos de posibilidades delsupervisor paratiempos de operación de lasmáquinas propuestas

1,200 1,400 1,600

Media Q

43 4 3

FIGURA 17-7

Determinación dela desviación estándar a partirde las posibilida-des del encargado

1,200 1,400 Q = 1,600

Horas

0.79 de desviación estándar

• • •

maciones manejables de la media y la desviación estándar de la distribución de los tiempos de ope-ración para la máquina que pensábamos comprar. En este ejemplo (y para el caso, también en mu-chos otros), es mejor ajustar las ideas y el conocimiento de otras personas dentro de sus modelos quebuscar hasta encontrar una situación que se ajuste a un modelo que ya está desarrollado.


FIGURA 17-8

Probabilidad deque la máquinaopere entre 1,250 y 1,400 horas

1,250 1,400

Horas

0.59 de desviación estándar

• •

Horas de operación para quedar a mano

Si se usan sólo los métodos descritos eneste capítulo para tomar decisiones, nohay muchas posibilidades de éxito; si loúnico que emplea para tomar decisiones

es la intuición, habrá muchas situaciones en que pierdaoportunidades. Pero al combinar una gran inteligencia, unafuerte intuición y los modelos cualitativos sólidos, la opor-tunidad de ganar aumenta de manera drástica. Sugerencia:

las personas con las ideas intuitivas más firmes acerca decómo funcionan las cosas y qué es posible y más probableque ocurra no son “deportistas numéricos” sino personasnormales que tienen mucha experiencia y quizá poco cono-cimiento de los modelos de valor esperado. El reto real escaptar la sabiduría industrial de estos veteranos y enfocar-la en una toma de decisiones más sensata cuando se desco-noce el futuro.

SUGERENCIASY

SUPOSICIONES

Ejercicios 17.5

Ejercicio de autoevaluación

EA 17-3 John Stein es el director de programación de SATPlus Services, una empresa que garantiza que su cursode preparación para el examen de admisión a la universidad elevará la calificación combinada de las par-tes oral y cuantitativa de esos exámenes por lo menos 120 puntos. El precio del curso es $275 para cadaestudiante y el costo del mismo para SATPlus es alrededor de $3,300 en salarios, suministros y renta deinstalaciones. John no programará el curso en lugares donde no tenga una certeza de por lo menos el 90%de que SATPlus obtendrá una ganancia mayor o igual que $2,200. De acuerdo con un estudio de merca-do que acaba de recibir de Charlottesville, Virginia, ha decidido que si ofrece el curso ahí, puede esperarque se inscriban alrededor de 30 estudiantes. También piensa que tiene posibilidades de 8 a 5 de que elnúmero real de inscritos esté entre 25 y 35 estudiantes, y que es apropiado usar la distribución normal pa-ra describir la inscripción. ¿Debe John programar el curso en Charlottesville?

Aplicaciones■ 17-19 La Northwestern Industrial Pipe Company está considerando la compra de un nuevo soldador de arco

eléctrico a $2,100. Se espera que el soldador ahorre a la compañía $5 por hora cuando pueda usarse en lu-gar del actual, un soldador menos eficiente. Antes de tomar la decisión, el gerente de producción de North-western observó que sólo había cerca de 185 horas al año de soldaduras en las que el nuevo soldador dearco podía sustituir al actual. Calculó una posibilidad de 7 a 3 de que el resultado real estaría dentro de las25 horas de su estimación. Además, se sentía seguro al suponer que el número de horas estaba bien des-crito por una distribución normal. ¿Puede Northwestern estar 98% segura de que se recuperará lo gasta-do en el nuevo soldador de arco eléctrico en un periodo de tres años?

■ 17-20 La Relman Electric Battery Company ha sentido los efectos de una economía en recuperación al aumen-tar la demanda de sus productos en los meses recientes. La compañía está considerando contratar seis per-

sonas más para su operación de ensamble. El gerente de producción de la planta, Mike Casey, cuyo de-sempeño se valora en parte por la eficiencia en costos, no desea contratar empleados adicionales a menosque se espere que tendrán trabajo durante al menos seis meses. Si se corre a los empleados involuntaria-mente antes de ese tiempo, la compañía está forzada por las reglas del sindicato a pagar un bono sustan-cial de despido. Además, si se despide a los empleados antes de 6 meses de haberlos contratado, la tasade seguro de desempleo de la compañía se eleva. El economista corporativo de Relman espera que el al-za en la economía dure al menos ocho meses y da posibilidades de 7 a 2 de que la duración de la mejoraesté en un intervalo de un mes de esa cifra. Casey desea estar 95% seguro de que no tendrá que despedira ningún empleado recién contratado. ¿Debe contratar a seis personas en este momento?

■ 17-21 El servicio de mensajería Speedy Rabbit opera una flota de 30 vehículos que cubren muchas millas pordía. En la actualidad los vehículos usan gasolina normal a un costo de $1.059 por galón, y la eficiencia dela gasolina en la flota es alrededor de 36 millas por galón (mpg). Un informe reciente indica que si cam-bian a gasolina premium, a un costo de $1.229 por galón, cada vehículo tendrá un incremento de 6.4 mpg.La compañía cambiará de gasolina siempre que puedan tener una certidumbre del 95% de que ahorrarándinero, lo que ocurrirá si la eficiencia en gasolina para la flota es mayor que 40 mpg. Creen que las posi-bilidades son de 6 a 4 de que la eficiencia actual esté entre 33 y 39 mpg y que es adecuado usar una dis-tribución normal para describir la eficiencia de la gasolina. ¿Deben cambiar de combustible?

■ 17-22 Natalie Larsen, representante de ventas de viajes Nova Products, está considerando comprar un nuevo au-tomóvil para usarlo en el trabajo. El automóvil que quiere tiene un precio de $13,497, pero piensa quepuede negociarlo con el vendedor y bajarlo a $12,250. Como su auto se usa sólo para propósitos comer-ciales, Natalie puede deducir $0.31 por milla por gastos de operación. Comprará el auto sólo si el ahorroen impuestos resultante compensa el costo durante su vida útil. Natalie ha estado en una categoría com-binada de 34% de impuestos federales y estatales durante algunos años y parece que seguirá allí en el fu-turo previsible. Una afamada revista de automotores afirma que la vida promedio del automóvil que estápensando comprar es de 120,000 millas. El artículo además establece que las posibilidades son de 4 a 3de que la vida real del automóvil esté dentro de 12,000 millas arriba o abajo de 120,000. ¿Cuál es la pro-babilidad de que el automóvil dure lo suficiente para que Natalie no pierda dinero en su inversión?

■ 17-23 El Departamento de Policía de Newton Pines está considerando comprar una unidad de radar VASCARpara instalarla en la única vía rápida de la ciudad. El ayuntamiento se ha opuesto a la idea porque no es-tá seguro de que la unidad valga su precio de $2,000. El jefe de policía, Buren Hubbs, afirma que con se-guridad la unidad se pagará con el mayor número de multas de $20 que levantarán él y su adjunto. Se oyóa Buren decir que calcula posibilidades de 9 a 1 de que el incremento en multas el primer año será entre95 y 135 si se compra la unidad. Espera levantar 115 multas más si la vía se equipa con el VASCAR. ¿Pue-de el ayuntamiento estar 99% seguro de que la unidad se pagará con el aumento en los ingresos por mul-tas durante el primer año?

■ 17-24 Usted planea invertir $15,000 en acciones comunes de Infometrics si puede estar razonablemente seguro deque su precio subirá hasta $60 por acción en seis meses. Pregunta a dos corredores expertos lo siguiente:a) ¿Cuál es su mejor estimación del precio más alto al que se venderá Infometrics en los próximos 6 meses?b) ¿Qué posibilidades da a que su estimación falle en no más de $5?

Las respuestas son las siguientes:

Corredor Mejor estimación Posibilidades

A 68 2 a 1B 65 5 a 1

Si ha decidido que comprará las acciones sólo si cada corredor está al menos 80% seguro que se vende-rán en al menos $60 en algún momento dentro de los seis meses siguientes, ¿qué debe hacer?

Solución al ejercicio de autoevaluación

EA 17-3 8/26 � 0.0377, correspondiente a 0.87�, de manera que � � 5/0.87 � 5.75 estudiantes. Para tener

ganancias de $2,200 tendrán que inscribir al menos � 20 estudiantes, corresondientes a

z � � �1.74.

P(z �1.74) � 0.9591. Como esto excede el 0.90 necesario, debe programar el curso en Charlottesville.

20 � 30�

5.75

3,330 � 2,200��

275

17.5 Ayuda para que los tomadores de decisiones proporcionen las probabilidades correctas 779

17.6 Análisis de árboles de decisionesUn árbol de decisiones es un modelo gráfico de un proceso de decisión. Con él podemos introducirprobabilidades al análisis de decisiones complejas que involucran muchas opciones y condicionesfuturas que no se conocen, pero que pueden especificarse en términos de un conjunto de probabili-dades discretas o de una distribución de probabilidad continua. El análisis de árboles de decisioneses una herramienta útil en la toma de decisiones referentes a inversiones, adquisición o disposiciónde propiedades físicas, administración de proyectos, personal y estrategias de nuevos productos.

El término árbol de decisiones se deriva de la apariencia física de la representación gráfica usualde esta técnica. Un árbol de decisiones se parece a los árboles de probabilidades presentados en elcapítulo 4; pero un árbol de decisiones no sólo contiene las probabilidades de los resultados, sinotambién los valores monetarios (o de utilidad) condicionales vinculados con esos resultados. Por es-to, podemos usar estos árboles para indicar los valores esperados de las diferentes acciones que po-damos tomar. Los árboles de decisión tienen símbolos estándar:

• Los cuadrados simbolizan puntos de decisión, donde el tomador de decisiones debe elegir en-tre varias acciones posibles. De estos nodos de decisión, sale una rama para cada acción posible.

• Los círculos representan eventos aleatorios, donde ocurre algún estado de la naturaleza. Estoseventos aleatorios no están bajo el control del tomador de decisiones. De estos nodos aleato-rios sale una rama para cada resultado posible.

Utilicemos un árbol de decisiones para ayudar a Christie Stem, la propietaria y gerente generaldel centro de esquí Snow Fun, a decidir cómo debe administrar el hotel la próxima temporada. Lasganancias de Christie de la temporada de esquí de este año dependerán de cuántas nevadas haya du-rante el invierno. Con base en la experiencia, cree que la distribución de probabilidad de las nevadasy la ganancia resultante puede resumirse en la tabla 17-12.

Hace poco, Christie recibió una oferta de una cadena de hoteles para operar el centro durante elinvierno, garantizándole una ganancia de $45,000; por otro lado, ha estado considerando la renta deequipo de fabricación de nieve para la temporada. Si renta el equipo, la estación podría operar tiem-po completo, sin importar la cantidad de nieve natural que caiga. Si decide usar nieve fabricada pa-ra complementar las nevadas naturales, su ganancia de la temporada será $120,000, menos el costode rentar y operar el equipo de fabricación de nieve. El costo de renta será cerca de $12,000 por latemporada, independientemente de cuánto se use. El costo de operación será $10,000 si cae más de40 pulgadas de nieve natural, $50,000 si cae entre 20 y 40 pulgadas y $90,000 si cae menos de 20pulgadas.

La figura 17-9 ilustra el problema de Christie como un árbol de decisiones. Las tres ramas quesalen del nodo de decisión representan las tres formas posibles de operar el centro este invierno:contratar la cadena de hoteles, administrarlo sin equipo de fabricación de nieve y administrarlo conequipo de fabricación de nieve. Cada una de las dos últimas ramas termina en un nodo aleatorio querepresenta la cantidad de nieve que caerá durante la temporada. Cada uno de estos nodos tiene tresramas que salen, una para cada cantidad de nieve posible, y las probabilidades de esa cantidad denieve se indican en cada rama. Observe que el tiempo fluye de izquierda a derecha del árbol, es-to es, los nodos de la izquierda representan acciones o eventos aleatorios que ocurren antes queen los nodos que están más a la derecha. Es muy importante mantener el orden de tiempo ade-cuado al construir los árboles de decisiones.

El árbol de decisio-nes de Christie

Ejemplo de árbol de decisiones:funcionamiento de un centro de esquí

Fundamentos del árbol de decisiones


Distribución de nevadasy ganancias para el centro de esquí SnowFun

Tabla 17-12 Cantidad de nieve Ganancia Probabilidad de ocurrencia

Más de 40 pulgadas $120,000 0.4De 20 a 40 pulgadas 40,000 0.2Menos de 20 pulgadas �40,000 0.4

Al final de cada rama a la derecha está la ganancia neta que Christie obtendrá si se sigue un ca-mino desde la raíz del árbol (en el nodo de decisión) hasta la copa del árbol. Por ejemplo, si ella ope-ra el centro con la fabricación de nieve y las nevadas están entre 20 y 40 pulgadas, su ganancia será$58,000 ($120,000 menos $12,000 de renta del equipo para hacer nieve y $50,000 de operarlo). Lasotras ganancias netas se calculan de manera similar.

Ahora podemos iniciar el análisis del árbol de decisiones de Christie. (El proceso inicia a la de-recha —en la copa del árbol— y regresa a la izquierda —a la raíz del árbol—. En este proce-so hacia atrás, al trabajar de derecha a izquierda, tomamos las decisiones futuras primero yluego retrocedemos para que formen parte de decisiones anteriores.) Tenemos dos reglas que di-rigen este proceso:

1. Si estamos analizando un nodo aleatorio (círculo), calculamos el valor esperado en ese nodomultiplicando la probabilidad en cada rama que sale por la ganancia al final de esa rama y lue-go sumando los productos de todas las ramas que salen del nodo.

2. Si estamos analizando un nodo de decisión (cuadrado), el valor esperado de ese nodo será elmáximo de los valores esperados de todas las ramas que salen del nodo. De esta forma, elegi-mos la acción con el mayor valor esperado y podamos las ramas que corresponden a las accio-nes menos rentables. Marcamos esas ramas con una doble diagonal para indicar que se podaron.

Para la decisión de Christie que se ilustra en la figura 17-10, el valor esperado de contratar a lacadena de hoteles para que administre el centro es $45,000. Si opera la estación ella y no usa equi-po de fabricación de nieve, su ganancia esperada es

$40,000 � $120,000(0.4) � $40,000(0.2) � $40,000(0.4)

Si utiliza la fabricación de nieve, su ganancia esperada es

$58,000 � $98,000(0.4) � $58,000(0.2) � $18,000(0.4)

Por tanto, su decisión óptima es operar Snow Fun con equipo de fabricación de nieve.

La decisión óptimade Christie

Reglas para analizar un árbol de decisiones

17.6 Análisis de árboles de decisiones 781

FIGURA 17-9

Árbol de decisiones de Christie

Dejar que la cadena hotelera opere el centro

Operar ella sin fabricación de nieve

Operar ella con fabricación de nieve

$45,000

$120,000

$40,000

–$40,000

$98,000

$58,000

$18,000

0.4

0.2

0.4

0.4

0.2

0.4

>40" de nieve

20"-40" de nieve

<20" de nieve

>40" de nieve

<20" de nieve

20"-40" de nieve

FIGURA 17-10

Árbol de decisiones de Christie Stem analizado




$45,000

$120,000

$40,000

–$40,000

$98,000

$58,000

$18,000

0.4

0.2

0.4

0.4

0.2

0.4

>40" de nieve

20"-40" de nieve

<20" de nieve

>40" de nieve

<20" de nieve

20"-40" de nieve$58,000

$40,000

$58,000

Árboles de decisión e información nueva: aplicación del teoremade Bayes para revisar las probabilidadesPrecisamente cuando Christie se está preparando para decidir si dejar que la cadena de hoteles ope-re Snow Fun u operarlo ella, recibe una llamada de la Asociación Meteorológica ofreciendo vender-le un pronóstico de las nevadas de la siguiente temporada. El precio del pronóstico será $2,000, eindicará ya sea que las nevadas estarán por encima o bien que estarán por debajo de lo normal. Des-pués de hacer un poco de investigación, Christie se entera de que la Asociación Meteorológica es unacompañía reconocida cuyos pronósticos han sido bastante buenos en el pasado, aunque, por supues-to, no han sido perfectamente confiables. La compañía ha pronosticado nevadas arriba de lo normalel 90% de todos los años en que la cantidad de nieve ha sido más de 40 pulgadas; 60% en que ha es-tado entre 20 y 40 pulgadas, y 30% de los años en que ha estado por debajo de 20 pulgadas.

Para incorporar esta nueva información y decidir si debe comprar el pronóstico de nevadas,Christie tiene que usar el teorema de Bayes (que analizamos en el capítulo 4) para ver cómo los re-sultados del pronóstico harán que revise las probabilidades de nevadas que está usando para tomarsu decisión. El pronóstico tendrá algún valor para ella si con él cambia su decisión y evita tomar unadecisión no óptima. Sin embargo, antes de hacer los cálculos necesarios para aplicar el teorema deBayes, decide ver cuánto valdría un pronóstico perfectamente confiable de las nevadas. El cálculode este VEIP puede hacerse con el árbol dado en la figura 17-11. En esta figura, invertimos el ordendel tiempo de la decisión de Christie y cuándo conoce la cantidad de nieve de la temporada. En la fi-gura 17-9, tuvo que decidir cómo operar el centro, y después supo la cantidad de nieve que hubo enrealidad. Si dispusiera de un pronóstico perfectamente confiable, sabría cuánta nieve caería antes detener que decidir cómo operar el centro.

Examinemos con cuidado la figura 17-11. Aunque Christie trata de determinar el valor de un pro-nóstico perfectamente confiable, no puede saber de antemano el resultado del pronóstico. Cerca del40% del tiempo habrá más de 40 pulgadas de nieve en una temporada de esquí. Entonces, la proba-bilidad de que el pronóstico sea de más de 40 pulgadas de nieve es 0.4. Cuando las nevadas están enese nivel, el mejor curso de acción de Christie es operar el centro sin usar equipo de fabricación denieve, y su ganancia será $120,000. Otro 20% de todas las temporadas, cuando las nevadas están en-tre 20 y 40 pulgadas, Christie ganará $58,000 operando el centro y usando fabricación de nieve pa-ra complementar las exiguas nevadas naturales. Finalmente, en los años con menos de 20 pulgadasde nevadas naturales (lo que sucede 40% del tiempo), debe tomar los $45,000 de ganancias por de-jar que la cadena hotelera opere Snow Fun. Con un pronóstico perfectamente confiable, vemos quela ganancia esperada de Christie sería:

$77,600 � $120,000(0.4) � $58,000(0.2) � $45,000(0.4)

Valor esperado de lainformación perfecta

Incorporación denueva información

Costo y valor de in-formación nueva


FIGURA 17-11

Árbol de Christiecon un pronósticoperfectamenteconfiable




$45,000

$45,000

$40,000

$58,000

$45,000

–$40,000

$18,000

>40" de nieve

20"-40" de nieve

<20" de nieve

$45,000

$58,000$77,600

$120,000

$98,000$120,000







0.4

0.2

0.4

Como su mejor curso de acción sin el pronóstico (operar Snow Fun con el equipo de fabricación denieve) tiene una ganancia esperada de sólo $58,000, su VEIP es de $19,600 ($77, 600 � $58,000).

Como el pronóstico de la Asociación Meteorológica no es perfectamente confiable, valdrá menosde $19,600. Sin embargo, Christie se da cuenta que la información adicional respecto a la cantidad denieve puede ser bastante valiosa. ¿Valdrá el pronóstico de la Asociación Meteorológica su costo

Actualización de probabilidades con el teorema de Bayes


Probabilidades posteriores de Christie

Tabla 17-13 Evento P(pronóstico P(pronóstico P(eventoPronóstico (nevada) P(evento) evento) y evento) pronóstico)

Arriba de Más de 40” 0.4 0.9 0.4. � 0.9 � 0.36 0.36/0.60 � 0.6lo normal 20”-40” 0.2 0.6 0.2 � 0.6 � 0.12 0.12/0.60 � 0.2

Menos de 20” 0.4 0.3 0.4 � 0.3 � 0.12 0.12/0.60 � 0.2P(arriba de lo normal) � 0.60

Abajo de Más de 40” 0.4 0.1 0.4 � 0.1 � 0.04 0.04/0.40 � 0.1lo normal 20”-40” 0.2 0.4 0.2 � 0.4 � 0.08 0.08/0.40 � 0.2

Menos de 20” 0.4 0.7 0.4 � 0.7 � 0.28 0.28/0.40 � 0.7P(abajo de lo normal) � 0.40

––––––––––––––––––––––––

––––

–––

––––––––––

––––––––––

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––––

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––––

––––

––––

––––

––––

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––––

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––––

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

CENTRO DE ESQUÍ SNOW FUN

PAGO¿COMPRAR

PRONÓSTICO? PAGO

RESULTADO DEL

PRONÓSTICO PROB. PAGO PAGO DE DECISIÓN DE OPERAR NEVADAS PROB PAGO

$45,000

40%OPERAR SIN FÁBRICA DE NIEVE $40,000 (6) 20–40"

>40" $120,000

$58,000 [3]

<20"

QUE LA CADENA OPERE

OPERAR CON FÁBRICA DE NIEVE $58,000 (7) 20–40"

>40"

<20"

20%

40%

40%

20%

40%

$40,000

($40,000)

$98,000

$58,000

$18,000

$43,000

60%

$70,000 (8) 20–40"

>40" $118,000

[4]

<20"

QUE LA CADENA OPERE


>40"

<20"

20%

20%

60%

20%

20%

$38,000

($42,000)

$96,000

$56,000

$16,000

$43,000

10%

$(10,000) (10) 20–40"

>40" $118,000

[5]

<20"

QUE LA CADENA OPERE


>40"

<20"

20%

70%

10%

20%

70%

$38,000

($42,000)

$96,000

$56,000

$16,000

$72,000>NORMAL 60%

$43,00040%

SÍ (2)

[1]$60,400

$60,400

OPERAR SIN FÁBRICA DE NIEVE

OPERAR SIN FÁBRICA DE NIEVENORMAL<

–

–

–––––––––– –––––––––––––– –––––––––– –––––––––––––– –––––––––––––––––– –––––––––––––––––––––––––––– –––––––– –––––––––––– –––––––– ––––––––

––––––––––––––––––––––––––NO

FIGURA 17-12

Árbol de decisiones completo de Christie Stem

de $2,000? La respuesta a esta pregunta puede hallarse en la tabla 17-13 y en la figura 17-12. La tabla17-13 utiliza el mismo formato que usamos en el capítulo 4 para hacer los cálculos con el fin de usar elteorema de Bayes para actualizar las probabilidades de nevadas, dados los resultados del pronóstico.

Observe cómo cambian las probabilidades. Si el pronóstico es para más nieve de lo normal, laprobabilidad de Christie de que habrá más de 40 pulgadas de nieve sube a 0.6 de su valor inicial de0.4. Con un pronóstico de menos nieve de lo normal, su probabilidad revisada baja a 0.1.

La figura 17-12 ilustra todo el árbol, incluyendo la opción de comprar el pronóstico de la Asocia-ción Meteorológica. Revisemos el procedimiento hacia atrás de este árbol. La copa del árbol (delnodo 3 en adelante) es la misma que en la figura 17-10. La base del árbol (del nodo 2 en adelante)analiza las opciones de Christie si compra el pronóstico. En los nodos aleatorios 8, 9, 10 y 11, calcu-ló los valores esperados usando la regla 1. Con la regla 2, decide en el nodo 4 que operará el centro(pero se protege usando el equipo de fabricación de nieve) si el pronóstico es de más nieve que lonormal. Por otra parte, en el nodo 5 decide que aceptará la oferta de la cadena hotelera de operarSnow Fun si el pronóstico es de menos nieve que lo normal.

Continuando el análisis del árbol hacia atrás, en el nodo 2 encuentra que el valor esperado de com-prar el pronóstico es $60,400. Finalmente, en el nodo 1, Christie decide que debe pagar a la Asocia-ción Meteorológica los $2,000 que cobra por su pronóstico, puesto que la ganancia esperada resul-tante de $60,400 es mayor que los $58,000 que espera ganar sin comprar el pronóstico.

En resumen, vemos que la decisión óptima de Christie es comprar el pronóstico. Después, si elpronóstico es más nieve que lo normal, debe operar el centro ella misma, pero protegerse usandoel equipo de fabricación de nieve. Sin embargo, si el pronóstico es menos nieve que lo normal, debeaceptar la oferta de la cadena de hoteles de operar Snow Fun. Si sigue este curso de acción, esperaque su ganancia para la temporada sea de $60,400. Aun después de pagar $2,000 por el pronóstico,gana $2,400 más de lo que hubiera ganado si no lo hubiera usado. ¿Cuál es la cantidad máxima queestaría dispuesta a pagar por el pronóstico? Pagaría hasta $2,400 adicionales por él y todavía espe-raría ganar al menos tanto como ganaría sin comprarlo. Así, el valor esperado del pronóstico (algu-nas veces llamado el valor esperado de la información de la muestra, o VEIM) es $4,400, y ésta esla cantidad máxima que Christie estaría dispuesta a pagar por él.

Quizá haya observado que la figura 17-12 (árbol de decisiones completo de Christie) era el resul-tado de un paquete de software. De hecho, construimos el árbol e hicimos los cálculos del teoremade Bayes y el procedimiento hacia atrás con un paquete de hoja de cálculo en una computadora per-sonal. (La figura 17-13 proporciona los datos de entrada y los cálculos del teorema de Bayes de nues-tra hoja de cálculo.) Puede realizarse un análisis similar con muchas otras hojas de cálculo. Un estudiode cómo hacer este tipo de análisis fue publicado por J. Morgan Jones en “Decision Analysis UsingSpreadsheets”, The European Journal of Operations Research 26(3) (1986): 385-400. También exis-te software diseñado específicamente para analizar árboles de decisión. Vea el artículo de investiga-ción de Dennis Buede, “Aiding Insight, 11”, OR/MS Today 21(3) (junio de 2004): 62-68.

Christie está satisfecha con los resultados de este análisis, pero todavía no está segura de que debeimplantar la política óptima. Su incertidumbre proviene del hecho de que no está segura que rentarequipo de fabricación de nieve costará $12,000 para la temporada. Ésa era la cantidad que su amiga,Deborah Rubin, pagó el año pasado por la fabricación de nieve en su negocio, la Posada Quaking

Modificación de algunos datos de entrada

Árboles de decisionesen la computadorapersonal

La decisión óptima de Christie

Análisis de todo el árbol


FIGURA 17-13

Hoja de cálculocon los datos de Christie y los cálculos del teorema de Bayes

DATOS DE ENTRADA Y REVISIÓN DE BAYES PARA CHRISTIE STEM Y EL CENTRO DE ESQUÍ SNOW FUN

GANANCIA DE=> $45,000RENTA AL HOTEL

$120,000 <=INGR. CON FÁBRICA DE NIEVE$ 12,000 <=COSTO DE RENTA DE FÁBRICA DE NIEVE

60% 40% <=PROB. DE RESULTADOS DE PRONÓSTICOS

$2,000 <=COSTO DEL PRONÓSTICO

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––-------––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––-------–

ESTADO DE NEVADAS

>40"20–40"<20"

––-–––––-–––––

PROB. ANT.

40%20%40%

––––––––

GANANCIA SIN FÁBRICA DE NIEVE

$120,000 $40,000 ($40,000)

––––––––––––––––––––

COSTO DE OPERACIÓN DE

FÁBRICA DE NIEVE

$10,000$50,000$90,000

–---–––––––––––---––––––––

GANANCIA CON FÁBRICA DE NIEVE

$98,000$58,000$18,000

–––-–––––––-––––––

PROB. DE RESULTADO DE PRONÓSTICO

>NORMAL <NORMAL

90%60%30%

10%40%70%

––––––––––––––––––––––––

PROB. CONJUNTAS

>NORMAL <NORMAL

36%12%12%

4%8%28%

––––––––––––––––––––––––

PROB. REVISADAS

>NORMAL <NORMAL

10%20%70%

60%20%20%

––––––––––––––––––––––––

––––––––––––––––––––––

Aspen. Pero existen muchas diferencias, entre ellas que las pendientes de Snow Fun son más largasque las de Quaking Aspen y que hay muchas más compañías que rentan tales equipos este año. Christieestá razonablemente segura de que el costo de rentar el equipo estará entre $5,000 y $20,000.

Ella está consciente de que sólo existen tres cursos de acción razonables (estrategias) que seguir:

1. No comprar el pronóstico y operar Snow Fun personalmente usando fabricación de nieve.2. Comprar el pronóstico y operar Snow Fun personalmente sin usar fabricación de nieve si se

pronostica más nieve que lo normal, pero aceptar la oferta de la cadena hotelera si predicen ne-vadas menores que lo normal.

3. Comprar el pronóstico y operar Snow Fun personalmente usando fabricación de nieve si sepronostica más nieve que lo normal, pero aceptar la oferta de la cadena hotelera si predicen ne-vadas menores que lo normal.

Con su “estimación adivinada” original de $12,000 del costo de renta, la decisión óptima deChristie es seguir la tercera estrategia. Se pregunta si otros posibles costos de renta entre $5,000 y$20,000 afectarán o no su estrategia óptima y ganancia esperada. Aunque es tedioso hacer a manoun análisis de sensibilidad, es bastante fácil hacerlo con ayuda de una hoja de cálculo; la figura 17-14muestra a Christie qué hacer si el costo de renta de equipo varía de $5,000 a $20,000. Si el costo estáentre $5,000 y $6,000, debe adoptar la primera estrategia. (Exactamente en $6,000, le da lo mismola primera o tercera estrategia.) Para costos entre $6,000 y $14,000, la estrategia 3 es óptima. (Exac-tamente en $14,000, le da lo mismo la segunda o la tercera estrategia.) Por último, si el costo es ma-yor que $14,000, debe adoptar la estrategia 2.

La última columna de la figura 17-14 da la cantidad máxima que Christie estaría dispuesta a pa-gar por el pronóstico de nevadas. Incluye este cálculo en su análisis porque ha oído el rumor de quela Asociación Meteorológica tiene tanto trabajo que está considerando incrementar sus honorarios.Estas cifras le serán útiles si tiene que negociar la tarifa por el pronóstico.

Acabamos de ver un análisis de sensibilidad respecto a un costo. De manera similar, es posiblever cómo cambian las decisiones óptimas y las ganancias cuando varían los pagos o las probabilida-des. Esta capacidad es especialmente importante al usar estimaciones subjetivas de probabilidad enla toma de decisiones, y puede hacerse de una manera bastante directa en una computadora perso-nal. La capacidad de realizar estos análisis de sensibilidad mejora en gran medida el valor de losárboles de decisiones como ayuda para tomar decisiones importantes.

Otras sensibilidades

Análisis de sensibilidad

Estrategias razonables


FIGURA 17-14

Análisis de sensibi-lidad del costo derentar el equipopara hacer nieve

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DEL COSTO DE RENTA DEL EQUIPO PARA HACER NIEVE

ESTRATEGIA 1: OPERAR CON EQUIPO DE NIEVEESTRATEGIA 2: COMPRAR PRONÓSTICO Y OPERAR C/S EQUIPO DE NIEVE SI >NORMAL DEJAR QUE LA CADENA DE HOTELES OPERE SI <NORMALESTRATEGIA 3: COMPRAR PRONÓSTICO Y OPERAR CON EQUIPO DE NIEVE SI >NORMAL DEJAR QUE LA CADENA DE HOTELES OPERE SI <NORMAL

ESTRATEGIA / GANANCIA ESPERADA

1 2 3ESTRATEGIA

ÓPTIMAVALOR

ESPERADO

MÁXIMO APAGAR PORPRONÓSTICO

$5,000$6,000$7,000$8,000$9,000

$10,000$11,000$12,000$13,000$14,000$15,000$16,000$17,000$18,000$19,000$20,000

$65,000$64,000$63,000$62,000$61,000$60,000$59,000$58,000$57,000$56,000$55,000$54,000$53,000$52,000$51,000$50,000

$59,200$59,200$59,200$59,200$59,200$59,200$59,200$59,200$59,200$59,200$59,200$59,200$59,200$59,200$59,200$59,200

$64,600$64,000$63,400$62,800$62,200$61,600$61,000$60,400$59,800$59,200$58,600$58,000$57,400$56,800$56,200$55,600

11 O 3

3333333

2 O 3222222

$65,000$64,000$63,400$62,800$62,200$61,600$61,000$60,400$59,800$59,200$59,200$59,200$59,200$59,200$59,200$59,200

$1,600$2,000$2,400$2,800$3,200$3,600$4,000$4,400$4,800$5,200$6,200$7,200$8,200$9,200$10,200$11,200

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––COSTO DEHACERNIEVE

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Uso del análisis de árbol de decisionesLa resolución del problema de Christie Stem fue fácil, porque el árbol tenía sólo 11 nodos. Pero losproblemas de análisis de decisiones del mundo real pueden ser mucho más complejos. Puede habermuchas más alternativas que considerar en cada nodo de decisión y muchos más resultados posiblesen cada nodo aleatorio. Además, los problemas más realistas a menudo involucran secuencias máslargas de decisiones y eventos aleatorios. (¡Los árboles son más altos y frondosos!) Al resolver unproblema con un árbol de decisiones, recuerde detenerse en un nivel de complejidad que le permitaconsiderar las consecuencias importantes de las alternativas futuras sin empantanarse en demasiadosdetalles.

En general, los análisis de árboles de decisiones requieren que los tomadores de decisiones pro-cedan a través de los siguientes seis pasos:

1. Defina el problema en términos estructurados Primero, determine qué factores son rele-vantes para la solución. Después, estime las distribuciones de probabilidad apropiadas paradescribir conductas futuras de esos factores. Recabe datos financieros referentes a los resulta-dos condicionales.

2. Modele el proceso de decisión esto es, construya un árbol de decisiones que ilustre todas lasopciones involucradas en el problema. Este paso estructura el problema presentando todo elproceso de decisión de manera esquemática y organizada, paso por paso. Durante este paso,el tomador de decisiones elige el número de periodos en que se divide el futuro.

3. Aplique los valores de probabilidad y datos financieros apropiados a cada una de las ra-mas y subramas del árbol de decisiones. Esto le permitirá distinguir el valor de probabilidad yel valor monetario condicional asociados con cada resultado.

4. “Resuelva” el árbol de decisiones Usando la metodología ilustrada, proceda a localizar larama particular del árbol que tiene el valor esperado más alto o que maximiza el criterio dedecisión, cualquiera que éste sea.

5. Realice análisis de sensibilidad esto es, determine cómo reacciona la solución a cambios enlos datos de entrada. Cambiar los valores de probabilidad y los valores financieros condicio-nales permite al tomador de decisiones probar tanto la magnitud como la dirección de la reac-ción. Este paso permite experimentar sin compromisos o errores reales, y sin interrumpir lasoperaciones.

6. Enumere las suposiciones subyacentes Explique las técnicas de estimación usadas para lle-gar a las distribuciones de probabilidad. ¿Qué clase de suposiciones de contabilidad y costosfundamentan los valores financieros condicionales usados para llegar a una solución? ¿Por quése dicidió el futuro en ese número de periodos? Hacer explícitas estas suposiciones, permite aotros conocer los riesgos que toman cuando usan los resultados del análisis de su árbol de de-cisiones. Use este paso para especificar los límites dentro de los cuales serán válidos los resul-tados obtenidos, y en especial las condiciones en las que las decisiones no serán válidas.

El análisis de árbol de decisiones es una técnica que los administradores usan para estructurar ymostrar opciones y procesos de decisión. Es popular porque:

• Estructura el proceso de decisión, y sirve de guía a los administradores para abordar la tomade decisiones de una manera ordenada y secuencial.

• Requiere que el tomador de decisiones examine todos los resultados posibles, deseables e in-deseables.

• Comunica el proceso de toma de decisiones a otros, ilustrando cada suposición acerca del futuro.

• Permite que un grupo discuta las alternativas enfocándose en cada cifra financiera, valor de pro-babilidad y suposición subyacente, una a la vez; por tanto, un grupo puede moverse en pasosordenados hacia una decisión de consenso, en lugar de debatir una decisión en su totalidad.

• Puede usarse con una computadora, de manera que pueden simularse muchos conjuntos dis-tintos de suposiciones y observar sus efectos sobre el resultado final.

Ventajas del enfoque del árbol de decisiones

Pasos de los árbolesde decisiones



Advertencia: no olvide que las probabi-lidades de cada nodo de un árbol de de-cisiones deben sumar 1.0, y tampoco quela parte importante del análisis de árbo-

les de decisiones es proporcionar las probabilidades. Esmucho más difícil determinarlas que los valores financie-ros. Conforme nos familiaricemos con la contabilidad y lasfinanzas, nos sentiremos más seguros al estimar los resul-tados financieros. Pero aun cuando se convierta en un ma-go de las finanzas, todavía es posible que se sienta incapazde “detectar sus instintos” y obtener probabilidades razona-bles para los resultados. La habilidad para asignar probabi-

lidades subjetivas razonables a los resultados, de una ma-nera consistente, es la razón por la cual se les paga mejor alos administradores exitosos que a los contadores exitosos,aunque ambos realicen un trabajo útil para la organización.Por último, no es de sorprender que las compañías, de he-cho, usen árboles de decisiones como parte de sus sistemasexpertos (sistemas escritos en lenguaje de computadoraavanzado que pueden manejar símbolos lo mismo que va-lores numéricos), que en efecto toman decisiones simulan-do el comportamiento de un tomador de decisiones mien-tras resuelven el problema.

SUGERENCIASY

SUPOSICIONES

Ejercicios 17.6

Ejercicio de autoevaluación

EA 17-4 Evelyn Parkhill está considerando tres formas posibles de invertir los $200,000 que acaba de heredar.1) Algunos de sus amigos están considerando financiar una combinación de lavandería, galería de video-

juegos y pizzería, donde los jóvenes del área se puedan encontrar y jugar mientras lavan su ropa. Estainversión tiene un riesgo alto y podría resultar tanto en una pérdida importante como en una gananciasustancial en el transcurso de un año. Evelyn estima que con una probabilidad de 0.6, perderá todo sudinero. Sin embargo, con probabilidad de 0.4, tendrá una ganancia de $200,000.

2) Puede invertir en unos departamentos nuevos que se están construyendo en la ciudad. En un año, es-te proyecto bastante conservador producirá una ganancia de al menos $10,000, pero puede producir$15,000, $20,000, $25,000 o incluso $30,000. Evelyn estima las probabilidades de estos cinco rendi-mientos en 0.20, 0.30, 0.25, 0,20 y 0.05, respectivamente.

3) Puede invertir en algunos bonos del gobierno que tienen un rendimiento actual del 8.25%.a) Construya un árbol de decisiones para ayudar a Evelyn a decidir cómo invertir su dinero.b) ¿Qué inversión maximizará su ganancia esperada en un año?c) ¿Cuánto deben producir los bonos del gobierno para que decida invertir en ellos?d) ¿Cuánto estaría dispuesta a pagar por la información perfecta sobre el éxito de la lavandería?e) ¿Cuánto estaría dispuesta a pagar por la información perfecta sobre el éxito de los departamentos?

Aplicaciones

■ 17-25 La Motor City Auto Company planea producir un nuevo automóvil que ofrezca un sistema de control decontaminación radicalmente nuevo. Tiene dos opciones. La primera es construir una nueva planta, antici-pando una producción completa en tres años. La segunda opción es reconstruir una pequeña planta pilo-to existente para una producción limitada el siguiente año del modelo. Si los resultados de la producciónlimitada son prometedores al final del primer año, la producción a escala total en una planta recién cons-truida seguiría siendo posible dentro de tres años. Si decide proceder con la planta piloto, y un análisisposterior muestra que no resulta atractivo llegar a la producción total, la planta piloto puede seguir ope-rando por sí misma con una pequeña ganancia. Las ganancias anuales esperadas para las diversas alterna-tivas son las siguientes:

Instalación Aceptación de Ganancia anualde producción los consumidores (millones de dls.)

Planta nueva Alta 14Planta nueva Baja �6Planta piloto Alta 2Planta piloto Baja 1

La división de marketing de Motor City ha estimado que hay 50% de probabilidades de que la aceptaciónde los consumidores sea alta y otro 50% de que sea baja. Si se pone en producción la planta piloto, juntocon un programa de publicidad moderado, los investigadores sienten que las probabilidades son 45% dealta aceptación de los consumidores y 55% de baja aceptación. Más aún, han estimado que si se constru-ye la planta piloto y se encuentra que la aceptación de los consumidores es alta, existe 90% de probabili-dades de aceptación alta con producción total. Sin embargo, si se encuentra que la aceptación de los con-sumidores con los modelos piloto es baja, sólo hay 10% de probabilidad de una eventual aceptación altacon producción total. ¿Qué planta se debe construir?

■ 17-26 Vea el problema de Christie Stem, figura 17-9.a) Suponga que el costo de operación del equipo de fabricación de nieve resulta ser 30% mayor de lo es-

timado por Christie, esto es, $13,000 si las nevadas son grandes, $65,000 si son moderadas y $117,000si son ligeras. ¿Cómo afectará esto a la decisión óptima y a la ganancia esperada de Christie?

b) Responda las mismas preguntas del inciso a) si el costo de operación real es 20% más alto que la es-timación original de Christie.

c) ¿A qué porcentaje de aumento del costo de operación le dará lo mismo a Christie entre las decisionesóptimas de los incisos a) y b)? En este punto, ¿cuál será su ganancia esperada?

■ 17-27 La International Pictures está tratando de decidir cómo distribuir su nueva película Garras. La películanarra la historia de un experimento de cría de ganado en la Universidad Estatal de Carolina del Norte quese sale de control, con resultados cómico-trágicos. El intento de criar pavos con más carne produce de al-guna manera un pavo inteligente de 1,000 libras que escapa del laboratorio y aterroriza el campus. En unsorprendente final, el pavo se hace amigo del entrenador Morey Robbins, quien le enseña a jugar básquet-bol y llega a ganar el campeonato NCAA. Debido a la controvertida naturaleza de la película, tiene el po-tencial de ser todo un éxito, un éxito modesto o un fracaso total. International quiere decidir si estrena lapelícula con una distribución general desde el principio o si comienza con un “estreno limitado” en unoscuantos cines seleccionados, seguido de una distribución general tres meses después. La compañía ha es-timado las siguientes probabilidades y ganancias condicionales de Garras:

Ganancias (millones de dls.)

Nivel Estreno Distribuciónde éxito Probabilidad limitado general

Gran éxito 0.3 �22 �12Modesto 0.4 �19 �18Fracaso 0.3 �10 ��2

a) Construya un árbol de decisiones para que International decida cómo estrenar Garras.b) ¿Qué decisión maximizará la ganancia esperada?c) ¿Cuánto pagaría International por un pronóstico absolutamente confiable del nivel de éxito de la pe-

lícula?d) International puede hacer varios preestrenos de Garras para tener una mejor idea del nivel de éxito de

la película. El público de los preestrenos clasifica las películas como buena o excelente, pero sus opi-niones no son completamente confiables. Con base en otras experiencias con preestrenos, Internatio-nal ha encontrado que 90% de sus grandes éxitos se clasificaron como excelentes (con 10% de ellosclasificados como buenos), 65% de todos los éxitos modestos fueron clasificados como excelentes(con 35% clasificados como buenos) y 40% de todos los fracasos fueron clasificados como excelen-tes (con 60% clasificados como buenos). Si el costo de los preestrenos fuera alrededor de $750,000,¿deben relizarse los preestrenos de Garras? ¿Cómo debe responder International a los resultados?¿Cuál es la cantidad máxima que International debería estar dispuesta a pagar por los preestrenos?

■ 17-28 Sam Crawford, estudiante del penúltimo año de administración, vive fuera del campus y acaba de perderel autobús que lo habría llevado para su examen de las 9:00 AM Ahora son las 8:45 AM y Sam tiene va-rias opciones disponibles para llegar al campus: esperar el siguiente autobús, caminar, ir en bicicleta o ma-nejar su auto. El autobús está programado para llegar en 10 minutos, y le tomará exactamente 20 minutospara llegar a su examen a partir del momento en que se suba al autobús. Sin embargo, existe la probabili-dad de 0.2 de que el autobús llegue 5 minutos antes, y una probabilidad de 0.3 de que el autobús llegue 5minutos después. Si Sam camina, hay una probabilidad de 0.8 de que llegue al examen en 30 minutos, yuna probabilidad de 0.2 de que lo haga en 35 minutos. Si Sam va en bicicleta, llegará al examen en 25 mi-


nutos con una probabilidad de 0.5, 30 minutos con una probabilidad de 0.4 y existe una probabilidad de0.1 de que se le ponche una llanta y llegue en 45 minutos. Si Sam maneja su coche al campus, le tomará15 minutos llegar a la ciudad universitaria, pero el tiempo requerido para estacionar el auto y llegar al exa-men está dado por la siguiente tabla:

Tiempo para estacionarse y llegar (minutos) 10 15 20 25Probabilidad 0.30 0.45 0.15 0.10

a) Suponiendo que Sam desea minimizar su tiempo de retraso esperado para llegar al examen, dibuje elárbol de decisiones y determine su mejor opción.

b) Suponga en vez de esto que Sam desea maximizar su utilidad esperada medida por la proyección dela calificación. Use el mismo árbol de decisiones para determinar su decisión ahora.

Hora de llegada 9:10 9:15 9:20 9:25 9:30Calif. de examen proyectada 95 85 70 60 45

■ 17-29 La Autoridad de Aeropuertos de Carolina del Norte intenta resolver un difícil problema del saturado ae-ropuerto Raleigh-Durham. Tiene tres opciones que considerar:1) Se puede rediseñar y reconstruir el aeropuerto por completo a un costo de $8.2 millones. La pregun-

ta es cuál es el valor presente de los ingresos aumentados de un nuevo aeropuerto. Hay 70% de pro-babilidades de que su valor presenta sea $11 millones, 20% de probabilidades de que sea $5 millonesy 10% de probabilidades de que sea $1.0 millón, según si el nuevo aeropuerto es todo un éxito, tieneun éxito moderado o fracasa.

2) Se puede remodelar el aeropuerto con una nueva pista de aterrizaje a un costo de $4.7 millones. El va-lor presente de los ingresos incrementados sería $6 millones (con probabilidad de 0.8) o $3 millones(con probabilidad de 0.2).

3) Podrían elegir no hacer nada y sufrir una pérdida de ingresos de $1 millón (con probabilidad de 0.65)o $4 millones (con probabilidad de 0.35).a) Construya un árbol de decisión para ayudar a la Autoridad de Aeropuertos.b) ¿Qué opción maximizará el valor presente de ganancia?c) ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por la información perfecta acerca del éxito del nuevo aero-

puerto?d) ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por la información perfecta acerca del éxito de un aeropuerto re-

modelado?


EA 17-4 a)


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GANANCIA INVERSIÓN GANANCIA PROB PAGO

-40.00

60%

40%

20%

30%

25%

20%

5%

-200.0

200.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

16.5

[ ] ( )

( )

18.00 18.00–

–––––––––– –––––––––––––– –––––––––– ––––––––––––––––––

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+––

+––

+––

+––

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+––

+––

LAVANDERÍA

DEPARTAMENTOS

BONOS GOB.

b) Debe invertir en los departamentos.c) Para que los bonos tengan un rendimiento mayor que $18,000, tendrían que pagar una tasa de interés

mayor al 9%.d) Con información perfecta acerca de la lavandería, invertiría en ella si supiera que tendrá éxito, de otra

manera invertiría en los departamentos. Entonces su rendimiento esperado con información perfectaes 0.6(18) � 0.4(200) � 90.8 y así,

VEIP � 90.8 � 18 � 72.8, es decir, $72,800

e) Con información perfecta acerca de los departamentos, invertiría en ellos si su rendimiento fuera ma-yor que $16,500, de otra manera compraría bonos del gobierno. Así su rendimiento esperado con in-formación perfecta es 0.5(16.5) � 0.25(20) � 0.20(25) � 0.05(30) � 19.75, y entonces

VEIP � 19.75 � 18 � 1.75, es decir, $1,750


Estadística en el trabajo

Loveland ComputersCaso 17: Teoría de decisiones Una curiosa calma inundóLoveland Computers y Lee Azko comenzó a pensar en pro-gramar un bien merecido día en las colinas. Tanto Walter Az-ko como Gracia Delaguardia habían estado fuera de la ofici-na durante dos días, y se rumoraba que estaban en NuevaYork, entrevistándose con los banqueros inversionistas.

Lee encontró un mensaje en la contestadora telefónica desu casa: “Lee, soy tu tío. Puedes olvidarte de ir a esquiar es-te fin de semana. Y no vayas a la oficina. Gracia y yo debe-mos tomar una decisión importante. Ven a mi casa mañanatemprano. Vamos a desayunar y nos podrás ayudar a Graciay a mí a resolver esto.”

“Sírvete”, le dijo Walter la mañana siguiente, señalándoleuna gran pila de hotcakes. “Probablemente puedes adivinardónde estuvimos esta semana.” El gesto de Walter indicabaque se refería a él y su socia. “Sé que puede parecer extrañopara una compañía tan grande como ésta que siga siendo unasociedad. Pero en muchas formas es simplemente un nego-cio ‘familiar’...”

“... con algunos números bastante grandes”, añadió Gra-cia.

“Bueno, existen todo tipo de compañías que crecieronbastante mientras seguían sin participar en la Bolsa”, conclu-yó Walter.

“La mayor parte de las compañías de software, y algunosde tus competidores directos”, comentó Lee.

“Pues ahora estamos en un punto decisivo”, continuó eldirector ejecutivo de Loveland Computers. “Estos tipos deNueva York están listos para hacer una inversión realmentesustancial en Loveland. Pero, como uno esperaría, quierenque formemos una corporación, y que les demos una partici-pación del 60%. Supongo que eso es bastante normal. En al-gún momento, tal vez en 2 o 5 años, la compañía entrará a laBolsa.”

“Tú y Gracia, con 20% cada uno, tendrán una fortuna”,dijo Lee alegremente, preguntándose si sería demasiadopronto para solicitar una bonificación.

“Pero por otro lado”, advirtió Gracia, “tal vez nos conven-ga más quedarnos como estamos. Claro, esto significa quetendremos que limitar nuestro crecimiento, digamos, tal veza 25% anual”.

“En contraste con un crecimiento de 50 o 100% anual enventas si tuviéramos suficiente capital que nos respaldara”,dijo Walter.

“Bueno, tío, esto no es para romperse la cabeza”, Leeseguía soñando con grandes bonificaciones. “Vayan por eloro. Tomen el dinero, crezcan todo lo que quieran: nuevosalmacenes y más teléfonos de atención, y logren mayoresganancias.”

“No es tan simple”, Gracia continuaba dudosa. “La eco-nomía se mantiene fija en el mejor de los casos. Si hay un re-punte económico, la expansión será rentable. Pero si el paíscontinúa otro año con crecimiento muy lento, entonces laúnica forma en que podríamos expandir nuestra participa-ción de mercado sería bajando seriamente los precios. Asíque mantendríamos activas las nuevas instalaciones, pero afinal de cuentas ganaríamos mucho menos dinero.”

“¿Quieres decir que podrías vender más y ganar menos?”,Lee se mostraba incrédulo.

“Absolutamente. Sucede más seguido de lo que crees. Dehecho, no puedo estar seguro de la estructura de precios detoda la industria”, dijo Walter, volviendo a intervenir en laconversación y estirándose para alcanzar el jarabe de maple.“Muchos expertos industriales esperan que algunos de losgrandes nombres, como IBM y Compaq, renuncien a su es-trategia de precios altos. Si aceptan un margen mucho menoren sus máquinas, podrían incrementar mucho el número decomputadoras vendidas. Y ambas tienen capacidad de fabri-cación aquí en Estados Unidos, así que podrían incrementarla producción mucho más rápido que nosotros.”

“Dame esa servilleta y una pluma”, dijo Lee poniéndoseserio. “Déjenme ver si puedo esbozar sus opciones.”

Preguntas de estudio: ¿Qué está dibujando Lee en la ser-villeta? ¿Cuál es la acción que los socios tomarán o no des-pués de esta discusión? ¿Cuáles son las incertidumbres queenfrentan? ¿Qué tan bien estimarán estas tres personas lasprobabilidades de los distintos resultados?

Del libro de texto al mundo real 791

Del libro de texto al mundo real

cuencia y no son perecederos. Por el contrario, los productosno almacenables pueden ser perecederos, venderse sólo engrandes envases, o usarse con poca frecuencia. El estudio usóuna estructura de decisión bayesiana por las dos razones si-guientes:

1. Podía seleccionarse la estrategia de precios que producíala mayor rentabilidad y estimarse el riesgo en dólares aso-ciado con esta estrategia. Esto indicaría la estrategia ópti-ma a usar durante una guerra de precios.

2. Este diseño indica cuándo detener el experimento, lo quees muy importante debido al gasto involucrado en la ex-perimentación de precios.

El modelo representa las ventas de cada producto como unafunción del tipo de producto (almacenable o no) y del nivelde precios (precio normal y 20% arriba o abajo del precionormal). Podían evaluarse seis posibles tratamientos de pre-cios: elevar los precios de bienes almacenables o no almace-nables, disminuir los precios de bienes almacenables o no, omantener los precios normales de cualquier tipo de bienes.Era importante medir los cambios en las ventas, pero la uti-lidad percibida, asociada con cada tratamiento también eranecesaria. Después de cada semana, se obtenía un valor de lapérdida esperada de la decisión inmediata. La continuacióndel experimento sólo se justificaba si la nueva informaciónreducía esta pérdida esperada de la decisión inmediata en unacantidad mayor qué el costo de la nueva información.

Resultados Después de dos semanas, era evidente que losconsumidores eran altamente sensibles a los cambios de pre-cios en los productos almacenables, pero no podían aprove-char las fluctuaciones en el precio de bienes no almacenablesguardándolos (vea la tabla MR17-l). Los resultados sugierenque las rebajas drásticas pueden dañar los ingresos innecesa-riamente. Si se requieren las rebajas, Hudon y Deaudelin(IGA) deben bajar los precios sólo en productos almacena-bles, mientras que los precios de productos no almacenablespueden elevarse o mantenerse constantes. A principios demarzo de 1983, Steinberg anunció su nueva promoción, “leregresamos el 5% de su cuenta”. En cuestión de horas, Me-tro-Richelieu y Provigo siguieron su ejemplo. IGA llevó acabo reducciones de precios en cientos de productos almace-nables, pero no redujo los precios drásticamente. Comoresultado, experimentó la menor disminución en su margentotal. La guerra de precios duró sólo 14 semanas y ocasionópérdidas en el margen total y en la participación de mercadotanto a Steinberg como a Metro-Richelieu. Al planear conantelación y usar métodos estadísticos, IGA no sólo se aho-rró millones de dólares al preservar su margen, sino que real-mente incrementó su participación de mercado del 8.5 al9.5%.

Fuente: Roger J. Calantone, Cornelia Droge, David S. Litvack y C. Anthony DiBenedetto. “Flanking in a Price War”, Interfaces 19(2)(2009): 1-12.

Al borde de una guerra de preciosEn marzo de 1983, una pequeña cadena de tiendas de abarro-tes canadiense usó los resultados de un estudio sobre estrate-gias de precios para competir con éxito durante una guerra deprecios. El estudio indicaba que la sensibilidad de los preciosde bienes comestibles almacenables es diferente de la debienes no almacenables. Se utilizó un esquema de decisiónbayesiano para determinar la estrategia óptima de tratamien-to de precios, así como el riesgo en dólares asociado con ella.También se proporcionó una regla de detención óptima parael experimento. En lugar de responder a la competencia concortes de precios drásticos, la cadena implantó una estrategiaprecisa de preservación de ganancias. Como resultado, la ca-dena incrementó sustancialmente su participación de merca-do durante la guerra de precios, al costo de sólo 1.2% de sumargen total. La competencia sufrió una disminución apro-ximada del 5% en su margen.

El mercado de abarrotes de Quebec Hasta 1980, la indus-tria de venta al menudeo de abarrotes en Quebec estuvo do-minada por Steinberg, Inc. Steinberg utilizó una estrategia depresión sobre los costos y reducción de precios que mantuvoa la competencia en un mínimo, por lo cual quedó convertidaen la número 24 de las compañías más grandes (en términosde ventas). La industria de ventas al menudeo de abarrotescomenzó a consolidarse para competir mejor con Steinberg.Hacia 1982, la industria era un oligopolio dominado por Pro-vigo, Metro-Richelieu, Steinberg, y Hudon y Deaudelin(IGA), con participaciones de mercado de 31, 25, 20 y 8.5%,respectivamente. Steinberg, que ocasionó la consolidación,irónicamente se convirtió en la más vulnerable a ésta. Teníacostos de mano de obra mayores y estaba sujeto a reglamen-tos que limitaban sus horas de operación y restringían la ven-ta de cerveza y vinos.

El experimento de precios Como la cuarta compañía másgrande del oligopolio, Hudon y Deaudelin tendría que res-ponder a movimientos competitivos de las otras empresasimportantes y, sin embargo, la gerencia sabía que las rebajasdrásticas de precios ocasionarían grandes pérdidas. Para pre-parar a la compañía para una inminente guerra de precios, elpresidente de Hudon y Deaudelin contrató asesores para rea-lizar un experimento. El estudio indicaba que ocurría una di-ferencia muy pequeña en el nivel de ventas cuando se cam-biaba el precio de la fruta fresca, mientras que ocurría uncambio mayor cuando se alteraba el precio de los vegetalesenlatados. El experimento investigaba esta diferencia en lasensibilidad de los precios de bienes almacenables y no al-macenables. Los productos almacenables son aquellos quepueden comprarse en grandes cantidades, se usan con fre-

Tabla MR17-1 Manipulación de precios

Tipo de Rebajado Sin Elevadoproducto 20% cambios 20%

Almacenable 54.95 1.75 �24.10No almacenable 10.55 6.95 �27.60

Cambio porcentual en ventas unitarias estandarizadas después de manipularprecios. Las ventas de bienes almacenables se incrementan fuertemente enrespuesta a una reducción de precios y disminuyen fuertemente en respues-ta a un incremento de precios. Los cambios en las ventas de productos no al-macenables son mucho menos drásticos.

Automatización postal en Estados UnidosEn 1984, el Servicio Postal de Estados Unidos decidió con-tinuar usando el código postal de nueve dígitos (ZIP � 4) pa-ra remitentes comerciales de primera clase y comprar equipobásico adicional como parte de su movimiento continuo ha-cia la automatización. Antes de esta decisión, se pidió a laOficina de Asesoramiento Tecnológico (OAT) y a sus contra-tistas que efectuaran análisis técnicos y económicos paraevaluar las opciones disponibles para el Congreso de EstadosUnidos y el Servicio Postal. Las opciones de automatizaciónimplicaban inversiones de capital de más de $350 millones ymantenimiento anual y otros costos que podían ascender amás de $300 millones al año, pero que permitían ahorrosanuales potenciales de aproximadamente $1.5 miles de mi-llones en requerimientos menores de mano de obra. Ante laincertidumbre respecto a los ahorros posibles, la OAT usóteoría de decisiones para determinar la mejor opción para elServicio Postal de Estados Unidos (SPEU).

La automatización postal: costos y beneficios Desde octu-bre de 1983, el SPEU ha animado a los remitentes comercia-les a usar el código postal de nueve dígitos, ofreciendo unatasa de descuento por grandes volúmenes de correo de prime-ra clase que empleen el ZIP � 4. Al mismo tiempo, el SPEUcomenzó la Fase I de su programa de automatización. Hacia1984, había comprado 252 lectores ópticos de caracteres(OCR, Optical Character Readers) y 248 clasificadores decódigo de barras (CCB) a un costo aproximado de $234 mi-llones. Se pidió a OAT que revisara el sistema antes que co-menzara la Fase II de la operación. La reducción del númerode empleados postales involucrados en el direccionamientointermedio proporcionaría la mayor cantidad de ahorros por-que la mano de obra representa cerca del 85% de los costospostales totales. Se obtendrían grandes ganancias de la auto-matización conjunta con el uso del código ZIP � 4 que per-mitía clasificar en un nivel más avanzado que los códigospostales de cinco dígitos. Los OCR leen el código ZIP � 4,lo traducen a código de barras y lo imprimen en el sobre.Luego los CCB clasifican la carta automáticamente al nivelde rutas de mensajeros, eliminando toda la clasificación in-termedia. El SPEU asignó $450 millones para la Fase II.


Acababa de recibir presupuestos de otros 403 OCR y estabaplaneando solicitarlos para 452 CCB adicionales.

Marco de decisiones Antes de proceder con el plan de au-tomatización, se pidió a la OAT que investigara la convenien-cia de la estrategia en el terreno técnico y el económico. Suestudio juzgó que la estrategia era técnicamente factible, pe-ro varias opciones de implantación requerían mayor análisispara determinar la viabilidad económica. El SPEU compró,originalmente, OCR de una línea que leían la última línea decada dirección. También había OCR multilínea con capaci-dad de leer hasta cuatro líneas de una dirección. Los OCRmultinlínea tenían un desempeño similar al leer códigosZIP � 4, pero eran mejores al leer códigos postales de cincodígitos que los OCR de una línea. Se identificaron varios pro-veedores de estos OCR. La perspectiva se complicó porquelos grandes ahorros eran fortuitos en la clasificación reduci-da, que, al menos con los OCR de una línea, requería quegrandes volúmenes de remitentes de primera clase usarannueve dígitos. Para estudiar esta compleja e incierta situa-ción, se contrató a Decision Science Consortium, Inc., en fe-brero de 1984, con el fin de realizar un análisis de decisiónde las alternativas de automatización postal. El modelo bási-co incluía seis pasos: 1) identificar opciones de decisión,2) desarrollar un modelo probabilístico de flujo de efectivopara cada operación, 3) analizar los resultados, 4) discutir elmodelo en un taller público, 5) refinar el modelo basándoseen la información intercambiada en el taller y 6) presentar losanálisis y evaluaciones al Congreso.

El modelo de análisis de decisión: estructura, opciones yevaluación Se identificaron seis opciones: A) OCR de unalínea, B) OCR multilínea con códigos postales de 9 dígitos(ZIP � 4), C) multilínea sin ZIP � 4, D) convertir a multilí-nea después, E) restringir (convertir sólo si el uso de ZIP �4 fuera bajo) y F) cancelar la Fase II y ZIP � 4. Cada opciónse evaluó con base en la tasa interna de retorno y el valor pre-sente neto de flujos de efectivo. Se usó una tasa de descuen-to del 15% y el horizonte de tiempo fue de 1985 a 1998. Elflujo de efectivo neto anual se calculó como ahorros menosinversión, mantenimiento y reducción de tasas. Se modela-ron tres incertidumbres importantes que afectaban los aho-rros de la automatización postal: el uso de ZIP � 4, el por-centaje de ahorros y los ahorros de uso. Históricamente, elSPEU tendía a sobrestimar tanto el uso de nuevos programaspor los remitentes como el ahorro potencial de equipo nue-vo. En condiciones de un alto uso de ZIP � 4 y grandes aho-rros, la opción D (convertir) tenía una tasa interna de retornodel 111% y un valor presente neto (VPN) de $2,700 millo-nes, haciéndola una opción muy atractiva. De los árboles, seclaculó el VPN esperado de la siguiente manera:

Opción A: $1,300 millones Opción B: $1,200 millonesOpción C: $900 millones Opción D: $1,500 millonesOpción E: $1,400 millones

Así, según el valor esperado, se prefirió la opción D (conver-tir), y cualquier Fase II era mejor que cancelar.

Conclusiones El análisis de árbol de decisiones se usó comobase para el informe de OAT al Congreso en junio de 1984.Proporcionaba evaluaciones detalladas y cuantitativas de lasimplicaciones económicas de las opciones de estrategias que

Repaso del capítulo 793

reflejaban incertidumbres. También ayudó a la OAT a pensarcreativamente acerca del problema y a generar alternativas.Más aún, facilitó el uso de análisis múltiples o plurales parallegar a una evaluación global.

Fuente: Jacob W. Ulivila, “Postal Automation”, Interfaces 17(2) (marzo-abril de1987): 1-12.

Árbol de decisiones Representación gráfica del entorno dedecisiones, indica las alternativas de decisión, los estadosde la naturaleza, las probabilidades relacionadas con esos es-tados de la naturaleza y beneficios y pérdidas condicionales.

Certidumbre Entorno de decisión en el que sólo existe unestado de la naturaleza.

Criterio del valor esperado Criterio que requiere que el to-mador de decisiones calcule el valor esperado para cada al-ternativa de decisión (la suma de los pagos ponderados paraesa alternativa en la que los pesos son los valores de proba-bilidad asignados por el tomador de decisiones a los estadosde la naturaleza que pueden ocurrir).

Estado de la naturaleza Evento futuro que no está bajo elcontrol del tomador de decisiones.

Ganancia condicional Ganancia que resultaría de una com-binación dada de alternativas de decisión y un estado de lanaturaleza.

Ganancia esperada Suma de las ganancias condicionalespara una alternativa de decisión dada, cada una ponderadapor la probabilidad de que ocurra.

Ganancia esperada con información perfecta Valor espe-rado de la ganancia con certidumbre perfecta respecto a losestados de la naturaleza que ocurrirán.

Ganancia marginal Ganancia obtenida de vender una uni-dad adicional.

Ganancia marginal esperada Ganancia marginal multipli-cada por la probabilidad de vender esa unidad.

Nodo Punto en el que tiene lugar un evento aleatorio o unadecisión en un árbol de decisiones.

Pago Beneficio reunido de una combinación dada de una al-ternativa de decisión y un estado de la naturaleza.

Pérdida por obsolescencia Pérdida ocasionada por alma-cenar demasiadas unidades y tener que desechar unidades novendidas.

Pérdida de oportunidad Ganancia que se pudo obtener sise hubieran tenido almacenadas suficientes unidades parasurtir una unidad solicitada.

Pérdida marginal Pérdida incurrida por tener almacenadauna unidad que no se vende.

Pérdida marginal esperada Pérdida marginal multiplicadapor la probabilidad de no vender esa unidad.

Probabilidad mínima Probabilidad de vender al menosuna unidad adicional que debe existir para justificar tenerlaalmacenada.

Punto de decisión Punto de ramificación que requiere unadecisión.

Procedimiento hacia atrás También llamado retroceso;método para usar árboles de decisión para encontrar alterna-tivas óptimas. Implica trabajar de derecha a izquierda en elárbol.

Utilidad Valor de un cierto resultado o pago para alguien; elplacer o disgusto que alguien deriva de un resultado.

Valor de recuperación Valor de un producto después delperiodo inicial de venta.

Valor esperado de información perfecta Diferencia entrela ganancia esperada (en condiciones de riesgo) y la ganan-cia esperada con información perfecta.

● Ecuaciones introducidas en el capítulo 17■ 17-1 p(GM) � (1 � p)(PM)

Esta ecuación describe el punto en el que la ganancia marginal esperada de guardar y vender una unidadadicional, p(GM), es igual a la pérdida marginal esperada de tener y no vender la unidad (1 � p)(PM).Mientras p(GM) sea mayor que (1 � p)(PM), se deben almacenar unidades adicionales, porque la ganan-cia marginal esperada de esa decisión es mayor que la pérdida marginal esperada.

■ 17-2 p* �PM

��GM � PM

Repaso del capítulo● Términos introducidos en el capítulo 17

Ésta es la ecuación de probabilidad mínima. El símbolo p* representa la probabilidad mínima requeridade vender al menos una unidad adicional para justificar el inventario de esa unidad adicional. Mientras laprobabilidad de vender una unidad adicional sea mayor que p*, el comerciante debe almacenar esa uni-dad. Esta ecuación es la ecuación 17-1 despejando p*.

● Ejercicios de repaso (para más ejercicios, consulte el CD que acompaña esta obra)■ 17-30 La Mountain Manufacturing Company planea producir impresoras de matriz de puntos. Un problema que

enfrenta es la decisión de fabricar o comprar las cabezas de impresión. Puede comprar estas unidades aun fabricante japonés a $35 cada una, o puede producirlas en su propia planta con costos variables de $24la unidad. Si escoge producir las cabezas de impresión, incurrirá en costos fijos de $28,000 al año. Debi-do a las unidades defectuosas, cada impresora requiere 1.15 cabezas. La compañía prevé que la demandaanual de sus impresoras tendrá una distribución normal con media � � 3,000 unidades y desviación es-tándar � � 700 unidades. ¿Cuál es la probabilidad de que el uso requerido de cabezas de impresión seasuficientemente grande para justificar producirlas en vez de comprarlas? Si es política de la compañía fa-bricar componentes sólo cuando hay más del 60% de probabilidad de que el uso esté 1.5 de desviaciónestándar arriba del punto de equilibrio de hacer o comprar, ¿cuál debería ser la decisión en esta cuestión?

■ 17-31 Sarah Peterson va a abrir una tienda de comida saludable, la Boysenberry Farms Organic Food Empo-rium. Al planear su inventario inicial, Sarah está tratando de decidir cuántos tarros de jalea de grosellacomprar a la señora Miles. Ella prepara su jalea de grosella sólo una vez cada dos meses, así que es nece-sario que Sarah planee con anticipación cuánta necesitará (no hay posibilidad de volver a ordenar en elínterin). Sarah debe decidir entre satisfacer a sus clientes y amigos y perder dinero si la jalea se echa aperder, ya que tiene un periodo de vida en anaquel de dos meses. Sarah está segura de que venderá al me-nos 10 tarros durante el periodo, y 18 amigos le han prometido que comprarán la jalea cuando la tenga enexistencia. Sarah sabe que la probabilidad de vender más de 18 tarros es prácticamente nula y piensa quelas ventas caerán en algún punto entre 10 y 18 tarros, a pesar de lo que le han prometido los amigos. Sa-rah tiene todos los datos de costo y planea vender 50% arriba del costo. Como está planteado el proble-ma, ¿puede Sarah obtener una solución a su problema usando teoría de decisiones?

■ 17-32 Por un precio de $26.95, La Langouste ofrece un plato principal que consiste en dos colas de langosta ma-rina asadas con salsa de ajo en mantequilla. Debido al reglamento federal de salud, las langostas, que sonimportadas de la Península de Yucatán, no pueden entrar vivas a Estados Unidos. Sólo se pueden impor-tar colas refrigeradas o congeladas. El chef de La Langouste, que se niega a usar colas de langosta con-geladas y para mantener la reputación de su establecimiento de servir sólo haute cuisine emplea un agen-te para traer colas de langosta recién refrigeradas por avión diariamente desde la península. Toda cola queno se sirve el día de su envío debe desecharse. El chef desea saber cuántas colas debe embarcar el agentecada día. Desea poder satisfacer a sus clientes, pero se da cuenta que si siempre ordena lo suficiente parasatisfacer la demanda potencial, esto podría implicar un gasto sustancial en los días de baja demanda. Hacalculado el costo de una sola cola de langosta en $7.35, incluyendo los cargos de transporte. Los regis-tros anteriores muestran la siguiente distribución de la demanda diaria del platillo de cola de langosta:

Número 18 19 20 21 22 23 24 25Probabilidad 0.07 0.09 0.11 0.16 0.20 0.15 0.14 0.08

a) Si desea maximizar sus ganancias esperadas diarias sobre las colas de langosta, ¿cuántas colas debe-ría ordenar el chef?

b) Si La Langouste adoptara una política que requiriera que los clientes ordenaran la langosta marina undía antes, ¿cuánto incremento en la ganancia se podría esperar?

■ 17-33 La compañía para el cuidado de prados y jardines Bay Lalkes proporciona servicios a propietarios de ca-sas y pequeños negocios. La compañía está considerando la compra de un nuevo aspersor de fertilizantesa un costo de $43.50. Se estima que el aspersor ahorrará 8 minutos de trabajo por cada hora que esté enuso. El jefe especialista en cuidado de céspedes Ralph Medlin estima que la vida esperada del aspersor essólo de 48 horas debido a la corrosión y las probabilidades son de 7 a 5 de que su vida esté entre 42 y 54horas. Si la compañía paga su servicio de jardinería a $12.50 la hora, ¿cuál es la probabilidad de que elgasto del aspersor se recupere antes de que se estropee?

■ 17-34 El departamento de equipaje de la tienda departamental Madison Rhodes realiza una venta especial deequipaje un día después de Navidad de la mercancía navideña no vendida. La marca de equipaje en bara-ta será Imagemaker. El gerente del departamento planea su pedido. Como la tienda no vende Imagema-ker durante el año, el gerente desea evitar la sobreexistencia; sin embargo, debido al precio especial que


el fabricante ofrece en la línea, también desea minimizar los faltantes. Intenta decidir el número de bol-sas de viaje de mujer que debe comprar. Su estimación de las ventas probables basándose en parte en suexperiencia es:

Bolsas 32 33 34 35 36 37 38Probabilidad 0.10 0.14 0.15 0.20 0.17 0.13 0.11

La tienda planea vender estas bolsas en $42.75. El costo al mayoreo es $26.00. ¿Cuántas bolsas deben pe-dirse para su venta?

■ 17-35 Archdale, una cadena de tiendas de moda masculina, está considerando comprar un lote de 5,700 corba-tas de Beau Charin Company. El lote de corbatas costará $16,500 y cada corbata se venderá en $3.50. Elvicepresidente de ventas de Archdale ha afirmado que piensa que la cadena podría vender 5,000 corbatas,y las posibilidades son de 2 a 3 de que las ventas reales estén dentro de 200 arriba o abajo de su estima-ción. Las corbatas no vendidas carecen de valor.a) ¿Cuál es la probabilidad de que Archdale al menos quede a mano en la venta de corbatas?b) ¿Cuál es la probabilidad de que Archdale pueda ganar 10% o más de su inversión en inventario?

■ 17-36 Barry Roberts, abogado corporativo en jefe de Triangle Electronics, acaba de enterarse que un competidorha entablado dos demandas relacionadas de violación de patentes contra Triangle. La primera se dictará enla Suprema Corte en tres meses, y la segunda está programada 6 meses después. Barry estima que el pri-mer juicio no tomará más de cuatro meses en concluir. Las opciones disponibles para Triangle en cada casoson llegar a un arreglo amistoso o dejar que se lleve a cabo el juicio. La preparación de cualquiera de los jui-cios costará $7,500, pero parte de la preparación legal del primero ayudará en el segundo, así que el costode prepararse para ambos juicios será de sólo $12,000. Barry estima que le costará a Triangle $75,000 lle-gar a un arreglo en la primera demanda y $45,000 en la segunda. Claro que si llega a un acuerdo, Triangleevita los costos de preparación del juicio. Si las demandas van a juicio y Triangle gana, no habrá más cos-tos. Sin embargo, Barry estima que perder el primero ocasionaría costos adicionales de $150,000, y perderel segundo costaría aproximadamente $90,000. Piensa que Triangle tiene 60% de posibilidades de ganar elprimer juicio. La posibilidad de ganar el segundo depende de la resolución del primero: 40% si se llega aun acuerdo fuera de la corte, 80% si llega a juicio y gana, y 10% si llega a juicio y pierde.a) Construya el árbol de decisiones de Barry para decidir cómo proceder.b) ¿Qué debe hacer Barry para minimizar el costo esperado de Triangle?c) Barry podría simular un juicio para tener una mejor idea de la probabilidad de ganar la primera de-

manda. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar Triangle si Barry puede simular un juicio absolutamenteconfiable?

d) ¿Cómo cambiaría la decisión de Barry en el inciso b) si el costo de un arreglo la segunda demandafuera sólo $20,000? ¿Qué sucedería si el costo fuera $90,000?

■ 17-37 Optometrics Village es una cadena regional de tiendas para el cuidado de los ojos y sus administradoresestudian la posibilidad de agregar visores para el agua con graduación para los clientes que deseen bucear.Una empresa de marketing estima que la demanda anual sería 4,000 visores con desviación estándar de450, si el precio es $130 por unidad; si el precio es $140 por unidad, la demanda anual estimada es 3,200con desviación estándar de 300 unidades. La inversión requerida para el equipo de tallado de las lentes es$500,000 con costos fijos de $125,000 anuales. El costo variable para cada visor es $80. La junta directi-va de Optometrics estableció una tasa de retorno anual “barrera” del 13% y el director desea al menos60% de posibilidades de cumplir esa meta. ¿Deben proceder con este proyecto? Si es así, ¿qué precio esmás probable que logre la barrera en la tasas de retorno sobre la inversión?

■ 17-38 En Campus Set, una tienda de ropa para jóvenes modernos elegantes, la gerente Judy Sommers está ha-ciendo el pedido de trajes de baño de la temporada a Jamaican Swimwear. Como en años anteriores, estáordenando sobre todo trajes de dos piezas, pero planea pedir algunos trajes de una sola pieza. Por expe-riencia, ella estima la demanda de estos últimos como sigue:

Unidades pedidas 19 20 21 22 23 24 25Probabilidad 0.05 0.18 0.21 0.22 0.16 0.10 0.08

Los trajes de una pieza se venderán en $43.95; el costo de Judy es de $21.50. Cualquier traje que no sevenda para finales de la temporada se venderá en oferta a $19.95 y es seguro que se vendan a ese precio.Use el análisis marginal para determinar el número de trajes de una pieza que Judy debe ordenar.

■ 17-39 La tienda de aparatos eléctricos Flint City está planeando la Venta de Fin de Semana del Día del Funda-dor. Como oferta especial, está vendiendo una combinación de lavadora y secadora Royalty por sólo $600.


Royalty ha informado recientemente a sus distribuidores que un producto innovador hará obsoletas lascombinaciones de lavadora y secadora existentes, y por tanto ofrece a las tiendas su actual combinaciónde lavadora y secadora de primera línea por sólo $325. Aunque el gerente de Flint City no cree todo loque dice Royalty sobre la obsolescencia, sí sabe que cualquier mecanismo que Royalty instale en sus nue-vas máquinas, dificultará la venta de las antiguas. Por consiguiente, desea ser muy cuidadoso respecto alnúmero de máquinas que ordene para la Venta del Día del Fundador. Su estimación de la demanda de lascombinaciones de lavadora y secadora durante la venta es:

Demanda de unidades 6 7 8 9 10 11Probabilidad 0.04 0.12 0.30 0.24 0.18 0.12

Use análisis marginal para determinar cuántas combinaciones de lavadora y secadora debe ordenar parala venta si Flint City ya tiene dos en inventario.

■ 17-40 Steel-Fab Manufacturing es un competidor de Enduro Company (ejercicio 17-17) en el mercado de com-ponentes de acero estructural. A diferencia de Enduro, Steel-Fab tiene accionistas en la Bolsa y tambiénestá financiado en parte por una emisión de bonos. En consecuencia, la compañía ha adoptado una tasade retorno de corte del 9%. Abajo del 9%, la curva de utilidad de la compañía tiene mayor pendiente alalejarse el rendimiento. Arriba del 9%, la utilidad de la compañía crece a una tasa más lenta por el riesgoasociado con tasas de rendimiento más altas. La utilidad del 15% es sólo un poco mayor que para 14%.Steel-Fab está considerando un proyecto de $300,000. Grafique la curva de utilidad de la compañía.

■ 17-41 Una fábrica de textiles debe decidir si amplía un crédito de $150,000 a un nuevo cliente que fabrica ves-tidos. La experiencia anterior de la textilera con varios fabricantes de vestidos la ha llevado a clasificaresos clientes de la siguiente manera: 25% son riesgos malos; 45% son riesgos promedio, y 30% son ries-gos buenos. Las ganancias esperadas en este orden (si se amplía el crédito al fabricante de vestidos) son:�$20,000 si resulta ser riesgo malo; $18,000 si resulta ser riesgo promedio, y $25,000 si resulta ser riesgo bueno. Dibuje un árbol de decisiones para determinar si la fábrica debe ampliar el crédito este fabricante.

■ 17-42 Por $750, la fábrica de textiles del ejercicio 17-41 puede comprar un análisis exhaustivo de crédito y cla-sificación del fabricante. La clasificación, en orden creciente de merecimiento de crédito será C, B o A.La confiabilidad de la agencia de crédito se resume en la tabla siguiente cuyos elementos son las probabi-lidades (basadas en la experiencia) de la clasificación del fabricante de vestidos, dada la verdadera cate-goría de crédito a la que pertenece.

Categoría verdadera

Clasificación dada por la agencia Malo Promedio Bueno

A 0.1 0.1 0.6B 0.2 0.8 0.3C 0.7 0.1 0.1

a) Use el teorema de Bayes y un árbol de decisiones para determinar si la fábrica debe comprar la clasi-ficación de crédito.

b) Si sí compra la clasificación, ¿cómo afectará esto a la decisión de otorgar el crédito al fabricante devestidos?

c) ¿Cuál es la cantidad máxima que la fábrica estaría dispuesta a pagar por el informe de crédito?d) ¿Cuánto estaría dispuesta a pagar la fábrica por una clasificación de crédito del fabricante absoluta-

mente confiable?■ 17-43 John Silver puede usar su bote, el Jolly Roger, tanto para pesca comercial de atún como para pesca depor-

tiva. En el último caso, lo renta a un precio diario de $500. En una temporada de pesca con buen tiempo,promedia 150 días de renta. Sin embargo, si el tiempo es malo, promedia sólo 105 días de renta. Por ca-da día que se renta el bote, John estima que incurre en costos variables aproximados de $135. Cuando eltiempo es bueno, los ingresos de pesca de atún exceden los costos variables de esa operación en $50,000,mientras que en temporadas de mal tiempo, la contribución a las ganancias de la pesca de atún es sólo$43,000. A principios de la temporada de 1997, John piensa que las posibilidades son alrededor de 7 a 3a favor de que haya buen tiempo en la temporada.a) Use un árbol de decisiones para ayudar a John a decidir cómo usar el Jolly Roger durante la tempora-

da de pesca de 1997.b) ¿Cuánto pagaría John por un pronóstico a largo plazo perfectamente confiable para la temporada?


Jim Hawkins, buen amigo de John, está a cargo de un servicio privado de predicción de tiempo que hasido 90% exacto en el pasado. En 90% de todas las temporadas que tuvieron buen tiempo, Jim había pro-nosticado buen tiempo, y de igual forma en 90% de las temporadas en las que el tiempo fue malo, elpronóstico de Jim había sido de mal tiempo. Jim suele vender su pronóstico en $1,000, pero como Johnes un buen amigo, está dispuesto a vendérselo en sólo $400.c) Amplíe su árbol de decisiones para ayudar a John a decidir si debe comprar el pronóstico de Jim.

¿Cómo afectará el pronóstico su uso del bote durante la temporada de 1997?d) ¿Compraría John el pronóstico de Jim si no fueran amigos? Explique. ¿Cuál es la cantidad máxima

que John estaría dispuesto a pagar por el pronóstico?■ 17-44 Robert Ingersoll de Tungsten Products ha abordado tanto a Enduro Manufacturing Company como a

Steel-Fab Manufacturing respecto a la posibilidad de un proyecto conjunto con alguno de ellos. En esteproyecto, se usa una aleación de tungsteno en lugar de ciertas aleaciones de acero. Tungsten Products tie-ne la pericia tecnológica pero no la capacidad de producción. El proyecto conjunto sería una división 50-50 y costaría a cada compañía $500,000 en inversión de capital.a) Si la ganancia esperada el primer año del proyecto fuera $80,000, ¿aceptaría alguna de las compañías,

o las dos, la oferta?b) Superponga las gráficas de los ejercicios 17-17 y 17-40, ajuste las coordenadas y muestre el área en

la que Enduro aceptaría un proyecto y Steel-Fab no.c) Si la ganancia esperada del primer año en el proyecto fuera $110,000, ¿lo aceptaría alguna de las com-

pañías? ¿Cuánto ofrecería Steel-Fab por una participación del 50% de los $110,000?■ 17-45 Marty Tait es un contratista que piensa construir una casa espec, llamada así porque no lo contrata un

cliente sino que va a especular con su venta. El lote tiene vista al puente Golden Gate, por lo que es cos-toso. La localización en una colina significa que necesitará cimientos profundos. Pero la vista es espec-tacular y el precio de venta de la casa será alto. Si la casa se vende rápido al terminarla, Marty obtiene unabuena ganancia arriba de lo que cobra como contratista en sus proyectos; pero si lleva demasiado tiempovenderla una vez terminada, su ganancia se va en el interés del préstamo para la construcción y la reduc-ción en el precio para poder venderla. Marty trabaja con un agente de bienes raíces, quien ha estimado laposibilidad de vender la casa 30, 60 o 90 días después de terminarla. Los pagos y las probabilidades sedan en la siguiente tabla. ¿Debe Marty construir la casa?

Pagos (pérdida)

Días para vender Probabilidad Construir No construir

30 0.20 $71,000 $060 0.30 $26,000 $090 0.50 ($42,000) $0

■ 17-46 Stanley Glass, propietario de una cadena de centros de diversión familiar en Ohio, planea abrir otro cen-tro en Cincinnati. Desea decidir si debe tener 20, 25 o 35 videojuegos. Espera que la demanda sea alta,mediana o baja, y ha determinado las probabilidades asociadas con cada nivel. Las probabilidades y pagosson los siguientes:

Evento Probabilidad 20 juegos 25 juegos 35 juegos

Demanda alta 0.55 $12,600 $18,000 $23,000Demanda media 0.30 $11,000 $16,200 $15,000Demanda baja 0.15 $10,600 $ 8,500 $$7,100

a) Sin más información sobre la demanda, ¿qué debe hacer el señor Glass?b) ¿Cuál es la cantidad máxima que estaría dispuesto a pagar por información perfectamente confiable?

■ 17-47 La nueva escuela de ingeniería de una pequeña universidad sureña está decidiendo qué libros de textoutilizará en sus cursos de licenciatura. Los directivos del departamento desean saber si usar los libros detexto escritos por profesores de la universidad (“libros de texto universitarios”) o aquellos escritos por pro-fesores de otras instituciones (“libros de texto externos”). Ha habido rumores de que los administradoresde la escuela están presionando para obtener más apoyo para la universidad y que podrían requerir que losdepartamentos usen los libros de texto universitarios siempre que sea posible. Si se aprueba este requeri-miento y si el departamento ha decidido comprar libros de texto externos, el cambio a los textos univer-sitarios resultará muy costoso. A continuación se muestra la tabla de pagos preliminar de la universidad(los pagos se dan en miles de dólares).


Uso de libros Uso de librosEvento Probabilidad universitarios externos

Requerimiento aprobado 0.70 $ 8 $13Requerimiento no aprobado 0.30 16 13

a) Calcule el pago esperado para cada una de las dos decisiones.b) ¿Qué decisiones debe elegir la escuela de ingeniería?

■ 17-48 Allyson Smith, subgerente de Records and Tapes Unlimited, planea vender una revista semanal de músi-ca. Sabe que si la revista no se vende en una semana de publicada, se le considera sin valor en las tiendas.Allyson especula, con base en datos de ventas anteriores, qué tan bien se vendería la revista; sus ventassemanales y estimaciones de probabilidad son las siguientes:

Número de revistas 500 600 700 800 900Probabilidad 0.10 0.12 0.15 0.33 0.30

La revista tiene un costo de producción de $0.70 cada una, pero Records and Tapes Unlimited planea ven-derla en $1.50. Determine el número óptimo de revistas que la tienda debe ordenar, usando el criterio dedecisión del valor esperado.

■ 17-49 Las afiliadas de la fraternidad Alpha Zeta de una pequeña universidad del Medio Oeste de Estados Uni-dos se están preparando para participar en la celebración anual de tres días de primavera de la escuela.Como en años anteriores, el club estará a cargo de un puesto de refrescos, vendiendo bebidas a $0.75 elvaso. Deduciendo el pago del establecimiento y los costos materiales, el club incurre en un costo de $0.35por cada vaso (8 onzas) de refresco. Los datos recolectados de la celebración del año anterior indican quelas ventas totales de refrescos tienen distribución normal con media de 960 y desviación estándar de 140.Determine la cantidad de refresco (en onzas) que las socias deberían comprar.

■ 17-50 El administrador en jefe de una cadena de casas de convalecencia desea abrir una nueva instalación en elsur de California. Su decisión de construir una instalación de 50, 75 o 150 camas se basará en si la deman-da esperada es baja, media o alta. Según su experiencia, construye la siguiente tabla de ganancias a cortoplazo:

Evento Probabilidad 50 camas 75 camas 150 camas

Demanda baja 0.2 $41,000 �$12,000 �$53,000Demanda media 0.3 52,000 68,000 �24,000Demanda alta 0.5 65,000 80,000 117,000

a) ¿Qué tamaño de instalación debería construir el administrador?b) Calcule la ganancia esperada con información perfecta.c) Use su respuesta en el inciso b) para calcular el valor esperado de información perfecta para el admi-

nistrador.■ 17-51 La University Gear Sweatshop es una tienda de ropa que surte a los estudiantes de una universidad cono-

cida por su fantástico récord de fútbol. Janet Sawyer, la gerente de la tienda, quiere decidir si ordenar mássudaderas impresas con el nombre y mascota del equipo. Si el equipo pierde el campeonato este año,las sudaderas adicionales no se venderán muy bien, pero si el equipo gana, espera poder tener una alta ga-nancia con ellas. El periódico local predice 65% de probabilidad de que el equipo gane el campeonato.Sawyer ha construido la siguiente tabla de pagos (para las sudaderas adicionales):

Almacenar No almacenarEvento sudaderas adicionales sudaderas

El equipo gana $6,110 $0El equipo pierde $1,500 $0

¿Qué curso de acción debe tomar la señora Sawyer?■ 17-52 Un distribuidor local de teléfonos, Phones and More, planea hacer una oferta especial esta semana en su

máquina contestadora de activación remota. La tienda necesita decidir cuántas máquinas contestadoras“estándar” y “remotas” solicitar al fabricante. Basándose en experiencias anteriores, la gerencia estimalas ventas de la máquina remota según se muestra en la siguiente tabla.

Ventas 15 1 6 17 18 19 20 21Probabilidad 0.12 0.17 0.26 0.23 0.15 0.05 0.02


El precio al menudeo de la máquina remota es $89.95, pero el costo de Phones y More será $75.50. Useel análisis marginal para determinar el número de máquinas remotas que debe ordenar el distribuidor.

■ 17-53 Los tratados comerciales se han suspendido y existe una fuerte posibilidad de que los autos de lujoimportados tengan que pagar aranceles que están en proceso de evaluación. El dueño de Motors piensaduplicar la orden de importación mensual normal. Si se aprueban los aranceles, la empresa obtendrá unaganancia alta en los autos que ya están en el país. Pero si no se aprueban los impuestos, los costos de in-ventario (principalmente el interés sobre la línea de crédito de la compañía) reducirá la ganancia. La si-guiente tabla proporciona la mejor estimación del dueño de las probabilidades y pagos.

Decisión de ordenar

Evento Probabilidad Duplicar No duplicar

Aranceles aprobados 0.15 $240,000 $100,000Sin aranceles 0.85 $220,000 $280,000

¿Qué debe hacer el dueño?■ 17-54 Las acciones tecnológicas muestran una gran volatilidad en el precio, según si el análisis en Wall Street

percibe que el siguiente producto de la compañía tendrá éxito. Al final del primer trimestre de 2004, ungrupo de inversionistas estudió la posición de las acciones de Digital Equipment Corporation (DEC) quese vendían a $31.50, casi 50% abajo del costo base para el grupo.

El grupo tenía un horizonte de inversión a enero de 2005 y discutía si debían vender las acciones. Elconsenso de opinión de los expertos era que el precio más probable (esperado) en enero de 1995 de lasacciones de DEC sería $35 por acción, pero podría bajar (digamos a $25). Había cierta esperanza de que sevendieran hasta en $50, según la fuerza del nuevo chip Alpha, un diseño propio rápido sobre el que DECplanea lanzar una nueva línea de computadoras.

El grupo de inversionistas tiene reservas sustanciales de efectivo sobre las que esperan ganar 8% enlos 9 meses que faltan para enero de 2005.

Además de mantener las acciones hasta enero de 2005 o venderlas ahora y colocar el ingreso juntocon su reserva de efectivo, los inversionistas pueden reinvertir los ingresos en LEAPs (opciones a largoplazo) sobre las acciones de DEC. Un LEAP es el derecho a comprar una acción en el futuro a un preciofijo. En marzo de 1994, el costo de un LEAP por el derecho a comprar una acción de DEC a $30 es $6.Este LEAP expira en enero de 1995. Si el precio de la acción de DEC en ese momento es más alto que$30, los inversionistas ejercen el LEAP y luego venden la acción de DEC. Si el precio de la acción deDEC es menor que $30, entonces el LEAP expira y no tiene valor.

En lo siguiente, ignore las consecuencias de impuestos y suponga que las tarifas por transacción sondespreciables debido al gran número de acciones involucradas. Los inversionistas tienen 100 acciones deDEC, de manera que si venden ahora a $31.50 por acción, pueden usar el ingreso de $3,150 para comprarLEAPs sobre 525 (� 3,150/6) acciones de DEC.a) ¿Cuánto dinero tendrán los inversionistas en enero de 1995 si venden sus acciones ahora y colocan

los ingresos con sus reservas de efectivo?b) Suponga que estiman probabilidades de 0.25, 0.50 y 0.25 de que las acciones de DEC se vendan en

$25, $35 y $50 en enero de 1995. Calcule cuánto esperarían recibir sii. conservan las acciones hasta enero de 1995 antes de venderlas,

ii. venden las acciones ahora, pero compran LEAPs, y los liquidan (los ejercen o dejan que expiren)en enero de 1995.

c) ¿Qué estrategia recomendaría? ¿Por qué?


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