200608 Teoria de Decisiones 2010 Modulo

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas, tecnologías e ingeniería Contenido didáctico del curso Teoría de decisiones

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIAS E INGENIERÍA

200608 – TEORIA DE LAS DECISIONES

WILLIAM EDUARDO MOSQUERA LAVERDE

(Director Nacional)

NUBIA SALAZAR

Acreditador

BOGOTÁ D.C.

Marzo 2010

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INDICE DE CONTENIDO

INTRODUCCION GENERAL 7

UNIDAD 1. CONCEPTOS BASICOS Y DECISIONES BAJO INCERTIDUMBRE 11

CAPITULO 1. GENERALIDADES DE LA TOMA DE DECISIONES Y

CONCEPTOS BASICOS 13

Lección 1. Tipos de toma de decisiones 14 Lección 2. Proceso de tomas de decisiones 18 Lección 3. Elementos en los modelos de análisis de toma de decisión 20 Lección 4. Pasos para la toma de decisiones 22 Lección 5. Criterios de decisión 25 Taller 29 CAPITULO 2. DECISIONES BAJO INCERTIDUMBRE VALOR ESPERADO 30

Lección 6. Criterio del valor esperado 31 Lección 7. Diseño y conducción de la investigación de merado 32 Lección 8. Valor esperado de la información muestra 34 Lección 9. Valor esperado con la información perfecta 35 Lección 10.Criterio nivel de aceptación 38 Taller 41 CAPITULO 3. DECISONES BAJO INCERTIDUMBRE ARBOLES DE DECISON 42 Lección 11. Elementos de los arboles de decisión 43 Lección 12. Selección de alternativa de decisión 44 Lección 13. Regla de bayes y arboles de decisión 48 Lección 14. Teoría de la utilidad 53 Lección 15. Aplicaciones de la teoría de la utilidad 55 Taller 60 AUTOEVALUCION UNIDAD 1 62 UNIDAD 2. DECISIONES BAJO RIESGO 63 CAPITULO 4. DECISIONES BAJO RIESGO- TEORIA DE JUEGOS 65 Lección 16. Conceptos 66 Lección 17. Método estrategias dominadas 67

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Lección 18. Método suma cero y punta de silla 68 Lección 19. Métodos estrategias mixtas 70 Lección 20. Método grafico 71 Taller 79 CAPITULO 5. DECISIONES BAJO RIESGO- CADENAS DE MARKOV. 80 Lección 21. Procesos estocásticos 81 Lección 22. Cadenas de Markov. 84 Lección 23. Clasificación de estados en una cadena de markov. 86 Lección 24. Procesos de decisión markoviano 88 Lección 25. Problema estático y dinámico 98 Taller 102 CAPITULO 6. DECISIONES BAJO RIESGO - PROGRAMACION META. 103 Lección 26. Conceptos fundamentales. 104 Lección 27. Formulación del modelo. 106 Lección 28. Programación con recursos limitados 111 Lección 29. Objetivos múltiples 117 Lección 30. Aplicaciones 120 Taller 122 CAPITULO 7. DECISIONES BAJO RIESGO – SIMULACIÓN. 125 Lección 31. Definiciones. 126 Lección 32. Tipos de simulación 127 Lección 33. Métodos de simulación 136 Lección 34. Aplicaciones de la simulación. 139 Lección 35. Métodos de observaciones estadísticas 141 AUTOEVALUCION UNIDAD 2 145 BIBLIOGRAFIA. 147

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LISTADO DE TABLAS

Tabla 1. Matriz para procesos de decisión 22

Tabla 2. Matriz ejemplo 1. 28

Tabla 3. Decisiones según criterio maximin 28

Tabla 4. Decisiones según criterio maximax 28

Tabla 5. Penalizaciones ejemplo 1. 29

Tabla 6. Estimaciones de ganancia 34

Tabla 7. Ganancia sin información perfecta 34

Tabla 8. Indicadores favorables y desfavorables 36

Tabla 9. Probabilidades condicionales dadas por resultados 36

Tabla 10. Probabilidades conjuntas y marginales 36

Tabla 11. Probabilidades posteriores 36

Tabla 12. Indicador I1 36

Tabla 13. Indicador I2 37

Tabla 14. Decisiones óptimas y ganancias esperadas I1 y I2 37

Tabla 15. Ejemplo 5 compañía Certon 45

Tabla 16. Información ejemplo 6. 47

Tabla 17. Iteraciones ejemplo 7. 53

Tabla 18. Pagos y utilidades ejemplo 8. 58

Tabla 19. Atributos programación meta 100

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LISTADO DE GRÁFICOS Y FIGURAS

Figura 1. Ideas 20

Figura 2. Función de utilidad 41

Figura 3. Árbol de decisión 44

Figura 4. Árbol decisión compañía certon 46

Figura 5. Resultado ejemplo 5. 46

Figura 6. Árbol ejemplo 6. 47

Figura 7. Resultados árbol ejemplo 6. 48

Figura 8. Evolución de las probabilidades 50

Figura 9. Programación meta según PERT 111

Figura 10. Requerimientos de actividad por metas 112

Figura 11. Programa de actividades propuesto 112

Grafica 1. Esquema para toma de decisiones 15

Grafica 2. Razonamiento estadístico 17

Grafica 3. Componentes de un modelo probabilístico 21

Grafica 4. Resultados valor esperado 31

Grafica 5. Tipo de decisiones 54

Grafica 6. Función utilidad para el dinero 55

Grafica 7. Árbol ejemplo 8 57

Grafica 8. Función utilidad ejemplo 8 59

Grafica 9. Árbol ejemplo 8 con función utilidad 60

Grafica 10. Juego estrategias dominadas 70

Grafica 11. Solución método grafico 72

Grafica 12. Esquema de matriz de transición 85

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ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO

El contenido didáctico del curso academico: Teoría de decisiones fue

diseñado inicialmente en el año 2004 por la licenciada Gloria lucia Guzmán,

docente de la UNAD, ubicada en el CEAD de Neiva, como parte del modulo de

Métodos Probabilísticos. La separación de temáticas y ajustes de los contenidos

los ha desarrollado el I.Q. William Eduardo Mosquera Laverde, Tutor del CEAD

José Acevedo y Gómez, Ingeniero Químico de la Universidad Nacional de

Colombia, y especialista en Educación Superior a Distancia de UNAD 2009, En

curso de Maestría en Gestión y Auditorias en tecnologías e ingeniera ambiental de

CEPES- México. Se ha desempeñado como tutor de la UNAD desde el 2005.

El contenido didáctico ha tenido dos actualizaciones: desarrolladas por el

mismo Ing. Mosquera en los años 2007 y 2009 quien se desempeña actualmente

como director del cuso a nivel nacional.

La version del contenido didáctico que actualmente se presenta tiene como

características: 1) Incorpora nuevos contenidos relacionados con la Unidad 1,

pues en la version anterior no se tiene separado en lecciones y no presenta

énfasis en el uso de software libre WINQSB 2.0. 2) Profundiza en las temáticas de

simulación y programación por metas.

La Dra. Nubia Salazar, tutora del CEAD Sogomoso, apoyó el proceso de

revisión de estilo del contenido didáctico e hizo aportes disciplinares, didácticos y

pedagógicos en el proceso de acreditación del material didáctico desarrollado en

el mes de Mayo de 2010.

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INTRODUCCIÓN GENERAL

fuente:www.universia.es/.../decisiones-interactivas.jpg

El curso académico de Teoría de Decisiones, consta de 2 (dos) créditos académicos, cuyo campo de formación es la Disciplinar y tiene carácter profesional- electiva en los programas de ingeniería Industrial, Sistemas y Administración de Empresas que oferta la UNAD; además, es de tipo teórico.

Después de comprender e interiorizar los conocimientos de los tres cursos preliminares de Investigación de operaciones (programación lineal, métodos deterministicos, métodos probabilísticos) y el apoyo en los conocimientos adquiridos en estadística descriptiva y probabilidad el estudiante está en capacidad de iniciar el curso de teoría de las decisiones, teniendo en cuenta que lo anterior son los presaberes básicos para este curso, en donde se busca entender los métodos, operaciones y definiciones sobre las diferentes técnicas de aplicación en las decisiones dependiendo del tipo y calidad de la información obtenida, las bases estadísticas en la formulación de decisiones bajo incertidumbre, mientras con las bases de probabilidad desarrolla la formulación de decisiones bajo riesgo, también esquemas gráficos como los arboles de decisión que llevan a los estudiantes a visualizar mejor el proceso de toma de decisión, estos métodos y esquemas son indispensables para la toma de decisiones que se manejan cotidianamente en todas las empresas en el mundo. El objetivo fundamental es que los estudiantes comprendan e interioricen las temáticas que cubren el curso, con el fin de adquirir las herramientas matemáticas, metodológicas y analíticas que le permitan resolver problemas que requieren de la toma de decisiones con un soporte científico y poder manejar bien la toma de decisiones en las diferentes áreas del desarrollo profesional. Respecto a las competencias, se busca que el estudiante identifique los fundamentos del tema, interprete sus requerimientos y características, aprenda su utilidad y aplique lo aprendido en diversas áreas del saber.

El curso de Teoría de decisiones es el último escalón de la línea de Investigación de operaciones utilizada en Ciencias, Tecnología, Ingeniería e Investigación, ya que a través de esta, se diseñan, emplean, analizan y desarrollan diversas habilidades y competencias. Pero para que esto se cumpla, es necesario un trabajo planificado, colaborativo y sistemático, lo que indica que su entendimiento e interiorización debe ser metódico, estructurado y secuencial.

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Este curso es importante en la medida que sirve para desarrollo, análisis y comprensión de los diferentes métodos matemáticos para la toma de decisiones necesarias en las diversas empresas que se manejan, orientan o dirigen en el país.

Las Unidades Didácticas que conforman el curso son: Conceptos básicos y Decisiones bajo incertidumbre; Decisiones bajo riesgo. En donde se debe resaltar el repaso de Estadística en el manejo de mediciones y procesos inferenciales, Probabilidad en el conocimiento y manejo de los variados valores esperados y desviaciones, Algebra lineal en el manejo y uso de las matrices necesarias para las decisiones con cadenas de markov. Dichas temáticas permiten el desarrollo de competencias de orden superior especialmente la interpretación, el análisis, los requerimientos y análisis económico para un proceso especifico.

Este curso está compuesto por dos Unidades didácticas a saber:

Unidad 1. Conceptos básicos y decisiones bajo incertidumbre: Se inicia con los conceptos de análisis de decisión donde se pretende que el estudiante valore la importancia de la teoría de decisiones pues tiene que ver con la ciencia de la toma de decisiones, se pretende además desarrollar técnicas para medir los gustos o valores de las personas por medio de una función de utilidad. Esto proporciona también una medida de la actitud individual de una persona a la incertidumbre. También se pretende mostrar como las creencias de una persona, en términos de probabilidades subjetivas, por medio del desarrollo de los arboles de decisión.

Unidad 2. Decisiones bajo riesgo: Se plantean los diferentes métodos empleados para solucionar problemas relacionados con la teoría de juegos, cadenas de Markov y programación meta con los que se pretende que el estudiante posea más herramientas para que busque la solución óptima a problemas simples y complejos que se le puedan presentar tanto en la cotidianidad como en el ejercicio de su vida profesional y/o laboral. Además un último capítulo donde tenga una introducción a los procesos de simulación.

UNIDAD 1

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Nombre de la Unidad Conceptos Básicos y Decisiones Bajo

incertidumbre

Introducción

Justificación

Intencionalidades Formativas

Denominación de capítulo 1 Generalidades de la Toma de Decisiones y Conceptos básicos.

Denominación de Lección 1 Tipos de toma de decisiones

Denominación de Lección 2 Proceso de toma de decisiones

Denominación de Lección 3 Elementos en los modelos de análisis de toma de decisión

Denominación de Lección 4 Pasos para la toma de decisiones

Denominación de Lección 5 Criterios de decisión

Denominación de capítulo 2 Decisiones Bajo Incertidumbre Valor Esperado

Denominación de Lección 6 Criterio de valor esperado

Denominación de Lección 7 Diseño y conducción de la investigación de mercado

Denominación de Lección 8 Valor esperado de la información muestra.

Denominación de Lección 9 Valor esperado con la información perfecta.

Denominación de Lección 10 Criterio nivel de aceptación.

Denominación de capítulo 3 Decisiones Bajo Incertidumbre Arboles de Decisión

Denominación de Lección 11 Elementos de los arboles de decisión

Denominación de Lección 12 Selección de alternativa de decisión

Denominación de Lección 13 Regla de bayes y arboles de decisión.

Denominación de Lección 14 Teoría de la utilidad

Denominación de Lección 15 Aplicaciones de la teoría de la utilidad.

UNIDAD 2

Nombre de la Unidad Decisiones Bajo Riesgo

Introducción

Justificación

Intencionalidades Formativas

Denominación de capítulo 4 Decisiones Bajo Riesgo- Teoría de juegos

Denominación de Lección 16 Conceptos

Denominación de Lección 17 Método estrategias dominadas

Denominación de Lección 18 Método suma cero y punta de silla

Denominación de Lección 19 Métodos estrategias mixtas

Denominación de Lección 20 Método grafico

Denominación de capítulo 5 Decisiones Bajo Riesgo –Cadenas de

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Markov.

Denominación de Lección 21 Procesos estocásticos

Denominación de Lección 22 Cadenas de de Markov

Denominación de Lección 23 Clasificación de estados en una cadena de Markov

Denominación de Lección 24 Procesos de decisión Markoviano

Denominación de Lección 25 Problema estático y dinámico

Denominación de capítulo 6 Decisiones Bajo Riesgo- Programación Meta.

Denominación de Lección 26 Conceptos fundamentales.

Denominación de Lección 27 Formulación del modelo.

Denominación de Lección 28 Programación con recursos limitados.

Denominación de Lección 29 Objetivos múltiples.

Denominación de Lección 30

Aplicaciones.

Denominación de capítulo 7 Decisiones Bajo Riesgo- Simulación.

Denominación de Lección 31 Definiciones.

Denominación de Lección 32 Tipos de simulación.

Denominación de Lección 33 Métodos de simulación.

Denominación de Lección 34 Aplicaciones de simulación.

Denominación de Lección 35

Métodos de observaciones estadísticas.

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UNIDAD .1 CONCEPTOS BÁSICOS Y DECISIONES BAJO INCERTIDUMBRE.

Fuente: sigc.wikidot.com/.../conocimiento.JPG

INTRODUCCIÓN:

Esta unidad desarrollará, las bases necesarias y recopilación de información para llevar a cabo el curso de teoría de decisiones, en la unidad se mostraran los pasos para un proceso y por ende para una buena toma de decisión y por ende ver la necesidad de tener métodos matemáticos para lo mismo. En el siguiente capítulo empezará el estudiante a desarrollar el manejo de los criterios de decisión y la forma de interactuarlos con los procesos investigativos y el manejo estadístico de esta investigación de mercados. Por último aplicará lo visto en los capítulos anteriores por medio modelos más gráficos y sencillos como se resuelven los arboles de decisión. OBJETIVO GENERAL: Dar a conocer a los estudiantes las generalidades necesarias para la toma de decisiones y una vista genérica de los modelos para resolver la toma de decisiones bajo incertidumbre, sus características y los conceptos básicos que permitan manejar el vocabulario necesario en el curso. OBJETIVOS ESPECIFICOS: - Conocer los conceptos básicos para los manejos de los métodos en la teoría de decisiones.

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- Aplicar los métodos matemáticos estadísticos para resolver la toma de decisiones bajo incertidumbre. -Diferenciar entre los métodos para las tomas de decisiones bajo incertidumbre desde la percepción de una investigación de mercados con o sin información muestra. - Conocer los diferentes criterios de decisión para aplicar en el modelo específico. - Observar cómo se puede aplicar los modelos decisorios en la empresa en general.

COMPETENCIAS: El estudiante después de estudiar la unidad deberá ser competente en los criterios de decisión necesarios para aplicar en los métodos de toma de decisión. También en las formas graficas para resolución los problemas con incertidumbre. Diferenciar entre las diferentes clases de decisiones, los métodos de solución.

JUSTIFICACION

El profesional debe continuamente aplicar decisiones en su labor, por lo tanto, las herramientas de criterios de decisión, valor esperado y árbol de decisión debe aplicar sus conocimientos en estadística y probabilidad para poder escoger de forma rápida y grafica una acertada decisión sin necesidad de aplicar cálculos matemáticos exigentes.

INTENCIONALIDADES FORMATIVAS

La intención formativa tiene que ver con las capacidades para tomar decisiones

por medio del uso de diferentes métodos como lo son los criterios de decisión, el

valor esperado y los arboles de decisión, cuando se tienen diferentes alternativas

o solo dos. Pero esto no es posible sí no se desarrolla previamente un estudio de

mercado y no se desarrollan los cálculos de probabilidades.

Por lo cual el estudiante aplicará los conocimientos adquiridos en los cursos

previamente nombrados, observando la aplicación real y útil en cada uno de sus

campos profesionales.

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CAPITULO 1: GENERALIDADES DE LA TOMA DE DECISIONES Y

CONCEPTOS BASICOS

Fuente:www.monografias.com/.../Image815.gif

INTRODUCCIÓN

En este capítulo el estudiante desarrollará los siguientes temas concernientes al manejo óptimo de una decisión como son:

- Tipos de toma de decisiones.

- Proceso para la toma de decisiones.

- Pasos para la toma de decisiones

- Criterios de decisión.

OBJETIVOS:

1.- Conocer la importancia de seguir un proceso y secuencia para tomar bien una decisión.

2.- Observar diferentes formas para seguir rutas en las decisiones cotidianas

3.- Estudiar unos procesos y esquemas matemáticos como base para una optima decisión.

4.- Tener a mano un criterio matemático que apoye una decisión tomada.

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Lección 1: TIPOS DE TOMA DE DECISIONES

Fuente: www.scielo.org.co/.../cadm/v20n34/a04g3.jpg

Para iniciar los análisis en la toma de decisiones se iniciara con tener en cuenta los tipos de decisiones que se nos presentan a diario en nuestra vida profesional y particular, con tal concepto se debe diferenciar de la siguiente manera:

. Decisiones programadas: Estas decisiones son las basadas en un esquema de planeación, organización, control, planteamiento de objetivos y cumplimiento de metas preestablecidas, son desarrolladas por el sector productivo principalmente y algunos de nosotros en nuestro proyecto de vida.

Por ejemplo: Construcciones de vivienda, Planificación de estudios, Adquisición de bienes a crédito.

. Decisiones no programadas: Estas decisiones no se basan en ningún tipo de proyecto o estructura son las que se dan de forma espontánea ó sin la programación que requiere una optima toma de decisiones. Son las que tomamos según se vayan presentando las circunstancias tiene que ver con los eventos.

Por ejemplo: Las decisiones de apostar en los juegos de azar, el asistir a reuniones programadas de última hora, los pagos extemporáneos de obligaciones.

. Decisiones coercitivas: Son las decisiones que se toman por obligación y sin la participación o consenso de las partes involucradas. Son completamente direccionadas por agentes externos.

Por ejemplo: El cambio de vivienda cuando se es menor de edad, el despido de un empresa, el cambio de ruta por cierre de una vía.

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La influencia de los agentes externos en la decisiones son poco manejables en este aparte se tendrá en cuenta solo el esquema donde se tenga control del mismo o sea las decisiones programadas, estas se inician con un problema previo el cual se debe resolver; Entonces como en los desarrollos de modelos de programación lineal después de tener un problema ya sea planteado en forma verbal o escrita debemos proceder de la siguiente manera:

Esquema para la toma de decisiones

Grafico 1. Esquema para la toma de decisiones

Diagnóstico: Es el análisis sistemático de una situación particular y un instrumento cognoscitivo para identificar y descubrir problemas relevantes; en planeación, la necesidad de contar con un buen diagnóstico es imperativa.

La ventaja de pensar estratégicamente es (en relación al diagnóstico) que siempre se deberán tomar en cuenta las visiones de la realidad de otros grupos (que pueden ser discrepantes entre ellas), incluirlas como parte del mismo y obtener de más preguntas y alternativas de solución.

Estrategia: Esta parte consiste en designar todos los medios posibles para resolver el diagnostico, es por lo tanto, un punto que involucra la racionalidad orientada a un objetivo, también se utiliza para designar los procedimientos usados en una situación de confrontación con el fin de privar al oponente de sus medios de lucha y obligarlo a abandonar el combate; es una cuestión, entonces, de los medios destinados a obtener una victoria. (DELEUZE, Guilles. (1987) Foucault. Ediciones Paidos. Barcelona España)

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Decisión: En esta parte la empresa o la persona ya determino una ruta especifica a seguir para conseguir lo optimo es su objetivo primario.

Acciones: Son los pasos a tomar en la decisión escogida cado uno de los parámetros determinados en un esquema de proyectos PERT-CPM, la secuencia necesaria para cumplir además tiene inmerso los desarrollos estratégicos por si algún punto no se puede lograr o eventualmente no se puede realizar o se debe cambiar.

Evaluación de resultados: Luego de desarrollado el proyecto o solucionado el problema se debe hacer un alto para mirar cómo se va avanzando y hacer los cambios del caso esto se asocia con los principios del mejoramiento continuo. Por lo tanto una evaluación sistemática que permita verificar el avance de las acciones y la pertinencia pública de las estrategias. Para evaluar correctamente, se deben distinguir los diversos indicadores y su alcance:

- Indicadores de control: expresan metas cuantitativas en el corto plazo; son incluidos generalmente en los Programas Operativos Anuales (POA's).

- Indicadores de eficiencia: son aquellos que se definen para cada unidad o subproducto de la acción; expresan la "productividad" de cada acción y permiten corregir el rumbo de los componentes o proyectos del subprograma.

- Indicadores de eficacia: estos indicadores permiten observar el grado en que los objetivos de cada acción y de cada subprograma han sido cumplidos; muestran el grado de satisfacción institucional y social.

Ya con la evaluación se lograr que los hechos se conviertan en conocimiento, cuando son utilizados en la complementación exitosa de un proceso de decisión. Una vez que se tenga una cantidad masiva de hechos integrados como conocimiento, entonces su mente será sobrehumana en el mismo sentido en que, con la escritura, la humanidad es sobrehumana comparada a la humanidad antes de escribir.

La grafica 2 ilustra el proceso de razonamiento estadístico basado en datos para construir los modelos estadísticos para la toma de decisión bajo incertidumbre.

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Grafico 2. Razonamiento estadistico

De donde:

Level of Exactness of Statistical Model = Nivel de Exactitud del Modelo Estadístico.

Level of improvements on decisión making = Nivel de Mejoramiento en la Toma de Decisiones

La figura anterior representa el hecho que a medida que la exactitud de un modelo estadístico aumenta, el nivel de mejoramiento en la toma de decisión aumenta. Esta es la razón del porqué necesitamos la estadística de negocio. La estadística se creó por la necesidad de poner conocimiento en una base sistemática de la evidencia. Esto requirió un estudio de las leyes de la probabilidad, del desarrollo de las propiedades de medición, relación de datos.

La inferencia estadística intenta determinar si alguna significancia estadística puede ser adjunta luego que se permita una variación aleatoria como fuente de error. Una inteligente y crítica inferencia no puede ser hecha por aquellos que no entiendan el propósito, las condiciones, y la aplicabilidad de las de diversas técnicas para juzgar el significado.

Considerando el ambiente de la incertidumbre, la posibilidad de que “las buenas decisiones” sean tomadas incrementa con la disponibilidad “de la buena información”. El chance de la disponibilidad de “la buena información” incrementa con el nivel de estructuración del proceso de Dirección de Conocimiento. La figura anterior también ilustra el hecho que mientras la exactitud de un modelo estadístico aumenta, el nivel de mejora en la toma de decisiones aumenta.

El conocimiento es más que simplemente saber algo técnico. El conocimiento necesita la sabiduría. La sabiduría es el poder de poner nuestro tiempo y nuestro conocimiento en el uso apropiado. La sabiduría viene con edad y experiencia. La sabiduría es la aplicación exacta del conocimiento exacto. La sabiduría es sobre saber como algo técnico puede ser mejor utilizado para cubrir las necesidades de los encargados de tomar decisiones. La sabiduría, por ejemplo, crea el software estadístico que es útil, más bien que técnicamente brillante.

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Lección 2: Proceso de Toma de Decisiones

La toma de decisiones requiere un proceso específico con el fin de llevar a buen término lo que se pretende decidir, el proceso a desarrollar es:

- Percepción de la situación que rodea algún problema.

- Análisis y definición de un problema. - Contar con un sistema de información oportuno, confiable y actualizado.

- Conocer los factores internos formales e informales de la organización.

- Conocer los factores externos, definir restricciones y limitaciones.

- Elegir correctamente las técnicas o herramientas a utilizar.

- Especificar los rendimientos y las metas esperadas.

- Evaluar costo - beneficio.

- Definir los objetivos.

- Búsqueda de alternativas más adecuadas para el alcance de los objetivos.

- Evaluación y comparación de las alternativas.

- Implementación de esas alternativas.

Los anteriores pasos los requerimos para todo tipo de toma de decisiones pero en términos de análisis matemáticos la toma de decisiones desde un punto de vista estadísticos tiene en cuenta los siguientes pasos:

1. Simplificar 2. Construir un modelo de decisión 3. Probar el modelo 4. Usando el modelo para encontrar soluciones: o El modelo es una representación simplificada de la situación real o No necesita estar completo o exacto en todas las relaciones o Se concentra en las relaciones fundamentales e ignora las irrelevantes. o Este es entendido con mayor facilidad que un suceso empírico (observado),

por lo tanto permite que el problema sea resuelto con mayor facilidad y con un mínimo de esfuerzo y pérdida de tiempo.

5. El modelo puede ser usado repetidas veces para problemas similares, y además puede ser ajustado y modificado.

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Afortunadamente, los métodos probabilísticos y estadísticos para el análisis de toma de decisiones bajo incertidumbre son más numerosos y mucho más poderosos que nunca. Las computadoras hacen disponible muchos usos prácticos. Algunos de los ejemplos de aplicaciones para negocios son los siguientes:

Un auditor puede utilizar técnicas de muestreo aleatorio para auditar las cuentas por cobrar de un cliente.

Un gerente de planta puede utilizar técnicas estadísticas de control de calidad para asegurar la calidad de los productos con mínima inspección y menor número de pruebas.

Un analista financiero podría usar métodos de regresión y correlación para entender mejor la analogía entre los indicadores financieros y un conjunto de otras variables de negocio.

Un analista de mercadeo podría usar pruebas de significancia para aceptar o rechazar una hipótesis sobre un grupo de posibles compradores a los cuales la compañía está interesada en vender sus productos.

Un gerente de ventas podría usar técnicas estadísticas para predecir las ventas de los próximos periodos.

Análisis de Decisiones: Tomando Decisiones Justificables y Defendibles

El análisis de decisiones es la disciplina que consiste en evaluar alternativas complejas en términos de valores (habitualmente en $ porque es lo que a los gerentes les importa) y de incertidumbre (lo que no conocemos). El análisis de decisiones brinda información sobre las diferencias entre las alternativas definidas, y genera sugerencias de nuevas y mejores alternativas. Usamos números para cuantificar valores e incertidumbres subjetivas, lo cual nos permite comprender la situación de decisión. Los resultados numéricos deben reconvertirse para generar información cualitativa.

Los seres humanos pueden comprender, comparar y manipular números. Por lo tanto, para crear un modelo de análisis de decisiones es necesario crear la estructura del modelo y asignar las probabilidades y los valores para poblar el modelo de computación. Aquí se incluyen los valores para las probabilidades, las funciones de valor para evaluar alternativas, las ponderaciones de valor para medir la concesión que se debe hacer entre los objetivos, y la preferencia de riesgo.

Una vez definida la estructura y los números, el análisis puede comenzar. El Análisis de Decisiones implica mucho más que calcular la utilidad esperada y ponderada de cada alternativa. Si nos detuviéramos aquí, los decisores no tendrían demasiada información. Tenemos que examinar la sensibilidad de la utilidad esperada y ponderada para las probabilidades clave, y los parámetros de ponderación y preferencia de riesgo. Como parte del análisis de sensibilidad

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podemos calcular el valor de la información perfecta para incertidumbres que han sido modelizadas explícitamente.

Entre las comparaciones cuantitativas adicionales se incluye la comparación directa de la utilidad ponderada para dos alternativas en todos los objetivos y la comparación de todas las alternativas en dos objetivos seleccionados, demostrando la optimalidad de Pareto para estos dos objetivos.

La complejidad del mundo moderno, junto con la cantidad de Información, la Incertidumbre y el Riesgo, requieren un marco racional para la toma de decisiones. Las metas del análisis de decisiones son las siguientes: incorporar orientación, información, discernimiento y estructura al proceso de toma de decisión, para que ésta pueda ser mejor y más "racional".

Figura 1. Ideas

Toda decisión necesita un decisor responsable. El decisor tiene varias alternativas, y debe elegir una. El objetivo del decisor es elegir la mejor alternativa. Después de que se ha tomado la decisión, pueden producirse eventos sobre los que el decisor no tiene control. Cada combinación de alternativas elegida, seguida por un evento, conduce a un resultado con algún valor mensurable. Los gerentes toman decisiones en situaciones complejas. Las matrices de árbol de decisiones y pago describen estas situaciones y añaden estructura a los problemas.

Lección 3: Elementos de los Modelos de Análisis de Decisión

Las teorías y las técnicas matemáticas que se toman en consideración en el análisis de decisiones se ocupan de las teorías de elección prescriptivas (acción). Es decir, la cuestión aquí es ver exactamente de qué modo se comporta un decisor cuando se enfrenta a una elección entre cursos de acción, cuyos resultados están regidos por el azar o las acciones de los competidores.

El análisis de decisiones es un proceso que le permite al decisor seleccionar una decisión (sólo una) entre un conjunto de alternativas posibles de decisión, cuando existe incertidumbre con respecto al futuro, con el objetivo de optimizar el pago (retorno) resultante, en términos de algún tipo de criterio de decisión numérico.

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Los elementos de los problemas de análisis de decisiones son los siguientes:

Grafico 3. Componentes de un modelo probabilístico

1. Hay un decisor responsable individual. Por ejemplo, el Representante legal de una compañía que quizás deba rendir cuentas ante los accionistas.

2. Un número finito de eventos (futuros) posibles, llamados Estados de la Naturaleza, es decir, un conjunto de escenarios posibles. Las circunstancias en las cuales se toma una decisión se llaman estados de la naturaleza. Los estados de la naturaleza se identifican y agrupan en el conjunto S; los miembros se denotan como s. El conjunto S es un grupo de conjuntos mutuamente excluyentes. Es decir, sólo puede ocurrir un estado de la naturaleza. ¿Qué puede hacer la naturaleza?

3. Un número finito de alternativas posibles de decisión. Hay una acción a, miembro del conjunto A, que puede ser adoptada por el decisor. Sólo puede adoptar una. ¿Qué puedo hacer? Una buena decisión requiere buscar un conjunto más rico de alternativas que las que se presentaron inicialmente o que las aceptadas tradicionalmente.

4. Sea breve en la parte de la lógica y la razón de su decisión. Es probable que existan mil cosas en un automóvil, pero usted no las necesita todas para tomar la decisión. Con media docena es suficiente.

5. La manera más sencilla de formular el problema de decisión es usando una matriz de beneficios (tabla). Hay una matriz de beneficios X bien definida, monetaria (y luego de utilidad) sobre dos conjuntos de dominio dimensionales A y S. Las filas y las columnas se asignan a las alternativas de decisión posibles y a los estados posibles de la naturaleza, respectivamente.

Normalmente no es tarea sencilla construir esta matriz; por lo tanto, puede requerir algo de práctica.

Fuente de Errores en la Toma de Decisiones: La fuente principal de errores en los problemas de toma de decisiones arriesgadas son las presunciones falsas, no tener una estimación exacta de las probabilidades, depender de la expectativa, dificultades en medir la función de utilidad, y los errores de pronóstico.

Cuando tomamos alguna decisión se puede incurrir en algunos errores que sesgan las decisiones ya sea para bien o para mal, entre los más frecuentes errores tenemos:

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- Focalizarse en una sola fuente de información. - Sobreestimar el valor de la información recibida de otros. - Subestimar el valor de la información recibida de otros. - Escuchar y ver sólo lo que queremos. - No escucharnos - No ofrecer participación - Hacer de forma unilateral u obligada

Como se estudio en este capítulo, hay una secuencia previa para la toma de decisiones, se observo desde el análisis del problema hasta las secuencias para una óptima decisión, pero solo con análisis empíricos hasta el momento y no con modelos matemáticos para analizar en los siguientes capítulos.

Ejemplo de decisión de inversión:

Los estados de la naturaleza son los estados de la economía durante un año. El problema es decidir qué acciones tomar entre los tres cursos posibles, con las tasas de retorno dadas tal y como son mostradas en la tabla.

Estados de la Naturaleza

Crecimiento

Crecimiento medio

Sin cambio

Bajo

C CM SC B

Bonos 12% 8 6 3

Cursos de Acción

Acciones 15 7 3 -2

Depósito 7 7 7 7

Tabla 1. Matriz para procesos de decisión

Lección 4: PASOS PARA LA TOMA DE DECISIONES

Definido el proceso para la toma de decisiones, se une el proceso escogido y definido con una serie de pasos para la decisión como los siguientes, donde cada uno de ellos plantea unas preguntas que se deben resolver así:

Definir el Problema

Se puede preguntar lo siguiente:

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- ¿Qué cree que causa el problema?

- ¿Dónde, cómo y qué está pasando?

- ¿Con quién está pasando?

- ¿Por qué está pasando?

Describa de manera específica el problema.

- Si se presenta un problema considerado como complejo es aconsejable que se proceda a contestar las preguntas mencionadas hasta que se logren escribir los problemas relacionados.

- Es importante verificar el entendimiento de los problemas. Esto se puede lograr con el diálogo con un par para clarificar conceptos.

- Otro aspecto a considerar es establecer un orden o prioridad en los problemas a tratar. Para ello es útil distinguir entre “urgente” e “importante”.

- El entender nuestro rol en el problema es importante, pues influye grandemente en como uno percibe el rol de los demás.

Buscar las Causas Potenciales del Problema.

- En esta fase es importante recibir la retroinformación de los que notan el problema o quienes están siendo afectados por él.

- Escribe cuáles son tus opiniones y que has escuchado de otros.

- Haz una descripción de la causa del problema, en términos de lo que está pasando, dónde, cuándo, cómo, con quién y por qué.

Identificar Alternativas para Resolver el Problema.

- Desarrollar una “tormenta de ideas” para la solución del problema.

- La “tormenta de ideas” consiste en colectar el mayor número de ideas posibles y luego cernir las mismas para encontrar la mejor idea.

Seleccionar una alternativa para resolver el problema.

Se ha de considerar: - ¿Cuál alternativa resolverá el problema a largo plazo?

- ¿Cuál alternativa es más realista al momento?

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- ¿Qué recursos tenemos? ¿Están accesibles?

- ¿Tenemos el tiempo suficiente para implementar la alternativa?

- ¿Cuál es el riesgo asociado a cada alternativa?

Establecer el plan de acción para la implementación de la mejor alternativa. Considerar lo siguiente:

- ¿Cómo la situación se verá cuando el problema sea resuelto?

- ¿Qué pasos se han de tomar para la implementación de la mejor alternativa para resolver el problema?

- ¿Qué sistemas o procesos deberían ser cambiados por una política o procedimiento?

- ¿Cómo sabemos que los pasos se están llevando a cabo?

- ¿Qué recursos se necesitan en términos de personas, facilidades y finanzas?

- ¿Cuánto tiempo se necesita para implementar la alternativa? Para ello es necesaria la creación de una agenda.

- ¿Quiénes será responsable de asegurarse de la implementación del plan?

Monitorear la Implementación del Plan. Algunos aspectos a considerar:

- Observar que se estén dando lo esperado a través de la implementación.

- Cotejar que se esté llevando a cabo el itinerario o agenda programada. - Si el plan establecido no está dando los resultados esperados favor de revisar el plan.

Verificar si el plan ha sido efectivo o no.

- Una manera de ver su efectividad es verificar que las operaciones vuelvan a la normalidad.

- Verificar si los cambios realizados evitarán el mismo problema en el futuro.

- Preguntarnos que hemos aprendido del proceso de toma de decisiones (conocimiento, entendimiento, destrezas).

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- Realizar un memorando que describa los logros del esfuerzo durante el proceso de resolver el problema y compartirlo con todos/as.

Lección 5: Criterio de decisión

fuente: elearning.semarnat.gob.mx/cte /MATERIALESAPOYO...

Para el estudio de los criterios de decisión, primero debemos definir que son criterios de decisión y los tipos de criterios que debemos estudiar:

Clasificación de Criterios de Decisión: Los criterios los clasificamos de acuerdo a la forma o estado de la naturaleza (eventos) que se nos presentan para la decisión, por lo cual encontramos la siguiente clasificación:

1. DECISIÓN TOMADA BAJO CERTEZA

Los estados de la naturaleza que ocurrirán se asumen conocidos. En este caso el que toma las decisiones sabe con claridad o exactitud cual estado de la naturaleza ocurrirá.

2. DECISIÓN TOMADA BAJO RIESGO

Existe conocimiento de la probabilidad que un estado de la naturaleza ocurra, por lo cual es necesario un buen manejo de las densidades de probabilidad y el manejo matemático se desarrollan con base en información estadística. Para estados de la naturaleza se tiene en cuenta lo siguiente: - maximizar el perjuicio esperado, medido en perjuicio neto esperado. - maximizar el perjuicio esperado, medido por su utilidad. - minimizar el perjuicio esperado, en este caso perjuicio y utilidad conducen la misma decisión.

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3. DECISIÓN TOMADA BAJO INCERTIDUMBRE

La probabilidad de que ocurra un estado de la naturaleza es absolutamente desconocida. En este caso se supone que el que toma las decisiones tiene como conocimiento de la probabilidad con que ocurrirán los estados de la naturaleza (evento) y para ello se tiene en cuenta los siguientes criterios: - maximizar el rendimiento neto mínimo. - maximizar el rendimiento neto máximo. - minimizar el perjuicio máximo. Para iniciar el curso en los procesos matemáticos se definirán a continuación los criterios básicos para la toma de decisión así: - CRITERIO DE PENA MINIMAX (SAVAGE) Criterio de toma de decisiones que minimiza la penalidad máxima asociada con no haber tomado la mejor decisión posible.

Penalidad = (ganancia por la mejor decisión) – (ganancia por la decisión no óptima).

Cuando la penalidad se aproxima o es igual a cero (0) la opción seleccionada es la mejor alternativa para la inversión. - CRITERIO PROBABILÍSTICO Consiste en incorporar la probabilidad de cada uno de los resultados que se puedan presentar. Pasos para desarrollarlo: - Estimar la probabilidad de cada resultado. - Utilizar estas propiedades para calcular una ganancia esperada para cada alternativa. - Escoger la alternativa que tenga la mayor ganancia esperada. Permite incorporar su conocimiento (o creencias) acerca de la probabilidad relativa de cada resultado, para el caso del canal de televisión usted podría creer, basado en la experiencia, que hay una misma probabilidad de que la serie sea un éxito o un fracaso, pero que existe una menor probabilidad que la serie sea un gran éxito, para cada uno de los resultado posibles, usted debe: 1. Estimar la probabilidad de cada resultado. 2. Utilizar estas probabilidades para calcular una ganancia esperada. 3. Escoja la alternativa que tenga la mayor ganancia esperada.

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- CRITERIO OPTIMISTA (MAXIMAX) Consiste en escoger la alternativa que nos represente mayor ganancia en inversión. - CRITERIO PESIMISTA (MAXIMIN) El objetivo principal de este criterio es seleccionar la alternativa que maximice ganancia mínima posible, es decir, asegurar la mínima perdida. - CRITERIO HURWICZ Este criterio combina los criterios pesimista y optimista, decidiendo que tan optimista o que tan pesimista se desea ser. - se escoge el coeficiente de optimismo alfa que tiene valores de 0 a 1 (entre más cerca este de uno es más optimista). - fórmula para cada alternativa:

- Ganancia pesada = alfa * (ganancia máxima) + (1- alfa) * (ganancia mínima).

- seleccione la alternativa que presente la mayor ganancia pesada. EJEMPLO 1:

El vendedor de periódicos Felipe Rodríguez vende en la esquina de la Avenida Caracas y la Calle 53, y cada día debe determinar cuantos periódicos pedir. Felipe compra a $20 cada periódico y lo vende a $.25 Los periódicos que no vende al final del día no tiene valor. Felipe sabe que cada día puede vender entre 6 y 10 periódicos, siendo igual cada probabilidad. Indique como se ajusta este problema en el modelo según el estado del mundo.

SOLUCION

En este ejemplo, los miembros S = 6, 7, 8, 9,10 son los valores posibles de la demanda diaria de periódicos. Se sabe que p6 = p7 = p8 = p9 = p10 =1/5. Felipr debe escoger una acción que es el número de periódicos que debe pedir cada día

entre A= 6, 7, 8, 9,10 . Si Felipe compra i periódicos y la demanda es de j, entonces se compran i a un costo de $20 i, y se venden min(i,j) periódicos a $25 cada uno. Así, se Felipe compra i periódicos y le piden j, tiene una ganancia neta rij donde

rij = 25i - 20i = 5i i j

rij = 25j - i i ≥ j) En la tabla 2, aparecen los valores de rij

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DEMANDA DE PERIODICOS PERIODICOS PEDIDOS 6 7 8 9 10 6 $30 $30 $30 $30 $30 7 $10 $35 $35 $35 $35 8 -$10 $15 $40 $40 $40 9 -$30 -$5 $20 $45 $45 10 -$50 -$25 $ 0 $25 $50

Tabla 2. Matriz costos de ejemplo 1. Aplicando el criterio de decisión maximin se obtienen los siguientes resultados: PERIODICOS EL PEOR ESTADO RECOMPENSA EN EL PEOR PEDIDOS DEL MUNDO ESTADO DEL MUNDO 6 6, 7, 8, 9,10 $30 --- maximin 7 6 $10 8 6 -$10 9 6 -$30 10 6 -$50

Tabla 3. Decisiones según Criterio maximin

Por lo tanto si opta por la decisión de mitigar el peor de los casos, quizá ya pueda sacar provecho de la buena fortuna, por lo cual Felipe nunca ganará menos de $30, pero nunca ganará más de $30. Por lo cual se recomienda ordenar 6 periódicos. Aplicando el criterio de decisión maximax se obtiene los siguientes resultados:

PERIODICOS EL PEOR ESTADO RECOMPENSA EN EL PEOR PEDIDOS DEL MUNDO ESTADO DEL MUNDO 6 6, 7, 8, 9,10 $30 7 7, 8, 9,10 $35 8 8, 9,10 $40 9 9,10 $45 10 10 $50 --- maximax

Tabla 4. Decisiones según Criterio maximax

Este criterio de decisión produce una ganancia de $ 50 con la recomendación de pedir 10 periódicos, pero deja abierta la posibilidad que la demanda sea solo 6 periódicos en cuyo caso perderá $50. Aplicando el criterio Savage, penalización o minimax se debe primero tener en cuenta la penalización previa o sea la diferencia entre la mayor utilidad obtenida

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por demanda menos cada una de las utilidades por periódico vendido, tal como

se muestra en la tabla siguiente: DEMANDA DE PERIODICOS PERIODICOS PEDIDOS 6 7 8 9 10 6 $30 - $30 = $ 0 $35 - $30= $ 5 $40 - $30= $10 $45 - $30= $15 $50 - $30= $20 7 $30 - $10 = $20 $35 - $35= $ 0 $40 - $35 =$ 5 $45 - $35 = $10 $50 - $35 = $15 8 $30 + $10 = $40 $35 - $15 = $20 $40 - $40 = $ 0 $45 - $40 = $ 5 $50 - $40 = $10 9 $30 + $30 = $60 $35 + $ 5 = $20 $40 - $20 = $20 $45 - $45 = $ 0 $50 - $45 = $ 5 10 $30 + $50 = $80 $35 + $25 = $60 $40 - $ 0 = $40 $45 - $ 0 = $40 $50 $50 $50

Tabla 5. Penalizaciones ejemplo 1.

Los resultados obtenidos son las penalizaciones por lo cual los resultados son:

PERIODICOS PENALIZACION PEDIDOS MAXIMA

6 $20 7 $20 8 $40 9 $60 10 $80

Según este criterio se recomienda pedir entre 6 y 7 periódicos ya que la pérdida seria mínima solo de $20. TALLER

1. PIZZA King y Noble greek son dos restaurantes competidores. Deben determinar en forma simultánea, si emprenden campañas de publicidades pequeñas, medianas o grandes. Pizza King cree que es igualmente probable que Noble Greek lleve a cabo una campaña pequeña, mediana o grande. En la tabla se muestran las ganancias de Pizza King, dadas las acciones de los dos restaurantes. Determinar la campaña elegida por Pizza King según los criterios maximin, maximax y minimax.

ELECCION DE ELECCION DE NOBLE GREEK

PIZZAS KING Pequeña Mediana Grande Pequeña 6000 5000 2000 Mediana 5000 6000 0

2. Sodaco planea producir una novedad: chocovan. Calcula que la demanda anual de chocovan, D (miles de empaques) tiene la siguiente función de masa: P(D =30) = .30, P(D = 50) = .40, P(D = 80 ) = .30. Cada empaque de Chocovan se vende a $5 y se encurre en un costo variable de $3. Se necesitan $800000 para construir la planta productora de Chocovan. Suponga que se recibe, por siempre $1 cada año, equivale a recibir $10 ahora. Considerando la recompensa para cada acción y estado del mundo en términos del valor presente neto, usar cada uno de los criterios de decisión estudiados en el capitulo para determinar se sodaco debe construir la planta.

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CAPITULO 2: DECISIONES BAJO INCERTIDUMBRE – VALOR ESPERADO.

Fuente: http://scielo.isciii.es/scielo.php?pid=S0213-9111200...

INTRODUCCIÓN

Este capítulo desarrollará los siguientes temas un poco más a fondo en donde se tendrán en cuenta datos numéricos recolectados de un estudio de mercados previo los temas son:

- Características del valor esperado.

- Diseño y conducción de la investigación de mercados.

- Valor esperado de la información muestra

OBJETIVOS:

1.- Conocer los desarrollos necesarios para evaluar una investigación de mercados.

2.- Emplear los criterios de valor esperado para tomar la decisión de una investigación.

3.- Estudiar el criterio del valor esperado cuando se tiene una información perfecta o una muestra especifica.

http://scielo.isciii.es/scielo.php?pid=S0213-91112006000100008&script=sci_arttext

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Lección 6: CRITERIO DEL VALOR ESPERADO

Fuente:juangabrielcendales.com/.../acuerdos-y-certezas/

En las decisiones bajo incertidumbre esteremos soportados en la estadística por medio del valor esperado o esperanza matemática.

También tendremos un fuerte apoyo en los manejos de investigación de mercados lo que permite estudiar un poco mejor la teoría de la utilidad o criterio de utilidad.

Todo esto nos da el manejo de informaciones que tenga algo de muestra o sin información muestra.

- Valor Esperado

Grafica 4. Resultados de valor esperado

Fuente: www.monografias.com/trabajos48/medicinas-alte...

En estadística el valor esperado o esperanza matemática (o simplemente esperanza) de una variable aleatoria es la suma de la probabilidad de cada suceso multiplicado por su valor. Por ejemplo en un juego de azar el valor esperado es el beneficio medio.

Si todos los sucesos son de igual probabilidad la esperanza es la media aritmética.

http://juangabrielcendales.com/2008/02/18/acuerdos-y-certezas/

http://www.monografias.com/trabajos48/medicinas-alternativas/medicinas-alternativas2.shtml

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Se refiere a una información que en un futuro haciendo retrospectiva permite ver que escogimos la mejor opción o alternativa.

Características:

Información del futuro que en retrospectiva, le permitirá haber escogido la mejor alternativa.

El cálculo del valor esperado de la información perfecta se obtiene mediante:

- La estimación de la probabilidad de cada resultado.

- El uso de estas probabilidades para encontrar la recuperación esperada sin información perfecta, mediante la aplicación de criterios.

- El cálculo del valor con información perfecta se obtiene de acuerdo a:

- Identificación de la mejor decisión y la correspondiente ganancia para cada resultado.

- Determinar la ganancia con relación a la probabilidad dada.

- Multiplicación de la ganancia para cada resultado futuro por la probabilidad correspondiente de ese resultado y sumando los productos resultantes.

Lección 7: DISEÑO Y CONDUCCION DE LA INVESTIGACION DE MERCADO

El propósito de la I.M. es diseñar y llevar a cabo una investigación que tenga como resultado un indicador descriptivo o estimación del proyecto propuesto.

Para determinar la confiabilidad de la investigación, se necesita hacer una evaluación en base a los resultados esperados.

- Reporte favorable del estudio I.M; la muestra tomada expresa un interés considerable en el producto de la X Cía.

- Reporte no favorable del estudio de I.M; a muestra tomada expresa poco interés por producto de la X Cía.

Se evalúa para cada resultado, la probabilidad de que cada indicador sea resultado de la investigación.

Revisión de las probabilidades en la investigación de mercados: Probabilidades: permite estimar decisiones para resultados posibles.

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Investigación de Mercados: permite diseñar y llevar a cabo una investigación que tiene como resultado un indicador descriptivo; además permite que el administrador estime probabilidades más precisas.

Árbol de Probabilidad: herramienta que permite visualizar y llevar a cabo análisis de decisiones y observar las probabilidades de los resultados, están conformados por nodos y arcos.

Tipos de probabilidades:

Probabilidad Conjunta: probabilidad de que se presenten dos sucesos.

Probabilidad Marginal: probabilidad de que se presente un suceso en particular. Estas probabilidades permiten llegar a las probabilidades posteriores.

Probabilidades Posteriores: probabilidades revisadas de los resultados obtenidos sobre la base de los indicadores de una investigación de mercado.

EJEMPLO 2: Colombia.com es una empresa que se encarga de ensamblar computadores, quieren incluir al mercado un nuevo equipo que cumpla con las necesidades de los clientes, pero la empresa necesita conocer la acogida que va tener ante el mercado, los administradores se hacen dos preguntas:

a) ¿Cuánto debe invertir en este producto experimental? b) ¿El producto tendrá un éxito o será un fracaso?

Para responder a estas preguntas es necesario hacer un estudio de mercadeo. - Formulación del problema: identificar un numero de alternativas de decisión para ello se debe tener en cuenta: - La cantidad a invertir - Estrategia para la inversión. - La inversión se divide en 3 niveles: - Nivel Inferior (L): los computadores no son conocidos en el mercado. - Nivel Moderado (M): el procesador es conocido pero, otras partes son poco conocidas. - Nivel Alto(A): a pesar de que los demás componentes no son conocidos, demuestran ser de buena calidad. - Con base en lo anterior identificamos posibilidades. - Fracaso (F): menos del 10% los clientes compran el producto. - Éxito (S): entre el 10% y 20% los clientes compran el producto. - Gran éxito (G): más del 20% compran el producto.

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Tabla 6. Estimaciones de Ganancia.

La administración utilizo la experiencia para estimar las siguientes probabilidades para los 3 resultados posibles para la venta del nuevo producto. a) 0,4 Fracaso (F) b) 0,4 Éxito (E) c) 0,2 Gran éxito (G).

Tabla 7. Ganancia sin Información Perfecta.

Lección 8: Valor esperado de la información muestra:

El objetivo de la investigación de mercados (IM) es el de ayudar al administrador a realizar estimaciones de probabilidad más precisas.

El uso de la investigación de mercado para modificar las probabilidades implica lo siguiente:

- Diseño y ejecución de la investigación de mercado.

- Revisión de las probabilidades de los diferentes resultados basados en el resultado de la investigación de mercado.

- Identificación de la decisión optima basada en las probabilidades revisadas.

Enfoque de valor esperado

- Si las estimaciones de probabilidad de los estados de naturaleza están disponibles, podemos utilizar el enfoque de valor esperado (EV).

Resultado

Decisiones Fracaso (F) Éxito (S) Gran éxito G)

Baja (L) -2 5 8

Moderada (M) -5 10 12

Alta (A) -8 6 15

Alternativa Ganancia Esperada

Baja 0,4(-2)+0,4(5)+0,2(8)=2,8

Moderada 0,4(-5)+0,4(10)+0,2(12)=4,4

Alta 0,4(-8)+0,4(6)+0,2(15)=2,2

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- Aquí el valor esperado de cada decisión es calculada sumando el producto de los pagos bajo cada estado de naturaleza y la probabilidad de que dicho estado de naturaleza ocurra.

- Se selecciona la decisión que proporcione el mejor valor esperado.

Valor esperado de una alternativa de decisión:

- El valor esperado de una alternativa de decisión es la suma de los pagos ponderados correspondientes a la alternativa de decisión.

- El valor esperado (EV) de una alternativa de decisión di se define así:

Donde: N = número de estados de naturaleza

P(sj ) = probabilidad del estado de naturaleza sj

Vij = el pago correspondiente a la alternativa de decisión di y estado de naturaleza sj Limitaciones del valor esperado:

- Si las consecuencias de un resultado potencialmente desfavorable pueden sobrellevarse sin mayores sobresaltos, el VE es un criterio razonable para la acción.

- Cuando las consecuencias de un resultado potencialmente desfavorable no pueden ignorarse (cuando se ponen en juego grandes sumas de dinero en términos relativos), el VE puede no ser el mejor criterio de decisión.

Lección 9: Valor Esperado de la Información Perfecta.

La ganancia esperada con información perfecta se toma el valor más grande de cada columna de la tabla de ganancia y se multiplica por los porcentajes estimados.

= 0,4(-2)+0,4(10)+0,2(15)=6,2

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Formula general del valor esperado de la información perfecta:

= -

Valor esperado de la información perfecta = 6,2 – 4,4 = 1,8

En otras palabras el tener información perfecta vale $1.8 millones a Colombia.com.

Tabla 8. Indicadores favorables y desfavorables.

Tabla 9. Probabilidades condicionales dadas por los resultados.

Tabla 10. Probabilidades conjuntas y marginales.

Tabla 11. Probabilidades Posteriores.

Tabla 12. Indicador I1.

Indicador Descripción

I1 < 10% compra producto (computador)

I2 > 10% compra producto(computador)

Indicador F S G

I1 0,8 0,3 0,1

I2 0,2 0,7 0,9

Indicador Fracaso (F) Éxito (S) Gran éxito (G) P.Marginal

I1 0,32 0,12 0,02 0,46

I2 0,08 0,28 0,18 0,54

Indicador Fracaso (F) Éxito (S) Gran éxito (G)

I1 0,7 0.3 0,04

I2 0,15 0,52 0,33

Decisiones Ganancia esperada

Baja 0,7(-2) + 0,3(5) + 0,04(8) = 0,42

Moderada 0,7(-5) + 0,3(10) + 0,04(12) = 0,02

Alta 0,7(-8) + 0,3(6) + 0,04(15) = -3,2

Valor esperado

de la

información

perfecta

Ganancia

esperada con

información

perfecta

Ganancia

esperada sin

información

perfecta

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Tabla 13. Indicador I2.

Tabla 14. Decisiones óptimas y ganancias esperadas por I1 y I2

= *P (1) + *P (2)

Ganancia esperada con información de muestra

= (0,42*0,46) + (8,4*0,54) = 4,7

Finalmente el valor esperado de la información de muestra es:

= _

= 4,7 – 4,4 = 0,28

Esto significa que la ganancia esperada por Colombia.com aumentara en $279990 si se utiliza los resultados de la investigación.

Eficiencia de la información de muestra

Decisiones Ganancia esperada

Baja 0,15(2) + 0,52(5) + 0,33(8) = 4,94

Moderada 015(-5) + 0,52(10) + 0,33(12) = 8,41

Alta 0,15(-8) + 0,52(6) + 0,33(15) = 6,87

Indicador Decisión optima Ganancia esperada

I1 Baja 0,42

I2 Moderada 8,4

Ganancia

esperada

con

información

de muestra

Ganancia

esperada

cuando el

indicador es

I1

Ganancia

esperada

cuando el

indicador

es I2

Valor

esperado

de la

información

de muestra

Ganancia

esperada

con

información

de muestra

Ganancia

esperada sin

información

de muestra

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= *100

= 0,28 / 1,8 = 15,6%

EJEMPLO 3: El vendedor de periódicos Felipe Rodríguez vende en la esquina de la Avenida Caracas y la Calle 53, y cada día debe determinar cuantos periódicos pedir. Felipe compra a $20 cada periódico y lo vende a $.25 Los periódicos que no vende al final del día no tiene valor. Felipe sabe que cada día puede vender entre 6 y 10 periódicos, siendo igual cada probabilidad. Indique como se ajusta este problema en el modelo según el estado del mundo.

DEMANDA DE PERIODICOS PERIODICOS PEDIDOS 6 7 8 9 10 6 $30 $30 $30 $30 $30 7 $10 $35 $35 $35 $35 8 -$10 $15 $40 $40 $40 9 -$30 -$5 $20 $45 $45 10 -$50 -$25 $ 0 $25 $50

Para el criterio del valor esperado se tiene en cuenta la probabilidad del estado de la naturaleza que es para todas las posibles opciones de 1/5 por el pago correspondiente para cada decisión y el valor mayor es la mejor decisión así:

RECOMPENSA ESPERADA PERIODICOS PEDIDOS 6 1/5( $30+$30+$30+$30+$30) = $30 7 1/5( $10+$35+$35+$35+$35) = $30 8 1/5(-$10+$15+$40+$40+$40) = $25 9 1/5(-$30-$5+$20+$45+$45) = $15 10 1/5(-$50-$25+$0+$25) = $ 0

Este criterio recomendaría que se pidan 6 o 7 periódicos.

Lección 10: Criterio nivel de aceptación

Este criterio no proporciona una decisión óptima en el sentido de maximizar beneficio o minimizar un costo. Más bien es un medio de determinar cursos de acción aceptables. Considere por ejemplo, la situación que ocurre cuando una

Eficiencia

de la

información

de muestra

Valor esperado de la información de muestra Valor esperado de la información perfecta

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persona anuncia la venta de un auto usado. Al recibir una oferta, el vendedor debe decidir dentro de un tiempo razonable, si está es aceptable o no. En este aspecto, el vendedor establece un precio límite abajo del cual el auto no será vendido. Este es el nivel de aceptación que permitirá al vendedor aceptar la primera oferta que lo satisfaga. Tal criterio no puede proporcionar el óptimo; Una oferta posterior puede ser más alta que la aceptada.

Al tomar una decisión en el ejemplo de los autos usados, no se menciono una distribución de probabilidad. ¿Entonces porque el criterio de nivel de aceptación se clasifica como una toma de decisiones con riesgo? Se puede argumentar que al seleccionar el nivel de aceptación, el propietario del automóvil tiene conocimiento del valor en el mercado de unidades similares. Este equivale a decir que él tiene una “noción” de la distribución de los precios de los autos usados, decididamente, esto no da una definición formal de una función densidad de probabilidad pero se tiene una base para adjuntar datos que se puedan emplear a fin de desarrollar dicha función. En realidad, se debe suponer que este es el caso, ya que la ignorancia completa acerca de la distribución puede hacer que el propietario fije el nivel de aceptación demasiado alto y en esta caso ninguna oferta seria aceptable; o bien fijarlo muy bajo y en este caso quizás el propietario no llegue a tener un noción adecuada del valor real del automóvil. En cualquier caso una de las ventajas de aceptar el nivel de aceptación es que quizás no sea necesario definir con exactitud la función densidad de probabilidad.

La explicación anterior destaca la utilidad del criterio del nivel de aceptación cuando todos los cursos de acción alternativos no están disponibles cuando se toma la decisión. Esta no necesita ser la única situación donde se utiliza este criterio. Considérese, por ejemplo, el caso donde una estación de servicio (lavandería, restaurante, peluquería) puede atender con diferentes tasas de servicio. Una tasa alta de servicio aunque proporciona un servicio más rápido y conveniente, puede ser demasiado costosa para el propietario. Recíprocamente un servicio lento no puede ser tan costoso, pero ocasiona la pérdida de clientes y por último el beneficio. El objetivo es llegar al punto óptimo de realizar el servicio. En estos casos es posible determinar la distribución de probabilidad para el servicio tanto en llegada como en el tiempo de atención, debido a que estas instalaciones operan durante largo tiempo parece ideal determinar la optimalidad basado en la minimización del costo de la instalación por unidad de tiempo en total. Incluyendo el costo esperado de operar mas el costo esperado de la inveniencia para el cliente, siendo ambos función del nivel de servicio siendo el primero más alto, el más bajo el segundo y viceversa. Sin embargo este criterio será impráctico debido a la dificultad de determinar el costo del cliente. Otros factores intangibles no se pueden determinar fácilmente en relación al costo ya que depende del cliente y su personalidad.

EJEMPLO 4: Se supone que la demanda x por periodo de cierta mercancía está dada por la función continua de probabilidad f(x), si la cantidad al comenzó del periodo no es suficiente puede ocurrir escasez. Si se tiene demasiado hay

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inventario ocioso. Ambas situaciones son costosas la primera da perdida beneficio potencial, la segunda aumenta el costo del inventario.

Supuestamente se debe equilibrar estos costos, ya que generalmente es difícil estimar el costo de escasez, se puede determinar el nivel de inventario tal que la escasez esperada no exceda de A1 y el exceso esperado no pase de A2. Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera.

Sea I el nivel de inventario que se va a determinar. Por lo tanto,

Escasez esperada = ∫ (x – I) f(x) dx ≤ A1

Exceso esperado = ∫ (I – x) f(x) dx A2

Como A1 y A2 no puede ser factible para algunos valores I. Se supone que

20 / x2 10 x 20

F(x) =

0 en cualquier otro valor

Se deduce que

= = 20 ln 20/I + I/20 – 1

= = 20 ln 10/I + I/10 -1

El criterio de aceptación se simplifica y se tiene

Ln I - I/20 ≥ ln 20 – A1/20 – 1 = 1.996 - A1/20

Ln I - I/10 ≥ ln 10 – A2/20 – 1 = 1.302 – A2/20

Esto significa que los niveles de aceptación A1 y A2 deben ser tales que las dos desigualdades se satisfagan simultáneamente para al menos un valor de I.

El valor de I debe estar entre 10 y 20 por ser los límites de demanda

I 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Ln I – I/20 1.88 1.91 1.94 1.96 1.97 1.98 1.99 1.99 1.99

Ln I – I/10 1.28 1.26 1.24 1.21 1.17 1.13 1.09 1.04 0.99

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Se satisface para 13 < I < 17. Por consiguiente para cualquiera de estos valores se proporciona una respuesta al problema.

TALLER:

1. El Restaurante Ave Roja está contemplando abrir un nuevo restaurante en Medellín. Tiene tres modelos distintos, cada uno con diferente capacidad de asientos. Burger Prince estima que el número promedio de clientes por ahora será de 80, 100 o 120. La tabla de pago para los tres modelos es el siguiente:

Promedio De Clientes Por Hora s1 = 80 s2 = 100 s3 = 120

Modelo A $10,000 $15,000 $14,000 Modelo B $ 8,000 $18,000 $12,000 Modelo C $ 6,000 $16,000 $21,000

2. Un vendedor de recuerdos de viaje descubre que sus ventas dependen del clima, en gran medida. Él debe ordenar sus mercancias en enero. El mayorista le ofrece paquetes, con una variedad grande o pequeña, a precios especiales, y le vendedor ha decidido comprar uno u otro. Su tabla de utilidades en términos de ganancia neta en dólares aparece en seguida:

ESTADO NATURAL

DECISION FRIO FRESCO CALIDO TÓRRIDO

PEQUEÑO 0 1000 3000 4000

GRANDE - 3000 -1000 4000 8000

En la figura 2, aparece la función de utilidad del dinero. Si el vendedor cree que cada estado de la naturaleza es probable:

2

42


-¿Cuál decisión maximiza el beneficio neto esperado en dólares?

-¿Cuál decisión maximiza la utilidad esperada?

CAPITULO 3: DECISIONES BAJO INCERTIDUMBRE - ARBOLES DE DECISION

INTRODUCCION

El capitulo muestra otra forma de tomar decisiones cuando hay un grado de incertidumbre en la información pero bajo un modelo que permite gráficamente observar la posible decisión, además se emplea los criterios de valor esperado como apoyo a la misma, en el capítulo se estudiará: - Las características de los arboles de decisión. - Selección de alternativas de decisión. - Las limitaciones cuando se emplea arboles de decisión. - La teoría de la utilidad. OBJETIVOS: 1.- Identificar cuando se puede emplear un árbol de decisión. 2.- Emplear los arboles de decisión en un proceso decisorio especifico. 3.- Reconocer cuando se puede emplear un árbol de decisión y sus limitantes.

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4.- Analizar la teoría de utilidad como una herramienta para la toma de decisiones. Lección 11: ELEMENTOS DE LOS ARBOLES DE DECISIÓN. Un árbol de decisión es una representación grafica de las alternativas, probabilidades y pagos o ganancias asociadas con un problema de decisiones. - El primer paso para resolver problemas complejos es descomponerlos en sub-problemas más simples.

- Los árboles de decisión ilustran la manera en que se pueden desglosar los problemas y la secuencia del proceso de decisión.

- Un nodo es un punto de unión.

- Una rama es un arco conector.

- La secuencia temporal se desarrolla de izquierda a derecha.

- Un nodo de decisión representa un punto en el que se debe tomar una decisión. Se representa con un cuadrado. - De un nodo de decisión salen ramas de decisión que representan las decisiones posibles. - Un nodo de estado de la naturaleza representa el momento en que se produce un evento incierto. Se representa con un círculo. - De un nodo de estado de la naturaleza salen ramas de estado de la naturaleza que representan los posibles resultados provenientes de eventos inciertos sobre los cuales no se tiene control. - La secuencia temporal se desarrolla de izquierda a derecha. - Las ramas que llegan a un nodo desde la izquierda ya ocurrieron. Las ramas que salen hacia la derecha todavía no ocurrieron. - Las probabilidades se indican en las ramas de estado de la naturaleza. Son probabilidades condicionales de eventos que ya fueron observados. - Los valores monetarios en el extremo de cada rama dependen de decisiones y estados de la naturaleza previos.

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Características: - Un Árbol de Decisión es una representación cronológica del problema de decisión. - Cada Árbol de Decisión tiene dos tipos de nodos: Nodos redondos corresponden a los estados de naturaleza, Representará situaciones cuyas ocurrencias son inciertas. Nodos cuadrados corresponden a las alternativas de decisión - Las Ramas que salen de cada nodo redondo representan los diferentes estados de naturaleza, representará un posible acontecimiento - Las ramas que sales de los nodos cuadrados representan las diferentes alternativas de decisión. - Al final de cada rama de un árbol están los pagos obtenidos de una serie de divisiones que componen ese árbol. Ejemplo. Suponga que el estado del tiempo es variable y puede que llueva o no. Usted tiene que tomar la decisión de llevar paraguas o no. Fig. 3. Nodo de Decisión

Rama

Nodo de Probabilidad

Fig. 3. Árbol de decisión

Lección 12: SELECCIÓN DE ALTERNATIVAS DE DECISIÓN - Trabajando de atrás hacia adelante en el árbol, se calcula el valor esperado para cada nodo de estado de la naturaleza. - Dado que quien toma las decisiones controla las ramas que salen de cada nodo de decisión, se elige la rama que resulte en el mayor valor esperado. - Se van tachando todas las ramas que no sean seleccionadas.

45


- Se prosigue el análisis hacia la derecha del árbol, hasta seleccionar la primera decisión. - La decisión que resulta de un análisis del árbol de decisión no es una decisión sino una estrategia condicional a la ocurrencia de eventos que sucedan a la decisión inmediata. LIMITACIONES DE LOS ÁRBOLES DE DECISIÓN - Un árbol de decisión da una buena descripción visual en problemas relativamente simples, pero su complejidad aumenta exponencialmente a medida que se agregan etapas adicionales. - En algunas situaciones, la especificación de la incertidumbre a través de probabilidades discretas resulta en una sobre simplificación del problema. EJEMPLO 5: La compañía Certon ha desarrollado una nueva línea de productos. El gerente está atento para decidir el mercado apropiado y la estrategia de producción. Hay tres estrategias consideradas, A = agresiva, B = básica, C = cautelosa. El estudio de mercado ha denotado F = fuerte, D = débil; los estimativos en pesos en cada caso están en la tabla 15:

Decisión

Estado de la naturaleza F D

A 30 -8

B 20 7

C 5 15

Donde F = 0,45, D = 0,55

Tabla 15. Ejemplo 5. Compañía Certon.

– ¿cuál será la mejor estrategia? Una manera más conveniente de representar este problema es usando árboles de decisión, como en la figura 4. Un nodo cuadrado representará un punto en el cual se debe tomar una decisión, y cada línea abandonando el cuadrado representará una posible decisión. Un nodo círculo representará situaciones cuyas ocurrencias son inciertas, y cada línea abandonando el círculo representará un posible acontecimiento

46


P (F) =, 45 F

D P (D) =, 55

A P (F) =, 45 F B D P (D)=,55 C

P (F)=,45

F

D P (D)=,55

Figura 4. Árbol de decisión para Compañía Certón

El proceso de usar un árbol de decisión para encontrar la decisión óptima se denomina resolver el árbol. Para resolver el árbol se trabaja desde atrás hacia adelante. Esto se llama retornando el árbol. Primero, las ramas terminales se llevan hacia atrás calculando un valor esperado para cada nodo Terminal. Primero se calculan los valores de cada rama, se multiplica el valor estimado en pesos y el valor de cada estado de la naturaleza y después se suman los valores con el fin de obtener un solo resultado, Ver la figura 5. ERA = 9.10 A B ERB = 12.85 C

ERC = 10,58

Figura 5: Resultado ejemplo 5.

La Administración debe resolver un problema más simple que es el de elegir la alternativa que lleva al valor esperado más alto del nodo Terminal. De esta forma un árbol de decisión provee una forma más gráfica de ver el problema. Se utiliza la misma información que antes y se realizan los mismos cálculos. EJEMPLO 6. Considérese La información suministrada en la tabla 16, utilice diagramas de árbol para solucionar el problema

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DECISIONES FRACASO(F) ÉXITO(S) GRAN ÉXITO (G)

BAJA(l) -2 5 8

MODERADA(M) -5 10 12

ALTA(H) -8 6 15

PROBABILIDAD 0.4 0.4 0.2

RESULTADOS:

DECISIONES FRACASO(F) ÉXITO(S) GRAN ÉXITO(G)

BAJA(l) 0.6 0.3 0.1

MODERADA(M) 0.4 0.4 0.2

ALTA(H) 0.2 0.5 0.3

Tabla 16. Información ejemplo 6

Figura 6. Árbol ejemplo 6.

GANANCIA ESPERADA = (0.4*(-2)) + (0.4*(5))+(0.2*(8))= 1.6 GANANCIA ESPERADA = (0.4*(-5)) + (0.4*(10))+(0.2*(12))=4. GANANCIA ESPERADA = (0.4*(-8)) + (0.4*(6))+(0.2*(15))=2.2

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Figura 7. Resultados árbol ejemplo 6.

Por tanto se toma la decisión Moderada debido a que da la MAYOR ganancia con un valor de 4.4.

Lección 13: Regla de Bayes y arboles de decisión

Para desarrollar una unión entre los arboles de decisión y el teorema de bayes que es una herramienta clave para la solución de estos problemas es mas fácil entenderlo a partir de la siguiente explicación: de un conjunto de entrenamiento D de tamaño N y de una función parametrizable F(x; W) (p.e. una red neuronal) siendo W el conjunto de parámetros asociados a la función (p.e. los pesos de la red neuronal), el problema del aprendizaje estadístico pasa por calcular W de manera que se consiga un objetivo estadístico, p.e. minimizar una función de costo estadística. Para ello se utilizará algún método de optimización. El sistema de ecuaciones obtenido al aplicar el método de optimización sobre la función de costo estadístico es lo que se conoce como algoritmo de entrenamiento. Dicho algoritmo es en realidad un sistema dinámico, es decir un conjunto de ecuaciones que evolucionan en el tiempo. Este sistema dinámico deberá converger hacia el mínimo de la función de costo. No obstante, será habitual definir un criterio de parada del algoritmo que permita parar la ejecución del mismo antes de que converja.

EJEMPLO 7.

Ahora se va a considerar un ejemplo muy simple. Los caramelos sorpresa son de dos sabores: CEREZA y LIMA. El fabricante de los caramelos tiene un sentido del humor muy peculiar, y envuelve los caramelos en un envoltorio opaco en el que no

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se indica el sabor. Los caramelos se introducen en grandes bolsas que son de cinco tipos, otra vez indistinguibles desde afuera:

h1: 100% cereza

h2: 75% cereza + 25% lima



h5: 100% lima

Dada una nueva bolsa, la variable aleatoria H (para las hipótesis) denota el tipo de bolsa, así que puede tomar valores desde h1 hasta h5. Por supuesto, H no es directamente observable. Cuando se abren y se inspeccionan los caramelos, se revelan los datos D1, D2,…, Dn, donde cada Di es una variable aleatoria con valores posibles de CEREZA y LIMA. La tarea básica a la que se enfrenta el agente es predecir el sabor del siguiente caramelo. A pesar de que aparentemente parece trivial, este escenario sirve para introducir muchos de los aspectos principales. Realmente, el agente necesita inferir una teoría de su mundo, aunque sea muy simple.

El aprendizaje bayesiano simplemente calcula la probabilidad de cada hipótesis dados los datos, y realiza predicciones sobre estas bases. Es decir, se realizan las predicciones utilizando todas las hipótesis, ponderadas por sus probabilidades, y no utilizando únicamente la "mejor" hipótesis. De esta forma, el aprendizaje se reduce a inferencia probabilística. Si D representa todos los datos, y d el valor observado; la probabilidad de cada hipótesis se obtiene aplicando la regla de Bayes:

(1)

Ahora suponga que queremos hacer una predicción sobre una cantidad desconocida X. tenemos

(2)

(3)

Donde se ha asumido que cada hipótesis determina una distribución de probabilidades de X. esta ecuación muestra que las predicciones son el resultado de ponderar las predicciones de las hipótesis individuales. Las hipótesis son en sí mismas intermediarios entre los datos crudos y las predicciones. Las cantidades clave en el enfoque bayesiano son las hipótesis a priori. P(hi) y la verosimilitud de los datos dada cada una de las hipótesis, P(d/hi).

http://www.monografias.com/trabajos4/epistemologia/epistemologia.shtml

50


En este ejemplo asumiremos, como información proporcionada por el fabricante, que la distribución a priori sobre h1,…,h5 viene dada por [0.1 , 0.2 , 0.4 , 0.2 , 0.1]. La verosimilitud de los datos se calcula asumiendo que las observaciones son independientes e idénticamente distribuidas (iid) así que

(4)

La figura 8 muestra cómo cambian las probabilidades a posteriori de las cinco hipótesis a medida que se van observando los 10 caramelos de lima. Nótese que las probabilidades comienzan con sus valores a priori, por lo que h3 es inicialmente más probable que las demás, incluso después de que se desenvuelva el primer caramelo. Después de desenvolver dos caramelos de lima, h4 es la más probable; después de tres o más, h5 (la terrorífica bolsa con todos los caramelos de lima) es la más probable. Después de 10, estamos bastante seguros de nuestro destino.

El ejemplo muestra que, a la larga, la verdadera hipótesis domina la predicción bayesiana. Esto es característico del aprendizaje bayesiano. Para cualquier a priori fija que no excluya la hipótesis verdadera, la probabilidad a posteriori de cualquier hipótesis falsa finalmente desaparecerá, simplemente porque la probabilidad de generar datos no característicos de forma indefinida es cada vez más pequeña. Más importante, la predicción bayesiana es óptima, tanto si el conjunto de datos es pequeño, como si es grande. Dada la hipótesis a priori, cualquier otra predicción será correcta con menos frecuencia.

Por supuesto, la optimalidad del aprendizaje bayesiano tiene un precio. En los problemas reales de aprendizaje, el espacio de hipótesis es normalmente muy grande. En algunos casos, el cálculo del sumatorio de la ecuación (2) (o la integración en caso continuo) es tratable, pero en la mayoría de los casos debemos recurrir a métodos aproximados o simplificados.

Figura 8. Evolución de las probabilidades condicionales de h1, h2, h3, h4 y h5

51


Probabilidades para el momento en el que se destapa el primer caramelo

= 0

= 0.1

= 0.4

= 0.3

= 0.2

Probabilidades para el momento en el que se destapa el segundo caramelo

= 0

= 0.038

= 0.307

= 0.346

= 0.307

52


Probabilidades para el momento en el que se destapa el tercer caramelo

= 0

= 0.0131

= 0.210

= 0.355

= 0.421

Como se observa en las ecuaciones anteriores; a medida que se van destapando caramelos las ecuaciones se van actualizando con las nuevas probabilidades, cosa que hace más exactas las probabilidades a posteriori.

A continuación se muestra la tabla 17. Para 10 iteraciones, es decir para los diez primeros caramelos destapados.

h1 h2 h3 h4 h5

A priori 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1

1 0 0,1 0,4 0,3 0,2

2 0 0,03846 0,30769 0,34615 0,30769

3 0 0,01316 0,21053 0,35526 0,42105

4 0 0,00413 0,13223 0,33471 0,52893

5 0 0,00122 0,07805 0,29634 0,62439

53


6 0 0,00034 0,04405 0,25086 0,70475

7 0 9,4E-05 0,02407 0,20562 0,77021

8 0 2,5E-05 0,01285 0,16468 0,82245

9 0 6,6E-06 0,00675 0,12968 0,86357

10 0 1,7E-06 0,0035 0,10087 0,89563

Tabla 17. Iteraciones ejemplo 7.

Lección 14: TEORIA DE LA UTILIDAD.

La utilidad es una forma alternativa para medir el atractivo del resultado de una decisión. Dicho de otro modo, de encontrar los valores a llenar una tabla de pagos. Se emplea en los criterios de decisión y de valor esperado los beneficios netos y el arrepentimiento como medidas de la bondad de una combinación concreta de una decisión con un estado natural.

La utilidad sugiere otras mediciones como la razón de la utilidad y la función de utilidad específica para cada problema de decisión. Entre estos desarrollos tenemos:

- Una única oportunidad para tomar la decisión y ésta tiene riesgos considerables.

- Un boleto de lotería tiene una ganancia esperada negativa.

- Una póliza de seguros cuesta más que el valor actual de las pérdidas esperadas de la compañía aseguradora.

Características de la Teoría de la utilidad

- El valor de la utilidad, U (V) refleja la perspectiva del tomador de decisiones.

- El valor de la utilidad se calcula para cada posible ganancia.

- El menor resultado obtenido tiene un valor de utilidad de 0.

- El mayor resultado obtenido tiene un valor de utilidad de 1.

54


- La decisión óptima se elige usando el criterio de la utilidad esperada.

Sobre la indiferencia para asignaciones de valores de utilidad - Listar todas las posibles ganancias en la matriz de ganancias en orden ascendente.

- Asignar una utilidad 0 al valor más bajo y un valor 1 al más alto.

- Para todas las otras posibles ganancias formular al tomador de decisiones la siguiente pregunta:

“suponga que Ud. Podría recibir esa ganancia en forma segura o recibiría, ya sea la mayor ganancia con probabilidad p y la menor ganancia con probabilidad (1-p). ¿Qué valor para p lo haría indiferente ante esas dos situaciones? La respuesta a esta pregunta son las probabilidades de indiferencia con respecto a la ganancia y se usan como valores para la utilidad.

DETERMINANDO LA RAZON DE LA UTILIDAD:

- La técnica provee una cierta cantidad de riesgo para cuando el tomador de decisiones debe elegir una opción.

- La técnica se basa en tomar la ganancia más segura versus arriesgar la obtención de la más alta o baja de las ganancias.

- Tres tipos de tomadores de decisiones 1.El no arriesgado - prefiere una ganancia segura a una probabilidad de una misma ganancia esperada. 2. El arriesgado - prefiere una ganancia probabilística a una misma ganancia segura esperada. 3. El neutral es indiferente a una ganancia segura o probabilística.

Utilidades. No arriesgado al determinar la decisión

Neutral al determinar la decisión

Arriesgado al determinar la decisión

Ganancia Grafico 5. Tipo de decisiones.

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Hasta ahora hemos supuesto que el pago esperado en términos monetarios es la medida adecuada de las consecuencias de tomar una acción.

Sin embargo en muchas situaciones esto no es así y se debe utilizar otra escala de medida para las acciones que realizamos

Lección 15: APLICACIONES DE LA TEORIA DE UTILIDAD:

Suponga que se le ofrece a una persona Ganar $40000 fijos:

50% de posibilidades de ganar $100000 50% de posibilidades de no ganar nada

E {p(a 1 ,q)}= 0.5* $100000 + 0.5*0= $50000 E {p(a 2 ,q)}= 1* $40000 = $40000

Aunque la alternativa 1 tiene un pago esperado mayor, muchas personas preferirán los $40000 pesos fijos, En muchas ocasiones los tomadores de decisiones no están dispuestos a correr riesgos aunque la ganancia esperada sea mucho mayor.

Se pueden transformar los valores monetarios a una escala apropiada que refleje las preferencias del tomador de decisiones, llamada función de utilidad del dinero

U(M)

5

4

3

2

1

$10000 $ 20000 $30000 $40000 $50000 $60000 $100000

Grafico 6. Función de utilidad para el dinero

Una función de utilidad para el dinero de este tipo nos muestra una utilidad marginal decreciente para el dinero. La pendiente de la función disminuye conforme aumenta la cantidad de dinero M. Porque la segunda derivada < 0 cuando ésta existe.

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Pero se puede observar que no todas las personas tienen una utilidad marginal decreciente para el dinero. Hay personas que tienen funciones de utilidad marginal creciente para el dinero.

El hecho de que distintas personas tienen funciones de utilidad diferentes para el dinero tiene una aplicación importante para el tomador de decisiones cuando se enfrenta a la incertidumbre. Por lo tanto cuando una función de utilidad para el dinero se incorpora en un análisis de decisiones de un problema, esta función de utilidad debe construirse de manera que se ajuste a las preferencias y valores del tomador de decisiones.

La clave para considerar que la función de utilidad para el dinero se ajusta al tomador de decisiones es la siguiente propiedad de las funciones de utilidad: “Bajo las suposiciones de la teoría de utilidad, la función de utilidad para el dinero de un tomador de decisiones tiene la propiedad de que éste se muestra indiferente ante dos cursos de acción alternativos si los dos tienen la misma utilidad esperada”. Para la aplicación que se está estudiando y según el grafico 6 se obtiene que: Se le ofrece Ganar $100000 con probabilidad p (utilidad = 4), No ganar nada con probabilidad 1-p (utilidad = 0)

El valor esperado de la utilidad con esta oferta es

E (utilidad) = 4 * p

El tomador de decisiones será entonces indiferente ante cualquiera de estos 3

pares de alternativas:

- Ganar $100000 con probabilidad 0.25 E (utilidad = 1). Obtener $10000.



Construcción de la función de utilidad para el dinero:

1. Se le hace al tomador de decisiones una oferta hipotética de obtener una gran

suma de dinero con probabilidad p o nada.

2. Para cada una de las pequeñas cantidades se le pide al tomador de decisiones que elija un valor de p que lo vuelva indiferente ante la oferta y la obtención definitiva de esa cantidad de dinero.

57


Cuando se usa la función de utilidad para el dinero, del tomador de decisiones, para medir el valor relativo de los distintos valores monetarios posibles, la regla de Bayes sustituye los pagos monetarios por las utilidades correspondientes; Por lo tanto, la acción óptima es la que maximiza la utilidad esperada.

EJEMPLO 8. GOFERBROKE COMPANY, En estos momentos la compañía no atraviesa por una situación financiera sólida y está operando con poco capital. Una pérdida de $100000 sería bastante seria. El peor escenario sería conseguir $30000 para el sondeo sísmico y después todavía perder $100000 en la perforación cuando no haya petróleo.

Grafica 7 Árbol para ejemplo 8.

Por otro lado, encontrar petróleo es una perspectiva interesante, ya que una ganancia de $700000 daría a la compañía una base financiera sólida. Para aplicar la función de utilidad para el dinero del tomador de decisiones es necesario conocer todos los pagos posibles.

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Pago monetario Utilidad

-130 -150

-100 -105

60 60

90 90

670 580

700 600

Tabla 18. Pagos y utilidad ejemplo 8.

Veamos la manera como se obtuvo esta tabla 18; El punto de inicio adecuado para construir la función de utilidad es considerar el peor y el mejor de los escenarios. Suponga que sólo tiene dos alternativas: Alternativa 1 No hacer nada, utilidad = 0, pago = 0 Alternativa 2 • Probabilidad p, pago= 700 • Probabilidad 1-p, pago= -130 ¿Qué valor de p haría que el tomador de decisiones fuera indiferente ante las dos alternativas? Suponga que la elección del tomador de decisiones es p = 1/5 4/5 u (-130) + 1/5 u (700) = 0 Uno de los valores de u (-130) y u (700) puede establecerse arbitrariamente, con la salvedad de que el primero sea negativo y el segundo positivo Suponga que seleccionamos u (-130) = -150 4/5 (-150) + 1/5 u (700) = 0 u (700) = 600 Para identificar u (-100), se selecciona un valor de p que haga que el tomador de decisiones sea indiferente entre un pago de -130 con Probabilidad p o la de definitivamente puede incurrir en un pago de -100.

Si p = 0.7 entonces u (-100) = p u (-130) = 0.7(-150) = -105

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Para obtener u (90), se selecciona un valor de p que haga que el tomador de decisiones sea indiferente entre un pago de 700 con probabilidad p o la obtención de un pago definitivo de 90.

Si p = 0.15 entonces u (90) = p U (700) = 0.15 (600) = 90

Con estos valores se puede dibujar una curva suavizada.

Grafica 8. Función de utilidad ejemplo 8.

Resumiendo: Para f > 0 halle un valor de p tal que sea indiferente tener $700 con ese valor de p, o tener a la fija f y se plantea u (f) = u (700)* p + 0 * (1-p) u (f) = u (700)* p Se halla u(f) Para f < 0 halle un valor de p tal que sea indiferente tener -$130 con ese valor de p, o tener a la fija f u (-130)* p = u (f) Se halla u (f) Observe que u (M) es en esencia igual a M para valores pequeños (positivos o negativos) de M, y después se separa gradualmente para valores grandes de M; Esto es característico de una persona que tienen una aversión moderada al riesgo.

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Dada la función de utilidad para el dinero del dueño de la compañía, el proceso de toma de decisiones se puede desarrollar por cualquiera de los métodos estudiados anteriormente excepto que ahora se sustituyen las utilidades por los pagos monetarios. El uso de la teoría de la utilidad refleja la actitud del tomador de decisiones respecto al riesgo.

Grafica 9. Árbol ejemplo 8 con función de utilidad.

FUENTE: http://www.investigacion-operaciones.com/Curso_inv-Oper_carpeta/Clase25_II.pdf

TALLER:

1) La compañía de limpieza Jorge recibe contratos preliminares de dos fuentes, de un agente propio de la empresa y de los gerentes de los edificios. Históricamente, 3/8 de los contratos son obtenidos por el agente y 5/8 de los gerentes, desafortunadamente, no todos los contratos preliminares resultan para efectuarse. Actualmente, solamente ½ de los contratos obtenidos de los gerentes resultan, sin embargo 3/4 de los obtenidos por el agente se efectúan, por un contrato se obtienen $64000, el costo de procesamiento y seguimiento de un contrato que no se realiza es de $3200. ¿Cuál es el pago esperado asociado con los contratos preliminares. 2) Jorge está contratado para realizar una presentación el 10 de mayo, las ganancias dependen fuertemente del tiempo, si particularmente el tiempo es lluvioso, el espectáculo pierde $28000 y si es soleado obtiene utilidad de

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$12000 (suponiendo que todo el día estará tanto lluvioso como soleado), Jorge puede decidir cancelar el espectáculo, pero si lo hace pagara una multa de $1000. Históricamente el 10 de mayo tiene 1/4 del tiempo lluvioso. ¿Qué decisión deberá Jorge tomar para maximizar sus ganancias esperadas? -¿Cual es el valor esperado de la información perfecta? Jorge tiene la opción de conseguir la información del tiempo en la oficina meteorológica. Cuando ha sido lluvioso la oficina ha estado en lo correcto (pronosticada lluvia) en el 90%. Cuando ha sido soleado, está él en lo correcto (pronosticado sol) solamente en el 80% del tiempo.

- Si Jorge obtiene el estado del tiempo, ¿Qué estrategia deberá seguir para maximizar sus expectativas de ganancias? 3) OILCO debe determinar si perforar o no en el mar para buscar petróleo. Cuesta

100000 dólares perforar y, si encuentra petróleo, su valor se calcula en 600000

dólares. Actualmente OILCO cree que hay 45 % de probabilidades que el campo

contenga petróleo. Antes de perforar OILCO puede contratar por 10000 dólares un

geólogo para obtener mas información acerca de la probabilidad que haya

petróleo en el lugar. Hay un 50% que el geólogo emita un dictamen favorable

contra el 50% que el dictamen sea desfavorable. Si el dictamen es favorable hay

probabilidad del 80% que el campo tenga petróleo. Si el dictamen es desfavorable

hay 105 de probabilidad que haya petróleo. Determinar las acciones optimas de

OILCO, también calcular VEIM (Valor Esperado de Información Muestra) y VEIP

(Valor Esperado de Información Perfecta)

4) Un cliente acude a un banco para obtener un préstamo de 50000 dólares a un

año con 12% de interés. Si el banco no aprueba el préstamo los 50000 se

invertirán en bonos que ganaran un 6% anual. Sin mayores informes, el banco

cree que hay el 4% de probabilidad que el cliente se declare totalmente insolvente.

En este caso el banco pierde los 50000. A un costo de 500 dólares el banco puede

investigar en detalle el historial de crédito del cliente y emitir un concepto a favor o

en contra. La experiencia anterior indica que:

P (recomendación favorable/cliente no insolvente)=70/96

P (recomendación favorable/cliente insolvente) = ¼

¿Cómo puede el banco maximizar sus ganancias?

¿Calcular el VEIM y VEIP?

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AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD 1.

1.- Considere la siguiente matriz de pagos (|beneficios):

Θ1 θ2 θ3 θ4 θ5

α1 15 10 0 -6 17

α2 3 14 8 9 2

α3 1 5 14 20 -3

α4 7 19 10 2 0

No se conocen probabilidades para la ocurrencia de los estados de la naturaleza.

Compare las soluciones obtenidas con cada uno de los criterios.

(a) Laplace (b) Maximin. (c) Savage. (d) Hurwicz. (Suponga que α = 0.5.)

2. La red de televisora NBS gana un promedio de 400000 dólares cuando un

espectáculo tiene éxito y pierde un promedio de 100000 dólares cuando no lo

tiene. De todos los espectáculos que ha revisado esa red, sucede que el 25%

fueron éxitos y el 75% fracasos. Una empresa de investigación de mercados

puede, a un costo de 40000 dólares, hacer que una concurrencia presencie una

muestra del espectáculo propuesto y de su opinión acerca de si será éxito o

fracaso. Si en realidad va a ser un éxito, hay 90% de probabilidad que la empresa

de investigación de mercado prediga que será éxito. Si en realidad va a ser un

fracaso, hay 80% de probabilidades que la predicción sea fracaso. Determinar por

medio de arboles de decisión cómo puede la red televisora elevar al máximo sus

ganancias esperadas. También calcular el VEIM y el VEIP.

RESPUESTAS:

1. a) a4 b) a2 c) a2 d) a4

2. Contratar a la empresa. Si predice éxito, transmitir el programa. Si predice

fracaso, no transmitirlo. Ganancia esperada= 35000 dólares; VEIM= 50000

dólares; VEIP= 75000 dólares.

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UNIDAD 2. DECISIONES BAJO RIESGO

INTRODUCCIÓN:

Esta unidad desarrollará, los criterios de decisión específicos para cuando no se conoce la información o sea que se presenta un mayor riesgo Al tomar la decisión, en otras palabras como si se avanzara a ciegas en las empresas o vida cotidiana, en la unidad se mostrara la utilidad de las probabilidades en la toma de decisiones, además de programar decisiones con secuencia o metas escalonadas, como también la simulación de los procesos decisorios. En los siguientes capítulos el estudiante conocerá el manejo de las decisiones cuando solo tiene un competidor, como también cuando su producto tiene varios competidores y depende de su comportamiento con el tiempo. Por último aplicará los conceptos de programación lineal pero en decisiones con metas y el algoritmo específico, así como las aplicaciones de los modelos de simulación.

OBJETIVO GENERAL:

Dar a conocer a los estudiantes las modelos para apoyo en las decisiones cuando no se conoce a futuro ninguna certeza por ende se debe basar todo en el estudio probabilístico, las características, elementos esenciales, algoritmos de solución y la aplicabilidad de la probabilidad en una empresa.

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

- Identificar y aplicar los diferentes tipos de probabilidades en las decisiones de una empresa o la vida diaria.

- Aplicar los métodos de solución para la toma de decisiones donde solo hay dos participantes y se debe suponer las decisiones del otro.

-Diferenciar las necesidades de un producto con respecto a otro y la influencia del tiempo en las ventas de este en un mercado específico.

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- Conocer y aplicar las cadenas de markov.

- Observar y aplicar los algoritmos para la solución optima en un proyecto donde se deben programar las metas a conseguir y determinar la prioridad entre ellas. - Reconocer las aplicaciones de la simulación en la toma de decisiones.

COMPETENCIAS: El estudiante después de estudiar la unidad deberá ser competente en la teoría de juegos para aplicarlo no solo con un competidor si no con un rival especifico. Diferenciar el comportamiento de un producto en el tiempo y con otros productos similares. Diferenciar entre los diferentes métodos para desarrollar una simulación y la secuencia para definir un problema que tiene varias metas específicas.

JUSTIFICACION

El profesional además de las decisiones con incertidumbre debe afrontar aquellas donde el riesgo es alto y fuertemente apropiado por el azar, por lo tanto, con las herramientas de teoría de juegos, cadenas de markov y la programación por metas le permite desarrollar habilidades en los esquemas con dos jugadores o tendencias en el tiempo, además de medir decisiones con varias aproximaciones previas y en donde se debe avanzar metódicamente. Por último se aproxima a la simulación de sus decisiones y en donde se le exigirá la apropiación matemática previa para desarrollar los métodos markovianos, por metas y de simulación.

INTENCIONALIDADES FORMATIVAS

La intención formativa tiene que ver con las capacidades para tomar decisiones

con riesgo por medio del uso de diferentes métodos como lo son la teoría de

juegos, las decisiones con procesos de markov. Adicionalmente aplicar modelos

de programación cuando son varias las posibles decisiones y determinar los

desarrollos por medio de las simulaciones en los procesos de decisión. Esto lo

pueden realizar con apoyo de los conocimientos adquiridos en el cálculo

diferencial, programación lineal y ecuaciones diferenciales.

Por lo cual el estudiante aplicará integralmente sus conocimientos básicos en el

campo profesional, teniendo un criterio claro para las diversas decisiones en las

empresas donde laboren.

65


Capitulo 4. DECISIONES BAJO RIESGO –TEORIA DE JUEGOS

INTRODUCCIÓN En el mundo real, tanto en las relaciones económicas como en las políticas o sociales, son muy frecuentes las situaciones en las que, al igual que en los juegos, su resultado depende de la conjunción de decisiones de diferentes agentes o jugadores. La técnica para el análisis de estas situaciones es llamada Teoría de juegos la cual es sin duda un modelo para empresas ganadoras o exitosas en un ambiente competitivo: Por ejemplo, existen muchos factores importantes a considerar cuando se hace una oferta importante, entre los cuales están: Establecer y mantener una posición de preferencia como oferente, desarrollar una relación de preferencia por parte de los clientes, de lo que se oferta en sí mismo, y del precio. Es una fascinante aplicación de la matemática pura y la psicología pura, e incorpora series de modelos capaces de simplificar problemas complejos de competencia o interacción incierta entre dos o más agentes. OBJETIVOS 1.-Conocer en qué consiste la Teoría de Juegos. 2.- Desarrollar destreza para la toma de decisiones. 3.- Poder elegir la mejor estrategia mediante un proceso matemático. 4.- Saber elegir la mejor decisión de acuerdo a sus intereses. 5.- Reconocer y desarrollar los diferentes métodos de la Teoría de Juegos

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Lección 16. CONCEPTOS

Fuente: http://julioguti.bligoo.com/tag/psicologia

La teoría de juegos es una Teoría matemática, que estudia las características generales de las situaciones competitivas y hace parte de la teoría general de decisiones como mecanismo para el manejo de las estrategias. En la teoría de Juegos un oponente se designa como jugador, cada jugador tiene un numero de elecciones llamadas estrategias. Los resultados a pagar de un juego se resumen como funciones de las diferentes estrategias para cada jugador, en donde la ganancia de un jugador es igual a la pérdida del otro. Se debe tener en cuenta siempre las siguientes definiciones elementales como son: Juego: es la situación de conflicto en la que dos o más adversarios intentan alcanzar un objetivo seleccionando cursos de acción de entre todos los que sean permitidos por las reglas. Reglas: posibles cursos de acción que pueden ser elegidos y deben ser conocidas por todos los jugadores. Resultados: asociados a cada posible combinación de elecciones, estos son definidos por adelantado y conocidos por todos los jugadores. Movida: elección de un curso de acción en particular de entre un conjunto de alternativas posibles. Partida: secuencias de movidas que se suceden en un juego desde el principio hasta el final; Debe tenerse una secuencia por cada jugador. Estrategia de un jugador: Es la regla de decisión predeterminada que permite a un jugador elegir cada una de las movidas que conforman a una partida, ante el análisis de todas las posibles elecciones de los competidores. Estrategia pura: es aquella en la cual cada una de las movidas hechas por un jugador a lo largo de una partida corresponde a una única opción o curso de acción particular. Estrategia mixta: es aquella en la cual no siempre se opta por el mismo curso de acción a lo largo de una partida. Valor del juego: Es el resultado de jugar una partida, cada jugador con su estrategia. Indica cual es el beneficio o perjuicio que recibe cada jugador. Solución del juego: es el conjunto de estrategias óptimas para cada jugador y valor del juego resultante de la aplicación de esas estrategias. IDEAS FUNDAMENTALES - Una característica básica en muchas de las situaciones de conflicto y

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competencia es que el resultado final, depende de la combinación de estrategias seleccionadas por los adversarios.

- La Teoría de juegos estudia las características generales de las situaciones competitivas de una manera formal y abstracta.

- Da una importancia especial a los procesos de toma de decisiones de los adversarios.

- Se llaman juegos con suma cero por que un jugador gana lo que el otro pierde, de manera que la suma de sus ganancias netas es cero. Este juego consiste en que los dos jugadores muestran al mismo tiempo uno o dos dados. Si el número de dados coincide con el jugador que apuesta a pares (jugador 1) gana la apuesta ($1) al jugador que va por impares (jugador 2). Si el número no coincide el jugador 1 paga ($1) al jugador 2. Un juego de dos personas se caracteriza por: 1. Las estrategias del jugador 1 2. Las estrategias del jugador 2 3. La matriz de pagos METODOS DE SOLUCIÓN Existen 4 métodos para la solución de Teoría de juegos: - Estrategias Dominadas - Punto de silla y suma cero - Estrategias mixtas - Grafico Lección 17. Método de estrategias Dominadas.

Fuente: http://isegara.blogspot.com/2010/05/el-mundo-del-adolescente-dominado-por.html

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Este método consiste en eliminar una serie de estrategias inferiores hasta que quede una sola para elegir. Específicamente se puede eliminar una estrategia cuando está dominado por otra, es decir, si existe otra estrategia que siempre es al menos tan buena como esta, sin importar lo que hace el oponente. Se debe tener en cuenta que el jugador que se ubica en la casilla 1 es el que prima en las decisiones, podríamos decir que este somos nosotros y que el otro es nuestro oponente. Además es clave decir que son las estrategias que más se buscan en las contiendas políticas. La mejor forma de entender estos métodos es por medio de un ejemplo como el de a continuación. EJEMPLO 9: El jugador 1 elimina la estrategia 3 (dominada) ya que ésta representa menos ganancias: El jugador 2 elimina la estrategia 3 (dominante) ya que con ésta obtendrá mayores pérdidas. El jugador 1 elimina la estrategia 2 (dominada):

estrategias

Jugador2

1 2

Jugador1 1 6 10

2 6 0

Estrategias

Jugador 2

1 2 3

Jugador1

1 6 10 12

2 6 0 14

3 0 6 -6

Estrategias

Jugador 2

1 2 3

Jugador1

1 6 10 12

2 6 0 14

3 0 6 -6

Estrategias Jugador 2

1 2 3

Jugador1 1 6 10 12

2 6 0 14

Estrategias

Jugador 2

1 2 3

Jugador1 1 6 10 12

2 6 0 14


1 2

Jugador 1

1 6 10

2 6 0

Estrategias

Jugador 2

1 2

Jugador 1 1

6 10

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El jugador 2 elimina la estrategia 2:

- Entonces sabemos que el jugador 1 recibe un pago de 6 por parte del jugador 2. - El pago para el jugador, cuando ambos jugadores juegan de manera óptima

recibe el nombre de Valor de Juego. Lección 18. Método suma cero y Punto de Silla.

Fuente: http://blog.pucp.edu.pe/blog/economate

El método de punto silla se utiliza cuando no se puede aplicar el método de estrategias dominadas. Esto se debe a que no hay un dominio específico entre una estrategia y otra, Además debemos emplear para su solución los criterios de decisión estudiadas en los capítulos anteriores. El método consiste en que el jugador 1 debe elegir las estrategias de menor valor y entre ellas escoger la estrategia de mayor valor a ganar (Maximin), mientras que el jugador 2 debe elegir las estrategias de mayor valor y entre ellas escoger la estrategia de menor valor a pagar (Minimax). Cuando el Maximin es igual al Minimax tanto en el valor como en signo se dice que hay punto silla. Esa posición corresponde a la intersección de la columna y la fila (Punto Silla). El Punto Silla es el valor del juego. Cuando estos valores no coinciden no existe Punto Silla y se puede concluir que el juego no es justo o la solución es inestable - Si el juego tiene un valor de cero (0) o suma cero, se denomina Juego Justo, y si es diferente de cero (0) se denomina Juego Injusto.

Estrategias Jugador2

1

Jugador1 3 6


1 2

Jugador 1 1 6 10

http://blog.pucp.edu.pe/blog/economate

70


EJEMPLO 10.

El Jugador 1 elige el valor mínimo de cada fila y el jugador 2 elige el valor máximo de cada columna.

Punto silla máximin mínimax

Grafica 10. Juego de estrategias dominadas.

El Jugador 1 elige el valor mayor entre los valores mínimos (Maximin). El Jugador 2 elige el valor mínimo entre los valores mayores (Minimax).

El punto de silla es igual a (0) (valor del juego), en este caso el juego es justo. Lección 19. Método de estrategias Mixtas:

Fuente: http://www.opabinia.com/teoria/MEDIDA/MEDIDA.htm

Este método se emplea cuando un juego no se puede resolver por los métodos anteriores (Estrategias dominadas y Punto Silla) utilizamos el método de estrategias mixtas, que consiste en combinar las estrategias dominadas con el procedimiento de Solución gráfica.

Estrategias

jugador 2

1

2 3

Jugador1

1 -3 -2 6

2 2 0 2

3 -2 4 3

Estrategias

jugador2 1 2 3

Jugador1

1 -3 -2 6 -3

2 2 0 2 0

3 5 -2 4 -2

5 0 6

71


Con este método se le asigna a cada estrategia una probabilidad. EJEMPLO 11.

Estrategias jugador 2

1 2 3

Jugador1

1

0 -2 2

2 5 4 -3

3 2 3 4

El jugador 1 elimina la estrategia 3 (dominada)

Determinando cual estrategia se debe eliminar se continua el proceso con el

método grafico, el cual se explicará a continuación. O se puede desarrollar por el

método de punto de silla.

Lección 20. Método Grafico

Fuente: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0045-01/secciones/grafico.html

Estrategias jugador 2

1 2 3

Jugador1

1

0 -2 2

2 5 4 -3

3 2 3 4

Estrategias

jugador 2 Y Y Y

1 2 3

jugador 1

1

0 -2 2

2 5 4 -3

72


Para desarrollar este método, el cual se emplea también en las estrategias mixtas tomamos la matriz de pagos del ejemplo 11 y la convertimos en un sistema de ecuaciones lineales donde X hacen referencia al jugador 1 y las Y hacen referencia al jugador 2; Así: Jugador 1. X1 + X2 = 1 X1 = 1 - X2 Jugador 2. Y1 + Y2 + Y3 = 1 Para qué Y se tengan en función de X! y X2, se tiene en cuenta los valores de la matriz de pagos así: Y1 = 0X1 + 5X2 Y1 = 5X2 Y2 = -2X1 + 4X2 Y2 = -2 (1-X2)+ 4X2 = -2 + 2X2 + 4X2 Y2 = -2+6X2 Y3 = 2X1 - 3X2 Y3 = 2(1-X2) - 3X2 = 2 - 2X2 - 3X2 Y3 = 2 - 5X2 Con los valores anteriores se obtienen tres líneas rectas que debemos ubicar en el plano cartesiano, a continuación tenemos los puntos de corte respectivos con los ejes: Y1 = 5x2 X = 0 Y = 0 X = 1 Y = 5 Y2 = -2+6X2 x = 0 Y = -2 x = 1 Y = 4 Y3 = 2- 5x2 x = 0 Y = 2 X = 1 Y = -3

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Grafica 11. solución metodo grafico

Solución óptima El punto de corte nos determina la solución óptima del juego. Que para este método se tiene aproximadamente 0,4 para X2; y por lo tanto 0,6 para X1. Para mejor análisis se puede desarrollar también por cualquiera de los métodos algebraicos así: IGUALACION Y2 = Y3 -2+6X2 = 2 -5X2 6X2+5X2 = 2+2 11X2 = 4 X2 = 4/11 = 0.36*100 X2 = 36% Y X1= 64% Jugador 1 (64%, 36%,0) El vértice o corte de las dos rectas que optimizan el juego es: Y2= V = -2 +6X2 = -2 + 6 (4/11) = -2 + 24/11 = 2/11 Teniendo en cuenta las dos rectas que forman parte del punto maximin y con respecto ha Y son: -2Y2 +2Y3 = 2/11 4Y2 - 3Y3 = 2/11

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No se tiene en cuenta a Y1 debido a que no forma parte de la solución mínima: -2Y2 +2Y3 = 2/11 * 2 4Y2 - 3Y3 = 2/11 -4Y2 +4Y3 = 4/11 4Y2 - 3Y3 = 2/11 _________________ Y3 = 6/11 = 0,5454*100 Y3 = 54,54% y Y2 = 45,46% Jugador 2 (0, 45.46%,54.54%) Solución: Observando los valores de los porcentajes de las estrategias encontradas para los dos jugadores podemos realizar el análisis de la siguiente manera: El jugador 1 le gana al jugador 2 en el primer turno por un valor del 64%, en el segundo turno le gana el jugador 2 al jugador 1 por un porcentaje del 45.46, lo que da hasta el momento un empate entre los dos jugadores, sin embargo en el tercer y último juego el jugador 2 le gana al jugador 1 con un 54.54%, lo que da como resultado final, que el juego sea injusto, y tenga un valor de juego igual a 2/11. EJEMPLO 12: LA CAMPAÑA POLÍTICA: EJEMPLO DE PROTOTIPO Dos políticos contienden entre sí por la presidencia de la república de Colombia. En este momento ellos están haciendo sus planes de campaña para los dos últimos días antes de las elecciones; se espera que dichos días sean cruciales por ser tan próximos al final. Por esto, ambos quieren emplearlos para hacer campañas en dos ciudades importantes. Cali y Medellín para evitar pérdidas de tiempo, están planeando viajar en la noche y para un día completo en cada ciudad o dos días en solo una de las ciudades. Como deben hacer los arreglos necesarios por adelantado, ninguno de los dos sabrá lo que su oponente tiene planeado hasta después de concretar sus propios planes. Cada político tiene un Jefe de Campaña en cada ciudad para asesorarlo en cuanto al impacto que tendrá (en términos de votos ganados o perdidos). Las distintas combinaciones posibles de los días dedicados a cada ciudad por ellos o por sus oponentes. Ellos quieren emplear esta información para escoger su mejor estrategia para estos dos días. SOLUCIÓN

75


FORMULACION: Los 2 jugadores, las estrategias de cada Jugador y la matriz de pagos. ESTRATEGIA 1: Pasar por un día en cada ciudad. ESTRATEGIA 2: Pasar ambos días en Cali. ESTRATEGIA 3: Pasar ambos días en Medellín. MATRIZ DE PAGOS

METODO DE SOLUCIÓN: Para desarrollar este ejemplo se pueden emplear cualquiera de los criterios de decisión estudiados en la lección 5. En este ejemplo se empleará el criterio maximax para el político 1 y maximin para el político 2 Al tomar estos criterios el juego no es equilibrado y tiene un ganancia en la estrategia 2 para el político 1 con un valor de 5, al cual se le debe sumar 0 del pago correspondiente del político 2 o sea que el valor del juego es de 5 para el político 1 con la estrategia 2 pasar ambos días en Cali, con respecto a la pérdida del político 2 de 0, al tomar la estrategia 1 de pasar un día en cada ciudad. EJEMPLO 13: En este juego se desarrollarán las estrategias dominadas para dos jugadores de la siguiente manera; Ambos jugadores deberán elegir su estrategia

Cantidad neta de votos ganados por el POLITICO 2 (en unidades de 1000 votos)

Cantidad neta de votos ganados por el POLITICO 1 (en unidades de 1000 votos)

Estrategias Político 2

1 2 3

Político 1

1

0 -2 2

2 5 4 -3

3 2 3 4

Estrategias

Político 2

1 2 3

Político 1

1

0 -2 2

2 5 4 -3

3 2 3 4

Estrategias

Político 2 Maximax

1 2 3

Político 1

1

0 -2 2 2

2 5 4 -3 5

3 2 3 4 4

Maximin. 0 -2 -3

76


Se obtiene como valor del juego la estrategia 1 para ambos jugadores donde el jugador 1 obtiene un pago de 1 del jugador 2. Es un juego equilibrado pero no justo. EJEMPLO 13. Para la siguiente matriz de pagos, determine la estrategia optima para cada jugador eliminado sucesivamente las estrategias dominadas (indique el orden en que se eliminaron).

Estrategias

Jugador 2

1 2 3

jugador 1

1

1 2 4

2 1 0 5

3 0 1 -1

Para el jugador 1: La estrategia 3 está dominada por la estrategia 1 ya que tiene pagos más altos (1>0, 2>1, 4>-1) Independiente de lo que haga el jugador 2.

Para el jugador 2 La estrategia 3 está dominada Por la estrategia 1( 1<4 y 1<5, La estrategia 3 está dominada Por la estrategia 2 (2<4,0,<5),

Estrategias

Jugador 2

1 2 3

Jugador 1

1

1 2 4

2 1 0 5

1 2

1 1 2

2 1 0

Para el jugador 1 La estrategia 2 está dominada por la estrategia 1(1=1, 2>0)

Para el jugador 2 La estrategia 2 está dominada por la estrategia 1 (1<2)

1 2

1 1 2

1

1 1

Estrategias

Jugador 2

1 2 3

jugador 1

1

2 3 5

2 2 1 6

3 1 2 0

77


SOLUCIÓN

Para el jugador 1 la estrategia 3 es dominada por la estrategia 1.


estrategias

Jugador2

1 2

Jugador1

1 2 3

2 2 1



El ejemplo nos entrega un valor del juego de 2 donde el jugador 1 recibe un pago de 2 por parte del jugador 2; Este es un ejemplo de Juego Injusto. EJEMPLO 14. Encuentre el Maximin, Mínimax el punto silla que tiene la siguiente matriz de pagos.

Estrategias

Jugador 2

1 2 3

jugador 1

1

2 3 5

2 2 1 6

3 1 2 0

Estrategias

Jugador 2

1 2 3

jugador 1

1

2 3 5

2 2 1 6


1 2

Jugador 1 1 2 3

78


SOLUCIÓN El jugador 1 elige el valor mínimo de cada fila y el jugador 2 elige el valor máximo de cada columna:

-3 Mínimos

-4

-1

3 -1 2 Máximos

El Jugador 1 elige el valor mayor entre los valores mínimos (Maximin). El Jugador 2 elige el valor mínimo entre los valores mayores (Mínimax).

3

-4

Punto silla 3 2 minimax

maximin

El valor del juego es -1. Juego injusto.

Estrategias

Jugador 2

1 2 3

jugador 1

1

3 -3 -2

2 -4 -2 -1

3 1 -1 2

Estrategias

Jugador 2

1 2 3

jugador 1

1

3 -3 -2

2 -4 -2 -1

3 1 -1 2

Estrategias

Jugador 2

1 2 3

jugador 1

1

3 -3 -2

2 -4 -2 -1

3 1 2 -1

1

-1

1

-1

1

79


TALLER:

1. Utilice el procedimiento gráfico para determinar el Valor del Juego y la estrategia mixta óptima para cada jugador.

2. Para la siguiente matriz de pagos, determine la estrategia optima para cada jugador eliminando sucesivamente las estrategias dominadas (Indique el orden en que se eliminaron).

3. Encuentre el Punto Silla del juego que tiene la siguiente Matriz de Pagos.

4. Utilice el procedimiento gráfico para determinar el valor del juego y la estrategia mixta óptima para cada jugador según el criterio de mínimax.


1 2 3

jugador 1

1

2 3 5

2 2 1 6

Estrategias

Jugador 2

1 2 3

jugador 1

1

2 3 5

2 2 1 6

3 1 2 0

Estrategias

Jugador 2

1 2 3

jugador 1

1

2 3 5

2 2 1 6

3 1 2 0


1 2 3

jugador 1

1

2 3 5

2 2 1 6

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CAPITULO 5. DECISONES BAJO RIESGO – CADENAS DE MARKOV.

INTRODUCCION

Una cadena de Markov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediato anterior; En efecto, las cadenas de este tipo tienen memoria, "recuerdan" el último evento y esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Markov de las series de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o un dado. En los negocios, las cadenas de Markov se han utilizado para analizar los patrones de compra de los deudores morosos, para planear las necesidades de personal y para analizar el reemplazo de equipo; El análisis de Markov, llamado así en honor de un matemático ruso que desarrollo el método en 1907, permite encontrar la probabilidad de que un sistema se encuentre en un estado en particular en un momento dado. Algo más importante aún, es que permite encontrar el promedio a la larga o las probabilidades de estado estable para cada estado, con esta información se pueden predecir el comportamiento del sistema a través del tiempo. La tarea más difícil es reconocer cuándo puede aplicarse. La característica más importante que hay que buscar en la memoria de un evento a otro, las cadenas de Markov se incluyen dentro de los denominados procesos estocásticos, estos procesos estudian el comportamiento de variables aleatorias a lo largo del tiempo X(t,w), definiéndose como una colección de variables aleatorias

{X(t,w), t ∈ I}, donde X (t,w) puede representar por ejemplo los niveles de inventario al final de la semana t. El interés de los procesos estocásticos es describir el comportamiento de un sistema y su operación durante algunos periodos, se pueden clasificar atendiendo a dos aspectos: 1.- si el espacio de estados posibles de la variable aleatoria contiene valores discretos o continuos y 2.- si los valores del tiempo son discretos o continuos. Las cadenas de Markov son un proceso estocástico en el que los valores del tiempo son discretos y los estados posibles de la variable aleatoria contienen valores discretos, es decir, es una cadena estocástica de tiempo discreto. Las cadenas de Markov, se clasifican, además, dentro de los procesos estocásticos de Markov, que son aquellos en el que el estado futuro de un proceso es

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independiente de los estados pasados y solamente depende del estado presente. Por lo tanto las probabilidades de transición entre los estados para los tiempos k-1 y k solamente depende de los estados que la variable adquiere dichos tiempos. Lección 21. PROCESOS ESTOCÁSTICOS.

La teoría de los procesos estocásticos se centra en el estudio y modelización de sistemas que evolucionan a lo largo del tiempo, o del espacio, de acuerdo a unas leyes no determinísticas, esto es, de carácter aleatorio. La forma habitual de describir la evolución del sistema es mediante sucesiones o colecciones de variables aleatorias. De esta manera, se puede estudiar cómo evoluciona una V.A. a lo largo del tiempo; Por ejemplo, el número de personas que esperan ante una ventanilla de un banco en un instante t de tiempo; el precio de las acciones de una empresa a lo largo de un año; el número de parados en el las estaciones de buses a lo largo de un año. La primera idea básica es identificar un proceso estocástico con una sucesión de

v.a. {Xn, n ∈ N} donde el subíndice indica el instante de tiempo (o espacio) correspondiente; Esta idea inicial se puede generalizar fácilmente, permitiendo que los instantes de tiempo en los que se definen las v.a. sean continuos. Así, se

podrá hablar de una colección o familia de v.a. {Xt, t ∈ R}, que da una idea más exacta de lo que es un proceso estocástico. Se tiene que una v.a. X(s) es una función que va desde un espacio muestral S a

la recta real, de manera que a cada punto s ∈ S del espacio muestral se le puede asociar un número de la recta real. De este modo, la probabilidad de cada suceso de S se puede trasladar a la probabilidad de que un valor de X (v.a.) caiga en un cierto intervalo o conjunto de números reales. Si a todo esto se le añade una dimensión temporal, se obtiene un proceso estocástico. La definición formal es la siguiente:

Dado el espacio de probabilidad (Ω,a, P ) de modo que para todo t ∈ T ⊂ R fijo Xt : (Ω,a, P ) −→ (R, B)

w −→ Xt(w) ∈ R Esto es, Xt es una variable aleatoria y ∀w ∈ Ω fijo, X•(w) es una función del tiempo. Ejemplos:

Xt: número de personas que esperan un autobús en un instante t donde t ∈ [9, 10] Xt: precio de una acción de una empresa en un día t del mes (t = 1, 2, . . . , 30). Xt: número de parados en el mes t (t = 1, 2, . . . , 12).

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Para que un proceso estocástico esté completamente definido hay que determinar completamente las v.a., es decir, determinar e identificar la distribución de probabilidad asociada a cada una de ellas y, es más, la distribución conjunta de todas ellas.

Al conjunto T ⊂ R de subíndices se le denomina conjunto paramétrico y puede ser continuo o numerable. De este modo aparece una primera clasificación en procesos estocásticos de parámetro continuo o de parámetro discreto. Se denomina conjunto de estados E, al conjunto de los posibles valores que

pueden tomar las v.a. {Xt}t∈R; En general, se piensa en el subíndice t como el indicativo del tiempo y en Xt como el estado o posición del proceso estocástico en el instante t. EJEMPLO 15: Se lanza una moneda varias veces. Supóngase que cada vez que sale cara, un jugador gana 1 unidad y si sale sello pierde 1 unidad. Se puede definir un proceso estocástico que modeliza la evolución del juego. Así, si se denomina Xn al número de unidades monetarias que quedan después de n lanzamientos, el espacio muestral de Xn es Ω = {n-uplas de cara y sello} De modo que el cardinal (el número de elementos) del conjunto es #Ω = 2n Y el álgebra que se define es a = P (Ω), esto es, las partes de Ω (todos los posibles subconjuntos que se pueden formar en Ω). Consideramos a todas las posibles n-uplas equiprobables: P (w) = 1/2n. Es un proceso discreto, porque el conjunto paramétrico es T = {1, 2, 3,. . .} y el posible conjunto de estados es E = {. . ., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. . .} Podemos estudiar la trayectoria de X (w): Sea n = 6 y fijo, por ejemplo, w = (c, c, s, s, s, s) , esto es, X1(w) = 1 X2(w) = 2 X3(w) = 1 X4(w) = 0 X5(w) = −1 X6(w) = −2

83


Ahora, si fijamos t, por ejemplo en t = 3, se puede calcular la distribución de X3. El conjunto de posibles estados de X3 es: -1 0 1 1 3 2 1 0 1 0 -1 -1 -3 -2 -1 De modo que E = {−3, −1, 1, 3} y P {X3 = −3} = 1/ 23 = 1/8 P {X3 = −1} = 3* 1/23 = 3/8 P {X3 = 1} = 3* 1/23 = 3/8 P {X3 = 3} = 1/23 = 1/8 Se puede definir una nueva variable aleatoria: Y ≡ número de caras obtenidas (éxitos). Se observa, entonces, que Y Bin (3, p =1/2) Y así P {Y = 0} = P {X3 = −3} = 1/23 = 1/8 P {Y = 1} = P {X3 = −1} = 3*1/23 = 3/8 P {Y = 2} = P {X3 = 1} = 3*1/23 = 3/8 P {Y = 3} = P {X3 = 3} = 1/23 = 1/8 Luego X3 se distribuye como una Bin=(3, p = ½), aunque tomando otros valores que los estrictamente igual a 0, 1, 2, 3. Se identifica así el proceso estocástico, y se puede preguntar uno cuál es la probabilidad de que a las 10 tiradas se tengan unidades monetarias negativas, esto es que se arruine el jugador. - Un proceso estocástico de tiempo discreto es una descripción de la relación entre las variables aleatorias X0, X1,...que representan alguna característica de un sistema en puntos discretos en el tiempo.

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Por ejemplo la ruina del jugador: inicialmente tengo $2, en los tiempos 1,2,...participo en un juego en el que apuesto $1 que gano con probabilidad p y pierdo con probabilidad 1-p; Dejo de jugar cuando mi capital es $4 o he perdido todo mi capital. Si Xi es la cantidad de dinero que tengo en el tiempo i, X0, X1,... es un proceso estocástico.

Un proceso estocástico de tiempo continuo es un proceso estocástico en el que el estado del tiempo se puede examinar en cualquier momento, por ejemplo el número de personas en un supermercado a los t minutos de abrir. Lección 22. CADENAS DE MARKOV. Una Cadena de Markov es un proceso estocástico de tiempo discreto que para t=0, 1, 2,.. y en todos los estados se verifica P(Xt+1=it+1 | Xt=it, Xt-1=it-1, ..., X1=i1,X0=i0)=P(Xt+1=it+1|Xt=it)

La Hipótesis de estabilidad es la probabilidad P (Xt+1=i t+1t=i)=pij (no depende de t)

La probabilidad de transición es pij

La Matriz de probabilidades de transición es P11 p12 ... p1s P21 P22 ... P2s P=

Ps1 Ps2 … 0 Pss

Donde se debe verificar que la Σ pj =1 j=1

Las cadenas de Markov que cumplen la hipótesis de estabilidad se llaman cadenas estacionarias de Markov. La distribución inicial de probabilidad de una cadena de Markov es aquella q = [q1,...,qs] donde qi=P(X0=i) EJEMPLO 16: la ruina del jugador es una cadena de Markov estacionaria

Estados: 0, 1, 2, 3, 4

Matriz de transición 1 0 0 0 0 1-p 0 p 0 0 0 1-p 0 p 0 0 0 1-p 0 p 0 0 0 0 1

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La anterior matriz de transición se puede representar con un grafo en el que cada nodo representa un estado y cada arco la probabilidad de transición entre estados.

Grafica 12. Esquema de una matriz de transición.

PROBABILIDADES DESPUÉS DE N PASOS. Si una cadena de Markov estacionaria está en el estado i en el tiempo m, ¿cuál es la probabilidad de que n períodos después la cadena esté en el estado j?

P (Xm+n =j |Xm= i) = P(Xn= j | X0=i)=Pij(n) Donde,

Pij(n) es la probabilidad en la etapa n de una transición del estado i al estado j s

Pij (1)=Pij, Py(2)= Σ Pik PKj K=1 Pij (n) elemento ij-ésimo de Pn que es la probabilidad de estar en el estado j en el

s tiempo n = Σ qi py (n) i=1

EJEMPLO 17. El ascensor de un edificio con bajo y dos pisos realiza viajes de uno a otro piso. El piso en el que finaliza el viaje n-ésimo del ascensor sigue una cadena de Markov. Se sabe que la mitad de los viajes que parten del bajo se dirigen a cada uno de los otros dos pisos, mientras que si un viaje comienza en el primer piso, sólo el 25% de las veces finaliza en el segundo. Por último, si un trayecto comienza en el segundo piso, siempre finaliza en el bajo. Se pide: a) Calcular la matriz de probabilidades de transición de la cadena b) Dibujar el grafo asociado c) ¿Cuál es la probabilidad de que, a largo plazo, el ascensor se encuentre en cada uno de los tres pisos. SOLUCIÓN: a) Los estados de la cadena los denotaremos por {0, 1, 2} haciendo corresponder el 0 al bajo y 1 y 2 al primer y segundo piso respectivamente. Las probabilidades de transición son:

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p00 = P(Rn=0 / Rn-1=0), esto es la probabilidad de que el ascensor se encuentre en la planta baja si en la etapa anterior estaba en la planta baja. Obviamente es 0, porque se supone que de etapa a etapa el ascensor se mueve. p01 = P(Rn=1 / Rn-1=0), esto es la probabilidad de que el ascensor se encuentre en la planta primera si en la etapa anterior estaba en la planta baja. Obviamente es ½. Basta leer el enunciado. Y así sucesivamente vamos obteniendo las distintas probabilidades de transición cuya matriz es:

c)

Lección 23. CLASIFICACIÓN DE ESTADOS EN UNA CADENA DE MARKOV.

Dados dos estados i y j, la trayectoria de i a j es la sucesión de transiciones que comienza en i y termina en j, de forma que cada transición de la secuencia tenga probabilidad positiva.

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Un estado j es alcanzable desde un estado i si hay una trayectoria de i a j, por lo tanto si dos estados i y j se comunican si i es alcanzable desde j y j es alcanzable desde i. Un conjunto de estados S en una cadena de Markov es cerrado (constituyen una clase de la cadena) sin ningún estado fuera de S es alcanzable desde un estado en S.

Un estado i es absorbente si pii=1 Un estado i es transitorio si hay un estado j alcanzable desde i, pero el estado i no es alcanzable desde j.

Un estado es recurrente si no es transitorio.

Un estado i es periódico con periodo k>1 si k es el menor número tal que todas las trayectorias que parten del estado i y regresan al estado i tienen una longitud múltiplo de k. Si un estado recurrente no es periódico es aperiódico.

Si todos los estados de una cadena son recurrentes, aperiódicos y se comunican entre sí, la cadena es ergódica. PROBABILIDADES EN ESTADO ESTACIONARIO.

Si P es la matriz de transición de una cadena ergódica de S estados entonces

existe un vector =[ 1 2 ... 3 ] tal que

1 2... s

Lim Pn = 1 2... s

n ∞

1 2... s

Es decir,

Lim Pij =(n)= J n ∞

Se le llama distribución de estado estable o de equilibrio para la cadena de Markov.

- se puede determinar a partir de la ecuación: j = Σ Pkj K=1 - En forma matricial = p

- Este sistema tiene un número infinito de soluciones porque el rango de P siempre resulta ser menor o igual que s-1; También se debe verificar que,

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1 +π2 +... + s = 1

INTERPRETACIÓN INTUITIVA DE LAS PROBABILIDADES DE ESTADO ESTABLE.

j (1 –Pj j ) =Σ πκ Pk j K≠ j

La probabilidad de que una transición determinada deje el estado j es igual a la probabilidad de que una transición determinada entre al estado j.

La probabilidad de que una transición determinada deje el estado j = j (1 − p j j) La probabilidad de que una transición determinada entre al estado j= Σ πκ Pk j K≠ j En el estado estable el flujo de probabilidad hacia cada estado debe ser igual al flujo de probabilidad que sale de cada estado o sea son las probabilidades de equilibrio.

ANÁLISIS DE ESTADO TRANSITORIO

El comportamiento de una cadena de Markov antes de alcanzar el estado estable se llama comportamiento transitorio. Para su estudio se utiliza las fórmulas dadas anteriormente para Pi j(n). Lección 24. PROCESO DE DECISIÓN MARKOVIANO

Consiste en la aplicación de la programación dinámica a un proceso de decisión estocástico, en donde las probabilidades de transición entre estado están descritas por una cadena de Markov.

La estructura de recompensas del proceso está descrita por una matriz cuyos elementos individuales son el costo o el beneficio de moverse de un estado a otro. Las matrices de transición y de recompensas dependen de las alternativas de decisión. El objetivo es determinar la política óptima que maximice el ingreso esperado en un número finito o infinito de etapas. MODELO DE ETAPAS FINITAS Su objetivo es optimizar el ingreso esperado al final de un período de tamaño N, donde, Pk=[pi j k] y Rk=[ri j k] son las matrices de transición y recompensa para la alternativa k,

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fn(i) es el ingreso esperado óptimo de las etapas n, n+1,...,N si el estado del sistema al inicio de la etapa n es i. m

∫fn(i) = max , Σ Pijk [rij k ∫n+1(j) ] n = 1,2,…, n k j=1 ∫n+1(j) = 0, j = 1,2, … ,m EJEMPLO 18. Suponga que toda la industria de refresco produce dos colas: Coca Cola y Pepsi Cola. Cuando una persona ha comprado Coca Cola hay una probabilidad de 90% de que siga comprándola la vez siguiente. Si una persona compró Pepsi, hay 80% de que repita la vez siguiente. Se pide: a) Si una persona actualmente es comprador de Pepsi. ¿Cuál es la probabilidad de que compre Coca Cola pasadas dos compras a partir de hoy? b) Si en la actualidad una persona es comprador de Coca Cola. ¿Cuál es la probabilidad de que compre Coca Cola pasadas tres compras a partir de ahora? c) Supongamos que el 60% de toda la gente toma hoy Coca Cola y el 40% Pepsi. A tres compras a partir de ahora, ¿Qué fracción de los compradores estará tomando Coca Cola. d) Determinar el estado estable. SOLUCIÓN: La situación se puede modelar como una cadena de Markov con dos estados {Coca-Cola, Pepsi-Cola}= {C, P}. La matriz de transición para el orden C, P, es:

0,2 0,8 P=

0,9 0,1 a) Se pide la probabilidad de transición en dos pasos, es decir que se pide el valor en fila 2, columna 1 para la matriz P2, obteniéndose que este es: 0,2.0,9+0,8.0,2 =0,34 b) Al igual que en el apartado anterior se pide el valor de probabilidad de transición en fila 1 y columna 1 para la matriz P3.

Esto quiere decir que la solución al problema es 0,781. c) El vector de probabilidad inicial es (0.6, 0.4), por tanto la probabilidad de consumir ambos estados a partir de tres etapas es: (0.4, 0.6)*P3. Calculamos primero P2, resultando que

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Por lo tanto,

Entonces el resultado solicitado es 1/10000 *(6438 3562) = (0.6438, 0.3562); esto es que al cabo de tres compras el 64’38% comprará Coca Cola y el 35’62% comprará Pepsi Cola. d) El estado estable se determina resolviendo el sistema de ecuaciones:

Añadiendo la ecuación x+y = 1, siendo x la probabilidad de que una persona compre Coca Cola a largo plazo e y lo mismo de que compre Pepsi Cola. El sistema resultante es:

Obsérvese que las dos primeras ecuaciones son la misma por tanto quedémonos con las dos últimas, obteniendo como solución:

x = 2/3; y = 1/3. MODELOS DE ETAPAS INFINITAS Se desarrollaran varios métodos para este modelo de etapas, en el cual se buscan las políticas para que existan soluciones de estado estable. Métodos: • Enumeración exhaustiva: se evalúan todas las políticas estacionarias posibles del problema de decisión • Iteración de política: determina la política óptima de forma iterativa

ENUMERACIÓN EXHAUSTIVA

Problema de decisión con S políticas estacionarias

Pasos del método: 1.- Calcular el ingreso de una etapa esperado de la política s dado el estado i, i = 1,2,...,m: m

V1s = Σ Pij rijS

J=i

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2.- Calcular las probabilidades estacionarias de largo plazo de la matriz de transición asociada a la política s.

3.- Determinar el ingreso esperado de la política s por paso de transición: m

Es = Σ is vis

i=1 4.- La política óptima s* se determina de forma que Es* = max{Es}

Para una política específica el rendimiento total esperado en la etapa n es, m

∫n(i) = Vi + Σ Pij ∫n+1(j), i= 1,2, ... , m k j=1

η número de etapas que faltan por considerar: m

∫n(i) = Vi + Σ Pij ∫n – 1 (j), i= 1,2, ... , m j=1 El comportamiento asintótico del proceso se estudia haciendo η→∞

ITERACIÓN DE POLÍTICAS

El ingreso esperado por etapa es E=π1v1 + π2v2 +...+ πmvm

Para η grande donde ∫n(i) ηΕ +∫(i) es un término constante que representa el efecto sobre el ingreso de comenzar en el estado i.

Sustituyendo en la ecuación recursiva y simplificando m

E=V1 + Σ Pij ∫ (j) - ∫ (i), i= 1,2, ... , m J=1

Que es un sistema de m ecuaciones y m+1 incógnitas: E, f(1),...,f(m).

Para determinar el valor máximo de E se sigue un proceso iterativo que termina cuando dos políticas sucesivas son idénticas: 1.- Determinación del valor: se elige una política arbitraria s. Suponiendo fs(m)=0 se resuelven las ecuaciones:

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m

Es=Vsi +Σ Psij ∫s(j) - ∫ (i), i= 1,2, ... , m j=1

2.- Mejoramiento de política: Para cada estado i determina la política k que produce m

MAX Vi K Σ PK ij ∫ s(j ) , i= 1,2, ... , m

K j=1

Las decisiones óptimas que resultan para los estados 1,2,..., m constituyen la nueva política t. Si s y t son idénticas, t es óptima. Si no es así, se repite el proceso con s=t. EJEMPLO 19.PROBLEMA RATÓN: Un ratón cambia de habitáculo cada minuto con igual probabilidad a las salas adyacentes

Donde puede circular en las opciones planteadas en el esquema siguiente;

La matriz de probabilidades de transición es 0 1/3 1/3 1/3 1/2 0 1/2 0 P = 1/3 1/3 0 1/3 1/2 0 1/2 0

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Calculamos el espectro: | λ I – P | = 0 λ = 0 Autovalores: λ = 1 Multiplicidad 1 y único de λ = -1/3 módulo 1 λ = - 2/3 Existe distribución final.

P (λ) (I – P) = 0

Sistema de ecuaciones: 1 -1/3 -1/3 -1/3 ( PS , PH , PC ,PE ) -1/2 1 -1/2 0 = (0,0,0,0,0) -1/3 -1/3 1 -1/3 -1/2 0 -1/2 1 PS + PH + PC + PE = 1 -Salón PS = 0,3 Las Probabilidades son -Habitación PH = 0,2 -Cocina PC = 0,3 -Entrada PE = 0,2 Existe distribución límite porque: • El sistema tiene una sola clase final • Esa clase final es aperiódica PARA ACABAR CON EL RATÓN • Se pone queso envenenado en la cocina • Se abre la puerta de la entrada (S C)

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Grafica 13. Probabilidades del ratón ejemplo 19.

¿Qué probabilidad hay de que el sistema sea absorbido en cada estado final? • E, S y H son estados transitorios. • C y SC son estados recurrentes o finales. • La situación inicial del ratón determinará la situación futura. • Si inicialmente está en E es más probable que salga de casa. • Si inicialmente está en H es más probable que se quede en la cocina. Matriz de transición: Estructura de P: 1 0 0 0 0 I O 0 1 0 0 0 P = 1/3 0 0 1/3 1/3 P = R Q 0 1/3 1/3 0 1/3 0 1/3 1/3 1/3 0 Matriz identidad (tantas columnas y filas como estados finales) ( I ). Matriz 2 x 3 (tantas columnas como transitorios y tantas filas como estados finales) (O). Matriz 3 x 2 (Probabilidades de absorción en un solo salto) (R). Matriz 3 x 3 (Probabilidad de transición entre transitorios) (Q). QIJ es la probabilidad de que el sistema, encontrándose inicialmente en el estado transitorio i acabe en el estado final j. i = Entrada, Salón, Habitación (estados transitorios) (3, 4,5)

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j = Cocina, Salir de casa (estados finales) (1,2) Q31 = 1/3 + 1/3 Q41 + 1/3 Q51 Prob. De que estando en 4 pase a 1 Prob. de que se marche directamente Q41 = 1/3 Q31 + 1/3 Q51 Q51 = 1/3 Q31 + 1/3 Q41 Resolvemos el sistema: 1 -1/3 -1/3 Q31 Q32 1/3 0 -1/3 1 -1/3 - Q41 Q42 = 0 1/3 -1/3 -1/3 1 Q51 Q52 0 1/3 I - Q = R

La probabilidad de acabar en cada uno de los estados finales en función de su posición inicial. Q31 Q32 1/2 1/2 Q41 Q42 = 1/4 3/4 Q51 Q52 1/4 3/4

La suma de los términos de las filas debe ser 1.

O termina en un estado final o en el otro.

La probabilidad de los estados transitorios es cero Dependiendo de la situación inicial del ratón ¿Cuánto tiempo medio tardará en desaparecer?

Llamamos mi al número medio de transiciones hasta la absorción si el sistema se encuentra en el estado transitorio i. mE Nos encontramos inicialmente en la entrada.

Matriz de prob.

Entre

transitorios

Matriz de

absorción

en un salto

absorción

en

un solo salto

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mi = es una v.a. de tipo discreto. mi = 1, 2,3 ... El ratón se va a la 1ª SISTEMA DE ECUACIONES: mE = 1 ·1/3 + 1/3 (1 + mS ) + 1/3 (1 + mH) Pasar de la entrada al dormitorio Tiempo mS = 1 ·1/3 + 1/3 (1 + mE ) + 1/3 (1 + mH) mH = 1 ·1/3 + 1/3 (1 + mE ) + 1/3 (1 + mS) 1 -1/3 -1/3 mS 1 mS 3 -1/3 1 -1/3 mE = 1 mE = 3 -1/3 -1/3 1 mH 1 mH 3 I - Q Independientemente de la sala donde se encuentre inicialmente, el tiempo que transcurre hasta que nos deshacemos del ratón es tres. EJEMPLO 20. PROBLEMA TELEFONÍA MÓVIL Una agencia de telefonía móvil está estudiando la demanda presentada por el Ayuntamiento de una población cercana a Madrid. Esta población se ha querellado por una cobertura insuficiente del servicio de telefonía móvil. Concretamente aseguran que el tiempo que tarda una llamada en cortarse es inferior a 10 minutos cuando las personas que están hablando transitan por la calle o circulan en vehículos. Para verificar este hecho dos técnicos de telefonía se han desplazado a esta localidad y han medido los niveles de calidad en conversaciones en los que ambos interlocutores hablan manteniéndose quietos en sus sitios (estudio estático), y también han hecho mediciones cuando ambos interlocutores andan por la calle (estudio dinámico). El estudio ha consistido en evaluar cada minuto los niveles de calidad de la recepción de señal en ambos terminales móviles. En el estudio estático los niveles de calidad de recepción en cada Terminal son dos, 1 y 2, de menor a mayor calidad de recepción. En el estudio dinámico los niveles de calidad de recepción son tres, 0, 1 y 2. El nivel 0 corresponde a la pérdida de la llamada.

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Del resultado del estudio estático ha resultado que la probabilidad de que cualquiera de los terminales mantenga su nivel de cobertura en el minuto siguiente es del 80%, la probabilidad de que cada Terminal baje un nivel es de un 10% y de que suba otro 10%. Por otra parte del estudio dinámico ha resultado que la probabilidad de que la cobertura de cada Terminal se mantenga es del 70%, de que cada Terminal suba un nivel es del 20% y de que baje un 10%. EJEMPLO 21. Los consumidores de café en el área de Pontevedra usan tres marcas A, B, C. En marzo de 1995 se hizo una encuesta en lo que entrevistó a las 8450 personas que compran café y los resultados fueron:

a) Si las compras se hacen mensualmente, ¿cuál será la distribución del mercado de café en Pontevedra en el mes de junio? b) A la larga, ¿cómo se distribuirán los clientes de café? c) En junio, cual es la proporción de clientes leales a sus marcas de café? SOLUCIÓN: a) A la vista de las frecuencias anteriores, las probabilidades de transición, conservando el mismo orden que la tabla (A, B, C) es:

De marzo a Junio hay 4 etapas por lo que nos piden las probabilidades de transición al cabo de 4 meses, las que vendrán dada por los coeficientes de P4

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b) A la larga se trata de la situación estable:

Resolviendo se obtiene: x = 5/21; y = 10/21; z = 2/7.

c) En Marzo la proporción de clientes de A es: 2028/8450 = 0,24; para B es 3718/8450 = 0,44 y para C es 2704/8450 = 0,32. En el mes de junio la proporción es:

Lección 25. PROBLEMA ESTÁTICO Y DINAMICO. La variable de estado de ambos estudio de ambos estudios es el nivel de cobertura, y la cadena de Markov asociada será la siguiente:

La matriz de probabilidades de transición será:

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0,81 0,09 0,09 0,01 PEE 0,09 0,81 0,01 0,09 0,9 0,01 0,81 0.09 0,01 0,09 0,09 0,81 La calidad de la conversación se establece como semisuma de los niveles de cobertura de los terminales operativos. Sería interesante preguntarse si es posible determinar la calidad media de conversaciones. Para calcularla estudiamos la distribución límite de los estados, que existe porque hay una única clase final a periódica. Autovalores de PEE se obtienen haciendo λ. I - PEE = 0 λ = 1 λ = 0,8 (De multiplicidad 2) λ = 0,64 La distribución límite existe, porque hay un auto valor λ = 1 de multiplicidad 1 (condición necesaria), y el resto de autovalores no tienen módulo 1 (condición suficiente). La distribución límite es la asociada al auto valor λ = 1 0,19 - 0,09 - 0,09 - 0,01 0 - 0,09 - 019 - 0,01 - 0,09 0 (p1, p2, p3, P4) - 0,09 - 0,01 - 0,09 - 0,09 = 0 - 0,01 - 0,09 - 0,09 0,19 0 P1 +p2 + p3 + p4 = 1 0,19 - 0,09 - 0,09 - 0,01 P1 0 - 0,09 0,19 - 0,01 - 0,09 P2 = 0 - 0,09 - 0,01 - 0,19 - 0,09 P3 0 1 1 1 1 P4 0 (P1 P2 P3 P4) = (0,25 0,25 0,25 0,25) La calidad media de las conversaciones estáticas: q =(1+1). P1 + (1+2). P2 +(1+2). P3+(2+2). P4 q =2 * 0,25 +3 0,25 + 3 0,25 +4 *0,25 =1,5 2

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PROBLEMA DINÁMICO. Considerando variable de estado el nivel de cobertura, la cadena de Markov asociada será la siguiente:

La matriz de probabilidades de transición será: PED = I O R Q 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 PED 0,01 0,07 0,02 0,07 0,02 0,49 0,14 0,14 0,04 0 0,01 0,09 0 0 0,07 0,63 0,02 0,18 0 0 0 0,01 0,09 0,07 0,02 0,63 0,18 0 0 0 0 0 0,01 0,09 0,09 0,81

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Donde: • I Matriz identidad (tantas columnas y filas como estados finales). • O Matriz nula (tantas columnas como transitorias y tantas filas como estados finales). • R Probabilidades de absorción de un solo salto. • Q Probabilidades entre transitorios (tantas filas y columnas como estados transitorios. • 1, 2, 3, 4, 5 son estados finales. • 6, 7, 8, 9 son estados transitorios. Presenta cinco clases finales, luego, no existe una distribución límite de los estados en este estudio dinámico, luego no podemos determinar la calidad media del servicio como en el caso anterior. La calidad media del servicio será independiente del nivel de cobertura inicial de ambos interlocutores. Ahora calcularemos cuánto tarda en término medio en perderse una llamada que se realiza andando por la calle y que se inició con ambos terminales a máxima cobertura. mi Tiempo medio hasta que se corta la conversación si el estado inicial es i M6 1 I – Q . m7 1 m8 1 m9 1 0,51 - 0,14 - 0,14 - 0,04 m6 1 - 0,07 - 0,37 - 0,02 - 0,18 m7 1 - 0,07 - 0,02 - 0,37 - 0,18 m8 = 1 - 0,01 - 0,09 - 0,09 0,19 m9 1 m6 12,69 m7 = 16,47 m8 16,47 m9 21,53 Luego el ayuntamiento no tendría razón en sus afirmaciones, el tiempo que tarda en cortarse una llamada es:

21,53 minutos si el nivel inicial de cobertura de ambos interlocutores es 2 16,47 minutos si el nivel inicial de cobertura de un interlocutor es 1 y el otro es 2. 12,69 minutos si el nivel inicial de cobertura de ambos interlocutores.

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TALLER:

1. Las 20 chicas y los 10 chicos de un curso de COU organizan un viaje, para el cual necesitan dinero. Deciden pedir trabajo por las tardes en una compañía encuestadora que contrata a equipos jóvenes de dos tipos: TIPO A: Parejas: una chica y un chico TIPO B: Equipos de cuatro, formados por tres chicas y un chico Se paga a 30000 pesos. La tarde a la pareja y a 50000 pesos. La tarde al equipo de 4. ¿Cómo les conviene distribuirse para sacar la mayor cantidad posible de dinero? 2. Una fábrica de tableros de madera, pintados, produce dos tipos de tableros: Normales: Llevan una mano de imprimación y otra de pintura. Extras: Llevan una mano de imprimación y tres manos de pintura. Disponen de imprimación para 10000 m2, pintura para 20000 m2 y tableros sin pintar en cantidad ilimitada. Sus ganancias netas son: 3500 pesos. Por el m2 de tablero normal y 5000 pesos. Por m2 de tablero extra. ¿Qué cantidad de tablero de cada tipo les conviene fabricar para que las ganancias sean máximas? 3. María distribuye su tiempo de ocio entre discoteca y cine. Cada vez que va a la discoteca gasta por término medio 30.000 pesos, mientras que si va al cine su gasto es de 5000 pesos. En cierto mes su presupuesto para ocio asciende a 220.000 Pesos. Y desea ir a la discoteca al menos tantas veces como al cine.

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CAPITULO 6. DECICISONES BAJO RIESGO -PROGRAMACION META

INTRODUCCION

La mayoría de las situaciones de decisión real, sean personales o profesionales, se caracterizan por metas (atributos) y objetivos múltiples más que por un simple objetivo. Estas metas (atributos) pueden ser complementarias, pero frecuentemente son conflictivas y también inconmensurables. Por ejemplo, un productor de autos como la General Motors desearía construir un vehículo de pasajeros que pudiera venderse por menos de $200,000.00, tuviera 250 caballos y consiguiera 40 millas por galón.

Consideremos, por ejemplo, las metas (atributos) de economía de combustible y de potencia. Entre más alta sea la potencia, menor es la economía de combustible, indicando que las dos metas (atributos) están en conflicto. Además estas dos metas (atributos) son inconmensurables, pues la potencia y las millas por galón tienen diferentes escalas y dimensiones.

OBJETIVOS: 1.-Representan direcciones de mejora de los atributos. La mejora puede interpretarse en el sentido (más del atributo mejor) o bien (menos del atributo mejor). El primer caso corresponde a un proceso de maximización y el segundo a uno de minimización de las funciones que corresponden a los atributos que reflejan los valores del centro analista. 2.-Como paso previo a la definición de meta se introducirá el concepto de nivel de aspiración. Un nivel de aspiración representa un nivel aceptable de logro para el correspondiente atributo. La combinación de un nivel de aspiración con un atributo genera una meta. 3.- el término criterio se utiliza como un término general que engloba los tres conceptos precedentes (atributo, objetivo y metas). En otras palabras, los criterios constituyen los atributos, objetivos o metas que se consideran relevantes para un cierto problema decisional. Por consiguiente, la teoría de la decisión multicriterio

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constituye un marco general o paradigma decisional en el que subyacen diferentes atributos, objetivos o metas. Lección 26. CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE PROGRAMACIÓN META. La formulación de un modelo de Programación Meta es similar al modelo de P.L. El Primer paso es definir las variables de decisión, después se deben de especificar todas las metas gerenciales en orden de prioridad. Así, una característica de la Programación Meta es que proporciona solución para los problemas de decisión que tengan metas múltiples, conflictivas e inconmensurables arregladas de acuerdo a la estructura prioritaria de la administración. La Programación Meta es capaz de manejar problemas de decisión con una sola meta o con metas múltiples. En tales circunstancias, las metas establecidas por el tomador de decisiones son logradas únicamente con el sacrificio de otras metas. Atributo: Este concepto se refiere a valores del centro analista relacionados con una realidad objetiva. Estos valores pueden medirse independientemente de los deseos del centro analista, siendo usualmente susceptibles de expresarse como una función matemática f(x) de las variables de decisión. Metas y variables de desviación

Forma inicial de la meta Forma de la meta transformada

Variable de desviación no deseada (a minimizar)

Fi(X)ti Fi(x)ni p i= ti ni

Fi(x)ti Fi(x)ni pi = ti pi

Fi(x)=ti Fi(x)ni pi = ti nipi

Formulación de la función objetivo La función objetivo para un problema de programación por meta siempre es minimizar alguna combinación de variables de desviación. Desde un punto de vista de toma de decisiones administrativa, esto significa que se está buscando la combinación de variables reales por ejemplo (mesas y sillas) que cumplan mejor con todos los objetivos. Esto podría llamarse optimizar un conjunto de objetivos "satisfactorios" o satisfacer. La forma exacta de la función objetivo varía según la respuesta a estas dos preguntas: 1. ¿Son conmensurables o proporcionales los objetivos? 2. ¿Cuál es la importancia relativa de cada objetivo?

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- Objetivos conmensurables de igual importancia: este es el caso más sencillo, aunque muy pocas veces se encuentra en la práctica. Aquí los objetivos se miden en una escala común (conmensurables y tienen la misma importancia. - Ponderación preferente de los objetivos: las ponderaciones de preferencia pueden aplicarse a cualquier grupo de objetivos conmensurables. Las ponderaciones deben reflejar la utilidad o el valor de los objetivos. - Rango de prioridad de los objetivos: ¿que pasa cuando los objetivos no son conmensurables, cuando no hay una escala común para comparar las desviaciones de los diferentes objetivos? Este es un caso importante, al que se enfrentan con frecuencia los administradores. Si el administrador puede ordenar o dar un rango para sus metas entonces la solución es posible. Quizás no sea una tarea fácil dar un rango a los objetivos de acuerdo con su importancia pero es algo que la mayoría de las personas entienden y pueden lograr. En la programación por objetivos se le asigna la prioridad P1al objetivo más importante, siguiendo P2 a una prioridad más baja. No existe límite en el número de niveles de prioridad pero debe asignarse una prioridad para cada variable de desviación. Se permiten empates o prioridades iguales. Los problemas de programación por meta se resuelven en orden de prioridad. Es decir, se prueba la optimización en el nivel de prioridad más alto ignorando las prioridades más bajas hasta optimizar este nivel. EJEMPLO22. La compañía Aedis ha desarrollado recientemente tres nuevos productos haciendo uso del exceso de capacidad en sus tres plantas sucursales existentes: Cada producto puede fabricarse en cualquiera de las tres plantas. El análisis ha demostrado que sería rentable utilizar el exceso de capacidad para producir estos tres nuevos productos. En realidad, el propósito de la gerencia al desarrollar los nuevos productos era lograr la utilización completa de la capacidad productiva de exceso sobre una base rentable. Mientras que las plantas Aedis generalmente operan a capacidad plena en sus líneas de productos existentes, la producción por debajo de la capacidad normal ocurre con poca frecuencia, presentando problemas con la fuerza laboral. Aunque la compañía no necesita la fuerza laboral plena durante los períodos de holgura, el costo de los despidos sería considerable, y Aedis desearía evitar esto tanto como fuera posible. Además, la gerencia desearía balancear la utilización del exceso de capacidad entre las sucursales. Esto serviría para distribuir equitativamente la carga de trabajo del personal de supervisores asalariados y reducir los agravios de la fuerza laboral que se le paga por horas, que de otra manera se sentiría discriminada con respecto a las cargas de trabajo o a los despidos. Para el período que es está considerando, las plantas tienen las siguientes

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capacidades de producción en exceso (en términos de unidades) de nuevos productos y capacidades de embarque disponibles asignadas a los nuevos productos:

Planta capacidad de exceso de producción(unidades

Capacidad de embarque(pies cúbicos)

1 750 12000

2 300 10000

3 450 6500

Tabla 18. Atributos de la programación meta.

Los productos 1,2 y 3 requieren 30,20 y 15 pies cúbicos por unidad, respectivamente. Las contribuciones unitarias a la utilidad de los productos 1,2 y 3 son $15,18 y 12 respectivamente. Los pronósticos de ventas indican que Aedis puede esperar ventas tan altas como 900, 1000 y 700 unidades de los productos 1, 2 y 3 respectivamente, durante el periodo de planeación en consideración. Dada la situación que hemos descrito, la administración ha expresado las siguientes metas de preferencia en orden de importancia decreciente (P1=más importante): P1. Lograr una utilidad perseguida de $15000. P2. Utilizar tanto de la capacidad de exceso como sea posible. Debido al bajo costo de la mano de obra, la administración cree que es 1,5 veces más importante utilizar la capacidad de exceso de la planta 1 que la de las plantas 2 y 3. P3. Lograr un balance de la carga de trabajo en la utilización de exceso de la capacidad entre todas las plantas. Debido a ciertas demandas adicionales de los trabajadores de la planta 1, la administración cree que si ocurre algún desbalance en la carga de trabajo, es dos veces más importante que favorecer a la planta 1con menor trabajo con respecto a las plantas 2 y 3. P4. Lograr el pronóstico de ventas para el producto 2, puesto que este tiene la mayor contribución a la utilidad por unidad. P5. Producir suficiente cantidad de los productos 1 y 3 para cumplir con las ventas pronosticadas. P6. No exceder la capacidad de embarque disponible. Lección 27. FORMULACIÓN DEL MODELO Definida las metas para problema y definida el orden prioritario de cada una de ellas, se debe proceder a formular el modelo, tomando las exigencias de las

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restricciones y desviaciones, por lo cual se debe tener en cuenta el siguiente esquema: Restricciones de meta -Por cada meta Componentes en la F.O. FORMULACIÓN (minimizar suma de desviaciones con respecto a las metas) -Restricciones Estructurales (no tiene que ver con las metas)

Las suposiciones básicas que caracterizan el modelo de programación lineal se aplican igualmente al modelo de programación meta. La diferencia principal en la estructura es que la programación meta no intenta minimizar o maximizar la función objetivo como lo hace el modelo de programación lineal. En vez de ello, busca minimizar las desviaciones entre las metas deseadas y los resultados reales de acuerdo a las prioridades asignadas. El objetivo de un modelo de programación meta es expresado en términos de las desviaciones de las metas a que se apunta. Esto es las desviaciones de las metas se colocan en la función objetivo y deben minimizarse. El modelo general de la programación meta puede expresarse matemáticamente de la siguiente manera: m

min Z = Σ wi(di+ + di

-)

i=1 s.a. n

Σaijxj+di- - di

+ = bi para toda i j=1 xj,di-,di

+≥ 0 para toda j Donde: w = Ponderación de las desviaciones con respecto a la meta. di

- = Desviación déficit di

+ = Desviación excedente Los siguientes pasos se requieren para formular el modelo de programación meta. EJEMPLO23. SATISFACCIÓN DE UNA SOLA META. Una división de Schwim Manufacturing Company produce dos tipos de bicicletas: (1) una bicicleta de 3 velocidades y (2) una de 10 velocidades. La división obtiene una utilidad de $25 en la bicicleta de 10 velocidades y $15 en la bicicleta de 3

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velocidades. Debido a la fuerte demanda de estos artículos, durante el período de planeación de verano la división cree que puede vender, a los precios que prevalezcan, todas las unidades de estas dos bicicletas que produzca. Las instalaciones de producción se consideran recursos escasos. Estos recursos escasos corresponden al departamento de ensamblado y terminado. Los tiempos unitarios de procesamiento y las capacidades de cada uno de los departamentos se muestran en la tabla siguiente: Hrs. requeridas para procesar cada bicicleta

Tipo de bicicleta En el Depto. de ensamble En el depto. de terminación

Contribución a la utilidad unitaria

3 velocidades 1 1 15

10 velocidades 3 1 25

Hrs. disponibles en c/ departamento.

60 40

La división durante este período de planeación se enfrenta a cambios grandes de organización y cree que el maximizar la utilidad no es un objetivo realista. Sin embargo, desearía lograr un nivel satisfactorio de utilidad durante este período de dificultad. La dirección cree que la utilidad diaria de $600 debería satisfacerse y desea determinar, dadas las restricciones del tiempo de producción, la mezcla de producto, que debería llevar a esta tasa de contribución a utilidades. Formula un modelo de programación meta que satisfaga estos requerimientos Definición de variables: x1 = Número de bicicletas de 3 velocidades producidas por día x2 = Número de bicicletas de 10 velocidades producidas por día d1

- = Cantidad por debajo de la utilidad perseguida d1

+ = cantidad por encima de la utilidad perseguida Minimizar Z = d1

- + d1+ s.a.

x1 +3x2 ≤ 60 (horas de ensamble). Restricciones estructurales x1 + x2 ≤ 40 ( (horas de terminación) 15x1 +25x2 +d1- - d1+ = 600 (Utilidad perseguida) Restricción meta x1, x2, d1-,d1+ ≥ 0

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Nota: Puesto que tanto d1-,d1+ aparecen en la función objetivo y a ambas se les asigna pesos iguales, esto indica que la administración desea lograr la utilidad meta exactamente.

1-Exceso en las restricciones de capacidad N- desviación negativa. P- desviación positiva.

P1 =750 N1 X31 X21 X11

P2 =300 N2 X32 X22 X12

P3 =450. N3 X33 X23 X13 Donde Xij = número de unidades del producto i producidas en la planta j N1, N2, N3 =exceso de capacidad no utilizada en las plantas 1,2 y 3 respectivamente. P1, P2, P3 = cantidad mediante la cual la capacidad de exceso se excede las plantas 1,2 y 3 respectivamente. 2- Restricciones en el requisito de espacio

P4=12000 N4 15X31 20X21 30X11

P5=10000 N5 15X32 20X22 30X12

P6= 6500 N6 15X33 20X23 30X13 N4, N5, N6 =número de unidades de capacidad de embarque disponible no utilizada en las plantas 1,2 y 3, respectivamente. P4, P5, P6 = número de unidades de capacidad adicional de embarque requerida en las plantas 1,2 y 3, respectivamente. 3-Restricciones en las ventas esperadas

P7=900 N7 X13 X12 X11

P8=1000 N8 X23 X22 X21

P9= 700 N9 X33 X32 X31 N7, N8, N9 =número de unidades sublogradas de las ventas esperadas de los productos 1,2 y 3 respectivamente. P7, P8, P9 = número de unidades sobre logradas de las ventas esperadas de los productos 1,2 y 3 respectivamente. 4-Balance de carga de trabajo

300 X32 X22 750 = X12 X31 X21 X11

450 X33 X23 750 = X13 X31 X21 X11

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Este balance de ecuaciones puede escribirse como una restricción meta por medio de una simple división y por transposición del miembro derecho como sigue (por transitividad, solamente dos restricciones de balance son necesarias):

P0.0033X32 0.0033X32 0.0033X12 0.0013X31 0.0013X21 0.0013X11

P10 =0 +N10

0.00223X33 + 0.00223X23 0.0022X13 0.0013X31 0.0013X21 0.0013X11

P11=0 N11 N10, N11= número de unidades producidas demasiado bajas con relación a las producidas en las plantas 2 y 3, respectivamente. P10, P11= Número de unidades producidas en exceso relativas a las que se producen en las plantas 2 y 3, respectivamente. 5- Restricción de utilidad

P12=15000 N12 X33 X32 12(X31 X23) X22 18(X21 X13) X12 15(X11) N12 =suma en dólares por debajo de la utilidad perseguida. P12 = suma en dólares por encima de la utilidad perseguida. Si la meta de utilidad no se enuncia, se puede restringir el lado derecho de esta ecuación para que sea cero y determinar cuál sería la utilidad. Puesto que todas las variables reales (Xij) y las variables de desviación (N ó P) son no negativas, el valor de (N12, P12) sería la utilidad real. 6- Función objetivo

PR3 (P10 N11) 2PR3 (N10 N3) PR2 (N2 1,5PR2 (N1) P12)

Minimizar Z=PR1 (N12 P6) P5 PR6 (P4 N9) PR5 (N7 P11)+PR4 (N8) Puesto que la administración desea conseguir una utilidad perseguida de $15000 con la más alta prioridad, se asigna PR1 a las variables de desviación en la meta de restricción de utilidad. La segunda meta de la administración sería utilizar el exceso de capacidad de planta hasta donde fuera posible. Sin embargo, era preferible utilizar el exceso en la planta 1 sobre las plantas 2 y 3 en una relación de 1,5 a 1. Esta situación presumiblemente representa una distinción en los costos de operación de las diferentes plantas. Para reflejar las prioridades relativas de la administración, se modifica la formulación estándar

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(N3, PR2 (N2 N3)) a 1,5PR2N1 N2 de la función objetivo (que sería PR2 (N1) que pondera el logro de la minimización de la desviación 1 con un factor de 3/2 vez. El segundo nivel general de prioridades administrativas que tienen que ver con el problema de PR2. La tercera meta de la administración era lograr un balance de subutilizar la planta 1 en vez de sobre utilizarla, debido a factores adicionales desfavorables que existían allí y no se presentan en las plantas 2 y 3. Por tanto, se asigna 2PR3 a N10 y N11 y PR3 a P10 y P11. Puesto que la cuarta meta era lograr las ventas esperadas del producto 2, se asigna PR4 a N8. A N7 y N9 asignamos PR5, pues la quinta meta es el logro de estas ventas esperadas. Aquí no preocupa el sobre logro de las ventas pronosticadas, puesto que se puede, si hay espacio disponible, almacenar un inventario. Si no es posible, las restricciones en la capacidad de embarque, que tienen prioridad más alta, tendrán en cuenta esta situación. Puesto que la sexta meta de la administración es no exceder la capacidad de embarque, se asigna a P4, P5 y P6 el valor de PR6. Lección 28. Programación con recursos limitados Imagínese que se va a programar una secuencia de actividades con el propósito de ejecutar un proyecto.

Figura 9. Programación meta según PERT

Los modelos básicos tales como PERT y CPM programaran las actividades de un modo que minimice el tiempo total de conclusión del proyecto, sujeto a la restricción de que se deben respetar todas las relaciones de precedencia. Los recursos (dinero, trabajo, maquinaria) necesarios para terminar las actividades individuales, con frecuencia se considera que están disponibles en cualquier cantidad que se requiera en un programa concreto. No obstante, la realidad es que tales recursos pueden ser limitados, en cuyo caso esto resulta ser otra restricción. Como ejemplo único, estúdiese el problema de programación que se muestra en las figuras 9 y 10. La figura 9. Muestra las relaciones de precedencia que hay

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entre las diversas actividades; es decir, que actividades deben completarse antes de que otras comiencen. Por ejemplo la actividad Vlll no puede empezar sino cuando esté terminada la Vll, que a su vez no puede empezar antes de terminar la 1. La figura 10 muestra la duración de cada actividad (en semanas) y los recursos necesarios (número de personal) para realizar cada actividad.

TIEMPO REQUERIDO PERSONAL(POR SEMANA)QUE SE ACTIVIDAD PARA TERMINAR NECESITA PARA TERMINAR

l 3 6 ll 2 3 lll 1 3 lV 1 3 V 2 6 Vl 4 5 Vll 1 3 Vlll 2 4 Xl 2 3

Fig. 10. Requerimiento de actividad por metas.

Este problema es simple y, por lo tanto, se puede calcular con facilidad el tiempo de conclusión más temprana posible. Es de 9 semanas. La figura 11 nos muestra un programa de actividades propuesto que alcanza este tiempo global de conclusión, entonces la figura 11, respeta las relaciones de precedencia de la figura y al mismo tiempo muestra en qué momento debe empezar cada actividad y cuanto durara (en semanas).

Fig. 11. Programa de actividades propuesto

En este programa que se propone, cada actividad empieza a la brevedad posible. Se puede ver que l, ll y lll empiezan de inmediato (al principio de la semana 1). Las actividades lV, V, Vll y lX comienzan al principio de la semana 4. La actividad Vl, al inicio de la semana 6 y la actividad Vlll al principio de la semana 5. Consideremos ahora el personal que se necesita para implantar el programa propuesto. Se pueden combinar los datos del personal de la fig. 10, con la programación de la figura 11, para producir la grafica de trabajo del personal que se ve en la fig. 12, y solo 5 en las semanas 7,8 y 9. Puede ser ventajoso para el

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administrador tener una programación que use los recursos en una forma más regular. A menudo se aplican programas heurísticos para alcanzar tal objetivo. Para alcanzar una de dichas heurísticas, definamos la holgura de cada actividad. La holgura es la máxima cantidad de tiempo que puede demorarse una actividad

sin retrasar la conclusión del proyecto global.

Fig.12. Carta de cargas de personal para la cedula propuesta

Por ejemplo la figura 11. Indica que la holgura de la actividad Vlll es de 3 semanas, en tanto que la actividad V no tiene holgura. Ahora usando este concepto, se puede proponer la siguiente heurística:

1. Determinar los recursos requeridos máximos en la programación propuesta digamos m.

2. En cada semana, imponer una cuota superior m – 1 para el uso de recursos y de ser posible, revisar la cedula propuesta para satisfacer esta restricción. La revisión se realiza en forma sistemática de la siguiente manera: a. Comenzando con la primera semana que viole la restricción, considerar la actividad que contribuyan a la sobrecarga y mover hacia adelante, lo menos que sea posible. La que tenga mayor holgura, hasta que no se contribuya a la sobrecarga, pero sin demorar la terminación del proyecto global (lo cual significa que las actividades que carezcan de holgura no podrán ser removidas). Si hay empates, mover hacia adelante la actividad que menos contribuyan a la sobrecarga (es decir la que utilice menor cantidad de personal).

b. La heurística termina cuando no se puede disminuir la sobrecarga en curso.

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Para aplicar esta heurística, vamos a esquematizar en la figura 13. el plan propuesto. En esta, la marca de la actividad aparece debajo de cada flecha. Arriba de estas aparece la necesidad semanaria de personal. Por ejemplo, el 6 que está arriba de la actividad l significa que se necesitan seis personas para cada uno de las 3 semanas necesarias para concluir la actividad l. Por lo tanto, se puede leer, debajo de las columnas adecuadas, para tener la cantidad total de personal que se usara en una semana determinada: por ejemplo dado que en la semana 2 se interceptan las actividades l y ll, el dato que aparece en el reglón Personal total, columna de la semana 2, es 9. En forma similar la distancia que hay entre la punta de una flecha no continuada por otra, en el extremo de una serie de tareas, y al final de la semana 9, indica la holgura de dicha flecha. Entonces, la actividad lV tiene 5 semanas de holgura, mientras que la actividad Vlll tiene 3, etc., Para la actividad Vlll, que es una flecha continuada, calculamos la holgura observando que solo tiene a continuación la flecha Vlll.

Fig. 13 Primera propuesta.

Fig. 14 segunda propuesta.

Y dado que la holgura de Vlll es de 3 semanas, es será también la de la actividad Vll. Nótese también que las actividades l, V y Vll tiene 0 como holgura y que no se

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pueden mover hacia adelante sin aumentar el tiempo de conclusión de 9 semanas. En la aplicación de algoritmo precedente solo se mueven hacia adelante las actividades que tengan holgura positiva, y, por lo tanto, no se toman en cuenta las actividades l, V y Vl. Hechas estas observaciones, podemos emplear la heurística. Para el primer propósito, el máximo de recursos requeridos es 15, en el periodo 4. Por lo tanto, de acuerdo con el paso 2, imponemos una cuota superior de 14 a cada semana. Esta cota se viola solo en la semana 4. Las actividades “movibles” que contribuyen a la sobrecarga son lV, Vll y lX (puesto que no se puede tomar en cuenta a V). De ellas, la d mayor holgura es lV. Se mueve lV un periodo adelante se reduce la carga de la semana 4 en 3 unidades para un personal de 12, pero se origina una carga adicional de tres unidades en la semana 5, dando en esta un total de 16, que es la sobrecarga (es decir, se viola la cota superior de 14 impuesta). Por lo tanto, se debe mover más hacia adelante. Se ve que al mover la actividad lV dos semanas adelante, en total, (a la semana 6, como se ilustra en la fig. 13). No se viola la cota superior. Con esto se obtiene la segunda propuesta que se muestra en la fig.14. En la figura 14, la cota superior 13 se debe reducir a 12. La única sobrecarga es ocasionada por Vlll y lX en la semana 5. La actividad lX tiene la máxima holgura, por lo que debe avanzar 3 semanas para comenzar en la semana 7, como observa. Esto da la tercera propuesta que se presenta en la figura. 15. Aquí la cota superior de 12 se deberá reducir a 11. Hay violaciones en las semanas 1 y 6. De acuerdo con el algoritmo, primero se mueve lll 2 semanas adelante y después lV una semana. Continuando la heurística, obtenemos las propuestas cuarta y quinta que se muestran en las figuras 16 y 17. El algoritmo es incapaz de mejorar la quinta propuesta aun más. Para apreciar esto, nótese que solo se puede reducir la sobrecarga d la semana 5 adelantando la actividad Vlll. Sin embargo, al avanzarla, 1,2 o 3 semanas aumentaría a 12 el personal total de las semanas 7 y 8 u 8 y 9. El paso 2b de la heurística ha sido satisfecho y, por lo tanto esta programación es la solución heurística. Esta programación final ha uniformado en forma considerable el aprovechamiento del personal, a partir del que se presenta en la figura 4, ya que el máximo es ahora 10 (en el periodo 5) y el mínimo es 8.

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Figura 15. Tercera propuesta

Figura 16. Cuarta propuesta

Figura 17. Quinta propuesta

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Figura 18. Cédula mínima óptima.

Con este problema se podría definir la solución óptima como la cédula que minimiza el uso máximo del personal. Para la cédula originada mediante heurística, el uso máximo es de 10, lo que ocurre en la semana 5. Aunque el algoritmo heurístico no condujo a la optimización, funciona bastante bien. En los problemas extensos (es decir, con muchas actividades) no sería posible llegar con tal facilidad a la cédula óptima maximax. Es por esta razón que se emplea la heurística para los requerimientos de regularización. Lección 29. Objetivos múltiples Es cuando por lo general en un problema específico se tiene más de un objetivo por conseguir, como siempre nos sucede en la vida diaria, estos se pueden definir como objetivos múltiples o programación por metas. Se han desarrollado varios enfoques para este tipo de problemas como son: el uso de la teoría de utilidad con multiatributos, l investigación de soluciones óptimas de pareto mediante programación lineal, los métodos de investigación heurística. La programación de metas se amplía en general a problemas lineales; es una extensión de la programación lineal que permite al planificador acercarse todo lo posible a la satisfacción de las metas y restricciones diversas. Permite a quien toma las decisiones, al menos en l sentido heurístico, incorporar su sistema de preferencia al trabajar con metas múltiples en conflicto. La idea principal no es la solución primordialmente óptima sino soluciones bastante buenas y cercanas. EJEMPLO 24: El diseño de un modelo educativo cuyas variables de decisión son X1 y X2, donde X1 es el número de horas de trabajo en clase y X2 el de horas de trabajo de laboratorio. Supóngase que se tiene la siguiente restricción total de horas del programa:

X1 + X2 100 (total de horas del programa)

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En este método hay dos clases de restricciones: restricciones del sistema (llamadas restricciones fuertes) que no pueden ser violadas, restricciones de meta (llamadas restricciones suaves) que se pueden violar cuando sea necesario. La limitante anterior del total de horas del programa es un ejemplo de restricción del sistema. Se supone ahora que según el diseño del programa, cada hora de clase abarca 12 minutos de experiencias en grupos pequeños y 19 de resolución de problemas individuales, en tanto que cada hora de laboratorio abarca 29 minutos de experiencia de pequeños grupos y 11 de resolución de problemas individuales. El tiempo total del programa es de 600 minutos. Los diseñadores tienen que perseguir dos metas. Los estudiantes deben gastar hasta donde sea posible, un cuarto del tiempo máximo del programa trabajando en pequeños grupos y un tercio en la resolución de problemas. Estas condiciones son:

12X1 + 29X2 1500 experiencias en pequeños grupos.

19 X1 + 11 X2 200 resolución de problemas individuales.

Significa tan próximo como pueda al segundo miembro de la restricción. Un análisis geométrico permite observar que no existe una política que satisfaga las restricciones, por lo cual se debe violar al menos una de las metas. Para implantar el enfoque de la programación por metas, la condición de experiencias de grupo se escribe de nuevo la restricción meta:

12X1 + 29X2 + u1 - v1 = 1500 u1, v1 ≥0

Donde u1= cantidad que falta al total de experiencias de grupo para 1500. v1= cantidad que sobra al total de experiencias de grupo para 1500 Las variables u1 y v1 se llaman variables de desviación, nótese que, por definición, queremos que u1 y v1 (o ambos) sean cero porque es imposible que al mismo tiempo sobre y falte tiempo de 1500. Esto basta con hacer la suma de estas variables muy pequeña. En forma similar, se escribe como condición de meta la relativa a resolución de problemas:

19 X1 + 11X2 + u2 – v2 = 2000 u2, v2 ≥ 0

Y en este caso queremos que la suma de las dos variables de desviación sea pequeña. El modelo es: Min u1 + v1 +u2 +v2

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s.a.

x1 + x2 100 horas del programa 12 x1 + 29 x2 + u1 – v1 = 1500 grupos pequeños 19 x1 + 29 x2 + u2 - v2 = 2000 solución problemas x1,x2,u1, u2,v1,v2 ≥ 0 El anterior se puede resolver por métodos de programación lineal. Por lo cual es indiferente la decisión que se tome entre las siguientes: (1) una decisión que exceda en 5 minutos la meta de experiencia y aciete a la meta de solución con exactitud, (2) una decisión que acierte a la meta de experiencias con exactitud y le falten 5 minutos para la solución de problemas, (3) una decisión en la que le faltan 2.5 minutos a cada meta. (1) u1=0, v1=5, u2=0, v2=0 (2) u1=0, v1=0, u2=5, v2=0 (3) u1=2.5, v1=0, u2=2.5, v2=0 Estos datos producen el mismo valor de función objetivo. Pero si se cambian los datos numéricos se logran reflexiones diferentes ya que con los coeficientes en horas los tiempos faltantes son más críticos. Una forma de expresar la preferencia entre las diversas metas consiste en asignar distintos coeficientes a las diversas variables de desviación en la función objetivo. Para el ejemplo así: Min 2u1 + 10 v1 + u2 + 20 v2 como función objetivo. Con esta función objetivo es mejor que falta 9 minutos en la meta solución de problemas a exceder en un minuto en la meta de experiencias de grupo. Resumen del uso de las restricciones metas: Estas restricciones se escriben utilizando variables de desviación no negativas u1 y v1 o bien s1+ y s1- , en la optimización al menos un par deben ser cero. U1, s1+

representan deficiencias y v1, s1- representan exceso. Solo aparecen estas variables de desviación en la función objetivo y debe ser minimización. Las variables de decisión no aparecen en el objetivo. Los tipos de metas son: 1.- Blanco: las restricciones tan próximas al termino independientes como sea posible, se minimiza las variables de decisión y al menos una de estas es cero.

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2.- Minimizar las deficiencias: el objetivo es minimizar la deficiencia u1 o s1+, v1 es variable de exceso. Si la u1 optima es positiva, la restricción será activa, entonces v1 debe ser igual a cero. 3.- Minimizar excedentes: se minimiza v1, el excedente en el objetivo, u1 como variable de holgura. Si la v1 óptima es positiva, eta restricción será activa. 4.- Restricción del intervalo de metas: la meta consiste en aproximarse todo lo posible a satisfacer el rango de las restricciones. Si minimiza u1 + v1. Estas variables son solo de exceso y holgura (no de desviación) y cero en la optimización. Lección 30. Aplicaciones. Una de las aplicaciones son las evaluaciones de desempeño: El problema de agregación de forma general. Sea X = {x1,K,xn} el conjunto de individuos o empleados a evaluar. Supondremos que los individuos son evaluados por tres colectivos distintos: • El de sus superiores, A= { a1,… ,ar } • El de los compañeros y colaboradores, B={b1,…,br} • Y el de los clientes, C={ c1,….,cr} Existen modelos de evaluación del desempeño que incluyen la opinión que el propio empleado tiene sobre sí mismo. En este trabajo no se tendrán en cuenta tales valoraciones, ya que debido a la metodología de agregación planteada (valoraciones de consenso), en donde no se ponderan las valoraciones de los colectivos, su inclusión podría perturbar el análisis. Consideraremos que existen diferentes criterios sobre los que el trabajador debe ser examinado 1 ,..., p Y Y. Los evaluadores emiten su opinión sobre cada empleado a través de valores numéricos dentro del intervalo unidad: • ik [0,1] j a es la opinión del evaluador i a, A sobre el individuo j x , respecto al criterio k Y . • ik [0,1] j b es la opinión del evaluador ib, B sobre el individuo j x , respecto al criterio k Y . • ik [0,1] j c es la opinión del evaluador ic, C sobre el individuo j x , respecto al criterio k Y . Una vez emitidas las opiniones individuales, el proceso de agregación se realizará atendiendo a los siguientes pasos:

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1. En primer lugar se obtendrá una evaluación colectiva para cada empleado, por colectivo y criterio: k( ) k( 1k ,..., rk ) A j Aij v x =u a Ka , k( ) k( 1 k, , s k) B j B ij v x =u b Kb , k( ) k( 1 k, , t k) C j C ij v x =u c Kc. 2. En el segundo paso agregaremos las evaluaciones colectivas obtenidas anteriormente, determinando una valoración colectiva para cada empleado y para cada criterio: k( ) k( k( ), k( ), k( )). j A j B j C j v x =u v x v x v x 3. Finalmente, agregaremos las valoraciones colectivas para cada criterio y empleado, obteniendo una valoración global para cada trabajador: ( ) ( 1( ), , p ( )) j j j v x =u v x K v x . Las expresiones funcionales anteriores, dadas a través de kA u , kB u , kC u , uk y u, no tendrán una expresión analítica, como ocurre habitualmente cuando se establecen a priori operadores de agregación para generar valoraciones colectivas a partir de valoraciones individuales. En nuestro caso, la agregación será determinada mediante la resolución de diferentes problemas de programación por metas. METODOLOGÍA DEL PROCESO DE AGREGACIÓN El proceso de agregación planteado anteriormente puede ser realizado con diferentes metodologías. Algunos procedimientos basados en operadores de agregación pueden verse en Fodor y Roubens (1994) y Calvo, Kolesárova, Komorníková y Mesiar (2002). En este trabajo proponemos agregar la información facilitada dentro de un marco analítico basado en distancias y utilizando técnicas de la programación por metas. La idea fundamental consiste en calcular para un conjunto de m valoraciones 1k,..., mk j j y y sobre un individuo j x para el criterio k Y , un valor de consenso *k j y . Este valor de consenso cardinal constituye un valor desconocido en nuestro problema de agregación, que puede ser obtenido mediante la formulación de un problema basado en métricas

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El problema anterior trata de minimizar el desacuerdo existente entre el valor de consenso deseado y cada una de las valoraciones emitidas. Obviamente, para cada valor de p la métrica asociada puede generar una solución distinta. La resolución del problema planteado no es fácil, ya que la función no es lineal ni diferenciable. Para evitar algunos de estos inconvenientes, el problema anterior puede transformarse en el siguiente problema de programación por metas. En los diseños de operación de los sistemas de transporte masivo, en desarrollos agrarios de semillas y crías. También en todo tipo de aplicaciones donde haya variación de metas para lograr los resultados esperados.

TALLER:

1. La compañía de distribución Alpha suministra un solo producto a tres clientes en diversos sitios desde b4odegas diferentes. Durante el período de planeación considerado, la compañía no puede cumplir la demanda de los clientes. Sin embargo, la compañía ha determinado que las demandas de ciertos clientes deben satisfacerse a expensas de otros. Para evitar desequilibrios serios, es importante balancear la porción de demanda satisfecha entre ciertos clientes. También debido a acuerdos sindicales, la compañía debe satisfacer ciertos requisitos mínimos en los niveles de embarque en ciertas rutas. Finalmente, varias de las rutas sobre las cuales se podría embarcar el producto son peligrosas y deben evitarse.

A continuación se resume el problema de transporte y los costos de embarque se dan en cada una de las celdas y los valores de demanda en los márgenes. Nota que la demanda total excede al suministro total en 1,500 unidades.

Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 suministros

Bodega 1 10 4 12 3000

Bodega 2 8 10 3 4000

Bodega 3 2000 1500 5000

La administración tiene las siguientes preferencias en las metas (en orden decreciente de importancia): 1. Satisfacer la demanda total del cliente 3 ( entrega garantizada). 2. Satisfacer por lo menos el 75% de la demanda de cada cliente. 3. Minimizar el costo de transporte para los artículos embarcados. 4. Embarcar por lo menos 1000 unidades en la ruta de la Bodega 2 al Cliente 1 (convenio sindical).

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5. Minimizar el costo de embarque en las rutas de la bodega 1 al cliente 3 y de la bodega 2 al cliente 2 (peligros). 6. Balancear el porcentaje de demanda satisfecha entre los clientes 1 y 2. Plantear el modelo de programación meta. 2.- La compañía Bevco ha desarrollado recientemente tres nuevos productos haciendo uso del exceso de capacidad en sus tres plantas sucursales existentes. Cada producto puede fabricarse en cualquiera de las tres plantas. El análisis ha mostrado que sería rentable utilizar el exceso de capacidad para producir estos nuevos productos. En realidad, el propósito principal de la gerencia al desarrollar los nuevos productos era lograr la utilización completa de la capacidad productiva de exceso sobre una base rentable. Mientras que las plantas Bevco generalmente operan a capacidad plena en sus líneas de productos existentes, la producción por debajo de la capacidad normal ocurre con poca frecuencia, presentando problemas con la fuerza laboral. Aunque la compañía no necesita la fuerza laboral plena durante los períodos de holgura, el costo de los despidos sería considerable, y Bevco desearía evitar esto tanto como fuera posible. Además, la gerencia desearía balancear la utilización del exceso de capacidad entre las plantas sucursales. esto serviría para distribuir equitativamente la carga de trabajo del personal de supervisores asalariados y reducir los agravios de la fuerza laboral que se le paga por horas, que de otra manera se sentiría discriminada con respecto a las cargas de trabajo o a los despidos. Para el período que se está considerando, las plantas tienen las siguientes capacidades de producción en exceso (en términos de unidades) de nuevos productos y capacidades de embarque disponibles asignadas a los nuevos productos: Los productos 1, 2 y 3 requieren 30,20 y 15 pies cúbicos por unidad, respectivamente. Las contribuciones unitarias a la utilidad de los productos 1,2 y 3 son $15 $18 y $12 respectivamente. Los pronósticos de ventas indican que Bevco puede esperar ventas tan altas como 900, 1,000 y 700 unidades de los productos 1, 2 y 3 respectivamente, durante el período de planeación en consideración. Dada esta situación, la administración ha expresado las siguientes metas de preferencia en orden de importancia decreciente.

Planta Capacidad de exceso de producción (unidades)

Capacidad de embarque(pies cúbicos)

1 750 12,000

2 300 10,000

3 450 6,500

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1. Lograr una utilidad perseguida de $15,000 2. Utilizar tanto, como sea posible, la capacidad de exceso. Debido al bajo costo de la mano de obra, la administración cree que es 1.5 veces más importante utilizar la capacidad de exceso de la planta 1 que la de las plantas 2 y 3. 3. Lograr un balance de la carga de trabajo en la utilización de exceso de capacidad entre todas las plantas. debido a ciertas demandas adicionales de los trabajadores de la planta 1, la administración cree que si ocurre algún desbalance en la carga de trabajo, es dos veces más importante favorecer a la planta 1 con menor trabajo con respecto a las plantas 2 y 3. 4. Lograr el pronóstico de ventas para el producto 2, puesto que éste tiene la mayor contribución a la utilidad por unidad. 5. Producir suficiente cantidad de los productos 1 y 3 para cumplir con las ventas pronosticadas. 6. No exceder la capacidad de embarque disponible. Plantear el modelo de programación meta.

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CAPITULO 7. DECISONES BAJO RIESGO – SIMULACIÓN

INTRODUCCION: En la descripción de un sistema por medio de un modelo, algunas veces se encuentra que este es demasiado complicado para describirlo o que el modelo, una vez obtenido, no permite una solución analítica. La simulación es un procedimiento cuantitativo que describe un proceso al desarrollar un modelo de éste y después conducir una serie de experimentos, de tanteos organizados para predecir el comportamiento del proceso con el tiempo. La simulación proporciona una manera de experimentar con las políticas o sistemas propuestos sin tener que hacer cambios en el sistema real. Es también una herramienta que brinda sólo estimaciones estadísticas, no resultados exactos y compara alternativas más que generar una solución óptima. Puede usarse en aquellos problemas en que las técnicas analíticas son inadecuadas. OBJETIVOS 1.- Definir las técnicas básicas utilizadas en un análisis de simulación. 2.- Aplicar el análisis de simulación a problemas de colas e inventarios. 3.- Utilizar una tabla de números aleatorios para generar observaciones en las variables aleatorias.

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Lección 31. DEFINICIONES Algunos conceptos sobre lo que es simulación, son los siguientes: 1- Es el uso de un modelo de sistema que tiene la característica deseada de la realidad, a fin de reproducir la esencia de las operaciones reales. 2 - Es la representación de un proceso o fenómeno mediante otro más simple, que permite analizar sus características; Pero la simulación no es solo eso también es algo muy cotidiano, hoy en día, puede ser desde la simulación de un examen, que le hace la maestra a su alumno para un examen de Estado, la producción de textiles, alimentos, juguetes, construcción de infraestructuras por medio de maquetas, hasta el entrenamiento virtual de los pilotos de combate. 3 - Es una representación de la realidad mediante el empleo de un modelo u otro mecanismo que reaccionará del mismo modo que la realidad bajo una serie de condiciones dadas. 4- Es el proceso de desarrollar un modelo de un problema y estimar una medida de su comportamiento, llevando a cabo experimentos muéstrales sobre el modelo. PASOS EN EL PROCESO DE SIMULACIÓN Todas las simulaciones requieren una gran cantidad de planeación y organización; sin embargo, podemos definir algunos pasos básicos. 1- Definir el problema o sistema que intenta simular. 2- La recopilación de datos que describen las variables de entrada, y la decisión de los componentes del sistema. 3- Construir el modelo de simulación y definir el diseño experimental que utilizará para aplicar el método. 4- Asegurar que las entradas al modelo de simulación sean adecuadas y que modelo responda a esas entradas de manera similar al problema real. 5- Identificar y recolectar datos necesarios para probar el modelo. 6 - Correr la simulación. 7- Analizar los resultados de la simulación y, si se desea, cambiar la solución que se está evaluando. 8- Volver a correr la simulación para probar la nueva solución.

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9- Validar la simulación, esto es, aumentar las probabilidades de que cualquier variable. 10- Conclusión que saquen sobre la situación real de correr la simulación, será válida. Lección 32. TIPOS DE SIMULACION

- Un sistema discreto es aquel en el cual las variables de estado cambian solo en puntos discretos o contables en el tiempo. Un ejemplo típico de simulación discreta ocurre en las colas donde estamos interesados en la estimación de medidas como el tiempo de espera promedio o la longitud de la línea de espera. Tales medidas solo cambian cuando un cliente entra o sale del sistema; en todos los demás momentos, no ocurre nada en el sistema desde el punto de vista de la inferencia estadística. • Un sistema continuo es aquel en el cual las variables de estado cambian en forma continua a través del tiempo. Un ejemplo típico de simulación continua es el estudio de la dinámica de la población mundial; los modelos de simulación continua normalmente se representan en términos de ecuaciones diferenciales en diferencias que describen las interacciones entre los diferentes elementos del sistema. • Un modelo estático de simulación es una representación de un sistema en determinado punto en el tiempo. • Una simulación dinámica es una representación de cómo evoluciona un sistema a través del tiempo. Podríamos intentar dar algunas acepciones acerca del modelado en simulación: 1.- Desarrollo de un modelo matemático-lógico de un sistema y la manipulación experimental de él en una computadora. 2.- Implica la observación del comportamiento dinámico del modelo en el tiempo. 3.- Dependiendo de la naturaleza de los datos de entrada, los resultados pueden ser determinísticos o estocásticos. 4.- Un medio para ganar experiencia artificial mediante el uso de un modelo que da apariencia o efecto de realidad. 5.- Un medio para evaluar alternativas de acción y determinar cual hecho probablemente será el más efectivo en la situación real.

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6.- Se usa para problemas que son demasiado complejos para ser resueltos mediante técnicas analíticas y/o matemáticas. EJEMPLO 25. SIMULACION DISCRETA FILAS DE ESPERA Se presentan situaciones en las cuales los requisitos de mano de obra no solamente están afectados por el tiempo necesario para terminar una actividad sino también por el patrón de demanda de los servicios de hombre. Para ilustrar esto, consideremos el caso de un encargado del puesto de herramientas. Los operarios de máquina llegarán al puesto para obtener los accesorios de máquina que necesitan. En el caso más sencillo, el tiempo necesario para atender a un operario y los momentos en los cuales llegan los operarios serán constantes. Bajo estas circunstancias, la determinación de los requisitos de mano de obra para el puesto de herramientas no presenta ninguna dificultad. Por ejemplo, si el tiempo de atención es de 10 minutos por el operario de máquina y llega un operario de máquina cada 10 minutos, es evidente que debe asignarse un encargado al puesto. Si se hace esto, los acontecimientos que se presentan durante un período típico de una hora pueden describirse como sigue: Tiempo de llegada del operario 1:00 1:00 1:10 0: 00 Tiempo en que comienza el servicio 1:10 1:10 1:20 0: 00 Tiempo en que termina el servicio 1:20 1:20 1:30 0: 00 Tiempo ocioso del encargado (minutos) 1:30 1:30 1:40 0: 00 Tiempo de espera del operario (minutos) 1:40 1:40 1:50 0: 00 Operarios que esperan para que se les atienda 1:50 1:50 2:00 0: 00 Como puede verse, ni el encargado ni los operarios pierden tiempo y no se forma línea de espera o cola o fila. En consecuencia, no habría necesidad de asignar sino un encargado al puesto de herramientas. Sin embargo, la situación real es generalmente más compleja. Por ejemplo, es más probable que solamente el tiempo de servicio promedio sea de 10 minutos y que un operario llegue cada 10 minutos en promedio. Como esto lo sugiere, un solo tiempo de servicio y un solo

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intervalo entre los eventos de llegada puede ser más o menos de 10 minutos. En un caso como este, pueden presentarse demoras de servicio y formarse una fila de espera. Para demostrar esto, consideremos otro período de tiempo hipotético durante el cual los tiempos promedio de servicio y de llegada son de 10 minutos, pero los valores individuales varían. Específicamente, supondremos que los tiempos de llegada y servicio son los indicados en las dos primeras columnas de la tabla que sigue. Dados esto datos y suponiendo que estará presente un encargado, podemos construir el patrón de acontecimientos que se describe en el resto de la tabla. Tiempo de llegada del operario 1:00 12 1:00 1:12 0: 00 Tiempo de servicio Necesario (minutos) 1:08 8 1:12 1:20 0:41 Tiempo en que comienza el servicio 1:18 10 1:20 1:30 0: 21 Tiempo en que termina el servicio 1:30 6 1:30 1:36 0: 00 Tiempo ocioso del encargado (minutos) 1:45 14 1:45 1:59 0: 00 Tiempo de espera del operario (minutos) 1:50 10 1:59 2:09 0: 91 Operarios que esperan para que se les atienda; Un examen de los resultados revela que, durante el período de 69 minutos del estudio, el encargado estuvo ocioso 9 minutos y los operarios estuvieron esperando 15 minutos, a pesar del hecho de que el tiempo de servicio promedio fue de 10 minutos y de que en promedio llegó un operario cada 10 minutos. Además, debido al tiempo que tuvieron que esperar los operarios, se formó una cola. Si suponemos, para fines de discusión, que el período de estudio fue lo suficientemente largo como para reflejar las condiciones que han de prevalecer en general, puede calcularse el costo que debe asociarse con los tiempos de ocio y espera. Por ejemplo, la firma puede concluir que el costo del tiempo ocioso del encargado es de $1200 por hora y el del tiempo de espera de los operarios es de $1500 por hora. Estos costos incluirán elementos tales como la tasa de salario, las prestaciones y el tiempo muerto del equipo. Por consiguiente, el costo para el periodo de 69 minutos sería de costo =

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9 * ($1200/60) + 15 * ($1500/60) = $555

Si el día de trabajo contiene 480 minutos, el costo diario promedio sería de costo por día = $555 * (480/69) = $3861. Ahora se debe considerar si éste representa el mínimo costo posible. Para reducir la longitud de la cola y por consiguiente, el tiempo de espera de los operarios, la firma puede asignar un encargado más al puesto de herramientas. Además, esta reducción sería neutralizada hasta cierto grado por un aumento en el tiempo ocioso de los encargados. Sin embargo, puede ser que el costo total resultante sea inferior al que resulta con un encargado. Debe determinarse si este es el caso, tomando los tiempos necesarios de llegada y servicio indicados en la tabla anterior, determinando los tiempos ociosos y de espera que se presentarán con dos encargados para atender a los operarios y calculando el costo resultante. Esto se repetirá para alternativas que exijan tres o más encargados hasta que se encuentre la alternativa que produzca el costo mínimo. METODOS DE ANALISIS La anterior ilustración sirve para indicar la naturaleza de los problemas llamados de fila de espera o cola. En general, la firma encuentra que, al aumentar la capacidad de servicio disponible y, por consiguiente, el costo de servicio, puede reducir la longitud de la fila de espera y, por consiguiente, el costo de espera. Para alguna combinación de capacidad de servicio y fila de espera correspondiente, el costo será un mínimo y la labor es determinar dicha combinación. La labor es difícil, porque con mucha frecuencia variarán los tiempos de servicio y de llegada. Por consiguiente, se necesita determinar los diferentes valores que pueden asumir estos tiempos en un problema dado y estimar la probabilidad de que se presente cada uno. Se han desarrollado enfoques cuantitativos para la solución de los problemas de fila de espera en los cuales se hace alguna suposición con respecto a la naturaleza de la distribución de los tiempos de servicio y llegada. Por ejemplo, una suposición común es la de que es aplicable la distribución de Poisson. Pero la teoría en la que se basan estos métodos es bastante compleja y no hay razón para creer que las distribuciones consideradas difieran muy frecuentemente de las reales. Por estas razones, no consideraremos estos métodos analíticos. Otro enfoque es la simulación Monte Carlo. Ese método exige estimar, con base en la experiencia pasada, si es posible, las probabilidades de que se presenten los diversos tiempos posibles de servicio y llegada. Luego, en la forma descrita en nuestra discusión anterior de la simulación, puede originarse una serie de tiempos de llegada y tiempos de servicio correspondientes. Los tiempos de ocio y espera resultantes, y su costo, pueden calcularse para capacidades de servicio alternativas y puede escogerse la capacidad más económica. Sin embargo,

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siempre debe tenerse cuidado de generar una serie bastante larga como para obtener una indicación exacta de los efectos a largo plazo de una política determinada. EJEMPLO 26. SIMULACION CONTINUA DINAMICA DE SISTEMAS La Dinámica de Sistemas se encarga de estudiar la presencia de algunas características de interés en los sistemas sociales que luego de su interpretación nos van a servir para planificar el modelo más adecuado de acuerdo a sus propiedades. A continuación vamos a presentar un problema de poblaciones (nacimientos, muertes), emigración, inmigración, demanda y construcción de viviendas. Ecuaciones POB K = POB J + DT ( NAC JK – MUE JK + MIG JK ) D VIV K = FAM K – VIVC K NAC KL = POB K * T1 FAM K = POB K / T6 MIG JK = INM JK – EMI JK MIG JK = (POB K – POB J ) / DT MIG JK = (POB (t + DT) – POB (t)) / DT A continuación se puede correr este programa en un paquete de Simulación especializado en Dinámica de Sistemas, como puede ser Urban Dynamics o Powersim. GENERACION DE VARIABLES ALEATORIAS Luego de introducir al sistema los datos, es necesario transformarlos en información, la cual puede ser determinística y/o probabilística. La determinística ingresa directamente al sistema con su valor respectivo. Para la probabilística se requiere generar modelos que emulen el comportamiento de la variable correspondiente. Los números pseudoaleatorios son la base para realizar simulaciones donde hay variables estocásticas, porque estos números generan eventos probabilísticos; inicialmente se parte de la generación de números pseudoaleatorios uniformes entre cero (0) y uno (1). Los métodos más empleados para la generación de variables aleatorias son: Método de la transformada inversa: Consiste en emplear la distribución acumulada F(x) de la distribución de probabilidad a simular por medio de integración; como el rango de F(x) se encuentra en el intervalo de cero (0) a

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uno(1), se debe generar un número aleatorio ri para luego determinar el valor de la variable aleatoria cuya distribución acumulada es igual a ri. El problema de este método radica en el hecho que algunas veces se dificulta demasiado la consecución de la transformada inversa. Método de convolución: Permite generar una distribución a partir de la suma de distribuciones más elementales o mediante la transformada z. Método de aceptación y rechazo: Cuando f(x) es una función acotada y x tiene un rango finito, como a x b, se utiliza este método para encontrar los valores de las variables aleatorias. El método consiste en normalizar el rango de f mediante un factor de escala c, luego definir a x como una función lineal de r, después se generan parejas de números aleatorios r1, r2 y por último si el número encontrado se elige al azar dentro del rango (a, b) y r b, se utiliza este método para encontrar los valores de las variables aleatorias. El método consiste en normalizar el rango de f mediante un factor de escala c, luego definir a x como una función lineal de r, después se generan parejas de números aleatorios r1, r2 y por último si el número encontrado se elige al azar dentro del rango (a, b) y r cf (x) se acepta, en caso contrario se rechaza. El problema de este método es la cantidad de intentos que se realizan antes de encontrar una pareja exitosa. Método de composición: Con este método la distribución de probabilidad f(x) se expresa como una mezcla o composición de varias distribuciones de probabilidad fi(x) seleccionadas adecuadamente. Procedimientos especiales: Existen algunas distribuciones estadísticas de probabilidad en las cuales es posible emplear sus propiedades para obtener expresiones matemáticas para la generación de variables aleatorias en forma eficiente. En varios casos se aplica el Teorema Central del Límite y en otros se utiliza el método directo para encontrar las variables aleatorio GENERACION DE NUMEROS PSEUDO ALEATORIOS Existen varios métodos para la generación de números pseudoaleatorios entre cero (0) y uno (1); la importancia del método a emplear estriba en el hecho que los números generados deben cumplir ciertas condiciones para poder validarlos: • Uniformemente distribuidos: Los números aleatorios son los valores de las variables estadísticas que pertenecen a la distribución uniforme; tienen las siguientes características: Si (i =1, 2, 3...) son números aleatorios, entonces su función f satisface la relación para todos los valores: Es decir, la función f ( ) en un punto expresa la posibilidad de que algunos números aleatorios se encuentren en el intervalo [0, x]. Los números

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pseudoaleatorios, son teóricamente variables continuas con densidad f y una distribución acumulada F. • Estadísticamente independientes: Las variables son independientes si su función G se puede representar y si todos los números aleatorios tienen la misma distribución, entonces la relación toma la forma: • Su media debe ser estadísticamente igual a 1/2 • Su varianza debe ser estadísticamente igual a 1/12 • Su período o ciclo de vida debe ser largo: Existen varios procedimientos de generación de números pseudoaleatorios; para la simulación por computador son importantes los números pseudoaleatorios cuyos generadores se basan en los procedimientos algebraicos. Este es el procedimiento iterativo donde los números pseudoaleatorios se obtienen del número anterior o de varios anteriores (proceso de recursión). METODO DE GENERACION DE PSEUDONUMEROS Uno de los métodos más utilizados para generar números pseudoaleatorios empieza con un valor inicial no, llamado semilla y a continuación por recursión los valores sucesivos ni, i,…, 1,..n. Los métodos más empleados para la generación de los números pseudoaleatorios son los siguientes: CONTRASTES EMPIRICOS La aproximación a los generadores de números aleatorios exige contrastar ciertas propiedades estadísticas de sus salidas. Algunos de los contrastes son genéricos y pueden utilizarse en la evaluación de generadores de variables aleatorias. Mencionemos que muchos de estos contrastes se encuentran implementados en los paquetes estadísticos comerciales más importantes. Además. Algunos generadores disponen de una teoría analítica que conduce a contrastes teóricos específicos. Contraste El contraste es de bondad de ajuste. Es poco potente, por lo que permite justificar el rechazo de una hipótesis, pero proporciona escaso soporte a su aceptación. El estadístico del contraste es aquel cuya distribución asintótica es una donde r son los parámetros estimados y la aproximación se acepta si min ei > 5. Contraste de Kolmogorov – Smirnov Consideramos el caso en que Fo es continua. La función de distribución empírica

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de una muestra X1, X2,..., Xn se define como Bajo la hipótesis nula Ho: Fx(X) =Fo(X) esperamos que Fn se aproxime a Fo. Definimos el estadístico bilateral de Kolmogorov-Smirnov como la distribución exacta de Dn está tabulada para valores seleccionados de n= 40 y del nivel de significación. Para muestras grandes, se utiliza la distribución asintótica de Dn. Contraste de rachas Dada la sucesión de observaciones X1, X2, ... , Xn , construimos la sucesión de símbolos binarios definida mediante 1 si Xi < Xi+1, 0 si Xi> Xi+1. Definimos racha creciente (decreciente) de longitud 1 a un grupo seguido de 1 números 1 o 0. Intuitivamente, rechazamos la aleatoriedad con un número muy pequeño o muy grande de rachas. De ahí se obtiene inmediatamente el contraste. Contraste de rachas por encima y por debajo de la mediana Otro procedimiento para definir rachas es el recuento de observaciones que se sitúan a un mismo lado de la mediana. La distribución asintótica del número de rachas, bajo la hipótesis de aleatoriedad, es de donde se sigue, inmediatamente, un contraste. Contraste de permutaciones Separamos las observaciones en k-uplas La k-upla general se escribe, primero las ordenamos crecientemente y consideramos la ordenación correspondiente de los subíndices j. Bajo la hipótesis de la probabilidad de que dos números sean iguales es nula, hay k! ordenaciones posibles. Bajo la hipótesis de independencia, todas las permutaciones son equiprobables, con probabilidad igual. Entonces es inmediato aplicar un contraste con k! clases, distribución asintótica frecuencias esperadas r / k!, donde r es el número de k-uplas y frecuencias observadas el número de veces que aparece cada ordenación. Contraste de huecos Fijamos dos valores y con 0 < < < 1. La sucesión presenta un hueco de longitud m si Bajo la hipótesis de aleatoriedad de la serie, la longitud m de los huecos sigue una distribución geométrica de parámetro, es decir, la hipótesis de aleatoriedad implica independencia de las longitudes de los huecos y podemos aplicar un contraste basado en las comparaciones de los números observados y esperados de huecos de longitud m. Repetición de contrastes Para aumentar su potencia, los contrastes anteriores pueden repetirse N veces. La distribución empírica de los valores del estadístico puede compararse con su distribución teórica mediante, por ejemplo, el contraste de Kolmogorov-Smirnov.

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GENERADORES CONGRUENCIALES LINEALES Los principales son: Métodos de los medios de cuadrados: Cada nuevo número de la secuencia es producido tomando los dígitos medios m de un número obtenido mediante la elevación al cuadrado de un dígito. Método aditivo de congruencias: Inicializa con k valores dados, con k un entero positivo y la sucesión se da mediante series de furrier. Método mixto de congruencias: Son números que se obtienen mediante la siguiente relación de congruencia (con a y c mayores que 0). GENERADORES DE REGISTRO DE DESPLAZAMIENTO Los generadores congruenciales pueden generalizarse a recursiones lineales de orden mayor. Para k 1, m primo, se define y el generador se denomina recursivo múltiple. El estudio de este generador se asocia al del polinomio característico sobre el álgebra finita Fm con m elementos. GENERADORES DE FIBONACCI RETARDADOS Cuando n0= 0 y n1 = 1 en el método aditivo congruencial se obtiene por medio de generalización el caso especial denominado secuencia de Fibonacci. Parte de la semilla inicial ( X1, X2, ... , Xr ) y usa la recursión donde r y s son retardos enteros que satisfacen r > s y o es una operación binaria que suele ser r +, -, x ó XOR. Típicamente; Los elementos iníciales son enteros y la operación binaria es la suma módulo 2n. La caracterización del periodo máximo de los generadores de Fibonacci retardados está bien estudiada y se basan, de nuevo en el análisis de sucesiones lineales recursivas de enteros. GENERADORES NO LINEALES Dada la estructura reticular de los generadores lineales, algunos autores sugieren utilizar generadores no lineales. Se distinguen dos formas de introducir no linealidad en un generador: a. Usar un generador con función de transición lineal, produciendo la salida mediante una transformación no lineal del estado. b. Usar un generador con función de transición no lineal. Una propiedad común en estos generadores es que no producen una estructura reticular como la de los lineales. Su estructura es altamente no lineal: típicamente, un hiperplano t-dimensional tendrá a lo sumo t t-uplas solapantes de números.

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Sea rn un primo arbitrario y Fm = {0. 1, ...,m - 1} el álgebra finita de orden m. Para un entero z, se define que es la inversa de z para la multiplicación en Fm, si z =0 (mod m). Dados a, b, Fm, a0, la sucesión congruencial inversa explícita se define mediante el generador congruencial de inversión explícita se obtiene mediante normalización. Obviamente, las sucesiones {un} e {yn} son periódicas con periodo máximo m. COMBINACION DE GENERADORES Para incrementar el período e intentar evitar las regularidades que muestran los generadores lineales congruenciales se ha sugerido combinar diferentes generadores para obtener uno híbrido que tal vez sea de mayor calidad que los generadores originales. Tales combinaciones pueden considerarse heurísticas, algunas de las cuales han resultado bastante pobres. Aunque el fundamento de estos procedimientos es esencialmente empírico, también se han desarrollado algunos aspectos teóricos. En primer lugar, se ha observado que el periodo de un generador híbrido es, en general, bastante más largo que el de sus componentes siendo, además, posible su determinación. En segundo lugar, hay resultados teóricos que sugieren que algunas formas de combinación de generadores que mejoran su comportamiento estadístico. Lección 33. MÉTODOS DE SIMULACIÓN Existe diversidad de métodos para desarrollar la simulación. Mencionamos solamente una técnica que es la más fácil de comprender y es para muchas situaciones particulares que mencionan en este curso. Juegos operacionales Se refiere a aquellas situaciones donde hay algún conflicto de intereses entre los jugadores o entre quienes toman decisiones, dentro de la estructura de un ambiente simulado. Ejemplo, administración de negocios, juegos militares, entre otros. Simulación de sistemas Es un método en el que la información utilizada en el análisis de un problema complicado, se procesa mediante el funcionamiento del modelo. Método de Montecarlo Consiste en el reemplazo del universo real de elementos por el universo teórico correspondiente. Por ejemplo, simular la llegada de clientes a una sitio de pago, se puede crear algo teórico asumiendo ciertos comportamientos. Es una simulación

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con técnicas de muestreo aleatorio, o sea, que en vez obtener muestras de una población real, se obtienen de un duplicado teórico 1 de la población real. El método de Montecarlo comprende la determinación de la distribución de probabilidad de la variable que se trata, para obtener luego una muestra de esa distribución mediante números aleatorios, con el fin de generar datos. El método se utiliza para resolver problemas que dependen de la probabilidad, donde la experimentación física es impracticable o muy costosa y donde es imposible la acción de una fórmula exacta. A partir de la siguiente situación se va a desarrollar un problema de simulación y la forma de manejarlo. EJEMPLO26. En un supermercado X, se ha tomado una muestra de 100 llegadas de clientes a un punto de control, y se ha efectuado un estudio del tiempo requerido para dar el servicio a los clientes en minutos. La recopilación de la información es: Tiempo entre llegadas Frecuencia Tiempo de servicio Frecuencia 5 2 5 12 10 6 10 21 15 10 15 36 20 25 20 19 25 20 25 7 30 14 30 5 35 10 40 7 100 45 4 50 2 100 Usando una muestra simulada de 20 clientes, estime el tiempo promedio de espera, el porcentaje de clientes y el porcentaje ocioso del dependiente. El primer paso es determinar la función de probabilidad acumulada a partir de la distribución de probabilidades (intervalo aleatorio) de los tiempos de frecuencias relativas obtenidas como porcentaje del número de casos, sobre el total. Tiempo de Frecuencia Frecuencia relativa Intervalo Llegada relativa acumulada aleatorio 5 0,02 0,02 0,000 - 0.019 10 0,06 0,08 0,020 - 0,079 15 0,10 0,18 0,080 - 0,170 20 0,25 0,43 0,180 - 0,429 25 0,20 0,63 0,430 - 0,629

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30 0,14 0,77 0,630 - 0,769 35 0,10 0,87 0,770 - 0,869 40 0,07 0,94 0,870 - 0,939 45 0,04 0,98 0,940 - 0,979 50 0,02 1,00 0,980 - 0,999 Tiempo de servicio 5 0,12 0,12 0,000 - 0,119 10 0,21 0,33 0,120 - 0,329 15 0,36 0,69 0,330 - 0,689 20 0,19 0,88 0,690 - 0,879 25 0,07 0,95 0,880 - 0,949 30 0,05 1,00 0,950 - 0,999 A partir de la anterior distribución, se muestrea al azar a fin de determinar los tiempos efectivos de llegadas y de servicios que se usarán en la simulación de operación. Recuerde que cada muestra determina diferentes valores, por tanto, diferentes respuestas esperadas. Al observar la distribución acumulada con tres decimales y utilizando una tabla de números aleatorios, mediante un proceso que determina el investigador, se seleccionan dígitos de 000 a 100 y este número se localiza en la distribución acumulada para obtener los valores de estudio. Para nuestro ejercicio escogimos la primera columna para las llegadas y la última para los servicios, obteniendo los siguientes resultados. Número llegada Número Servicio Aleatorio aleatorio 680 30 365 15 897 40 373 15 911 40 381 15 918 40 389 15 925 40 397 15 001 5 329 15 009 15 337 15 017 15 345 15 025 20 353 15 033 20 361 15 002 10 121 10 010 15 129 10 018 20 137 10 026 20 145 10 034 20 153 10

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003 10 363 15 011 15 371 15 273 20 379 15 027 20 387 15 035 20 395 15 La simulación se inicia suponiendo que la jornada de trabajo comienza a las 8.a.m. Si hay una llegada se comienza el servicio inmediatamente; por ejemplo, la primera llegada ocurre a las 8.30 a.m., a esa hora empieza el servicio que terminará a las 8.45 a.m.; en este momento no hay ocio para el servidor ni tiempo de espera del cliente. Si se sigue la secuencia, la siguiente llegada ocurre a las 9.10 a.m., como hay tiempo disponible del servidor, se comienza inmediatamente y se termina a las 9.25 a.m. La tercera llegada ocurre a las 9.50 a.m., cuando está libre el sistema para comenzar el servicio que finalizará a las 10.05 a.m. Siguiendo la situación descrita en forma consecutiva se llega a la respuesta, teniendo en cuenta los tiempos de llegadas, los de inicio y las diferencias de los mismos. Otra forma de aplicar es teniendo una sola característica, por ejemplo, la demanda de un producto y la distribución de probabilidades. Con estos elementos y siguiendo los pasos pertinentes se puede establecer el promedio de la característica. Lección 34. APLICACIONES DE LA SIMULACIÓN La técnica de la simulación ha sido, una importante herramienta del proyectista, ya sea que esté simulando el vuelo de un avión en un túnel de viento, la distribución de una planta con modelos a escala de máquinas, o bien líneas de comunicación con un diagrama de organización. Con la llegada de las computadoras de alta velocidad, con las cuales conducir los experimentos simulados tiene gran facilidad, esta técnica ha incrementado también su importancia para el investigador de operaciones. En consecuencia, la simulación se ha convertido en la rama experimental de la investigación de operaciones. Hasta ahora se ha hecho hincapié en que si es posible se construyan modelos matemáticos que sean una idealización razonable de los problemas, y a la vez, tratables para su solución, este enfoque analítico por lo común es superior a la simulación. Sin embargo, muchos problemas son tan complejos que no se pueden resolver analíticamente. En consecuencia, aun cuando tiende a ser un procedimiento relativamente caro, la simulación suministra a menudo el único enfoque práctico para un problema. Típicamente la simulación no es otra cosa más que la técnica de efectuar experimentos de muestreo sobre el modelo del sistema. Los experimentos se

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realizan sobre el modelo, en lugar de hacerlo sobre el propio sistema real, únicamente porque esto último sería demasiado inconveniente, tardado y costoso. EJEMPLO 27. Supóngase que se tiene la oportunidad de participar en un juego en el que se lanzaría repetidamente una moneda legal hasta que la diferencia entre el número de caras y el número de sellos que se obtengan sea tres. Se pediría pagar $1 por cada lanzamiento de la moneda, pero se recibirían $8 al final de cada jugada. No se permite abandonar durante una jugada; Por lo tanto, se gana dinero si el número de lanzamientos requeridos es menor que ocho, pero se pierde si se requieren más de ocho lanzamientos. ¿Cómo se tomaría la decisión de participar o no en este juego? Muchas personas basarían esta decisión en la simulación, aunque seguramente no le daría ese nombre. Los problemas donde se ha aplicado con éxito la simulación son demasiado numerosos; sin embargo, con algunos ejemplos se ilustra la gran adaptabilidad de esta técnica. • Simulación de las operaciones en un aeropuerto, por ejemplo Avianca, para cambiar sistema de operación de vuelos. • Simulación del manejo de una línea de producción. • Simulación de la operación de un sistema de mantenimiento. VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LAS TÉCNICAS DE SIMULACIÓN Ventajas: - Permiten experimentar con un modelo del sistema en vez del sistema real. - Permiten descomponer un sistema muy grande en subsistemas para simularlos en forma individual. - Facilitan la manipulación de la réplica del sistema. - Es un proceso relativamente eficiente y flexible. - Puede ser usada para analizar y sintetizar una compleja y extensa situación real, pero no puede ser empleada para solucionar un modelo de análisis cuantitativo convencional. - En algunos casos la simulación es el único método disponible. - Los modelos de simulación se estructuran y nos resuelve en general problemas trascendentes. - Los directivos requieren conocer como se avanza y que opciones son atractivas; el directivo con la ayuda del computador puede obtener varias opciones de decisión. - La simulación no interfiere en sistemas del mundo real. - La simulación permite estudiar los efectos interactivos de los componentes individuales o variables para determinar las más importantes. - La simulación permite la inclusión en complicaciones del mundo real.

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Desventajas: - No producen soluciones óptimas y cada corrida es como un experimento aislado que se efectúa. - Cuando se utiliza un modelo matemático puede ser imposible cuantificar todas las variables que afectan el comportamiento del sistema. - Un buen modelo de simulación puede resultar bastante costoso; a menudo el proceso es largo y complicado para desarrollar un modelo. - La simulación no genera soluciones óptimas a problemas de análisis cuantitativos, en técnicas como cantidad económica de pedido, programación lineal o PERT / CPM / LPU. Por ensayo y error se producen diferentes resultados en repetidas corridas en el computador. - Los directivos generan todas las condiciones y restricciones para analizar las soluciones. El modelo de simulación no produce respuestas por sí mismo. - Cada modelo de simulación es único. Las soluciones e inferencias no son usualmente transferibles a otros problemas. Lección 35. METODOS PARA OBSERVACIONES ESTADISTICAS DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Algunos experimentos consisten en la observación e una serie de pruebas idénticas e independientes, las cuales pueden generar uno de dos resultados. Para simular una distribución Binomial se emplean sus propiedades estadísticas. DISTRIBUCIÓN ERLANG Esta distribución se aplica en algunos problemas de líneas de espera, inicialmente para el caso de telefonía. Algunas formas para simular una distribución Erlang consisten en emplear los métodos de convolución y el de la transformada inversa. DISTRIBUCIÓN UNIFORME Se utiliza cuando se requiere el empleo de una función constante. Para la simulación de variables aleatorias tipo Uniforme se emplean sus propiedades estadísticas. DISTRIBUCIÓN GEOMETRICA Esta distribución indica exactamente el número de repeticiones del experimento hasta lograr la característica de interés. Se genera la simulación de variables aleatorias tipo Geométrica a partir del método de la transformada inversa. DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA Se utiliza a menudo en el estudio de problemas de producción, control de calidad y la aceptación de muestreo; se emplea para marcar y remarcar. Una de las formas para simular una distribución Hipergeométrica es emplear sus propiedades estadísticas.

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DISTRIBUCIÓN POISSON Sirve para trabajar en teoría de colas. Para simular una distribución Poisson se deben usar sus propiedades estadísticas. RELACIONES ENTRE DIFERENTES RELACIONES CONTINUAS - La distribución Normal es una buena aproximación de la distribución Binomial. Cuando en una distribución Binomial n tiende a cero, ésta se puede aproximar por una distribución de Poisson.

- La Geométrica tiende a la distribución Exponencial cuando, en la primera distribución q tiende a cero y el tiempo entre llegadas también tiende a cero.

- La distribución de Poisson describe el número de eventos por unidad de tiempo; la distribución exponencial representa el tiempo que transcurre entre dos eventos sucesivos. La distribución Exponencial puede derivarse de la de Poisson.

- La distribución Exponencial es un caso especial de la distribución Gamma. Cuando en la distribución Gamma = 1, se tiene la distribución exponencial. Esto significa que la suma de variables aleatorias independientes que tienen una distribución Exponencial Negativa, es a su vez una variable aleatoria con distribución Gamma.

- La distribución de Erlang es una generalización de la distribución Exponencial. Cuando en la distribución de Erlang el parámetro r = 1, se tiene la distribución Exponencial.

- La distribución Gamma es una generalización de la distribución de Erlang y por consiguiente, de la distribución Exponencial. Cuando en la distribución Gamma el parámetro r es una constante, se tiene la distribución de Erlang.

- La distribución de Weibull es una generalización de la distribución Exponencial. Cuando el parámetro = 1 en la distribución de Weibull, se tiene la distribución Exponencial.

- La distribución Gamma y la de Weibull son generalizaciones de la distribución exponencial y sin embargo, no son una misma distribución. Existen distribuciones Gamma que no son Weibull y viceversa.

- Cuando en la distribución beta los parámetros = 1, se tiene la distribución Uniforme. - La distribución Chi-cuadrada es un caso particular de la distribución Gamma.

- La distribución de Student (distribución t) y la distribución F están relacionadas con la distribución Beta.

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RELACIONES ENTRE DIFERENTES RELACIONES DISCRETAS

- La distribución Hipergeométrica tiende a la distribución Binomial, cuando el tamaño del lote N tiende a infinito y la relación del número de piezas defectuosas entre el total del lote permanece constante.

- La distribución de Poisson es una buena aproximación de la distribución Binomial cuando el número de realizaciones de un experimento de Bernoulli n crece y la probabilidad del evento "aceptable”q disminuye. Esto equivale a que ambas distribuciones tengan el mismo valor esperado, es decir, = nq.

- La distribución Binomial Negativa es una generalización de la distribución Geométrica.

- La distribución Multinomial es una generalización de la distribución Binomial. LENGUAJES Y/O PAQUETES DE SIMULACION En esta parte haremos una descripción sucinta de algunos paquetes y/o lenguajes de Simulación de los más empleados en el medio. Los cuales tenían las siguientes ventajas:

- La situación a analizar se puede modelar en forma más o menos sencilla para el programador por el conocimiento del lenguaje.

- El proceso se puede describir con tanta precisión como le sea posible en el lenguaje conocido.

- Se pueden realizar todas las depuraciones posibles. Emshoff y Sisson consideran que la Simulación Discreta requiere de ciertas funciones comunes que diferencian un lenguaje de Simulación de uno de propósito general, entre las cuales se encuentran las siguientes: - Generar números aleatorios. - Generar variables aleatorias. - Variar el tiempo hasta la ocurrencia del siguiente evento. - Registrar datos para salida. - Realizar análisis estadístico sobre datos registrados. - Construir salidas en formatos determinados. - Detectar inconsistencias y errores. Los lenguajes precursores en Simulación fueron los de propósito general, entre ellos por mencionar solo algunos tenemos: FORTRAN, ALGOL, COBOL, RPG, BASIC, PASCAL, MODULA, PL/1, etc.

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Los principales lenguajes utilizados en Simulación son: Simulación de cambio continuo y de cambio discreto en computadoras híbridas H01; Simulación de incremento continuo con orientación a ecuaciones directas con énfasis en ecuaciones diferenciales DSL/90, MIMIC, BHSL, DIHYSYS y S/360 CSMP; Simulación de incremento continuo con simuladores orientados a bloques con énfasis en ecuaciones diferenciales MIDAS, PACTOLUS, SCADS, MADBLOC, COBLOC y 1130 CSMP; Simulación de incremento continuo con simuladores orientados a bloques con énfasis en ecuaciones de diferencias DYNAMO, DYSMAP 2; Simulación de incremento discreto con orientación a actividades CSL, CLP, GSP, GERT, FORSIM, ESP, MONTECODE y MILITRAN; Simulación de incremento discreto con orientación a eventos SIMSCRIPT, GASP, SIMCOM, SIMULATE y SIMPAC; Simulación de incremento discreto con orientación a procesos SIMULA, OPS, SLAM y SOL; Simulación de incremento discreto con orientación a flujo de transacciones GPSS y BOSS. PAQUETES Los paquetes son una versión depurada de los diferentes lenguajes de propósito general y presentan algunas ventajas sobre los lenguajes de programación generales:

- Reducción de la tarea de programación. - Definición exacta del sistema. - Flexibilización mayor para cambios. - Diferenciación mejor de las entidades que conforman el sistema. - Relación estrecha entre las entidades del sistema. Los paquetes de mayor utilización en Simulación son: EXCEL, STELLA, SIMAN, RISK, STORM, LINDO, CRYSTAL BALL, QSB, MOR/DS, OR/MS, BEER GAME, GREENPACE, SIMULACION, TAYLOR II, CAPRE, SIMNET II, PROMODEL, ITHINK, URBAN DYNAMICS y POWERSIM. En Simulación Gerencial podemos citar: FISH BANK, FINANACAT, BUGA-BUGA y MARKOPS, TREE PLAN entre otros.

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AUTOEVALUACION UNIDAD 2.

1.- Encuentre el punto de silla y el valor del juego para cada uno de los dos

juegos siguientes. Los pagos son para el jugador A.

B B

8 6 2 8 4 -4 -5 6

A 8 9 4 5 A -3 -4 -9 -2

7 5 3 5 6 7 -8 -9

7 3 -9 5

(1) (2)

2.- Una compañía revisa el estado de uno de sus productos importantes sobre

una base anual y decide si tiene éxito (estado 1) o no lo tiene (estado 2). Después,

la compañía debe decidir si da publicidad o no al producto a fin de promover las

ventas más a fondo. Las matrices P1 y P2 que se presentan aquí dan las

probabilidades de transición con y sin publicidad durante un año cualquiera. Los

rendimientos asociados están dados por las matrices R1 y R2. Determine las

decisiones óptimas en los tres años siguientes.

P1 = 0.9 0.1 , R1 = 2 – 1

0.6 0.4 1 – 3

P2 = 0.7 0.3 , R2 = 4 1

0.2 0.8 2 –1

3.- Bogotá debe determinar cómo asignar ambulancias durante el año venidero.

Cuesta 5000 dólares anuales operar una ambulancia. Cada ambulancia se debe

asignar a uno de dos distritos. Sea Xi = numero de ambulancias asignadas al

distrito i (i=1,2). El tiempo promedio, en minutos, que tarda una ambulancia en

atender una llamada del distrito i es, para el distrito 1,

40 - 3X1, y para el distrito 2, 50 – 4X2. Bogotá tiene tres metas:

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META 1: El tiempo promedio de respuesta en el distrito 1 debe ser cuando más 5

minutos.

META 2: El tiempo promedio de respuesta en el distrito 2 debe ser cuando más 5

minutos

META 3: se debe gastar cuanto muchos 100000 dólares anuales en el servicio de

ambulancias.

Bogotá cree, para cada distrito, que cada minuto extra que se prolonga el tiempo

promedio de respuesta sobre la meta de 5 minutos equivale a un costo de 10000

dólares, y por cada dólar que se rebasa el presupuesto se incurre en un costo de

un dólar.

a) Plantear y resolver le modelo de programación lineal que se pueda emplear para determinar cuántas ambulancias se deben asignar a cada distrito.

b) Para cada una de las siguientes prioridades ordenadas, aplicar el método simplex de programación de metas para determinar la asignación de ambulancias a los departamentos. Meta 1 > Meta 2 quiere decir que la meta 1 tiene mayor prioridad que la meta 2. Las prioridades son: meta 1>meta2>meta 3, meta 2>meta 1>meta 3; meta3>meta1>meta2.

4. Use el generador congruente lineal para obtener una sucesión de 10 números

aleatorios, dado que a= 17, c=43, m=100 y X0= 31.

RESPUESTAS:

1. 1) 7 2) -9 2. Años 1 y 2, anunciar sólo si el producto ni tiene éxito. Año 3: no publicitar 3. a) Min Z = 10000 s1+ + 10000 s2+ + s3+

s.a. 40 – 3 X1 + s1- - s1+ = 5

50 – 4X2 + s2- - s2+ = 5

5000 x1 + 5000 x2 + s3- - s3+ = 100000

Todas las variables ≥ 0

b) Si P1>P2>P3, entonces la solución óptima es X1= 35/3, X2=45/4. Si P2>P1>P3, entonces la solución óptima es X1= 35/3, X2= 45/4. Si P3>P1>P2, entonces la solución óptima es X1= 35/3, X2=25/3.

4. 0.70, 0.33, 0.04, 0.11, 0.30, 0.53, 0.44, 0.91, 0.90, 0.73

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200608 Teoria de Decisiones 2010 Modulo

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