TENDENCIA Y VOLATILIDAD DEL PRECIO DEL COBRE · podría incluso hacer más variable el precio. El...

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TENDENCIA Y VOLATILIDADDEL PRECIO DEL COBRE

ANDRÉS ULLOA

INTRODUCCIÓN

La volatilidad de los precios de los recursos naturales constituye unafuente de alta inestabilidad en el ingreso de los países en desarrollo

que por lo general tienen una estructura de exportaciones intensivas enestos recursos y además poco diversificada; los ingresos fiscales sonaltamente dependientes del desempeño de estos precios. Este es el casoconcreto de Chile donde el cobre tiene una participación cercana al 40%de las exportaciones.

La variabilidad de corto plazo en el precio de los “commodities”está explicada en parte por las bajas elasticidades de las curvas de ofertay demanda. Para el caso de los metales, su capacidad de almacenamientopermite amortiguar en algo las fuertes variaciones de la demanda y ofertaya que el proceso de ajuste se da por cantidad y precio.

Las bruscas y muchas veces no anticipadas variaciones en la ofertao demanda provienen de alteraciones en los ingresos, movimientos detasas de interés, en la variabilidad de los tipos de cambio o simplementeen una variación de la disponibilidad del recurso o en un cambiotecnológico. Una parte importante de la literatura relacionada con laeconomía de los recursos naturales ha estudiado la relación entredisponibilidad, formación y variabilidad de precios. Esto es lo queexamina la hipótesis de Hotelling la cual ha sido fuertemente cuestionadadesde el punto de vista empírico.

Otra vertiente de la literatura ha tratado de relacionar la variabilidad

del precio de los recursos naturales con los cambios en las variables

macroeconómicas que afectan la oferta y la demanda. Dada la alta

elasticidad ingreso de la demanda por metales, no es sorprendente que

existan ciertos “comovimientos” entre estas variables. Hay también

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indicios que la mayor variabilidad del tipo de cambio aumentaría la

variabilidad de los “commodities”.

El papel de los mercados financieros también ha pasado a constituir

un elemento importante en el análisis de la determinación del precio de

algunos commodities y en su variabilidad. Esto es especialmente válido

a partir de los años 80 cuando las operaciones de las bolsas de metales

aumentan y una parte significativa de las transacciones se hacen en este

tipo de mercados; además, comienzan a tomar fuerza los futuros y

opciones. Adicionalmente la teoría muestra que los activos fácilmente

almacenables como ciertos productos agrícolas, metales o productos

energéticos son considerados como una inversión más dentro del

portafolio de los inversionistas. Por ello, es esperable que existan

relaciones entre los mercados financieros, específicamente los

accionarios, y los mercados para los metales.

Un tema de sumo interés es el análisis del uso de precios dedistribución o producción como contrapartida a los precios de bolsa yel efecto sobre la mayor estabilidad de los precios de los metales. Aunquehay algunos indicios sobre esto, no hay pruebas concluyentes. Tambiénla literatura plantea que la existencia de futuros y opciones estabilizalos precios corrientes. Sin embargo, los estudios empíricos tampocoproporcionan resultados decisivos de manera tal que las opiniones estándivididas. La existencia de especuladores transando opciones o futurospodría incluso hacer más variable el precio.

El objetivo de este documento es analizar los principales factoresque determinan el nivel y la variabilidad de precios del cobre. Para ellose comienza con una breve revisión de la literatura. Posteriormente seanalizan distintas series de precio del cobre. Esto requiere especificarcon claridad la existencia de una tendencia estacionaria o de raícesunitarias en las series de precio con el objeto de poder decidir si lasvariaciones de los factores exógenos tienen impactos permanentes otransitorios sobre esta serie o si existe alguna reversión a la media comose infiere de la teoría de recursos naturales.

El análisis estadístico muestra que las series de precio del cobreque incluyen un período largo de análisis son de tendencia estacionariay revierten hacia la media. Sin embargo esta media es cambiante en eltiempo ya que depende de los cambios estructurales en las variableseconómicas tales como la Gran Depresión, la II Guerra Mundial, el shock(1973,1979) del precio del petróleo, etc. Para períodos de tiempoinferiores a 50 años, existen fuertes indicios que el precio se comportacomo camino aleatorio.

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Posteriormente se calcula la volatilidad de las series de precio delcobre usando modelos tipo GARCH. Finalmente se mide la volatilidadhistórica para el precio del cobre contado y en futuros y para otrosmetales, commodities en general, e índices de acciones; luego secomparan estas volatilidades.

I. VOLATILIDAD DEL PRECIO DE LOS METALES: UNA REVISIÓN DE LA LITERATURA

La existencia de variabilidad o también llamada inestabilidad de losprecios de los commodities es un tema muy conocido. Una de lasexplicaciones más recurrentes de este comportamiento es la formapeculiar de sus curvas de oferta y demanda. Estas son altamenteinelásticas en el corto plazo, lo que provoca grandes fluctuaciones yhace que ante un cambio de la oferta o la demanda el mecanismo deajuste sea un inmediato y fuerte movimiento de los precios. A su vez, sia lo anterior se añade una alta elasticidad ingreso y un importante rezagoentre las decisiones de inversión y producción e inversión a gran escala,se tiene un cuadro típico de precios altamente cíclicos. Siguiendo estalógica, la causa de estas fluctuaciones recae principalmente en lavariabilidad de la oferta y la demanda y en los factores exógenos quelas gobiernan como shocks macroeconómicos en la economía mundial,clima, desastres naturales, agotamiento del recurso, nuevosdescubrimientos, demoras en los procesos de inversión, cambios engustos, variaciones de ingreso, etc.

Una importante distinción que conviene hacer y analizar es ladiferencia entre el comportamiento de los precios de los bienes pereciblesy aquellos almacenables (Gardner, 1987; Williams et. al., 1991). Cuandolos commodities pueden ser almacenados como es el caso de losminerales, un factor adicional interviene en los cambios de precios ycorresponde al tamaño de los inventarios que los agentes almacenan yasea para suavizar los cambio de precio o para entrar a especular almercado. Luego, tanto los precios como los cambios en los inventariosparticipan en el ajuste que se produce ante alteraciones de la demanda uoferta. Por ello, no solo los consumidores y oferentes tendrán unimportante papel sino también los intermediarios, especialmente aquellosque usan los instrumentos financieros como medio de cobertura, aquellosque especulan con ellos y los gobiernos o privados que buscan a travésdel almacenaje estabilizar los precios.

La consecuencia es que los precios de commodities que puedenser almacenados tienen un comportamiento distinto de aquellos que son


perecibles. Esta diferencia queda reflejada en el hecho de que los preciosde estos últimos se comportan como un puro ruido blanco cuando estánsujetos a perturbaciones independientes por el lado de la oferta odemanda. A su vez los precios de commodities almacenables presentanuna marcada autocorrelación positiva y saltos abruptos. Esto fuereportado por un conocido estudio del Banco Mundial (1989) que mostróuna alta correlación serial positiva para algunos commodities. Porejemplo, para aquellos en que los precios eran marcadamente altos, estospermanecían altos por un buen tiempo. Lo mismo ocurría cuando éstoscaían abruptamente. La razón de esta estructura autoregresiva de loserrores está explicada por el carácter almacenable del bien que generavariaciones en los inventarios frente a los excesos de demanda u oferta.

Como consecuencia de lo anterior, el contorno de la distribuciónde errores tiene una cierta asimetría con una mayor cola para preciosaltos. La razón de ello es que cuando los precios están muy bajos, losproductores prefieren guardar el producto para evitar una mayor caíday esperar así hasta que éste suba; de esta manera el almacenaje sirvecomo un “colchón”. Por otro lado, cuando el precio está muy alto ya nohay stock y sin este “colchón” el precio se mantiene alto por un mayorperíodo. Por eso mismo, el almacenaje al servir como “colchón” reducela varianza de los movimientos de precios período a período y causauna especie de heteroscedasticidad en la serie de precios.

Algunas de las variables que están fuertemente presentes en estosshocks de oferta o demanda tales como la variación del ingreso, tasa deinterés o la variabilidad de los tipos de cambio ayudan a explicar enparte la fuerte variabilidad de los precios de estos productos. De acuerdoa la teoría, el precio del recurso natural, por el lado de la oferta, estaríaestrechamente relacionado al comportamiento de la tasa de interés,mientras que por el lado de la demanda el ingreso sería uno de susprincipales determinantes.

Sin embargo, no se debe dejar de considerar la importancia que han

tenido los mercados financieros en la determinación del precio de algunos

commodities y en su variabilidad. Ello especialmente a partir de los años 80

cuando el intercambio en las bolsas de metales toma más fuerza y una parte

significativa de las transacciones se hacen en este tipo de mercados. Aquí la

teoría muestra que los activos fácilmente almacenables como ciertos

productos agrícolas, metales o productos energéticos son considerados como

una inversión más dentro del portafolio de los inversionistas. En tal caso, la

variabilidad de la economía financiera se sumaría a la variabilidad de la

economía real y podría incrementar o reducir la inestabilidad en el precio

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de estos commodities. Por esto, es esperable que existan relaciones entre

los mercados financieros, específicamente los accionarios, y los mercados

para los metales.

Además de lo anterior, en las últimas décadas han crecido enimportancia las transacciones de futuros y opciones; estos instrumentosconstituyen una herramienta de diversificación de cartera y además seusan ampliamente para reducir el riesgo en la variabilidad de los precios,especialmente en commodities. Sin embargo, debido a la existencia deelementos especulativos en estas transacciones no es claro que suutilización haya servido para estabilizar los precios contado de losmetales. Incluso en periodos de fuerte especulación estas transaccionespudieron haber incrementado la variabilidad de corto plazo.

1. Relación de variables macroeconómicas y precio de los commodities

Algunos estudios han mostrado que los precios de los commoditiestienden a moverse juntos, lo que se ha llamado co-movimientos (Pyndicky Rotemberg 1990, Leybourne et.al. 1993). La explicación de estefenómeno se puede resumir en tres partes. Primero, las contraccionesde oferta y demanda en un mercado pueden afectar otros mercadosrelacionados. Segundo, impactos negativos de variablesmacroeconómicas como ingreso y tasa de interés pueden afectar losprecios en su generalidad. Tercero, los especuladores pueden sobre-reaccionar frente a nueva información y el exceso de transacciones enun mercado puede contagiar otros mercados. Entonces el exceso de co-movimientos genera una volatilidad mayor que la que debiera ocurriren situaciones normales.

Leybourne at al, (1993) evaluaron el trabajo de Pindyck yRotemberg (1990) y concluyó que el exceso de co-movimiento estáraramente presente en series de precios de commodities. Labys et al.(1999) analizaron la hipótesis de co-movimientos para los metales y larelacionaron con los cambios en variables macroeconómicas utilizandoanálisis de factores y cointegración. Su metodología consistió en separaraquellos factores que son comunes a toda la serie de precios de losmetales de aquellos que no lo son. Posteriormente relacionaron losfactores comunes con variables macroeconómicas. Usando datosmensuales para el período 1971-1995, encontraron que el precio delcobre - transformado como el logaritmo natural medido en primerasdiferencias- está fuertemente correlacionado con el precio transformadodel aluminio. Además los factores comunes que influencian los preciosdel conjunto de los metales explican el 71% de la variabilidad del precio


del cobre. Al correlacionar estadísticamente la variabilidad de losfactores comunes con variables macroeconómicas, se obtuvo que laproducción industrial y la tasa de cambio explicaban en gran medida lavariabilidad de los factores comunes. Por otro lado el precio de lasacciones tendría una relevancia menor.

Algunos investigadores que han estudiado el tema de lainestabilidad del precio de los commodities han concluido que lavolatilidad de estos es del mismo orden de magnitud que la volatilidadde la tasa de cambio o del precio de las acciones. Por ejemplo, Bui andPippenger (1990) encuentran que aquellos productos primarios que sondeterminados en mercados de subastas bien organizados, como es elcaso del caucho o el estaño, son más volátiles que el tipo de cambio.Por ello, se ha sugerido usar un modelo de overshooting de los preciosde los commodities en que el precio de estos productos es modeladocomo un activo financiero más (Frankel 1986).

El precio nominal de los commodities puede ser concebido comoun indicador líder de la inflación en un modelo de equilibrio parcialdonde la demanda de estos es una demanda derivada de la producciónde bienes manufacturados (ver Borensztein & Reinhart (1994) para unadiscusión). Sin embargo, este enfoque considera el tipo de cambio y laproducción mundial como exógenos cuando es sabido que estasrelaciones son endógenas y también son afectadas por los precios delos commodities. Borensztein & Reinhart (1994) toman este punto yanalizan para el período 1971-1991 la varianza del precio de loscommodities con respecto a la varianza del tipo de cambio de laeconomía de EEUU encontrando una fuerte asociación.

Cuddington & Liang (1997) investigan la relación entre tipos decambio y precio de los commodities para el período 1880-1996;encuentran que la volatilidad del precio real de los commodities ha sidomayor bajo tasas de cambio flexible. Los mismos autores (Cuddington& Liang 2000), analizan la relación entre la estabilidad de los tipos decambio de países de la CEE (Comunidad Económica Europea) y surelación con la volatilidad de los commodities en el período 1957-98.Usando especificaciones GARCH encuentran una significativa relaciónpara fertilizantes, metales y petróleo.

2. Variabilidad y regímenes de precios

Existe alguna evidencia de que la variabilidad en el precio de los metales es

mayor cuando se está en un régimen de intercambio –como la Bolsa de

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Metales de Londres (LME), el COMEX o el NYMEX– que cuando se usa

un régimen de precios administrado por los mismos productores. Como es

sabido, hasta mediados de los ochenta gran parte de los metales eran transados

sobre la base de los precios establecidos por los productores. Estos precios

eran a menudo generados en base al poder de negociación de los

consumidores y en base a ciertos descuentos, con un listado que a menudo

era secreto. Esto era particularmente cierto en mercados más centralizados

como el del aluminio y del nickel donde el poder monopólico de los

productores era importante. El cobre ha sido transado desde principios de

siglo XX bajo ambos regímenes, y durante los sesenta hubo un intento de

las principales empresas productoras por controlar el precio en la LME

(McNicol 1975).

Los productores tienden a preferir el tipo de régimen de precioestablecido por los productores debido a que son más predecibles1. Comopredictibilidad no es necesariamente sinónimo de eficiencia, loseconomistas tienden a preferir los precios bajo un régimen deintercambio ya que evita las discriminaciones y en general el uso delpoder monopólico. Además, la mayor liquidez de los mercados deintercambio permite a los agentes protegerse de la mayor variabilidadhaciéndola menos relevante. Sin embargo, hay una cuestión de costo deadministración, premios y comisiones que es necesario incluir en elanálisis.

Slade (1992) encontró evidencia de que el uso mayoritario delsistema de precios de intercambio a partir de 1980 introdujo una mayorvariabilidad al precio de los metales. Usando datos mensuales paracomparar el período 1970-79 con el período 1980-86 encontró que elsegundo período – aquel que mayoritariamente usó más frecuentementeprecios de intercambio– tenía una mayor variabilidad.

Figuerola-Ferretti y Gilbert (2000a) revisaron el trabajo deSlade(1992) e incorporaron otros dos períodos cubriendo los años 1987-1993 y 1994-1997, justamente aquellos períodos donde el sistema deprecios de intercambio ha sido dominante. Ellos no encontraron unamarcada diferencia en la volatilidad entre los 4 períodos estudiados eincluso plantean que esta variabilidad fue ligeramente más baja en losdos últimos períodos cuando el régimen de intercambio fue mayor. A su

1 Este argumento de predictibilidad se ha utilizado para abogar por unamayor concentración en la industria del cobre (a raíz del aumento en lasfusiones de grandes compañías productoras)


juicio, los resultados de Slade (1992) estaban influenciados por la in-clusión en la muestra del metal plata el cual sufrió manipulaciones enlos años 1979-1980; luego concluyen que la volatilidad de precios deambos regímenes ha tendido a converger en los últimos años. El argu-mento es que mediante arbitraje los agentes compran en short o en longen un mercado y venden en otro de manera que las diferencias se anu-len. Usando un test de Granger encuentran que la causalidad va de pre-cio de intercambio a precio de productor. Esto quiere decir que es lavariabilidad de los precios de intercambio la que hace más variable losprecios de productor y no al revés debido a que son los productores losque están obligados a reajustar sus precios de acuerdo al mercado.

3. Variabilidad de los precios contado y el uso de futuros y opciones

El impacto del uso de instrumentos financieros como opciones o futurossobre la volatilidad de los activos es un área de creciente investigaciónentre economistas financieros. Un área de la literatura considera el efectode la introducción de opciones sobre el mercado financiero y losresultados no son concluyentes. Mientras algunos estudios hanencontrado una reducción en la variabilidad de los precios de las accionesasociado con la utilización de opciones (Conrad 1989, Damodarn andLim 1991), otros han encontrado evidencia de que la introducción decontratos de opciones no afecta la volatilidad (Bollen 1998).

Por el lado de los futuros, tampoco existe una evidencia clara enfavor de una u otra posición. Por una parte, algunos autores han reportadouna reducción o cero cambio en los precios contado después de laintroducción de los futuros (Choi and Subrahmanyam (1994), Edwards(1988), Robinson (1994) entre otros). El argumento clásico que avalaesta posición lo proporcionó Friedman (1953) al plantear que laespeculación tenderá a reducir la volatilidad porque esta especulaciónsolo se producirá si genera beneficios para los especuladores. Ademáslos futuros proporcionarían más información al mercado, posibilitandoque ésta se expanda más rápidamente y facilitando el calce de valoreslo cual mejoraría la toma de decisiones por parte de los agentes.

Otros estudios reportan un incremento en la volatilidad despuésde la introducción de los futuros (Antoniou y Holmes (1995), Damodaran(1990), Tomek (1979;80)). Uno de los argumentos de quienes están enesta posición es que la especulación puede producir burbujas indeseables.La especulación es probablemente menos importantes en mercados dematerias primas donde muchas veces los inventarios son bajos. Sinembargo, la especulación sin fundamentos hace que sea difícil para los

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agentes distinguir entre movimientos de precios provenientes deinformación genuina y aquellos basados en pura especulación.

La existencia de diferentes posiciones respecto al efecto que tienenlas transacciones de futuros y opciones sobre los precios spot impideque se puedan obtener conclusiones generales; éste es un tema que debeser analizado empíricamente y en forma particular para cada producto.

Para el caso de los metales, Martinot et., al (2000) en un estudiopreliminar, estimaron la relación entre precios spot y precios futurosseparando entre especulación y cobertura para metales no ferrosostransados en el LME; los resultados obtenidos muestran que solo parael caso del aluminio, los precios futuros entregaban información a losprecios spot. En el caso del cobre no se observa estadísticamente unarelación entre ambos mercados.

En la misma línea de investigación, Kocagil (1994), estudia si laespeculación en mercados de futuros estabiliza los precios spot en elmercado de metales en los años ochenta; se rechaza la hipótesis de quela especulación de futuros tenga algún efecto estabilizador sobre losprecios spot. Este tipo de resultados es preliminar porque incluye unperíodo en que recién los futuros estaban siendo usados; además fueuna época de alta variabilidad.

Figuerola-Ferretti y Gilbert (2000b) analizaron como el precio delaluminio ha sido afectado por la existencia de transacciones de futuros.Ellos toman dos series de datos mensuales, una previo a la introducciónde los futuros (70s) y otra con la introducción de los futuros (80s y90s). Ellos encuentran que estadísticamente no es posible afirmar quela volatilidad de ambos períodos es distinta.

El tema de la especulación en los mercados a futuros de metalesadquirió gran notoriedad con el caso Dávila (Codelco) y el casoSumitomo (Sumitomo Corporation). Esta última empresa llegó a poseerel 5% de las ventas mundiales de cobre y se cree que empezó a manipularel mercado del cobre desde 1985 y claramente en el período 1991-96.La forma de operación del jefe de futuros de esta empresa era medianteel establecimiento de posiciones “long” 2 dominantes en contado y enfuturos obligando a los “shorts” a distribuir o cerrar su posición. Así enel período 95-96, Sumitomo llegó a controlar una gran proporción del

2 En teoría financiera una posición “long” es aquélla tomada por el agenteque acuerda comprar un determinado activo financiero. Por otro lado, laparte que acuerda vender el activo se dice que tiene una posición “short”


mercado mundial del cobre. El problema es que su posición (long) quedódemasiada expuesta a las débiles condiciones del mercado de aquelentonces. El LME comenzó una investigación que terminó por cambiaral jefe de futuros de Sumitomo. El mercado interpretó esto como unaoportunidad para hacer bajar el alto precio del cobre, el cual cayó encerca de un 25% en un par de semanas haciendo perder a la empresaSumitomo alrededor de 4 mil millones de dólares.

Como reacción a estos hechos el LME comenzó un estudio paraanalizar su capacidad de regulación y prevención de la manipulaciónde precios

4. Conducta de los precios de los metales

El análisis econométrico de la conducta de los precios de loscommodities está basada en una variedad de procesos generados a partirde fluctuaciones de corto plazo. Aunque a menudo, estos parecencompletamente aleatorios, se pueden encontrar argumentos para explicaruna cierta regularidad o ciclos en ellos. Uno de los modelos más básicosy conocidos es el de la famosa telaraña, donde el precio de la ecuaciónde oferta exhibe una correlación de primer orden que puede dar origena una oscilación continua, convergencia o divergencia.

La detección de regularidades ha sido una tarea compleja. Mientrasque una inspección visual de una serie de tiempo puede mostrar unatendencia cíclica, probar estadísticamente esto puede ser muy difícil.Los primeros estudios plantearon la propuesta del camino aleatorio queen el caso de muy corto plazo puede incluso servir para predecir.Samuelson (1965) contribuyó con esta teoría postulando que los preciossiguen un proceso de Martingala. Muchos de los tests empíricos delcamino aleatorio y la hipótesis de martingala examinan la correlaciónserial y tendencias debido a que ambos procesos requieren que loscambios en precios sean independientes.

Las primeras desviaciones de un camino aleatorio fueronpropuestas por Houthakker (1961) y Smidt (1965). Muchos otros trabajosse han hecho al respecto. Algunos han encontrado que los precios siguenconductas caóticas no lineales. Otros estudios más recientes hananalizado procesos dinámicos no lineales usando procesos ARCH yGARCH3. Por ejemplo, los estudios de Yang y Brorsen (1992), Chavas

3 ARCH es Autoregressive Conditional Heterokedasticity. GARCH esGeneralized Autoregressive Conditional Heterokedasticity

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y Holt (1991), Barkoulas et al, (1997) han encontrado que la varianzade los cambios de los precios no es constante, como lo predice la teoríaestándar de opciones.

Un modelo de conducta caótica de precios fue construido porKyrtsou et al, (2001). Ellos trataron de descubrir e interpretar la presenciade procesos que generan conductas caóticas en los precios de metalestales como el aluminio, nickel, cobre, plomo estaño y zinc. Hanencontrado la presencia de procesos estocásticos no lineales conmemoria de corto plazo; en algunos casos hay reversión a la media. Engeneral, encuentran que estos metales pueden ser modelados comoprocesos caóticos con ruidos dinámicos. Los autores señalan que la causade esta conducta caótica sería la heterogeneidad en las expectativas delos agentes o las interacciones entre agentes heterogéneos. Estaheterogeneidad haría que los precios sean excesivamente sensibles oespecialmente volátiles. De este forma la volatilidad puede serinterpretada endógenamente. Además, cuando la conducta de los retornoses caótica es posible hacer predicciones en el corto plazo pero no en ellargo plazo.

III. TENDENCIAS HISTÓRICAS DEL PRECIO DE LOS METALES: EL CASO DEL COBRE

En el caso de los recursos no renovables la teoría económica señala queestos deberían seguir una trayectoria de escasez acorde a la conocidaregla de Hotelling. Es decir, los precios netos de costos marginales –orenta de escasez– deberían subir a la tasa de interés. Existe una grancantidad de literatura que ha tratado de analizar empíricamente si laregla de Hotelling se ha ido cumpliendo.

La evidencia empírica no ha mostrados claridad respecto a latendencia que han seguido los precios de los metales y la regla deHotelling no ha podido ser probada. Uno de los primeros artículos sobreel tema escrito por Barnett y Morse (1963) mostró cierta estabilidad enlos precios reales de los minerales. Más tarde, sin embargo, algunostrabajos, entre los que se destacan el de Nordhaus (1974), mostraronque estos habían caído sistemáticamente en términos reales. Smith(1979) encontró una fuerte inestabilidad durante el siglo XX. Slade(1982a) en un modelo que incluye cambio tecnológico sugiere que laconducta de precios ha tenido una forma de U para 11 de los 12 mineralesestudiados. A su vez Slade (1982b), usando un análisis espectral muestraque los metales tienen ciclos de precios que van de 10 a 13 años. Por


ejemplo, para el caso del cobre, se encuentra un ciclo de 10 añosacompañado por una fuerte variabilidad dentro de cada ciclo.

Respecto a la hipótesis de Hotelling, ésta no ha podido ser probadaempíricamente. Algunos autores como Farzin (1995) y Agbeyegre (1989)han incluido el cambio técnico y la tasa de interés como variablesrelevantes en sus modelos y han logrado al menos parcialmente sustentarla regla de Hotelling. Otras aproximaciones usando funciones deproducción asociadas a reglas de optimización dinámica o usandotécnicas de optimización dual no han tenido resultados satisfactoriosen probar esta hipótesis (Farrow 1985, Young 1992, Halvorsen and Smith1991). Miller and Upton (1985) usando un modelo de optimización queincorpora reservas encontraron que sus estimaciones en el mercado delgas y petróleo eran consistentes con esta regla. Sin embargo, otros testsen la misma línea han encontrado que este principio sobrevalora losactivos mineros debido a que el stock se trata como un recurso no-renovable y no se incorporan las acciones de búsqueda, desarrollo ydescubrimientos de nuevos minerales (Adelman 1990). Otraaproximación, ha sido la de tratar los activos mineros como un activofinanciero y analizar si estos se comportan como lo predicen modelostipo CAPM (Hartwick y Yeung (1988), Slade et. al.(1997)). Al contrario,de los otros modelos que arrojan resultados pobres y disímiles paraprobar esta regla, el modelo financiero ha tenido un mayor apoyoempírico. Por ejemplo, el modelo de Slade et., al (1997) que unifica eltradicional enfoque de Hotelling con el CAPM (modelo de precio deactivos financiero) de manera de incluir el riesgo y algunas variablesmacroeconómicas, no rechaza las restricciones impuestas por losmodelos tipo Hotelling.

1. Modelando la tendencia del precio del cobre

La hipótesis más comúnmente aceptada para explicar la conducta delos precios de los minerales, la regla de Hotelling, plantea que el preciodebiera crecer a la tasa de interés. Como ésta es positiva, se estaríaprediciendo que los precios de los minerales deberían constantementesubir debido a su escasez. Sin embargo, en la práctica lo que se observaes más bien una caída de éstos en términos reales. Una posibleexplicación a este fenómeno ha sido la existencia de cambio tecnológico;al incluir el progreso técnico en la función de costos, los costosmarginales debieran caer. Luego, la variación de precios de largo plazodebería incluir dos efectos contrapuestos. Por una parte, un menor costomarginal, producto de cambio tecnológico que reduce el precio y por

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otra, una mayor escasez que cambia de acuerdo a la tasa de descuento4.Si el cambio técnico es lo suficientemente fuerte y permanente, el efectoneto podría resultar en una caída en los precios (Slade,1982a). El efectofinal sobre los precios y sobre la renta de escasez sería una cuestiónmás bien empírica.

Si la teoría de Hotelling fuese correcta y el precio estuviese de-terminado por los costos marginales, el cambio técnico, la tasa de in-terés y la renta de escasez –y aunque a priori no sería posible definiruna tendencia– los movimientos en los precios podrían aún ser siste-máticos y ser modelados apropiadamente usando alguna tendenciadeterminística. Sin embargo, es sabido que las firmas toman sus deci-siones bajo condiciones de incertidumbre respecto a los precios futu-ros. Cambios bruscos en la demanda, descubrimientos de nuevos ya-cimientos, cambios imprevistos en la ley del mineral, variaciones enlos impuestos y cambios en los precios de sustitutos y complementos,entre otros factores, están continuamente afectando el precio futuro.Cuando la información nueva es procesada, la trayectoria de preciosconsistente con la regla de Hotelling es completamente alterada. Porlo tanto, al tomar un período de tiempo de análisis se estarían obser-vando una infinidad de trayectorias consistentes con la regla deHotelling. En tal situación los precios de equilibrio observados po-drían ser perfectamente generados bajo procesos de camino aleatorio(Slade, 1988) donde cada uno de ellos es un punto en la infinidad detrayectorias existentes de Hotelling.

Por otro lado, también existe una relación entre activos financie-ros y activos reales tales como en el caso del cobre. Cuando los retor-nos de los activos financieros caen, algunos inversionistas tienden acomprar activos reales como oro, plata, cobre y otros, acentuando conello la caída en el precio de los primeros y aumentando el retorno deestos últimos. Como resultado de esta interconexión, la volatilidad delos mercados financieros se transmite hacia el mercado de activos rea-les y viceversa. La importancia de estos factores dependerá de la rele-vancia que tengan las transacciones en los mercados de intercambiocomo las bolsas respecto a la cantidad total transada del metal.

Los factores de riesgo y de diversificación de carteras de inver-sión han sido incluidos en modelos que combinan el tradicional enfo-que dinámico a la Hotelling con el modelo de valoración de precios de

4 Ver anexo II para una derivación matemática de esta regla.


activos (CAPM) en Slade et al., (1997). Aunque los resultados de estostests no han sido definitivos, ellos muestran que la inclusión de facto-res financieros y variables macroeconómicas podrían ser relevantes paraexplicar la variación de los precios sombra del recurso.

Si se incluyen los efectos de la incertidumbre en la determina-ción de los precios de equilibrio de mercado, la trayectoria de preciossería generada más bien por un proceso estocástico que unodeterminístico. En tal caso el precio podría ser modelado como un pro-ceso tipo Wiener o Brownian motion. Esto implicaría que el comporta-miento del precio seguiría un proceso Markov con incrementos inde-pendientes5. Por ejemplo, un proceso de Wiener para el precio del co-bre puede ser generalizado a uno tipo Brownian motion con drift:

dP=αdt+σdz

donde α es el parámetro drift , σ es el parámetro de varianza y dzes el incremento del proceso Wiener dado por Si este pro-ceso sigue una distribución normal estándar su valor esperado esE(dP)=αdt y su varianza es σ2dt.6 Si se asume que el proceso que daorigen al precio es determinístico, es decir, σ=0, se estaría en la presen-cia del caso más simple de la regla de Hotelling donde α=ρ. Por otrolado, al asumir que α=0 se estaría en presencia de una martingala típicadonde las variaciones de precios se deberían básicamente a especula-ciones.

El proceso estocástico anterior y también su homólogo en formageométrica se usan comúnmente para modelar precios de acciones yvariables económicas y financieras. Una de las características de estosprocesos es que también pueden ser derivados como el límite en tiempocontinuo de un camino aleatorio en tiempo discreto7.

5 Un proceso de Markov implica que la distribución de probabilidades delos valores futuros de una variable depende solamente de su valor co-rriente no siendo afectada por los valores pasados. Por otro lado, incre-mentos independientes significa que la distribución de probabilidadespara cambios en el proceso sobre un intervalo de tiempo es independien-te de cualquier otro intervalo.

6 Esto se debe a que si µ se distribuye normal estándar, entonces

7 Ver Dixit and Pindyck 1994, pp 68-70 para una derivación.

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En el caso de los commodities en los que el precio de largo plazoestá relacionado con el costo marginal de producción, a menudo se usanprocesos de reversión a la media. Aquí se supone que aunque el preciofluctúa aleatoriamente durante un cierto intervalo de tiempo, en el lar-go plazo debiera tender hacia un valor medio que puede estar dado porlos costos marginales de largo plazo. Un proceso simple de reversión ala media para el precio es el conocido como proceso Ornstein-Uhlenbecky que viene dado por:

dP=Β( —P)dt+σdz

donde β es un parámetro que representa la rapidez de la reversión.Este proceso en el caso límite cuando el cambio en el tiempo tiende acero puede ser modelado como un proceso autoregresivo de primer or-den (AR(1)). Para poder determinar si estos procesos estocásticos tie-nen una forma geométrica o de reversión a la media es necesario exa-minar los datos y usar un test de raíz unitaria.

Lo anterior implica que el precio del cobre bajo condiciones deincertidumbre puede ser generado por procesos estocásticos tales comocamino aleatorio o autorregresivos. Esto reflejaría el hecho de que elprecio del recurso se puede formar en base a actividades de arbitrajemás que a las usuales características de escasez de un recurso naturalno renovable.

Como conclusión, la modelación del precio del cobre requieredeterminar si la serie de precios es determinística o estocástica y siésta tiene un comportamiento estacionario. Los primeros trabajos quese hicieron en esta área como el de Slade (1982a), partieron supo-niendo que la serie era determinística, pero otros como Slade (1986,1997) y Aherns et al., (1997) mostraron la importancia de considerartendencias estocásticas en la modelación de los precios de loscommodities.

2. Estimación de la tendencia histórica del precio real del cobre

Con el objeto de analizar con más detalle las tendencias de largo plazodel precio del cobre se estimará la tendencia histórica del precio realdel cobre. Para ello se utilizarán dos series de datos. La primeracorresponde a los precios del cobre publicado por Robert Manthy paralos años 1870-1973 actualizados hasta 1998 utilizando la informacióndel Metal Week. Estos precios fueron deflactados por el índice deprecios de productor de U.S.A. La segunda serie corresponde al preciopromedio anual del cobre publicado por la US Geological Survey


deflactado por el índice de precios al consumidor para los años 1850-19988.

Para examinar el comportamiento de la serie de tiempo, uno de losprimeros análisis estadísticos que se debe efectuar es la determinaciónde su estacionariedad; en caso que sea estacionaria hay que ver si es detendencia estacionaria o diferencia estacionaria. La importancia de sabersi la serie es de tendencia estacionaria o bien si tiene raíz unitaria radicaen su capacidad de predicción, la persistencia de los errores y lastransformaciones requeridas para convertir la serie en una estacionaria.En una serie que sigue una tendencia lineal estacionaria al componenteestocástico simplemente se le agrega el componente determinístico conel objeto de efectuar una predicción. Por lo general, el error de prediccióncrece a medida que aumenta el período (para la predicción) pero esteerror está acotado. Por el contrario en el proceso de raíz unitaria elcomponente asociado al drift –en el caso de un camino aleatorio condrift– cambia con cada nueva observación agregada. Además el errorde predicción de un camino aleatorio incrementa en forma lineal con elhorizonte de predicción a una tasa mayor que el proceso de tendenciaestacionaria.

Una segunda diferencia importante es la referida a la persistenciade los errores o innovaciones, es decir a cambios en los errores quegeneran efectos permanentes o solo temporales respecto a un valormedio. Por ejemplo, si el precio del cobre fuese un proceso de raízunitaria, se podría aseverar que impactos exógenos podrían tener efectospermanentes sobre la conducta del precio, es decir una caída o un alzapermanente. Por otro lado, si este proceso es estacionario, se podríaargumentar que los impactos exógenos solo tendrían efectos de cortoplazo y luego el precio volvería a un cierto nivel. En el caso del preciodel cobre pareciera razonable suponer que los shocks exógenos sólotendrían efectos de corto plazo y en el largo plazo el precio deberíaacercarse a su valor de escasez o hacia su costo marginal.

La primera etapa para responder estas interrogantes es examinarlas funciones de autocorrelación (ACF). Cuando una serie esestacionaria, su función de autocorrelación tenderá rápidamente a cerocuando aumenta el número de rezagos. Como muestra el cuadro 1 para

8 Se usó un IPC y no IPP debido a que la serie del IPC es más larga ypermite utilizar una mayor cantidad de datos. La serie de IPP que sedispuso parte de 1913. Sin embargo, la tendencia del precio no cambiómucho usando uno u otro índice.

307ANDRÉS ULLOA

el logaritmo natural del precio del cobre, el ACF no decae rápidamentepor lo que existen presunciones de que se podría estar en la presenciade alguna raíz unitaria. Usando Box & Jenkins (1970) se toman lasprimeras diferencias de la serie y se obtiene su ACF; sin embargo, lasuma de los coeficientes de autocorrelación tiende a -0,5 lo cual es unaevidencia de que la diferenciación de la serie es redundante.

Para verificar por estacionariedad se recurrirá a los tradicionalestest de Dickey-Fuller Aumentado (ADF) y el de Phillips-Perron (PP).La forma como estos tests operan se muestra en el anexo I. Se analiza lahipótesis nula de que la serie tiene raíz unitaria con drift contra lahipótesis de que el proceso es estacionario. Los resultados del cuadro 2permiten concluir que si se consideran solo los dos primeros rezagosdel proceso AR el test ADF permite rechazar la hipótesis de raíz unitariacon un 95% de confianza. Con el test PP que no es sensible al númerode rezagos también se rechaza la hipótesis nula por lo cual hay indiciosde que el proceso del precio del cobre sería estacionario.

Cuadro 1. Función de autocorrelación para el precio del cobre

Período 1870-1998 Período 1850-1998 Rezago Nivel de precio Primeras Primeras

diferencias Nivel de precio diferencias

1 0,86 ** 0,04 0,93 ** 0,112 0,71 ** -0,12 0,85 ** -0,21 **3 0,59 ** -0,23 ** 0,79 ** -0,16 **4 0,54 ** -0,11 * 0,75 ** -0,14 **

5 0,52 ** -0,12 ** 0,74 ** -0,13 **6 0,52 ** 0,09 * 0,73 ** 0,06 **7 0,51 ** -0,01 0,72 ** 0,01 **8 0,49 ** 0,02 0,71 ** 0,06 **9 0,48 ** 0,05 0,69 ** 0,02 **10 0,46 ** -0,03 0,67 ** -0,02 *

**, * indican significancia al 5% y 10% respectivamente para el Box-Pierce Q estadís-

tico

Uno de los problemas de estos tests es que son sensibles al perío-do muestral considerado; por ejemplo, al tomar series de datos mas cor-tas como el período 1870-1970 o el período 1910-1998, el test ADF yano permitiría rechazar la hipótesis de raíz unitaria al 5% aun cuando se


usen procesos de simulaciones de Monte Carlo para corregir por la re-ducción en el tamaño de la muestra. Sin embargo, si se escogen arbitra-riamente otros períodos de tiempo como el período 1870-1930, 1931-1970, 1971-1998 es posible encontrar alguna evidencia de tendenciacomo se aprecia en el cuadro 2.

Cuadro 2: Test de raíz unitaria

Orden del rezago

**,* Rechaza hipótesis nula (Ho) al 5% y al 10% respectivamente de que la serie

sea un proceso de raíz unitaria con drift en favor de una tendencia lineal estacionaria.

Para el test ADF el valor critico de rechazo de Ho es -3,45. Para el test Phillips-Perron

(PP) el valor critico de rechazo de Ho es –21,78

Para muestras más pequeñas se usaron simulaciones de Montecarlo

Una explicación al fenómeno anterior lo proporciona Perron(1989); cuando algunas series de tiempo tienen quiebres de tendenciaque no han sido considerados en el análisis es posible obtener evidenciade raíz unitaria aún cuando ésta no exista. Por ejemplo, en el caso demuchos commodities, el precio cayó bruscamente durante la GranDepresión de los años 30. Usando un test tipo ADF se podría considerar

Serie Test 1 2 3 4 5 16

1870-1998 ADF -3,72** -3,54** -2,86 -2,57 -2,19 -1,65

PP -24,95** -25,16** -23,67** -22,32** -20,98** -24,27**

1870-1970 ADF -3,3 -,2,98 -2,19 -1,96 -1,33 -0,86

PP -21,81**

1910-1998 ADF -3,32 -2,90 -2,75 -2,48 -2,59 -1,53

PP -13,62

1870-1930(1) ADF -3,66** -3,68**

PP -18,20**

1931-1970(1) ADF -3,06** -2,21 -2,75** -2,19**

PP -18,45

1971-1998(1) ADF -2,48* -2,38 -1,59

PP -9,40

1850-1998 ADF -3,94** -3,27** (1) -2,99** (1) -2,55* (1) -2,24* (1) -2,23* (1)

PP -25,34** -23,24**

309ANDRÉS ULLOA

esta situación como un shock permanente y por lo tanto se estaría enpresencia de una raíz unitaria; sin embargo, si se elimina el quiebre sepodría estar en presencia de un proceso estacionario donde el preciopuede revertir hacia una tendencia o hacia su media. Para analizar estose usará el método propuesto por Perron(1989) y arbitrariamente seescogerán los períodos 1930, 1945 y 1971 como períodos de cambiosen la tendencia. Para ello se estima la siguiente ecuación por OLS(mínimos cuadrados ordinarios):

Donde son los residuos estimados de la siguiente regresión:

Donde es el estimador mínimo cuadrático, DU es una variabledummy que toma el valor 1 para t>Tq y DT=t si t>Tq. En el anexo I sepresenta este modelo y se definen las variables con más detalle. En elcuadro 3 se muestran los resultados de aplicar quiebres en los períodos1930 (la Gran Depresión), 1945 (fin de la II Guerra Mundial) y 1971(alza en el precio del petróleo). El valor tα corresponde al estadístico tdel parámetro estimado de la regresión anterior. Este valor se comparacon los valores determinados en Perron (1989). En general se observaque al incorporar los quiebres la tendencia lineal estacionaria es aceptadapor el test ADF en todos los casos e incluso en aquel que considera unamuestra más pequeña en la cual la hipótesis de raíz unitaria no pudo serrechazada, como lo muestra el cuadro 2.

Cuadro 3: Test ADF con quiebres en la tendencia lineal

Período Quiebre Test ADF (tα)

1870-1998 1931 -4,55**

1870-1998 1945 -4,87**

1870-1998 1971 -4,32**

1910-1998 1945 -4,21**

Valores críticos: –4,23 para l=0,45;-4,24 para l=0,58;–4,07 para l=0,78;

-4,21 para l=0,39. ** significativo al 5%.

Otros tests son presentados en el cuadro 4. En la primera columnase muestran los resultados del test de raíz unitaria para un proceso de


autocorrelación de orden mayor a uno. Para los dos períodos muestralesconsiderados se estaría nuevamente rechazando la hipótesis de caminoaleatorio. En la segunda columna se presenta un test que generaliza laidea de quiebres de tendencia propuesta por Perron. Este test propuestopor Bierens (1997) usa polinomios de Chebishev para construir unatendencia de tiempo no lineal. Los resultados muestran que al 95% deconfianza se rechaza la hipótesis nula de raíz unitaria.

La última columna del cuadro 4 presenta los resultados de cambiarla hipótesis nula para examinar estacionariedad contra una hipótesisalternativa de camino aleatorio. Se proporcionan dos tests; uno tipo PPy uno conocido como KPSS propuesto por Kwiatkowski, et al. (1992).El cuadro muestra que al 95% de confianza se acepta la hipótesis nula.Como estos tests tienen como hipótesis nula una tendencia estacionariacontra una tendencia estocástica, su aceptación proporciona mayorevidencia de un comportamiento de tendencia estacionaria para ambasseries de precio del cobre.

Dadas las consideraciones anteriores y bajo los test ya especificadoses posible para el período muestral completo rechazar la hipótesis nulade tendencia estocástica o raíz unitaria en favor de un modelo detendencia lineal estacionaria. Por lo tanto se estima el siguiente modeloAR(1)

Yt = α +β*T+ γYt-1+ µt ;

donde T y β son vectores.

Cuadro 4: Otros Test de raíz unitaria

(1) HOAC es test de Bierens de autocorrelación de orden mayor. La hipótesis nula es

raíz unitaria con drift contra tendencia lineal estacionaria

(2) Test ADF no linear propuesto por Bierens.

(3) Para evitar sesgo por reducción del tamaño de la muestra se usaron simulaciones

(4) Test de Kwiatkowski, D., P. Phillips, P. Schmidt, and Y. Shin (1992)

(5) Test de Biernes-Guo

** significativo al 5%, * significativo al 10%

TendenciaPeríodo HOAC (ta) (1) ADF no linear (2) estacionaria HOAC (1,1) HOAC (2,2) t(m) A(m) F(m) KPSS(4) B-G(5)

1870-1998 -113,51** -89,06 ** -6,98** -98,5** 4,8* 0,137 6,22

1850-1998 -77,43** -69,89** -3,97** -33,0** 5,8** 0,122 5,82

311ANDRÉS ULLOA

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

1880 1900 1920 1940 1960 1980

Residual Actual Fitted

Usando el método de MV (máxima verosimilitud) los resultados se

presentan en los cuadros 5 y 6 y en las figuras 1 y 2. En el cuadro 5 se

muestran los valores de los parámetros estimados considerando tanto una

situación sin quiebres en tendencia y otra con quiebres en tendencia. En el

cuadro 6 y figura 2 se muestran los resultados de ajustar un polinomio

Chebishev de orden 5 a la variable tendencia. Como el parámetro que

acompaña a la variable autoregresiva (γ) o AR(1) es en todos los casos menor

a uno y siempre se rechazó la hipótesis de raíz unitaria, el proceso de la

serie del precio del cobre revierte a una media dada por α* +β*T en el caso

del polinomio lineal.

Figura 1. Proceso AR(1) con tendencia lineal para precio real del cobre


Cuadro 5: Estimación de modelo AR(1)

No quiebre Quiebre Período 1930 Período 1930 y 1971

Const 3,838** 3,881** 3,97**ConstxD1 -0,817** -2,035**ConstxD2 3,414**Tend -0,004** -0,006* -0,009**TendxD1 0,009* 0,027**

TendxD2 -0,0342**AR(1) 0,823** 0,76** 0,65**R2 Aj. 0,735 0,749 0,765D.W. 1,75N 129 129 129

**,* significativo al 5% y 10% respectivamente

D1 =1 si t>1930 y 0 en otros casos. D2=1 si t>1971 y 0 en otros casos.

(*) Se usó un polinomio de Chebishev de orden 5 para desestacionalizar los datos

Cuadro 6. Estimación del modelo AR(1) con tendencia no lineal (*)

Variable Valor parámetro Value t

Constante 3,792 57,189 **

Tend (P1) -0,004 -4,122 **

P2

-0,009 -0,288

P3

0,133 4,000 **

P4

-0,034 -1,125

P5

-0,138 -4,207 **

AR(1) 0,618 8,625 **

RSS: 0,027

s,e, 0,149

R2: 0,769

N: 129

313ANDRÉS ULLOA

Figura 2. Proceso AR(1) con tendencia no lineal

Usando el valor medio de la regresión que incluye los quiebres en

tendencia se estima el precio de la libra de cobre de largo plazo. Este precio

corresponde a aquél que solo toma en cuenta la tendencia de largo plazo en

cada tramo eliminando la volatilidad de corto plazo. El cuadro 7 proporcio-

na este precio en centavos de dólar por libra. Por ejemplo, para el año 1998,

el precio real –base año 2000– sería de 1 dólar. No sorprende entonces que

un precio del cobre de largo plazo de 100 centavos la libra sea usado como

referencia por algunas firmas para evaluar un proyecto minero.

Adicionalmente, en el cuadro 8 se presenta un conjunto de tests para

probar la hipótesis de raíz unitaria para muestras más pequeñas (subperíodos

más cortos). Se usa para ello la información anual y también información

mensual. El objetivo de esto es ver si para muestras más cortas se sigue

aceptando la hipótesis de tendencia o si bien ahora es válida la hipótesis de

raíz unitaria. Si los procesos de menor memoria tuviesen raíz unitaria se

estaría en la presencia de shocks permanentes pero de corto plazo, dentro

del intervalo de la submuestra; pero a medida que la muestra crece en tama-

ño la serie se volvería estacionaria con reversión a la media. En el cuadro 8

se observa que para la mayoría de las submuestras analizadas no es posible

rechazar la hipótesis de raíz unitaria. La última columna muestra que si se

cambia la hipótesis nula por una de estacionariedad, para la mayoría de

estas submuestras no es posible aceptar la hipótesis de tendencia lineal.

Esto quiere decir que existe evidencia de que los shocks tendrán efectos de

corto plazo pero posteriormente en un período largo de tiempo el precio del

cobre debería revertir hacia su media de largo plazo. En el intertanto, el

precio mostrará una fuerte variabilidad.


Cuadro 7: Estimación de precio de largo plazo usando un proceso de

reversión a la media (centavos de dólar por libra)

Año Real (*) Nominal Año Real(*) Nominal

1980 134,87 86,12 1990 114,70 99,21

1981 132,70 92,54 1991 112,86 99,66

1982 130,57 94,75 1992 111,04 99,27

1983 128,47 94,72 1993 109,26 98,87

1984 126,41 95,12 1994 107,50 97,90

1985 124,38 94,50 1995 105,77 98,17

1986 122,38 91,65 1996 104,08 99,16

1987 120,41 92,09 1997 102,40 97,94

1988 118,48 92,85 1998 100,76 95,56

1989 116,57 96,10

• En precios del año 2000

Cuadro 8: Test de raíz unitaria para submuestras

Período Periodicidad ADF PP KPSS (1)

1870-1930 anual -3,664** -20,4** 0,108

1931-1998 anual -2,56 -9,26 0,148**

1980-2000 mensual -2,81 -19,36 0,155*

1980-1989 mensual -2,11 -9,30 0,2026**

1990-2000 mensual -2,44 -12,89 0,118

*significativo al 10%; ** es significativo al 5%

(1) Aquí la hipótesis nula es la de estacionariedad.

Finalmente se presenta un análisis de cointegración entre el precio

real del cobre y la tasa de crecimiento del PIB real de la economía de Esta-

dos Unidos para el período 1929-1998 y entre el precio de cobre y los nive-

les de inventarios para el período 1989-2001 usando datos semanales. Exis-

te evidencia que la demanda de cobre está fuertemente influenciada por la

variable ingreso. Una reducción en el PIB tiene por lo general importantes

efectos sobre el precio de equilibrio tanto por el lado de los consumidores

de cobre como por el lado de los inversionistas financieros.

315ANDRÉS ULLOA

60

80

100

120

140

160

180

200

1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

Años

Pr

eci

o

re

al

Este cambio en el precio puede tomar algún tiempo dependiendo de

las condiciones de los inventarios. Si la información entregada por el PIB

estuviera cointegrada con la del precio del cobre, los analistas podrían utili-

zar las predicciones en el crecimiento económico como un instrumento para

predecir el precio del cobre. Lo mismo ocurre con los inventarios; si la

variable inventario estuviese cointegrada con la variable precio, la informa-

ción obtenida sobre estos inventarios podría ser usada en la predicción del

precio del cobre.

Los resultados preliminares de aplicar el test de Bierens de

cointegración no lineal y el test de cointegración de Johansen muestran que

el precio del cobre y el PIB estarían integrados en orden uno o dos. Por otro

lado el precio del cobre estaría cointegrado con los inventarios en un orden

de cointegración de al menos 2. Claramente ésta es un área de investigación

futura que podría ser de mucha utilidad para obtener mayor información

para mejorar las predicciones del precio del cobre.

Figura 3. Tendencia de Largo Plazo

3. Estimación de la variabilidad en el precio del cobre

Las series financieras y los precios de los commodities se caracterizan por

tener una alta volatilidad. El precio del cobre no es la excepción y se ha

caracterizado por presentar una fuerte variabilidad que además crece en

algunos períodos (especialmente si se consideran precios diarios o semana-

les). Es común por ejemplo que ante una caída en el precio bajo una cierta

Pre

cio

Rea

l


tendencia, ésta se mantenga por un cierto período; lo mismo ocurre ante un

alza en el precio. Este comportamiento ha inducido a algunos investigado-

res a suponer que las varianzas no son constantes y por lo tanto que existiría

una cierta estratificación de la volatilidad.

Una forma de enfrentar el problema antes mencionado es median-te la corrección del modelo de predicción que incluya heteroscedasti–cidad condicional en los errores. Esto es lo que hacen los modelos ARCHy GARCH que se presentan en el anexo I. Por ejemplo, los modelosARCH típicamente asumen que existe una volatilidad de largo plazodada por un parámetro ν con un peso superior a cero. La volatilidadcorriente se asume que depende de las volatilidades pasadas usando unmodelo típico de series de tiempo. Esto conduce a especificar el mode-lo de la siguiente forma:

donde se puede definir σ y u por:

Los pesos asignados a la ecuación anterior, es decir γ+Σα debensumar la unidad. Este modelo queda convertido en un modelo ARCH(q)donde los parámetros α0 y α i se pueden estimar usando un procedimientode máxima verosimilitud.

De la misma manera se puede especificar el GARCH como

donde nuevamente la suma de los parámetros es uno.

La especificación del modelo depende de la existencia deestacionariedad o raíz unitaria en la serie de tiempo. Para el caso demodelos de tendencia estacionaria el modelo estimado es de la forma:

Log Pt= a + b*time +εt

317ANDRÉS ULLOA

Con ε siguiendo el proceso ARMA definido anteriormente y con ρ <1.

Para el caso del modelo integrado con raíz unitaria (caminoaleatorio con drift) que por definición tiene un ρ=1 el modelo puede serestimado como:

Log Pt = a + LogPt-1+ εt o Log(Pt/Pt-1) = a + εt

Los resultados de esta estimación se muestran en los cuadros 9 y10. Se estiman las primeras diferencias para todas las muestras aexcepción de la muestra 1870-1998 donde se usan datos de nivel. Secalculan los parámetros del modelo además de un estimador devolatilidad de largo plazo dado por γV de la ecuación anterior. Esteparámetro se obtiene como αo/(1-α1-β).

Cuadro 9. Test ARCH para precio del cobre

Período Valor t P=1 P=2

1870-1998 39,4** 39,64**

1930-1998 11,88** 11,75**

1950-1998 ,16 1,15

*significativo al 10%; ** es significativo al 5%

P= orden del rezago del proceso autoregresivo del error.

Del cuadro 10 se aprecia que en general la volatilidad anual usandoprimeras diferencias es mucho mayor cuando se toma en cuenta toda laserie de tiempo que cuando se fracciona esta serie. Además al subdividirla muestra en dos series (1930-1998, 1970-1998) se observa que lavolatilidad es similar.

Al tomar datos mensuales para los últimos dos decenios se apreciaque esta volatilidad se reduce (comparando los datos mensuales). Lomismo ocurre al tomar cifras semanales para períodos más cortos detiempo. Por otro lado, al comparar los períodos 1989-2001 y 1996-2001se observa que la volatilidad es casi idéntica, es decir independiente–mente de lo que haya pasado en el mercado la volatilidad sigue siendola misma entre estos períodos. Esto confirma otros estudios que muestran


que el incremento de las transacciones financieras a partir del año 1996no ha alterado la volatilidad del precio del cobre (Figueroa et al. (2000a))

Cuadro 10. Estimación de volatilidad usando un modelo

AR(1)- Garch(1,1)

*significativo al 10%;

** es significativo al 5% , valor t entre paréntesis

IV. VOLATILIDAD DEL PRECIO DEL COBRE EN RELACIÓN CON LA VOLATILIDAD DEL PRECIO DE OTROS COMMODITIES

En esta sección se analizan las series de precios reales de algunoscommodities seleccionados y se comparará su volatilidad respecto alprecio del cobre. Las series de datos fueron obtenidas del departamentode Commodities del Fondo Monetario Internacional para el período1980- 2001, en índices de datos mensuales. La información financierausada para el precio del cobre contado, futuros a 3 meses, 15 y 27 meses

Período Const Tend αo

α1 AR(1) Volatilidad

Serie en primeras diferencias

1850-1998 -0.008 -0,18 0,02 0,73 0,11 0,074

(-20,4) ** (-5,7) (2,36)* ( 2,67)** ( 0,6)

1930-1998 -0,009 0,02 0,21 -0,03 0,02(-0,5) (1,7)* (0,86) (-0,06)

1970-1998 0,0064 ( 0,29) 0,02 0,41 -0,39 0,02(1,5)* (0,78) (-1,07)

Serie de nivel

1870-1998 3,87 -0,004 0,036 -0,235 0,756 0,075 (92,5) ** (-7,7) ** (3,9) ** (-2,2) ** (2,48) **

1930-1998 2,63 0,009 0,006 0,040 1,239 -0,023 (28,45) ** (9,2) ** (1,14) (0,41) (2,4) **

1950-1998 0,013 0,736 0,008 -0,040 0,713 (0,62) (2,3) ** (1,15) (-0,22)

Datos mensuales

1980-2000 -0,792 0,0035 0,21 -0,24 0,0044 (5,9)** ( 2,9)** (-1,5)

Datos semanales

1989-2001 -0,002 0,0007 0,24 0,007 0,0009(-1,7)* ( 6,9)** (3,6)** (0,06)

1996-2001 -0,002 0,0009 0,09 -0,001 0,0009 (-1,1) (2,4)** (1,2) (-0,003)

319ANDRÉS ULLOA

corresponde al promedio mensual de la LME para el período 1989-2001.Los precios fueron deflactados por el índice de precios industriales(MUV) del FMI.

Para efectos de la comparación se usarán los siguientescommodities.

1. Indice de precios de alimentos

2. Indice de precios de bebidas

3. Indice de precios de materias primas

4. Indice de precios de metales

5. Indice de precios de fertilizantes

6. Indice de precios del petróleo

7. Precio del azúcar

8. Precio del caucho

9. Precio del aluminio

10. Precio del níquel

11. Precio del cobre contado

12. Precio del cobre futuro 3 meses

13. Precio del cobre futuro 15 meses

14. Precio del cobre futuro 27 meses.

15. Indice de precio de las acciones de Frankfurt (DAX)

16. Indice de precio de las acciones de Londres (FTSE100)

17. Indice de precio de las acciones de Tokyo (Nikkei).

18. Standard & Poor New York, (S&P 500),

Para efectos de verificar que se tiene una serie estacionaria se trabajará

con el logaritmo de las primeras diferencias. En el cuadro 11 se encuentra

un resumen estadístico con los principales indicadores de media, desviación

estándar, volatilidad anual histórica, skewness, kurtosis, test Jarque-Vera

de normalidad. Se observa que en general las series no son normales. Esto

es probablemente debido a que la muestra es relativamente pequeña (se han

usado datos mensuales). Sin embargo, es frecuente encontrar estas situaciones

con datos financieros.

El parámetro que más interesa estudiar es la volatilidad. Se toma un

indicador de volatilidad anual para comparar las series de tiempo. Usando

este indicador de volatilidad histórica y mirando la figura 4 se puede observar


que el precio del cobre tiene un nivel de volatilidad intermedia respecto a

metales como el níquel o commodities como el azúcar que tienen una mayor

volatilidad en el período de análisis.

Cuadro 11: Estadísticos para series seleccionadas

La volatilidad fue calculada en una base anual como la desviación

estándar mensual multiplicada por la raíz de 12. Esto es volatilidad

histórica

Si se compara la volatilidad de los metales con la volatilidad del índice

de precio de los bienes industriales (MUV) observamos que la primera es 5

o 6 veces mayor. En la figura 6 se ha graficado la volatilidad de ambas

series usando una misma escala para efectos de comparación.

La volatilidad de los índices de acciones es ligeramente inferior a la

del cobre. A su vez tomando en cuenta los instrumentos financieros que se

usan para transar cobre como futuros 3 meses, 15 y 27 meses se observa

que estos últimos presentan una menor volatilidad que el precio contado del

cobre. Aquí habría un indicio que los futuros en este período han reducido

la volatilidad de las transacciones de cobre. Sin embargo, considerando las

conclusiones de otros estudios, dado el bajo porcentaje de cobre transado

en futuros y opciones, esta menor volatilidad no habría afectado la volatilidad

del precio contado.

Media Mediana Maxim Minim Desv. Volatili- Skew- Kur- Jarque- Observ. Estándar dad (a) ness tosis Bera

Bebidas -0,005 -0,004 0,294 -0,186 0,060 0,206 0,776 6,117 126,770 251Fertilizante -0,001 0,000 0,106 -0,119 0,027 0,094 -0,345 6,638 143,375 251Alimentos -0,002 -0,004 0,168 -0,088 0,033 0,113 0,647 5,589 87,648 251Metales -0,002 -0,003 0,132 -0,176 0,040 0,139 -0,039 4,804 34,097 251Mat-Primas -0,001 -0,001 0,076 -0,130 0,029 0,102 -0,458 4,708 39,303 251Caucho -0,004 -0,001 0,199 -0,153 0,052 0,179 0,362 4,713 36,176 251Azúcar -0,003 -0,002 0,362 -0,263 0,103 0,355 0,419 3,923 16,251 251Petróleo -0,003 -0,001 0,439 -0,320 0,082 0,283 0,396 7,860 253,556 251Aluminio -0,002 -0,006 0,198 -0,288 0,060 0,207 -0,166 5,483 65,613 251Niquel -0,001 -0,007 0,578 -0,243 0,080 0,277 1,683 13,986 1380,772 251CU-CASH -0,004 -0,005 0,291 -0,203 0,063 0,132 0,377 6,312 68,746 143FUTcu-3 -0,004 -0,007 0,257 -0,217 0,057 0,184 0,243 6,677 81,985 143FUTcu-15 -0,003 -0,003 0,129 -0,137 0,038 0,196 0,026 4,648 16,203 143FUTcu-27 0,003 -0,001 0,414 -0,135 0,053 0,218 3,934 32,739 4495,125 114St-Frankfur 0,005 0,010 0,301 -0,280 0,061 0,213 -0,260 8,883 206,396 142ST-Londres 0,006 0,008 0,187 -0,253 0,051 0,177 -0,721 7,643 139,841 142ST-Japón -0,001 -0,001 0,168 -0,197 0,054 0,186 -0,443 4,094 11,712 142ST-SP500 0,008 0,010 0,189 -0,157 0,041 0,141 -0,198 8,047 151,656 142

321ANDRÉS ULLOA

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40

Bebid

Fertiliz

Alimentos

Metales

MAT-Primas

Caucho

Azucar

OIL

Alum

Nickel

FUTcu-15

FUTcu-27

FUTcu-3

CU-CASH

St-Frank

ST-Lon

ST-Jap

ST-SP500

Ac

tiv

o

Volatilidad anual

Si se toma una muestra más grande de metales y acciones con una

base diaria se concluye que la volatilidad del cobre es alta comparada con

otros metales y que esta volatilidad se reduce para el caso de futuros como

se aprecia en la figura 5.

Figura 4. Volatilidad histórica de las series


Figura 5. Volatilidad Histórica Base diaria para series

seleccionadas Período 1989-2001

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70

Nicash

Ni3

Lecash

HNGKNGI

Ni15

Le3

Cucash

Alcash

AMSTEOE

Zicash

Al3

DAXINDX

Cu3

SNGALLS

Le15

JAPDOWA

FRCAC40

Cu27

Zi3

FTSE100

Ticash

Al15

Ti3

Cu15

SPCOMP

Ti15

Zi15

Al27

A

C

T

I

V

O

S

Volatilidad base diaria

323ANDRÉS ULLOA

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00

LPMETAD1

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00

LMUVD1

Figura 6. Volatilidad de Precio Metales y Precios Industriales

A la izquierda Log de las primeras diferencias del índice de pre-

cios de los metales. A la derecha el log de las primeras diferencias del

índice de precios industriales. Datos mensuales, 1980-2001. Ambas se-

ries fueron graficadas en la misma escala para propósito de compara-

ción.

V. CONCLUSIONES

Al analizar la tendencia del precio del cobre contado anual en el perío-do 1850-1998 y 1870-1998 se concluye que estas series largas de tiem-po son de tendencia estacionaria. En particular esta tendencia no seríalineal y estaría altamente influenciada por quiebres en tendencias pro-ducidas por cambios estructurales en el desempeño económico. Estoindicaría la existencia de reversión hacia una media no lineal. Usandoesto último fue posible determinar un precio de largo plazo que eliminalas variaciones de corto plazo.

Para analizar la variabilidad del precio del cobre se usaron datosanuales, mensuales y semanales y se utilizó un modelo GARCH(1,1)para corregir por heteroscedasticidad en los errores. Se concluyó que lavariabilidad de largo plazo para todo el período 1850-1998 es mayorque si se toman subperíodos de tiempo. Por otro lado tomando datossemanales se observa que la variabilidad ha sido más o menos constan-te durante el período 1980-2001.

Al analizar la variabilidad del precio del cobre contado respecto aprecios del cobre en opciones y futuros, respecto al precio de otroscommodities y respecto al precio de los principales índices de acciones


se concluye que la volatilidad del precio del cobre está en un nivel in-termedio. La variabilidad de las opciones y futuros es menor que la delcobre contado, sin embargo, no se puede concluir si esto ha afectadopositivamente al precio contado.

Para poder sacar conclusiones más relevantes respecto a lavolatilidad del precio del cobre sería conveniente efectuar un test decointegración entre la variación del precio del cobre contado y lavariación de los precios de otros activos (acciones, precio futuro,opciones, inventarios y commodities relevantes). Además se podríaincluir en este análisis el impacto de la volatilidad del ingreso sobre lavariabilidad de los precios. Un análisis preliminar de cointegraciónmostró que el precio del cobre estaría integrado al precio de losinventarios y al ingreso real. La importancia de la cointegración radicaen la posibilidad de usar más información y en especial aquella conmenos volatilidad para predecir los niveles y la volatilidad del preciodel cobre.

325ANDRÉS ULLOA

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329ANDRÉS ULLOA

ANEXO I

VOLATILIDAD Y SERIES DE TIEMPO:ASPECTOS CONCEPTUALES

El concepto de volatilidad

El concepto de volatilidad como se entiende hoy día tiene sufundamentación en el trabajo seminal de Black y Sholes (1973) y en lamoderna teoría financiera. Aquí el concepto de volatilidad juega un papelcentral en determinar el valor de una opción. Si bien es cierto este esuno de los cinco parámetros básicos de la fórmula de opciones de Blacky Sholes (B&S) su importancia radica en que es el único no observabley por lo tanto debe ser estimado. Para derivar la fórmula de opciones,B&S usan un modelo de camino aleatorio de tiempo continuo. Ello daorigen al popular concepto de Brownian Motion con drift dado por lasiguiente expresión lognormal

(A1) ,

donde dS es el cambio en el precio del activo sobre un períodoinfinitesimal de tiempo, µ es el retorno medio del activo, dz es unaperturbación aleatoria independientemente distribuida con media ceroy varianza 1dt, siendo σ un parámetro de volatilidad9.

Este modelo ha sido el estándar en el último tiempo para el cálculo de

derivados y para la aplicación de modernos instrumentos financieros. Los

agentes de bolsas lo usan para el cálculo del precio de los activos financieros

después de incorporar una predicción sobre el valor de σ.

El modelo B&S establece que el parámetro de volatilidad σ que sigue

el proceso dado en (A1) es constante. Sin embargo, en el mundo real no lo

es, por lo tanto se hace necesario realizar periódicamente una predicción de

éste parámetro. La evidencia muestra que el modelo teórico tiene algunas

limitaciones importantes entre las que se puede destacar:

9 Dada la naturaleza lognormal de la expresión, el retorno acumulado enun período de largo T tiene como valor esperado a µT, la varianza σ2T yla desviación estándar


• la volatilidad cambia a través de tiempo• los precios de las transacciones no son precios de equilibrio• estos precios presentan correlación serial.• los retornos no se comportan como lognormales y su distribución

tiene una cola mas larga.• la existencia de reversión a la media .

Estas diferencias del modelo con el mundo real hace que elproblema de estimación de la volatilidad sea una cuestión empíricarelevante. La forma de estimación de la volatilidad depende del usoque se quiera hacer y el método de estimación

La no-normalidad de los retornos

Los cambios en los precios observados se desvían consistentemente dela log-normalidad. Usualmente la distribución de los precios de lasacciones tiene colas más grandes que las que tendría bajo normalidad.En algunos casos los precios pueden variar inexplicablemente entre dosfechas sin que existan transacciones importantes. La desviación de lanormalidad para algunos retornos es un fenómeno que comúnmente hasido detectado en los precios de los commodities ya que estos se ven amenudo enfrentados a grandes saltos en sus precios debido a factoresexógenos (Deaton y Laroque 1990).

Para evaluar la normalidad de una serie a menudo se usan lasmedidas estadísticas de skewness y kurtosis. La distribución normal essimétrica y la medida estándar de su simetría viene dada por elcoeficiente de sknewness E(ε3)/σ3. La kurtosis es una medida de laanchura de la cola de la distribución y está dada por β=E(ε4)/σ4. En elcaso de la distribución normal el valor de la kurtosis es 3.

Para chequear normalidad se puede comparar la skewness con zeroy la kurtosis con 3. En la práctica se usa lo que se conoce como el gradode exceso dado por β-3. Un test tipo Wald con una distribución χ2 (2)puede ser usado. El test más común es el de Bera y Jarque –test demultiplicadores de Lagrange–.

La estacionariedad o no estacionariedad de las series financieras10

Existe una literatura extensa que ha mostrado que muchas serieseconómicas y financieras no tienen una estructura determinística no

10 Ver Hamilton para una cuidadosa discusión de estos y muchos otros temas

en series de tiempo

331ANDRÉS ULLOA

estacionaria sino que más bien su comportamiento es estocástico y lasseries presentan raíces unitarias.

Un proceso estocástico es estacionario si su función de distribuciónno cambia a través del tiempo. Por lo tanto las medias de la serie detiempo debieran ser iguales en los períodos k y k+l y las covarianzastienen que ser constantes. Cuando los momentos de orden uno y dos semantienen constantes se dice estar en presencia de un procesoestacionario de orden dos. La mayoría de las series financieras no sonestacionarias. La media cambia en el tiempo y las varianzas rara vezson constantes

Por ejemplo en el conocido modelo autorregresivo de orden unoAR(1), dado por Yt=ρYt-1+εt, la estacionariedad está dada por el hechode que el valor absoluto de ρ sea menor a uno y que εt –también llamadainnovación– sea un ruido blanco11. Aqui la E(Yt)=0, la varianza estádada por σ2

ε/1-ρ2 y la covarianza es ρt-sσ2ε/(1-ρ2), las cuales son

indeterminadas si ρ2 es mayor o igual a uno12. La autocovarianza paraun rezago k viene dada por λk=Cov(yt,yt-k). La función de autocorrelación(ACF) se obtiene al dividir la autocovarianza por la varianza , es decir:ρk=λk/λo -1≥ρk≤ 1

En la práctica para conocer la autocorrelación de una serie detiempo se obtiene la función de autocorrelación (ACF) o el correlógramoy se hace un test de Box-Pierce o uno más refinado como el de Ljung-Box

Las variables macroeconómicas y financieras exhibengeneralmente fuertes tendencias y por lo tanto no son estacionarias. Sinembargo, muchas veces las primeras diferencias son estacionarias. Unproceso muy popular es el camino aleatorio con drift dado por yt= µ +yt-1 + εt

, él cual , por tener varianza infinita no es estacionario. Sin

embargo, las primeras diferencias dadas por Zt = yt-yt-1 = µ + εt son

estacionaria. Esta serie yt se dice que es integrada de orden I(d) ya queal tomar sus “d” primeras diferencias se convierte en estacionaria. Enel ejemplo d=1.

11 Ruido blanco hace referencia a un proceso de variables aleatorias noautocorrelacionadas

12 Para el caso más general, el proceso es estacionario si las raices de lasecuaciones características de C(L)=1-r

1L-r

2L2-r

3L3-............-r

pLp=0 tienen

módulo superior a uno o están fuera del círculo unitario.


Series con fuertes tendencias o alta autocorrelación tienden a estar

relacionadas entre sí en forma espuria, es decir aún cuando éstas sean

independientes. En macroeconomía o en finanzas las series de datos pueden

tener factores comunes que las hagan comportarse en forma similar aún

cuando no estén teóricamente relacionadas. Además existe fuerte evidencia

que estas series presentan componentes de raíces unitarias. La importancia

de esto último radica en que bajo la hipótesis de raíz unitaria los shocks

tendrían efectos permanentes sobre el comportamiento de la serie mientras

que si ésta es estacionaria los efectos serían transitorios. Para chequear este

comportamiento se han propuesto varios tests conocidos como tests de raíz

unitaria. Uno de ellos (uno de los más populares) es el test de Dickey and

Fuller (ADF) . Ellos definen el siguiente modelo:

(A2)

t = p+2,.....,n, y ut es ruido blanco.

La hipótesis nula H(0) es que zt

es raíz unitaria con drift y que a = 0.

Aquí se estaría en la presencia de un camino aleatorio con drift. La hipótesis

alternativa es que z(t) es un proceso de tendencia estacionaria con a < 0.

Otro test que se usa habitualmente es el de Phillips and Perron (1988). Los

tests de raíz unitaria son muy populares pero también han sido muy criticados

entre otras cosas por su poca potencia. Por ejemplo, aunque estos tests puedan

no rechazar la hipótesis nula a un 95% de confianza, eventualmente podrían

también no rechazar la hipótesis de que a=0.05, incluso a un 99% de

confianza. Por lo tanto, la evidencia de no rechazo de la hipótesis nula no

indica aceptación de un camino aleatorio.

En situaciones donde además existen cambios bruscos en la tendencia

de la serie y estos sean ignorados en el cálculo de los tests, se puede no

rechazar la hipótesis de raíz unitaria erróneamente (Perron ( 1989)). Por

ejemplo, en la depresión de los años 30 y en el año 1973 a raíz del alza del

precio del petróleo se produjeron cambios en los niveles y tendencias de

muchas series económicas. Si estos shocks no son considerados en los tests

de raíz unitaria, se podría concluir que la serie es estocástica cuando en

realidad puede que ésta tenga tendencia estacionaria. Para modelar estos

efectos Perron (1989) considera estimar la siguiente hipótesis nula en el

caso de un modelo que incorpore cambio en el nivel y en la pendiente.

333

donde TB se refiere al tiempo de quiebre de tendencia.

Modelos Arch y Garch para estimar volatilidad

Generalmente los datos de series de tiempo relacionados a fenómenos

macroeconómicos o financieros presentan algún tipo de inestabilidad en la

varianza de los errores. Engle (1982,1983) y Cragg (1982) encontraron

evidencia de este fenómeno en algunos estudios de inflación. Más tarde

otros estudios realizados con datos de variables macroeconómicas como

tipo de cambio y especialmente series financieras indican que esto es bastante

común. Los resultados de Engle sugieren que al analizar modelos de

inflación, grandes y también pequeños errores de predicción están

segmentados y por lo tanto la varianza de errores difiere en los distintos

segmentos y depende del tamaño de las perturbaciones precedentes. Para

evitar este problema Engle (1982) sugiere usar un modelo Autorregresivo

de Heteroscedasticidad Condicional (ARCH en su abreviatura en Inglés).

Una versión simple del modelo es:

(A3)

donde µt es normal e idénticamente distribuida y cumple con todos

los supuestos clásicos de los modelos de regresión. Sin embargo, no

334

ocurre lo mismo con εt ya que E(εt)=0 ; Var (εtεt-1)=α0 +α1εt-1

2= σ2t. Una

expansión de este método a “p” rezagos muestra que σ2t=α0

+α1ε2

t-1

+α2ε2t-2+………………+αpε2

t-p

Un modelo más general propuesto por Bollerslev (1996) es elllamado generalizado ARCH o también GARCH. Aquí la varianza delas innovaciones está dada por el proceso ARMA(1,1) donde σ2

t=α0

+α1ε2t-1 +δσ2

t-1 . 13

La estimación de este tipo de modelos bajo OLS aunque insesgadano es la más eficiente, por ello se requiere utilizar mínimos cuadradosgeneralizados. Para examinar la existencia de efectos Garch en unmodelo se usa un test ARCH. Bajo este test se verifica la hipótesis nulade que los errores son ruido blanco contra la hipótesis alternativa que lavarianza de los errores son del tipo dado en ARCH(q) . El test ARCH esun test de multiplicadores de Lagrange (LM).

13 El Garch (p,q) viene dado por : σ2t=α0

+α1ε2

t-1 +........+αqεt-q2 + δ1σ2

t-1

+........................δpσt-p2.

335

ANEXO II

Optima extracción de un recurso no renovable bajo condiciones decerteza.

Supóngase el siguiente modelo de explotación de un stock derecursos minerales, donde las variables son definidas como:

Q(t)=La producción de la industria en el tiempo t.

P(t) =Precio en el período t.

C(Q(t),t)=Costo de procesamiento y extracción que dependepositivamente de la producción y de un índice tecnológico dado por t.

X(t) = Stock del recurso en el tiempo t.

R(t)= Reservas en el tiempo t

λ(t)= Una variable de co-estado

Un punto sobre una variable indica tasa de cambio a través deltiempo.

El problema de la firma es elegir la senda de extracción quemaximiza la suma descontada de sus ingresos suponiendo que el precioestá dado y los costos son crecientes en Q y decrecientes en R. Elproblema a resolver es el siguiente:

La solución a este problema queda definido por la solución delvalor corriente del siguiente Hamiltoneano y sus condiciones de primerorden y de transversalidad.

336

Reordenando ii) y derivando i) respecto al tiempo e introduciendoii) en i) se obtiene que:

La condición i) muestra que en equilibrio el precio debe igualar alcosto marginal más la renta del recurso. La condición ii) o iv) da origena la llamada condición de arbitraje o regla de Hotelling que muestraque en el equilibrio la renta del recurso debe crecer a la tasa de interésmás el cambio en el costo respecto a variaciones en las reservas. Laecuación v) muestra que la tasa de cambio del precio es igual a la rentadel recurso capitalizada a la tasa de descuento más el cambio de loscostos producto de la variación en las reservas más la tasa de cambiodel costo marginal producto de cambios en la tecnología y en las reservas.

Optima extracción de un recurso no renovable bajo condiciones deincertidumbre

La incertidumbre en la explotación de un recurso natural semanifiesta principalmente en los precios y en los costos de producción.Para incluir esta incertidumbre en el modelo podemos asumir que elprecio sigue un proceso tipo Wiener dado por:

Donde µp(t) es la tasa de apreciación del precio la que varía a travésdel tiempo con cambios en las reservas o cambio técnico y σp es la varianza.

Por otro lado los costos también son inciertos y dependen de lafunción: , C=C(Q,R,θ(t)),donde θ(t) es un parámetro de productividadaleatorio que también sigue un proceso Wiener dado por:

337

Este problema de control estocástico tiene una función valor dado por:

Usando una versión estocástica de la ecuación de Euler se tiene que:

Donde Etd(.) es el operador diferencial de Ito. Derivando π con

respecto a Q y R y tomando la derivada con respecto a t se obtiene:

Donde λ = P-CQ. La ecuación vi) es la versión estocástica de la

regla de Hotelling. La última ecuación muestra la dinámica del precio,la cual es similar a su versión determinística cuando la covarianza entreel precio y el parámetro de productividad no están correlacionados y lafirma es neutral al riesgo.

TENDENCIA Y VOLATILIDAD DEL PRECIO DEL COBRE · podría incluso hacer más variable el precio. El...

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