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TEMAS DE MATEMTICAS(Oposiciones de Secundaria)

TEMA 39

GEOMETRA DEL TRINGULO

1. Generalidades.1.1. Conceptos Elementales.1.2. Clases de Tringulos.1.3. Rectas Notables del Tringulo.1.4. Resultados Inmediatos.1.5. Criterios de Igualdad de Tringulos.1.6. Relaciones entre ngulos y lados.

2. Puntos y Rectas Notables de Tringulo.2.1. Circunferencia Circunscrita. Circuncentro.2.2. Ortocentro.2.3. Circunferencia Inscrita. Incentro.2.4. Circunferencias Exinscritas. Exincentros.2.5. Tringulo rtico.2.6. Seis Puntos Notables de la Circunferencia Circunscrita.2.7. Circunferencia de Fenerbach.2.8. Baricentro de un tringulo.2.9. Recta de Euler.

3. Relaciones Mtricas en un tringulo.3.1. Rectas Antiparalelas.3.2. Tringulos Rectngulos.3.3. Teorema de Pitgoras.3.4. Generalizacin del Teorema de Pitgoras.3.5. Suma y Diferencia de los cuadrados de dos lados de un tringulo.3.6. Teorema de Stewart.3.7. Propiedad Mtrica de las Bisectrices.3.8. Radio de la Circunferencia Circunscrita.

4. rea del Tringulo.Bibliografa Recomendada.

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TEMA 39

GEOMETRA DEL TRINGULO

1. GENERALIDADES.

1.1. Conceptos Elementales.

DEF Tringulo es la figura del plano formada por tres segmentos rectilneos quetienen, dos a dos, un extremo comn.

Como definiciones equivalentes de tringulo tenemos las dos siguientes:

DEF2 Tringulo es la figura del plano formada por una poligonal cerrada de tres lados.

DEF3 Tringulo es un polgono convexo de tres lados y tres ngulos.

Los ngulos convexos formados por cada dos lados se llaman ngulos del tringulo,o ngulos internos, y los adyacentes a stos son los ngulos externos. Los segmentosque forman el tringulo son los lados del mismo. Todos los tringulos, por definicin,estn compuestos por tres lados y tres ngulos.

Notacin. Los lados de un tringulo se denotarn con letras minsculas y los nguloscon maysculas, teniendo un ngulo y su lado opuesto la misma letra.

A B

Cb a

cFig. 1.

DEF Llamamos Permetro del tringulo a la suma de las longitudes de sus tres lados.

1.2. Clases de Tringulos.

Podemos realizar dos clasificaciones diferentes de los tringulos, segn nos basemosen sus lados o en sus ngulos.

1) Clasificacin de los tringulos en funcin de sus lados.

Equiltero. Tienen los tres lados iguales. Issceles. Tienes dos lados iguales. Escaleno. Tienen todos los lados de diferente longitud.

2) Clasificacin de los Tringulos en funcin de sus ngulos. Rectngulos. Tienen un ngulo recto.

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Obtusngulos. Tienen un ngulo obtuso. Acutngulos. Tienen los tres ngulos agudos.

1.3. Rectas Notables del Tringulo.

DEF Llamaremos Base del tringulo a uno cualquiera de sus lados.

DEF Llamaremos Altura de un tringulo al segmento perpendicular trazado desde elvrtice opuesto a la base o a su prolongacin.

DEF Llamaremos Mediana al segmento que une un vrtice con el punto medio dellado opuesto.

DEF Llamaremos Bisectriz Interior a la recta que divide un ngulo cualquiera deltringulo en dos ngulos iguales y queda limitada por el lado opuesto.

DEF Llamaremos Bisectriz Exterior a la bisectriz de un ngulo exterior.

Dado que un vrtice del tringulo tiene dos ngulos externos, opuestos entre si, susbisectrices son parte de una misma recta, la cual es perpendicular a la bisectriz interiorde dicho ngulo.

DEF Llamaremos Mediatriz de un tringulo a toda recta perpendicular a un ladocualquiera que pasa por su punto medio.

1.4. Resultados inmediatos.

TEOREMA

Un tringulo es issceles si y slo si tiene dos ngulos iguales.

Dem.

Sabemos que un tringulo issceles tiene dos lados iguales. Demostraremos que los

dos ngulos opuestos a los dos lados iguales son iguales.

Sea ABC un tringulo issceles, siendo b=c. Consideremos el tringulo ABCsimtrico de ABC respecto de la bisectriz del ngulo A.

A

B C C' B'

A'Este tringulo verifica que b=c

Si realizamos un movimiento deforma que A coincida con A y ACcon su igual AB, dado que A=A, ellado AB tambin coincidir con suigual AC.

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Por tanto, los dos tringulos issceles coincidirn y C=B. Y como C=C,tenemos que B=C.

Supongamos ahora que el tringulo ABC dibujado verifica que B=C. Sea

ABC igual que antes y mediante un movimiento situamos A sobre A y CB sobreBC. La recta CA tendr la misma direccin que BA ya que B=C y la recta BAtendr la direccin de CA por ser C=B.

Entonces AB=AC y AC=AC luego AB=AC y por tanto ABC es issceles.

TEOREMA

La bisectriz del ngulo determinado por los dos lados iguales de un tringuloissceles es a la vez la altura, la mediana y la mediatriz del vrtice que determina al ladoopuesto.

Dem.

Consideremos el tringulo isscelesABC, donde AB=AC. La bisectriz deA forma con los lados AB y AC losngulos 1 y 2 y corta a BC en elpunto D. Por construccin 1=2.

La simetra con respecto a la rectaque contiene al segmento ADtransforma el tringulo en s mismo. Deeste resultado podemos deducir:

1) BD=CD, luego D es el puntomedio de BC.

2) BDA=CDA, luego ADBC.Por tanto AD es la mediatriz.

A

B D C

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1.5. Criterios de Igualdad de Tringulos.

DEF Dados dos tringulos ABC y ABC, diremos que son congruentes si existe unmovimiento que transforma uno en otro. Obtenemos as que los lados y nguloshomlogos sern congruentes, pudiendo escribir

AB=AB AC=AC BC=BC A=A B=B C=C

A partir de esta definicin podemos determinar la congruencia de dos tringulos conslo realizar un movimiento. El problema est en que en gran cantidad de situaciones nopodremos realizar dicho movimiento. Es por ello que la congruencia se deducircomprobando la igualdad entre los lados y los ngulos de ambos tringulos.

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Para simplificar algo ms el problema de determinar si dos tringulos soncongruentes, vamos a ver cuatro criterios (llamados criterios de igualdad) en los cualespartiremos de menos igualdades y comprobaremos que se verifican el resto.

Dos tringulos ABC y ABC son congruentes si verifican alguno de los criteriossiguientes:

a) Criterio 1. Tienen iguales dos lados y el ngulo que lo forman.

Supongamos que AB=AB, AC=AC y A=A

El movimiento que lleva AB sobre AB y el semiplano que contiene a C sobre elsemiplano que contiene a C, transforma A en A y la recta AC en AC.

As pues, los tres vrtices se transforman en sus homlogos y por lo tanto lostringulos son congruentes.

b) Criterio2. Tienen iguales un lado y los dos ngulos contiguos.

Sea AB=AB, A=A y B=B

El movimiento que lleva AB sobre AB de forma que coincidan los semiplanos quecontienen a C y C, transforma el primer tringulo en el segundo, por tanto soncongruentes.

c) Criterio 3. Tienen iguales, respectivamente, los tres lados.

Sea AB=AB, AC=AC y BC=BC

Vamos a probar que uno de los tringulos es congruente con el simtrico del otro, yde aqu deduciremos la congruencia entre ambos.

Apliquemos al tringulo ABC un movimiento tal que el lado AB coincida conAB y el semiplano que contiene a C sea distinto del semiplano que contiene a C. Eltringulo obtenido del movimiento es ABC, verificndose que

AC=AC=AC y BC=BC=BC

As pues, A equidista de C y C, al igual que B. Por tanto AB es la mediatriz delsegmento CC y la simetra respecto de dicha mediatriz hace coincidir el tringuloABC con ABC.

Por tanto ABC es congruente con ABC y este con ABC, Luego ABC escongruente con ABC.

d) Criterio 4. Tienen iguales dos lados de diferente longitud y el ngulo opuesto almayor de ellos.

Sea AB=AB, AC=AC con AC>AB y B=B

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C

A B A' B'

C'

C''

Apliquemos al tringulo ABC un movimiento que transforme AB en AB yel semiplano que contiene a C en el semiplano que contiene a C. Como B=B,las rectas que contienen a BC y a BC coinciden.

Slo nos queda por demostrar que el punto C se transforma en C. Supongamosque C se transforma en C. Entonces

AC=AC=AC

El tringulo ACC es issceles, verificndose que C=C y C>B porser C exterior al tringulo ABC. Entonces AB>AC y como AC=ACobtenemos que AB>AC lo cual es una contradiccin.

En la demostracin hemos aplicado un teorema, que demostraremos msadelante, que dice que a ngulos mayores se oponen lados mayores.

Si el punto C, obtenido como transformacin de C, fuese exterior a BC,llegaramos a deducir que C>B, entonces AB>AC, lo cual tambincontradice la hiptesis.

Por tanto C=C y ambos tringulos son congruentes.

Una vez vistos los cuatro criterios de igualdad, podemos particularizarlos paratringulos rectngulos, quedando sus enunciados de la siguiente forma:

a) Criterio 1. Dos tringulos rectngulos de catetos respectivamente iguales soncongruentes.

b) Criterio 2. Dos tringulos rectngulos que tienen, respectivamente, un cateto yun ngulo agudo (contiguo u opuesto), son congruentes.

c) Criterio 3. Dos tringulos rectngulos que tienen, respectivamente, los tres ladosiguales, son congruentes.

d) Criterio 4. Dos tringulos rectngulos que tienen, respectivamente, iguales uncateto y la hipotenusa, son congruentes.

1.6. Relaciones entre ngulos y Lados.

TEOREMA

Dado un tringulo, se verifica:

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1) Un ngulo externo es mayor que cualquiera de los ngulos internos noadyacentes.

2) A mayor lado se opone mayor ngulo.3) A mayor ngulo se opone mayor lado.

Dem.

1) Consideraremos el tringulo ABC de la figura.

B C

A

D

F

D'

F'

EE'

En primer lugar demostraremos queel ngulo externo DAC es mayor que elinterno ACB. Trazamos la recta BF quecorta al segmento AC en su puntomedio, E, y determinamos F comoEF=BE. Posteriormente dibujamos elsegmento AF.

Los tringulos AEF y CEB son congruentes ya que tienen iguales los ngulos en E ylos lados que los forman. Por tanto

ACB = FACy como

FAC < DACresulta

ACB < DAC

En segundo lugar demostraremos que el ngulo externo DAC es tambin mayor queel ngulo interno ABC

Realizando un proceso similar obtenemos F como CE=EF siendo E el puntomedio de AB. Y llegamos a que

FAB < DABy como

FAB = ABCobtenemos

ABC < DABy siendo

DAB = DACresulta

ABC < DAC

2) Consideremos el tringulo ABC de la figura.

CD

Supongamos que el lado BC esmayor que AC, BC > AC. Probemosque el ngulo A es mayor que el nguloB, A > B.

Como el segmento BC es mayor que AC, elijamos en l un punto D que verifique

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CD=AC

El tringulo ACD es issceles por construccin, siendo los ngulos y iguales.Por el apartado anterior, el ngulo es mayor que B ya que es externo al tringuloABD. Y como el ngulo es menor que el ngulo A tenemos

A > = > BLuego

A > B

3) La demostracin de este apartado la realizaremos por reduccin al absurdo.

Consideraremos el tringulo del apartado anterior con A > B.

Supongamos que BC AC

Tenemos dos situaciones:

a) BC=AC. Entonces el tringulo sera issceles y por tanto A = B, lo cuales falso.

b) BC < AC. Aplicando el apartado anterior obtenemos A < B, lo cualtambin es falso.

Por tanto BC > AC

TEOREMA

Todo lado de un tringulo es menor que la suma de los otros dos.

Dem.

Vamos a realizar la demostracin para el lado mayor.

A C B'

B

Supongamos que AB es el ladomayor. Sobre la prolongacin delsegmento AC situamos un punto B queverifique CB=CB.

Entonces el tringulo BCB es issceles, y se verifica

ABB = CBBy como

CBB < ABB

ya que C es interior al segmento AB, llegamos a que ABB < ABB

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Por tanto, en el tringulo ABB, sabiendo que a menor ngulo se opone menor lado,se tiene

AB < AB AB < AC+BC

TEOREMA

Todo lado de un tringulo es mayor que la diferencia de los otros dos.

Dem.

La demostracin es inmediata sin ms que tener en cuenta el teorema anterior.

Si AB < AC+BC AC > AB-BC

2. PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DEL TRINGULO.

2.1. Circunferencia Circunscrita. Circuncentro.

Sabemos que tres puntos no alineados, A, B y C, determinan una circunferencia quelos contiene. El centro de la circunferencia es el punto de interseccin de las mediatricesde los segmentos AB, BC y AC.

TEOREMA

Las mediatrices de un tringulo se cortan en un punto equidistante de los tresvrtices, llamado circuncentro.

Dem.

A B

C

O

D

EF

Sea el tringulo ABC, y los puntosD, E y F son los puntos medios de cadauno de los lados. Como AB y BC noson paralelos, sus mediatrices se cortanen un punto, que llamaremos O.

El punto O equidista de A y B, puesse encuentra en la mediatriz del ladoAB.

Igualmente equidista de B y C por estar en la mediatriz del lado BC. Por tanto,equidista de A y C y eso significa que se encuentra en la mediatriz del lado AC.

Por tanto, O es la interseccin de las tres medianas, y est a la misma distancia delos tres vrtices

DEF Llamamos Circuncentro de un tringulo al punto interseccin de sus tresmediatrices.

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DEF Llamamos Circunferencia Circunscrita de un tringulo a la circunferencia concentro en el Circuncentro y que pasa por los tres vrtices.

2.2. Ortocentro.

TEOREMA

Las paralelas a los lados de un tringulo ABC que pasan por los vrtices opuestosforman otro tringulo ABC de lados dobles de los del primero y cuyos puntos mediosson A, B y C.

Dem.

A

CB

A'

C' B'Sea BC la paralela a BC que pasa

por A, AC la paralela a AC que pasapor B y AB la paralela a AB que pasapor C. Las tres rectas se cortan dos ados en los puntos A, B y Cdeterminando un tringulo.

Los vrtices ABCB determinan un polgono de cuatro lados y como los lados sonparalelos dos a dos tenemos que AB=BC y AB=BC.

De forma anloga ABAC es otro paralelogramo y AB=CA.

Entonces AB=BC=CA, luego 2AB=AB y A es el punto medio de AB.

Igualmente, podemos demostrar para el resto de lados que el tringulo ABC tienelos lados de longitud doble que los del tringulo ABC, siendo A, B y C sus puntosmedios.

La consecuencia qie obtenemos del teorema anterior es que las alturas del tringuloABC se corresponden con las mediatrices de ABC

Debido a que las mediatrices se cortan en un punto, podemos afirmar que las alturasdel tringulo ABC se cortan en un punto.

DEF Llamamos Ortocentro al punto donde se cortan las tres alturas de un tringulo.

2.3. Circunferencia Inscrita. Incentro.

TEOREMA

Sea ABC un tringulo. Las bisectrices de sus ngulos internos se cortan en un puntointerior del mismo y equidistante de sus lados.

Dem.

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A

B C

I

Sean D, E y F los puntos de los lados del tringulo que se obtienen comointerseccin de las bisectrices de un ngulo en el lado opuesto. Se verifica que:

BAD + ABE = 05A + 05B < A+B < 180

Entonces, las bisectrices de los ngulos A y B se cortan, ya que forman con lasecante comn AB ngulos cuya suma es menor de 180. Sea I el punto de corte. Comoel punto I pertenece a la bisectriz AD, equidista de AB y AC, y por estar en la bisectrizBE tambin equidista de AB y BC, luego est en la bisectriz CF.

DEF Llamaremos Incentro al punto donde se cortan las tres bisectrices de untringulo.

DEF Llamaremos Circunferencia Inscrita de un tringulo a la nica circunferenciainterior con centro en el Incentro y tangente a los tres lados.

2.4. Circunferencias Exinscritas. Exincentros.

DEF Llamaremos Exincentros a los puntos exteriores de un tringulo que equidistande las rectas que contienen a cada uno de los tres lados.

Para obtener los exincentros, que son tres, realizaremos el siguiente proceso:

Tomemos las bisectrices de los ngulos exteriores A y C. Dado que son ngulosconcexos, sus mitades suman menos de 180 y por tanto las bisectrices se cortan en unpunto IB que equidista de las rectas de los tres lados, por tanto pertenece a la bisectrizdel ngulo interior B.

El proceso lo podemos repetir, obteniendo IA e IC.

Cada dos vrtices exteriores de un tringulo se cortan en un punto con la bisectrizinterior del tercer vrtice. Si, por ejemplo, trazamos por IB perpendiculares a los lados osus prolongaciones, cortarn al lado AC y a las prolongaciones de AB y BC.

DEF Llamaremos Circunferencia Exinscrita a aquella con centro en un exincentro ytangente a los lados del tringulo o sus prolongaciones.

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A B

C

O

IAIB

IC

2.5. Tringulo rtico.

TEOREMA

Las alturas de todo tringulo ABC acutngulo son bisectrices interiores del tringuloHA, HB y HC, cuyos vrtices son los pies de sus alturas.

Dem.

H B

HC

H A

A

BC

' '

Comprobemos que HCHAA =AHAHB, lo cual es lo mismo que=. Con eso demostraremos que larecta AHA es la bisectriz del vrtice HA.

El tringulo BHCC es rectngulo, aligual que BHBC, luego los cuatropuntos estn en una mismacircunferencia, siendo iguales losngulos inscritos en ella: =.

De forma anloga, el tringulo CHBH es rectngulo, al igual que HHAC, luego loscuatro puntos estn en una misma circunferencia, siendo iguales los ngulos inscritos enella: = . El punto H es la interseccin de las tres alturas.

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Y repitiendo de nuevo el proceso demostraramos que =. Por tanto llegamos aprobar que =.

DEF Llamaremos Tringulo rtico al tringulo HAHBHC, siendo sus vrtices lospuntos de corte de las alturas de un tringulo ABC acutngulo con sus lados.

La consecuencia de todo del teorema anterior es:

Los lados de un tringulo acutngulo son las bisectrices exteriores de su tringulortico. Los vrtices de un tringulo son los exincentros de su tringulo rtico.

De forma similar a la anterior demostraramos que, si el tringulo es obtusngulo,las alturas son una bisectriz interior y dos exteriores y los lados son las bisectricesrestantes del tringulo rtico.

En el caso de que el tringulo fuese rectngulo, no existe su tringulo rtico

2.6. Seis Puntos Notables de la Circunferencia Circunscrita.

La circunferencia cincunscrita a untringulo ABC contiene los puntos deinterseccin de la mediatriz de cadalado con las bisectrices que pasan por elvrtice opuesto.

Sean GC y GC los puntos medios delos arcos de la circunferencia conextremos en A y B. Por dichos puntospasan a la vez el dimetro perpendicularal lado AB (la mediatriz de AB) y lasbisectrices interior y exterior del nguloC (aplicando las propiedades de unngulo inscrito en una circunferencia).

A

B

C GC

G'C

Consideremos el tringulo de vrtices IA, IB e IC, siendo dichos puntos losexincentros del tringulo de vrtices ABC. El tringulo IBCIC es rectngulo en C y eltringulo IBBIC es rectngulo en B. Ambos tringulos estn formados por bisectricescuyos lados pasan por IB e IC. Por tanto, los cuatro puntos estn en una circunferencia dedimetro IBIC, y cuyo centro est en la mediatriz de BC, que llamamos GA.

Anlogamente IAI es el dimetro de una circunferencia que pasa por B y C por serrectos los ngulos ICIA y IBIA. El punto de interseccin de la mediatriz de BC conIAI es el centro o punto medio de IAI. Por tanto:

La circunferencia circunscrita a un tringulo contiene los puntos medios de los ladosdel tringulo de los exincentros, as como los puntos medios de los segmentos que unenstos con el Incentro.

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A B

C

IAIB

IC

I

GA

G'C

GB

G'B

G'C

GC

O

2.7. Circunferencia de Fenerbach.

Sea ABC un tringulo no rectngulo (ya que stos no tienen tringulo rtico). Siaplicamos las propiedades que hemos visto a su tringulo rtico obtenemos que lacircunferencia que pasa por los pies de las alturas de un tringulo contiene los puntosmedios de sus lados as como los puntos medios de los segmentos de alturacomprendidos entre cada vrtice y el ortocentro.

DEF La circunferencia anterior recibe el nombre de Circunferencia de los nuevepuntos, o Circunferencia de Fenerbach o Circunferencia de Euler.

2.8. Baricentro de un tringulo.

TEOREMA

Las medianas de un tringulo se cortan en un punto que dista de cada vrtice eldoble que del punto medio del lado opuesto.

Dem.

C

BA

M B M A

M C

G

P Q

Consideremos las medianas deltringulo que pasan por los vrtices A yB. La mediana que pasa por Adetermina un punto MA en el ladoopuesto, y la mediana que pasa por Bdetermina MB en su lado opuesto.Ambas medianas se cortan en G.

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Si tenemos en cuenta los segmentos AG y BG, sean P y Q, respectivamente, suspuntos medios. Demostremos que PG=GMA y que QG=GMB.

En el tringulo ABC, el segmento de extremos MAMB es la paralela media a AB, locual significa que es paralelo a AB y de longitud mitad que AB. Si consideramos eltringulo ABG, deducimos algo similar. El segmento PQ es la paralela media a AB. Portanto, el cuadriltero determinado por los puntos PQMAMB es un paralelogramo, ya quetiene dos lados iguales y paralelos. El punto G es el punto donde se cruzan lasdiagonales de dicho paralelogramo. Por tanto se verifica que PG=QMA y que QG=GMB,por tanto PG=2GMA y QG=GMB.

Aplicando el mismo razonamiento para una de estas medianas y la tercera noconsiderada, obtenemos que se cortan en el mismo punto G y verifica la misma relacin,demostrando as la tesis del teorema.

DEF Llamaremos Baricentro al punto donde se cortan las tres medianas de untringulo.

2.9. La Recta de Euler.

TEOREMA

Dado un tringulo ABC cualquiera, se verifica que el Baricentro est alineado con elortocentro y el circuncentro y a doble distancia del primero que del segundo.

Dem.

C

BA

M B MA

M C

G

P Q

HHA

HB

M'

M

Vamos a trazar la recta que pasapor dos de ellos y comprobaremosque tambin pasa por el tercero,verificando entre ellos las distanciasque se indican.

Tracemos por A y B las alturas correspondientes, que sabemos que se cortan en elortocentro H, e igualmente tracemos las medianas, que se cortan en baricentro G. SeanP y Q los puntos medios respectivamente de AG y BG. Si trazamos por P una paralela ala altura de A y por Q una paralela a la altura de B, se cortan en un punto M deGH,siendo adems su punto medio, ya que son las paralelas medias de AGH y GBH.

Si ahora, de forma simtrica, trazamos por MA otra paralela a la altura de A y porMB otra paralela a la altura de B, se cortan en M, coincidiendo esas rectas con lasmediatrices del tringulo, y por tanto M es el circuncentro del tringulo.

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Por simetra se obtiene que M y M estn a la misma distancia de G GM=GM ycomo M era el punto medio de GH tenemos GM= GH, luego obtenemos que

GHGM21=

estando los tres puntos alineados.

3. RELACIONES MTRICAS EN UN TRINGULO.

3.1. Rectas Antiparalelas.

O

A

BB'

A'

rr'

a

b

Sean a y b dos rectas secantes,cortndose en un punto O. Sean r y rotras dos rectas que cortan a las dosanteriores, respectivamente en A y B yen A y B, verificndose que los dospares AA y BB estn a un mismo ladoo a distinto lado de O y que los ngulosOAB y OBA son iguales.

Verificndose todas las condiciones anteriores, diremos que las rectas r y r sonantiparalelas de a y b.

Adems se verifica que los ngulos OBA y OAB son iguales, por sersuplementarios de los anteriores respecto de AOB.

Por todo lo anterior podemos ver que la recta r forma con las rectas a y b ngulosiguales a los que forma la recta r con b y a. Por tanto la relacin de antipralelismo esrecproca: las rectas a y b son tambin antiparalelas de r y r.

Si consideramos los tringulos AOB y BOA, vemos que son semejantes por teneriguales los ngulos homlogos, y entonces:

''

OAOB

OBOA = o tambin '' OBOBOAOA =

Visto lo anterior, podemos enunciar la siguiente proposicin, la cual ya estarademostrada.

PROP Dos rectas concurrentes en O, a y b, son cortadas por dos antiparalelas respectode ellas, r y r, en puntos, A y B y tambin A y B, cuyo producto de distancias a O esel mismo en ambas rectas, '' OBOBOAOA = .

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3.2. Tringulos Rectngulos.

A

B CH

En el tringulo rectngulo ABC, rectngulo en A, las dos rectas determinadas, unade ellas por los puntos de la altura AH sobre la hipotenusa BC y la otra por el catetoAC, son antiparalelas respecto de las rectas determinadas por la propia hipotenusa y elotro cateto, ya que AHB=CAB=90

Por tanto, si lo anterior tambin lo aplicamos a los tringulos ABH y ACH, los

cuales son rectngulos, se verifica que BHBCBA 2 = y CBCHCA 2 =

As pues, a partir de lo anterior podemos enunciar el siguiente teorema:

TEOREMA. Teorema del Cateto.

Cada cateto de un tringulo rectngulo es medio proporcional entre la hipotenusa ysu proyeccin sobre ella.

TEOREMA. Teorema de la Altura.

La altura sobre la hipotenusa de un tringulo rectngulo es media proporcional entrelos segmentos en que divide a sta.

Dem.

De la semejanza entre los tringulos ABH y CAH , que tienen iguales los nguloshomlogos ABH y CAH se deduce:

HCHA

HAHB = y por tanto HCHBHA 2 =

TEOREMA

Si se verifica que HCHBHA 2 = siendo ABH y CAH dos tringulos rectngulos,entonces el tringulo ABC es rectngulo.

Dem.

De la igualdad se deduce que los tringulos ABH y CAH son semejantes y por tanto

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BAH = ACH = 90 - CAH BAC = 90

3.3. Teorema de Pitgoras.

TEOREMA. Teorema de Pitgoras.

El cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados delas longitudes de los catetos.

Dem.

Si el tringulo ABC es rectngulo en A se verifica que:

( ) 22222

BCBCBCHCBHBCCABACHCBCA

BHBCBA ==+=+

==

3.4. Generalizacin del Teorema de Pitgoras.

Vamos a tratar ahora de generalizar el teorema de Pitgoras que acabamos de verpara cualquier tipo de tringulo, no necesariamente rectngulo.

TEOREMA

El cuadrado de un lado opuesto a un ngulo (agudo u obtuso) de un tringulooblicungulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos mas o menos el dobleproducto de uno de ellos por la proyeccin del otro sobre l. El signo depender delngulo elegido.

Dem.

Sean los tringulos 1-2-3 de la figura, numerados de izquierda a derecha.

C C CA A A

B B B

m n m

n m

nH H H

hB

Llamemos a cada lado por la letra de su vrtice opuesto, en minscula. Sean m y nlas medidas de los segmentos CH y AH, con H el pie de la altura sobre la base deltringulo y h la longitud de dicha altura. Entonces tenemos que:

Figuras 1 y 2: ( ) bncbncnbhma 222222222 +=+=+=

Figura 3: ( ) bncbncnbhma 222222222 ++=++=+=

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Es decir

==+

+=900

90

90

2222

Asin

Asi

Asi

siendobncba

COROLARIO

Dadas las medidas de los tres lados de un tringulo, se verifica:

1) Ser acutngulo si el cuadrado del lado mayor es menor que la suma de loscuadrados de los otros dos.

2) Ser recto si el cuadrado del lado mayor es igual que la suma de los cuadradosde los otros dos.

3) Ser obtusngulo si el cuadrado del lado mayor es mayor que la suma de loscuadrados de los otros dos

3.5. Suma y Diferencia de los cuadrados de dos lados de un tringulo.

PROP Se verifica:

1) La suma de los cuadrados de dos lados es igual al doble de la suma de loscuadrados de la mitad del tercer lado y de la mediana correspondiente.

2) La diferencia de los cuadrados de dos lados es igual al doble del producto deltercer lado por la distancia de su punto medio al pie de la altura correspondiente.

Dem.

C

B AHM

Aplicando el teorema anterior paraexpresar los cuadrados de los dos ladosa y b, con a mayor que b, de untringulo ABC, en funcin de la mitaddel tercer lado c y de la medianacorrespondiente, mc, tenemos:

En el tringulo BMC MHcmca c 22

22

22 ++

=

En el tringulo MCA MHcmcb c 22

22

22 +

=

De ambas expresiones deducimos que

MHcba

mc

ba c

2

22

2

22

2

2

22

=

+

=+

20/25

3.6. Teorema de Stewart.

C

B AHN

c 1 c2

n

a b

Podemos obtener una fcilgeneralizacin del resultado del puntoanterior aplicando clculos anlogos auna oblicua cualquiera al lado c, CN=cinterior al tringulo y distinta de lamediana.

Si llamamos c1=BN y c2=NA, tenemos que:

+=++=

+=++=

NHccncccbc

NHccncccac

NHcncb

NHcnca

212

1221

21

212

2212

22

222

22

122

12

2

2

2

2

+++=+++=+ )()( 212

21212

22

1122

212

22

21 ccnccccncncccccacbc

cnccacbc )( 2212

22

1 +=+

Si asignamos signos a los segmentos sobre la recta AB y designamos por AB lalongitud de AB con signo, la igualdad se convierte en:

0222

=+++ ABNABNCNABCBNACABN

la cual se conoce como Teorema de Stewart.

3.7. Propiedad Mtrica de las Bisectrices.

TEOREMA

1) Toda bisectriz interior divide al lado opuesto en dos segmentos proporcionales a loslados que concurren con ella.

2) Si una bisectriz exterior de un tringulo corta al lado opuesto, las distancias de supie a los extremos de dicho lado son proporcionales a los lados concurrentes con labisectriz y que pasan por ellos.

Dem.

B N C M

Av'

v ba

Sea el tringulo ABC. Llevemossobre la prolongacin del lado a, y acontinuacin de C, el segmento CM=b.El tringulo ACM es issceles. Labisectriz v es perpendicular a AM y ala bisectriz v de ACB, que es paralela aAM.

21/25

Por el teorema de Thales

bac

bVA

aBV

+==

Por tanto, toda bisectriz interior divide al lado opuesto en dos segmentosproporcionales a los lados que concurren con ella, cuya expresin en funcin de loslados es:

babc

VAyba

acBV

+=

+=

Llevando sobre el lado a, y a partir de C, el segmento CN=b, ahora AN es paralela ala bisectriz exterior v y tendremos:

bac

bAV

aBV

== ''

por tanto, si una bisectriz exterior de un tringulo corta al lado opuesto, las distancias desu pie a los extremos de dicho lado son proporcionales a los lados concurrentes con labisectriz y que pasan por ellos y una expresin en funcin de los lados es:

babc

AVyba

acBV

=

= ''

3.8. Radio de la Circunferencia Circunscrita.

B

A

C

O

M

H

h b

El ngulo BAC es mitad delngulo central BOC, y por tanto, igualal MOC, limitado por OC y eldimetro perpendicular a BC. De aquresulta la semejanza de tringulosrectngulos MOC y HAC. Por tanto:

hab

rhb

ar

22==

Sabiendo que la altura:

))()((2

cpbpappc

h =

siendo:

2cba

p++=

resulta:

))()((4 cpbpapp

abcr

=

22/25

Demostremos ahora la expresin que hemos utilizado para la altura h.

A

N B C M

c

c

b

b

I

Llevando los lados c y b a laprolongacin del lado a,respectivamente, a partir de los vrticesB y C, obtenemos NM=a+b+c. Sea P elpunto de corte de la altura del tringuloABC con la base BC.

Por ser AM y AN paralelas a las bisectrices interiores de C y B, el tringulo ANMes semejante al IBC. Por tanto, sus alturas H=AP y h=IP son proporcionales a susrespectivas bases MN=2p y BC=a. Luego:

hap

Hap

hH 22 ==

y como:

pcpbpap

h))()(( =

tenemos:

))()((2

cpbpappa

H =

Adems se verifica que h es el radio de la circunferencia circunscrita.Comprobemoslo:

A

CB

I

A'

B'

C'

p-b p-c

p-a

Los tres puntos de contacto A, B yC de la circunferencia inscrita en untringulo ABC divide a sus lados en seissegmentos cuya suma es el permetro2p=a+b+c. Como AC=AB, CB=CAy BA=BC, tenemos que:

p=BC+AC+CA=c+CA luego

CA=p-c AC=p-a y BA= p-b

Considerando la circunferencia exinscrita tangente al lado AC en B, siendo A yC los puntos de tangencia con las rectas AB y BC, se tiene, anlogamente

BC = BA BA + AB = BC + CB

y como la suma de ambos miembros es el permetro, cada uno de ellos vale p. Por tanto

BA = BC = pde donde

CB = CA = p-a

23/25

y anlogamente:

CC = AA = p-(p-b) = b

BB = CB-CB = (p-c)-(p-a) = a-cA

CB

I

A'p-b p-c

C''

A''p-a

C' IB

B'=B''

Por otra parte, los tringulos IBA e IBBA son semejantes. Llamando r al radio dela circunferencia inscrita y al de la exinscrita, tenemos:

pbpr =

Los tringulos IAC y CAIB tambin son semejantes por tener iguales los ngulosICA y CIBA. Entonces:

))(( cpaprap

cpr ==

sustituyendo en la expresin anterior tenemos que

))()((2 cpbpappr =luego

pcpbpap

r))()(( =

4. REA DEL TRINGULO.

TEOREMA

Toda rea de un tringulo es equivalente a un paralelogramo de igual base y mitadde altura.

Dem.

A

B H C

M'MN

Sea ABC un tringulo cualquiera. Sean M y N los puntos medios de los lados AB yAC respectivamente. El tringulo MAN es congruente con MCN, y por suma de reas,el tringulo ABC ser equivalente al paralelogramo BMMC de igual base y mitad dealtura.

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Como el rea de un paralelogramo es igual al producto de su base y se altura,obtenemos que el rea del tringulo es:

2AHBC

AT =

COROLARIO

El rea de un tringulo es equivalente a la de un paralelogramo de igual altura ymitad de base.

COROLARIO

El rea de un tringulo es equivalente a la mitad del rea de un paralelogramo deigual altura e igual base.

FRMULA DE HERN

A

CB

I

A'

B'

C'

p-b p-c

p-a

El rea del tringulo ABC puede expresarse como suma de las reas de los tringuloIBC, IAC e IAB.

( ) ( )[ ] [ ]( ) ( )[ ] [ ]( ) ( )[ ] [ ])(2

22

)(222

)(222

baprrbpap

A

caprrcpap

A

cbprrcpbp

A

IAB

IAC

IBC

+=+=

+=+=

+=+=

Por tanto

( )[ ] [ ] prpprcbaprAABC 46222262 ==++=y como:

pcpbpap

r))()(( =

resulta:))()(( cpbpappAABC =

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Bibliografa Recomendada.

Elementos de Geometra Racional. Tomo 1. Rey Pastor, Puig Adam.

Curso de Geometra Mtrica. Volumen 1. Puig Adam.