MATEMÁTICAS I MATERIAS PROPIAS DE … Determinar las posiciones relativas de rectas en el plano. -...

Matemáticas I. 1º de Bachillerato a Distancia. Guía del alumno. 1

BACHILLERATO SEMIPRESENCIAL Y A DISTANCIA

GUÍA DEL ALUMNO

1º DE BACHILLERATO

MATEMÁTICAS I

MATERIAS PROPIAS DE MODALIDAD


MATEMÁTICAS 1 -Es autor de esta guía Miguel Ares Diñeiro.

1. LA MATERIA.

De una forma cada vez más frecuente, las matemáticas están consideradas como una herramienta sumamente útil y eficaz, aplicable a los más diversos y variados aspectos de la realidad, un instrumento potente y capaz de resolver problemas en los distintos ámbitos de la actividad humana, no sólo en la científica y tecnológica, sino también en los aspectos sociales, económicos, laborales, ... etc.

Las matemáticas son útiles cuando responden a las necesidades sociales, y estas necesidades no se limitan a las destrezas aritméticas sino que son habilidades de índole más general que pueden desarrollarse trabajando con las matemáticas.

La formación matemática que vas a adquirir a lo largo de estos dos cursos te debe servir, entre otras cosas, para tomar decisiones, enfrentarte a nuevas situaciones y a desarrolar tu capacidad de razonamiento, no sólo el deductivo, sino también el inductivo y el intuitivo, ya que todos ellos juegan un papel importante en el trabajo y en la vida diaria.

La asignatura tiene una orientación eminentemente práctica que, como tendrás ocasión de comprobar a lo largo del curso, queda perfectamente reflejada en las distintas unidades que lo componen, pero no debes descuidar los aspectos teóricos que son los que en definitiva te permitirán adquirir los conocimientos y destrezas necesarios para abordar los distintos problemas que se te van a plantear.

La materia está agrupada en cuatro bloques temáticos: aritmética y álgebra, geometría, funciones y gráficas y estadística y probabilidad con un total de quince unidades didácticas.

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

Las matemáticas estudian las relaciones, y gran parte de estas relaciones se expresan de forma algebraica, de ahí la importancia de introducir símbolos que sustituyan a objetos con el fin de representar una situación y comunicar información sobre ella, simbolizar cantidades conocidas y desconocidas, pero determinadas -incógnitas- mediante letras, expresar algebraicamente enunciados de problemas y obtener métodos de resolución de ecuaciones e inecuaciones de primer y segundo grado, y de sistemas de ecuaciones e inecuaciones para resolverlos.

GEOMETRÍA

La geometría consiste en el estudio de las figuras, sus propiedades y relaciones; con el estudio de la trigonometría aprenderemos a resolver situaciones en las que intervienen triángulos generales; en cuanto al estudio de la geometría en el plano,


debemos indicar la importancia de las rectas en muchos problemas geométricos: su comportamiento refleja el de fenómenos o magnitudes que varían de forma lineal.

Si bien es cierto que las rectas tienen una forma muy especial y, por tanto, cabría esperar que rara vez aparecieran como formulación de un proceso natural, se da la circunstancia de que, a parte de una serie de fenómenos sencillos que tienen carácter lineal evidente, otros más complejos también se comportan, cuando se analizan en un pequeño intervalo de valores, de forma lineal

FUNCIONES Y GRÁFICAS

El análisis es de gran utilidad para describir, ilustrar, interpretar, predecir y explicar fenómenos muy diversos: económicos, sociales, físicos...,mediante tablas, gráficas y modelos matemáticos. Hay que prestar especial atención a la confección e interpretación de gráficas por su gran eficacia para comunicar información.

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

La estadística es el campo de la matemática que trata de encontrar las leyes que rigen el mundo del azar a fin de tomar las decisiones oportunas en aquellos aspectos de nuestro entorno que parecen estar dominados por lo aleatorio. La estadística trata en primer lugar, de acumular la masa de datos numéricos provenientes de la observación de multitud de fenómenos procesándolos de modo razonable. Mediante la teoría de la probabilidad, analiza y explora la estructura matemática subyacente al fenómeno del que estos datos provienen, y mediante el conocimiento de tal estructura, trata de sacar conclusiones y predicciones que ayudan al mejor aprovechamiento del fenómeno para los fines que de él se pueden pretender.

La estadística es de enorme interés por sí misma y por la utilización que hacen de ella las demás disciplinas. Nos capacita para tomar decisiones cuando sólo disponemos de datos variables y afectados de incertidumbre, y proporciona una filosofía del azar de gran alcance en el mundo actual.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Se incluyen a continuación los objetivos que se pretenden conseguir con el estudio de estos bloques.

- Conocer los diferentes tipos de números y operar correctamente con ellos.

- Adquirir la suficiente destreza y habilidad para realizar las diferentes operaciones matemáticas con polinomios y fracciones algebraicas.

- Resolver con suficiente soltura ecuaciones de primer y segundo grado.

- Interpretar y resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos o tres incógnitas.

- Traducir al lenguaje algebraico situaciones cotidianas formulando y resolviendo problemas que originen sistemas de ecuaciones lineales.


- Emplear métodos algebraicos, gráficos y numéricos para hallar la solución, interpretarla dentro de la situación formulada y valorar si es adecuada al problema planteado.

- Resolver inecuaciones con una incógnita.

- Interpretar y resolver gráficamente sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas.

- Identificar y distinguir las sucesiones de números reales.

- Identificar, analizar, interpretar y conocer las distintas propiedades de las progresiones aritméticas y geométricas.

- Conocer y utilizar correctamente las propiedades de los logaritmos.

- Describir y estudiar procesos naturales mediante funciones exponenciales.

- Resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

- Conocer las formas binomial, polar y trigonométrica de los números complejos y aprender las operaciones básicas que se pueden realizar con ellos, eligiendo la forma más conveniente para realizarlas.

- Aprender el significado de las razones trigonométricas y aprender a calcularlas.

- Establecer relaciones básicas entre las razones trigonométricas.

- Resolver ecuaciones en las que intervienen razones trigonométricas.

- Conocer los teoremas del seno y coseno y aplicarlos a la resolución de triángulos en situaciones prácticas de estimación de longitudes, alturas y ángulos.

- Conocer y manejar las distintas ecuaciones de la recta.

- Conocer el significado de la pendiente de una recta y establecer con rigor las condiciones de paralelismo y perpendicularidad.

- Determinar las posiciones relativas de rectas en el plano.

- Calcular el ángulo que forman dos rectas, las bisectrices y obtener fórmulas para hallar distancias entre puntos y rectas.

- Reconocer determinadas rectas y curvas en el plano como lugares geométricos.

- Definir y estudiar las propiedades de la circunferencia, elipse, hipérbola y parábola.

- Emplear con precisión los conceptos y la terminología relacionada con las funciones.

- Conocer e interpretar diferentes aspectos de una función con el estudio de su gráfica.

- Distinguir si una gráfica define o no una función.


- Representar gráficamente funciones lineales y cuadráticas.

- Plantear y resolver problemas sencillos asociados a situaciones reales que puedan ser descritos mediante funciones lineales o cuadráticas.

- Conocer y trabajar con funciones específicas -polinómicas y racionales, exponenciales y logarítmicas, periódicas- y resolver problemas sencillos que se ajusten a este tipo de funciones.

- Calcular límites de las funciones más usuales, hallar límites laterales y resolver indeterminaciones.

- Estudiar la continuidad de una función y clasificar sus discontinuidades.

- Manejar e interpretar los conceptos de tasa de variación media y tasa de variación instantánea.

- Conocer el significado geométrico de la derivada y utilizarlo para calcular la ecuación de la tangente y normal a una curva en un punto.

- Obtener las derivadas de las funciones elementales y sus composiciones.

- Estudiar las características de una función mediante el estudio de su derivada, y con ellas obtener su representación gráfica.

- Plantear y resolver con ayuda de las derivadas problemas sencillos de optimización .

- Leer, confeccionar e interpretar una tabla de frecuencias.

- Confeccionar e interpretar los gráficos estadísticos usuales.

- Calcular e interpretar las medidas de centralización y dispersión más usuales.

- Estudiar distribuciones entre dos variables.

- Aprender a descubrir la dependencia estadística entre dos variables.

- Entender el significado de la correlación lineal.

- Estimar el valor aproximado de la correlación lineal a partir de la nube de puntos.

- Saber que la correlación lineal puede medirse mediante el coeficiente de correlación.

- Emplear la recta de regresión para hacer estimaciones.

- Aprender a calcular números combinatorios y su utilidad en el cómputo de sucesos.

- Distinguir entre variaciones, permutaciones y combinaciones.

- Hallar el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio.

- Distinguir los distintos tipos de sucesos y las operaciones con ellos.

- Calcular probabilidades y probabilidades condicionadas.


- Calcular la probabilidad de la unión e intersección de sucesos distinguiendo si son compatibles o incompatibles, dependientes o independientes.

- Adquirir la noción de distribución de probabilidad.

- Conocer la función de masa de probabilidad y la función de distribución de una variable aleatoria discreta.

- Calcular e interpretar la media y la varianza de una función de probabilidad discreta.

- Conocer las características de una distribución binomial.

- Calcular probabilidades de fenómenos que se ajusten a una distribución binomial.

- Conocer las características de la función de densidad y de la función de distribución de una variable aleatoria continua.

- Calcular la media y la varianza de una variable aleatoria continua.

- Conocer las características de una distribución normal.

- Tipificar una variable ( )N µ σ, y calcular probabilidades de fenómenos que se ajusten a ella.

- Calcular la probabilidad de sucesos de origen binomial con la ayuda de la distribución normal.

2. EL LIBRO DE TEXTO

El libro de texto que se ha utilizado para la elaboración de esta guía y recomendado para el estudio de la asignatura es:

Matemáticas 1

Autores: Andrés Nortes, Pedro Jiménez, Francisco Lozano, Antonio Miñano y José A. Ródenas.

Editorial Santillana.

Para preparar la asignatura sirve cualquier otro libro que cubra los objetivos señalados en la guía.

2.1. Estructura del libro

Cada una de las unidades didácticas está estructurada de la siguiente forma:

1.- Esquema de la unidad: en él aparecen claramente definidos los objetivos de aprendizaje que se deben alcanzar en la unidad, junto con un esquema gráfico que indica el orden temporal de los contenidos. Este orden también se hace explícito de forma escrita mediante un breve texto introductorio.


2.- Evaluación inicial: con ella se pretende explorar los conocimientos previos de los alumnos, tanto de la unidad como de conceptos relacionados e importantes para su comprensión.

3.- Información básica: en ella se desarrollan los aspectos teóricos, generalmente a partir de contextos problemáticos.

4.- Actividades de pie de página: al pie de cada página se ofrecen una serie de actividades para practicar los conceptos y procedimientos vistos. Tienen por objeto reforzar la comprensión y asegurar el dominio de las técnicas esenciales.

5.- Lo más importante: una vez concluida la información básica de la unidad, se ofrece un resumen de las ideas y conceptos claves de ésta; con ello se pretende recordar estos aspectos y facilitar el autoanálisis del nivel de conocimientos.

6.- Ejercicios y problemas resueltos: al final de cada unidad se ofrecen cuatro páginas de ejercicios y problemas resueltos. Con estas páginas se pretende dejar totalmente claros los procedimientos vistos en la unidad, resolviendo todos los problemas paso a paso. El alumno debe intentar resolverlos por sí mismo, y luego comprobar la solución encontrada.

7.- Ejercicios y problemas propuestos: similares a los anteriores de los que se seleccionan las actividades para enviar al tutor; con ellos se practican todos los conceptos y técnicas claves de la unidad.

2.2. Método de trabajo recomendado

En primer lugar, debes abordar esta asignatura con optimismo y convencido de que, aunque en su estudio surgirán dificultades, con esfuerzo y constancia las podrás superar. Piensa que las matemáticas tienen unas reglas lógicas y que las cosas no suceden porque sí, sino que tienen un por qué lógico.

Utiliza siempre en tu estudio lápiz y papel. No te limites a leer, tienes que hacer, ya que como mejor asimilarás y consolidarás los conceptos estudiados será haciéndolos, pues lo que se oye, se olvida, lo que se ve se recuerda, pero lo que se hace se sabe.

Debes tener la suficiente destreza y habilidad para hacer con soltura las diferentes operaciones matemáticas. Si no la tienes, debes repasar estos aspectos hasta alcanzarla.

En cada unidad, y una vez conocidos los objetivos que se persiguen, comienza con el estudio de los aspectos teóricos y procura resolver los ejercicios de aplicación de esos conceptos.

En el apartado problemas resueltos, estos están clasificados por tipos y cubren los aspectos más interesantes de cada unidad. Primero intenta hacerlos sin ayuda del


libro y si ves que no eres capaz, recurre a él y no te desanimes, al principio es normal que pase eso, pero poco a poco comprobarás tus progresos. Aprende las estrategias usadas para resolverlos y trata de aplicarlas a los del apartado de ejercicios y problemas propuestos, te servirán para que compruebes el grado de asimilación de los conceptos estudiados. En este apartado de ejercicios y problemas propuestos encontrarás diferentes tipos de ejercicios: los de aplicación inmediata de los conocimientos y destrezas estudiadas, y otros, que llamaremos problemas, que resultan algo más complejos porque requieren un planteamiento previo y, por tanto, un estudio más profundo. Para resolver este tipo de problemas debes elaborar una estrategia que contemple las siguientes etapas:

1.- Comprender el problema

Para entender el problema, hay que leer muy despacio, e incluso varias veces, su enunciado. A continuación debes plantearte las siguientes cuestiones: ¿Qué me preguntan? ¿Qué datos me dan? ¿Cuál es la incógnita? ¿Qué condición relaciona unas cosas con otras? ¿Es condición suficiente para determinar la incógnita? ¿Es insuficiente? (faltan datos) ¿Es redundante? (sobra algún dato) ¿Es contradictoria?

2.- Idear un plan

Ahora, se trata de relacionar los datos con las incógnitas, pero puede ser que esto no resulte tan sencillo; en ese caso adopta la siguiente estrategia: ¿Me encontré alguna vez con un problema semejante? ¿Me enfrenté otras veces al mismo problema presentado de forma diferente? ¿Conozco algún problema relacionado con este? En el apartado de problemas resueltos hay un problema parecido a este, ¿podría usarlo? ¿Podría usar su resultado? ¿Podría emplear su método o tendría que introducir algún elemento auxiliar para poder emplearlo? ¿Conozco alguna propiedad o teorema que pueda aplicar a este problema? ¿Podría enunciar el problema de forma diferente y más parecida a otro similar que ya está resuelto? ¿Puedo resolver una parte del problema? ¿Empleé todos los datos? ¿Empleé todas las condiciones?

3.- Ejecutar el plan

Una vez concebido el plan parece que todo es sencillo, pero no te confies y presta especial atención en utilizar correctamente los medios de los que dispones, no te confundas en las operaciones, asegúrate de la corrección de cada uno de los pasos que das, y no te saltes las reglas del lenguaje matemático ni cometas errores absurdos a la hora de realizar los cálculos.

4.- Examinar la solución alcanzada

Una vez encontrada la solución cabe preguntarse: ¿La solución alcanzada responde a lo que me pedían? ¿Puedo comprobarla? ¿Es lógica o carece de sentido? ¿Es coherente o se contradice con alguno de los teoremas o propiedades que conozco? Si es así habrá que revisar todo el proceso. También es posible que el problema esté mal enunciado o tenga erratas.


Aún siendo correcta la solución alcanzada, cabe preguntarse si se podía haber obtenido de forma más clara y con menos esfuerzo empleando otro método o si se puede emplear este método en otros problemas.

Las actividades que se proponen en cada unidad para enviar al tutor, están sacadas del apartado problemas propuestos y, aunque no es obligatorio, si es aconsejable su envío periódico al tutor, pues aunque no van a determinar la calificación de la asignatura, sirven para comprobar la evolución del alumno y para corregir los posibles errores.

Las actividades de autoevaluación que se proponen en cada unidad y cuya solución aparece en el solucionario al final de la guía, están sacadas del apartado problemas propuestos del libro de texto y deben servir para que el alumno compruebe los conocimientos y habilidades adquiridas con el estudio de la unidad.

2.3. Distribución trimestral de los contenidos

Como ya se dijo al principio de esta guía, la materia está agrupada en cuatro bloques temáticos con un total de quince unidades didácticas. La distribución temporal de estas unidades a lo largo del curso será la siguiente:

PRIMER TRIMESTRE (primera evaluación): Unidades 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7.

SEGUNDO TRIMESTRE (segunda evaluación): Unidades 8, 9, 10, 11 y 12

TERCER TRIMESTRE (tercera evaluación): Unidades 14, 15 y 16

Criterios de evaluación

La evaluación está encaminada a saber hasta que punto se asimilaron los conocimientos y se alcanzaron los objetivos marcados. Se valoran los conocimientos teórico prácticos del alumno, el empleo adecuado de las herramientas matemáticas, así como el rigor en los razonamientos desarrollados y la terminología empleada. En el desarrollo de los ejercicios y problemas se valoran los siguientes aspectos:

- La coherencia ordenada y razonada de la respuesta.

- La claridad en la exposición.

- La utilización de una adecuada terminología y notación matemática.

- La facilidad, precisión y simplificación en la realización de los cálculos.

- Si en el desarrollo de un ejercicio, bien por un mal planteamiento o por errores en los cálculos, el alumno obtiene un resultado absurdo (el seno de un ángulo mayor que uno, por ejemplo), se valora positivamente que se percate de ese hecho y ponga de manifiesto lo absurdo de tal resultado.

- También se valora positivamente que el alumno explique cada uno de los pasos que da en la solución de los ejercicios.


En cada evaluación habrá un examen que consistirá en resolver una serie de ejercicios de características similares a los que figuran en el libro de texto recomendado.

Los alumnos que aprueben las tres evaluaciones, tienen aprobada la asignatura. Si no las aprueban todas, en la convocatoria final del mes de junio tendrán que examinarse de las evaluaciones suspensas. De no aprobar en esta convocatoria, en septiembre deberán examinarse de toda la materia aunque tuviesen aprobada alguna de las evaluaciones.


3.- PROGRAMACIÓN. ORIENTACIONES Y ACTIVIDADES.

BLOQUE 1: ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA.

UNIDAD 1.- NÚMEROS REALES.

Con esta unidad se pretende repasar, profundizar y consolidar aspectos estudiados en cursos anteriores. Se inicia recordando los conceptos de números naturales y enteros. A continuación se estudian los números racionales y los reales y sus operaciones.

Criterios de evaluación.

Al finalizar el estudio de esta unidad debes ser capaz de:

- Distinguir los diferentes tipos de números.

- Realizar correctamente las operaciones usuales.

- Realizar con precisión las diferentes operaciones con potencias y radicales.

- Conocer las propiedades del valor absoluto y calcular la distancia entre dos puntos de la recta real.

Actividades para enviar al tutor

1. Halla los valores de a y b para que se cumpla la relación siguiente:

613

3=+

aba

2. Dado un cuadrado de 36 cm de lado, se quiere construir otro cuya área sea el doble. ¿Por cuánto habrá que multiplicar el lado?

3. Suma los siguientes radicales reduciéndolos previamente a radicales semejantes:

a) 48626724 −+ b) 33 322108 −

Actividades de autoevaluación

1. ¿Cómo se pueden repartir equitativamente 30 salchichas iguales entre 18 personas, realizando el menor número posible de cortes? ¿Cuál es el mínimo número de trozos que se necesitan hacer?.

2. Calcula el factor por el que hay que multiplicar la expresión 5 44 33 2 aaa ⋅⋅para que el resultado sea 1.


UNIDAD 2.- ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS.

En esta unidad estudiarás métodos algebraicos y geométricos para la resolución de ecuaciones e inecuaciones, y el planteamiento y resolución de problemas de aplicación de estos métodos. La mayoría ya son conocidos de cursos anteriores, ahora se trata de afianzarlos y de corregir los posibles errores.

También vas a estudiar los diferentes métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos o tres incógnitas e interpretar gráficamente la compatibilidad o incompatibilidad de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Debes recordar la representación gráfica de rectas en el plano, que también utilizarás en la resolución gráfica de sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas.

Por último debes ser capaz de plantear y resolver problemas resolubles con estas técnicas.



- Resolver ecuaciones de primer y segundo grado y las que se puedan reducir a ellas.

- Resolver inecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita.

- Representar gráficamente los intervalos solución de estas inecuaciones.

- Plantear y resolver problemas mediante ecuaciones de primer y segundo grado.

- Resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas.

- Estudiar la compatibilidad o incompatibilidad de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: interpretarlo geométricamente.

- Resolver gráficamente sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas.

- Plantear y resolver sistemas asociados a problemas reales: valorar la solución.


1. Un número capicúa de cinco cifras verifica: a) La suma de sus cifras es 9. b) La cifra de las centenas es igual a la suma de la de las unidades y de la de

las decenas. c) Si se intercambian las cifras de las unidades y decenas, el número resultante

disminuye en 9. Encuentra el número.


UNIDAD 3.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS.

En esta unidad, igual que ocurría con la 1, se trata de repasar y afianzar conocimientos estudiados en cursos anteriores. Comenzará con el estudio de los polinomios y las operaciones usuales entre ellos: suma, resta, producto y cociente, dedicando una atención especial a la regla de Ruffini, a la obtención de las raices de un polinomio y a la factorización de polinomios. Finalmente se estudian las fracciones algebraicas poniendo especial cuidado en las operaciones con fracciones y en simplificar los resultados.



- Realizar con soltura las diferentes operaciones con polinomios, empleando en su caso la regla de Ruffini.

- Conocer y aplicar el teorema del resto y su relación con el valor numérico de un polinomio.

- Calcular las raices y factorizar polinomios.

- Realizar con fluidez las distintas operaciones con fracciones algebraicas simplificando los resultados.

Actividades para enviar al tutor (continuación)

2. Un almacenista dispone de tres tipos de café: el A, a 9,8 euros/kg; el B, a 8,75 euros/kg; y el C, a 9,5 euros/kg. Desea hacer una mezcla con los tres tipos de café para suministrar un pedido de 1.050 kg a un precio de 9,4 euros/kg. ¿Cuántos kilogramos de cada tipo de café debe mezclar sabiendo que debe poner del tercer tipo el doble de lo que ponga del primero y del segundo juntos?.


1. Una tienda vende una clase de calcetines a 12 euros el par. Al llegar las rebajas, durante el primer mes realiza un 30% de descuento sobre el precio inicial y en el segundo mes un 40% también sobre el precio inicial. Sabiendo que vende un total de 600 pares de calcetines por 5.976 euros y que en las rebajas ha vendido la mitad de dicho total, ¿a cuántos pares de calcetines se les ha aplicado el descuento del 40%?.

2. Dos ciudades A y B distan 380 km. Si al mismo tiempo sale un coche de A en dirección a B con una velocidad de 110 km/h, y un camión sale de B en dirección a A con una velocidad de 85 km/h, ¿a qué hora se encuentran los dos vehículos y cuál es la distancia recorrida por ambos hasta encontrarse?.


UNIDAD 4.- SUCESIONES NUMÉRICAS. LOGARITMOS.

En esta unidad aprenderás a identificar y distinguir las sucesiones de números reales y a trabajar con un tipo particular de ellas: las progresiones aritméticas y geométricas de gran importancia en muchos aspectos de la vida.

Se estudiarán también las funciones exponenciales que sirven de modelo a fenómenos tan dispares como la evolución de poblaciones, desintegración radiactiva, intereses financieros, etc.

Se estudiarán también los logaritmos que durante siglos fueron instrumento esencial a la hora de realizar cálculos complicados. Los logaritmos varían muy lentamente, lo que les hace ser escala numérica adecuada para medir fenómenos naturales que implican números muy grandes, tales como la intensidad del sonido, la de los movimientos sísmicos, etc.



- Determinar el término general de sucesiones de números reales sencillas.

- Determinar el término general y la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética o geométrica.

- Determinar el producto de los n primeros términos de una progresión geométrica.

- Obtener logaritmos de números en distintas bases.

Actividades para enviar al tutor.

1. El polinomio P( 4) 3 +++= nxmxxx es divisible por 1−x y da el mismo resto al dividirlo entre 2−x y 3+x . Calcula m y n .

2. Realiza las operaciones que se indican: 3

391

96

31

32

22

−−

−+

+−+

++−

xxxx

xx

xx


1. Calcula un polinomio )(xP tal que, al dividirlo entre 32 +− xx da de cociente 542 23 −+− xxx y de resto 7.

2. Factoriza el siguiente polinomio: 1036 23 ++− xxx . ¿Cuáles son sus raíces?.


- Plantear y resolver ecuaciones en las que la incógnita aparece como base o argumento de un logaritmo o como exponente de una potencia.

- Plantear y resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

UNIDAD 5.- NÚMEROS COMPLEJOS.

En esta unidad estudiarás unos números que los matemáticos tardaron años en admitir, por eso se les llamó "complejos" e "imaginarios". A pesar de estar en apariencia desligados por completo del mundo real, los números complejos intervienen en la descripcción de movimientos ondulatorios, circuitos eléctricos, etc.

Criterios de evaluación.


- Identificar los números complejos y representarlos en el plano.

- Conocer las distintas formas de expresar los números complejos, así como pasar de una a otra forma.

- Elegir la forma más conveniente para realizar las operaciones y operar correctamente.


1. Una persona envía una carta a dos amigos, pidiéndoles que, a su vez, cada uno de ellos envíe una copia de dicha carta a otros dos amigos, y así sucesivamente. Después de 10 envíos, ¿cuántas copias se han hecho de la carta?.

2. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

=+=+

1loglog7yx

yx b)

=+=⋅−

−− 253210322

12 yx

yx


1. ¿Cuántos múltiplos de 3 hay entre los números comprendidos entre 100 y 1000?.

2. Un depósito de vino contiene 4.096 litros. Si un día se saca la mitad del contenido, al día siguiente se vuelve a sacar la mitad de lo que quedaba, y así sucesivamente todos los días, ¿qué cantidad de vino se sacó el undécimo día?.


- Calcular potencias y raices n-ésimas de números complejos.

BLOQUE 2. GEOMETRÍA.

UNIDAD 6.- TRIGONOMETRÍA.

En esta unidad se estudian las distintas unidades de medida de ángulos, se introducen las razones trigonométricas y se establecen las relaciones existentes entre ellas, así como los teoremas del seno y coseno, instrumentos fundamentales para la resolución de triángulos.



- Conocer las razones trigonométricas y las relaciones entre ellas. Reducción al primer cuadrante.

- Conocer las razones trigonométricas de los ángulos notables.


1. Calcula el valor de x para que el complejo ixi

4332

+−

a) Sea un número real. b) Sea un número imaginario puro. c) Su afijo esté en la bisectriz del primer cuadrante.

2. Resuelve la ecuación ( ) 352432 +=−+− xixi . Expresa la solución en forma polar.


1. El número 3i es una raiz cúbica de un número complejo, calcula las otras raíces y el número complejo.

2. Calcula el valor de x para que el afijo del cociente iix

232−−

se encuentre en:

a) El eje de abscisas. b) El eje de ordenadas. c) En la bisectriz del cuarto cuadrante.


- Resolver ecuaciones trigonométricas.

- Resolver cualquier tipo de triángulos y situaciones prácticas de cálculo de alturas, distancias y ángulos utilizando las fórmulas adecuadas.

UNIDAD 7.- VECTORES EN EL PLANO.

En esta unidad se estudian las características de un vector fijo que permitirán introducir el concepto de vector libre. Con vectores libres se realizan las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar.

Termina la unidad con la introducción del producto escalar de vectores, el estudio de sus propiedades y su aplicación a la determinación del módulo de un vector y el ángulo que forman dos vectores de gran importancia para la siguiente unidad.



- Operar con vectores libres.

- Estudiar la dependencia e independencia lineal.

- Determinar las coordenadas de un vector en una base.


1. Una calle de una gran ciudad tiene una anchura de 24 m. Un edificio de dicha calle tiene 40 m de altura. En un momento del día en el que los rayos del sol forman un ángulo de 60º con la horizontal, ¿llegará el sol a iluminar el pavimento de la calle?.

2. Desde un punto del suelo a 10 m de la pared en la que hay colgado un cuadro, se ve la parte inferior de éste con un ángulo de elevación de 24º, y la parte superior con un ángulo de 37º. ¿Qué altura tiene el cuadro?.


1. Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica: 0cos275 2 =−− xsenx .

2. Comprueba si es cierta o no la igualdad: aa

aa cos3cos

1cos2cos 2

=++


- Hallar el módulo de un vector y el ángulo que forman dos vectores utilizando el producto escalar.

UNIDAD 8.- GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO.

En esta unidad se estudia la geometría en el plano estudiando las distintas ecuaciones de la recta. Se estudia la posición relativa de rectas en el plano, el ángulo de dos rectas, distancia entre puntos, entre un punto y una recta y entre dos rectas, punto medio de un segmento, elementos notables de un triángulo (medianas, mediatrices, alturas y bisectrices), punto medio de un segmento, etc.



- Conocer las distintas ecuaciones de la recta y elegir la más adecuada en cada caso.

- Establecer con rigor las condiciones de paralelismo y perpendicularidad.

- Estudiar la posición relativa de rectas en el plano.

- Calcular el ángulo de dos rectas y las distancias entre puntos y rectas.

- Calcular alturas, medianas, mediatrices y bisectrices de un triángulo.


1. Dados los vectores ( )2,1−=→

u y ( )xv ,3=→

, determina x para que →

u y →

v :

a) Sean paralelos. b) Sean perpendiculares c) Formen un ángulo de 30º

2. Determina el vector →

u sabiendo que forma un ángulo de 45º con (1,2) y es unitario.


1. Determina las coordenadas de los puntos que dividen al segmento de extremos A(0,-2) y B(9,7) en tres partes iguales.

2. Determina el vector →

u sabiendo que tiene módulo 2 y forma un ángulo de 90º con (2,-1).


UNIDAD 9.- LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS.

Las curvas llamadas cónicas tienen esta denominación porque se obtienen cortando mediante planos en diferentes posiciones una superficie cónica.

En esta unidad estudiaremos el concepto de lugar geométrico como el conjunto de puntos del plano que verifican una determinada propiedad. Se estudiará con más detalle la circunferencia y se introducirán los conceptos de elipse, hipérbola y parábola, sus elementos característicos y la forma de obtener sus ecuaciones.


1. Dadas las rectas: ,052:032:,0523: 321 =−−=+−=+− ykxryyxryxr

halla k para que:

a) 32 ryr sean paralelas. b) 32 ryr sean perpendiculares. c) Las tres rectas pasen por un punto. d) 31 ryr formen un ángulo de 45º.

2. Un triángulo isósceles ABC tiene como vértices del lado desigual los puntos A(3,1) y B(6,3), y el tercer vértice C se encuentra en la recta cuya ecuación es

5+= xy . Halla:

a) Las coordenadas del punto C. b) La altura correspondiente al lado AB. c) El área del triángulo.


1. Calcula en los siguientes casos el valor de k para que la recta 01=++ kyx .

a) Tenga pendiente 3. b) Pase por el punto (2,1). c) Sea paralela a la recta 052 =−+ yx . d) Sea perpendicular a la recta 042 =+− yx .

2. Los vértices de un triángulo son A(1,1) ; B(5,2) y C(4,6). a) ¿Es equilátero, isósceles o escaleno? b) ¿Es acutángulo, rectángulo u obtusángulo?




- Reconocer determinadas curvas y rectas como lugares geométricos.

- Estudiar las posiciones de una recta y una circunferencia.

- Caracterizar las rectas tangente y normal a la circunferencia.

- Hallar la potencia de un punto respecto a una circunferencia y el eje radical de dos circunferencias.

- Estudiar la elipse, hipérbola y parábola, sus elementos característicos y las distintas formas de expresar su ecuación.

BLOQUE 3.- FUNCIONES Y GRÁFICAS.

UNIDAD 10.- FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.

El concepto de función es muy importante en matemáticas, interviene en todo tipo de fenómenos científicos y puede utilizarse para modelizar muchos de carácter social.

Con las funciones intentamos representar y estudiar cuantitativamente el cambio que experimenta una magnitud determinada cuando varía otra.

En esta unidad estudiarás las propiedades generales, analíticas y gráficas, que debe cumplir una expresión algebraica o una curva para definir una función.


1. Halla la ecuación de una elipse cuyos focos son F(2, 0) y F´(-2, 0) y su

excentricidad es 21

=e .

2. Halla la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto P(4, 3) y tal que la distancia entre sus vértices es 8.


1. Obtén la ecuación de una circunferencia que pasa por el origen de coordenadas y por el punto (-5, 8) y tiene el centro en el eje de las ordenadas.

2. Halla la ecuación de la parábola de vértice (3, -1), de eje la recta y + 1 = 0 y que pasa por el punto (2, -2).


Las funciones polinómicas tienen unas propiedades que las hacen adecuadas para cuantificar muchos fenómenos sociales y económicos: oferta y demanda, ingresos y gastos..., además explican cuestiones matemáticas y físicas notables como longitudes, áreas y volúmenes de figuras geométricas, el espacio recorrido por un móvil, la altura que alcanza un objeto lanzado al aire ...

Las funciones racionales -cociente de dos funciones polinómicas- también describen situaciones cotidianas como la proporcionalidad inversa.

Otras funciones importantes que se estudiarán en esta unidad son las funciones circulares y la función exponencial y logarítmica, fundamentales para estudiar determinados procesos ligados a la economía y las ciencias sociales.

El concepto de límite es uno de los más importantes del cálculo infinitesimal y el fundamento de la mayoría de sus resultados. Se trata de encontrar, si existe, el valor al que se acerca una función cuando la variable independiente toma valores cada vez más próximos a uno determinado.

Unido al concepto de límite está el de continuidad cuyo significado coincide con el de una curva sin cortes en su gráfica.



- Conocer el concepto de función.

- Representar gráficamente funciones sencillas.

- Saber interpretar una gráfica.

- Distinguir si una gráfica define o no una función.

- Vincular las funciones a procesos de carácter económico (oferta, demanda, ingresos, gastos, beneficios ...).

- Resolver problemas sencillos con ayuda de las funciones.

- Conocer las funciones exponenciales y logarítmicas, sus características y representación gráfica.

- Emplear estas funciones para resolver problemas sencillos asociados a situaciones reales.

- Manejar la calculadora para realizar los cálculos.

- Identificar las gráficas de las funciones seno, coseno y tangente y comprobar su periodicidad.

- Tener la noción intuitiva del concepto de límite de una función en un punto.

- Calcular límites de funciones elementales.


- Resolver indeterminaciones sencillas de la forma 00

, ∞∞

e ∞−∞ .

- Calcular límites laterales y conocer la condición necesaria y suficiente para la existencia del límite de una función en un punto.

- Comprender el significado gráfico de la continuidad de una función.

- Estudiar y clasificar las discontinuidades de una función.

UNIDAD 11.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN.

La observación de un fenómeno, de un cambio, conduce a una función. Cuando los científicos decidieron interesarse no sólo por los cambios que se efectúan en las cosas, sino por lo más o menos rápidamente que las cosas cambian, comienza el estudio de las derivadas.

Los conceptos de tasa de variación media y tasa de variación instantánea -la derivada- es la ayuda que la matemática presta a la ciencia para medir e interpretar la magnitud de los cambios.


1. En un aparcamiento se debe abonar 1 euro por cada hora o fracción hasta un máximo de 15 euros al día. Haz una gráfica que represente las cantidades a abonar por un vehículo que está aparcado entre 0 y 48 horas.

2. Dada la función ( )

=

≠−

−=

20

222

xsi

xsixx

xf estudia su continuidad.


1. Calcula el siguiente límite: 52

9lim2

2

3 −−

−→ x

xx

2. Se considera la función )(xf definida por:

≥<≤+

<−=

2203

0)(

2 xsiaxxsibx

xsixxf

Calcula los valores de a y b para que )(xf sea continua.


Intuitivamente, una función con derivada en cada punto es aquella en la que la gráfica no varía bruscamente de dirección en ningún punto.



- Manejar los conceptos de tasa de variación media e instantánea.

- Conocer el significado geométrico de la derivada.

- Calcular la ecuación de la tangente a una curva en un punto.

- Conocer la relación entre continuidad y derivabilidad.

- Calcular la derivada de una función a partir de la definición.

- Calcular la derivada de funciones sencillas y de sus composiciones.

- Calcular derivadas laterales.


1. Determina a y b para que la función

<+

≤<−

−≤−+

=− xsibe

xsix

axsiaxx

xfx 12

112

112)(

1

23

sea continua en 1−=x y 1=x .

Para los valores de a y b obtenidos anteriormente, estudia si )(xf es derivable en 1=x .

2. Dada la función 21)(

xxxf+

= , determina:

a) Las coordenadas de los puntos de la misma, en los que las tangentes forman un ángulo de 45º con la parte positiva del eje de abscisas.

b) La ecuación de la tangente en el punto de abscisa 3=x .

c) La ecuación de la recta normal a la curva en dicho punto.


1. Dada la función polinómica de segundo grado cbxaxy ++= 2 , determina los coeficientes a , b y c si se sabe que la gráfica de esta función pasa por los puntos (1, 2) y (2, 6) y que, en este último punto, la recta tangente a la curva tiene como ecuación: 087 =−− yx . Explica de manera razonada los cálculos efectuados.


- UNIDAD 12.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES.

Se estudian en esta unidad dos de las aplicaciones más importantes de las derivadas: el comportamiento de una función a lo largo de su dominio para obtener su representación gráfica, y el planteamiento y resolución de problemas de optimización de funciones.


- Calcular intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, concavidad y convexidad, puntos de inflexión.

- Representar gráficamente una función.

- Plantear y resolver problemas de optimización vinculados a situaciones reales.

Actividades de autoevaluación (continuación)

2. Considera la curva de ecuación 32)( 2 +−= xxxf .

a) Halla una recta que sea tangente a dicha curva y que forme un ángulo de 45º con el eje de abscisas.

b) ¿Hay algún punto de la curva en el que la recta tangente sea horizontal? En caso afirmativo, halla la ecuación de dicha recta tangente, y en caso negativo explica por qué.


1. Halla el dominio de definición, máximos y mínimos e intervalos de crecimiento

y decrecimiento de la función 4

1)( 2 −=

xxf y encuentra las asíntotas y

posibles simetrías de la curva que representa.

2. Descompón un segmento de 20 m de longitud en cuatro partes para obtener un rectángulo de la mayor área posible.


1. Se ha de editar un libro y cada hoja debe contener 18 centímetros cuadrados de texto. Los márgenes superior e inferior de cada hoja han de tener 2 cm cada uno, y los márgenes laterales, 1 cm cada uno. Calcula las dimensiones de cada hoja del libro para que el gasto de papel sea mínimo.


BLOQUE 4.- ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD.

UNIDAD 14.- ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA BIDIMENSIONAL.

La tarea de describir y procesar de modo adecuado la masa de datos proveniente de las observaciones y experimentos es el objeto de la estadística descriptiva. Se realiza mediante gráficos o bien mediante números o parámetros estadísticos que esquematizan la información.

En esta unidad empezaremos recordando la organización de un conjunto de datos mediante tablas y gráficos, así como la obtención de las medidas de centralización y de dispersión más usuales.

La mayoría de los conceptos que constituyen la estadística elemental son fáciles de manejar y no requieren en general cálculos difíciles. Sin embargo, la interpretación de su significado, o la utilización de los valores que toman en un problema estadístico concreto con el fin de llegar a conclusiones y tomar decisiones, exige un cierto cuidado.

Continuaremos con el estudio de relaciones de tipo estadístico entre dos variables y procuraremos determinar procedimientos que nos permitan, con el menor riesgo de error posible, hallar el valor de una variable a partir de la otra.



- Confeccionar e interpretar tablas de frecuencias y los gráficos estadísticos usuales.

- Calcular e interpretar las medidas de centralización y dispersión.

- Calcular y conocer el significado del coeficiente de variación de un conjunto de datos.

- Distinguir entre relaciones funcionales y estadísticas.

- Comprender el concepto de correlación lineal.

- Entender que el grado de correlación informa sobre la influencia de una variable sobre otra.

- Decidir, según el valor de r, si puede hacerse una estimación fiable.

- Utilizar la recta de regresión para estimar una variable a partir de otra.


UNIDAD 15.- PROBABILIDAD.

La teoría de la probabilidad que estudiarás en esta unidad trata de establecer y analizar matemáticamente los extraños modos a través de los cuales, lo que es imprevisible y azaroso en un fenómeno o suceso individual debido a la multitud de causas diversas que en él intervienen y que no podemos controlar, pasa a ser previsible, ordenado, sujeto a leyes matemáticas, cuando se considera la repetición, por muchas veces de ese mismo fenómeno. No sabemos lo que saldrá al lanzar un dado una vez, pero sabemos que si lo lanzamos 60.000 veces, cada número saldrá aproximadamente 10.000 veces.


1. Las calificaciones obtenidas por ocho alumnos en matemáticas y estadística han sido:

Matemáticas 2 4 6 5 6 8 9 10

Estadística 3 4,5 7 5,5 6 8,5 10 1

a) Halla el coeficiente de correlación entre ambas calificaciones para los siete primeros alumnos

b) Calcula también el coeficiente de correlación entre las notas de las dos asignaturas para todos los alumnos.

c) Justifica la diferencia entre los resultados obtenidos.


1. Una persona se somete durante cinco semanas a una dieta de adelgazamiento bajo control médico. Su peso al término de cada una de esas semanas viene dado en la siguiente tabla:

Semana de dieta 1 2 3 4 5

Peso en kilos 88,5 87 84 82,5 79

a) Calcula el coeficiente de correlación. b) A partir del valor de la correlación lineal, ¿resultaría adecuado utilizar la recta

de regresión para hacer predicciones en la evaluación del peso a medida que se prolonga la dieta?

c) Ajusta la mencionada recta de regresión. d) ¿Qué peso cabe esperar que alcance esta persona si mantiene la dieta

durante dos semanas mas? ¿Y si prolonga la dieta durante 25 semanas?




- Obtener el espacio muestral de un experimento aleatorio.

- Asignar probabilidades a sucesos y hacer operaciones con ellos.

- Distinguir los distintos tipos de sucesos y evaluar la influencia de un suceso en la probabilidad de la realización de otros.

- Entender el significado de la independencia e incompatibilidad entre sucesos.

- Calcular probabilidades condicionadas.

UNIDAD 16.- COMBINATORIA. DISTRIBUCIONES.

Una distribución de probabilidad no es más que la asignación a cada posible suceso de un experimento aleatorio de la probabilidad que le corresponde. Esto tiene un sentido aceptable cuando los sucesos posibles en un experimento son unos pocos, es


1. En una universidad existen tres facultades A, B y C. En A hay matriculadas 150 chicas y 50 chicos, en B hay 300 chicas y 200 chicos, y en C 150 chicas y 150 chicos. a) Calcula la probabilidad de que un estudiante elegido al azar sea chico. b) Si un estudiante elegido al azar resulta ser chico, ¿cuál es su facultad más

probable?.

2. En una ciudad, el 35% de los censados vota al partido A, el 45% al partido B y el 20% se abstiene. Se sabe además que el 20% de los votantes de A, el 30% de los de B y el 15% de los que se abstienen son mayores de 60 años. Elegido al azar un vecino de esa ciudad, ¿cuál es la probabilidad de que sea mayor de 60 años?.


1. En un banco hay dos sistemas de seguridad A y B. El sistema A funciona 90 de cada 100 veces, y el B, 80 de cada 100 veces, y los dos a la vez 75 de cada 100. ¿Cuál es la probabilidad de que no funcione ninguno de los dos sistemas?.

2. El 40% de las declaraciones del impuesto sobre la renta son positivas. Un 10% de las que resultaron positivas lo fueron como consecuencia de errores aritméticos en la realización de la declaración. Si hay un 5% de declaraciones con errores aritméticos, ¿qué porcentaje de éstas resultaron positivas?.


decir: hay un número finito. Cuando esto es así, la variable que estudiamos es discreta. Entre todas las distribuciones de probabilidad discreta, la binomial es la más sencilla y la más básica.

Cuando el experimento a estudiar puede tomar, al menos teóricamente, un número infinito de valores, la variable que estudiamos es continua. La curva normal es la representación de probabilidad continua que aparece con mayor frecuencia en las exploraciones de las que ordinariamente se ocupan científicos tales como sociólogos, psicólogos, geógrafos ..., debido a la enorme complejidad de las causas que intervienen en las situaciones que estudian las ciencias sociales y humanas.



- Aprender a calcular números combinatorios.

- Aplicarlos al binomio de Newton.

- Resolver problemas de uso frecuente.

- Distinguir entre variaciones, permutaciones y combinaciones.

- Conocer las características de una distribución de probabilidad discreta.

- Asignar probabilidades a sucesos de los que se conoce su distribución de probabilidad.

- Conocer las características de una distribución binomial y distinguir este tipo de distribuciones.

- Conocer los parámetros de la distribución binomial y su significado.

- Asignar probabilidades a sucesos mediante la distribución binomial.

- Conocer las características de una distribución continua.

- Manejar la función de densidad y la función de distribución.

- Conocer las características básicas de la distribución normal.

- Tipificar una variable normal y con la ayuda de la tabla normal tipificada, calcular probabilidades asociadas a ella.

- Utilizar, cuando sea adecuado, la distribución normal como aproximación de la binomial.


1. Un examen de opción múltiple está compuesto por ocho preguntas, con cuatro posibles respuestas cada una, de las cuales sólo una es correcta. Supóngase que uno de los estudiantes que realiza el examen responde al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente al menos 7

preguntas?. b) ¿Cuál es la probabilidad de que no acierte ninguna?.



1. La lotería primitiva consiste en elegir 6 números del 1 al 49, pero también se admiten apuestas múltiples, pudiendo señalar 7, 8, 9 , 10 u 11 números en cada bloque. c) Si señalas 8, ¿a cuántos boletos sencillos equivale? ¿Qué probabilidad tienes

de acertar? d) Si cada boleto sencillo cuesta 1 euro, ¿cuánto costará un boleto múltiple de

10 números?

2. Sea

>

≤<−

≤

=

20

202

100

)(

xsi

xsixxsi

xf la función de densidad de una cierta variable

aleatoria X. Halla la función de distribución )(xF .

Actividades para enviar al tutor (continuación)

1. En cierta población, la edad de los individuos tiene una distribución normal con una media de 32 años y una desviación típica de 8 años. a) Halla la proporción de individuos menores de 18 años. b) Si en la citada población viven 2 millones de personas, halla el número

aproximado de personas mayores de 60 años.


UNIDAD 1

1. 321

18121

1830

+=+= ⇒a cada persona le corresponde una salchicha y 32⇒ si se da

una salchicha a cada persona quedan 30-18=12 salchichas para cortar, y como a

cada persona le corresponde 32

más, habrá que cortar cada una de las 12

salchichas en dos trozos de 31

y 32

respectivamente y dar a 12 personas un trozo

de 32

a cada una y a las 6 restantes dos trozos de 31

a cada una.

En total 12 cortes y 24 trozos.

2. Reduciendo previamente los radicales a índice común obtenemos:

60 13260 13360 4860 4560 405 44 33 2 aaaaaaaaa ==⋅⋅=⋅⋅ ⇒el factor por el que

hay que multiplicar esa expresión para que el resultado sea 1 es 60 132

1

aa.

UNIDAD 2

1. Si llamamos x a los pares de calcetines vendidos con un descuento del 40%, las condiciones del problema nos dicen que se venden 300 pares a 12 euros y x−300 pares con un descuento del 30%, con lo cual se obtiene la ecuación:

5976126,0)300(127,030012 =⋅⋅+−⋅⋅+⋅ xx

que da como resultado: 120=x pares vendidos con un descuento del 40%. También puedes intentar hacerlo planteando un sistema de ecuaciones.

2. Se encontrarán en un punto C situado a x km de A y a x−380 km de B. Como ambos móviles llevan circulando el mismo tiempo hasta su encuentro, igualando sus tiempos obtenemos la ecuación:

85380

110xx −

= cuya solución es 36,214=x km⇒ se encuentran a 36,214 km de A,

y a 64,16536,214380 =− km de B, y el tiempo que tardan en encontrarse es

95,1110

36,214==t horas = 1hora 56 minutos 55,41seg.

SOLUCIONARIO


También puedes hacerlo igualando a 380 la suma de los espacios recorridos por los dos móviles. Inténtalo.

UNIDAD 3

1. Como sabemos, dividendo = divisor . cociente + resto, con lo cual: 81715937)542()3()( 2345232 −+−+−=+−+−⋅+−= xxxxxxxxxxxP

2. Utilizando la regla de Ruffini obtenemos que las raíces del polinomio son –1, 2 y 5 y, por tanto, la factorización es: )5)(2)(1(1036 23 −−+=++− xxxxxx .

UNIDAD 4

1. El primer múltiplo es 1021 =a y el último 999=na y forman una progresión aritmética de diferencia 3. Como ⇒−+= dnaan )1(1 999=102+ )1( −n 3 300=⇒ n .

2. Se trata de una progresión geométrica de razón 21

=r y 40961 =a ;

422

214096 10

121010

111 ==

⋅=⋅= raa litros.

UNIDAD 5

1. Si 0º9033 =i es una raíz cúbica, el complejo es ( ) 00 270

390

273 = y las otras raíces

cúbicas tienen de módulo 3273 = y de argumentos

2,1,03

º360º270=

⋅+= kkα ⇒ las raíces son : 090

3 , 00 33011033 y .

2. ixxiiiix

iix

1334

1326

)23)(23()23)(2(

232 −

++

=+−+−

=−−

a) Para que su afijo se encuentre en el eje de abscisas, la parte imaginaria debe

ser 0, con lo cual 430340

1334

=⇒=−⇒=− xxx

.

b) Para que el afijo se encuentre en el eje de ordenadas, la parte real debe ser 0,

con lo cual .310260

1326

−=⇒=+⇒=+ xxx


c) Para que el afijo esté en la bisectriz del cuarto cuadrante, la ordenada y la abscisa deben ser opuestas, con lo cual

1011104326

1334

1326

=⇒=⇒−=+⇒−

−=+ xxxxxx

UNIDAD 6

1. 03720)1(2750cos275 222 =+−⇒=−−−⇒=−− senxxsenxsensenxxsenx . Resolviendo esa ecuación de segundo grado en senx se obtiene que 3=senx ,

21

=senx

La solución 3=senx no corresponde a ningún ángulo porque el seno de un ángulo no puede ser mayor que 1.

Con la otra solución 21

=senx se obtiene Zkkx ∈⋅+= º360º30 .

2.

La igualdad es cierta.

UNIDAD 7

1. Si llamamos ),( 11 yxC y ),( 22 yxD a los puntos buscados, se tiene que cumplir:

→→

= ABAC31

, ⇒ )3,3()9,9(31)2,( 11 ==+yx , 1,3 11 ==⇒ yx

,6),6,6()9,9(32)2,(,

32

222 =⇒==+⇒=→→

xyxABAD 42 =y

Las coordenadas de los puntos buscados son: )1,3( y )4,6( .

2. Si denotamos ),( yxu =→

, por ser ortogonal al vector (2,-1) su producto escalar ha de ser 0, con lo cual .2,02,0)1,2(),( xyyxyx =⇒=−⇒=−⋅ ⇒Los vectores ortogonales a (2,-1) son de la forma R∈λλ ),2,1( .Como ha de tener módulo 2, ⇒

54,44,4 2222 =⇒=+⇒=+ xxxyx . El vector buscado es

54,

52

o

−−

54,

52

.

aaa

aasena

aaasena

aaa

cos3coscos3

cos)1(cos2

cos1coscos

cos1cos2cos

2

222222

==

=−+

=++−

=++


UNIDAD 8

1. La pendiente de la recta dada es k1

− , y para que 3131

−=⇒=− kk

.

a) El punto (2,1) debe cumplir la ecuación de la recta: 3,012 −=⇒=++ kk .

b) La pendiente de la recta 052 =−+ yx es 21

− y como rectas paralelas tienen

la misma pendiente, 2,121

=⇒−=− kk

.

c) La pendiente de la recta 042 =+− yx es 2, y para que sea perpendicular a la

dada ha de ser 2,121=⇒−=⋅− k

k.

2. a) 17),(;34),(;17),( === CBdCAdBAd . Dos lados iguales: es isósceles.

b) 222 ),(),(),( CBdBAdCAd += : es rectángulo.

UNIDAD 9

1. Si el centro está en el eje de ordenadas, es de la forma ),0( b ; como pasa por el origen de coordenadas, el radio es b ; por pasar por (-5,8):

( ) 2)8(25),0(),8,5( bbd −+=− ; resolviendo esa ecuación obtenemos 1689

=b . Así

pues el centro es

1689,0 y el radio es

1689

. La ecuación de la circunferencia es:

22

2

1689

1689

=

−+ yx .

2. Como el eje es la recta 1−=y , paralela al eje OX, y el vértice es (3,-1),su ecuación

será de la forma ( ) )3(2)1( 2 −=−− xpy . Y como pasa por (2,-2), se ha de cumplir

que: )32(2)12( 2 −=+− p , con lo cual 21−

=p , y la ecuación es )3()1( 2 −−=+ xy


UNIDAD 10

1. Se trata de resolver una indeterminación de la forma 00

.

( )( )

( )( ) ( ) 452lim5252

529lim52

9lim 2

322

22

32

2

3=−+=

−+−−

−+−=

−−

−→→→

xxx

xx

xx

xxx

2. Para que una función )(xf sea continua en ax = , tiene que cumplirse que )()(lim)(lim afxfxf

axax==

−+ →→. Los puntos donde puede haber problemas de

continuidad son 0=x y 2=x .

bf =)0( ; 0)(lim)(lim00

=−=−− →→

xxfxx

; bbxxfxx

=+=++ →→

)3(lim)(lim00

. Por tanto, para

que la función sea continua en 0=x debe ser 0=b .

af 4)2( = ; 6)03(lim)(lim22

=+=−− →→

xxfxx

; aaxxfxx

4lim)(lim 2

22==

++ →→. Para que la

función sea continua en 2=x debe ser 2346 =⇒= aa .

Así pues para que sea continua en todos sus puntos debe ser 23

=a y 0=b .

UNIDAD 11

1. Si su gráfica pasa por (1,2) cba ++=⇒ 2 .

Si su gráfica pasa por (2,6) cba ++=⇒ 246 .

Si en (2,6) su tangente es la recta 087 =−− yx cuya pendiente es 7, la derivada en 2=x tiene que ser 7. Como 74)2´(,2´ =+=+= baybaxy . Resolviendo el sistema formado por esas tres ecuaciones se obtiene 45,3 =−== cyba .

2. a) Las rectas que forman un ángulo de 45º con el eje de abscisas tienen de pendiente 1º45 =tg . Como la pendiente de la tangente a una curva en un punto es el valor de la derivada en ese punto, se trata de hallar el valor de x para el

cual 23,122)´( =⇒=−= xxxf . El punto de tangencia es .

49,

23

23,

23

=

f

La recta tangente es

−=−

23

49 xy 0344 =+−⇒ yx .

b) Las rectas horizontales (paralelas al eje OX) tienen pendiente 0. Se trata de ver si hay algún punto de la curva en el que la derivada sea cero

.1,022)´( =⇒=−=⇒ xxxf El punto de tangencia es ( ) )2,1()1(,1 =f y la ecuación de la tangente es .2=y


UNIDAD 12

1. Si llamamos x e y al ancho y alto de cada hoja, hay que minimizar la función xyS = .

Por las condiciones del problema, sabemos que 18)4)(2( =−− yx , con lo cual

obtenemos que 42

18+

−=

xy . Sustituyendo ese valor en la expresión de S ,se

obtiene xx

xS 42

18+

−= .Para hallar el mínimo derivamos esa expresión e igualamos

a cero. .1,5,04)2(

36´ 2 −==⇒=+−−

= xxx

S La solución 1−=x no sirve para el

problema. Comprobamos con el signo de la segunda derivada si el valor 5=x

corresponde a un mínimo. 3)2(72´´−

=x

S , y 0)5´´( >S ⇒Para 5=x el gasto de

papel es mínimo. Las dimensiones de la hoja son 5cm×10cm.

UNIDAD 14

1. a) Si consideramos los 7 primeros alumnos y llamamos smatemáticax = e aestadísticy = obtenemos:

x y x2 y2 xy 2 3 4 9 6

4 4,5 16 20,25 18

6 7 36 49 42

5 5,5 25 30,25 27,5

6 6 36 36 36

8 8,5 64 72,25 68

9 10 81 100 90

40 44,5 262 316,75 287,5

99,062,459,4

59,44,67,57

5,287

1,2)4,6(7

75,316

2,2)7,5(7

262

4,67

5,44

7,5740

2

2

_

_

==⋅

=

=⋅−=

=−=

=−=

==

==

yx

xy

xy

y

x

r

y

x

σσσ

σ

σ

σ


b) Si consideramos todos los alumnos obtenemos:

c) En el primer caso la correlación es fuerte y en el segundo débil. En el segundo caso hay mayor dispersión en x y en y . Las calificaciones del último alumno no siguen la tónica de los anteriores.

UNIDAD 15

1. ( )( ) ( ) 05,075,08,09,01()()(11 =+−−=∩+−−=∪−=∪ BAPBPAPBAPBAP c

2. 8,005,0

4,01,0)(

)()/()/( =⋅

=⋅

=erroresP

positivaPpositivaerroresPerrorespositivaP .

UNIDAD 16

1. a) Se trata de formar con 8 números grupos de 6 sin que importe el orden: .286,8 =C Equivale a 28 boletos. Como el número de combinaciones posibles es

816.983.136,49 =C , la probabilidad de acertar es 816.983.13

28.

b) Un boleto múltiple de 10 números equivale a 2106,10 =C boletos sencillos y

costará 210 euros.

x y x2 y2 xy 2 3 4 9 6

4 4,5 16 20,25 18

6 7 36 49 42

5 5,5 25 30,25 27,5

6 6 36 36 36

8 8,5 64 72,25 68

9 10 81 100 90

10 1 100 1 10

50 45,5 362 317,75 297,5 197,0

7,24,228,1

28,17,53,68

5,297

7,27,58

75,317

4,23,68

362

7,58

5,45

3,68

50

2

2

_

_

=⋅

=⋅

=

=⋅−=

=−=

=−=

==

==

yx

xy

xy

y

x

r

y

x

σσσ

σ

σ

σ


2.

>

≤<−

≤

=⇒−=

−= ∫

21

204

00

)(,42

1)(22

0

xsi

xsixx

xsi

xFxxdttxFx

MATEMÁTICAS I MATERIAS PROPIAS DE … Determinar las posiciones relativas de rectas en el plano. -...

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