Tema10 11-ud4

TEMA 10

Estimación puntual

Probabilidades y Estadística I

Esquema inicial

1 I t d ió1. Introducción

2. Estadísticos y estimadoresy


Esquema inicial


2. Estadísticos y estimadores2. Estadísticos y estimadores2. Estadísticos y estimadoresyyy


1. Introducción (1/4)

Enunciados genéricosEnunciados genéricos

Sea x1, x2,….., xn un conjunto de n valores numéricos

Muestra aleatoria simple

X X X

Conjunto de n variables aleatorias

0,8

1

1,2

0,8

1

1,2

0,8

1

1,2

X1, X2,…, Xn0 1 2 3 4

0

0,2

0,4

0,6

0 1 2 3 40

0,2

0,4

0,6

0 1 2 3 40

0,2

0,4

0,6

…..

Independientes e idénticamente distr.



Muestra aleatoria simple Conjunto de n variables aleatorias

X1, X2,…, Xn0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 40

0 1 2 3 40

0 1 2 3 40…..

Independientes e idénticamente distr.

POBLACIÓN Variable aleatoria

X

POBLACIÓN

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 40

0,2 (parámetro)



1

1,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 40

0,2

( , )Erlang k



Problemas

1,21. Determinar el valor de los parámetros a

ti d l d t (E i ió )

0,6

0,8

1

1,2 partir de los datos (Estimación)

2. Determinar si estimación de los parámetros

0 1 2 3 40

0,2

0,4

pes asumible (Contraste paramétrico)

i i l i ió d l d0 1 2 3 4

( , )Erlang k 3. Determinar si la asignación de esa ley de

incertidumbrees asumible(Contraste no paramétrico)

FUENTE DE INFORMACIÓN: Los datos con los que se construyó el histograma


Esquema inicial

1 I t d ió1 I t d ió1 I t d ió1. Introducción1. Introducción1. Introducción

2. Estadísticos y estimadoresy


2. Estadísticos y Estimadores (1/5)

ESTADÍSTICO Sea X1,X2,…,Xn una muestra aleatoria simpleESTADÍSTICO

1 2( , ,...., )nT T X X X

Sea X1,X2,…,Xn una muestra aleatoria simple

Se puede valorar a partir de la muestra

Ejemplo Sea X1, X2,…,Xn una muestra aleatoria simple de una ( , )N

2 2 21 2 1 2( , ,...., ) ....n nT X X X X X X Estadístico

2 2 21 2 1 2( , ,...., ) ....n nT X X X X X X No es Estadístico



ESTIMADOR Sea X1,X2,…,Xn una muestra aleatoria simple 1 2 n

1 2( , ,...., )nX X X 1 2( , , , )n

Pretende aproximar el parámetro desconocido

Ejemplo Sea X1,X2,…,Xn una muestra aleatoria simple de una ( , )N

1 n

1 21

1( , ,...., )n ii

X X X Xn

Estimador de la media



P bl ió P á t E ti dPoblación Parámetro Estimador

1ˆ( )n

X X X X X 1 21

( , ,...., )n i ni

X X X X Xn

1, 1 2ˆ ( , ,...., )n np X X X X

1 2ˆ ( , ,...., )n nX X X X

22 1 n

221 2

1

1ˆ ( , ,...., )n i ni

X X X X Xn

221 2

1( , ,...., )n

iS X X X X X 1 21

( , ,...., )1n i n

iS X X X X X

n



Distribuciones de estimadores en poblaciones normales

Teorema de Fisher

Error muestral

Distribución muestral

4.

5.



P1

8

11

0.50.5

4

811

0.50.5

0.5 10

Distribución muestral

0.50.500 Distribución muestral0

0.50.5000

Parámetro poblacional Estimación Error muestral


TEMA 11

Intervalos de confianza


Esquema inicial


2. Método de la variable pivotep

3. Intervalo de confianza en poblaciones normales

4. Intervalo de confianza asintóticos


Esquema inicial


2. Método de la variable pivote2. Método de la variable pivote2. Método de la variable pivoteppp

3. Intervalo de confianza en poblaciones normales3. Intervalo de confianza en poblaciones normales3. Intervalo de confianza en poblaciones normales

4. Intervalo de confianza para proporciones4. Intervalo de confianza para proporciones4. Intervalo de confianza para proporciones



Asignación

1

1,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 40

0,2

( , )Erlang k



Problemas1 D t i l l d l á t

0,8

1

1,21. Determinar el valor de los parámetros a

partir de los datos (Estimación puntual)

0,2

0,4

0,6 1 2ˆ ˆ , ,..., nk k X X X 1 2

ˆ ˆ , ,..., nX X X

0 1 2 3 40

( , )Erlang k 1. Determinar el valor de los parámetros a

partir de los datos (Estimación intervalar)

1 1 2 2 1 2ˆ ˆ, ,..., , ,..., 0.90n nP k X X X k k X X X

ˆ ˆ 1 1 2 2 1 2ˆ ˆ, ,..., , ,..., 0.95n nP k X X X k k X X X

1 1 2 2 1 2ˆ ˆ, ,..., , ,..., 0.99n nP k X X X k k X X X


1 1 2 2 1 2, , , , , ,n n

Esquema inicial


2. Método de la variable pivotep


4. Intervalo de confianza asintóticos4. Intervalo de confianza asintóticos4. Intervalo de confianza asintóticos


2. Método de la variable pivote (1/3)

Objetivo

Variables aleatoriaNivel de confianza

Constante

Se trata de encontrar una variable aleatoria que sea función de la muestra y del parámetro desconocido, de la que se conozca su distribución y, además, ésta no dependa del parámetro



Objetivo

Se trata de encontrar una variable aleatoria que sea función de la muestra y

del parámetro desconocido, de la que se conozca su distribución y, además,

ésta no dependa del parámetro



Variable aleatoria que sea función de la muestra y del parámetro desconocidoq y p

4. 4.

5.


Esquema inicial



3. Intervalo de confianza en poblaciones normales

4. Intervalo de confianza asintóticos4. Intervalo de confianza asintóticos4. Intervalo de confianza asintóticos


3. I.C. en poblaciones normales (1/15)

Sea X1,X2,…,Xn una muestra aleatoria simple de una ( , )N

Casuística

1.

22.

3.

4.

4.1

4.2

5.


3. I.C. en poblaciones normales

Caso 1

4. Caso 2Caso 3

5.



Caso 1

(Variable pivote)(Variable pivote)

/ 2z/ 2z

(Intervalo de confianza)



Caso 2

(Variable pivote)(Variable pivote)

1 / 2nt 1 / 2nt


1, / 2n 1, / 2nt



Caso 2



Caso 3

(Variable pivote)

21, / 2n

21,1 / 2n




Caso 3



Caso 4

4.1 2 2 21 2

4.2



Caso 4 2 2 21 2

(Estimador de varianza común)

(Variable pivote)( p )



( )


Caso 4 2 2 21 2



Caso 4

(Variable pivote)

1 2

1 222 2 n n

X Yt

S S

1 2

1 2

S Sn n



Caso 4



Caso 5

(Variable pivote)

(Intervalo de confianza)(Intervalo de confianza)



Caso 5


Esquema inicial




4. Intervalo de confianza asintóticos


4. Intervalos de confianza asintóticos (1/3)

Sea X1,X2,…,Xn una muestra aleatoria simple con n 30

Casuística

1.

2.



Caso 1

(Variable pivote. Por T.C.L)


(1 ) (1 ), p pN pn



Caso 2


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