República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la EducaciónU.E. Colegio “Santo Tomás de Villanueva”

Departamento de CienciasCátedra: Química

4° Año

Prof. Luis E. Aguilar R.

TEMA X (Parte II)ESTRUCTURA ATÓMICA Y TABLA PERIÓDICA

Resumen de la historia del átomo...

Hacia el “camino fácil”.

Concepto atómico.

Demócrito, 470 A.C.

Epicuro, 341 A.C.

John Dalton.

1800.

M. Faraday.

Electrólisis. 1834.

Determinación de e-.

Millikan 1909.

Modelo atómico de

Thomson 1909?.

Modelo atómico de

Rutherford 1911.

Modelo atómico de

Bohr 1913.

Modelo atómico de

Bohr-Sommerfeld 1916.

Ecuación de

De Broglie 1924.

Teoría de la cavidad

radiante. Planck 1900.

Efecto fotoeléctrico.

Einstein 1905.

Teoría Mecano-cuántica de

Schroedinger 1926.

Principio de

incertidumbre de

Heisenberg 1927.

G. J. Stoney. 1891.

Concepto de electrón

Determinación e/m.

Thomson 1897.

TEORÍA MECANO-CUÁNTICA DE SCHRODINGER

Erwin Schrödinger (1887-1961), físico

y premio Nobel austriaco,

conocido

sobre todo por sus estudios

matemáticos

de la mecánica ondulatoria y sus

aplicaciones

a la estructura atómica.

La aportación más importante de

Schrödinger a la física fue el desarrollo de

una rigurosa descripción matemática de

las ondas estacionarias discretas que

describen la distribución de los electrones

dentro del átomo

En 1926, Schrödinger propone representar el

comportamiento del electrón mediante una ecuación

de ondas. El electrón en el átomo está aprisionado

por el campo eléctrico producido por el núcleo.

Schrödinger propuso que las ondas de los

electrones en tal situación eran estacionarias

(a) Una onda no estacionaria se ”desplaza“ con el tiempo. (b) Una cuerda de una guitarra

vibrando (a) (b) es un ejemplo de onda estacionaria.

Sólo las ondas estacionarias cuya amplitud se anula en los extremos, son estables con el

tiempo.

En un espacio de una dimensión, estas ondas estables pueden ser caracterizadas mediante un

número entero.

Esta misma condición, al imponerla a la función de onda del electrón que se

mueve en un espacio de tres dimensiones, dará origen a tres números cuánticos.

La amplitud de la onda estacionaria en un punto x del espacio se puede definir mediante una

función representada como ψ(x). El valor de ψ2 en un punto da la densidad de probabilidad en

dicho punto. El producto ψ2dV da la probabilidad de encontrar electrón dentro del volumen

infinitesimal dv. La probabilidad de encontrarlo en un volumen v es

න

v

ψ2dv

Tips:

. A cada partícula microscópica se asocia una onda de De Broglie.

. Las leyes del movimiento ondulatorio establecen una función

matemática que refleja tal comportamiento.

. El movimiento y cambio de momento de las partículas hacían que la

onda no fuera tan simple como la sinusoidal.

t

xSentx

2),(

Función de Onda =

Función de onda

Argumentos de plausibilidad

-.

Características de la ecuación diferencial buscada

1.- Consistente con los postulados de De Broglie y Einstein.

P = h/ E = h

2.- Consistente con la conservación de energía

E = P2/2m + V

3.- Debe ser lineal en (x,t)

Sí 1(x,t) y 2(x,t) son soluciones por separado, entonces, una combinación lineal de ellas también

es solución.

De los tres puntos anteriores se deriva que:

htxVm

h ),(

2 2

2

Si introducimos las constantes siguientes:

K = # d onda = 2/ y = frecuencia angular = 2

).(2

22

txVm

K

Queda la ecuación diferencial:

Podemos pensar en una receta de cocina:

“ A veces son mejores los modelos sencillos, a pesar de que cuando se examinan a fondo arrojan limitaciones, que los modelos complejos y más exactos que son incomprendidos hasta por quienes los postulan”.

Idea tomada de:

Química Inorgánica. Principios y Aplicaciones. I. S. Butler, J. F. Harrod. Addison-Wesley Iberoamericana, 1992.

botón (n)

botón (l)

botón (ml)

botón enter

y

E

máquina "MC"

H

Características

(psi) es la función de onda. Es un ingrediente complejo

Máquina MC = Mecánica cuántica

E es una solución

H = Operador Hamiltoniano

n = Número cuántico principal (n = 1, 2, 3, ...)

ℓ = Número cuántico azimutal (ℓ = 0, 1, 2...n-1) Son restricciones o condiciones

ml = Número cuántico magnético (- ℓ,...0...,+ ℓ)

H = E

Características:

(psi) es la función de onda. Es un ingrediente complejo.

Máquina MC = Mecánica cuántica.

E es una solución.

H = Operador Hamiltoniano.

n = Número cuántico principal (n = 1, 2, 3, ...).

l = Número cuántico azimutal (l = 0, 1, 2...n-1). Son

restricciones o condiciones.

ml = Número cuántico magnético (-l,...0...,+l).

Conclusión: H = E

(1926), Dijo que la Mecánica de Matrices y la Mecánica Ondulatoria explicaban lo

mismo desde distintos puntos de vista. Creó una ecuación como la de Bohr pero

que desarrollaba los números cuánticos. A la que se le llamó Mecánica Cuántica,

todo esto con las bases de Planck y Apoyado en la Teoría de Incertidumbre.

El modelo atómico de Schrödinger es un modelo cuántico no relativista. Se basa

en la solución de la ecuación de Schrödinger para un potencial electrostático con

simetría esférica, llamado también átomo hidrogenoide. En este modelo el electrón

se contemplaba originalmente como una onda estacionaria de materia cuya

amplitud decaía rápidamente al sobrepasar el radio atómico.

El modelo atómico de Schrödinger concebía originalmente los

electrones como ondas de materia. Así la ecuación se interpretaba

como la ecuación ondulatoria que describía la evolución en el

tiempo y el espacio de dicha onda material.

Cuando se necesita una alta precisión en los niveles energéticos puede emplearse

un modelo similar al de Schrödinger, pero donde el electrón es descrito mediante la

ecuación relativista de Dirac en lugar de mediante la ecuación de Schrödinger. El

átomo reside en su propio eje.

Sin embargo, el nombre de "modelo atómico" de Schrödinger puede llevar a

confusión ya que no explica la estructura completa del átomo. El modelo de

Schrödinger explica sólo la estructura electrónica del átomo y su interacción con la

estructura electrónica de otros átomos, pero no explica como es el núcleo atómico ni

su estabilidad.

El modelo atómico de Schrödinger predice adecuadamente las líneas de

emisión espectrales, tanto de átomos neutros como de átomos ionizados.

El modelo también predice adecuadamente la modificación de los niveles

energéticos cuando existe un campo magnético o eléctrico.

Heurística es la capacidad de un sistema para realizar de forma inmediata innovaciones positivas para sus fines. La

capacidad heurística es un rasgo característico de los humanos, desde cuyo punto de vista puede describirse como el arte

y la ciencia del descubrimiento y de la invención o de resolver problemas mediante la creatividad y el pensamiento lateral o

pensamiento divergente.

Además, con ciertas modificaciones semiheurísticas el modelo explica el enlace químico y

la estabilidad de las moléculas.

y es la llamada función de onda. Contiene la información sobre la posición del electrón. También

se denomina orbital, por analogía con las órbitas de los modelos atómicos clásicos.

El cuadrado de la función de onda y2 es la llamada densidad de probabilidad relativa del

electrón y representa la probabilidad de encontrar al electrón en un punto del espacio (x, y, z).

E es el valor de la energía total del electrón

V representa la energía potencial del electrón un punto (x, y, z). Por tanto, E-V es el

valor de la energía cinética cuando el electrón está en el punto (x, y, z).

Las soluciones, o funciones de onda, y , son funciones matemáticas que dependen de unas

variables que sólo pueden tomar valores enteros. Estas variables de las funciones de onda se

denominan números cuánticos: número cuántico principal, (n), angular (ℓ) y número cuántico

magnético (ml). Estos números describen el tamaño, la forma y la orientación en el espacio de los

orbitales en un átomo.

Paradoja de Schrödinger

Cuando se habla de el "gato de Schrödinger" se está haciendo referencia a una paradoja que

surge de un célebre experimento imaginario propuesto por Erwin Schrödinger en el año 1937

para ilustrar las diferencias entre interacción y medida en el campo de la mecánica cuántica

El experimento mental consiste en imaginar a un gato metido dentro de una caja que

también contiene un curioso y peligroso dispositivo. Este dispositivo está formado por una

ampolla de vidrio que contiene un veneno muy volátil y por un martillo sujeto sobre la

ampolla de forma que si cae sobre ella la rompe y se escapa el veneno con lo que el gato

moriría. El martillo está conectado a un mecanismo detector de partículas alfa; si llega una

partícula alfa el martillo cae rompiendo la ampolla con lo que el gato muere, por el

contrario, si no llega no ocurre nada y el gato continua vivo

Cuando todo el dispositivo está preparado, se realiza el experimento. Al lado del detector se sitúa un

átomo radiactivo con unas determinadas características: tiene un 50% de probabilidades de emitir

una partícula alfa en una hora. Evidentemente, al cabo de una hora habrá ocurrido uno de los dos

sucesos posibles: el átomo ha emitido una partícula alfa o no la ha emitido (la probabilidad de que

ocurra una cosa o la otra es la misma). Como resultado de la interacción, en el interior de la caja, el

gato está vivo o está muerto. Pero no podemos saberlo si no la abrimos para comprobarlo.

Si lo que ocurre en el interior de la caja lo intentamos describir aplicando las leyes de la

mecánica cuántica, llegamos a una conclusión muy extraña. El gato vendrá descrito por

una función de onda extremadamente compleja resultado de la superposición de dos

estados combinados al cincuenta por ciento: "gato vivo" y "gato muerto". Es decir,

aplicando el formalismo cuántico, el gato estaría a la vez vivo y muerto; se trataría de dos

estados indistinguibles.

La única forma de averiguar qué ha ocurrido con el gato es realizar una medida: abrir la

caja y mirar dentro. En unos casos nos encontraremos al gato vivo y en otros muerto. Pero,

¿qué ha ocurrido? Al realizar la medida, el observador interactúa con el sistema y lo altera,

rompe la superposición de estados y el sistema se decanta por uno de sus dos estados

posibles.

El sentido común nos indica que el gato no puede estar vivo y muerto a la vez. Pero la

mecánica cuántica dice que mientras nadie mire en el interior de la caja el gato se

encuentra en una superposición de los dos estados: vivo y muerto.

Esta superposición de estados es una consecuencia de la naturaleza ondulatoria de la

materia y su aplicación a la descripción mecanocuántica de los sistemas físicos, lo que

permite explicar el comportamiento de las partículas elementales y de los átomos. La

aplicación a sistemas macroscópicos como el gato o, incluso, si así se prefiere, cualquier

profesor de física, nos llevaría a la paradoja que nos propone Schrödinger.

Partícula en una caja en una dimensión

Aplicaciones importantes de la ecuación de onda

partícula en una caja de paredes impenetrables

UNIDIMENSIONAL

Partícula en una caja en una dimensión

Aplicaciones importantes de la ecuación de onda

El plano esta definido por x = 0 y a = 0

Partícula en una caja en una dimensión

Aplicaciones importantes de la ecuación de onda

Dentro de la caja el potencial es = 0

No existe restricción al movimiento de la partícula

dentro de la caja debido a cualquier gradiente de

potencial

Partícula en una caja en una dimensión

Aplicaciones importantes de la ecuación de onda

Fuera de la caja el potencial V es infinito, de tal forma que la partícula no puede escapar de la caja

Partícula en una caja en una dimensión

Aplicaciones importantes de la ecuación de onda

La mecánica clásica predice que la partícula dentro de la caja puede tener energía E y que la

probabilidad de encontrar a la partícula en cualquier punto dentro de la caja es la misma que en

cualquier otro punto

Partícula en una caja en una dimensión

Aplicaciones importantes de la ecuación de onda

Puesto que V = 0, la energía cinética de la partícula (y por consiguiente la velocidad) puede

presentar cualquier valor.

Partícula en una caja en una dimensión

Aplicaciones importantes de la ecuación de onda

De manera que en V = 0, la función de onda será:

)()(

8 2

2

2

2

xEdX

xd

m

h

y

Partícula en una caja en una dimensión

Aplicaciones importantes de la ecuación de onda

Con una solución para una función

L

xnSen

Ln

2/1

2

Partícula en una caja en una dimensión

Aplicaciones importantes de la ecuación de onda

del tipo:

2

22

8mL

hnE

n con n = 1, 2, 3........

Funciones de onda y cuadrado de las funciones de onda

derivadas del tratamiento de una partícula en una caja

unidimensional

El cuadrado de las funciones de onda da la probabilidad de

encontrar densidad electrónica en alguna región del espacio.

El átomo de hidrógeno

Nos interesa el resultado más que el desarrollo del método

Primero

Se cambia de coordenadas cartesianas a coordenadas esférico polares para

especificar la función de onda

(x,y,z) (r,, )

x

r

y

z

El átomo de hidrógeno

Nos interesa el resultado más que el desarrollo del método

Segundo

Se hace una separación de las variables

x

r

y

z

(r,, ) = Rn,ℓ (r).Yℓ,mℓ (, )

parte radial parte angular

Formulación moderna de la ecuación

. n, ℓ y m ℓ son los llamados números cuánticos. dan soluciones a la ecuación de

onda y definen un orbital.

. n número cuántico principal. Sus valores pueden ser 1, 2, 3, 4, ...... El

volumen efectivo de un átomo depende de n y su energía varía según:

2

2

22

2426.132

n

eVZ

hn

ZemE e

. ℓ número cuántico azimutal. Sus valores pueden ser 0, 1, 2,.....n-1. Determina

la forma del orbital. A cada valor de l se asocia una letra según:

0 s sharp 1 p principal

2 d difuse 3 f fundamental

Nota: n y ℓ determinan las propiedades espaciales del orbital.

. mℓ número cuántico magnético. Sus valores son:

-ℓ,....0....+ ℓ. Determina la orientación de una configuración espacial

particular en relación a una dirección arbitraria.

. ms número cuántico de spin. Sus valores son:

1/2. No resulta de la ecuación de onda.

Conclusión: LOS NÚMEROS CUÁNTICOS ESPECIFICAN EL ESTADO

ELECTRÓNICO DE UN ÁTOMO

. Un grupo de orbitales con un mismo valor de n forman la

llamada capa electrónica.

. Relación entre los valores de n, ℓ y ml hasta n = 4.

n Posibles

valores de l

Designación

de la subcapa

Posibles valores

de ml

Orbitales en

subcapa

Total de

orbitales

1 0 1s 0 1 1

2 0

1

2s

2p

0

1, 0, -1

1

3

4

3 0

1

2

3s

3p

3d

0

1, 0, -1

2, 1, 0, -1, -2

1

3

5

9

4 0

1

2

3

4s

4p

4d

4f

0

1, 0, -1

2, 1, 0, -1, -2

3 2 1 0 -1 -2 -3

1

3

5

7

16

Parte radial de la función de onda

Cuadrado de la parte radial de la función de onda

Cuadrado de la parte angular de la función de onda

Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger, físico austriaco que inventó la mecánica ondulatoria en 1926, y que fue formulada

independientemente de la mecánica cuántica. Al igual que esta última, la mecánica ondulatoria describe matemáticamente el comportamiento

de los electrones y los átomos. Pero su ecuación medular, conocida como ecuación de Schrödinger, se caracteriza por su simpleza y precisión

para entregar soluciones a problemas investigados por los físicos.

Schrödinger nació en Viena el 12 de agosto de 1887. Hijo único del matrimonio formado por Rudolf Schrödinger y una hija de Alexander

Bauer, su profesor de química en la Universidad Técnica de Viena. Schrödinger padre procedía de una familia bávara por generaciones y

dotado de una amplia educación. Después de acabados sus estudios de química, se dedicó por años a la pintura italiana y, posteriormente, a la

botánica sobre la cual escribió una serie de artículos sobre la filogenia de distintas plantas y cultivos.

Entre los años 1906 y 1910, Schrödinger estudió en la Universidad de Viena, donde se dejó arrastrar por la influencia de Fritz Hasenöhrl,

quién era sucesor de Boltzmann

En 1920, asume un puesto académico como ayudante de Max Wien; después ocupa los cargos de profesor extraordinario en Stuttgart,

profesor titular en Breslau, primero, y luego en la Universidad de Zurich (Universität Zürich) donde remplaza a von Laue y se establece por

seis años.

En 1927, Schrödinger se mudó a Berlín para suceder a Planck. La capital de Alemania era entonces un centro de una gran actividad

científica y él participó entusiastamente en frecuentes coloquios con sus colegas, muchos de ellos mayores que él y de más reputación.

Cuando Hitler asciende al poder en el año 1933, Schrödinger, al igual que muchos otros científicos, concluye que en ese entorno político no

podía continuar en Alemania. Emigra a Inglaterra y, por un tiempo, hace una beca en Oxford. En 1936 le ofrecieron una posición en Graz,

que él aceptó solamente después de mucha deliberación y porque las añoranzas que sentía por su país nativo dominaban sus sentimientos de

preocupación por lo que se estaba viviendo entonces en Alemania. Cuando se produce la anexión de Austria en 1938, él inmediatamente

entra en dificultades en Inglaterra, ya que esa acción de Alemania fue considerada por los ingleses como un acto hostil. Se trasladó a

Italia, desde donde procedió camino a la Universidad de Princeton. Después de una breve estancia en EE.UU., regresa a Europa para

ocupar un cargo académico en el Instituto de Estudios Avanzados de Dublín, siendo posteriormente nombrado director de la escuela de

física teórica de esa institución. Permanece en Dublín hasta su retiro en 1955.

Schrödinger, al retirarse de la vida activa volvió a Viena, donde gozó de una merecida respetabilidad. Murió el 4 de

enero de 1961, después de padecer una larga enfermedad. Lo sobrevivió su viuda y fiel compañera, Annemarie Bertel,

con quien se había casado en 1920.

BREVE HISTORIA DEL ATOMOT

EM

A 1