CARGA ESPECÍFICA DEL ELECTRÓN-2013

FISICA EXPERIMENTAL - CARGA ESPECÍFICA DEL ELECTRÓN (e/mo )

CARGA ESPECÍFICA DEL ELECTRÓN (e/mo )

I.- OBJETIVO:

1. Estudiar el comportamiento del tubo de rayos catódicos filiformes.

2.- Determinar la relación la carga especifica del electrón (e/mo)

3. Determinar la relación (e/mo ), a partir de las trayectorias observadas de un haz de

electrones que cruza una región donde existe un campo magnético uniforme B0.

II.- MATERIALES:

Tubo de rayo filiforme 06959.00 1 Par de bobinas de Helmholtz 06960.00 1 Fuente de poder, 0...600 VDC 13672.93 1 Fuente de poder, universal 13500.93 1 2 Multímetros digitales 07134.00 2 Cable de conexión, l = 100 mm, rojo 07359.01 1 Cable de conexión, l = 100 mm, azul 07359.041 Cable de conexión, l = 750 mm, rojo 07362.01 5 Cable de conexión, l = 750 mm, azul 07362.04 3

III.- FUNDAMENTO TEÓRICO,- Cuando un electrón ingresa con una velocidad va una región de campo magnético uniforme B0, su trayectoria es desviada drásticamente formando una espiral alrededor de las líneas

de campo magnético. Para observar este fenómeno se va simplificar centrando el estudio de

la trayectoria del electrón cuando v es perpendicular a B0.

Usando la segunda ley de Newton y teniendo en consideración que la fuerza del peso del electrón es despreciable y que no hay ningún tipo de fricción, la única fuerza a considerar

es la Fuerza de Lorentz magnéticaFm, porque la fuerza componente eléctrica solo actúa

para darle una velocidad inicial v0. La segunda ley de Newton se reduce

∑ F i=Fm=−e v × B0 (1)

Por comodidad se tomará que B0=B0 k y la velocidad inicial v0=v0 j y la posición inicial

r0=R i en el instante cuando t 0=0. Desarrollando explícitamente el segundo miembro de la

ecuación (1)


v× B0=| i j kvx v y vz

0 0 B0|=i [v y B0−0 ]− j [v x B0−0 ]+k [ 0−0 ]=i v y B0− j v x B0

Igualando componentes de esta última ecuación con las componentes de Fm

F x=md vx

dt=−eB0 v y

F y=md v y

dt=eB0 vx

. (2)

Despejando v y de la primera ecuación de (2) y derivándola luego con respecto al tiempo e igualando con la segunda ecuación, da

v y=−meB0

d vx

dt,⇒

d v y

dt=−m

e B0

d2 vx

dt 2 ,(3)

−mm

eB0

d2 vx

dt 2 =e B0 v x⇒d2 v x

dt2 +e2 B0

2

m2 v x=0, (4)

La solución de la ecuación diferencial de la ecuación (4)

vx=A ei (e B0 /m) t+B e

−i (e B0 /m) t. (5)

De la manera similar para v y, tomando la primera ecuación de (3) y reemplazando la derivada con respecto al tiempo de la ecua. (4)

v y=−me B0

[ Ai ( eB0/m ) ei ( eB 0/m) t−Bi (e B0 /m) e−i ( eB 0/m) t ],

ordenando se obtiene

v y=−Aiei( e B0 /m ) t+B ie

−i (e B0 /m ) t. (6)

Aplicando las condiciones iniciales (t 0=0)

vx ( o )=A+B=0v y (o )=−Ai+Bi=v0

se concluye que:

B=−A⇒ A=−v0

2 i, B=

v0

2 i, (7)

usando el resultado (7) en las ecuaciones (5) y (6), se tiene


vx=−v0

2 ie

i ( e B0/m )t +v0

2 ie−i ( eB 0/m) t⇒ vx=−v0 sen ( e B0/m ) t, (8)

v y=v0

2ii e

i ( e B0/m )t +v0

2 iie

−i ( e B0/m )t⇒ v y=v0 cos (e B0 /m) t . (9)

Integrando las ecuaciones (8) y (9) para hallar la ecuación de la posición r.

x=∫−v0 sen (e B0/m) tdt ,⇒ x=¿m v0

e B0

cos ( eB0/m )t +C ¿, (10)

y=∫ v0 cos (e B0 /m) tdt ,⇒ y=¿m v0

e B0

sen (e B0/m ) t+K ¿. (11)

Por otro lado, la velocidad inicial v0 es producida por un campo eléctrico, cuya magnitud se puede calcular usando la relación del trabajo y la energía. El electrón es acelerado por una fuente de voltaje V, es una consideración razonable que la rapidez inicial v i=0 y la energía

potencial es constante Ep=E0, de esta relación

W =∆ Ep+∆ Ec⇒ eV=12

m (v f2−vi

2),

eV =12

m v02⇒ v0=√ 2 eV

m. (12)

Si se analiza las ecuaciones (8) y (9), la magnitud de v es constante v0; esto quiere decir

que la fuerza resultante es la fuerza centrípeta F c, cuya magnitud se puede evaluar de la

ecua. (1),

Fm=Fc=mv2

r=ev B0 sen 90o r=

m v0

e B0. (13)

Aplicando las condiciones iniciales a las ecuas. (8) y (9) con el resultado hallado la ecua. (13)

x (0 )=m v0

e B0

+C=m v0

e B0

⇒C=0; y (0 )=k=0, (14)

de la aplicación de (14) las ecuaciones (10) y (11) se convierten

x=m v0

e B0

cos ( e B0/m ) t ; y=m v0

e B0

sen (e B0/m ) t, (15)


dela (15) se concluye que la trayectoria del electrón es una circunferencia de radio R, el cual se puede medir (radio del halo circular de luz). Usando (12) en (13) para evaluar la carga específica

em

=√ 2eVm

r B0

⇒ em

= 2V

(r B0 )2 (16)

La evaluación de la magnitud del campo magnético B0, se puede hacer hallando el campo

magnético generado por las bobinas de Helmholtz por donde circula una intensidad de corriente I.

Para evaluar el campo B0, se considerará que las bobinas, como muestra la figura están

colocadas con sus ejes axiales coincidentes con el eje z, el punto de observación P está en el eje z, las bobinas están conectadas eléctricamente en serie (garantizando así que la corriente I que circule es la misma en ambas bobinas), y además tienen el mismo sentido (anti horario). El radio de las mismas es R, el número de espiras N y separadas una distancia a. Los parámetros para evaluar el campo total B son

d l1=Rd θ1 (−i senθ1+ j cosθ1 ) , ( r− r1)=−i Rcos θ1− j Rsenθ1+ k z

d l2=Rd θ2 (−i senθ2+ j cosθ2 ) , ( r− r2 )=−i Rcos θ2− j Rsenθ2+k ( z−a ), (17)

la magnitud al cubo de los vectores diferencia dados

|r−r1|3= {( Rcos θ1 )2+( Rsenθ1 )2+z2}3 /2

=( R2+z2 )3 /2

|r−r2|3= {( Rcosθ2 )2+( Rsenθ2 )2+( z−a )2}3 /2

= [R2+ ( z−a )2 ]3 /2, (18)

las operaciones de los diferenciales de campo d B1 y d B2 usando las ecuaciones (17) y (18)

son

d B1=μ0

4 π∋

d l1× ( r− r1 )|r−r1|

3 =μ0

4 π∋

(i Rzcos θ1+ j Rzsen θ1+ k R2 )d θ1

( R2+z2 )3/2

d B2=μ0

4 π∋

d l1× ( r−r2 )|r− r2|

3 =μ0

4 π∋

[ i R ( z−a ) cosθ2+ j R ( z−a ) senθ2+ k R2 ] d θ2

[ R2+( z−a )2 ]3/2

,

(19)

integrando cada una de las ecuaciones de (19) en el intervalo de [ 0,2 π ] y sumando sus resultados, se obtiene


B (z )=kμ0

2∋R2( 1

( R2+z2)3/2 +1

[ R2+( z−a )2 ]3 /2 ). (20)

Para hallar el campo Bmáximo se derivará la magnitud de la ecua. (20) para obtener su valor extremal

ddz

B (z )=μ0

2∋R2 d

dz ( 1

( R2+z2 )3 /2 + 1

[ R2+ ( z−a )2 ]3 /2 )=−32

μ0∋R2( z

( R2+ z2)5 /2 +( z−a )

[R2+ ( z−a )2 ]5 /2 )=0

, (21)

se encuentra que ddz

B ( z )|z=a /2

=0.

Se puede optimizar el campo existente entre las bobinas si se deriva por segunda vez, para obtener el punto de inflexión de la función magnitud del campo (es una zona pequeña del espacio donde el valor del campo varía muy poco), para fines prácticos se le puede considerar uniforme.

d2

dz2 B ( z )=−32

μ0∋R2 d2

dz2 ( z

( R2+z2 )5 /2 +( z−a )

[ R2+( z−a )2 ]5/2 )=−32

μ0∋R2( −5 z2

( R2+z2 )7 /2 +1

( R2+z2 )5 /2 −5 ( z−a )2

[ R2+( z−a )2 ]7 /2 +1

[ R2+( z−a )2 ]5 /2 )=0

(22)

se encuentra que

d2

dz2 B ( z )|z=a /2

=a2−R2=0⇒ a=R. (23)

Teniendo en consideración la conclusión de (21) y reemplazando el resultado de (23) en la magnitud de (20)

B ( z )|z=R /2=μ0

2∋R2( 1

(R2+ R4

2

)3 /2

+ 1

[R2+ R4

2]3 /2 )=2( 4

5 R )3/2

B ( z )|z=R /2=¿μ0

R ( 45 )

3 /2

(24)

IV.- PROCESO DE INSTALACIÓN:


Armar el equipo como se muestra en la fig.1

Fig. 1: Montaje experimental para determinar la carga específica del electrón

verificar en la parte posterior que las fuentes del equipo estén apagadas (verificar que esté apagado presionar “0”), y que tengan fuente de alimentación para

220 VAC, luego conectarlas a toma de corriente. poner las perillas de control de voltajes y corrientes de las fuentes al mínimo,

girarlas todo a la izquierda. Verificar que la conexión entre bobinas sea en serie como esta mostrada en la fig.2

Fig. 2.- Diagrama de cableado de las bobinas

Verificar las conexiones del tubo y la función de cada uno de los elementos del diagrama de la fig. 3


Fig. 3.- diagrama de cableado para el tubo de rayo electrónico filiforme

V.- PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL:

1. Encender los respectivos interruptores de las dos fuentes de alimentación que se encuentra en la parte posterior presionando “I”

2. Gire lentamente la perilla 0-50 VDC de la fuente del tubo ¿Qué observa? Confirmar las lecturas con el multímetro y compare los valores.

3. Regrese a cero la perilla de 0-50 VDC y gire lentamente la otra perilla 0-300 VCD del tubo ¿Qué observa? Confirmar las lecturas con el multímetro y compare los valores.

4. Variar el voltaje en la perilla de 0-300 VCD de 50 V en 50 V hasta 250 V como máximo, luego girar lentamente la perilla de 0-50 V , cada 10 voltios, observe ¿Qué ocurre con el haz de electrones?

5. Fijar la perilla de 0-50 VDC en 50 V, y gire la perilla 0-300 VCD y fijar cuando su multímetro registre los datos ,dados en la tabla adjunta , luego gire lentamente y con cuidado las perillas de control de la fuente de las bobinas, hasta que se forme el halo luminoso como se muestra en la fig. 2).


Fig. 2: trayectoria del haz de electrones que atraviesa en un campo eléctricomagnetico.

6. gire el eje axial del tubo ¿qué pasa con el halo? ¿aparece sinuoso? 7. invierta la polaridad de la fuente que alimenta las bobinas ¿Qué sucede con halo?

¿su dirección es opuesta?8. Para comenzar a realizar las medidas, debe tratar de que el halo de luz sea circular y

pase por cada uno varillas de medida que están dentro de la ampolla. La señal más luminosa dada por el haz de electrones en las varillas debe tomarse como la medida óptima.

9. Complete la tabla fijando los valores de los radios r (los cuales se medirán tomando la mitad de la distancia entre la punta del cono por donde sale el halo y la varilla que es iluminada por el), tomando las lecturas de la corriente I que pasa por las bobinas para los respectivos voltajes U dados en la tabla, donde debe considerar las condiciones convenidas en el paso 8.

10. Considere las lecturas de U e I que registran los multímetros.11. mida el radio R de la bobina y compare con el valor dado por el fabricante del

equipo. 12. Halle el valor del campo B reemplazando el valor de la corriente I de la tabla en la

ecua. (24), considere N=154 y R=0.2 m.

TABLA DE DATOS

r = 0.02 m r = 0.03 m r = 0.04 m r = 0.05 m


U(V) I(A) e /m(1011 As

kg )U(V) I(A) e /m(1011 As

kg )U(V) I(A)

e /m(1011 Askg )U(V) I(A)

e /m(1011 Askg )

100

150

200

250

300

VI.- CUESTIONARIO:

1.- ¿Porque la conexión de las bobinas debe ser en serie?

2.- ¿Qué papel juega en las rejillas de -50 V en el diagrama de la fig. 4?

3.- ¿Por qué cree que no se observa nada cuando ejecuta el paso 2?

4.- ¿Por qué cree que no se observa nada cuando ejecuta el paso 3?

5.- ¿Qué puede decir de lo observado en el paso 4?



8.- ¿Qué puede opinar de lo observado en el paso 7?

9.- Desarrollar la ecuación (1) cuando la velocidad v0 no es perpendicular al campo B0.

(Sugerencia: considera v0=v0 x i+v0 y j+v0 z k)

10.- use una brújula para determinar la dirección del campo en el eje axial de las bobinas. ¿Podría con ese conocimiento determinar la polaridad de la carga del electrón?

11.- mida el diámetro de las bobinas y determine como obtuvieron el valor del radio los fabricantes del equipo.

VII.- CONCLUSIONES:


VIII.- BIBLIOGRAFÍA:

1. Manual de PHYWE System GmbH & Co. KG. Specific charge of the electron – ( e/mo ) ( LEP-5.1.02 )

2.- Reitz –Milford – Christy:: Fundamentos de la teoría Electromagnética ( 4 ta Ed. )

3,-Física-Unversitaria:Sears-Zemanzky-Young-Freeman,Vol.I.Pearson.9na Ed.1996

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