Tema i solucion de sistema de ecuaciones de tres variables uney

PROFESOR: JULIO BARRETO 1 MATERIA: MATEMÁTICA

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL

TEMA I

SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE TRES ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS

1) MÉTODO DE GAUSS:

Este método consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación

tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.

1. Ponemos como primera ecuación la que tenga como coeficiente de :x 1 ó -1, en

caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las

incógnitas.

2. Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª

ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación.

3. Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término

en .x

4. Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el

término en .y

5. Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

6. Encontrar las soluciones.

Ejemplo:

1

2435

123

zyx

zyx

zyx

1. Ponemos como primera ecuación la que tenga como coeficiente de :x 1 ó -1, en

caso de que no fuera posible lo haremos con y o ,z cambiando el orden de las

incógnitas.

2435

123

1

zyx

zyx

zyx

2. Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª

ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:

122 3E - E = E'



24

3333

123

zy

zyx

zyx

3. Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en .x

133 5E-E = E'

392

5555

2435

zy

zyx

zyx

Quedándonos:

392

24

1

zy

zy

zyx

4. Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el

término en .y

233 2E'- E' = 'E'

1

482

392

z

zy

zy

5. Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

1

24

1

z

zy

zyx

6. Encontrar las soluciones.

En la 3ª ecuación tenemos que: 1z



Sustituyendo este valor en la 2ª ecuación:

6

6

42

24214

y

y

y

=- -y = - ·- y +

Y ahora, sustituyendo estos valores en la 1ª ecuación:

4

51

15116

x = -

-x

x = -x +

La solución viene dada por: ,1z 6y e .4x

OBSERVACIÓN: Comúnmente el método es llamado Gauss Simple.

2) RESOLUCIÓN POR DETERMINANTE:

REGLA DE CRAMER

La regla de Cramer es un teorema del álgebra lineal que da la solución de un sistema lineal

de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel

Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes

courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en

su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729). La regla

de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del

sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su

aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa:

computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en

aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es

necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación gaussiana para matrices

pequeñas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD.

Ahora, definamos un determinante de orden 3 se calcula mediante la regla de Sarrus:



O tomemos en cuenta que sea una matriz .nnijaA

Si ,1n definimos .det 11aA

Si ,2n definimos .det1det1

11

1

n

j

jj

jAaA

Sabemos que un determinante se representa como:

dc

ba

Este se calcula de la siguiente manera: cbda

Sea el sistema:

222

111

cbxa

cbxa

El valor de x e y están dados por:

22

11

22

11

ba

ba

bc

bc

x e

22

11

22

11

ba

ba

ca

ca

y

Resolvamos el sistema:

1852

2234

yx

yx

Luego, de acuerdo con lo anterior tenemos que:

414

56

620

54110

52

34

518

322

22

11

22

11

ba

ba

bc

bc

x



214

28

620

4472

52

34

182

224

22

11

22

11

ba

ba

ca

ca

y

El punto de intersección de las rectas dadas es {(4, 2)}

Y de manera general de la forma .det1det1

n

j

ijij

jiAaA

Es decir, también podemos resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres

incógnitas usando generalizando la RESOLUCIÓN POR DETERMINANTE.

La regla para un sistema de 3x3, con una división de determinantes:

lizhygx

kfzeydx

jczbyax

Luego, zyx ,, pueden ser encontradas como sigue:

,

ihg

fed

cba

ihl

fek

cbj

x

ihg

fed

cba

ilg

fkd

cja

y e

ihg

fed

cba

lhg

ked

jba

z

Ejemplo: Dado el sistema de ecuaciones lineales:

42

22

123

zyx

zx

zyx



Los valores de yx, e z serían los que nos den al resolver:

,

211

102

123

214

102

121

x

211

102

123

241

122

113

y

e

211

102

123

411

202

123

z

Ejercicio: Realizar los cálculos anteriores.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Resuelve los siguientes usando los métodos de Gauss Simple y la regla de Cramer :

a)

9432

164

135

zyx

zyx

zyx

b)

1334

423

622

zyx

zyx

zyx

c)

775,05,375,0

65,05,15,3

35,15,05,2

zyx

zyx

zyx

d) Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6

kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo,

sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón

cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.

e) Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, oeste

americano y terror. Se sabe que:

El 60% de las películas infantiles más el 50% de las del oeste representan el 30%

del total de las películas.

El 20% de las infantiles más el 60% de las del oeste más del 60% de las de terror

al representan la mitad del total de las películas.

Hay 100 películas más del oeste que de infantiles.

Halla el número de películas de cada tipo.

f) Los lados de un triángulo miden 26, 28 y 34 cm. Con centro en cada vértice se

dibujan tres de conferencias, tangente entre sí dos a dos. Calcular las longitudes de

los radios de las circunferencias.



APLICACIONES EN FÍSICA: LEYES DE KIRCHOFF

LEY DE LOS NUDOS: La suma algebraica de las intensidades que concurren en un nudo

de una red es igual a 0.

.021 ni IIII

Adoptaremos el siguiente criterio de signos:

- Intensidades entrantes al nudo: Signo +

- Intensidades salientes del nudo: Signo –

OBSERVACIÓN: La ley se basa en el principio de la conservación de la carga donde la

carga en coulombs es el producto de la corriente en amperios y el tiempo en segundos. Por

ejemplo: Dado el siguiente nudo de una red, halla la intensidad que circula por el cable .4I

LEY DE LAS MALLAS: La suma algebraica de las caídas de potencial a lo largo de una

malla es igual a la suma algebraica de las fuerzas electromotrices y contraelectromotrices

que en ella se encuentran.

iii RI .

EJERCICIO: Considere el circuito de la figura:

Verifique que aplicando la ley de Kirchhoff a la malla de la izquierda obtenemos:

2A

3A

1A I4



9 i1 – 3i2 = 42

Y para la malla derecha

-3 i1 + 7 i2 = 10

Y concluya que la solución de este sistema de ecuaciones es: i1 = 6 A, i2 = 4 A

EJERCICIO: Encontrar i1 e i2 en el circuito:

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Anton, H. (1994). Introducción al Álgebra Lineal. Tercera Edición. Editorial Limusa, S.

A de C. V. Noriega Editores. México.

Barreto, J. (2015). Introducción al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos

eléctricos, al balanceo de ecuaciones químicas, a la investigación de operaciones y

la programación lineal. Colección de Universitaria. (1).

https://www.createspace.com/5230822

Grossman S. Stanley I. (2008). Álgebra Lineal. The McGraw-Hill Companies, Inc.

Sexta Edición. México D. F

Luís, González. (1981). Álgebra II. Universidad Nacional Abierta. Décima primera

reimpresión 2007. Caracas, Venezuela.

Tom Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra

lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades.

Editorial Reverté.

Serge Lang. (1976). Álgebra Lineal. Fondo Interamericano S. A. México D. F

“El primer paso hacia la sabiduría es el reconocimiento de la propia ignorancia”

Siddhartha

https://www.createspace.com/5230822

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