Tema i desigualdades e inecuaciones matematica i iutajs

PROFESOR: JULIO C BARRETO G ESC: 70, 78,79, 80 MATEMÁTICA I

TEMA I: INECUACIONES LINEALES, CUADRÁTICAS Y CON VALOR

ABSOLUTO

ANTECEDENTES HISTÓRICOS

La primera fase, que comprende el periodo de 1700 a. de C. a 1700 d. de C., se

caracterizó por la invención gradual de símbolos y la resolución de ecuaciones. Dentro de

esta fase encontramos un álgebra desarrollada por los griegos (300 a. de C.), llamada

álgebra geométrica, rica en métodos geométricos para resolver ecuaciones algebraicas.

La introducción de la notación simbólica asociada a Viète (1540-1603), marca el

inicio de una nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante

al desarrollo de dicha notación. En este momento, el álgebra se convierte en la ciencia de

los cálculos simbólicos y de las ecuaciones.

Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como la teoría de los "cálculos con

cantidades de distintas clases"(cálculos con números racionales enteros, fracciones

ordinarias, raíces cuadradas y cúbicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones).Para llegar

al actual proceso de resolución de la ecuación cbax han pasado más de 3.000 años.

Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhid-1.650 a. de C- y el

de Moscú -1.850 a, de C.-) multitud de problemas matemáticos resueltos. La mayoría de

ellos son de tipo aritmético y respondían a situaciones concretas de la vida diaria; sin

embargo, encontramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refiere

a ningún objeto concreto. En éstos, de una forma retórica, obtenían una solución realizando

operaciones con los datos de forma análoga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones.

Las ecuaciones más utilizadas por los egipcios eran de la forma:

0 ; x = x + ax + cx + ax = b

Donde a, b y c eran números conocidos y x la incógnita que ellos denominaban aha

o montón.

RECTA NUMÉRICA

Como ya sabemos, todos los números

reales pueden ser asignados en forma

única a puntos de una recta, para lo cual

se define en la recta un origen, un sentido

y una unidad, como se muestra en la

figura.

A esta recta la llamamos “recta real o eje real”.

O 1

La recta real R

TEMA I: INECUACIONES LINEALES, CUADRÁTICAS Y VALOR ABSOLUTO

PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 MATEMÁTICA I

OBSERVACIÓN: El conjunto de los números reales, es un conjunto ordenado, en

consecuencia con dos números diferentes entre sí se puede establecer una relación de orden,

es decir, dados dos números cualesquiera a y b solo se puede dar una de las siguientes

relaciones: bab;ab;a , de ahí el nombre de tricotomía.

INTERVALOS

Un intervalo (del latín inter-vallum, espacio, pausa) es un espacio

métrico comprendido entre dos valores. Específicamente, un intervalo real es

un subconjunto conexo de la recta real ,R es decir, una parte de recta entre dos valores

dados. Es un conjunto medible y tiene la misma cardinalidad de la recta real.

Intervalo: Sea RI , si x e y pertenecen a I y x ≤ y, entonces para todo z tal que

ocurra que x ≤ z ≤ y, Iz .

Intervalos acotados de números reales

Sean a y b números reales, con a < b.

Notación de

Intervalo

Tipo de

Intervalo

Notación de

desigualdad

Gráfica Forma constructiva

bxa

ba, Abierto

ba, bxaRx /

bxa

Ejercicios:

1. Exprese el intervalo 2/ xRx , en sus diferentes notaciones.

2. Represente sobre la recta numérica los siguientes conjuntos:

a) 3;2/ xxRxA

b) 5;2\6;7 xB



c) 0/8/ xxxxC

3. Complete la siguiente tabla:

Intervalos NO acotados de números reales

Sean a y b números reales.

Notación de

Intervalo

Tipo de

Intervalo

Notación de

desigualdad

Gráfica Forma

constructiva

,a Cerrado ax

;a Abierto

bx bxRx /

,

Para los intervalos acotados cerrados ba, o abiertos ba, , se utilizan los siguientes

términos:

Extremo izquierdo: ___

Extremo derecho: ____

Longitud del intervalo (amplitud):____________

Punto medio (centro):___________

Semi-amplitud del intervalo: _________________

VALOR ABSOLUTO

En matemática, el valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin

tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor

absoluto de 3 y de -3.

El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en

diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real

puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son

los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.

DEFINICIÓN: Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real a está

definido por:

0 si ,

0 si ,

aa

aa

a



Por definición, el valor absoluto de siempre será mayor o igual que cero y

nunca negativo. Otra notación:2aa

INTERPRETACIÓN EN TÉRMINOS DE DISTANCIA: Desde un punto de

vista geométrico, el valor absoluto de un número real a es siempre positivo o cero, pero

nunca negativo. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la

distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas

se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia, a la distancia a lo

largo de la recta numérica real.

Ejercicios:

1. Dado el intervalo 71 x , grafique y determine el centro, la amplitud y semi-

amplitud. Con los resultados obtenidos exprese el mismo en notación modular.

2. Complete la siguiente tabla, en casos se pueda

Notación

de

Intervalo

Tipo de

Intervalo

Notación

de

desigualdad

Gráfica Notación

Modular

Forma constructiva

85 x

Abierto 25 x

7,1

73/ xRx

DESIGUALDAD

Se llama desigualdad a toda relación entre expresiones numéricas o algebraicas

unidas por uno de los cuatro signos de desigualdad, , , ,

Por ejemplo, sean las desigualdades 8410211064 ; xx; , etc.

Las desigualdades, al igual que las igualdades pueden ser ciertas o falsas, así, en los

ejemplos: La primera es falsa, la segunda depende del valor que le demos a x y la tercera

es verdadera.

Observación: Las desigualdades en las que interviene una variable se denominan

inecuaciones.



PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

Se denominan también transformaciones de equivalencia y son:

1. SUMA: Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta una misma

expresión o cantidad, la desigualdad no varía:

cbcaba

2. TRANSPOSICIÓN: Consiste en restar a ambos miembros de la desigualdad una

misma cantidad, pero de modo que uno de los términos de uno de los miembros

desaparezca del mismo y aparezca en el otro miembro:

iónTransposicOrigen

bcabcbbacba

3. PRODUCTO: Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por una

cantidad positiva, la desigualdad no varía, pero si la cantidad es negativa, entonces cambia

el sentido de la desigualdad:

baba , al multiplicar por una cantidad negativa cambia el sentido de la

desigualdad.

cbca0c ,ba , si la cantidad es positiva se conserva el sentido original

de la desigualdad.

4. SIMPLIFICACIÓN: Si se dividen los dos miembros de una desigualdad por una

cantidad no negativa y distinta de cero, la desigualdad no varía:

bac

cb

c

ca0cy ,cbca

Además:

baba

bababa

baba

7

7

7

777que ya ,

3232 que ya ,

Recuérdese que si el divisor es negativo entonces cambia el sentido de la desigualdad.



INECUACIONES

Son desigualdades en las que se encuentra presente en uno cualquiera de los

miembros, o en ambos, una o más variables, o incógnitas.

Además, tenemos que:

Una inecuación se verifica solo para algunos valores de las variables.

Los valores numéricos para los cuales se verifica la desigualdad son las soluciones

de la misma.

Resolver una inecuación consiste en hallar los valores numéricos para los cuales la

desigualdad es verdadera.

Inecuaciones equivalentes, son aquellas que tienen las mismas soluciones.

Para hallar inecuaciones equivalentes debemos aplicar los principios de equivalencia:

Si sumamos o restamos a los miembros de una inecuación una misma cantidad o

expresión algebraica, la inecuación que resulta es equivalente a la dada.

Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una inecuación por una misma

cantidad positiva y no nula, la inecuación que resulta es equivalente a la dada.

Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una inecuación por una misma

cantidad negativa, la inecuación que resulta es de sentido contrario a la dada.

Ejemplos:

x235x5x35x2x5x32x , es una inecuación

equivalente a la primera.

3

4x261x

2

36

3

4x21x

2

3

, operando nos queda, 8x126x9 , que es equivalente a la dada

Y por último 68x9x128x126x9 , y de ahí pasaríamos a otras

inecuaciones equivalentes hasta llegar a la solución, en este caso 3

14x14x3

,

que es la solución, es decir, todos los valores de la variable menores que catorce

tercios.

INECUACIONES DE PRIMER GRADO O LINEALES

Son aquellas en las que las variables que intervienen están elevadas a un exponente

igual a la unidad. Inecuaciones de primer grado con una incógnita, tienen por expresión

general:

bax 0



Y todas sus equivalentes.

000 b ; axb ; axbax .

Ejemplos:

1.

109

99,

99

10010999 xxx , es decir, se cumple para todo valor de

la variable x menor o igual que noventa y nueve ciento nueveavos.

2.

,

17

15

17

1501517 xxx , es decir, se cumple para todo valor de la

variable estrictamente mayor que quince diecisieteavos.

Luego para resolver una inecuación se sigue un proceso similar al de resolver

ecuaciones.

MÉTODO ANALÍTICO:

Para resolver una inecuación de primer grado, lo primero que hay que hacer es llegar

a obtener la expresión general de una inecuación de 1er grado del apartado anterior

aplicando los principios de equivalencia y los fundamentos del cálculo en general:

Quitar paréntesis si los hubiera. Para ello aplicar la propiedad distributiva del

producto respecto a la suma.

Quitar denominadores si los hubiera. Para ello reducir ambos miembros a común

denominador.

Reducir términos semejantes en ambos miembros.

Pasar a un miembro los términos que contengan la variable y al otro los que no la

contengan, y volver a reducir términos. (Aplicar los principios de equivalencia de

inecuaciones).

Despejar la variable. (Volver a aplicar los principios de equivalencia de modo que la

variable quede aislada en el 1er miembro y con coeficiente la unidad, 1).

IMPORTANTE: Si al aplicar los principios de equivalencia debemos dividir o multiplicar

por una cantidad negativa tener presente que cambia el sentido de la desigualdad, así:

35142431536378463153784636 xxxxx ya que hemos

tenido que multiplicar por –1 ambos miembros por ser éstos negativos, luego

proseguiríamos de modo normal.



-∞ 3

-∞ 14/3

Ejemplos:

1. 3,393724274 xxxxxxx , la solución son

todos los valores de la variable menores estrictamente que 3.

2. 681296

812

6

69

3

421

2

3

xx

xxxx , como nos queda la

variable negativa debemos multiplicar ambos miembros por –1, así:

3

14,

3

14143143 xxxx ,

Y la solución son todos los valores de la variable estrictamente menores que catorce

tercios.

MODO DE DAR LAS SOLUCIONES:

Por intervalos, como en los ejemplos anteriores se pueden dar gráficamente por su

representación en la recta real.

En los casos anteriores sería:

1.

2.

INECUACIONES CUADRÁTICAS Y CON VALOR ABSOLUTO

INECUACIONES CUADRÁTICAS

Son inecuaciones en las que la variable está elevada a un exponente mayor que la

unidad. Comúnmente se denominan inecuaciones factorizadas o de grado mayor que 1 y

menor que 3, es decir el grado es exactamente 2.

Expresión general: Son todas del tipo ,02 cbxax siendo 0a y a, b, cє R.

Es decir, cualquier otro polinomio de grado igual a 2 y con una desigualdad.

MÉTODO DE RESOLUCIÓN: Descomponer factorialmente el polinomio, aplican-

do Ruffini, completando los cuadrados, etc. El método que consideres más apropiado o que

mejor te resulte.



Ejemplos:

1. En la inecuación ,532 2 xx pasamos todos los término a un único miembro, el

que más te interese, en este caso lo haremos al primero, así:

,0352 2 xx ,

Ahora descomponemos el polinomio que nos resulte, en este caso usamos la

resolvente de la ecuación de segundo grado con: .3,5,2 cba Tenemos:

4

75

4

495

4

24255

22

324552

x

De donde tenemos que:

34

12

4

75

2

1

4

2

4

75

222

111

xxx

xxx

Y por tanto, la factorización es:

32

1

xx

Y pasamos a la inecuación:

032

12

xx ,

Que podemos leer como, ¿Cuándo el producto de dos números es negativo?

Decimos dos ya que el signo del factor 2 es siempre el mismo y positivo, no va a

influir en el resultado final. La respuesta es cuando ambos tienen signos contrarios.

¿Cómo averiguar el signo de un binomio?

Una expresión de primer grado en x no es más que la ecuación de una recta, en este

caso se trata de dos rectas 2

11 xyr y .32 xyr



Sabemos, o deberíamos saber que si la pendiente de la recta es positiva ésta toma

valores positivos a la derecha del punto de corte con el eje de abscisas, y negativos a su

izquierda. En nuestro caso ambas tienen pendiente positiva, ¿Por qué?

Porque el coeficiente de la x es precisamente la pendiente de la recta y ambos son

positivos. Los puntos de corte con el eje de abscisas son los valores de x que hacen que

,0y en nuestro caso son 2

1 y 3 , luego

2

1x toma valores positivos a la derecha de

2

1 y 3x a la derecha de 3 , así tomando como puntos de prueba los puntos -4,0 y 1 en

la recta numérica:

De aquí obtenemos lo siguiente, usando el Método de las Tablas:

Intervalos

Factores 3,

2

1,3

,

2

1

2

1x — — +

3x — + +

Producto + — +

No es solución Solución No es solución

Luego la solución será el intervalo indicado, donde el signo del producto es

negativo.

Como la desigualdad es estricta, el intervalo será abierto .2

1,3

2. Resolver la inecuación:

Solución:

Se pasan todos los términos de un solo lado:

Quedándonos:

2 8 1 2 4x x x

2 8 2 1 4 0x x x

2 6 5 0x x

R

2

1 - 3 0 -4 1



Se factoriza completamente, podemos tomar en cuenta la regla que dice que dos

números que sumados de 6 51 y que el producto de 5 ,51 y tenemos:

Se buscan los números críticos (donde los factores se hacen cero):

Se toman como puntos de prueba a -6, -2 y 0, de acuerdo con las regiones de la recta

numérica:

Se hace un cuadro de signos:

Intervalos

Factores 5, 1,5 ,1

1x — — +

5x — + +

Producto + — +

Solución No es solución Solución

Como la inecuación es , se escoge los intervalos con signo +.

Así, la solución es:

.,15,

OTRA FORMA DE HALLAR LA SOLUCIÓN ES EL MÉTODO POR CASOS

(+)x(+)= +

(+)x(-)= -

(-)x(+)= -

(-)x(-)= +

( 1)( 5) 0x x

1, 5x x

( 1)( 5) 0x x

R

-1 -5 -2 -6 0



Usando la ley de los signos surgen varios casos de acuerdo con la cantidad de factores

involucrados. En este ejemplo se usan los casos cuando el producto sea positivo que son el

primero y el último.

-51 51

0501 0501051

II Caso I Caso

xxxx

xxxxxx

De aquí tenemos que la Solución 1 ( 1S ) es la intersección en el Caso 1:

,11S

De aquí tenemos que la Solución 1 ( 2S ) es la intersección en el Caso 2:

5,1 S

Y la Solución Total ( TS ) es la unión de estas dos soluciones:

,15,TS

INECUACIONES EN VALOR ABSOLUTO

Son aquellas en las que parte de la inecuación, o toda ella, viene afectada por el

valor absoluto de la misma.

Expresión general: ,cbax o todas sus equivalentes ,cbax ,cbax

,cbax etc.

1 5

R

1 5

R



Dos útiles propiedades de las inecuaciones de valor absoluto son:

a) ax-aaxaxax

b) axaxax

MÉTODO DE RESOLUCIÓN:

Aplicamos la definición de valor absoluto de una cantidad y pasamos a un sistema

de dos ecuaciones cuya solución es la solución de la inecuación.

Por ejemplo, si tenemos ,cbax por definición:

cbax

cbax

cbax

cbaxcbax

,

Recuerda que al multiplicar los dos miembros de una desigualdad por una cantidad,

negativa, cambia el sentido de la desigualdad.

Ejemplos:

1. Resolver .212 x

Solución:

De acuerdo con la propiedad de valor absoluto a) tenemos:

212

212

212

x

x

x,

Luego trasponiendo términos y realizando las operaciones correspondientes tenemos:



2

12

3

12

32

122

122

x

x

x

x

x

x

Para la primera la solución es el intervalo

2

3, y para la segunda ,,

2

1

la

solución de la inecuación inicial será la intersección de ambos, es decir, el intervalo

2

3,

2

1. Ya que al representarlo tenemos:

Y notamos que la intersección es ,2

3,

2

1

que es en donde están tanto el amarillo

como el azul que es en donde son comunes las regiones.

2. Resolver .52

12

x

x

Solución:

De acuerdo con la propiedad de valor absoluto b) tenemos:

52

12

52

12

52

12

x

xx

x

x

x

Y al linealizar ocurre que:

2

3

2

1

R



2512

2512

xx

xx

Ahora, realizando las operaciones tenemos que:

7

93

11

7

93

11

97

113

11052

11052

10512

10512

x

x

x

x

x

x

xx

xx

xx

xx

La solución de la primera es ,3

11,

y la de la segunda ,

7

9,

la

solución de la inecuación inicial es la intersección de ambas, teniendo en cuenta que

,3

11

7

9 luego representando:

Así, la solución es ,7

9,

que es a partir de donde se encuentran las dos regiones.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Purcell y Vargerg. 1992. Calculo Diferencial e Integral. Prentice Hall.

James Steward. 1994. Cálculo. Grupo Editorial Americana.

Zill, D. 1985. Calculo con geometría analítica. Grupo Editorial Iberoamérica.

Leithold, L. 1992. El cálculo con geometría Analítica. Harla, México.

Larson, Hostetler, Edwards. 1991. Calculus with Applications. Mc Graw Hill.

3

11 7

9

R



EJERCICIOS PROPUESTOS

1) INECUACIONES DE PRIMER GRADO O LINEALES

a) 572 x

b) 573

2x

c) 5463 x - x - -

d) 3x - 5 - x - 6 < 1

4 12

2) INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

a) x2 16

b) 9x2 < 25

c) 36 > ( x - 1) 2

d) x ( x - 2 ) < 2 ( x + 6)

e) x2 - 3x > 3x - 9

f) 4 ( x - 1) > x2 + 9

g) 2x2 + 25 x ( x + 10 )

h) 3 > x ( 2x + 1)

i) x ( x + 1) 15(1 - x2 )

3) INECUACIONES FRACCIONARIAS

a) 01

x

x

b) 03

6

x

x

c) 25

x

x

d) x

x

x

3

22

4) Determine en cada uno de los siguientes ejercicios el intervalo real para x, tal que cada

expresión represente un número real.

i) 5x

R. [ -5 , + [

ii) 6

2

x

R. ] - 6 , + [

iii) 1

12

x

x

R. [ - 1 , 1 [ ] 1, + [

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