Tema : DETERMINANTES
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Tema :
DETERMINANTES
Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas
TÓPICOS DE MÁTEMATICAMA49 (EPE)
UPC
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COMPETENCIAS: 1.Describir el concepto de determinante a partir de su definición.
2. Describir las propiedades más importantes de la función determinante.
3. Explicar la relación entre el valor del determinan-
te de una matriz cuadrada y su singularidad.
Hace aproximadamente 2000 años que los
matemáticos chinos conocian bien el concepto
de determinante. Habían encontrado una relación
entre los coeficientes de sistemas de ecuaciones
lineales y la solución de dichos sistemas.En el
mundo occidental, los determinantes fueron
empleados primeramente por Gottfried Wilhen
Leibniz en 1693.
INTRODUCCIÓN:
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MENOR DE UNA MATRIZ
Si A es una matriz de orden nxn,
se llama ij- ésimo menor de A a la
matriz: Mij de orden (n-1)x(n-1)
que se obtiene al eliminar la fila i y la
columna j de A.
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DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
Sea A una matriz de orden nxn
1)
2) Si n>1: det A = a det M - a det M + ...
... + (-1) a det M n1
11 212111
n1
n+1
Si n=1 : A=[a], det A= a
DEFINICIÓN:
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Ahora:
det A =
(-1)i+1ai1detMi1
i=1
n
DEFINICIÓN:Al número: se le llama determinante de la matriz de orden 2 y escribimos
DETERMINANTE DE LA MATRIZ DE 2X2
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE 3X3
3231
222113
3331
232112
3332
232211 aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
=
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DESARROLLO DE LAPLACE
DET(A) = (-1)i+1 ai1det Mi1 + (-1)i+2 ai2detMi2 + ... + +(-1)i+n aindetMin
Según el desarrollo de los elementos de una fila (fila i)
similarmente para las columnas
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1. DETERMINANTE DE LA TRANSPUESTA
Si A es cualquier matriz cuadrada,entonces: det( A )= det A
t
PROPIEDADES DE LOS
DETERMINANTES
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FILAS PROPORCIONALES:
Si una matriz tiene dos filas proporcionales, su determinantees CERO.
SI HAY UNA FILA NULA
det
a a ... a0 0 ... 0
a a ... a
......... = 0
1n12
n1n1n1
11
2.
3.
12
4. Si B se obtiene INTERCAMBIANDOdos filas de A, entonces el determinante cambia de signo: det B = - det A (TRANSFORMACION ELEMENTAL 1)
Si B se obtiene MULTIPLICANDOuna fila de A por el escalar c, entonces:el determinante queda multiplicado por c det B = c (det A) (TRANSFORMACION ELEMENTAL 2)
5.
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6. Si B se obtiene sumando a una fila de A un múltiplo de otra fila de A, entonces el determinante no se altera det B = det A (TRANSFORMACIÓN ELEMENTAL 3)
7. DETERMINANTE DE UN PRODUCTOSi A y B son matrices cuadradas del mismo orden, entonces : det (AB) = (det A)(det B)
8. DETERMINATE DE UNAMATRIZ TRIANGULAR
El determinante de una matriz triangular está dado por el producto de los elementos de su diagonal.
nn
n
n
n
a
aa
aaa
aaaa
0000
.........
...00
...0
...
333
22322
1131211
nnaaaa ...332211