19. Tema 19: Determinantes. Propiedades. Aplicaciones al ...

19.Tema19:Determinantes.Propiedades.Aplicacionesalcálculodelrangodeunamatriz.

Índice

19.Tema19:Determinantes.Propiedades.Aplicacionesalcálculodelrangodeunamatriz..................................................................................................................1

19.1.Introducción........................................................................................................................................................................1

19.2.Permutaciones...................................................................................................................................................................2

19.3.Determinantedeunamatrizcuadrada...................................................................................................................2

19.4.Propiedadesdelosdeterminantes............................................................................................................................3

19.5.Desarrollodeundeterminanteporunalínea......................................................................................................5

19.6.Cálculodedeterminantesdeordenelevado.........................................................................................................6

19.7.Matricesregulares............................................................................................................................................................7

19.8.Cálculodelrangodeunamatriz.................................................................................................................................7

19.9.Resumen...............................................................................................................................................................................8

19.10.Conclusión.........................................................................................................................................................................9

19.11.Bibliografía........................................................................................................................................................................9

Oposiciones de Secundaria (Matemáticas)

Tema19:Determinantes.Propiedades.Aplicacionesalcálculodelrangodeunamatriz.

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19. Tema19:Determinantes. Propiedades. Aplicaciones al cálculo del rango deunamatriz.

19.1. Introducción

LEGISLACIÓN Actualmente, el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato viene

determinadoporelsiguientemarcolegislativoestatalyautonómico:

•RealDecreto1105/2014,de26dediciembre.

•Decreto48/2015de14demayodelConsejodeGobierno.

•Decreto52/2015,de21demayo,delConsejodeGobierno.

CURRÍCULO

El cálculo matricial tiene importantes aplicaciones, como la resolución de sistemas deecuaciones lineales.Otrasaplicacionesseencuentranal trabajaral trabajarenFísicaCuánticaoenTeoríadeGrafosyseutilizanencomputaciónporlasimplicidaddesumanipulación.

Sin embargo, y aunque es un concepto inherente a muchos otros trabajados en cursosanteriores,comoes laresoluciónolaexistenciaonodesolucionesasistemasdeecuaciones,noeshastasegundocursodeBachilleratocuandoelconceptodematriz,determinanteysusaplicacionesaparecenenelcurrículo.

En este curso, se pretende utilizar los conceptos de matriz, elemento, dimensión, etc. eidentificaryusarlosdistintostiposdematricespararepresentardatosprovenientesdetablasografosypararepresentarsistemasdeecuacioneslineales.Además,el/laalumno/aaprendeareconocerlasmatrices como cuadros de números y valorar su utilidad para organizar y manejar informaciónformandoparte esencial de los lenguajesdeprogramación, así comoa realizar adecuadamente lasoperacionesdefinidasentrematricesymanejarlaspropiedadesrelacionadasconosdeterminantesdeformamanualoconelapoyoderecursostecnológicos.

O.D.

Lossistemasdeecuaciones linealestienenuna importanciaespecial,yaqueenmultituddesituacionesdelascienciastantodelanaturaleza,comodelafísica,laquímica,etc.,comodelascienciashumanas y sociales, como la economía, la psicología, la sociología, etc., aparecen frecuentementesituaciones cuya expresión cuantitativa conduce de forma natural a grandes sistemas de muchasecuacioneslinealesconmuchasincógnitas.

Actualmentemuchosprogramasparaordenadoresutilizanelconceptodematriz.Unejemploson las hojas de cálculo, utilizadas en gestión empresarial y en gestión científica, y que funcionanutilizandounainmensamatrizconcientosdefilasycolumnasencuyascasillaspuedenintroducirsedatosyfórmulasapartirdelascualesserealizanloscálculosagranvelocidad.

Sabemos que el estudio de los determinantes puede realizarse también a través de lasaplicaciones multilineales, pero no será éste el enfoque que daremos a nuestro desarrollo porconsiderarlo,actualmente,pocoutilizadoenelniveldeenseñanzasecundaria.

HISTORIA

El primero en tratas de sistematizar el tratamiento de los sistemas lineales fue el granmatemáticoalemánLeibniz,quienen1693introdujolanocióndedeterminante.En1750,Cramer,dioconuna reglapara la resolucióndirectade los sistemasusandodeterminantes.En1773,Lagrangeobservólaconexiónentreelvolumendeltetraedroenelespaciotridimensionalyelvalordeunciertodeterminante.

EsamediadosdelsigloXIXcuandoSylvester(1814‑1897)introduceporprimeravezeltérminodematriz para referirse a un cuadro rectangular de números. El desarrollo inicial de la teoría dematrices se debe a Hamilton (1805‑1865), y es Cayley (1821‑1895) quien introduce la notaciónmatricialcomounaformaabreviadadeescribirunsistemalinealdemecuacionesconnincógnitas.

Acontinuación,desarrollaremoseltemasiguiendoelíndiceanteriormenteexpuesto.


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19.2. Permutaciones

SeaA=(aij)unamatrizcuadradadeordenn.SellamadeterminantedeAyserepresentapordet(A)o|A|,alnúmerorealsumadelosn!productosdenelementosformadosdelamanerasiguiente:encadaproductoentraunelementoysólounodecadafila,yunoysólounodecadacolumna,asignandoacadaunodeestosproductoselsigno+o–segúnquelaspermutacionescorrespondientesalosprimerosyalossegundosíndicesseandelamismaodedistintaclase.

Escribiremosesosproductosdelaforma:a1σ(1) ·a2σ(2) · ... ·anσ(n),dondelapermutacióndelosprimerosíndiceseslaidentidadyladelossegundosesσ,comolaidentidadessiempredeclasepar,elsignodeesetérmino

es: ,esdecir,(-1)σ(1,…n).

Consideremosunejemploconcreto.Sean3númeroscualesquiera,{1,2,3},seentiendeporpermutacióndeesos3númerosalasdistintasformasquetenemosdeordenareseconjunto.Deestaformapodemosdecirqueesteconjuntotienelassiguientespermutaciones:{1,2,3},{1,3,2},{2,3,1},{2,1,3},{3,1,2},{3,2,1},esdecir,untotalde6permutaciones,númeroquecoincidecon3!.

Recordemos que una permutación es par (impar) si el número de inversiones necesario paratransformarlaenlapermutaciónidentidadespar(impar).

Todapermutaciónsepuedeescribircomoproductodeinversiones(ótrasposiciones),dondeunainversiónesunapermutaciónquedejatodosloselementosfijosmenosdos.

Unatrasposicióndeunapermutacióneselcambiodeordenentredoselementosdeunapermutación,asíporejemplosipasamosdelapermutación{1,3,2}alapermutación{1,2,3}hemosrealizadounatrasposiciónpueshemosintercambiadoloslugaresdel2y3.

Enesteterrenosueleresultarconvenienteobtenerelnúmerodetrasposicionesnecesariosparareordenarunapermutacióncualquieraytransformarlaenlapermutacióninicial{1,2,....,n}

Porejemplo: Las siguientespermutaciones requieren los siguientes cambios: {3,2,1} -> {1,2,3} (1 sólatrasposición);{2,3,1}->{1,3,2}(cambio1por2)->{1,2,3}(el2porel3)(2trasposiciones).

19.3. Determinantedeunamatrizcuadrada

SealamatrizcuadradadeordennsobreuncuerpoK:

, donde Sn

representaelgrupodelaspermutacionesde{1,…,n},esdecir: biyección.

Observaciones1. EldeterminantedeAesigualalasumadetodoslosn!productosdeltipo±a1ha2k…anlo,también,

deltipo±a1ha2k…anltalesque:encadaproductohayunelemento,ysólouno,decadafiladeAy,ala vez, hay un, y sólo uno, elemento de cada columna de A; el signo± es + ó – según que lapermutación(h,k,…,l)de(1,2,…,n)seaparoimpar,respectivamente.

2. LaigualdadentrelasdosexpresionesdadasparadetApruebanquecualquierpropiedadreferidaalasfilasdeundeterminanteestambiénválidasiselarefierealascolumnasyrecíprocamente.

19.3.1. Determinantesde2y3ordenLosdeterminantesde2y3ordentienenlossiguientesdesarrollos:

si es de clase par( )

- si es de clase impars s

+ì ü= í ýî þ

( )

11 12 1

(1,..., )21 22 21 (1) ( ) 1 (1) ( )

1 2

( )· · · 1 · · ·n

n

nnn n n n

S

n n nn

a a aa a a

A A S a a a a

a a a

ss s s s

s

sÎ

æ öç ÷ç ÷= Þ = … = - …ç ÷ç ÷è ø

å å

!

!

" # # "

!

{ } { }: 1,..., 1,...,n ns ®

( ) ( ) { }{ }

0 111 1211 22 12 21 11 22 12 21

21 22

1

1,2 0 2,1

. 1 . . . 1

a aA A a a a a a a

con trasposicionescon trasposición

a aa aæ ö

= ® = - + - = - Þç ÷è ø


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19.3.2. DeterminantedeunamatriztriangularEl determinante de unamatriz triangular (superior o inferior) es el producto de los elementos de su

diagonalprincipal.Asíocurre,puessiA=(aij)esmatriztriangular,elúnicodelosn!productosa1σ(1)·a2σ(2)·...·anσ(n),quenoesnuloesa11a22…ann,quecorrespondealapermutaciónprincipal(1,2,…,n),queespar.Portanto,detA=a11a22…ann.

Nota:elcálculodedeterminantesdeordenmayorque3esmuylaborioso,asípues,veremosunmétodoquepermitereducirelcálculodeundeterminantedeordenpaotrosdeordenp-1…,hastasolucionarcálculosdedeterminantesde2y3orden.

19.4. Propiedadesdelosdeterminantes

1. EldeterminantedeunamatrizAcoincideconeldeterminantedesumatriztraspuestaAt.Esdecir,det(A)=det(At).

Demostración: Sean A = (aij) y At = (a’ij), se tiene que a’ij = aij. Por definición:.Porlaconmutatividaddelcuerpoℝ(loselementosdeApertenencenaℝ)

sepuedeescribireltérminogeneraldemaneraque{σ(1),σ(2),...,σ(n)}vuelvaalordennatural{1,2,...,n}.Sepasadelprimeroal segundo conjuntomediante lapermutación r=σ–1. Si ponemos∀i∈ {1, ..., n}:σ (i) = k,entonces:r(k)=i.Y,enconsecuencia:a’iσ(i)=a’r(k)k=a’kr(k),eltérminogeneralseescribe(señalandoques(r)=s(σ–1)):s(r)·a1r(1)·a2r(2)·…·anr(n).Porotraparte,sumarcuandorrecorreSnvieneasercomosumarcuandoσ–1=rrecorreSn,obteniéndosecomoconsecuencia: .

2. Alpermutardosfilasodoscolumnasenunamatrizcuadrada,sudeterminantecambiaúnicamentedesigno.

Resultaevidente,porloqueomitimossudemostración,yaquealpermutardosfilasodoscolumnaslaspermutacionesqueseobtienencambiandeclase,y,portanto,hayuncambiodesignoperoelvalorabsolutodeldeterminantesemantiene.

3. Siunamatrizcuadradatienedosfilasodoscolumnasidénticas,sudeterminantevalecero.

Demostración:

Enefecto,segúnlapropiedad2),sienundeterminantecambiamosdosfilasocolumnasentresí,elvalordeldeterminantecambiadesigno.Porlotanto:|A|=–|A|⇒2|A|=0⇒|A|=0.

4. Sitodosloselementosdeunafilaocolumnadeunamatrizcuadradasonigualesacero,entonceselvalordeldeterminanteescero.

Demostración:

Estosededucedeladefinicióndedeterminante: .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

{ }

11 12 130 1 1 2 1 2

21 22 23 11 22 33 11 23 32 13 22 31 13 21 32 12 21 33 12 23 31

31 32 33

11 22 33 11 22 33 12 23 31 13 22 31 11 23 32 12 21 33

1 1 1

1,2,

3

1 1 1

a a aA a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

a a a

a a a

inversion

a a a a a a a a a a a a a a a

æ öç ÷= = - + - + - + - + - + - =ç ÷ç ÷è ø

= + + - - - Þ

{ }{ }{ }{ }{ }

01,3,2 13,2,1 13,1,2 22,1,3 12,3,1 2

esinversionesinversionesinversionesinversionesinversiones

======

( ) 1 (1) ( )( )· ' · · 'n

n nS

tde A S at a s ss

sÎ

= …å

( ) 1 (1) ( )(r)· ' · · ' det( )n

r nr nr S

t S a ad t Ae AÎ

= … =å

11 12 1

21 22 21 (1) ( )

1 2

( )· · ·n

n

nn n

S

n n nn

a a aa a a

A S a a

a a a

s ss

sÎ

= = …å

!

!

" # # "

!


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Silafilai-ésimaeslaqueestácompuestaporceros,resultaqueenlasumaquedefineeldeterminante,encadaunodelossumandossiempretienequefigurarunelementodelafilai-ésimay,porconsiguiente,unodelosfactoresqueaparecenencadasumandoesceroylasumaes,portanto,cero.

5. Sitodosloselementosdeunafilaocolumnadeundeterminantecontienenunfactorcomún,estefactorcomúnpuedesacarsefueradelsignodeterminante.

Demostración:Recurriendoaladefinición:

Comocorolariodeestapropiedad,resultaqueparamultiplicarundeterminanteporunnúmerokbastamultiplicarunafilaounacolumnadeldeterminantepordichonúmero.

6. Unamatrizcuadradacondosfilasodoscolumnasproporcionalestienedeterminantenulo.

Demostración:

Esevidente,pues,porlapropiedad5),podemossacarelfactorcomúnfueradeldeterminanteyquedaeldeterminantedeunamatrizcuadradacondosfilasocolumnasigualesque,porlapropiedad3),tendrávalorcero.

7. Siloselementosdecualquierfilaocolumnadeunamatrizcuadradasonsumasdeigualnúmerodetérminos(cosaquesiemprepuedelograrseañadiendocerosparaaquellosquetenganmenornúmero),entoncessudeterminanteasociadoesigualalasumadetantosdeterminantescomosumandosfigurenenlafilaocolumna,enlosquetodaslasfilasocolumnaspermaneceninalteradassalvolaqueestáformadaporsumandos,queseráreemplazadaporelprimersumandoparaelprimerdeterminante,porelsegundosumandoparaelsegundo,yasísucesivamente.

Demostración:

Supongamosqueeslafilai-ésimalaquetieneksumandosydemostrémosloparak=3:

8. Siunafila(ocolumna)deAescombinaciónlinealdeotrasfilas(ocolumnas)entonceseldeterminante

escero.

9. Sialoselementosdeunafila(ocolumna)deunamatrizselesumaunacombinaciónlinealdealgunas

otrasfilas(ocolumnas),elvalordeldeterminantenovaría.Estapropiedadesmuyútil,puesconella

puedeconseguirsequeenalgunasfilasocolumnasaparezcanceros,loquesimplificaráeldesarrollo

deldeterminante.

Demostración:Veamoslapropiedad,suponiendoquea lacolumnai-ésimaleañadimoslaprimera

multiplicadapor«p»ylasegundapor«q».

11 12 1 11 12 1

1 (1) ( ) ( ) 1 (1) ( )1 2 1 2

1 2 1 2

( )· · · · · ( )· · ·n n

n n

i i n n n ni i in i i inS S

n n nn n n nn

a a a a a a

A S a ka a k S a a kka ka ka a a a

a a a a a a

s s s s ss s

s sÎ Î

= = … = … =å å

! ! ! !

" # # ! " " # # ! "

$! ! ! !

" # # # " " # # # "

! ! ! !

1 (1) ( ) ( ) ( ) ( )

1 (1) ( ) ( ) 1 (1)

11 1

1 1 1

1

( )· · ·( · ·

( )· · · · · ( )·

... +b +c ... +b +c ) ... n

n

i i i i i i n nS

i i n nS

n

i i i in in in

n nn

S a a a

S a a a S a

a aa a b ca a

s s s s ss

s s s ss s

s

s s

Î

Î

…

…

= + + =

= +

å

å

!

! ( ) ( ) 1 (1) ( ) ( )

11 1 11 1 11 1

1 1 1

1 1 1

· · · · ( )· · · · ·

... ... ... ... ... ... c ... ... ...

n n

i i n n i i n nS S

n n n

i in i in i in

n nn n nn n nn

a S a ab c

a a a a a aa a b b ca a a a a a

s s s s ss

sÎ Î

… …+ =

= + +

å å! !


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19.5. Desarrollodeundeterminanteporunalínea

Sea ,sellamamenorcomplementariodelelemento ,aldeterminantedelamatrizdeorden

n-1obtenidaalsuprimirlafilaiylacolumnaj(sedenotapor ).Definimosadjuntodel ,

Ejemplo:

19.5.1. Teorema(Desarrollodeldeterminante)

Teorema:Si , , (desarrollodeldeterminanteporloselementosdelai-

ésimafila)ó , (desarrollodeldeterminanteporloselementosdelaj-ésimacolumna).

Demostración:

FijémonosenelvalordelasumadetodoslostérminosdeAquecontienenundeterminadoelementoaij.Paramayorcomodidad,yfacilitarelrazonamiento,elijamosa11.

Eltérminogeneraldeldesarrollodedichodeterminantees: ,dondeδindicaelnúmerodeinversionesdej1,j2,...,jn,queportenerquefigurareltérminoa11hacequej1=1.Entonceselvalorbuscadodetalsumaserá: ,dondeelΣseextiendeatodaslaspermutacionesj2j3...jndelosnúmeros2,3,...,n.

Además,comoelíndice1noformainversiónconningunodelosíndicesj2,j3,...,jnhacequeδseaelnúmerodeinversionesdelaspermutacionesdelosíndicesj2,...,jn.Portanto,Σa2j2·a3j3...anjnnoesotracosaqueα11·

11 12 1 11 1 11 12 1

21 22 2 21 2 21 22 2 (7) (5)

1 2 1 1 2

11 1 1 11 11 1 1

21 2 2 21 21 2

1 1 1

n i n

n i n

n n nn n ni n n nn

i n n

i n n

n ni nn n n nn

a a a a a pa qa aa a a a a pa qa a

A

a a a a a pa qa a

a a a a a a aa a a a a a

A p q

a a a a a a

+

+ ++ +

= Þ ¾¾¾®

+ +

= + +

! ! !

! ! !

" # # " " # # # "

! ! !

! ! ! !

! ! ! !

" # # # " " # # # "

! ! ! !

1 12 1

21 22 2 (3)

1 2

11 1 1

21 2 2

1

·0 ·0

n

n

n n nn

i n

i n

n ni nn

a aa a a

a a a

a a aa a a

A p q A

a a a

¾¾®

= + + =

! !

! !

" # # # "

! !

! !

! !

" # # # "

! !

( )ij nA a M= Î ija

ija ija ( 1) ·i jij ijA a+= -

( )

( )

( )

624 24 24

413 13 13

321 21 21

1 2 42 0 0 4, 1 41 1 1

1 2 4 02 1 1

2 1 0 12 0 1 3, 1 3

2 0 0 11 1 0

1 1 1 02 4 00 0 1 2, 1 21 1 0

A

A

A

a a

a a

a a

ì ì - üï ï ï= = = - =í ýïï ïï -î þï-æ ö ïì - üç ÷- ïï ïç ÷Þ = = - = - = -íí ýç ÷ ïï ïç ÷ î þï-è ø ïì - ü

ïï ï= = = - = -ïí ýïï ï-î þî

( )ij nA a M= Î1.

n

ij ijj

A a A=

=å 1 i n£ £

1.

n

ij iji

A a A=

=å 1 j n£ £

( )1 21 21

nj j nja a ad- !

( )1 2 21 2 11 21

n nj j nj j nja a a a a ad- = å! !


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Enconsecuenciaa11·Σa2j2·a3j3...anjn=a11·α11.

Observandoahoraelvalordelasumadelostérminosquecontienenunaijcualquiera,vemosquedichoelementosepuedetrasponerallugarqueocupaa11mediantetrasposiciones,respectivamente,delai-ésimafilaycolumnajconcadaunadelas(i–1)filasy(j–1)columnasprecedentes,deformatalquelasrestantesfilasycolumnasguardanenelnuevodeterminanteA’lamismaposiciónrelativaqueenelA.Teniendoencuentaquecada cambio de línea o columna produce otro cambio de signo, se tiene:

Puestoque lasumadetodos los términosdeldeterminanteA’quecontienenaij,elcualocupaahora laprimera fila y primera columna, acabamos de ver que vale aijαij, resulta:

Porúltimo,recordandoqueencadatérminodeldesarrollodeAapareceunsoloelementodecadalíneaprefijada,porejemplo, la fila i-ésima,haceque sepuedadistribuir eldesarrollodedichodeterminanteenngrupossintérminoscomunes,formadoselprimeroporaquellosquecontienenai1;elsegundoai2,...,hastaelque

contieneain.Comocadaunodeestossumandosvaleai1Ai1,implicaque , .

Demaneraanálogaseverificaparalascolumnas.

Corolario: , es decir, si sumamos los productos de los elementos de una fila (o

columna) por los adjuntos de otra fila (o columna) el resultado siempre es cero, pues coincidiría con el

determinantedeunamatrizcondosfilas(ocolumnas)iguales:

Teorema:SeaA , ->( ).

19.6. Cálculodedeterminantesdeordenelevado

Elartificiocomúnmenteempleadopararealizarelcálculodedeterminantesdeordenelevadosebasaenlapropiedad9.

19.6.1. RegladeChioEsunmétodobasadoen laexistenciadealgúnelementodeldeterminante casoalquesepuede

reducir cualquier determinante (bien sacando fuera del determinante, como factor del mismo, uno de suselementos,otambiénrestandodoslíneasparalelasquetengandoselementosquedifieranen1;etc.).Lovamosademostrarpara4ºorden,porejemplosi :

Luego,podemosenunciarlaRegladeChiodelasiguientemanera:decadaelemento(porejemplo )nopertenecientealafilaycolumnadelelemento ,llamadopivote(a23enelejemplo),serestaelproductodeloselementossituadosenlosextremosdeladiagonaldelrectángulodeterminadoporelelementoconsiderado

( ) ( ) ( )–1 –1’ –1 · –1 – 2· –1 ·i j i j i jA A A A+ + += = =

( ) ( ) ( )–1 · ’ –1 ... ...i jij ij ij ijA A i j a a Aa+= = + + = +

1.

n

ij ijj

A a A=

=å 1 i n£ £

1. 0,

n

ij kjja A i k

=

= " ¹å

11 1

11 1

1

... ... 0 ...

n

n

n nn

a aa aa a

=

nMÎ1 det 0A A-$ Û ¹ 1 11 1.( ) ; ( ), .t

ij ij jiA AdjA A b b AA A

- -= = =

1ija =

23 1a =

1 13 23 33 24 43 2

11 12 13 14 11 13 21 12 13 22 14 13 24

21 22 24 21 22 24

31 32 33 34 31 33 21 32 33 22

41 42 43 44

- - 0 - 1 1 - - 0

F a FF a FF a F

a a a a a a a a a a a a aa a a a a aa a a a a a a a a aa a a a

-æ öç ÷-ç ÷-è ø

= = = ( 3º )34 33 24

41 43 21 42 43 22 44 43 24

11 13 21 12 13 22 14 13 242 3

31 33 21 32 33 22 34 33 24

41 43 21 42 43 22 44 43 24

- - - 0 -

- - - ( 1) - - -

- - -

desarrollándolopor la columnaa a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a aa a a a a a a a aa a a a a a a a a

+

= =

= - ®(3º )orden

11a1ija =


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( )yelpivotecomoextremosdelaotradiagonal,sesuprimelafilaycolumnadelpivote,yaldeterminanteasíobtenidoseleantepone+o–segúnquelasumadelosíndicesrelativosalpivoteseaparoimpar.

19.7. Matricesregulares

Unamatrizcuadradasediceinvertible(otambiénsellamano-singularoregular)sitieneinversa.Esdecir:A∈Mn,AesinvertiblesiexisteunamatrizcuadradaBdeordenn,talque:A·B=B·A=In,dondeIndenota,comoyadijimosantes,lamatrizunitariadeordenn.

Es fácil comprobarque:SiAes invertible lamatrizBverificandoA ·B=B ·A= In esúnica.Enefecto:SupongamosqueexisteB’∈Mn/B’·A=A·B’=In.Entonces:B=B·In=B·(A·B’)=(B·A)·B’=In·B’=B’⇒B=B’.

LamatrizBsellamamatrizinversadeA,yserepresentaporA–1.Estamatrizsedemuestrayexponeeneltema19deltemariocorrespondientealapresenteoposición.

Teorema:Unacondiciónnecesariaysuficienteparaqueunamatrizcuadradasearegular,estoes,paraquetengainversa,esquesudeterminanteseadistintodecero.

Demostración:SupongamosqueAtieneinversa,esdecir,existeunamatrizA–1talque:A·A–1=A–1·A=In=I

Dedonde:det(A·A–1)=det(I).Ahorabien:det(A·A–1)=det(A)·det(A–1),ydet(I)=1

Resulta,así,que:det(A)·det(A–1)=1,loqueimplicaquecadafactordelprimermiembrodeestaigualdadesdistintodecero,yasí,enparticular,det(A)≠0.

Recíprocamente,supongamosquedet(A)≠0;entoncesdefinimosA–1comolamatrizcuadradadelorden

deA, cuya ij-componente bij está dadapor: . Es fácil comprobar que lamatrizA–1 = (bij) así

definidaestalque:A·A–1=A–1·A=I(matrizidentidaddeordenn).Enefecto,paraponerdemanifiestoqueA·A–1=I,pordefinicióndeigualdaddematrices,habráqueverqueelcomponente–ikdeA·A–1esigualalcomponente

–ikdelamatriz .Ahorabien:

19.8. Cálculodelrangodeunamatriz

SeaAunamatrizy índicesdefilas,y índicesdecolumnas,sisuprimimosenAtodaslasfilasycolumnasdeíndicesdistintosdeestos,obtenemosunamatrizpxqquesellamasubmatrizdeA.UnasubmatrizdeAcuyosíndicesdefilasydecolumnasseanconsecutivos,sellamabloquedeA;denotaremoslosbloquesfila

porAiylosbloquescolumnaporAj, .SellamadescomposicióndeAenbloquesauna

particióndeAenbloques: .

Se llamamenor de orden p de A al determinante de una submatriz cuadrada que se obtiene de Aeliminandom-pfilasyn-pcolumnas.UnmenoresnonulosidichodeterminanteesdistintodeceroytodomenornonulodeordenpdeAsedenominamenorprincipaldeordenp.

SedicequeAtienerangop(rg(A)=p)cuandoenellaexiste,porlomenosunmenordeordenpdistintodecero, siendonulos losmenores posibles de orden superior a p. Con esto, estamos diciendo que hay alguna

13 21,a a

1det(A)ij jib A=

1,0,i k

Ii k=ì

= í ¹î

1

1 1 1

1 , si i=k1,1componente de -ik de AA componente -ik de I

1 0,0, si i k

n n nkj

ij jk ij ij kjj j j

AAA i k

a b a a Ai kA A

A

-

= = =

ìï =ìï= = = = = =í í ¹îï ¹ïî

å å å

1,..., pi i 1,..., qj j

( )1

1 n

m

AA A A

A= =æ öç ÷ç ÷ç ÷è ø

! "

11 12 13

21 22 23

11 1

1

' ' ' ' '

' ' ' ' '

k

h hk

a b c d e

A A Aa b c d eA

A A A

A AA

A Aa b g d e

a b g d e

= ==

æ æ ö öæ öç ç ÷ ÷æ öç ÷ç ç ÷ ÷ç ÷ç ÷ç ç ÷ ÷è øç ÷è øç ç ÷ ÷

è è ø ø

!

" # "

!


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submatrizcuadradadeordenpqueesregularyquetodaslassubmatricescuadradasdemayortamañoquepsonsingulares.

Ejemplo:Verificamosprimerotodoslosmenoresdeorden3yluegolosdeorden2.

Consecuencias1) Siintercambiamosfilas(ócolumnas)novaríaelrango.

2) Siunafila(ócolumna)estáformadaporceros,suprimimosesafilayelrangonovaría.

3) rg(matriznula)=0.

4)

5) rg(A)=rg(At).

6)

DadaslfilasdeA ,siningunadeellassepuedeexpresarcomocombinaciónlinealdelasotras,sedicequeesasfilassonlinealmenteindependientes(llii).

Teorema: La característica de una matriz coincide con el número máximo de sus filas ó columnaslinealmenteindependientes.

Demostración:ParaprobarelteoremavamosaverquesilacaracterísticadeA(matrizdadaanteriormente)eshyαrepresentaunmenorprincipaldeordenhdelamisma,cadaunadelasfilasdeAquenofiguranenαes una combinación lineal de las h filas que constituyen dicho menor, las cuales son linealmenteindependientes.Enefecto,supongamosparasimplificarlanotaciónqueunmenorprincipalestáconstituidopor loselementoscomunesa lashprimeras filasy columnasdeA.Entonces—paraunvalor cualquiera Icomprendidoentreh+1ym,ambosinclusive,ytodoslosvaloresj=1,...,nsetiene:

puesparaj=1,...,h,estedeterminantetienedoscolumnasiguales,yparaj=h + 1, ..., n, es un menor de la matriz A cuyo orden es mayor que lacaracterísticah.Desarrollado (5)por loselementosde laúltimacolumna,tendremos: a1j α1 + ... + ahj αh + aIj α = 0, donde α1, ..., αh denotan,respectivamente,losadjuntosdeloshprimeroselementosdedichacolumna.

Comoα≠0,sesiguequeparatodoslosvaloresj=1,...,nseverifica: esdecir,

cada elemento de la fila I-resulta de sumar sus correspondientes de las filas 1ª, ..., hª, previamente

multiplicadosporlosnúmeros .PortantoesafilaIesunacombinaciónlinealdelashprimeras.

QueningunadelashprimerasfilasdelamatrizAsepuedeexpresarmedianteunacombinaciónlinealdelasotrash–1esinmediato,puesentalcasounadelasfilasdelmenorαseríacombinaciónlinealdelasrestantesy,enconsecuencia(recordarpropiedadesdelosdeterminantes),α=0encontradeloquehemossupuesto.Análogamentesedemuestraelresultadoparacolumnas,conloquequedademostradoelteorema.

19.9. Resumen

Enprimerlugar,seintroduceelconceptodepermutacionesytrasposición,conelobjetivodeasentarlasbases del concepto de determinante de una matriz cuadrada de orden n, donde se presentan losdeterminantesdesegundoytercerordenylaspropiedadesdelosdeterminantes:

1. det(A)=det(At).2. Alpermutardosfilasodoscolumnasenunamatrizcuadrada,sudeterminantecambiasólodesigno.

1 2 1 23 0 1 41 1 1 1

A- -æ ö

ç ÷= -ç ÷ç ÷- -è ø

1 2 1 1 2 2

3 0 1 0 3 0 4 0

1 1 1 1 1 1

- -

= - =

- - -

2 1 2 1 1 2

0 1 4 0 3 1 4 0

1 1 1 1 1 1

- - - -

- = - =

- - -

1 20 6 6 0

1 0= - = - ¹

, 0 rg(A) min(m,n)A Mmxn" Î £ £

, rg(A)=n detA 0A Mnxn" Î Û ¹

(1 l m)£ £

11 1 1

1

1

0 (5)

h j

h hh hj

I Ih ij

a a a

a a aa a a

=

!

" # # "

#

!

11

hIj j hja a a aa

a a= - - -!

1 , , haaa a

-!


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3. Siunamatrizcuadradatienedosfilasodoscolumnasidénticas,sudeterminantevalecero.4. Sitodosloselementosdeunafilaocolumnadeunamatrizcuadradasonigualesacero,entoncesdet=0.5. Sitodosloselementosdeunafilaocolumnadeundeterminantecontienenunfactorcomún,estefactorcomúnpuedesacarsefueradelsignodeterminante.

6. Unamatrizcuadradacondosfilasodoscolumnasproporcionalestienedeterminantenulo.7. Si los elementos de cualquier fila o columna de unamatriz cuadrada son sumas de igual número detérminos,entoncessudeterminanteasociadoesigualalasumadetantosdeterminantescomosumandosfigurenenlafilaocolumna.

8. Siunafila(ocolumna)deAescombinaciónlinealdeotrasfilas(ocolumnas)entoncesdet=0.9. Sialoselementosdeunafila(ocolumna)deunamatrizselesumaunacombinaciónlinealdealgunasotrasfilas(ocolumnas),elvalordeldeterminantenovaría.

En el apartado dedesarrollo de un determinante por una línea, se define los conceptos demenorcomplementarioyadjuntodeunelementodeunamatrizasícomoeldesarrollodeundeterminanteporunafilaocolumnahaciendousodeestos.

Seexplicacómoseprocedeenlaprácticaalahoradecalculardeterminantesdeordenelevadohaciendousodesuspropiedades.

Se define los conceptos dematriz regular, inversa,matriz adjunta y se establece su relación cuandopartimosdeunamatrizinvertible.

Enelapartadodecálculodelrangodeunamatrizserecuerdalosconceptosderangoydemenorysucálculomediantedeterminantes.

19.10. Conclusión

DESARROLLO

TEMA

Elálgebramatricialesdegranutilidadenelestudiodelossistemasdeecuaciones,ylasmatricesaparecendeformanaturalenGeometría,Estadística,Economía,etc.Actualmentemuchosprogramasparaordenadoresutilizanelconceptodematrizydeterminante.

Enestetema,seexponenlosconceptosparaasentarlasbasesdesdeunaintroducciónbásicadeconceptoshastaalcanzarelconceptodecálculodedeterminantesdeordenelevadoysusaplicacionesalcálculoderangos.

APLICACION

ES Elconceptodematrizesunodelosmásfructíferosdetodalamatemáticaydegranimportancia

para el desarrollo de todas las ciencias, actualmente en campos como la física, la informática, laestadística,laeconomía,etc.,y,engeneralsiemprequetrabajamosconungrannúmerodedatos,loscualesseorganizanenmatricesparasuposteriormanipulación:calendarios,basesdedatos,horarios…

Lasaplicacionesdelosdeterminantessoninnumerables,talycomoyahemospresentadoenlaintroduccióndeltema,comoejemplos,podemosmencionarelestudiodesistemasdeecuacionesenfuncióndelvalordeunosparámetrosdados,asícomoestudiarlaposiciónrelativaderectasyplanos.

19.11. Bibliografía

GODEMENT: Álgebra. Ed. Tecnos, 1983.

JIMÉNEZ GUERRA: Álgebra I. UNED. Madrid, 2001.

BURGOS: Álgebra lineal. MacGraw-Hill, 1993.

ROMERO: Álgebra lineal y Geometría I. Ed. la Madraza, 1991.

TEMARIO DEIMOS

TEMARIO GAMBOA

TEMARIO MATEMÁTICAS DIVERTIDAS

TEMARIO CLAUSTRO


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