TEMA 3.- DETERMINANTES

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TEMA 3 DETERMINANTES

A cada matriz cuadrada de orden n se le puede asociar un numero real llamado determinante de la matriz.

Si A es un matriz representaremos el determinante de A por |𝐴|

Determinante de una matriz de orden 1

Si 𝑎 = (𝑎) es una matriz de orden 1 entonces, |𝑎| = 𝑎

Algunos ejemplos para que lo entiendas mejor:

• |8| = 8 • |𝑒| = 𝑒 • |−𝜋| = −𝜋

Determinante de una matriz de orden 2

El determinante de una matriz de orden 2; 𝐴 = +𝑎 𝑏𝑐 𝑑/ es un numero real:

|𝐴| = 0𝑎 𝑏𝑐 𝑑0 = 𝑎 ∙ 𝑑 − 𝑏 ∙ 𝑐

O lo que es lo mismo, la diferencia entre el producto de los elementos de la diagonal principal y el producto de los elementos de la diagonal secundaria:

Algunos ejemplos:

• 01 23 40 = 1 ∙ 4 − 2 ∙ 3 = −2

• 0−3 1−4 30 =

(−3) ∙ 3 − 1 ∙ (−4) = −9 + 4 = −5

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Determinante de una matriz de orden 3

Imagina que tenemos una matriz de orden tres como la siguiente:

𝐴 = 9𝑎 𝑏 𝑐𝑥 𝑦 𝑧𝑢 𝑣 𝑡

@

Para calcular el determinante de la matriz 𝐴, que se denotara por 𝑑𝑒𝑡(𝐴)𝑜|𝐴|, tenemos que hacer la siguiente operación:

|𝐴| = 𝑎 ⋅ 𝑦 ⋅ 𝑡 + 𝑏 ⋅ 𝑧 ⋅ 𝑢 + 𝑥 ⋅ 𝑣 ⋅ 𝑐 − 𝑐 ⋅ 𝑦 ⋅ 𝑢 − 𝑧 ⋅ 𝑣 ⋅ 𝑎 − 𝑏 ⋅ 𝑥 ⋅ 𝑡

Este procedimiento que acabo de desarrollar se llama la regla de Sarrus. Esquemáticamente podríamos representarla como:

Un ejemplo:

• D1 −2 −6−3 2 92 1 −3

D = 1 ∙ 2 ∙ (−3) + (−2) ∙ 9 ∙ 2 + (−3) ∙ 1 ∙ (−6) − (−6) ∙ 2 ∙ 2 − (−2) ∙

(−3) ∙ (−3) − 9 ∙ 1 ∙ 1 = 9

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MENOR COMPLEMENTARIO. MATRIZ ADJUNTA

Dada una matriz A, de orden mayor o iguala a dos, llamaremos menor complementario del elemento 𝑎!" al determinante de la matriz obtenida al suprimir la fila y la columna a la que pertenece el elemento. Lo representamos por 𝑀!"

Ejemplo:

• 𝐴 = 91 0 −35 6 9−8 4 0

@

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MATRIZ ADJUNTA

El adjunto de un elemento 𝑎!" de una matriz cuadrada A de orden mayor o igual a dos se representa por 𝐴!" y viene dado por la fórmula:

𝐴!" = (−1)!#" 𝑀!"

La matriz adjunta de la matriz A se representa como 𝐴𝑑𝑗(𝐴) y es la matriz construida por los adjuntos de los elementos de A.

Ejemplo:

𝐴 = 91 0 −35 6 9−8 4 0

@

𝐴𝑑𝑗(𝐴) =

⎝

⎜⎜⎛−

06 94 00 − 0 5 9

−8 00 0 5 6−8 40

00 −34 0 0 0 1 −3

−8 0 0 − 00 −34 0 0

00 −36 9 0 − 01 −3

5 9 0 01 05 60 ⎠

⎟⎟⎞= 𝐴𝑑𝑗(𝐴) = 9

−36 −72 68−12 −24 −418 −24 6

@

𝐴$$ = (−1)$#$𝑀$$ = 1 ∙ (−36) = −36

𝐴$% = (−1)$#%𝑀$% = −1 ∙ (72) = −72

𝐴$& = (−1)$#&𝑀$& = 1 ∙ (68) = 68

𝐴%$ = (−1)%#$𝑀%$ = −1 ∙ (12) = −12

𝐴%% = (−1)%#%𝑀%% = 1 ∙ (−24) = −24

𝐴%& = (−1)%#&𝑀%& = −1 ∙ (4) = −4

𝐴&$ = (−1)&#$𝑀&$ = 1 ∙ (18) = 18

𝐴&% = (−1)&#%𝑀&% = −1 ∙ (24) = −24

𝐴&& = (−1)&#&𝑀&& = 1 ∙ (6) = 6

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PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES:

Propiedad Ejemplo El determinante de una matriz y de su

traspuesta es el mismo |𝐴| = |𝐴'|

Como consecuencia, toda propiedad que sea valida para filas lo será también para

columnas y viceversa. Entonces llamaremos en general líneas a las filas o columnas

𝐴 = 97 −4 811 2 01 0 17

@𝐴' = 97 11 1−4 2 08 0 17

@

P|𝐴| = 970|𝐴'| = 970 →

|𝐴| = |𝐴'| = 970

El determinante del producto de dos matrices cuadradas 𝐴𝑦𝐵 es igual al

producto de los determinantes de 𝐴𝑦𝑑𝑒𝐵. Si 𝐴𝑦𝐵 son dos matrices cuadradas del

mismo orden. |𝐴 ∙ 𝐵| = |𝐴| ∙ |𝐵|

𝐴 = +1 23 4/ →

|𝐴| = −2

𝐵 = +9 67 10/ →

|𝐵| = 48

𝐴 ∙ 𝐵 = +23 2655 58/ →

|𝐴 ∙ 𝐵| = −96= (−2) ∙ 48

Si multiplicamos a una línea por un numero 𝑘, el determinante queda multiplicado por

dicho numero: 𝑘 ∙ |𝐴|

𝐴 = 97 −4 811 2 01 0 17

@ → |𝐴| = 970

D2 ∙ 7 −4 82 ∙ 11 2 02 ∙ 1 0 17

D = 2 ∙ 970 = 1940

𝑘 = 2

Si 𝐴 es una matriz de orden 𝑛 y 𝑘𝑒𝑠𝑢𝑛𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑟𝑒𝑎𝑙:

|𝑘 ∙ 𝐴| = 𝐾(|𝐴|

|𝐴| = 05 ∙ 4 5 ∙ −15 ∙ 3 5 ∙ 9 0 = 5% ∙ 04 −1

3 9 0

𝑛 = 2

Si se intercambian dos líneas de un determinante entonces cambia su signo

D7 −4 811 2 01 0 17

D = 970;

D11 2 07 −4 81 0 17

D = −970

Si en un determinante los elementos de una línea son sumas de dos sumandos, se puede

descomponer en suma de dos determinantes.

D1 + 1 2 35 + 2 4 32 + 3 1 2

D = D1 2 35 4 32 1 2

D + D1 2 32 4 33 1 2

D

−27 = −12 + (−15)

Si una matriz tiene una línea nula su determinante vale cero. D

0 1 230 5 80 3 −12

D = 0;D0 0 04 57 12 3 4

D = 0

Si una matriz tiene dos líneas proporcionales o iguales entonces su determinante vale

cero.

|𝐴| = D1 2 30 5 63 6 9

D = 0

𝐹$ ∙ 3 = 𝐹&

Si una línea puede expresarse como combinación lineal de otras líneas su

determinante vale cero.

|𝐴| = D3 4 12 3 11 2 1

D

= D2 ∙ 2 − 1 2 ∙ 3 − 2 2 ∙ 1 − 1

2 3 11 2 1

D = 0

Si a una línea le sumamos otra multiplicada por un numero real, su determinante no

cambia. 01 43 10 = 01 + 4 ∙ 2 4

3 + 1 ∙ 2 10 = −11

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DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN N

Dada A una matriz cuadrada de orden n, el valor del determinante de A, |𝐴|,es el resultado de multiplicar los elementos de cualquier fila o columna por sus respectivos adjuntos.

^̂

𝑎$$ 𝑎$% 𝑎$& … 𝑎$(𝑎%$ 𝑎%% 𝑎%& … 𝑎%(𝑎&$…𝑎($

𝑎&%…𝑎(%

𝑎&&…𝑎(&

………

𝑎&(…𝑎((

^̂ = 𝑎$$ ∙ 𝐴$$ + 𝑎$% ∙ 𝐴$% + 𝑎$& ∙ 𝐴$& +⋯𝑎$( ∙ 𝐴$(

calculo del determinante de una matriz de orden 4 por definición:

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Calculo del determinante haciendo ceros o por el método pivotal

Un método para calcular el determinante de una matriz de orden 3 o superior, puede transformarse el determinante para que tenga nulos todos los elementos de una fila o columnas excepto uno de ellos al cual llamaremos pivote, con el fin de desarrollar el determinante por dicha fila o columna.

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Calculo de determinantes por el método de Gauss

Para calcular un determinante de orden n por el método de Gauss tenemos que transformarlo en otro determinante de forma triangular:

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MATRIZ INVERSA MEDIANTE DETERMINANTES

Una matriz A de orden n tiene inversa 𝐴)$ si y solo si |𝐴| ≠ 0. Además:

𝐴)$ =1|𝐴|

b𝐴*+"c'

Llamamos matriz regular a toda matriz que tiene inversa. Una matriz es regular si y solo si su determinante es no nulo.

Llamamos matriz singular a toda matriz que no tiene inversa. Una matriz es singular si y solo si su determinante es nulo.

Veamos el procedimiento con un ejemplo:

𝐴 = 91 0 −35 6 9−8 4 0

@

Lo primero que debemos hacer es calcular su determinante para verificar si tiene inversa o no:

|𝐴| = −240 → 𝐴𝑒𝑠𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒.

𝐴*+" =

⎝

⎜⎜⎛

06 94 00 − 0 5 9

−8 00 0 5 6−8 40

− 00 −34 0 0 0 1 −3

−8 0 0 − 00 −34 0 0

00 −36 9 0 − 01 −3

5 9 0 01 05 60 ⎠

⎟⎟⎞= 9

−36 −72 68−12 −24 −418 −24 6

@

b𝐴*+"c' = 9

−36 −12 18−72 −24 −2468 −4 6

@

𝐴)$ =1|𝐴|

b𝐴*+"c' =

1−240

9−36 −12 18−72 −24 −2468 −4 6

@ =

⎝

⎜⎜⎛

320

120

−340

310

110

110

−1760

160

−140⎠

⎟⎟⎞

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RANGO DE UNA MATRIZ

Si en una matriz de orden 𝑚𝑥𝑛 tomamos 𝑘 filas y 𝑘 columnas, se forma un determinante de orden 𝑘 llamado menos de orden 𝑘.

Si a un menor de orden 𝑘 de le añaden una fila y una columna cualesquiera de la matriz, se obtiene un menor de orden 𝑘 + 1 que se llama menor orlado.

Definimos el rango de una matriz A como el orden del mayor menos no nulo obtenido en la matriz A. Representamos el rango de la matriz A como 𝑟𝑔(𝐴).

UNA MATRIZ A DE DIMENSIÓN 𝑚𝑥𝑛 SIEMPRE VERIFICA QUE 𝑟𝑔(𝐴) ≤ min(𝑚, 𝑛)

Para calcular el rango de una matriz bastara con encontrar un menor no nulo tal que todos sus orlados den lugar a determinantes nulos.

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Para matrices cuadradas es un buen método empezar calculando el determinante de la propia matriz, ya que, en caso de ser no nulo, obtenemos que el rango es el propio orden de la matriz.