CUARTA GUÍA

MATEMÁTICAS BÁSICAS II PMMT – 21 DETERMINANTES

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

El determinante de una matriz es un escalar (un número), obtenido a partir de los elementos de una

matriz por operaciones especificadas, y que es característico de la matriz. Los determinantes están

definidos solamente para matrices cuadradas.

El determinante de una matriz 2 2 .

11 12

21 22

a aA

a a

está dado por

det

A A a11a22a12a21

EJEMPLO

Si

A 3 6

4 1

entonces

A 3 6

4 1 3 24 27

Si

A 1 0

6 10

entonces

A 1 0

6 10100 10

Análogamente, el determinante de una matriz 3 3 ,

A

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

está dado por

A a11a22a33a12a23a31a13a32a21a13a22a31a23a32a11a33a21a12

Los términos se pueden obtener por la regla ilustrada en la figura, en donde los términos de

productos positivos se forman con los elementos unidos por líneas continuas, y los términos de

productos negativos se componen de los elementos unidos por líneas punteadas. Observemos que

reglas similares no son válidas para matrices de orden superior.

Resulta tedioso emplear esta reglas para obtener el determinante de una matriz de orden mayor

que, digamos, 3 3 , por ejemplo, el determinante de una matriz 4 4 .

Determinantes de matrices de orden mayor que 3 3 suelen calcularse por un procedimiento

conocido como desarrollo por cofactores. Por ejemplo, el determinante de la matriz 3 3 anterior se

puede escribir

A a11 a22a33 a23a32 a12 a21a33 a23a31 a13 a21a32 a22a31

a11

a22 a23

a32 a33

a12

a21 a23

a31 a33

a13

a21 a22

a31 a32

Observamos que cada determinante en la suma es el determinante de una submatriz de A que se obtiene

omitiendo una fila y una columna particulares de A. Estos determinantes se llaman menores.

DEFINICIÓN: Sea

M i j la matriz n 1 n 1 obtenida al omitir la i-ésima fila y la j-

ésima columna de

Ann .

El determinante

Mi j es un menor de la matriz A. El escalar

Ci j 1 i jMi j se denomina cofactor del

elemento

ai j de la matriz A. La matriz n x n

Ci j

se denomina adjunta de A y se representa por adj A.

Como se señaló antes, el determinante de una matriz se puede obtener por un procedimiento

conocido como desarrollo por cofactores. El determinante de A puede desarrollarse en términos de la

fila i por la fórmula:

A ai j Ci jj1

n

para cualquier fila i = 1, 2, …, n,

y en términos de la columna j por la fórmula:

A ai j Ci ji1

n

para cualquier columna j = 1, 2, …, n

Por tanto el determinante de

A33 expresado antes como

A a11

a22 a23

a32 a33

a12

a21 a23

a31 a33

a13

a21 a22

a31 a32

se puede escribir

A a11C11 a12C12 a13C13 a1 jC1 j

j1

3

EJEMPLO

Evalúe el determinante de la matriz

A

3 0 2

6 8 1

0 3 4

A 960 36 090 141

o bien, desarrollando en términos de la primera fila,

A 38 1

3 402

6 8

0 3 3 32 3 2 180 105 36141

Efectuando el desarrollo en función de la segunda columna,

A 083 2

0 4 3

3 2

6 1 08 120 3 312 96 45141

Cabe hacer notar que los cofactores son básicamente determinantes, y se puede evaluar por

desarrollos posteriores en términos de determinantes de orden inferior. Por desarrollo repetido, un

determinante de n-ésimo orden puede escribirse en términos de determinantes de segundo o de tercer

orden, los cuales se pueden evaluar fácilmente. Para simplificar los cálculos, un determinante debe

desarrollarse en términos de la fila o de la columna que tenga el mayor número de ceros.

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

1. Si todos los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada se descomponen en dos

sumandos, entonces su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tiene en esa fila o

columna los primeros y segundos sumandos, respectivamente, y en las demás los mismos elementos

que el determinante inicial:

847

531

634221

=

847

531

321

+

847

531

642

21 = 7 + 14

Esta relación se comprueba inmediatamente desarrollando los determinantes.

2. Si se multiplican todos los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada por un número,

el determinante queda multiplicado por dicho número:

011

654

3·52·51·5

= 5

011

654

321

Esta propiedad permite sacar fuera del determinante los factores comunes a todos los elementos de

una fila o columna.

3. Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo orden, entonces verifica:

det (A B) = det (A) · det (B)

121

021

012

·

011

543

321

= 13118

13107

1185

3 · 2 = 6

4. Si permutamos dos filas o dos columnas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo

con respecto al inicial:

1 2 3

3 4 5 10 9 12 5 2

1 1 0

3 4 5

1 2 3 12 5 10 9 2

1 1 0

5. Si una matriz cuadrada tiene una fila o columna con todos los elementos nulos, su determinante vale

cero:

3 2 5

1 4 2 0

0 0 0

6. Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas iguales, su determinante vale cero:

1 2 3

1 2 3 2 6 3 6 3 2 0

1 1 1

7. Si dos filas o dos columnas de una matriz cuadrada son proporcionales, su determinante se anula:

1 2 3

2 4 6 4 12 6 12 4 6 0

1 1 1

8. Si una fila (columna) de una matriz cuadrada es combinación lineal de las restantes filas (columnas),

su determinante vale cero:

1 2 3

4 5 6 45 84 96 105 72 48 0

7 8 9

Las propiedades 5, 6, 7 y 8 pueden resumirse diciendo:

Si el rango de una matriz cuadrada A de orden n es menor que n, su determinante es 0.

El recíproco también es cierto. Si el determinante de una matriz cuadrada de orden n es 0, su rango es menor que n.

9. Si a una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma otra paralela, su determinante no varía:

011

543

534231

= 011

543

321

+ 011

543

543

= 011

543

321

En esta transformación, el nuevo determinante se descompone en suma de otros dos, por la primera propiedad; uno es igual al primitivo, y el otro nulo por tener dos filas iguales.

Si una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma otra paralela multiplicada por un

número, su determinante no varía:

Si det

A0, las

bi j’s no están definidas y no se puede obtener

A1. Puede demostrarse, en general, que

una matriz cuadrada de cualquier tamaño tiene una inversa sólo si su determinante es distinto de cero.

Siguiendo el método normal,

Paso1 Paso 2 Paso 2

1 2 1 1 0 0

3 4 5 0 1 0

4 2 6 0 0 1

1 2 1 1 0 0

0 10 2 3 1 0

0 10 2 4 0 1

1 2 1 1 0 0

0 1 15

310

110

0

0 10 2 4 0 1

1 0 75

25

15

0

0 1 15

310

110

0

0 0 0 1 1 1

No puede continuar el procedimiento, y por lo tanto, la matriz no tiene inversa. Observemos que el

proceso pudo interrumpirse al final del Paso 1; al final del mismo, la matriz izquierda tiene dos filas

idénticas, y por consiguiente, el determinante de la matriz es cero (Propiedad 5), y no tiene inversa. El

determinante de la matriz original es cero también (Propiedad 6) y no tiene inversa.

INVERSIÓN MEDIANTE ADJUNTAS Y DETERMINANTES

Un método alternativo de inversión de matrices implica la obtención de la adjunta y el determinante de

la matriz que se desea invertir. Si

A es no singular, es decir, si

A 0 , entonces

A1 1

Aadj A

EJEMPLOS

1. Encontrar la inversa, si existe, de la matriz

A

0 2 3

1 3 3

1 2 2

A 066 90 4 1

o bien, desarrollando con los elementos de la primera fila,

A 0 2 1 12 1 3

1 2 3 1

13 1 3

1 2 02 2 3 3 2 3 1

o efectuando el desarrollo con los elementos de la segunda columna,

A 2 1 12 1 3

1 2 3 1

22 0 3

1 2 2 1

32 0 3

1 3 2 2 3 3 0 3 2 00 3 1

Obteniendo las adjuntas

C11 1 11 3 3

2 2 66 0 C12 1

12 1 3

1 2 2 3 1 C13 1

13 1 3

1 2 2 31

C21 1 212 3

2 2 4 6 2 C22 1

22 0 3

1 2 0 3 3 C23 1

23 0 2

1 2 02 2

C31 1 312 3

3 3 69 3 C32 1

32 0 3

1 3 0 3 3 C33 1

33 0 2

1 3 02 2

Por lo tanto,

adj A Ci j

0 2 3

1 3 3

1 2 2

A1 1

Aadj A

0 2 3

1 3 3

1 2 2

(como se obtuvo en un ejemplo anterior por el procedimiento típico de operaciones de fila).

2. Obtener la inversa, si existe, de la matriz

A

1 2 3

1 0 4

0 2 2

A 006 08 4 10

O bien, desarrollando con los elementos de la primera columna,

A 1 11 0 4

2 2 1

21 2 3

2 20 08 46 10

Efectuando el desarrollo con los elementos de la segunda fila,

A 1 1 21 2 3

2 20 4 1

23 1 2

0 2 46 0 4 20 10

Obteniendo las adjuntas queda

C11 1 11 0 4

2 2 08 8 C12 1

12 1 4

0 2 20 2 C13 1

13 1 0

0 2 20 2

C21 1 21 2 3

2 2 4 6 2 C22 1

22 0 3

0 2 20 2 C23 1

23 1 2

0 2 20 2

C31 1 31 2 3

0 4 80 8 C32 1

32 1 3

1 4 4 3 7 C33 1

33 1 2

1 0 02 2

Por tanto,

adj A Ci j

8 2 8

2 2 7

2 2 2

A1 1

Aadj A

45

15

45

15

15

710

15

15

15

(como se obtuvo en un ejemplo anterior por el procedimiento estándar de operaciones de fila).

3. Obtener la inversa, si existe, de la matriz

A

1 2 1

3 4 5

4 2 6

A 246 40 1610 36 0

Luego A es singular, es decir, A carece de inversa

En general, la inversión por operaciones de fila o de columna es menos laboriosa si los

elementos de la matriz son números enteros pequeños; la inversión por determinantes y adjuntas

implica menos trabajo si los elementos de la matriz son fracciones o números grandes. En el caso de

matrices voluminosas ambos métodos resultan tediosos y se deben usar computadoras electrónicas.

A no ser que se tenga una buena razón para pensar que una matriz es no singular, como en

algunas aplicaciones prácticas, resulta aconsejable primero encontrar su determinante, aun si se

pretende utilizar el método de inversión por operaciones de fila o de columna. Pueden necesitarse

algunas operaciones de fila o de columna antes de que la singularidad de una matriz se haga

evidente usando este método de inversión, y por consiguiente, muchos cálculos innecesarios pueden

evitarse estableciendo primero la existencia de la inversa antes de pretender obtenerla (por cualquier

método).

PROPIEDADES DE LAS INVERSAS

Las siguientes propiedades de las inversas frecuentemente son útiles en su valuación:

1. La inversa de la inversa de una matriz es la matriz original, es decir: 1

1A A

2. El determinante de la inversa de una matriz es igual al recíproco del determinante de la matriz;

es:

1 1A

A

3. La inversa de la transpuesta de una matriz es igual a la transpuesta de la inversa de la matriz; es: 1 T

T 1A A

4. La inversa del producto de dos matrices es igual al producto de sus inversas en orden contrario;

es:

1 1 1AB B A

EJEMPLO

Si

A

1 2 3

1 0 4

0 2 2

, entonces

A1

45

15

45

15

15

710

15

15

15

(ver ejemplo anterior)

(Propiedad 1)

A1 1

45

15

45

15

15

710

15

15

15

1

1 2 3

1 0 4

0 2 2

A es decir,

A1 1

A

(Propiedad 2)

A

1 2 3

1 0 4

0 2 2

006 08 4 10

A1

45

15

45

15

15

710

15

15

15

1125

4 72 4 4 141 1

125 252 1

10

es decir,

A1 1

A.

(Propiedad 3)

A 1

1 1 0

2 0 2

3 4 2

1

45

15

15

15

15

15

45

710

15

A1

45

15

45

15

15

710

15

15

15

45

15

15

15

15

15

45

710

15

Así pues1 T

T 1A A

.

(Propiedad 4)

Si

B

1 3 1

0 2 0

2 0 4

, entonces

B1

2 3 12

0 12

0

1 32

12

AB

1 2 3

1 0 4

0 2 2

1 3 1

0 2 0

2 0 4

7 7 13

7 3 15

4 4 8

AB1

7 7 13

7 3 15

4 4 8

1

2110

110

185

110

110

720

1 0 74

B1A1

2 3 12

0 12

0

1 32

12

1

45

15

45

15

15

710

15

15

15

2110

110

185

110

110

720

1 0 74

De modo que

AB 1 B1A1.

1 TT 1A A

1 TT 1A A

1

AB

EJERCICIOS

A. Para cada una de las siguientes matrices, evaluar el determinante y obtener su inversa, si existe.

1.

0 2 1

1 3 4

1 1 1

2.

3 1 3

3 3 1

2 0 3

3.

3 2 1

4 3 1

1 2 4

4.

1 2 1

0 3 2

4 1 0

5.

2 4 6

1 2 3

1 4 9

6.

2 3 4

4 3 1

1 2 4

B. Si

A 2 1

1 2

B

1 0

0 1

C

1 2

3 4

1 2

D 0 1 0

1 1 1

Encuentre:

a. AB2DC

b. A1B1

c.C AB B1

d.CA1B1D

C. Si

A

0 1 1

3 2 3

2 2 3

B

4 3 3

2 1 2

3 3 2

demuestre que

a. A2 B2 12AB

2 I

b. AB 2O