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Sistemas Automáticos
Universidad de Oviedo
12006
Diseño en el dominio de la frecuencia
Tema 7
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22006
Índice
• Respuesta frecuencial en bucle cerrado• Red de adelanto de fase• Red de atraso de fase• Compensación de adelanto-atraso
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32006
Respuesta frecuencialen Bucle Cerrado
Función de transferencia en buclecerrado:
Captador
Σ+
-
PlantaRegulador
H0
K
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42006
Relación entreMargen de Fase (MF)y Frecuencia deresonancia (Mr)
Relación entrefrecuencia de cruce deganancia y ancho debanda
Respuesta frecuencialen Bucle CerradoA la frecuencia de cruce de ganancia, ωωωωc
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52006
Frecuencia de crucede ganancia, ωc
Margen de fase (MF)
Ganancia en baja frecuencia
Velocidad de respuestaωbw, tr, ts
Sobreoscilación y resonanciaζ, Mp, Mr
Errores en régimen permanenteKp, Kv, …
EspecificacionesPrincipales parámetros de diseño
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62006
MF(º)
ζ
EspecificacionesRelación entre MF y factor de amortiguamiento
100MF
≈ζ
24 241
2
ζζ
ζ
−+=MF
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72006
MF(º)
Mr
EspecificacionesRelación entre MF y resonancia
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82006
EspecificacionesRelación entre MF y sobreoscilación Mp
MF(º)
Mp
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92006
Red de Adelanto de FaseCero puro
…y amplifica ruidosde alta frecuencia
3
2 … pero no es realizable
w=0.2
Aporta hasta90º de fase 1
(K=1)
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102006
w=1/T
w=1/αT
2 ES realizable
Mantiene acotadosniveles de ruido HF
3
Aporta fase(menos de 90º) 1
Red de Adelanto de FaseCero + Polo
ψmax
(K=1)
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112006
Mayor MF Menorsobreoscilación
Mayor anchode banda
Menor tsMayor rapidez
Red de Adelanto de FaseEfectos sobre Mr yAncho de Banda
compensador
Sistema b.a.compensado
Sistema b.a.sin compensar
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122006
Frecuencia demáximo aporte
Red de Adelanto de FaseAnatomía del Compensador
(K=1)
20 log10 |1/α|
α1/20.log10
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132006
Máximo incremento de faseaportado por la compensación de adelanto
1/α
ψmax
Red de Adelanto de FaseMáximo aporte en función de αααα
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142006
Solución propuesta:
La ganancia delregulador ha deser al menos 10
Ejemplo
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152006
MF(º)
Mp
El MF ha de seral menos 45º
Mp=25%
Ejemplo
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162006
Ejemplo. Medición del margen de fase
10-2 10-1 100 101 102-60
-40
-20
0
20
40
60Bode (Amplitudes)
10-2 10-1 100 101 102-180
-160
-140
-120
-100
-80Bode (Fases)
MF≈20º
Hacenfalta 25ºmás
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172006
Máximo incremento de faseaportado por la compensación de adelanto
1/α
ψmax
40º
1/αααα ~ 5
αααα = 0.2
Ejemplo
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182006
10-2 10-1 100 101 102-60
-40
-20
0
20
40
60Bode(Amplitudes)
Ejemplo. Colocación de la red.
4.3
-7
dB71log20 10 −≈−α
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192006
Ejemplo. Controlador
923.11=== αωcgT
c 61.91==
Tp
α
1521.02.01521.010
521.02.01521.01
2.0110
61.992.150)(
+⋅+
=
⋅+
+=
++
=s
s
s
s
sssC
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202006
0 2 4 6 8 10 120
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
Ejemplo. Respuesta ante escalón
C(s) = 1
C(s) = 10
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212006
K=10; a = 0.2; T=1;Ejemplo
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222006
K=10; a = 0.2; T=.2;Ejemplo
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232006
K=10; a = 0.2; T=.5;
Controlador final:
Ejemplo
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242006
ev=10%
Mp < 25%
EjemploSimulación de la respuesta
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252006
• Valores mayores de α permiten añadir más ángulo,pero producen acciones PD más puras que puedenincrementar el ruido….
• Si necesitamos aportar más de 60º podemos utilizaruna doble compensación de adelanto:
• Si nos piden alguna especificación relacionada conla velocidad de respuesta debemos ajustar el anchode banda del sistema final a través de la wc
Puede incrementarsejugando con la K
EjemploConsideraciones finales
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262006
Red de Adelanto de FaseProcedimiento de diseño
1. Determinar la ganancia en bucle abierto K, necesaria parasatisfacer requisitos de reg. permanente
2. Determinar la frecuencia de cruce de ganancia wc con unfactor de seguridad de 2 por debajo del ancho de bandadeseado
3. Evaluar el MF necesario aportar al sistema sin compensar,KG. Añadir de 5º a 12º extra por seguridad.
4. Determinar α5. Determinar T de prueba (trae cuenta elegir como
frecuencia central de la red, el punto donde la curva demódulos cae 20.log10|1/√α|)
6. Dibujar la respuesta del sistema sin compensar KG(jw), yla del sistema compensado C(jw)G(jw). Comprobar el MFe iterar para otro valor de T si es necesario
7. Comprobar el diseño simulando la respuesta. Añadir otracompensación de adelanto si fuera necesario.
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272006
Red de Retardo de Fase
Produce unincremento de laganancia enbajasfrecuencias
…sin afectar ala respuestadel sistema enaltasfrecuencias
Produce unamerma en lafase quetiende adisminuir elMF
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282006
Red de Retardo de FaseIncrementando ganancia a bajas frecuencias
Elevada ganancia a bajafrecuencia (= 20.log α)
El descenso en fase seproduce en un punto dondeno afecta al MF
No modifica ni magnitud ni fase aaltas frecuencias, respetando eltransitorio
El MF no se ve afectado
GH
CGH
C
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292006
Red de Retardo de FaseIncrementando MF a base de disminuir ωωωωc
GHCGH
ωc2
ωc1
MF1~20º
MF2~50º
C
Disminuye la frec. de cruce deganancia sin tocar la fase. Afrecuencias menores las fases sonmayores.
Con la nueva ωc, el MF esmayor.
No modifica ni magnitud ni fase abajas frecuencias
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302006
Ejemplo
Diseñar un compensador para:
Vemos que la Kp del sistemaque nos dan es 9…
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312006
EjemploBode del sistema sin compensar
…pero su MF es inferior a 25º(en torno a 7º)
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322006
EjemploDisminuyendo la K, aumentamos MF hasta ~30º
La ganancia en BFes ahora 4.5 (~13dB)
ωc~1 rad/s
MF~30
Pero ahora elMF es mayor…
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332006
Ya tenemos el MF deseado, pero necesitamos restaurar de nuevo laganancia Kp=9… hay que multiplicar por 2 la ganancia en bajas
Elegimos αααα=2
La T la elegimos de forma que el codo superior estéentre una octava (dividir por dos) y una década (dividir por 10)por debajo de la nueva frecuencia de cruce ωc
… por ejemplo,lo intentamos con 1/5 de ωc
ωc~1 1/T = 1/5 T=5
debemos hacerlosin tocar el MF
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342006
EjemploAplicando la red de Retraso
CGH (sist. compensado)KGH (sist. concompensadoproporcional)
GH (sist. sin compensar)
C (Compensador)Aumentamos la gananciaen bajas frecuencias…
…sin afectaral MF
MF~28º
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352006
Mp~45%
EjemploSimulación ante un escalón
Como era de esperarel sistema sale bastante oscilatoriodado el escaso MF (~28%)que nos pusimos como meta…
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362006
MF(º)
Mp
Mp~45%
EjemploCalculamos la sobreoscilación que tendrá el sistema
MF~28º
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372006
Red de Retardo de FaseProcedimiento de diseño
1. Determinar la ganancia en bucle abierto K, necesaria parasatisfacer el MF sin emplear otra compensación
2. Dibujar el Bode del sistema con la compensaciónproporcional anterior (KGH) y evaluar la ganancia en bajafrecuencia y la nueva ωc
3. Determinar α necesario para conseguir la ganancia enbaja frecuencia requerida por las especificaciones depermanente
4. Determinar T de prueba eligiendo como frecuencia decorte superior ω=1/T en torno a una octava (1/2) o unadécada (1/10) por debajo de la ωc determinada en elsegundo punto
5. La frecuencia de corte inferior estará a ω= 1/(αT)6. Comprobar el diseño simulando la respuesta y retocando
las elecciones de puntos anteriores si es preciso.
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382006
Compensación PID
Forma Básicas:
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Compensación PIDProcedimiento de diseño
Diseñar las dos partes secuencialmente
Diseñar las dos partes en conjuntoParámetros a diseñar (α, Td, β, Ti, K)
∃ Procedimientos EspecíficosDiseño conjunto:Cfr. [Puente91], [Blasco00],[Franklin94]
Método empíricos:Cfr. Metodo de Ziegler-Nichols [Ogata]
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402006
Compensación PIDEjemplo [cfr. Franklin, pp. 408 y ss]
Diseñar PID para obtener:
erpp~0MF ~65º
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412006
Compensación PIDEjemplo
El sistema es altamenteinestable al realimentar(fase muy negativa)
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422006
Td = 0, Ti = 200
1/Ti=0.005
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432006
Td = 20, Ti=200
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Td=10, Ti=200
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Td=5, Ti=200
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462006
Td=2, Ti=200
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472006
Td=10, Ti=200Hay que bajar lalínea verde hasta el 0dbsin tocar la fase
bajar~26dB � K=1/20 = 0.05