Tema 7 Antenas Lineales

TEMA 7

Antenas Lineales

Miguel Ángel Solano Vérez

Electrodinámica Clásica 4º Curso – Física

Tema 7: Antenas Lineales 2/30

TEMA 7: ANTENAS LINEALES

7.1 Introducción

En este tema se va realizar una introducción al comportamiento electromagnético de las antenas lineales, es decir, aquellas que están conformadas por hilos por los que circula una corriente variante en el tiempo y que producen radiación. La primera antena que se construyó la hizo Hertz en su experimento para demostrar la teoría de las ecuaciones de Maxwell. A partir de ahí, un gran número de investigadores diseñan y estudian diferentes tipos de antenas según sus objetivos. En cuanto a tipos de antenas, podemos hablar de antenas de hilo o lineales, antenas tipo reflector, antenas de apertura, antenas tipo ranura en guías, agrupamientos o arrays de antenas etc. En cuanto a sus aplicaciones, existen antenas capaces de trabajar a cualquier frecuencia desde frecuencias bajas hasta frecuencias en el rango de las frecuencias milimétricas y con aplicaciones para comunicaciones de TV y de radiofrecuencia, de telefonía móvil, para comunicaciones vía satélite etc.

En este tema se estudiará el dipolo de Hertz o dipolo infinitesimal y el dipolo corto o no infinitesimal. Posteriormente se analizarán las antenas de lazo infinitesimal y no infinitesimal. Se darán los parámetros fundamentales de las antenas como directividad, potencia radiada etc. También se estudiará el principio de reciprocidad. 7.2 El dipolo de Hertz Supongamos que en el origen de coordenadas existe un hilo conductor perfecto de radio infinitesimal por el que circula una corriente I(t) como muestra la figura 7.1. Si expresamos la densidad de corriente y el potencial vector magnético en forma fasorial

tj0

tj0 e)r(A),r(A;e)r(J),r(J ωω ττ

rrrrrrrr→→

tenemos

'dvR

e)r(Je4

e)r(A'v

c/Rjtj0tj ∫

−=

ωωω

πμ

rrrr


3/30 Tema 7: Antenas Lineales

Figura 7.1.- A la izquierda (a) esquema de una antena tipo dipolo en el origen de

coordenadas con su eje alineado con el eje z. A la derecha (b) un dipolo infinitesimal de longitud dl en el origen radiando en la zona lejana.

Según la figura 7.1, ya que el dipolo es infinitesimal y está colocado en el origen, significa que la distancia entre el origen el punto campo (r) y la distancia entre el punto fuente y el punto campo (R) es la misma y puede salir fuera de la

integral. Además, la integral de 'dl)z(I'dv)r(J'l'v∫∫ =

rr. Por tanto, el fasor

potencial vector será

zc/rj0 ae

r4LIA rr ω

πμ −= (7.1)

Notemos que el potencial vector magnético siempre tiene la dirección de la corriente. Si pasamos a coordenadas esféricas tendremos

rkj0

rkj0r

0

0

esenr4LIA

ecosr4LIA

−

−

−=

=

θπ

μ

θπ

μ

θ

(7.2)

donde k0=ω/c es el número de onda del vacío. El campo magnético será

φ

θφ

θπ

θμμ

aerkj

11senr4LIkj

A)Ar(rr

1aAx1H

rkj0

0

r00

r

rrr

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂

−∂∂

=∇=

(7.3)

(a) (b)



Obtenido el campo magnético, el campo eléctrico se calcula a partir de la ley de Ampère sin fuentes

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

−∂∂

=∇= φθφ θθθεωεω

Hrrr

1asenHsenr1a

j1Hx

j1E r

00

rrrr

y desdoblando en componentes

rkj0

0r 0e

rkj11

rcos

r2LIZE −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

θπ

(7.4)

rkj22

000

0 0erk

1rkj

11senkjr4LIZE −

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−+= θ

πθ (7.5)

En el caso del dipolo de Hertz, como hemos visto es posible evaluar la integral del potencial vector magnético exactamente, ya que al ser la antena infinitesimal

rR rr= . Por lo tanto el campo electromagnético dado por las ecuaciones (7.3)-(7.5)

es exacto. En la zona que rodea a la antena y a donde ésta radia, se pueden distinguir básicamente dos zonas diferenciadas ZONA LEJANA O ZONA DE RADIACIÓN

En esta zona se verifica que k0 r >> 1. Como k0=2π/λ0, esta condición se traduce en que r/λ0 >> 1, es decir, la zona en la que observamos el campo es mucho mayor que la longitud de onda. Los campos son

rkj0 0esenr4LIkjH −= θ

πφ (7.6)

rkj0

0 0esenr4LIZkjE −= θ

πθ (7.7)

De ambas expresiones deducimos que el campo radiado por una antena en la zona de radiación es una onda de tipo TEM y por lo tanto el cociente entre la componente de campo eléctrico y la componente del campo magnético es justamente la impedancia intrínseca del vacío. Por otro lado, vemos también que en la zona de radiación no hay componente radial del campo. Realmente, lo que sucede es que es mucho menor que las demás. Además, el campo en la zona de radiación siempre varía con la coordenada radial como 1/r. Las consideraciones realizadas en este párrafo para un dipolo de Hertz son generales para cualquier tipo de antena. ZONA PRÓXIMA O ZONA DE INDUCCIÓN En este caso se cumple que k0 r << 1 y por lo tanto r/λ0 << 1. Entonces,



( ) 1rkj1....2rkrkj1e 02

00rkj 0 ≈−≈+−−≈−

y los campos serán

θπ

φ senr4LIH 2= (7.6)

r4senLQE;

r2cosLQE

0

3

30

r επθ

πε

θθ == (7.7)

donde Q=-jI/ω. Estos campos son iguales a los obtenidos por la ley de Biot y Savart (el magnético) y al campo electrostático de un dipolo eléctrico (el campo eléctrico). El campo varía en la zona próxima con la coordenada radial como r elevado al cuadrado o a una potencia superior. Finalmente, los campos en la zona de radiación muestran una forma que denotan una onda transportando energía en la dirección radial. Por el contrario, los campos en la zona próxima no se corresponden con transporte de energía. Estos conceptos energéticos se muestran correctamente con el vector de Poyting. Si calculamos el vector de Poyting complejo con los campos en la zona de radiación, se tiene que

2r22

0022

22rr

*rad m

wasenkZr32L|I|aSa)r(Hxa)r(E

21S rrrrr

θπ

φφθθ ===

(7.8) Si hacemos lo mismo con los campos totales, tendremos

2220

0032

22

220022

22r

*rr

*tot

mw

rk11cossenkZ

r16L|I|aj

senkZr32L|I|aaHxaE

21aHxaE

21S

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛++

+=−=

θθπ

θπ

θ

φφφφθθ

r

rrrrrr

donde ahora existen dos sumandos: el primero dirigido según la dirección radial, que es real y que coincide con la densidad de potencia correspondiente a sólo los campos en la zona de radiación; el segundo está dirigido según la dirección acimutal y es imaginario puro. Todo esto significa que, del teorema de Poyting visto en el capítulo 2, la parte imaginaria de la ecuación anterior no representa transporte de energía sino, únicamente, almacenamiento de energía electromagnética; por otro lado, la parte radial, que es real, representa transporte de energía que se corresponde sólo a los campos en la zona de radiación. Por lo tanto se puede escribir

radtot SSRerr

=



que significa que para calcular la potencia radiada por el dipolo de Hertz no es necesario calcular los campos totales, con calcular los campos en la zona de radiación es suficiente. Este resultado se cumple para cualquier tipo de antena. Se define la intensidad de radiación como la densidad de potencia media radiada por unidad de ángulo sólido. El diferencial de superficie en esféricas es

Ωφθθ drddsenrad 22 == donde dΩ es el diferencial de ángulo sólido. Por lo tanto la intensidad de radiación es

2r rS),( =φθΦ (7.9)

donde Sr es la densidad de potencia media radiada por la antena. La intensidad de radiación, no depende de la coordenada radial. Para el dipolo de Hertz, la intensidad de radiación es

θπ

θΦ 22002

22senkZ

32L|I|)( = (7.10)

Para calcular la potencia total radiada por una antena es necesario integrar la densidad de potencia (o la intensidad de radiación multiplicada por r2) a una esfera imaginaria que la rodee. Para el dipolo de Hertz será

watioskZ12

L|I|

sendsenkZ16

L|I|sen)(ddP

200

22

3

0

2200

222

0 0

π

θθθπ

θθΦθφππ π

=

=== ∫∫ ∫ (7.11)

donde se ha utilizado que

( )34d3sensen3

41dsen

0

3

0=−= ∫∫ θθθθθ

ππ

Se define la resistencia de radiación como la resistencia que debería tener un circuito por el que circulara la corriente I para disipar la misma potencia que la potencia radiada por una antena. En el caso del dipolo de Hertz será

200

22r

2 kZ12

L|I|R|I|21

π=

y despejando Rr queda



Ωλ

πλ

ππ

2

02

2

002

002

rL80L

3Z2kZ

6LR ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== (7.12)

Notemos que la resistencia de radiación es proporcional a la potencia radiada. Cuanto mayor es la potencia radiada por una antena mayor es la resistencia de radiación. De la ecuación (7.12) vemos que Rr es proporcional al cociente al cuadrado entre la longitud del dipolo y la longitud de onda. Como el dipolo de Hertz es infinitesimal, su longitud será mucho menor que la longitud de onda, por lo que la potencia radiada por un dipolo de Hertz es muy pequeña. La ecuación (7.10) que da la intensidad de radiación depende de la coordenada θ (y en general también de Φ). Eso indica que la antena no radia energía igual en todas las direcciones. Por ejemplo, el dipolo infinitesimal no radia en la dirección θ=0 (en la dirección del eje del dipolo) y radia lo máximo en la dirección θ=π/2 (dirección perpendicular al eje del dipolo). Se define una antena isótropa como aquella antena que radia igual en todas las direcciones, es decir, su intensidad de radiación no depende ni de θ ni de Φ. Por tanto, la intensidad de radiación de una antena isótropa es

πΦπΦθθφΦ

π π

4P4senddP isoiso

2

0 0iso =⇒== ∫ ∫

donde P es la potencia total radiada por la antena. Para el caso de una antena isótropa que radiase la misma potencia que el dipolo de Hertz, se tendrá que

2002

22iso kZ

48L|I|

πΦ =

Se define la ganancia directiva g(θ,Φ) de una antena como el cociente entre su intensidad de radiación y la intensidad de radiación de una antena isótropa que radiase la misma potencia total que la antena en cuestión, es decir

P),(4),(),(g

iso

φθΦπΦ

φθΦφθ == (7.13)

siendo ∫= ΩφθΦ d),(P la potencia radiada por la antena. Para el caso del dipolo de

Hertz la ganancia directiva resulta ser

θθ 2sen5,1)(g = (7.14) La ganancia directiva de una antena isótropa sería la unidad. Por tanto, la ganancia directiva viene a indicar lo que se diferencia, en cuanto a radiación, una antena real de una antena isótropa. Se define la directividad D como la máxima ganancia directiva. Para el dipolo de Hertz la directividad es 1,5 (máxima ganancia directiva que se produce en θ=π/2). Ello significa que el dipolo de Hertz radia lo máximo en el plano perpendicular al eje de dipolo y además, en esa dirección radia



1,5 veces más que si colocáramos en su lugar una antena isótropa que radiase, en total, su misma potencia. El patrón de radiación de una antena es el gráfico de sus características de radiación en función de las coordenadas angulares. Esas características de radiación pueden ser el campo electromagnético (eléctrico y/o magnético), y se llama patrón de radiación de campo, o puede ser la intensidad de radiación y se llama patrón de radiación en potencia. En la figura 7.2a se muestra el patrón de radiación en 3 dimensiones correspondiente al dipolo infinitesimal colocado en el origen de coordenadas. Podemos observar que la radiación máxima se produce en θ=π/2 (plano ecuatorial) y que no se produce radiación en θ=0 (eje del dipolo). Es muy común presentar dos cortes del diagrama de radiación: uno por el plano YZ llamado patrón plano E (figura 7.2ª) y otro por el plano XY, llamado patrón plano H que se muestra en la figura 7.2c. El patrón plano E muestra que el dipolo radia dependiendo del ángulo de inclinación θ y el patrón plano H muestra que en un plano ecuatorial la radiación es igual en todas las direcciones.

Figura 7.2a.- Patrón de radiación de un dipolo infinitesimal colocado en el origen

con su eje alineado según el eje Z.



Figura 7.2b.- Patrón de radiación plano E de un dipolo infinitesimal colocado en el origen con su eje alineado según el eje Z.

Figura 7.2c.- Patrón de radiación plano H de un dipolo infinitesimal colocado en el origen con su eje alineado según el eje Z.

7.3 El dipolo no infinitesimal Consideremos ahora el caso en que el dipolo ya no es infinitesimal, es decir, ocupa una cierta posición en el espacio. Sin embargo, lo seguiremos considerando lineal (es decir de radio despreciable) y colocado según el eje z, como muestra la figura 7.3. La dirección de la corriente está indicada por la flecha. Se ha dibujado el plano Φ=0 porque el dipolo colocado según el eje z tiene simetría según la coordenada Φ, y por ello el campo electromagnético no dependerá de Φ. De esta manera se harán todos los cálculos en el plano Φ=0.

Figura 7.3.- Dipolo no infinitesimal de longitud “L” colocado en el origen y con su eje dirigido según el eje Z.

Z

X

Y z’

R

r

P(0,y,z)

z-z’

Plano Φ=90º

r2= y2+ z2 z = r cos θ y = r sen θ

dz’

I(z’)

L



En este caso del dipolo no infinitesimal, la resolución de la integral para el potencial vector magnético es muy complicada. Por tanto, nos centraremos en la zona de radiación. En ella, se aproxima R por r para la amplitud. Sin embargo, para la fase esa aproximación es demasiado burda siendo necesario una mejor. De acuerdo con la colocación del dipolo za'z'r rr

= , por lo tanto

( ) zyzy a'zzay'rrRazayr rrrrrrrr−+=−=⇒+=

por lo que el módulo del vector R

rpuede aproximarse, en la zona lejana r>>z’, por

θθ cos'zr'zcos'zr2r

'z'zz2zy)'zz(y|R|R

22

22222

−≈+−=

=+−+=−+==r

(7.15)

donde se ha utilizado la aproximación 1xsinx1)x1( n <<+≈+ . Otra forma de llegar a la aproximación (7.15), para la que no es necesario basarse en cuestiones geométricas, es emplear la aproximación general vista en el capítulo anterior para el módulo de R

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≈ 2r

'r.r1rRrr

que aplicado al caso de la figura 7.2 es

θθ cos'zr

r'z.cosr1r

r'z.z1rR 22 −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≈

Resumiendo, en la zona de radiación

θcos'zrR:fasedetérminoslosPara

rR:amplituddetérminoslosPara

−≈

≈

y el potencial vector magnético, que sólo tiene componente z es

'dzr

e)'z(I4

AL

)cos'zr(kj0

z0

∫−−

=θ

πμ

(7.16)

De las ecuaciones (6.80) y (6.81) se obtiene el campo electromagnético en la zona de radiación como



φθ θωθω asenAjZ1H;asenAjE z0

zrrrr

== (7.17)

De estas expresiones se deduce que

• El cociente entre el campo eléctrico y el magnético es la impedancia intrínseca del vacío

• El campo eléctrico, el magnético y la dirección de propagación forman un triedo recto

• El campo radiado por un dipolo no es una onda plana, ya que los frentes de onda no son planos. Sin embargo, a grandes distancias del emisor, podemos considerar el campo radiado como una onda localmente plana

7.3.1 Delimitación de la zona lejana

En la figura 7.4 se muestra, desde el punto de vista geométrico, la situación de medida del campo en la zona lejana.

Figura 7.4.- Situación geométrica para un dipolo en la zona de radiación Si en la aproximación de R tomamos tres términos en lugar de dos como en la ecuación (7.15) tenemos

r2sen)'z(cos'zrR

22 θθ +−=

que es una mejor aproximación que la dada por (7.15). Ahora se trata de ver a partir de qué distancia, que llamaremos rff, la aproximación (7.15) es suficientemente “buena”, o sea, no es necesario tener en cuenta el tercer sumando. De estudios intensivos se considera que esa distancia es la que se obtiene cuando el error por no tener en cuenta ese sumando no supere λ/16 en la fase, es decir

º5,22)rad(816

2rk 00

0 ===πλ

λπ

θ

z’ cos θ

r

R=r-z’ cos θ P z



El valor máximo de ese sumando se produce en z’=L/2 (siendo L la longitud del dipolo) y en θ=90º, es decir

0

2ff

0ff

2 L2r16r2

)2/L(λ

λ=⇒= (7.17)

En total, la zona lejana a un dipolo (y a una antena en general) comienza cuando se cumplen las tres condiciones siguientes

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>>>>

>

0

ff

rLr

rrradiacióndeolejanaZona

λ (7.18)

7.4 Dipolo con corriente uniforme

En la expresión (7.16) del potencial vector sólo falta saber cuál es la corriente

que lo alimenta. Esa es una de las tareas difíciles que es necesario realizar, la mayoría de las veces de forma aproximada a través de métodos numéricos mediante un proceso que se denomina síntesis de antenas.

Como una primera aproximación sencilla, vamos a considerar la corriente en el dipolo como constante; así

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ≤===

casootroparaI

2/L|'z|,0'y,0'xparaI)'z(IdipoloelenCorriente

0

0

La posición del dipolo y la gráfica de la corriente se muestran en la figura 7.5.

Figura 7.5.- Esquema de un dipolo con corriente uniforme

I(z’)

z

L/2

-L/2 x

θ

P z

L/2

-L/2

I0



Realizando la integral de la ecuación (7.16) para la corriente descrita se tiene

( )θ

θ

πμ

θπμ

πμ θ

cos2Lk

cos2Lksen

LIer4coskj

eeIer4

'dzr

e)'z(I4

A

0

00

rkj00

2/Lkj2/Lkj0

rkj0

2/L

2/L

)cos'zr(kj0

z

000

0

0

−−

−

−

−−

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −=

== ∫

(7.19) y el campo electromagnético es

φθ θωθω asenAjZ1H;asenAjE z0

zrrrr

== (7.20)

donde Az está dado por la ecuación (7.19). El patrón de radiación de campo, normalizado a su valor máximo es

( )θ

θθθ

θ

θcos2

Lk

cos2Lksen

sen(máx)EE)(F

0

0== (7.21)

Notemos que el patrón de radiación normalizado coincide con el del dipolo infinitesimal si se hace L<<k0

1. El patrón de potencia normalizado es

2|)(F|)(P θθ =

Habitualmente, el patrón de radiación se expresa en decibelios

|)(P|log10|)(F|log20|)(P|

|)(F|log20|)(F|

dB

dB

θθθ

θθ

==

=

7.4 Antena de lazo infinitesimal Consideremos ahora el caso de una antena en forma de lazo de radio “a”, recorrido por una corriente constante, como muestra la figura 7.6.

1 La función

uusen

tiende a 1 para u=0.



Figura 7.6.- Antena de lazo de radio “a” con corriente I0 El potencial vector magnético es

'dlR

e)'z,'y'.x(I4

)z,y,x(Ac

Rkj0

0 0

∫−

=π

μr

siendo la corriente

)'z,'y,'x(Ia)'z,'y,'x(Ia)'z,'y,'x(Ia)'z,'y'.x(I zzyyxx0rrr

++=

Debido a la simetría cilíndrica del lazo, expresaremos la corriente en coordenadas cilíndricas

zz

y

x

II

'cosI'senII

'senI'cosII

=

+=

−=

φφ

φφ

φρ

φρ

y como el campo se expresa en coordenadas esféricas

φθ

φφθφθ

φφθφθ

θ

φθ

φθ

senacosaa

cosasencosasensenaa

senacoscosacossenaa

rz

ry

rx

rrr

rrrr

rrrr

−=

−+=

−+=

la corriente se puede poner como

z

x

y

Φ

Φ’

θ

Θ’

dl’=a dΦ’ z

rr

Rr

P

I0



[ ]

[ ]

[ ])'(cosI)'(senIa

senI)'(sencosI)'(coscosIa

cosI)'(sensenI)'(cossenIaI

z

zr0

φφφφ

θφφθφφθ

θφφθφφθ

φρφ

φρθ

φρ

−+−−+

−−+−+

++−+−=

r

r

r

Para el caso de un dipolo colocado en el plano XY como el de la figura 7.5 la corriente sólo tiene dirección Φ, luego

[ ] [ ] [ ])'(cosIa)'(sencosIa)'(sensenIaI r0 φφφφθφφθ φφφθφ −+−+−=rrr

Por otro lado

[ ] 2122

2222222

)'(cossenra2ar|'rr|R

a'y'xrzyx

0'zcosrz

'sena'ysensenry

'cosa'xcossenrx

φφθ

θ

φφθ

φφθ

−−+=−=

=+=++

==

==

==

rr

Con todo ello, la componente Φ del potencial vector magnético es

'dR

e)'(cosI4

aARkj2

0

0 0

φφφπ

μφ

π

φ−

−= ∫

Sustituyendo el valor de R y, como por simetría los campos no pueden depender de la coordenada Φ, podemos hacer los cálculos para cualquier valor de Φ, en particular los haremos para Φ=0; entonces la componente Φ del potencial vector magnético será

( )

[ ]'d

'cossenra2ar

e'cosI4

aA2

122

'cossenra2arkj2

00

02122

0

φ

φθ

φπ

μ φθπ

φ−+

=−+−

∫

Si el lazo es pequeño (a<<λ0), la función siguiente



( )

[ ] 2122

'cossenra2arkj

'cossenra2ar

ef2122

0

φθ

φθ

−+

=−+−

puede desarrollarse en torno a a=0 como

'cossener1

rjk

af;

re)0(f

...aa

f!2

1aaf)0(ff

rjk2

0

0a

rjk

2

0a2

2

0a

00

φθ−

=

−

==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎥

⎦

⎤

∂∂

=

+⎥⎥⎦

⎤

∂

∂+⎥

⎦

⎤

∂∂

+=

y si nos quedamos con los dos primeros sumandos

rjk2

0 0e'cossenr1

rjka

r1f −

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++≈ φθ

por lo tanto, la componente Φ del potencial vector magnético es

rjk0

02

02

0rjk0

20

rjk2

02

00

0

00

0

erjk

11r4

senIakjr1

rjkesenI

4a

'de'cossenr1

rjka

r1'cosI

4aA

−−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++≈ ∫

θθ

μ

φφθφπ

μ π

φ

(7.22) siendo el resto de las componentes nulas pues se anula la integral

0'de'cossenr1

rjka

r1'sencosI

4aA

0'de'cossenr1

rjka

r1'sensenI

4aA

rjk2

02

00

0

rjk2

02

00

0r

0

0

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−≈

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++≈

−

−

∫

∫

φφθφθπ

μ

φφθφθπ

μ

π

θ

π

Finalmente, el campo electromagnético se obtiene de la misma manera que se hizo en el dipolo infinitesimal



( )( )

0H

erk1

rjk11

r4senIakH

erjk

11r2

cosIakjH

rjk2

000

20

rjk02

02

0r

0

0

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−+−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

−

−

φ

θθ

θ

(7.23)

( )

0HH

erjk

11r4

senIakZE

r

rjk0

02

00 0

==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= −

θ

φθ

(7.24)

Es instructivo comparar estas expresiones con las correspondientes al campo del dipolo infinitesimal (7.3-7.5) para ver como se “intercambian” las componentes del campo. Se dice que los campos producidos por un dipolo infinitesimal y un lazo infinitesimal son duales. La densidad de potencia radiada por el lazo infinitesimal, que es real en la zona lejana y reactiva en la zona próxima, es

( ) ( ) 2*r

*rr

*r

*tot m

wHEaHEa21aHaHxaE

21S φθθφθθφφ

rrrrrr+−=+=

Integrando a una esfera que contenga el lazo la componente θ de la densidad de potencia se anula y la componente radial del vector de Poynting complejo que es

( )( ) 23

02

220

40

0r mw

rk1j1

r32sen|I|akZS ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+=

θ

una vez integrada da la potencia compleja asociada al lazo

( )( )

watiosrk1j1|I|ak

12ZsdSP 3

0

20

40

0

srr ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+== ∫

πr (7.25)

Su parte real es la potencia radiada por el lazo



( ) watios|I|ak12ZPReP 2

04

00

rradπ

== (7.26)

y la resistencia de radiación es

( ) OhmsC20Sk3Z2|I|ak

6ZR

4

02

2

0002

04

00

r ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛===

λπ

λππ

(7.27)

donde S=πa2 es el área del lazo y C=2πa es su perímetro. Si la antena tiene N vueltas la resistencia de radiación hay que multiplicarla por N2. 7.4.1 Campos en la zona próxima Los campos en la zona próxima cumplen que k0r<<1, entonces

rjk2

002

3

rjk0

2

3

rjk0

2r

0

0

0

esenr4

IkajE

senr4eIaH

cosr2eIaH

−

−

−

−≈

≈

≈

θ

θ

θ

φ

θ (7.28)

7.4.2 Campos en la zona lejana Los campos en la zona lejana cumplen que k0r>>1, entonces

( )

( ) rjk20

00

rjk02

00

rjk20

0rjk02

0

00

00

ersenISZe

r4senIakZE

ersenISe

r4senIakH

−−

−−

=≈

−=−≈

λ

θπθ

λ

θπθ

φ

θ

(7.29)

El cociente ente EΦ y Hθ (cambiado de signo) es la impedancia de onda de la onda TEM radiada por el lazo que coincide, además, con la impedancia intrínseca del vacío. Se puede comprobar cómo, con los campos en la zona de radiación, se obtiene la potencia radiada por la antena dada por (7.26). La intensidad de radiación es



20

2220

22200

r2 |E|

Z2rsen|I|

4ak

2ZSr)( φθθΦ =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛==

y la máxima intensidad de radiación se produce en θ=90º. La directividad es

23

P4D

radmáx ==

Φπ

7.4 Antena de lazo no infinitesimal Supongamos ahora que el radio del lazo no es pequeño y está colocado como en la figura 7.4. En este caso las integrales a realizar no se pueden realizar de forma analítica ni siquiera en la zona de radiación. Nos restringiremos únicamente a esa zona por ser, en principio la más importante para nuestros objetivos. A partir de la aproximación para R en la zona lejana

yxzyx2 a'ya'x'r;azayaxr;r

'r.r1rR rrrrrrrrr

+=++=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≈

luego

'cossenar'senasensenr'cosasenr'yy'xx'r.r φθφφθφθ =+=+=rr

pues como hay simetría con Φ, elegimos el plano Φ=0. Por tanto,

'cossenarr

'cossenar1rr

'r.r1rR 22 φθφθ

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≈

rr

(7.30)

Sustituyendo en la ecuación del potencial vector magnético, se obtiene su componente Φ (las demás son nulas)

'de'cosr4

eaIA 'cossenakj2

0

rkj00 0

0

φφπ

μ φθπ

φ ∫−

=

Esta integral se puede poner en función de la función de Bessel de primera especie de orden 1 J1(k0 a sen θ) (ver referencia de Balanis), resultando

)senak(Jr2eaIjA 01

rkj00 0

θμ

φ−

= (7.31)

y el campo electromagnético en la zona de radiación



)senak(JrZ2

eIaZE

H

)senak(Jr2eIajE

010

rkj00

0

01rkj

00

0

0

θμω

θμω

φθ

φ

−

−

−=−=

=

(7.31)

La densidad de potencia media-temporal es

( )

20212

0

20

20

r

20

rrr

mw)senak(J

rZ8|I|)a(a

|E|Z21aSaHxERe

21S

θμω

φ

r

rrrrr

=

====

(7.32)

La intensidad de radiación es

)senak(JZ8

|I|)a(Sr)( 0210

20

20

r2 θ

μωθΦ == (7.33)

La potencia radiada es

θθθμωπ

ΩθΦπ

dsen)senak(JrZ

|I|)a(d)(P 021

00

20

20

srad ∫∫ == (7.34)

Esta integral no tiene solución analítica y se suele aproximar dependiendo del tamaño del radio del lazo

• ak

1dsen)senak(J2/a0

021

00 ≈⇒≥ ∫ θθθλ

π

por lo tanto

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==⇒=

022

r00

20

20

radC60a60R

akZ4|I|)a(P

λππ

μωπ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0

C682,0Dλ

siendo C=2πa el perímetro del lazo.



• 2a600 λ

πλ ≤≤ la integral es complicada y necesita de resolución

numérica mediante ordenador,

• 2senak)senak(J6a 0

010 θ

θπλ ≈⇒≤ que produce los campos

del dipolo infinitesimal. 7.5 Dualidad Si dos ecuaciones, describiendo distintos fenómenos, tienen la misma forma matemática sus soluciones son idénticas. Los fenómenos así se denominan duales y las variables colocadas en posiciones idénticas se llaman duales. Ésto indica que si se conoce la solución a un fenómeno, intercambiando las variables duales se obtendrá la solución del otro. Supongamos un medio 1 en el que existe una densidad de corriente eléctrica

1Jr

. En él se cumplen las siguientes ecuaciones de Maxwell del rotacional

1111

111

JEjHx

HjEx

rrr

rr

+=∇

−=∇

εω

μω

estando los campos eléctrico y magnético generados a través de un potencial vector magnético A

r. Supongamos ahora un medio 2 en el que existe una densidad de

corriente magnética 2Mr

; en este medio se cumple que

2222

222

MHjEx

EjHx

rrr

rr

−−=∇

=∇

μω

εω

estando ahora el campo producido por un potencial vector eléctrico Fr

. Para estos dos fenómenos electromagnéticos las ecuaciones duales son

)A(0My0Jrrr

=≠ )F(0My0Jrrr

≠=

111 HjExrr

μω−=∇ 222 EjHxrr

εω=∇

1111 JEjHxrrr

+=∇ εω 2222 MHjExrrr

−+=∇− μω

1121

2 JAkArrr

μ−=+∇ 22

22

2 MFkFrrr

ε−=+∇

'dvR

eJ4

ARjk

1'v

1 1−

∫=rr

πμ

'dvR

eM4

FRjk

2'v

2 1−

∫=rr

πε



Ax1H1

1rr

∇=μ

Fx1E

22

rr∇−=

ε

( )A.1jAjE11

1rrrr

∇∇−−=εωμ

ω ( )F.1jFjH

222

rrrr∇∇−−=

εωμω

y las cantidades duales

)A(0My0Jrrr

=≠ )F(0My0Jrrr

≠=

1Er

2Hr

1Hr

2Er

−

Jr M

r

Ar

Fr

ε1 μ2

μ1 ε2

k1 k2

Z1 1/Z2

1/Z1 Z2

Como conclusión podemos decir que si en un medio 1 una fuente eléctrica 1Jr

crea unos campos 11 HyErr

y en un medio 2 una magnética 2Mr

crea unos campos

22 HyErr

, y hemos resuelto el problema en el medio 1 (es decir, conocemos los campos), la solución al problema en el medio 2 (problema dual) es

SoluciónEHHE

12

121212

⎪⎩

⎪⎨⎧

↔

−↔⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

↔↔

rr

rr

μεεμ

donde “ ” significa “sustituir la cantidad dual indicada”. A esta forma de resolver un problema se le denomina dualidad. Como aplicación de esta técnica es posible obtener la solución a diversos problemas electromagnéticos como por ejemplo un circuito RLC serie o paralelo. A nosotros nos interesa el caso de un dipolo. Imaginemos que tenemos un dipolo infinitesimal recorrido por una corriente magnética Im (recordemos que las corrientes magnéticas no son reales) y queremos obtener el campo producido por ese dipolo. Para ello, podríamos repetir el proceso indicado para el dipolo infinitesimal con

corriente eléctrica Ie (sección 7.1) pero empleando el potencial Fr

. O también, podríamos utilizar el concepto de dualidad a través de los campos ya obtenidos para el dipolo con corriente eléctrica. El proceso se muestra en el esquema siguiente



⎪⎩

⎪⎨⎧

=

+=

↓

↔

111

r1r11

em

aHHaEaEE

solución

soluciónII

φφ

θθrr

rrr

( )( )

εμεμ

μεεμ

θθ

φφ

↓↓↓↓

↔↔

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=↔

−=−↔

1212

r1r112

1112

yoercambiandint

aEaEEH

aHHErrrr

rrr

Siguiendo este proceso se obtienen los campos correspondientes a un dipolo infinitesimal con corriente magnética Im

rkjm0 erkj

11senr4

LIkjE −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= θ

πφ (7.35)

rkj00

mr 0e

rkj11

rcos

rZ2LIH −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

θπ

(7.36)

rkj22

000

0m 0e

rk1

rkj11senkj

rZ4LIH −

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−+= θ

πθ (7.37)

Si se comparan estos campos con los campos producidos por un lazo infinitesimal (con corriente eléctrica I0), es inmediato comprobar que son exactamente iguales si hacemos que el producto Im L (el momento dipolar) sea

00m ISjLI μω= donde S es el área del lazo. De esta manera es posible obtener el campo electromagnético producido por un lazo infinitesimal sin más que utilizar el principio de dualidad a partir de los campos producidos por un dipolo infinitesimal. Dicho con otras palabras, un lazo de corriente (eléctrica) infinitesimal es análogo a un dipolo infinitesimal de corriente magnética.



7.5 Elementos lineales sobre planos conductores

Dependiendo de la frecuencia, las ondas electromagnéticas se propagan por el aire de distinta manera. Así, las señales de unos pocos kilohercios, o señales de extremadamente baja frecuencia (ELF), que requieren grandes antenas, se propagan por reflexión en la ionosfera, formando una especia de guía de “planos paralelos” con la superficie de la Tierra. Estas señales se utilizan para comunicación con submarinos debido a que la atenuación del agua de mar crece, como ya hemos visto, enormemente con la frecuencia. Las señales electromagnéticas en el rango de hasta unos pocos megahercios se propagan de forma similar a una onda superficial, siendo enormemente influenciadas por las propiedades de la Tierra; a este grupo de señales pertenecen la onda media (AM) de las cadenas de radio. Las señales entre unos pocos megahercios hasta aproximadamente 30 MHz, son reflejadas por la ionosfera dando lugar a comunicaciones a gran distancia (miles de kilómetros); a este rango de señales pertenecen las señales de radio de onda corta que también utilizan los barcos pesqueros.

En esta sección nos centraremos en las señales con frecuencias por encima de

los 30 MHz. A estas frecuencias las antenas son bastante pequeñas y habitualmente están situadas a una distancia de la Tierra de unas pocas longitudes de onda. Por tanto, la Tierra, que actúa en primera aproximación como un plano de tierra conductor eléctrico perfecto, modifica el patrón de radiación de la antena solitaria, de forma que la radiación a un punto del espacio recibe un rayo directo de la antena más uno rebotado del plano de tierra. Consideremos la figura 7.7 donde se muestra un dipolo infinitesimal colocado sobre un plano conductor eléctrico perfecto

La componente radial producida por el dipolo que está sobre el plano

conductor es Er1. Éste refleja una componente Er2 . Las proyecciones de ambas sobre el plano conductor deben anularse. Esta misma situación se provoca si eliminamos el plano conductor y colocamos un dipolo idéntico al anterior a una

Figura 7.7.- Dipolo eléctrico infinitesimal sobre un plano conductor eléctrico

perfecto colocado a una altura “d” distancia “d” del plano pero por debajo de él. La componente radiada por este dipolo imagen en la posición que ocupaba el plano conductor es la misma que la

Θ1

Θ2

Er2 Er1

d Plano conductor

Campo eléctrico nulo sobre el plano



original, provocando un campo eléctrico nulo en el plano antes ocupado por el conductor. Por tanto, estamos reproduciendo las mismas condiciones de contorno que las originales y la solución a este problema es la misma que la situación original (teorema de unicidad de la solución), pero sólo para la parte superior al plano. Análogamente, podríamos hacer para la componente acimutal θ. En las figuras 7.8 y 7.9 se muestran las imágenes para todas las posibles situaciones de dipolos eléctricos y magnéticos sobre planos eléctricos y magnéticos.

Figura 7.7.- Dipolos sobre un plano eléctrico perfecto

Figura 7.9.- Dipolos sobre un plano magnético perfecto

h

h

Eléctrico Eléctrico Magnético Magnético

Conductor eléctrico perfecto

h

h

Eléctrico Eléctrico Magnético Magnético

Conductor magnético perfecto



Vamos a estudiar el caso de un dipolo eléctrico vertical sobre un plano conductor eléctrico perfecto colocado sobre el plano XY (figura 7.10) La componente θ del campo eléctrico en el punto P tendrá dos contribuciones, la directa y la reflejada, que es la debida al dipolo imagen

10 rkj1

10

0d esen

r4LIZkjE −= θ

πθ

20 rkj2

20

0r esen

r4LIZkjE −= θ

πθ

donde

[ ]

[ ] 2/1222

2/1221

)(coshr2hrr

coshr2hrr

θπ

θ

−−+=

−+=

h

h

r1

r2

r

θ1

Θ2

θ Ψ

P(r,θ,Φ)

Z

X

Y

Φ

Figura 7.10.- Dipolo infinitesimal colocado perpendicularmente sobre un plano conductor eléctrico perfecto (plano XY)



Lo mismo podríamos hacer para el resto de las componentes del campo electromagnético. Nos centraremos exclusivamente en la zona de radiación. En esa zona, los caminos de los rayos son los que muestran la figura (7.11)

Podemos por tanto, aproximar en la zona de radiación

amplitudlapararrr

faselaparacoshrr

coshrr

21

2

1

≈≈

⎪⎭

⎪⎬

⎫

+≈

−≈

θ

θ

entonces

[ ] 0zpara)coshk(cos2senr4

LIZkj

eesenr4

LIZkjE

20

0

)coshr(kj)coshr(kj2

00 00

≥=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ += +−−−

θθπ

θπ

θθθ

La potencia radiada es

h

h

r1

r2

r

θ

Ψ

P(r,θ,Φ)

Z

X

Y

Figura 7.11.- Idem a figura 7.10 pero para la zona de radiación

Φ



( )( )

( )( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−=

=== ∫ ∫

30

02

0

02

00

22

s

2/

00rrad

hk2hk2sen

hk2hk2cos

31LIZ

dsenr|E|Z

dsSP

λπ

θθππ

θ

Cuando el producto k0h tiende a infinito la potencia radiada coincide

con la del dipolo aislado. Si k0h tiende a cero la potencia radiada es el doble de la radiada por el dipolo aislado. La intensidad de radiación es

( )hk2cossenLI2

ZSr)( 022

2

00

r2 θ

λθΦ ==

y su valor máximo se produce en θ=π/2, siendo

2

00

maxLI

2Z)2/(

λπθΦ ==

que es 4 veces la del dipolo aislado. La directividad es

( )( )

( )( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−

=

30

02

0

0hk2

hk2senhk2

hk2cos31

2D

Para k0h=2,881 (h=0,4585λ0) se tiene que D=6,566 que es aproximadamente 4 veces la del dipolo aislado. Para k0h=0, la directividad es D=3, o sea, el doble que la del dipolo aislado. Por último la resistencia de radiación es

( )( )

( )( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−= 3

0

02

0

02

00rad hk2

hk2senhk2

hk2cos31LZ2R

λπ

Para el caso de un dipolo eléctrico infinitesimal colocado paralelamente a un plano conductor eléctrico perfecto, y para la zona de radiación, tendremos (figura 7.12)



20

10

rkj2

00

r

rkj1

00

d

esenr4

LIZkjE

esenr4

LIZkjE

−

−

−=

=

Ψπ

Ψπ

Ψ

Ψ

Notar que hemos expresado el campo eléctrico de acuerdo a una coordenada Ψ que es el ángulo que forma el eje del dipolo con el eje Z. Entonces,

( ) 2122

ry sensen1sensensena.acos φθΨφθΨ −=⇒==rr

que indica la relación entre el ángulo Ψ y los ángulos del sistema de coordenadas esférico θ y Φ. Aplicando las aproximaciones comunes para los términos r1 y r2 el campo eléctrico es

( )[ ]θφθπΨΨΨ coshksenj2sensen1e

r4LIZkjEEE 0

22rkj1

00

rd 10 −=+= −

notemos que, como se ha dicho, esta ecuación da el campo eléctrico en la zona de radiación expresado como componente Ψ, que no es ninguna de la del sistema de coordenadas esféricas mostrado.

h

h

r1

r2

r

θ

Ψ

P(r,θ,Φ)

Z

X

Y

Figura 7.12- Dipolo infinitesimal colocado paralelamente sobre un plano conductor eléctrico perfecto (plano XY)

Φ



7.6 Referencias [1] Stutzman, W. & Thiele, G.: "Antenna theory and design", John Wiley & Sons,

1981. [2] Collin, R.E.: "Antennas and Radiowave Propagation", McGraw Hill, 1985. [3] Paul, C. & Nasar, S.: "Introduction to electromagnetic fields", McGraw-Hill,

1987. [4] Iskander, M.F.: "Electromagnetic Field and Waves", Prentice Hall, 1992. [5] Balanis, C.A.: “Antenna Theory: Analysis and Design”, McGraw Hill, 1982.

Tema 7 Antenas Lineales

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