TEMA 54. Cónicas como secciones planas de la superficie cónica. · 2017. 3. 23. · Tema...

Tema 54.Cónicas como secciones planas de la superficie cónica.

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 1

TEMA 54. Cónicas como secciones planas de la

superficie cónica.

1. Introducción

Se puede considerar a la cultura de la Grecia clásica como los padres de la geometría

moderna. Entre las diferentes figuras geométricas que estudiaron estaban las cónicas.

El primero en descubrir estas curvas fue Memecno (350 a.C.) Apolonio 100 años después

estudió estas curvas y sus propiedades, así como obtenerlas a partir de la intersección de

planos a la superficie cónica. Con su descubrimiento sus propiedades quedaron de manifiesto.

El desarrollo de las teoría de las cónicas fue bastante rápido, de hecho en el siglo IV Aristeo

y Euclides en escriben libros describiendo las propiedades de todas las cónicas.

Apolonio fue el primero en demostrar que las curvas se obtenían de cortar un mismo cono

por diferentes planos, existiendo tres tipos de superficies:

a. Elipse si el ángulo del plano con el eje del cono es mayor que la directriz del cono (si el

ángulo es de 90o es una circunferencia)

b. Hipérbola, si el plano es menor que el ángulo de al de la generatriz (en la actualidad las

dos ramas forman una hipérbola en aquella época se llamaba hipérbola a cada rama).

c. Parábola, si el ángulo del plano es igual que el ángulo de la generatriz.

El interés de las cónicas se reavivó con el astrónomo Kepler que consideraba elíptico el

movimiento de los planetas. Hoy se sabe que dependiendo de la energía del astro la curva

puede ser cualquiera de las tres cónicas: Si E0 hipérbola (muchos de los cometas).

La aritmetización de la geometría que surge a partir de Descartes y Fermat llega también a

las cónicas, tal que estudiadas desde un punto de vista analítico como lugares geométricos se

pueden comprobar muchas de las relaciones vistas también de forma geométrica. Desde el

punto de vista analítico las cónicas son curvas con expresión analítica de la forma

A·x2+B·y

2+Cx·y+Dx+Ey+F=0. Si hay término x·y es debido a que la cónica gira respecto los ejes.

2. Las cónicas: generación, definición y elementos.

2.1. Generación de las cónicas como intersección de plano y cono.

Como hemos comentado en la introducción las cónicas se pueden estudiar como

intersección de planos con las superficies cónicas (aunque también surgen con intersección

con otras cuádricas). Veamos visualmente las tres cónicas en función del ángulo de corte del

plano con del eje del cono y del ángulo ϕ de la generatriz con el eje:

α=90o α>ϕ α=ϕ α


Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria

2.2. Elementos de las cónicas: ejes, focos, directrices y vértices.

Para obtener elementos y relacionarlos con la generación de la cónica como intersección

del cono y el plano necesitamos definir dos esferas auxiliares, que llamaremos

esferas son tangentes a la superficie cónica y al plano. En el caso de la

esfera. Veamos la definición de los elementos:

• Focos: son los puntos de tangencia de las esferas con el plano interceptor� Elipse: los focos dentro de la curva y equidistantes del centro.

� Parábola: un único foco dentro de la curva

� Hipérbola: dos focos equidistantes al centro cada uno dentro de una rama.

• Directriz: el plano que contiene a la curva tangente entre la esfera y el cono corta al plano interceptor formando una recta denominada directriz de la cónica.

� Elipse: dos directrices f

� Parábola: una sola directriz exterior a la parábola y a la misma distancia de la

curva que el foco

� Hipérbola: dos directrices paralelas y exteriores a la curva

• Ejes y vértices : la recta que une los focos de la elipse y de la hipérbola se llama eje focal y corta a las dos curvas en A y A’ denominados vértices. En la elipse la recta

perpendicular al eje por el centro es el eje menor y corta en otros dos vértices B y B’.

Las distancias entre los focos se llama distancia focal d(F,F’)=2c.

es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco y corta a la curva en su

único vértice, V.

La relación entre las distancias de la curva a los focos y a la directrices

construir estas como lugares geométricos como veremos más adelante.


Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es)

Elementos de las cónicas: ejes, focos, directrices y vértices.


del cono y el plano necesitamos definir dos esferas auxiliares, que llamaremos

la superficie cónica y al plano. En el caso de la parábola

esfera. Veamos la definición de los elementos:

: son los puntos de tangencia de las esferas con el plano interceptor

Elipse: los focos dentro de la curva y equidistantes del centro.

Parábola: un único foco dentro de la curva

rbola: dos focos equidistantes al centro cada uno dentro de una rama.

que contiene a la curva tangente entre la esfera y el cono corta al

plano interceptor formando una recta denominada directriz de la cónica.

: dos directrices fuera de la curva y a la misma distancia del centro.

Parábola: una sola directriz exterior a la parábola y a la misma distancia de la

curva que el foco

dos directrices paralelas y exteriores a la curva

: la recta que une los focos de la elipse y de la hipérbola se llama eje

focal y corta a las dos curvas en A y A’ denominados vértices. En la elipse la recta


ancias entre los focos se llama distancia focal d(F,F’)=2c. En la parábola el eje


relación entre las distancias de la curva a los focos y a la directrices

construir estas como lugares geométricos como veremos más adelante.


2

Elementos de las cónicas: ejes, focos, directrices y vértices.


del cono y el plano necesitamos definir dos esferas auxiliares, que llamaremos ε y ε’. Estas arábola sólo hay una

: son los puntos de tangencia de las esferas con el plano interceptor:

Elipse: los focos dentro de la curva y equidistantes del centro.

rbola: dos focos equidistantes al centro cada uno dentro de una rama.

que contiene a la curva tangente entre la esfera y el cono corta al

plano interceptor formando una recta denominada directriz de la cónica.

uera de la curva y a la misma distancia del centro.

Parábola: una sola directriz exterior a la parábola y a la misma distancia de la

: la recta que une los focos de la elipse y de la hipérbola se llama eje

focal y corta a las dos curvas en A y A’ denominados vértices. En la elipse la recta


En la parábola el eje


relación entre las distancias de la curva a los focos y a la directrices nos permiten



2.3. Las cónicas como lugares geométricos. La excentricidad.

Dado un punto de P de la cónica si unimos P

con el vértice del cono, O, la recta es una

generatriz del cono que es tangente a la esfera

en el punto que llamamos M. Si trazamos la otra

tangente a la esfera por P esta pasará por el foco

(por definición de foco). Por propiedades

tangentes exteriores a una circunferencia se

cumple que PM=PF

Por otro lado, llamamos D al punto de la

generatriz más próximo a P, de forma que la

recta PD es perpendicular a la generatriz. Por ser

D y M del mismo plano, la proyección de PD

sobre el eje del cono tendrá el mismo valor:

PM·cos(α)=PD·cos(β), como PM=PF se cumple:

)cos(

)cos(ecte

PD

PF===

αβ

Se cumple entonces que la distancia de todo punto de la elipse al foco y a la directriz es

constante e igual a e. Ocurre lo mismo para la p

la excentricidad:

• Elipse(β>α ): e=cos(

cos(

• Parábola (β=α): e=

• Hipérbola (β



3. Estudio particular de la elipse.

3.1. Teorema previo.

Antes de definir la elipse desde un punto de vista geométrico en 2 dimensiones

necesitamos definir el siguiente teorema.

Teorema: la suma de las distancias

constante: PF+PF’=cte=2a.

Definición elipse en 2 dimensiones

teorema se puede definir la elipse como el lugar

geométrico en dos dimensiones de los puntos cuya

suma de distancias a los dos puntos

es constante.

A’

F’

F

α

β

δ

M’


Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es)

Estudio particular de la elipse.

Teorema previo.


ir el siguiente teorema.

de las distancias de un punto cualquiera de la elipse a los dos focos es

Demostración: Las tangentes desde P a la esfera

son PM=PF1 y a la esfera ε’ son PM’=PFpor propiedades de tangentes exteriores). Se

cumple entonces que PF1+PF2=PM+PM’, como

hemos visto PM+PM’=cte, luego se cumple el

teorema. Para ver el valor de la constante no

tenemos más que coger cualquiera de los vértices

A o A’ de la elipse y ver que la suma de las

distancias es el eje real, es decir 2a

Definición elipse en 2 dimensiones: A partir de este

teorema se puede definir la elipse como el lugar

geométrico en dos dimensiones de los puntos cuya

suma de distancias a los dos puntos fijos llamados focos

A

γ

sen

sen

QA

QF

AQ

FQ===cos(

cos(

)(

)(

'

'

αδγ

(se cumple β=90- γ y α=90-δ)

Aplicando propiedades de razón:

ea

c

AA

FF

AQAQ

FQFQ===

−−

2

2

'

'

'

'


4


de un punto cualquiera de la elipse a los dos focos es

Las tangentes desde P a la esfera ε

’ son PM’=PF2 (igualdad

por propiedades de tangentes exteriores). Se

=PM+PM’, como

hemos visto PM+PM’=cte, luego se cumple el

teorema. Para ver el valor de la constante no

tenemos más que coger cualquiera de los vértices

y ver que la suma de las

distancias es el eje real, es decir 2a

Q

e=)cos(

)cos(

αβ

propiedades de razón:



3.2. Elementos y relaciones métricas.

Los elementos de la elipse son:

• Ejes de la elipse: son las dos rectas de simetría de la figura. El que contiene a los focos se llama eje focal o eje mayor, el perpendicular se denomina no focal o menor. Los

puntos de intersección de los ejes con la elipse se llaman vértices y se denotan como

A, A’ (eje mayor) y B, B’ (eje menor). El tamaño del eje mayor AA’=2a también se llama

eje mayor (abuso de la notación) y BB’=2b, eje menor.

• Centro de la elipse: es el centro de simetría obtenido por la intersección de los dos ejes de simetría (ejes de la elipse). Se suele denotar por O.

• Los focos: los puntos interiores de la elipse situados en el eje mayor y donde se cumple que PF+PF’=2a. La distancia entre los focos FF’=2c se llama distancia focal.

Relación pitagórica de la elipse: la suma de la semidistancia focal al cuadrado y del

semieje menor al cuadrado es igual al semieje mayor al cuadrado: a2=b

2+c

2.

Demostración: el triángulo OBF tiene dos catetos,

b y c. Por otro lado la hipotenusa es a, pues se

cumple que B es un punto de la elipse y BF=BF’ por

tanto BF+BF’=2a, luego BF=a

Al ser un triángulo rectángulo cumple el teorema

de Pitágoras: a2=b

2+c

2

3.3. Excentricidad de la elipse.

En el apartado 2 del tema definimos la excentricidad como el cociente entre coseno de los

ángulos que forman el plano interceptor y la directriz o como el cociente de la distancia focal y

el eje mayor, a

ce = . Como a>c se cumple que 0



3.4. Estudio analítico.

Cartesianas: Por sencillez vamos a situar el centro en el origen, O(0,0), y el eje mayor en el

eje OX y menor por tanto en OY. Los focos están en F’(-c,0) y F(c,0), los vértices en A(a,0), A’(-

a,0), B(0,b) y B’(0,-b), cumpliéndose que a2=b

2+c

2. Un punto P(x,y) es de la elipse si cumple:

d(P,F)+d(P,F’)=2a � aycxycx 2)()(2222 =++++− . Elevando dos veces al

cuadrado para eliminar las raíces se cumple b2·x

2+a

2·y

2=a

2·b

2, que dividiendo entre a

2·b

2 :

baconb

y

a

x>=+ ,1

2

2

2

2

En el caso general en el que el centro O(x0,y0) sólo tenemos que cambiar x por x-x0 e y-y0:

baconb

yy

a

xx>=

−+

−,1

)()(2

2

0

2

2

0 .

Si cambiamos los ejes sólo tenemos que cambiar x por y: baa

yy

b

xx>=

−+

−,1

)()(2

2

0

2

2

0

Paramétricas:

+=

+=

)(·

)·cos(

0

0

tsenbyy

taxx o

+=

+=

)(·

)·cos(

0

0

tsenayy

tbxx con t∈[0,2·π)

En el caso general donde se rotan los ejes un ángulo α las expresiones surgen de hacer la

transformación x’=x·cos(α)-y·sen(α), y’=x·sen(α)+y·cos(α), apareciendo términos x·y.

Ecuación de la recta tangente a la elipse en el punto (Px,Py) lo más sencillo es calcularla en

paramétricas, siendo el valor del punto en t0:

)(·

)·cos(

)(·

0

0

0

ttga

b

dx

dy

tbdt

dy

tsenadt

dx

−=

=

−=� ))(( xoy Pxttg

a

bPy −−=−

4. Estudio particular de la hipérbola.

4.1. Teorema previo.

Teorema: todos los puntos de la hipérbola cumplen que el módulo de la diferencia entre

sus distancias a los focos de la misma es constante e igual a la distancia entre las dos ramas, 2a

Demostración semejante a la elipse, pues se cumple que PF=PM y PF’=PM’ y PF’=PM’,

luego PF’-PF’=PM-PM’=k=2a.

Definición: la hipérbola es la curva con dos dimensiones que es lugar geométrico de los

puntos cuya diferencia (en valor absoluto) de las distancias del punto a los focos es constante.



4.2. Definición y elementos. Relación métrica

Los elementos de la hipérbola son los que siguen:

• Ejes de la hipérbola: tiene dos ejes de simetría, el que pasa por los focos se llama eje real o eje focal. El otro que es perpendicular al anterior no corta a la hipérbola y se

llama eje imaginario.

• Vértices de la hipérbola: el eje real corta a la curva en dos puntos, que se denominan vértices reales, A y A’.

• Centro de la hipérbola: centro de simetría, intersección de los dos ejes de la curva.

• Focos: son los puntos que generan la hipérbola como dijimos en la definición.

La relación métrica que relaciona los semiejes real, imaginario y la semidistancia focal es:

c2=a

2+b

2, siendo 2c=d(F,F’), 2a=d(A,A’) y 2b=d(B,B’).

Demostración: por definición de ejes imaginarios (donde cortan las rectas tangentes

y=-(b/a)·x )

4.3. Excentricidad y forma de la hipérbola.

En el apartado 2 definimos la excentricidad como el cociente entre la distancia de todo

punto de la curva al foco y a la directriz, que coincidía con el siguiente cociente a

ce = . Por la

relación métrica se cumple que c≥a, por lo que e≥1. Relacionando la distancia focal con el eje real en función de la excentricidad nos permite ver las ramas de la hipérbola más o menos

abiertas según el valor de e:

e=∞

e=5

e=2

e=1



Se llama hipérbola equilátera aquella en el que los ejes real e imaginario son iguales, b=a,

por tanto c= a·2 y por tanto su excentricidad será 2=e .


Calcularemos primero la expresión analítica de las hipérbolas centradas en el origen y con

eje OX eje real. Si F’(-c,0) y F(c,0) son los focos de la hipérbola y 2a el tamaño del eje real. Por

la definición se cumple que si P(x,y) es de la hipérbola |d(P,F)-d(P,F’)|=2a:

aycxycx 2)()( 2222 =++−+− . Operando de forma equivalente a la elipse, elevando al

cuadrado dos veces y utilizando la regla métrica c2=a

2+b

2 la expresión de la hipérbola reducida:

12

2

2

2

=−b

y

a

x, ahora no hay restricciones entre a y b pudiendo ser mayor uno u otro.

Si el eje real pasa a ser el eje vertical la expresión será equivalente cambiando x por y:

12

2

2

2

=−b

x

a

y

En el caso general donde el centro está en C(x0, y0) las ecuaciones serán las mismas

desplazando el centro:

1)()(

2

2

0

2

2

0 =−

−−

b

yy

a

xx o 1

)()(2

2

0

2

2

0 =−

−−

b

xx

a

yy

Podemos poner la expresión analítica de la hipérbola en forma paramétrica a partir de las

razones hiperbólicas (se puede demostrar su equivalencia a partir igualdad: ch2(x)-sh

2(x)=1

OXesrealejetshbyy

tchaxx

+=

+=

)(·

)(·

0

0 OYesrealeje

tchbyy

tshaxx

+=

+=

)(·

)(·

0

0

Un caso particular muy interesante es cuando tenemos una hipérbola equilátera y giramos

los ejes 45o, en este caso la expresión analítica se comporta como una función con expresión:

2

a=x·y

2

± (se obtiene a partir de la matriz de giro de los ejes:

−=

)45cos()45(

)45()45cos(45 sen

senM o

Se cumple que 2

a=x·y

2

, entonces está en los

cuadrantes I y III.

En el caso 2

a-=x·y

2

estará en los cuadrantes II y IV

x·y=2

x·y=-2



Ecuaciones de las asíntotas

x

xa

b

x

ym

xx

±==

∞→∞→limlim

Luego las asíntotas son y

En el caso de las hipérbolas equiláteras las asíntotas son y=x e y=

entonces son los ejes coordenados.

5. Estudio particular de la parábola.

5.1. Definición y elementos.

Definición: la parábola con

que equidistan de F y d. Elementos característicos de la parábola son los siguientes:

• Foco (F): punto a partir del que se define la parábola

• Directriz (d): es la recta a pa

• Vértice (V): el punto más próximo del foco y de la directriz. Está a distancia P de ambos

5.2. Distancia del foco a la directriz y forma de la parábola

En el caso de la elipse la excentricidad es

forma de la misma. Es el parámetro P (distancia del Foco a la directriz es 2P), la que determina

la forma de la curva. Cuanto mayor sea el valor de P más abierta es la curva. Si P>0 el vértice es

un mínimo y si P0 el vértice es

si P0 el vértice es




a) Vértice en el origen y directriz paralela eje OY: se cumple que las ecuaciones de la

directriz y foco son d: x=-P y F(P,0). Aplicando la definición d(P,F)=d(P,d) siendo P(x,y)

los puntos de la parábola se cumple:

d(P,F)=22

)( yPx +− y PxdPd +=),( � PxyPx +=+− 22)( . Elevando al

cuadrado la expresión es xPy ··42 = .

Si P es negativo (directriz por encima del eje OX) la expresión será xPy ··42 −=

b) Vértice en el origen y directriz paralela eje OX: sólo hay que permutar las dos

coordenadas: yPx ··42 = o yPx ··42 −=

c) Vértice en (x0,y0): )·(·4)( 02

0 xxPyy −±=− o )·(·4)( 02

0 yyPxx −±=−

6. Presencia de las cónicas en la naturaleza, técnica y el arte.

6.1. Presencia en la Naturaleza

1. Movimiento de los cuerpos celestas y partículas atómicas: los movimientos de los

cuerpos sometidos a potenciales centrales de la forma V=r

K− como la de los cuerpos

celestes ( V=r

MG·− ) o el electrostático (

r

KV

···4 επ−= ) son trayectorias cónicas. Que

sea la trayectoria una parábola, elipse o hipérbola depende de la energía del astro:

a) E0 (no ligado): su trayectoria no cerrada siendo la órbita una hipérbola.

Muchos cometas.

c) En el límite E=0 su trayectoria es una parábola.

En el caso del potencial eléctrico es equivalente al gravitatorio si las cargas distinto

signo (atractivo).

2. Tiro parabólico: es el movimiento de un cuerpo sometido a la gravedad ( aceleración

constante en dirección vertical) y con componente de velocidad paralela al suelo

(perpendicular a la gravedad) distinta de cero:

Eje OX: x=x0+vx·t Eje OY: y=y0+vy·t-g·t2/2.

Despejando la t: 2

2

0

00·2

)()(

xx

y

v

xxgxx

v

vyy

−−−+=

6.2. Presencia en la técnica.

Las propiedades genéricas de las cónicas hace que su uso sea muy importante en la óptica

o en la recepción y transmisión de señales (bien acústicas, de radio, móvil televisión…). Para

entender las propiedades hay que utilizar la ley de Snell: todo rayo de luz que llegue a una



superficie cumple que la componente reflejada y transmitida forma un mismo ángulo respecto

a la normal de la superficie a la que llega.

• En la elipse el ángulo que forma un foco con todo punto P de la curva es igual que forma con el otro foco con respecto a la recta normal en P.

Si tenemos un espejo elíptico, todo rayo (de luz, o sonido) emitido desde el foco

reflejará en un punto cualquiera de la elipse y pasará por el otro foco. Así si dos

personas situadas en los focos pueden comunicarse de forma sencilla aunque no

hablen uno enfrente de otro.

• En la hipérbola se cumple que los rayos que pasan por un foco se reflejan de forma que la proyección del rayo reflejado pasa por el otro foco.

• En la parábola los rayos que inciden paralelos al eje de simetría al ser reflejados por el espejo estos pasan por el foco y al revés, los que pasan por el foco se transmiten

paralelos al eje de simetría. Esta propiedad es ideal para recibir todos los rayos en un

punto (foco) y para enviar luz en forma paralela (bombilla en el foco de la luz en el

coche).



6.3. En el arte

En la arquitectura los arcos parabólicos se utilizan en la construcción de puentes,

viaductos, puertas de iglesias… la propiedad técnica de la parábola hace posible que pueda

soportar grandes cargas.

Las cónicas son muy utilizadas por Gaudí en sus construcciones y por Picasso en la pintura.

7. Conclusiones.

Las cónicas se abordan como lugares geométricos en dos dimensiones en la asignatura de

Matemáticas I de 1º de Bachillerato.

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