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1.º BachilleratoCónicas

SUPERFICIE CÓNICA

Una superficie cónica es aquella que se obtiene al hacer girar una recta g, llamada generatriz, alrededor de otra recta e, llamada eje, cuando g y e son secantes.El punto de corte de ambas rectas es el vértice V de la superficie.

Al cortar a la superficie así formada por un plano se obtienen secciones que se llaman cónicas.

Cuando el plano cortante contiene al vértice se obtienen las llamadas cónicas degeneradas, que son un punto, una recta o un par de rectas secantes.

Generatriz

Eje

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CÓNICAS DEGENERADAS

Punto Recta Rectas secantes α < β α = β α > β

α

β

α

β α

β

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Circunferencia:

El plano secante es perpendicular al eje.

Elipse:

El plano secante forma con el eje un ángulo () menor que con las generatrices ()En ambos casos la cónica es una curva cerrada y corta a todas las generatricesParábola:

El plano secante es paralelo a una generatriz, cortando a una sola de las hojas de la superficie cónica. =

Hipérbola:

El plano secante forma con el eje un ángulo () menor que con las generatrices () y corta a las dos hojas de la superficie cónica.En ambos casos la cónica es una curva abierta y no corta a todas las generatrices.

Circunferencia Elipse

Parábola Hipérbola

CÓNICAS NO DEGENERADAS

= 90º >

= <

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Circunferencia como sección de un cono

Al cortar la superficie cónica con un plano se obtienen unas curvas que se llaman cónicas. Las distintas posiciones del plano determinan diferentes cónicas.

Circunferencia: cónica no degenerada que se obtiene cuando el plano secante es perpendicular al eje del cono, corta a todas las generatrices y no pasa por el vértice.

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C

Estudio sintético de la circunferencia

Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

Radio

Diámetro

Centro

Cuerda

Arco

C PC

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Ecuación de la circunferencia

P(x, y) Circunferencia d(P, C) = r (x – a)2+(y – b)

2 = r

Ecuación analítica de la circunferencia: (x – a)2+(y – b)2 = r2

x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0

x2 + y2 +D x + E y + F = 0

Inversamente: dada x2 + y2 +D x + E y + F = 0 su centro y el radio serán:

–2a = D

–2b = E a

2+b

2–r

2 = F

a = –

D2

b = – E2

r = a2+b

2–F =

12 D

2+E

2–4F

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Condiciones para que una ecuación represente a una circunferencia

kx2 +ky2 –2akx –2bky +k(a2+b2 – R2)=0

Ax2 +By2 +Cxy +D x +E y + F = 0

Identificando coeficientes se obtiene:

De las dos primeras ecuaciones A = B = k.

Y de las tres últimas: a = – D2A ; b = –

E2A ; R =

12A D

2+E

2–4AF

C = 0

Si es negativo no existe circunferencia.

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Posiciones relativas de un punto y una circunferencia

Si d(P, O) > r el punto Pes exterior

Si d(P, O) = r el punto Pestá en la circunferencia

Si d(P, O) < r el punto Pes interior

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Posiciones relativas de una circunferencia y una recta

• Si d(O, s) > r, la recta s es exterior.

• Recta y circunferencia no tienen puntos en común.

• Si d(O, s) = r, la recta s es tangente.

• Recta y circunferencia tienen un punto en común.

• Si d(O, s) < r, la recta s es secante.

• Recta y circunferencia tienen dos puntos en común.

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Posiciones relativas de una recta y una circunferencia

Para saber cuántos puntos en común tienen una recta a x + b y + c=0 y una circunferencia Ax2 + Ay2 + Bx + Cy + D = 0 hemos de saber cuántas soluciones tiene el sistema

a x + b y + c = 0Ax2 + Ay2 + Bx + Cy + D = 0

Mx2 + Nx + P = 0

Al despejar y de la ecuación de arriba y sustituir en la de abajo obtenemos

= N2 - 4 M P > 0 dos soluciones

dos puntos de contacto

Recta secante

= N2 - 4 M P = 0 una solución

un punto de contacto

Recta tangente

= N2 - 4 M P < 0 sin solución

sin puntos de contacto

Recta exterior

•

• •

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Posiciones relativas de dos circunferencias

• Si d(O, O') > r + r', las circunferencias son exteriores.

• Las circunferencias no tienen puntos en común.

• Si d(O, O') = r + r', las circunferencias son tangentes exteriores.

• Si d(O, O') = r – r', las circunferencias son tangentes interiores.

• Las circunferencias tienen un punto en común.

• Si d(O, O') < r – r', las circunferencias son interiores.

• Si además tienen el mismo centro son concéntricas.

• Las circunferencias no tienen puntos en común.

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Potencia de un punto respecto a una circunferencia

• Los triángulos PAB' y PA'B son semejantes PA . PB = PA' . PB‘

• Se define Potc(P) = PA . PB = PA' . PB'

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Expresión analítica de la potencia

Potc(P) = PA . PB = (d – r) (d + r) = d2 – r2 = (xo – a)2 + (yo – b)2 – r2

d = (xo–a)2+(yo–b)

2

Por tanto: para hallar la potencia de un punto respecto a una circunferencia se sustituyen las coordenadas del punto en la ecuación de la circunferencia.

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Potencia y posición relativa

P exterior a la circunferencia

Potc(P) > 0

P interior a la circunferencia

Potc(P) < 0

P sobre la circunferencia

Potc(P) = 0

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• Sean C1x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 y C2x2 + y2 + D'x + E'y + F' = 0.

• Para que un punto P(x, y) pertenezca al eje radical se ha de cumplir que PotC1(P) =

= PotC2(P) . Es decir:

x2 + y2 + Dx + Ey + F = x2 + y2 + D'x + E'y + F' (D – D') x + (E – E') y + (F – F') = 0

Eje radical de dos circunferencias

Se define el eje radical de dos circunferencias como el lugar geométrico de los puntos del planos que tienen igual potencia respecto de ambas.

Por tanto: el eje radical de dos circunferencias es una recta.

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Estudio geométrico del eje radical de dos circunferencias

El eje radical es siempre perpendicular a la línea de centros.

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Parábola como secciones de un cono

Parábola: cónica no degenerada que se obtiene cuando el plano secante es oblicuo al eje del cono, paralelo a una generatriz y no pasa por el vértice.

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P(x, y) parábola d(P, F) = d(P, d) x2 +

y – p2

2=

y +

p2

02 + 1

2

Ecuación de la parábola: eje en OY y ramas hacia arriba

Para obtener una ecuación sencilla de la parábola, se puede situar el foco, F, en el eje de ordenadas simétrico respecto al origen de coordenadas de la directriz, d, que se sitúa paralela al eje de abscisas. La distancia desde el foco a la directriz se llama parámetro.

Podemos entonces tomar (por ejemplo): F(0, p/2) y d: y = – p/2

Eliminando radicales: x2 = 2py

• P(x, y)

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Estudio sintético de la parábola

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano, P, que equidistan de un punto fijo F llamado foco y de una recta d llamada directriz.

• P

Radio vector

V: vértice

Eje

Cuerda focald(P, F)d(P, d)

e = = 1

La excentricidad de la parábola es 1. • F: foco

d: directriz

Parámetro

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Ecuación de la parábola: eje en OY y ramas hacia abajo

Para obtener una ecuación sencilla de la parábola se puede situar el foco, F, en el eje de ordenadas simétrico respecto al origen de coordenadas de la directriz, d, que se sitúa paralela al eje de abscisas. La distancia desde el foco a la directriz se llama parámetro.

Podemos entonces tomar (por ejemplo): F(0, – p/2) y d: y = p/2

P(x, y) parábola d(P, F) = d(P, d) x2 +

y + p2

2=

y –

p2

02 + 1

2

Eliminando radicales: x2 = – 2py

• P(x, y)

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Ecuación de la parábola: eje en OX y ramas hacia la derecha

Para obtener una ecuación sencilla de la parábola se puede situar el foco, F, en el eje de abcisas simétrico respecto al origen de coordenadas de la directriz, d, que se sitúa paralela al eje de abscisas. La distancia desde el foco a la directriz se llama parámetro.

Podemos entonces tomar (por ejemplo): F(p/2, 0) y d: x = – p/2

P(x, y) parábola d(P, F) = d(P, d)

x – p2

2 + y

2=

x +

p2

12 + 0

2

Eliminando radicales: y2 = 2px

• P(x, y)

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Ecuación de la parábola: eje en OX y ramas hacia la izquierda

Para obtener una ecuación sencilla de la parábola se puede situar el foco, F, en el eje de abcisas simétrico respecto al origen de coordenadas de la directriz, d, que se sitúa paralela al eje de abscisas. La distancia desde el foco a la directriz se llama parámetro.

Podemos entonces tomar (por ejemplo): F(– p/2, 0) y d: x = p/2

P(x, y) parábola d(P, F) = d(P, d)

x + p2

2 + y

2=

x –

p2

12 + 0

2

Eliminando radicales: y2 = – 2px

• P(x, y)

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Tangente y normal a una parábola en un punto

• Ecuación de la recta tangente: y – f(xo) = f '(xo) (x – xo)• Ecuación de la recta normal: y – f(xo) = (–1/ f '(xo)) (x – xo)

Propiedad de la tangente:La tangente y la normal son las bisectrices de los ángulos que forman el radio vector de un punto P y

una recta paralela al eje que pasa por P.

Propiedad del foco:• Todo rayo que sale del foco se refleja en la parábola con dirección paralela al eje.• Todo rayo que llega paralelo al eje de la parábola se refleja sobre el foco.

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Elipse como secciones de un cono

Elipse: cónica no degenerada que se obtiene cuando el plano secante es oblicuo al eje del cono, corta a todas las generatrices y no pasa por el vértice.

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Estudio sintético de la elipse

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano, P, cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos (F y F'), es constante, 2a. Por tanto: PF + PF' = 2a

Eje mayor

Ejemenor

Vértices

Radio vector

Radio vector Eje focal

Eje secundario

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• BF + BF' = 2a (BF = BF') 2 BF = 2a BF = a

Segmentos de la elipse. Relación fundamental

• A'A = A'F + FA = A'F + A'F' = 2a OA = OA' = a

aa

• BB' = 2b OB = OB' = b

• FF' = 2c OF = OF' = c

a

c

b

a2 = b2 + c2

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• e = c/a• 0 < e < 1 ya que 0 < c < a• En la medida en que e se aproxima a 0 la elipse se parece más a una circunferencia.• En la medida en que e se aproxima a 1 la elipse se parece más a un segmento.

Excentricidad de la elipse

e = 0.1

e = 0.3

e = 0.5

e = 0.7

e = 0.9

Sucesivas elipses en las que a = 5.

Los focos, cuando e pasa de 1 a 0, van acercándose cada vez más al centro.

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Ecuación de la elipse

Para obtener una ecuación sencilla de la elipse se sitúan los focos en el eje de abscisas simétricos respecto al origen de coordenadas, por lo que el centro de la elipse quedará

en (0,0). Las coordenadas de los focos serán entonces F(c, 0) y F'(–c, 0).

P(x, y) elipse PF + PF' = 2a (x – c)2+y

2 + (x + c)

2+y

2 = 2a

• Eliminando radicales: (a2 – c2) x2 + a2 y2 = a2 (a2 – c2).

• Como a2 – c2 = b2. Obtenemos: b2 x2 + a2 y2 = a2 b2, y dividiendo por a2 b2: x

2

a2 +

y2

b2 = 1

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Traslación de vector guía

v = (1,4)

Ecuación general de las cónicas

• Las ecuaciones más sencillas de las cónicas se obtienen cuando los ejes coordenados coinciden con sus ejes.

• ¿Qué forma tienen dichas ecuaciones cuando la cónica está situada en cualquier parte del plano?

Elipse de ecuación

x2

9 + y2

4 = 1 Elipse de ecuación

(x−1 )2

9 + (y−4 )2

4 = 1

Giro de centroel origen y

amplitud 45º

La ecuación general de una cónica es

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 donde A, B y C no son nulos

a la vez.

Elipse de ecuación

( 12

(x+y) − 1 )2

9 + (

12

(−x+y ) − 4 )2

4 = 1

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Tangente y normal a una elipse en un punto

• Ecuación de la recta tangente: y – f(xo) = f '(xo) (x – xo)• Ecuación de la recta normal: y – f(xo) = (–1/ f '(xo)) (x – xo)

Propiedad de la tangente: los radio-vectores del punto P forman el mismo ángulo con la recta tangente en dicho punto.

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Hipérbola como secciones de un cono

Hipérbola: cónica no degenerada que se obtiene cuando el plano es paralelo al eje del cono y no pasa por el vértice.

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Estudio sintético de la hipérbola

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano, P, cuya diferencia de distancias, en valor absoluto, a dos puntos fijos, llamados focos (F y F'), es constante, 2a.

Por tanto: |PF – PF'| = 2a

Eje focal

Eje secundario

Centro

VérticesRadio vector

Radio vector

Eje mayor

Ejemenor

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Asíntotas de la hipérbola. Relación fundamental

Asíntota: y = (b/a) x

Asíntota: y = – (b/a) x

2a

2ba

b c c2 = a2 + b2

• A'A = AF' – A'F' = AF' – AF = 2a OA = OA' = a

• BB' = 2b OB = OB' = b

• FF' = 2c OF = OF' = c

• F

• F'

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Excentricidad de la hipérbola

• e = c/a• e > 1 ya que c > a• En la medida en que e se hace muy grande las ramas de la hipérbola se abren cada vez más.• En la medida en que e se aproxima a 1 las ramas se cierran sobre el eje OX.

Sucesivas hipérbolas en las que a = 5.Los focos, al crecer e, se van alejando del centro.

e = 3

e = 1.1

e = 2

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Ecuación de la hipérbola

Para obtener una ecuación sencilla de la hipérbola se sitúan los focos en el eje de abscisas simétricos respecto al origen de coordenadas, por lo que el centro de la elipse quedará en (0,0).

Las coordenadas de los focos serán entonces F(c, 0) y F'(–c, 0).

P(x, y) hipérbola PF – PF'| = 2a (x-c)2+y

2 – (x+c)

2+y

2 |= 2a

• Eliminando radicales: (c2 – a2) x2 – a2 y2 = a2 (c2 – a2).

• Como a2 + b2 = c2. Obtenemos: b2 x2 – a2 y2 = a2 b2, y dividiendo por a2 b2: x

2

a2 –

y2

b2 = 1

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Tangente y normal a una hipérbola en un punto

• Ecuación de la recta tangente: y – f(xo) = f '(xo) (x – xo)

• Ecuación de la recta normal: y – f(xo) = (–1/ f '(xo)) (x – xo)

Propiedad de la tangente: los radio-vectores del punto P forman el mismo ángulo con la recta tangente en dicho punto.

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Clasificación de las cónicas

La gráfica de cualquier cónica no degenerada de ecuaciónAx2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

• es una elipse si: B2 – 4AC < 0• es una parábola si: B2 – 4AC = 0• es una hipérbola si: B2 – 4AC > 0

Además si B = 0 los ejes de la cónica son paralelos a los ejes coordenados, y si B 0 la cónica tiene los ejes girados respecto a los ejes cartesianos.

La ecuación general de esta cónica es

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0con B = 0 y B2 – 4AC < 0


Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0con B = 0 y B2 – 4AC > 0


Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0con B = 0 y B2 – 4AC = 0

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Otra clasificación de las cónicas

Dado un punto F llamado foco, una recta fija d (que no pase por F) llamada directriz y un número e > 0, el conjunto de los puntos P del plano tal que

d(P, F) = e . d(P, d)es una cónica de excentricidad e.

• Si e < 1 es una elipse• Si e = 1 es una parábola• Si e > 1 es una hipérbola

Elipses

Parábola

Hipérbola

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