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Tema 5: Muestreo

1. Motivación.2. Esquema.3. Conocimientos previos.4. Muestreo uniforme.5. Reconstrucción ideal.6. Algunos aspectos prácticos.7. Resumen.

c!Luis Vielva, Grupo de Tratamiento Avanzado de Senal. Dpt. Ingenierıa de Comunicaciones. Universidad de Cantabria. Senales y sistemas. Tema 5: Muestreo. OpenCourseWare – p. 1/??

Motivación

Gran parte de las señales de nuestra experienciacotidiana son continuas; sin embargo, cada vez más, seprocesan digitalmente.

El muestreo de señales continuas, y su reconstruccióna partir de secuencias discretas constituye la interfazentre los mundos continuo y discreto.

La teoría de muestreo desempeña un papelfundamental en determinar la exactitud y viabiliad decualquier esquema de tratamiento digital.

Luis Vielva, Grupo de Tratamiento Avanzado de Senal, DICOM, UC. Plaza 612, BOE 8/8/2001, Ejercicio 2.– p.2/17

Esquema

Ejemplos cotidianos de muestreo y reconstucción.Planteamiento del problema.Conocimientos previos necesarios.Muestreo uniforme: Teorema de Muestreo.Reconstrucción ideal.Algunos aspectos prácticos.Resumen de los conceptos más importantes.


Ejemplos cotidianos de muestreo y reconstrucción

El sonido se almacena en un CD como una secuenciadiscreta (44100 muestras por segundo).Una película de cine consiste en una secuencia deimágenes estáticas (24 por segundo). Sin embargo,nosotros lo percibimos como una secuencia continua.Una pantalla de ordenador muestra las imágenes enuna matriz espacial discreta (800 ! 600, 1024 ! 768).


Planteamiento del problema

t0



t0 T

Tomamos muestras de x(t) en t = nT , n " Z.



t0 T

Tomamos muestras de x(t) en t = nT , n " Z.La secuencia x[n] = x(nT ) está unívocamente definida.



t0 T

Tomamos muestras de x(t) en t = nT , n " Z.La secuencia x[n] = x(nT ) está unívocamente definida.Dada x[n], ¿a qué señal continua representa?



t0 T

Tomamos muestras de x(t) en t = nT , n " Z.La secuencia x[n] = x(nT ) está unívocamente definida.Dada x[n], ¿a qué señal continua representa?La respuesta depende de un criterio a priori.



t0 T

Tomamos muestras de x(t) en t = nT , n " Z.La secuencia x[n] = x(nT ) está unívocamente definida.Dada x[n], ¿a qué señal continua representa?La respuesta depende de un criterio a priori.Espectro: señales limitadas en banda.


Conocimientos previos (I)Propiedades de la Delta de Dirac:

x(t)!(t# t0) = x(t0)!(t# t0), x(t) $ !(t# t0) = x(t# t0).

Dos puntos de vista: dominio temporal y frecuencial.

x(t)F%& X(j!).

Propiedades de multiplicación y convolución:

x(t)y(t)F%& 1

2"X(j!)$Y (j!), x(t)$y(t)

F%& X(j!)Y (j!).

Transformada de Fourier de un tren de deltas:!!

k="!!(t # kT )

F%& 2"

T

!!

k="!!

"! # 2"k

T

#.


Conocimientos previos (II)Transformada de Fourier de un pulso de anchura T :

x(t) =

$1, |t| < T/2,

0, |t| > T/2.F%& Tsinc

"!T

2"

#.

x0 1

1sinc(x)

Filtro paso bajo ideal de frecuencia de corte !c:

!c

"sinc

"!ct

"

#F%& X(j!) =

$1, |!| < !c,

0, |!| > !c.


Muestreo uniforme (dominio del tiempo)

t0 T

x(t)



t0 T

x(t)

t0 T

1

p(t) ='%

k=#'!(t # kT )

!



t0 T

x(t)

t0 T

1

p(t) ='%

k=#'!(t # kT )

!t0 T

xp(t) ='%

k=#'x[n]!(t # kT )


Muestreo uniforme (dominio de la frecuencia)



!0

1

!m

X(j!)



!0

1

!m

X(j!)

!0

2"T

P (j!) = 2"T

'%k=#'

!(! # k!s)

!s



!0

1

!m

X(j!)

$

!0

2"T

P (j!) = 2"T

'%k=#'

!(! # k!s)

!s



!0

1

!m

X(j!)

$

!0

2"T

P (j!) = 2"T

'%k=#'

!(! # k!s)

!s

!0 !s

Xp(j!) = 1T

'%k=#'

X(j(! # k!s))

1T

!m !s # !m



!0

1

!m

X(j!)

$

!0

2"T

P (j!) = 2"T

'%k=#'

!(! # k!s)

!s

!0 !s

Xp(j!) = 1T

'%k=#'

X(j(! # k!s))

1T

!m !s # !m

Teorema de muestreo: una señal continua limitada enbanda, con ancho de banda !m, puede reconstruirse a partirde sus muestras si la frecuencia de muestreo !s es mayorque el doble del ancho de banda: !s > 2!m.


Reconstrucción ideal (dominio de la frecuencia)

!0 !s

Xp(j!) = 1T

'%k=#'

X(j(! # k!s))

1T

!m !s # !m


Reconstrucción ideal (dominio de la frecuencia)

!0 !s

Xp(j!) = 1T

'%k=#'

X(j(! # k!s))

1T

!m !s # !m

!

!0 !s2

T

!0

1

!m

X(j!)


Reconstrucción ideal (dominio del tiempo)

t0 T

xp(t) ='%

n=#'x[n]!(t # nT )



t0 T

xp(t) ='%

n=#'x[n]!(t # nT )

$

t0 T!s2!c

2!c/!s

h(t) = sinc&

!s2" t

'



t0 T

xp(t) ='%

n=#'x[n]!(t # nT )

$

t0 T!s2!c

2!c/!s

h(t) = sinc&

!s2" t

'

t0 T



t0 T

xp(t) ='%

n=#'x[n]!(t # nT )

$

t0 T!s2!c

2!c/!s

h(t) = sinc&

!s2" t

'

t0 T

x(t) ='%

n=#'x[n]sinc

&!s2" (t # nT )

'


Proceso ideal completo

t0 Tx(t)

F%& X(j!)!0

1

!m

t0 T

1

p(t)F%& P (j!)

!0

2"T

!s

t0 Txp(t)

F%& Xp(j!)!0 !m !s

1T

t0 !sT2!c

2!c/!s

h(t)F%& H(j!)

!0 !c

T

t0 T

xp(t) $ h(t)F%& Xp(j!)H(j!)

!0

1

!m


Algunos aspectos prácticos

Hemos hecho la suposición de que la señal originalestá limitada en banda:Filtro antialiasing.

El filtro de reconstrucción ideal es irrealizable:Otros esquemas de reconstrucción.Sobremuestreo.


Filtro antialiasing

Muestreo a !s < 2!m sin filtro antialiasing:

!!s # !m


Filtro antialiasing

Muestreo a !s < 2!m sin filtro antialiasing:

!!s # !m

Muestreo a !s < 2!m con filtro antialiasing:

!!s2


Reconstrucción práctica (dominio del tiempo)

t0 T

xp(t) ='%

n=#'x[n]!(t # nT )



t0 T

xp(t) ='%

n=#'x[n]!(t # nT )

$

t0 T

1

h0(t)



t0 T

xp(t) ='%

n=#'x[n]!(t # nT )

$

t0 T

1

h0(t)

t0 T t0 T

x0(t) ='%

n=#'x[n]h0(t # nT )


Reconstrucción práctica (dominio de la frecuencia)

!0 !s

Xp(j!) = 1T

'%k=#'

X(j(! # k!s))

1T

!m !s # !m



!0 !s

Xp(j!) = 1T

'%k=#'

X(j(! # k!s))

1T

!m !s # !m

!

!!s2

T

!s 2!s



!0 !s

Xp(j!) = 1T

'%k=#'

X(j(! # k!s))

1T

!m !s # !m

!

!!s2

T

!s 2!s

!0

1

!m

X(j!)



!0 !s

Xp(j!) = 1T

'%k=#'

X(j(! # k!s))

1T

!m !s # !m

!

!!s2

T

!s 2!s

!0

1

!m

X(j!)

!0

1

!m

|Hc(j!)|


Resumen de los conceptos más importantes

Teorema de Muestreo:Una señal continua limitada en banda estáperfectamente representada por una secuenciadiscreta de muestras equiespaciadas tomadas conuna frecuencia no inferior al doble del ancho debanda.

Aspectos prácticos:Limitación de ancho de banda.Filtro antialiasing.El sobremuestreo facilita la reconstrucción.


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