Tema 5: Introducci n al aprendizaje autom tico · Introduccion Arboles´ Reglas El teorema de Bayes...

Introduccion Arboles Reglas El teorema de Bayes Naive Bayes kNN Clustering

Tema 5: Introduccion al aprendizaje automatico

M. A. Gutierrez NaranjoF. J. Martın MateosJ. L. Ruiz Reina

Dpto. Ciencias de la Computacion e Inteligencia ArtificialUniversidad de Sevilla


Contenido

• Introduccion

• Aprendizaje de arboles de decision

• Aprendizaje de reglas

• El teorema de Bayes

• Clasificacion mediante modelos probabilısticos: naive Bayes

• Aprendizaje basado en instancias: kNN

• Clustering: k-medias


Seccion 1

Seccion 1Introduccion


Aprendizaje

• Definiciones de aprendizaje:• Cualquier cambio en un sistema que le permita realizar la

misma tarea de manera mas eficiente la proxima vez (H.Simon)

• Modificar la representacion del mundo que se esta percibiendo(R. Michalski)

• Realizar cambios utiles en nuestras mentes (M. Minsky)

• Aprendizaje automatico: construir programas que mejoranautomaticamente con la experiencia

• Ejemplos de tareas:• Construccion de bases de conocimiento a partir de la

experiencia• Clasificacion y diagnostico• Minerıa de datos, descubrir estructuras desconocidas en

grandes grupos de datos• Resolucion de problemas, planificacion y accion


Tipos de aprendizaje y paradigmas

• Tipos de aprendizaje• Supervisado• No supervisado• Con refuerzo

• Paradigmas• Aprendizaje por memorizacion• Clasificacion (Clustering)• Aprendizaje inductivo• Aprendizaje por analogıa• Descubrimiento• Algoritmos geneticos, redes neuronales


Ejemplo de aprendizaje

• Conjunto de entrenamiento• Ejemplos: dıas en los que es recomendable (o no) jugar al tenis• Representacion como una lista de pares atributo–valor

Ej. Cielo Temperatura Humedad Viento JugarTenisD1 Soleado Alta Alta Debil -D2 Soleado Alta Alta Fuerte -D3 Nublado Alta Alta Debil +D4 Lluvia Suave Alta Debil +. . .

• Objetivo: Dado el conjunto de entrenamiento, aprender elconcepto “Dıas en los que se juega al tenis”

• Se trata de aprendizaje supervisado

• Problema: ¿Como expresar lo aprendido?• En este tema, veremos algoritmos para aprender arboles de

decision, reglas, modelos probabilısticos,...


Seccion 2

Seccion 2Aprendizaje de arboles de decision


Arboles de decision

• Ejemplos de arboles de decision

Cielo

LluviaSoleado Nublado

+Viento

Debil

+

Humedad

Alta

+− −

Normal Fuerte


Arboles de decision

• Ejemplos de arboles de decision

Color

Rojo Verde Azul

Forma

Redondo Cuadrado

Grande

Tamano

Pequeno

Grande

−

Tamano

Pequeno

+ −

+ −

+


Arboles de decision

• Arboles de decision• Nodos interiores: atributos• Arcos: posibles valores del nodo origen• Hojas: valor de clasificacion (usualmente + o −, aunque

podrıa ser cualquier conjunto de valores, no necesariamentebinario)

• Representacion de una funcion objetivo

• Disyuncion de reglas proposicionales:

(Cielo=Soleado ∧ Humedad=Alta → JugarTenis= −)∨ (Cielo=Soleado ∧ Humedad=Normal → JugarTenis= +)∨ (Cielo=Nublado → JugarTenis= +)∨ (Cielo=Lluvioso ∧ Viento=Fuerte → JugarTenis= −)∨ (Cielo=Lluvioso ∧ Viento=Debil → JugarTenis= +)

• Capaz de representar cualquier subconjunto de instancias


Aprendizaje de arboles de decision

• Objetivo: aprender un arbol de decision consistente con losejemplos, para posteriormente clasificar ejemplos nuevos

• Ejemplo de conjunto de entrenamiento:

Ej. Cielo Temperatura Humedad Viento JugarTenisD1 Soleado Alta Alta Debil -D2 Soleado Alta Alta Fuerte -D3 Nublado Alta Alta Debil +D4 Lluvia Suave Alta Debil +. . .


Algoritmo ID3

Algoritmo ID3

ID3(Ejemplos, Atributo-objetivo, Atributos)1. Si todos los Ejemplos son positivos, devolver un nodo

etiquetado con +2. Si todos los Ejemplos son negativos, devolver un nodo

etiquetado con -3. Si Atributos est a vac´ıo, devolver un nodo etiquetado con el valor

mas frecuente de Atributo-objetivo en Ejemplos.4. En otro caso:4.1. Sea A el atributo de Atributos que MEJOR clasifica Ejemp los4.2. Crear Arbol, con un nodo etiquetado con A.4.3. Para cada posible valor v de A, hacer:

* Anadir un arco a Arbol, etiquetado con v.* Sea Ejemplos(v) el subconjunto de Ejemplos con valor del

atributo A igual a v.* Si Ejemplos(v) es vac´ıo:

- Entonces colocar debajo del arco anterior un nodo etiqueta docon el valor m as frecuente de Atributo-objetivo en Ejemplos.

- Si no, colocar debajo del arco anterior el sub arbolID3(Ejemplos(v), Atributo-objetivo, Atributos-{A}).

4.4 Devolver Arbol


¿Como saber que atributo clasifica mejor?

• Entropıa de un conjunto de ejemplos D (resp. de unaclasificacion):

Ent(D) = − |P||D| · log2

|P||D| −

|N||D| · log2

|N||D|

donde P y N son, respectivamente, los subconjuntos deejemplos positivos y negativos de D

• Notacion: Ent([p+, n−]), donde p = |P | y n = |N |

• Intuicion:• Mide la ausencia de “homegeneidad” de la clasificacion• Teorıa de la Informacion: cantidad media de informacion (en

bits) necesaria para codificar la clasificacion de un ejemplo

• Ejemplos:• Ent([9+, 5−]) = − 9

14 · log2914 −

514 · log2

514 = 0.94

• Ent([k+, k−]) = 1 (ausencia total de homogeneidad)• Ent([p+, 0−]) = Ent([0+, n−]) = 0 (homogeneidad total)


Ganancia de informacion

• Preferimos nodos con menos entropıa (arboles pequenos)

• Entropıa esperada despues de usar un atributo A en el arbol:∑

v∈Valores(A)|Dv ||D| · Ent(Dv )

donde Dv es el subconjunto de ejemplos de D con valor delatributo A igual a v

• Ganancia de informacion esperada despues de usar unatributo A:Ganancia(D,A) = Ent(D)−

∑

v∈Valores(A)|Dv ||D| · Ent(Dv)

• En el algoritmo ID3, en cada nodo usamos el atributo conmayor ganancia de informacion (considerando los ejemploscorrespondientes al nodo)


Algoritmo ID3 (ejemplo 1)

• Conjunto de entrenamiento:

Ej. Cielo Temperatura Humedad Viento JugarTenisD1 Soleado Alta Alta Debil -D2 Soleado Alta Alta Fuerte -D3 Nublado Alta Alta Debil +D4 Lluvia Suave Alta Debil +D5 Lluvia Baja Normal Debil +D6 Lluvia Baja Normal Fuerte -D7 Nublado Baja Normal Fuerte +D8 Soleado Suave Alta Debil -D9 Soleado Baja Normal Debil +D10 Lluvia Suave Normal Debil +D11 Soleado Suave Normal Fuerte +D12 Nublado Suave Alta Fuerte +D13 Nublado Alta Normal Debil +D14 Lluvia Suave Alta Fuerte -



Normal

Humedad

Alta

[3+, 4−] [6+, 1−]

Viento

Fuerte Debil

[6+, 2−] [3+, 3−]

TemperaturaCielo

[2+, 2−] [4+, 2−] [3+, 1−]

BajaSuaveAltaLluvia

[2+, 3−] [3+, 2−][4+, 0−]

Soleado Nublado



• Entropıa inicial: Ent([9+, 5−]) = 0.94

• Seleccion del atributo para el nodo raız:• Ganancia(D,Humedad) =

0.94− 714 · Ent([3

+, 4−])− 714 · Ent([6

+, 1−]) = 0.151• Ganancia(D,Viento) =

0.94− 814 · Ent([6

+, 2−])− 614 · Ent([3

+, 3−]) = 0.048• Ganancia(D,Cielo) =

0.94− 514 · Ent([2

+, 3−])− 414 · Ent([4

+, 0−])− 5

14 · Ent([3+, 2−]) = 0.246 (mejor atributo)

• Ganancia(D,Temperatura) =0.94− 4

14 · Ent([2+, 2−])− 6

14 · Ent([4+, 2−])

− 414 · Ent([3

+, 1−]) = 0.02

• El atributo seleccionado es Cielo



• Arbol parcialmente construido:

?

Cielo

Soleado Nublado Lluvia

+ ?



• Seleccion del atributo para el nodo Cielo=Soleado

• DSoleado = {D1,D2,D8,D9,D11} con entropıaEnt([2+, 3−]) = 0.971

• Ganancia(DSoleado,Humedad) =0.971− 3

5 · 0−25 · 0 = 0.971 (mejor atributo)

• Ganancia(DSoleado,Temperatura) =0.971− 2

5 · 0−25 · 1−

15 · 0 = 0.570

• Ganancia(DSoleado,Viento) =0.971− 2

5 · 1−35 · 0.918 = 0.019

• El atributo seleccionado es Humedad



• Seleccion del atributo para el nodo Cielo=Lluvia:

• DLluvia = {D4,D5,D6,D10,D14} con entropıaEnt([3+, 2−]) = 0.971

• Ganancia(DLluvia,Humedad) =0.971− 2

5 · 1−35 · 0.918 = 0.820

• Ganancia(DLluvia,Temperatura) =0.971− 3

5 · 0.918−25 · 1 = 0.820

• Ganancia(DLluvia,Viento) =0.971− 3

5 · 0−25 · 0 = 0.971 (mejor atributo)

• El atributo seleccionado es Viento



• Arbol finalmente aprendido:

Cielo

LluviaSoleado Nublado

+Viento

Debil

+

Humedad

Alta

+− −

Normal Fuerte



• Conjunto de entrenamiento:

Ej. Color Forma Tamano ClaseO1 Rojo Cuadrado Grande +O2 Azul Cuadrado Grande +O3 Rojo Redondo Pequeno -O4 Verde Cuadrado Pequeno -O5 Rojo Redondo Grande +O6 Verde Cuadrado Grande -



• Entropıa inicial en el ejemplo de los objetos, Ent([3+, 3−]) = 1

• Seleccion del atributo para el nodo raız:• Ganancia(D,Color) =

1− 36 ·Ent([2

+, 1−])− 16 ·Ent([1

+, 0−])− 26 ·Ent([0

+, 2−]) = 0.543• Ganancia(D,Forma) =

1− 46 · Ent([2

+, 2−])− 26 · Ent([1

+, 1−]) = 0• Ganancia(D,Tamano) =

1− 46 · Ent([3

+, 1−])− 26 · Ent([0

+, 2−]) = 0.459

• El atributo seleccionado es Color



• Arbol parcialmente construido:

?

Color

Rojo Verde Azul

− +



• Seleccion del atributo para el nodo Color=Rojo:

• DRojo = {O1,O3,O5} con entropıa Ent([2+, 1−]) = 0.914• Ganancia(DRojo,Forma) =

0.914− 13 · Ent([1

+, 0−])− 23 · Ent([1

+, 1−]) = 0.247• Ganancia(DRojo,Tamano) =

0.914− 23 · Ent([2

+, 0−])− 13 · Ent([0

+, 1−]) = 0.914

• El atributo seleccionado es Tamano



• Arbol finalmente aprendido:

Grande

Color

Rojo Verde Azul

−Tamano

Pequeno

+

+ −


Busqueda y sesgo inductivo

• Busqueda local en un espacio de hipotesis• Espacio de todos los arboles de decision• Un unico arbol candidato en cada paso• Sin retroceso (peligro de optimos locales), busqueda en

escalada• Decisiones tomadas a partir de conjuntos de ejemplos

• Sesgo inductivo• Se prefieren arboles mas cortos sobre los mas largos• Sesgo preferencial, implıcito en la busqueda• Principio de la navaja de Occam


Algunos cuestiones practicas a resolver en aprendizajeautomatico

• Validar la hipotesis aprendida

• ¿Podemos cuantificar la bondad de lo aprendido respecto de laexplicacion real?

• Sobreajuste• ¿Se ajusta demasiado lo aprendido al conjunto de

entrenamiento?


Medida del rendimiento del aprendizaje

• Conjuntos de entrenamiento y prueba (test)• Aprender con el conjunto de entrenamiento• Medir el rendimiento en el conjunto de prueba:

• proporcion de ejemplos bien clasificados en el conjunto deprueba

• Repeticion de este proceso• Curva de aprendizaje• Estratificacion: cada clase correctamente representada en el

entrenamiento y en la prueba

• Si no tenemos suficientes ejemplos como para apartar unconjunto de prueba: validacion cruzada

• Dividir en k partes, y hace k aprendizajes, cada uno de ellostomando como prueba una de las partes y entrenamiento elresto. Finalmente hacer la media de los rendimientos.

• En la practica: validacion cruzada, con k = 10 y estratificacion


Sobreajuste y ruido

• Una hipotesis h ∈ H sobreajusta los ejemplos deentrenamiento si existe h′ ∈ H que se ajusta peor que h a losejemplos pero actua mejor sobre la distribucion completa deinstancias.

• Ruido: ejemplos incorrectamente clasificados. Causasobreajuste

• Ejemplo: supongamos que por error, se incluye el ejemplo<Azul,Redondo,Pequeno> como ejemplo negativo

• El arbol aprendido en este caso serıa (sobrejustado a losdatos):

Color

Rojo Verde Azul

Grande

−Tamano

+ −

Pequeno

+

Color

Rojo Verde Azul

Forma

CuadradoGrande

−Tamano

+ − − +

RedondoPequeno


Sobreajuste y ruido

• Otras causas de sobreajuste:• Atributos que en los ejemplos presentan una aparente

regularidad pero que no son relevantes en realidad• Conjuntos de entrenamiento pequenos

• Maneras de evitar el sobreajuste en arboles de decision:• Parar el desarrollo del arbol antes de que se ajuste

perfectamente a todos los datos• Podar el arbol a posteriori

• Poda a posteriori, dos aproximaciones:• Transformacion a reglas, podado de las condiciones de las

reglas• Realizar podas directamente en el arbol• Las podas se producen siempre que reduzcan el error sobre un

conjunto de prueba


Podado de arboles

Algoritmo de poda para reducir el error

1. Dividir el conjunto de ejemplos en Entrenamiento y Prueba2. Arbol= arbol obtenido por ID3 usando Entrenamiento3. Continuar=True4. Mientras Continuar:

* Medida = proporci on de ejemplos en Prueba correctamenteclasificados por Arbol

* Por cada nodo interior N de Arbol:- Podar temporalmente Arbol en el nodo N y sustituirlo por una

hoja etiquetada con la clasificaci on mayoritaria en ese nodo- Medir la proporci on de ejemplos correctamente clasificados en

el conjunto de prueba.* Sea K el nodo cuya poda produce mejor rendimiento* Si este rendimiento es mejor que Medida, entonces

Arbol = resultado de podar permanentemente Arbol en K* Si no, Continuar=Falso

5. Devolver Arbol


Otras cuestiones practicas del algoritmo ID3

• Extensiones del algoritmo:• Atributos con valores contınuos• Otras medidas para seleccionar atributos• Otras estimaciones de error• Atributos sin valores• Atributos con coste

• Algoritmos C4.5 y C5.0 (Quinlan)


Seccion 3

Seccion 3Aprendizaje de reglas


Cambiando la salida: reglas proposicionales

• Reglas de clasificacion:• R1: Si Cielo=Soleado ∧ Humedad=Alta

Entonces JugarTenis= −• R2: Si Astigmatismo=+ ∧ Lagrima=Normal

Entonces Lente=Rigida

• Ventaja de usar el formalismo de reglas• Claridad• Modularidad• Expresividad: pueden representar cualquier conjunto de

instancias• Metodos generalizables a primer orden de manera natural• Formalismo usado en sistemas basados en el conocimiento

• Reglas y arboles de decision• Facil traduccion de arbol a reglas, pero no a la inversa


Aprendizaje de reglas

• Objetivo: aprender un conjunto de reglas consistente con losejemplos

• Una regla cubre un ejemplo si el ejemplo satisface lascondiciones

• Lo cubre correctamente si ademas el valor del atributo en laconclusion de la regla coincide con el valor que el ejemplotoma en ese atributo

• Una medida del ajuste de una regla R a un conjunto deejemplos D:

• Frecuencia relativa: p/t (donde t = ejemplos cubiertos por Ren D, p = ejemplos correctamente cubiertos). Notacion:FR(R ,D)

• Algoritmos de aprendizaje de reglas:• ID3 + traduccion a reglas• Cobertura• Algoritmos geneticos


Un conjunto de entrenamiento

Ej. Edad Dignostico Astigmatismo Lagrima LenteE1 Joven Miope - Reducida NingunaE2 Joven Miope - Normal BlandaE3 Joven Miope + Reducida NingunaE4 Joven Miope + Normal RıgidaE5 Joven Hipermetrope - Reducida NingunaE6 Joven Hipermetrope - Normal BlandaE7 Joven Hipermetrope + Reducida NingunaE8 Joven Hipermetrope + Normal RıgidaE9 PrePresbicia Miope - Reducida NingunaE10 PrePresbicia Miope - Normal BlandaE11 PrePresbicia Miope + Reducida NingunaE12 PrePresbicia Miope + Normal RıgidaE13 PrePresbicia Hipermetrope - Reducida NingunaE14 PrePresbicia Hipermetrope - Normal BlandaE15 PrePresbicia Hipermetrope + Reducida NingunaE16 PrePresbicia Hipermetrope + Normal Ninguna


Un conjunto de entrenamiento

Ej. Edad Dignostico Astigmatismo Lagrima LenteE17 Presbicia Miope - Reducida NingunaE18 Presbicia Miope - Normal NingunaE19 Presbicia Miope + Reducida NingunaE20 Presbicia Miope + Normal RıgidaE21 Presbicia Hipermetrope - Reducida NingunaE22 Presbicia Hipermetrope - Normal BlandaE23 Presbicia Hipermetrope + Reducida NingunaE24 Presbicia Hipermetrope + Normal Ninguna

• R2: Si Astigmatismo=+ ∧ Lagrima=Normal


• R2 cubre E4, E8, E12, E16, E20 y E24, de los cuales cubrecorrectamente E4, E8, E12 y E20


Aprendiendo reglas que cubren ejemplos

• Aprender una regla para clasificar Lente=Rigida

• Si ?Entonces Lente=Rigida

• Alternativas para ?, y frecuencia relativa de la regla resultante

Edad=Joven 2/8Edad=PrePresbicia 1/8Edad=Presbicia 1/8Diagnostico=Miopıa 3/12Diagnostico=Hipermetropıa 1/12Astigmatismo=− 0/12Astigmatismo=+ 4/12 *Lagrima=Reducida 0/12Lagrima=Normal 4/12 *

• Regla parcialmente aprendida• Si Astigmatismo=+




• Continuamos para excluir ejemplos cubiertos incorrectamente• Si Astigmatismo=+ ∧ ?



Edad=Joven 2/4Edad=PrePresbicia 1/4Edad=Presbicia 1/4Diagnostico=Miopıa 3/6Diagnostico=Hipermetropıa 1/6Lagrima=Reducida 0/6Lagrima=Normal 4/6 *

• Regla parcialmente aprendida• Si Astigmatismo=+ ∧ Lagrima=Normal




• Continuamos para excluir ejemplos cubiertos incorrectamente• Si Astigmatismo=+ ∧ Lagrima=Normal ∧ ?



Edad=Joven 2/2 *Edad=PrePresbicia 1/2Edad=Presbicia 1/2Diagnostico=Miopıa 3/3 *Diagnostico=Hipermetropıa 1/3

• Regla finalmente aprendida (no cubre incorrectamente ningunejemplo)

• Si Astigmatismo=+ ∧ Lagrima=Normal ∧Diagnostico=Miopia




• Queda un ejemplo con Lente=Rigida no cubierto por R2• Comenzamos otra vez con “Si ? Entonces Lente=Rigida”,

pero ahora con D ′ = D \ {E4,E12,E20}

• Reglas finalmente aprendidas para Lente=Rigida:• R1: Si Astigmatismo= + ∧ Lagrima=Normal ∧

Diagnostico=Miopia


• R2: Si Edad=Joven ∧ Astigmatismo= + ∧Lagrima=Normal


• Cubren correctamente los 4 ejemplos de Lente=Rigida (y sesolapan)

• Ahora se podrıa continuar para aprender reglas queclasifiquen:

• Lente=Blanda

• Lente=Ninguna


Algoritmo de aprendizaje de reglas por cobertura

Algoritmo de aprendizaje por cobertura

Aprendizaje-por-Cobertura(D,Atributo,v)1. Hacer Reglas-aprendidas igual a vac´ıo2. Hacer E igual a D3. Mientras E contenga ejemplos cuyo valor de Atributo es v, h acer:3.1 Crear una regla R sin condiciones y conclusi on Atributo=v3.2 Mientras que haya en E ejemplos cubiertos por R incorrect amente

o no queden atributos que usar, hacer:3.2.1 Elegir la MEJOR condici on A=w para a nadir a R, donde A es

un atributo que no aparece en R y w es un valor de losposibles que puede tomar A

3.2.2 Actualizar R a nadiendo la condici on A=w a R3.3 Incluir R en Reglas-aprendidas3.4 Actualizar E quitando los ejemplos cubiertos por R4. Devolver Reglas-Aprendidas

• Algoritmo para aprender un conjunto de reglas (a partir de D)• Reglas para predecir situaciones en las que un Atributo dado

toma un valor v


Control en el algoritmo de cobertura

• Bucle externo:• Anade reglas (la hipotesis se generaliza)• Cada regla anadida cubre algunos ejemplos correctamente• Elimina en cada vuelta los ejemplos cubiertos por la regla

anadida• Y se anaden reglas mientras queden ejemplos sin cubrir

• Bucle interno:• Anade condiciones a la regla (la regla se especializa)• Cada nueva condicion excluye ejemplos cubiertos

incorrectamente• Y esto se hace mientras haya ejemplos incorrectamente

cubiertos

• Cobertura frente a ID3• Aprende una regla cada vez, ID3 lo hace simultaneamente• ID3: elecciones de atributos• Cobertura: elcciones de parejas atributo-valor


Algoritmo de cobertura (propiedades)

• Diferentes criterios para elegir la mejor condicion en cadavuelta del bucle interno:

• Se anade la condicion que produzca la regla con mayorfrecuencia relativa (como en el ejemplo)

• Se anade la que produzca mayor ganancia de informacion:

p · (log2p′

t′− log2

pt)

donde p′/t ′ es la frecuencia relativa despues de anadir lacondicion y p/t es la frecuencia relativa antes de anadir lacondicion

• Las reglas aprendidas por el algoritmo de cobertura se ajustanperfectamente al conjunto de entrenamiento (peligro desobreajuste)

• Podado de las reglas a posteriori• Eliminar progresivamente condiciones hasta que no se

produzca mejora• Criterio probabilıstico para decidir la mejora


Seccion 3

Seccion 3El teorema de Bayes


Formulacion de la regla de Bayes

• De P(a ∧ b) = P(a|b)P(b) = P(b|a)P(a) podemos deducir lasiguiente formula, conocida como regla de Bayes

P(b|a) =P(a|b)P(b)

P(a)

• Regla de Bayes para variables aleatorias:

P(Y |X ) =P(X |Y )P(Y )

P(X )

• recuerdese que esta notacion representa un conjunto deecuaciones, una para cada valor especıfico de las variables

• Version con normalizacion:

P(Y |X ) = α · P(X |Y )P(Y )

• Generalizacion, en presencia de un conjunto e deobservaciones:

P(Y |X , e) = α · P(X |Y , e)P(Y |e)


Ejemplo de uso de la regla de Bayes

• Sabemos que la probabilidad de que un paciente de meningitistenga el cuello hinchado es 0.5 (relacion causal)

• Tambien sabemos la probabilidad (incondicional) de tenermeningitis ( 1

50000 ) y de tener el cuello hinchado (0.05)

• Estas probabilidades provienen del conocimiento y laexperiencia

• La regla de Bayes nos permite diagnosticar la probabilidad detener meningitis una vez que se ha observado que el pacientetiene el cuello hinchado

P(m|h) =P(h|m)P(m)

P(h)=

0.5 × 150000

0.05= 0.0002

• Alternativamente, podrıamos haberlo hecho normalizando• P(M |h) = α〈P(h|m)P(m);P(h|¬m)P(¬m)〉• Respecto de lo anterior, esto evita P(h) pero obliga a saber

P(h|¬m)


Relaciones causa-efecto y la regla de Bayes

• Modelando probabilısticamente una relacion entre una Causay un Efecto:

• La regla de Bayes nos da una manera de obtener laprobabilidad de Causa, dado que se ha observado Efecto:

P(Causa|Efecto) = α · P(Efecto|Causa)P(Efecto)

• Nos permite diagnosticar en funcion de nuestro conocimientode relaciones causales y de probabilidades a priori

• ¿Por que calcular el diagnostico en funcion del conocimientocausal y no al reves?

• Porque es mas facil y robusto disponer de probabilidadescausales que de probabilidades de diagnostico (lo que se sueleconocer es P(Efecto|Causa) y el valor que ha tomado Efecto).


Regla de Bayes: ejemplo

• Consideremos la siguiente informacion sobre el cancer demama

• Un 1% de las mujeres de mas de 40 anos que se hacen unchequeo tienen cancer de mama

• Un 80% de las que tienen cancer de mama se detectan conuna mamografıa

• El 9.6% de las que no tienen cancer de mama, al realizarse unamamografıa se le diagnostica cancer erroneamente


Regla de Bayes: ejemplo

• Pregunta 1: ¿cual es la probabilidad de tener cancer si lamamografıa ası lo diagnostica?

• Variables aleatorias: C (tener cancer de mama) y M(mamografıa positiva)

• P(C |m) = αP(C ,m) = αP(m|C )P(C ) =α〈P(m|c)P(c);P(m|¬c)P(¬c)〉 = α〈0.8 · 0.01; 0.096 · 0.99〉 =α〈0.008; 0.09504〉= 〈0.0776; 0.9223〉

• Luego el 7.8% de las mujeres diagnosticadas positivamente conmamografıa tendran realmente cancer de mama


Reglas de Bayes: ejemplo

• Pregunta 2: ¿cual es la probabilidad de tener cancer si tras dosmamografıas consecutivas en ambas se diagnostica cancer?

• Variables aleatorias: M1 (primera mamografıa positiva) y M2

(segunda mamografıa positiva)• Obviamente, no podemos asumir independencia incondicional

entre M1 y M2

• Pero es plausible asumir independencia condicional de M1 yM2 dada C

• Por tanto, P(C |m1,m2) = αP(C ,m1,m2) =αP(m1,m2|C )P(C ) = αP(m1|C )P(m2|C )P(C ) =α〈P(m1|c)P(m2|c)P(c);P(m2|¬c)P(m2|¬c)P(¬c)〉 =α〈0.8 · 0.8 · 0.01; 0.096 · 0.096 · 0.99〉 = 〈0.412; 0.588〉

• Luego aproximadamente el 41% de las mujeres doblementediagnosticadas positivamente con mamografıa tendranrealmente cancer de mama


Seccion 6

Seccion 6Clasificacion mediante modelos probabilısticos: naive Bayes


Clasificadores Naive Bayes

• Supongamos un conjunto de atributos A1, . . . ,An cuyosvalores determinan un valor en un conjunto finito V deposibles “clases” o “categorıas”

• Tenemos un conjunto de entrenamiento D con una serie detuplas de valores concretos para los atributos, junto con suclasificacion

• Queremos aprender un clasificador tal que clasifique nuevasinstancias 〈a1, . . . , an〉

• Es decir, el mismo problema en el tema de aprendizaje dearboles de decision y de reglas (pero ahora lo abordaremosdesde una perspectiva probabilıstica).



• Podemos disenar un modelo probabilıstico para un problemade clasificacion de este tipo, tomando los atributos y laclasificacion como variables aleatorias

• El valor de clasificacion asignado a una nueva instancia〈a1, . . . , an〉, notado vMAP vendra dado por

argmaxvj∈V

P(vj |a1, . . . , an)

• Aplicando el teorema de Bayes podemos escribir

vMAP = argmaxvj∈V

P(a1, . . . , an|vj)P(vj)

• Y ahora, simplemente estimar las probabilidades de la formulaanterior a partir del conjunto de entrenamiento

• Problema: necesitarıamos una gran cantidad de datos paraestimar adecuadamente las probabilidades P(a1, . . . , an|vj )



• Podemos simplificar el aprendizaje suponiendo que losatributos son (mutuamente) condicionalmente independientesdado el valor de clasificacion (de ahı lo de “naive”)

• La situacion se representa entonces por la red:

V

A A A1 n2

• En ese caso, tomamos como valor de clasificacion:

vNB = argmaxvj∈V

P(vj)∏

i

P(ai |vj)


Estimacion de probabilidades Naive Bayes

• Para el proceso de aprendizaje, solo tenemos que estimar lasprobabilidades P(vj) (probabilidades a priori) y P(ai |vj)(probabilidades condicionadas). Son muchas menos que en elcaso general.

• Mediante calculo de sus frecuencias en el conjunto deentrenamiento, obtenemos estimaciones de maximaverosimilitud de esas probabilidades:

P(vj) =n(V = vj)

NP(ai |vj ) =

n(Ai = ai ,V = vj)

n(V = vj)

donde N es el numero total de ejemplos, n(V = vj) es elnumero de ejemplos clasificados como vj y n(Ai = ai ,V = vj)es el numero de ejemplos clasificados como vj cuyo valor en elatributo Ai es ai .

• A pesar de su aparente sencillez, los clasificadores Naive Bayestienen un rendimiento comparable al de los arboles dedecision, las reglas o las redes neuronales


Clasificador Naive Bayes: un ejemplo

• Vamos a aplicar el clasificador a un ejemplo ya conocido,usado en el tema de arboles de decision:Ej. Cielo Temperatura Humedad Viento JugarTenisD1 Soleado Alta Alta Debil -D2 Soleado Alta Alta Fuerte -D3 Nublado Alta Alta Debil +D4 Lluvia Suave Alta Debil +D5 Lluvia Baja Normal Debil +D6 Lluvia Baja Normal Fuerte -D7 Nublado Baja Normal Fuerte +D8 Soleado Suave Alta Debil -D9 Soleado Baja Normal Debil +D10 Lluvia Suave Normal Debil +D11 Soleado Suave Normal Fuerte +D12 Nublado Suave Alta Fuerte +D13 Nublado Alta Normal Debil +D14 Lluvia Suave Alta Fuerte -



• Supongamos que queremos predecir si un dıa soleado, detemperatura suave, humedad alta y viento fuerte es buenopara jugar al tenis

• Segun el clasificador Naive Bayes:

vNB = argmaxvj∈{+,−}

P(vj )P(soleado|vj)P(suave|vj)P(alta|vj)P(fuerte|vj )

• Ası que necesitamos estimar todas estas probabilidades, lo quehacemos simplemente calculando frecuencias en la tablaanterior:

• p(+) = 9/14, p(−) = 5/14, p(soleado|+) = 2/9,p(soleado|−) = 3/5, p(suave|+) = 4/9, p(suave|−) = 2/5,p(alta|+) = 2/9, p(alta|−) = 4/5, p(fuerte|+) = 3/9 yp(fuerte|−) = 3/5


Detalles tecnicos sobre las estimaciones: log-probabilidades

• Tal y como estamos calculando las estimaciones, existe elriesgo de que algunas de ellas sean excesivamente bajas

• Si realmente alguna de las probabilidades es baja y tenemospocos ejemplos en el conjunto de entrenamiento, lo masseguro es que la estimacion de esa probabilidad sea 0

• Esto plantea dos problemas:• La inexactitud de la propia estimacion• Afecta enormemente a la clasificacion que se calcule, ya que se

multiplican las probabilidades estimadas y por tanto si una deellas es 0, anula a las demas

• Una primera mejora tecnica, intentado evitar productos muybajos: usar logaritmos de las probabilidades.

• Los productos se transforman en sumas

vNB = argmaxvj∈V

[log(P(vj)) +∑

i

log(P(ai |vj ))]


Detalles tecnicos sobre las estimaciones: suavizado• Problema en la estimaciones:

• Probabilidades nulas o muy bajas, por ausencia en el conjuntode entrenamiento de algunos valores de atributos en algunascategorıas

• Sobreajuste

• Idea: suponer que tenemos m ejemplos adicionales, cuyosvalores se distribuyen teoricamente a priori de alguna manera.

• Estimacion suavizada de una probabilidad, a partir deobservaciones:

n′ +m · p

n +m• n′ y n son, respectivamente, el numero de ejemplos favorables

y totales observados• p es una estimacion a priori de la probabilidad que se quiere

estimar.• m es una constante (llamada tamano de muestreo equivalente)

que indica el numero de ejemplos adicionales (ficticios)


Suavizado aditivo (o de Laplace)

• Un caso particular de lo anterior se suele usar para laestimacion de las probabilidades condicionales en Naive Bayes:

P(ai |vj) =n(Ai = ai ,V = vj) + k

n(V = vj) + k |Ai |

donde k es un numero fijado y |Ai | es el numero de posiblesvalores del atributo |Ai |.

• Intuitivamente: se supone que ademas de los del conjunto deentrenamiento, hay k ejemplos en la clase vj por cada posiblevalor del atributo Ai

• Usualmente k = 1, pero podrıan tomarse otros valores

• Eleccion de k : experimentando con los dstintos rendimientossobre un conjunto de validacion


Seccion 7

Seccion 7Aprendizaje basado en instancias: kNN


Clasificacion mediante vecino mas cercano

• Una tecnica alternativa a construir el modelo probabilıstico escalcular la clasificacion directamente a partir de los ejemplos(aprendizaje basado en instancias)

• Idea: obtener la clasificacion de un nuevo ejemplo a apartir delas categorıas de los ejemplos mas “cercanos”.

• Debemos manejar, por tanto, una nocion de “distancia” entreejemplos.

• En la mayorıa de los casos, los ejemplos seran elementos de Rn

y la distancia, la euclıdea.• Pero se podrıa usar otra nocion de distancia

• Ejemplo de aplicacion: clasificacion de documentos


El algoritmo k-NN

• El algoritmo k-NN (de “k nearest neighbors”):• Dado un conjunto de entrenamiento (vectores numericos con

una categorıa asignada) y un ejemplo nuevo• Devolver la categorıa mayoritaria en los k ejemplos del

conjunto de entrenamiento mas cercanos al ejemplo que sequiere clasificar


Distancias para k-NN

• Posibles distancias usadas para definir la “cercanıa”:

• Euclıdea: de(x, y) =√

∑n

i=1(xi − yi )2

• Manhattan: dm(x, y) =∑n

i=1 |xi − yi |• Hamming: numero de componentes en las que se difiere.

• La euclıdea se usa cuando cada dimension mide propiedadessimilares y la Mahattan en caso contrario; la distanciaHamming se puede usar aun cuando los vectores no seannumericos.

• Normalizacion: cuando no todas las dimensiones son delmismo orden de magnitud, se normalizan las componentes(restando la media y dividiendo por la desviacion tıpica)


Algunas observaciones sobre k-NN

• Eleccion de k :• Usualmente, basandonos en algun conocimiento especıfico

sobre el problema de clasificacion• Tambien como resultado de pruebas en conjuntos mas

pequenos (conjuntos de validacion)• Si la clasificacion es binaria, preferiblemente impar, para

intentar evitar empates (k=5, por ejemplo)

• Variante en kNN: para cada clase c , sumar la similitud (con elque se quiere clasificar) de cada ejemplo de esa clase que esteentre los k mas cercanos. Devolver la clase que obtengamayor puntuacion.

• Ası un ejemplo cuenta mas cuanto mas cercano este


Seccion 8

Seccion 8Clustering


Clustering

• Como ultima aplicacion del aprendizaje estadıstico, trataremostecnicas de agrupamiento o clustering

• Se trata de dividir un conjunto de datos de entrada ensubconjuntos (clusters), de tal manera que los elementos decada subconjunto compartan cierto patron o caracterısticas apriori desconocidas

• En nuestro caso, los datos seran numeros o vectores denumeros y el numero de clusters nos vendra dado

• Aprendizaje no supervisado: no tenemos informacion sobreque cluster corresponde a cada dato.

• Aplicaciones de clustering:• Minerıa de datos• Procesamiento de imagenes digitales• Bioinformatica


Dos ejemplos

• Color quantization:• Una imagen digital almacenada con 24 bits/pixel (aprox. 16

millones de colores) se tiene que mostrar sobre una pantallaque solo tiene 8 bits/pixel (256 colores)

• ¿Cual es la mejor correspondencia entre los colores de laimagen original y los colores que pueden ser mostrados en lapantalla?

• Mezcla de distribuciones:• Tenemos una serie de datos con el peso de personas de un

pais; no tenemos informacion sobre si el peso viene de unvaron o de una mujer, pero sabemos que la distribucion depesos es de tipo normal, y que en los hombres es distinta queen las mujeres

• Atendiendo a los datos, ¿podemos aprender de que dosdistribuciones de probabilidad vienen?


Clustering basado en distancia

• Idea: dado el numero k de grupos o clusters, buscar k puntoso centros representantes de cada cluster, de manera que cadadato se considera en el cluster correspondiente al centro quetiene a menor “distancia”

• Como antes, la distancia serıa especıfica de cada problema:• Expresara la medida de similitud• La distancia mas usada es la euclıdea


Un algoritmo clasico: k-medias

• Entrada: un numero k de clusters, un conjunto de datos{xi}

Ni=1 y una funcion de distancia

• Salida: un conjunto de k centros m1, . . . ,mk

k-medias(k,datos,distancia)

1. Inicializar m i (i=1,...,k) (aleatoriamente o con alguncriterio heur´ıstico)

2. REPETIR (hasta que los m i no cambien):2.1 PARA j=1,...,N, HACER:

Calcular el cluster correspondiente a x j, escogiendo,de entre todos los m i, el m h tal quedistancia(x j,m h) sea m´ınima

2.2 PARA i=1,...,k HACER:Asignar a m i la media aritm etica de los datosasignados al cluster i- esimo

3. Devolver m 1,...,m n


Idea grafica intuitiva en el algoritmo de k-medias

■■■

■

■ ■

Iteracion 1

Iteracion 3

Iteracion 0

Iteracion 2

■

■


Ejemplo en el algoritmo k-medias

• Datos sobre pesos de la poblacion: 51, 43, 62, 64, 45, 42, 46,45, 45, 62, 47, 52, 64, 51, 65, 48, 49, 46, 64, 51, 52, 62, 49,48, 62, 43, 40, 48, 64, 51, 63, 43, 65, 66, 65, 46, 39, 62, 64,52, 63, 64, 48, 64, 48, 51, 48, 64, 42, 48, 41

• El algoritmo, aplicado con k = 2 y distancia euclıdea,encuentra dos centros m1 = 63.63 y m2 = 46.81 en tresiteraciones

• 19 datos pertenecen al primer cluster y 32 al segundo cluster


Diversas cuestiones sobre el algoritmo k-medias

• Busqueda local:• Puede verse como un algoritmo de busqueda local, en el que se

trata de encontrar los centros mi que optimizanΣjΣibijd(xj ,mi )

2, donde bij vale 1 si xj tiene a mi como elcentro mas cercano, 0 en otro caso

• Como todo algoritmo de busqueda local, no tiene garantizadoencontrar el optimo global

• Inicializacion: aleatoria o con alguna tecnica heurıstica (porejemplo, partir los datos aleatoriamente en k clusters yempezar con los centros de esos clusters)

• En la practica, los centros con los que se inicie el algoritmotienen un gran impacto en la calidad de los resultados que seobtengan


Otro ejemplo en el algoritmo k-medias

• El archivo iris.arff del sistema WEKA contiene 150 datossobre longitudes y anchura de sepalo y petalo de plantas delgenero iris, clasificadas en tres tipos (setosa, versicolor yvirgınica)

• Ejemplo de instancia de iris.arff :5.1,3.5,1.4,0.2,Iris-setosa

• Podemos aplicar k-medias, con k = 3 y distancia euclıdea,ignorando el ultimo atributo (como si no se conociera):

• En 6 iteraciones se estabiliza• De los tres clusters obtenidos, el primero incluye justamente a

las 50 instancias que originalmente estaban clasificadas comoiris setosa

• El segundo cluster incluye a 47 versicolor y a 3 virgınicas• El tercero incluye 14 versicolor y 36 virgınicas• No ha sido capaz de discriminar correctamente entre versicolor

y virgınica


Una vision probabilıstica del clustering

• La aproximacion del algoritmo k-medias al problema delclustering puede ser demasiado rıgida, ya que asume que cadainstancia pertenece de manera categorica a un unico cluster

• Vision probabilıstica:• Cada instancia tiene una probabilidad de pertenecer a cada

cluster• La pertenencia a cada cluster se rige por una distribucion de

probabilidad distinta• Es lo que se conoce como una mezcla de distribuciones

• Aprendizaje ML: asumiendo que los datos han sido generadosmediante una mezcla de distribuciones, encontrar el modeloprobabilıstico en el que los datos observados alcancen lamayor probabilidad

• Para simplificar, supondremos que los datos son numerosreales. Es facil generalizar estas tecnicas a espacios dedimension n


Aprendizaje de mezcla de distribuciones normales

• Supongamos una serie de datos D = {x1, . . . , xn} de una v.a.X cuya distribucion es una mezcla de k distribucionesnormales (o componentes). Es decir:

• Cada instancia xj ha sido generada escogiendo primero una delas k componentes y luego generando una muestra respecto deesa componente

• Es decir, si C es una variable aleatoria que indica lacomponente (con valores i = 1, . . . , k), se tiene:

P(X = x) =

k∑

i=1

P(X = x ,C = i) =

k∑

i=1

P(X = x |C = i)P(C = i)

• Asumiremos que P(X |C = i) sigue una distribucion normal demedia µi y desviacion tıpica σi (i = 1, . . . , k)

• El problema es que no conocemos ni la distribucion deprobabilidad de C (las probabilidades wi = P(C = i)) ni losparametros µi y σi , i = 1, . . . , k


Aprendizaje de mezcla de distribuciones normales

• ¿Podemos aplicar aprendizaje ML a este problema?¿Podemosencontrar valores de wi , µi y σi (i = 1, . . . , k) que maximizanla probabilidad de los datos de D?

• Si conocieramos a que componente pertenece cada xj(j = 1, . . . ,N), podrıamos estimar (ML) los parametros:

• Como ya hemos visto, las estimaciones ML de µi y σi serıan lasmedias y desviacion tıpica de los datos de cada componente, ylas de wi serıan las proporciones de datos en cada componente

• Si conocieramos los wi , µi y σi , entonces podrıamos calcularsi cada dato pertenece o no a cada una de las componente (omejor dicho, la probabilidad de que pertenezca, aplicando elteorema de Bayes):

• P(C = i |X = xj ) = αP(X = xj |C = i)P(C = i) = αNµi ,σi (xj )wi

donde Nµi ,σies la funcion de distribucion normal

• Idea: alternar los pasos anteriores, en un algoritmo tipo EM


Algoritmo EM para clustering

• Inicializar los parametros wi , µi y σi (i = 1, . . . , k).

• Paso E: Calcular los valores esperados pij = P(C = i |X = xj)de pertenencia de cada xj a cada clase, con los valoresactuales de los parametros

• Paso M: Realizar una nueva estimacion de maximaverosimilitud de los parametros wi , µi y σi , tomando los pijcomo un “peso” de la pertenencia de cada dato xj a lacomponente i -esima

• Repetir los dos pasos anteriores hasta satisfacer algun criteriode convergencia


Pasos E y M en detalle

• Paso E. Para i = 1, . . . , k , j = 1, . . . ,N, hacer:

pij ←wiNµi ,σi

(xj)∑k

h=1 whNµh,σh(xj )

• Paso M. Para i = 1, . . . , k , hacer:

µi ←

∑Nj=1 pijxj

Ni

σi ←

√

∑Nj=1 pij(xj − µi )2

Ni

wi ←Ni

N

donde Ni = ΣNj=1pij


Algunas consideraciones sobre el algoritmo EM

• Como en el caso de las redes bayesianas, se aplica EM a unproblema de aprendizaje en el que hay variables ocultas

• En este caso, la componente de cada ejemplo

• Es posible demostrar que en cada iteracion, los nuevosparametros wi , µi y σi incrementan la log-verosimilitud de losdatos respecto de la iteracion anterior

• El criterio de parada del algoritmo suele estar basado en lacomprobacion de que la log-verosimilitud se estabiliza

• No asegura un optimo global, aunque sı converge hacia unoptimo local

• Es bastante usual repetir el proceso varias veces, con distintosvalores iniciales para los parametros, tomando como resultadoel de la ejecucion que mejor log-verosimilitud consiga


EM aplicado a iris

• Usando WEKA, aplicamos el algoritmo EM al conjunto dedatos de iris.arff (version multivariante)

• Para k = 3• Ignorando el ultimo atributo, en el que aparece la clase de

cada ejemplo• Es razonable pensar que los datos de longitud y anchura de

sepalo y petalo siguen distribuciones normales multivariantes,distintas segun el tipo de iris

• Resultado:• Respecto de los datos originales, el algoritmo es capaz de

descubrir, sin errores, los 50 ejemplo de la clase “versicolor” ylos 50 ejemplos de la clase “setosa”

• Sin embargo, aun incluye erroneamente, 14 de los 50 ejemplosde la clase “virgınica” dentro de la clase “versicolor”


Bibliografıa

• Mitchell, T.M. Machine Learning (McGraw-Hill, 1997)• Caps. 3,6,8 y 10

• Russell, S. y Norvig, P. Artificial Intelligence (A ModernApproach) (3rd edition) (Prentice Hall, 2010)

• Seccs. 18.1, 18.2, 18.3, 20.1 y 20.2

• Russell, S. y Norvig, P. Inteligencia Artificial (Un enfoquemoderno) (segunda edicion en espanol) (Pearson Education,2004)

• Seccs. 18.1, 18.2, 18.3, 18.8, 20.1, 20.2 y 20.4

• Witten, I.H. y Frank, E. Data mining (Second edition)(Morgan Kaufmann Publishers, 2005)

• Cap. 3, 4, 5 y 6.

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