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Geometría. Teoría 1 TEMA 5 Matemáticas
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Geometría. Teoría
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La Geometría trata sobre las formas y sus propiedades. A su vez, se puede dividir
en:
Geometría plana: trata de las figuras en el plano, (dos dimensiones)
Geometría tridimensional: trata de figuras en el espacio (tres dimensiones)
1.- Polígonos
Los polígonos son formas bidimensionales. Están hechos con líneas rectas, y su forma
es "cerrada" (todas las líneas están conectadas).
Polígono (lados rectos)
No es un polígono (tiene una curva)
No es un polígono (abierto, no cerrado)
Un polígono convexo no tiene ángulos que apunten hacia dentro. En concreto, los
ángulos internos no son mayores que 180°.
Si hay algún ángulo interno mayor que 180° entonces es cóncavo. (Para acordarte:
cóncavo es como tener una "cueva")
Convexo Cóncavo
Si todos los ángulos son iguales y los lados también, es regular, si no es irregular
1.1. Triángulos
Un triángulo es un polígono con tres lados.
Propiedades de los triángulos
1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°. 3. El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores
no adyacentes.
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Tipos de triángulos
Según sus lados:
Equilátero Isósceles Escaleno
Según sus ángulos:
acutángulo rectángulo obtusángulo
1.2. El teorema de Pitágoras
Pitágoras de Samos (580-495 a.C.) fue un filósofo y matemático griego que contribuyó de
manera significativa al avance de las matemáticas. Encontró la relación que existe entre
las medidas de los lados de los triángulos rectángulos, es lo que se conoce como teorema
de Pitágoras.
En un triángulo rectángulo, se llama hipotenusa al lado mayor (que es el opuesto al
ángulo recto) y cateto a cada uno de los dos lados que forman el ángulo recto.
El teorema de Pitágoras establece una relación entre las medidas de los lados de los
triángulos rectángulos, de manera que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de
los cuadrados de los catetos.
Según el teorema de Pitágoras, en un triángulo rectángulo de hipotenusa a y de catetos b y c,
el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
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Observa la imagen de la demostración del
teorema de Pitágoras.
Longitud de un lado de un triángulo rectángulo conociendo los otros dos lados: si un
cateto de un triángulo rectángulo mide 3 cm y la hipotenusa, 5 cm, ¿cuánto mide el otro
cateto?
Sabemos que, por Pitágoras, el valor de un lado de un triángulo respecto a los otros dos
es:
En nuestro caso, si c = 3 cm y a = 5 cm, entonces tendremos:
Respuesta: el otro cateto mide 4 cm.
1.3 Teorema de Tales
Si dos rectas cuales quieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.
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Ejemplo
1 Las rectas a, b y c son parale las. Halla la longitud de x.
1.4. Cuadriláteros
Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados. La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360°.
Clasificación de cuadriláteros
1 Paralelogramos: Cuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a
dos. Se clasif ican en:
Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide
2 Trapecios: Cuadriláteros que tienen dos lados paralelos, llamados
base mayor y base menor. Se clasif ican en:
T. rectángulo T. Isósceles T. escaleno
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2. Trapezoides
Cuadriláteros que no tiene ningún lado igual ni paralelo.
1. 5. Áreas de polígonos
Las unidades de área más comunes son cm2 o m2. En la siguiente
f igura se recogen las formulas de los polígonos más comunes.
Recuerda que el perímetro de un polígono es la suma de todos sus
lados.
2. Circulo
Recuerda
La longitud de una circunferencia es igual a 2 •π • r, donde r es el radio.
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El área de un círculo es igual al producto del número π por el cuadrado de su radio5.1
2.1. Las figuras circulares
¿Y si solo queremos calcular el área de una parte del círculo?
¿Cómo podemos calcular el área de una porción de pizza, de la parte metalizada de un DVD
o de la franja verde de este pin?
Los elementos de superficie relacionados con el círculo son:
El sector circular: es una superficie del círculo comprendida entre dos radios y el arco
que va entre ellos. Dos casos particulares de sector circular son:
El semicírculo: que es medio círculo, cuando el arco es de 180°.
El cuadrante: que es la cuarta parte del círculo, cuando el arco es de 90°.
El segmento circular: es la superficie del círculo comprendida entre una cuerda y su
arco. Un caso particular de segmento circular es el semicírculo, que es medio círculo,
cuando el arco es de 180°. Por lo tanto, cuando n = 180°:
La cuerda es el diámetro.
El segmento circular coincide con el sector circular.
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La corona circular: es la superficie comprendida entre dos circunferencias
concéntricas. Las áreas son:
Fíjate en las áreas de las figuras circulares, verás que en la mayoría se multiplica por una
fracción: n (número de grados del ángulo que abarca) / 360° (número total de grados de la
circunferencia).
3. Los poliedros
Los poliedros son cuerpos geométricos tridimensionales limitados por caras planas de
forma poligonal.
Observa lo siguiente:
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Todas estas figuras geométricas son poliedros.
Si nos fijamos, a nuestro alrededor encontramos numerosos ejemplos de objetos que
tienen forma de poliedro.
Por ejemplo, las cajas para llevar pizza, algunos juegos, etc., tienen formaspoliédricas.
Sin embargo, otros cuerpos geométricos no son poliedros. Observa:
En esta figura, la base del cuerpo es un círculo y su superficie lateral es curva.
¡Atención! Cuando al menos una de las superficies que delimitan un sólido no es un
polígono, entonces no se trata de un poliedro.
Elementos de un poliedro
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Los elementos de un poliedro son:
Las caras: cada uno de los polígonos que limitan el poliedro. Pueden ser triángulos,
cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, etc.
Las aristas: los segmentos rectos que forman dos caras cuando se cortan entre sí.
Los vértices: los puntos donde concurren tres o más aristas.
Las diagonales: los segmentos que unen dos vértices que no están situados en la
misma arista.
Observa los elementos de este poliedro.
¿Cuántas caras tiene el siguiente poliedro? ¿Cuántas aristas tiene? ¿Y cuántos vértices?
3.1. Prismas
Los prismas son poliedros irregulares que tienen dos caras que son polígonos iguales y
paralelos entre sí, y el resto de caras son paralelogramos.
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Según como sean los polígonos que forman las bases:
En función del tipo de polígonos que forman la base, los prismas pueden ser triangulares,
cuadrangulares, etc.:
Triangular: sus bases son triángulos.
Cuadrangular: sus bases son cuadrados.
Pentagonal: sus bases son pentágonos.
Hexagonal: sus bases son hexágonos.
Etc.
De izquierda a derecha: prisma triangular, cuadrangular, hexagonal y pentagonal.
Un polígono es regular si tiene todos sus lados y ángulos iguales.
Un polígono regular se puede inscribir en una circunferencia.
Desarrollo de un prisma
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Si abrimos un poliedro cortando por una arista, de forma que quede una sola pieza y la
extendemos plana, obtenemos el desarrollo plano de dicho poliedro.
Vamos a realizar el desarrollo de un prisma recto, en concreto, un prisma hexagonal
regular:
Superficie de un prisma
Volumen de un prisma
S = 2Sb + SL
Sb área del polígono base
SL área lateral, SL = P • h
donde P es el perímetro de la base y h es
la altura
V = Sb ⋅ h
S área del polígono base, h es la altura.
3.2. Las pirámides
Las pirámides son poliedros con las caras laterales triangulares.
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Observa e identifica los elementos de una pirámide.
A continuación, vamos a ver la clasificación de las pirámides en función de distintos
criterios.
Según los polígonos que forman la base:
En función de cómo sea el polígono que forma la base, una pirámide puede ser triangular,
cuadrangular, etc.:
Triangular: si su base es un triángulo.
Cuadrangular: si su base es un cuadrado.
Pentagonal: si su base es un pentágono.
Etc.
De izquierda a derecha: pirámide triangular, cuadrangular y pentagonal.
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Se llama apotema de una pirámide regular a la altura de los triángulos de las caras laterales de
la pirámide.
Por el contrario, una pirámide es irregular si su base no es un polígono regular.
Desarrollo de una pirámide
Vamos a realizar el desarrollo de una pirámide recta, concretamente, una pirámide
pentagonal regular:
Observa cómo es el desarrollo de una pirámide pentagonal regular.
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Superficie de la Pirámide Volumen de una pirámide
S = Sb + SL
Sb área del polígono regular base
SL área lateral,
𝑆𝐿 = 𝑃 ∙ 𝑎𝑝
2
donde P es el perímetro de la base y ap es
la altura de la cara lateral (apotema)
𝑉 = 𝑆𝑏 ∙ ℎ
3
Sb área del polígono base, h es la altura.
3.3. Los poliedros regulares
Los poliedros regulares son aquellos que cumplen las siguientes condiciones:
Todas las caras están formadas por polígonos regulares iguales.
A todos los vértices del poliedro se unen el mismo número de caras.
Solo hay cinco poliedros regulares convexos que son: el tetraedro, el hexaedro, el
octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.
Teorema de Euler
Según el teorema de Euler: en un poliedro convexo, el número de caras (C) más el
número de vértices (V) es igual al número de aristas (A) más dos.
Así, para todo poliedro convexo, se cumple:
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C + V = A + 2
Ejemplos:
Un octaedro regular tiene 8 caras y 12 aristas. ¿Cuántos vértices tiene?.
Como un octaedro regular es un poliedro convexo, podemos aplicar la relación de Euler:
C + V = A + 2 → 8 + V = 12 + 2 → V = 6
Así, un octaedro regular tiene 6 vértices.
Un prisma pentagonal tiene 7 caras y 10 vértices. ¿Cuántas aristas tiene?.
Como un prisma pentagonal es un poliedro convexo, podemos aplicar la relación de Euler:
C + V = A + 2 → 7 + 10 = A + 2 → A = 15
Así, un prisma pentagonal tiene 15 aristas.
Comprueba la relación de Euler en diversos poliedros de la página del Proyecto Descartes,
del Ministerio de Educación, Cultura y Deporte [ver].
4.- Geometría de los cuerpos de revolución
Un cuerpo de revolución es un cuerpo tridimensional que puede generarse a partir
del giro de una figura plana alrededor de un eje.
El eje puede estar pegado a uno de los lados de la figura o bien ser externo a este:
Si el eje está pegado a uno de los lados de la figura, el eje queda en el interior del
cuerpo resultante.
Si el eje es externo, el cuerpo resultante tendrá un agujero, como sucede, por ejemplo,
con las rosquillas.
La línea exterior de la figura plana cuyo giro genera la superficie del cuerpo de revolución
recibe el nombre de generatriz.
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Un ejemplo de un cuerpo de revolución con el eje de giro pegado a la figura plana de
revolución sería una pieza hecha por un alfarero en un torno. En cambio, una rosquilla sería un
ejemplo en el que el eje es externo al cuerpo de revolución.
4.1. El cilindro
Un cilindro se obtiene por el giro de un rectángulo en torno a un eje unido a uno de sus
lados.
Observa cómo se origina un cilindro y cuáles son sus elementos
Area del cilindro Volumen del cilindro
AL = 2.π.R At = AL + 2.Ab V = Ab . altura R radio AL área lateral Ab área de la base
V = Ab . altura
4.2. El Cono
El cono se obtiene mediante el giro de un triángulo rectángulo alrededor de un eje, que
está unido a uno de los catetos.
Los elementos que conforman el cilindro son los siguientes:
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Observa cómo se produce el desarrollo del cono y aprende cuáles son suselementos.
Área del cono Volumen del cono
Al = π.R.g At = Al + Ab
V = 1/3.Ab.altura
4.3. Esfera
La esfera es un cuerpo geométrico que se obtiene al girar un semicírculo en torno a un
eje que está unido a su diámetro.
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Observa cómo se produce el desarrollo de la esfera y aprende cuáles son sus elementos.
Area volumen
𝐴 = 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟2
𝑉 = 4
3 𝜋 ∙ 𝑟3
