Algebra. Teoría

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TEMA 3 Matemáticas

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1 Las expresiones algebraicas

Las expresiones algebraicas son operaciones aritméticas, de suma, resta, multiplicación y

división, en las que se combinan letras y números. Para entenderlo mejor, vamos a ver un

ejemplo, la propiedad conmutativa en la multiplicación:

En esta expresión las letras a y b representan dos números cualesquiera. Si en lugar de

esto escribiéramos:

En este caso solo podríamos decir que la propiedad conmutativa se cumple únicamente en

la multiplicación de 3 y 5.

Cuando utilizamos letras estamos usando lenguaje algebraico. Su utilidad es que podemos

generalizar para todos los números.

Estas letras se llaman variables y los números que las acompañan se llaman coeficientes.

Polinomios

Las expresiones algebraicas se pueden clasificar en función del número de términos que

contengan. De este modo, pueden ser:

Los monomios. Son expresiones algebraicas con un solo término:

3x2

En este ejemplo, las partes del monomio son las siguientes:

El número, en este caso el 3, es el coeficiente.

Las letras con sus exponentes, en este caso x2, son la parte literal:

El grado de un monomio es la suma de los exponentes, que en este caso, sería

grado 2.

Los polinomios (del griego poli). Indica que es una suma de varios monomios:

5x3 – 3x

2 + x + 2

Para nombrar polinomios se usa una letra mayúscula y, entre paréntesis, la variable o

variables. Por ejemplo:

P(x) = 3x + 1: polinomio que depende de la incógnita x.

Q(x, y) = 4xy + 2: polinomio que depende de las incógnitas x, y.

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2 Las operaciones algebraicas

Las operaciones que se pueden realizar con polinomios son: suma, resta, multiplicación y

división.

La suma y la resta de polinomios

Para sumar o restar dos polinomios, se suman o restan los monomios semejantes y,

luego, se suman los coeficientes de los términos del mismo grado y se deja la misma parte

literal.

Por ejemplo, si tenemos dos polinomios:

P(x) = x2 + 4x

Q(x) = –5x + x2

P(x) + Q(x) = x2 + 4x + (–5x + x

2) = 2x

2 – x

R(x) = 2x2 – x

La multiplicación de polinomios

Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada término del primer polinomio por cada

uno de los términos del segundo polinomio. De las letras semejantes se suman los

exponentes y el resto de letras se dejan indicadas con su mismo exponente:

Por ejemplo, si tenemos dos polinomios:

P(x) = 3x3 + 5x

Q(x) = 2x2 +7

P(x) · Q(x) = (3x3 + 5x) · (2x

2 + 7) =

= (3x3) · (2x

2 + 7) + (5x) · (2x

2 + 7) =

= 6x5 + 21x

3 + 10x

3 + 35x = 6x

5 + 31x

3 + 35x

R(x) = 6x5 + 31x

3 + 35x

La división de monomios

Para dividir dos monomios, se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del

divisor, a continuación las letras se escriben en orden alfabético poniéndole a cada letra un

exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente que tiene

el divisor:

Por ejemplo, si tenemos dos monomios:

P(x, y) = 4x3y

2

Q(x, y) = –2x y

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Recuerda

Potencias de exponente 0:

x0 = 1

Potencias de exponente 1:

x1 = x

Producto de potencias:

xm · x

n = x

m+n

Cociente de potencias:

xm : x

n = x

m – n

3 Las identidades notables

Las identidades o igualdades notables son expresiones que aparecen a menudo en

álgebra y que resultan muy útiles en las operaciones con polinomios.

El cuadrado de una suma

(a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a

2 + ab + ba + b

2 = a

2 + 2ab + b

2

Observa la interpretación geométrica del cuadrado de una suma y observa que el área total

es la suma de las áreas de las partes.

El cuadrado de una suma

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El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero, más el doble producto del

primero por el segundo, más el cuadrado del segundo:

a2 + 2ab + b

2

El cuadrado de una diferencia

(a ‒ b)2 = (a ‒ b) · (a ‒ b) = a

2‒ ab ‒ ba + b2 = a

2‒ 2ab + b2

El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primero, menos el doble producto

del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

a2 ‒ 2ab + b

2

El producto de una suma por una diferencia

(a + b) · (a ‒ b) = a2‒ ab + ba + b

2 = a

2 ‒ b

2

El producto de una suma por una diferencia es igual al cuadrado del primero menos el

cuadrado del segundo:

(a + b) · (a ‒ b) = a2 ‒ b

2

4 .- Las ecuaciones de primer grado

Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual (=).

Por ejemplo, la expresión matemática 12 – 3 = 7 + 2 es una igualdad.

Una identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las incógnitas

(representadas por letras). Por ejemplo:

2x + 2 = 2 · (x + 1)

2x + 2 = 2x + 2

si x = 0 ‒ 2 = 2

Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras. Por

ejemplo:

3x + 5 = 17

3x = 17 – 5

3x = 12

x = 12 : 3 = 4

El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus

miembros. Cuando el grado máximo del exponente de la incógnita es 1, se llama ecuación

de primer grado, tal y como aparece en los ejemplos anteriores.

Se llaman ecuaciones equivalentes aquellas que tienen las mismas soluciones.

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Como se resuelven Nuestro objetivo es despejar a un lado de la igualdad la incógnita.

Regla práctica: lo que está sumando pasa al otro lado restando.

Regla práctica: lo que está multiplicando pasa al otro lado dividiendo.

Por ejemplo, tenemos la siguiente ecuación:

9x = 6x + 7

9x – 6x = 7

3x = 7

Para resolver las ecuaciones de primer grado, debemos seguir estos pasos:

1. Quitamos los paréntesis.

2. Quitamos los denominadores.

3. Agrupamos los términos dependientes en un miembro y los términos

independientes en el otro.

4. Reducimos los términos semejantes.

5. Despejamos la incógnita.

Para entenderlo mejor, veamos el siguiente ejemplo:

1. Eliminamos los paréntesis:

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2. Multiplicamos todo por 3 para eliminar el denominador:

3. Hacemos las operaciones indicadas:

4. Agrupamos los términos:

5. Resolvemos las operaciones indicadas:

6. Despejamos la x:

x = 2

Respuesta: la solución es x = 2.

5.- Sistemas de ecuaciones de primer grado A veces ocurre que en vez de una incógnita, tenemos dos.

X +y =5

2x + y =9

Para resolverlo podemos aplicar cuatro métodos distintos. Estos métodos son

equivalentes y en los cuatro se obtiene la misma solución. Hay tres métodos

algebraicos: sustitución, igualación y reducción, cuyo objetivo es conseguir una

ecuación con una incógnita, que ya sabemos resolver; y el cuarto método consiste en

resolverlo gráficamente.

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El método de sustitución x +y =5

2x + y =9

Despejamos una cualquiera de las incógnitas, por ejemplo la y de cualquiera de las

ecuaciones. La despejaremos de la primera:

y = 5-x

Y la sustituimos en la segunda ecuación. Luego, resolvemos esta ecuación:

2x + (5 –x) =9

x+ 5 =9

x= 9 – 5

x=4

El resultado obtenido se sustituye en cualquiera de las ecuaciones planteadas y se

halla el valor de y:

4 + y = 5

y = 5 – 4

y = 1

El método de igualación

En este método, lo que se hace es despejar una de las incógnitas de las dos

ecuaciones e igualar las expresiones encontradas.

Dadas las dos ecuaciones:

3x – y = 8

2x – y = 5

Despejamos una cualquiera de las incógnitas, por ejemplo la y, de ambas ecuaciones

(siempre es mejor elegir la que resulte más sencilla):

3x - 8 = y

2x – 5 = y

Ahora se igualan entre sí los dos valores de y que hemos obtenido, y ya tenemos una

ecuación con una sola incógnita, pues hemos eliminado la y.

Ahora, resolvemos la ecuación:

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3x – 8 = 2x – 5

3x – 2x = - 5 + 8

x = 3

3x

Sustituyendo y en cualquiera de las ecuaciones, por ejemplo en la primera, obtenemos

el valor de y:

3 • 3 – y = 8

9 – 8 =y

1 = y

El método de reducción

En este método, lo que se hace es sumar o restar las dos ecuaciones para conseguir

eliminar una de las dos incógnitas:

5x – y = 7

3x +2y =12

Podemos escribir la primera ecuación multiplicando por 2 y luego sumar la segunda

10x -2y =14

3x + 2y = 12

13x + 0y = 26

13x = 26

x = 26/13 = 2

luego sustituimos el valor de x hallado en cualquiera de las ecuaciones, por ejemplo en

la primera

5 • 3 – y = 7

15 -7 = y

8 = y

El método gráfico

Consiste en representar gráficamente cada una de las ecuaciones. El punto de corte

que pertenece a las dos ecuaciones va a ser la solución.

Ejemplo:

2x + 3y = 12

-x + 2y = 1

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Para hacer esto vamos a crear una tabla de valores.

Al ser ecuaciones de primer grado, sabemos que van a ser rectas; entonces, tomando

dos o tres puntos al azar ya será suficiente:

De la primera ecuación obtenemos:

Daremos valores a la x para ver cuánto vale y, podríamos coger cualquier valor de x,

por ejemplo:

De modo que tendremos que representar los puntos: (0,4) y (6,0).

De la segunda ecuación obtenemos:

Daremos valores a la x para ver cuánto vale y, podríamos coger cualquier valor de x,

por ejemplo:

De modo que tendremos que representar los puntos: (1,1) y (5, 3).

Y representamos estas ecuaciones en una gráfica.

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Vemos que el punto de corte es (3,2)

De modo que x =3; y =2

Los sistemas de ecuaciones

Dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema cuando lo que pretendemos de

ellas es encontrar su solución común.

Los métodos que se aplican en la resolución de sistemas de ecuaciones son

cuatro: sustitución, igualación, reducción y el método gráfico. En cualquiera de los

cuatro métodos, la solución obtenida es la misma, por lo tanto, son equivalentes.

6.- Las ecuaciones de segundo grado

Una ecuación de segundo grado es una ecuación polinómica donde el mayor exponente de

las incógnitas es 2. Sabemos que una ecuación puede tener una o varias incógnitas (x, y, z,

etc.), pero nos centraremos en el estudio de ecuaciones de segundo grado con una sola

incógnita.

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¡Atención! Aunque las letras más utilizadas para representar las incógnitas sonx, y o z,

podemos utilizar cualquier otra letra.

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica que

podemos expresar en la forma:

ax2 + bx + c = 0

Donde a, b y c son números reales y a ≠ 0. La condición de que a sea un número diferente de 0

asegura que exista el término x2 en la ecuación; si no fuera así, estaríamos ante una ecuación

de primer grado.

Existen dos tipos de ecuaciones de segundo grado, en función de los valores de b y c:

Si b ≠ 0 y c ≠ 0, la ecuación es completa.

Si b = 0 o c = 0, la ecuación es incompleta. Recuerda

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Las ecuaciones de segundo grado incompletas

Una ecuación de segundo grado con una incógnita ax2 + bx + c = 0 es incompleta cuando los

coeficientes b o c, o ambos, son 0.

Encontramos diferentes tipos de ecuaciones incompletas:

Del tipo ax2 + bx = 0.

Del tipo ax2 + c = 0.

Del tipo ax2 = 0.

Los métodos de resolución

Para resolver cada tipo de ecuación de segundo grado incompleta procedemos de diferentes

maneras.

Si b = 0 y la ecuación es del tipo ax2 + c = 0, puede tener dos soluciones o ninguna. Para

resolverla aislamos la incógnita x:

Si −c/a es positivo, existen dos soluciones:

Si ‒c/a es negativo, no hay ninguna solución.

Veamos cómo se resuelve la siguiente ecuación x2 ‒ 16 = 0:

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La ecuación tiene dos soluciones: x1 = 4 y x2 = ‒4.

Si c = 0 y la ecuación es del tipo ax2 + bx = 0, tiene dos soluciones. Para resolverla sacamos el

factor común de x e igualamos los dos factores a 0. Como sabemos, para que el producto de

dos factores sea 0, basta con que un factor sea 0. Por tanto, las soluciones serán:

Veamos cómo se resuelve la ecuación 2x2 + 2x = 0:

Las soluciones son x1 = 0 y x2 = −1.

Si b = 0 y c = 0, la ecuación es del tipo ax2 = 0, que tiene una única solución, x = 0:

Las ecuaciones de segundo grado completas

Una ecuación de segundo grado con una incógnita ax2 + bx + c = 0 es completa cuando

los coeficientes b y c son diferentes de 0.

El método de resolución

Para resolver la ecuación utilizamos la siguiente fórmula:

El signo (±) indica que la ecuación puede tener dos soluciones, que denominamos x1 y x2:

Para resolver una ecuación de segundo grado, debe estar expresada en la formaax2 + bx + c =

0. Para ello, seguimos estos pasos:

1. Eliminamos los paréntesis y corchetes.

2. Eliminamos los denominadores.

3. Agrupamos los términos e igualamos a 0.

4. Operamos los términos de un mismo grado.

5. Aplicamos la fórmula de resolución.

Veamos cómo se resuelve la ecuación x2 ‒ 4x + 3 = 0.

Aplicamos la fórmula para los valores a = 1, b = ‒4, c = 3:

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La ecuación tiene dos soluciones: x1 = 3 y x2 = 1.

Vamos a estudiar el número de soluciones que puede tener una ecuación de segundo

grado. En la fórmula que utilizamos para resolver las ecuaciones aparece la expresión:

El radicando de esta expresión recibe el nombre de discriminante de la ecuación y se designa

con la letra griega delta mayúscula (Δ):

Δ = b2 ‒ 4ac

El número de soluciones de una ecuación depende del discriminante:

Si Δ = b2‒ 4ac > 0, la ecuación tiene dos soluciones diferentes:

Si Δ = b2‒ 4ac = 0, la ecuación tiene una única solución:

Si Δ = b2‒ 4ac < 0, la ecuación no tiene solución, porque no existe la raíz cuadrada de un

número negativo.

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1.- Las funciones lineales

Una función es una relación de dependencia entre dos variables numéricas, x e y, de

forma que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda. Utilizamos

las funciones para describir relaciones cuantitativas entre magnitudes muy diversas, por

ejemplo:

La relación entre la distancia y el tiempo que tarda en recorrerse.

Los gramos de harina necesarios según el número de pasteles que se desean cocinar.

La producción de huevos en relación con el número de gallinas de una granja.

La expresión general de las funciones lineales es:

y = mx + n

El coeficiente m recibe el nombre de pendiente y, en la gráfica de la función, mide la

inclinación de la recta:

Cuanto mayor sea m, mayor será la inclinación de la recta.

Si m > 0, la función es creciente.

Si m < 0, la función es decreciente.

Si m = 0, es constante.

La constante n, llamada ordenada en el origen, es la ordenada del punto donde la recta

corta el eje Y.

La gráfica de una función lineal es una recta, en la que m mide la inclinación y n, el punto de

corte con el eje de ordenadas.

En función de su expresión, las funciones lineales se clasifican en tres tipos:

Las de proporcionalidad directa: y = mx.

Las afines: y = mx + n.

Las constantes: y = n.

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2.- La ecuación de la recta

La ecuación de una recta se puede determinar de distintas formas:

Conociendo su pendiente y un punto por el que pasa.

Conociendo dos puntos por los que pasa.

En función de los datos que dispongamos, será más sencillo determinar un tipo u otro de

ecuación.

2.1 La ecuación punto-pendiente de la recta

Si conocemos un punto de la recta (x0, y0) y su pendiente m, podemos escribir su ecuación

punto-pendiente de la siguiente forma:

y − y0 = m(x − x0)

Por ejemplo, si tenemos una recta que pasa por el punto (−2, 7) y tiene una pendiente m = −2,

su ecuación punto-pendiente es:

y − 7 = −2(x − (−2))

y − 7 = −2(x + 2)

Si la queremos pasar a forma explícita, tan solo tenemos que despejar la y:

y = −2x − 4 + 7

y = − 2x + 3

2.2 Ecuación de la recta conociendo dos puntos por los que pasa

Si conocemos dos puntos, (x0, y0) y (x1, y1), por los que pasa una recta, podemos escribir

su ecuación continua de la siguiente forma:

Por ejemplo: si tenemos una recta que pasa por los puntos (1, 1) y (−1, 5), su ecuación

continua es:

Si la queremos pasar a forma explícita, tan solo tenemos que despejar la y:

(y − 5) • 2 = −4 • (x +1)

2y − 10 = −4x − 4

2y = −4x + 6

y = −2x + 3

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3.- Las funciones cuadráticas

Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas de grado 2. Su expresión algebraica

general es:

y = ax2 + bx + c

Donde a ≠ 0.

3.1 La representación gráfica de las funciones cuadráticas

Para obtener la representación gráfica de una función cuadrática, debemos construir una tabla

de valores y, después, ubicar los pares ordenados obtenidos en un sistema de coordenadas

cartesianas.

Para ello, debemos asignar valores a la variable x y calcular mediante la función los que

corresponden a la variable dependiente y. Así, si construimos una tabla de valores para la

función y = x2, obtenemos:

x y

0 0

1 1

-1 1

2 4

-2 4

¡Atención! Fijémonos en que los valores de y siempre son positivos, cualquiera que sea el

signo de x (positivo o negativo), ya que cualquier número elevado a un exponente par da

como resultado un número positivo.

Representamos los puntos de la tabla en un sistema de coordenadas cartesianas y obtenemos

el gráfico de la función:

Gráfico de la función cuadrática y = x2.

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El gráfico de una función cuadrática de la forma y = x2 es una parábola, que presenta las

siguientes características:

Tiene un eje de simetría que coincide con el eje Y.

El eje de simetría corta el gráfico en un punto, denominado vértice de la parábola, donde la

función alcanza su valor mínimo.

Las funciones cuadráticas

La gráfica de una función cuadrática de la forma y = ax2 es una parábola con el vértice en el

origen (0, 0) y simétrica respecto al eje Y.

Si a > 0, la parábola presenta un mínimo en su vértice y sus ramas están dirigidas hacia

arriba.

Si a < 0, la parábola presenta un máximo en su vértice y las ramas están dirigidas hacia

abajo.

Cuanto mayor es el valor absoluto de a, menor es la abertura de las ramas de la parábola.

3.2. El cálculo de las coordenadas del vértice de una parábola

La fórmula general de cualquier parábola es:

y = ax2 + bx + c

Donde a, b y c son tres números cualesquiera con a ≠ 0, y x e y son las variables independiente

y dependiente, respectivamente.

Por ejemplo:

y = x2 – 6x + 12

Donde a = 1, b = –6 y c = 12.

La fórmula general para calcular la coordenada x del vértice de una parábola cualquiera es:

Una vez hemos hallado x, solo hay que sustituir su valor en la ecuación de la función para

encontrar la coordenada y del vértice.

Por ejemplo, calculemos las coordenadas de los vértices de las parábolas cuyas ecuaciones

son:

y = x2 – 6x + 12

y = x2 + 4x + 2

1. Calculamos la coordenada x del vértice para la primera ecuación:

2. Para calcular la coordenada y, sustituimos el valor de x en la ecuación de la parábola:

y = x2 – 6x + 12

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y = 32 · 6(3) + 12 = 9 –18 + 12 = 3

3. Repetimos el mismo procedimiento para calcular las coordenadas del vértice de la parábola

de ecuación y = x2 + 4x + 2:

4. Para calcular la coordenada y, sustituimos el valor hallado de x:

y =x2 + 4x + 2

(–2)2 + 4 · (–2) + 2 = 4 – 8 + 2 = –2

Así, las coordenadas de los vértices son:

Para la parábola de ecuación x2 − 6x + 12, el vértice es (3, 3).

Para la parábola de ecuación x2 + 4x + 2, el vértice es (−2, −2).

Gráfico de las funciones y = x2 − 6x + 12 e y = x

2 + 4x + 2, en los que se comprueba la

posición de los vértices.

Las coordenadas del vértice de una parábola.

Las coordenadas x e y del vértice de una parábola cualquiera se pueden expresar mediante

las siguientes fórmulas:

3.3. Puntos de corte con el eje horizontal (X)

En el eje horizontal todos los puntos cumplen que y = 0, de forma que si además pertenecen a

la función cuadrática, debe cumplirse la siguiente ecuación:

ax2 + bx +c =0

Que es un ecuación de segundo grado, y que tiene dos soluciones x1 y x2. De modo que hay

dos puntos de corte (x1 , 0) y (x2 , 0).

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Por ejemplo si resolvemos en la parábola y = x2 + 4x +2, si resolvemos la ecuación de

segundo grado, obtenemos como resultados: -2 ± √2 , de modo que los puntos de corte serán:

(-2 + √2 , 0) y (-2 + √2 , 0).

En el caso de la parábola y = x2 − 6x + 12. Vemos que la ecuación de segundo grado

correspondiente no tiene solución. Por eso su grafica no tiene puntos de corte con el eje x

3.4. Puntos de corte con el eje vertical (Y)

En el eje vertical se cumple que todos los puntos tiene un valor de x =0

Según esto tenemos:

y = x2 + 4x +2 → x= 0 → y= 2

El punto de corte de esta parábola con eje Y es (0, 2), como se ve en la gráfica

En la parabola

y = x2 − 6x + 12 → x= 0 → y= 12

el punto de corte de esta parábola con eje Y es (0, 12).

Con esos tres puntos: el vértice, los dos cortes con el eje X y el corte con el eje Y, dibujaríamos

la gráfica de la parábola.