Fısica I. Curso 2010/11Departamento de Fısica Aplicada. ETSII de Bejar. Universidad de Salamanca

Profs. Alejandro Medina Domınguez y Jesus Ovejero Sanchez

Tema 5. Dinamica de la rotacion

Indice

1. Cuerpo rıgido, traslacion y rotacion 3

2. Energıa cinetica rotacional. Momento de inercia 3

3. Calculo de momentos de inercia 5

3.1. Sistemas discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2. Sistemas continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.3. Teorema de los ejes paralelos (Steiner) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4. Momento angular 9

5. Segunda ley de Newton para la rotacion 11

5.1. Partıcula unica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.2. Sistemas de partıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6. Conservacion del momento angular y sus aplicaciones 15

7. Analogıas entre las ecuaciones de la traslacion y la rotacion 17

8. Problemas 18

Tema 5. Dinamica de la rotacion 2

Tema 5. Dinamica de la rotacion 3

1. Cuerpo rıgido, traslacion y rotacion

En los temas anteriores hemos estudiado unicamente movimientos de traslacion para partıcu-

las y sistemas de partıculas. Hemos definido el centro de masas como aquel punto que se com-

porta como si todas las fuerzas que actuan sobre el sistema se concentraran en el. El movimiento

de un cuerpo extenso se puede describir en terminos del movimiento traslacional de su centro

de masas y del movimiento de los puntos del sistema respecto al centro de masas (por ejemplo,

respecto a un eje que pasa por el). Para completar, por lo tanto, el estudio del movimiento de

un cuerpo extenso nos falta estudiar esta ultima parte. Veremos que el estudio de este tipo de

movimiento rotacional es analogo al traslacional, pero introduciendo nuevas magnitudes fısicas

que siempre tienen su equivalente lineal. Por ejemplo, si la ecuacion de movimiento del centro de

masas de un cuerpo relaciona aceleracion con fuerzas externas, la de la rotacion, como veremos,

relaciona otro tipo de aceleracion (angular) con el momento de las fuerzas aplicadas.

La principal hipotesis simplificadora en el estudio de movimientos rotacionales suele ser la

consideracion del objeto a estudiar como un cuerpo rıgido. Este es aquel sistema en que la

distancia entre dos puntos cualquiera no varıa con el tiempo. Es un sistema que no se deforma.

Consideraremos que un cuerpo rıgido describe un movimiento de rotacion cuando cada una de

sus partıculas (salvo las que estan sobre el eje) realiza un movimiento circular.

El movimiento mas general de un cuerpo rıgido tiene lugar cuando el eje de rotacion cambia

de direccion al mismo tiempo que se traslada. Esto sucede, por ejemplo, en un pase de futbol

con efecto: el eje no solo cambia de posicion en el tiempo, sino que tambien varıa su orientacion.

En este tema restringiremos nuestra discusion a la rotacion de un cuerpo rıgido respecto a un

eje que no cambia de orientacion.

2. Energıa cinetica rotacional. Momento de inercia

Consideremos un solido rıgido rotando con velocidad angular ω, tal y como muestra la

figura.

Tema 5. Dinamica de la rotacion 4

i

z

x

y

ω

O

ri

vi

Su energıa cinetica se puede expresar como la suma de las energıas cineticas de todos los

puntos que lo componen:

Ec =n∑i

1

2miv

2i =

1

2

n∑i

mir2iω

2.

Como ω es igual para todos los puntos:

Ec =1

2

(∑i

mir2i

)ω2.

Si denominamos I a la magnitud∑i

mir2i , obtenemos una ecuacion para la energıa cinetica de

la rotacion similar a la de la traslacion:

Ec =1

2Iω2.

La magnitud I se denomina momento de inercia del sistema y como iremos comprobando en

este tema constituye de algun modo, la magnitud equivalente en dinamica de la rotacion a la

masa en dinamica de la traslacion. Sus dimensiones y sus unidades en el Sistema Internacional

son respectivamente: [I] = ML2 y kg.m2.

Conviene resaltar que en esta definicion, las distancias que aparecen son las distancias de

cada masa del sistema al eje de giro (¡no al origen de coordenadas!), luego el momento de inercia

depende del eje de giro elegido. No es una propiedad inherente al sistema, sino que tambien

depende de cual es el eje de giro.

Tema 5. Dinamica de la rotacion 5

3. Calculo de momentos de inercia

3.1. Sistemas discretos3.1 Ejemplo

Calculese el momento de inercia de la siguiente distribucion de 8 masas identicas respecto a los

dos ejes que se muestran en la figura:

z

m

a

z

r

a

a

z

z

a) Un eje que pasa por el centro de masas de la distribucion.

b) Un eje que pasa por dos masas en el mismo lado.

a) En este caso la distancia de todas las masas al eje es a√

2/2.

I =8∑

i=1

mir2i = 8m

(a

√2

2

)2

= 4ma2.

Tema 5. Dinamica de la rotacion 6

b) En este caso hay varios tipos de distancias al eje.

I =8∑

i=1

mir2i = 0 + 0 + 4ma2 + 2m(

√2a)2 = 4ma2 + 4ma2 = 8ma2.

Luego I depende del eje considerado.

3.2. Sistemas continuos

En el caso de sistemas continuos el momento de inercia se define del siguiente modo:

I = lım∆m→0

∑r2dm =

∫r2dm.

Utilizando la definicion de densidad de masa se pueden presentar tres situaciones:

a) Sistemas tridimensionales (esferas, cilindros, conos, etc.):

ρ =dm

dV−→ I =

∫V

ρ(r)r2dV.

b) Sistemas bidimensionales (discos y superficies planas):

σ =dm

dS−→ I =

∫S

σ(r)r2dS.

c) Sistemas unidimensionales (varillas e hilos rectilıneos):

λ =dm

dx−→ I =

∫l

λ(r)r2dx.

En el caso de sistemas homogeneos, las densidades son constantes y salen fuera de la integral

correspondiente.

z

x

dm

R

Tema 5. Dinamica de la rotacion 7

3.2 Ejemplo

Calculese el momento de inercia de un anillo de masa M y radio R respecto a un eje perpen-

dicular al plano que lo contiene y que pasa por su centro.

I =

∫r2dm = R2

∫dm = MR2.

En este caso, el momento de inercia es independiente de que el anillo sea homogeneo o no (cosa

que no ocurre, por ejemplo, cuando se calcula su centro de masas).

3.3 Ejemplo

Momento de inercia de un disco uniforme de masa M y radio R respecto a un eje perpendicular

al plano que lo contiene y pasa por su centro.

y

z

x

Rr

dm

Tomamos como elemento de masa dm un anillo situado entre r y r+ dr. Su area sera ds =

2πrdr.

dm = σds =M

�πR22�πrdr

I =

∫r2dm = 2

M

R2

∫ R

0

r3dr = 2MR4

4R2=

1

2MR2.

Este momento de inercia se puede aplicar a calcular el de un cilindro uniforme respecto a su

eje de simetrıa, sin mas que considerarlo como una superposicion de discos de radios identicos

I =

∫dI =

∫1

2R2dm =

1

2MR2.

Tema 5. Dinamica de la rotacion 8

dI

R

dm

No lo demostraremos aquı, pero se puede utilizar el momento de inercia de un cilindro

para calcular el de una esfera uniforme, que resulta ser: I =2

5MR2. La figura adjunta resume

algunos otros momentos de inercia habituales (para objetos rıgidos y uniformes).

I=MR2 I= MR

22_3

I= M (R +R )2

2_1

1

2

2

I= ML2_

3

1I= ML2_

121

I= M (a +b )2

12_1 2

Aro cilíndrico Cilindro hueco Cascarón esférico

Placa rectangular Varilla

R

R 1

R 2R

a

b

L

L

Tema 5. Dinamica de la rotacion 9

3.3. Teorema de los ejes paralelos (Steiner)

Como hemos visto, el momento de inercia de un cuerpo no es unico, sino que depende

del eje respecto al que se calcula. Esto hace muchas veces su calculo complicado. Se ha de

recurrir entonces a expresiones generales que relacionen el momento de inercia respecto a dos

ejes diferentes. Uno de los teoremas al respecto mas practicos es el denominado de Steiner o

de los ejes paralelos . Relaciona el momento de inercia respecto a un eje que pasa por el centro

de masas, Icm con el relativo a un eje paralelo, I:

I = Icm + d2M.

donde d es la distancia entre los ejes.

3.4 Ejemplo

Como ejercicio es facil obtener la relacion entre el momento de inercia de una varilla res-

pecto a un eje perpendicular que pasa por su centro de masas, Icm = (1/12)ML2, y a un eje

perpendicular que pasar por uno de sus extremos, Icm = (1/3)ML2.

4. Momento angular

El analogo rotacional del momento lineal o cantidad de movimiento de una partıcula es una

nueva magnitud fısica denominada momento angular . Se define el momento angular de una

partıcula en un instante determinado y respecto a un cierto origen de coordenadas O como:

~= ~r × ~p,

donde ~r es el vector de posicion de la partıcula respecto a ese origen y ~p es su momento lineal

en ese instante. Con esta definicion vemos que ~ es una magnitud vectorial, perpendicular tanto

a ~r como a ~p.

Dimensiones: [`] = LMLT−1 = ML2T−1; Unidades S.I.: kg.m2/s.

Conviene recalcar que la definicion de esta nueva magnitud depende del origen de coordenadas

elegido, por lo que siempre que se hable de momento angular debe quedar claro a que sistema

de coordenadas nos referimos.

4.1 Ejemplo

Partıcula describiendo una circunferencia.

Tema 5. Dinamica de la rotacion 10

z

O

ω

l

r

p

~= `~k −→ ` = rmv sen(π

2

)= rmv = r2mω.

Si ω es constante, ` tambien lo es.

4.2 Ejemplo

Partıcula moviendose en lınea recta.

y

z

x

r

l

r

p

θ

O

~= − ~j −→ ` = rmv sen θ = mvr⊥.

Unicamente si el origen esta en la trayectoria de la partıcula, ~ valdra cero. Si la velocidad es

constante, ~ sera constante, pero si la partıcula esta acelerada, ~ varıa en el tiempo.

5. Segunda ley de Newton para la rotacion

5.1. Partıcula unica

En el caso del movimiento de traslacion, comprobamos como la derivada temporal del mo-

mento lineal esta relacionada con las fuerzas exteriores que actuan sobre cierta partıcula. De

Tema 5. Dinamica de la rotacion 11

hecho, esta es una expresion alternativa de la ecuacion newtoniana del movimiento de la partıcu-

la. Veremos a continuacion que informacion esta contenida en la derivada del momento angular.

Consideremos una unica partıcula:

d~

dt=d(~r × ~p)

dt=����>

0d~r

dt× ~p+ ~r × d~p

dt= ~r × d~p

dt

d~p

dt= ~f =⇒ d~

dt= ~r × ~f = ~τ .

Esta ultima ecuacion constituye la segunda ley de Newton para la rotacion. La variacion del

momento angular con el tiempo es el momento neto de las fuerzas que actuan sobre la partıcula.

Veamos intuitivamente que significa esto con un ejemplo.

5.1 Ejemplo

Consideremos una puerta vista desde arriba y que pretendemos abrirla ejerciendo una fuerza

sobre ella.

La experiencia nos dice que la aceleracion con que conseguimos abrirla no solo depende de la

magnitud de la fuerza aplicada, sino tambien de su direccion y punto de aplicacion. La fuerza

~f3 no consigue abrirla, la ~f2 sı, pero ’despacio’. Y la ~f1 consigue abrirla con mas facilidad.

Repitiendo la experiencia sistematicamente se comprueba que la aceleracion angular con que se

abre la puerta es proporcional, no solo a la magnitud de la fuerza aplicada, sino tambien a la

distancia de la lınea de accion de la fuerza al eje de giro. Esta distancia se denomina brazo de

palanca. Entonces α ∝ fr⊥ = fr sen θ.

f 1

f 2

f 3

f

r

r

θf

Tema 5. Dinamica de la rotacion 12

Se define el modulo del momento asociado a la fuerza ~f como: τ = fr sen θ. Y, por lo tanto,

experimentalmente se comprueba que,

α ∝ τ −→ segunda ley de Newton para la rotacion

La relacion matematica rigurosa entre ambas magnitudes la obtenemos a partir del concepto de

momento angular.

Como en la obtencion de esta segunda ley para la rotacion, hemos aplicado la correspondiente

a la traslacion, que solo es valida en sistemas de referencia inerciales, el resultado obtenido es

tambien unicamente valido en estos sistemas de referencia. Esta ley constituye la analogıa

rotacional de la segunda ley de Newton que ya conocıamos para la traslacion.

5.2. Sistemas de partıculas

Se define el momento angular total de un sistema de partıculas como la suma de los mo-

mentos individuales de cada una:

~L =n∑

i=1

~i

d~L

dt=

n∑i=1

d~idt

=n∑

i=1

~ri × ~fi = ~τt,

donde ~τt representa el momento de fuerzas total sobre el sistema, que se puede descomponer

en un momento asociado a fuerzas internas al sistema y otro a externas.

~τt = ~τint + ~τext.

Es facil darse cuenta de que ~τint = 0. Por ejemplo, para un sistema de dos partıculas:

r

fij

rj

ri

fji

θi

θj

i

j

O

Tema 5. Dinamica de la rotacion 13

−~fij = ~fji −→ fij = fji

Si el eje perpendicular al papel es el z:

~τint = rifij sen θi ~k − rjfij sen θj ~k = fij(ri sen θi − rj sen θj)~k = fij(r⊥ − r⊥)~k = 0

La demostracion para un numero arbitrario de partıculas sera analoga. Por lo tanto, queda

demostrado que:d~L

dt= ~τext

Esta es la expresion de la segunda ley de Newton para la rotacion aplicada a un sistema de

partıculas.

No lo demostraremos aquı, pero esta ecuacion no solo es valida en cualquier sistema de

referencia inercial, sino que tambien lo es siempre respecto al sistema de referencia de centro

de masas del sistema, aunque este acelerado. Es por esto que siempre se puede descomponer el

movimiento de un cuerpo extenso en traslacion del centro de masas y rotacion respecto a el. En

el primer caso se elige un sistema de referencia inercial y se aplica la segunda ley de Newton

respecto a el. Para la rotacion se considera como sistema de referencia el centro de masas y se

aplica la segunda ley de Newton para la rotacion respecto a el.

Trataremos ahora de expresar la segunda ley de Newton para la rotacion de modo analogo

a la ecuacion, ~f = m~a. Consideremos un solido rıgido rotando alrededor del eje z y tomemos

como origen un punto cualquiera del eje.

i

z

x

y

ω

O

R i ri

pi

z

plano xy

i

ri

R i

liθi

θi

liz

Tema 5. Dinamica de la rotacion 14

`i = ripi sen(π

2

)= rimivi = riRimiω

Componente z de li:

`iz = riRimiω sen θi y como: ri sen θi = Ri =⇒ `iz = R2imiω.

Sumando para todas las partıculas que forman el objeto:

Lz =n∑

i=1

`iz =

(n∑

i=1

miR2i

)ω = Iω.

Luego para todo solido rıgido, la componente sobre el eje de rotacion del momento angular

verifica una ecuacion similar a p = mv. Aunque no lo demostraremos, se puede comprobar que

para cualquier solido rıgido con simetrıa axial :

~L = I ~ω,

es decir, que ~L esta dirigido en la direccion de ~ω. Pero esto no es cierto para cualquier solido

rıgido.

En resumen,

+ Para un solido rıgido (I = cte.) cualquiera:

dLz

dt= I

dω

dt= Iα −→ τz = Iα

donde τz es la componente z de ~τext.

+ Si ademas de ser rıgido tiene simetrıa de revolucion:

d~L

dt= I

d~ω

dt= I~α −→ ~τext = I~α

Estas expresiones constituyen la analogıa rotacional ded~p

dt= m~a para la segunda ley de Newton

en movimientos lineales. De otro modo:d~L

dt= ~τext = I~α.

6. Conservacion del momento angular y sus aplicaciones

Hasta aquı hemos introducido dos principios de conservacion basicos en Mecanica Clasica,

el de conservacion de la energıa y el de conservacion del momento lineal de un sistema. Ademas

Tema 5. Dinamica de la rotacion 15

de su gran importancia teorica, ambos permiten resolver gran cantidad de problemas practicos.

Presentaremos ahora otro principio de conservacion de gran trascendencia y lo aplicaremos a

la resolucion de ciertos problemas interesantes.

Cuando el momento de la fuerzas externas que actuan sobre un sistema se anula, se verifica

que:

~τext = 0 =⇒ ~L = ~cte. =⇒ ~Li = ~Lf .

Esto quiere decir que para un sistema en el que ~τext = 0, el momento angular total es constante.

Esto no significa que el momento angular de cada una de las partıculas que forman el sistema

permanezca constante, sino solamente que la suma de todos ellos sı que lo es. Ademas, este

principio de conservacion solo es cierto punto a punto. Unicamente si ~τext respecto a un cierto

punto es nulo, entonces el momento angular total, ~L, respecto a ese punto es invariante. Respecto

a otro punto cualquiera esto no tiene porque verificarse.

i) Regresemos a la ecuacion Lz = Iω, valida para sistemas de geometrıa arbitraria. Si el

sistema es un solido rıgido, I = cte., pero existen ciertos problemas donde el momento de

inercia del sistema varıa. En este casodI

dt6= 0 y para conservarse el momento angular (si

no existen momentos externos) debe cumplirse:

Li = Lf =⇒ Iiωi = Ifωf

Esto implica una variacion de la velocidad angular del sistema. En resumen, la conservacion

del momento angular da lugar a una variacion de la velocidad angular del sistema si el

momento de inercia cambia.

6.1 Ejemplo

Una persona esta sentada sobre un taburete y gira respecto a un eje vertical con una ve-

locidad angular ωi mientras sostiene dos pesas con sus brazos extendidos. Repentinamente

encoge sus brazos de modo que If = Ii/3. Calculese la velocidad angular una vez encogidos

los brazos. ¿Que relacion hay entre la energıa cinetica de rotacion inicial y final?

Iiωi = Ifωf =Ii3ωf −→ ωf = 3ωi

Kf =1

2Ifω

2f =

1

2

(Ii3

)(3ωi)

2 = 3

(Ii2ω2i

)= 3Ki.

Tema 5. Dinamica de la rotacion 16

ii) Fuerzas centrales y conservacion del momento angular

La conservacion del momento angular es basica en el estudio de movimientos planetarios

y otro tipo de problemas gravitatorios. La fuerza gravitatoria es un ejemplo tıpico de

fuerza central , es decir, es una fuerza que solo depende de la distancia de los objetos que

interaccionan.

6.2 Ejemplo

Supongamos, por ejemplo, un planeta en orbita elıptica alrededor del sol.

Sol

Planeta

P A

vA

vP

f

v θ

r

El momento de la fuerza gravitatoria que actua sobre el planeta es cero respecto al Sol,

porque ~r y ~f son colineales. Por lo tanto, si despreciamos otras fuerzas, el momento angular

del planeta respecto al Sol permanece constante.

~L = ~r × ~p = ~cte. −→ mvr sen θ = cte.

Todas las magnitudes que aparecen en esa ecuacion varıan durante el movimiento orbital,

pero su producto permanece constante. Ası por ejemplo, veremos que pasa en la posicion

mas proxima al Sol ( perihelio) y en la mas alejada ( afelio). En estas posiciones,

θ = π/2 → sen θ = 1 =⇒ vArA = vP rP

Como rA > rP , entonces vA < vP . Es decir, que la velocidad del planeta en su orbita va

cambiando con el tiempo, aumentando en el camino A→ P , y disminuyendo en el inver-

so. En general, para cualquier fuerza central, el momento angular se mantiene constante

respecto al centro de fuerzas.

Tema 5. Dinamica de la rotacion 17

7. Analogıas entre las ecuaciones de la traslacion y la

rotacion

A modo de apendice, resumimos en la siguiente tabla el paralelismo entre las ecuaciones

que hemos obtenido en los casos traslacional y rotacional.

Traslacion Rotacion

m I

~p = m~v Lz = Iω

(simetrıa axial → ~L = I~ω)

~f ~τ

~f =d~p

dt= m~a τz =

dLz

dt= Iα

(simetrıa axial → ~τ =d~L

dt= I~α)

Ec = 12mv2 Ec = 1

2I ω2

Tema 5. Dinamica de la rotacion 18

8. Problemas

1. Se sujeta un cuerpo de masa m a una cuerda enrollada alrededor de una rueda de momento

de inercia I y radio R. La rueda puede girar sin rozamiento y la cuerda no se desliza en

su borde. Halla la tension de la cuerda y la aceleracion del cuerpo.

(Respuestas : T =mgI

mR2 + I; a = g

mR2

mR2 + I)

2. Un muchacho de masa, m, se acerca corriendo con una velocidad, v, a un tiovivo de

feria, que esta inicialmente parado, y se sube de un salto a su borde. ¿Que velocidad

angular adquiere el tiovivo cuando el muchacho ha subido y se encuentra en reposo relativo

respecto a el?

(Respuestas : ω =mvR

I +mR2)

3. Dos masas, m1 y m2, estan conectadas a traves de una cuerda que pasa por dos poleas

identicas de momento de inercia, I. Encuentrese la aceleracion de cada masa y las tensiones

en la cuerda.

(Respuestas : a =(m2 −m1)g

2IR2 +m1 +m2

; T1 = m1(a+ g); T2 =aI

R2+ T1; T3 = m2(g − a))

4. Dos objetos (A y B) estan conectados a traves de dos poleas (C y D) de radios: RC = 8

cm y RD = 15 cm. Las masas de los objetos son mA = 27 kg y mB = 16 kg. Si la masa

de la polea C es mC = 8 kg, calcular:

a) la masa mD para que la pesa B se mueva con una aceleracion de 2 m/s2 hacia arriba.

b) las tensiones en el cable.

(Respuestas : a) mD = 13,8 kg; b) T1 = 210,6 N; T2 = 202,6 N; T3 = 188,8 N)

5. Una esfera, un cilindro y un aro, todos del mismo radio, ruedan hacia abajo sobre un

plano inclinado partiendo de una altura y0. Encuentrese en cada caso la velocidad con la

que llegan a la base del plano.

(Respuestas : v2e =

10

7g(y0 − y); v2

d =4

3g(y0 − y); v2

a = g(y0 − y))

6. Calculese el valor de la masa del cuerpo A de la figura para que el cuerpo C suba por el

plano una distancia de 3 m en 2, 74 s, partiendo del reposo. Si mB = 10 kg, mC = 5 kg,

Tema 5. Dinamica de la rotacion 19

R1 = 0, 3 m, R2 = 0, 2 m y el radio de giro 0, 1 m. Calculense en ese instante la velocidad

de cada cuerpo, el espacio recorrido por el cuerpo A y la energıa cinetica del cuerpo B.

(Respuestas : mA = 2,36 kg; yA = 4,5 m; vA = 3,29 m/s; vC = 2,19 m/s; Ec,B =

6,01 J)

7. Una fuerza constante T de 15 N se aplica a una cuerda enrollada alrededor de una rueda

de masa 4 kg, radio 33 cm y radio de giro 30 cm. Si hay un momento debido al roza-

miento igual a 1, 1 N.m en el centro, calculense: a) La aceleracion angular de la rueda. b)

Suponiendo ahora que en lugar de la fuerza constante se cuelga un bloque de peso 15 N.

¿Cual es la aceleracion angular de la rueda?, ¿cual es la aceleracion del bloque? y ¿cual es

la velocidad del bloque a los 8 s, si la rueda parte del reposo? c) Supongase que la fuerza

T en la cuerda, esta dada por la relacion T = 3t − 0, 2t2(N) donde t esta en segundos.

¿Cual es la velocidad lineal de un punto de la periferia despues de 8 s, si la rueda parte

del reposo?

(Respuestas : a) α = 10,69 rad/s2; b) α1 = 7,31 rad/s2; a = 2,41 m/s2; v(t = 8 s) =

19,3 m/s; c) v(t = 8 s) = 10,65 m/s )

Tema 5. Dinamica de la rotacion 20

8. Un hombre de 100 kg de masa esta situado en el borde de una plataforma giratoria de 2 m

de radio y momento de inercia 4000 kgm2, montada sobre un eje vertical sin rozamiento

que pasa por su centro. Todo el sistema se encuentra inicialmente en reposo. El hombre

comienza a caminar por el borde de la plataforma con una velocidad de 1 m/s respecto de

la Tierra. Calcular: a) La velocidad angular y la direccion en la que girara la plataforma.

b) El angulo que habra girado cuando el hombre alcance su posicion inicial sobre la

plataforma. c) El angulo que habra girado cuando el hombre alcance su posicion inicial

respecto de la Tierra.

(Respuestas : a) ω2 = −0,05 rad/s, en sentido opuesto al movimiento del hombre; b)

ϕ2 = 32,73o; c) ϕ2 = 36,0o)

9. Un cilindro de radio 10 cm y masaM , lleva en su periferia un saliente de masa despreciable.

Una bala de masa m, impacta en el saliente, con velocidad de 6 m/s. Despues del choque

ambos cuerpos giran juntos. Sabiendo que M = 4 m. Determinar: a) La velocidad de

rotacion. b) El porcentaje de energıa cinetica perdido en el choque.

(Respuestas : a) ω = 20 rad/s; b) ∆E( %) = 66,67 %)

Tema 5. Dinamica de la rotacion 21

10. Una bola de 2 kg de masa que se mueve con una velocidad inicial de 5 m/s choca con

el extremo inferior de una barra de 8 kg y 1, 2 m de longitud, articulada en el punto A

como muestra la figura. Si el coeficiente de restitucion es 0, 8, calcular la velocidad de la

bola despues del choque. (IA = 13Ml2).

(Respuestas : vf1 = 0,143 m/s)