Tema 5-2. Factorial Completo

Tcn

ique

s ana

ltiqu

es

ava

nades

Tema 4: Disseny dexperiments

Que interessa normalment ?:

1. Determinar si realment aquestes variables afecten al parmetre

dinters. 2. Determinar com lafecten 3. Trobar les valors de les variables que donin un valor ptim del

parmetre

4..

y = f ( x1, x2, x3, .......xn )

Disseny Factorial

-Pot donar resposta als punts mencionats

-Lexperimentaci realitzada, pot servir com inici daltres dissenys mes elaborats

Tcn

ique

s ana

ltiqu

es

ava

nades


Temperatura (C)

Rendiment (g) Concentracin (%)

Nivel (+)

C - Concentracin

Nivel () Factores

T - Temperatura (C) 160 180

20 40

X

Z

PROCES

Tcn

ique

s ana

ltiqu

es

ava

nades


x1 x2 x3 1 2 3 4

x1

+ +

+ +

x2

22

1 2 3 4 5 6 7 8

+ + + +

+ + + +

+ + + +

23

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16

x1 + + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

x2 x3 x4

24

Disseny

Factorial

Complert Base: n nivells

potncia: n factors 2k

Tcn

ique

s ana

ltiqu

es

ava

nades


x1 1 +1

x2 +1

1 x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x4= 1

x4= +1 x4= -1

Diseo Factorial Completo. Dos niveles

Representacin de los experimentos: 1, 2, 3, .n a, b, c, .ab, ac, abc, acd, ..

Matrices de experiencias:

x1 x2

1

2

3

4

x1 x2 0 0

1 0

0 1

1 1

1

2

3

4

A B C

+

a

ab

bc

Matriz modelo: 1

2

3

4

x0 x1 x2

+

y = b0 + b1 x1 + b2 x2

Diseo Factorial Completo: 2 Factores a 2 niveles

Plan de Experimentacin

x1 x2 y

160 A y1=54

180 A y2=64

160 B y3=60

180 B y4=70

Matriz del Modelo

Modelo Matemtico: y = b0 + b1 x1 + b2 x2

Efecto de x1:

cuando x2 est en el nivel bajo () = b1x2(-)

y2 y1

2

y4 y3

2 cuando x2 est en el nivel alto (+) = b1

x2(+)

y1 + y2 y3 + y4 4

Diseo Factorial Completo: 2 Factores a 2 niveles

[ ( y2 y1) / 2 ] + [ ( y4 y3 )/2 ]

2 b1 = =

Clculo de los coeficientes del modelo:

y = b0 + b1 x1 + b2 x2

x2

x1

+

y1

+ y4

y2

y3 x2

+ x1

54

+ 80

64

58

1 2

3 4 54

64

58

80

Efecto del factor

Efecto de la curvatura

1 2

3 4 y1

y2

y3

y4 y = b0 + b1 x1 + b2 x2

Si esta ecuacin representase bien la variacin de la

respuesta y en el dominio experimental definido

por los factores x1 y x2

o bien su diferencia sera equivalente al

error experimental

Si esto no es as, indica que el plano definido por los puntos 1, 2, 3, 4 es alabeado.

Cul es el modelo matemtico que define un plano con curvatura ?

y = b0 + b1 x1 + b2 x2 + x1 x2

( y3 + y2 )

2 =

2

( y4 + y1)

Efecto de la curvatura. Calculo rpido de la interaccin

A la matriz modelo tendremos que aadirle el trmino x1x2

x0 x1 x2 x1x2

+

(y1 y2 y3 + y4)

4 =

Cul es el significado fsico de este trmino?

[ ( y4 y3 ) / 2 ] [ ( y2 y1 ) ] / 2

2 = =

b1 x2 = (+) b1

x2 = (

2 = b12

Luego el trmino b12 se interpreta como la interaccin

Tcn

ique

s ana

ltiqu

es

ava

nades


Pla dexperimentaci Resposta experimental

7.7

67.7

3.7

34.7

8.8

100.0

4.8

37.1

C P T y

15

15

15

15

180

180

180

180

0.05

3

0.05

3

0.05

3

0.05

3

200

200

Matriu

dexperiments

1

2

3

4

5

6

7

8

x1

+ + + +

+ + + +

+ + + +

x2 x3

Tcn

ique

s ana

ltiqu

es

ava

nades


Clcul de lefecte dels factors

Respuesta

bCP = ( + y1 y2 y3 + y4 + y5 y6 y7 + y8 ) / 4

bC = ( y1 + y2 y3 + y4 y5 + y6 y7 + y8 ) /4

1

2

3

4

5

6

7

8

+ + + +

+ + + +

+ + + +

+ + + +

+ + + +

+ + + +

+ + + +

y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8

C P T Exp. CP CT PT CPT

+ + + + + + + +

Matriu model:

Tcn

ique

s ana

ltiqu

es

ava

nades


Efectes calculats

promedio

C

P

T

C P

C T

P T

C T P

33.1

53.6

-26.0

9.3

-22.0

8.1

-7.5

-7.5

Interpretaci: Valor absolut

Signe

+

+

+

3.7 34.7

4.8 37.1

8.8

7.7 67.7

100.0

P

T

C

Tcn

ique

s ana

ltiqu

es

ava

nades


Efectes calculats

promedio

C

P

T

C P

C T

P T

C T P

33.1

26.8

-13.0

4.6

-11.0

4.06

-3.7

-3.7

33.1

53.6

-26.0

9.3

-22.0

8.1

-7.5

-7.5

promedio

C

P

T

C P

C T

P T

C T P

Tcn

ique

s ana

ltiqu

es

ava

nades


Grfics Pareto: Es basen en la representaci dels ndex pi

pi =bi2

bi2

100

50,4

33,2

7,8

1,0

5,6

0,8

0,6

0,6

Tcn

ique

s ana

ltiqu

es

ava

nades


Nivel (+)

A

C - Concentracin

Nivel () Factores

K - Catalizador

T - Temperatura (C)

B

160 180

20 40

Dominio experimental

Planta piloto. Diseo 23

Temperatura (C)

Catalizador

Rendimiento (y) Concentracin (%)

G. E. P. Box, W. G. Hunter, J. S. Hunter Estadstica Para Experimentadores. Ed. Revert, Barcelona, 1989

Tcn

ique

s ana

ltiqu

es

ava

nades


Plan de experimentacin

Respuesta experimental

60

72

54

68

52

83

45

80

T C K

A

A

A

A

B

B

B

B

160

180

160

180

160

180

160

180

20

20

40

40

20

20

40

40

Matriz de

experimentos

1

2

3

4

5

6

7

8

x1

+ + + +

+ + + +

+ + + +

x2 x3

59

74

50

69

50

81

46

79

61

70

58

67

54

85

44

81

y


Tcn

ique

s ana

ltiqu

es

ava

nades



Efectos calculados

promedio

T

C

K

T C

T K

C K

T C K

64.25

23.0

-5.0

1.5

1.5

10.0

0.0

0.5

b0 = bT = bC = bK = bTC = bTK = bCK = bTCK =

bT

bC

bK

bTC

bTK

bCK bTCK

Anlisis grfico de los efectos

-5 0 5 10 15 20 25

Tcn

ique

s ana

ltiqu

es

ava

nades


Grfic Pareto:

20 40 60 80 100

78.43

14.83

3.7

2.3

0.33

P1

p1,3

p2

p1,2,3

p3

p1,2

p2,3

pi =bi2

bi2

100

0.33

Tcn

ique

s ana

ltiqu

es

ava

nades


Plan de experimentacin

Respuesta experimental

T C K

A

A

A

A

B

B

B

B

160

180

160

180

160

180

160

180

20

20

40

40

20

20

40

40

Matriz de

experimentos

1

2

3

4

5

6

7

8

x1

+ + + +

+ + + +

+ + + +

x2 x3

59

74

50

69

50

81

46

79

61

70

58

67

54

85

44

81

y

s1

s2

s3

s4

s5

s6

s7

s8

n rplicas

Planta piloto. Diseo 23 Significacin estadstica de los efectos. Uso de rplicas

Tcn

ique

s ana

ltiqu

es

ava

nades


1

)(1

2

2

=

=

n

yy

s

n

j

iij

i

Variana estimada para

cada experiment i

Caso particular: sol 2 repliques:

22

)(22

212 iiii

dyys =

=

con 1 grau de llibertat

59

74

50

69

50

81

46

79

61

70

58

67

54

85

44

81

y di 2

is

2

4

8

2

4

4

2

2

2

8

32

2

8

8

2

2

Error estndard dels efectes emprant repliques

)( 21 iii yyd = N

s

N

s

n

ss

kb

24

2

2

2

2

===

n de rplicas n total de experimentos

(contando las rplicas)

Tcn

ique

s ana

ltiqu

es

ava

nades


Significaci estadstica dels efectes

Interpretacin: Si el intervalo de confianza contiene el 0, entonces

el efecto no es significativo a un nivel = 0.05

Intervalo de confianza de aproximadamente el 95% del efecto

estimado

b 2 sb

3.37 1.56 (significativo)

1.25 1.56 (no significativo) Ejemplo:

Tcn

ique

s ana

ltiqu

es

ava

nades


Significaci estadstica dels efectes

Efectes calculats

promedio

T

C

K

T C

T K

C K

T C K

64.25

23.0

-5.0

1,5

1,5

10.0

0.0

0.5

bT

bC

bK

bTC

bTK

bCK bTCK

1.4

2.8

2.8

2.8

2.8

2.8

2.8

2.8

4,124

2

2

2

2

====

N

s

N

s

n

ss

kb

Tcn

ique

s ana

ltiqu

es

ava

nades


Altres mtodes davaluar lerror estndard dels efectes

Factor Efecte (Efecte)2

ABC 0.14 0.0196

ABD -0.09 0.0081

ACD -0.19 0.0361

BCD -0.39 0.1521

ABCD 0.41 0.1681

Suma de quadrats = 0.3840

Suma mitjana de quadrats = 0.3840/5 = 0.0768

A. A partir de les interaccions dordre superior

B. A partir de repeticions en el punt central

Tcn

ique

s ana

ltiqu

es

ava

nades


Significaci estadstica dels efectes: ANOVA

Efecte bi

g.L

SS MSS

SS/gl F

A 53,6 1 8618,88 8618,88 495,20

B -26,0 1 2028 2028 116,52

C 9,3 1 259,47 259,47 14,91

AB -22,0 1 1452 1452 83,42

AC 8,1 1 196,83 196,83 11,31

BC -7,5 1 168,75 168,75 9.70

ABC -7,5 1 168,75 168,75 9,70

ee= Error

experimental 5,9 n (ex 2) 34.81 17.4

Ftab (1,2, =0,05) = 18,153

Tcn

ique

s ana

ltiqu

es

ava

nades


y = f ( x1, x2, x3, .......xn )

Model que podem establir: Superfcie de Resposta

y = b0 + b1x1+ b2x2 + b3 x3+ b12x1.x2+ b13 x1.x2+ b23 x2.x3+ b123 x1x2.x3

y = b0 +b1x1+b2x2 + b12x1.x2

El model sha de validar Amb punts externs dintre del domini

Tcn

ique

s ana

ltiqu

es

ava

nades


1 2 3 4 5 6 70

20

40

60

80

100

120

140

Number of variables

Num

be

r o

f e

xpe

rim

ents

k = 3 8 experiments

k = 4 16 experiments

k = 7 128 experiments

Nombre de factors

No

mb

re d

exp

eri

men

ts

4

8

16

128

...

2k

Efectos principales

Interacciones

2 factores

3 factores

4 factores

5 factores

6 factores

7 factores

N = 2k

2

3

4

7

...

k

7

21

35

35

21

7

1

Factores

Limitacions dels dissenys factorial complert

Tema 5-2. Factorial Completo

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