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TEMA 4: Reducción de la gravedad.

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TEMA 4: REDUCCIÓN DE LA GRAVEDAD.

4.1 INTRODUCCIÓN.

Para la resolución de la integral de Stokes es necesario que las anomalías de gravedad

representen valores de contorno sobre la superficie del geoide, lo que nos lleva a dos

necesidades imprescindibles para el cumplimiento de tal condición: la primera es que las

anomalías de gravedad deben presentar valores de contorno reales fuera de las masas

atrayentes, por lo que será necesario que no existan masas por encima del geoide, lo que

obliga a eliminar esas masas existentes por encima del geoide o bien a condensarlas

dentro del mismo.

En segundo lugar, la gravedad medida sobre la superficie física del terreno se debe

reducir al geoide, es decir: las observaciones de gravedad las haremos sobre la superficie

terrestre que es irregular y sobre la que tendremos una superficie equipotencial diferente

para cada punto (P, Q) observado, figura 4.1, por lo que no tendremos todas las medidas

referidas a la misma superficie de nivel, así que deberemos reducirlas a una única

superficie de nivel (el geoide) para que los valores de gravedad observados sean

comparables entre sí y permitan formarse una idea del relieve gravimétrico.

La explicación al concepto de relieve gravimétrico será la siguiente: no debemos

olvidar que las anomalías de gravedad provienen de irregularidades en la repartición de

las masas terrestres que provienen de los excesos y defectos de masas interiores. Así las

anomalías reducidas pueden ser positivas o negativas, en el primer caso indican una

PO

P

Q WP

WQ

Geoide, WO

Topografía

Figura 4.1: Superficies equipotenciales diferentes que pasan por puntos de la superficie topográfica.


2

gravedad observada más fuerte que la que resultaría si las masas situadas por debajo de

la estación e interiores al geoide obedeciesen a la ley teórica de repartición de densidades

realizada sobre nuestro elipsoide de referencia ideal compuesto de capas homogéneas

concéntricas. Habrá, por tanto, por debajo de la estación, en este caso, masas de fuerte

densidad anormal, y, al contrario, una anomalía negativa pone de manifiesto una débil

densidad anormal de las masas mencionadas (Sans Huelin 1946).

Unas veces estas anomalías son meramente locales, originadas por masas

perturbadoras de densidad anormal, de extensión limitada, y, otras presentan carácter de

anomalías regionales, del mismo signo para una región de la superficie terrestre.

Las reducciones de la gravedad empezaron a estudiarse con seriedad y rigor a finales

del siglo XIX, cuando el número de observaciones de gravedad sobre toda la tierra era ya

elevado y se podía empezar a plantear la resolución de los problemas que genera la

geodesia física.

4.2 REDUCCIÓN DE BOUGUER.

El objeto de la reducción de Bouguer sobre la gravedad es la eliminación completa de

las masas topográficas, es decir, de las masas exteriores al geoide.

El potencial que genera toda la topografía sobre un punto P(XP,YP,ZP), figura 4.2, en la

superficie terrestre debido a las masas situadas sobre el geoide puede escribirse en

aproximación plana mediante:

( ) ( ) ( )[ ]∫∫∫ −+−+−=

E

H

PPP

PPP dZdYdXHZYYXX

ZYXKZYXV

0 21

222

)1.4(),,(

),,(ρ

Donde K es la constante de gravitación universal, E el área de interés (resolución

local del geoide), HP y H son las alturas sobre el geoide en el punto de cálculo y en el

punto integral (alturas ortométricas, con Z=H en la resolución integral) y ρ es la función

de densidad, normalmente desconocida y supuesta constante con lo que saldrá fuera de

la integral.


3

Normalmente el efecto de las masas por encima del geoide sobre la gravedad es

separado en dos partes, una la corrección por lámina de Bouguer y otra el efecto de la

topografía, es decir, primero, con la corrección terreno, eliminamos las irregularidades

topográficas (eliminamos por encima y rellenamos por debajo del punto P), dejando el

área de alrededor de la estación gravimétrica P completamente plana, figura 4.2

horizontal y con masas uniformes de la misma densidad, y luego eliminamos las masas

que hay entre el geoide y la lámina de Bouguer que ha quedado al eliminar la topografía:

Así la integral (4.1) se dividirá en dos partes (una suma de integrales):

( )∫∫ ∫∫∫ ∫ +=E

H

HE

H

P

P

dZdEd

KdZdEd

KV 2.411

0

ρρ

Donde:

( )[ ]2122PO HZSd −+=

Y:

( ) ( )[ ]2122PPO YYXXS −+−=

Geoide

Topografía

Lámina Bouguer

P

HP

Figura 4.2: Reducción de Bouguer.


4

La primera de las integrales corresponderá a la lámina de Bouguer y la segunda al

efecto de la topografía.

Comenzaremos primero por la integral correspondiente a la lámina de Bouguer,

considerando que la atracción vertical A es la derivada negativa de V respecto a la altura

obtendremos que:

( ) ( )∫∫ ∫−

−=∂∂

−=E

HP

P

P

dZdEd

HZK

HVB

0 23 3.4' ρ

La lámina de Bouguer representada por la ecuación anterior tendrá siempre

resultado positivo ya que el punto integral Z estará siempre por debajo de HP, por lo que

la eliminación de dicha capa (-B’), actuará de forma negativa sobre el punto P, tal como es

de esperar, ya que la eliminación de la lámina de Bouguer situada debajo del punto P

debe hacer que la gravedad en P disminuya.

Para el cálculo de un valor numérico podemos desarrollar el potencial que genera

un cilindro sobre un punto P situado sobre el mismo, figura 4.3, tal como se desarrolla en

(Heiskanen et al. 1984, pg 127-128), donde, para evitar la confusión de signo anterior, se

ha puesto:

( )[ ]21

22 ZHSd PO −+=

XY

Z

dm SO

l P

HP

Z

a

Figura 4.3: Potencial y atracción de un cilindro circular sobre un punto situado en su superficie.

b


5

La atracción de dicho cilindro sobre el punto P resulta:

( )222 PP HaHaKB +−+= ρπ

Y tomando ∞→a , aplicando la teoría de límites:

( )4.42 PHKB ρπ=

Como es lógico, el área de integración no es infinita, por lo que asumiendo que el

área E está limitada por Xmin, Xmax, Ymin, Ymax , el efecto de la lámina de Bouguer será (Peng

et al. 1995) :

( )[ ] ( )[ ]P

max

min

max

min

HY

Y

X

XP

PPP

PPPP

PPP

rZHYYXX

ZH

rXXYYrYYXXKHYXB

0

1

)())((

tg)(

ln)(ln)(),,(

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−−

−+−−++−−

= −ρ

(4.5)

donde:

[ ]21

222 )()()( ZHYYXXr PPP −+−+−=

Para puntos alejados las fórmulas deben tener en cuenta la esfericidad terrestre,

por lo que serán más complicadas.

Para la consideración de la segunda parte de la integral (4.2), o efecto de la

topografía, procederemos de la siguiente manera (Sideris 1990):

( )∫∫ ∫ ∫∫ ∫−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+==

E

H

HE

H

H O

P

OTop

P P

dZdES

HZS

KdZdEd

KV 5.4111 21

2

. ρρ


6

Para 1≤−

O

P

SHZ

cosa normal en nuestro caso, ya que la diferencia de alturas

suele ser muy pequeña en comparación con las distancias tratadas (SO), el término entre

corchetes puede ser desarrollado en serie binomial de la siguiente forma: el desarrollo

binomial responde a la expresión:

( ) ( ) ( )( )±

−−±

−±±=± 32

!321

!2111 XnnnXnnXnX n

Aplicado a nuestro caso donde 21

−=n y

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

O

P

SHZ

X , el desarrollo resulta ser

igual a la serie:

∑∞

=

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

0

221

2

)1(1

r

r

O

Pr

r

O

P

SHZa

SHZ

( )( )2!2

!2

r

rarr =

Introduciendo la serie en la integral 4.5 resulta la expresión:

( )∫∫ ∫ ∑∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

E

H

H

r

r O

Pr

r

OP

dEdZS

HZa

SKV

2

0

11ρ

La atracción vertical resulta ser:

( )dEdZ

SHZ

raS

KHVA

rr

O

rP

rr

E

H

H OP P∑∫∫∫∞

=

−−−=

∂∂

−=1

2

12

2)1(1ρ

Donde el sumatorio comienza ahora desde r=1, ya que para r=0 el resultado sería

cero.


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Separando las integrales tendremos:

( )∫∫ ∑ ∫

∞

=

−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−=

∂∂

−=E r

H

Hr

O

rP

rr

OP

dEdZSHZ

raS

KHVA

P1

2

12

2)1(1ρ

Donde la integral entre corchetes es igual a:

( ) ( )r

O

rP

H

Hr

O

rP

SrHH

dZSHZ

P

2

2

2

12

2−

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −∫

−

Con lo que la atracción quedará:

( )∫∫ ∑

∞

=

−−=

∂∂

−=E r

rO

rP

rr

OP

dESHH

aS

KHVA

12

2

)1(1ρ

Si se considera únicamente el término r=1 del sumatorio anterior, se obtendrá,

finalmente:

( )∫∫

−−=

E O

P dESHH

KA 3

2

21 ρ

La atracción de la topografía afectará de forma negativa al punto P de cálculo, por

lo que su eliminación será positiva (aumentará la gravedad sobre P) y será llamada

corrección topográfica (Moritz 1980 pg. 415):

( )∫∫ −=

EO

PPPP dE

SHHKZYXC )6.4(

21),,( 3

2

ρ

Para las masas por encima de la lámina de Bouguer, que atraen hacia arriba en el

punto P, el ser eliminadas provocará un aumento de la gravedad en P, y las masas


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deficientes, que se deben rellenar, producen en P un aumento de gravedad también, con

lo que la corrección topográfica siempre tendrá carácter positivo, como ya se ha visto.

Una vez encerrada toda la topografía en la lámina de Bouguer ésta se elimina, lo

que equivale a restar su atracción de la gravedad observada, con lo que la corrección total

sobre P será:

( )7.4),,(),,(),,( PPPPPPPPP ZYXCZYXBZYXCORR +−=

Siendo B la corrección Bouguer, ecuación (4.4) y C la corrección de terreno,

ecuación (4.6).

Con todo esto obtenemos finalmente la corrección a la gravedad observada que la

totalidad de las masas topográficas situadas por encima del geoide producen, es decir,

hemos eliminado esa topografía, pero la estación estará todavía a una altura HP sobre el

geoide, debemos, por tanto, bajarla al geoide, para ello utilizaremos la reducción aire-

libre:

)8.4(HHgF

∂∂

−=

Para muchos fines prácticos es suficiente usar el gradiente de la gravedad normal,

es decir, (apartado 2.4.3):

)9.4()/3086.0( HmmgalHH

F =∂∂

−≈γ

Con signo positivo hacia el centro de masas terrestres.

El proceso total de corrección nos lleva a la gravedad Bouguer y a la conocida

anomalía de Bouguer refinada:

)10.4(gra FCBgg fiatopoBouguerobservadaB ++−=

( )11.4OBBouguer gg γ−=Δ


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Como anomalía relacionada se puede hablar también de las anomalías de

gravedad aire-libre:

( )bFgg OobservadaAL 11.4γ−+=Δ

4.3 REDUCCIONES ISOSTÁTICAS.

Se podría pensar que las masas topográficas están simplemente superpuestas sobre

una corteza homogénea. Si este fuera el caso, la reducción de Bouguer refinada eliminaría

las principales irregularidades del campo gravífico, de modo que las anomalías Bouguer

serían pequeñas y fluctuarían alrededor de cero. No obstante justamente lo contrario

sucede: las anomalías Bouguer son sistemáticamente negativas en zonas montañosas y,

aproximadamente, disminuyen 100 mgal por cada kilómetro de altitud, es decir, parece

que se esté eliminando más masa de la que se debería eliminar en realidad con la

corrección anterior.

La única explicación posible es que existe algún tipo de deficiencia de masas bajo las

montañas, esto significa que las masas topográficas están compensadas de alguna

manera.

Para explicar y evaluar dicha compensación se desarrollaron dos teorías diferentes

casi al mismo tiempo, la de Pratt en 1854 y la de Airy en 1855.

• SISTEMA DE PRATT-HAYFORD.

Ideado por Pratt y puesto en forma matemática por Hayford, el principio se basa

en que por debajo del nivel de compensación la densidad es uniforme, figura 4.4. Por

encima, las masas de cada columna de igual sección son iguales, esto quiere decir que si

llamamos D a la profundidad del nivel de compensación, entonces la densidad ρ de una

columna D+h debe satisfacer la ecuación:

( ) ODhD ρρ =+

Para mantener el equilibrio de masas propuesto.


10

Para D se adopta un valor medio de 100 Km, y para 367.2cm

gO =ρ

Con esto podremos saber la diferencia de densidad entre cada columna y la

teórica:

( )12.4OO hDh ρρρρ+

=−=Δ

En los océanos la condición de igualdad de masas se expresa como:

( ) OW DhhD ρρρ =+− ''

Donde 3/027.1 cmgW =ρ es la densidad del océano y h’ su profundidad. Por

tanto hay un exceso de densidad teórica de la columna suboceánica dada por:

D=100 Km

2.67 2.62 2.57 2.52 2.59 2.76

2 Km 4 Km

6 Km

3 Km Cota cero sobre el nivel del mar

Nivel de compensación

Kmh 5'=

Figura 4.4: Sistema de compensación isostática de Pratt-Hayford.


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( ) ( )13.4'

'WOO hD

h ρρρρ −−

=−

• SISTEMA DE AIRY-HEISKANEN.

Airy propuso este modelo y Heiskanen le dió una formulación más precisa para

fines geodésicos y lo aplicó extensivamente.

El principio se basa en que las montañas de densidad constante 3/67.2 cmgO =ρ pero rígidas, flotan sobre una capa más densa de densidad constante

pero fluida 31 /27.3 cmg=ρ , figura 4.5.

Si pensamos en la corteza terrestre como una masa elástica, comprenderemos que

las montañas tengan raíces que se hunden dentro del manto para mantenerse en

equilibrio y que los océanos presenten antiraices.

Densidad = 3.27

Densidad = 2.67

t

h

't

'h

T = 30 Km

Figura 4.5: Sistema de compensación isostática de airy-Heiskanen.

Cota cero sobre el nivel del mar


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Si designamos por h la altitud de la topografía y por t el espesor correspondiente a

la raíz, la condición de equilibrio flotante que la hidrodinámica nos proporciona como el

efecto del empuje de Arquímedes sobre un medio más denso se transforma en:

( )14.4Oht ρρ =Δ

Donde hemos llamado:

31 6.0cm

gO =−=Δ ρρρ

A la diferencia de densidades, así de la ecuación (4.14) podemos extraer:

( )15.445.4 ht =

Para los continentes. Para los océanos la condición de equilibrio flotante será:

( )WOht ρρρ −=Δ ''

Con lo que la antirraiz valdrá:

'73.2' ht =

El espesor normal de la corteza terrestre se designa por T y se suele expresar como

30 Km. (aproximadamente la profundidad de la discontinuidad de Mohorovicic).

Se ha puesto de manifiesto por observaciones que la tierra está isostáticamente

compensada en un 90%, pero es difícil decidir cual es el mejor modelo isostático, ya que,

dependiendo de la zona, parece que se ajuste más un modelo que otro.

Para los cálculos, eligiendo un modelo isostático de compensación, deberemos

proceder a evaluar esa autocompensación de las masas. Aquí debemos retocar un poco el

concepto anterior de eliminación de masas topográficas.


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Ahora el objeto de la reducción isostática de la gravedad es la regularización de la

corteza terrestre según algún modelo de isostasia; las masas topográficas no son

completamente eliminadas como en la reducción de Bouguer, sino que, idealmente, son

utilizadas para compensar esas deficiencias de masa. En el modelo isostático de Pratt-

Hayford las masas topográficas son distribuidas entre el nivel de compensación y el nivel

del mar para llevar la densidad al valor constante Oρ y en el modelo de Airy-Heiskanen

las masas topográficas de altura se utilizan para rellenar las raíces de los continentes y

llevarlas a densidad 3.27 g/cm3.

Resumiendo: la topografía se autocompensa, si la eliminamos deberemos eliminar

también esa autocompensación, llevando la corteza a un estado teórico de densidad 2.67

g/cm3 y espesor constante D (modelo Partt-Hayford) o T (modelo Aity-Heiskanen).

Así, la reducción total de la gravedad sobre el geoide isostáticamente reducida es:

( )16.4.IsosTopBouguerI AFCBgg +++−=

Donde AIsos será la atracción de la compensación; equivaldrá a esa carencia de

masa que la topografía rellena, y, por tanto, tendrá una influencia negativa sobre la

gravedad observada, ya que ahora suponemos menor masa (densidad), por debajo de la

estación, evidentemente su eliminación (eliminación de la compensación isostática) será

positiva (hay que recordar que las anomalías Bouguer daban sistemáticamente números

negativos).

Si los modelos son exactos y existe equilibrio isostático, la anomalía

correspondiente debe ser nula o cercana a cero. Si no lo es, las masas superficiales deben

tener tendencia a subir (si la anomalía es negativa) o a bajar (si es positiva). Ello ha sido

controlado por ejemplo en zonas escandinavas, área que presenta anomalías negativas y

que se está elevando lentamente, descargada hoy de la masa de los glaciares

cuaternarios. Si las masas no se desplazan o lo hacen en sentido contrario del que

reclama la isostasia es porque una fuerza profunda les afecta: es lo que ocurre

particularmente en las fosas oceánicas, donde se constatan fuertes anomalías negativas y

tendencias al hundimiento (Foucault et al. 1985). A pesar de esto las interpretaciones de

las anomalías isostáticas deben hacerse con extrema cautela, un mapa de anomalías

isostáticas mostrará con claridad las variaciones laterales en densidad de las rocas de

superficie y profundidad media (Blakely 1996), con lo que lo único cierto es que las

anomalías positivas presentan una densidad grande y las negativas una densidad


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pequeña de las rocas o material que la provoca, el resto de interpretaciones puede ser

muy subjetivo, necesitando de más información para poder extraer conclusiones ciertas.

4.4 MODELOS DE TRANSFERENCIAS DE MASAS: SEGUNDO

MÉTODO DE CONDENSACIÓN DE HELMERT.

Este segundo método de condensación de Helmert es el más utilizado en la mayoría

de determinaciones actuales de geoide que utilizan el método integral de Stokes, y, por

eso, nos referiremos exclusivamente a él (Sevilla 1995), (Sideris et al. 1995), (Smith et al.

1999), (Zhang 1999), (Zhang et al. 2000).

En este tipo de métodos la masa topográfica no es eliminada, sino que se condensa

sobre el geoide (Heiskanen et al. 1985, pág. 145).

En este caso la topografía se condensa para formar una capa superficial sobre el

geoide, por ejemplo la columna de la figura 4.6 se condensará con una densidad de

Hρκ =

Lo cual nos llevará a una integral doble (toda la superficie del geoide).

Para evaluar este efecto topográfico, se aproxima el geoide por un plano horizontal,

lo que lleva, en los cálculos posteriores de N, para áreas de integración de 6º y alturas

topográficas de 2 Km., a errores menores de 2-3 cm.(Vanicek et al. 1987).

Geoide

Topografía

H

κ=ρΗ

Figura 4.6: Principio del segundo método de condensación de Helmert.


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El proceso será el siguiente:

La gravedad reducida sobre el geoide, eliminando las masas topográficas es, según

ya hemos visto, figura 4.7:

( )17.42 FCHKgg PPPO++−= ρπ

Ahora, sobre el geoide (punto PO), se restauran las masas con densidad de

condensación κ, por lo que para el cálculo del potencial gravitatorio ahora se debe

resolver una integral de superficie del tipo:

∫∫ ∫∫==E E OO

P dESHKdE

SKV

O)18.4(1' ρκ

Ahora la densidad de condensación será ρH para cada punto, por lo que en cada

será diferente: en PO será de ρHP y en QO será de ρHQ, por lo que se puede dividir también

el efecto en una lámina de condensación ρHP como la de Bouguer más la lámina de

Geoide

Topografía

P

Q

HP

HQ

SO

PO QO

Figura 4.7: Atracción sobre un punto P de un punto Q situado sobre la topografía y sobre el geoide.


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densidad ρ(H-HP) sobre cada punto diferente de P siguiendo la idea de la condensación de

la topografía por encima o por debajo de la lámina de Bouguer, es decir:

( )19.4' dES

HHKdE

SH

KVE O

P

E O

PPO ∫∫∫∫

−+= ρρ

La primera de las integrales será la correspondiente a la lámina de Bouguer

condensada, la atracción de esta lámina (A1) será, (Heiskanen y Moritz, pg. 129), (figura

4.3 con b=0):

( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+−=

221 12P

P

Ha

HKA κπ

Y como 0=PH , ya que el punto se encuentra sobre el geoide, obtenemos

finalmente:

)20.4(221 PHKKA ρπκπ ==

La resolución de la segunda integral de la ecuación 4.19, correspondiente al efecto

de la atracción gravitatoria de la topografía por encima y por debajo de la lámina de

Bouguer condensada. Se resuelve de forma sencilla si intentamos evaluar la atracción

gravitatoria (A2) en vez de el mismo potencial y si consideramos que, en este caso

( )PHH − tiene que ver con la densidad de condensación, no con una posición

susceptible, por tanto, de derivación:

( ) ( )∫∫ =∂∂

−−=∂∂

−=E OP

PP

dESH

HHKHV

A 21.401'2

2 ρ

Densidad de condensación de la topografía por encima y por debajo de la lámina de Bouguer.


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Así, finalmente, la suma de los efectos de la eliminación topografía sobre el punto

P y su posterior reducción al geoide, ecuación 4.17, y posterior restauración de la

topografía condensada sobre el geoide (sobre el punto P0), ecuaciones 4.20 y 4.21, se

traduce en el valor de gravedad Helmert:

( )22.422 FCgHKFCHKgg pPPpH ++=+++−= ρπρπ

Con lo que, finalmente, la anomalía de gravedad según la segunda teoría de

condensación de Helmert se traduce en:

)23.4(Cgg ALP

H +Δ=Δ

A este término también se le conoce con el nombre de anomalía de Faye

refinada.

Así pues este método se reduce a calcular únicamente la corrección topográfica

(ecuación (4.6)), de ahí que sea el utilizado actualmente en determinaciones de geoide

utilizando la integral de Stokes; de todas formas, si nos fijamos con detenimiento, nos

podremos dar cuenta de que el segundo método de Helmert no es más que un caso límite

de la reducción isostática de Pratt-Hayford cuando la profundidad de compensación D se

hace cero.

4.5 EFECTO INDIRECTO.

La eliminación o desplazamiento de masas que conllevan las reducciones de la

gravedad cambian el potencial gravífico y, por tanto, el geoide. Este cambio del geoide es

un efecto indirecto de las reducciones de la gravedad.

Por lo tanto, la superficie calculada por la fórmula de Stokes a partir de las anomalías

isostáticas, por ejemplo, no será el geoide mismo, sino una superficie ligeramente

diferente: el cogeoide. A cada reducción de la gravedad le corresponde un cogeoide

diferente.


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4.5.1 EFECTO INDIRECTO EN EL SEGUNDO MÉTODO DE CONDENSACIÓN DE HELMERT

Sea CN la ondulación del cogeoide (obtenida por la resolución de la integral de

Stokes), la ondulación del geoide real se obtiene mediante:

)24.4(NNN C δ+=

Recordemos donde nos situamos: actualmente nos encontramos con la anomalía

de gravedad situada sobre el geoide (o cogeoide, en este caso), y ahora debemos evaluar el

efecto sobre la ondulación del geoide que tiene el haber llevado las masas topográficas a

condensarlas sobre el geoide.

El potencial indirecto deberá, por tanto, ser evaluado como el potencial

gravitatorio de las masas topográficas que afectan al punto PO, figura 4.7, situado en el

cogeoide menos el potencial gravitatorio de las masas topográficas después de la

reducción sobre el mismo punto, de esta forma llevamos el potencial del cogeoide al

geoide (del efecto de las masas condensadas al efecto de la topografía real).

Al igual que antes, podremos dividir el potencial indirecto en el potencial ejercido

por una lámina de densidad constante (lámina de Bouguer), y por el efecto de la

topografía.

Para obtener una fórmula de trabajo para la lámina de Bouguer utilizaremos el

desarrollo del potencial que ejerce un cilindro sobre un punto P o PO, figura 4.11, (el valor

sería el mismo debido a la simetría del cuerpo generador del potencial) situado sobre el

mismo (Heiskanen et al. 1985 ec. 3-5):

P

PO

hP

a

Figura 4.8: Potencial y atracción de un cilindro.


19

( )25.41ln21

2

22222

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++++−=

ah

ah

ahahhKV PPPPPρπ

De donde:

22Pha +

Puede ser visto como:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

21

2

2

1aha P

Y, por tanto, desarrollado en serie de Taylor de la forma:

( )21

21 X+

Siendo X=hP/a y quedándonos con los términos hasta X2 del desarrollo, obtenemos

que:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++≈+ 2

222

211

ah

aha PP

Desarrollando de igual forma el término:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

21

2

2

1lnah

ah PP

Considerando el desarrollo anteriormente visto, se obtiene:


20

++≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ 2

221

2

2

2111

ah

ah PP

Resulta finalmente, desarrollando en serie el logaritmo:

+≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

ah

ah

ah PPP

2

2

211ln

Con lo que la ecuación (4.25) quedará de la forma:

( )26.4212

211

322

2

22

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++−=

ah

ahhKah

aah

ahhKV PPP

PPPP ρπρπ

Ecuación que representará el potencial gravitatorio real de la lámina de Bouguer

sobre PO.

Ahora debemos hallar el potencial gravitatorio de las masas condensadas,

siguiendo la misma idea de la lámina de Bouguer, pero esta vez con espesor cero

(condensación sobre el geoide), se llega a la expresión (Heiskanen et al. 1985 ec 3-9):

( ) ( )27.42' 22PPP hhahKV −+= ρπ

En nuestro caso hP=0 (altura del punto PO), con lo que la ecuación anterior

presenta la forma:

( )28.42' ahKV Pρπ=

Esta última ecuación representa el potencial gravitatorio de la lámina de Bouguer

condesada sobre el punto PO; lo único que resta para obtener el potencial indirecto es

restar (4.26) menos (4.28), obteniendo:

ah

KhKV PPind

32

21 ρπρπ +−=


21

Si hacemos tender ∞→a , obtendremos, finalmente, la ecuación:

( )29.42P

Bougernalamiind hKV ρπ−=

Para la obtención del efecto indirecto en el potencial debido a la topografía se

procede de la siguiente manera (Wichiencharoen 1982 pág. 25-28):

El potencial gravitatorio en el punto PO sobre el geoide de la topografía real por

encima y por debajo de la lámina de Bouguer se puede expresar por (Figura 4.7):

( )∫∫ ∫=

=E

H

HZ PddZdE

KV 30.4ρ

Donde seguimos considerando la aproximación plana de la topografía. De la figura

4.9 se obtiene:

2 2 2

Od S Z= +

Geoide

Topografía

P

Q

HP

Z

SO

PO QO

Figura 4.9: Efecto indirecto de la topografía por encima y por debajo de la lámina de Bouguer.

d

Lámina de Bouguer


22

Por lo tanto: 1

2 2

2

1 1 1O O

Zd S S

−⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

Si expresamos la expresión entre paréntesis en serie binomial se obtiene:

2 4 2 4

2 4 3 5

1 1 1 3 1 1 312 8 2 8O O O O O O

Z Z Z Zd S S S S S S

⎛ ⎞= − + + = − + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Sustituyendo el desarrollo anterior en la ecuación (4.30), quedándonos

únicamente con los dos primeros términos obtenemos:

( )2

1 23

1 1 4.312

P

H

O OE Z H

ZV K dZdE V VS S

ρ=

⎛ ⎞= − = +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫∫ ∫

Siendo:

1 1 1; ;P P

HHP

O O OE Z H E EZ H

H HdZdE ZV K V K dE V K dES S S

ρ ρ ρ= =

−= = =∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫

3 32 3

2 2 23 3 3

1 1 1 1; ;2 2 3 6

P P

HHP

O O OE Z H E EZ H

H HZ ZV K dEdZ V K dE V K dES S S

ρ ρ ρ= =

−= − = − = −∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫

Considerando, como sabemos, que, en este caso, Z=H.

De manera que la ecuación 4.31 se transforma en:

( )32.461

3

33

∫∫∫∫−

−−

=E O

P

E O

P dES

HHKdE

SHH

KV ρρ

El potencial V’ de la topografía por encima y por debajo de la lámina de Bouguer

condensada sobre el punto PO en el geoide viene dado por la segunda suma de la

expresión (4.19):


23

( )33.4' dES

HHKV

E O

P∫∫−

= ρ

Así, para obtener el potencial indirecto que genera la topografía por encima y por

debajo de la lámina de Bouguer queda, únicamente, restar las ecuaciones (4.32) y (4.33),

obteniendo finalmente:

( )∫∫−

−=E O

Ptopografiaind dE

SHH

KV 34.461

3

33

ρ

Para transformar los potenciales indirectos (4.29) y (4.34) en efecto indirecto sobre

las ondulaciones de geoide tal como exige la ecuación (4.24), utilizaremos la fórmula de

Bruns, considerando que el efecto indirecto es suficientemente pequeño como para que

sea válida esta suposición, obteniendo, finalmente:

∫∫−

−−=+=E O

P

OO

P

O

topografia

O

bouguer dES

HHKHKVVN )35.4(

6 3

332

γρ

γρπ

γδ

γδ

δ

Para una malla regular de puntos, la integral discreta será (Sideris et al. 1995):

( ) ( )36.46

1 1

3

3,

3),(2

),( ∑∑= =

−ΔΔ−−=

M MPP

PP

X

XX

Y

YY O

YXYX

OYX

Oind S

HHYXKH

KN

γρ

γρπ

Si cogemos valores de H=1000 m y γ=980 gales el primer término de la ecuación

anterior será menor a seis centímetros, la segunda parte de la fórmula resultará en un

efecto mucho menor pero que debe ser considerado para altas montañas, además, el

rápido incremento de 3OS garantiza un rápida convergencia de la ecuación, por lo que se

puede evaluar únicamente para la vecindad del punto calculado (10-15 Km.). Con esto se

quiere decir que para zonas donde las variaciones de topografía no sean muy elevadas,

con utilizar el primer término de la ecuación anterior es suficiente (Hipkin 1994), (Smith

et al. 1999).


24

Pero, además, antes de aplicar la fórmula de Stokes, las medidas de la gravedad

deben ser reducidas del geoide al cogeoide (que es donde se aplica la integral de Stokes).

Esto se hace mediante una sencilla reducción aire-libre:

Ng δδ 3086.0=

Este es el efecto indirecto sobre la gravedad que, debido a su escasa

repercusión en el cálculo posterior no se suele considerar (Sideris et al. 1995): El efecto

indirecto sobre la ondulación del geoide no supera el medio metro, por lo tanto, si δN=0.5

m, δg=0.1543 mgal. Si consideramos que, a groso modo, 1 mgal equivaldría a 10 cm en

los cálculos posteriores de N, vemos que la influencia de no considerar este efecto ser.

Ahora las anomalías de gravedad se refieren estrictamente al cogeoide. La

aplicación de la fórmula de Stokes da NC, que deberá ser corregida del efecto indirecto δN

para dar la ondulación del geoide definitiva.

4.6 COMPARACIÓN DE LOS DIFERENTES MÉTODOS DE

REDUCCIÓN.

En principio, todas las reducciones de la gravedad son equivalentes y deben conducir

al mismo geoide si son apropiadamente aplicadas, incluido el efecto indirecto. No

obstante, existen ciertos requerimientos que restringen severamente el número de

reducciones útiles en la práctica. Los principales requisitos son:

a) Las reducciones deben dar anomalías de la gravedad pequeñas y suavizadas, de

modo que puedan interpolarse fácilmente y, si fuera preciso, extrapolarse.

b) Las reducciones deben corresponder a un modelo con significado geofísico, de

modo que anomalías resultantes sean también útiles para interpretaciones

geológicas y geofísicas (representación del relieve gravimétrico).

c) El efecto indirecto no deberá ser indebidamente grande.

Considerando estos tres aspectos se puede construir un cuadro, tabla 4.1,

analizando todas las reducciones estudiadas, poniendo un positivo si es un requerimiento

que la reducción cumple o un menos si no lo cumple:


25

Requerimientos Tipo de Reducción

a b c

Bouguer + + -

Aire-Libre - + +

Isostática + + +

Helmert + + +

Las anomalías Bouguer refinadas (con efecto terreno) tienen buenas propiedades

para la interpolación (suelen ser grandes en valor, pero de carácter suave), y son

geofísicamente hablando, expresivas, pero la reducción Bouguer presenta un efecto

indirecto excesivamente grande, del orden de 10 veces la propia ondulación del geoide, la

razón es, cláramente, que la tierra está, en general, isostáticamente compensada; por

consiguiente, las anomalías Bouguer no pueden usarse para la determinación del geoide.

En cuanto a las anomalías aire-libre, que serán las que utiliza la teoría de

Molodesky, como se verá en el tema 6, son pequeñas, pero extremadamente dependientes

de la topografía, de manera que su interpolación será muy imprecisa, es decir, cuando

trabajemos con anomalías aire-libre deberemos extremar las precauciones en la

interpolación y nunca extrapolar.

Las anomalías isostáticas y Helmert (estas últimas no dejan de ser una

particularización de un modelo isostático) cumplen con los tres requerimientos: los

modelos en los que se basan responden mejor a la realidad geológica y geofísica, son

anomalías pequeñas, suaves e independientes de la topografía, de manera que son ideales

para la interpolación y el efecto indirecto es moderado.

Por lo tanto las anomalías isostáticas y de Helmert deben ser las consideradas

para los cálculos del geoide en el presente contexto; actualmente se eligen las de Helmert

ya que son mucho más fáciles de calcular (únicamente el efecto de la topografía debe ser

considerado).

Tabla 4.1: Comparación de los diferentes métodos de reducción estudiados.

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