Tema 4. Integrales

Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito

- Integral de Riemann- Teoremas sobre la integración- Aplicaciones de la integral

Concepto de integral definida

El concepto de integral y en general de Cálculo integral tuvo su origen en la necesidad de resolver problemas concretos, uno de cuyos ejemplos más característicos es el cálculo de áreas bajo líneas o superficies curvas.

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Desde Arquímedes (s. III a. C.) hasta la época de Gauss (s. XIX) se conocía como problema de las cuadraturas el de obtener el área encerrada bajo o entre algunas curvas. El método de exhaución, o del agotamiento, utilizado por Arquímedes para calcular áreas mediante la inscripción de polígonos regulares con gran número de lados, es el origen del Cálculo integral.

Durante el siglo XIX se iniciaron las discusiones sobre los fundamentos del Cálculo infinitesimal y a comienzos del siglo XX Lebesgue creó la teoría de integración que lleva su nombre y que se convertía en el modelo de todas las teorías modernas de la integral.

Concepto de integral definida

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Tipos de integral definida:

- Integral de Cauchy

- Integral de Riemann

- Integral de Lebesgue (la más general)

Trataremos únicamente la integral de Riemann, que se refiere a funciones acotadas y continuas, salvo en una cantidad numerable de puntos.

Conceptos previos:

- Partición de un intervalo

- Sumas de Riemann

- Integral superior e integral inferior de Riemann

Concepto de integral definida

b

a

b

adxxff )(

Dada una función f (x) no negativa en un intervalo [a,b], se llama integral definida de esa función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje de abcisas y las rectas verticales x = a y x = b.

La integral definida de la función f (x) en el intervalo [a,b] se denota como

Área = b

a

b

adxxff )(

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Propiedades de la integral definida

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b

a

b

a

b

a

b

a

b

affygfgf

1. Linealidad respecto al integrando

Sean f y g dos funciones integrables en [a,b] y IR un número real; entonces las funciones f + g y ·f son funciones integrables en [a,b], y se verifican las igualdades:

b

c

c

a

b

afff

2. Aditividad respecto al intervalo

Sea f una función definida en [a,b] y c un punto de (a,b); f es integrable en [a,b] si y sólo si f es integrable en [a,c] y [c,b]. Además:

Estas dos propiedades juntas dan lugar a la propiedad de linealidad:

b

a

b

a

b

agfgf 2121

Propiedades de la integral definida

b

a

b

agf

3. Monotonía

Sean f y g dos funciones integrables en [a,b] tales que f (x) ≤ g(x) para todo x [a,b]. Entonces:

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b

a

b

a

b

agfgf 22

2

4. Otras propiedades

- Si f y g son dos funciones integrables en [a,b] , entonces f ·g es una función integrable en [a,b]. Además:

- Si f y g son dos funciones integrables en [a,b] y la función |g| está acotada inferiormente, entonces f /g es una función integrable en [a,b].

- Si f es una función integrable en [a,b], entonces la función | f | es una función integrable en [a,b]. Además:

b

a

b

aff

Teoremas sobre la integración

abcfdxxfb

a )()(

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Teorema del valor medio integral

Si f (x) es una función continua en [a,b], entonces existe al menos un punto c [a,b] tal que:

Interpretación geométrica

Teorema generalizado del valor medio integral

Si f (x) es una función continua en [a,b] y g(x) es integrable y no negativa en [a,b], entonces existe al menos un punto c [a,b] tal que:

b

a

b

adxxgcfdxxgxf )()()()(

Teoremas sobre la integración

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Regla de Barrow

Sea f (x) es una función integrable en [a,b] y sea F(x) una primitiva de f, es decir F´(x) = f (x) para todo x [a,b]. Entonces:

)()()( aFbFdxxfb

a

Aplicaciones geométricas de la integral

2

1

)´()(t

tdttxtyA

b

adxxfA )(

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Áreas de figuras planas

1. Área de la región plana entre una curva y el eje de abcisas.

Si la curva tiene ecuación explícita y = f (x) para todo x [a,b], el recinto limitado por la curva, el eje de abcisas y las rectas x = a y x = b tiene un área que vale:

Si la curva tiene ecuaciones paramétricas x = x(t), y = y(t), para t [t1,t2], con a = x(t1) y b = x(t2), el área del recinto limitado por la curva, el eje de abcisas y las rectas x = a y x = b viene dada por:

Si la curva tiene ecuación en polares = (), para [ 1, 2], el área del recinto encerrado por la curva entre los valores 1 y 2 está dada por:

2

1

)(2

1 2

dA

Aplicaciones geométricas de la integral

b

adxxgxfA )()(

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2. Área de la región plana encerrada entre dos curvas.

Dadas dos funciones f y g, el recinto limitado por la curva y = f (x), la curva y = g(x) y las rectas x = a y x = b tiene un área que vale:

Aplicaciones geométricas de la integral

2

1

22 )´()´(t

tdttytxL

b

adxxfL 2)´(1

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Longitud de un arco de curva

Se entiende por rectificar una curva, hallar la medida de su longitud. Pero no todas las curvas continuas se pueden rectificar; para ello, la función f (x) que define a la curva ha de poseer derivada continua en [a,b].

Si la función f (x) es derivable con derivada continua en [a,b], la longitud del arco de curva y = f (x) entre a y b está dada por:

Si la curva tiene ecuaciones paramétricas x = x(t), y = y(t), para t [t1,t2], con a = x(t1) y b = x(t2), la longitud del arco de curva entre a y b está dada por :

Si el arco es el de la curva que tiene ecuación en polares = (), para [ 1,

2], entonces su longitud es: 2

1

22 )´()(

dL

Aplicaciones geométricas de la integral

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Volumen por secciones

Se llama volumen por secciones al del cuerpo que tiene secciones transversales dadas por una función continua A(x) cuando x varía entre los valores x = a y x = b.

El volumen por secciones está dado por:

b

adxxAV )(

Aplicaciones geométricas de la integral

b

adxxfxfA 2)´(1)(2

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Área y volumen de revolución

Sea y = f (x) una función continua en [a,b] que gira alrededor del eje OX para engendrar un cuerpo de revolución.

1. Se llama área de revolución a la del cuerpo engendrado al girar en torno al eje OX la gráfica de la función f (x), con derivada continua, comprendida entre los valores x = a y x = b. El área de revolución está dada por:

2

1

22 )´()´()(2t

tdttytxtyA

Si la curva tiene ecuaciones paramétricas x = x(t), y = y(t), para t [t1,t2], el área engendrada entre los valores del parámetro viene dada por:

Si la curva tiene ecuación en polares = (), para [ 1, 2], el área engendrada entre los argumentos 1, 2, con 0 ≤ 1 < 2 ≤ 2 está dada por:

2

1

22 )´()()(2

dsenA

Aplicaciones geométricas de la integral

b

adxxfV )(2

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2. Se llama volumen de revolución al del cuerpo engendrado al girar en torno al eje OX la gráfica de la función continua f (x), comprendida entre los valores x = a y x = b. El volumen de revolución está dada por:

Si giramos en torno del eje OY, bastará intercambiar los papeles de x e y, adecuando el intervalo de integración, resultando:

d

cdyygygA 2)´(1)(2

d

cdyygV )(2