PLANEACION AGREGADA

DIRECCION DE OPERACIONES. TEMA 3 PLANEACIN AGREGADA

La planeacin agregada aborda el problema de decidir a cuntos empleados debe ocupar una empresa; y, para una compaa manufacturera la cantidad y mezcla de los productos que debe producir. Las organizaciones de servicios tambin deben determinar necesidades de personal. Las estrategias de planeacin macro son una parte fundamental en la estrategia general de negocios de la empresa. Algunas empresas trabajan con la filosofa de que los costos slo se pueden controlar con cambios frecuentes de tamao y/o composicin de la fuerza de trabajo.

La planificacin macro comienza con el pronstico de la demanda. La velocidad de respuesta de la empresa respecto a los cambios previstos en la demanda depende de ciertos factores, entre ellos la estrategia general que pudiera tener en cuanto a conservar a sus empleados, y sus compromisos con los trabajadores actuales.La metodologa de planeacin agregada parte del supuesto de que la demanda es determinista, esto es, conocida. Se hace as para simplificar el anlisis y permitir concentrarnos en los cambios predecibles en el patrn de la demanda.

Tradicionalmente, la mayora de los manufactureros han optado por conservar la produccin primaria para ellos, comprar algunos componentes a proveedores externos, pero el producto primario lo fabrica la empresa. Esa mentalidad est cambiando ya que las empresas han visto que pueden ser ms flexibles si la manufactura se consigue en el exterior.La planificacin agregada implica objetivos encontrados, como reaccionar con rapidez a cambios anticipados en la demanda, para lo que requerira hacer cambios frecuentes y potencialmente grandes en el tamao de la fuerza de trabajo (estrategia de persecucin). Puede ser rentable, pero tambin podra ser una mala estrategia empresarial a largo plazo puesto que los trabajadores despedidos quizs no estn disponibles cuando la empresa cambie, por ello, tal vez la empresa prefiera adoptar el objetivo de retener la fuerza de trabajo, sin embargo la empresa adquirir deuda para cubrir las nminas en periodos bajos. Otro objetivo sera desarrollar un plan de produccin para la empresa que maximice la ganancia en el horizonte de planeacin sujeto a restricciones de capacidad. Los costes explcitos de efectuar los cambios, deben ser factores claves en el proceso de decisin cuando el objetivo primario es la maximizacin de la ganancia. El objetivo de la planeacin agregada es traducir los pronsticos de la demanda en un esquema de planeacin para niveles de personal y de produccin en la empresa. Los mtodos de planeacin agregada pueden aplicarse casi en cualquier nivel, aunque el concepto consiste en administrar grupos de artculos, ms que administrar artculos aislados.

3.1 UNIDADES AGREGADAS DE PRODUCCIN.

El modelo de planeacin agregada est basado en la existencia de una unidad agregada de produccin. Cuando la clase de artculos producidos es parecida, la unidad de produccin agregada puede corresponder a un artculo promedio, pero si se producen muchas clases distintas de artculos sera ms adecuado considerar unidades agregadas en trminos de peso, cantidad de trabajo, valor monetario de inventarios o dinero obtenido por ventas. Esto ltimo no se traducira necesariamente en el mismo nmero de unidades de produccin para cada artculo.Ejemplo 3.1. Un gerente de planta de una empresa de electrodomsticos piensa implementar un sistema de planeacin agregada para determinar los niveles de fuerza de trabajo y produccin en su planta. Las caractersticas son:Nmero de modeloCantidad de horas-hombre necesarias para producirPrecio de venta ($)

A55324,2285

K42424,9345

L98985,1395

L38005,2425

M26245,4525

M38805,8725

El gerente debe elegir un esquema articulado de produccin. Una posibilidad es definir que la unidad agregada de produccin sea 1 $ de produccin, sin embargo, los precios de venta no son consistentes con la cantidad de horas-hombre requeridas para producirlas. La empresa basa sus precios en que los modelos menos costosos tienen mayor volumen de ventas. El gerente observa que los porcentajes de la cantidad total de ventas para los seis modelos han sido bastante constantes, dados los valores de 32% para la A5532, 21% para la K4242, 17% para la L9898, 14% para la L3800, 10% para la M2624 y 6% para la M3880, entonces decide definir una unidad agregada de produccin como una lavadora ficticia que requiere (.32)*(4.2)+(.21)*(4.9)+(.17)*(5.1)+(.14)*(5.2)+(.10)*(5.4)+(.06)*(5.8) = 4856 horas de mano de obra. El gerente puede obtener pronsticos de ventas para unidades de produccin agregada esencialmente de la misma manera, multiplicando las fracciones correspondientes por los pronsticos de unidades de venta de cada modelo. La planeacin agregada se vincula con la planeacin jerrquica de la produccin (HPP, hierarchical production planning). Para fines de planeacin agregada, Hax y Meal establecen la siguiente jerarqua:

1. Artculos. Son los productos finales que se entregarn al cliente, tambin se les llama, unidad de almacenamiento (UA) y presentan el nivel de detalle ms fino en la estructura del producto. Ej. modelo de lavadora2. Familias. Son el grupo de artculos que comparten un costo comn de preparacin de manufactura. Ej. todas las lavadoras3. Tipos. Son grupos de familias cuyas cantidades de produccin se determinan con un solo plan agregado de produccin. Ej. todos los electrodomsticos grandes.3.2 PANORAMA GENERAL DEL PROBLEMA DE PLANEACIN AGREGADA.

Despus de haber definido la unidad adecuada el nivel de la empresa hay que determinar un plan agregado, suponemos un pronstico de demanda para un horizonte temporal. Sean D1, D2,.., DT los pronsticos de demanda para los siguientes T periodos de planeacin. En la mayora de las aplicaciones, un periodo de maduracin es un mes, aunque pueden desarrollarse planes agregado para semanas, trimestres o aos.Una caracterstica importante de la planeacin agregada es que las demandas se consideran como constantes conocidas (error de pronstico cero). El objetivo de la planeacin agregada es determinar las cantidades de produccin agregada y los niveles requeridos de recursos para alcanzar esas metas de produccin, es decir, precisar la cantidad de trabajadores que deben emplearse y la cantidad de unidades agregadas que se tienen que producir en cada unos de los periodos de planeacin 1,2,,T.Los principales aspectos relacionados con la planeacin son:

Suavizamiento. Se refiere a los costos que resultan de cambiar los niveles de fuerza de trabajo de un periodo al siguiente. Dos de los componentes claves de los costos de suavizamiento son resultado de contratar y despedir trabajadores. Despedir a los trabajadores podra tener consecuencias y costos de gran alcance difciles de evaluar. Las empresas que contratan y despiden con frecuencia desarrollan una mala imagen ante el pblico, esto afecta a las ventas con facilidad desanimando a los empleados potenciales a unirse a la compaa. Adems tiene un efecto negativo sobre el tamao de fuerza futuro de la fuerza laboral, si esos trabajadores obtienen empleo en otras industrias. Por ltimo, la mayora de las empresas no tienen libertad para contratar y despedir a voluntad. Las decisiones de la administracin para alterar los niveles de fuerza de trabajo estarn restringidas por los convenios laborales. Problema del cuello de botella. El trmino cuello de botella se utiliza para indicar la incapacidad del sistema para responder a cambios repentinos en la demanda, que son resultado de restricciones en la capacidad. Horizonte de planeacin. El nmero de periodos para los que se debe pronosticar la demanda, esto es, la cantidad de periodos para los que se van a determinar los niveles de fuerza de trabajo y niveles de inventario. Si T es demasiado grande es probables que los pronsticos de futuros lejanos sean imprecisos mientras que si T es demasiado pequeo los niveles reales de produccin pueden no ser adecuados para cumplir con la demanda ms all del horizonte. En la prctica, se utilizan programas progresivos con frecuencia. Esto significa que en el momento de la siguiente decisin se incorpora un nuevo pronstico de la demanda a los anteriores, y que stos deben modificarse para reflejar la informacin nueva. Un nuevo plan agregado puede recomendar distintos niveles de produccin y de fuerza de trabajo para el periodo actual, respecto a los sugeridos un periodo antes. Tratamiento de la demanda. Es necesario suponer que la demanda se conoce con certidumbre. Esto tiene su contra, pues no tiene en cuenta la posibilidad de error en el pronstico. La planeacin agregada no proporciona colchn alguno contra los errores de pronstico. La planeacin agregada permite que el gerente se concentre en los cambios sistemticos que por lo general no se asumen en modelo de demanda aleatoria. Los efectos de las fluctuaciones estacionales y los ciclos econmicos se pueden incorporar en la funcin de planeacin cuando se supone una demanda determinista.3.3 COSTOS DE PLANEACIN AGREGADA

Costos de suavizamiento. Son aquellos en los que se incurre al cambiar los niveles de produccin de un periodo a otro. El ms destacable es el de cambiar el tamao de la fuerza de trabajo. Su aumento requiere de tiempo y gastos para presentar los anuncios para los puestos, entrevistar a los probables empleados y capacitar a los contratados recientemente. Su disminucin conlleva costos en trminos de indemnizaciones por despido. Otros costos de suavizamiento seran; costos en la declinacin moral de los trabajadores y el potencial de disminuir el tamao de la oferta en el futuro, como consecuencia de que los empleados despedidos se coloquen en otras empresas. Estos costos son funciones lineales de la cantidad de empleados que se contratan o despiden, esto es, hay una cantidad monetaria constante que se asume por cada empleado contratado/despedido, sin embargo esta linealidad es razonable hasta cierto punto, ya que a medida que escasea la oferta de trabajo puede requerirse costos adicionales para contratar ms trabajadores y los costos de despedir pueden elevarse si los despidos son elevados.

Costos de mantener inventarios. Son aquellos en los que se incurre al tener capital invertido en los inventarios. Si la empresa logra disminuir su inventario, el dinero ahorrado podra ocuparse en otro rubro, con un rendimiento que vara segn la industria y la empresa. Estos costos se suponen lineales respecto a la cantidad de unidades que se mantienen en determinado punto en el tiempo. Supondremos que el costo de mantener un inventario se expresa en unidades monetarias por unidad mantenida por periodo de planeacin. Estos costos se cargan al inventario que permanece a mano al final del periodo de planeacin. Este supuesto se hace por comodidad, pues tambin podran cargarse al inventario inicial o al inventario promedio. Costos de faltantes. Los costos por mantener inventarios se cargan contra el inventario agregado siempre que ste sea positivo. Los faltantes se presentan cuando la demanda pronosticada es mayor que la capacidad instalada para la produccin, o cuando las demandas son mayores que las previstas. Se supone que el exceso de demanda se programa y se satisface en un periodo futuro, sin embargo, en un entorno competitivo es probable que dicho exceso se pierda porque el cliente se va a otro lado. A esto se le llama ventas perdidas. Estos costos son lineales aunque pueden encontrase funciones convexas. Costos de tiempo regular. Son los costos por producir una unidad de productos en las horas normales de produccin. Se incluye el costo real de la plantilla de empleados regulares que trabajan en tiempo normal, los costes directos e indirectos de materiales y otros gastos manufactureros. Cuando toda la produccin se realiza en tiempo normal, los costos regulares de la nmina se convierten en costo sumergido, porque la cantidad de unidades producidas tiene que ser igual a las unidades demandadas durante cualquier horizonte de planeacin de longitud suficiente. Costos de tiempo extra y de subcontratacin. Son costos de la produccin de unidades que no se producen en el tiempo normal. El tiempo extra se refiere con empleados de tiempo regular, pero ms all del horario normal de trabajo, y la subcontratacin indica la produccin de artculos por parte de un proveedor externo. Estos costos tambin son lineales. Costos de tiempo libre. Es el costo por subutilizacin de la fuerza de trabajo o tiempo libre. En muchos contextos, el costo del tiempo libre es cero, ya que los costos directos de tiempo libre deben tomarse en cuenta en los costos de mano de obra y los niveles de produccin ms bajos, sin embargo, el tiempo libre puede tener otras consecuencias para la compaa, por ejemplo si las unidades agregadas se introducen a otro proceso, el tiempo libre de la lnea puede ocasionar costos ms elevados para el producto subyacente.

3.4. UN PROBLEMA PROTOTIPO.

La programacin lineal es un mtodo para obtener soluciones (casi) ptimas. Las distintas tcnicas de solucin se ilustran en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.2. Densepack debe planear los niveles de fuerza laboral y de produccin para un periodo de seis meses, de enero a junio. Esta empresa produce una lnea de unidades de disco para pcs compatibles con varias de las principales marcas. Las demandas pronosticadas durante los seis meses siguientes son 1280, 640, 900, 1200, 2000 y 1400. A finales de diciembre hay 300 trabajadores en la planta. Se espera que el inventario final en diciembre sea 500 uds. y la empresa deseara tener 600 uds. disponibles a finales de junio. Hay varias formas de incorporar restricciones de inventarios inicial y final en la formulacin. La ms cmoda consiste en modificar los valores de la demanda pronosticada. La demanda neta pronosticada en el periodo 1 se define como la demanda predicha menos el inventario final. Si existe una restriccin de inventario mnimo final, esa cantidad debe sumarse a la demanda en el periodo T. Tambin pueden manejarse reservas mnimas de inventario si la demanda pronosticada se modifica. Si en cada periodo hay un inventario mnimo de reserva, esa cantidad debe sumarse a la demanda en el primer periodo. Si en un periodo hay slo un inventario mnimo de reserva, esa cantidad debe sumarse a la demanda de ese periodo y restar la del siguiente. Regresando al ejemplo, se definir la demanda neta predicha en enero como igual a 780 (1280-500) y la demanda neta predicha para junio como 2000 (1400+600)MesDemanda neta pronosticadaDemanda neta acumulada

Enero780780

Febrero6401420

Marzo9002320

Abril12003520

Mayo20005520

Junio20007520

Un plan de produccin es la especificacin de los niveles de produccin para cada mes. Si no existen faltantes, la produccin acumulada debe se, como mnimo, igual a la demanda acumulada de cada periodo.Con el fin de ilustrar los intercambios en los costos de varios planes de produccin, supondremos que hay slo tres costos por considerar; el de contratar trabajadores, el de despedir trabajadores y el de mantener inventarios.

CH = Costo de contratar un trabajador = 500 $

CF = Costo de despedir un trabajador = 1000 $

CI = Costo de mantener una unidad de inventario durante un mes = 80 $

Se requiere un medio para traducir la produccin agregada en unidades a unidades de fuerza de trabajo. Usaremos el da como unidad indivisible.

K = n de unidades agregadas producidas por un trabajador en un da.

En el pasado el gerente observ que durante 22 das hbiles, con un nivel de fuerza de trabajo constante de 76 trabajadores, su planta produjo 245 uds. de disco. Esto quiere decir que en promedio, la tasa de produccin fue 245/22= 11,1364 uds./da. Por consiguiente un trabajador produjo 11.1364/76 = 0.14653. As pues K= 014653 en este ejemplo.

A continuacin analizaremos dos planes alternativos para administrar la fuerza de trabajo que representan dos estrategias administrativas esencialmente opuestas. El plan 1 Plan de cero inventarios consiste en cambiar la fuerza de trabajo cada mes con el fin de producir las unidades suficientes para coincidir lo ms posible con el patrn de demanda. El plan 2 Plan de fuerza de trabajo constante, consiste en mantener la fuerza de trabajo mnima para satisfacer la demanda. Evaluacin de una estrategia de persecucin (plan de cero inventarios)Este plan de produccin minimiza los niveles de inventario que debe mantener la compaa durante el horizonte temporal (de seis meses segn el ejemplo 3.2.)

TABLA 3.1.Clculos iniciales del plan cero inventarios

ABCDE

N de das de trabajoN de uds. producidas por trabajado (Bx0,14653)Pronstico de demanda netaN mnimo de trabajadores requeridos (D/C redondeado hacia arriba)

Enero202,931780267

Febrero243,517640182

Marzo182,638900342

Abril263,811200315

Mayo223,2242000621

Junio152,1982000910

Las cifras de la columna E deben redondearse hacia arriba para garantizar que no se presenta ningn faltante. El nmero de das hbiles de cada mes depende de vacaciones pagadas, programas de mano de obra. La cantidad reducida en junio se debe a un paro programado.

TABLA 3.2. Plan agregado de cero inventarios

ABCDEFGHI

MesTrabajado-resContratacionesDespidosUds/ trabajadorUds. producidas (BxE)Produccin acumuladaDemanda acumuladaInventario final (G-H)

Enero267332,9317837837803

Febrero182853,517640142314203

Marzo3421602,638902232523205

Abril315273,8101200352535205

Mayo6213063,2242002552755207

Junio9102862,1982000752775207

Totales75214530

Al multiplicar los totales de la parte inferior por su costo se obtiene el costo total del plan de produccin. El costo de contratar, despedir y mantener sera (752x500) + (145x1000) + (30x80) = 524900 $, pero este costo debe ajustarse para mantener el inventario final de 600 uds. que fue excluido de la demanda para junio 524900 + (600x80) = 572900 $.Generalmente es imposible lograr cero inventarios al final de cada periodo de planeacin puesto que no se puede emplear una cantidad fraccionaria de trabajadores, por esta razn, casi siempre habr remanente al final de cada periodo, adems del que debe estar disponible al final del horizonte de planeacin Evaluacin del plan de fuerza de trabajo constante

El objetivo consiste ahora en eliminar por completo la necesidad de contratar y despedir durante el horizonte de planeacin. Para garantizar que no se presentan faltantes de inventario en cualquier periodo es necesario calcular la fuerza mnima requerida en cada periodo en el horizonte temporal. La demanda neta acumulada para enero es 780, y hay 2,931 uds. producidas por trabajador, lo que da como resultado una fuerza de trabajo mnima igual a 267 en enero. Hay exactamente 2,931+3,517 = 6,448 uds. producidas por trabajador en enero y febrero combinados, para lo cual la demanda acumulada es 1420, por consiguiente, se requieren 1420/6.448 = 221 (220.22) trabajadores para cubrir enero y febrero.TABLA 3.3. Clculo de la fuerza de trabajo mnima requerida

ABCD

MesDemanda neta acumuladaN acumulado de uds/trabajadorRelacin B/C

Enero7802,931267

Febrero14206,448221

Marzo23209,086256

Abril352012,896273

Mayo552016,120343

Junio752018,318411

TABLA 3.4.Niveles de inventario para el programa de fuerza de trabajo constante

ABCDEF

MesUds/TrabajadorProduccin mensual (Bx411)Produccin acumuladaDemanda neta acumuladaInventario final (D-E)

Enero2,93112051205780425

Febrero3,5171445265014201230

Marzo2,6381084373423201414

Abril3,8101566530035201780

Mayo3,2241325662555201105

Junio2,198903752875208

Total5962

El nmero mnimo de trabajadores requeridos para el periodo completo de planeacin es el elemento mximo de la columna D, en la tabla 3.3, que es 411, que sea en el periodo final es coincidencia. Ya que hay 300 trabajadores empleados en diciembre, para el plan de trabajo constante se requiere contratar 111 trabajadores al principio de enero, no es necesario hacer ms contrataciones ni despidos. Los niveles de inventario con una fuerza constante de 411 trabajadores son los que se reflejan en la tabla 3.4. El total de los niveles de inventario es 5962 + 600 = 6562, por consiguiente, el costo total de inventario para este plan es (6562x80) = 524960 $. A esto se agrega el costo de aumentar la plantilla de personal en (111x500) = 55500 $ lo que da un coste total de 580460 $ para este plan, ligeramente mayor que el costo de plan de cero inventarios. Como los costos de los dos planes son cercano es posible que la empresa prefiera el de fuerza de trabajo constante. Estrategias mixtas y restricciones adicionalesLas estrategias de los planes de cero inventarios y de la fuerza de trabajo constante son estrategias puras. Con ms flexibilidad, al introducir pequeas modificaciones se pueden obtener costos bastante menores. Supongamos que permitimos un solo cambio en la tasa de produccin durante los seis meses, se puede llegar a una estrategia que reduzca el inventario sin permitir faltantes?. Esto puede lograrse forzando que el inventario neto desaparezca al final del periodo 4 (abril). Se necesita suficiente produccin en cada mes hasta abril para satisfacer la demanda neta acumulada cada mes, esto es, debemos producir 3520/4 = 880 uds. en cada una de los cuatro primeros meses. Despus en mayo y junio la produccin se establece en 2000 y coincide con la demanda neta respectiva. Puede suponerse la restriccin de que la capacidad de produccin de la planta es 1800 por mes, por lo que, la anterior poltica no sera factible en los meses de mayo y junio. Una solucin sera producir 980 uds. los cuatro primeros meses y 1800 uds. los dos restantes. A medida que surgen ms restricciones la determinacin grfica se hace ms complicada. La programacin la lineal es la solucin a este problema.3.5. SOLUCION DE PROBLEMAS DE PLANEACION AGREGADA MEDIANTE PROGRAMACIN LINEAL

Programacin lineal es un concepto que se utiliza para describir una clase general de problemas de optimizacin. El objetivo es determinar valores de n variables reales no negativas para maximizar o minimizar una funcin lineal de dichas variables sujeta a m restricciones lineales de las mismas variables. La ventaja principal es que se pueden encontrar las soluciones ptimas eficazmente con el mtodo simplex. Cuando todas las funciones de costo son lineales, existe una formulacin del problema general de planeacin agregada como programacin lineal. PARAMETROS DE COSTO E INFORMACION DADA

cH = costo de contratar un trabajador

cF = costo de despedir un trabajador

cI = costo de mantener una unidad de inventario durante un periodo

cR = costo de producir una unidad en tiempo normal

cO = costo incremental de producir una unidad en tiempo extracU = costo de inactividad por unidad de produccin

cS = costo de subcontratar una unidad de produccin

nt = nmero de das de produccin en el periodo t

K = nmero de unidades agregadas producidas pro un trabajador en un da

I0 = inventario en existencia al inicio del horizonte de planeacin

W0 = fuerza de trabajo al inicioDt = pronstico de la demanda en el periodo t.

Los parmetros de costo tambin pueden ser funciones de tiempo, de esta forma, seran tiles para modelar cambios en los costos de contratacin o despido debidos a escasez en la oferta de mano de obra, cambios en costos de produccin y/o almacenamiento debido a insuficiencia en el suministro de recursos, etc

VARIABLES DEL PROBLEMAWt = nivel de fuerza de trabajo en el periodo t

Pt = nivel de produccin en el periodo t

It = nivel de inventario en el periodo tHt = cantidad de trabajadores contratado en el periodo t

Ft = cantidad de trabajadores despedidos en el periodo tOt = produccin en unidades durante el tiempo extraUt = tiempo inactivo de los trabajadores en unidades de produccin

St = cantidad de unidades subcontratadas en el exterior

Las variables de tiempo extra y tiempo inactivo se determinan de la siguiente manera. El trmino Kn representa la cantidad de unidades producidas por un trabajador en el periodo t, as pues, KnWt sera la cantidad de unidades producidas por toda la fuerza de trabajo en el periodo t, que no tiene que ser igual a Pt. Dos soluciones:

1. Pt > KnWt, la cantidad de unidades producidas es mayor que lo que la fuerza de trabajo puede producir en tiempo normal. La diferencia se produce en tiempo extra. Ot = Pt - KnWt2. Pt < Kn x Wt, la fuerza de trabajo produce menos de los que debera en tiempo normal. La diferencia es tiempo inactivo. Ut = KnWt - Pt RESTRICCIONES DEL PROBLEMASon necesarios tres conjuntos de restricciones:

1) Restriccin de conservacin de la fuerza de trabajo Wt = Wt-1 + Ht - Ft para 1 t T2) Restriccin de conservacin de unidades It = It-1 + Pt + St - Dt para 1 t T

3) Restriccin que relaciona los niveles de produccin con los niveles de fuerza Pt = Knt x Wt + Ot - Ut para 1 t TAdems de estas restricciones, la programacin lineal requiere que todas las variables del problema sean no negativas. La formulacin tambin requiere especificar el inventario inicial I0 y la fuerza de trabajo inicial W0, y puede incluir la especificacin del ltimo inventario en el periodo final IT. La formulacin de programacin lineal consiste en elegir los valores de las variables del problema para:Minimizar (cHHt + cF Ft + cI It + cR Pt + cO Ot + cU Ut + cS St)sujeta a: Wt = Wt-1 + Ht - Ft It = It-1 + Pt + St - Dt Pt = Knt x Wt + Ot - Ut Para 1 t T

Ht, Ft, It, Ot, Ut, St, Wt, Pt (no negatividad)Ms cualquier restriccin adicional que defina los valores del inventario inicial, fuerza de trabajo inicial, inventario final u otras variables cuyos valores hayan sido fijados por adelantado.

REDONDEO DE LAS VARIABLESLos valores ptimos de las variables del problema por lo general no son nmeros enteros, sin embargo los nmeros fraccionarios no tienen sentido en variables como tamao de fuerza de trabajo, cantidad de trabajadores contratado y despedidos y unidades producidas por periodo. Una forma de salvar este problema es pedir por adelantado que algunas o todas las variables del problema asuman valores enteros. Se recomienda seguir el siguiente mtodo conservador: redondear el nmero de trabajadores al entero inmediato superior. Este redondeo dar como resultado una solucin posible o factible pero casi nunca llegar a la solucin ptima, sin embargo, esta solucin puede mejorarse mediante clculos de tanteo. No obstante, formular un problema como programacin lineal no garantiza que la solucin final tenga sentido en el contexto del problema, por ejemplo, no tiene sentido que haya produccin en tiempo extra a la vez que exista tiempo inactivo en el mismo periodo, o que se contraten y despidan trabajadores tambin en el mismo periodo. Por ello tendremos en cuenta dos nuevas restricciones aunque no las incorporaremos de forma explcita al problema pues ya la solucin ptima siempre se da en un punto extremo de la regin posible.OtUt=0 para 1 t THtFt=0 para 1 t T EXTENSIONESSe puede usar la programacin lineal para resolver versiones algo ms generales del problema de planeacin agregada.1. Teniendo en cuenta la incertidumbre de la demanda en forma indirecta, suponiendo que hay un inventario mnimo de reserva Bt cada periodo.

It Bt para 1 t T Bt dada

2. Teniendo en la cantidad de produccin en cada periodo

Pt Ct para 1 t T

En algunos casos sera deseable permitir que la demanda supere la oferta, por ejemplo, si la demanda pronosticada super la capacidad de produccin durante varios periodos de planeacin. Para manejar la acumulacin de exceso de demanda, el nivel de inventario It debe expresarse

It = I+t - I-t para I+t 0 y I-t 0 El costo de mantener inventarios se cargara en I+t y el costo de penalizacin por pedidos atrasado en I-t

En el desarrollo de la programacin lineal se estableci que todas las funciones tienen que ser lineales, sin embargo tambin se puede hacer uso de la programacin lineal cuando las funciones de costo son funciones convexas lineales en intervalos. Una funcin convexa es aquella que tiene una pendiente cada vez mayor. Una funcin lineal el intervalos es aquella cuya grfica est formada por segmentos de recta. Ej. a medida que se contratan ms trabajadores, se contrae la oferta y se deben hacer ms esfuerzos para contratar a los trabajadores restantes disponibles. OTROS MTODOS DE SOLUCINBowman (1956) sugiri una formulacin tipo transporte del problema de planeacin agregada, cuando no se permiten pedidos atrasados.

3.6. SOLUCIN DE PROBLEMAS DE PLANEACIN AGREGADA MEDIANTE PROGRAMACIN LINEAL: UN EJEMPLO Demostraremos el uso de la programacin lineal determinando la solucin ptima del ejemplo descrito en la seccin 3.4. Como no se permite que haya subcontratacin, tiempo extra o tiempo inactivo, y como los coeficientes de los costos son constantes respecto al tiempo, la funcin objetivo es simplemente

Las condiciones de frontera comprenden las especificaciones del inventario inicial, de 500 unidades, la fuerza inicial de trabajo, de 300 trabajadores, y el inventario final, de 600 unidades. La mejor manera de manejarlas es incluir, por separado, una restriccin adicional para cada condicin de frontera.Las restricciones se obtienen sustituyendo t 1,. .. , 6 en las ecuaciones (A), (B) y (C). El conjunto completo de restricciones expresadas en formato de programacin lineal (con todas las variables del problema en el lado izquierdo y las constantes no negativas al lado derecho), es el siguiente:W1 - Wo H1 + F1 = 0

W2 W1 - H2 + F2 = 0

W3-W2- H3 + F3 = 0

W4 - W3 H4 + F4 = 0

W5 -W4 -H5 + F5 =0

W6 -W5 -H6 + F6 =0

Pl I1 + I0 = 1 280

P2 I2 + I1 = 640

P3 -I3+I2 = 900

P4 -l4 + I3 = 1 200P5 I5 + I4 = 2 000

P6 I6 + I5 = 1 400

P1 -2.931W1 = 0

P2 - 3.517W2 = 0

P3 - 2.638W3 = 0

P4 - 3.8I0W4 = 0

P5 - 3.224W5 = 0

P6 - 2.198W6 = 0W1,..., W6, P1 ..., P6, I1.. I6, F1.. F6, H1....H6 0;

Wo = 300,/o = 500,/6 = 600.VARIABLE H1VALU .000000FtEDUCED COST 1500.000000

H2.000000791.378100

H3.000000222.439900

H4.0000006.736023

H5464.782300.000000

H6.000000192.750300

F127.047150.000000

F2.000000708.621900

F3.0000001277.560000

F4.0000001493.264000

F5.0000001500.000000

F6.0000001307.250000

uo300.000000.000000

U1272.952900.000000

W2272.952900.000000

Vi272.952900.000000

U4272.952900.000000

U5737.735200.000000

U737.735200.000000

10500.000000.000000

1120.024820.000000

12340.000000.000000

13160.049800.000000

14.00000018.445950

15378.458200.000000

16600.000000.000000

P1800.024800.000000

P2959.975200.000000

P3720.049600.000000

P41039.950000.000000

P5 P62378.458000 1621.542000.000000 .000000

TABLA:t-6 Plan agreg:ado para Densep>ack obtenido del redondeo de 1;i solucin de f>rogramacnlineal

.

ABCDEFGH

1

MesNmero de trabajadoresNmero de contratadosNmero de despedidosNmero de unidades por trabajadorNmero de unidades producidas (BXE)Produccin acumuladaDemanda neta acumuladaInventario final (G-H)

Enero273272.93180080078020

Febrero2733.5179601 7601 420340

Marzo2732.6387202 4802 320160

Abril2733.8101 0403 5203 5200

Mayo7384653.2242 3795 8995 520379

Junio7382.1981 6227 5217 5201

Totales46527900

Resolvimos este programa lineal usando el paquete LINDO desarrollado por Schrage (1984) Los resultados de ese programa aparecen en la tabla 3-5. En el suplemento sobre programacin lineal tambin describiremos la solucin con Excel. Naturalmente, la funcin Solver de Excel da los mismos resultados. El valor de la funcin objetivo en la solucin ptima es $379 320.90, que es considerablemente menor que la que obtuvimos con el plan de cero inventarios o el de fuerza laboral constante. Sin embargo, este costo se basa en valores fraccionarios de las variables. El costo real se elevar un poco, despus de redondear.Nos apegaremos al procedimiento de redondeo que recomendamos anteriormente para redondear todos los valores de W, al entero inmediato superior. Con esto se obtiene W\ = = W4 = 273, y W5 = W6 = 738. Con ellos se determinan los valores de las dems variables del problema. Esto quiere decir que la empresa necesita despedir a 27 trabajadores en enero y contratar 465 en mayo. La solucin completa aparece en la tabla 3-6.Como la columna H de la tabla 3-6 corresponde a la demanda neta, sumaremos otra vez las 600 unidades del inventario final en junio, obteniendo un inventario total de 900 + 600 = 1 500 unidades. Por consiguiente, el costo total de este plan es (500)(465) + (1 000)(27) + (80)(l 500) = $379 500, lo que representa un ahorro apreciable en comparacin con el pan de cero inventarios o con el plan de fuerza de trabajo constante.Los resultados del anlisis de programacin lineal sugieren otro plan que podra ser ms adecuado para la empresa. Como la estrategia ptima es disminuir la fuerza de trabajo en enero y reconstruirla en mayo, una alternativa razonable podra ser no despedir los 27 trabajadores en enero, y contratar menos trabajadores en mayo. En este caso, el mtodo ms eficiente para determinar la cantidad correcta de trabajadores que deben contratarse en mayo consiste en volver a resolver el programa lineal, pero sin las variables F],..., F, puesto que el no despedir trabajadores significa que se fuerzan esas variables a ser cero. (Si el lector desea evitar la reintroduccin del problema en la computadora, slo use la anterior formulacin con las restricciones F\ 0, F2 = 0,..., F5 0.) La cantidad ptima de trabajadores que habr que contratar en mayo es 374 si no se despide a ninguno en enero, y el costo aproximado del plan es 386 120 dlares. Cuesta un poco ms que el plan ptimo, y tiene la importante ventaja de no requerir! despido de ninguno de los trabajadores.

3.7. LA REGLA LINEAL DE DECISIN

Holt, Modigliani, Ruth y Simon (1960) sugirieron un modelo alternativo para la resolucin de problemas de planeacin agregada. Suponen que todos los costos relevantes, incluyendo los de inventario y los de cambiar niveles de produccin y cantidades de trabajadores, se representan con funciones cuadrticas.

[c1Wt + c2(Wt- Wt-1)2 + c3(Pt- Knt Wt)2 + c4 Pt + c5 (It c6)2]

s.a It = It-1 + Pt - Dt para 1 t T

Se deben determiner los valores para las variables c1, c2, .. , c6. Estas funciones tienen la siguiente ventaja sobre las lineales. Las funciones cuadrticas son diferenciables, por lo que, pueden usar las reglas normales de clculo para llegar a una solucin ptima, que se presenta donde las primeras derivadas parciales con respecto a cada una de las variables del problema sean igual a cero. Sin embargo, tambin hay un inconveniente, y es que las funciones cuadrticas son simtricas, por lo tanto, el costo de contratar y despedir es el mismo y el costo de producir en tiempo extra y el tiempo inactivo del trabajador tambin. Lo mejor de este modelo, la sencillez de la poltica ptima, pro ejemplo el nivel ptimo de produccin en el periodo t sera.

Pt = Kn=0 (anDt+n + b Wt-1 + c It-1 + d)

3.8. MODELO DE COMPORTAMIENTO GERENCIAL

Bowman (1983) desarroll un modelo sensible para controlar los niveles de produccin y ajustar sus parmetros lo ms posible a las decisiones previas reales de la gerencia.

Consideremos el problema de producir un solo producto durante T periodos de planeacin. Supongamos que D1, .,DT son los pronsticos de demanda y que se deben determinar los niveles de produccin P1, ., PT . La regla de decisin ms sencilla es Pt = Dt para 1 t T pero se dara un programa de produccin errtico por lo que se suaviza la regla de la siguiente forma Pt = Dt + (Pt-1 Dt) 0 1

Adems de suavizar la produccin, la empresa podra tratar de mantener los niveles de inventario cercanos a cierto nivel predeterminado Pt = Dt + (Pt-1 Dt) + (IN It-1) 0 1 y 0 1

Por ltimo, el modelo debe presentar pronstico de demanda, de modo que pueda modificarse anticipadamente los niveles de produccin segn el patrn de la demanda. Pt = i=tt+n a t-i+1Di + (Pt-1 Dt) + (IN It-1) 0 1 y 0 1

La teora es que un modelo deducido en esta forma es una reflexin de la gerencia al tomar decisiones racionales, ya que el sistema por lo general resulta estable. Si se presenta un evento repentino, es probable que muchos gerentes tiendan a actuar precipitadamente sin embargo el modelo les recomendara que mantuvieran los niveles de produccin consistentes con la toma de decisiones del pasado

3.9. DESAGREGACIN DE PLANES AGREGADOSSe puede hacer planeacin agregada a distintos niveles pero se da el caso de que un plan agregado corresponde a cierto agrupamiento de artculos. Los agrupamientos pueden variar de tamao, desde familias a lneas de productos, sin embargo, hay que asegurarse de que el plan agregado y los programas maestros de produccin para artculos individuales sean consistentes. Cuando los planes agregados resultan de combinar o agregar planes de artculos individuales, la desagregacin, es difcil. La planeacin agregada proporciona una perspectiva administrativa de arriba abajo, y por esa razn los planes agregados no son, por lo general, el resultado de una agregacin de abajo hacia arriba de programas maestros de produccin de artculos individuales. Una empresa que trate de obtener consistencia entre el plan agregado y los programas de produccin de artculos individuales necesita desarrollar un esquema de desagregacin consistente con la definicin de unidad agregada y con la estructura organizacional de la empresa.

Si una unidad de produccin agregada si corresponde a un artculo real, o se determina mediante una estructura jerrquica de planeacin, es importante que el programa maestro de produccin y el plan agregado sean consistentes. Un esquema general para manejar el asunto de la desagregacin, que es consistente con el agrupamiento de artculos en familias y de familias en tipo fue promovido por los investigadores del MIT.

Suponga que X* representa el nmero de unidades agregadas de produccin de determinado tipo, se calcula la cantidad de unidades Y, que se producirn de la familia j resolviendo de la siguiente forma

Minimizar Jj=1 Kjj/ Yj s.a Jj=1 Yj = X*

y aj Yj bj para 1 j Jdonde Kj es el costo de preparacin de la familia j, y j es la demanda anual para la familia j. Las constantes aj y bj son cotas superior e inferior de la cantidad de unidades que pueden producirse por cada familia. El trmino Kjj/ Yj es el costo promedio anual para la familia j. La funcin objetivo presenta el costo ponderado anual total de preparacin para todas las familias que forman este tipo particular. No se toma en cuenta el costo por mantener inventarios porque se supone que la funcin objetivo ya lo incorpora. A medida que se dispone de nueva informacin en cada periodo, se corrigen y actualizan los programas anteriores. Lo que se pretende es programar lotes de artculos individuales dentro de una familia de tal forma que se agoten en el tempo programado de preparacin para la familia, de esta forma, se pueden producir los artculos de la misma familia con la misma preparacin de produccin.

Cheng y Krajewski (1984) desarrollaron una formulacin matemtica de programacin para el problema. Incluyeron tiempo de preparacin, estado de preparacin, nivel total de preparacin para la familia, nivel de inventarios, nivel de fuerza de trabajo y disponibilidad de tiempo extra o de tiempo regular. El objetivo, especificar el tamao de lote y programacin de las corridas de produccin para cada artculo individual, consistentes con la informacin agregada para la familia de productos. Aunque dicha informacin une el plan agregado y el programa maestro precisa de muchos datos y es probable que las empresas no usen estos mtodos cuando hay gran nmero de artculos individuales en cada familia de producto.

3.10. PLANEACIN DE LA PRODUCCIN A ESCALA GLOBAL

Cohen y otros (1989) mencionan algunos aspectos que deben tener en cuenta las empresas que planean obtener niveles de produccin a escala mundial.

Para obtener economa de escala y ser competitivos deben administrarse como un sistema global

El impacto de aranceles y tarifas debe entrar en las decisiones acerca de embarques de materias primas, productos intermedio y productos terminados

Impuestos corporativos

Abastecimiento global debe tener en cuenta tiempo de demora, menores costes unitarios y acceso a nuevas tecnologas

Tasas de cambio que afectan a costes de produccin y decisiones sobre precios

Diseo del producto segn pas

Diferencias culturales, de lenguaje y destrezas

Control centralizado de empresas multinacionales crea dificultades y el descentralizado requiere coordinacin

Estrategias de penetracin de mercado, reglas de contenido local

Cohen y otros (1989) suponen uno de esos modelos, mltiples productos, plantas, mercados, material primas, vendedoresSu formulacin es un programa no mezclado, no lineal, entero, mixto y de gran escala. Un aspecto que no se considera es el de las fluctuaciones del tipo de cambio monetario y su efecto tanto en el precio como en la planeacin de la produccin, para solventar este problema, por lo general la asignacin del precio se hace sumando un incremento a los costos unitario en el mercado original.

3.11. CONSIDERACIONES PRCTICAS

La planeacin agregada es una ayuda valiosa para planear los niveles de produccin y de mano de obra en una compaa, y es un medio de absorber las fluctuaciones de la demanda al suavizar dichos niveles.

Ventajas de la planeacin a nivel agregado en comparacin con el nivel de detalle:

1. El costo de preparar pronsticos y determinar los parmetros de productividad y costo con base en un producto individual puede ser prohibitivo. Recopilar y capturar datos cuesta ms que realizar los clculos.

2. Mejora relativa de la precisin de pronstico que se logra agregando los artculos.

3. El marco de planeacin agregada permite ver al administrador ver la panormica y no dejarse influenciar por los detalles.

Con todas estas ventajas cabria esperar que la planeacin agregada tuviera un lugar importante en la planeacin productiva de la empresa, pero no es as. Los motivos son los siguientes:

1. Dificultad para definir una unidad agregada de produccin

2. Se requieren estimados de costo y de demanda para las unidades agregadas y es bastante difcil obtener informacin exacta sobre ello.

3. Los modelos de planeacin agregada casi nunca reflejan realidades polticas y operacionales del ambiente en que trabaja la empresa.

4. Los administradores no desean confiar en un modelo matemtico para obtener respuestas a los asuntos importantes.

Silver y Peterson (1985) concluyeron que los ahorros en costo logrados con una regla lineal de decisin para planeacin agregada podran obtenerse con slo administrar mejor el inventario agregado.

3.12 NOTAS HISTRICAS

1955- Holt, Modigliani y Simn - Mtodo de costes cuadrticos

1956- Holt, Modigliani y Muth - Aspectos computacionales

1956- Bowman Modelo del transporte

1968- Taubert Regla de decisin de bsqueda

1970- Bergstrom y Smith Extensiones a tener en cuenta

1971- Zoller Agregacin y desagregacin

1972- Damon y Schramm Inclusin de variables mercadotcnicas y/o financieras

1974- Leitch - Inclusin de variables mercadotcnicas y/o financieras

1976- Ebert Incorporacin de curvas de aprendizaje

1981- Axsater - Bitran y Hax Agregacin y desagregacin

1990- Kamien y Li modelo matemtico efectos subcontratacin

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